inicio matemÁticas 4º eso opción b unidad 4: ecuaciones...

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 4º ESO opción BUnidad 4: Ecuaciones e inecuaciones

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4 Ecuaciones e inecuaciones

INTERNET

LECTURA INICIAL

ESQUEMA

En muchas ocasiones el modelo óptimo se consigue

mediante sistemas de ecuaciones.

ACTIVIDAD


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Adivina números

Busca en la web

Gauss

Adivina números

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/anecdotas/mate4q.htm

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/mate2l.htm

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/mate2l.htm

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/anecdotas/mate4q.htm


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Esquema de contenidos

Ecuaciones e inecuaciones

Ecuaciones de 1er grado

Ecuaciones bicuadradas

Otras ecuaciones

Con fracciones algebraicasOtras

Inecuaciones

Con una incógnita

Con dos incógnitas

Sistemas

Sistemas de ecuaciones

Clasificación

Resolución

Ecuaciones de 2º grado

Soluciones


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Elementos de una ecuación de primer grado Miembro: en toda ecuación hay dos expresiones separadas por un signo igual. La expresión situada a la derecha es el primer miembro y la de la izquierda es el segundo miembro.

Término: es cada uno de los sumandos de los miembros.

Término independiente: es el miembro formado por un solo número.

Incógnitas: son las letras cuyos valores desconocemos.

Grado: es el mayor de los exponentes con los que figura la incógnita.

Incógnita x

Grado 1

SIGUIENTE

72575

miembro

términos

segundomiembroprimer

xx +=+


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SolucionesSoluciones. Son los valores de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta.

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o les resta el mismo número se obtiene otra ecuación equivalente. Si a los dos miembros de

una ecuación se les multiplica o les divide por el mismo número (distinto de cero) se obtiene otra ecuación equivalente.

SUMAR +

RESTAR -

SUMAR +

RESTAR -

MULTIPLICAR x

DIVIDIR :

Resolver una ecuación es encontrar su solución o sus soluciones.


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Resolución de ecuaciones de primer gradoResolución de ecuaciones sencillas

xx 2534 +=−

SIGUIENTE


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Resolución de ecuaciones de primer grado

xxpasa

25343 como

+=−+

Agrupamos los números en el 2º miembro

Resolución de ecuaciones sencillas

SIGUIENTE


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xxpasa

25343 como

+=−+

32542

++=− xcomopasa

xx


Agrupamos las x en el 1er miembro


SIGUIENTE


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xxpasa

25343 como

+=−+

32542

++=− xcomopasa

xx



3524 +=− xx


SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


xxpasa

25343 como

+=−+

32542

++=− xcomopasa

xx



3524 +=− xx

42

882 ==→= xx

Operamos


SIGUIENTE


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Seguimos los siguientes pasos:

1. Eliminar paréntesis.

xxx +=−⋅+−⋅ 4)2(15)13(10

2. Agrupar las x en un miembro y los números en el otro.

3. Reducir términos semejantes, si los hubiera.

4. Despejar x y hallar la solución.

Resolución de ecuaciones con paréntesis

SIGUIENTE


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xxx +=−+− 4153010130







xxx +=−⋅+−⋅ 4)2(15)13(10

SIGUIENTE


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xxx +=−+− 4153010130




3013041510 −−=−−− xxx



xxx +=−⋅+−⋅ 4)2(15)13(10


SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


xxx +=−+− 4153010130




3013041510 −−=−−− xxx


15626 −=− x


xxx +=−⋅+−⋅ 4)2(15)13(10


SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


xxx +=−+− 4153010130




3013041510 −−=−−− xxx


15626 −=− x


626

156 =−−=x

xxx +=−⋅+−⋅ 4)2(15)13(10


SIGUIENTE


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Seguimos los siguientes pasos:3

1

5

1

2

2 −++=+ xxxResolución de ecuaciones con denominador

SIGUIENTE


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1. Eliminar denominadores.3

1

5

1

2


SIGUIENTE


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1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30 3

