instituto politecnico nacional escuela superior de f sica
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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
Escuela Superior de Fısica y Matematicas
Modelos de poblacion Lotka-Volterra estocasticos
TESISQUE PARA OBTENER EL TITULO DE
MAESTRO EN CIENCIAS FISICOMATEMATICAS
PRESENTAMario Rene Hernandez Vazquez
Director de Tesis
Dr. Trivellore Eachambadi Govindan
Mexico D. F. enero de 2011
stP-13
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
Posgrado e Investigac¡ón de20 del mes de Enero de 2010
presentada por el(la) alumno(a):Hernández
Con registro:
Asoirante de: Maestro en Ciencias Fisicomatemát¡cas
1 .- Se designa al aspirante el tema de tesis t¡tulado:"Modelos de población Lotka-Volterra estocásticos"
SECRETARIA DE INVESTIGACION Y POSGRADO
ACTA DE REG/SIRO DE TEMA DE IES/SY DESIGNACIÓN DE DIRECTOR DE IES/S
México, D.F. a 10 de Diciembre del 2010
El Coleg¡o de Profesores de Estudios deOrdinaria No. 01 celebrada el día
ESFM en su sesronconoció la solicitud
René
De manera general el tema abarcará los siguientes aspectos:
2.- Se designa como Director de Tesis al Profesor:Dr. Govindan Trivellore Eachambadi
3.- El trabajo de investigación base para el desarrollo de la tesis será elaborado por el alumno en:El Departamento de Matemáticas
que cuenta con los recursos e infraestructura necesarios.
4.- El interesado deberá asistir a los seminar¡os desarrollados en el área de adscripción deltrabajo desde la fecha en que se suscribe la presente hasta la aceptación de la tesis porla Comisión Revisora correspondiente:
Directo(a) de Te.sis
Dr. Govindan Tr¡vellore Eachambad¡
Aspirante Pres¡dente del Co
-'¿'-Velá4¡Uea¡ .. ...,pi:jiri)i*: i-t )
!rFlc:A r ;¡'.TÉ I'l/rllc:¡ 5! . F i N.
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Vezquez
srP-'14
INSTITUTO POLITECNICO NACIONALSECRETARIA DE INVESTIGACION Y POSGRADO
ACTA DE REYIS/ÓN DE IES/S
En la Ciudad México, D. F., siendo las 1l:00 horas del día 28 del mes deEnero del 2011 sq reunieron los miembros de la Comisión Revisora de Tesis, designada
por el Colegio de Profesores de Estudios de Posgrado e Investigación de
oara examinar la tesis titulada:"Modelos de población Lotka-Volterra estocásticos"
Presentada por el alumno:
aspirante de:Maestro en C¡encias Fis¡comatemáticas
Después de intercambiar op¡niones, los miembros de la Comisión manifestaron APROBAR LADEFENSA DE LA IESIS, en virtud de que satisface los requisitos señalados por lasdisposiciones reglamentarias vigentes.
LA COMISIÓN REVISORA
Director(a) de tes¡s
/ \ ,J.U
ffi
PRESTDENTE DEL COLEGTO QE P
',.¿<:,-n ' ,.'l
/:
?1-.¿z¿-'2¡mirovich Kucherenko
Dr.
INSTITATO POLITECNICO NACIONALSECRETANA DE IAI/ESTIGACIóN Y POSGR.DO
CARTA CESION DE DERECHOS
En la Ciudad de México D. F. el dia 28 del mes enero d€l año 2011, el que susc¡ibe ¡t¿¡i¿
René Hernóndez Vázq¿¿z alumno del P¡og¡ama de Maestría en Ciencia-t Fisicohaternáticts
con número de rcgistro A090527, adscrito a la Escaela Superior de Fítica ! Malerr¡tílicos,
marúfiesta que es auto¡ (a) intelectual del presente t¡abajo de Tesis bajo la dirección del Dr.
Tfitellorc Eachambadi Govindan y cede los derechos del trabajo intitulado Modelos de
población Lorka-Volleüa ¿rloc.ir1ic¿.r, al Instituto Politécnico Nacional para su diñrión, con
hnes académicos v de investigación.
Los r¡sua¡ios de la información no deben reproducir el contenido textual, g¡áficas o datos del
trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido
esqribiendo a la siguiente dirección mhe¡nandezv020&@ipn.mx. Si el permiso se otorg4 el
usuario deberá dar e1 agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.
Müio René H€má¡dez Vá74ue2
Indice general
Resumen 5
Abstract 6
Agradecimientos 7
1. Introduccion 8
2. Preliminares 16
2.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Procesos estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2. Calculo estocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Ecuaciones diferenciales estocasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Existencia y unicidad de una solucion global positiva 27
3.1. Solucion global positiva para el modelo CC . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Solucion global positiva para el modelo CFT . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Propiedades asintoticas de las soluciones 35
4.1. Estabilidad de soluciones positivas para CC . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1. Acotamiento definitivo para CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.2. Propiedades asintoticas casi seguramente para CC . . . . . . . . 38
4.2. Estabilidad de soluciones positivas para CFT . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 INDICE GENERAL
4.2.1. Acotamiento definitivo para CFT . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.2. Propiedades asintoticas casi seguramente para CFT . . . . . . . 42
4.2.3. Probabilidad de extincion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3. Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Conclusiones 50
Bibliografıa 53
Resumen
En el presente trabajo se estudian dos modelos de poblacion Lotka-Volterra es-
tocasticos diferentes. Primero se estudia la existencia y unicidad de una solucion global
positiva. Luego se analizan algunas propiedades asintoticas (casi seguras) de tales solu-
ciones como acotamiento definitivo (ultimate boundedness), una propiedad asintotica
de las trayectorias, una propiedad del promedio en el tiempo del segundo momento de
la solucion y la probabilidad de extincion. De la misma manera se hace una discusion
y comparacion entre estas dos versiones y con otros modelos Lotka-Volterra.
Abstract
In this work two different stochastic Lotka-Volterra population models are stu-
died. First we study the existence and uniqueness of a positive global solution. Then
some almost sure asymptotic properties are analyzed such as ultimate boundedness, an
asymptotic property of the sample paths of the solution, the average in time of the se-
cond moment of the solution and extinction probabilities. A discussion and comparison
between these two models is made as well as with the other Lotka-Volterra models.
Agradecimientos
Quisiera externar mis mas sinceros agradecimientos al Instituto Politecnico Nacional y
al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa por haberme apoyado durante la realiza-
cion de mis estudios de maestrıa.
De la misma manera, quisiera agradecerle a los doctores Valeri Kucherenko Golovchen-
ko, Alin Andrei Carsteanu, Luis Manuel Tovar Sanchez, Carlos Ibarra Valdez y Juan
Ruiz de Chavez Somoza por sus valiosos comentarios, correciones, tiempo y atencio-
nes. Quisiera expresar un agradecimiento especial para el Dr. Trivellore Eachambadi
Govindan por todo el tiempo que nos dedicaba a los que tuvimos la suerte de ser sus
alumnos y por nunca dudar en ayudarnos cuando las circunstancias se lo permitıan.
Gracias por ensenar dentro y fuera de las aulas.
A todos mis amigos y companeros por ser parte de todos mis dıas.
Finalmente a mi familia, Chief, Nena, Abue, Mane, Lop y Gaba, sin la cual nada
tendrıa sentido. Muchas Gracias.
Capıtulo 1
Introduccion
El estudio de las poblaciones de diferentes especies se vuelve cada vez mas im-
portante por diferentes razones: pudieran ser razones comerciales, podrıa tratarse de
una especie en peligro de extincion y queremos saber como va cambiando esa poblacion
en el tiempo, etc. El estudio de modelos que describan el comportamiento de dichas
especies no es solo interesante sino necesario.
El trabajo mas relevante para nosotros en el estudio de poblaciones fue el publi-
cado por Vito Volterra en 1931 ”Lecons sur la theorie mathematique de la lutte pour la
vie”. Estamos particularmente interesados en ese trabajo porque fue el punto de partida
para el analisis del crecimiento de varias especies que interactuan. En 1924, el biologo
italiano D’Ancona introdujo a Volterra en los problemas de la biologıa matematica
[22]. En los anos posteriores a la primera guerra mundial, se encontro que en el mar
Adriatico, la proporcion de peces depredadores era considerablemente mas alta que en
los anos anteriores a la guerra, mientras que la poblacion de peces presas era baja.
Obviamente la ruptura de los ciclos de pesca se debıa a las constantes agresiones entre
Austria e Italia, pero ¿porque esas condiciones favorecıan a los peces depredadores y
no a las presas?
9
Volterra denoto por x a la cantidad de peces presa y por y a los peces depredadores
y propuso un par de ecuaciones diferenciales ordinarias para describir el crecimiento de
las dos especies. Considero que la tasa de crecimiento de las presas es una constante
positiva a en caso de que no exista ningun depredador. Mas aun, supuso que la tasa
de crecimiento decrece linealmente como una funcion de la densidad de depredadores,
esto en lenguaje matematico se escribe de la siguiente forma:
dx
dt= ax− bxy, a, b > 0.
Para la especie depredadora considero que su numero debıa disminuir exponen-
cialmente hasta cero en la ausencia de presas y su tasa de crecimiento es estimulada
por una mayor densidad de x. Es decir,
dy
dt= −cy + hxy, c, h > 0.
De esta manera tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
dx
dt= ax− bxy
dy
dt= −cy + hxy. (1.1)
10 Introduccion
Este modelo tambien fue estudiado por Lotka en 1920 haciendo estudios sobre
dinamica de reacciones quımicas autocatalıticas. Por lo tanto al modelo (1.1) se le llama
modelo de Lotka-Volterra para interacciones de presa-depredador.
Existen tres soluciones inmediatas para la ecuacion (1.1). Si x(0) = 0 y y(0) = 0
entonces x(t) = y(t) = 0 para todo t > 0. Si x(0) = 0 y y(0) > 0 entonces x(t) = 0 y
y(t) = y(0)e−ct. Finalmente si x(0) > 0 y y(0) = 0 entonces x(t) = x(0)eat y y(t) = 0.
