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INFORME TÉCNICO FINAL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

I. IDENTIFICACIÓN DEL PROYECTO 1.1. Código del proyecto: CI-5163 1.2. Nombre del proyecto: CAMBIO COGNITIVO EN LA COMPRENSION NUMERICA DE NIÑOS EN LOS PRIMEROS AÑOS ESCOLARES 1.3. Nombre del investigador principal: Yenny Otálora Sevilla 1.4. Nombre de los co-investigadores: 1.5. Fecha de presentación del informe: 22 de octubre de 2007 Fecha de inicio: Octubre de 2005 Fecha de terminación: Octubre de 2007 II. RESUMEN DEL PROYECTO La comprensión numérica y la construcción del concepto de número es posible por los procesos de significación alterna, permanente e interrelacionada que los niños logran de los formatos de representación de éste sistema -arábigo y verbal-. Este estudio pretende contribuir a la construcción de un modelo sobre el desarrollo del concepto de número y la comprensión numérica en la infancia, que el grupo de investigación Matemática y Cognición avanza. El objetivo general es caracterizar el cambio en la actividad cognitiva de 58 niños de Transición, 1°, 2° y 3° de primaria al resolver una tarea de comprensión numérica que consiste en componer numerales con un material de tipo cuasi-abstracto denominado cajas de valor, a partir de numerales presentados a los niños en dos formatos de representación numérica externa– arábigo ó verbal hablado-. La tarea exige composición aditiva y multiplicativa, manejo de unidades compuestas, comprensión de la base diez y del principio de valor de posición en cada formato. Igualmente pretende explorar posibles relaciones entre el desempeño y las variables grado/edad de los sujetos y formatos numéricos. Los niños se enfrentan a la tarea en 6 ensayos con numerales análogos (sin cero) correspondientes al rango numérico superior al que le enseñan en el colegio en cada grado (3 ensayos en una sesión, 3 en la otra con una semana de diferencia entre ellas). A los niños que no tienen éxito en la tarea después del ensayo 2 se les presenta dos protocolos de intervención reflexivos entre cada ensayo hasta el final de la secuencia de aprendizaje. Estos protocolos de intervención son construidos previamente a partir del análisis de tareas y dirigen el pensamiento de los niños hacia la composicion aditiva y multiplicativa de los numerales, teniendo en cuenta la regla del valor de posición y las características de cada formato. La inclusión de protocolos pretende condensar los posibles cambios en la comprensión numérica que se presentarían en los niños en tiempos más amplios de tiempo, y explorar la variedad de recursos cognitivos que los niños evidencian en su proceso de construcción del sistema de numeración en base diez. Un análisis cuantitativo permite establecer el logro en la tarea entre sesiones. Un análisis microgenético de los desempeños en la resolución permite establecer cambios intersujeto o intrasujeto en la actividad cognitiva y en los niveles de comprensión del número, en cualquiera de los dos formatos, determinados por el manejo de la unidad, el valor de posición, las marcas

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lingüísticas léxicas y sintácticas y la composición aditiva-multiplicativa. Los resultados muestran cambios significativos en el aumento del logro entre las dos sesiones en los grados 1º, 2º y 3º y no así en Transición. Se encuentran en total, en los cuatro grupos grado/edad, 12 estrategias de resolución distribuidas en 5 niveles de comprensión de progresiva abstracción: 1) conteos y agrupamiento de cajas, 2) composición unitaria, 3) composición aditiva sin estímulo, 4) composición parcial aditiva y multiplicativa y 5) composición total aditiva y multiplicativa. En el nivel intersujeto se encuentran 5 tipos de cambios: 1) Cambio de niveles de comprensión menos avanzados a niveles de comprensión más avanzados, 2) Cambio de niveles de comprensión más avanzados a niveles de comprensión menos avanzados, 3) Cambio de estados de mayor variabilidad a menor variabilidad, 4) Cambio de estados de menor variabilidad a mayor variabilidad y 5) Cambio de avance en el logro general del grupo hacia niveles de mayor comprensión y menor variabilidad. En el nivel intrasujeto se encuentran 3 tipos de rutas de resolución de la tarea: 1) Patrón de ruta con comportamiento estable, 2) Patrón de ruta con comportamiento variable y 3) Rutas de Comportamiento variable. III. INFORME DE RESULTADOS 3.1. Objetivo general El estudio se inscribe en la problemática de la construcción del número en la infancia y el desarrollo de la comprensión numérica. El objetivo general del proyecto es identificar y caracterizar los cambios en la comprensión de números en un formato externo de representación –arábigo ó verbal hablado- que 58 niños de Transición, 1°, 2° y 3° de primaria evidencian al resolver una tarea de comprensión numérica, durante seis ensayos organizados en dos sesiones de aplicación. La tarea consiste en componer numerales, presentados a los niños como estímulo en uno de los dos formatos, con un material de tipo cuasi-abstracto denominado cajas de valor. A los niños que no tienen éxito en la tarea después del ensayo 2 se les presentan dos protocolos de intervención reflexivos entre cada ensayo hasta el final de la secuencia de aprendizaje. La actividad cognitiva de los niños frente a la tarea es caracterizada en términos de 1) logro general de la tarea de comprensión, 2) estrategias de composición numérica con cajas de valor y 3) niveles de comprensión numérica. Todas las estrategias encontradas para resolver la tarea evidencian los niveles de comprensión numérica, de tal manera que los niveles encontrados agrupan a las estrategias. Las estrategias del nivel de comprensión más avanzado, son consideradas logro en la tarea, para el primer análisis de logro general. Estas estrategias son inferidas de los procedimientos de los niños, a partir de diferentes indicadores de comprensión numérica. Estos indicadores de comprensión constituyen un producto de este proyecto también. Los cambios en esta actividad numérica son el objeto de este estudio, ya que evidencian la comprensión que los niños tienen de los números en el formato en que son presentados los numerales y la comprensión de la tarea como tal. 3.1.1. Resultados logro general La Tabla 1 presenta los resultados del análisis del logro general en función del grado por sesión, representados en el porcentaje de niños en los tres grados que presentaron 0, 1, 2 o 3 aciertos en

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cada una de las dos sesiones, teniendo en cuenta que la tarea es aplicada 3 veces por sesión. Igualmente es posible apreciar si el nivel de logro presenta cambios de sesión a sesión. Los resultados muestran que el 86% de los niños de Transición no presenta ningún acierto en la tarea durante la 1ra sesión, el 6,7% presenta 2 aciertos y el 6,7% presenta tan sólo 1 acierto. En la 2da sesión el porcentaje de niños de Transición que presenta 0 aciertos es del 73,3%, el 20% de los niños presenta 1 acierto y sólo el 6,7% de los niños presenta 3 aciertos. De esta manera en transición el logro muestra tan sólo un leve incremento de sesión a sesión. La Prueba de Rangos con Signos de Wilcoxon muestra que las diferencias del logro del grupo de transición entre sesiones no son significativas (Z= -1.342; p= 0,180).