1

5

1

2


)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

−++=+ xxx

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



1

5

1

2


)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx

1. Eliminar denominadores. m.c.m. (2, 5, 3) = 30

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



1

5

1

2



)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx


SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



1

5

1

2



)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx

1010663015 −++=+ xxx


SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



1

5

1

2

2 −++=+ xxx


Resolución de ecuaciones con denominador


)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx

1010663015 −++=+ xxx


SIGUIENTE


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1

5

1

2

2 −++=+ xxx




)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx

1010663015 −++=+ xxx

1063010615 −+−=−− xxx


SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



1

5

1

2

2 −++=+ xxx





)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx

1010663015 −++=+ xxx

1063010615 −+−=−− xxx


SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR



1

5

1

2

2 −++=+ xxx





)3

1(30)

5

1(30)

2

2(30

−++=+ xxx)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx

1010663015 −++=+ xxx

1063010615 −+−=−− xxx

341 −=− x


SIGUIENTE


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1

5

1

2

2 −++=+ xxx






)1(10)1(6)2(15 −++=+ xxx

1010663015 −++=+ xxx

1063010615 −+−=−− xxx

341 −=− x


SIGUIENTE

30 x22 =30 x1

5 30 x−13


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1

5

1

2

2 −++=+ xxx






30 x22 =30 x1

5 30 x−13 15 x2 =6 x1 10 x−1

1010663015 −++=+ xxx

1063010615 −+−=−− xxx

341 −=− x

341

34 =−

−=x


30 x22

=30 x1

5

30x−13


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Ecuaciones de segundo gradoUna ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica con las siguientes características:

• Tiene una única incógnita.

• Alguno de sus términos es de grado 2 y no contiene términos de grado mayor que 2.

02 =++ cbxaxa, b y c son números Reales conocidos y 0≠a

0352 2 =++ xx 3c 5b 2 ===a

Ecuación Coeficientes

0422 =−+− xx 4−c 2b 1 ==−=a

0c 9b 3 ===a093 2 =+ xx

SIGUIENTE


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Ecuaciones de segundo grado

FORMA SOLUCIÓN

COMPLETA

INCOMPLETA

FORMA SOLUCIÓN

02 =++ cbxax 0,, ≠cbaa

acbbx

2

42 −±−=

02 =+ b xa x

02 =+ cax

02 =ax

0b ,0 =≠a

0c ,0 =≠a

0c 0,b ,0 ==≠a

a

cx

−±=

0)(02 =+→=+ baxxbxax

0=x

−=

=

a

bx

xsolucionesDos

2

1 0:

SIGUIENTE


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Resolución de ecuaciones de segundo grado. CompletasCASO 1: 04b 0 22 >−=∆=++ accbxax

a

acbbx

2

42 −±−=

0652 =++ xxa) 6c 5b 1 ===a

−=−−

−=+−

=±−=±−=

=−±−=⋅

⋅⋅−±−=

32

15

22

15

2

15

2

15

2

24255

12

61455 2

x

Las soluciones son x = −2 y x = −3.

SIGUIENTE


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Resolución de ecuaciones de segundo gradoCASO 1:

a

acbbx

2

42 −±−=

0962 =+− xxb) 9c 6-b 1 ===a

=−

=+

=±=±=

=−±=⋅

⋅⋅−−±−−=

32

06

32

06

2

06

2

06

2

36366

12

914)6()6( 2

x

La solución es doble: x = 3.

04b 0 22 =−=∆=++ accbxax

SIGUIENTE


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Resolución de ecuaciones de segundo gradoCASO 1:

a

acbbx

2

42 −±−=

0232 2 =−+− xxc) 2−c 3b 2 ==−=a

No existe ninguna solución.

