Integracion

Integrales indefinidas

Definicion. Diremos que F : (a, b)→ R es una primitiva de f : (a, b)→ R cuando

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b).

Usaremos el sımbolo F (x) =∫f(x)dx para denotar que F (x) es una primitiva de f(x).

Observacion. Todas las primitivas de f difieren entre ellas en una constante. Por eso escribiremos∫f(x)dx = F (x) + c, donde la constante libre c ∈ R recibe el nombre de constante de integracion.

Teorema. f continua ⇒ f admite primitiva.

Tabla de primitivas inmediatas. A partir de la lista de derivadas de funciones elementales dadaen el tema anterior, se obtiene la siguiente tabla:∫

uαdu =uα+1

α+ 1+ c ∀α 6= −1,

∫du

u= ln |u|+ c,

∫eudu = eu + c,∫

audu =au

ln a+ c ∀a > 0,

∫sinudu = − cosu+ c,

∫cosudu = sinu+ c,∫

du

cos2 u= tanu+ c,

∫du√

1− u2= arcsinu+ c,

∫du

1 + u2= arctanu+ c,∫

sinhudu = coshu+ c,

∫coshudu = sinhu+ c,

∫du

cosh2 u= tanhu+ c,∫

du√1 + u2

= argsinhu+ c,

∫du√u2 − 1

= argcoshu+ c,

∫du

1− u2= argtanhu+ c.

Observacion. En la tabla anterior se puede pensar que u = ϕ(x) y du = ϕ′(x)dx. Concretamente, siF (x) =

∫f(x)dx es una primitiva de f(x), entonces∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx =

[u = ϕ(x)

du = ϕ′(x)dx

]=

∫f(u)du = F (u) + c = F (ϕ(x)) + c.

Se debe practicar todo lo que sea necesario hasta adquirir soltura en el calculo de primitivas inmediatas.

Ejemplo 1. A continuacion damos algunos ejemplos de primitivas inmediatas:∫tanxdx =

∫sinx

cosxdx =

[u = cosx

du = − sinxdx

]= −

∫du

u= − ln |u|+ c = − ln | cosx|+ c,∫

sinn x cosxdx =

[u = sinx

du = cosxdx

]=

∫undu =

un+1

n+ 1+ c =

1

n+ 1sinn+1 x+ c,∫

x4 3√x5 − 1dx =

[u = x5 − 1

du = 5x4 dx

]=

1

5

∫u1/3 du =

1

5

u4/3

4/3+ c =

3

20

(x5 − 1

)4/3+ c,∫

exp(ex + x)dx =

∫exp(ex)exdx =

[u = ex

du = exdx

]=

∫eudu = eu + c = exp(ex) + c.

Uno puede saltarse los pasos intermedios cuando ha adquirido la soltura antes mencionada. N

Cambios de variable. Un metodo potente para calcular primitivas consiste en realizar un procesoinverso al seguido en la seccion anterior:∫

f(x)dx =

[x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t)dt

]=

∫f(ϕ(t))ϕ′(t)dt.

Este proceso se denomina cambio de variable, pues cambiamos la vieja variable x por una nuevavariable t, esperando simplificar la integral. Los cambios de variable tambien se pueden escribir alreves; es decir, poniendo la nueva variable en funcion de la vieja: t = η(x) y dt = η′(x)dx. Realizarcambios de variable es un arte dıficil, pues hay pocas reglas precisas para decidir el cambio adecuadoen cada caso. En las siguientes paginas describiremos algunas de esas reglas.

1

2

Observacion. Es imprescindible deshacer el cambio de variables despues de calcular la primitiva.

Ejemplo 2. A continuacion damos algunos ejemplos de cambios de variable:∫ln(2x)

x ln(4x)dx =

t = ln(4x)x = et/4dt = dx

x

=

∫ln(et/2)

tdt =

∫t− ln 2

tdt =

∫dt− ln 2

∫dt

t

= t− ln 2 · ln |t|+ c = ln(4x)− ln 2 ln | ln(4x)|+ c,∫1 + x

1 +√x

dx =

x = t2

t =√x

dx = 2tdt

=

∫1 + t2

1 + t2tdt = 2

∫t3 + t

t+ 1dt =

[Cociente depolinomios

]=

= 2

∫ (t2 − t+ 2

)dt− 4

∫dt

1 + t= 2

t3

3− t2 + 4t− 4 ln |1 + t|+ c

= 2x√x/3− x+ 4

√x− 4 ln

∣∣1 +√x∣∣+ c,∫

x−√

arctanx

1 + x2dx =

t = arctanxx = tan tdt = dx

1+x2

=

∫ (tan t−

√t)

dt =

∫tan tdt−

∫t1/2 dt

= − ln | cos t| − t3/2

3/2+ c = − ln

∣∣ cos(arctanx)∣∣− 2

3arctan3/2 x+ c.

El ultimo resultado se puede reescribir para que quede mas bonito mediante el siguiente truco:

x = tan t =sin t

cos t⇒ sin t = x cos t⇒ 1 = cos2 t+ sin2 t = (1 + x2) cos2 t⇒ cos t =

±1√1 + x2

.

El signo menos queda descartado, pues si x = 0, entonces t = arctanx = 0 y cos t = 1. Por tanto,∫x−√

arctanx

1 + x2dx =

1

2ln(1 + x2)− 2

3arctan3/2 x+ c. N

Integracion por partes. La formula∫udv = uv −

∫vdu se suele recordar mediante la siguiente

regla memotecnica: “un dıa vı una vaca vestida de uniforme”. Esta formula sirve para calcularintegrales del tipo

∫f(x)g′(x)dx, en cuyo caso se debe escoger como u = f(x) el factor que sea facil

de derivar y como dv = g′(x)dx el factor que sea facil de integrar.

Observacion. La sencilla regla memotecnica ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponencialesy Senos/cosenos) suele ser util para decidir que se integra y que se deriva. Por ejemplo, para integrarpor partes

∫x2exdx derivamos el polinomio u = x2 e integramos la exponencial dv = exdx, pues la

letra P precede a la letra E en la palabra ALPES.

Ejemplo 3. A continuacion damos algunos ejemplos de integracion por partes:∫x2exdx =

[u = x2, du = 2xdxdv = exdx, v = ex

]= x2ex − 2

∫xexdx =

[u = x, du = dx

dv = exdx, v = ex

]= x2ex − 2

(xex −

∫exdx

)= (x2 − 2x+ 2)ex + c,∫

xn lnxdx =

[u = lnx, du = dx

x

dv = xndx, v = xn+1

n+1

]=xn+1

n+ 1lnx− 1

n+ 1

∫xndx

=xn+1

n+ 1

(lnx− 1

n+ 1

)+ c,∫

arctanxdx =

[u = arctanx, du = dx

1+x2

dv = dx, v = x

]= x arctanx−

∫x

1 + x2dx

= x arctanx− 1

2

∫2x

1 + x2dx = x arctanx− 1

2ln(1 + x2) + c. N

3

Ejercicio. Probar integrando por partes dos veces que∫eax sin(bx)dx =

a sin(bx)− b cos(bx)

a2 + b2eax,

∫eax cos(bx)dx =

a cos(bx) + b sin(bx)

a2 + b2eax.

Integrales racionales. Una funcion racional es un cociente de polinomios: f(x) = p(x)/q(x) conp(x), q(x) ∈ R[x]. Las integrales de estas funciones se denominan integrales racionales. Las fraccionessimples son aquellas funciones racionales de alguna de las siguientes formas:

A

(x− a)n,

A+Bx((x− α)2 + β2

)ndonde A,B, a, α, β ∈ R y n ∈ N. Necesitaremos calcular las integrales de estas fracciones simples paracalcular integrales racionales. Las siguientes formulas cubren los casos mas sencillos:∫

dx

(x− a)n=

ln |x− a|+ c, si n = 1,(x− a)1−n

1− n+ c, si n ≥ 2,∫

dx

(x− α)2 + β2=

1

βarctan

(x− αβ

)+ c,∫

dx((x− α)2 + β2

)2 =1

2β3arctan

(x− αβ

)+

1

2β2

x− α(x− α)2 + β2

+ c.

