ing.sistemas

7/16/2019 Ing.sistemas

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Instituto Tecnológico Superior de

Coatzacoalcos

Trabajo de investigación

Teorema del límite central

Ingeniería Industrial

Estadística Inferencial

Unidad I

1.3. Teorema del límite central

Ambar Bahena uig

13!"1"#!

Ing. $aría de los %ngeles %lvare& Antonio

1



1.2. Introducción al muestreo y tipos de muestreo

Introducción

¿Qué es el teorema del límite central?

El teorema del límite central estudia el com'ortamiento de la suma de variables

aleatorias( cuando crece el n)mero de sumandos( asegurando su convergencia

hacia una distribución normal en condiciones mu* generales. Este teorema( del

cual e+isten diferentes versiones ,ue se han ido desarrollando a lo largo de la

historia( tiene una gran a'licación en inferencia estadística( 'ues muchos

'ar-metros de diferentes distribuciones de 'robabilidad( como la media( 'ueden

e+'resarse en función de una suma de variables.

Este teorema nos dice ,ue si una muestra es lo bastante grande generalmente

cuando el tama/o muestral n0 su'era los 3!0( sea cual sea la distribución de la

media muestral( seguir- a'ro+imadamente una distribución normal. Es decir( dada

cual,uier variable aleatoria( si e+traemos muestras de tama/o n n3!0 *

calculamos los 'romedios mu2strales( dichos 'romedios seguir-n una distribución

normal. Adem-s( la media ser- la misma ,ue la de la variable de inter2s( * la

desviación est-ndar de la media muestral ser- a'ro+imadamente el error est-ndar.

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esarrollo

or un lado( 'ro'orciona a la estadística un resultado crucial 'ara abordar el

estudio de la distribución asintótica de muchos ti'os de variables aleatorias. omo

se ver- en 'ró+imos ca'ítulos( va a resultar b-sico en la construcción decontrastes de hi'ótesis * de intervalos de confian&a( dos herramientas esenciales

en estadística a'licada.

Adem-s( el T4 'ro'orciona una e+'licación teórica fundamentada a un fenómeno

habitual en e+'erimentos reales5 las variables estudiadas 'resentan muchas veces

una distribución em'írica a'ro+imadamente 6ormal.

El T4 forma 'arte de un conjunto de 'ro'iedades relativas a las convergenciasde variables aleatorias. En este tema se estudia sólo un ti'o de convergencia(

la convergencia en le*( *a ,ue es necesaria 'ara entender el enunciado del T4.

7e descarta( 'ues( en este documento el estudio de los otros ti'os de

convergencias en 'robabilidad( casi segura( etc.0 * el estudio de las le*es de los

grandes n)meros.

osiblemente el lector con 'oca formación en an-lisis matem-tico hallar- alguna

dificultad en la 'rimera lectura de la definición de convergencia en le* * en el

enunciado del T4. 7i es este el caso( los ejem'los incluidos han de a*udar en su

com'rensión. onsideramos al T4 un resultado b-sico con el ,ue ha* ,ue

familiari&arse( *a ,ue se a'licar- re'etidamente en los 'ró+imos temas.

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El Teorema entral del 4ímite dice ,ue si tenemos un gru'o numeroso de

variables inde'endientes * todas ellas siguen el mismo modelo de distribución

cual,uiera ,ue 2ste sea0( la suma de ellas se distribu*e seg)n una distribución

normal.

Ejem'lo5 la variable 8tirar una moneda al aire8 sigue la distribución de Bernouilli. 7i

lan&amos la moneda al aire 9! veces( la suma de estas 9! variables cada una

inde'endiente entre si0 se distribu*e seg)n una distribución normal.

Este teorema se a'lica tanto a suma de variables discretas como de variables

continuas.

4os 'ar-metros de la distribución normal son5

$edia5 n : m media de la variable individual multi'licada 'or el n)mero de

variables inde'endientes0

;arian&a5 n : s# varian&a de la variable individual multi'licada 'or el n)mero de

variables individuales0

;eamos un ejem'lo5

7e lan&a una moneda al aire 1!! veces( si sale cara le damos el valor 1 * si sale

cru& el valor !. ada lan&amiento es una variable inde'endiente ,ue se distribu*e

seg)n el modelo de Bernouilli( con media !(9 * varian&a !(#9.

alcular la 'robabilidad de ,ue en estos 1!! lan&amientos salgan m-s de <!

caras.

4a variable suma de estas 1!! variables inde'endientes se distribu*e( 'or tanto(

seg)n una distribución normal.

$edia = 1!! : !(9 = 9!

;arian&a = 1!! : !(#9 = #9

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ara ver la 'robabilidad de ,ue salgan m-s de <! caras calculamos la variable

normal ti'ificada e,uivalente5

:0 9 es la rai& cuadrada de #9( o sea la desviación tí'ica de esta distribución

or lo tanto5

> <!0 = ? #(!0 = 1@ ? #(!0 = 1 @ !(CC# = !(!##"

Es decir( la 'robabilidad de ,ue al tirar 1!! veces la moneda salgan m-s de <!

caras es tan sólo del #(#"D.

5



!"emplo

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Conclusión

En conclusión el teorema del límite central es uno de los resultados fundamentales

de la estadística. 4a im'ortancia del teorema central del límite radica en ,ue

mediante un conjunto de teoremas( se desvela las ra&ones 'or las cuales( enmuchos cam'os de a'licación( se encuentran en todo momento distribuciones

normales o casi.

ada una 'oblación de media * desviación tí'ica( no necesariamente normal( la

distribución de las medias de las muestras de tama/o n5

Tiene la misma media ,ue la 'oblación

7u desviación tí'ica es n *( 'or consiguiente( disminu*e al aumentar n

uando n F3! es 'r-cticamente normal

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#e$erencias

htt'5GGHHH.ub.eduGstatGru'sInnovacioG7tatmediaGdemoGTemasGa'itulo9GB!9m1

t1.htm

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htt'5GGHHH.buenastareas.comGensa*osGTeorema@el@4imite@entralG#911KK!.html

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