Ingredientes: 125 gr de mantequilla 275 gr de azúcar 2 huevos 280 gr de harina de repostería 15 gr de cacao en polvo 1 cucharadita de levadura química (polvo para hornear) 1 cucharadita de bicarbonato sódico 1/4 cucharadita de sal 240 gr de buttermilk o suero de leche 2 cucharadas de colorante rojo 1 cucharadita de vinagre blanco 1 cucharadita de extracto de vainilla Para el frosting: 360 ml de nata para montar 250 gr de queso crema 250 gr de queso mascarpone 115 gr de azúcar glasé 1 cucharadita de extracto de vainilla

Elaboración de la receta de Red Velvet cake o Tarta de terciopelo rojo:Precalienta el horno a 170ºC. Prepara tres moldes desmoldables de 18 centímetros engrasados y con papel de hornear en la base.Tamiza y reserva en un bol la harina, el cacao en polvo, la levadura química, el bicarbonato y la sal. Mezcla el buttermilk o suero de leche con el colorante rojo, el extracto de vainilla y el vinagre y reserva. Bate la mantequilla con el azúcar hasta que haya blanqueado y consigamos una mezcla esponjosa. Añade los huevos uno a uno (no añadas el siguiente hasta que el anterior se haya incorporado totalmente). Continúa batiendo 1 minuto después de cada huevo. Añade a esta mezcla los ingredientes secos que teníamos reservados en tres veces y los líquidos en dos veces, comenzando y terminando con los secos. Reparte esta masa entre los tres moldes que habíamos preparado y alisa la parte superior de la masa con una espátula. Hornea durante 25-30 minutos o hasta que al insertar un palillo éste salga limpio. Deja enfriar los moldes sobre una rejilla durante unos 15 minutos. Pasado este tiempo, saca los bizcochos de los moldes y déjalos enfriar durante al menos 45 minutos.Cuando estén totalmente fríos, envuélvelos individualmente en papel film y déjalos reposar en la nevera durante la noche. Al día siguiente estarán más asentados el sabor y la textura del bizcocho.Para hacer el frosting, bate los quesos con el azúcar glas y reserva.Monta la nata y mézclala con los quesos batidos con movimientos suaves y envolventes. Déjala en el frigorífico durante al menos dos horas. Para montar la tarta, corta el bizcocho en tres discos con un cuchillo grande para que nos queden bastante igualados. Rellénalo con la crema que tenemos reservada. Después cubre toda la tarta con la crema y decora al gusto. 

Ingredientes para dos moldes de 18 cm de diámetro:

250 gr harina (2 y 1/2cup)

1/2 cucharadita de café de sal

2 cucharadas soperas de cacao puro (yo he puesto Valor)

115 gr mantequilla reblandecida (1/2 cup)

300 gr azúcar blanquilla (1y 1/2 cup)

2 huevos grandes

240 ml suero de leche o buttermilk (1 cup). Como aquí es difícil de encontrar, nos la podemos fabricar nosotros mismos: por 240 ml de leche entera, poner una cucharada de limón, o vinagre blanco. Dejar reposar 15 minutos y veremos como si se cortara, adquiere una textura distinta. Ya hemos fabricado nuestro buttermilk. Este proceso ayuda a dar al pastel una textura mas esponjosa.

1 cucharada de postre de extracto de vainilla

1 cucharada de postre de vinagre blanco

1 cucharada de postre de bicarbonato sódico

2 cucharaditas de colorante en pasta rojo, yo use Wilton. También se puede usar colorante rojo líquido, pero no el que venden en supermercados y se ha de poner 2 cucharadas.

Almíbar:

100 gr azúcar blanquilla

100 gr agua

2 cucharadas de licor (Cointreau, Grand Marnier)

Para el bizcocho:  60 g de mantequilla a temperatura ambiente  150 g de azúcar blanco  1 huevo  10 g de cacao en polvo sin azúcar  1 cucharadita de colorante en pasta rojo (Sugarflair Extra Red) 120 ml de leche  150 g de harina  1/2 cucharadita de sal  1/2 cucharadita de bicarbonato de soda 

1 1/2 cucharaditas de vinagre blanco  1/2 cucharadita de extracto de vainilla  - Para el glaseado de crema de queso:  50 g de mantequilla sin sal, a temperatura ambiente  300 g de icing sugar (o azúcar glass)  125 g de queso cremoso tipo Philadelphia, frío 

Más info: http://www.hogarutil.com/cocina/recetas/postres/201302/cupcakes-terciopelo-rojo-8211-velet-18527.html#ixzz314M61ErS

2 ½ tazas de harina cernida1 cucharadita de polvo para hornear o Royal1 cucharadita de sal2 cucharadas de cocoa sin azúcar55ml de colorante vegetal rojo½ taza de mantequilla1 ½ tazas de azúcar2 huevos1 cucharadita de extracto de vainilla1 taza de leche1 cucharadita de vinagre blanco1 cucharadita de bicarbonato

Pan de platano

 Ingredientess 

 2 Platanos maduros grandes (250 g)  

6 cucharadas (90 ml) de mantequilla    1  cdta. (5 mL) extracto de vainilla 

2 huevos grandes     1-1/3 taza (167 g) tazas de harina para todo uso  

2 / 3 taza (130 g) de azúcar 

 1 / 2 cdta. (2,3 g) bicarbonato de soda 

1 / 4 cdta.  (1,2 g) de levadura en polvo 

1 / 2 cdta.  (3 g) de sal 

1 / 2 taza (70 g) nueces picadas   

55 min. 175ª

Movimiento circular uniforme

Movimiento circular

 

Se define como movimiento circular aquél cuya trayectoria es una circunferencia.