04b 0 22 <−=∆=++ accbxax

473

41693

)2(2

)2()2(433 2

−−±−=

=−

−±−=−⋅

−⋅−⋅−±−=x

SIGUIENTE


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Resolución de ecuaciones de segundo grado. IncompletasCASO 2: 02 =+ cax

044 2 =−xa)Despejamos x

44 2 =x

14

42 ==x 12 =x 11 ±=±=x

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Resolución de ecuaciones de segundo grado. IncompletasCASO 2:

044 2 =−xa)Despejamos x

44 2 =x

14

42 ==x 12 =x 11 ±=±=x

0105 2 =+xb)Despejamos x

105 2 −=x

25

102 −=−=x 22 −=x 2−±=x

No hay solución

02 =+ cax

SIGUIENTE


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Resolución de ecuaciones de segundo grado. IncompletasCASO 3: 02 =+ bxax

a) 036 2 =− xxFactor común

0)12(3 =−xx

0)12(3 =−xx

==−

==

2

1 x 012

0 x 03

x

x

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Resolución de ecuaciones de segundo grado. IncompletasCASO 3:

a) 036 2 =− xxFactor común

0)12(3 =−xx

0)12(3 =−xx

==−

==

2

1 x 012

0 x 03

x

x

b) 0102 2 =+ xxFactor común

0)5(2 =+xx

0)5(2 =+xx

02 =+ bxax

−==+==

5 x 05

0 x 02

x

x


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Ecuaciones bicuadradasUna ecuación bicuadrada es una ecuación de grado 4 sin términos de grado 3 ni de grado 1.

024 =++ cbxaxa, b y c son números reales y a es distinto de 0.

SIGUIENTE


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Ecuaciones bicuadradasUna ecuación bicuadrada es una ecuación de grado 4 sin términos de grado 3 ni de grado 1.

024 =++ cbxaxa, b y c son números reales y a es distinto de 0.

Ejemplo:

03613 24 =+− xx

z

hacemos

=2 x

cambio el

03613 24 =+− xx 036132 =+− zz

===±=⋅⋅−±= 4

92

5132

361413132

12

zzz

4 y x9 x:tenemos , xComo 222 === z

=−=→±=→= 3

39x92

x2

x1 x

=−=→±=→= 224x4

2

x4

x3x


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Ecuaciones con fracciones algebraicas

122

=+−

xx

x

2

2

2

)2(212

2 −−=

−−+→=+

− x

x

x

xxxx

x

x

2)2(22

2

2

)2(2 −=−+→−−=

−−+

xxxxx

x

x

xxx

02422422)2(2 22 =+−→−=−+→−=−+ xxxxxxxxxx

==

=±=−±=1

1

4

04

4

16164

2

1

x

xx

simplificamos

operamos

Resolvemos la ecuación de 2º grado

2)1 ,2.(.. −=−→ xxmcmHallamos el mcm de los demnominadores

SIGUIENTE


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Ecuaciones del tipo 0...)()( =⋅−⋅− bxax

0)6)(2)(1( 2 =+−−− xxxx

0)1( =−x

0)2( =−x

0)6( 2 =+− xx

11 =x

22 =x

=−=

=±=+±=3

2

2

51

2

2411

4

3

x

xx

3. y x2 x,2 x,1 x 4321 =−===

Igualamos a cero cada factor:

Las soluciones son:


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Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común:

Sistemas de ecuaciones lineales

Forman un sistema de ecuaciones lineales.

=+=+

''' cybxa

cbyax

Una solución del sistema es todo par de números que verifican las dos ecuaciones

a la vez.

Resolver un sistema es encontrar una solución.

SIGUIENTE


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Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican, atendiendo a su número de soluciones, en:

Sistemas de ecuaciones lineales

• Compatible determinado: el sistema tiene una solución única.

• Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones.

• Incompatible: el sistema no tiene solución.

SIGUIENTE


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Para resolver un sistema por el método de sustitución despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos su valor en la otra.

Métodos de resolución de sistemas

Para resolver un sistema por el método de igualación despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos sus valores.

Para resolver un sistema por el método de reducción buscamos otro sistema equivalente, en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales o de signo opuesto.