Ejercicio. Probar las formulas anteriores. Indicacion: Realizar el cambio de variable u = (x−α)/β enlas dos ultimas integrales y, adicionalmente, el cambio t = arctanu (o u = tan t) en la tercera integral.

Ejemplo 4. Calcular la integral racional∫

xx2+2x+2 dx.

Las raıces del denominador q(x) = x2 + 2x+ 2 son complejas conjugadas: x1,2 = α± βi = −1± i,luego q(x) = (x−α)2 +β2 = (x+1)2 +1. Esta manera de escribir los polinomios de segundo grado sinraıces reales se denomina completar cuadrados. El numerador p(x) = x tiene grado uno. Por tanto,la fraccion p(x)/q(x) es simple, aunque su integral no aparece en la lista anterior. Para calcularla,debemos trocearla en dos partes, una que genera un logaritmo y otra que genera un arco tangente:∫

x

x2 + 2x+ 2dx =

1

2

∫2x+ 2− 2

x2 + 2x+ 2dx =

1

2

∫2x+ 2

x2 + 2x+ 2dx−

∫1

(x+ 1)2 + 1dx

=1

2ln(x2 + 2x+ 2)− arctan(x+ 1) + c.

No hace falta poner el valor absoluto en el logaritmo, ya que el denominador es siempre positivo. N

Toda funcion racional f(x) = p(x)/q(x) se puede escribir como un polinomio mas una suma de unascuantas fracciones simples. El polinomio es el cociente c(x) de la division p(x)/q(x). Si r(x) es el restode esa misma division, entonces p(x)/q(x) = c(x) + r(x)/q(x) con gr[r(x)] < gr[q(x)] y la suma defracciones simples se obtiene encontrando las raıces (reales y complejas conjugadas) del denominadorq(x) y buscando los numeradores adecuados en cada fraccion simple para que se cumpla la identidad

r(x)

q(x)=∑ Todas las fracciones simples con denominadores de la forma:

• (x− a)n, si a es una raız real de multiplicidad m y 1 ≤ n ≤ m•((x− α)2 + β2

)n, si α± βi son raıces complejas de multiplicidad m y 1 ≤ n ≤ m

.

Observacion. Si gr[p(x)] < gr[q(x)], entonces el cociente es c(x) = 0 y el resto es r(x) = p(x).

Ejemplo 5. Calcular la integral racional∫f(x)dx, donde

f(x) = p(x)/q(x), p(x) = −50x− 10, q(x) = x5 − 2x3 + 2x2 − 3x+ 2.

En este caso, c(x) = 0 y r(x) = p(x), pues gr[p(x)] < gr[q(x)]. Mediante el metodo Ruffini vemos queq(x) = (x− 1)2(x+ 2)(x2 + 1), luego la descomposicion de f(x) como suma de fracciones simples es:

f(x) =p(x)

q(x)=

A

x− 1+

B

(x− 1)2+

C

x+ 2+D + Ex

x2 + 1,

4

donde las constantes A,B,C,D,E ∈ R de los denominadores se determinan imponiendo que se cumplala identidad anterior. Se obtiene A = 5, B = −10, C = 2, D = 9 y E = −7. Por tanto,∫

f(x)dx = 5

∫dx

x− 1− 10

∫dx

(x− 1)2+ 2

∫dx

x+ 2+ 9

∫dx

1 + x2− 7

∫xdx

1 + x2

= 5 ln |x− 1|+ 10

x− 1+ 2 ln |x+ 2|+ 9 arctanx− 7

2ln(1 + x2) + c. N

Integrales trigonometricas. Son integrales de la forma∫R(sinx, cosx)dx, donde R(sinx, cosx)

es una expresion racional en las funciones sinx y cosx. Cae fuera de este contexto toda integral conraıces, logaritmos, exponenciales o exponentes no enteros, aunque tenga senos y cosenos. Por ejemplo,∫

exp(sinx)dx y∫ √

cosx sinxdx no son integrales trigonometricas.

En primer lugar, conviene recordar las relaciones trigonometricas cos2 x+ sin2 x = 1 y

cos2 x =1 + cos 2x

2, sin2 x =

1− cos 2x

2, sin 2x = 2 cosx sinx, cos 2x = cos2 x− sin2 x.

Usando estas relaciones, es posible comprobar que cualquier integral de la forma∫R(sinx, cosx)dx,

con R racional, se puede transformar en una integral racional mediante un cambio de variable ade-cuado. El cambio depende de la forma que tenga R. Las reglas son las siguientes:

• Caso R impar en el seno: t = cosx, dt = − sinxdx.• Caso R impar en el coseno: t = sinx, dt = cosxdx.• Caso R par en seno y coseno: t = tanx, x = arctan t, dx = dt

1+t2 , sinx = t√1+t2

y cosx =1√

1+t2.

• Caso R general: t = tan(x/2), x = 2 arctan t, dx = 2dt1+t2 , sinx = 2t

1+t2 y cosx = 1−t21+t2 .

Comprobamos que las expresiones de los dos ultimos casos para sinx y cosx son correctas usandoel truco visto al final del ejemplo 2:

t = tanx =sinx

cosx⇒ sinx = t cosx⇒ 1 = cos2 x+ sin2 x = (1 + t2) cos2 x⇒

{cosx = 1√

1+t2

sinx = t√1+t2

.

Observacion. Estos cuatro cambios estan ordenados en orden de dificultad creciente. Si realizamosalguno de los tres primeros cambios sin que R tenga la forma adecuada, entonces no se obtiene unaintegral racional. Solo el ultimo cambio funciona en el 100% de los casos, pero intentaremos evitarlopues es el cambio mas complicado.

Ejemplo 6. A continuacion damos por orden un ejemplo de cada uno de los cuatro casos anteriores:∫sinx

1 + cos2 xdx =

[t = cosx

dt = − sinxdx

]= −

∫dt

1 + t2= − arctan t+ c = − arctan(cosx) + c,

∫cos3 x sin2n xdx =

t = sinxcos2 x = 1− t2dt = cosxdx

=

∫(1− t2)t2ndt =

∫t2ndt−

∫t2n+2 dt

=t2n+1

2n+ 1− t2n+3

2n+ 3+ c =

sin2n+1 x

2n+ 1− sin2n+3 x

2n+ 3+ c,

∫dx

1 + cos2 x=

t = tanxdx = dt

1+t2

cos2 x = 11+t2

=

∫1

1 + 11+t2

dt

1 + t2=

∫dt

2 + t2

=1√2

arctan

(t√2

)+ c =

1√2

arctan

(tanx√

2

)+ c,

5∫dx

1 + sinx− cosx=

[t = tan(x/2), dx = 2dt

1+t2

sinx = 2t1+t2 , cosx = 1−t2

1+t2

]=

∫1

1 + 2t1+t2 −

1−t21+t2

2dt

1 + t2

=

∫dt

t2 + t=

∫dt

t−∫

dt

t+ 1= ln |t| − ln |t+ 1|+ c

= ln

∣∣∣∣ t

1 + t

∣∣∣∣+ c ln

∣∣∣∣ tan(x/2)

1 + tan(x/2)

∣∣∣∣+ c. N

Integrales que contienen ciertas raıces. Las integrales de funciones que contienen la expresion√α2 − x2 se suelen calcular mediante el cambio x = α sin t, dx = α cos tdt.