El movimiento circular, llamado también curvilíneo, es otro tipo de movimiento sencillo.

Para obtener el valor del ángulo (θ) en radianes  usamos la fórmula:

 y tenemos el ángulo medido en radianes

Hacer la división del arco sobre radio significa ver cuántas veces entra el radio en el

arco. Como el radio y el arco deben medirse en la misma unidad,  el radián resulta

ser un número sin unidades.

Esto significa que el valor del ángulo en radianes solo me indica cuántas veces

entra el radio en el arco. Por ejemplo, si el ángulo θ mide 3 radianes, eso significa

que el radio entra 3 veces en el arco abarcado por ese ángulo.

Su quisiéramos calcular o conocer al valor del arco, hacemos:

 

¿Cuántas veces

entra el radio en

el arco

marcado?

El movimiento

circular del

piñón se

transforma en

movimiento

lineal en la

cremallera.

¿A cuántos grados equivale un radián?

Pero el valor de un ángulo en radianes se puede expresar (convertir) en grados. En

una circunferencia entera (360º) el arco entero es el perímetro, que es igual a 2 Pi por radio  .

Así, a partir de la fórmula  

  es que 360° equivalen a:

Un ángulo de un radián equivale a un ángulo de 57,3º.

Para usar la calculadora en radianes hay que ponerla en "RAD" 

Periodo y frecuencia

La principal característica del movimiento circular uniforme es que en cada vuelta o giro completo de 360°,

equivalente a un ciclo, se puede establecer un punto fijo como inicio y fin del ciclo.

En física, los ciclos son también llamados revoluciones para un determinado tiempo.

El periodo (T) de un movimiento circular es el tiempo que tarda una partícula o un cuerpo en realizar una

vuelta completa, revolución o ciclo completo.

Por ejemplo, el periodo de rotación de la tierra es 24 horas. El periodo de rotación de la aguja grande del

reloj es de 1 hora. La unidad utilizada para el periodo es el segundo o, para casos mayores, unidades

mayores.

Conocida la frecuencia (en ciclos o revoluciones por segundo) se puede calcular el periodo (T) mediante

la fórmula:

Se denomina frecuencia (F) de un movimiento circular al número de revoluciones, vueltas o ciclos

completos durante la unidad de tiempo. La unidad utilizada para cuantificar (medir) la frecuencia de un

movimiento es el hertz (Hz), que indica el número de revoluciones o ciclos por cada segundo.

Para su cálculo, usamos la fórmula

o hertz:

 

(En ocasiones se usa, en vez de hertz, seg −1  o s −1 ). Nótese que la frecuencia (F) es la inversa del

periodo (T).

Una vez situado el origen O describimos el movimiento circular mediante las

siguientes magnitudes angulares.

 

Posición angular (θ)

Podemos imaginar, como ejemplo, que se tiene una piedra amarrada a una cuerda

y la movemos en círculos de radio r.  En un instante de tiempo t el móvil (en nuestro

caso la piedra) se encuentra en el punto P. Su posición angular (lo que la piedra ha

recorrido en la circunferencia) viene dada por el ángulo θ, formado por  el punto P,

el centro de la circunferencia C y el origen O (desde donde empezó a girar la

piedra).

 

La velocidad angular (ω)

Cuando un objeto se mueve en una circunferencia, llevará una velocidad, ya que

recorre un espacio, pero también recorre un ángulo.

Para tener una idea de la rapidez con que algo se está moviendo con movimiento

circular, se ha definido la velocidad angular (ω) como el número de vueltas que da el cuerpo por unidad

de tiempo.

 

Si un cuerpo tiene gran velocidad angular quiere decir que da muchas vueltas por segundo.

De manera sencilla: en el movimiento circular la velocidad angular está dada por la cantidad de vueltas

que un cuerpo da por segundo.

Otra manera de decir lo mismo sería: en el movimiento circular la velocidad angular está dada por el

ángulo recorrido (θ) dividido por unidad de tiempo. El resultado está en grados por segundo o en rad por

segundo.

ω = velocidad angular en rad/seg.

θ = desplazamiento angular en rad.

t = tiempo en segundos en que se efectuó el desplazamiento angular.

La velocidad angular también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta

completa o periodo (T):

Imaginemos el

punto rojo (P)

como una

piedra que gira

amarrada al

punto C.

Como   entonces   

Aquí debemos apuntar que una misma velocidad angular se puede expresar de

varias maneras diferentes.

