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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA

“SIMULACIÓN DE LOS ALGORITMOS

PARA EL PROCESAMIENTO DIGITAL DE

SEÑALES ELÉCTRICAS DE C. A.”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO ELECTRICISTA

PRESENTAN

AXEL DESALES ENCISO

RUBÉN MARTÍNEZ JAIME

ASESORES

M. EN C. MANUEL AGUILA MUÑOZ

DR. DAVID SEBASTIÁN BALTAZAR

MÉXICO, D. F. FEBRERO DE 2015.

I N G E N I E R Í A E L É C T R I C A

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CONTENIDO

AGRADECIMIENTO .............................................................................................................................. 9

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................... 11

1.1 Introducción. ........................................................................................................................... 11

1.2 Objetivo general. ..................................................................................................................... 12

1.3 Objetivos específicos. .............................................................................................................. 12

1.4 Justificación. ............................................................................................................................ 13

1.5 Estado del arte. ....................................................................................................................... 13

1.6 Estructura de la tesis. .............................................................................................................. 15

1.7 Alcances. .................................................................................................................................. 16

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS DE LAS SEÑALES Y ALGORITMOS PARA SU PROCESAMIENTO

DIGITAL. ............................................................................................................................................. 19

2.1 Introducción. ........................................................................................................................... 19

2.2 Señales. ................................................................................................................................... 19

2.3 Clasificación de las señales. ..................................................................................................... 19

2.3.1 Señales determinísticas y señales aleatorias. .................................................................. 20

2.3.2 Señales continuas y señales discretas. ............................................................................. 20

2.3.3 Señales continuas y señales discretas en el tiempo. ........................................................ 20

2.4 Características de las señales eléctricas de CA de forma senoidal. ........................................ 22

2.4.1 Parámetros característicos de las señales senoidales...................................................... 22

2.4.2 Periodo. ............................................................................................................................ 22

2.4.3 Frecuencia. ....................................................................................................................... 22

2.4.4 Valor pico. ........................................................................................................................ 23

2.4.5 Valor pico a pico. .............................................................................................................. 23

2.4.6 Valor RMS. ........................................................................................................................ 23

2.5 Contenido armónico de señales distorsionadas y sus parámetros. ........................................ 24

2.6 Muestreo de señales eléctricas. .............................................................................................. 26

2.7 Procesamiento digital de señales. ........................................................................................... 27

2.8 Frecuencia de muestreo. ......................................................................................................... 28

2.9 Teorema de muestreo Nyquist-Shannon. ............................................................................... 28

2.10 Efecto Alias. ........................................................................................................................... 30

2.11 Ventana de datos. ................................................................................................................. 32


6

2.12 Algoritmos para el procesamiento digital de señales eléctricas de C.A. .............................. 35

2.13 Algoritmos de ventana corta. ................................................................................................ 37

2.13.1 Algoritmo Miki & Mikano. .............................................................................................. 37

2.13.2 Algoritmo Mann & Morrison. ......................................................................................... 39

2.13.3 Algoritmo Gilbert & Shovlin. .......................................................................................... 41

2.14 Algoritmos de ventana larga. ................................................................................................ 48

2.14.1 Algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo. ................. 48

2.14.2 Algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de medio ciclo. ...................... 50

2.14.3 Algoritmo filtro coseno. ................................................................................................. 52

2.14.4 Algoritmo del filtro de Mínimos Errores Cuadrados. ..................................................... 55

2.15 Selección de la frecuencia de muestreo. .............................................................................. 61

CAPÍTULO 3. DISEÑO Y DESARROLLO DE LA INTERFAZ MATLAB-PSCAD. ......................................... 63

3.1 Introducción. ........................................................................................................................... 63

3.2 Elaboración del módulo para la estimación fasorial. .............................................................. 63

3.3 Generación de la señales de entrada para la elaboración de pruebas. .................................. 66

3.3.1 Discretización de la señales de entrada. .......................................................................... 67

3.4 Elaboración de pruebas a algoritmos. ..................................................................................... 69

3.4.1 Elaboración de pruebas al algoritmo Gilbert & Shovlin en PSCAD. ................................. 69

Prueba 1.- Señal de entrada fundamental (60 Hz): ................................................................... 69

3.4.2 Elaboración de pruebas al algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de

ciclo completo en PSCAD. ......................................................................................................... 73

Prueba 1.- Señal fundamental (60 Hz): ..................................................................................... 73

3.4.3 Elaboración de pruebas al algoritmo filtro coseno en PSCAD. ........................................ 77


3.4.4 Elaboración de pruebas al algoritmo Mínimos Errores Cuadrados (MEC) en PSCAD. ..... 81


3.4.5 Elaboración de pruebas para la estimación de espectro armónico. ................................ 85

CAPÍTULO 4. ESTIMACIÓN DE SEÑALES GENERADAS POR SISTEMAS ELÉCTRICOS DE PSCAD. ........ 91

4.1 Introducción. ........................................................................................................................... 91

4.2 Selección y descripción del sistema eléctrico 1: “Un filtro activo simplificado en

configuración paralelo” sometido a pruebas de estimación fasorial. .......................................... 91

4.2.1 Señal generada por el sistema eléctrico 1. ...................................................................... 92


7

4.2.2 Elaboración de pruebas al sistema eléctrico 1. ................................................................ 93

4.2.3 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo Gilbert &Shovlin. .............................. 93

4.2.4 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo de la Transformada discreta de Fourier

de ciclo completo (TDF). ............................................................................................................ 94

4.2.5 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo filtro coseno. .................................... 94

4.2.6 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo de Mínimos Errores Cuadrados. ....... 95

4.2.7 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier

(FFT). .......................................................................................................................................... 97

4.2.8 Comparación de los valores de la estimación de contenido armónico obtenidos por los

algoritmos MEC Y FFT. ............................................................................................................... 99

4.2.9 Comparación del valor de la estimación realizada por los 5 algoritmos implementados.

................................................................................................................................................. 100

4.3 Selección y descripción del sistema eléctrico 2: “Tensión de cosquilleo” sometido a pruebas

de estimación fasorial. ................................................................................................................ 101

4.3.1 Señal generada por el primer caso del sistema eléctrico 2............................................ 102

4.3.2 Elaboración de pruebas al sistema eléctrico 2. .............................................................. 103

4.3.3 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo Miki & Mikano. ............................... 103

4.3.4 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo Gilbert & Shovlin. ........................... 104

4.3.5 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo de Mínimos Errores Cuadrados (MEC).

................................................................................................................................................. 104


(FFT). ........................................................................................................................................ 105


................................................................................................................................................. 106

4.4 Selección y descripción del sistema eléctrico 3: “Protección de un sistema de conexión entre

2 subestaciones de potencia, caso 1” sometido a pruebas de estimación fasorial. ................... 107

4.4.1 Señal generada por el sistema eléctrico 3, caso 1. ........................................................ 108

4.4.2 Elaboración de pruebas al sistema eléctrico 3, caso 1. .................................................. 108

4.4.3 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo Gilbert &Shovlin. ............................ 109


de ciclo completo (TDF). .......................................................................................................... 109

4.4.5 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo filtro coseno. .................................. 110


(FFT). ........................................................................................................................................ 111


8


................................................................................................................................................. 111


2 subestaciones de potencia, caso 2” sometido a pruebas de estimación fasorial. ................... 113

4.5.1 Señal generada por el segundo caso del sistema eléctrico 3. ........................................ 113

4.5.2 Elaboración de pruebas al sistema eléctrico 1. .............................................................. 114

4.5.3 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo filtro coseno. .................................. 114


................................................................................................................................................. 115


(FFT). ........................................................................................................................................ 116


................................................................................................................................................. 117

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES. ......................................................................................................... 121

ANEXO A. ELABORACIÓN DE LAS FUNCIONES DE USUARIO Y PRUEBAS EN MATLAB. ................... 125

Algoritmo Miki & Mikano. ....................................................................................................... 130

A.2.7 Algoritmo Rockefeller & Udren. ..................................................................................... 148

Elaboración de pruebas al algoritmo Rockefeller & Udren. .................................................... 149

Algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo........................... 153

Algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de medio ciclo. ................................... 160

Algoritmo filtro coseno. .......................................................................................................... 167

Elaboración de pruebas al algoritmo filtro coseno. ................................................................ 170

Algoritmo de Mínimos Errores Cuadrados (MEC). .................................................................. 175

Elaboración de pruebas al algoritmo de Mínimos Errores Cuadrados (MEC). ........................ 179

ANEXO B. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. ...................................................................................... 185

ANEXO C. CÓDIGOS DE LOS PROGRAMAS REALIZADOS. ................................................................ 187


9

AGRADECIMIENTO

Estas líneas expresan nuestro profundo agradecimiento al Instituto Politécnico Nacional por

abrirnos sus puertas y brindarnos la gran oportunidad de convertirnos en profesionistas, ávidos de

servir a nuestro país y contribuir a su desarrollo con responsabilidad, compromiso y entrega,

dignificando así, a tan noble e importante institución, haciendo vigente el lema que nos acompañó

a lo largo de nuestra formación y que ha marcado nuestra vida, pues resume la misión que el

Politécnico nos ha confiado: “La técnica al servicio de la patria”.

Externamos total gratitud a la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica por ofrecernos

en sus aulas y laboratorios el conocimiento y carácter que nos transformaron en hombres llenos

de anhelos de superación y mediante la voluntad, transformar esos deseos en logros y metas

cumplidas, orgullosos de hacer valer la frase de uno de los fundadores de nuestra escuela: “Nada

tan satisfactorio como el éxito alcanzado por el esfuerzo propio”

Agradecemos a nuestros padres por la confianza, apoyo y sustento recibidos durante nuestra

formación profesional, resaltando que todos nuestros ideales, esfuerzos y logros son también

suyos y constituyen el legado más importante que pudiéramos recibir.

Agradecemos a nuestros asesores, el M. en C. Manuel Aguila Muñoz y al Dr. David Sebastián

Baltazar por todo el tiempo y esfuerzo dedicados a nuestro proyecto; agradecemos la confianza y

el conocimiento depositado en nosotros para efectuar la presente tesis, gracias a su guía y ayuda

nuestro trabajo y determinación rendirán frutos a lo largo de nuestra existencia y finalmente

agradecemos al proyecto multidisciplinario 20130235: “Desarrollo de sistemas de adquisición de

datos básicos para elementos de la planta solar”, por ofrecernos los medios para la realización de

esta tesis.

Con gratitud, admiración y respeto, Axel y Rubén.


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11

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN.

1.1 Introducción.

El área de la Ingeniería Eléctrica denominada “Procesamiento Digital de Señales” (PDS) se

concentra en el análisis, representación, transformación, manipulación de la información que las

señales contienen y en el procesamiento de señales representadas en forma digital, es decir,

discretizadas en el tiempo y en la amplitud, para lo cual se requiere de 2 componentes básicos: un

algoritmo y una máquina calculadora. El PDS se ha desarrollado en forma sostenida a partir de la

década de los setentas, desde que la disponibilidad de computadoras hizo posible la aplicación

práctica de algoritmos que previamente sólo habían sido evaluados en forma manual.

Los avances en las tecnologías de integración de circuitos electrónicos han permitido reemplazar

en forma paulatina los circuitos analógicos por circuitos digitales que ocupan un menor volumen, y

que están libres de los problemas de tolerancia de los componentes, calibración, y calor que

afectan a los primeros [1], generando grandes cambios, durante los primeros años el principal

interés en este campo era el desarrollo de algoritmos para la transformada rápida de Fourier y el

diseño de filtros digitales.

Actualmente quien se dedique en el área de procesamiento digital de señales, debe poseer

conocimientos acerca de la teoría de la aproximación, teoría de matrices y sistemas dinámicos,

transformada Z, respuesta al impulso, convolución, respuesta a la frecuencia, el teorema del

muestreo, transformada discreta de Fourier, algoritmos de transformada rápida de Fourier, dado

que estos temas son extensamente conocidos, por lo tanto existe un gran número de paquetes de

software que manejan este material estándar (por ejemplo, MATLAB) y que pueden servir como

un soporte paralelo en cuanto a ejercicios de tipo numérico y gráfico [3].

El motivo por el cual se ha optado por la utilización de un software para la simulación de sistemas

eléctricos de potencia son las ventajas que brinda, ya que permiten modelar diferentes formas y

condiciones en las cuales se puede presentar el problema, planteando posibles soluciones y así

realizar una comparación para determinar cual se adecua a las necesidades existentes, y poder

realizar simulaciones del sistema, cuyo propósito será asimilar los resultados, y conocer las

entradas que requiere el software. Las desventajas que se presentan es la gran cantidad de tiempo

que exige el desarrollo de modelos necesarios para la simulación, de igual forma si el modelo

desarrollado no es una representación válida del sistema a analizar, entonces los resultados


12

obtenidos proporcionarán muy poca información, por lo que se debe que recurrir al diseño de

nuevos modelos [5].

El software en el que se implementarán los algoritmos para realizar el procesamiento digital de

señales es MATLAB, este software es interactivo, combina el cálculo numérico con

representaciones gráficas. De esta forma íntegra el análisis numérico, el cálculo matricial y el

procesado de señales con gráficos que facilitan la comprensión de dichos cálculos. El segundo

programa a utilizar es PSCAD/EMTDC, este software es una herramienta especialmente orientada

al campo de la ingeniería eléctrica, destacando entre sus aplicaciones el modelado de líneas y

cables, sistemas de control y equipos de electrónica de potencia.

EMTDC (Electromagnetic Transients including DC), se encarga de simular los sistemas eléctricos y

está especialmente diseñado para simular respuestas instantáneas en el dominio del tiempo,

además de la respuesta de los transitorios electromagnéticos. Su capacidad de simulación se ve

potenciada gracias a una interfaz gráfica conocida como PSCAD (Power Systems CAD), que permite

al usuario diseñar gráficamente circuitos eléctricos y simularlos, para el análisis de resultados y

manejar los datos en un entorno gráfico totalmente integrado [5].

1.2 Objetivo general.

Desarrollar y simular en MatLab los algoritmos para el procesamiento de señales de prueba,

obtener los fasores correspondientes deestas señales de entrada e implementar los algoritmos

que brinden las mayores ventajas mediante una interfaz con el software PSCAD-EMTDC para el

procesamiento digital de señales de tensión y corriente presentes en los sistemas eléctricos y

realizar la comparación de los resultados obtenidos con la finalidad de valorar la confiablidad que

los diversos algoritmos ofrezcan.

1.3 Objetivos específicos.

1.- Programar las funciones de usuario en MatLab que representen a los algoritmos para realizar el

procesamiento digital de señales eléctricas (APDSE).

2.- Desarrollar un programa en MatLab para analizar el desempeño de las funciones de usuario de

los APDSE ante diferentes distorsiones de señales de C.A.


13

3.- Implementar una interfaz para vincular las funciones de usuario de los APDSE con el simulador

PSCAD-EMTDC.

4.- Crear el esquema en PSCAD-EMTDC para simular y analizar los APDSE que brinden las mejores

características ante diferentes casos de prueba.

5.- Documentar los resultados y conclusiones obtenidas en los diferentes casos de prueba.

1.4 Justificación.

En nuestros días hay un gran avance en la tecnología, considerando que el campo de la Ingeniería

Eléctrica tiene un enorme crecimiento y como la tendencia actual es interactuar con nuestro

mundo a través de la tecnología digital dejando atrás a los sistemas analógicos, entonces para

estudiar el comportamiento de los sistemas eléctricos de potencia es necesario procesar señales

eléctricas de C.A. de forma digital, implementando algoritmos que permitan llevar acabo dicho

procesamiento a través del muestreo, el cual consiste en tomar muestras de una señal analógica

para cuantificarlas y procesarlas, en este caso mediante algoritmos desarrollados en MATLAB,

cuyo fin es analizar los datos que entrarán a través de una interfaz vinculada con el simulador

PSCAD-EMTDC.

La posibilidad de determinar los fasores (los cuales representan la amplitud y la fase de las

señales eléctricas) en los sistemas de transmisión y distribución de energía eléctrica es de suma

importancia, la medición fasorial permite monitorear y diagnosticar los sistemas eléctricos de

potencia. Por este motivo es indispensable analizar y efectuar la aplicación de las técnicas de

estimación de fasores, estas comúnmente denominadas como filtro digitales.

Al diseñar un sistema eléctrico en el simulador PSCAD-EMTDC el cual engloba diferentes casos

para comprobar cada uno de los algoritmos que se implementaran en MatLab, a partir de la

obtención de las características de la señal eléctrica bajo análisis. Esto permitirá conocer las

ventajas y desventajas que dichos algoritmos puedan presentar, así como el campo de trabajo en

el que desempeñen el procesamiento digital con la mejor efectividad y exactitud.

1.5 Estado del arte.

Dado que el procesamiento digital de una señal sólo requiere efectuar ciertos cálculos a partir de

los datos disponibles, y que en muchas ocasiones dichos cálculos pueden ser efectuados en forma


14

manual, se puede afirmar que PDS se practicó durante varios siglos de manera básica, mucho

antes de la aparición de los computadoras, en situaciones tales como el análisis y la predicción del

movimiento de cuerpos celestes, o en el análisis y la predicción de las mareas [1].

En cierto sentido, el originen principal de las técnicas de procesamiento digital de señales se

remonta al siglo XII cuando se formularon los métodos de diferencias finitas, integración numérica

e interpolación numérica para resolver problemas físicos que incluían variables y funciones

continuas [2].

Uno de los primeros avances formales en PDS fue el artículo “Certain topics in Telegraph

Transmission Theory”, publicado por Harry Nyquist en 1928, en el cual se presentó el efecto

producido en el espectro de frecuencia de una señal analògica al ser discretizada en el tiempo [1].

Posteriormente, en 1949 Claude Shannon publicó el artículo “Communications in thePresence of

Noise”, donde demostró que es posible reconstruir perfectamente una señal eléctrica analógica a

partir de sus muestras, si se dispone de un filtro pasa bajos analógico ideal. (Si bien no es posible

fabricar un filtro de este tipo, es posible aproximarse bastante a él en muchas situaciones

prácticas). El primer tipo de procesamiento electrónico que se desarrolló y se aplicó

extensivamente fue el procesamiento analógico, el cual se lleva a cabo mediante circuitos

compuestos por resistores, capacitores, inductores, amplificadores operacionales, entre otros.

El interés más reciente en el procesamiento digital de señales surgió en la década de 1950 con el

advenimiento de grandes computadoras digitales. El procesamiento digital de una señal requiere

(en la mayoría de los casos) de la realización de un gran número de cálculos, haciéndolo inviable si

no se dispone de una computadora. Este problema dificultó el avance en el área del PDS hasta los

años 60 y 70, época en la cual progresó rápidamente, gracias a la disponibilidad de grandes

computadoras en instituciones educativas y militares [1].

Las aplicaciones iniciales se relacionaron con la simulación de métodos de procesamiento de

señales analógicas, considerando desde entonces al procesamiento digital de señales como un

campo independiente [2]. Algunos de los tópicos abordados fueron:

• Diseño e implementación de filtros digitales.

• Invención y optimización de algoritmos.


15

• Compresión de voz.

• Procesamiento de imágenes (fotos tomadas por satélites y naves espaciales).

• Sismología (búsqueda de minerales y de petróleo).

En esa época las aplicaciones de PDS al procesamiento de señales en tiempo real (tales como

radar, sonar, cancelación de ecos, modems) eran muy limitadas. Los procesadores DSP se

construían con centenares de circuitos integrados TTL, tenían un costo exorbitante (excepto para

aplicaciones militares) y eran muy complejos. Por lo tanto, la mayoría de los trabajos consistía en

desarrollar y ensayar algoritmos en los grandes computadoras que poseían las universidades,

empresas y otras instituciones [1].

El desarrollo rápido es el resultado de los importantes avances tanto en la tecnología digital como

en la fabricación de los circuitos integrados, ha estimulado el desarrollo de computadoras digitales

y hardware digital de propósito especial más potente, fiable, de menor tamaño, más rápido y

menos costoso, haciendo posible la realización de tareas y funciones de procesamiento digital de

señales, que convencionalmente son bastante complejas y/o costosas de implementar mediante

circuitería analógica o sistemas de procesamiento de señales digitales.

1.6 Estructura de la tesis.

A continuación se describen de manera breve la estructura y el contenido de cada uno de los

capítulos de esta tesis:

Capítulo 1, se da una introducción general sobre el tema del trabajo, así como la descripción del

objetivo general y el planteamiento de los objetivos específicos, también se justifica la elección del

tema y se describe el estado del arte referente al procesamiento digital de señales y su desarrollo

a través del tiempo.

Capítulo 2, se presenta la definición, tipos, características y parámetros de la señales, también se

explica los fenómenos que las afectan y que criterios serán tomados en cuenta para que éstas

sean procesadas digitalmente, además se expone el procedimiento matemático para la obtención

de las expresiones que definen a cada algoritmo.

Capítulo 3, se realizó la interfaz de usuario, cuyo propósito será la interacción de las cantidades

instantáneas de las señales generadas por circuitos eléctricos diseñados en PSCAD-EMTDC y,


16

mediante la interfaz brindar una serie de datos a las funciones de usuario desarrolladas en

MatLab.

Capítulo 4, se simularon diferentes casos de aplicación de los algoritmos implementados dentro

de este trabajo, para comprobar su funcionamiento y las formas de interacción, asi como las

ventajas y desventajas que pueden llegar a presentar bajo diferentes casos de prueba.

Capítulo 5, se presentan las principales conclusiones que se obtuvieron durante el desarrollo de

este trabajo.

1.7 Alcances.

Programación de las funciones de usuario de los siguientes algoritmos en Matlab para

realizar el procesamiento digital de señales eléctricas de C.A (APDSE):

Algoritmos de ventana corta:

Miki & Mikano

Mann & Morrison

Rockefeller & Udren

Gilbert & Shovlin

Algoritmos de ventana larga:

Transformada discreta de Fourier de ciclo completo (DFT)

Transformada discreta de Fourier de medio ciclo (DFT)

Filtro coseno

Algoritmo para la estimación de espectro armónico:

Mínimos Errores Cuadrados (MEC)

Desarrollo de un programa en MatLab para analizar las respuestas de las funciones de

usuario de los APDSE ante las siguientes señales de entrada de prueba:

Señal fundamental (60 Hz).

Señal fundamental más tercer armónico.

Señal fundamental más quinto armónico.

Señal fundamental más transitorio.

Señal fundamental más componente de CD decreciente.


17

Implementación de una la interfaz para vincular las funciones de usuario de los APDSE con

el simulador PSCAD-EMTDC.

Creación del esquema en PSCAD-EMTDC para simular y analizar los APDSE ante los

diferentes casos de prueba.

Documentación de los resultados obtenidos de los diferentes casos de prueba.


18


19

CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS DE LAS SEÑALES Y ALGORITMOS PARA SU

PROCESAMIENTO DIGITAL.

2.1 Introducción.

Los conceptos de señales y sistemas aparecen en una amplia variedad de campos, de manera que

las ideas y técnicas asociadas con estos conceptos juegan un papel importante en áreas tan

diversas como comunicaciones, sistemas de generación y distribución de energía eléctrica,

aeronáutica, diseño de circuitos, acústica, óptica, sismología, control de procesos, reconocimiento

de patrones, entre otras.

2.2 Señales.

Las señales contienen información acerca de la naturaleza o comportamiento de algún fenómeno,

en general, una señal es cualquier cantidad cuya magnitud se puede representar

matemáticamente como función de una o más variables independientes [3]. Las señales pueden

ser generadas en forma natural o artificial, algunos ejemplos de señales naturales son la radiación

electromagnética de una estrella, la altura de la marea y la velocidad del viento. Algunos ejemplos

de señales artificiales son la generación de energía eléctrica, emisión de un canal de TV, las ondas

emitidas y recibidas por radares, teléfonos celulares, sonares, etc.

La variable independiente más común es el tiempo, y algunas señales que dependen de él son,

por ejemplo, la voz, una onda de radio, un electrocardiograma, las señales eléctricas (base para la

realización de este trabajo) que son tensiones o corrientes que contienen información, a parte de

las señales eléctricas existen otras, de naturaleza magnética, hidráulica, neumática, luminosa, etc.

Además del número de variables independientes del que dependen, las señales se pueden

clasificar (independientemente de su naturaleza física) de acuerdo a sus propiedades básicas [5].

2.3 Clasificación de las señales.

Las señales se pueden clasificar en categorías diferentes dependiendo de las características de la

variable independiente y de los valores que estas tomen.


20

2.3.1 Señales determinísticas y señales aleatorias.

Cualquier señal que pueda ser modelada mediante una expresión matemática precisa, un

conjunto específico de datos o una regla bien definida, de manera que los valores que toma la

señal a lo largo del tiempo pueden ser conocidos sin ninguna incertidumbre, se denomina señal

determinística [5].

2.3.2 Señales continuas y señales discretas.

Si una señal toma todos los valores posibles en un rango finito o infinito, se dice que es una señal

continua. Alternativamente, si toma valores dentro de un conjunto finito de posibles valores, se

dice que la señal es discreta [5].

2.3.3 Señales continuas y señales discretas en el tiempo.

Las señales continuas en el tiempo o señales analógicas están definidas para cada instante de

tiempo y toman sus valores en el intervalo continuo. Matemáticamente, estas señales pueden

describirse mediante funciones de una variable continua. La onda de voz mostrada a continuación

es un ejemplo de señal analógica [5].

Figura 2.3.1. Ejemplo de una señal de voz [5].

Las señales discretas en el tiempo sólo están definidas en determinados instantes específicos de

tiempo, en la práctica, normalmente estos instantes de tiempo están igualmente espaciados como

lo muestra la figura 2.3.2.


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Figura 2.3.2. Ejemplo de una señal discreta en el tiempo.

Si el índice n es utilizado para instantes de tiempo discretos como la variable independiente, el

valor de la señal será una función de una variable entera (es decir, será una secuencia de

números), por tanto, una señal discreta en el tiempo se puede representar matemáticamente

mediante una secuencia de números reales o complejos.

Con el fin de resaltar la naturaleza discreta de una señal, se denota dicha señal como 𝑥(𝑛). Si los

instantes de tiempo 𝑡𝑛 están igualmente espaciados (es decir, 𝑡𝑛 = 𝑛𝑇), también se utiliza la

notación 𝑥(𝑛𝑇). Por ejemplo, la secuencia:

𝑥(𝑛) = {0.8𝑛, 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 0 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Es una señal discreta en el tiempo, que se representa gráficamente en la figura 2.3.3 [5]:

Figura 2.3.3. Representación gráfica de una señal discreta en el tiempo [5].


22

2.4 Características de las señales eléctricas de CA de forma senoidal.

Se entiende por señal eléctrica a una magnitud eléctrica cuyo valor o intensidad depende del

tiempo. Así, 𝑣(𝑡) e 𝑖(𝑡) son una tensión y una corriente correspondientemente, cuya intensidad

depende del tiempo. Generalmente se designa la palabra señal para referirse a magnitudes que

varían de alguna forma en el tiempo. Las magnitudes constantes son casos particulares de señales

eléctricas [4].

2.4.1 Parámetros característicos de las señales senoidales.

A continuación se exponen los parámetros característicos de las señales alternas de forma

senoidal, tal como:

Periodo

Frecuencia

Valor pico

Valor pico a pico

Valor RMS

2.4.2 Periodo.

Una onda senoidal varía con respecto al tiempo (𝑡) de manera que sea indefinible. El tiempo

requerido para que una onda senoidal complete un ciclo es llamado periodo (𝑇) [4]. En la figura

2.4.1 se ilustra el periodo de una onda seno de forma característica repitiéndose a sí misma en

ciclos idénticos, al tener que todos los ciclos de una onda senoidal repetitiva son iguales, el

periodo, es por lo tanto un valor fijo.

El periodo de una onda seno se mide desde su cruce por cero hasta el siguiente cruce por cero o

alternativamente, en un ciclo dado el periodo también puede medirse desde cualquier pico hasta

el correspondiente pico alcanzado en el siguiente ciclo [4].

2.4.3 Frecuencia.

La frecuencia (𝑓) constituye el número de ciclos que una onda cumple en un segundo [11].