Las interpretaciones de las soluciones son las siguientes: la densidad de las presas o
depredadores es cero para todos los tiempos futuros si su estado inicial es cero. Si los
depredadores no tienen comida (en la ausencia de presas), se extinguiran, es decir,
y(t) → 0 si t → ∞. En ausencia de depredadores, la poblacion de las presas se va a
infinito.
Ahora seleccionemos x(0) > 0 y y(0) > 0. Primero notemos que para x(0) =
c/h = x∗ y y(0) = a/b = y∗, las cantidades de presas y depredadores no cambian, es
decir, x(t) = x∗ y y(t) = y∗ para t > 0. Esto es porquedx
dt(0) = 0 y
dy
dt(0) = 0. Si
usamos x∗ y y∗, (1.1) puede escribirse de la siguiente forma:
dx
dt= bxy∗ − bxy,
dy
dt= −hyx∗ + hxy. (1.2)
Por lo tanto los signos dedx
dtydy
dtdependen de si x y y son mayores o menores
que x∗ y y∗ respectivamente y de esta manera el cuadrante positivo R2+ = (x, y) ∈ R2 :
x ≥ 0, y ≥ 0 es dividido en 4 regiones. El patron de los signos de (x∗, y∗) se obtiene
de (1.2) y sugiere que las orbitas de (1.1) se mueven en sentido levogiro alrededor
de (x∗, y∗). De hecho este movimiento es periodico. Si la primera ecuacion en (1.2) se
multiplica por h(x∗−x) y la segunda se multiplica por b(y∗−y) y se suman, obtenemos
h
(1− x∗
x
)dx
dt+ b
(1− y∗
y
)dy
dt= 0
od
dt
[h(x− x∗ log x) + b(y − y∗ log y)
]= 0. (1.3)
11
Definimos
V (x, y) = h(x− x∗ log x) + b(y − y∗ log y) (1.4)
y entonces (1.3) es equivalente a
V (x, y) = constante, para todo t > 0. (1.5)
Es decir, la funcion V definida como en (1.4) permanece constante en las orbitas de
(1.1).
No es nuestro objetivo demostrar que las orbitas de (1.1) son periodicas. Sin
embargo, si damos por hecho la periodicidad de las orbitas y consideramos que su
periodo es T , es facil probar que los promedios de x(t) y y(t) son constantes y satisfacen
1
T
∫ T
0
x(t)dt = x∗ =c
h,
1
T
∫ T
0
y(t)dt = y∗ =a
b.
Finalmente estamos en condiciones para la respuesta de Volterra al problema
propuesto por D’Ancona. Supongamos que la pesca reduce la tasa de reproduccion
constante de las presas de a hasta a − i e incrementa la tasa de mortalidad de los
depredadores de c a c+ f . Aquı i y f son constantes positivas. Entonces un sistema de
presa-depredador con pesca puede describirse por el sistema (1.1) con a− i y c+ f en
lugar de a y c respectivamente. Si a > i, entonces antes de la guerra y con pesca, los
promedios de las poblaciones son x∗∗ = (c+f)/h para las presas y y∗∗ = (a− i)/b para
depredadores. Claramente x∗ < x∗∗ y y∗ > y∗∗. La interrupcion de la pesca durante la
guerra llevo a un incremento de los depredadores (de y∗∗ a y∗) y a una disminucion de
presas (de x∗∗ a x∗).
Existen varias generalizaciones para el modelo (1.1), por ejemplo:
dx
dt= ax− gx2 − bxy,
dy
dt= −cy + hxy, (1.6)
donde a, b, c, g y h son constantes positivas. Notese que ahora el crecimiento de la presa
sin depredadores es descrito por la ecuacion logıstica dx/dt = ax−gx2. Ahora contamos
12 Introduccion
con un mecanismo que restringe el crecimiento de las presas y no tiene que ver con la
cantidad de depredadores.
Otra generalizacion que es un poco mas cercana a los objetivos de esta tesis es
el modelo clasico de Lotka-Volterra para n especies que interactuan con coeficientes
constantes. Este modelo esta descrito por la ecuacion diferencial n-dimensional:
dx(t)
dt= diag
(x1(t), . . . , xn(t)
)[b+ Ax(t)
], t > 0, (1.7)
donde diag(x1(t), . . . , xn(t)
)es una matriz diagonal, x = (x1, . . . , xn)′, b = (b1, . . . , bn)′
y A = (aij)n×n es una matriz.
En este modelo, la matriz A es conocida como la matriz de interaccion y el signo
de aij depende del tipo de relacion que presenten la especie i y la j. Si es una relacion
de mutualismo, el signo sera positivo. Si es una relacion de presa-depredador, el signo
sera negativo.
Nuestro objetivo inmediato ahora es introducir algun termino que represente
cierto grado de aleatoriedad, por eso, es razonable considerar ahora que los sistemas
de poblacion estan sujetos a “ruido” ambiental. Con ruido nos referimos a ciertos
acontecimientos que no son controlables, es decir, son aleatorios por ejemplo: epidemias,
sequıas, inundaciones, etc. Al modelo (1.7) puede incorporarsele el ruido blanco de
diferentes maneras (ver [15]); una de ellas es sustituir el termino bi por lo siguiente:
bi +n∑j=1
gijxjξ(t).
De esta manera, la ecuacion (1.7) queda de la siguiente manera:
dx(t) = diag(x1(t), . . . , xn(t)
)([b+ Ax(t)
]dt+Gx(t)dw(t)
), t > 0, (1.8)
x(0) = x0,
donde G es la matriz de intensidad del ruido. Esto es porque en sentido generalizado,
el ruido blanco es la derivada del proceso de Wiener [1, p. 46]. Al modelo (1.8) tam-
bien vamos a llamarlo modelo CC por tener coeficientes constantes. Notemos que al
13
introducir el ruido de esta manera, estamos considerando que la intensidad del ruido
depende del tamano de las poblaciones.
El modelo (1.7) puede acercarse un poco mas a la realidad si consideramos que
existen cantidades que son dependientes del tiempo, por ejemplo: epocas de reproduc-
cion, la hibernacion de ciertos depredadores, etc. Es por esta razon que resulta natural
suponer que ciertos parametros son funciones del tiempo, en particular los parametros
b y A. Considerando estas dependencias temporales podemos reescribir el modelo (1.7)
de la siguiente manera:
dx(t)
dt= diag
(x1(t), . . . , xn(t)
)[b(t) + A(t)x(t)
], t > 0. (1.9)
Es en este contexto que nos parece importante observar como es que el ruido
afecta a nuestro sistema de poblacion (1.9).
Para introducir el ruido a este modelo consideramos que la tasa de crecimiento bi
de la especie i se estima mediante un promedio mas un termino de error, es decir, inter-
cambiamos bi por bi+ξ(t). Este termino de error lo modelamos como un ruido blanco y
modelamos la posible correlacion de las tasas de nacimiento con n movimientos Brow-
nianos independientes w1(t), . . . , wn(t). Entonces, por componentes e introduciendo el
error, el modelo (1.9) se convierte en
dxi(t) = xi(t)(bi(t) +
n∑j=1
aij(t)xj(t))dt+ xi(t)ξi(t)dt, t > 0. (1.10)
Nuevamente recordando la derivada del proceso de Wiener [1, p. 46] la ecuacion
(1.10) finalmente queda ası
dxi(t) = xi(t)
(bi(t) +
n∑j=1
aij(t)xj(t)
)dt+ xi(t)
n∑j=1
gij(t)dwj(t), t > 0
o en forma matricial tenemos
dx(t) = diag(xi(t), . . . , xn(t)
)([b(t) + A(t)x(t)]dt+G(t)dw(t)
), t > 0, (1.11)
x(0) = x0,
14 Introduccion
donde w(t) =(w1(t), . . . , wn(t)
)′y G(t) =
(gij(t)
)n×n es llamada la matriz de in-
tensidad del ruido. Al modelo (1.11) tambien lo llamaremos modelo CFT por tener
coeficientes como funciones del tiempo.
Puesto que las ecuaciones (1.8) y (1.11) describen la dinamica de n poblaciones
es importante que las soluciones se mantengan positivas y no exploten a infinito en
un tiempo finito. Primero establezcamos condiciones de existencia y unicidad de una
solucion positiva y luego observemos algunas propiedades.
Objetivos de la tesis
Los objetivos de esta tesis son los siguientes:
? Explicar bajo que condiciones los modelos CC y CFT tienen una solucion unica
positiva global,
? exponer las condiciones que garanticen el acotamiento definitivo de estas solucio-
nes,
? analizar propiedades de estabilidad asintotica de las trayectorias de las soluciones
de los modelos CC y CFT y
? estudiar las condiciones bajo las cuales la solucion del modelo CFT se extingue.
Formato de la tesis
En el Capıtulo 2 se dan preliminares de algebra lineal, ecuaciones diferenciales or-
dinarias, procesos estocasticos, calculo estocastico y ecuaciones diferenciales estocasti-
cas. Principalmente son herramientas que nos resultaran utiles para los Capıtulos 3 y
4.
En el Capıtulo 3 se dan las condiciones para la existencia y unicidad de una
solucion positiva global para los modelos CC y CFT.
15
En el Capıtulo 4 se estudian propiedades asintoticas de las soluciones de los
modelos CC y CFT, estas propiedades son acotamiento definitivo, una propiedad del
promedio del segundo momento de la solucion del modelo CC, una propiedad asintotica
de las trayectorias de la solucion del modelo CFT y la probabilidad de extincion para
el modelo CFT.