Por ejemplo, para las lavadoras automáticas o para los motores de los autos se

usan lasrevoluciones por minuto (rpm). También a veces se usan las rps

(revoluciones por segundo).

También se usan los grados por segundo y los radianes por segundo.

Es decir, hay muchas unidades diferentes de velocidad angular. Todas se usan y

hay que saber pasar de una a otra, lo que se hace aplicando una regla de 3 simple.

Por ejemplo, pasar una velocidad de 60 rpm a varias unidades diferentes:

La más importante de todas las unidades de velocidad angular es radianes por segundo. Esta unidad es

la que se usa en los problemas.

Nota importante:

Según lo anterior es correcto, entonces, decir que la velocidad angular es

, pero resulta que el radián es sólo un número comparativo, por lo mismo que la

palabra radián suele no ponerse y en la práctica la verdadera unidad es  , que también puede

ponerse como  , e incluso como  . 

En efecto, muchas veces la velocidad angular se expresa en segundos elevado a menos uno ( ) y

para quienes no lo saben resulta incomprensible.

 

La velocidad tangencial (v)

Aparte de la velocidad angular, también es posible definir la velocidad lineal de un móvil que se

desplaza en círculo.

Por ejemplo, imaginemos un disco que gira. Sobre el borde del disco hay un punto que da vueltas con

movimiento circular uniforme.

Trasmisión de

un movimiento

circular.

Ese punto tiene siempre una velocidad lineal que es tangente a la trayectoria. Esa velocidad se

llama velocidad tangencial.

Para calcular la velocidad tangencial hacemos: espacio recorrido sobre la circunferencia (o arco recorrido)

dividido por el tiempo empleado, que expresamos con la fórmula:

 pero como    entonces   que se lee velocidad

tangencial es igual a velocidad angular multiplicada por el radio.

Como la velocidad angular (ω) también se puede calcular en función del periodo (T) con la

fórmula   y la velocidad tangencial siempre está en función del radio, entonces la

fórmula   se convierte en   que se lee: la velocidad tangencial es igual a 2 pi

multiplicado por el radio (r) y dividido por el periodo (T).

Ver: PSU: Física; Pregunta 08_2005(2)

Además, como ω (velocidad angular) se expresa en   y el radio se expresa en metros, las unidades

de la velocidad tangencial serán metros por segundo (m/seg).

 

La aceleración en los movimientos curvilíneos

En los movimientos curvilíneos o circulares la dirección cambia a cada instante. Y

debemos recordar que la velocidad considerada como vectorv podrá variar (acelerar

o decelerar) cuando varíe sólo su dirección, sólo su módulo o, en el caso más

general, cuando varíen ambos.

 

La aceleración asociada a los cambios en dirección

En razón de la aseveración anterior, y desde un punto de vista sectorial (distancia),

un movimiento circular uniforme es también un movimiento acelerado, aun

cuando el móvil recorra la trayectoria a ritmo constante.

La dirección del vector velocidad, que es tangente a la trayectoria, va cambiando a

lo largo del movimiento, y esta variación de v que afecta sólo a su dirección da lugar

a una aceleración, llamada aceleración centrípeta.

 

Aceleración centrípeta

Las ruedas se

mueven con

movimiento

circular.

Cuando se estudió la aceleración en el movimiento rectilíneo, dijimos que ella no era más que

el cambio constante que experimentaba la velocidad por unidad de tiempo. En este caso, la velocidad

cambiaba únicamente en valor numérico (su módulo o rapidez), no así en dirección.

Ahora bien, cuando el móvil o la partícula realiza un movimiento circular uniforme, es lógico pensar que

en cada punto el valor numérico de la velocidad (su módulo) es el mismo, en cambio es fácil darse cuenta

de que la dirección del vector velocidad va cambiando a cada instante.

La variación de dirección del vector lineal origina una aceleración que llamaremos aceleración

centrípeta. Esta aceleración tiene la dirección del radio y apunta siempre hacia el

centro de la circunferencia.

Como deberíamos saber, cuando hay un cambio en alguno de los componentes del

vector velocidad tiene que haber unaaceleración. En el caso del movimiento

circular esa aceleración se llama centrípeta, y lo que la provoca es el cambio de

dirección del vector velocidad angular.

Veamos el dibujo de la derecha:

El vector velocidad tangencial cambia de dirección y eso provoca la aparición de

una aceleración que se llama aceleración centrípeta, que apunta siempre hacia el

centro.

La aceleración centrípeta se calcula por cualquiera de las siguientes dos

maneras:

 

La aceleración asociada a los cambios en su módulo (rapidez)

Ya sabemos que un movimiento circular, aunque sea uniforme, posee la aceleración centrípeta debida a

los cambios de dirección que experimenta su vector velocidad. Ahora bien, si además la velocidad del

móvil varía en su magnitud (módulo) diremos que además posee aceleración angular.