Ejemplo 7. En el siguiente ejemplo, aplicamos el cambio anterior con α = 4.∫dx

x2√

16− x2=

[x = 4 sin tdx = 4 cos tdt

]=

∫4 cos tdt

16 sin2 t · 4 cos t=

1

16

∫dt

sin2 t

=

u = tan tdt = du

1+u2

sin t = u√1+u2

=1

16

∫1 + u2

u2

du

1 + u2=

1

16

∫u−2 du

=−1

16u+ c =

−1

16 tan t+ c = −

√16− x2

16x+ c. N

Integrales definidas

Queremos calcular el area comprendida entre el eje horizontal y la grafica de una funcion continuapositiva f definida en un intervalo compacto [a, b], ver la figura 1. A partir de ahora, el sımbolo∫ baf(x)dx denotara el valor de esa area, entendiendose que hablamos de “area con signo” (es decir,

area positiva donde f ≥ 0 y area negativa donde f ≤ 0) cuando la funcion f es negativa en algunospuntos del intervalo [a, b], ver la figura 1.

Figure 1. Integral de una funcion positiva (izquierda) y de una funcion con cambiosde signo (derecha).

A continuacion, definimos con mas precision el significado del sımbolo∫ baf(x)dx. La idea basica

es obtener el area asociada a una funcion f : [a, b] → R como el lımite de la suma de las areas consigno de ciertos rectangulos con bases cada vez menores. Para eso necesitamos fijar las bases de losrectangulos (lo cual nos conduce al concepto de particion) y despues las alturas de los rectangulos (locual nos conduce al concepto de suma de Riemann).

6

Definicion. Una particion de un intervalo compacto [a, b] es un conjunto de puntos ordenados

a = x0 < x1 < · · · < xN−1 < xN = b.

La cantidad ‖∆x‖ = max1≤j≤N ∆xj , con ∆xj = xj − xj−1, es el tamano de la particion.

Definicion. Sea f : [a, b]→ R una funcion. Dada una particion arbitraria del intervalo [a, b] como laanterior y unos puntos arbitrarios cj ∈ [xj−1, xj ], j = 1, . . . , N , entonces

N∑j=1

f(cj)∆xj

es una suma de Riemann de la funcion f en el intervalo [a, b].

La anterior suma de Riemann se puede interpretar como la suma de las areas de los N rectangulosde bases ∆xj y alturas f(cj), ver la figura 2. Parece logico pensar que la suma de las areas de

esos N rectangulos tendera a∫ baf(x)dx si tomamos rectangulos de base cada vez menor; es decir, si

‖∆x‖ → 0. Sin embargo, esto no es siempre cierto, lo cual motiva la siguiente definicion.

Figure 2. Sumas de Riemann de diferentes tipos, dependiendo de la eleccion delpunto cj ∈ [xj−1, xj ]. Azul/amarillo: cj es el extremo derecho/izquierdo del intervalo.Verde/rojo: cj es el maximo/mınimo de f en el intervalo. La grafica central muestra

como las sumas de Riemann tienden al valor∫ baf(x)dx cuando ‖∆x‖ → 0.

Definicion. Sea f : [a, b] → R una funcion acotada. Diremos que f es integrable (en el sentido deRiemann) si existe el lımite de sus sumas de Riemann cuando ‖∆x‖ → 0, en cuyo caso escribiremos∫ b

a

f(x)dx = lim‖∆x‖→0

N∑j=1

f(cj)∆xj .

7

Diremos que la cantidad∫ baf(x)dx es la integral definida de la funcion f en el intervalo [a, b].

Teorema. f continua en [a, b]⇒ f integrable en [a, b].

Notacion.∫ aaf(x)dx = 0 y

∫ abf(x)dx = −

∫ baf(x)dx.

Las propiedades basicas de la integral son:

• Aditividad: Si a < c < b, entonces∫ baf(x)dx =

∫ caf(x)dx+

∫ bcf(x)dx.

• Linealidad: Si α, β ∈ R, entonces∫ ba

(αf(x) + βg(x)

)dx = α

∫ baf(x)dx+ β

∫ bag(x)dx.

• Monotonicidad: Si f(x) ≤ g(x) para toda x ∈ [a, b], entonces∫ baf(x)dx ≤

∫ bag(x)dx.

Teorema (Regla de Barrow). Si f : [a, b] → R es una funcion continua y F : [a, b] → R es unaprimitiva de f , entonces ∫ b

a

f(x)dx =[F (x)

]x=b

x=a= F (b)− F (a).

Proof. Sea a = x0 < x1 < · · · < xN−1 < xN = b una particion arbitraria del intervalo [a, b]. Usando elteorema del valor medio para la funcion F (x) en cada intervalo [xj−1, xj ], sabemos que existen unospuntos cj ∈ [xj−1, xj ] tales que F (xj)− F (xj−1) = F ′(cj)(xj − xj−1). Por tanto,

F (b)− F (a) =

N∑j=1

(F (xj)− F (xj−1)

)=

N∑j=1

(F ′(cj)(xj − xj−1)

)=

N∑j=1

f(cj)∆xj −→∫ b

a

f(x)dx

cuando ‖∆x‖ → 0, debido a que f es integrable y la ultima suma es una suma de Riemann de lafuncion f en el intervalo [a, b]. �

Ejemplo 8. Calcular el area de la region encerrada por la elipse x2/a2 + y2/b2 = 1, donde a, b > 0.La elipse es simetrica respecto ambos ejes de coordenadas, luego el area total es igual a cuatro veces

el area de la parte de la elipse contenida en el primer cuadrante. Ademas, el area de esa cuarta partees igual al area debajo de la grafica de la funcion f(x) = b

√1− x2/a2 cuando x ∈ [0, a]. Por tanto,

Area = 4

∫ a

0

f(x)dx =4b

a

∫ a

0

√a2 − x2 dx =

[x = a sin t, dx = a cos tdtx = 0→ t = 0, x = a→ t = π/2

]=

= 4ab

∫ π/2

0

cos2 tdt = 2ab

∫ π/2

0

(1 + cos(2t)

)dt = ab

[2t+ sin(2t)

]t=π/2t=0

= πab. N

Definicion. Si f : [a, b]→ R es una funcion integrable, f = 1b−a

∫ baf(x)dx es su promedio.

Teorema (Teorema del valor medio para integrales). Si f : [a, b] → R es una funcion continua,entonces existe c ∈ [a, b] tal que f = f(c) o, equivalentemente,∫ b

a

f(x)dx = (b− a)f(c).

Proof. Como f es continua y [a, b] es compacto, sabemos que existen m,M ∈ [a, b] tales que f(m) ≤f(x) ≤ f(M) para todo x ∈ [a, b]. La propiedad de monotonicidad de la integral implica que

(b− a)f(m) =

∫ b

a

f(m)dx ≤∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

f(M)dx = (b− a)f(M).

Dividiendo las desigualdades anteriores por b − a, vemos que f(m) ≤ f ≤ f(M). Finalmente, comof es una funcion continua en [a, b], el teorema del valor intermedio implica que existe un puntoc ∈ 〈m,M〉 ⊂ [a, b] tal que f(c) = f . �

Ejemplo 9. La funcion f(x) = 3x2 − 2x es continua en el intervalo compacto [1, 4] y su promedio es

f =1

4− 1

∫ 4

1

(3x2 − 2x)dx =1

3

[x3 − x2

]x=4

x=1= (64− 16− 1 + 1)/3 = 16.

8

Por tanto, sabemos que existe algun punto c ∈ [1, 4] tal que 3c2− 2c = f(c) = 16 o, equivalentemente,3c2 − 2c− 16 = 0. Las soluciones de esta ecuacion de segundo grado son

c± =1±√

1 + 3 · 16

3=

1± 7

3⇒ c− = −2 6∈ [1, 4], c+ = 8/3 ∈ [1, 4].

Descartamos la primera solucion, pues cae fuera del intervalo [1, 4]. Ası pues, c = 8/3 es el puntopredicho por el teorema del valor medio. N

Definicion. Si f : [a, b] → R es una funcion continua, entonces su funcion integral es la funcionF : [a, b]→ R dada por

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt.

Observacion. La variable muda t que aparece en el integrando no debe ser la misma que la variable x

que aparece en el extremo de la integral. Escribir∫ xaf(x)dx o

∫ taf(t)dt es un error de principiante.