Mientras más ciclos se completen en un segundo, más alta será la frecuencia (conservando una


23

relación directamente proporcional), esta tiene como unidad de medida a los Hertz [Hz]. Un Hertz

equivale a un ciclo por segundo, consecuentemente, 60 [Hz] corresponde a tener 60 ciclos en un

segundo. De lo anterior se deduce lo siguiente:

𝑓 =1

𝑇 [2.1]

𝑇 =1

𝑓 [2.2]

Esta relación inversa tiene sentido porque una onda senoidal cuyo periodo es extenso, efectúa

menos ciclos en un segundo en comparación con una onda con periodo corto [11].

2.4.4 Valor pico.

Representa el valor de tensión o corriente en el punto máximo de la onda llamado pico positivo o

negativo con respecto a cero, puesto que los valores pico positivos y negativos comparten la

misma magnitud, la onda senoidal se caracteriza por tener un solo valor pico como lo ilustra la

figura 2.4.1 [11].

2.4.5 Valor pico a pico.

El valor pico a pico es la magnitud de la tensión o la corriente que va desde el pico positivo hasta

el pico negativo [11], por lo tanto es el doble del valor pico tal como se observa en la figura 2.4.1 y

se expresa en las ecuaciones 2.3 y 2.4.

Valor pico a pico de la tensión 𝑉𝑝𝑝 = 2𝑉𝑝 [2.3]

Valor pico a pico de la corriente 𝐼𝑝𝑝 = 2𝐼𝑝 [2.4]

2.4.6 Valor RMS.

El término RMS deriva de las siglas Root Mean Square, significa raíz media cuadrática y se expresa

mediante la ecuación (2.5), el valor RMS conocido también como valor eficaz de una tensión

eléctrica descrita por una onda senoidal (corriente alterna) se define como el valor de una

corriente estrictamente constante (corriente continua) que, al circular por una determinada

resistencia óhmica pura produce los mismos efectos caloríficos (igual potencia disipada) que dicha

corriente alterna.

http://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_continua


24

De esa forma, una corriente eficaz es capaz de producir el mismo trabajo que su valor en

corriente directa.

Valor RMS o eficaz 𝑉𝑅𝑀𝑆 =𝑉𝑝

√2 [2.5]

Figura 2.4.1. Parámetros característicos de las señales de forma senoidal.

2.5 Contenido armónico de señales distorsionadas y sus parámetros.

Para entender que es un armónico, inicialmente se debe establecer que la calidad de la onda de

las señales eléctricas de forma senoidal debe tener amplitud y frecuencia constantes. En el inciso a

de la figura 2.5.1 se ilustra dicha onda con una frecuencia constante de 60 [Hz] y amplitud

constante.

Figura 2.5.1. Onda fundamental y frecuencias de armónicos.


25

Si la señal eléctrica de forma senoidal no cumple con los parámetros anteriormente establecidos

se dice que tiene contenido armónico, lo cual produce alteraciones en su valor pico y valor RMS,

provocando el mal funcionamiento de los equipos que estén sometidos a dicha señal eléctrica

[13].

La IEEE define armónico como una componente senoidal de una onda periódica o cuantificable

que posee una frecuencia múltiple de la frecuencia fundamental. La distorsión armónica se refiere

al factor de distorsión con respecto a la onda pura del seno [14]. La figura 2.5.1 en los incisos b, c,

d y e muestra las frecuencias correspondientes a cada armónico, las cuales son un múltiplo de la

frecuencia fundamental (60 [Hz]). La figura 2.5.2 ilustra una onda de tensión que es alterada por la

5ta armónica.

Figura 2.5.2. Onda de tensión con contenido armónico.

2.5.1 Fuentes de armónicos en los sistemas eléctricos.

Actualmente los sistemas eléctricos cuentan con una gran cantidad de elementos no lineales cuya

impedancia no es constante, los cuales generan ondas de diferentes frecuencias a partir de la

onda de frecuencia fundamental 60 [Hz] de la red, ocasionando el fenómeno conocido como

armónicos [13].

Los armónicos generan problemas para los usuarios y para la compañía encargada de prestar el

servicio de energía eléctrica, ocasionando efectos nocivos en los equipos conectados a la red. Las

cargas no lineales que son sometidas a una señal senoidal, presentan una respuesta no senoidal.

Las principales fuentes de armónicos son [13]:


26

Compensadores estáticos de potencia reactiva.

Controladores de velocidad ajustables empleados en ventiladores, bombas y

controladores de procesos.

Swiches en estado sólido que modulan corrientes de control, intensidad de luz, calor, etc.

Fuentes contraladas para equipos electrónicos.

Rectificadores constituidos por diodos o tiristores para equipos de soldadura, cargadores

de baterías, etc.

Estaciones en DC de transmisión en alta tensión.

Convertidores de AC a DC (inversores).

Núcleos magnéticos de los transformadores y máquinas rotativas que requieren corriente

de tercer armónico para excitar el hierro.

La corriente Inrush de los transformadores (producen segundo y cuarto armónico).

2.6 Muestreo de señales eléctricas.

En la práctica, las señales discretas en el tiempo se originan al seleccionar valores de una señal

analógica en instantes discretos de tiempo. Este proceso se denomina muestreo, todos los

instrumentos de medida que realizan medidas a intervalos de tiempo regulares proporcionan

señales discretas en el tiempo [5].

Se define muestreo como la cantidad de veces que obtenemos un valor de la señal en un periodo

de tiempo (𝑇), existen diferentes métodos de muestreo de señales analógicas que se han

utilizado, entre ellos se puede mencionar [8]:

Tomar muestras con espaciamiento uniforme durante todo el ciclo de la señal, siendo esta

la más utilizada.

Muestrear con alta frecuencia durante parte del ciclo, detener el muestreo para procesar

datos, y reanudarlo posteriormente.


27

Muestrear con baja frecuencia en régimen normal del sistema, y continuar a una

frecuencia mayor en caso de falla.

La elaboración de éste proyecto emplea el muestreo de espaciamiento uniforme durante todo el

ciclo de la señal como lo ilustra la figura 2.6.1, debido a que los algoritmos implementados

trabajan de manera correcta con muestras de información tomadas constantemente en el tiempo

que es la característica fundamental este método de muestreo.

Figura 2.6.1. Muestreo de una señal analógica.

2.7 Procesamiento digital de señales.

Se puede definir el procesamiento digital de señales como el conjunto de técnicas y

herramientas para el tratamiento de señales en el dominio discreto o digital; para que una señal

pueda ser procesada digitalmente, debe ser discreta en el tiempo y los valores que la componen

tienen que ser discretos, es decir, tiene que ser una señal digital. Si la señal que se va a procesar es

una señal analógica, se convierte en una señal digital muestreándola en instantes discretos de

tiempo, y cuantificando a continuación sus valores en un conjunto de valores discretos. El proceso

de conversión de una señal continua en una señal discreta se denomina cuantificación, y es


28

básicamente un proceso de aproximación que puede realizarse de forma simple mediante

redondeo o truncamiento [1].

2.8 Frecuencia de muestreo.

La frecuencia de muestreo es fundamental en la reconstrucción de la señal analógica continua en

el dominio del tiempo; cuando la frecuencia de muestreo es baja, disminuye la cantidad de

información por unidad de tiempo que describe a la señal digital resultante, contrariamente, al

incrementar la frecuencia de muestreo se obtienen más muestras de información de la señal

original por unidad de tiempo y esto resulta en una señal digital semejante a la señal analógica de

entrada.

Para la reconstrucción de una señal analógica a partir de su discretización, se debe realizar un

procedimiento que incluye dos fórmulas básicas con las cuales calculan la frecuencia de muestreo

(2.6) y el intervalo de muestreo (2.7).

𝐹𝑚 = 𝑛𝑚𝑝𝑐 ∗ 𝑓 [2.6]

Dónde:

Fm: Frecuencia de muestreo.

nmpc: Número de muestras por ciclo tomada de la discretización de la señal de entrada.

f: Frecuencia nominal del sistema.

∆𝑡 =1

𝐹𝑚 [2.7]

Dónde:

Fm: Frecuencia de muestreo

∆t: Intervalo de muestreo

2.9 Teorema de muestreo Nyquist-Shannon.

El teorema del muestreo Nyquist-Shannon, establece que para obtener la reconstrucción

apropiada de una señal analógica a partir de una señal muestreada, se necesita que dicho

muestreo sea realizado a una frecuencia de al menos el doble de la frecuencia máxima que alcanza


29

la señal analógica [12], esto representa un obstáculo al aplicarlo en los algoritmos desarrollados en

este trabajo, porque las frecuencias de muestreo aplicadas para su funcionamiento sobrepasan en

demasía a dicho teorema.

De acuerdo al teorema de Nyquist-Shannon para una señal senoidal con una frecuencia de 60

[Hz], la frecuencia de muestreo debería de ser de 120 [Hz], en la figura 2.9.1 se observa que las

muestras obtenidas en base a este teorema, no representan una reconstrucción de la señal de 60

[Hz], por lo que la frecuencia de muestreo debe de ser mayor, para que el tiempo de muestreo

sea de un valor muy bajo y se tomen más muestras de la señal de entrada.

Figura 2.9.1. Muestras obtenidas al aplicar el teorema de Nyquist-Shannon


30

En la figura anterior se tiene una frecuencia de muestreo de 720 [Hz], siendo necesario tomar 12

muestras de la señal, para que la reconstrucción digital de ésta a través de la discretización sea

similar a la señal analógica de entrada.

2.10 Efecto Alias.

El efecto alias es un fenómeno de confusión de frecuencia propio de la conversión

analógico/digital, provoca que señales continuas se tornen indistinguibles cuando se les muestrea

digitalmente. Cuando ésta superposición sucede, la señal original no puede ser reconstruida de

forma unívoca a partir de la señal digital, como lo exponen los siguientes ejemplos.

Al discretizar una señal con una frecuencia de muestreo igual a la frecuencia de la señal analógica,

estando en fase, o con un desfasamiento de 90° o 180°, la señal muestreada es equivalente a ver

sólo una línea recta o ceros en la señal reconstruida, como se observa en la figura 2.10.1,

teniendo en consideración la ecuación (2.6):

𝐹𝑚 = 𝑛𝑚𝑝𝑐 ∗ 𝑓 [2.6]

𝑛𝑚𝑝𝑐 =𝐹𝑚

𝑓=

720 𝐻𝑧

720 𝐻𝑧= 1

Figura 2.10.1. Efecto alias causado por la igualdad entre la frecuencia de muestreo y la frecuencia de

la señal analógica.


31

Si se muestrea una señal analógica de frecuencia elevada con una frecuencia de muestreo baja, al

reconstruirla se obtiene una señal con una frecuencia distinta a la original, como se observa en la

figura 2.10.2, en donde se tienen las señales analógicas A, B y la señal resultante de la suma de

éstas, al muestrear esta última a 720 [Hz], equivalente a 12 muestras por ciclo, la reconstrucción

resultante no es semejante a la original, siendo la señal de color rojo un alias de la señal original.

Figura 2.10.2. Efecto alias originado por la baja frecuencia de muestreo a una señal de una

frecuencia elevada.

De lo anterior se deduce que la frecuencia de muestreo debe ser superior a la frecuencia

correspondiente al armónico de mayor frecuencia. La teoría de muestreo Nyquist Shanon

establece el mínimo teórico aunque en la práctica, las frecuencias de muestreo son usualmente de

un valor mucho mayor que la frecuencia más alta de entrada. Cuando se viola la teoría de Nyquist

Shanon tienen lugar errores de solapamiento o aliasing [5].

Dicha regla se puede ilustra en la figura 2.10.3, en donde se muestra el ejemplo anterior pero

ahora con una frecuencia de muestreo de 3000 [Hz], equivalente a tener 50 muestras por ciclo de

la señal analógica, lo que resulta es la reconstrucción correcta de la señal de entrada, lo cual

comprueba lo expuesto anteriormente.


32

Figura 2.10.3. Prevención del efecto alias.

2.11 Ventana de datos.

Un concepto importante en el muestreo de señales es la ventana de datos, una ventana de datos

es un intervalo limitado de observación de la señal. El contenido espectral de una señal sólo puede

determinarse perfectamente sobre un intervalo infinito de tiempo, la ventana limita la resolución

espectral en el dominio de la frecuencia. Desde el punto de vista del procesamiento digital, en

cada momento sólo existe la porción del evento contenido en la ventana de observación. Si la

ventana no es lo suficientemente grande para conformar un ciclo adecuado de recabación de

datos de la señal de entrada, el resultado puede ser erróneo [8].

La ventana de datos se maneja de manera particular para cada uno de los algoritmos, ya que

estos dependen de diferente número de muestras por ventana para que realicen la estimación

fasorial de forma correcta.

El número de muestras por ventana influye directamente sobre la velocidad de cálculo que se

obtenga y la respuesta que se tenga sobre transitorios presentes en la señal, los algoritmos de

ventana corta provocan una respuesta más rápida, pero más inexacta en la estimación fasorial,

que los algoritmos de ventana larga, al no presentar tanta variación con transitorios.


33

Por ejemplo, en la figura 2.11.1 se tiene una señal de entrada con sus respectivas muestras de

manera alusiva, donde la primer ventana de datos (A) toma sólo tres muestras de la señal, en este

punto el algoritmo trabaja con esas muestras y realiza una estimación, al terminar, la ventana

realiza un recorrido para convertirse en la ventana (B), y se reitera el número de muestras, solo

que ahora se realizará la estimación con un valor nuevo y los dos últimos de la ventana anterior,

entrando así, en un ciclo en el cual, la ventana de muestreo se recorrerá hasta que se termine las

muestras adquiridas de la señal discreta.

Figura 2.11.1. Recorrido alusivo de la ventana de datos sobre la señal discreta.


34

En la figura 2.11.2 se ilustra de manera analítica el recorrido del número de muestras por ventana,

teniendo como inicio del ciclo las magnitudes de cada muestra obtenida a partir de la

descretización de la señal de entrada. Tomando por ejemplo el número de muestras del algoritmo

de Mann & Morrison (3 datos por ventana):

Figura 2.11.2. Funcionamiento analítico de la ventana de datos.


35

2.12 Algoritmos para el procesamiento digital de señales eléctricas de C.A.

Un filtro digital es un sistema que, dependiendo de los valores digitales que recibe, realiza un

proceso de discriminación de una señal de entrada (para este proyecto, las señales de entrada son

de tipo senoidal y de índole eléctrica), obteniendo en su salida los resultados deseados a partir del

diseño del filtro.

Los filtros digitales tienen como entrada una señal digital (en este caso, se tiene una señal

eléctrica analógica como entrada que es discretizada) y a su salida tienen otra señal digital, con

parámetros como amplitud, frecuencia o fase dependiendo de las características del filtro.

El filtrado digital, centro de estudio de este trabajo, consiste en procesar datos discretos de

entrada (información obtenida a partir del muestreo de las señales eléctricas) por medio de la

implementación de algoritmos que contienen un orden lógico de operaciones que más adelante se

expondrán con exactitud para cada uno de los algoritmos analizados e implementados.

Los algoritmos desarrollados en este capítulo tienen la tarea de realizar la estimación fasorial de

ondas senoidales de tensión o de corriente alterna de entrada, este proceso es efectuado a través

de la manipulación de las muestras de tensión y corriente a intervalos constantes de tiempo

durante un periodo predeterminado, los datos son adquiridos a partir de la discretización de la

señal analógica de entrada con el objetivo de adquirir el valor pico y el ángulo de los fasores

procesados digitalmente. Los algoritmos implementados en este trabajo se clasifican de la

siguiente manera:


Miki & Mikano

Man & Morrison

Rockefeller & Udren

Gilbert & Shovlin




Filtro coseno

Algoritmo para la estimación de espectro armónico:



36

Sea 𝑣(𝑡) la señal de entrada para la implementación de estos algoritmos, definida mediante la

expresión 2.8:

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) [2.8]

Dónde:

𝑉𝑝= Magnitud del fasor estimado en volts [V].

𝜔= Frecuencia angular en radianes [rad/s].

𝜃= Ángulo del fasor estimado en grados [⁰].


37

2.13 Algoritmos de ventana corta.

En la técnica de ventana corta se tiene en cuenta que las señales de entrada que serán procesadas

digitalmente son senoidales a la frecuencia nominal del sistema. Dependiendo de la técnica, sólo

dos o tres muestras son necesarias para estimar los la magnitud fasorial y el ángulo de fase a

través del recorrido de éstas en la ventana de datos [6].

2.13.1 Algoritmo Miki & Mikano.

Este algoritmo emplea 2 muestras de la señal de entrada, la primera muestra es (𝑣0) en el

instante 𝑡0 y la segunda (𝑣−1) en el instante 𝑡−1 con un intervalo de muestreo (∆𝑇) como se

muestra en la figura expuesta a continuación [7].

Figura 2.13.1. Representación gráfica de las muestras de la señal de entrada, Miki & Mikano.

La señal de entrada es una senoide variante en el tiempo como lo muestra la ecuación (2.8):

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) [2.8]

Sustituyendo los valores de tiempo de cada una de las muestras en la ecuación anterior,

inicialmente en el instante 𝑡 = 0 obteniendo (2.9):

𝑣(0) = 𝑣0 = 𝑉𝑝 sin (𝜔(0) + 𝜃)

𝑣(𝑡0) = 𝑣0 = 𝑉𝑝 sin (𝜃) [2.9]


38

Posteriormente en el instante 𝑡 = 𝑡−1 en el cual, de acuerdo a la figura 2.13.1, 𝑡−1 = −∆𝑡.

Sustituyendo esto en la ecuación (2.8), se obtiene la ecuación (2.10):

𝑣(𝑡) = 𝑣−1 = 𝑉𝑝 sin (𝜔(−∆𝑡) + 𝜃)

𝑣(𝑡−1) = 𝑣−1 = 𝑉𝑝 sin (−𝜔∆𝑡 + 𝜃) [2.10]

Desarrollando la ecuación (2.10) obtenida en el instante 𝑡 = 𝑡−1 con la siguiente función

trigonométrica:

𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑦) + cos(𝑥) sin(𝑦)

Obtenemos la ecuación (2.11):

𝑣(𝑡−1) = 𝑣−1 = 𝑉𝑝 {𝑠𝑒𝑛(−𝜔∆𝑡) cos(𝜃) + cos(−𝜔∆𝑡) sen(𝜃)} [2.11]

Al sustituir la ecuación (2.9) que resulto en el instante t=0 en la ecuación (2.11), se tiene:

𝑣−1 = −𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑡) cos(𝜃) + 𝑣0 cos(−𝜔∆𝑡)

𝑉𝑝 cos(𝜃) =𝑣0 cos(−𝜔∆𝑡)−𝑣−1

𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑡) [2.12]

Con los cálculos realizados anteriormente se han obtenido las funciones que constituyen la

estimación fasorial por medio del algoritmo Miki & Mikano, la parte real con la ecuación (2.12) y la

parte imaginaria con la ecuación (2.9):

PARTE REAL 𝑉𝑝 cos(𝜃) =𝑣0 cos(−𝜔∆𝑡)−𝑣−1

𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑡) [2.12]

PARTE IMAGINARIA 𝑉𝑝 sen (𝜃) = 𝑣0 [2.9]

La magnitud del fasor se obtiene al elevar al cuadrado las partes real e imaginaria, sumarlas y

calcular la raíz cuadrada de esta operación:

MAGNITUD |𝑉𝑝| = √𝑣02 + [

𝑣0 cos(−𝜔∆𝑡)−𝑣−1

𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑡)]2 [2.13]

Para obtener el ángulo de fase es necesario emplear la razón trigonométrica tangente y efectuar

el despeje del ángulo como se muestra a continuación, obteniendo así la ecuación (2.14):


39

tan(𝜃) =𝑣0

𝑣0 cos(−𝜔∆𝑡) − 𝑣−1

𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑡)

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [𝑣0𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑡)

𝑣0 cos(−𝜔∆𝑡)−𝑣−1] [2.14]

2.13.2 Algoritmo Mann & Morrison.

Este algoritmo utiliza 3 muestras de la señal de entrada para realizar la estimación fasorial de la

señal de entrada, expuestas en la figura 2.13.2. La primera (𝑣0) en el instante 𝑡0, la segunda

muestra (𝑣−1) en el instante 𝑡−1 y la tercera (𝑣+1) en el instante 𝑡+1, con un intervalo de

muestreo (∆𝑇) [7].

Figura 2.13.2. Representación gráfica de las muestras de la señal de entrada, Mann & Morrison.

La señal de entrada es una senoide variante en el tiempo descrita por la ecuación 2.8:

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) [2.8]

Al sustituir el valor de 𝑡 en la ecuación (2.8) en el instante 𝑡 = 0, se obtiene la ecuación (2.15):

𝑣(0) = 𝑣0 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔(0) + 𝜃)

𝑣0 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) [2.17]


40

En el instante 𝑡 = 𝑡−1, se tiene que 𝑡−1 = −∆𝑇, como lo expone la figura anterior. Sustituyendo 𝑡

en la ecuación (2.8), obtenemos la ecuación (2.16):

𝑣(−∆𝑇) = 𝑣−1 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔(−∆𝑇) + 𝜃)

𝑣−1 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(−𝜔∆𝑇 + 𝜃) [2.16]

En el instante 𝑡 = 𝑡+1 como la figura A.A.A ilustra, 𝑡+1 = ∆𝑇. Al sustituir el valor de 𝑡 en la

ecuación (2.16), se obtiene la ecuación (2.17):

𝑣(∆𝑇) = 𝑉+1 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔(∆𝑇) + 𝜃)

𝑉+1 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇 + 𝜃) [2.17]

Posteriormente para calcular la parte real del fasor, se calcula la derivada de la señal de entrada:

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝜔𝑉𝑝cos (𝜔𝑡 + 𝜃)

Al sustituir en la ecuación anterior el valor de 𝑡 en el instante 𝑡 = 0, se obtiene la ecuación (2.18):

𝑑𝑣0

𝑑𝑡= 𝜔𝑉𝑝cos (𝜃) [2.18]

Obteniendo la derivada directamente de las muestras que la figura 2.13.2 ilustra, se llega a la

ecuación (2.11):

𝑑𝑣0

𝑑𝑡=

𝑣+1 − 𝑣−1

2∆𝑇

𝑣+1 − 𝑣−1

2∆𝑇=

𝑑𝑣0

𝑑𝑡= 𝜔𝑉𝑝cos(𝜃)

𝑉𝑝 cos(𝜃) =𝑣+1−𝑣−1

2𝜔∆𝑇 [2.19]

Con las operaciones realizadas, encontramos que la ecuación (2.7) representa la parte imaginaria

y la ecuación (2.11) representa la parte real del fasor:

PARTE REAL 𝑉𝑝 cos(𝜃) =𝑣+1−𝑣−1

2𝜔∆𝑇 [2.19]

PARTE IMAGINARIA 𝑉𝑝 sen (𝜃) = 𝑣0 [2.15]


41

Para obtener la magnitud del fasor se eleva al cuadrado las partes real e imaginaria,

posteriormente se suman y finalmente se calcular la raíz cuadrada de esta suma:


𝑣+1−𝑣−1

2𝜔∆𝑇]2

[2.20]

El ángulo de fase se obtiene a partir de la razón trigonométrica tangente, obteniendo la ecuación

(2.21):

tan(𝜃) =𝑣0

𝑣+1 − 𝑣−12𝜔∆𝑇

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [2𝑣0𝜔∆𝑇

𝑣+1−𝑣−1] [2.21]

2.13.3 Algoritmo Gilbert & Shovlin.

El algoritmo de Gilbert & Shovlin emplea tres muestras por ventana de la señal de entrada para

realizar la estimación fasorial, ilustradas en la figura 2.13.2. La primera (𝑣0) en el instante 𝑡0, la

segunda muestra (𝑣−1) en el instante 𝑡−1 y la tercera (𝑣+1) en el instante 𝑡+1, con un intervalo de

muestreo (∆𝑇) [7].

Figura 2.13.2. Representación gráfica de las muestras de la señal de entrada, Gilbert & Shovlin.


42

La señal de entrada es una senoide variante en el tiempo descrita por la ecuación (2.8):

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) [2.8]

Ahora se sustituyen los valores de tiempo de cada una de las muestras en la ecuación anterior,

obteniendo asi la parte real y la parte imaginaria del filtro:

En el instante 𝑡 = 0:

𝑣(0) = 𝑣0 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔(0) + 𝜃)

𝑣0 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) [2.22]

En el instante 𝑡 = 𝑡 + 1, teniendo 𝑡+1 = ∆𝑇:

𝑣(∆𝑇) = 𝑣+1 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔(∆𝑇) + 𝜃)

𝑣+1 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇 + 𝜃) [2.23]

En el instante 𝑡 = 𝑡 − 1, teniendo 𝑡−1 = −∆𝑇:

𝑣(−∆𝑇) = 𝑣−1 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔(−∆𝑇) + 𝜃)

𝑣−1 = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(−𝜔∆𝑇 + 𝜃) [2.24]

Al multiplicar la muestra 𝑣+1 y la muestra 𝑣−1, tenemos:

(𝑣+1)(𝑣−1) = (𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇 + 𝜃))(𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(−𝜔∆𝑇 + 𝜃))

(𝑣+1)(𝑣−1) = 𝑉𝑝2(𝑠𝑒𝑛2(𝜃) cos2(𝜔∆𝑇) − 𝑠𝑒𝑛2(𝜔∆𝑇) cos2(𝜃))

Cuando la muestra 𝑣0 es elevada al cuadrado y se le resta (𝑣+1)(𝑣−1):

𝑣02 = 𝑉𝑝

2𝑠𝑒𝑛2(𝜃)

𝑣02 − ((𝑣+1)(𝑣−1)) = 𝑉𝑝

2𝑠𝑒𝑛2(𝜃) − 𝑉𝑝2(𝑠𝑒𝑛2(𝜃) cos2(𝜔∆𝑇) − 𝑠𝑒𝑛2(𝜔∆𝑇) cos2(𝜃))

𝑣02 − ((𝑣+1)(𝑣−1)) = 𝑉𝑝

2𝑠𝑒𝑛2(𝜃) − 𝑉𝑝2𝑠𝑒𝑛2(𝜃) cos2(𝜔∆𝑇) + 𝑉𝑝

2𝑠𝑒𝑛2(𝜔∆𝑇) cos2(𝜃)

𝑣02 − ((𝑣+1)(𝑣−1)) = 𝑉𝑝

2𝑠𝑒𝑛2(𝜃){1 − cos2(𝜔∆𝑇)} + 𝑉𝑝2𝑠𝑒𝑛2(𝜔∆𝑇) cos2(𝜃)


43

Ahora al aplicar la siguiente función trigonométrica:

𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1

Se obtiene:

𝑣02 − ((𝑣+1)(𝑣−1)) = 𝑉𝑝

2𝑠𝑒𝑛2(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇 + 𝜃) + 𝑉𝑝2𝑠𝑒𝑛2(𝜔∆𝑇) cos2(𝜃)

𝑣02 − ((𝑣+1)(𝑣−1)) = 𝑉𝑝

2𝑠𝑒𝑛2(𝜔∆𝑇){𝑠𝑒𝑛2(𝜃)+cos2(𝜃)}

𝑣02 − ((𝑣+1)(𝑣−1)) = 𝑉𝑝

2𝑠𝑒𝑛2(𝜔∆𝑇) [2.25]

La magnitud del fasor se obtiene al despejar 𝑉𝑝 de la ecuación (2.25):

𝑉𝑝2 = 𝑣0

2 −((𝑣+1)(𝑣−1))

𝑠𝑒𝑛2(𝜔∆𝑇)

𝑉𝑝 = √ 𝑣0

2−((𝑣+1)(𝑣−1))

𝑠𝑒𝑛2(𝜔∆𝑇) [2.26]

Al restar la muestra 𝑣−1 a la muestra 𝑣+1, se tiene:

(𝑣+1) − (𝑣−1) = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇 + 𝜃) − 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(−𝜔∆𝑇 + 𝜃)

(𝑣+1) − (𝑣−1) = 𝑉𝑝[2 cos(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇)]

𝑉𝑝 cos(𝜃) =(𝑣+1)−(𝑣−1)

2𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇) [2.27]

Despejando 𝑣0 de la ecuación (2.22) y sustituyendo en la ecuación (2.26), se obtiene el ángulo de

fase:

𝑉𝑝 =𝑣0

𝑠𝑒𝑛(𝜃)

𝑣0 cos(𝜃)

𝑠𝑒𝑛(𝜃)=

(𝑣+1) − (𝑣−1)

2𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇)

𝑣0 cos(𝜃)

𝑠𝑒𝑛(𝜃)=

(𝑣+1) − (𝑣−1)

2𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇)

2𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇)𝑣0 cos(𝜃) = ((𝑣+1) − (𝑣−1))𝑠𝑒𝑛(𝜃)


44

2𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇)𝑣0

(𝑣+1) − (𝑣−1)=

𝑠𝑒𝑛(𝜃)

cos(𝜃)

tan(𝜃) =2𝑣0𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇)

(𝑣+1) − (𝑣−1)

𝜃 = tan−1 [2𝑣0𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇)

(𝑣+1)−(𝑣−1)] [2.28]

Lo calculado anteriormente indica que la obtención de la estimación fasorial se realiza sin la

generación de filtros, debido a que la estimación es casi directa como lo muestran las ecuaciones

(2.26) y (2.28):

MAGNITUD |𝑉𝑝| = √ 𝑣0

2−((𝑣+1)(𝑣−1))

𝑠𝑒𝑛2(𝜔∆𝑇) [2.26]

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [2𝑣0𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇)

(𝑣+1)−(𝑣−1)] [2.28]

2.13.4 Rockefeller & Udren.

Este algoritmo emplea 3 muestras de la señal de entrada para realizar la estimación fasorial de la

señal de entrada, expuestas en la figura 2.13.4. [7].