Resumiendo: si un móvil viaja en círculo con velocidad variable, su aceleración se puede dividir en dos

componentes: una aceleración de la parte radial (la aceleración centrípeta que cambia la dirección del

vector velocidad) y una aceleración angular que cambia la magnitud del vector velocidad, además de una

aceleración tangencial si consideramos solo su componente lineal.  (Ver:Rapidez y velocidad).

Como corolario, podemos afirmar que un movimiento circular uniforme posee solo aceleración

centrípeta y que un movimiento circular variado posee aceleración centrípeta y,

además, aceleraciones angular y tangencial.

 

Aceleración angular

Tal como el movimiento lineal o rectilíneo, el movimiento circular puede ser uniforme o acelerado. La

rapidez de rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante.

Aceleración

centrípeta.

La aceleración angular (α) se define como la variación de la velocidad angular con respecto al tiempo y

está dada por:

donde:

α = aceleración angular final en rad/ s2

ωf = velocidad angular final en rad/s

ωi = velocidad angular inicial en rad/s

t = tiempo transcurrido en seg

Una forma más útil de la ecuación anterior es:

ωf = ωi + α t

 

Aceleración tangencial

Imaginemos de nuevo un disco que gira. Sobre el borde del disco hay un punto que da vueltas

con movimiento circular acelerado.

Ese punto tiene siempre una velocidad variada que es tangente a la trayectoria. Esa variación de

velocidad se llama aceleración tangencial.

Es la aceleración que representa un cambio en la velocidad lineal, y se expresa con la fórmula

Donde

α = valor de la aceleración angular en rad/s2

r = radio de la circunferencia en metros (m)

Entonces, la aceleración tangencial es igual al producto de la aceleración angular por el radio.

 

Otras fórmulas usadas en el movimiento circular

Vimos que la velocidad angular (ω) es igual al ángulo recorrido dividido por el tiempo empleado. Cuando

el tiempo empleado sea justo un período (T), el ángulo recorrido será 2 pi (igual a una vuelta).

Entonces podemos calcular la velocidad angular (ω) como:

Pero como  , esta misma fórmula se puede poner como:

 

Ejercicios sobre movimiento circular uniforme

Ejercicio 1)

Un móvil con trayectoria circular recorrió 820° ¿Cuántos radianes son?

Desarrollo

Sabemos que 1 rad = 57,3°

Entonces 

Ejercicio 2)

Un tractor tiene una rueda delantera de 30 cm de radio, mientras que el radio de la

trasera es de 1 m. ¿Cuántas vueltas habrá dado la rueda trasera cuando la

delantera ha completado 15 vueltas?

Desarrollo:

En este ejercicio la longitud (distancia, espacio) que recorre cada rueda en una

vuelta corresponde al perímetro de cada una (perímetro del círculo), cuya fórmula

es  , entonces:

Entonces, si en una vuelta la rueda delantera recorre 1,884 metro, en 15 vueltas

recorrerá: 15 • 1,884 m = 28,26 m

¿Cuantas veces la rueda trasera ha tenido que girar (dar una vuelta) para recorrer esa distancia de 28,26

m?

Dividimos  esa distancia por la distancia recorrida en una vuelta por la rueda trasera:

28,26 m : 6,28 m = 4,5 vueltas.

Como en un

tractor, la rueda

delantera es

más chica.

Por lo tanto, la rueda trasera ha tenido que dar cuatro vueltas y media para recorrer la misma distancia

que la delantera ha recorrido en 15 vueltas.

Ejercicios sobre el movimiento circular variado (acelerado)

Ejercicio 1)

Un automóvil, cuyo velocímetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perímetro de una pista circular

en un minuto. Determinar el radio de la misma. Si el automóvil tiene una aceleración en algún instante,

determinar su módulo, dirección y sentido.

Si la pista es circular, la velocidad que tiene el auto es la velocidad tangencial. Si da una vuelta a la pista

en un minuto, significa que su periodo (T) es de un minuto.

Ahora, como   , entonces: 

 velocidad  angular .

Por otro lado, la velocidad tangencial es 20 m/s (72 km/h), reemplazando en la fórmula:

Tenemos

Calculamos r:

R = 192 m Radio de la pista

Ahora, aunque su velocidad  (rapidez) sea constante, igual tiene aceleración centrípeta, cuyo módulo es

Aceleración centrípeta, dirigida hacia el centro de la pista.

 

Ejercicio 2)

Un automóvil recorre la circunferencia de 50 cm  de radio con una frecuencia F de 10 hz.

Determinar:

a) el periodo.

b) la velocidad angular.

c) su aceleración.

Una frecuencia de 50 hz es una frecuencia de 50 1/s. Para su desarrollo, sólo debemos aplicar formulas.

Sabemos que

,  entonces

, velocidad angular   (039)

El período T es

 s (Período)

Conocemos la velocidad angular y el radio, podemos calcular la velocidad tangencial:

, velocidad tangencial.

Su aceleración va a ser la aceleración centrípeta, que siempre esta apuntando hacia el centro de la

circunferencia. El módulo de esta aceleración se puede calcular por cualquiera de las siguientes dos

fórmulas:

Usando la segunda:

Ejercicio 3)

¿Cuál es la aceleración que experimenta un niño que viaja en el borde de un carrusel que tiene 2 m de

radio y que da una vuelta cada 8 segundos?