Teorema (Teorema fundamental del calculo). Si f : [a, b] → R es continua y F (x) =∫ xaf(t)dt,

entonces F : [a, b]→ R es derivable y F ′ = f .

Proof. Usando la propiedad de aditividad de la integral y el teorema del valor medio para integrales,deducimos que si x, x+ h ∈ [a, b], entonces existe un punto c = c(x, h) ∈ 〈x, x+ h〉 tal que

F (x+ h)− F (x) =

∫ x+h

a

f(t)dt−∫ x

a

f(t)dt =

∫ x+h

x

f(t)dt = hf(c(x, h)).

Finalmente, basta calcular la derivada mediante la definicion:

F ′(x) = limh→0

F (x+ h)− F (x)

h= limh→0

f(c(x, h)) = f(x),

pues f es continua y limh→0 c(x, h) = x. �

Ejemplo 10. La funcion f(x) = ln2(x + e) es continua en el intervalo [0,+∞). Buscamos la rectatangente a la grafica de su funcion integral F (x) =

∫ x0f(t)dt en el punto de abcisa x = 0. Sabemos

que y = F (c) + F ′(c)(x− c) es la recta tangente en el punto x = c. En nuestro caso c = 0, luego

F (c) = F (0) =

∫ 0

0

f(t)dt = 0, F ′(c) = F ′(0) = f(0) = ln2 e = 12 = 1.

Ası pues, la recta tangente es y = 0 + 1(x− 0) = x, la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. N

Teorema (Regla de Leibniz). Si f es continua, α y β son derivables y G(x) =∫ β(x)

α(x)f(t)dt, entonces

G es derivable y

G′(x) = f(β(x))β′(x)− f(α(x))α′(x).

Proof. Si F es una primitiva de f , la regla de Barrow implica que G(x) = F (β(x)) − F (α(x)). Portanto, G′(x) = F ′(β(x))β′(x)− F ′(α(x))α′(x) = f(β(x))β′(x)− f(α(x))α′(x). �

Ejemplo 11. La derivada de G(x) =∫ x3

asin tdt es G′(x) = sin(x3)3x2. N

Integracion numerica

Definicion. Sea f : [a, b] → R una funcion integrable y consideramos la particion uniforme de Nintervalos dada por xj = a+ jh, j = 0, . . . , N , donde la cantidad h = (b− a)/N recibe el nombre depaso de integracion. Sea fj = f(xj). Entonces:

• TN (f ; [a, b]) = b−a2N

(f0 + 2f1 + · · ·+ 2fN−1 + fN

)es la regla de los trapecios.

• SN (f ; [a, b]) = b−a3N

(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + · · ·+ 2fN−2 + 4fN−1 + fN

)es la regla de Simpson.

En este segundo caso se necesita que N sea par.

9

La regla de los trapecios se llama ası debido a que el valor aproximado TN (f ; [a, b]) es igual al areadebajo de la linea poligonal que une los puntos (xj , fj) para j = 0, . . . , N . Es decir, TN (f ; [a, b]) esla suma de las areas de los trapecios de bases ∆xj = xj − xj−1 = h = (b − a)/N y alturas fj−1, fjpara j = 1, . . . , N . En cambio, SN (f ; [a, b]) es igual al area debajo de la funcion construida por N/2arcos de parabolas, de forma que el arco j-esimo interpola los puntos (x2j−2, f2j−2), (x2j−1, f2j−1)y (x2j , f2j) para j = 1, . . . , N/2. Por eso se necesita que N sea par en la regla de Simpson. Hemosdibujado un ejemplo de la regla de los trapecios con N = 5 y otro de la regla de Simpson con N = 2en la figura 3.

Figure 3. La regla de los trapecios (izquierda) y la regla de Simpson (derecha).

Observacion. Si f : [a, b]→ R es una funcion continua y convexa, entonces TN (f ; [a, b]) ≥∫ baf(x)dx,

pues el lado superior de cada trapecio esta por encima de la grafica de la funcion f(x). Por contra, si

f es concava, entonces TN (f ; [a, b]) ≤∫ baf(x)dx.

Si la funcion f es suficientemente regular, ambas reglas dan aproximaciones numericas del valor

de la integral∫ baf(x)dx y las aproximaciones dadas son mas precisas conforme crece el numero N

de subintervalos en la particion. Ademas, se intuye que la regla de Simpson es mas precisa que laregla de los trapecios, pues la aproximacion de una grafica por arcos de parabola es mas precisa quela aproximacion por lineas poligonales. Esta intuicion queda confirmada por los siguientes resultados:

• Si f es dos veces derivable en [a, b], f ′′ es continua en [a, b] y M2 = maxx∈[a,b] |f ′′(x)|, entonces∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x)dx− TN (f ; [a, b])

∣∣∣∣∣ ≤ M2

12

(b− a)3

N2=

(b− a)M2

12h2 = O(h2).

• Si f es cuatro veces derivable en [a, b], f (4) es continua en [a, b] y M4 = maxx∈[a,b] |f (4)(x)|,entonces∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x)dx− SN (f ; [a, b])

∣∣∣∣∣ ≤ M4

180

(b− a)5

N4=

(b− a)M4

180h4 = O(h4).

De cara a implementar estos metodos en un ordenador, resulta interesante observar que

S2N (f ; [a, b]) =4T2N (f ; [a, b])− TN (f ; [a, b])

3.

10

Integrales impropias

Las integrales impropias son integrales definidas cuyo intervalo de integracion tiene longitud infinita(integrales impropias de primera especie), cuyo integrando alcanza un valor infinito en algun punto(integrales impropias de segunda especie) o ambas cosas a la vez (integrales impropias de terceraespecie). Una integral impropia puede tener un valor finito, un valor (mas o menos) infinito o no tenerningun valor definido.

Figure 4. Una integral impropia de 1a especie (izquierda) y otra de 2a especie (derecha).

Empezamos considerando aquellas integrales impropias con integrando acotado en todo el intervalode integracion, pero que dicho intervalo sea de la forma [a,+∞). La dificultad radica en que, aunque ya

hemos definimos el significado de las integrales definidas∫Maf(x)dx para todo M > a, aun no hemos

definido el significado de la integral impropia∫ +∞a

f(x)dx. Como es natural, la integral impropia sedefine mediante el correspondiente lımite. Vamos a verlo.

Definicion. Dada una funcion f : [a,+∞)→ R que sea integrable en todos los intervalos compactos

de la forma [a,M ], con M > a, diremos que la integral impropia∫ +∞a

f(x)dx es convergente cuando el

lımite limM→+∞∫Maf(x)dx existe y toma un valor finito. Y diremos que es divergente de lo contrario,

lo cual incluye tanto que el lımite anterior no exista como que el lımite sea (mas o menos) infinito. Si

el lımite existe, entonces escribiremos∫ +∞a

f(x)dx = limM→+∞∫Maf(x)dx.

Esta definicion solo clarifica un tipo de integrales impropias, pero hay muchos otros tipos. Podemosconsiderar, por ejemplo, integrales con integrando acotado en todo el intervalo de integracion, pero quedicho intervalo sea de la forma (−∞, b]. O integrales impropias con intervalo de integracion acotado,pero que el integrando valga infinito en uno de los dos extremos del intervalo. Estos cuatro tipos deintegrales impropias se resumen en el siguiente cuadro.

Funcion Intervalos compactos Lımite que da la integral impropia Impropia Especie

f : [a,+∞)→ R [a,M ], ∀M > a∫ +∞a

f(x)dx = limM→+∞

∫Maf(x)dx En +∞ 1a

f : (−∞, b]→ R [N, b], ∀N < b∫ b−∞ f(x)dx = lim

N→−∞

∫ bNf(x)dx En −∞ 1a

f : (a, b]→ R [α, b], ∀α ∈ (a, b]∫ baf(x)dx = lim

α→a+

∫ bαf(x)dx En a 2a

f : [a, b)→ R [a, β], ∀β ∈ [a, b)∫ baf(x)dx = lim

β→b−

∫ βaf(x)dx En b 2a

Table 1. Los cuatro tipos de integrales impropias mas sencillos.

