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1Números reales

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ACTIVIDAD

El desarrollo del conocimiento matemático va ligado a los avances tecnológicos de la humanidad. Esto hace necesario realizar

cálculos exactos en numerosas ocasiones.

Para operar con exactitud necesitamos los números

irracionales, además de los racionales. La unión de ambos

forma los números reales.


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Algunos números irracionales

Busca en la web

Números irracionales

e

http://platea.pntic.mec.es/~bgarcia/irracinl.htm


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Esquema de contenidos

Números reales

Números racionales


Números reales

Recta real

Propiedades de los números

reales

Relación de orden. Intervalos

Relación de orden

Intervalos

Notación científica

Notación y calculadora

Sumar y restar

Multiplicar y dividir

Aproximación

Errores de aproximación


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El conjunto Q de los números racionales está formado por todos los números que se pueden escribir como una fracción , donde a y b son números enteros y b es distinto de 0.

SIGUIENTE

Números racionales

b

a

Al calcular la expresión decimal, estos números pueden tener:

Un número finito de cifras, y es un número decimal exacto si los únicos divisores del denominador son 2 o 5.

Un número infinito de cifras que se repiten de forma periódica:

A partir de la coma, y es un decimal periódico puro, si 2 y 5 no son divisores del denominador.

A partir de la cifra de las décimas, centésimas,…, y es un decimal periódico mixto, si entre los divisores están 2 o 5 y tiene, además, otros divisores.

4,15

7

119

=1, 222 .. .=1, 2

4330

=1,4333 .. .=1,4 3


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Números racionales

a 4,2 3

b 1,51 3

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Números racionales

4,2 3̂=423−42 90

=38190

=12730

a 4,2 3

b 1,51 3

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Números racionales

4,2 3̂=423−42 90

=38190

=12730

1,51 3̂=1513−151 900

=1362 900

=681450

=227150

a 4,2 3

b 1,51 3


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El conjunto de los números irracionales está formado por los números que no pueden ser expresados como fracción. Son números cuya

expresión decimal tiene un número infinito de cifras que no se repiten de forma periódica.

SIGUIENTE


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Números irracionales famosos

El número Es el cociente entre la

longitud y el diámetro de una circunferencia.

...89791415926535,3

El número e

Debe su nombre a un famoso matemático

suizo, Leonhard Euler (1707-1783), y se llama

e por la inicial de su apellido.

...7182818284,2e

El número áureo El número de oro ya era utilizado por los griegos en las proporciones de

sus construcciones.

...6180339887,12

51


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Números reales

SIGUIENTE

REALES (R)

RACIONALES (Q)

IRRACIONALES (I)

ENTEROS (Z)

FRACCIONARIOS

NATURALES (N)CERONEGATIVOS

ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝI⊂ℝ


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Números reales

SIGUIENTE

Números reales

REALES (R)

RACIONALES (Q)

IRRACIONALES (I)

ENTEROS (Z)

FRACCIONARIOS




ANTERIOR SALIR

ENTEROS

Números reales

SIGUIENTE

Números reales

REALES (R)

RACIONALES (Q)

IRRACIONALES (I)

ENTEROS (Z)

FRACCIONARIOS




ANTERIOR SALIR

NATURALES

ENTEROS

Números reales

SIGUIENTE

Números reales

REALES (R)

RACIONALES (Q)

IRRACIONALES (I)

ENTEROS (Z)

FRACCIONARIOS




ANTERIOR SALIR

NATURALES

ENTEROS

RACIONALES

Números reales

SIGUIENTE

Números reales

REALES (R)

RACIONALES (Q)

IRRACIONALES (I)

ENTEROS (Z)

FRACCIONARIOS



ℝ=I∪ℚ


ANTERIOR SALIR

NATURALES

ENTEROS

RACIONALES

IRRACIONALES

Números reales

SIGUIENTE

Números reales

REALES (R)

RACIONALES (Q)

IRRACIONALES (I)

ENTEROS (Z)

FRACCIONARIOS



ℝ=I∪ℚ


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Recta real

La recta real es la representación, en la misma recta numérica, de los números racionales e irracionales.

Representamos:

SIGUIENTE


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Recta real


Representamos:

SIGUIENTE

−114

,−56

,56

,113

fracciones impropias56

−56

fracciones propias113

=3+23

−114

=−(2+34 )


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Recta real 2


Representamos:

SIGUIENTE

√2 ,√5 ,√13 ,√11

√2=√12+12

√5=√22+12

√13=√32+22

√11=√(√2)2+32


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Propiedades de los números reales

Para operar con los números reales hay que conocer sus propiedades.

PROPIEDAD SUMA MULTIPLICACIÓN

Asociativa

Elemento neutro

Elemento opuesto/inverso

Conmutativa

Distributiva

SIGUIENTE


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Relación de orden en R

Dados dos números reales a y b:

• Decimos que a es menor que b, y se escribe a < b, cuando b – a es positivo.

• Decimos que a es mayor que b, y se escribe a > b, cuando b – a es negativo.

SIGUIENTE

Notación


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Intervalos

Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponde con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real.

Cada intervalo viene determinado por sus extremos, dos extremos en el caso de segmentos y uno en el caso de semirrectas.