Capıtulo 2
Preliminares
En este capıtulo se presentan conceptos de algebra lineal, ecuaciones diferenciales
ordinarias, procesos estocasticos y ecuaciones diferenciales estocasticas que seran utiles
para el desarrollo de este trabajo. Puesto que la herramienta principal que utiliza la
tesis son las ecuaciones diferenciales estocasticas, es necesario presentar resultados y
propiedades importantes del calculo estocastico. Ası mismo, como las ecuaciones dife-
renciales estocasticas extienden a las ecuaciones diferenciales ordinarias, es necesario
presentar conceptos y resultados importantes de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Finalmente las ecuaciones diferenciales estocasticas no tendrıan un contexto apropiado
sin conceptos de procesos estocasticos, de ahı la necesidad de incluir algunos conceptos
de esta materia.
Si An×n es una matriz, su modulo sera denotado por |A| =√tr (A′A), con A′
denotando la transpuesta de la matriz A y tr(A) denotando la traza de la matriz A.
La norma de una matriz A se denotara por ||A|| = sup|Au| : |u| = 1, donde |u|representa la norma euclidiana del vector u.
2.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias
En esta seccion se presentan conceptos y notaciones de sistemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias aunque la idea mas importante que se presenta es el teorema de
2.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias 17
existencia y unicidad de soluciones de una ecuacion diferencial ordinaria. Los conceptos
fueron tomados de [4].
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
y1 = f1(t, y1, y2, . . . , yn)
y2 = f2(t, y1, y2, . . . , yn) (2.1)
...
yn = fn(t, y1, y2, . . . , yn),
para t > 0 en donde yi =dyidt
, f1, f2, . . . , fn son n funciones dadas definidas en una
region D del espacio euclidiano (n+ 1)-dimensional y y1, y2, . . . , yn son las n funciones
incognitas.
Resolver el sistema anterior significa encontrar un intervalo I en el eje t y n
funciones φ1, φ2, . . . , φn definidas en I tales que:
i) φ1(t), φ2(t), . . . , φn(t) existan ∀ t ∈ I,
ii) el punto(t, φ1(t), φ2(t), . . . , φn(t)
)permanece en D, ∀ t ∈ I,
iii) φj(t) = fj(t, φ1(t), φ2(t), . . . , φn(t)
)∀ t ∈ I, j = 1, 2, . . . , n.
El sistema (2.1) podemos escribirlo con notacion vectorial de la siguiente manera:
y = f(t, y), t > 0, (2.2)
en donde y y f son vectores y t, que generalmente denota al tiempo, es escalar.
Sea f una funcion continuamente diferenciable con respecto a t y con respecto
a los componentes de y en todos los puntos de un dominio D. Supongamos que existe
una constante K > 0 tal que las normas de ∂f/ ∂yj cumplen∣∣∣ ∂f∂yj
(t, y)∣∣∣ ≤ K (j = 1, . . . , n),
para todo (t, y) ∈ D. Se sigue [4, p. 122] que para cualesquier puntos (t, y), (t, z) en D
tenemos la siguiente desigualdad
|f(t, y)− f(t, z)| ≤ K|y − z|. (2.3)
18 Preliminares
Definicion 2.1.1 [4, p. 112] Una funcion f que satisface una desigualdad de la forma
(2.3) para cualesquier puntos (t, y), (t, z) en D se dice que satisface la condicion de
Lipschitz en D con constante de Lipschitz K.
Teorema 2.1.1 [4, p. 125] (Existencia de una solucion) Sean f y ∂f/∂yj (j =
1, . . . , n) continuas en el rectangulo B =
(t, y) : |t − t0| ≤ a, |y − η| ≤ b
donde a
y b son numeros positivos. Entonces existe a lo mas una solucion φ(t) de y = f(t, y)
definida en (t0 − δ, t0 + δ) que satisface la condicion inicial φ(t0) = η.
Claro que no es necesario pedir tanto como la continuidad de ∂f/∂yj (j =
1, . . . , n), se puede usar la condicion de Lipschitz como hipotesis del teorema en lu-
gar de la continuidad de las derivadas parciales.
Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden ser representadas por curvas
en el plano (y1, y2). Este plano es conocido como el plano fase.
Definicion 2.1.2 [4, p. 85] Un punto en el dominio D es llamado un punto crıtico
del sistema y = g(y) si y solo si g(a) = 0, donde 0 es el vector cero. Sea y = y0 un
punto crıtico de y = f(y) tal que φ(t) ≡ y0 (un vector constante) es una solucion de
y = g(y). Un punto con la caracterıstica anterior es llamado un punto de equilibrio.
2.2. Procesos estocasticos
2.2.1. Probabilidad
Sin tratar de dar una coleccion exhaustiva de preliminares demos algunas defini-
ciones de teorıa de probabilidad.
El espacio muestral, denotado por Ω representa la coleccion de la totalidad de
posibles resultados de un experimento teorico o practico. Un evento es un subconjunto
significativo del espacio muestral. Sea U un conjunto de eventos observables, es decir,
subconjuntos de Ω, si U contiene a Ω, a ∅, al complemento Ac del conjunto A ∈ U y
a la union e interseccion de cualesquiera A y B ∈ U, entonces U es un algebra. Si
2.2. Procesos estocasticos 19
ademas se cumple que⋃∞n=1An ∈ U, para toda coleccion An en U, entonces se dice
que U es una σ-algebra.
Sea C una familia de subconjuntos de Ω. Entonces existe en Ω una σ-algebra mas
pequena que contiene a todos los conjuntos que pertenecen a C denotada por U(C) y
llamada la σ-algebra generada por C. Variable aleatoria se denotara v.a. y el evento
ω ∈ Ω : x(ω) = x se escribira x = x. Los elementos de la σ-algebra U son llamados
conjuntos medibles y a la pareja (Ω,U) se le llama espacio medible. Sean (Ω,U)
y (Ω′,U′) dos espacios medibles. Un mapeo x : Ω → Ω′ que asigna a cada ω ∈ Ω un
miembro ω′ = x(ω) de Ω′ se dice que es (U−U′)-medible (y es llamado una v.a. sobre
(Ω,U)) si las preimagenes de los conjuntos medibles en Ω′ son medibles en Ω, es decir,
para todo A′ ∈ U′,
ω : x(ω) ∈ A′ = [x ∈ A′] = x−1(A′) ∈ U.
Definicion 2.2.1 [1, p. 3-4] Sea (Ω,U) un espacio medible. Una funcion de conjuntos
µ definida sobre U es llamada una medida si:
i) 0 ≤ µ(A) ≤ ∞ para todo A ∈ U,
ii) µ(∅) = 0,
iii) µ (⋃∞n=1An) =
∞∑n=1
µ(An) para toda sucesion de eventos An, n ≥ 1 que pertenez-
can a U y que ademas sean disjuntos a pares, es decir, que An⋂Am = ∅ siempre
y cuando n 6= m.
Una medida P con la propiedad de P (Ω) = 1, es llamada una medida de probabi-
lidad o simplemente una probabilidad y la funcion P asigna a cada evento A, un
numero P (A), conocida como la probabilidad de A, tal que 0 ≤ P (A) ≤ 1.
Un espacio de probabilidad es una tripleta (Ω,U, P ), donde Ω es un espacio
muestral, U es una coleccion de eventos y P es una funcion de probabilidad con dominio
U. Una v.a. x en un espacio de probabilidad (Ω,U, P ) es llamada una v.a. continua
si existe una funcion fx(·) tal que Fx(x) =
∫ x
−∞fx(u)du, donde Fx(x) es la funcion de
distribucion de la v.a. x.
20 Preliminares
Definicion 2.2.2 [20, p. 73] Si x es una v.a. el k-esimo momento de x se define de
la siguiente manera:
E(xk) =∫∞−∞ x
kfx(x) dx.
Mientras que E((x − a)k
)es llamado el k-esimo momento de x alrededor de a
y se define de manera similar al caso anterior. Si a = E(x), E(x − a)k es llamado el
k-esimo momento central de x.
Definicion 2.2.3 [1, p. 12-13] Sean x y xn variables aleatorias definidas en un espacio
de probabilidad.
a) Si existe un conjunto de medida cero N ∈ U tal que ∀ ω /∈ N la sucesion xn(ω)
converge en el sentido usual a x(ω), entonces se dice que xn converge casi
seguramente (c.s.) o con probabilidad 1 (c.p. 1) a x y escribimos:
lımn→∞
xn = x c.s.,
b) si para todo ε > 0,
pn(ε) = Pω : |xn(ω)− x(ω)| > ε
→ 0 cuando n→∞,
entonces se dice que xn converge estocasticamente o en probabilidad a
x y escribimos:
P − lımn→∞
xn = x.
Existen otros tipos diferentes de convergencia, sin embargo, no nos resultan utiles en
este momento. Para conocer un poco mas al respecto ver [1, p. 12-13].
Definicion 2.2.4 [1, p. 18] Sea x una v.a. sobre (Ω,U, P ) un espacio de probabilidad
tal que E|x| < ∞ y sea C ⊂ U una sub-σ-algebra de U. La v.a. x en general ya no es
C-medible. Entonces buscamos una v.a. z que sea C-medible y que tome en promedio
los mismo valores que x, es decir, una variable aleatoria integrable z tal que:
2.2. Procesos estocasticos 21
z es C-medible,∫C
z dP =
∫C
x dP, ∀C ∈ C.
De acuerdo al teorema de Radon-Nikodym [6, p. 132], existe solo una z c.s. Esta z es
llamada la esperanza condicional de x bajo la condicion C y escribimos:
z = E(x|C).
Podemos considerar una familia de variables aleatorias x(t), t ∈ T, donde t es
un parametro que corre sobre un conjunto apropiado de ındices T como un proceso
estocastico [12, p. 21]. Un proceso de Markov es un proceso estocastico con la
propiedad de que, dado un valor de x(t), los valores de x(s), s > t, no dependen de los
valores de x(u), u < t [12, p. 29].
Definicion 2.2.5 [12, p. 28] Sea x(t), t ≥ 0 un proceso estocastico que toma valores
en los reales. Decimos que x(t), t ≥ 0 es una martingala si, E[x(t)] <∞ para todo
t, y si para cualquier t1 < t2 < . . . < tn+1, E[x(tn+1)|x(tn+1) = a1, . . . , x(tn) = an
]= an
para todos los valores de a1, . . . , an.
