Integración NuméricaIntegración Numérica

Integral definida: Cálculo Fórmula de los Trapecios Regla de Simpson Integración de Romberg Otros métodos (Newton-Cotes,

Gauss)

Integral definida: CálculoIntegral definida: Cálculo

Regla de Barrow

Pero...

Funciones sin primitiva sencilla

Datos experimentales: área de un terreno.

f x dx F b F aa

b

( ) ( ) ( )

sen( )x

xdx dx

0

e-x

0

t 2

Fórmula de los TrapeciosFórmula de los Trapecios

Simple

Error

I b af a f b

T

( )( ) ( )

2

Eb a

f a bT

( )

( ), [ , ]3

12

Fórmula de los TrapeciosFórmula de los Trapecios

Compuesta

Error

Exacta para funciones de 1er grado

I hh

y y y y yT n n[ ] ( ) 22 2 20 1 2 1

Eh

b a f a bT 2

12( ) ( ), [ , ]

Algoritmo TRAPECIOAlgoritmo TRAPECIOIntegra aproximadamente f(x) en el intervalo [a,b] aplicando

la fórmula de los trapecios con n subintervalos. Datos de entrada: a,b,n Proceso

Dividir el intervalo en n subintervalos Evaluar la función en los extremos

de los subintervalos Aplicar la formula de los trapecios: IT[h] = h/2(y0 +2y1+2y2+...+2yn-1+yn)

Salida: Integral aproximada

Indicación: usar vectores en lugar de bucles para evaluar la Fórmula de los Trapecios.

Fórmula de Trapecios iterativa

Fórmula de Trapecios iterativa

Supongamos que n es par:

IT[h] = h/2 (y0 + 2y1 + 2y2 + ... + 2yn-1 + yn) =

= h/2 (y0 + 2y2 + 2y4 + ... + 2yn-2 + yn) +

+ h (y1 + y3 + y5 + ... + yn-1) =

= IT[2h]/2 + h(y1 + y3+...+yn-1)

Refinar la partición y actualizar la integral

Algoritmo TRAPITER Algoritmo TRAPITERRefina iterativamente la partición del intervalo [a,b] y actualiza la Fórmula de los Trapecios para aproximar la integral de f(x) hasta una precisión determinada.

Datos de entrada: a, b, n, tol. Inicio: I = trapecio(a,b,n) Iteraciones:

mientras error > tol

dividir en 2 cada intervalo x = nuevos puntos, y = f(x) Inueva = I/2 + h*sum(y) % Actualización de

la error = abs(I-Inueva) % integral I = Inueva fin mientras

Regla de Simpson simpleRegla de Simpson simple

(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2) con x1=x0+h, x2=x1+h

Polinomio de diferencias progresivas

P(t)= y0+(y1-y0)t+1/2(y0-2y1+y2)t(t-1); ht=x-x0

Integral

][)4(3

)()( 210

2

0

2

0

hIyyyh

dtthPdxxf S

x

x

Regla de SimpsonRegla de Simpson

Compuesta

Error

Exacta para polinomios de 3er grado

I hh

y y y y yS n n[ ] ( ) 34 2 40 1 2 1

Eh

b a f a bSIV

4

180( ) ( ), [ , ]

Integración de RombergIntegración de Romberg

Relación Simpson-Trapecio par 2n subdivisiones de [a, b].

3

]2[][4][

hIhIhI TT

S

Tabla de RombergTabla de Romberg

Expresión general:

Error de orden h2j

Exacta para polinomios de grado 2j-1

I h

I h I h

I h I h I h

I h I h I h I h

T

T S

T S R

T S R Q

[ ]

[ / ] [ / ]

[ / ] [ / ] [ / ]

[ / ] [ / ] [ / ] [ / ]

2 2

4 4 4

8 8 8 8

II I

kj

jk j k j

j

4

4 1

11 1 1

1

, ,

Algoritmo ROMBERGAlgoritmo ROMBERG Integra f(x) en [a,b], aplicando el método de Romberg.

Datos de entrada: a,b,n,tol Proceso: Construccion de la tabla de Romberg

k = 1, I(1,1) = trapecio(a,b,n); % Fila 1mientras error > tol

k = k+1 % Fila kdividir en 2 cada subintervalo x = nuevos puntos, y = f(x)I(k,1) = I(k-1,1)/2 + h*sum(y)

para j = 2 : k % Aplica el método de Romberg I(k,j) = (4^(j -1)*I(k,j -1) - I(k -1,j -1)) / (4^(j -1) -1) fin para error = abs(I(k,j) - I(k,j -1))fin mientras

Método de Newton-CotesMétodo de Newton-Cotes

Dados x0, x1, x2, ..., xn en [a,b], determinar A0, A1, A2, ..., An tales que para todo polinomio p(x) de grado < n,

Sustituyendo p(x) = 1,x ,x2 , ... , xn se obtiene un sistema lineallineal del que se despejan A0, A1, A2, ..., An

p x dx

A p x A p x A p xa

b

n n

( )

( ) ( ) ( )

0 0 1 1

Cuadratura de GaussCuadratura de Gauss

Determinar puntos x0, x1, x2, ..., xn en [a,b], y números A0, A1, A2, ..., An tales que, para todo polinomio p(x) de grado < 2n+1,

Sustituyendo p(x) = 1,x ,x2 , ... , x2n+1 se obtiene un sistema no no

lineallineal del que se despejan x0, x1, x2, ..., xn y A0, A1, A2, ..., An.

p x dx

A p x A p x A p xa

b

n n

( )

( ) ( ) ( )

0 0 1 1

ResumenResumen

Los métodos de Trapecios, Simpson y Romberg permiten estimar la integral con error de orden n2, n4, n,… . Usan nodos equiespaciados, incluyendo los extremos del intervalo. Son casos particulares de Newton-Cotes.

El método de Gauss usa nodos desigualmente espaciados, distintos de los extremos del intervalo.