Ing. Asunción Montes Pacheco Departamento de Ingeniería Área de Matemáticas

Algebra Lineal Primavera ‘02

INSTRUMENTO DE APRENDIZAJE 3 PERIODO PRIMAVERA 2002

NOMBRE: __________________________________________ MATRICULA:_____________ ESCUELA:____________________________ FECHA:____________ CALIF: ____________ TEMA: APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES TUS OBJETIVOS: •

Adquirir una metodología para la solución de problemas de aplicación en matemáticas. •

Construir modelos matemáticos asociados a problemas de aplicación de sistemas de ecuaciones lineales.

• Interpretar y redactar las soluciones de los problemas de aplicación.

Vas a empezar este instrumento aplicando un modelo ya definido para un problema específico de aplicación del Álgebra Lineal: Ajuste Polinomial de Curvas.

1. Supón que una colección de datos está representada por n puntos conocidos

( ) ( ) ( ) ( )nn yxyxyxyx ,,...,,,,, 332211 en el plano xy, y que se te pide encontrar una función polinomial que pase por dichos puntos. El grado máximo del polinomio al que se pueden ajustar tus puntos será n-1. Como cada uno de los puntos debe estar sobre la gráfica del polinomio podemos establecer las siguientes ecuaciones para cada uno de ellos:

nnnnnnn

nn

nn

yxaxaxaxaa

yxaxaxaxaayxaxaxaxaa

=+++++

=+++++

=+++++

−−

−−

−−

11

33

2210

21

21323

222210

11

11313

212110

�

������

�

�

a) Identifica los componentes de cada polinomio

# ECUACIÓN INCÓGNITAS COEFICIENTES CONSTANTE GRADO

� � � � �

b) Clasifica el sistema de ecuaciones de acuerdo al número de ecuaciones, número de incógnitas y el grado de éstas.

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c) Obtén el sistema de ecuaciones asociado al ajuste polinomial de segundo grado

para el conjunto de puntos siguientes: ( ) ( ) ( )1230241 ,,,,,

Primero escribe el modelo matemático correspondiente (sistema de ecuaciones): ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=++

=++

=++

2210

2210

2210

aaa

aaa

aaa

d) Como segundo paso, resuelve el sistema de ecuaciones usando Gauss Jordan.

→

→

→

→

→

→

Matriz Resultante:

Por lo tanto los valores de las incógnitas buscadas son: , ______=0a

_______, =1a _______. =2a .

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e) Ahora, es necesario interpretar los resultados de acuerdo con el contexto del problema, lo que buscas es una ecuación polinomial de segundo grado, entonces la respuesta matemática al problema es:

( ) ________________=xp

f) Por último, redacta la respuesta de manera que se entienda el objetivo y el

resultado de el problema:

La representación gráfica del problema es:

Siguiendo los mismos pasos del ejercicio 1, resuelve el siguiente problema: 2. Encuentra un polinomio que relacione el periodo de los tres primeros planetas con su

distancia media al Sol, como se muestra en la tabla. Luego prueba la exactitud del ajuste por medio del polinomio para calcular el periodo de Marte. (La distancia se mide en unidades astronómicas y el periodo en años).

PLANETA Mercurio Venus Tierra Marte

Distancia Media 0.387 0.723 1.0 1.523 Periodo 0.241 0.615 1.0 1.881