11

Mediante la propiedad de aditividad podemos escribir cualquier integral impropia como una sumade integrales impropias de las cuatro formas anteriores. La integral inicial es convergente si y solo sitodas las nuevas integrales lo son. Por ejemplo:

• Si f es continua en R, entonces∫ +∞−∞ f(x)dx =

∫ c−∞ f(x)dx +

∫ +∞c

f(x)dx, con c ∈ Rarbitrario.

• Si f es continua en el intervalo abierto (a, b) y vale infinito en ambos extremos a y b, entonces

escribiremos∫ baf(x)dx =

∫ caf(x)dx+

∫ bcf(x)dx, con c ∈ (a, b) arbitrario.

• Si f es continua en el intervalo abierto (a,+∞) y vale infinito en a, entonces escribiremos∫ +∞a

f(x)dx =∫ caf(x)dx+

∫ +∞c

f(x)dx, con c ∈ (a,+∞) arbitrario.• Si f es continua en todo R menos en un punto c donde vale infinito, entonces escribiremos∫ +∞−∞ f(x)dx =

∫ a−∞ f(x)dx+

∫ caf(x)dx+

∫ bcf(x)dx+

∫ +∞b

f(x)dx, para algunos a < c < b.

Ejemplo 12. (Muy importante) Las siguientes integrales impropias aparecen en incontables ocasiones:∫ 1

0

xαdx =

{1

α+1 , si α > −1 (convergente)

+∞, si α ≤ −1 (divergente)

∫ +∞

1

xαdx =

{ −1α+1 , si α < −1 (convergente)

+∞, si α ≥ −1 (divergente)

Veamos como se prueban estos resultados. Si α 6= −1, tenemos que∫ 1

0

xαdx = limε→0+

∫ 1

ε

xαdx = limε→0+

[xα+1

α+ 1

]x=1

x=ε

= limε→0+

1− εα+1

α+ 1=

{1

α+1 , si α > −1

+∞, si α < −1∫ +∞

1

xαdx = limM→+∞

∫ M

1

xαdx = limM→+∞

[xα+1

α+ 1

]x=M

x=1

= limM→+∞

Mα+1 − 1

α+ 1=

{ −1α+1 , si α < −1

+∞, si α > −1

Los calculos cuando α = −1 son mas simples. Concretamente,∫ 1

0

dx

x= limε→0+

∫ 1

ε

dx

x= limε→0+

[lnx]x=1

x=ε= − lim

ε→0+ln ε = +∞∫ +∞

1

dx

x= limM→+∞

∫ M

1

dx

x= limM→+∞

[lnx]x=M

x=1= limM→+∞

lnM = +∞. N

El lector debe convencerse de que si integra la funcion f(x) = xα en intervalos de la forma (0, b]y [b,+∞) con b > 0 arbitrario, se obtiene la misma clasificacion convergente/divergente que en elintervalo (0, 1] y [1,+∞), respectivamente. Eso es debido a que el caracter convergente/divergente deuna integral impropia solo depende del comportamiento del integrando cerca de los “puntos” dondela integral es impropia.

Ejemplo 13.∫ +∞

0xαdx =

∫ 1

0xαdx +

∫ +∞1

xαdx siempre es divergente, pues en el ejemplo anteriorhemos visto que al menos una de las dos integrales vale infinito. N

Ejemplo 14. Las siguientes integrales impropias son convergentes:∫ +∞

0

e−xdx = limM→+∞

∫ M

0

e−xdx = limM→+∞

[−e−x

]x=M

x=0= limM→+∞

(1− e−M

)= 1,∫ +∞

0

dx

1 + x2= limM→+∞

∫ M

0

dx

1 + x2= limM→+∞

[arctanx

]x=M

x=0= limM→+∞

arctanM = π/2,∫ 1

0

lnxdx = limε→0+

∫ 1

ε

lnxdx = limε→0+

[x lnx− x

]x=1

x=ε= limε→0+

(− 1− ε ln ε+ ε

)= −1.

La ultima primitiva se ha calculado integrando por partes, tomando u = lnx y dv = dx. El lımitelimε→0+ ε ln ε = 0 se calcula aplicando la regla de L’Hopital. N

Las dos ideas fundamentales para estudiar la convergencia de integrales impropias son:

• Usar el concepto de convergencia absoluta para reducir el estudio de las integrales impropiasde funciones que cambian de signo al caso de funciones positivas; y

12

• Aplicar los criterios de comparacion y del cociente para reducir el estudio de las integralesimpropias de funciones positivas complicadas al caso de funciones positivas mas sencillas.

Observacion. La interpretacion de la integral de funciones positivas como el area por debajo de lagrafica de la funcion ayuda a entender muchos de los resultados que a continuacion se dan sin pruebas.

Definicion. Diremos que una integral impropia de una funcion f(x) es absolutamente convergente sila correspondiente integral impropia de la funcion positiva |f(x)| es convergente.

Teorema. Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente.

Observacion. El recıproco no es cierto. Veremos en el ejemplo 19 que la integral∫ +∞

0sin xx dx es

convergente pero no absolutamente convergente.

Teorema (Criterios de comparacion). Los cuatro criterios de comparacion basicos son:

(1) Si las funciones f, g : [a,+∞) → R son continuas y 0 ≤ f(x) ≤ g(x) cuando x → +∞,entonces•∫g convergente ⇒

∫f convergente, y

•∫f divergente ⇒

∫g divergente.

(2) Idem si las funciones f, g : (−∞, b]→ R son continuas y 0 ≤ f(x) ≤ g(x) cuando x→ −∞.

(3) Idem si las funciones f, g : (a, b]→ R son continuas y 0 ≤ f(x) ≤ g(x) cuando x→ a+.

(4) Idem si las funciones f, g : [a, b)→ R son continuas y 0 ≤ f(x) ≤ g(x) cuando x→ b−.

La idea principal de la demostracion consiste en recordar la propiedad de monotonicidad de laintegral, luego 0 ≤

∫f ≤

∫g en los intervalos adecuados y, a continuacion, observar que toda integral

impropia de una funcion positiva o bien es convergente o bien es igual a +∞.

Ejemplo 15. Estudiar la convergencia de la integral impropia∫ +∞−∞ e−x

2

dx.

La funcion f(x) = e−x2

es par, luego∫ +∞−∞ f(x)dx = 2

∫ +∞0

f(x)dx. A priori, no podemos calcular

el valor exacto de esta integral, pues no conocemos ninguna primitiva de la funcion f(x). Por tanto,estudiaremos la convergencia aplicando el criterio de comparacion. Para ello, necesitamos encontraruna funcion g(x) que sı sepamos integrar tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) cuando x → +∞. Escogemosg(x) = e−x. Las funciones f(x) y g(x) son continuas en [0,+∞) y 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para toda

x ≥ 1. Efectivamente: x ≥ 1 ⇒ x2 ≥ x ⇒ −x2 ≤ −x ⇒ e−x2 ≤ e−x. Vimos en el ejemplo 14 que∫ +∞

0e−xdx = 1 < +∞. Por tanto,

∫ +∞−∞ e−x

2

dx = 2∫ +∞

0e−x

2

dx es convergente. N

Observacion. La integral impropia∫ +∞−∞ e−x

2

dx es bastante famosa y recibe el nombre de integralgaussiana, ver la figura 5. Es posible calcular su valor exacto usando tecnicas de calculo en varias

variables. Concretamente, vereis que∫ +∞−∞ e−x

2

dx =√π en la asignatura de Calculo 2.

Teorema (Criterios del cociente). Los cuatro criterios del cociente basicos son:

(1) Sean f, g : [a,+∞)→ R funciones continuas, positivas cuando x→ +∞ y ∃L = limx→+∞f(x)g(x) .

• Si L = 0, entonces:∫g convergente ⇒

∫f convergente;

• Si L = +∞, entonces:∫g divergente ⇒

∫f divergente; y

• Si 0 < L < +∞, entonces:∫f convergente ⇔

∫g convergente.