Tabla 1. Resultados logro general de Tr, 1°, 2° y 3° en la 1ra y 2da sesión

Grado Sesión 0 aciertos 1 acierto 2 aciertos 3 aciertos

n % n % n % n %

Transición Sesión 1 13 86,7 1 6,7 1 6,7

Sesión 2 11 73,3 3 20 1 6,7

1° Sesión 1 6 42,9 4 28,6 2 14,3 2 14,3

Sesión 2 1 7,1 5 35,7 5 35,7 3 21,4

2° Sesión 1 5 37.7 4 28,6 3 21,4 2 14,3

Sesión 2 3 21,4 2 14,3 5 35,7 4 28,6

3° Sesión 1 1 6,7 2 13,3 6 40 6 40

Sesión 2 1 6,7 3 20,0 11 73,3

En 1º grado, el 42,9% de los niños no tiene ningún acierto y el 28,6% de los niños presenta 1 acierto, el 14,3% presenta 2 aciertos y el 14,3% presenta 3 aciertos en la 1ra sesión. En la 2da sesión el 35,7% de los niños presenta 1 acierto, el 35,7% de los niños presenta 2 aciertos y el 21,4 % presenta 3 aciertos. En esta sesión tan sólo un 7,1% de los niños no obtiene ningún acierto. La Prueba de Rangos con Signos de Wilcoxon muestra que en 1º grado, el logro se incrementa significativamente de sesión a sesión (Z= -2.332; p= 0,020). En 2º grado, el 37,7% de los niños no presenta ningún acierto, el 28,6 presenta 1 acierto el 21,4% presenta 2 aciertos y el 14,3 presenta 3 aciertos en la 1era sesión. En la 2da sesión, los niños de 2º grado se redistribuyen con estos mismos porcentajes en las cuatro puntuaciones así: un 21,4% de los niños presenta 0 aciertos, un 14,3% presenta 1 acierto, un 35,7% presenta 2 aciertos, y un 28,6% presenta 3 aciertos. La Prueba de Rangos con Signos de Wilcoxon muestra que en 2º grado, el logro igualmente incrementa de manera significativa de sesión a sesión (Z= -2.271; p= 0,023). Finalmente, en 3º grado el 40 % de los niños presenta 2 aciertos y otro 40 % presenta 3 aciertos desde la 1era sesión. Tan sólo un 13% presenta 1 aciertos y un 6,7% presenta 0 aciertos. En la segunda sesión se incrementa el logro total a un 73% de los niños que obtienen 3 aciertos (logro

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en las tres tareas de la sesión) y un 20 % de los niños con 2 aciertos. En este grado, durante la segunda sesión tan sólo 1 niño presentó 1 acierto y ningún niño presentó 0 aciertos. Aunque el logro en 3º grado fue alto desde la 1ra sesión, en relación con los otros grados escolares, la Prueba de Rangos con Signos de Wilcoxon muestra que en 3º grado, el logro se incrementa de significativamente de sesión a sesión (Z= -2.530; p= 0,011). Los cambios significativos hacia el logro en la tarea, encontrados en los grados 1º, 2º y 3º evidencian la efectividad de los 2 protocolos de intervención reflexivos basados en la composición aditiva y multiplicativa, la unidad y el valor de posición, incluidos desde el ensayo 2, y el potencial de aprendizaje en corto plazo para los niños. En transición los protocolos no tienen mayor efectividad, pues los niños no muestran avances significativos de una sesión a otra. 3.1.2. Resultados de estrategias de composición y niveles de comprensión numérica En total fueron encontradas 12 estrategias de composición numérica que evidencian 5 niveles de comprensión consecutivos desde el menos avanzado -Nivel 1- hasta el más avanzado –Nivel 5-, los cuales son presentados en el Cuadro 1. Los niveles de compresión encontrados reflejan el conocimiento de los niños de las reglas de los formatos numéricos arábigo ó verbal, la construcción actual de su concepto de número y los recursos operatorios con que ellos componen los numerales en un formato diferente de tipo cuasi-abstracto. Los niveles de comprensión identificados constituyen una secuencia de desarrollo conceptual caracterizada por la progresiva comprensión de la tarea y progresiva construcción de operaciones aditivas y multiplicativas que evidencian el manejo operativo de valores numéricos para componer el numeral, y el dominio de las reglas de composición para un rango numérico determinado.

Cuadro 1. Niveles de comprensión numérica vinculados a las estrategias de composición No. Nivel Nivel de comprensión No. Estrategia Estrategia de composición

NIVEL 1 Conteos y agrupamiento de cajas

1 Conteos sin cajas y agrupamientos azarosos 2 Conteo total de cajas

NIVEL 2 Composición unitaria 3 Tope cardinal 4 Conteo marcas de cantidad 5 Conteo marcas de cantidad con caja para potencia

NIVEL 3 Composición aditiva sin estímulo

6 Composición de otro numeral

NIVEL 4 Composición parcial aditiva y multiplicativa

7 Fragmentación-composición en rangos menores 8 Composición de rango mayor 9 Composición de rango menor

10 Composición de rango menor con caja para potencia NIVEL 5 Composición total aditiva

y multiplicativa 11 Composición total implícita 12 Composición total explícita

Un resultado del proyecto previo y necesario para las estrategias y los niveles de comprensión es el establecimiento de indicadores de comprensión, que permitieran caracterizar los desempeños de los niños y así, dar cuenta del conocimiento y los recursos de composición que utilizan en sus estrategias. El Cuadro 2 presenta estos indicadores, y después se explican resumidamente cada nivel de comprensión con sus estrategias.

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Cuadro 2. Indicadores para el análisis de los niveles de comprensión CATEGORIA CRITERIO COD. NOMBRE DEL INDICADOR Relación en configuración (RC)

• Tipo de operaciones que establece entre las cajas de valor durante la configuración

NA No aditivo entre unidades CO Conteo de elementos unitarios CAD Cantidad indicada por los dígitos AIU Aditivo intra unidades AEU Aditivo entre unidades M Multiplicativo intra unidades

Relación en explicitación (RE)

• Tipo de operación entre las cajas de valor que explicita verbalmente durante la revisión de la configuración

UET Unidades de orden en la expresión total NA No aditivo entre unidades CO Conteo de elementos unitarios AIU Aditivo intra unidades AEU Aditivo entre unidades Ac Aditivo con conteo entre unidades M Multiplicativo intra unidades

Unidad en que compone (UC)

Rango de las unidades que configura correctamente, en función del valor y la cantidad indicada por el numeral estímulo

NC No compone UO Unidad de orden de composición

Manejo del cardinal (MC)

• Asignación y manejo de valores numéricos a las cajas de valor

• Establecimiento de significados cardinales para grupos de cajas

• Uso de palabras numéricas como etiquetas de los objetos o como valores numéricos

VD Maneja valores diferenciados para las cajas para explicitar un valor

GC Grupos de cajas TSC Establece valores totales de la configuración

sin conteo TC Establece valores totales de configuración

con conteo NDV No diferencia valores de las cajas CaT Establece cantidades totales EtC Retoma ultima etiqueta de conteo MCa Recupera marcas de cantidad NC No maneja cardinal de cantidad DC Denomina las cajas

Tipo de conteo (TC)

• Características de los procedimientos de conteo empleados durante la configuración o explicitación en la revisión de la configuración

1 a 1 Conteo uno a uno Desde + Conteo a partir de la unidad de mayor orden Desde - Conteo a partir de la unidad de menor orden Fig Conteo figural RU Conteo reiterando unidades de orden CCaV Cuenta simultáneamente valor y cantidad de

cajas Manejo indicadores sintácticos de potencia (MP)

• Relación entre las marcas de potencia o valor de posición del numeral presentado con los valores de las cajas

• Manejo de las unidades de orden

NVRP No maneja valor relacionado al indicador sintáctico de potencia

VUC Asigna valores a las cajas según la ubicación en la configuración

VRP Maneja valor relacionado al indicador sintáctico de potencia

CMP Caja como marca de potencia CV+o-:U/D Cambia valor de las cajas

En el Cuadro 3 se presentan los cinco niveles de comprensión caracterizados en función de los indicadores de comprensión previamente descritos.