Definicion 2.2.6 [19, p. 94] Para h : [a, b] → R su variacion cuadratica se define
de la siguiente manera:
supτ
n∑i=1
|h(ti)− h(ti−1)|2,
donde el supremo es tomado sobre todas las particiones τ de [a, b].
Definicion 2.2.7 [8, p. 36] Un proceso de Wiener es un proceso estocastico w(t),
con t ≥ 0 que satisface: w(0) = 0, para cualesquier 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tn, las v.a.
w(tk) − w(tk−1) con (1 ≤ k ≤ n) son independientes y si w(t) − w(s) con 0 ≤ s < t
tiene distribucion normal con E(w(t)−w(s)
)= (t−s)µ donde µ es una constante real.
Un proceso n-dimensional w(t) =(w1(t), . . . , wn(t)
)es llamado un proceso de Wiener
n-dimensional si cada proceso wi(t) es un proceso de Wiener y las σ-algebras U(wi(t)),
con 1 ≤ i ≤ n, son independientes.
22 Preliminares
Para una sucesion arbitraria de eventos An en un espacio de probabilidad
(Ω,U, P ), el conjunto
B = ω : ω ∈ Bn para una infinidad de n
tambien es un evento.
Lema 2.2.1 [1, p. 17](Borel-Cantelli) Si∞∑n=1
P (Bn) < ∞, entonces P (B) = 0. Si la
sucesion Bn es independiente, entonces,∞∑n=1
P (Bn) =∞ implica que P (B) = 1.
2.2.2. Calculo estocastico
En esta subseccion presentaremos algunos conceptos importantes del calculo es-
tocastico. El objetivo de estos conceptos es ayudarnos para poder presentar el Teorema
o Formula de Ito que sera indispensable para los objetivos de la tesis, ver [1].
Definicion 2.2.8 [1, p. 63] Sea t0 un numero no-negativo fijo. Una familia Ft, para
t ≥ t0, de sub-σ-algebras de U se dice no anticipante con respecto al proceso de
Wiener w(t) m-dimensional si tiene las siguientes propiedades:
a) Fs ⊂ Ft (t0 ≤ s ≤ t),
b) Ft ⊃ B[t0, t] (t ≥ t0),
c) Ft es independiente de B+t (t ≥ t0),
con B[t0, s] = U(w(u); t0 ≤ u ≤ s) y B+t = U(w(s)− w(t); t ≤ s <∞).
Definicion 2.2.9 [1, p. 63] Una funcion G = G(s, ω) valuada en matrices d × m
definida en [t0, t]× Ω y medible en (s, ω) se dice no anticipante (con respecto a una
familia Ft de σ-algebras no anticipantes) si G(s, ·) es Ft-medible para todos los s ∈[t0, t]. Denotaremos por Md,m
2 [t0, t] = M2[t0, t] al conjunto de funciones no anticipantes
definidas sobre [t0, t]×Ω para el cual las funciones G(., ω) cumplen∫ tt0|G(s, ω)|2ds <∞
c.p. 1.
2.2. Procesos estocasticos 23
Definicion 2.2.10 [1, p. 89] Sea Ft una familia de σ-algebras no anticipantes y
M2[t0, T ] el conjunto de funciones no anticipantes valuadas en matrices d×m. Diremos
que un proceso estocastico x(t) definido por
x(t) = x(t0) +
∫ t
t0
f(s)ds+
∫ t
t0
G(s)dw(s)
tiene la diferencial estocastica f(t)dt+G(t)dw(t) y escribimos
dx(t) = f(t)dt+G(t)dw(t)
= fdt+Gdw(t).
Definicion 2.2.11 [1, p. 71] Para toda funcionG valuada en matrices d×m enM2[t0, t]
la integral estocastica (integral de Ito) de G con respecto al proceso de Wiener
w(t) m-dimensional sobre el intervalo [t0, t] esta definida de la siguiente manera:∫ t
t0
Gdw =
∫ t
t0
G(s)dw(s) = P − lımn→∞
∫ t
t0
Gndw,
donde Gn es una sucesion de funciones escalonadas en M2[t0, t] que aproximan a G
en el sentido
P − lımn→∞
∫ t
t0
|G(s)−Gn(s)|2ds = 0.
Una propiedad importante de la integral estocastica es la siguiente:
Teorema 2.2.1 [1, p. 73] Sea G una funcion valuada en matrices d×m en M2[t0, t] y
sea w(t) un proceso de Wiener m-dimensional. Si∫ t
t0
E|G(s)|2ds <∞,
entonces siempre vamos a tener
E
(∫ t
t0
Gdw
)= 0.
24 Preliminares
Teorema 2.2.2 [1, p. 80] Sea G una funcion valuada en M2[t0, T ] y suponga que
xt =
∫ t
t0
G(s)dw(s), t0 ≤ t ≤ T
y ∫ t
t0
E|G(s)|2ds <∞ para todo t ≤ T,
entonces(x(t),Ft
), para t ∈ [t0, T ] es una martingala Rd−valuada; es decir, para
t0 ≤ s ≤ t ≤ T ,
E(x(t)|Fs) = x(s).
Teorema 2.2.3 [1, p. 90] (Teorema o Formula de Ito) Sea u = u(t, x) una funcion
continua definida en [t0, T ]×Rd con valores en Rk y con derivadas parciales continuas
∂
∂tu(t, x) = ut,
∂
∂xiu(t, x) = uxi , x = (x1, . . . , xd)
t,
∂2
∂xi∂xju(t, x) = uxixj , i, j ≤ d.
Si el proceso estocastico d-dimensional x(t) esta definido en [t0, T ] por la diferencial
estocastica
dx(t) = f(t)dt+G(t)dw(t),
con w(t) un proceso browniano m-dimensional, entonces el proceso k-dimensional
y(t) = u(t, x(t))
definido en [t0, T ] con valor inicial y(t0) = u(0, x(t0)) tambien tiene una diferencial
estocastica con respecto al mismo proceso de Wiener w(t) y tenemos
dy(t) =(ut(t, x(t)) + ux(t, x(t))f(t) +
1
2
d∑i=1
d∑j=1
uxixj(t, x(t))(G(t)G(t)t
)ij
)dt
+ ux(t, x(t))G(t)dw(t).
2.3. Ecuaciones diferenciales estocasticas 25
2.3. Ecuaciones diferenciales estocasticas
En esta seccion damos algunas definiciones y resultados importantes de la teorıa
de ecuaciones diferenciales estocasticas, ver [1].
Definicion 2.3.1 [1, p. 101] Tomemos en cuenta una diferencial estocastica de la forma
dx(t) = f(t, x(t))dt+G(t, x(t))dw(t), x(t0) = c, t0 ≤ t ≤ T <∞, (2.4)
o en forma integral
x(t) = c+
∫ t
t0
f(s, x(s))ds+
∫ t
t0
G(s, x(s))dw(s), t0 ≤ t ≤ T <∞, (2.5)
en donde x(t) es un proceso estocastico Rd-valuado definido sobre [t0, T ] y w(t) es un
proceso de Wiener m-dimensional. La funcion f , Rd-valuada y la funcion G matriz
valuada d × m se suponen definidas y medibles en [t0, T ] × Rd. Una ecuacion de la
forma (2.4) es llamada una ecuacion diferencial estocastica (EDE) de Ito. En lo
que respecta al resto de este trabajo, todas las integrales estocasticas que se presenten
en adelante se trataran de EDE en el sentido de Ito.
La forma (2.4) junto con la condicion inicial son una manera simbolica de escribir la
EDE (2.5). Es decir, la forma (2.4), esta bien definida, la EDE (2.5) es unicamente una
forma simbolica de representar a (2.4).
Definicion 2.3.2 [1, p. 101] Un proceso estocastico x(t) es llamado una solucion de
la ecuacion (2.4) en el intervalo [t0, T ] si cumple las siguientes propiedades:
a) x(t) debe ser Ft-medible, es decir, no anticipante para t ∈ [t0, T ].
b) Las funciones f(t, ω) = f(t, x(t, ω)) y G(t, x(t, ω)) = G(t, x(t, ω)) son tales que
c.p. 1 ∫ T
t0
|f(s, ω)|ds <∞
y
26 Preliminares
∫ T
t0
|G(s, ω)|ds <∞.
c) (2.5) es valida para toda t ∈ [t0, T ] c.p. 1.
Si la solucion x(t) existe en [t0,∞), se dice que es una solucion global.
Teorema 2.3.1 [1, p. 88] (Existencia y unicidad de una solucion) Suponga que
tenemos la siguiente EDE
dx(t) =f(t, x(t))dt+G(t, x(t))dw(t), t0 ≤ t ≤ T <∞, (2.6)
x(t0) =x0,
en donde w(t) es un proceso de Wiener Rm valuado y c es una v.a. independiente de
w(t)−w(t0) para t ≥ t0. Suponga que la funcion f(t, x) Rd-valuada y la funcion G(t, x)
valuada en matrices d ×m estan definidas y son medibles en [t0, T ] × Rd y tienen las
siguientes propiedades: Existe una constante K > 0 tal que
a) (Condicion de Lipschitz) ∀t ∈ [t0, T ], x ∈ Rd, y ∈ Rd,
|f(t, x)− f(t, y)|+ |G(t, x)−G(t, y)| ≤ K|x− y|, (2.7)
b) (Restriccion de crecimiento) ∀t ∈ [t0, T ] y x ∈ Rd,
|f(t, x)|2 + |G(t, x)|2 ≤ K2(1 + |x|2). (2.8)
Entonces (2.6) tiene una unica solucion x(t) Rd-valuada en [t0, T ], continua c.p. 1 que
satisface la condicion inicial x(t0) = x0.
Capıtulo 3
Existencia y unicidad de una
solucion global positiva
En este capıtulo vamos a considerar las condiciones para tener una solucion unica
positiva global cuando estamos tratando con los modelos CC y CFT. Es importante
notar que los coeficientes de estos modelos son diferentes, los coeficientes del modelo
CC son constantes a diferencia de los del modelo CFT que son funciones del tiempo.