Si el niño da 1 vuelta cada 8 segundos su velocidad angular va a ser:

Para calcular la aceleración centrípeta tenemos

Entonces:

Es la aceleración centrípeta del niño.

 

Ejercicio 4)

Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para que los puntos situados a

50 cm de su eje estén sometidos a una aceleración que sea 500 veces la de la gravedad.

Veamos los datos:

Necesitamos que  la aceleración centrípeta sea igual a 500 g:

La velocidad angular para la cual se cumpla esto va a ser:

Ahora calculamos la frecuencia (F) a partir de

 

RESORTE

Cuando un objeto queda sujeto a una fuerza elástica su movimiento recibe el nombre de movimiento armónico simple.Una de las características de este movimiento es que se comporta de forma periódica. Esto ocurre porque la partícula despreciando el rozamiento vuelve a una cierta posición a intervalos de tiempo regulares. Este intervalo de tiempo se denomina “período”.Por ejemplo, nos daremos cuenta que el objeto pasará por el mismo punto de observación varias veces a intervalos regulares (el período de tiempo).El período  se relaciona con la masa y la constante elástica. Se verifica que el período viene dado por la expresión:

Donde m es la masa de la partícula. Entonces tan fácil como es determinar la masa de una partícula se puede determinar k a partir del período.Otro tema interesante al respecto del movimiento es que, debido a la fuerza es elástica, la partícula alcanza una cierta distancia máxima del origen y luego vuelve. Este desplazamiento máximo es conocido como amplitud.Se nota también que en los puntos de mayor velocidad, el desplazamiento es pequeño y donde el desplazamiento es grande, la velocidad es pequeña. Por ejemplo en el origen (desplazamiento igual a cero x = 0), la velocidad es máxima.Cuando el desplazamiento es máximo (alcanza su amplitud), la velocidad es nula (la partícula está instantáneamente en reposo).Se puede verificar que en el movimiento armónico simple, vale el siguiente resultado:

O sea, la masa por la velocidad al cuadrado, cuando agregado al producto de k multiplicado por 2, es igual en cualquier punto donde el resorte en física estuviese.Veremos que la constante es igual a dos veces el valor de la energía en el movimiento armónico simple. Esto significa:Constante = 2EnergíaFinalmente utilizando la Ley de Newton, podemos relacionar, para cada desplazamiento x, el valor de la aceleración. Se tiene entonces que:

Oscilador Masa-ResorteUn oscilador masa-resorte ideal es un modelo físico compuesto por un resorte sin masa que puede ser deformado sin perder sus propiedades elásticas llamado Resorte de Hooke, es un cuerpo de masa m que no se deforme bajo la acción de cualquier fuerza.Este sistema es físicamente imposible ya que un resorte por más liviano que sea, jamás será considerado un cuerpo sin masa y luego de determinada deformación perderá su elasticidad. En tanto un cuerpo de cualquier sustancia conocida, cuando sufre la aplicación de una fuerza es deformado, inclusive que sea de medidas despreciables.Inclusive así para las condiciones que deseamos calcular este es un sistema muy eficiente. Y bajo determinadas condiciones es posible obtener con mucha proximidad, un oscilador masa-resorte.Entonces podemos describir sistemas masa-resorte básicos que son:Oscilador masa-resorte horizontalEstá compuesto por un resorte de constante elástica k de masa despreciable y un bloque de masa m, puestos sobre una superficie sin rozamiento conforme vemos en la figura debajo.

Como el resorte no está deformado, se dice que el bloque se encuentra en posición de equilibrio.

Al modificar la posición del bloque para un punto en x, este sufrirá la acción de una fuerza restauradora, regida por la Ley de Hooke, o sea:

Como la superficie no tiene rozamiento, esta es la única fuerza que actúa sobre el bloque y enseguida es la fuerza resultante, caracterizando un MHS.Siendo así, el período de oscilación del sistema del resorte en física está dado por:

Al considerar la superficie sin rozamiento el sistema del resorte en física pasará a oscilar con amplitud igual a la posición en que el bloque fuere abandonado en x, de forma que:

Lee todo en: Resorte en Física | La guía de Física http://fisica.laguia2000.com/dinamica-clasica/leyes-de-newton/resorte-en-fisica#ixzz314ONkxWN

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

 

Ya vimos que el movimiento rectilíneo puede expresarse o presentarse como

Movimiento rectilíneo uniforme,

o como

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Este último puede, a su vez, presentarse como de caída libre   o de   subida o tiro vertical .

El movimiento rectilíneo uniformemente aceleradoes un tipo de movimiento frecuente en la naturaleza.

Una bola que rueda por un plano inclinado o una piedra que cae en el vacío desde

lo alto de un edificio son cuerpos que se mueven ganando velocidad con el tiempo

de un modo aproximadamente uniforme; es decir, con una aceleración constante.