Figura 2.13.4. Representación gráfica de las muestras de la señal de entrada, Rockefeller & Udren.


45

(𝑣0) En el instante 𝑡0.

(𝑣−1) En el instante 𝑡−1.

(𝑣+1) En el instante 𝑡+1 .

(∆𝑇) Intervalo de muestreo.

Retomando las ecuaciones (2.18) y (2.19) del algoritmo Mann & Morrison, se obtiene la parte real

del fasor:

𝑉𝑝 cos(𝜃) =𝑣+1−𝑣−1

2𝜔∆𝑇 [2.19]

Y la segunda derivada de la señal de entrada:

𝑑𝑣0

𝑑𝑡= 𝜔𝑉𝑝cos (𝜃) [2.18]

𝑑2𝑣0

𝑑𝑡2= 𝑣0

,, = −𝜔2𝑉𝑝sen (𝜔𝑡 + 𝜃)

Ahora en el instante 𝑡 = 0 se sustituye y se obtiene la ecuación (2.29):

𝑑2𝑣0

𝑑𝑡2 = 𝑣0,, = −𝜔2𝑉𝑝sen (𝜃) [2.29]

Otra alternativa que hace posible obtener la derivada de la señal de entrada es por medio de las

muestras, por lo que se tienen los siguientes casos, cuando 𝑡 = −0.5, 𝑡 = 0 y 𝑡 = 0.5.

En el instante 𝑡 = −0.5:

𝑑𝑣−0.5

𝑑𝑡= 𝑣−0.5

, =𝑣0−𝑣−1

∆𝑇 [2.30]

En el instante 𝑡 = 0.5:

𝑑𝑣0.5

𝑑𝑡= 𝑣0.5

, =𝑣+1−𝑣0

∆𝑇 [2.31]

Y en el instante 𝑡 = 0:

𝑑𝑣0

𝑑𝑡= 𝑣0

, =𝑣0.5−𝑣−0.5

∆𝑇

𝑑2𝑣0

𝑑𝑡2 = 𝑣0,, =

𝑣0.5, −𝑣−0.5

,

∆𝑇 [2.32]


46

Al sustituir las ecuaciones (2.30) y (2.31) en la ecuación (2.32) se obtiene:

𝑣0,, =

𝑣+1 − 𝑣0∆𝑇

− (𝑣0 − 𝑣−1

∆𝑇)

∆𝑇

𝑣0,, =

𝑣+1 − 𝑣0∆𝑇

− (𝑣0 − 𝑣−1

∆𝑇)

∆𝑇

𝑣0,, =

1∆𝑇

(𝑣+1 − 2𝑣0 + 𝑣−1)

∆𝑇

𝑣0,, =

(𝑣+1−2𝑣0+𝑣−1)

∆𝑇2 [2.33]

Empleando las ecuaciones (2.29) y (2.33) se llega a la expresión que define a la parte imaginaria

del fasor:

−𝜔2𝑉𝑝 sen(𝜃) =(𝑣+1 − 2𝑣0 + 𝑣−1)

∆𝑇2

𝑉𝑝 sen(𝜃) = −(𝑣+1−2𝑣0+𝑣−1)

(𝜔∆𝑇)2 [2.34]

Finalmente se conocen las 2 partes que conforman al algoritmo Rockefeller & Udren para la

estimación fasorial, encontramos que la ecuación (2.19) representa la parte imaginaria y la

ecuación (2.34) representa la parte real del fasor:

PARTE REAL 𝑉𝑝 cos(𝜃) =𝑣+1−𝑣−1

2𝜔∆𝑇 [2.19]

PARTE IMAGINARIA 𝑉𝑝 sen(𝜃) = −(𝑣+1−2𝑣0+𝑣−1)

(𝜔∆𝑇)2 [2.34]

La magnitud del fasor se obtiene al elevar al cuadrado las partes real e imaginaria, sumarlas y

calcular la raíz cuadrada de esta operación:

MAGNITUD |𝑉𝑝| = √(𝑣+1−𝑣−1

2𝜔∆𝑇 )

2+ (−

(𝑣+1−2𝑣0+𝑣−1)

(𝜔∆𝑇)2 )

2 [2.35]

Para obtener el ángulo de fase es necesario emplear la razón trigonométrica tangente y efectuar

el despeje del ángulo como se muestra a continuación, obteniendo así la ecuación (2.36):


47

tan(𝜃) =−

(𝑣+1 − 2𝑣0 + 𝑣−1)(𝜔∆𝑇)2

𝑣+1 − 𝑣−12𝜔∆𝑇

tan(𝜃) =−(𝑣+1 − 2𝑣0 + 𝑣−1)(2𝜔∆𝑇)

(𝜔∆𝑇)2 (𝑣+1 − 𝑣−1)

tan(𝜃) =−2(𝑣+1 − 2𝑣0 + 𝑣−1)

𝜔∆𝑇 (𝑣+1 − 𝑣−1)

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [−2(𝑣+1−2𝑣0+𝑣−1)

𝜔∆𝑇 (𝑣+1−𝑣−1)] [2.36]


48

2.14 Algoritmos de ventana larga.

La técnica de ventana larga utiliza los datos de medio ciclo o de un ciclo completo de la frecuencia

fundamental. El filtro de la transformada discreta de Fourier (TDF, de medio ciclo y de ciclo

completo), Mínimos Errores Cuadrados (MEC), y el filtro coseno están entre los técnicas de

estimación fasorial más populares utilizados en los relés numéricos [6].

2.14.1 Algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo.

La transformada discreta de Fourier es un método muy eficiente para determinar el espectro en

frecuencia de una señal. Permite convertir una secuencia de valores equivalente en el dominio de

la frecuencia [9].

El espectro resultante es una aproximación de la serie de Fourier, una aproximación debido a la

pérdida de información entre las muestras de la forma de onda. La señal de entrada se encuentra

en el dominio del tiempo, es decir, está conformada por muestras tomadas en un periodo de

tiempo establecido, esto la convierte en una señal discreta que será transformada.

El término dominio de la frecuencia es empleado para describir las amplitudes y fases de las

frecuencias que componen la señal de entrada. El dominio de la frecuencia contiene exactamente

la misma información que el dominio del tiempo, solo que de manera distinta. Si uno de los

dominios es conocido, el otro también se puede conocer.

Si se cuenta con la señal en el dominio del tiempo, el proceso para conocer el dominio de la

frecuencia es conocido como descomposición o Transformada Discreta de Fourier. Si se conoce el

dominio de la frecuencia, el cálculo para obtener el dominio del tiempo se llama síntesis o Inversa

de la Transformada Discreta de Fourier [7].

Una forma de onda periódica puede ser expresada como una combinación lineal de dos funciones

ortogonales. El algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier (TDF) emplea las funciones seno

y coseno, para estimar los fasores de formas de onda sinusoidales. Dos funciones 𝑓 (𝑥) y 𝑔 (𝑥) son

ortogonales en el intervalo [a, b] si la siguiente expresión se cumple [9]:

⟨𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⊥ cos(𝑥)⟩ ≡ ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 0


49

La orthogonalidad de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑔(𝑥) = cos (𝑥) en el intervalo [−𝜋,+𝜋] está determinada

por la siguiente expresión:

⟨𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⊥ cos(𝑥)⟩ ≡ ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑥)𝑑𝑥𝜋

−𝜋

= 0

Después de la comprobación de la orthogonalidad de estas funciones, son seleccionadas a la

frecuencia mínima de interés (frecuencia nominal, de 60Hz) y posteriormente se muestrean las

señales de referencia a la frecuencia de muestreo seleccionada y se realizan los siguientes pasos

[7]:

Multiplicar la primera muestra de la ventana con el primer valor discretizado de la señal

de referencia.

Se suman los productos de las multiplicaciones con los productos previos.

Dividir los resultados de las sumas del paso anterior entre un medio del número de

muestras de la ventana, en este caso se trata de un ciclo completo.

Se guardan los datos obtenidos.

Se repiten las instrucciones anteriores para todas las muestras subsecuentes hasta

considerar todas las muestras de la ventada de datos.

Las expresiones matemáticas que contienen los pasos anteriores y además representan las partes

real y compleja, constituyendo así el filtro digital se muestran a continuación:

PARTE REAL 𝑉0sen(𝜔∆𝑇)+𝑉−1sen(𝜔∆𝑇)

1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

[2.37]

PARTE IMAGINARIA 𝑉0cos(𝜔∆𝑇)+𝑉−1cos(𝜔∆𝑇)

1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

[2.38]

La magnitud fasorial se obtiene al elevar al cuadrado las partes real e imaginaria, posteriormente

se suman y finalmente se calcular la raíz cuadrada de esta suma:


50

MAGNITUD |𝑉𝑝| = √[𝑉0sen(𝜔∆𝑇)+𝑉−1sen(𝜔∆𝑇)

1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2

+ [𝑉0cos(𝜔∆𝑇)+𝑉−1cos(𝜔∆𝑇)

1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2

[2.39]

La obtención del ángulo de fase se realiza a partir de la razón trigonométrica tangente:

tan(𝜃) =

𝑉0cos(𝜔∆𝑇) + 𝑉−1cos(𝜔∆𝑇)12𝑛𝑚𝑝𝑐

𝑉0sen(𝜔∆𝑇) + 𝑉−1sen(𝜔∆𝑇)12

𝑛𝑚𝑝𝑐

tan(𝜃) =𝑉0cos(𝜔∆𝑇) + 𝑉−1cos(𝜔∆𝑇)

𝑉0sen(𝜔∆𝑇) + 𝑉−1sen(𝜔∆𝑇)

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [𝑉0cos(𝜔∆𝑇)+𝑉−1cos(𝜔∆𝑇)

𝑉0sen(𝜔∆𝑇)+𝑉−1sen(𝜔∆𝑇)] [2.40]

2.14.2 Algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de medio ciclo.

El procedimiento para la estimación fasorial por medio del algoritmo de la TDF de medio ciclo

obedece la serie de pasos que el algoritmo de la TDF de ciclo completo, pero en esta ocasión se

emplea un cuarto de las muestras por ventana comprendidas en un ciclo, siendo esto último el

motivo del nombre de este algoritmo, cumpliendo con el siguiente procedimiento [7]:


de referencia.


Dividir los resultados de las sumas del paso anterior entre un cuarto del número de

muestras de la ventana de datos.



considerar todas las muestras de la ventada de datos.

Las expresiones matemáticas que representan los pasos anteriores y además representan las

partes real y compleja, constituyendo así el filtro digital se muestran a continuación:


51

PARTE REAL 𝑉0sen(𝜔∆𝑇)+𝑉−1sen(𝜔∆𝑇)

1

4𝑛𝑚𝑝𝑐

[2.41]

PARTE IMAGINARIA 𝑉0cos(𝜔∆𝑇)+𝑉−1cos(𝜔∆𝑇)

1

4𝑛𝑚𝑝𝑐

[2.42]




1

4𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2


1

4𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2

[2.43]

La obtención del ángulo de fase se realiza a partir de la razón trigonométrica tangente:

tan(𝜃) =

𝑉0cos(𝜔∆𝑇) + 𝑉−1cos(𝜔∆𝑇)14𝑛𝑚𝑝𝑐

𝑉0sen(𝜔∆𝑇) + 𝑉−1sen(𝜔∆𝑇)14𝑛𝑚𝑝𝑐

tan(𝜃) =𝑉0cos(𝜔∆𝑇) + 𝑉−1cos(𝜔∆𝑇)

𝑉0sen(𝜔∆𝑇) + 𝑉−1sen(𝜔∆𝑇)




52

2.14.3 Algoritmo filtro coseno.

Este algoritmo emplea como señal de referencia a la función coseno ilustrada en la figura 2.14.3

para realizar el cálculo los filtros de la parte real e imaginaria, por lo tanto, utiliza una ventana de

datos de mayor tamaño, (un ciclo y un cuarto) como lo ilustra la figura 2.14.4 [7].

Figura 2.14.3. Señal de referencia, función coseno.

Figura 2.14.4. Ventana de datos del algoritmo filtro coseno.


53

En la figura 2.14.4 se observa que la señal contenida en la ventana de datos, comprende a la

función seno y a la función coseno simultáneamente mediante una relación lineal y proporcional,

por lo tanto se interpreta que existe una correlación entre estas dos funciones, considerando que

dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían

sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra [10].

La correlación existente entre la señal de referencia y la función coseno, da como resultado el

filtro de la parte real, para obtener el filtro de la parte imaginaria, se tiene que efectuar la

correlación entre la señal de referencia y la función seno [7]:

Si el valor actual 𝑉𝑝cos (𝜃) se correlaciona, resulta:

𝑉𝑝 cos(𝜃 − 90⁰) = 𝑉𝑝sen(𝜃)

A partir de estos dos filtros el fasor puede estimar la magnitud y ángulo del fasor.

Anteriormente, al exponer el algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier se demostró que

la función seno es ortogonal, ahora se selecciona la función seno a la mínima frecuencia de interés

(frecuencia nominal, de 60Hz) y después se muestrean las señales de referencia a la frecuencia de

muestreo seleccionada, posteriormente se efectúan los siguientes pasos [7]:


de referencia.


Dividir los resultados de las sumas del paso anterior entre un medio del número de

muestras por ciclo.



considerar todas las muestras de la ventana de datos correspondiente a cada filtro.

Los cálculos realizados en los pasos antes expuestos son para el filtro de la parte imaginaria, el

filtro de la parte real es calculado ¼ de ciclo adelante del filtro de la parte imaginaria como se

muestra en la figura 2.14.4.


54

Las expresiones matemáticas que contienen los pasos anteriores y además representan las partes

real y compleja, son:

PARTE REAL 𝑉0cos(𝜔∆𝑇)+𝑉−1cos(𝜔∆𝑇)

1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

[2.37]

PARTE IMAGINARIA 𝑉0sen(𝜔∆𝑇)+𝑉−1sen(𝜔∆𝑇)

1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

[2.38]



MAGNITUD |𝑉𝑝| = √[𝑉0cos(𝜔∆𝑇)+𝑉−1cos(𝜔∆𝑇)

1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2

+ [𝑉0sen(𝜔∆𝑇)+𝑉−1sen(𝜔∆𝑇)

1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2

[2.39]

La obtención del ángulo de fase se realiza partiendo de la razón trigonométrica tangente:

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [

𝑉0sen(𝜔∆𝑇)+𝑉−1sen(𝜔∆𝑇)12𝑛𝑚𝑝𝑐

𝑉0cos(𝜔∆𝑇)+𝑉−1cos(𝜔∆𝑇)12𝑛𝑚𝑝𝑐

] [2.40]


55

2.14.4 Algoritmo del filtro de Mínimos Errores Cuadrados.

El método de Mínimos Errores Cuadrados en una técnica de optimización matemática que, dada

una serie de mediciones, origina una función que se aproxime a la que genera los datos

correspondientes a las mediciones; minimiza la suma de cuadrados de las diferencias (llamadas

residuos) entre los puntos originados por la función diseñada y los datos correspondientes a las

mediciones de entrada, [7].

La técnica de Mínimos Errores Cuadrados considera un conjunto de muestran que satisfacen:

𝑎 + 𝑏𝑡 = 𝑚 [2.45]

Donde:

Al considerar que se toman “n” muestras de la señal de entrada, la ecuación (2.45) se expande a

una secuencia de ecuaciones expuestas en (2.46):

𝑎 + 𝑏𝑡1 = 𝑚1

𝑎 + 𝑏𝑡2 = 𝑚2

𝑎 + 𝑏𝑡3 = 𝑚3 [2.46]

⋮

𝑎 + 𝑏𝑡𝑛 = 𝑚𝑛

Donde “a” y “b” son los valores a estimar, empleando la técnica de mínimos errores cuadrados,

esta estimación se define en (2.47), al considerar el valor del error de estimación:

�̂� + �̂�𝑡1 − 𝑚1 = 𝜀1

�̂� + �̂�𝑡2 − 𝑚2 = 𝜀2

�̂� + �̂�𝑡3 − 𝑚3 = 𝜀3 [2.47]

m = muestra o medida tomada.

t = instante de tiempo.

a y b = son variables a calcular (estimaciones).


56

⋮

�̂� + �̂�𝑡𝑛 − 𝑚𝑛 = 𝜀𝑛

Representando (2.47) en forma matricial, se tiene:

[ 1 𝑡11 𝑡21 𝑡3⋮ ⋮1 𝑡𝑛]

[�̂��̂�] −

[ 𝑚1

𝑚2

𝑚3

⋮𝑚𝑛]

=

[ 𝜀1

𝜀2

𝜀3

⋮𝜀𝑛]

[2.48]

Sintetizando (2.48) se obtiene tiene:

[𝐴][𝑋] − [𝑚] = [𝑒] [2.49]

Elevando al cuadrado (2.49):

[𝑒][𝑒]𝑇 = [[𝐴][𝑋] − [𝑚]]𝑇[[𝐴][𝑋] − [𝑚]] [2.50]

Al desarrollar (2.50) se tiene:

[𝑒][𝑒]𝑇 = [[𝐴][𝑋]]𝑇[[𝐴][𝑋]] − [[𝐴][𝑋]]

𝑇[𝑚] − [𝑚]𝑇[[𝐴][𝑋]] + [𝑚]𝑇[𝑚]

[𝑒][𝑒]𝑇 = [[𝑋]𝑇[𝐴]𝑇[𝐴][𝑋]] − 2[𝑋]𝑇[𝐴]𝑇 + [𝑚]𝑇[𝑚] [2.51]

Para minimizar los errores cuadrados se deriva (2.39) con respecto a “X” y se iguala a cero:

𝑑

𝑑[𝑋]{[[𝑋]𝑇[𝐴]𝑇[𝐴][𝑋]] − 2[𝑋]𝑇[𝐴]𝑇 + [𝑚]𝑇[𝑚]} = 0

2[[𝐴]𝑇[𝐴][𝑋]] − 2[𝐴]𝑇[𝑚] = 0

[[𝐴]𝑇[𝐴][𝑋]] = [𝐴]𝑇[𝑚]

[𝑋] = [[𝐴]𝑇[𝐴]]−1

[𝐴]𝑇[𝑚] [2.52]

Reescribiendo la ecuación (2.52), quedando la expresión (2.53):

[𝑋] = [[𝐴]𝑇[𝐴]]−1

[𝐴]𝑇[𝑚]

[𝑋] = [[[𝐴]𝑇[𝐴]]−1

[𝐴]𝑇] [𝑚]


57

[𝑋] = [𝐴]−1𝐿[𝑚] [2.53]

Dónde:

[𝐴]−1𝐿 es la pseudo inversa izquierda de la matriz [A] dada por [[[𝐴]𝑇[𝐴]]−1

[𝐴]𝑇]

Si [A] es una matriz de n x p, donde:

n = número de muestras y

p = número de variables desconocidas

Entonces [A] es una matriz de p x n, en donde el producto de [𝐴]−1𝐿[𝑚] es un vector de p x 1, que

es el vector de los parámetros conocidos.

Las características de esta técnica son las siguientes [15]:

Si el intervalo de la medición es conocido previamente, entonces la seudo inversa

izquierda de la matriz [A], puede calcularse antes de iniciar el muestreo de los datos de

entrada.

Este método puede ser utilizado si las ecuaciones que describen las señales de entrada de

tensiones y corrientes pueden ser expresadas en forma lineal.

Debe tomarse en consideración que [15]:

Las señales están compuestas de componentes de frecuencia conocidas (armónicos).

El término CD puede ser expresado como componente decreciente lineal.

La forma de onda descrita por la frecuencia fundamental es descrita por la ecuación (2.8):

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) [2.8]

Que también puede ser expresada como:

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜔𝑡) + 𝑉𝑝 cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) [2.54]

Si se sólo se consideran 3 muestras tomadas a intervalos regulares 𝑣−1, 𝑣0 y 𝑣+1, y se sustituyen

en la ecuación (2.54), se obtiene como resultado el sistema de ecuaciones (2.55) [15]:

𝑣(𝑡)−1 = 𝑉𝑝 cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(−𝜔∆𝑡) + 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(−𝜔∆𝑡)

𝑣(𝑡)0 = 𝑉𝑝 cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(0) + 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(0) [2.55]


58

𝑣(𝑡)+1 = 𝑉𝑝 cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑡) + 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜔∆𝑡)

Si la señal de entrada cuenta con frecuencia fundamental de 60 Hz, y una frecuencia de muestreo

de 720 Hz es posible calcular la frecuencia angular con la ecuación (2.56):

𝜔 = 2𝜋𝑓 [2.56]

Y el intervalo de muestreo ∆𝑡 para reducir las ecuaciones de las muestras de entrada:

∆𝑡 =1

𝑓𝑚=

1

720

𝜔∆𝑡 = 2𝜋𝑓1

𝑓𝑚

𝜔∆𝑡 = 2𝜋(60)1

720

𝜔∆𝑡 =𝜋

6𝑟𝑎𝑑 = 30°

Al sustituir el valor de 𝜔∆𝑡 en las ecuaciones del sistema (2.55) para calcular las constantes,

obteniendo:

𝑣(𝑡)−1 = 𝑉𝑝 cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛 (−𝜋

6) + 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos (−

𝜋

6)

𝑣(𝑡)0 = 𝑉𝑝 cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛(0) + 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(0)

𝑣(𝑡)+1 = 𝑉𝑝 cos(𝜃) 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6) + 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos (

𝜋

6)

Estas ecuaciones pueden ser expresadas en función de dos variables desconocidas:

−1

2𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) +

√3

2𝑉𝑝𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑣(𝑡)−1

1𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 0𝑉𝑝𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑣(𝑡)0

1

2𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃) +

√3

2𝑉𝑝𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑣(𝑡)+1


59

Expresadas en forma matricial, se tiene:

[ −

1

2

√3

20 1

1

2

√3

2 ]

[𝑉𝑝𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜃)] = [

𝑣−1

𝑣0

𝑣+1

]

De lo anterior:

𝐴 =

[ −

1

2

√3

20 1

1

2

√3

2 ]

A partir de la matriz 𝐴 se obtienen la seudo inversa:

[𝐴]𝑇[𝐴] =

[ −

1

20

1

2

√3

21

√3

2 ]

[ −

1

2

√3

20 1

1

2

√3

2 ]

= [

1

20

0 21

2

]

Calculando la inversa de [𝐴]𝑇[𝐴]se tiene:

[[𝐴]𝑇[𝐴]]−1

= [2 0

02

5

]

Posteriormente se obtiene la seudo inversa de la matriz 𝐴 con la fórmula:

[𝐴]−1𝐿 = [[𝐴]𝑇[𝐴]]−1

[𝐴]𝑇 [2.57]

Entonces:

[𝐴]−1𝐿 = [[𝐴]𝑇[𝐴]]−1

[𝐴]𝑇 [2 0

02

5]

[ −

1

20

1

2

√3

21

√3

2 ] = [

−1 0 1

√3

5

2

5

√3

5

]


60

Las componentes de la parte real e imaginaria del fasor que representa a la onda de tensión, son

obtenidas usando las ecuaciones siguientes:



−1 0 1

√3

5

2

5

√3

5

] [

𝑣−1

𝑣0

𝑣+1

]

Después que la muestra de entrada es recibida, las componentes de la parte real e imaginaria del

fasor son calculadas mediante la siguiente ecuación:



−1 0 1

√3

5

2

5

√3

5

] [

𝑣0

𝑣+1

𝑣+2

]

Esto se arregla haciendo un cambio y tomando en cuenta la muestra 𝑣+1, como se observa a

continuación:

𝑣+1 = 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙

𝑣0 = 𝑣+1

𝑣−1 = 𝑣0

Las ecuaciones del filtro real e imaginario están representadas por las expresiones (2.58) y (2.59):

PARTE REAL 𝑉𝑝 cos(𝜃) = 𝑣+1 − 𝑣−1 [2.58]

PARTE IMAGINARIA 𝑉𝑝 sen(𝜃) =√3

5𝑣−1 +

2

5𝑣0 +

√3

5𝑣+1 [2.59]



MAGNITUD |𝑉𝑝| = √[𝑣+1 − 𝑣−1]2 + [

√3

5𝑣−1 +

2

5𝑣0 +

√3

5𝑣+1 ]

2

[2.60]

La obtención del ángulo de fase se realiza partiendo de la razón trigonométrica tangente:

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [√3

5𝑣−1+

2

5𝑣0+

√3

5𝑣+1

𝑣+1−𝑣−1] [2.61]


61

2.15 Selección de la frecuencia de muestreo.

Para la elección de la frecuencia de muestreo, esencial para la reconstrucción de la señal

analógica de entrada (60 Hz) se consideró la realización de 3 pruebas las cuales corresponden al

muestreo de espaciamiento uniforme durante todo el ciclo de la señal a 12, 24 y 48 muestras por

ciclo, cuyos valores de frecuencia obtenidos con la ecuación 2.6 son 720, 1440 y 2880 Hz

respectivamente.

Discretización de la señal continua de entrada a 12 muestras por ciclo. 720 Hz:

Figura 2.15.1. Discretización de señal de entrada a 12 muestras por ciclo.






62

Después de la elaboración de las 3 pruebas anteriores se determinó que llevar a cabo este

proyecto con una frecuencia de muestreo de 1440 Hz, porque con ésta es posible obtener

más información contenida en la señal de entrada para efectuar su procesamiento digital,

en comparación con la frecuencia de 720 Hz; aunque sucede lo contrario al compararla

con la frecuencia de muestreo de 2880 Hz, ésta última opción requería demasiado tiempo

para el procesamiento digital de las señales de entrada.


63

CAPÍTULO 3. DISEÑO Y DESARROLLO DE LA INTERFAZ MATLAB-PSCAD.

3.1 Introducción.

El software PSCAD-EMTDC brinda la facilidad realizar interfaces a través del diseño y elaboración

de módulos o componentes en los cuales el usuario pueda asignar funciones que se adecuen a los

requerimientos del proyecto a desarrollar, determinando por cuenta propia las entradas y/o

salidas necesarias para que la o las funciones asignadas al módulo puedan ser efectuadas, en este

proyecto las función principal es procesar digitalmente señales eléctricas de AC, estas funciones

son ordenadas lógicamente en el script, programa encargado del funcionamiento del módulo y

elaborado en base al lenguaje de programación del software Fortran. Dichas entradas y salidas son

producto de la relación directa de funciones de MatLab y el script, porque al ser nombradas en él,

también deben ser insertadas en el módulo. A continuación se explica el procedimiento de

elaboración de la interfaz MatLab-PSCAD y para la obtención de información más detallada acerca

de este procedimiento se recomienda consultar la referencia [16].

3.2 Elaboración del módulo para la estimación fasorial.

En la figura 3.2.1 se aprecia la primer ventana que PSCAD-EMTDC muestra al usuario para

elaborar el módulo, en donde se declara el nombre de éste, así como el número de entradas y/o

salidas que se pretenden tener dentro del módulo, ofreciendo al usuario la opción de elegir el

lugar en que se asignara dichas variables.