(2) Idem si f, g : (−∞, b]→ R son continuas, positivas cuando x→ −∞ y ∃L = limx→−∞f(x)g(x) .

(3) Idem si f, g : (a, b]→ R son continuas, positivas cuando x→ a+ y ∃L = limx→a+ f(x)/g(x).

(4) Idem si f, g : [a, b)→ R son continuas, positivas cuando x→ b− y ∃L = limx→b− f(x)/g(x).

Dada una integral impropia con un integrando positivo complicado f(x), buscaremos un integrandopositivo mas “sencillo” g(x) que nos permita aplicar el criterio del cociente adecuado. De cara a decidirque funcion g(x) debemos escoger, suele ser util estudiar el comportamiento de la funcion f(x) cercadel “punto” donde la integral original sea impropia.

13

Figure 5. La integral gaussiana (izquierda) y la integral de Dirichlet (derecha).

Ejemplo 16. Estudiar la convergencia de la integral impropia∫ +∞

1x2 arctan x2x3+sin x dx.

Estudiaremos la convergencia aplicando alguno de los criterios anteriores, ya que no conocemos

ninguna primitiva de la funcion f(x) = x2 arctan x2x3+sin x .

• Paso 1: ¿Donde es impropia la integral? La funcion f(x) es continua en el intervalo [1,+∞),pues el denominador no se anula cuando x ≥ 1. De hecho, 2x3 + sinx ≥ 2x3 − 1 ≥ 1 paratodo x ≥ 1. Por tanto, la integral solo es impropia en +∞.

• Paso 2: ¿Como se comporta f(x) cuando x → +∞? Estudiamos cada parte de f(x) porseparado. Por un lado, limx→+∞ arctanx = π/2, luego el numerador se comporta comoπx2/2 cuando x → +∞. Por el otro lado, sinx oscila entre −1 y 1, mientras que 2x3 crecesin parar cuando x → +∞, luego el denominador se comporta como 2x3 cuando x → +∞.Combinando estas observaciones, vemos que si x→ +∞, entonces f(x) se comporta como

g(x) =πx2/2

2x3=π

4x−1.

• Paso 3: Aplicar el criterio del cociente. La funcion g(x) = π4x−1 es positiva y

L = limx→+∞

f(x)

g(x)= limx→+∞

4x3 arctanx

π(2x3 + sinx)=

2

πlim

x→+∞

arctanx

1 + sin xx3

=2

π

π/2

1 + 0= 1.

Ademas,∫ +∞

1g(x)dx = π

4

∫ +∞1

x−1 dx es divergente, tal y como se vio en el ejemplo 12. Por

tanto, el criterio del cociente implica que la integral impropia∫ +∞

1f(x)dx es divergente. N

Ejemplo 17. Estudiar la convergencia de la integral impropia∫ +∞

01−cos5(x)2+ex+sin x dx.

Estudiaremos la convergencia aplicando alguno de los criterios anteriores, ya que no conocemos

ninguna primitiva de la funcion f(x) = 1−cos5(x)2+ex+sin x .

• Paso 1: ¿Donde es impropia la integral? La funcion f(x) es continua en el intervalo [0,+∞),pues el denominador no se anula cuando x ≥ 0. De hecho, 2 + sinx + ex ≥ 1 + ex ≥ 2 paratodo x ≥ 0. Por tanto, la integral solo es impropia en +∞.

• Paso 2: ¿Como se comporta f(x) cuando x → +∞? En primer lugar, la funcion f(x)es positiva cuando x → +∞, pues tanto el denominador como el numerador son positivos.Estudiamos cada parte de f(x) por separado. Concretamente, el numerador oscila entre losvalores 0 y 2, ya que cos5(x) oscila entre −1 y 1. Ademas, 2+sinx oscila entre 1 y 3, mientrasque ex crece sin parar cuando x → +∞, luego el denominador se comporta como ex cuandox→ +∞.

14

• Paso 3: Aplicar el criterio de comparacion. La funcion g(x) = 2e−x es facil de integrar y

0 ≤ f(x) =1− cos5(x)

2 + ex + sinx≤ 2

1 + ex≤ 2

ex= g(x),

para toda x ≥ 0. Ademas,∫ +∞

0g(x)dx = 2

∫ +∞0

e−xdx = 2 <∞ es convergente, tal y comose vio en el ejemplo 14. Por tanto, el criterio de comparacion implica que la integral impropia∫ +∞

0f(x)dx es convergente. N

Ejemplo 18. Estudiar la convergencia de la integral impropia∫ +∞

01−2 cos5(x)2+ex+sin x dx.

Esta integral parece casi igual que la anterior, pero contiene una dificultad adicional. El numerador

de la funcion h(x) = 1−2 cos5(x)2+ex+sin x oscila entre −1 y 3, luego cambia de signo infinitas veces cuando

x → +∞. Por tanto, no es posible aplicar directamente ninguno de los criterios. Sin embargo, sipodemos adaptar el razonamiento del ejemplo 17 a la funcion |h(x)|. Concretamente,

0 ≤ |h(x)| = |1− 2 cos5(x)|2 + ex + sinx

≤ 3

1 + ex≤ 3

ex,

para toda x ≥ 0. Por tanto,∫ +∞

0|h(x)|dx ≤ 3

∫ +∞0

e−xdx = 3, luego∫ +∞

0h(x)dx es absolutamente

convergente y, finalmente,∫ +∞

0h(x)dx es convergente. N

Ejemplo 19. La integral∫ +∞

0sin xx dx es convergente pero no absolutamente convergente.

Estudiaremos la convergencia aplicando alguno de los criterios anteriores, ya que no conocemosninguna primitiva de la funcion f(x) = sin x

x .

• Paso 1: La integral∫ +∞

0f(x)dx es convergente. En primer lugar, recordamos que si definimos

f(0) = 1, entonces f(x) es continua en x = 0. Por tanto, la integral∫ +∞

0f(x)dx solo es

impropia en +∞. Descomponemos la integral en dos partes:∫ +∞

0f(x)dx =

∫ 1

0f(x)dx +∫ +∞

1f(x)dx. La primera integral definida no es impropia, luego tiene un valor finito. Para

probar la convergencia de la segunda, integramos por partes:∫ +∞

1

sinx

xdx =

[u = x−1, du = −x−2 dxdv = sinxdx, v = − cosx

]= limM→+∞

([−cosx

x

]x=M

x=1−∫ M

1

cosx

x2dx

)

= cos(1)− limM→+∞

(cosM

M+

∫ M

1

x−2 cosxdx

)= cos(1)−

∫ +∞

1

x−2 cosxdx.

La funciones h(x) = x−2 cosx y g(x) = x−2 son continuas y 0 ≤ |h(x)| ≤ g(x) para todo

x ≥ 1. Ademas,∫ +∞

1g(x) =

∫ +∞1

x−2 dx = 1 < ∞, tal y como se vio en el ejemplo 12.

Por tanto, aplicando el criterio de comparacion obtenemos que∫ +∞

1h(x)dx es absoluta-

mente convergente, luego∫ +∞

1h(x)dx tambien es convergente. En particular,

∫ +∞1

f(x)dx =

cos(1)−∫ +∞

1h(x)dx es convergente.

• Paso 2: La integral∫ +∞

0|f(x)|dx es divergente. Empezamos con una desigualdad sencilla:

x ∈ R⇒ 0 ≤ | sinx| ≤ 1⇒ sin2 x ≤ | sinx| ⇒ |f(x)| =∣∣∣∣ sinxx

∣∣∣∣ ≥ sin2 x

x=

1

2x− cos 2x

2x.

Esto es todo lo que se necesita para probar el caracter divergente, pues∫ +∞

0

|f(x)|dx ≥∫ +∞

1

|f(x)|dx ≥ 1

2

∫ +∞

1

x−1 dx−∫ +∞

1

cos 2x

2xdx = +∞− 1

2

∫ +∞

2

cos t

tdt = +∞.