Este es el significado del movimiento uniformemente acelerado, el cual “en

tiempos iguales, adquiere iguales incrementos de rapidez”.

En este tipo de movimiento sobre la partícula u objeto actúa una fuerza que puede

ser externa o interna.

En este movimiento la velocidad es variable, nunca permanece constante; lo que

si es constante es la aceleración.

Entenderemos como aceleración la variación de la velocidad con respecto al

tiempo. Pudiendo ser este cambio en la magnitud(rapidez), en la dirección o en

ambos.

Las variables que entran en juego (con sus respectivas unidades de medida) al

estudiar este tipo de movimiento son:

Velocidad inicial           Vo (m/s)

Velocidad final              Vf  (m/s)

Aceleración                     a  (m/s2)

Tiempo                             t   (s)

Distancia                         d  (m)

 

Para efectuar  cálculos que permitan resolver problemas usaremos las siguientes fórmulas:

Consejos o datos para resolver problemas:

La primera condición será obtener los valores numéricos de tres de las cinco variables. Definir la

ecuación que refleje esas tres variables. Despejar y resolver numéricamente la variable desconocida.

Tener cuidado con que en algunas ocasiones un dato puede venir disfrazado; por ejemplo:

Un móvil puede

ser acelerado.

"un móvil que parte del reposo.....", significa que su velocidad inicial es Vo = 0 ; "en una prueba de

frenado...", significa que su velocidad final es Vf = 0.

Veamos un problema como ejemplo

En dirección hacia el sur, un tren viaja inicialmente a 16m/s; si recibe una

aceleración constante de 2 m/s2. ¿Qué tan lejos llegará al cabo de 20 s.? ¿Cuál será

su velocidad final en el mismo tiempo?

Veamos los datos que tenemos:

Conocemos tres de las cinco variables, entonces, apliquemos  las  fórmulas:

Averigüemos primero la distancia que recorrerá durante los 20 segundos:

Conozcamos ahora la velocidad final del tren, transcurridos los 20 segundos:

Respuestas:

Si nuestro tren, que viaja a 16 m/s, es acelerado a 2 m/s recorrerá 720 metros durante 20 segundos

y alcanzará una velocidad de 56 m/s.

 

Movimiento rectilíneo uniformemente retardado

En los movimientos uniformemente decelerados o retardados la velocidad disminuye con el tiempo a

ritmo constante. Están, pues, dotados de una aceleración que aunque negativa es constante. De ahí que

todas las fórmulas usadas para los movimientos uniformemente acelerados sirvan para describir los

movimientos uniformemente retardados, considerando sólo que su signo es negativo.

Por lo tanto, para efectuar cálculos que permitan resolver problemas que involucren aceleración negativa

o deceleración, usaremos las siguientes fórmulas:

TRIANGULOS

Elementos del triángulo[editar]

Los elementos principales de un triángulo son: vértices, lados y ángulos.

Triángulos — Resumen de convenciones de designación

Vértices

Lados (como segmento)

Lados (como longitud)

Ángulos

Triángulo rectángulo[editar]

Un triángulo rectángulo y sus elementos.

Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90° (grados sexagesimales) ó π/2 radianes.

(Clasificación por amplitud de sus ángulos)

Triángulos

Rectángulos

OblicuángulosObtusángulos

Acutángulos

Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.

Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.

Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos.

Triángulo utilizado para describir las propiedades.

Dado un triángulo rectángulo ABC (véase la imagen), con ángulo recto en C, donde:

c es la hipotenusa,

h es la altura relativa a la hipotenusa,

p y q son los segmentos determinados en la hipotenusa,

se cumplen las siguientes propiedades:

El cuadrado de un cateto es igual al producto de los catetos, la hipotenusa por laproyección ortogonal de este mismo cateto sobre la hipotenusa:

comprobación

el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

despejando

El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa:

comprobación

el triángulo CHB es semejante al triángulo CHA, por tanto:

despejando:

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras).

comprobación

del teorema anterior:

sumando ambas ecuaciones:

luego

pero p+q=c

finalmente

El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura:

comprobación

existen dos comprobaciones:

1) a partir de las superficies o áreas:

y

eso quiere decir que:

que al eliminar los doses:

2) el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto:

despejando:

El inverso del cuadrado de la altura de la hipotenusa es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos:

comprobación

por el teorema de Pitágoras:

dividimos entre :

pero a.b=c.h

eliminando las c y convirtiendo en 2 la fracción de la derecha:

simplificando

Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

En un triángulo rectángulo:

La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

, también se cumple:

La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

, es decir:

Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calculase como:

; ;

donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, hb y hc son las alturas sobre los respectivos lados.

La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:

donde es la medida de la hipotenusa.

Teorema de la altura[editar]

En matemáticas, el teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:

Demostración[editar]

La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que

Figura 1: Teorema de la altura.

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por se tiene:

por lo que

(1)

Otra forma del mismo teorema[editar]

La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación (1) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.

;

(h2)

lo que al simplificar en el último término de la ecuación (h2) la raíz con los cuadrados nos conduce a :

(h3)

Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.