Figura 3.2.1. Ventana del paso 1 para la elaboración del módulo.


64

Posteriormente en la ventana del paso 2 mostrada en la figura 3.2.2, se declararon los nombres

de cada una de las entradas y salidas asignadas en la primer ventana, proporcionando el nombre

de la conexión y el nombre con el que aparecerá en el display del módulo, también se asignó el

tipo de conexión y datos requeridos. Éste procedimiento fue realizado para cada una de las

entradas y salidas.

Figura 3.2.2. Ventana del paso 2 para la elaboración del módulo.

Al finalizar la declaración de entradas y salidas se obtuvo el módulo en el área de trabajo PSCAD

conformado por los datos proporcionados en las ventanas de los pasos 1 y 2.

Para implementar el uso de las funciones de los algoritmos realizados en MatLab, es necesario

editar la definición del módulo, accediendo a características extras para diseñar la forma gráfica de

este y los parámetros internos del módulo que determinan lo necesario para hacer la llamada de

MatLab y las variables de entrada que utilice, como lo muestra la figura 3.2.3.


65

Figura 3.2.3. Declaración de los parámetros internos del módulo.

Una vez que las entradas y salidas han sido determinadas y el diseño estético del módulo

terminado, se desarrolló el script en lenguaje Fortran 90 encargado de ejecutar llamada de la

función de MatLab, en este script se declaran las entradas y salidas del módulo, y se encarga de

realizar el llamado de la funciones de MatLab para lo cual requiere del nombre de la carpeta en

donde se localiza el archivo de la función que se procesará en el módulo, el código del script se

encuentra en el anexo D.

Del procedimiento anterior se obtuvo el módulo para la estimación fasorial mostrado en la figura

3.2.1, cuya configuración está conformada por las entradas fm, f1, w1, Ia_m, cntMuestras y una

salida que entrega el resultado de la estimación realizada por los algoritmos.

Figura 3.2.1. Módulo de la estimación fasorial.

fm = frecuencia de muestreo.

f1 = frecuencia fundamental.

w1 = velocidad angular.

cntmuestras = contador de muestras.

Ia_m = señal discreta de entrada.


66

3.3 Generación de la señales de entrada para la elaboración de pruebas.

Las señales de entrada de prueba fueron generadas por el circuito eléctrico diseñado en PSCAD

mostrado en la figura 3.3.1.

Figura 3.3.1. Circuito generador de las señales de entrada de prueba.

El circuito generador está compuesto por los siguientes elementos conectados en paralelo:

una fuente de tensión encargada de generar la señal fundamental.

Una fuente de corriente con frecuencia de 180 Hz que produce el tercer armónico.

Una fuente con corriente de control externo (CD) que origina la componente de CD

decreciente.

Y a los elementos de la lista anterior se encuentra conectado en serie:

un generador de fallas (Fault), encargado de generar el transitorio.

Cada elemento es activado y desactivado de acuerdo a la señal de prueba que se requiera generar

y procesar. Las señales de prueba fueron generadas continuas en el tiempo, y debieron ser

discretizadas con una velocidad de muestreo de 24 muestras por ciclo y con frecuencia de

muestreo de 1440 Hz, para ser procesadas digitalmente,


67

3.3.1 Discretización de la señales de entrada.

El muestreo de la señal de entrada generada en PSCAD se realiza mediante el arreglo de

diferentes componentes propios del software mostrado en la figura 3.3.2, y está integrado por

Sampling and Holding que se encarga de recibir la señal de entrada Ia (obtenida del generador de

señales), y hold que realiza la discretización de la señal de acuerdo a la frecuencia de muestreo

establecida en el generador de pulsos, resultado de este proceso se tiene a la salida la señal Ia_m

que es la señal discretade entrada.

Figura 3.3.2. Circuito discretizador de las señales de entrada de prueba.

A continuación se muestran las señales obtenidas de forma continua en color azul y de forma

discreta en color rojo, que tiene una duración de 5 ciclos.

Figura 3.3.3. Señal fundamental generada con PSCAD.


68

Figura 4.3.4. Señal fundamental más tercer armónico generada con PSCAD.

Figura 4.3.5. Señal fundamental más transitorio generada con PSCAD.

Figura 4.3.7. Señal fundamental más componente de CD decreciente generada con PSCAD.


69

3.4 Elaboración de pruebas a algoritmos.

En base al desempeño mostrado por los algoritmos al ser sometidos a pruebas en MatLab,

descrito a lo largo del anexo A y resumido en la tabla A.3.4, sólo se sometieron a pruebas los

siguientes:

Gilbert & Shovlin.

Transformada discreta de Fourier de ciclo completo (DFT).

Filtro coseno.

Mínimos Errores Cuadrados (MEC).

Transformada rápida de Fourier (FFT).*

*El algoritmo de la transformada rápida de Fourier es brindado por PSCAD y se tomó en cuenta

para la elaboración de pruebas para efectuar la comprobación de los resultados obtenidos con

éste y los resultados obtenidos el algoritmo MEC.

3.4.1 Elaboración de pruebas al algoritmo Gilbert & Shovlin en PSCAD.

Prueba 1.- Señal de entrada fundamental (60 Hz):

En la figura 3.4.1 se tiene que el fasor resultante de la estimación se estabiliza después del

procesamiento de 3 muestras, aproximadamente en 2 ms. La magnitud del fasor estimado es

equivalente a 19 unidades, esto demuestra que este algoritmo es rápido al procesar la señal de

entrada de la prueba 1 y también se observa en la en la figura 3.4.2 que la estimación del ángulo

de fase se obtiene de manera rápida, estable y oscila de +180⁰ a -180⁰.

Figura 3.4.1. Estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental, algoritmo Gilbert &

Shovlin.


70

Figura 3.4.2. Estimación del ángulo de fase de la señal fundamental, algoritmo Gilbert & Shovlin.

Prueba 2.- Señal fundamental más tercer armónico:

En la figura 3.4.3 se observa que la intervención del tercer armónico en la señal fundamental surte

un efecto negativo, esta afectación provoca que la Estimación de la magnitud sea completamente

deforme y se repita periódicamente por lo que no se estabiliza, resultando un fasor erróneo a la

salida. La amplitud máxima de esta señal supera las 70 unidades, que diverge en demasía con la

amplitud de señal de entrada presentada en la figura 4.3.3, cuya amplitud máxima es de 25

unidades. En la figura 3.4.4 se observa que la estimación del ángulo adquiere un comportamiento

periódico, oscilante e inestable.

Figura 3.4.3. Estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental más tercer armónico,

algoritmo Gilbert & Shovlin.


71

Figura 3.4.4. Estimación del ángulo de fase de la señal fundamental más tercer armónico,


Prueba 3.- Señal fundamental más transitorio:

En la figura 3.4.5 inicialmente se tiene una señal estable resultante de la estimación de la

magnitud de la señal fundamental cercana a 19 unidades, y repentinamente se presenta un

disturbio en el instante 33.33 ms, pero al tratarse de un transitorio mínimo, la señal se estabiliza

rápidamente, aproximadamente el tiempo necesario para la toma de 3 muestras, 2 ms, con

magnitud de 48 unidades, lo anterior confirma una vez más que el algoritmo Gilbert & Shovlin es

rápido. También se observa en la figura 3.4.6 que la estimación del ángulo de fase se genera

rápidamente, en esta únicamente existe una variación provocada el inicio del funcionamiento del

algoritmo y oscila de +180⁰ a -180⁰.

Figura 3.4.5. Estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental transitorio, algoritmo

Gilbert & Shovlin.


72

Figura 3.4.6. Estimación del ángulo de fase de la señal fundamental más transitorio, algoritmo

Gilbert & Shovlin.

Prueba 4.- Señal fundamental más componente de CD decreciente:

En la figura 3.4.7 se observa que la señal decreciente en el tiempo provoca que la estimación de la

magnitud fasorial, experimente un retardo cercano a 7.5 ms para estabilizarse. El valor más alto

alcanzado por la estimación de la magnitud es superior a las 25 unidades, decrece conforme el

tiempo transcurre y hasta el cuarto ciclo, aproximadamente a los 7.5 ms, comienza a comportarse

de manera estable con una magnitud de 20 unidades.Con lo relacionado al comportamiento

mostrado por la estimación del ángulo del fasor, en la figura 3.4.8 se observa un comportamiento

inestable durante trayecto, hasta los 7 ms se estabiliza y oscila de +180⁰ a -180⁰.

Figura 3.4.7. Estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental componente de CD

decreciente, algoritmo Gilbert & Shovlin.


73

Figura 3.4.8. Estimación del ángulo de fase de la señal fundamental más componente de CD

decreciente, algoritmo Gilbert & Shovlin.

3.4.2 Elaboración de pruebas al algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo

completo en PSCAD.

Prueba 1.- Señal fundamental (60 Hz):

En la figura 3.4.9 se tiene que el fasor resultante de la estimación se estabiliza después del

procesamiento de 24 muestras, aproximadamente en 16.666 ms. La magnitud del fasor estimado

es equivalente a 19 unidades, en la figura 3.4.10 se tiene que la estimación del ángulo de fase se

mantiene constante después del procesamiento del primer ciclo y oscila de +180⁰ a -180⁰.

Figura 3.4.9. Estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental, algoritmo de la

transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo.


74

Figura 3.4.10. Estimación del ángulo de fase de la señal fundamental, algoritmo de la transformada

discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo.


En la figura 3.4.11 se observa que la intervención del tercer armónico en la señal fundamental no

afecta a la estimación de la magnitud esta se estabiliza después de la toma de las 24 muestras

iniciales, la amplitud alcanzada por esta es de 19 unidades. Lo anterior indica que el algoritmo TDF

de ciclo completo tarda para efectuar la estimación fasorial en comparación con los algoritmos de

ventana corta, pero cuando el primer ciclo de la señal de entrada ha sido procesado, el

comportamiento de la estimación fasorial es estable. En la figura 3.4.12 se observa que la

estimación del ángulo de fase se mantiene de estable después del procesamiento del primer ciclo

de la señal de entrada.


algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo.


75

Figura 3.4.12. Estimación del ángulo de fase de la señal fundamental más tercer armónico,



En la figura 3.4.13 inicialmente se tiene que el algoritmo comienza la estimación fasorial

procesando las muestras del primer ciclo ocupando 16.6666 ms, después de ese lapso de tiempo,

se tiene una señal estable con una magnitud de 19 unidades, resultante de la estimación de la

magnitud de la señal fundamental y a los 33.33 ms se presenta un transitorio, el cual provoca que

el algoritmo tenga que procesar nuevamente las muestras de un ciclo completo para realizar la

nueva estimación y finalmente entrega una señal estable pero con magnitud de 48 unidades. En la

estimación del ángulo de fase, figura 3.4.14 existen dos variaciones causadas por el

funcionamiento inicial del algoritmo y por la aparición del transitorio y se mantiene oscilante de

+108⁰ a -180⁰.

Figura 3.4.13. Estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental más transitorio,



76

Figura 3.4.14. Estimación del ángulo de fase de la señal fundamental más transitorio, algoritmo de

la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo.

Prueba 4.- Señal fundamental más componte de CD decreciente:

En la figura 3.4.15 se observa que la señal decreciente en el tiempo provoca que la estimación de

la magnitud fasorial adquiera una conducta oscilante durante todo el recorrido. El valor más alto

alcanzado por la estimación de la magnitud es de 25 unidades, decrece conforme cumple con su

trayectoria y finalmente muestra una magnitud de cercana a 20 unidades, el comportamiento

inicial mostrado por la estimación del ángulo en la figura 3.4.16 es inestable debido a

procesamiento del primer ciclo, después de esto se observa una conducta estable hasta el final

recorrido de la señal, además de oscilar desde +180⁰ hasta -180⁰.

Figura 3.4.15. Estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental más componente

decreciente CD, algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo.


77

Figura 3.4.16. Estimación del ángulo de fase de la señal fundamental más componente decreciente

CD, algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo.

3.4.3 Elaboración de pruebas al algoritmo filtro coseno en PSCAD.


La figura 3.4.17 muestra que el fasor resultante de la estimación se estabiliza después del

procesamiento de las 36 muestras iniciales, aproximadamente en 20.8 ms. La magnitud del fasor

estimado es equivalente a 19 unidades, en la figura 3.4.18 se tiene que la estimación del ángulo de

fase se mantiene estable después del procesamiento del primer ciclo más un cuarto y oscila de

+180⁰ a -180⁰.

Figura 3.4.17. Estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental, algoritmo filtro coseno.


78

Figura 3.4.18. Estimación del ángulo fasorial de la señal fundamental, algoritmo filtro coseno.


En la figura 3.4.19 se observa que la intromisión del tercer armónico en la señal fundamental no

afecta a la estimación de la magnitud, esta se estabiliza después de la toma de las 36 muestras

iniciales, la amplitud alcanzada por esta es de 19 unidades. También, en la figura 3.4.20 se observa

que la estimación del ángulo de fase se mantiene de estable después del procesamiento de ciclo

más un cuarto de la señal de entrada.


algoritmo filtro coseno.


79

Figura 3.4.20. Estimación del ángulo fasorial de la señal fundamental más tercer armónico,



En la figura 3.4.21 al principio se tiene que el algoritmo comienza la estimación fasorial

procesando las muestras 36 muestras iniciales ocupando 20.8 ms, después de ese lapso de

tiempo, se tiene una señal estable con una magnitud de 19 unidades, resultante de la estimación

de la magnitud de la señal fundamental y a los 33.33 ms se presenta un transitorio provocando

que el algoritmo tenga que procesar nuevamente las muestras de un ciclo y cuarto para realizar la

nueva estimación y posteriormente entrega una señal estable pero con magnitud de 48 unidades.

La estimación del ángulo de fase se muestra en la figura 3.4.22 y en ésta existen dos variaciones

causadas por el funcionamiento inicial del algoritmo y por la aparición del transitorio y se

mantiene oscilante de +108⁰ a -180⁰.




80

Figura 3.4.20. Estimación del ángulo fasorial de la señal fundamental más transitorio, algoritmo

filtro coseno.


De la elaboración de esta prueba, en la figura 3.4.22 se observa que la señal decreciente en el

tiempo provoca que la estimación de la magnitud fasorial adquiera una conducta oscilante

durante toda la trayectoria. El valor alcanzado por la estimación de la magnitud es cercano a 19

unidades; en la figura 3.4.23, el comportamiento inicial mostrado por la estimación del ángulo es

inestable debido a procesamiento de las 36 muestra iniciales, después de esto se observa una

conducta estable hasta el final recorrido de la señal, además de oscilar desde +180⁰ hasta -180⁰.

Figura 3.4.21. Estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental más componente de CD

decreciente, algoritmo filtro coseno.


81

Figura 3.4.22. Estimación del ángulo fasorial de la señal fundamental más componente de CD

decreciente, algoritmo filtro coseno.

3.4.4 Elaboración de pruebas al algoritmo Mínimos Errores Cuadrados (MEC) en PSCAD.


En la figura 3.4.23 en la figura 4.6.1 que al principio de la estimación se inicializan varias señales,

exactamente 8 señales ya que el funcionamiento del módulo para la realización de pruebas al filtro

MEC es capaz de estimar hasta el octavo armónico, y al cabo del procesamiento de las 45

muestras iniciales, aproximadamente 31.25 ms, sólo una señal no tiende a cero, es la señal que

representa a la fundamental, las demás tienden a cero porque representan la estimación de

armónicos que no se encuentran presentes en la señal de entrada. El valor de la magnitud de la

señal fundamental vale 19 unidades. La estimación del ángulo de fase mostrada en la figura 3.4.24,

paralelamente a la estimación de la magnitud, se mantiene estable después de 31.25 ms y oscila

de +180⁰ a -180⁰.

Figura 3.4.23. Estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental, algoritmo MEC.


82

Figura 3.4.24. Estimación del ángulo del fasor de la señal fundamental, algoritmo MEC.


Como resultado de esta prueba se tiene que la suma de la señal fundamental con el tercer

armónico no perturba a la estimación fasorial generada por el algoritmo MEC, en la figura 3.4.25

se observa que después del procesamiento de 45 muestras iniciales, se obtiene la señal de color

rojo que corresponde a la estimación de la magnitud de la señal fundamental con valor de 19

unidades y la señal de color verde corresponde a la estimación de la magnitud del tercer armónico

que tiene magnitud de 15 unidades. También se obtuvo que la estimación del ángulo del tercer

armónico mostrada en la figura 3.4.26 en color verde oscila de +130⁰ a -180⁰ y la estimación del

ángulo de la señal fundamental en color rojo que oscila de +180⁰ a -180⁰, el comportamiento de

ambas adquiere estabilidad después del arranque de la estimación.


algoritmo MEC.


83

Figura 3.4.26. Estimación del ángulo del fasor de la señal fundamental más tercer armónico,

algoritmo MEC.


En la figura 3.4.27 se observa que el algoritmo emprende la estimación fasorial de la señal de

entrada comprendiendo 45 muestras, después de ese procesamiento se tiene una señal estable

por aproximadamente 2.1 ms, tiempo que corresponde al paso de 3 muestras con una magnitud

de 19 unidades, y representa la estimación de la magnitud de la señal fundamental ,

repentinamente, al término del segundo ciclo de la señal de entrada se presenta un transitorio, el

cual provoca que el algoritmo tenga que procesar nuevamente 45 muestras para generar la nueva

estimación y finalmente otorgar una señal estable pero con magnitud de 48 unidades. La

Estimación del ángulo mostrada en la figura 3.4.28 contiene dos variaciones provocadas por el

inicio del procesamiento y por la aparición del transitorio, posteriormente a ese disturbio

mantiene una conducta estable y oscila de +180⁰ a -180⁰.


algoritmo MEC.


84

Figura 3.4.28. Estimación del ángulo del fasor de la señal fundamental más transitorio, algoritmo

MEC.


De la elaboración de esta prueba en la figura 3.4.29 se observa que la estimación de la magnitud

en color rojo se estabiliza después del procesamiento de las 45 muestras, un retardo próximo a los

31.25 ms para mantener una magnitud constante de 20 unidades, a pesar que este retardo, el

desempeño de la estimación ante la presencia de la componente CD en la señal fundamental es

satisfactorio. En la figura 3.4.30 observa la Estimación de la componente de CD en color azul y la

estimación del ángulo que se comporta estable al cabo del procesamiento de las 45 muestras

iniciales y oscila de +180⁰ a -180⁰.

Figura 3.4.29. Estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental más componente CD

decreciente, algoritmo MEC.


85

Figura 3.4.30. Estimación del ángulo del fasor de la señal fundamental más componente CD

decreciente, algoritmo MEC.

3.4.5 Elaboración de pruebas para la estimación de espectro armónico.

Para efectuar la estimación del espectro armónico se generó la señal de entrada mostrada en la

figura 3.4.31, que está compuesta por la señal fundamental y los armónicos contenidos en la tabla

4.6.

Figura 3.4.31. Señal de entrada para la estimación del espectro armónico.


86

Tabla 3.4.1. Datos de la composición de la señal de entrada.

NOMBRE FRECUENCIA

[Hz]

VALOR RMS

[KA]

VALOR PICO

[KA]

Fundamental 60 60 84.85281374

Segundo armónico 120 30 42.42640687

Tercer armónico 180 45 63.63961031

Cuarto armónico 240 80 113.137085

Quinto armónico 300 20 28.28427125

Sexto armónico 360 55 77.78174593

Séptimo armónico 420 60 84.85281374

Octavo armónico 480 75 106.0660172

El circuito desarrollado para la generación de la señal de entrada se muestra en la figura 3.4.32 y

está compuesto de fuentes de corriente conectadas en paralelo, cada una se encarga de producir

un armónico al definir la frecuencia correspondiente a este.

Figura 3.4.32. Circuito generador de la señal de entrada para la estimación de contenido armónico


87

Prueba 1.- Estimación del espectro armónico, algoritmo Mínimos Errores Cuadrados (MEC).

En la gráfica superior de la figura 3.4.33 se observa que al principio de la estimación se inicializan

8 señales que representan a la fundamental y a los armónicos adheridos a ésta, posteriormente

del procesamiento de las 45 muestras iniciales, 31.25 ms, las 8 señales se mantienen estables, la

magnitud que adquieren está determinada por el valor de las barras de la gráfica ubicada en la

parte inferior de la figura 3.4.33 y estos valores también están registrados en la tabla 3.4.2.

Figura 3.4.33. Estimación del espectro armónico, algoritmo Mínimos Errores Cuadrados (MEC).


88

Tabla 3.4.2. Estimación de la magnitud del contenido armónico algoritmo MEC.

NOMBRE FRECUENCIA

[Hz]

VALOR PICO ESTIMADO

[KA]

Fundamental 60 84.85

Segundo armónico 120 42.42

Tercer armónico 180 63.63

Cuarto armónico 240 113.13

Quinto armónico 300 28.28

Sexto armónico 360 77.78

Séptimo armónico 420 84.85

Octavo armónico 480 106.6

Los resultados obtenidos de la estimación del contenido armónico de la señal de entrada

realizado por el algoritmo MEC, contenidos en la tabla 3.4.2 no difieren con los valores reales de

dicha señal, contenidos en la tabla 3.4.1, esto demuestra que el funcionamiento de éste algoritmo

es correcto.

Prueba 2.- Estimación de espectro armónico, algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier

(TRF).

En la gráfica superior de la figura 3.4.34 se observa que al principio de la estimación se inicializan

8 señales que representan a la fundamental y a los armónicos que la contaminan, después del

procesamiento del primer ciclo de entrada, 16.666 ms, las 8 señales se mantienen estables, la

magnitud que adquieren está determinada por el valor de las barras de la gráfica ubicada en la

parte inferior de la figura 3.4.34 y también estos valores están registrados en la tabla 3.4.3.


89

Figura 3.4.34. Estimación del espectro armónico, algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier

FFT.

Tabla 3.4.3. Estimación de la magnitud del contenido armónico algoritmo FFT.

NOMBRE FRECUENCIA

[Hz]

VALOR PICO ESTIMADO

[KA]










90

Similarmente a los resultados obtenidos de la estimación del contenido armónico de la señal de

entrada realizado por el algoritmo MEC, los correspondientes al algoritmo FFT contenidos en la

tabla 3.4.3, tampoco distan con los valores reales de dicha señal, contenidos en la tabla 3.4.1, esto

demuestra que el funcionamiento de ambos algoritmos es correcto.

Contenido general de las características que presentan los algoritmos al efectuar la estimación

fasorial de las señales de entrada de prueba en PSCAD.

Tabla 4.6.3.Resumen general de características de los algoritmos obtenidas en PSCAD.

ALGORITMO

C A R A C T E R Í S T I C A S

1 2 3 4 5 6

GILBERT & SHOVLIN

TDF DE CICLO COMPLETO

FILTRO COSENO

MÍNIMOS ERRORES CUADRADOS

TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER

1. Rápida estabilización de la estimación fasorial (tiempo menor a un ciclo).

2. Comportamiento estable al procesar la señal fundamental.

3. Comportamiento estable al procesar la señal fundamental más tercer armónico.

4. Comportamiento estable al procesar la señal fundamental más quinto armónico.

5. Comportamiento estable al procesar la señal fundamental más transitorio.

6. Rápida estabilización al procesar la señal fundamental más componente de CD

decreciente.


91

CAPÍTULO 4. ESTIMACIÓN DE SEÑALES GENERADAS POR SISTEMAS ELÉCTRICOS DE

PSCAD.

4.1 Introducción.

Este capítulo se enfoca en la implementación de los algoritmos para realizar la estimación fasorial

de señales generadas por sistemas eléctricos de calidad de la energía contenidos en los ejemplos

de ejecución incluidos en el software PSCAD (sin profundizar en su estructura) y en los resultados

obtenidos, los cuales fueron cotejados con los resultados arrojados por el módulo de la

transformada rápida de Fourier, también incluido en el diseño propio de los sistemas eléctricos en

PSCAD.

4.2 Selección y descripción del sistema eléctrico 1: “Un filtro activo simplificado en configuración

paralelo” sometido a pruebas de estimación fasorial.

La selección del sistema eléctrico 1 se basó en las características que lo componen, al contar con

algoritmos que son capaces de realizar la estimación de la señal de entrada sin importar si ésta se

encuentre contaminada con armónicos, se seleccionó la señal generada por éste sistema eléctrico

ya que cuenta con estos disturbios.

El sistema eléctrico 1 mostrado en la figura 4.2.1, llamado: “Un filtro activo simplificado en

configuración paralelo” se basa en un caso creado originalmente en el Centro de Investigación

HVDC Manitoba por el Dr. M. formatear, en Manitoba, Canadá; ilustra el uso de un STATCOM para

proporcionar filtrado activo para el lado de corriente alterna de un sistema de convertidor de 6

pulsos.

El filtro activo se conecta a través de un transformador de 20 kVA a 200 V, 60 Hz, bus de 3 fases,

cuya carga es el convertidor de 6 pulsos.


92

Figura 4.2.1. Sistema eléctrico 1.

4.2.1 Señal generada por el sistema eléctrico 1.

La señal de entrada para la elaboración de pruebas de estimación fasorial generada por el sistema

eléctrico 1 es mostrada en la figura 4.2.2, y se observa que ésta contiene distorsiones causadas por

su contenido armónico, alcanza un valor pico de 346.4 V y tiene un trayecto que dura 500 ms.

Figura 4.2.2. Señal generada por el sistema eléctrico 1.


93

4.2.2 Elaboración de pruebas al sistema eléctrico 1.

Para obtención de la estimación fasorial de la señal de entrada generada por el sistema eléctrico 1

fueron aplicados los siguientes algoritmos:

Gilbert & Shovlin.

Transformada discreta de Fourier de ciclo completo (TDF).

Filtro coseno.


Transformada Rápida de Fourier (FFT).

4.2.3 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo Gilbert &Shovlin.

En la figura 4.2.3 se muestra la estimación de la magnitud fasorialde la señal de entrada 1

realizada por el algoritmo Gilbert & Shovlin y en ésta se observa que la intervención de armónicos

en esta señal influye muy negativamente a la salida del fasor ya que la señal resultante es deforme

y se repite periódicamente. El valor de la amplitud máxima es aproximado a las 525 V y la mínima

es cercana a los 10 V, presentando una enorme diferencia con la señal de entrada, cuya amplitud

máxima es de 320.14 V.

Figura 4.2.3. Estimación fasorialde la señal 1 realizada por el algoritmo Gilbert & Shovlin.


94


de ciclo completo (TDF).

En la figura 4.2.4 se muestra la estimación de la magnitud fasorial de la señal de entrada

efectuada por el algoritmo TDF de ciclo completo y en ésta se observa que la presencia de

armónicos en la señal de entrada no afecta a la estimación fasorial, ya que éste algoritmo elimina

las distorsiones causadas por estos en la señal fundamental (de 60 Hz), lo que proporciona una

señal de estimación fasorial constante que se mantiene con valor pico de 320.09 V y por lo tanto

confiable.

Figura 4.2.4. Estimación fasorial realizada por el algoritmo TDF de ciclo completo.

4.2.5 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo filtro coseno.

En la figura 4.2.5 se muestra la estimación fasorial realizada por el algoritmo filtro coseno, y se

observa que mantiene un comportamiento estable, sin importar que la señal de entrada se

encuentre contaminada por armónicos, esta conducta estable se deba a la operación de éste

algoritmo, basado en el funcionamiento del algoritmo TDF pero tomando como referencia a la

función coseno, por lo tanto se eliminan los armónicos, lo que brinda una estimación de la

magnitud fasorial constante de con magnitud de 320.13 V que tarda alrededor de 65 ms para

estabilizarse.


95

Figura 4.2.5. Estimación fasorial realizada por el algoritmo filtro coseno.

La ventaja de la implementación del algoritmo filtro coseno para la estimación fasorial de señales

eléctricas es que suprime a los armónicos que están contenidos en dichas señales, entregando a la

salida únicamente la magnitud de la señal fundamental, pero no es capaz de estimar la magnitud

ni el orden de los armónicos contenidos en la señal de entrada.

4.2.6 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo de Mínimos Errores Cuadrados.