Pero hay otra diferencia y esa es que el ruido blanco utilizado en el modelo CC es de
una dimension mientras que el usado en CFT es de dimension n.
3.1. Solucion global positiva para el modelo CC
Recordemos que el modelo CC presenta coeficientes constantes, ruido blanco
en una dimension y considera que la intensidad del ruido depende del tamano de la
poblacion. Los siguientes conceptos nos seran de utilidad para el resultado principal de
esta seccion.
Definicion 3.1.1 [13, p. 357] Una funcion que es dos veces continuamente diferencia-
ble en el intervalo [a, b] se llama de clase C2[a,b]. Analogamente, si una funcion es
continuamente diferenciable en [a, b] se llama de clase C1[a,b].
28 Existencia y unicidad de una solucion global positiva
Definicion 3.1.2 [9] El siguiente tiempo aleatorio τe = τe(t0, x0) se dice que es tiem-
po de explosion de la solucion x(t) de (2.4)
τn(t0, x0) = ınft ≥ t0 : |x(t)| ≥ n ∧ n
τe(t0, x0) = lımn→∞
τn(t0, x0).
Imponemos una condicion:
gii > 0 si 1 ≤ i ≤ n mientras que gij ≥ 0 si i 6= j. (3.1)
Ahora si, una vez establecida la condicion en (3.1) enunciemos el teorema que
garantiza la existencia y unicidad de una solucion estocastica positiva global de CC.
Teorema 3.1.1 [2] Bajo la condicion dada en (3.1), para cualesquier parametros b ∈Rn, A ∈ Rn×n y cualquier valor inicial x0, existe una solucion unica a la ecuacion CC y
la solucion permanecera en Rn+ para todo t ≥ 0 c.p. 1., en donde Rn
+ := (x1, . . . , xn :
xi > 0, para todo 1 ≤ i ≤ n)
Demostracion. Como los coeficientes de la ecuacion CC cumplen la condicion de
Lipschitz localmente, entonces, para cualquier valor inicial x0 ∈ Rn+, existe una solucion
local unica x(t) en t ∈ [0, τe) [16, p. 94]. Para probar que esta solucion es global, tenemos
que mostrar que τe =∞ c.s.. Es decir, queremos demostrar que el tiempo en el que la
solucion para la ecuacion CC explota es infinito. De esa manera estamos garantizando
que para cualquier t > 0, la solucion existe y es finita. Sea k0 lo suficientemente grande
como para que1
k0< |x0| < k0.
Para cada entero k ≥ k0, definimos el tiempo de paro aleatorio
τk(ω) = ınf t ∈ [0, τe) : xi(t, ω) 6∈ (1/k, k) para algun 1, . . . , n .
En donde definimos ınf ∅ = ∞. Claramente τk(ω) es creciente conforme k → ∞. Sea
τ∞ = lımk→∞
τk(ω), con τ∞ ≤ τe c.s. Si podemos mostrar que τ∞ = ∞ c.s., entonces
3.1. Solucion global positiva para el modelo CC 29
τe = ∞ c.s. y x(t) ∈ Rn+ c.s. para todo t ≥ 0. Definamos una funcion de clase C2,
V : Rn+ → R+ por
V (x) =n∑i=1
[√xi − 1− 1
2log(xi)
]. (3.2)
La no negatividad de esta funcion se puede ver de
√u− 1− 1
2log(u) ≥ 0, cuando u > 0.
Sean k ≥ k0 y T > 0 arbitrarios. Para 0 ≤ t ≤ τk(ω) ∧ T , aplicamos la Formula de Ito
dada en el Teorema 2.2.3 a V (x(t)) para obtener
d[V(x(t)
)]=
n∑i=1
1
2
[x−1/2i (t)− x−1i (t)
]xi(t)
×
[(bi +
n∑j=1
aijxj(t)
)dt+
n∑j=1
gijxj(t)dw(t)
]
+1
2[−1
4x−3/2i (t) +
1
2x−2i (t)]x2i (t)
[n∑j=1
gijxj(t)
]2dt
=
n∑i=1
1
2
[x1/2i (t)− 1
](bi +
n∑j=1
aijxj(t)
)
+n∑i=1
[1
4− 1
8x1/2i (t)
][ n∑j=1
gijxj(t)
]2 dt
+n∑i=1
n∑j=1
1
2
[x1/2i (t)− 1
]gijxj(t)dw(t). (3.3)
30 Existencia y unicidad de una solucion global positiva
Vamos a acotar dos terminos de la ecuacion (3.3)
n∑i=1
1
2
[x1/2i (t)− 1
](bi +
n∑j=1
aijxj(t)
)
≤n∑i=1
1
2bi
[x1/2i (t)− 1
]+
n∑i=1
n∑j=1
[n
16a2ij
[x1/2i (t)− 1
]2+
1
nx2j(t)
]
=n∑i=1
1
2bi
[x1/2i (t)− 1
]+
n
16
n∑i=1
n∑j=1
a2ij
[x1/2i (t)− 1
]2+ |x(t)|2 (3.4)
y
n∑i=1
[n∑j=1
gijxj(t)
]2≤
n∑i=1
[n∑j=1
g2ij
n∑j=1
x2j(t)
]= |G|2|x(t)|2. (3.5)
Mas aun, por la condicion dada en (3.1), tenemos
n∑i=1
x1/2i (t)
[n∑j=1
gijxj(t)
]2≥
n∑i=1
g2iix5/2i (t). (3.6)
Sustituyendo (3.4), (3.5) y (3.6) en (3.3) obtenemos
d[V(x(t)
)]≤ F1
(x(t)
)dt+
n∑i=1
n∑j=1
1
2
[x1/2i (t)− 1
]gijxj(t)dw(t), (3.7)
donde
F1(x) =(1 +1
4|G|2)|x|2 +
n∑i=1
1
2bi[x
1/2i − 1]
+n
16
n∑i=1
n∑j=1
a2ij[x1/2i − 1]2 − 1
8
n∑i=1
g2iix5/2i .
Es facil ver que F1(x) esta acotada por, digamos, una constante K > 0 en Rn+. Por lo
tanto obtenemos que
d[V(x(t)
)]≤ Kdt+
n∑i=1
n∑j=1
1
2[x
1/2i (t)− 1]gijxj(t)dw(t).
3.1. Solucion global positiva para el modelo CC 31
Ahora, integrando ambos lados de 0 a τk(ω) ∧ T y luego tomando esperanzas tenemos
EV(x(τk(ω) ∧ T
))≤ V
(x0)
+KE(τk(ω) ∧ T ).
La esperanza de la integral estocastica se vuelve cero, pues estamos aplicando la pro-
piedad presentada en el Teorema 2.2.1. Por lo tanto
EV(x(τk(ω) ∧ T
))≤ V
(x0)
+KT. (3.8)
Notemos que para todo elemento del conjunto ω ∈ Ω : τk(ω) ≤ T, hay algun i tal
que xi(τk(ω), ω) es igual a k o a 1/k, y por lo tanto V(x(τk(ω), ω)
)es mayor que
√k − 1− 1
2log(k),
o √1/k − 1− 1
2log(1/k) =
√1/k − 1 +
1
2log(k).
Por lo tanto,
V(x(τk(ω), ω)
)≥ [√k − 1− 1
2log(k)] ∧ [
1
2log(k)− 1 +
√1/k].
Se sigue entonces de (3.8) que
V(x0)
+KT ≥ E[Iτk(ω)≤T(ω)V
(x(τk(ω), ω)
)]≥ Pτk(ω) ≤ T
([√k − 1− 1
2log(k)
]∧[12
log(k)− 1 +√
1/k]),
donde Iτk(ω)≤T es la funcion indicadora de τk(ω) ≤ T. Dejando que k →∞ tenemos
lımk→∞
Pτk(ω) ≤ T = 0
y por lo tanto
Pτ∞ ≤ T = 0.
Puesto que T es arbitrario, debemos tener
Pτ∞ <∞ = 0,
por lo tanto Pτ∞ =∞ = 1 como se requerıa.
32 Existencia y unicidad de una solucion global positiva
3.2. Solucion global positiva para el modelo CFT
Sea
λ+max(A) = supx∈Rn
+
x′Ax.
Consideremos la ecuacion CFT dada en (1.11)
dx(t) = diag(x1(t), . . . , xn(t)
)([b(t) + A(t)x(t)
]dt+G(t)dw(t)
). t > 0,
x(0) = x0.
Sabemos que la ecuacion (1.11) tiene una solucion unica global cuando sus coeficientes
cumplen la condicion de crecimiento lineal y la condicion de Lipschitz, es decir, las
condiciones dadas en (2.7) y (2.8), ver Teorema 2.3.1. Sin embargo, los coeficientes
de la ecuacion CFT no cumplen la condicion de crecimiento lineal pero si cumplen la
condicion de Lipschitz, ası que la solucion puede irse a infinito en un tiempo finito.
De aquı la necesidad de establecer condiciones bajo las cuales la solucion de la ecua-
cion estocastica es no solo positiva sino que tambien sea una solucion unica global.
Impongamos la condicion:
bi(t), aij(t) y gij(t) son acotadas para todo t ∈ R+ := [0,∞). (3.9)
El siguiente teorema da una condicion suficiente para la existencia y unicidad de
una solucion positiva global.
Teorema 3.2.1 [5] Consideremos que la condicion dada en (3.9) se cumple. Suponga
tambien que existen numeros positivos c1, . . . , cn tales que
λ+max(CA(t) + A′(t)C) ≤ 0, (3.10)
en donde C =diag(c1, . . . , cn). Entonces para todo valor inicial x0 ∈ Rn+, existe una
unica solucion a la ecuacion CFT que permanecera en Rn+ c.p. 1, es decir x(t) ∈ Rn
+
para todo t ≥ 0 c.s..
Demostracion. La demostracion es muy similar a la presentada en el Teorema 3.1.1.