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Tabla 3. Niveles de comprensión en relación con los indicadores de comprensión Nivel de

Comprensión CATEGORIAS DE ANALISIS

Relación Configuración

Relación Explicitac

Unidad en que Compo

Manejo del Cardinal Tipo de Conteo Manejo de Potencia

Nivel 1: Conteos y agrupamiento de cajas

- No realiza -No aplica No compone aditiva ni multiplicativa-mente

-No maneja cardinal de cantidad -No diferencia valores de las cajas

No aplica No maneja valor relacionado al indicador sintáctico de potencia

Nivel 2: Composición unitaria

- Conteo de elementos unitarios - Cantidad indicada por marcas de cantidad: dígitos ó palabras número - La posición puede importar pero no afecta el valor

Conteo de elementos unitarios

-No compone aditiva ni multiplica-tivamente

- Recupera marcas de cantidad - Establece cantidades totales -No diferencia valores de las cajas

Conteo uno a uno

No maneja valor relacionado al indicador sintáctico de potencia

Nivel 3: Composición aditiva sin estímulo

- Aditivo intra unidades - Aditivo entre unidades

-Aditivo intra unidades -Aditivo entre unidades - Aditivo con conteo entre unidades

-Compone aditivamente intraunidades e interunidades sin ninguna relación con el estímulo

-Maneja valores diferenciados para las cajas para explicitar un valor -Establece valores totales de la configuración con conteo

- Conteo uno a uno -Conteo reiterando unidades de orden -Conteo a partir de la unidad de mayor orden

No maneja valor relacionado al indicador sintáctico de potencia

Nivel 4: Composición parcial aditiva y multiplicativa

- Cantidad indicada por marcas de cantidad: dígitos ó palabras número (en algunos rangos) - Aditivo intra unidades (en algunos rangos) - Multiplicativo intra unidades (en algunos rangos) - Aditivo entre unidades

--Aditivo intra unidades - Multipli-cativo intra unidades -Aditivo entre unidades - Aditivo con conteo entre unidades

-Compone aditivamente y multiplicativamente algunas unidades (rangos numéricos)

-Maneja valores diferenciados para las cajas para explicitar un valor -Establece valores totales de la configuración con conteo - Establece valores totales de la configuración sin conteo - Recupera marcas de cantidad para algunas unidades

- Conteo uno a uno -Conteo reiterando unidades de orden -Conteo a partir de la unidad de mayor orden

-Maneja valor relacionado al indicador sintáctico de potencia para algunas unidades - Cambia valor de las cajas

Nivel 5: Composición total aditiva y multiplicativa

- Aditivo intra unidades (en todos los rangos) - Multiplicativo intra unidades (en todos los rangos) - Aditivo entre unidades

-Aditivo intra unidades -Multipli-cativo intra unidades - Aditivo entre unidades

-Compone aditivamente y multiplicativamente el numeral total (todos los rangos numéricos)

-Maneja valores diferenciados para las cajas para explicitar un valor - Grupos de cajas -Establece valores totales de la configuración con conteo - Establece valores totales de la configuración sin conteo

- Conteo uno a uno -Conteo reiterando unidades -Conteo a partir de la unidad de mayor orden -No presentar conteos

-Maneja valor relacionado al indicador sintáctico de potencia para todas las unidades

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Nivel de comprensión 1: Conteos y agrupamiento de cajas Estrategia 1: Conteos sin cajas y agrupamientos azarosos Este tipo de estrategia se distingue por procedimientos en que los niños empiezan a tomar al azar algunas cajas de diferente valor y las juntan, sin contar, ó algunos agrupamientos son realizados con conteos uno a uno, pero en estos conteos cambian o combinan indiscriminadamente los valores de las cajas. Cuando a los niños se les pide explicitar la configuración no lo hacen, o dicen no se. En otros casos, los niños realizan una secuencia de conteo verbal o figural sin utilizar las cajas y sin iniciar ninguna configuración. Los niños solucionan el problema con conteos ó agrupamientos sin tener en cuenta la relación entre el número de cajas con el valor de los elementos léxicos del numeral estímulo (dígitos en formato arábigo o palabras numéricas en formato verbal). Igualmente no evidencian relación entre el valor de las cajas y la posición ó las marcas de potencia del numeral estímulo en el respectivo formato. Lo niños tampoco muestran ningún tipo de composición aditiva o multiplicativa y aunque se puedan evidenciar algunas composiciones unitarias (conteos uno a uno) estos no están relacionados con los valores implicados en el numeral estímulo. Esta estrategia tiene su riqueza en el hecho que los niños distinguen y responden a una meta de tipo numérico con procedimientos de tipo numérico, más precisamente de cuantificación, como los agrupamientos y los conteos. Estrategia 2: Conteo total de cajas Este tipo de estrategia se distingue por procedimientos de conteo uno a uno de todas las cajas de cada grupo de un valor. Por ejemplo, un niño de 1º grado, que tiene sobre la mesa 10 cajas de 1, diez cajas de 10 y 10 cajas de 100, cuenta las cajas uno a uno de 1 hasta 30, sin importar el valor de cada caja. Al igual que en la anterior estrategia, no se tiene en cuenta la relación entre el número de cajas con el valor de los dígitos del estímulo en formato arábigo o con el valor de las palabras numéricas del estímulo en formato verbal, ni tampoco evidencian relación entre el valor de las cajas y la posición ó las marcas de potencia de los estímulos en el respectivo formato. Sin embargo, la elección de lo que se cuenta no es azarosa, pues los niños comprenden la meta numérica del problema como la cuantificación del total de cajas que tienen disponibles. Indicadores del Nivel de comprensión 1 Las dos estrategias que se caracterizan en el 1er nivel de comprensión evidencian que la meta de la situación problema es representada como una meta numérica y por lo tanto, puede ser alcanzada con procedimientos del dominio numérico, particularmente de cuantificación, como agrupamientos (cuantificación sin conteo verbal) y conteos. Sin embargo, los elementos léxicos del numeral estímulo, como los dígitos en los numerales arábigos o las palabras numéricas en los numerales verbales, y los elementos sintácticos, como la posición de los dígitos en los numerales arábigos o las marcas de potencia enta, cien o mil en los numerales verbales, no se constituyen en representaciones que dirigen una configuración. Esto indica que la composición unitaria (evidenciada en conteos uno a uno) no esta vinculada con los elementos de los estímulos en un formato determinado. Igualmente no se evidencia manejo de cardinales, ni manejo de la base diez, ni manejo del principio de valor de posición, y hay ausencia de composición aditiva y multiplicativa.