Según se incluyan o no los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados.

SIGUIENTE


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Intervalos




),( ba

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Intervalos

),( ba

ba,




SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Intervalos

),( ba

ba,

ba,




SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Intervalos

),( ba

ba,

ba,

ba,




SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Intervalos

),( ba

ba,

ba,

ba,

),( a




SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Intervalos

),( ba

ba,

ba,

ba,

),( a

,a




SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Intervalos

),( ba

ba,

ba,

ba,

),( a

,a

),( b




SIGUIENTE


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Intervalos

),( ba

[a ,b ]

[ a ,b

a ,b ]

),( a

[ a ,∞

),( b

−∞ , b ]




SIGUIENTE


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Intervalos

Expresa mediante intervalos los conjuntos de números reales:

a) Mayores que – 2 y menores que -1

(−2,−1 )= {x / -2< x<-1 }

b) Mayores o iguales que 5

[5,+∞)={ x / 5≤ x }

NOTACIÓN/ se lee tal que


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Aproximación

Existen diferentes métodos de aproximación, siendo los más usuales:

• Por defecto o truncamiento:

Se eliminan las cifras a partir del orden considerado.

• Por exceso:

Se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero añadiendo una unidad a la última cifra.

• Redondeo:

Se eliminan las cifras a partir del orden considerado y se aumenta en una unidad la última cifra si la siguiente es mayor o igual que 5.

SIGUIENTE


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Aproximación

3,1415 es de masdiezmilési las a nto truncamieEl




• Por exceso:


• Redondeo:


SIGUIENTE


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Aproximación

3,1416 es masdiezmilési las a defecto Por

3,1415 es de masdiezmilési las a totruncamien El




• Por exceso:


• Redondeo:


SIGUIENTE


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Aproximación

3,14 es de centésimas las a redondeo El

3,1416 es de masdiezmilési las a redondeo El

3,1416 es masdiezmilési las a defecto Por

3,1415 es de masdiezmilési las a totruncamien El




• Por exceso:


• Redondeo:


SIGUIENTE


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Errores por aproximación

Error absoluto, Ea, es la diferencia (en valor absoluto) entre el valor real y la aproximación.

El valor absoluto de un número entero es el

número que resulta de prescindir de su

signo.

Error relativo, Er, es el cociente entre el error absoluto y el valor real.

ónaproximacireala VVE

E r=Error absolutoValor real

=|EaV real

|


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Para introducir un número en notación científica en la

calculadora, utilizamos la tecla:

Notación científica

Expresar un número en notación científica consiste en escribirlo como un número con una sola cifra entera (distinta de cero) multiplicada por una potencia de 10.

Un número en notación científica es de la forma:

Donde a es un número del intervalo

Y b es un número entero.

ba 10

10 ,1

A b se le llama orden de magnitud del número.

5102,3

SIGUIENTE


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Operar con notación científica

SUMAR Y RESTAR

55553 10724,5107,5100,024 107,5102,4 a)

SIGUIENTE


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SUMAR Y RESTAR

22223 1005,8109,7100,15 109,7101,5 b)

55553 10724,5107,5100,024 107,5102,4 a)

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


SUMAR Y RESTAR

22224 101495,31019,3100,0405 1019,3104,05 c)

55553 10724,5107,5100,024 107,5102,4 a)

22223 1005,8109,7100,15 109,7101,5 b)

SIGUIENTE


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SUMAR Y RESTAR

44434 10269,2100,431107,2 104,31107,2 d)

55553 10724,5107,5100,024 107,5102,4 a)

22223 1005,8109,7100,15 109,7101,5 b)

22224 101495,31019,3100,0405 1019,3104,05 c)

SIGUIENTE


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MULTIPLICAR Y DIVIDIR

88

535353

10368,11068,13

1068,131010)7,54,2 ()107,5()10(2,4

a)

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



55

232323

101,1851011,85

1085,1110107,91,5 109,7101,5

b)

88

535353

10368,11068,13

1068,131010)7,54,2 ()107,5()10(2,4

a)

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



2

242424

1027,1

1027,110:103,19:05,4 1019,3:104,05

c)

Redondeamos a las centésimas

88

535353

10368,11068,13

1068,131010)7,54,2 ()107,5()10(2,4

a)

55

232323

101,1851011,85

1085,1110107,91,5 109,7101,5

b)

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



3,61063,0

1063,010:1031,4:7,2104,31:107,21

343434

d)


2

242424

1027,1

1027,110:103,19:05,4 1019,3:104,05

c)


88

535353

10368,11068,13

1068,131010)7,54,2 ()107,5()10(2,4

a)

55

232323

101,1851011,85

1085,1110107,91,5 109,7101,5

b)


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Enlaces de interés

Recursos audiovisuales

IR A ESTA WEB

Retos matemáticos

IR A ESTA WEB

http://platea.pntic.mec.es/aperez4/raudio.htm

http://www.figurethis.org/espanol.htm












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Actividad: Construcción del número de oro

Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad1c.htm

En la sección chilena de la Editorial Santillana, esta actividad trabaja con la construcción geométrica del número de oro.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

INICIO

http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad1c.htm



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