Como los coeficientes de la ecuacion son localmente Lipschitz, entonces para cada valor
3.2. Solucion global positiva para el modelo CFT 33
inicial x0 ∈ Rn+ existe una solucion local x(t) con t ∈ [0, τe), en donde τe es el tiempo
de explosion. Sea m0 > 0 lo suficientemente grande como para que se cumpla
1
m0
< |x0| < m0.
Para cada entero m ≥ m0 definimos el tiempo de paro aleatorio
τm(ω) = ınft ∈ [0, τe) : xi(t, ω) 6∈ (1/m,m) para algun i = 1, . . . , n,
en donde definimos ınf ∅ =∞. Para probar esto, definimos una funcion C 2, V : Rn+ →
R+ como
V (x) =n∑i=1
ci[xi − 1− log(xi)].
Notese que esta funcion es diferente a la funcion definida en (3.2). La no negatividad
de esta funcion se ve facilmente de
u− 1− log(u) ≥ 0 para u > 0. (3.11)
Sean m ≥ m0 y T > 0 arbitrarios. Para 0 ≤ t ≤ τm(ω) ∧ T usando el Teorema de Ito
2.2.3 podemos ver que obtenemos la siguiente diferencial estocastica
dV(x(t)
)= LV
(x(t)
)dt+
(xt(t)C − C
)G(t)dw(t), (3.12)
en donde C = (c1, . . . , cn) y LV : Rn+ → R esta definida por
LV(x(t)
)=(xt(t)C − C
)[b(t) + A(t)x(t)
]+
1
2tr[Gt(t)CG(t)
].
Usando la condicion dada en (3.10) podemos acotar de la siguiente manera(xt(t)C − C
)[b(t) + A(t)x(t)
]≤ 1
2xt(t)
(CA(t) + At(t)C
)x(t) +
(xt(t)C − C
)b(t)− CA(t)x(t)
≤(xt(t)C − C
)b(t)− CA(t)x(t).
Por la condicion dada en (3.9) se puede ver que hay una constante K1 > 0 tal que
LV (x) ≤ K1(1 + |x|).
34 Existencia y unicidad de una solucion global positiva
Recordando la desigualdad (3.11), tenemos que
u ≤ 2[u− 1− log(u)
]+ 2, ∀ u > 0.
Entonces para x ∈ Rn+,
|x| ≤n∑i=1
xi ≤n∑i=1
[2(xi − 1− log xi) + 2
]≤ 2n+
2
mın1≤i≤n ci
n∑i=1
ci(xi − 1− log xi)
≤ 2n+2
mın1≤i≤n ciV (x).
Por lo tanto obtenemos que
LV(x(t)
)≤ K2
(1 + V
(x(t)
)),
donde K2 > 0. Sustituyendo esta ultima ecuacion en (3.12) obtenemos
dV(x(t)
)≤ K2
(1 + V (x(t))
)dt+
(xt(t)C − C
)G(t)dw(t). (3.13)
Ahora, para cualquier t ∈ [0, T ] podemos integrar los dos lados de (3.13) desde 0 hasta
τm(ω) ∧ t1 y tomando la esperanza obtenemos
EV(x(τm(ω) ∧ t1)
)≤ V
(x0)dt+ E
∫ τm(ω)∧t1
0
K2
(1 + V (x(t))
)dt
≤ V(x0)
+K2T +K2
∫ τm(ω)∧t1
0
EV(x(τm(ω) ∧ t)
)dt.
En parte tenemos esta desigualdad si recordamos la propiedad presentada en el Teorema
(2.2.1). Por la desigualdad de Gronwall [16, p. 31-32] tenemos
EV(x(τm(ω) ∧ T )
)≤(V (x0) +K2T
)eK2T . (3.14)
El resto de la demostracion se sigue de manera casi identica a la demostracion del
Teorema 3.1.1.
Capıtulo 4
Propiedades asintoticas de las
soluciones
En este capıtulo vamos a estudiar varias propiedades como acotamiento definitivo
en probabilidad para la ecuacion CC y acotamiento definitivo en media para CFT, una
propiedad de estabilidad asintotica de las trayectorias de la solucion para el modelo
CFT, una propiedad del promedio en el tiempo del segundo momento de la solucion
de CC y probabilidad de extincion para CFT.
4.1. Estabilidad de soluciones positivas para CC
En esta seccion vamos a estudiar las propiedades de acotamiento definitivo en
probabilidad y una propiedad del promedio del segundo momento de la solucion de
CC.
4.1.1. Acotamiento definitivo para CC
Antes de dar el resultado que nos garantiza el acotamiento definitivo para la so-
lucion del modelo CC, vamos a dar la definicion para acotamiento definitivo estocastico
o en probabilidad.
36 Propiedades asintoticas de las soluciones
Definicion 4.1.1 [2] La ecuacion CC se dice que esta acotada definitivamente en
probabilidad (ultimately bounded in probability) si para todo ε ∈ (0, 1), existe
una constante positiva K3 = K3(ε) tal que para cualquier valor inicial x0, la solucion
x(t) de la ecuacion CC tiene la siguiente propiedad
lım supt→∞
P|x(t)| ≤ K3
≥ 1− ε.
Presentemos un lema que nuevamente nos sera de ayuda mas adelante, de donde
el acotamiento definitivo en probabilidad seguira directamente.
Lema 4.1.1 [2] Consideremos que la condicion dada en (3.1) se cumple y sea θ ∈ (0, 1).
Entonces existe una constante positiva K4 = K4(θ), que es independiente del valor
inicial x0 ∈ Rn+, tal que la solucion x(t) de la ecuacion CC tiene la siguiente propiedad
lım supt→∞
E|x(t)|θ ≤ K4.
Demostracion. Sea
V (x) =n∑i=1
xθi para x ∈ Rn+.
Por el Teorema de Ito 2.2.3, tenemos
dV(x(t)
)= LV
(x(t)
)dt+
(n∑i=1
θxθi (t)n∑j=1
gijxj(t)
)dw(t), (4.1)
donde LV : Rn+ → R esta definida por
LV (x) =n∑i=1
θxθi bi −θ(1− θ)
2
n∑i=1
xθi
[n∑j=1
gijxj
]2. (4.2)
Acotamos a la ecuacion (4.2) de la siguiente manera:
LV (x) ≤n∑i=1
θbixθi +
n∑i=1
n∑j=1
[n4θ2a2ijx
2θi
]− θ(1− θ)
2
n∑i=1
g2iix2+θi
=n∑i=1
θbixθi +
n
4θ2
n∑i=1
n∑j=1
a2ijx2θi −
θ(1− θ)2
n∑i=1
g2iix2+θi
=F2(x)− V (x)− |x|2,
4.1. Estabilidad de soluciones positivas para CC 37
donde
F2(x) = |x|2 +n∑i=1
(1 + θbi)xθi +
n
4θ2
n∑i=1
n∑j=1
a2ijx2θi −
θ(1− θ)2
n∑i=1
g2iix2+θi .
Note que F2(x) es acotada en Rn+, a saber
K5 := supx∈Rn
+
F2(x) <∞.
Tenemos por lo tanto
LV (x) ≤ K5 − V (x)− |x|2. (4.3)
Sustituyendo (4.3) en (4.1) tenemos
dV(x(t)
)=[K5 − V
(x(t)
)]dt+
(n∑i=1
θxθi (t)n∑j=1
gijxj(t)
)dw(t).
Nuevamente por el Teorema de Ito 2.2.3 tenemos
d[etV(x(t)
)]=et[V(x(t)
)dt+ dV
(x(t)
)]≤etK5dt+ et
(n∑i=1
θxθi (t)n∑j=1
gijxj(t)
)dw(t). (4.4)
Integrando ambos lados de (4.12) de 0 a t y luego tomando esperanzas tenemos que
etEV(x(t)
)≤ V
(x0)
+K5et.
Esto implica que
lım supt→∞
EV(x(t)
)≤ K5.
Por otro lado tenemos que
|x|2 ≤ n max1≤i≤n
x2i ,
ası que
|x|θ ≤ nθ/2 max1≤i≤n
xθi ≤ nθ/2V (x).
Finalmente tenemos
lım supt→∞
E|x(t)|θ ≤ nθ/2K5,
y el resultado se sigue poniendo K4 = nθ/2K5.
Ahora establezcamos el resultado de acotamiento definitivo en probabilidad.
38 Propiedades asintoticas de las soluciones
Teorema 4.1.1 [2] Bajo la condicion dada en (3.1), la ecuacion CC es acotada defi-
nitivamente en probabilidad.
Demostracion. Por el Lema 4.1.1, existe una constante K4 > 0 tal que
lım supt→∞
E(√|x(t)|
)≤ K4.
Ahora, para cualquier ε > 0, sea K5 = K24/ε
2. Por la bien conocida desigualdad de
Chebyshev,
P |x(t)| > K5 ≤E(√|x(t)|
)√K5
.
Por lo tanto
lım supt→∞
P |x(t)| > K5 ≤K4√K5
= ε.
Esto implica que
lım supt→∞
P |x(t)| ≤ K5 ≥ 1− ε,
que era lo que se requerıa.
4.1.2. Propiedades asintoticas casi seguramente para CC
Veamos una propiedad del promedio en el tiempo del segundo momento de la
solucion del modelo CC
Teorema 4.1.2 [2] Bajo la condicion dada en (3.1), existe una constante K6, que es
independiente de la condicion inicial x(0) = x0, tal que la solucion de la ecuacion CC
tiene la siguiente propiedad:
lım supT→∞
1
T
∫ T
0
E|x(t)|2dt ≤ K6.
Demostracion. Procediendo como en el Teorema 3.1.1, tenemos
F1(x) = F3(x)− |x|2,
4.2. Estabilidad de soluciones positivas para CFT 39
donde
F3(x) = (2 +1
4|G|2)|x|2 +
n∑i=1
1
2bi[x
1/2i − 1]
+n
16
n∑i=1
n∑j=1
a2ij[x1/2i − 1]2 − 1
8
n∑i=1
g2iix5/2i .
F3 es acotada en Rn+ por
K6 = maxx∈Rn
+
F3(x) <∞.