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Los niños realizan el mismo tipo de configuración que en la estrategia pasada con los mismos procedimientos de conteo uno a uno para formar grupos de cajas indicados por las marcas de

Nivel de comprensión 2: Composición unitaria Estrategia 3: Tope cardinal Este tipo de estrategia se distingue por procedimientos de conteo uno a uno de un grupo de cajas teniendo en cuenta el valor total del numeral estímulo. Por ejemplo, para el numeral 14, presentado en formato arábigo ó formato verbal hablado (“Catorce”), el niño cuenta una a una diez cajas de 1 y después continua contando una a una cuatro cajas de 10 así: “uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce, trece, catorce”. Cuando llega a “14” para. Al explicitar la configuración dice “Catorce”. Estos procedimientos evidencian el uso de elementos unitarios cuantificables, y el manejo de valor cardinal del numeral estímulo, dado que ese valor es una representación total de las unidades que debe contar y se constituye en el tope en el cual debe parar el conteo. Sin embargo, no evidencia la relación entre el valor de las cajas con el valor de posición de los dígitos del estímulo en formato arábigo o con el valor de potencia de las palabras numéricas del estímulo en formato verbal –enta, cien ó mil-. Aunque el niño puede identificar y diferenciar los valores de las cajas de diez y uno, y maneja cardinales la representación de esta diferencia no guía la configuración del numeral y no hay manejo del principio de valor de posición ni manejo de la base diez. Los niños comprenden la meta numérica del problema como la cuantificación de un grupo de cajas, indicada por el valor total del numeral estimulo que es representado como un tope cardinal. Estrategia 4: Conteo marcas de cantidad Este tipo de estrategia se distingue por procedimientos de conteo uno a uno para formar grupos de cajas indicados por los elementos léxicos o las marcas de cantidad del numeral estímulo como los dígitos en el numeral arábigo o las palabras numéricas en la expresión verbal. Por ejemplo, para 2354 presentado en alguno de los dos formatos el niño cuenta y agrupa 2 cajas de 1, cuenta y agrupa 3 cajas de 1, cuenta y agrupa 5 cajas de 1 y cuenta y agrupa 4 cajas de 10 (porque se le acaban las cajas de 1). Estos procedimientos evidencian el uso de elementos unitarios cuantificables y la relación entre la cantidad de cajas y la cantidad indicada por el valor de los dígitos del estímulo en formato arábigo o el valor de las palabras numéricas del estímulo en formato verbal. Además, el niño representa la posición -de los dígitos o de las palabras- como un elemento relevante de la expresión numérica, y por ello cuenta y agrupa por separado las cajas correspondientes al valor de cada elemento léxico del estimulo. Sin embargo, no evidencian la relación entre el valor de las cajas con el valor de la posición de los dígitos o de las palabras numéricas del numeral estímulo en el respectivo formato. En otras palabras, la representación del valor de esa posición no dirige la configuración. Esto indica que no hay manejo del principio de valor de posición ni de la base diez, ni composición aditiva y multiplicativa intra unidades, ni aditiva entre unidades. Esta estrategia es predominante en la comprensión del formato arábigo y se presenta con baja frecuencia cuando los niños se enfrentan a formato verbal. Estrategia 5: Conteo marcas de cantidad con caja para potencia

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cantidad del numeral estimulo. Además los niños utilizan una caja de valor cien ó mil para representar la unidad del rango mayor del numeral estímulo cuando esta es cien o mil. Por ejemplo, para 354 en alguno de los dos formatos, el niño configura en el siguiente orden: tres cajas de 1, una caja de 100, cinco cajas de 1 y cuatro cajas de 1 y 10 (cuando se acaban las cajas de 1). Estos procedimientos evidencian el uso de elementos unitarios cuantificables, la relación entre la cantidad de cajas y la cantidad indicada por el valor de los dígitos del estímulo en formato arábigo o el valor de las palabras numéricas del estímulo en formato verbal, igual que en la anterior estrategia. Indica además que el niño representa de manera diferenciada las palabras cien o mil, y sabe que debe representarlas en la configuración con las cajas y lo hace con una caja de valor 100 o 1000 (esta estrategia es predominante cuando el estímulo es presentado en formato verbal) Sin embargo, no evidencia la relación entre el valor de las cajas con el valor de posición de los dígitos o con el valor de potencia de las palabras numéricas del numeral estímulo en el respectivo formato. Aunque ya se representa de manera diferenciada algunas marcas verbales como cien ó mil, estas no se representan de acuerdo con el principio de valor de posición o la base diez. Igualmente no se evidencia composición aditiva y multiplicativa intra unidades, ni aditiva entre unidades. Esta estrategia es exclusiva de la comprensión del formato verbal, y no se presenta cuando en la tarea se debe comprender el formato arábigo. Indicadores del Nivel de comprensión 2 Las tres estrategias que se caracterizan en el 2do nivel de comprensión evidencian que la meta de la situación problema es representada como una meta numérica y, por lo tanto, puede ser alcanzada con procedimientos de cuantificación, como el conteo uno a uno. Estas estrategias evidencian el uso de elementos unitarios cuantificables y la comprensión de los elementos léxicos del numeral estímulo, como el valor de los dígitos en los numerales arábigos o el valor de las palabras numéricas en los numerales verbales. Las representaciones de los elementos léxicos, como cardinales dirigen una configuración, sin embargo los elementos sintácticos del numeral estimulo, como la posición de los dígitos en los numerales arábigos o las marcas de potencia en los numerales verbales, no están relacionadas con los valores numéricos de las cajas. Esto muestra ausencia de manejo del principio de valor de posición, ausencia de manejo de la base diez y ausencia de composición aditiva y multiplicativa.

En este nivel se evidencia un manejo de los valores diferenciados para las cajas y una composición aditiva intraunidades y entre unidades entre las cajas. Además se establece valores totales de la configuración. Sin embargo, no se tienen en cuenta los elementos del numeral

Nivel de comprensión 3: Composición aditiva sin estimulo Estrategia 6: Composición aditiva de otro numeral Se realiza una configuración de cajas agregando aditivamente el valor de cada caja adicionada y totalizando el valor de la configuración. Sin embargo el numeral configurado no corresponde con el numeral estimulo. Por ejemplo, para 3642 el niño configura 8 cajas de 1000, 2 cajas de 100 y 3 cajas de 1 contando “mil, dosmil, tresmil, cuatromil, cincomil, seismil, sietemil, ochomil, ochomil cien, ochomil doscientos, ochomil doscientos uno, ochomil doscientos dos, ochomil doscientos tres”. Cuando explicita el valor total dice “Ochomil doscientos tres”. Indicadores del Nivel de Comprensión 3

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estímulo. No se maneja valor relacionado con el indicador sintáctico de potencia del numeral estímulo y tampoco tiene en cuenta los elementos léxicos del numeral estímulo.