En la figura 4.2.6 se observa que al principio de la estimación se inicializan 8 señales que

corresponden a la fundamental y a los armónicos sumados a ésta, posteriormente del

procesamiento inicial, las 8 señales se mantienen estables, la magnitud que adquieren está

determinada por el valor de las barras de la figura 4.2.7 y estos valores también están registrados

en la tabla 4.2.1 y más adelante, en el punto 4.2.8 serán comparados con los valores de la

estimación fasorial efectuada por el módulo del algoritmo de la transformada rápida de Fourier

otorgado por la configuración del sistema eléctrico.


96

Figura 4.2.6. Estimación fasorial realizada por el algoritmo MEC.

Figura 4.2.7. Estimación del contenido armónico realizada por el algoritmo MEC.


97

Tabla 4.2.1. Estimación de la magnitud del contenido armónico algoritmo MEC.

NOMBRE FRECUENCIA

[Hz]

VALOR PICO ESTIMADO

[V]










(FFT).


representan a la fundamental y a los armónicos que la contaminan, después del procesamiento

inicial, las 8 señales se mantienen estables, la magnitud que adquieren está determinada por el

valor de las barras de la figura 4.2.9 y también estos valores están registrados en la tabla 4.2.2.

Figura 4.2.8. Estimación fasorial realizada por el algoritmo FFT.


98

Figura 4.2.9. Estimación del contenido armónico realizada por el algoritmo FFT.

Tabla 4.2.2. Estimación de la magnitud del contenido armónico algoritmo FFT.

NOMBRE FRECUENCIA

[Hz]

VALOR PICO ESTIMADO

[V]









Los valores contenidos en la tabla 4.2.2 corresponden a los resultados arrojados por el módulo del

algoritmo FFT del software PSCAD, incluido en la configuración del sistema eléctrico 1.


99

4.2.8 Comparación de los valores de la estimación de contenido armónico obtenidos por los

algoritmos MEC Y FFT.

De la elaboración de las pruebas anteriores se tiene que el algoritmo de la Transformada Rápida

de Fourier es más rápido al realizar la estimación fasorial de la señal de entrada abarcando un

lapso de tiempo comprendido en 60 ms, aproximadamente 10 ms menos que los requeridos por el

algoritmo MEC.

A continuación, en la tabla 4.2.3 se muestran las diferencias que existen entre los valores de la

estimación de contenido armónico obtenidos por el algoritmo MEC y por el algoritmo de la FFT.

Tabla 4.2.3. Comparación de los valores obtenidos de la estimación de contenido armónico.

NOMBRE FRECUENCIA

[Hz]

VALOR PICO ESTIMADO [V] DIFERENCIA [V]

MEC FFT

Fundamental 60 319.5292 320.6697 1.1405

Segundo armónico 120 0.0512 0.4372 0.386

Tercer armónico 180 0.1054 0.3390 0.2336

Cuarto armónico 240 0.1363 0.2417 0.1054

Quinto armónico 300 18.8088 18.0564 0.7524

Sexto armónico 360 0.1793 0.2199 0.0406

Séptimo armónico 420 8.0364 8.3833 0.3469

Octavo armónico 480 0.1350 0.0942 0.0408

Como se puede observar en la tabla anterior, la diferencia más grande que existe en los valores de

la estimación de contenido armónico de la señal de entrada obtenidos con ambos algoritmos es de

1.1405 V lo que equivale a 0.355 %, una diferencia mínima, esto indica que los resultados

obtenidos por el algoritmo MEC son confiables.


100


En la tabla 4.2.4 se tienen los valores de la estimación de la señal fundamental efectuada por los 5

algoritmos de prueba y el promedio del valor de dicha estimación, el objetivo de la realización de

ésta tabla es ofrecer al lector de este proyecto y posible usuario de los algoritmos analizados una

perspectiva general del resultado estimado por la implementación de dichos algoritmos.

Tabla 4.2.4. Comparación del valor de la estimación realizada por los 5 algoritmos implementados.

ALGORITMO

VALOR PICO DE LA

SEÑAL FUNDAMENTAL

ESTIMADO [V]

VALOR PICO DE

LA SEÑAL DE

ENTRADA [V]

DIFERENCIA ENTRE EL

VALOR PICO ESTIMADO

Y EL VALOR PICO DE

ENTRADA [V]

% DE LA

DIFERENCIA

Gilbert & Shovlin

525

320.14

204.86 63.990754

Transformada

discreta de Fourier de

ciclo completo (TDF)

320.09 0.05 0.01561817

Filtro coseno

320.13 0.01 0.00312363

Mínimos Errores

Cuadrados

(MEC)

319.52 0.62 0.19366527

Transformada

Rápida de Fourier

(FFT)

320.66 0.52 0.16242894

A partir de los resultados mostrados en la tabla 4.2.4 y dependiendo dela forma de onda de la

señal de entrada que se desee estimar, es posible elegir la implementación del algoritmo que más

se adecue a las necesidades que se deben cubrir.


101

4.3 Selección y descripción del sistema eléctrico 2: “Tensión de cosquilleo” sometido a pruebas

de estimación fasorial.

La selección del sistema eléctrico 2 mostrado en la figura 4.2.1 se realizó debido a que éste se

enfoca en la calidad de la energía que brinda exponiendo el comportamiento de la puesta a tierra

del mismo.

Figura 4.3.1. Sistema eléctrico 2.


102

El ejemplo de aplicación del sistema eléctrico 2 se basa en un caso originalmente creado en

Manitoba Hydro, en Manitoba Canadá. El problema era que los animales de granja, durante los

meses de invierno, estaban experimentando una "tensión de cosquilleo", debido a la sospecha de

mala puesta a tierra en la rejilla de tierra local.

Usando PSCAD, los ingenieros fueron capaces de simular el sistema local y determinar que el

problema de conexión a tierra al menos parcialmente relacionado con la resistencia a la barra de

tierra. Durante los meses de invierno, la conductividad del suelo es pobre, lo que resulta en una

mala conexión entre los electrodos de tierra y la tierra. Si bien, este caso tiene un funcionamiento

determinado, se puede ajustar la resistencia a la barra de tierra y observar el cambio en voltaje a

través de la vaca.

4.3.1 Señal generada por el primer caso del sistema eléctrico 2.

En la figura 4.3.2 se observa la señal de entrada para la elaboración de pruebas de estimación

fasorial generada por el sistema eléctrico 2 y obtenida por el vóltmetro Vcow situado a un costado

de la imagen de la vaca en la figura 4.3.1, alcanza un valor pico de 0.01279 kV y tiene un

trayectoria de 5 ciclos.

Figura 4.3.2. Señal generada por el sistema eléctrico 1.


103




Miki & Mikano.

Gilbert & Shovlin.



4.3.3 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo Miki & Mikano.

En la figura 4.3.3 se observa que el fasor resultante de la estimación se mantiene estable a partir

de los 6.33 ms y con magnitud de 0.012809 kV, esto determina que el algoritmo Miki & Mikano es

rápido para estimar fasores producidos a partir de una señal de entrada puramente senoidal que

no contiene arónicos.

Figura 4.3.3. Estimación fasorial de la señal generada por el sistema eléctrico 2, realizada por el

algoritmo Miki & Mikano.


104

4.3.4 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo Gilbert & Shovlin.

En figura 4.3.4 se observa que la magnitud fasorial resultante de la estimación se estabiliza en

5.72 ms, adquiere una magnitud de valor pico de 0.012883 kV. De lo anterior se deduce que el

algoritmo Gilbert & Shovlin es muy rápido para estimar fasores originados a partir de una señal de

entrada puramente senoidal sin distorsiones.

Figura 4.3.4. Estimación fasorial de la señal generada por el sistema eléctrico 2, realizada

por el algoritmo Gilbert & Shovlin.


En la figura 4.3.5 se observa que al principio de la estimación se inicializan varias señales, y al cabo

de 33.80 ms se tiene que la única señal que no tiende a cero es la correspondiente a la

fundamental, el resto de estas tiende a cero porque son producidas para estimar armónicos pero

al no existir en la señal de entrada estas estimaciones son cero. El valor de la magnitud de la señal

fundamental es equivalente a 0.012808 kV.


105

Figura 4.3.5 Estimación fasorial de la señal generada por el sistema eléctrico 2, realizada por el

algoritmo MEC.


(FFT).

En la figura 4.3.6 se observa que la magnitud fasorial resultante de la estimación se estabiliza a

partir de los 20.74 ms, con magnitud de 0.012809 kV, esto demuestra que el algoritmo de la

Transformada Rápida de Fourier es eficaz para estimar fasores producidos a partir de una señal de

entrada puramente senoidal que pueden contener o no, arónicos.

Figura 4.3.6 Estimación fasorial de la señal generada por el sistema eléctrico 2, realizada por el

algoritmo realizada por el algoritmo FFT.


106



algoritmos implementados y el promedio del valor de dicha estimación, nuevamente el objetivo

de la presentación de ésta tabla es brindar al interesando en este proyecto y potencial beneficiario

de los algoritmos analizados una panorama general de los resultados obtenidos por la

implementación de dichos algoritmos.


ALGORITMO

VALOR PICO DE LA

SEÑAL FUNDAMENTAL

ESTIMADO [kV]

VALOR PICO DE LA

SEÑAL DE

ENTRADA [kV]

DIFERENCIA ENTRE EL

VALOR PICO ESTIMADO

Y EL VALOR PICO DE

ENTRADA [kV]

% DE LA

DIFERENCIA

Miki & Mikano

0.012809

0.012791

0.000018 0.14072395

Gilbert & Shovlin

0.012883 0.000092 0.71925573

Mínimos Errores

Cuadrados

(MEC)

0.012808 0.000017 0.13290595

Transformada

Rápida de Fourier

(FFT).

0.012808 0.000017 0.13290595

Los valores contenidos en la tabla 4.3.1 reflejan que las estimaciones calculadas son confiables, ya

que no se tiene una diferencia mayor al 1% entre el valor pico de entrada y los valores pico

estimados por los algoritmos implementados en este caso, esto se debe la carencia de armónicos

en la señal de entrada.


107


2 subestaciones de potencia, caso 1” sometido a pruebas de estimación fasorial.

La selección del sistema eléctrico 3 mostrado en la figura 4.4.1 se basó su en la topología, debido

a que se realizó la estimación fasorial de la señal generada por éste sistema en 2 dos casos.

En este parte del proyecto se analiza la implementación de los algoritmos realizada en el caso 1, la

señal de entrada para éste representa a la corriente Ifiltro que pasa a través del interruptor B1.

Figura 4.4.1. Sistema eléctrico 3, caso 1.

El sistema eléctrico 3 mostrado en la figura 4.4.1 llamado: “Protección de un sistema de conexión

entre 2 subestaciones de potencia, caso 1”, a continuación presentan las características de éste

sistema:

- Cuenta con dos fuentes e Impedancia de Thevin, conectados a través de una línea de transmisión

de 100 km.

- La tensión del sistema es configurable a través de 230kV equivalentes de origen.

- Simula dos subestaciones conectadas a través de una línea de transmisión.

- Cuatro posiciones de fallo para el control de fallos completa por delante y detrás de la estación

de relés.

- Dos interruptores controlados por un interruptor de control manual, temporizadores e

interruptor o disyuntor de protección


108

4.4.1 Señal generada por el sistema eléctrico 3, caso 1.


eléctrico 3 es mostrada en la figura 4.2.2, y se observa que ésta representa el comportamiento de

la corriente cuando el interruptor B1 opera al detectar una falla ocurrida aproximadamente a los

300 ms, antes de que la falla ocurriera, la señal alcanza un valor pico de 0.4015 kA, posteriormente

de la apertura del interruptor B1, la señal tiende a cero hasta el final de su trayectoria la cual dura

700 ms.

Figura 4.4.2. Señal generada por el sistema eléctrico 3, caso 1.

4.4.2 Elaboración de pruebas al sistema eléctrico 3, caso 1.



Gilbert & Shovlin.

Transformada discreta de Fourier de ciclo completo (TDF).

Filtro coseno.



109

4.4.3 Obtención la estimación fasorial con el algoritmo Gilbert &Shovlin.

En la figura 4.4.3 se muestra la estimación de la magnitud fasorial de la señal generada por el

sistema eléctrico 3 realizada por el algoritmo Gilbert & Shovlin, se observa que la señal se

estabiliza aproximadamente a los 135 ms, con magnitud de 0.4095 kA, posteriormente se tiene la

operación del interruptor lo que provoca que la señal se eleve hasta 5.52 kA, al termino de la

operación la señal tiende a cero.

Figura 4.4.3. Estimación fasorial de la señal generada por el sistema eléctrico 3, caso 1 realizada

por el algoritmo Gilbert & Shovlin.


de ciclo completo (TDF).

En la figura 4.4.4 se muestra la estimación de la magnitud fasorial de la señal de entrada

efectuada por el algoritmo TDF de ciclo completo y se observa llega a estabilizarse a 22.02 ms,

manteniendo una magnitud de 0.4094 kA durante 79.8 ms, a los 30 ms, instante en el que el

interruptor B1 abrió a causa de la presencia de una falla la magnitud de la señal alcanza los 3.02

kA, después se tiene que la señal es nula hasta el final de su trayecto.


110

Figura 4.4.4. Estimación fasorial realizada por el algoritmo TDF de ciclo completo.


En la figura 4.4.5 se muestra la estimación fasorial realizada por el algoritmo filtro coseno, y se

observa que mantiene un comportamiento estable a partir de los 200 ms con magnitud de 0.4094

kA, posteriormente de la falla esta tiende a cero

Figura 4.2.5. Estimación fasorial realizada por el algoritmo filtro coseno.


111


(FFT).


representan a la fundamental y a los armónicos que la podrían contaminar, después del

procesamiento inicial al cabo de 206 ms, sólo 1 señal se mantiene estable y corresponde a la

estimación de la señal fundamental, la magnitud que ésta señal constante adquiere es de 0.4074

kA, los 300 ms, instante en el que se presenta la falla y nuevamente se tiene la inicialización de las

8 señales pero en esta ocasión todas tienden a cero debido a la apertura del interruptor B1.

Figura 4.4.6. Estimación fasorial realizada por el algoritmo FFT.



algoritmos implementados en este caso y el promedio del valor de dicha estimación, el objetivo de

la realización de ésta tabla es ofrecer una perspectiva general del resultado estimado por la

implementación de dichos algoritmos.


112


ALGORITMO

VALOR PICO DE LA

SEÑAL FUNDAMENTAL

ESTIMADO [kA]

VALOR PICO DE

LA SEÑAL DE

ENTRADA [kA]

DIFERENCIA ENTRE EL

VALOR PICO ESTIMADO

Y EL VALOR PICO DE

ENTRADA [kA]

% DE LA

DIFERENCIA

Gilbert & Shovlin

0.4095

0.4015

0.008 1.99252802

Transformada

discreta de Fourier de

ciclo completo (TDF)

0.4062 0.0047 1.17061021

Filtro coseno

0.4094 0.0079 1.96762142

Transformada

Rápida de Fourier

(FFT)

0.4074 0.0059 1.46948941

A partir de los resultados mostrados en la tabla 4.4.1, es posible elegir la implementación del

algoritmo que más se adecue si se desea estimar una señal de entrada puramente senoidal sin

contenido armónico que sufre transitorios.


113


2 subestaciones de potencia, caso 2” sometido a pruebas de estimación fasorial.

En este parte del proyecto se analizó la implementación de los algoritmos realizada en el caso 2,

en éste, la señal de entrada representa a la corriente Ifiltro que pasa a través de la línea de

transmisión TLINE1, como se observa en la figura 4.5.1.

Figura 4.5.1. Sistema eléctrico 3, caso 2.

4.5.1 Señal generada por el segundo caso del sistema eléctrico 3.


eléctrico 3, caso 2 se muestra en la figura 4.5.2, ésta simboliza el comportamiento de la corriente

que pasa a través de la línea de transmisión TLINE1 y se observa que se mantiene estable a partir

de los 220 ms con valor pico de 0.4182 kA y a los 310 ms sufre una gran distorsión y en base a la

forma de onda que ésta origina, es posible determinar que contiene a una componente de CD

negativa y decreciente en el tiempo.

Posteriormente a la aparición del disturbio, la señal alcanza un valor pico de 1.8029 kA cuando

esta se estabiliza nuevamente y aproximadamente a los 500 ms ésta disminuye abruptamente

hasta adquirir un comportamiento constante con valor pico de 0.0609 kA.


114

Figura 4.5.2. Señal generada por el sistema eléctrico 3, caso 2.


Para obtención de la estimación fasorial de la señal de entrada generada por el sistema eléctrico

3, caso 2 fueron aplicados los siguientes algoritmos:

Filtro coseno.




En la figura 4.5.3 se muestra la estimación fasorial de la señal de entrada efectuada por el

algoritmo filtro coseno y se observa que esta señal de estimación se mantiene estable a partir de

los 220 ms con magnitud de 0.4098 kA, después, al presentarse la distorsión a los 300 ms se inicia

una nueva estimación que llega a ser estable a los 436 ms con magnitud de 1.8210 kA.

Posteriormente a partir de los 550 ms la señal tienda a disminuir hasta los 607 ms, instante en el

que muestra una conducta constante con magnitud de 0.0630 kA, todo lo anterior demuestra una

vez más que la componente de CD decreciente no provoca complicaciones a la estimación fasorial

efectuada por el algoritmo filtro coseno.


115

Figura 4.5.3. Estimación fasorial de la señal generada por el sistema eléctrico 3, caso 2

realizada por el algoritmo filtro coseno.


La figura 4.5.4 muestra la estimación fasorial de la señal de entrada efectuada por el algoritmo

MEC y en ésta se tiene que esta señal de estimación de la señal fundamental (de 60 Hz) es estable

a partir de los 207 ms con magnitud de 0.4199 kA, a los 300 ms se produce la distorsión la cual

está compuesta por la componente de CD decreciente, el algoritmo MEC estimo que la amplitud

máxima de ésta componente fue de -1.054 kA y este valor tiende a cero conforme transcurre el

tiempo, paralelamente a ésta, también se tiene que el valor de la estimación de la magnitud de la

fundamental llega a ser constante a los 364 ms con magnitud de 1.8190 kA, después esta

desciende hasta que nuevamente se mantiene estable a los 630 ms con magnitud de 0.0590 kA.


116


por el algoritmo MEC.


(FFT).

En la figura 4.5.5 se muestra la estimación fasorial de la señal de entrada efectuada por el

algoritmo FFT y se observa que esta señal de estimación de la señal fundamental (de 60 Hz) es

estable a partir de los 207 ms con magnitud de 0.4189 kA, a los 300 ms se presenta la distorsión el

algoritmo FFT realizó la estimación de ésta componente arrojando una magnitud de -1.3593 kA y

este valor tiende a cero conforme pasa el tiempo, también se tiene que el valor de la estimación

de la magnitud de la señal fundamental se mantiene estable a los 430 ms con magnitud de 1.8064

kA, después esta disminuye hasta ser constante a los 616 ms con magnitud de 0.0629 kA.


117


por el algoritmo FFT.


En la tabla 4.5.1, 4.5.2 y 4.5.3 se tienen los valores de la estimación de la señal fundamental antes

de la aparición de la falla, durante la falla y después de la falla, respectivamente efectuada por los

3 algoritmos implementados en este caso y el promedio del valor de dicha estimación.

El objetivo de la realización de ésta tabla es ofrecer una perspectiva general del resultado

estimado por la implementación de dichos algoritmos cuando se tiene una señal de entrada

forma de onda senoidal es contaminada por una componente de CD decreciente.


118

Tabla 4.5.1. Comparación del valor de la estimación antes de la aparición de la falla, realizada por

los 3 algoritmos implementados.

ALGORITMO

VALOR PICO DE LA SEÑAL

FUNDAMENTAL

ESTIMADO [kA]

VALOR PICO DE LA

SEÑAL DE

ENTRADA [kA]

DIFERENCIA ENTRE EL

VALOR PICO ESTIMADO

Y EL VALOR PICO DE

ENTRADA [kA]

% DE LA

DIFERENCIA

Filtro coseno

0.4098

0.4182

0.0084 2.00860832

Mínimos Errores

Cuadrados

(MEC)

0.4199 0.0017 0.40650407

Transformada

Rápida de

Fourier (FFT)

0.4189 0.0007 0.16738403

Tabla 4.5.2. Comparación del valor de la estimación en la aparición de la falla, realizada por los 3

algoritmos implementados.

ALGORITMO


FUNDAMENTAL

ESTIMADO [kA]

VALOR PICO DE LA

SEÑAL DE

ENTRADA [kA]

DIFERENCIA ENTRE EL

VALOR PICO ESTIMADO

Y EL VALOR PICO DE

ENTRADA [kA]

% DE LA

DIFERENCIA

Filtro coseno

1.821

1.8029

0.0181 1.0039381

Mínimos Errores

Cuadrados

(MEC)

1.819 0.0161 0.89300571

Transformada

Rápida de

Fourier (FFT)

1.8064 0.0035 0.19413168


119

Tabla 4.5.3. Comparación del valor de la estimación después de la falla, realizada por los 3

algoritmos implementados.

ALGORITMO


FUNDAMENTAL

ESTIMADO [kA]

VALOR PICO DE LA

SEÑAL DE

ENTRADA [kA]

DIFERENCIA ENTRE EL

VALOR PICO ESTIMADO

Y EL VALOR PICO DE

ENTRADA [kA]

% DE LA

DIFERENCIA

Filtro coseno

0.0630

0.0609

0.0182 1.0039381

Mínimos Errores

Cuadrados

(MEC)

0.0590 0.0161 0.89300571

Transformada

Rápida de

Fourier (FFT)

0.0629 0.0035 0.19413168

Al comparar los resultados contenidos en las 3 tablas anteriores, se tiene que el valor del

porciento de la diferencia más alto corresponde a la estimación de la señal fundamental antes de

la falla efectuada por el filtro coseno con 2.00860832 % que representa 0.0084 kA un valor

pequeño al compararlo con los 0.0182 kA de diferencia entre el valor pico de entrada y el valor

pico estimado por el mismo algoritmo después de la falla. A pesar de lo anterior, los resultados

obtenidos por la implementación de los 3 algoritmos constituyen una estimación de la señal

fundamental más una componente de CD decreciente confiable ya que el máximo error es muy

cercano al 2 %, relativamente mínimo.


120


121

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES.

Esta tesis, enfocada al procesamiento digital de señales brinda los resultados de diversas pruebas

realizadas por medio de la implementación de algoritmos representados por funciones de usuario

desarrolladas en MatLab (anexo A) a una interfaz elaborada con PSCAD-EMTCD, programas de

amplia aplicación en la Ingeniería Eléctrica; MatLab por ser un programa de cálculo

numérico orientado a matrices lo que permitió el diseño del funcionamiento de los algoritmos en

términos de matrices y vectores, y PSCAD por ser una herramienta indispensable para el estudio y

diseño de sistemas eléctricos que tiene integradas herramientas de representación de variables,

medidores, elementos de control y modelos de componentes y sistemas eléctricos, en este caso

ambos programas necesarios para efectuar el procesamiento de la información contenida en las

señales eléctricas de forma rápida y eficaz.

Desde el punto de vista del procesamiento digital, la ventana de datos contiene en cada momento

una porción de la información de la señal de entrada en forma de muestras que son adquiridas a

partir de la discretización de ésta. La ventana de datos está determinada de manera particular

para cada uno de los algoritmos analizados en la realización de este proyecto, éstos dependen del

número de muestras por ventana para que realicen la estimación fasorial de manera adecuada.

El número de muestras por ventana influye directamente en la velocidad del cálculo de la

estimación fasorial de la señal de entrada y la respuesta obtenida, si ésta señal contiene disturbios

como transitorios o armónicos, de lo anterior resulta la clasificación de los algoritmos en 3

conjuntos, algoritmos de ventana corta, de ventana larga y los encargados de la estimación de

espectro armónico, cada conjunto ofrece características que representan ventajas para su

implementación al efectuar el procesamiento digital de las señales generadas por los sistemas

eléctricos, todo depende de la forma de onda de la señal de entrada a la que sean sometidos.

La realización de las funciones de usuario requirió previamente de la investigación y

documentación de las expresiones matemáticas que definen el funcionamiento de los algoritmos

analizados y comprendidos en conjuntos de estimación, determinados por el tamaño de la

ventana de datos, estas expresiones matemáticas fueron implementadas en lenguaje de

programación de MatLab, mediante la realización de líneas de código que mantienen un orden

lógico de operaciones conformado por funciones que representan y desempeñan la tarea de las

expresiones matemáticas para realizar el procesamiento de la información de la señal de entrada.


122

Del análisis del desempeño de las funciones de usuario programadas ante la estimación de

diversas señales de entrada, originadas por el programa “generador de señales” desarrollado en

MatLab, se determinaron las ventajas y desventajas que éstas ofrecen y fueron contenidas en la

tabla A.3.4 de anexo A, en base a éstas se seleccionaron los algoritmos que mostraron el mejor

desempeño para que fueran implementados en la interfaz MatLab-PSCAD.

El software PSCAD-EMTDC brindó la facilidad para la realización de esta interfaz a través del

diseño y elaboración del “Módulo para estimación fasorial” gracias al entorno gráfico de manejo

sencillo e intuitivo que ofrece (capítulo 3), dicho módulo está constituido por entradas y salidas

necesarias para que las funciones asignadas a éste fueran efectuadas, estas funciones fueron

ordenadas lógicamente en un script, encargado del funcionamiento del módulo y elaborado con el

lenguaje de programación Fortran; las entradas y salidas son producto de la relación directa de las

funciones de usuario desarrolladas en MatLab y el script, al ser nombradas en éste, también

debieron ser insertadas en el módulo. Posteriormente de la elaboración del módulo para la

estimación fasorial, se demostró que su funcionamiento fuera correcto al implementar los

algoritmos que poseen las mejores características, tal como estabilidad al realizar la estimación de

la señal fundamental, estimación correcta al procesar ésta señal acompañada de contenido

armónico, componente de CD o transitorios (capítulo 4).

Ya que se comprobó que el desempeño de la interfaz MatLab-PSCAD y de las funciones de usuario

fuera adecuado, éstas fueron sometidos a pruebas para efectuar la estimación fasorial de señales

generadas por sistemas eléctricos de calidad de la energía y de protecciones ofrecidos por el

software PSCAD, estas señales poseen las características requeridas (disturbios), necesarias para

analizar la estimación realizada por los algoritmos implementados y documentar éstos resultados

obtenidos.

Los algoritmos de ventana corta efectúan la estimación fasorial más rápida, logrando la

estabilización de ésta en tiempo menor al requerido por un ciclo a excepción del algoritmo Mann

& Morrison que produce oscilaciones, esta estimación se encuentra limitada a que la señal de

entrada sea puramente senoidal (sin contenido armónico), de lo contrario el resultado obtenido

será erróneo.

Si la señal de entrada contiene transitorios, los algoritmos de ventana corta son capaces de

realizar la estimación de esta señal de manera rápida, el algoritmo que mayormente goza de esta


123

característica es Miki & Mikano debido a su ventana de datos, compuesta por 2 muestras. El único

algoritmo de ventana corta capaz de funcionar correctamente en presencia de una componente

de CD en la señal de entrada es Rockefeller & Udren, brindando una estimación fasorial

relativamente estable en comparación con la obtenida con el resto de los algoritmos de este

conjunto.

Los algoritmos de ventana larga y los de estimación de espectro armónico tardan más tiempo

para realizar la estimación fasorial de la señal de entrada en comparación con los de ventana

corta, pero compensan este retardo con mejores características (capítulo 4). Todos estos

algoritmos son capaces de estimar correctamente la señal fundamental a pesar que ésta estuviera

contaminada con armónicos, reflejando una diferencia entre el valor pico de la señal de entrada y

el valor pico estimado que no supera el 0.2 %. El algoritmo que mostro el mejor resultado ante la

elaboración de ésta prueba fue filtro coseno, con una diferencia de 0.031 %, la menor de todas.

De la elaboración de la prueba elaborada para la estimación de contenido armónico se determinó

que el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier (FFT) cuyo módulo de estimación está

incluido en los sistemas eléctricos de PSCAD sometidos a prueba es más rápido que el algoritmo

MEC al procesar las señales eléctricas, la diferencia más grande que existe en los valores de la

estimación de contenido armónico obtenidos con ambos algoritmos es de 0.355 %, esto indica que

los resultados obtenidos por el algoritmo MEC son confiables.