Ası que
F1(x) ≤ K6 − |x|2.
Usando esta estimacion, integrando ambos lados de (3.7) de 0 a τk ∧ T y tomando las
esperanzas obtenemos
0 ≤ V (x0) +K6E(τk ∧ T )− E∫ τk∧T
0
|x(t)|2dt.
Haciendo k →∞ obtenemos
E
∫ T
0
|x(t)|2dt ≤ V (x0) +K6T.
Dividiendo ambos lados por T y dejando que T →∞ tenemos
lım supT→∞
1
T
∫ T
0
E|x(t)|2dt ≤ K6,
que era lo que querıamos.
4.2. Estabilidad de soluciones positivas para CFT
En esta seccion se estudian las condiciones bajo las cuales nuestro modelo de
poblacion Lotka-Volterra estocastico CFT presenta una propiedad muy importante
referente a la estabilidad de su solucion que es el acotamiento definitivo, se estudia
una propiedad asintotica c.s. para sus trayectorias y se estudian las condiciones para
su extincion.
40 Propiedades asintoticas de las soluciones
4.2.1. Acotamiento definitivo para CFT
Definicion 4.2.1 [5] Una EDE se dice que esta definitivamente acotada en media
(ultimately bounded in mean) si existe una constante positiva K7 tal que para
cualquier valor inicial x0 ∈ Rn+ la solucion de la EDE obedece
lım supt→∞
E|x(t)| ≤ K7.
El siguiente teorema da un criterio suficiente para cumplir esta propiedad.
Teorema 4.2.1 [5] Supongamos que la condicion presentada en (3.9) se cumple. Su-
ponga tambien que existen numeros positivos c1, . . . , cn tales que
−λ := supt≥0
λ+max(CA+ A′C) < 0, (4.5)
en donde C = diag(c1, . . . , cn). Entonces el modelo CFT esta acotado definitivamente
en media. Mas precisamente, para cualquier valor inicial x0 ∈ Rn+, la solucion de la
ecuacion CFT obedece
lım supt→∞
E|x(t)| ≤ K7 :=2|C|λc
supt≥0|Cb|,
en donde C = (c1, . . . , cn) y c = mın1≤i≤n
ci.
Demostracion. Por el Teorema 3.2.1, la solucion x(t) permanecera en Rn+ para todo
t ≥ 0 con probabilidad 1. Definimos
V (x) = Cx =n∑i=1
cixi para x ∈ Rn+.
Por el Teorema de Ito 2.2.3, tenemos
dV(x(t)
)= x′(t)C
([b(t) + A(t)x(t)]dt+G(t)dw(t)
). (4.6)
Por la condicion (4.5):
x′(t)CA(t)x(t) =1
2x′(t)
(CA(t) + A′(t)C
)x(t) ≤ −1
2λ|x(t)|2.
4.2. Estabilidad de soluciones positivas para CFT 41
Se sigue entonces de (4.6) que
dV(x(t)
)≤(|Cb(t)||x(t)| − 1
2λ|x(t)|2
)dt+ x′(t)CG(t)dw(t)
≤(K8|x(t)| − 1
2λ|x(t)|2
)dt+ x′(t)CG(t)dw(t), (4.7)
en donde K8 = supt≥0 |Cb(t)|. Sea γ > 0 arbitrario. Por el Teorema de Ito 2.2.3 otra
vez podemos ver que
d[eγtV
(x(t)
)]≤ eγt
[(γ|C|+K8)|x(t)| − 1
2λ|x(t)|2
]dt+ eγtx′(t)CG(t)dw(t).
Pero
(γ|C|+K8)|x(t)| − 1
2λ|x(t)|2 ≤ (γ|C|+K8)
2
2λ,
se tiene la desigualdad anterior por ser un binomio al cuadrado. Ası que
d[eγtV
(x(t)
)]≤ eγt(γ|C|+K8)
2
2λ+ eγtx′(t)CG(t)dw(t).
Integramos esta ultima desigualdad de 0 a t y despues tomamos esperanzas para obtener
eγtEV(x(t)
)≤ V
(x0)(eγt − 1)(γ|C|+K8)
2
2λγ.
Despejando y tomando lımites tenemos
lım supt→∞
EV(x(t)
)≤ (γ|C|+K8)
2
2λγ. (4.8)
Si escogemos γ = K8/|C| obtenemos
lım supt→∞
EV(x(t)
)≤ 2K8|C|
λ.
Notando que
|x(t)| ≤n∑i=1
xi(t) ≤V(x(t)
)c
,
como consecuencia tenemos
lım supt→∞
E|x(t)| ≤ 2K8|C|λc
= K7. (4.9)
Esto completa la prueba.
Presentemos un lema sin demostracion que nos sera util para un resultado futuro.
42 Propiedades asintoticas de las soluciones
Lema 4.2.1 [5] Bajo las mismas condiciones del Teorema 4.2.1 para cualquier valor
inicial x0 ∈ Rn+, la solucion de la ecuacion CFT cumple
lım supT→∞
1
T
∫ T
0
E|x(t)|2dt ≤ 4|C|λ2c
(supt≥0|Cb(t)|
)2,
en donde C, C y c son como en el Teorema 4.2.1.
4.2.2. Propiedades asintoticas casi seguramente para CFT
En esta subseccion estudiamos una propiedad asintotica c.s. de las trayectorias
de la solucion del modelo CFT.
Teorema 4.2.2 [5] Suponga que las condiciones del Teorema 4.2.1 se cumplen. En-
tonces para cualquier valor inicial x0 ∈ Rn+, la solucion x(t) de la ecuacion CFT tiene
la propiedad
lım supt→∞
log(|x(t)|)log t
≤ 1 c.s.. (4.10)
Demostracion. Usamos la misma notacion que en la demostracion del Teorema 4.2.1.
Se sigue de (4.7) que
E
(sup
t≤u≤t+1V(x(u)
))≤EV
(x(t)
)+K9
∫ t+1
t
E|x(u)|du
+ E
(sup
t≤u≤t+1
∫ u
t
x′(r)CG(r)dw(r)
).
Por la desigualdad de Burkholder-Davis-Gundy [21] y la desigualdad de Holder [13,
p. 14] obtenemos
E
(sup
t≤u≤t+1
∫ u
t
x′(r)CG(r)dw(r)
)≤ 3E
(∫ t+1
t
|x′(u)CG(u)|2du)1/2
≤ 3β1
(E
∫ t+1
t
|x(u)|2du)1/2
,
4.2. Estabilidad de soluciones positivas para CFT 43
donde β1 = supt≥0 |CG(t)|2. Por lo tanto, para una constante K9 > 0 tenemos
E
(sup
t≤u≤t+1V(x(u)
))≤ |C|E|x(t)|+K9
∫ t+1
t
E|x(u)|du
+ 3β1
(E
∫ u
t
|x(u)|2du)1/2
. (4.11)
Por otro lado se sigue de (4.7) que
0 ≤ V(x(t)
)+
∫ t+1
t
(K9|x(u)| − 1
2λ|x(u)|2du
)+
∫ t+1
t
x′(u)CG(u)dw(u). (4.12)
Esta desigualdad se tiene puesto que el termino −V(x(t + 1)
)puede mayorarse por 0
en vista de que la funcion V(x(t)
)es positiva. Podemos tomar esperanza a (4.12) para
obtener1
2λE
∫ t+1
t
|x(u)|2du ≤ EV(x(t)
)+K9
∫ t+1
t
E|x(u)|du.
Entonces(E
∫ t+1
t
|x(u)|2du)1/2
≤√
2
λ
(|C|E|x(t)|+K9
∫ t+1
t
E|x(u)|du)1/2
. (4.13)
Sustituyendo (4.13) en (4.11) tenemos
E
(sup
t≤u≤t+1V(x(u)
))≤|C|E|x(t)|+K9
∫ t+1
t
E|x(u)|du
+ 3β1
√2
λ
(|C|E|x(t)|+K9
∫ t+1
t
E|x(u)|du)1/2
.
Ahora, por el Teorema 4.2.1 tenemos
lım supt→∞
E
(sup
t≤u≤t+1V(x(u)
))≤ (|C|+K9)K8 + 3β1
√2K8(|C|+K9)
λ.
Esto implica que hay una constante positiva L tal que
E
(sup
κ≤u≤κ+1|x(u)|
)≤ L, κ = 1, 2, . . .
44 Propiedades asintoticas de las soluciones
Sea ε > 0 arbitrario. Entonces, por la desigualdad de Chebyshev [20, p. 71], tenemos
P
sup
κ≤t≤κ+1|x(t)| > κ1+ε
≤ L
κ1+ε, κ = 1, 2, . . .
Aplicando el Lema de Borel-Cantelli [12, p. 19] obtenemos que para casi todos los
ω ∈ Ω,
supκ≤t≤κ+1
|x(t)| ≤ κ(ω)1+ε. (4.14)
Por lo tanto existe un κ0(ω), para casi todo ω ∈ Ω para el cual (4.14) se cumple siempre
que κ ≥ κ0. Entonces, para casi todo ω ∈ Ω, si κ ≥ κ0 y κ ≤ t ≤ κ+ 1,
log(|x(t)|)log t
≤ (1 + ε) log κ
log κ= 1 + ε.
Por lo tanto
lım supt→∞
log(|x(t)|)log t
≤ 1 + ε.
Haciendo que ε→ 0 obtenemos el resultado deseado (4.10).
Nota El Teorema 4.2.2 muestra que para todo ε > 0 existe una variable aleatoria Tε(ω)
tal que, c.p. 1
|x(t)| ≤ t1+ε ∀ t ≥ Tε(ω).
En otras palabras, dice que con probabilidad 1, la solucion de CFT no crecera mas
rapido que t1+ε.
4.2.3. Probabilidad de extincion
Otro aspecto importante de estudio en los sistemas de poblacion es el problema de
la extincion. En esta subseccion veremos que si el termino de ruido es “suficientemente
grande” la solucion de la ecuacion CFT se extinguira c.s..