En esta estrategia los niños ya establecen relaciones aditivas y multiplicativas para componer las unidades de menor orden numérico del que se les pide en el estímulo y en este orden ya representan el valor de posición, la base diez, los elementos sintácticos del formato y los

Nivel de comprensión 4: Composición parcial aditiva y multiplicativa Estrategia 7: Fragmentación en rango menor Los niños componen el numeral estímulo de manera parcial. En esta estrategia los niños toman el numeral estímulo y lo fragmentan en dos numerales de unidades de orden menor, y los componen en el rango menor. Por ejemplo, el niño observa el numeral 8097 y lo fragmenta en 80 y 97, tomando 8 cajas de diez, 9 cajas de diez (utilizándolas con el valor diez) y 7 cajas de 1. Cuando al niño se le pide que explicite cuál es el numeral que configuró, el niño dice “ochenta noventa y siete”. Estos procedimientos evidencian que los niños representan el valor de las marcas de cantidad (en este caso los dígitos) y fragmentan el numeral en dos numerales que se encuentren en un rango numérico que dominen desde el punto de vista de la composición aditiva y multiplicativa y de las reglas del valor de posición determinados por los indicadores sintácticos en el formato arábigo. En esta medida componen aditiva y multiplicativamente dos numerales, pero en un rango menor al estimulo que se le presentó. Esta estrategia es exclusiva de la comprensión del formato arábigo y no se presenta cuando los niños se enfrentan a formato verbal. Estrategia 8: Composición de rango mayor Los niños componen el numeral estímulo de manera parcial. En esta estrategia los niños toman el número de cajas que corresponde a las marcas de cantidad de las unidades de mayor rango, y las cajas tienen el valor de la unidad, por ejemplo cajas de cien si el número está en el rango de los cienes o cajas de mil si está en el rango de los miles. Sin embargo para los rangos menores utiliza cajas de 1, hasta que se les acaban y siguen con las de diez, sin importar el valor de las acajas. Por ejemplo, para 3245, el niño configura 3 cajas de 1000, 2 cajas de 1, 4 cajas de 1 y 5 cajas de 1 (y 10, cuando se le acaban las de 1) Los niños que usan esta estrategia ya toman en cuenta los elementos del estimulo como las marcas de cantidad y de potencia, en cada uno de los formatos, las reglas de valor de posición y componen aditiva y multiplicativamente en los rangos mayores, mientras que las unidades de rango menor son compuestas con conteos unitarios sin tener en cuenta el valor de posición, los indicadores sintácticos del formato y sin tener en cuenta el valor expresado en las cajas. Estrategia 9: Composición del rango menor Los niños componen el numeral estímulo igualmente de manera parcial. Sin embargo, en esta estrategia los niños toman el número de cajas que corresponde a las marcas de cantidad de las unidades de menor rango, y las cajas tienen el valor de la unidad, por ejemplo cajas de uno y de diez si el número está en el rango de los cienes o cajas de uno, de diez y de cien si está en el rango de los miles. Sin embargo para los rangos mayores utiliza cajas de 1. Por ejemplo, para 3245, el niño configura 3 cajas de 1, 2 cajas de 100, 4 cajas de 10 y 5 cajas de 1.

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corresponden con la configuración en las cajas. En las unidades de mayor orden solo tiene en cuenta la marca de cantidad para formar grupos de cajas que le corresponda sin tener en cuenta su valor. Estrategia 10: Composición de rango menor con marca para potencia Los niños componen el numeral estímulo de manera parcial. En esta estrategia se presenta el mismo comportamiento que en la estrategia anterior, los niños componen correcta mente las unidades de menor orden y no así la de mayor orden. Sin embargo, para la unidad de mayor orden el niño utiliza una caja de cien o mil que representa la partícula mil o cien en la expresión verbal del estímulo. Por ejemplo, para 3645 el niño configura en el siguiente orden 3 cajas de 1, 1 caja de 1000, 6 cajas de 100, 4 cajas de 10 y 5 cajas de 1. Esta estrategia se caracteriza porque los niños componen aditiva y multiplicativamente los rangos inferiores representando el principio de valor de posición, la base diez, y los indicadores de potencia de cada formato. En el rango mayor, el niño ya reconoce que las palabras mil o cien son sintácticas y las diferencia de las partículas de cantidad, incluso las relaciona con el valor de las cajas que debe usar, pero no coordina el número de cajas con el valor de las cajas. Esta estrategia, al igual que la estrategia 5, ocurre solamente en tareas de comprensión del formato verbal. Indicadores nivel de comprensión 4 En este nivel todos los niños ya presentan recursos operatorios de composición multiplicativa intraunidades y aditiva interunidades, manejo de significados cardinales referidos a la cantidad, se representan el principio de valor de posición, la base diez, las marcas de cantidad y los indicadores de potencia de cada formato, para algunos de los rangos numéricos, sean inferiores o superiores. En los otros rangos hay manejo de composición unitaria, manejo de valores cardinales y se tienen en cuenta las marcas de cantidad para la configuración del numeral, sin embargo, no son representados los indicadores de potencia, ó cuando son representadas algunas marcas de potencia (por ejemplo verbales), estas no se articulan en una relación multiplicativa con el valor de las cajas. Por esta razón se le llama a este nivel de composición parcial aditiva y multiplicativa. Nivel de comprensión 5: Composición total aditiva y multiplicativa Estrategia 11: Composición total implícita Los niños establecen correctamente correspondencias entre los valores que designan las cajas y las cantidades que indican los dígitos o las palabras número de los numerales que debe componer, cada uno de los grupos de cajas corresponde a la composición de una unidad, pero verbaliza el total de manera incorrecta. Por ejemplo, para 3645, configura 3 cajas de 1000, 6 cajas de 100, 4 cajas de 10 y 5cajas de 1, sin embargo, cuando se le pregunta por el numeral total enuncia “cuatromil quinientos”. En este nivel se encuentran en los niños el establecimiento de relaciones aditivas y multiplicativas para todas las unidades de orden, y de relaciones entre los indicadores de potencia del numeral estimulo y los valores de las cajas. Se representa el valor de posición, los indicadores de potencia y los valores de las marcas de cantidad en cada formato y el manejo de la base diez. Sin embargo, el niño no hace explícita esta comprensión en su verbalización.

12

Estrategia 12: Composición total explícita Esta es considerada la estrategia ideal, porque los niños establecen correctamente correspondencias entre los valores que designan las cajas y las cantidades que indican los dígitos o las palabras número de los numerales que debe componer, cada uno de los grupos de cajas corresponde a la composición de una unidad y verbaliza el total de manera correcta, mostrando una comprensión explícita de su propio procedimiento. Por ejemplo, para 3645, configura 3 cajas de 1000, 6 cajas de 100, 4 cajas de 10 y 5cajas de 1, y cuando se le pregunta por el numeral total enuncia “tres mil seiscientos cuarenta y cinco”. Los niños en esta estrategia establecen relaciones aditivas y/multiplicativas para todas las unidades de orden, y establecen relaciones entre los indicadores de potencia del numeral estimulo y los valores de las cajas. Igualmente se representa el valor de posición, los indicadores de potencia y los valores de las marcas de cantidad en cada formato y el manejo de la base diez. Finalmente, el niño hace explícita esta comprensión en su verbalización. Indicadores del nivel de comprensión 5 Este nivel de comprensión, es el más avanzados y se caracteriza por el establecimiento de relaciones aditivas y/o multiplicativas intraunidades y aditivas entre unidades, el manejo de significados cardinales referidos a valores numéricos y el manejo de indicadores de potencia de cada formato numérico. Se representa el principio de valor de posición quien dirige la composición aditiva y multiplicativa en los niños. En este nivel se puede decir que el niño ha avanzado hacia el dominio del sistema de numeración en base diez, tanto en el manejo de reglas como en su comprensión. Es necesario sin embargo, un análisis de los procesos de cambio en la comprensión de la tarea para comprender la manera como aparecen estos niveles de comprensión en una secuencia de aprendizaje.