Los resultados obtenidos por la implementación de los algoritmos FFT y MEC, al estimar la señal

fundamental más una componente de CD decreciente también son confiables, ya que los valores

de error son cercanos al 0.19 % y 0.89 %, respectivamente, valores menores al obtenido con la

implementación del algoritmo filtro coseno, al rededor del 1 %. Aunque el valor de error obtenido

de la implementación del algoritmo FFT es menor que el obtenido con el algoritmo MEC, este

algoritmo tarda más tiempo en adquirir un comportamiento estable al estimar dicho disturbio en

la señal fundamental.


124


125

ANEXO A. ELABORACIÓN DE LAS FUNCIONES DE USUARIO Y PRUEBAS EN MATLAB.

Los algoritmos desarrollados e implementados en este anexo tienen la tarea de realizar la

estimación fasorial de ondas senoidales de tensión o de corriente alterna de entrada, este proceso

es efectuado a través de la manipulación de las muestras de tensión y corriente a intervalos

constantes de tiempo durante un periodo predeterminado, los datos son adquiridos a partir de la

discretización de la señal analógica de entrada con el objetivo de adquirir la magnitud y el ángulo

de las señales procesadas digitalmente. Los algoritmos implementados en este trabajo se clasifican

de la siguiente manera:


Miki & Mikano

Mann& Morrison

Rockefeller & Udren

Gilbert & Shovlin




Filtro coseno

Algoritmos para la estimación de espectro armónico:

Transformada rápida de Fourier (FFT)*


A lo largo de este anexo se muestran las expresiones que definen a cada algoritmo de la lista

anterior, obtenidas a partir de procedimientos matemáticos contenidos en el anexo B, dichas

expresiones son la base para la realización de las funciones de usuario, programas cuyo código fue

desarrollado en MatLab y se encargan de efectuar el procesamiento digital de las diversas señales

de entrada, las líneas de código de estos programas se encuentran en el anexo C.

También se presentan los resultados de la elaboración de diversas pruebas a cada algoritmo, estas

pruebas son básicamente señales de entrada, y la finalidad de estas, es la visualización, el análisis

y la determinación de las ventajas y desventajas que ofrecen dichos algoritmos al efectuar la

estimación de los fasores resultantes del procesamiento de las siguientes señales de entrada de

prueba:


126

Señal fundamental (60 Hz).

Señal fundamental más tercer armónico.

Señal fundamental más transitorio.

Señal fundamental más componente de CD decreciente.

Selección de la frecuencia de muestreo de las señales de entrada.

Descripción de la señales de entrada para la elaboración de pruebas.

Se debe tener en cuenta que las señales de entrada de prueba inicialmente eran continuas en el

tiempo, pero para ser procesadas digitalmente, debieron pasar por una etapa de discretización de

espaciamiento uniforme, con una frecuencia de muestreo (Fm) obtenida a partir de la ecuación

(2.6):

𝐹𝑚 = 𝑛𝑚𝑝𝑐 ∗ 𝑓 [2.6]

nmpc: Número de muestras por ciclo (24).

f: Frecuencia nominal del sistema (60Hz).

𝐹𝑚 = 1400 𝐻𝑧

A continuación se describen los parámetros y características de las señales de entrada de prueba,

todas tienen una duración de 8A.333 ms, periodo correspondiente al recorrido de 5 ciclos, se

muestran continuas en el tiempo, tienen ángulo de fase de cero grados y velocidad angular de 377

[rad/s].

1.- Señal fundamental (60 Hz):

La señal fundamental es puramente senoidal con una frecuencia de 60 Hz, valor pico de 20

unidades, no experimenta disturbios a lo largo de su trayectoria y se generó a partir de la ecuación

(3.0).

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) [3.0]

𝑣(𝑡) = 20𝑠𝑒𝑛((377𝑟𝑎𝑑/𝑠)𝑡 + 0⁰)


127

Figura A.1.1. Señal fundamental continua.

2.- Señal fundamental más tercer armónico:

La suma de la señal fundamental de 60 Hz y el tercer armónico con frecuencia propia de 180 Hz

resulta en la señal descrita en la figura A.1.2, en la cual se observa un comportamiento periódico,

deforme, con valor pico de 25 unidades difiriendo en 5 unidades del valor pico de la señal

fundamental y fue generada con la siguiente expresión:

𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) +3

4𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(3𝜔𝑡 + 𝜃) [2.7]

𝑣(𝑡) = 20𝑠𝑒𝑛((377𝑟𝑎𝑑/𝑠)𝑡 + 0⁰) + 15𝑠𝑒𝑛(3(377𝑟𝑎𝑑/𝑠)𝑡 + 0⁰)

Figura A.1.2. Señal fundamental continua más tercer armónico.


128

A.- Señal fundamental más transitorio:

La figura A.1.4 ilustra a la señal fundamental y repentinamente, al término del segundo ciclo se

presenta una gran perturbación, se trata de un transitorio que eleva el valor pico de 20 unidades

que se tenían inicialmente hasta 60 unidades, la señal se generó obedeciendo la siguiente

expresión matemática:

[2.9]

Figura A.1.4. Señal fundamental continua más transitorio.

4.- Señal fundamental más componente CD:

La señal mostrada en la figura A.1.5 es el resultado de la suma de la señal fundamental y una señal

de CD decreciente en el tiempo, se observa que la señal alcanza un valor pico máximo de 41.5

unidades y disminuye, esta conducta decreciente se mantiene hasta el cuarto ciclo, a partir de este

la señal se comporta establemente con un valor pico de 20 unidades.

𝑣(𝑡) =

𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) 0 ≤ t ≤ 3A.33 ms

3𝑉𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) t > 3A.33 ms


129

Figura A.1.5. Señal fundamental continua más componente de CD decreciente.

La elaboración de las pruebas necesitó de señales de entrada de prueba anteriores, pero discretas

en el tiempo, compuestas por 24 muestras por ciclo, las cuales se muestran a continuación:

.

Figura A.1.6. Señal fundamental discreta.

Figura A.1.7. Señal discreta resultante de la suma de la señal fundamental más tercer armónico.


130

Figura A.1.8. Señal discreta resultante de la suma de la señal fundamental más transitorio.

Figura A.1.9. Señal discreta resultante de la suma de la señal fundamental más componente CD

decreciente.

Algoritmo Miki & Mikano.

Con los cálculos realizados y contenidos en el capítulo 2, se obtuvieron las funciones que permiten

efectuar la estimación fasorial por medio del algoritmo Miki & Mikano, conformada por la

magnitud y el ángulo de fase definidos por las ecuaciones (2.5) y (2.6) respectivamente, y

obtenidos a partir del cálculo dela parte real con la ecuación (2.4) y la parte imaginaria con la

ecuación (3.1):


𝑣0 cos(−𝜔∆𝑡)−𝑣−1

𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑡)]2 [2.5]

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [𝑣0𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑡)

𝑣0 cos(−𝜔∆𝑡)−𝑣−1] [3.6]

Una vez que se han determinado las expresiones para el cálculo de la magnitud y el ángulo del

fasor de entrada, se realizó la elaboración de la función del algoritmo Miki & Mikano fue llevada a

cabo haciendo uso del software MATLAB obteniendo así un archivo “.m”, cuyas líneas de código

muestran a continuación.


131

%Funcion para la solucion del algoritmo de Miki & Mikano % Donde: fas_miki es la variable de salida, %siendo el fasor de la señal en forma rectangular % w: es la velocidad angular % Tm = dt : es el periodo de muestreo % vdat(fila,columna), es un arreglo de datos del valor %correspondiente al numero de muestras por ventana % nmpc: son el numero de muestras por ciclo que se maneja %------------------------------------------------------- % Algoritmo de Miki & Mikano, %Requiere de 2 muestras por ventana Vo,V-1 % Parte real = Vp cos (Q)= (Vo cos (w*dt) - V-1 / sen (w*dt) % % Parte imaginaria = Vp sen (Q) = Vo %--------------------------------------------------------- function [fas_miki]=Miki(vdat,nmpc) w=2*pi*60; Tm=1/(60*nmpc);

preal=(vdat(2,1)*cos(w*Tm)-vdat(1,1))/(sin(w*Tm)); pimag=vdat(2,1); fas_miki=preal+pimag*sqrt(-1) %Filtro miki and mikano nmpc=24; nmpv=2 dat=[t,y]; [f,c]=size(dat); vdat=zeros(nmpv,1); for k=1:f if k<=nmpv vdat(k,1)=dat(k,2) else for j=1:nmpv-1 vdat(j,1)=vdat(j+1,1); end vdat(nmpv,1)=dat(k,2) end fas_miki(k,1)=Miki(vdat,nmpc); mag_miki(k,1)=abs(fas_miki(k,1)) ang_miki(k,1)=rad2deg(angle(fas_miki(k,1))) end

Elaboración de pruebas al algoritmo Miki & Mikano.


En la gráfica superior de la figura A.2.2 se observa que el fasor resultante de la estimación se

estabiliza en sólo 2 muestras, lo que corresponde a 1.39 ms ya que se tiene una frecuencia de

muestreo de 1440 Hz, y la magnitud del fasor estimado equivalente a 20 unidades. De lo anterior

se deduce que el algoritmo Miki & Mikano es muy rápido para estimar fasores originados a partir

de una señal de entrada puramente senoidal.

La gráfica inferior de la figura A.2.2 presenta la estimación del ángulo de fase y al igual que la

estimación de la magnitud del fasor, esta se efectúa rápidamente.


132

Figura A.2.2. Prueba 1, señal de entrada fundamental (60 Hz) algoritmo Miki & Mikano.


La estimación de magnitud de fasor se muestra en la gráfica superior de la figura A.2.3, en dicha

gráfica se observa que la intervención del tercer armónico afecta notablemente y de forma

negativa a la salida del fasor ya que la señal es completamente deforme y se repite

periódicamente sin estabilizarse, resultando en la obtención de un fasor erróneo a la salida. La

amplitud máxima de la magnitud del fasor es superior a las 60 unidades y la mínima es

aproximadamente de 16 unidades, manifestando una gran discrepancia con la señal de entrada

cuya amplitud máxima es de 25 unidades.

En la gráfica inferior de la figura A.2.3 muestra la estimación del ángulo del fasor que adquiere un

comportamiento periódico, oscilante e inestable.


133

Figura A.2.A. Prueba 2, señal de entrada fundamental más tercer armónico algoritmo Miki &

Mikano.

Prueba A.- Señal fundamental más transitorio:

Como se puede observar en la gráfica superior de la figura A.2.5, inicialmente se tiene una señal

estable resultante de la estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental y

repentinamente se presenta una perturbación, pero al tratarse de un transitorio mínimo, la señal

se estabiliza rápidamente, aproximadamente en 1.39 ms, tiempo equivalente a la toma de dos

muestras de la señal de entrada; lo anterior comprueba nuevamente que el algoritmo Miki &

Mikano es relativamente rápido y trabaja apropiadamente cuando la señal de entrada es

puramente senoidal.

La gráfica inferior de la figura A.2.5 presenta la estimación del ángulo de fase, paralelamente a la

estimación de la magnitud del fasor, se genera rápidamente y en esta sólo existe una variación

provocada por la aparición del transitorio, el tiempo en el que nuevamente se estabiliza es mínimo

(1.39 ms).


134

Figura A.2.5. Prueba 3, señal de entrada fundamental más transitorio algoritmo Miki & Mikano.


En la gráfica inferior de la figura A.2.6 se observa que una señal decreciente en el tiempo afecta

en gran medida a la estimación de la magnitud fasorial, ya que esta sufre un retardo aproximado

de cuatro ciclos para estabilizarse.

La máxima amplitud alcanzada por ésta señal es superior a las 40 unidades, decrece conforme el

tiempo transcurre y hasta el cuarto ciclo, aproximadamente a los 6 ms, comienza a comportarse

de manera estable con una magnitud de 20 unidades.

La gráfica inferior de la figura A.2.6 se muestra la estimación del ángulo del fasor que inicialmente

muestra un comportamiento inestable y continúa así hasta los 6 ms, a partir de ese momento se

observa estabilidad en el trayecto de la señal.


135

Figura A.2.6. Prueba 4, señal de entrada fundamental más componente de CD decreciente

algoritmo Miki & Mikano.

Tabla A.2.1. Ventajas y desventajas del algoritmo Miki & Mikano.

ALGORITMO MIKI & MIKANO

VENTAJAS DESVENTAJAS

La ventana de datos se compone

únicamente de 2 muestras.

El tiempo necesario para efectuar el

cálculo de la estimación fasorial es muy

corto, aproximadamente 1.39 ms.

Al procesar la señal fundamental, se

obtiene un comportamiento estable a la

salida.

Ofrece una respuesta rápida ante la

aparición de transitorios.

Ante la presencia de armónicos se obtiene

un comportamiento periódico, oscilante

inestable resultando en una estimación

fasorial errónea.


136

Algoritmo Mann & Morrison.

Los cálculos para la obtención de la estimación de la magnitud fasorial con la ecuación (2.12) y el

ángulo de fase con la ecuación (2.13), por medio del algoritmo Mann & Morrison se encuentran en

el capítulo 2, estos dos parámetros son adquiridos en base al cálculo de la parte real con la

ecuación (2.4) y la parte imaginaria con la ecuación (3.7):


𝑣+1−𝑣−1

2𝜔∆𝑇]2

[2.12]

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [2𝑣0𝜔∆𝑇

𝑣+1−𝑣−1] [2.13]

Al término de la determinación de las expresiones para el cálculo de la estimación dela magnitud

y el ángulo del fasor de entrada, se planteó y desarrollo la función del algoritmo Mann & Morrison

se realizó utilizando MATLAB al generar un archivo “.m”, las líneas de código de esta función se

muestran a continuación:

% Funcion para la solucion del algoritmo %de Man & Morrison % Donde: fas_man es la variable de salida, % siendo el fasor de la señal en forma % rectangular % w: es la velocidad angular % Tm = dt : es el periodo de muestreo % vdat(fila,columna), es un arreglo de datos % del valor % correspondienteal numero de muestras % por ventana % nmpc: son el numero de muestras por %ciclo que se maneja %---------------------------------------------------------- % Algoritmo de Man & Morrison, Requiere de 3 muestras %por ventana Vo , V+1 , V-1 % Parte real = Vp cos (Q)= (V+1)-(V-1)/2*w*dt % Parte imaginaria = Vp sen (Q) = Vo %---------------------------------------------------------- function [fas_man]=man(vdat,nmpc) w=2*pi*60;

Tm=1/(60*nmpc); pimag=vdat(2,1); preal=(vdat(3,1)-vdat(1,1))/(2*w*Tm); fas_man=preal+pimag*sqrt(-1) %Filtro man & morrison nmpc=24 nmpv=3 dat=[t,y]; [f,c]=size(dat); vdat=zeros(nmpv,1); for k=1:f if k<=nmpv vdat(k,1)=dat(k,2) else for j=1:nmpv-1 vdat(j,1)=vdat(j+1,1); end vdat(nmpv,1)=dat(k,2) end fas_man(k,1)=man(vdat,nmpc); mag_man(k,1)=abs(fas_man(k,1)) ang_man(k,1)=rad2deg(angle(fas_man(k,1))) end


137

Elaboración de pruebas al algoritmo Mann & Morrison.



estabiliza en sólo 3 muestras, las correspondientes al algoritmoMann & Morrison ilustradas en la

figura A.2.8, lo que equivale a 2.08 ms debido a que se tiene una frecuencia de muestreo de 1440

Hz, en esta misma también se muestra la magnitud del fasor estimado aproximado a 20 unidades,

esto revela que el algoritmo Mann & Morrison es rápido para estimar fasores producidos por una

señal de entrada puramente senoidal pero se tiene una salida inconveniente, ya que esta muestra

una señal con comportamiento variable comprendido como una oscilación mínima.


estimación de la magnitud del fasor, esta se efectúa rápidamente al estabilizarse después de que

se procesaron las 3 primeras muestras de la señal discreta de entrada.

Figura A.2.8. Prueba 1, señal de entrada fundamental (60 Hz) algoritmo Mann & Morrison.


La estimación de magnitud de fasor se muestra en la primea gráfica de la figura A.2.9, en esta se

observa que la intervención del tercer armónico afecta en gran medida a la estimación del fasor ya


138

que la señal es totalmente deforme y se repite periódicamente lo que impide que se estabilice,

por lo tanto, se obtiene un fasor erróneo a la salida. La amplitud máxima supera las 60 unidades y

la mínima las 20 unidades, mostrando una gran discrepancia con la señal de entrada cuya amplitud

máxima es de 25 unidades mostrada en la figura A.1.7.

En la gráfica inferior de la figura A.2.9 muestra la estimación del ángulo del fasor que adquiere un

comportamiento periódico el cual no llega a estabilizarse.

Figura A.2.9. Prueba 2, señal de entrada fundamental más tercer armónico algoritmo Mann &

Morrison.


La gráfica superior de la figura A.2.11 muestra que las 3 muestras iniciales son procesadas por el

algoritmo para dar inicio a la estimación fasorial, posteriormente se tiene una señal estable que

representa la estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental y súbitamente se

presenta un disturbio provocado por el transitorio, pero este es minúsculo, lo que permite que

después de la toma de las 3 primeras muestras a partir de la aparición de este, la señal se

estabilice nuevamente, aproximadamente en 2.08 ms; reiterando el apropiado funcionamiento y

relativa rapidez que el algoritmo Mann & Morrison posee cuando la señal de entrada es

puramente senoidal.


139

La gráfica inferior de la figura A.2.11 ilustra la estimación del ángulo de fase, y al igual que la

estimación de la magnitud del fasor, se produce rápidamente pero existen dos variaciones

provocadas por el funcionamiento inicial del procesamiento de la señal de entrada y por la

aparición del transitorio, el tiempo en el que la estimación de ángulo fasorial se estabiliza es

mínimo.

Figura A.2.11. Prueba 3, señal de entrada fundamental más transitorio algoritmo Mann &

Morrison.


En la gráfica superior de la figura A.2.12 se observa que una señal decreciente en el tiempo afecta

en de manera considerable a la estimación de la magnitud fasorial, pues esta tarda cerca de cuatro

ciclos para comportarse establemente. 40 unidades, el mayor valor de amplitud alcanzada por

esta señal después de que el procesamiento de la señal de entrada inicia, decrece conforme el

tiempo transcurre y hasta el cuarto ciclo, alrededor de 6 ms, se estabiliza adquiriendo una

magnitud de 20 unidades.

La gráfica inferior de la figura A.2.12 muestra la estimación del ángulo del fasor que inicialmente

comporta inestablemente y ese comportamiento inconsistente concluye aproximadamente a los 6

ms, a partir de ese instante la señal es estable.


140


algoritmo Mann & Morrison.

Tabla A.2.2. Ventajas y desventajas del algoritmo Mann &Morrison.

ALGORITMO MANN & MORRISON










obtiene un comportamiento oscilante a la

salida.


un comportamiento periódico, oscilante e


fasorial errónea.


141

Algoritmo Gilbert & Shovlin.

Con los cálculos efectuados y contenidos en el capítulo 2, se obtuvieron las funciones que

permiten efectuar la estimación fasorial por medio del algoritmo Gilbert & Shovlin, integrada por

la magnitud y el ángulo de fase definidos por las ecuaciones (2.18) y (2.20) respectivamente.

Este algoritmo se distingue de los anteriores porque la obtención de la estimación fasorial se

realiza sin la generación de filtros, debido a que la obtención de esta es casi directa debido a la

aplicación de identidades trigonométricas:

MAGNITUD |𝑉𝑝| = √𝑣0

2−((𝑣+1)(𝑣−1))

𝑠𝑒𝑛2(𝜔∆𝑇) [2.18]

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [2𝑣0𝑠𝑒𝑛(𝜔∆𝑇)

(𝑣+1)−(𝑣−1)] [2.20]

Una vez que se han determinado las expresiones para el cálculo de la magnitud y el ángulo del

fasor de entrada, se realizó la elaboración de la función del algoritmo Gilbert & Shovlin, haciendo

uso del software MATLAB obteniendo así, un archivo “.m”, cuyas líneas de código se muestran a

continuación:

% Funcion para la solucion del algoritmo de % Gilbert & Shovlin % mag_gil es la variable de salida donde se % imprime la parte real y la parte % imaginaria del fasor. % Donde: vp_gil y ang_gil son variables % resultantes del algoritmo, siendo el % valor pico de la señal y el angulo de fase en % grados respectivamente % w: es la velocidad angular % Tm = dt : es el periodo de muestreo % vdat(fila,columna), es un arreglo de datos % del valor correspondiente % al numero de muestras por ventana % nmpc: son el numero de muestras por ciclo que se maneja %---------------------------------------------------------- % Algoritmo de Gilbert , Requiere de 3 %muestras por ventana Vo , V+1 , V-1 % Magnitud = Vp=sqrt(Vo^2-(V+1*V- % 1)/sen^2(wdt)) % Fase = tan(Q) = (2*Vo*sen(wdt))/(V+1)-(V-% 1)

%--------------------------------------------------------- function [fas_gil]=Gil(vdat,nmpc) w=2*pi*60; Tm=1/(60*nmpc); vp_gil=sqrt((vdat(2,1)^2-(vdat(3,1)*vdat(1,1)))/(sin(w*Tm)^2)); ang_gil=rad2deg(atan((2*vdat(2,1)*sin(w*Tm))/(vdat(3,1)-vdat(1,1)))); preal=(vp_gil)*(cos(ang_gil)); pimag=((vp_gil)*(sin(ang_gil))); fas_gil=preal+pimag*sqrt(-1); %Funcion destinada a la obtencion del Angulo de fase para el filtro Gilbert & Shovlyn function [ang_gil]=Gil_angulo(vdat,nmpc) w=2*pi*60; Tm=1/(60*nmpc); vp_gil=sqrt((vdat(2,1)^2-(vdat(3,1)*vdat(1,1)))/(sin(w*Tm)^2)); ang_gil=rad2deg(atan((2*vdat(2,1)*sin(w*Tm))/(vdat(3,1)-vdat(1,1))));


142

%Filtro Gilbert & Shovlyn nmpc=24 nmpv=3 dat=[t,y]; [f,c]=size(dat); vdat=zeros(nmpv,1); for k=1:f if k<=nmpv vdat(k,1)=dat(k,2)

else for j=1:nmpv-1 vdat(j,1)=vdat(j+1,1); end vdat(nmpv,1)=dat(k,2) end fas_gil(k,1)=Gil(vdat,nmpc) mag_gil(k,1)=abs(fas_gil(k,1)) ang_gil(k,1)=Gil_angulo(vdat,nmpc) end


143

Elaboración de pruebas al algoritmo Gilbert & Shovlin.



estabiliza rápidamente, en el tiempo correspondiente a 2.083 ms debido que este algoritmo

procesa 3 muestras por ventana tal como lo ilustra la figura A.2.13 y se tiene una frecuencia de

muestreo de 1440 Hz, la magnitud fasorial equivale a 20 unidades. De lo anterior se infiere que el

algoritmo Gilbert & Shovlin es muy rápido para estimar fasores originados a partir de una señal de

entrada puramente senoidal.

En gráfica inferior de la figura A.2.14 se presenta la estimación del ángulo de fase, ésta se

estabiliza rápidamente, después de que se procesaron las 3 primeras muestras de la señal discreta

de entrada.

Figura A.2.14. Prueba 1, señal de entrada fundamental (60 Hz) algoritmo Gilbert & Shovlin.


144


La estimación de magnitud de fasor se muestra en la gráfica superior de la figura A.2.15, en dicha

gráfica se tiene que la intervención del tercer armónico influye muy negativamente a la salida del

fasor ya que la señal es deforme y se repite periódicamente por lo que no se estabiliza, lo que

resulta en la obtención de un fasor erróneo a la salida.

El valor de la amplitud máxima es aproximado a las 60 unidades y la mínima es cercana a las 16

unidades, presentando una gran diferencia con la señal de entrada, cuya amplitud máxima es de

24 unidades.

En la gráfica inferior de la figura A.2.15 muestra la estimación del ángulo del fasor que adquiere

un comportamiento oscilante e inestable.

Figura A.2.15. Prueba 2, señal de entrada fundamental más tercer armónico algoritmo Gilbert &

Shovlin.


145


Como se puede observar en la gráfica superior de la figura A.2.17, inicialmente se tiene una señal

estable resultante de la estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental y

repentinamente se presenta una perturbación, se trata de un transitorio mínimo, por lo tanto la

señal se estabiliza rápidamente, aproximadamente en 2.08 ms, tiempo equivalente a la toma de

tres muestras de la señal de entrada; lo anterior comprueba nuevamente que el algoritmo

Gilbert & Shovlin es relativamente rápido y trabaja apropiadamente cuando la señal de entrada es

senoidal.

La gráfica inferior de la figura A.2.17 presenta la estimación del ángulo de fase y se observa que la

gráfica es periódica, oscilante y nunca se estabiliza, por lo tanto, la estimación del ángulo de fase

mantiene un comportamiento erróneo.

Figura A.2.17. Prueba 3, señal de entrada fundamental más transitorio algoritmo Gilbert &Shovlin.


146


En la gráfica superior de la figura A.2.18 se observa que una señal decreciente en el tiempo

provoca anomalías al efectuar la estimación de la magnitud fasorial, ya que ésta sufre un retardo

aproximado a cuatro ciclos para estabilizarse. Después de que el algoritmo toma las 3 primeras

muestras de entrada, la máxima amplitud alcanzada por ésta señal es superior a las 40 unidades y

decrece progresivamente, en el cuarto ciclo, aproximadamente a los 6 ms, comienza a

comportarse de manera estable con una magnitud de 20 unidades.

En la gráfica inferior de la figura A.2.18 se tiene la señal de la estimación del ángulo del fasor que

adquiere un comportamiento inestable y continua así durante todo su trayecto, teniendo la mayor

deformidad a los 2 ms, todo esto indica que se tiene un error como resultado a la salida.




147

Tabla A.2.A. Ventajas y desventajas del algoritmo Gilbert & Shovlin.

ALGORITMO GILBERT & SHOVLIN









El desempeño mostrado para realizar la

estimación fasorial ante la suma de la

señal fundamental y la componente CD

decreciente es relativamente rápido en

comparación con los 2 anteriores

algoritmos.

La estimación del ángulo de fase del fasor

de entrada es inestable e incorrecta.




fasorial errónea.


148

A.2.7 Algoritmo Rockefeller & Udren.

Los cálculos para la realización de la estimación de la magnitud fasorial con la ecuación (2.27) y el

ángulo de fase con la ecuación (2.28), por medio del algoritmo Rockefeller & Udren se encuentran

en el capítulo 2, estos dos parámetros son obtenidos en base al cálculo de la parte real con la

ecuación (2.11) y la parte imaginaria con la ecuación (3.26):

MAGNITUD |𝑉𝑝| = √(𝑣+1−𝑣−1

2𝜔∆𝑇 )

2+ (−

(𝑣+1−2𝑣0+𝑣−1)

(𝜔∆𝑇)2 )

2 [2.27]

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [−2(𝑣+1−2𝑣0+𝑣−1)

𝜔∆𝑇 (𝑣+1−𝑣−1)] [2.28]

Al finalizar la determinación de las expresiones para el cálculo de la estimación de la magnitud y

el ángulo del fasor de entrada, se proyectó y elaboro la función del algoritmo Mann & Morrison

utilizando MATLAB al generar un archivo “.m”, las líneas de código de esta función se muestran a

continuación:

% Funcion para la solucion del algoritmo de % Rockefeller % Donde: fas_Rock es la variable de salida, % siendo el fasor de la señal % en forma rectangular % w: es la velocidad angular % Tm = dt : es el periodo de muestreo % vdat(fila,columna), es un arreglo de datos % del valor correspondiente % al numero de muestras por ventana % nmpc: son el numero de muestras por % ciclo que se maneja %--------------------------------------------------------- function [fas_Rock]=Rock(vdat,nmpc) w=2*pi*60; Tm=1/(60*nmpc); preal=(vdat(3,1)-vdat(1,1))/(2*w*Tm); pimag=-(vdat(3,1)-2*vdat(2,1)+vdat(1,1))/((w*Tm)^2); fas_Rock=preal+pimag*sqrt(-1);

%Filtro Rockefeller nmpc=24 nmpv=3 dat=[t,y]; [f,c]=size(dat); vdat=zeros(nmpv,1); for k=1:f if k<=nmpv vdat(k,1)=dat(k,2) else for j=1:nmpv-1 vdat(j,1)=vdat(j+1,1); end vdat(nmpv,1)=dat(k,2) end fas_Rock(k,1)=Rock(vdat,nmpc) mag_Rock(k,1)=abs(fas_Rock(k,1)) ang_Rock(k,1)=rad2deg(angle(fas_Rock(k,1))) en


149

Elaboración de pruebas al algoritmo Rockefeller & Udren.



estabiliza en sólo 3 muestras, las correspondientes al algoritmo Rockefeller & Udren ilustradas en

la figura A.2.19, lo que equivale a 2.08 ms debido a que se tiene una frecuencia de muestreo de

1440 Hz, en ésta misma también se muestra la magnitud del fasor estimado, con valor de 20

unidades, esto revela que el algoritmo Rockefeller & Udren es muy rápido para estimar fasores

producidos por una señal de entrada puramente senoidal, y se tiene una salida confiable ya que el

comportamiento de la señal de esta grafica es estable.


estimación de la magnitud del fasor, ésta se efectúa rápidamente al estabilizarse después de que

se procesaron las 3 primeras muestras de la señal discreta de entrada lo que la hace confiable.