La ecuación (h3) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema :

Teorema del cateto[editar]

Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

El teorema del cateto establece lo siguiente:

Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:

Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.

Demostración[editar]

Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:

1. Todos tienen un ángulo recto.

2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.

3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.

Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:

Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC

de dónde,

Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC

y el teorema queda demostrado.

Corolario[editar]

Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el «corolario 1» basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas m y n:

en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del «corolario 1»:

donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c (véase figura 1) y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.

Razones trigonométricas[editar]

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo con vértice en A, son:

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

Área[editar]

fig. ar1: Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la de los catetos) de un triángulo rectángulo.

Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por sudiagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).

(A1)

donde a y b de la ecuación (A1) representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (véase fig. ar1).

En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a =cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una versión equivalente de ecuación (A1) de la siguiente manera:

La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.411 de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación (A1) a todo triángulo.

Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo[editar]

Euclides vio un inconveniente[cita requerida]: en un triángulo rectángulo ¿cuánto debería valer numéricamente el lado a en un triángulo oblicuángulo? Euclides despejó su duda con la primera ley de Euclides para los triángulos oblicuángulos.

Primer teorema de Euclides[editar]

El cuadrado de uno de los lados de un triángulo acutángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del lado relativo a la altura por la proyección del lado opuesto al que se quiere hallar.

Demostración[editar]

Euclides notó que aunque no se generen triángulos semejantes al trazar la altura se generan dos triángulos rectángulos en los cuales se puede aplicar el teorema de Pitágoras:

empezamos en el triángulo de la izquierda

luego despejamos la altura

pero m=b-n

en el triángulo de la derecha

despejando la altura

eso quiere decir que:

elevando el binomio al cuadrado:

simplificando:

despejando:

análogamente:

Segundo teorema de Euclides[editar]

En un triángulo obtusángulo, el lado opuesto al ángulo obtuso al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos más el doble de la base por la proyección de la altura trazada desde uno de los ángulos menores.

Demostración[editar]

Euclides notó que al trazar la altura exterior se generan dos triángulos rectángulos (AHC y BCH).

Nos fijamos en el más pequeño (AHC):

.

Despejando la altura resulta:

.

Pasemos al triángulo BHC:

.

Despejando la altura queda:

.

Eso quiere decir que:

.

Elevando el binomio al cuadrado

,

y simplificando

.

Despejando a²:

Cálculo de las líneas notables de un triángulo[editar]

A partir de los dos teoremas anteriores se deriva fórmulas para el cálculo de las líneas notables de un triángulo. A continuación vamos a ver estos 5 teoremas con su comprobación.

Teorema de Stewart (cálculo de la ceviana)[editar]

Artículo principal: Teorema de stewart

Stewart dice que el producto resultante entre una ceviana de un triángulo al cuadrado y de la base de este es igual a la al cuadrado por la proyección del cateto opuesto más la suma del segundo cateto al cuadrado por la proyección del cateto opuesto a este menos el producto resultante entre las multiplicación de las proyecciones de los catetos y la base.

Su formulación matemática es:

Donde b y c son los lados "laterales" respecto a la ceviana d correspondiente al lado a, n y m los segmentos de la base designados por la misma ceviana.

Teorema de la mediana[editar]

fig.m1: Esquema con áreas → ( ).

Artículo principal: Teorema de Apolonio

En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. m1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP= PB = ½ c, entonces :

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla) :

Caso particular[editar]

Artículo principal: Teorema de Tales

En un triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esta, (véase Corolario 1 del teorema segundo de Tales), asumiremos para la ecuación siguiente que dicha hipotenusa se denomina c).

Donde M es la mediana correspondiente a la hipotenusa denominada c.

Teorema de la bisectriz interior[editar]

Donde:

X:Bisectriz interior

Demostración[editar]

por el teorema de semejanza en la bisectriz interior

despejando

por el teorema de Stewart:

reemplazando an por cn

despejando

Teorema de la bisectriz exterior[editar]

La bisectriz exterior de un triángulo al cuadrado es igual al producto de los segmentos deteriminados por la bisectriz menos el producto de los lados.

Donde:

X:Bisectriz exterior:

Demostración[editar]

Recordando el teorema de semejanza en la bisectriz interior

despejando

Luego, ejecutando el teorema de Stewart:

reemplazando an por cn:

luego

despejando, resulta que:

Teorema de la altura[editar]

También conocido como el teorema de Herón. La altura de un triángulo es igual a:

Demostración[editar]

Aplicando el primer teorema de Euclides:

despejando HC:

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo BHC:

Aplicando diferencia de cuadrados

transformando HC

Sumando:

ejecutando el binomio al cuadrado:

ejecutando la diferencia de cuadrados y transponiendo el

para a+b+c = 2p

despejando la altura expulsa que

Teoremas auxiliares en los cuadriláteros[editar]

Teorema de Ptolomeo[editar]

En todo cuadrilátero inscriptible el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos del cuadrilátero

Donde:

D1, D2: Diagonales del cuadrilátero

a, b, c, d : Lados del cuadrilátero

Teorema de Viette[editar]

En todo cuadrilátero inscrito la relación de las diagonales es igual a la relación entre la suma de los productos de las longitud de sus lados que forman a los extremos de las diagonales.