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3.2. Objetivo específico 1 Caracterizar los cambios existentes en el desempeño de los niños de cada subgrupo de edad en la tarea de comprensión numérica, a nivel intersujeto e intrasujeto, entre los seis ensayos distribuidos en las dos sesiones de aplicación. Para llevar a cabo la caracterización del cambio en la comprensión intersujeto-intrasujeto se tomó el nivel de comprensión evidenciado por los niños en el último intento con el cual los niños resolvieron la tarea en cada uno de los 6 ensayos, teniendo en cuenta que en cada ensayo ellos presentaron entre 1 y 4 intentos para su solución los cuales podían elicitar diferentes estrategias (los ensayos 1, 2 y 3 corresponden a la 1ra sesión, y los ensayos 4, 5 y 6 corresponden a la 2da sesión). Debe tenerse en cuenta que a los niños que no tuvieron éxito en la tarea después del segundo ensayo se les presentaron los protocolos de intervención reflexivos entre cada ensayo hasta el final de la secuencia de aprendizaje. 3.2.1. Resultados cambios intersujeto en niveles de comprensión en cada grado/edad Un análisis descriptivo permite establecer los cambios intersujeto en el Nivel de comprensión en cada grupo grado/edad, que los niños del estudio evidenciaron entre los 6 ensayos para la composición de numerales. Los resultados del grupo de Transición son representados en la Gráfica 1. El análisis de estos resultados muestra que los niños de Transición, de 5 a 6 años de edad, no presentan una sola forma de resolver la tarea a lo largo de toda la secuencia de aprendizaje. Por el contrario, presentan variadas formas de abordaje de la tarea que evidencian a su vez, la presencia de por lo menos cuatro de los cinco niveles de comprensión planteados.

Gráfica 1. Cambios intersujeto en el Nivel de comprensión del grupo de Transición

Trancision

1235

Nivel de comprensión

Las barras mues tran frecuencias

1 2 3 4 5 6

Ensayo

0%

25%

50%

75%

100%

Recu

ento

14

En el grado Transición, en los ensayos 1 y 6 se presenta mayor variabilidad, mostrando la presencia de los cuatro niveles de comprensión, mientras que los ensayos 2, 3, 4 y 5 presentan menor variabilidad evidenciando sólo dos niveles de comprensión. En el ensayo 1, el 80% de los niños se encuentra en el Nivel de comprensión 2 (composición unitaria), el 6,7% de los niños en el Nivel de comprensión 1 (agrupamiento y conteos de cajas), el 6,7% de los niños en el Nivel de comprensión 3 (composición aditiva sin estímulo) y el 6,7% en el Nivel de comprensión 5 (composición total aditiva y multiplicativa). En los ensayos 2, 3, 4 y 5 el grupo cambia evidenciando sólo dos niveles de comprensión: en los ensayos 2, 3 y 4 el 93% de los niños evidencian un Nivel de comprensión 2 y el 7% de los niños un Nivel de comprensión 5 y en el ensayo 5 el porcentaje de niños en el nivel 5 sube a un 80%. En el último ensayo los niños vuelven a mostrar los cuatro niveles de comprensión: el 60% de los niños en el Nivel 2, el 20% en el nivel 1, el 13,3% en el Nivel 5 y el 6,7% en el Nivel de comprensión 3. Estos resultados muestran igualmente que la comprensión de los niños no avanza de manera progresiva a lo largo de la secuencia de aprendizaje. En el grupo de transición se pueden caracterizar por lo menos cuatro tipos de cambio más generales: 1) Cambio de niveles de comprensión menos avanzados a niveles de comprensión más

avanzados: p.ej., el avance que caracteriza cambios del ensayo 1 al ensayo 2. 2) Cambio de niveles de comprensión más avanzados a niveles de comprensión menos

avanzados: p.ej., el retroceso que caracteriza cambios del ensayo 5 al 6. 3) Cambio de estados de mayor variabilidad a menor variabilidad: p.ej. del ensayo 1 al 2. 4) Cambio de estados de menor variabilidad a mayor variabilidad: p.ej. del ensayo 5 al 6. Los resultados del grupo de 1º grado, representados en la Gráfica 2.

Gráfica 2. Cambios intersujeto en el Nivel de comprensión del grupo de 1º grado

1o grado

12345

Nivel de comprensión

Las barras mues tran frecuencias

1 2 3 4 5 6

Ensayo

0%

25%

50%

75%

100%

Recu

ento

15

El análisis de estos resultados muestra que los niños de 1º, de 6 a 7 años de edad, tampoco presentan una sola forma de resolver la tarea durante toda la secuencia de aprendizaje, tal como fue planteado en los niños de Transición. Presentan igualmente variadas formas de abordaje del problema que evidencian a su vez, la presencia de los cinco niveles de comprensión planteados y variados tipos de cambio. En 1º grado, los ensayos 1 y 4 presentan una mayor variabilidad, mostrando la presencia de los cinco niveles de comprensión, los ensayos 2 y 3 presentan igualmente variabilidad evidenciando cuatro de los cinco niveles encontrados en este grupo y los ensayos 5 y 6 presentan la menor variabilidad de todos evidenciando sólo dos niveles de comprensión. En el ensayo 1, el 50% de los niños se encuentra en el Nivel de comprensión 1 (agrupamiento y conteos de cajas), el 14,3% de los niños en el Nivel de comprensión 2 (composición unitaria), el 14,3% de los niños en el Nivel de comprensión 3 (composición aditiva sin estímulo) y el 14,3% en el Nivel de comprensión 5 (composición total aditiva y multiplicativa). El 7,1% de los niños se encuentran en el Nivel 4 (composición parcial aditiva y multiplicativa). En el ensayo 2 la distribución de los niños en los niveles de comprensión cambia drásticamente: el 38% de los niños evidencian un Nivel de comprensión 4, el 30% de los niños un Nivel de comprensión 5, el 23% un Nivel de comprensión 1 y el 7,7% de los niños un Nivel de comprensión 3. En el ensayo 2 se observa en general un avance del grupo hacia los niveles de comprensión más avanzados. En el ensayo 3 el 57% de los niños evidencia un Nivel de comprensión 5 y el 28% de los niños un Nivel de comprensión 4. El 7,1% se encuentra en el nivel 1 y el mismo porcentaje se encuentra en el Nivel 2. En el ensayo 4 la comprensión de los niños vuelve a cambiar drásticamente, distribuyéndose casi de manera similar en todos los niveles: el 23% de los niños se encuentra en el Nivel 1, el 23% en el Nivel 4 y el 23% en el Nivel 5, mientras un 15% se encuentra en el nivel 2 y otro 15,4% en el nivel 3. Un nuevo movimiento drástico se presenta del ensayo 4 al 5 en los niveles de comprensión: El 84,6% de los niños se encuentran en el nivel más avanzado de composición y tan solo un 15,1% de los niños se encuentra en el Nivel 4. El cambio del Nivel de comprensión del ensayo 5 al 6 muestra un leve descenso: el 76% de los niños evidencian Nivel 5 y 23,1% de los niños evidencia Nivel de comprensión 4. Los resultados muestran igualmente que la comprensión de los niños no avanza de manera progresiva a lo largo de la secuencia de aprendizaje. En el grupo de 1º grado se pueden caracterizar por lo menos cinco tipos de cambio más generales: 1) Cambio de niveles de comprensión menos avanzados a niveles de comprensión más

avanzados: p.ej., el avance que caracteriza cambios del ensayo 1 al 2 y del 2 al 3, o del ensayo 4 al 5.