Figura A.2.20. Prueba 1, señal de entrada fundamental (60 Hz) algoritmo Rockefeller & Udren.


La estimación de magnitud de fasor se muestra en la gráfica superior de la figura A.2.21, en ésta

gráfica se observa que la intervención del tercer armónico afecta en gran medida a la estimación

del fasor, provoca que la señal sea totalmente deforme y se repite periódicamente lo que impide


150

que se estabilice, por lo tanto, se obtiene un fasor erróneo a la salida. Al comparar la amplitud

máxima alcanzada por la estimación de la magnitud fasorial y la magnitud máxima de la señal de

entrada se obtiene una gran diferencia.

En la gráfica inferior de la figura A.2.21 muestra la estimación del ángulo del fasor que adquiere

un comportamiento periódico y oscilante el cual no llega a estabilizarse por lo tanto el resultado

de esta estimación no es correcto.

Figura A.2.21. Prueba 2, señal de entrada fundamental más tercer armónico algoritmo Rockefeller

& Udren.


La gráfica superior de la figura A.2.23 muestra que al inicio se tiene una señal estable resultante de

la estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental y súbitamente se presenta un

disturbio provocado por un transitorio, pero este es mínimo, lo que permite que después de la

toma de las 3 muestras inmediatas a la aparición del transitorio, la señal se estabilice nuevamente,

aproximadamente en 2.08 ms; esto último es indicativo del apropiado funcionamiento y relativa

rapidez que el algoritmo Rockefeller & Udren posee cuando la señal de entrada es senoidal.


151

La segunda gráfica de la figura A.2.23 ilustra la estimación del ángulo de fase, y al igual que la

estimación de la magnitud del fasor, se produce rápidamente pero existen dos variaciones

provocadas por el funcionamiento inicial del procesamiento de la señal de entrada y por la

aparición del transitorio, el tiempo en el que la estimación de ángulo fasorial se estabiliza es

mínimo (2.8 ms).

/

Figura A.2.2A. Prueba 3, señal de entrada fundamental más transitorio algoritmo Rockefeller &

Udren.


En la gráfica superior de la figura A.2.24 se observa que la señal decreciente en el tiempo afecta

profundamente a la estimación de la magnitud fasorial, pues ésta tarda cerca de cuatro ciclos para

comportarse establemente. E l mayor valor de amplitud conseguida por ésta señal después de que

el procesamiento de la señal de entrada inicia es de 40 unidades, decrece conforme el tiempo

transcurre hasta el cuarto ciclo, alrededor de 6 ms, se muestra estable alcanzando una magnitud

de 20 unidades.

La gráfica inferior de la figura A.2.24 muestra la estimación del ángulo del fasor que inicialmente

comporta inestablemente y ese comportamiento inconsistente finaliza aproximadamente a los 6

ms, a partir de ese instante la señal se comporta establemente.


152


algoritmo Rockefeller & Udren.

Tabla A.2.4. Ventajas y desventajas del algoritmo Rockefeller & Udren.

ALGORITMO ROCKEFELLER & UDREN









salida.






fasorial errónea.


153

Algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo.

Las expresiones matemáticas necesarias para obtener la estimación fasorial de señales de entrada

y que además representan la estimación de la magnitud con la ecuación (2.31) y el ángulo del

fasor con la ecuación (2.32), constituyendo así el filtro digital definido por la parte real con la

ecuación (2.29) y la parte compleja con la ecuación (3.30), están contenidas en el capítulo 2.


1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2


1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2

[2.31]



Al contar con las expresiones para el cálculo de la magnitud y el ángulo del fasor de entrada, se

elaboró la función del algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo,

haciendo uso de MATLAB por medio de la creación de un archivo “.m”, cuyas líneas de código se

se muestran a continuación:

% Funcion para la solucion del algoritmo de % Transformada Dsicreta de Fourier TDF % Donde: fas_TDF es la variable de salida, % siendo el fasor de la señal % en forma rectangular % w: es la velocidad angular % Tm = dt : es el periodo de muestreo % nmpc: son el numero de muestras por ciclo que se maneja %--------------------------------------------------------- % % Algoritmo de TDF ciclo completo % % Ref seno k = sen ( W * Tk ) % % Ref cos k = cos ( W * Tk ) % % Ent seno k = v(t)k * Ref seno k % % Ent cos k = v(t)k * Ref cos k % % Parte real k = Ent seno k / 1/2 * nmpc + Parte real k-1 %

% Parte imaginaria k = Ent cos k / 1/2 * nmpc + Parte imaginaria k-1 % %---------------------------------------------------------- function [fas_TDF_1]=TDF_1(vdat,nmpc) w=2*pi*60; Tm=1/(60*nmpc); preal=0 pimag=0 for k=1:nmpc k t=(Tm)*(k-1) Refseno=sin(w*t); Entseno=vdat(k,2)*Refseno; Refcos=cos(w*t); Entcos=vdat(k,2)*Refcos; preal=((Entseno)/((1/2)*nmpc))+preal; pimag=((Entcos)/((1/2)*nmpc))+pimag; fas_TDF_1=preal+pimag*sqrt(-1) end %Filtro TDF Ciclo completo nmpc=24 nmpv=nmpc


154

dat=[t,y]; [f,c]=size(dat); vdat=zeros(nmpv,1) for k=1:f if k<=nmpv vdat(k,2)=dat(k,2) else for j=1:nmpv-1 vdat(j,2)=vdat(j+1,2);

end vdat(nmpv,2)=dat(k,2) end fas_TDF_1(k,1)=TDF_1(vdat,nmpc) mag_TDF_1(k,1)=abs(fas_TDF_1(k,1)) ang_TDF_1(k,1)=rad2deg(angle(fas_TDF_1(k,1))) end


155

Elaboración de pruebas al algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo

completo.


En la gráfica superior de la figura A.3.1 se observa quela señal de la magnitud del fasor se

estabiliza después del procesamiento de las primeras 24 muestras, equivalentes a un ciclo

completo de la señal de entrada, lo que corresponde a 16.6666 ms como consecuencia de una

frecuencia de muestreo de 1440 Hz, en esta misma también se muestra que la magnitud del fasor

estimado mide 20 unidades. Lo anterior indica que el algoritmo de la transformada discreta de

Fourier (TDF) de ciclo completo tarda para efectuar la estimación fasorial en comparación con los

algoritmos de ventana corta anteriormente analizados, pero una vez que el primer ciclo de la señal

de entrada ha sido procesado, el comportamiento de esta estimación es claramente estable, a

diferencia del comportamiento oscilatorio de algunos algoritmos de ventana corta, lo cual lo hace

le otorga confiabilidad.


estimación de la magnitud del fasor, esta se efectúa de manera estable después del

procesamiento del primer ciclo de la señal de entrada.

Figura A.3.1. Prueba 1, señal de entrada fundamental (60 Hz) algoritmo de la transformada

discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo.


156


Como se aprecia en la figura A.1.7, la señal de entrada es periódica, deforme, llena de distorsiones

ocasionadas por la contaminación de la señal fundamental con el tercer armónico lo cual provoca

que pierda su forma senoidal, pero esto no influye en la estimación fasorial como lo demuestra la

gráfica superior de la figura A.3.2, ya que algoritmo de la transformada discreta de Fourier de ciclo

completo elimina completamente los armónicos, lo que proporciona como resultado una

estimación de la magnitud fasorial lineal que tarda alrededor de 16.666 ms para estabilizarse, en

total contraste, si ésta señal de entrada fuera procesada por alguno de los algoritmos de ventana

corta, te obtendría un fasor totalmente distorsionado.

En la gráfica inferior de la figura A.3.2 se muestra la estimación del ángulo del fasor que adquiere

un comportamiento estable después del arranque de la estimación fasorial el cual tarda un ciclo

completo.

Figura A.3.2. Prueba 2, señal de entrada fundamental más tercer armónico algoritmo de la



157


Como se puede observar en la gráfica superior de la figura A.3.4, inicialmente se tiene que el

algoritmo comienza la estimación fasorial de la señal de entrada abarcando 16.6666 ms, después

de ese lapso de tiempo, se tiene una señal estable con una magnitud de 20 unidades, resultante

de la estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental y repentinamente, al término del

segundo ciclo de la señal de entrada mostrada en la figura A.1.9 se presenta una perturbación, un

transitorio, el cual provoca que el algoritmo tenga que consumir nuevamente las muestras de un

ciclo completo para efectuar la nueva estimación fasorial y finalmente entregar una señal estable

pero con magnitud de 60 unidades.

La gráfica inferior de la figura A.3.4 presenta la estimación del ángulo de fase, similarmente a la

estimación de las magnitudes del fasor de entrada, en esta existen dos variaciones causadas por

el funcionamiento inicial del algoritmo y por la aparición del transitorio, lo que provoca que el

algoritmo tenga que ocupar nuevamente las muestras de un ciclo para efectuar una vez más la

estimación fasorial de la señal originada por el transitorio.

Figura A.3.4. Prueba 3, señal de entrada fundamental más transitorio algoritmo de la



158


En la gráfica superior de la figura A.3.5 se observa que la señal decreciente en el tiempo afecta

considerablemente a la estimación de la magnitud fasorial, ésta señal experimenta un retardo

cercano a los cuatro ciclos para mantenerse constante. La máxima amplitud alcanzada por esta

señal es superior a las 25 unidades, disminuye conforme el tiempo transcurre, hasta el cuarto ciclo

de la señal de entrada de la figura A.1.10, aproximadamente a los 6 ms, comienza a comportarse

de manera estable con una magnitud de 20 unidades.

En la gráfica inferior de la figura A.3.5 se muestra la estimación del ángulo del fasor que

inicialmente muestra un comportamiento inestable y continua así hasta los 6 ms, a partir de ese

momento se observa estabilidad en el recorrido de la señal.

Figura A.3.5.Prueba 4, señal de entrada fundamental más componente de CD decreciente



159

Tabla A.3.1. Ventajas y desventajas del algoritmo TDF de ciclo completo.

ALGORITMODE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (TDF) DE CICLO COMPLETO




salida.

Ante la presencia de armónicos muestra

un buen desempeño, que se refleja en un

comportamiento estable y correcto a la

salida.

La ventana de datos se compone de las

muestras contenidas en todo un ciclo.



relativamente alto, aproximadamente

16.666 ms y este inconveniente se agrava

al procesar transitorios y la componente

de CD decreciente.


160

Algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de medio ciclo.

Las expresiones matemáticas para llevar a cabo la estimación de la magnitud con la ecuación

(2.35) y el ángulo del fasor con la ecuación (2.36), constituyendo así el filtro digital definido por la

parte real con la ecuación (2.33) y la parte compleja con la ecuación (2.34), están contenidas en el

capítulo 2.


1

4𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2


1

4𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2

[2.35]



Con la determinación de las expresiones para el cálculo de la magnitud y el ángulo del fasor de

entrada, fue posible realizar la función del algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF)

de medio ciclo, utilizando MATLAB por medio de la planeación y generación de un archivo “.m”,

cuyas líneas de código se muestran a continuación:

% Funcion para la solucion del algoritmo de % Transformada Dsicreta de Fourier % TDF de medio ciclo % Donde: fas_TDF es la variable de salida, % siendo el fasor de la señal % en forma rectangular % w: es la velocidad angular % Tm = dt : es el periodo de muestreo % nmpc: son el numero de muestras por ciclo que se maneja %---------------------------------------------------------- % % Algoritmo de TDF medio ciclo % % Ref seno k = sen ( W * Tk ) % % Ref cos k = cos ( W * Tk ) % % Ent seno k = v(t)k * Ref seno k % % Ent cos k = v(t)k * Ref cos k % % Parte real k = Ent seno k / 1/4 * nmpc + Parte real k-1 %

% Parte imaginaria k = Ent cos k / 1/4 * nmpc + Parte imaginaria k-1 % %---------------------------------------------------------- function [fas_TDF_medio]=TDF_medio(vdat,nmpc) w=2*pi*60; Tm=1/(60*nmpc); preal=0 pimag=0 for k=1:(1/2)*(nmpc) k t=(Tm)*(k-1) Refseno=sin(w*t); Entseno=vdat(k,2)*Refseno; Refcos=cos(w*t); Entcos=vdat(k,2)*Refcos; preal=((Entseno)/((1/4)*nmpc))+preal; pimag=((Entcos)/((1/4)*nmpc))+pimag; fas_TDF_medio=preal+pimag*sqrt(-1) end %Filtro TDF medio ciclo nmpc=24


161

nmpv=(1/2)*(nmpc) dat=[t,y]; [f,c]=size(dat); vdat=zeros(nmpv,1) for k=1:f if k<=nmpv vdat(k,2)=dat(k,2) else for j=1:nmpv-1 vdat(j,2)=vdat(j+1,2); end vdat(nmpv,2)=dat(k,2) end fas_TDF_medio(k,1)=TDF_medio(vdat,nmpc)

mag_TDF_medio(k,1)=abs(fas_TDF_medio(k,1)) ang_TDF_medio(k,1)=rad2deg(angle(fas_TDF_medio(k,1))) end for d=1:nmpc Entcos=vdat(d+desp,2)*(refcos(d,2)); Entseno=vdat(d,2)*(refcos(d,2)); preal=((Entcos)/((1/2)*nmpc))+preal pimag=((Entseno)/((1/2)*nmpc))+pimag fas_coseno=(preal+pimag*sqrt(-1)) end


162

Elaboración de pruebas al algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de medio ciclo.


La gráfica superior de la figura A.3.6 muestra que la magnitud del fasor resultante de la

estimación se estabiliza después del procesamiento de la mitad del primer ciclo de la señal de

entrada, lo que equivale a 12 muestras y 8.3333 ms, como resultado de una frecuencia de

muestreo de 1440 Hz, también muestra que el valor de la magnitud del fasor estimado mide 20

unidades. Al igual que el algoritmo de la transformada de Fourier de ciclo completo, el algoritmo

que ahora se analiza, demora más tiempo para generar la estimación fasorial en comparación con

los algoritmos de ventana corta, pero una vez que la mitad del primer ciclo de la señal de entrada

ha sido procesada, el comportamiento la estimación resultante es notoriamente estable, esto le

proporciona confiabilidad.

La gráfica inferior de la figura A.3.6muestra la estimación del ángulo de fase, esta se comporta

establemente después del procesamiento de las 12 muestras iniciales del primer ciclo de la señal

de entrada.

Figura A.3.6. Prueba 1, señal de entrada fundamental (60 Hz) algoritmo de la transformada

discreta de Fourier (TDF) de medio ciclo.


163


La señal de entrada correspondiente a la figura A.1.7, es periódica y deforme debido a las

distorsiones ocasionadas por la intervención del tercer armónico en la señal fundamental, pero

estos disturbios no afectan a la estimación fasorial como lo evidencia la gráfica superior de la

figura A.3.7, ya que algoritmo de la transformada discreta de Fourier de medio ciclo excluye a las

distorsiones provocadas por armónicos, lo que proporciona una estimación de la magnitud fasorial

constante que tarda aproximadamente 8.3333 ms para estabilizarse.

La gráfica inferior de la figura A.3.7 muestra la estimación del ángulo del fasor, una vez que las 12

muestras iniciales correspondientes a la ventana de datos propia de este algoritmo, se alcanza un

comportamiento estable.

Figura A.3.7. Prueba 2, señal de entrada fundamental más tercer armónico algoritmo de la

transformada discreta de Fourier (TDF) de medio ciclo.


164


En la gráfica superior de la figura A.3.9, inicialmente se observa que el algoritmo comienza la

estimación fasorial de la señal de entrada comprendida en 8.3333 ms, después de ese periodo de

tiempo, se obtiene una señal estable con una magnitud de 20 unidades, resultante de la

estimación de la magnitud fasorial de la señal fundamental y súbitamente, al terminar el segundo

ciclo de la señal de entrada mostrada en la figura A.1.9,se presenta un disturbio originado por un

transitorio, el cual provoca que el algoritmo tenga que adquirir nuevamente las muestras de

medio ciclo para efectuar la nueva estimación fasorial y finalmente generar una señal estable pero

con magnitud de 60 unidades.

La gráfica inferior de la figura A.3.9 muestra la estimación del ángulo de fase, en ésta se presentan

dos variaciones ocasionadas por el funcionamiento inicial del algoritmo y por la aparición del

transitorio, lo que provoca que el algoritmo requiera nuevamente las muestras de medio ciclo

para efectuar una vez más la estimación del ángulo fasorial de la señal producida por el transitorio.

Figura A.3.9. Prueba 3, señal de entrada fundamental más transitorio algoritmo de la

transformada discreta de Fourier (TDF) de medio ciclo.


165


En la gráfica superior de la figura A.3.10 se observa que la componente de CD decreciente en el

tiempo afecta de forma considerable a la estimación de la magnitud fasorial, ésta señal

experimenta un retardo próximo a los cuatro ciclos para conservarse constante. La mayor

amplitud adquirida por esta señal es cercana a las 50 unidades, y reduce conforme el tiempo

transcurre, hasta el cuarto ciclo, aproximadamente a los 6 ms, inicia un comportamiento estable

con magnitud de 20 unidades.

En la gráfica inferior de la figura A.3.10 se muestra la estimación del ángulo del fasor, al inicio

muestra un comportamiento inestable hasta los 6 ms, a partir de ese momento se observa

estabilidad en la trayectoria de la señal.


algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de medio ciclo.


166

Tabla A.3.1. Ventajas y desventajas del algoritmo TDF medio ciclo.

ALGORITMODE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER DE MEDIO CICLO




salida.




salida.

La ventana de datos se compone de las

muestras contenidas en medio ciclo.




8.333 ms y este inconveniente aumenta al

procesar transitorios y la componente de

CD decreciente.


167

Algoritmo filtro coseno.

Las expresiones matemáticas para llevar a cabo la estimación de la magnitud con la ecuación

(2.31) y el ángulo del fasor con la ecuación (2.32), constituyendo así el filtro digital definido por la

parte real con la ecuación (2.29) y la parte compleja con la ecuación (2.30), están contenidas en el

capítulo 2.


1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2


1

2𝑛𝑚𝑝𝑐

]

2

[2.31]



Al contar con las expresiones para el cálculo de la magnitud y el ángulo del fasor de entrada, se

elaboró la función del algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) de ciclo completo,

haciendo uso de MATLAB por medio de la creación de un archivo “.m”, cuyas líneas de código se

muestran a continuación:

% Funcion para la solucion del algoritmo % Filtro Coseno % Donde: fas_TDF es la variable de salida, % siendo el fasor de la señal en forma % rectangular % w: es la velocidad angular % Tm = dt : es el periodo de muestreo % nmpc: son el numero de muestras por ciclo que se maneja %---------------------------------------------------------- function [fas_coseno]=coseno(vdat,nmpc) w=2*pi*60; Tm=1/(60*nmpc); preal=0 pimag=0 nmpv=(nmpc/4)+nmpc

desp=(nmpc/4) for k=1:nmpc t=(Tm)*(k-1) cosref=(cos(w*t)) refcos(k,2)=cosref end for d=1:nmpc Entcos=vdat(d+desp,2)*(refcos(d,2)); Entseno=vdat(d,2)*(refcos(d,2)); preal=((Entcos)/((1/2)*nmpc))+preal pimag=((Entseno)/((1/2)*nmpc))+pimag fas_coseno=(preal+pimag*sqrt(-1)) end %Filtro Coseno


168

nmpc=24 dat=[t,y]; nmpv=(nmpc/4)+nmpc; [f,c]=size(dat); vdat=zeros(nmpv,1) for k=1:f if k<=nmpv vdat(k,2)=dat(k,2) else for j=1:nmpv-1

vdat(j,2)=vdat(j+1,2); end vdat(nmpv,2)=dat(k,2) end fas_coseno(k,1)=coseno(vdat,nmpc) mag_coseno(k,1)=abs(fas_coseno(k,1)) ang_coseno(k,1)=rad2deg(angle(fas_coseno(k,1))) end


169


170

Elaboración de pruebas al algoritmo filtro coseno.


Debido a que el algoritmo filtro coseno toma un ciclo y cuarto, lo que corresponde a 36 muestras

para realizar la estimación fasorial de la señal de entrada, en la primera gráfica de la figura A.3.13

se observa que la magnitud del fasor equivalente a 20 unidades, se estabiliza al cabo de 20.83 ms.


estimación de la magnitud del fasor, esta se mantiene estable después de 20.83 ms.

Figura A.3.1A. Prueba 1, señal de entrada fundamental (60 Hz) algoritmo filtro coseno.


171


La señal de entrada correspondiente a la figura A.1.7 es periódica, deforme, colmada de

distorsiones producidas por la suma de la señal fundamental con el tercer armónico causando que

esta pierda su forma senoidal original, pero esto no interviene en la estimación fasorial como se

observa en la gráfica superior de la figura A.3.14, ya que éste algoritmo se basa en el

funcionamiento del algoritmo TDF pero tomando como referencia a la función coseno, por lo

tanto se eliminan los armónicos, lo que aporta una estimación de la magnitud fasorial lineal de 20

unidades que tarda alrededor de 20.83 ms para estabilizarse.

En la gráfica inferior de la figura A.3.14 se muestra la estimación del ángulo del fasor, cuyo

comportamiento adquiere estabilidad después del arranque de la estimación fasorial la cual tarda

un ciclo y un cuarto.

Figura A.3.14. Prueba 2, señal de entrada fundamental más tercer armónico algoritmo filtro

coseno.


172


Como se observa en la gráfica superior de la figura A.3.16, inicialmente el algoritmo comienza la

estimación fasorial de la señal de entrada abarcando 20.83 ms, después de ese tiempo se tiene

una señal estable con una magnitud de 20 unidades, resultante de la estimación de la magnitud

fasorial de la señal fundamental y súbitamente, al término del segundo ciclo de la señal de entrada

se presenta un disturbio, se trata de un transitorio, el cual provoca que el algoritmo tenga que

consumir nuevamente las muestras de un ciclo y cuarto para generar la nueva estimación fasorial

y finalmente entregar una señal estable pero con magnitud de 60 unidades.

La gráfica inferior de la figura A.3.16 muestra la estimación del ángulo de fase, semejantemente a

la estimación de las magnitudes del fasor de entrada, en esta existen dos variaciones ocasionadas

por el funcionamiento inicial del algoritmo y por la aparición del transitorio, lo que provoca que el

algoritmo requiera nuevamente de las muestras de un ciclo y cuarto a partir de la aparición del

transitorio para efectuar una vez más la estimación fasorial de la señal originada por el mismo.

Figura A.3.16. Prueba 3, señal de entrada fundamental más transitorio algoritmo filtro coseno.


173


En la gráfica superior de la figura A.3.17 se observa que una señal decreciente en el tiempo

repercute de manera negativa a la estimación de la magnitud fasorial, esta estimación

experimenta un retardo próximo a los cuatro ciclos para mantenerse estable.

La mayor amplitud alcanzada por ésta señal es de 24 unidades, decrece conforme el tiempo

avanza mostrando inestabilidad en su recorrido, y es hasta el cuarto ciclo, aproximadamente a los

6 ms, comienza a comportarse de forma estable con una magnitud de 20 unidades.

En la gráfica inferior de la figura A.3.17 se muestra la estimación del ángulo del fasor que

inicialmente muestra un comportamiento inestable y permanece en ese estado hasta los 20.83

ms, tiempo requerido por el algoritmo filtro coseno para efectuar la primera estimación, a partir

de ese momento se observa estabilidad en el recorrido de la señal.




174

Tabla A.3.A. Ventajas y desventajas del algoritmo filtro coseno.

ALGORITMO FILTRO COSENO


Su funcionamiento se basa en el algoritmo

TDF pero tomando como referencia a la

función coseno.



salida.




salida.

La ventana de datos se compone de36

muestras contenidas en ciclo y cuarto.




20.83 ms y este inconveniente aumenta al

procesar transitorios y la componente de

CD decreciente.


175

Algoritmo de Mínimos Errores Cuadrados (MEC).

Las expresiones matemáticas para llevar a cabo la estimación de la magnitud y el ángulo del fasor,

constituyendo así el filtro digital definido por la parte real y la parte compleja con la ecuación,

desarrolladas y contenidas en el capítulo 2.