Teorema 4.2.3 [5] Suponga que se cumplen las condiciones (3.9) y (3.10). Considere
tambien que la matriz de intensidad del ruido G(t) es suficientemente grande en el
sentido de que:
λ(t) := λ+max
([b(t)1 + 1′b′(t)
]−G′(t)G(t)
)≤ 0
4.2. Estabilidad de soluciones positivas para CFT 45
y sea
λ := lım supt→∞
1
t
∫ t
0
λ(s)ds < 0,
en donde 1 = (1, . . . , 1) ∈ Rn. Entonces para cada valor inicial x0 ∈ Rn+, la solucion
x(t) de la ecuacion CFT tiene la siguiente propiedad
lım supt→∞
1
tlog(|x(t)|) ≤ c2λ
2|C|2< 0 c.s.,
donde c = mın1≤i≤n
ci. Es decir, la poblacion se extinguira con probabilidad 1.
Demostracion. Definimos
V (x) = Cx =n∑i=1
cixi para x ∈ Rn+.
Por el Teorema de Ito 2.2.3 tenemos la siguiente igualdad:
d[log(V (x(t))
)]=
1
V(x(t)
)x′(t)C([b(t) + A(t)x(t)]dt+G(t)dw(t))
− 1
2V 2(x(t)
)x′(t)CG′(t)G(t)Cx(t)dt.
Pero por la condicion (3.10) tenemos
x′(t)CA(t)x(t) =1
2x′(t)
[CA(t) + A′(t)C
]x(t) ≤ 0.
Mas aun
x′(t)Cb(t) =1
V(x(t)
)x′(t)Cb(t)Cx(t)
=1
V(x(t)
)x′(t)Cb(t)1Cx(t)
=1
2V(x(t)
)x′(t)C[b(t)1 + 1′b′(t)]Cx(t).
Por lo tanto
d[log(V (x(t))
)]≤ 1
2V 2(x(t)
)x′(t)C([b(t)1 + 1′b′(t)]−G′(t)G(t)
)Cx(t)dt
+1
V(x(t)
)x′(t)CG(t)dw(t)
≤ λ(t)|Cx(t)|2
2V 2(x(t)
) dt+1
V(x(t)
)x′(t)CG(t)dw(t).
46 Propiedades asintoticas de las soluciones
Notando que
c|x| ≤ |Cx| y V (x) ≤ |C||x| ∀ x ∈ Rn+,
tenemos entonces
d[log(V (x(t))
)]≤ c2
2|C|2λ(t)dt+
x′(t)CG(t)
V(x(t)
) dw(t).
Integrando la ecuacion anterior de 0 hasta t tenemos
log(V (x(t))
)≤ log
(V (x0)
)+
c2
2|C|2
∫ t
0
λ(s)ds+M(t), (4.15)
donde M(t) es una martingala definida por
M(t) =
∫ t
0
x′(s)CG(s)
V(x(s)
) dw(s).
La variacion cuadratica de esta martingala es
〈M,M〉t =
∫ t
0
|x′(s)CG(s)|2
V 2(x(s)
) ds ≤∫ t
0
||C||2||G(s)||2
c2ds ≤ ||C||
2β2t
c2,
donde β2 = supt≥0 ||G(t)||2 <∞. Por la ley fuerte de grandes numeros para martingalas
tenemos
lımt→∞
M(t)
t= 0 c.s..
Se sigue entonces de (4.15) dividiendo los dos lados entre t y luego haciendo que t→∞que
lım supt→∞
1
tlog(V (x(t))
)≤ c2λ
2|C|2c.s..
Finalmente, notando que c|x| ≤ V (x), obtenemos
lım supt→∞
1
tlog(|x(t)|
)≤ c2λ
2|C|2c.s.,
que era lo que requeriamos.
4.3. Discusion 47
4.3. Discusion
En esta seccion, discutimos los resultados de los Capıtulos 3 y 4 de esta tesis y
tambien hacemos una comparacion con el modelo Lotka-Volterra clasico entre otros.
En el Capıtulo 3 de este trabajo se dan dos resultados que garantizan la existencia
y unicidad de una solucion positiva global para los modelos Lotka-Volterra estocasticos
CC y CFT. En el primer resultado, Teorema 3.1.1, una de las caracterısticas mas
importantes para el modelo CC es que la condicion recae sobre la matriz de intensidad
de ruido G. De hecho, en los artıculos [15, 17], se demuestra que la presencia del ruido
es suficiente para suprimir una posible explosion de la poblacion en un tiempo finito.
Para ser mas precisos, la condicion dada en (3.1) es suficiente para garantizar que el
tiempo de explosion de una solucion de la ecuacion CC sea infinito, es decir, tiene
una solucion global. Por ejemplo, si consideramos el modelo clasico Lotka-Volterra
para mutualismo, en donde todas las entradas de la matriz A son positivas, se puede
presentar una explosion de poblacion en un tiempo finito, ver [10]. Entonces, al agregar
un termino de ruido, no solo estamos ganando realismo en el modelo sino que el ruido
nos garantiza la no explosion de la solucion y liberamos a los demas coeficientes de
cualquier restriccion.
En el segundo resultado, Teorema 3.2.1 para el modelo CFT, la condicion de
existencia y unicidad de una solucion global positiva se le impone a la matriz de inter-
acciones A(t). Observamos una diferencia entre los modelos CC y CFT. En el modelo
CC se requiere que la matriz de intensidad de ruido cumpla la condicion dada en (3.1)
mientras que para el modelo CFT, se necesitan las condiciones dadas en (3.9) y (3.10).
En otras palabras, la condicion para CC se exige sobre la matriz G mientras que para
CFT se le exige a la matriz A(t). Ademas, si revisamos el modelo Lotka-Volterra clasico
de mutualismo, vemos que la condicion de existencia y unicidad de una solucion posi-
tiva es que a11a22 > a12a21, ver [10], y esta impuesta sobre la matriz de interacciones
A. Creemos que este hecho es curioso pues el modelo CC es mas parecido al modelo
clasico de Lotka-Volterra.
En el Capıtulo 4 se dan algunas propiedades asintoticas de estabilidad de las
48 Propiedades asintoticas de las soluciones
soluciones de los modelos CC y CFT. Exceptuando algunos casos simples, como las
ecuaciones lineales, no se conoce la solucion exacta de las EDEs. Entonces, el estudio
de la estabilidad es muy importante ya que por lo menos habla de las tendencias de las
soluciones. Para empezar, en el Teorema 4.1.1, se estudia el acotamiento definitivo en
probabilidad de la solucion del modelo CC. Este resultado da condiciones suficientes
bajo las cuales, la solucion es acotada asintoticamente por una probabilidad de al menos
1−ε, para todo 0 < ε < 1. Tambien es interesante estudiar el acotamiento del segundo
momento en promedio asintoticamente. Esto se trata en el Teorema 4.1.2.
En la segunda parte de este capıtulo, se considera el estudio de la estabilidad de
la solucion del modelo CFT. En el primer resultado, Teorema 4.2.1, se dan condiciones
suficientes para que el primer momento de la solucioon sea acotado asintoticamente.
Luego, se estudian propiedades de las trayectorias de la solucion asintoticamente c.s..
Para ser mas precisos, el Teorema 4.2.2 muestra que para todo ε > 0, existe un tiempo
aleatorio Tε(ω) tal que, la solucion x(t) satisface
|x(t)| ≤ t1+ε, ∀t ≥ Tε(ω) c.s..
En otras palabras, la solucion de CFT no crecera mas rapido que t1+ε c.s.. Finalmente,
se presenta la probabilidad de extincion de la poblacion descrita por el modelo CFT
en el Teorema 4.2.3. De hecho, se dan condiciones suficientes para que la solucion de
CFT sea estable exponencialmente en media cuadratica.
4.3. Discusion 49
Fig. 2
Conclusiones
En esta tesis se estudian existencia y unicidad de soluciones positivas y algunas
propiedades asintoticas de las soluciones de dos modelos de poblacion Lotka-Volterra
estocasticos, el modelo CC (ecuacion (1.8)) y el modelo CFT (ecuacion(1.11)). Estos
modelos se contruyen a partir del modelo clasico Lotka-Volterra (ecuaciones (1.1)),
agregando un termino de competencia a la ecuacion de la dinamica de poblacion de las
presas en la ecuacion (1.6). Luego, se generaliza la cantidad de especies que interactuan
y se anade una perturbacion estocastica al modelo (1.7) en forma de ruido blanco. De
hecho, el ruido blanco se intoduce de dos maneras diferentes y por lo tanto, obtenemos
dos modelos de poblacion Lotka-Volterra estocasticos diferentes, los modelos CC y
CFT.
En el Capıtulo 3, se dan condiciones suficientes bajo las cuales los sistemas CC
y CFT tienen una solucion unica global positiva, ver los Teoremas 3.1.1 y 3.2.1.
En el Capıtulo 4, en el Teorema 4.1.1 se dan condiciones suficientes que garantizan
que la solucion del sistema CC esta acotado definitivamente en probabilidad. Luego, se
presentan algunas condiciones en el Teorema 4.1.2 para que el promedio del segundo
momento de la solucion de CC sea acotado. Despues, en el Teorema 4.2.1, se trata un
resultado que garantiza el acotamiento definitivo en media del modelo CFT y tambien
se da un resultado, Teorema 4.2.2 que garantiza el cumplimiento de una restriccion de
crecimiento asintotico c.s. de las trayectorias de CFT. Finalmente, se da una condicion
en el Teorema 4.2.3 que de cumplirse, garantiza la extincion del sistema de poblacion
CFT, ver [17].
Claramente el alcance del presente trabajo es limitado y hay mucho por hacerse.
4.3. Discusion 51
Dentro de las limitantes del trabajo se cuentan el hecho de considerar dependencia
temporal instantanea y no con retardo finito como se hace en [2] y en [15]. Otra limi-
tacion del trabajo es que el modelo CC, ni el CFT, cuentan con una estructuracion ya
sea por edades como en [24] o por zonas geograficas como en [7].
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