2) Cambio de niveles de comprensión más avanzados a niveles de comprensión menos avanzados: p.ej., el retroceso que caracteriza cambios del ensayo 3 al 4, o en menor grado, del ensayo 5 al 6.

3) Cambio de estados de mayor variabilidad a menor variabilidad: p.ej. del ensayo 1 al 2 ó del ensayo 4 al 5.

4) Cambio de estados de menor variabilidad a mayor variabilidad: p.ej. del ensayo 3 al 4. 5) Cambio de avance en el logro general del grupo hacia niveles de mayor comprensión y

menor variabilidad.

16

El análisis de los resultados del grupo de 2º grado, de 7 a 8 años de edad, representados en la Gráfica 3, muestra igualmente variadas formas de abordaje del problema que evidencian a su vez, la presencia de los cinco niveles de comprensión planteados y variados tipos de cambio.

Gráfica 3. Cambios intersujeto en el Nivel de comprensión del grupo de 2º grado

2o grado

12345

Nivel de comprensión

Las barras mues tran frecuencias

1 2 3 4 5 6

Ensayo

0%

25%

50%

75%

100%

Recu

ento

En 2º grado, el ensayo 4 presenta la mayor variabilidad de todos, mostrando la presencia de los cinco niveles de comprensión, los ensayos 1 y 3 presentan variabilidad evidenciando cuatro de los cinco niveles encontrados en este grupo, los ensayos 2 y 6 presentan variabilidad evidenciando por lo menos tres niveles de comprensión y el ensayo 5 presenta la menor variabilidad de todos evidenciando tan sólo dos niveles de comprensión. En el ensayo 1, el 42% de los niños evidencia el Nivel de comprensión 1 (agrupamiento y conteos de cajas), el 28,6% de los niños el Nivel de comprensión 2 (composición unitaria), el 14,3% de los niños el Nivel de comprensión 3 (composición aditiva sin estímulo) y el 14,3% en el Nivel de comprensión 5 (composición total aditiva y multiplicativa). En el ensayo 2 la distribución de los niños en los niveles de comprensión cambia drásticamente: el 53% de los niños evidencian un Nivel de comprensión 5, el 30,8% de los niños un Nivel de comprensión 4 y el 15,4% un Nivel de comprensión 2. En el ensayo 2 se observa en general un avance del grupo hacia los niveles de comprensión más avanzados. En el ensayo 3 el 63% de los niños evidencia un Nivel de comprensión 5 y el 18,2% de los niños un Nivel de comprensión 4. El 9,1% se encuentra en el nivel 1 y el mismo porcentaje se encuentra en el Nivel 2. En el ensayo 4 el 42,9% de los niños se encuentra en el Nivel 4 y el 35% en el Nivel 5 y el 23% en el Nivel 5. Un 7,5% de los niños evidencia Nivel 1, un 7,5% evidencia Nivel 2 y un 7,5% Nivel 3. Se encuentra un nuevo movimiento del ensayo 4 al 5 en los niveles de comprensión: El 71,4% de los niños se encuentran

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en el nivel más avanzado de composición y tan solo un 28,6% de los niños se encuentra en el Nivel 4. El cambio del Nivel de comprensión del ensayo 5 al 6 muestra un leve descenso: el 69% de los niños evidencian Nivel 5, el 23,1% evidencia Nivel de 4 y tan sólo un 7,7% evidencia Nivel 2. Los resultados de 2º grado también apoyan la idea que la comprensión de los niños no avanza de manera progresiva a lo largo de la secuencia de aprendizaje. En este grupo se pueden caracterizar por lo menos cinco tipos de cambio más generales: 1) Cambio de niveles de comprensión menos avanzados a niveles de comprensión más

avanzados: p.ej., el avance que caracteriza cambios del ensayo 1 al 2 y del 4 al 5. 2) Cambio de niveles de comprensión más avanzados a niveles de comprensión menos

avanzados: p.ej., el retroceso que caracteriza cambios del ensayo 3 al 4, o en menor grado, del ensayo 5 al 6.

3) Cambio de estados de mayor variabilidad a menor variabilidad: p.ej. del ensayo 1 al 2 ó del ensayo 4 al 5.

4) Cambio de estados de menor variabilidad a mayor variabilidad: p.ej. del ensayo 2 al ensayo 3, del 3 al 4 y del 5 al 6.

5) Cambio de avance en el logro general del grupo hacia menor variabilidad y principalmente hacia niveles de mayor comprensión.

Los resultados del grupo de 3º grado son representados en la Gráfica 4. El análisis de estos resultados muestra que los niños de 3º grado, de 8 a 9 años de edad, no presentan una sola forma de resolver la tarea a lo largo de toda la secuencia de aprendizaje. Sin embargo, aunque presentan variadas formas de abordaje de la tarea, a lo largo de toda esta secuencia se evidencian sólo tres de los cinco niveles de comprensión, y en el ensayo 1: el 53% de los niños se encuentran en el nivel 4 de comprensión (composición parcial aditiva y multiplicativa), el 40% en el Nivel 5 (composición total aditiva y multiplicativa) y el 6,7% en el Nivel 1 (agrupamientos y conteos de cajas). En los ensayos 2, 3, 4 y 5 los niños evidencian únicamente los dos niveles de comprensión más altos, aunque varíe levemente la distribución en cada uno: El ensayo 2, con 80% de los niños en el Nivel 5 y un 20% en el Nivel 4; el ensayo 3, con 93% de los niños en el Nivel 5 y tan sólo un 6,7% en el Nivel 4; El ensayo 4, con 73% de los niños en el Nivel 5 y un 26,7% en el Nivel 4 y el ensayo 5, de nuevo con 93% de los niños en el Nivel 5 y tan sólo un 6,7% en el Nivel 4. El ensayo 6 muestra como único nivel de comprensión, el Nivel más avanzado, no mostrando variabilidad. Los resultados de 3º muestran igualmente que la comprensión de los niños no avanza de manera progresiva a lo largo de la secuencia de aprendizaje. Así, se pueden caracterizar por lo menos cuatro tipos de cambio más generales:

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1) Cambio de niveles de comprensión menos avanzados a niveles de comprensión más

avanzados: p.ej., el avance que caracteriza cambios del ensayo 1 al 2 y del 2 al 3, o del ensayo 4 al 5 y del 5 al 6.

2) Cambio de niveles de comprensión más avanzados a niveles de comprensión menos avanzados: p.ej., el retroceso que caracteriza cambios del ensayo 3 al 4.

3) Cambio de estados de mayor variabilidad a menor variabilidad: p.ej. del ensayo 1 al 2 ó del ensayo 5 al 6.

4) Cambio de avance en el logro general del grupo hacia niveles de mayor comprensión y menor variabilidad.