MAGNITUD |𝑉𝑝| = √[𝑣+1 − 𝑣−1]2 + [

√3

5𝑣−1 +

2

5𝑣0 +

√3

5𝑣+1]

2

ÁNGULO DE FASE 𝜃 = tan−1 [√3

5𝑣−1+

2

5𝑣0+

√3

5𝑣+1

𝑣+1−𝑣−1]

Al contar con las expresiones para el cálculo de la magnitud y el ángulo del fasor de entrada, y en

base al trabajo elaborado en el proyecto de la referencia 15, se elaboró la función del algoritmo

MEC haciendo uso de MATLAB por medio de la creación de un archivo “.m”, cuyas líneas de código

se muestran a continuación:

Filtro Minimos Errores Cuadrados nc=5; nmpc=24; k=nc*nmpc; nmpv=45; oh=8; f1=60; fm=nmpc*f1; w1=2*pi*f1; dat=[t,y]; for cont=1:k; [A1L]=GenA(cont,nmpv,oh,w1,fm); end [f,c]=size(dat); vdat=zeros(nmpv,1); for k=1:f; if k<=nmpv; vdat(k,1)=dat(k,2); else for j=1:nmpv-1; vdat(j,1)=vdat(j+1,1); end vdat(nmpv,1)=dat(k,2); end

MV=A1L*vdat preal=MV(1,1) pimag=MV(2,1) fas_MEC(k,1)=(preal+pimag*sqrt(-1)) mag_MEC(k,1)=abs(fas_MEC(k,1)) ang_MEC(k,1)=rad2deg(angle(fas_MEC(k,1))) preal2=MV(3,1) pimag2=MV(4,1) fas_MEC2(k,1)=(preal2+pimag2*sqrt(-1)) mag_MEC2(k,1)=abs(fas_MEC2(k,1)) ang_MEC2(k,1)=rad2deg(angle(fas_MEC2(k,1))) preal3=MV(5,1) pimag3=MV(6,1) fas_MEC3(k,1)=(preal3+pimag3*sqrt(-1)) mag_MEC3(k,1)=abs(fas_MEC3(k,1)) ang_MEC3(k,1)=rad2deg(angle(fas_MEC3(k,1))) preal4=MV(7,1)


176

pimag4=MV(8,1) fas_MEC4(k,1)=(preal4+pimag4*sqrt(-1)) mag_MEC4(k,1)=abs(fas_MEC4(k,1)) ang_MEC4(k,1)=rad2deg(angle(fas_MEC4(k,1))) preal5=MV(9,1) pimag5=MV(10,1) fas_MEC5(k,1)=(preal5+pimag5*sqrt(-1)) mag_MEC5(k,1)=abs(fas_MEC5(k,1)) ang_MEC5(k,1)=rad2deg(angle(fas_MEC5(k,1))) preal6=MV(11,1) pimag6=MV(12,1) fas_MEC6(k,1)=(preal6+pimag6*sqrt(-1)) mag_MEC6(k,1)=abs(fas_MEC6(k,1)) ang_MEC6(k,1)=rad2deg(angle(fas_MEC6(k,1))) preal7=MV(13,1) pimag7=MV(14,1) fas_MEC7(k,1)=(preal7+pimag7*sqrt(-1)) mag_MEC7(k,1)=abs(fas_MEC7(k,1)) ang_MEC7(k,1)=rad2deg(angle(fas_MEC7(k,1))) preal8=MV(15,1) pimag8=MV(16,1) fas_MEC8(k,1)=(preal8+pimag8*sqrt(-1)) mag_MEC8(k,1)=abs(fas_MEC8(k,1)) ang_MEC8(k,1)=rad2deg(angle(fas_MEC8(k,1))) preal9=MV(17,1) fas_MEC9(k,1)=preal9 mag_MEC9(k,1)=fas_MEC9(k,1) end t=dat(:,1) y1=mag_MEC y2=mag_MEC2

y3=mag_MEC3 y4=mag_MEC4 y5=mag_MEC5 y6=mag_MEC6 y7=mag_MEC7 y8=mag_MEC8 y9=mag_MEC9 y1_ANG=ang_MEC %y2_ANG=ang_MEC2 y3_ANG=ang_MEC3 %y4_ANG=ang_MEC4 y5_ANG=ang_MEC5 %y6_ANG=ang_MEC6 %y7_ANG=ang_MEC7 %y8_ANG=ang_MEC8 %Funcion que genera la matriz A y regresa la pseudo inversa como A1L %la matriz es serà de dim(oh*2+2 , nmpv) %la matriz AiL serà de dim(nmpv , oh*2+2) %lo anterior se realiza solo cuando el contador de muestra es igual a 1, %despues, solo se leen los coeficientes del archivo Ail.txt, esto ahorra %tiempo, ya que la matriz Ail es constante. function [A1L]=GenA(cont,nmpv,oh,w1,fm) % ENTRADAS: f1 >Freuencia fundamental del sistema % nmpc >Numero de muestras tomadas por cada ciclo % nmpv >Numero de muestras que requiere la ventana de datos % oh >Orden o grado del armonico a analizar % w1 >Velocidad angular % SALIDAS: A >Matriz A % A1L >Pseudo inversa de la matriz A %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if cont == 1 T=1/fm; %Periodo de la señal wT=w1*T; %Frecuencia angular por periodo cont_ini=floor(nmpv/2); %Ecuacion que proporciona la base de un numero en caso


177

de haber decimales (En este caso nos proporcionara el valor de enmedio del numero de muestras por ventana) [MDir]=GenDir(oh); %Envia a la funcion GenDir el valor obtenido de MDir, unicamente para generar las columnas de los armonicos, NO de la componente de CD for h=1:oh %Ciclo for que mantiene sus iteraciones dependiendo del numero de armonico creara las columnas m=1; %Declaracion de variable para cerciorarse de empezar en la columna 1 (creara las filas) for k=-cont_ini:1:cont_ini %Ciclo for que empieza desde menos el valor de la base y termina hasta el valor de la base A(m,MDir(h,1))=sin(h*k*wT); %Llenara de calculos de sin en los espacios requeridos A(m,MDir(h,2))=cos(h*k*wT); %Llenara de calculos de cos en los espacios requeridos m=m+1; %Con este valor nos cercioramos de ir cambiando de fila end end %%%%%nexo_a_Matriz_A%%%%%%%% s2=(-cont_ini:cont_ini); %Creara los valores de corriente directa decreciente en una fila (dichos valores van desde base(-nmpv/2) hasta base(+nmpv/2) ) s2=s2'; %Colocara los valores en forma de columna, estar sera colocada en la ultima columna de la matriz s1=ones(nmpv,1); %Creara una columna llena de unos, esta se alojara en la penultima columna de la matriz A=[A s1 s2]; %Se crea la matriz A adicionando los valores de corriente directa decreciente A1L=pinv (A); %Se crea la matriz pseudo inversa de la matiz A [a]=guardaArch(A1L);

else cc=(oh*2)+2; [A1L]=leeArch('A1L.txt',cc,nmpv) end %Importa a un archivo txt los coeficientes de la matriz AiL function [a]=guardaArch(Dat) [f,c]=size(Dat); fid = fopen('A1L.txt','w'); for i=1:f for j=1:c fprintf(fid,'%12.4g \n',Dat(i,j)); end end fclose(fid); a=1; %Lee los datos de un archivo txt para crear la matriz AiL, function [A1L]=leeArch(archivo,f,c) fid = fopen(archivo); a = fscanf(fid,'%g',[1 inf]) % It has two rows now. fclose(fid) jj=1; for i=1:f for j=1:c A1L(i,j)=a(1,jj); jj=jj+1; end end %Funcion que direcciona a la funcion GenA para crear las columnas % p. ej: si oh = 4 %MDir= [1 2 (h1) % 3 4 (h2) % 5 6 (h3) % 7 8 (h4) % 9 10] (h0) function [MDir]=GenDir(oh) % ENTRADAS: % oh >Grado del armonico % SALIDAS:


178

% MDir >Variable que hara el cambio de columnas en la funcion GenA imp=1; %Variable que se condiciona al valor 1 for k=1:oh+1 %Ciclo for que hara que MDir genere el numero de columnas dependiendo del grado del armonico MDir(k,1)=imp; %Empieza en la columna 1 fila 1 MDir(k,2)=imp+1; %Se genera la siguiente columna para el mismo grado de armonico imp=imp+2; %Se generan las dos siguientes columnas en casos necesarios end %End ciclo for

Elaboración de pruebas al algoritmo de Mínimos Errores Cuadrados (MEC).


Como el algoritmo MEC estima señales de forma de onda senoidal, lo cual incluye la señal

fundamental y múltiplos de esta (armónicos), en la gráfica superior de la figura A.4.1 se observa el

inicio de la estimación de varias señales, y al cabo del procesamiento de las 45 muestras iniciales,

aproximadamente 31.25 ms, se tiene que la única señal que no tiende a cero es la correspondiente

a la fundamental, el resto de estas tiende a cero porque son originadas para estimar armónicos

pero al no existir en la señal de entrada estas estimaciones son cero. El valor de la magnitud de la

señal fundamental es equivalente a 20 unidades. La estimación del ángulo de fase al igual que la

estimación de la magnitud, se mantiene estable después de 31.25 ms y oscila de +180⁰ a -180⁰.

Figura A.4.1. Prueba 1, señal de entrada fundamental (60 Hz) algoritmo de Mínimos Errores

Cuadrados.


La señal de entrada correspondiente a la figura A.1.7 es periódica, deforme, llena de distorsiones

producidas por la suma de la señal fundamental con el tercer armónico, pero esto no afecta a la

estimación fasorial efectuada por el algoritmo MEC, en la gráfica superior de la figura A.4.2 se

observa que al cabo del procesamiento de 45 muestras iniciales, se obtiene la señal de color rojo


180

que corresponde a la estimación de la magnitud de la señal fundamental con valor de 20 unidades

y la señal de color verde corresponde a la estimación de la magnitud del tercer armónico que tiene

magnitud de 15 unidades, en la gráfica inferior se muestra la estimación del ángulo del tercer

armónico en color verde y también la estimación del ángulo de la señal fundamental en color rojo

que oscila de +180⁰ a -180⁰, el comportamiento de ambas adquiere estabilidad después del

arranque de la estimación.

Figura A.4.2. Prueba 2, señal de entrada fundamental más tercer armónico algoritmo de Mínimos

Errores Cuadrados.


181


Como se observa en la gráfica superior de la figura A.4.4, inicialmente el algoritmo comienza la

estimación fasorial de la señal de entrada abarcando 45 muestras, después de ese procesamiento

se tiene una señal estable compuesta por 3 muestras con una magnitud de 20 unidades,

resultante de la estimación de la magnitud de la señal fundamental y súbitamente, al término del

segundo ciclo de la señal de entrada se presenta un transitorio, el cual provoca que el algoritmo

tenga que consumir nuevamente 45 muestras para generar la nueva estimación y finalmente

entregar una señal estable pero con magnitud de 60 unidades.

También se observa que la señal de la estimación del ángulo, contiene dos variaciones provocadas

por el inicio del procesamiento y por la aparición del transitorio, después de esa perturbación, se

comporta establemente oscilando de +180⁰ a -180⁰.

Figura A.4.4. Prueba 3, señal de entrada fundamental más transitorio algoritmo de Mínimos

Errores Cuadrados.


182


En la gráfica superior de la figura A.4.5 se observa que la componente de CD decreciente en el

tiempo provoca una ligera oscilación a la señal de la estimación de la magnitud de color rojo;

después del procesamiento de las 45 muestras iniciales, esta estimación experimenta un retardo

próximo a los 15 ms para mantenerse estable con magnitud de 20 unidades, a pesar que este

desempeño tarda 45 muestras para efectuar la estimación, esta se estabiliza en un lapso

relativamente corto, en comparación con el requerido por los demás algoritmos También se

observa la señal de la estimación de la componente de CD en color azul.

En la gráfica inferior se observa que la estimación del ángulo se comporta estable al cabo del

procesamiento de las primeras 45 muestras y oscila de +180⁰ a -180⁰.


algoritmo de Mínimos Errores Cuadrados.


183

Contenido general de las características que presentan los algoritmos al efectuar la estimación

fasorial de las señales de entrada de prueba en MatLab.

Tabla A.3.4.Resumen general de características de los algoritmos obtenidas en MatLab.

ALGORITMO

C A R A C T E R Í S T I C A

1 2 3 4 5

MIKY & MIKANO

MANN & MORRISON

GILBERT & SHOVLIN

ROCKEFELLER & UDREN

TDF DE MEDIO CICLO

TDF DE CICLO COMPLETO

FILTRO COSENO

MÍNIMOS ERRORES CUADRADOS

1.- Rápida estabilización de la estimación fasorial (tiempo menor a un ciclo).

2.- Comportamiento estable al procesar la señal fundamental.

3.- Comportamiento estable al procesar la señal fundamental más armónicos.

4.- Comportamiento estable al procesar la señal fundamental más transitorio.

5.- Rápida estabilización de la estimación fasorial al procesar la señal fundamental más

componente de CD decreciente.


184


185

ANEXO B. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

[1] Introducción al procesamiento digital de señales, Juan Vignolo Barchiesi, 2008, Ediciones

Universitarias de Valparaíso, Chile.

[2] Procesamiento digital de señales, Un enfoque basado en computadora, Sanjit K. Mitra,

Editorial McGraw-Hill, 2007.

[3] Procesamiento digital de señales, José Juan Rincón Pasaye, Facultad de Ingeniería

Eléctrica, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Elaborado en Junio del 2009.

[4] Características de las señales eléctricas, 2008, ITESCAM, México Distrito Federal.

[5] Tratamiento digital de señales, John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis, Cuarta Edición,

Editorial Pearson Prentice-Hall 2007.

[6] Modeling relays for power system protection studies, Sandro Anggy Aquiles Pérez,

University of Saskatchwan, Saskatoon, Saskatchwan Canada.

[7] Diplomado en protección convencional de sistemas eléctricos, Comisión Federal de

Electricidad, Dr. David Sebastián Baltazar y Dr. Germán Rosas Ortiz, 2008.

[8] Programa Doctoral en Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Universidad Autónoma de Nuevo León, M en C. Luis Alonso Trujillo–Guajardo, 2010.

[9] Transformada Rápida de Fourier (FFT) e interpolación en tiempo real, Dr. Juan Luis

Posadas Yagüe, Universidad Politécnica de Valencia, Julio 1998.

[10] Kenney, J. F. and Keeping, E. S., Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van

Nostrand, 1951.

[11] J. B. Physics Celestial Mechanics, 2008, Uriel A. Goldvais. University of California.

[12] Procesamiento Digital de Señales, Dr. Juan José Aranda Aboy, Universidad de Valparaíso.

Elaborado en el año 2004.

[13] Armónicos en sistemas eléctricos, Ingeniería Especializada, José Daniel Arcila, 2010.

[14] Power Factor, Harmonic Distortion; Causes, Effects and Considerations, Lorenzo Cividino

& Northern TELECOM, IEEE 1992.

[15] Desarrollo e implementación de una interfaz con el algoritmo de mínimos errores

cuadrados para determinar el espectro armónico de señales eléctricas de CA, ESIME, IPN,

Ing. Moisés Cruz Santos, Agosto de 2013.

[16] Manual de usuario para la elaboración de la interfaz MatLab-PSCAD, Academia de

Electrotecnia, Departamento de Ingeniería Eléctrica, ESIME, IPN.


186


187

ANEXO C. CÓDIGOS DE LOS PROGRAMAS REALIZADOS.

Generador de señales

%Esta funcion nos ayuda a generar una onda senoidal con distorsiones en %ella, dependiendo de los valores que se asignen para llamar la funcion en %la ventana de MATLAB se corre el programa de gensen y comienza con %[t,y]=gensen([0 1 0.5 0.25 0 0],[0 1 2 8 4 5],[0 0 0 0 0 0],0,0,12,3) % de donde t y y son las salidas de la funcion siendo t la variable de % tiempo y y los valores de la señal. %magh = magnitud del armonico %orh = orden del armonico %angf = angulo de fase %nmpc = numero de muestras por ciclo %nc = numero de ciclos %magdc=la magnitud de la señal de corriente directa %magTr=Magnitud del transitorio %tr=transitorio %utilizando plot(t,y) se obtiene la forma de onda de la señal generada a %partir de los datos entregados function [t,y]=gensen(magh,orh,angf,magdc,magTr,tr,nmpc,nc) f1=60; w1=2*pi*f1; fm=f1*nmpc; Tm=1/fm; t=0:Tm:nc/f1; t=t'; e=exp(-90*t); if tr==0 y= magh(1)*sin(w1*t)+(magdc*e) + magh(2)*sin(orh(2)*w1*t+deg2rad(angf(2))) + magh(3)*sin(orh(3)*w1*t+deg2rad(angf(3))) +magh(4)*sin(orh(4)*w1*t+deg2rad(angf(4))) +magh(5)*sin(orh(5)*w1*t+deg2rad(angf(5))); end if tr==1 y= magh(1)*sin(w1*t)+(magdc*e) + magh(2)*sin(orh(2)*w1*t+deg2rad(angf(2))) + magh(3)*sin(orh(3)*w1*t+deg2rad(angf(3))) +magh(4)*sin(orh(4)*w1*t+deg2rad(angf(4))) +magh(5)*sin(orh(5)*w1*t+deg2rad(angf(5))); y(((nmpc/3)+17)*2:end,1)=y(((nmpc/3)+17)*2:end,1)*magTr; end %Pruebas algoritmo Miki & Mikano clear all; clc; [t,y]=gensen([20 0 0 0 0],[1 0 0 0 0],[0 0 0 0 0],0,0,0,24,5); Miki_Mikano Graficas_Miki_Mikano clear all;


188

clc; [t,y]=gensen([20 0 0 0 0],[1 0 0 0 0],[0 0 0 0 0],30,0,0,24,5); Miki_Mikano Graficas_Miki_Mikano_DC clear all; clc; [t,y]=gensen([20 0 0 0 0],[1 0 0 0 0],[0 0 0 0 0],0,3,1,24,5); Miki_Mikano Graficas_Miki_Mikano_TR clear all; clc; [t,y]=gensen([20 0 15 0 0],[1 0 3 0 0],[0 0 0 0 0],0,0,0,24,5); Miki_Mikano Graficas_Miki_Mikano_3arm clear all; clc; [t,y]=gensen([20 0 0 0 15],[1 0 0 0 5],[0 0 0 0 0],0,0,0,24,5); Miki_Mikano Graficas_Miki_Mikano_5arm Script en Fortran para la interfaz Pscad – Matlab, Algoritmos de Ventana Corta y Ventana Larga !Espacio #STORAGE REAL:10 ! -------------------------------------------------- #LOCAL INTEGER CNT !Se habilita o deshabilita la llamada de la funcion de matlab IF($HABI .EQ. 1.0) THEN ! -------------------------------------------------- ! Transfer EMTDC Input Variables to Matlab Interface ! -------------------------------------------------- ! ! First Input Array (REAL(6)) CNT = 1 STORF(NSTORF) = $cont STORF(NSTORF + CNT) = $W1 STORF(NSTORF + CNT + 1) = $FM STORF(NSTORF + CNT + 2) = $Ia_m ! -------------------------------------------------- ! Call PSCAD/EMTDC Matlab Interface: ! CALL MLAB_INT("MFILEPATH","MFILENAME","Input Format","Output Format") ! -------------------------------------------------- CALL MLAB_INT("%:Dir\$CARP", "$NOMB", "R R R R " , "R(2)" ) ! ! -------------------------------------------------- ! Transfer Matlab Output Variables from Matlab Interface ! --------------------------------------------------


189

! ! First Output Array (REAL(1)) $salida(1) = STORF(NSTORF + CNT + 3) $salida(2) = STORF(NSTORF + CNT + 4) ENDIF ! Update STORx Pointers NSTORF = NSTORF + 10 ! -------------------------------------------------- ! -------------------------------------------------- Script en Fortran para la interfaz Pscad – Matlab, Algoritmo de Minimos Errrores Cuadrados !Espacio #STORAGE REAL:30 ! -------------------------------------------------- #LOCAL INTEGER CNT !Se habilita o deshabilita la llamada de la funcion de matlab IF($HABI .EQ. 1.0) THEN ! -------------------------------------------------- ! Transfer EMTDC Input Variables to Matlab Interface ! -------------------------------------------------- ! ! First Input Array (REAL(6)) CNT = 1 STORF(NSTORF) = $cont STORF(NSTORF + CNT) = $NMPV STORF(NSTORF + CNT + 1) = $OH STORF(NSTORF + CNT + 2) = $W1 STORF(NSTORF + CNT + 3) = $FM STORF(NSTORF + CNT + 4) = $Ia_m ! ! -------------------------------------------------- ! Call PSCAD/EMTDC Matlab Interface: ! CALL MLAB_INT("MFILEPATH","MFILENAME","Input Format","Output Format") ! -------------------------------------------------- CALL MLAB_INT("%:Dir\$CARP", "$NOMB", "R R R R R R" , "R(17)" ) ! ! -------------------------------------------------- ! Transfer Matlab Output Variables from Matlab Interface ! -------------------------------------------------- ! ! First Output Array (REAL(1)) $salida(1) = STORF(NSTORF + CNT + 5)


190

$salida(2) = STORF(NSTORF + CNT + 6) $salida(3) = STORF(NSTORF + CNT + 7) $salida(4) = STORF(NSTORF + CNT + 8) $salida(5) = STORF(NSTORF + CNT + 9) $salida(6) = STORF(NSTORF + CNT + 10) $salida(7) = STORF(NSTORF + CNT + 11) $salida(8) = STORF(NSTORF + CNT + 12) $salida(9) = STORF(NSTORF + CNT + 13) $salida(10) = STORF(NSTORF + CNT + 14) $salida(11) = STORF(NSTORF + CNT + 15) $salida(12) = STORF(NSTORF + CNT + 16) $salida(13) = STORF(NSTORF + CNT + 17) $salida(14) = STORF(NSTORF + CNT + 18) $salida(15) = STORF(NSTORF + CNT + 19) $salida(16) = STORF(NSTORF + CNT + 20) $salida(17) = STORF(NSTORF + CNT + 21) ENDIF ! Update STORx Pointers NSTORF = NSTORF + 23 ! -------------------------------------------------- ! -------------------------------------------------- function [sal] = interFmiki(cont,w1,fm,y) % ENTRADAS: % y -> magnitud instantanea % cont -> contador de muestras %SALIDAS: % sal1 -> salida 1 nmpv=2 persistent Vent; %hace pesistente el valor de la variable Dat %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont <= nmpv) %permite que se llene la primer ventana de muestras %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont == 1) Vent=zeros(nmpv,1); Vent(1,1)=y; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


191

Vent(cont,1)=y; %Asigna el valor de la muestra actual a la fila k de la ventana %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% f1=w1/(2*pi); nmpc=fm/f1; [fas_miki]=miki(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_miki); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_miki)); sal(1,3)=0; sal(1,4)=0; end if (cont > nmpv) Vent(1:end-1,1)=Vent(2:end,1); %desplaza las nuestras Vent(nmpv,1)=y; %agrega la nueva muestra %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% f1=w1/(2*pi); nmpc=fm/f1; [fas_miki]=miki(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_miki); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_miki)); sal(1,3)=0; sal(1,4)=0; end function [sal] = interFman(cont,w1,fm,y) % ENTRADAS: % y -> magnitud instantanea % cont -> contador de muestras %SALIDAS: % sal1 -> salida 1 nmpv=3 persistent Vent; %hace pesistente el valor de la variable Dat


192

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont <= nmpv) %permite que se llene la primer ventana de muestras %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont == 1) Vent=zeros(nmpv,1); Vent(1,1)=y; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Vent(cont,1)=y; %Asigna el valor de la muestra actual a la fila k de la ventana %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% f1=w1/(2*pi); nmpc=fm/f1; [fas_man]=man(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_man); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_man)); sal(1,3)=0; sal(1,4)=0; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont > nmpv) Vent(1:end-1,1)=Vent(2:end,1); %desplaza las nuestras Vent(nmpv,1)=y; %agrega la nueva muestra %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% f1=w1/(2*pi); nmpc=fm/f1; [fas_man]=man(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_man); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_man)); sal(1,3)=0; sal(1,4)=0; end


193

function [sal] = interFgilbert(cont,w1,fm,y) % ENTRADAS: % y -> magnitud instantanea % cont -> contador de muestras %SALIDAS: % sal1 -> salida 1 nmpv=3 persistent Vent; %hace pesistente el valor de la variable Dat %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont <= nmpv) %permite que se llene la primer ventana de muestras %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont == 1) Vent=zeros(nmpv,1); Vent(1,1)=y; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Vent(cont,1)=y; %Asigna el valor de la muestra actual a la fila k de la ventana %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% f1=w1/(2*pi); nmpc=fm/f1; [fas_gil]=gil(Vent,nmpc); [ang_gil]=Gil_angulo(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_gil); sal(1,2)=ang_gil; sal(1,3)=0; sal(1,4)=0; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont > nmpv) Vent(1:end-1,1)=Vent(2:end,1); %desplaza las nuestras Vent(nmpv,1)=y; %agrega la nueva muestra


194

%%%% Llamada de la fun %%%%%%%% f1=w1/(2*pi); nmpc=fm/f1; [fas_gil]=gil(Vent,nmpc); [ang_gil]=Gil_angulo(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_gil); sal(1,2)=ang_gil; sal(1,3)=0; sal(1,4)=0; end function [sal] = interFrock(cont,w1,fm,y) % ENTRADAS: % y -> magnitud instantanea % cont -> contador de muestras %SALIDAS: % sal1 -> salida 1 nmpv=3 persistent Vent; %hace pesistente el valor de la variable Dat persistent MDir; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont <= nmpv) %permite que se llene la primer ventana de muestras %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont == 1) Vent=zeros(nmpv,1); Vent(1,1)=y; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Vent(cont,1)=y; %Asigna el valor de la muestra actual a la fila k de la ventana %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% f1=w1/(2*pi); nmpc=fm/f1; [fas_Rock]=Rock(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion


195

sal(1,1)=abs(fas_Rock); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_Rock)); sal(1,3)=0; sal(1,4)=0; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont > nmpv) Vent(1:end-1,1)=Vent(2:end,1); %desplaza las nuestras Vent(nmpv,1)=y; %agrega la nueva muestra %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% f1=w1/(2*pi); nmpc=fm/f1; [fas_Rock]=Rock(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_Rock); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_Rock)); sal(1,3)=0; sal(1,4)=0; end function [sal] = interFtdf(cont,w1,fm,y) % ENTRADAS: % y -> magnitud instantanea % cont -> contador de muestras %SALIDAS: % sal1 -> salida 1 f1=60; nmpc=fm/f1; nmpv=nmpc; persistent Vent; %hace pesistente el valor de la variable Dat %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont <= nmpv) %permite que se llene la primer ventana de muestras


196

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont == 1) Vent=zeros(nmpv,1); Vent(1,1)=y; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Vent(cont,1)=y; %Asigna el valor de la muestra actual a la fila k de la ventana %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% nmpv=nmpc; [fas_TDF]=TDF(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_TDF); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_TDF)); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont > nmpv) Vent(1:end-1,1)=Vent(2:end,1); %desplaza las nuestras Vent(nmpv,1)=y; %agrega la nueva muestra %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% nmpv=nmpc; [fas_TDF]=TDF(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_TDF); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_TDF)); end function [sal] = interFtdf_medio(cont,w1,fm,y) % ENTRADAS: % y -> magnitud instantanea % cont -> contador de muestras


197

%SALIDAS: % sal1 -> salida 1 f1=60; nmpc=fm/f1; nmpv=(nmpc)/2; persistent Vent; %hace pesistente el valor de la variable Dat %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont <= nmpv) %permite que se llene la primer ventana de muestras %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont == 1) Vent=zeros(nmpv,1); Vent(1,1)=y; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Vent(cont,1)=y; %Asigna el valor de la muestra actual a la fila k de la ventana %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% nmpv=(nmpc)/2; [fas_TDF_medio]=TDF_medio(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_TDF_medio); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_TDF_medio)); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont > nmpv) Vent(1:end-1,1)=Vent(2:end,1); %desplaza las nuestras Vent(nmpv,1)=y; %agrega la nueva muestra %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% nmpv=(nmpc)/2;


198

[fas_TDF_medio]=TDF_medio(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_TDF_medio); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_TDF_medio)); end function [sal] = interFcoseno(cont,w1,fm,y) % ENTRADAS: % y -> magnitud instantanea % cont -> contador de muestras %SALIDAS: % sal1 -> salida 1 f1=60; nmpc=fm/f1; nmpv=(nmpc/4)+nmpc; persistent Vent; %hace pesistente el valor de la variable Dat persistent MDir; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont <= nmpv) %permite que se llene la primer ventana de muestras %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont == 1) Vent=zeros(nmpv,1); Vent(1,1)=y; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Vent(cont,1)=y; %Asigna el valor de la muestra actual a la fila k de la ventana %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% [fas_coseno]=coseno(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


199

%se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_coseno); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_coseno)); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont > nmpv) Vent(1:end-1,1)=Vent(2:end,1); %desplaza las nuestras Vent(nmpv,1)=y; %agrega la nueva muestra %%%% Llamada de la fun %%%%%%%% [fas_coseno]=coseno(Vent,nmpc); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %se calculan las magnitudes para asignar las salidas de la funcion sal(1,1)=abs(fas_coseno); sal(1,2)=rad2deg(angle(fas_coseno)); end function [sal] = interFMEC(cont,nmpv,oh,w1,fm,y) % ENTRADAS: % y -> magnitud instantanea % cont -> contador de muestras %SALIDAS: % sal1 -> salida 1 persistent Vent; %hace pesistente el valor de la variable Dat persistent MDir; f=oh*2+2; i=sqrt(-1); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont == 1) Vent=zeros(nmpv,1); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


200

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont <= nmpv) %permite que se llene la primer ventana de muestras Vent(cont,1)=y; %Asigna el valor de la muestra actual a la fila k de la ventana [MV]=MEC_n(cont,nmpv,oh,w1,fm,Vent); w=1; for k=1:2:f-3 fas(w,1)=MV(k,1)+MV(k+1,1)*i; w=w+1; end fas(oh+1,1)=MV(f-1,1); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if (cont > nmpv) Vent(1:end-1,1)=Vent(2:end,1); %desplaza las nuestras Vent(nmpv,1)=y; %agrega la nueva muestra [MV]=MEC_n(cont,nmpv,oh,w1,fm,Vent); w=1; for k=1:2:f-3 fas(w,1)=MV(k,1)+MV(k+1,1)*i; w=w+1; end fas(oh+1,1)=MV(f-1,1); end for k=1:1:oh sal(1,k)=abs(fas(k,1)); sal(1,k+9)=rad2deg(angle(fas(k,1))) end sal(1,oh+1)=fas(oh+1,1);


201

instituto politÉcnico nacional...señales contienen y en el procesamiento de señales representadas...

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