Al final hemos usado que la integral∫ +∞

1x−1 dx es divergente (lo vimos en el ejemplo 12),

mientras que la integral∫ +∞

2cos tt es convergente (esto se prueba mediante una integracion

por partes completamente analoga a la efectuada en el primer paso). N

15

Observacion. La integral impropia∫ +∞

0sin xx dx tambien es famosa y recibe el nombre de integral

de Dirichlet, ver la figura 5. En el ejemplo anterior hemos probado que la integral de Dirichlet esconvergente pero no absolutamente convergente. Eso significa que la suma de las areas positivas ynegativas (area roja mas area verde) es igual a infinito, mientras que la diferencia (area roja menos areaverde) da un valor finito. De hecho, es posible calcular ese valor finito exacto usando transformadas

de Laplace. Concretamente,∫ +∞

0sin xx dx = π/2.

EDOs de primer orden

Estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de primer orden en forma normal:

y′ = h(x, y),

donde h : U → R es una funcion “suficientemente regular” en un abierto U ⊂ R2. Buscamos sussoluciones; es decir, funciones derivables y(x) definidas en un intervalo abierto I ⊂ R tales que

y′(x) = h(x, y(x)), ∀x ∈ I.

A continuacion, introducimos algunos conceptos:

• La solucion general de una EDO es el conjunto de todas sus soluciones;• Cualquier elemento de la solucion general recibe el nombre de solucion particular ;• Las soluciones pueden expresarse en forma explıcita: y = y(x) o implıcita: U(x, y) = 0; y• Si una EDO de primer orden orden no esta en forma normal, podemos intentar normalizarla

(es decir, despejar la derivada y′), aunque entonces pueden aparecer algunos puntos singulares(es decir, puntos donde la funcion h(x, y) ası obtenida no es “suficientemente regular”).

La solucion general de una EDO de primer orden suele ser un conjunto de soluciones que dependede una constante de integracion c ∈ R que queda libre. Esta constante se suele determinar imponiendoque la solucion de la ecuacion cumpla una condicion inicial (c. i.) de la forma

y(x0) = y0.

Diremos que x0 es el punto inicial y que y0 es el valor inicial.

Teorema (Teorema de existencia y unicidad para EDOs de primer orden). Si la funcion h(x, y) esde clase C1 en un abierto W ⊂ R2 y (x0, y0) ∈W , entonces el problema de valor inicial (PVI)

y′ = h(x, y), y(x0) = y0

tiene exactamente una solucion local; es decir, una unica solucion definida en un intervalo abiertoI ⊂ R que contiene al punto inicial x0.

En la asignatura de Calculo 2 se explica que significa que una funcion h(x, y) sea de clase C1 enun abierto W ⊂ R2. Para nuestros propositos actuales basta saber que las sumas, restas, productos,cocientes y composiciones de polinomios, exponenciales, logaritmos y funciones trigonometricas ehiperbolicas son de clase C1 en sus correspondientes dominios.

Solo estudiamos las EDOs de primer orden listadas en el siguiente cuadro.A continuacion explicamos como se obtienen estas soluciones.Empezamos por la ecuacion y′ = f(x), cuyas soluciones son, por definicion, las primitivas de f . Su

solucion general es y(x) = F (x) + c, pues las primitivas de f difieren entre ellas en una constante de

integracion. Tambien podemos usar la notacion y′ = dydx y operar con los diferenciales dy y dx:

y′ = f(x)⇔ dy = f(x)dx⇔ y =

∫dy =

∫f(x)dx = F (x) + c.

Al imponer la condicion inicial y(x0) = y0, la constante de integracion es c = y0 − F (x0), luego

y(x) = y0 + F (x)− F (x0) = y0 +[F (t)

]t=xt=x0

= y0 +

∫ x

x0

f(t)dt.

16

EDO Tipo Solucion general Solucion del PVI

y′ = f(x)Calculo deprimitiva

y(x) = F (x) + c y(x) = y0 +∫ xx0f(t)dt

g(y)y′ = f(x)EDO

separableG(y) = F (x) + c

(en forma implıcita)

∫ yy0g(s)ds =

∫ xx0f(t)dt

(en forma implıcita)

y′ = a(x)yEDO linealhomogenea

yh(x) = ceA(x) y(x) = y0 exp(∫ x

x0a(t)dt

)y′ = a(x)y + b(x)

EDOlineal no

homogenea

yg(x) = yh(x) + yp(x)yp(x) = V (x)eA(x)

V (x) =∫

e−A(x)b(x)dx

Se determina c ∈ Rimponiendo la c. i.

y(x0) = y0

P (x, y) +Q(x, y)y′ = 0

con ∂P∂y = ∂Q

∂x

EDOexacta

U(x, y) = csi ∂U

∂x = P y ∂U∂y = Q

(en forma implıcita)

U(x, y) = U(x0, y0)(en forma implıcita)

Table 2. Las EDOs de primer orden mas simples y sus soluciones. Las funcionesF (x), G(y) y A(x) son primitivas arbitrarias de las funciones f(x), g(y) y a(x).

Operamos de nuevo con los diferenciales para obtener la solucion general de la EDO separable:

g(y)y′ = f(x)⇔ g(y)dy = f(x)dx⇔ G(y) =

∫g(y)dy =

∫f(x)dx = F (x) + c.

Al imponer la condicion inicial y(x0) = y0, la constante de integracion es c = G(y0)− F (y0), luego∫ y

y0

g(s)ds =[G(s)

]s=ys=y0

= G(y)−G(y0) = F (x)− F (x0) =[F (t)

]t=xt=x0

=

∫ x

x0

f(t)dt.

Ejemplo 20. Consideramos la EDO de primer orden separable yy′ + x = 0. No esta en forma normal,pero podemos normalizarla:

y′ = h(x, y) = −x/y.La funcion h(x, y) = −x/y no esta definida en y = 0. Por tanto, la EDO es singular en la recta{y = 0} y trabajaremos en el abierto W = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}. Resolvemos la EDO:

dy

dx= −x

y⇔ y2/2 =

∫ydy = −

∫xdx = −x2/2 + c, c ∈ R⇔ x2 + y2 = r2, r2 = 2c > 0.

Esta es la solucion general en forma implıcita. Las curvas obtenidas son circunferencias centradas enel origen. En este caso, no resulta dıficil despejar la funcion incognita y = y(x) en la relacion implıcitapara obtener la solucion general en forma explıcita:

y = ±√r2 − x2, x ∈ I = (−r, r), r > 0.

Constatamos que la forma explıcita deja de estar bien definida cuando las circunferencias-solucionintersecan a la recta de puntos singulares. N

Teorema. Si A(x) es una primitiva de a(x) y V (x) es una primitiva de e−A(x)b(x), entonces:

(1) yh(x) = ceA(x), c ∈ R, es la solucion general de la EDO lineal homogenea y′ = a(x)y.

(2) y(x) = y0 exp(∫ x

x0a(t)dt

)es la solucion del PVI lineal homogeneo y′ = a(x)y, y(x0) = y0.

(3) yp(x) = V (x)eA(x) es una solucion particular de la EDO lineal no homogenea y′ = a(x)y+b(x).(4) yg(x) = yh(x)+yp(x) es la solucion general de la EDO lineal no homogenea y′ = a(x)y+b(x).

Proof. (1) La EDO lineal homogenea y′ = a(x)y es un caso especial de EDO separable:

y′ = a(x)y ⇔ ln |y| =∫

dy

y=

∫a(x)dx = A(x) + k, k ∈ R⇔ y(x) = ceA(x), c = ±ek 6= 0.