Donde:

D1, D2: Diagonales del cuadrilátero

a, b, c, d : Lados del cuadrilátero

Teorema de Euler[editar]

En todo cuadrilátero la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales adicionado con el cuádruple del segmento que une los puntos medios de las diagonales

Donde:

D1, D2: Diagonales del cuadrilátero

a, b, c, d: Lados del cuadrilátero

X: Segmento que une los puntos medios de las diagonales.

a2 + b2 = c2

Teorema de Tales

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos

Tales de Mileto.

ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente

(triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los

triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos

son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El

primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos

semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento

paralelo, B'C', a uno de los ladosdel triángulo, se

obtiene otro triángulo AB'C',

cuyos lados son proporcionales a los del triángulo

ABC. 

Lo que se traduce en la fórmula

 

 

 

Ver: PSU: Geometría;

Pregunta 01_2005

Pregunta 05_2006

Hagamos un ejercicio como ejemplo:

 

En el triágulo de la derecha, hallar las

medidas de los segmentos a yb.

Apicamos la fórmula, y tenemos

Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de

la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria

proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un

triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, en

virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el

cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el

cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.

En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se

cumple que:

 

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es

evidente; segúnHeródoto, el propio Tales empleó el corolario de su

teorema para medir la altura de la  pirámide de Keops en Egipto.

La leyenda de Tales y las pirámides

Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de

Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. 

Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.

Una aplicación del

Teorema de Tales.

La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de

triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran

paralelos).

Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos

triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.

Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la

pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro

lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente

vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la

longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple

que  , por lo tanto la altura de la pirámide es  , con lo cual resolvió el problema.

Otra variante del Teorema de Tales

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente

(realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez,

consecuencia del mismo):

Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias

rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos

determinados en una de las rectas (AB, BC) son

proporcionales a los segmentos correspondientes en la

otra (A’B’, B’C’).

 

 

Ejercicios

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.

 

2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

 

Una aplicación inmediata de este teorema sería la división de un segmento en partes iguales, o en partes

proporcionales a números dados

Aplicación del Primer Teorema de Tales

Una aplicación del teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales (con

ayuda de compás, regla y escuadra o cartabón).

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del

segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan

en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se

trazan rectas paralelas al segmento que une B con la

última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos

en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en

que se divide.

Segundo teorema

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a

los triángulos rectángulos, lascircunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente

enunciado:

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC,

es recto.

Este teorema (véase figuras  1 y 2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y

de la aplicación de losángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Figura

1.

Ilustrac

ión del

enunci

ado del

segund

o

teorem

a de

Tales

de

Mileto.

Figur

a 2.

Siem

pre

que A

C sea

un

diám

etro,

el

ángul

o B s

erá

const

ante

y

recto.

 

Demostración:

En la circunferencia de centro O y radio r (véase figura 3),

los segmentos

son iguales por ser todos radios de la misma

circunferencia.

Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

2α + 2β = π (radianes) (180º)

Figura 3.

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por

dos, se obtiene:

Con la expresión anterior el segundo teorema queda

demostrado.

Los triángulos AOB y BOC son

isósceles.

 

Semicircunferencia

Como la condición para este enunciado es que la hipotenusa corresponda al diámetro de una

circunferencia, también se puede expresar como que el triángulo está inscrito en una

semicircunferencia.

Entonces, el Teorema de Tales dirá que "todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo

con hipotenusa igual al diámetro".

Demostración

Sea el triángulo BCA (en la figura superior)

Como OA y OB son iguales (radios de la semicircunferencia) , los ángulos ABO y BOA también son

iguales y como OA y OC también son iguales, los ángulos OAC y OCA son iguales. Por tanto, ángulo

BAC es igual a la suma de ABC y ACB.

Teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º, el

ángulo BAC debe ser recto.

Ver: PSU Geometría: Pregunta 08_2006

Corolarios

Corolario 1

 “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es

siempre la mitad de la hipotenusa.”

 

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la

igualdad,OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase figura 3).

 

Corolario 2

“La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad

de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”

 

El corolario 2 también surge de aplicar el teorema anterior, para una comprensión

intuitiva basta observar la figura 2.

Aplicación del Segundo Teorema de Tales

Construcción de tangentes (líneas rojas en la figura a la derecha) a una

circunferencia k desde un punto P, utilizando el segundo teorema de Tales.

Este segundo teorema (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las

tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido

y externo a la misma (véase figura ).

Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la

circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora).

Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del

punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente

recto.

Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo.

Recordando el corolario 2 del segundo teorema de Tales podemos deducir que entonces el

triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio mitad de la hipotenusa OP del mismo.

Entonces, marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo,

podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al

triángulo OTP.

Esta última circunferencia trazada interceptará a la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son

justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además

pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntosT y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en

la figura) para tener resuelto el problema.