Sustitución

Igualación

Reducción

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Para resolver un sistema por el método de sustitución despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos su valor en la otra.

Métodos de resolución de sistemas. Sustitución

Despejamos una incógnita en una ecuación

Sustituimos en la otra ecuación

92)3( =++ yy

Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta

3-93y , 923 ==++ yy

23

6y ==

Calculamos la otra incógnita en una de las dos ecuaciones

5 x, 32 ==−x

Solución: x = 5 e y = 2

SIGUIENTE

x− y = 3x2y = 9 } x = 3 y

x2y = 9 }


ANTERIOR SALIR

Para resolver un sistema por el método de igualación despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos sus valores.

Métodos de resolución de sistemas. Igualación

=+=−

92

3

yx

yx Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones

−=+=yx

yx

29

3

Igualamos las incógnitasyy 293 −=+

Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta

23

6 y, 6 3y , 392 ===−=+ yy

Calculamos la otra incógnita en una de las dos ecuaciones5 x, 23 =+=x

Solución: x = 5 e y = 2 SIGUIENTE


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Para resolver un sistema por el método de reducción buscamos otro sistema equivalente, en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales o de signo opuesto.

Métodos de resolución de sistemas. Reducción

=+=−

923

3

yx

yxIgualamos los coeficientes de una de las incógnitas

=+=−⋅923

)3(3

yx

yx

=+=−

923

933

yx

yxRestamos o sumamos las ecuaciones para eliminar una incógnita

05y-

923

933

=

=+=−

−yx

yx

Resolvemos

05

0 =−

=yCalculamos la otra incógnita en una de las dos ecuaciones

3 x, 30 ==−x

Solución: x = 3 e y = 0


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Una inecuación es una desigualdad algebraica.

Se compone de dos expresiones algebraicas separadas por los signos:

Inecuaciones

≥≤

SIGUIENTE


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Inecuaciones con una incógnita

1653x-2x −≥+ x

7705322602653x-2x −≥→−+−−≥→−≥+ xxxxx

07-7x ecuación la =resolvemos 1x =

( ) ( ) ( ) -25 206503020x ≥→−≥+−→=

Es solución

( ) ( ) ( ) 103 226523222x ≥→−≥+−→=

No es solución

La solución es: ( ] 1 ,∞−SIGUIENTE


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Inecuaciones con dos incógnitas

532x +≥+ y

y2-2x 532532x ≥→≥−+→+≥+ yxy

( ) 53 503020 y , 0x ≥→+≥+→==

No es solución

No es solución

( ) 57 503220 y , 2x ≥→+≥+→==

La solución es la porción del plano que contiene el punto x = 2, y = 0.

)0,2(P

yx =− 22

x

y

y2-2x ecuación: la =mosRepresenta

SIGUIENTE


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Sistemas de inecuaciones

<−<+

352

23x x

1−<x

4<xLa solución del sistema es:

4x 82x 532x 35−2x−1 x 23

<→<→+<→<<→<+x

Representamos los dos intervalos y elegimos el intervalo que verifica las dos inecuaciones.

( ) 1− ,∞−

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

La solución es la porción del plano que contiene el punto x = 0, y = −1.

Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas

≥−≤+

0

0yx

yx

−x y 0y x ≤→≤+

Representamos

y x 0y− x ≥→≥

xy =xy −=

01− 0101 y , 0x ≥→≤+→−==

01 0)1(01 y , 0x ≥→≥−−→−==

)1,0( −P


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Enlaces de interés

Pensamiento matemático

IR A ESTA WEB

Matemáticas interactivas

IR A ESTA WEB

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/indexactiv.htm

http://www.matematicasdivertidas.com/












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Actividad: El cubo del binomio

Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad5d.htm

En la sección chilena de la Editorial Santillana, en esta actividad aparece un vídeo donde se muestra cómo se resolvió equivocadamente un sistema de ecuaciones usando cambio de variables.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

INICIO

http://www.santillana.cl/mat2/unidad5d.htm





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