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La funcion y(x) ≡ 0 tambien es una solucion de la EDO, luego podemos quitar la restriccionc 6= 0 y decir que c ∈ R. Veamos donde la hemos perdido, para que no vuelva a pasar.El problema ha sido dividir por y, lo cual requiere estudiar el caso y = 0 por separado. Apartir de ahora, cada vez que resolvamos una EDO separable tendremos cuidado en no perderninguna solucion por el camino. Finalmente, comprobamos que no nos hemos dejado ningunaotra solucion. Si y(x) es una solucion cualesquiera de la EDO lineal homogenea y′ = a(x)y,entonces(e−A(x)y(x)

)′= −A′(x)e−A(x)y(x) + e−A(x)y′(x) =

(− a(x)y(x) + a(x)y(x)

)e−A(x) ≡ 0.

Esto implica que la funcion e−A(x)y(x) es constante, luego y(x) = ceA(x) para alguna c ∈ R.(2) Al imponer la c. i. y(x0) = y0, vemos que c = y0e−A(x0). Por tanto, la solucion del PVI es

y(x) = y0 exp(A(x)−A(x0)

)= y0 exp

([A(t)

]t=xt=x0

)= y0 exp

(∫ x

x0

a(t)dt

).

(3) y′p(x) = V ′(x)eA(x) + V (x)A′(x)eA(x) = e−A(x)b(x)eA(x) + V (x)a(x)eA(x) = a(x)yp(x) + b(x).(4) Basta observar que y(x) es una solucion de la EDO lineal no homogenea y′ = a(x)y + b(x) si

y solo si z(x) = y(x)− yp(x) es una solucion de la EDO lineal homogenea z′ = a(x)z. �

Ejemplo 21. La solucion general de la EDO lineal homogenea y′ = y/x, definida en x > 0, es

yh(x) = c exp

(∫dx

x

)= c exp(lnx) = cx, c ∈ R. N

Ejemplo 22. Resolver el PVI formado por la EDO lineal homogenea y′ = λy y la c. i. y(x0) = y0.La solucion del PVI es yh(x) = y0 exp

( ∫ xx0λdt

)= y0eλ(x−x0). N

Ejemplo 23. Resolver el PVI formado por la EDO lineal no homogenea y′ = λy+b y la c. i. y(x0) = y0.

• Paso 1: Resolver la EDO lineal homogenea. La solucion general de y′ = λy es

yh(x) = ce∫λdx = ceλx, c ∈ R.

• Paso 2: Encontrar una solucion particular. Como A(x) = λx es una primitiva de a(x) ≡ λ,

U(x) =

∫e−λxbdx = −be−λx/λ.

Por tanto, yp(x) = U(x)eA(x) = −b/λ es una solucion particular de la EDO lineal no ho-mogenea.

• Paso 3: Imponer la c.i. La solucion general de la EDO lineal no homogenea es

yg(x) = yh(x) + yp(x) = ceλx − b/λ, c ∈ R.

Al imponer que y(x0) = y0, vemos que c = (y0 + b/λ)e−λx0 , luego

y(x) = (y0 + b/λ)eλ(x−x0) − b/λ

es la solucion del PVI. N

Ejercicio. Las formulas del ejemplo 23 no son validas cuando λ = 0. Probar que si y(x) es la solucionencontrada en ese ejemplo, entonces limλ→0 y(x) = y0 + b(x− x0). Comprobar que el lımite anteriores la solucion del PVI y′ = b, y(x0) = y0.

Definicion. La EDO P (x, y) +Q(x, y)y′ = 0 es exacta cuando∂P

∂y=∂Q

∂x.

Los sımbolos ∂∂x y ∂

∂y denotan las derivadas parciales respecto x e y de funciones que dependen

de esas dos variables. El concepto de derivada parcial se define en la asignatura de Calculo 2. Paranuestros actuales propositos, basta saber que la derivada parcial respecto una variable se calculaderivando respecto esa variable y considerando la otra como si fuera una constante.

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Ejemplo 24. La EDO P (x, y) +Q(x, y)y′ = 0, P (x, y) = 2x+ 1/y y Q(x, y) = 1/y − x/y2, es exacta:

∂P

∂y= − 1

y2=∂Q

∂x.

La solucion general en forma implıcita de la EDO exacta P (x, y) +Q(x, y)y′ = 0 es

U(x, y) = c,

donde U(x, y) es cualquier funcion que cumpla las condiciones ∂U∂x = P y ∂U

∂y = Q. Efectivamente.

Derivando implıcitamente la relacion U(x, y) = c respecto la variable x, vemos que

P (x, y) +Q(x, y)y′ =∂U

∂x(x, y) +

∂U

∂y(x, y)y′ =

d

dx

[U(x, y)

]=

d

dx

[c]

= 0.

Ejemplo 25. Resolver la EDO exacta del ejemplo anterior.

∂U

∂x= P = 2x+ 1/y ⇒ U(x, y) =

∫(2x+ 1/y)dx = x2 + x/y + k(y)

⇒ k′(y)− x/y2 =∂U

∂y= Q = 1/y − x/y2 ⇒ k′(y) = 1/y

⇒ k(y) =

∫dy

y= ln |y| ⇒ U(x, y) = x2 + x/y + ln |y|.

Por tanto, la solucion general en forma implıcita de la EDO es x2 + x/y + ln |y| = c, c ∈ R. N

Pocas EDOs de la forma P (x, y) +Q(x, y)y′ = 0 son exactas, pero algunas se pueden convertir enexactes si las multiplicamos por un factor adecuado.

Definicion. µ(x, y) es un factor integrante de la EDO P + Qy′ = 0 si la EDO µP + µQy′ = 0 es

exacta; es decir, si∂(µP )

∂y=∂(µQ)

∂x.

Encontrar factores integrantes es una tarea titanica, pero se simplifica mucho cuando el factorintegrante solo depende de una variable:

(1) Si K =

∂P∂y −

∂Q∂x

Qno depende de y, entonces µ(x) = e

∫K(x)dx es un factor integrante.

(2) Si K =

∂Q∂x −

∂P∂y

Pno depende de x, entonces µ(y) = e

∫K(y)dy es un factor integrante.

Ejemplo 26. Resolver el PVI y2/2 + 2yex + (y+ ex)y′ = 0, y(0) = −2, sabiendo que la EDO asociadaadmite un factor integrante de la forma µ = µ(x). Expresar la solucion en forma explıcita.

En este caso, P (x, y) = y2/2 + 2yex y Q(x, y) = y + ex. La funcion

K(x) =

∂P∂y −

∂Q∂x

Q=y + 2ex − ex

y + ex≡ 1

no depende de y, luego µ(x) = e∫

dx = ex es un factor integrante y la EDO P (x, y) + Q(x, y)y′ = 0,

P (x, y) = µ(x)P (x, y) = exy2/2 + 2e2xy, Q(x, y) = µ(x)Q(x, y) = exy + e2x,

es exacta. Buscamos una funcion U(x, y) adecuada:

∂U

∂x= P = exy2/2 + 2e2xy ⇒ U(x, y) =

∫ (exy2/2 + 2e2xy

)dx = exy2/2 + e2xy + k(y)

⇒ exy + e2x + k′(y) =∂U

∂y= Q = exy + e2x ⇒ k′(y) = 0

⇒ k(y) =

∫0dy = 0⇒ U(x, y) = exy2/2 + e2xy.

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Por tanto, la solucion general en forma implıcita de la EDO es exy2/2 + e2xy = c, c ∈ R. Finalmente,determinamos la constante de integracion imponiendo la condicion inicial:

(x0, y0) = (0,−2)⇒ exy2/2 + e2xy = ex0y20/2 + e2x0y0 = 2− 2 = 0⇒ y(x) = −2ex. N

Acabamos este tema con una lista muy incompleta de aplicaciones donde aparecen EDOs de primerorden como las aquı descritas (calculo de primitivas, EDOs separables y EDOs lineales):

• Calcular el tiempo que tarda un compuesto granular en disolverse;• Calcular la semivida de materiales radioactivos;• Datar muestras por el metodo del Carbono-14;• Calcular el tiempo que tarda en vaciarse un deposito de lıquido con un pequeno agujero;• Calcular la concentracion de un contaminante en un lago; y• Calcular la velocidad terminal de una paracaidista.

Todas estas aplicaciones estan descritas en la lista de problemas del tema.