Gráfica 4. Cambios intersujeto en el Nivel de comprensión del grupo de 3º grado

3o grado

345

Nivel de comprensión

Las barras mues tran frecuencias

1 2 3 4 5 6

Ensayo

0%

25%

50%

75%

100%

Recu

ento

3.2.2. Resultados cambios intrasujeto en niveles de comprensión en cada grado/edad Un análisis descriptivo y un análisis cualitativo, permite establecer las características de las rutas estables o las rutas de cambio en el Nivel de comprensión intrasujeto que evidenciaron los niños del estudio en cada grupo grado/edad, entre los 6 ensayos para la composición de numerales. En general, en toda la muestra son encontradas tres tipos de rutas intrasujeto en el nivel de comprensión. A continuación se describen los criterios para definir cada ruta: 1. Patrón de ruta con comportamiento estable: Agrupa 2 o más niños que siguen la misma ruta de cambio (o muy similares), y en estas rutas se encuentran en el mismo nivel de comprensión, o en dos niveles de comprensión cercanos, por ejemplo, rutas que se movilizan entre el nivel 1 y 2, el nivel 2 o 3, el nivel 3 o 4, o el nivel 4 y 5. 2. Patrón de ruta con comportamiento variable: Agrupa 2 o más niños que siguen la misma ruta de cambio (o muy similares), pero en estas rutas pasan por estados en que tienen una diferencia

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entre si de de más de dos niveles de comprensión, por ejemplo, rutas que se movilizan entre niveles de comprensión 1 y 5, 1 y 3, 3 y 5, etc. 3. Comportamiento variable:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6

Niv

el co

mpr

ensi

ón

Transición Patrón de ruta con Comportamiento estable

Series1

Series2

Agrupa 2 o más niños que siguen diferentes rutas de cambio, pasando por estados en que tienen una diferencia entre si de más de dos niveles de comprensión, no muestran un patrón determinado. En el grado de Transición se encuentra 1 Patrón de ruta con comportamiento estable y 1 grupo de niños con rutas de cambio con Comportamiento variable. El Patrón de ruta con comportamiento estable se caracteriza porque los niños inician y desarrollan la ruta en el nivel de comprensión numérica 2, basado en operaciones de composición unitaria ó conteos uno a uno. La mayoría de los niños termina en este nivel y algunos niños en el nivel 1, caracterizado por conteos o agrupamientos de cajas (ver Gráfica 5).

Gráfica 5. Patrón de ruta con comportamiento estable en el grupo de Transición

La estabilidad de los niños en el Nivel 2 de comprensión, indica que no sólo comprenden la meta numérica, como la transformación del numeral de un formato convencional a un formato de cajas, sino que el numeral estímulo se constituye en representación de un todo cardinal que marca el límite del conteo unitario (estrategia 3). Algunos de los niños de este patrón incluso ya saben que la posición de los dígitos o de las palabras en las expresiones numéricas son importantes, y las utilizan como totalidades (cardinales). Por eso cuentan las cajas siguiendo el valor de los dígitos o de las palabras numéricas pero sin tener en cuenta el valor de la unidad (1, 10, 100, etc) y sin composición aditiva entre ellas. Aunque estos niños trabajan mentalmente con valores compuestos (cardinales), la base diez no se constituye aún en una representación del valor que multiplica los valores de cada elemento léxico del formato del estímulo. Este patrón lo muestran 9 de los 15 niños del grado transición. De estos 9 niños, 3 siguen la Ruta 1 (ver serie 1 en Gráfica 5) y 6 siguen la Ruta 2 (ver serie 2), la más característica de este grado. En un subgrupo de 4 niños del grado Transición se encuentran rutas de cambio en la comprensión con un Comportamiento variable. (Ver Gráfica 6). Hay una característica que podría caracterizar las 3 de las cuatro rutas de este subgrupo de niños (ver serie 3, 3 y 4) y es que por lo menos en 4 ensayos consecutivos los niños mostraron un nivel de comprensión 2, al igual que la mayoría de los niños de transición. Sin embargo, los niños pueden empezar o terminar sus rutas en otros

20

niveles avanzados, intermedios o el más bajo. Un niño incluso avanza a los niveles más altos y regresan a los niveles menos avanzados. El comportamiento del otro niño (Ruta 1 o serie 1) es completamente diferente ya que empieza en un nivel intermedio y su ruta se desarrolla en el nivel 5 más avanzado en los últimos 5 ensayos. Gráfica 6. Niños con rutas de cambio con comportamiento variable en el grupo de Transición

0

1

2

3

4

5

6

Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6

Niv

el d

e co

mpr

ensi

ón

Transición Comportamiento Variable

Series1

Series2

Series3

Series4

En el grado 1º se encuentra 1 Patrón de ruta con comportamiento estable, 2 Patrones de ruta con comportamiento variable y 1 grupo de niños con rutas de cambio con Comportamiento variable. El Patrón de ruta con comportamiento estable se caracteriza porque los niños inician, desarrollan y finalizan la ruta en el nivel de comprensión numérica más avanzado, el Nivel 5, basado en operaciones de composición aditiva y multiplicativa, el dominio de la base diez, y del principio de valor de posición (ver gráfica 7). El patrón de ruta con este comportamiento estable es encontrado en 2 de los 14 niños del grado 1º y se considera el patrón de desempeño más exitoso.

Gráfica 7. Patrón de ruta con comportamiento estable en el grupo de 1º grado

0

1

2

3

4

5

6

Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6

Niv

el c

ompr

ensi

ón

1º Patrón de ruta con Comportamiento estable

Series1

21

Aunque los niños que siguen este patrón se encuentran en el nivel de comprensión 5, pueden presentar cambios entre las estrategias que se encuentran en este nivel, lo que indica que estos niños pueden en algún ensayo hacer explicita la configuración, y en otros ensayos pueden no hacerla explicita, aunque la configuración esté correcta. El 1er Patrón de ruta con comportamiento variable encontrado en el grupo de 1º grado se caracteriza porque los niños empiezan en el primer ensayo en los niveles de comprensión menos avanzados 1 y 2, de composiciones unitarias y en un caso en el nivel intermedio 3 de composición aditiva sin estimulo, pero en los 5 ensayos siguientes la ruta se desarrolla entre los dos niveles más avanzados 4 y 5, mostrando una rápida comprensión de la tarea y un desempeño exitoso a partir del segundo ensayo, con composiciones parciales o totales aditivas y multiplicativas (Ver Gráfica 8). De los 14 participantes de 1º grado, 3 niños evidencian este patrón. Se considera un patrón de ruta porque los 3 niños muestran el mismo avance en la secuencia de aprendizaje. Sin embargo, se considera de comportamiento variable, porque las rutas completas revelan niveles de comprensión lejanos entre si.

Gráfica 8. 1er Patrón de ruta con comportamiento variable en el grupo de 1º grado

0

1

2

3

4

5

6

Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6

Niv

el c

ompr

ensi

ón

1º Patrón de ruta con Comportamiento variable

Ser

Ser

Ser

El 2do Patrón de ruta con comportamiento variable encontrado en el grupo de 1º grado se caracteriza porque en el primer ensayo los niños empiezan en un nivel de comprensión menos avanzado 1, de conteos y agrupamiento de cajas y en un caso en el nivel intermedio 3 de composición aditiva sin estímulo, en el segundo ensayo algunos siguen en estos niveles y otros avanzan hacia los dos niveles más avanzados de comprensión 4 y 5 con composiciones parciales o totales aditivas y multiplicativas, en el 3er ensayo todos pasan a estos dos niveles avanzados, en el ensayo 4 todos regresan de nuevo a los niveles menos avanzados, y en los ensayos 5 y 6 todos avanzan de nuevo a los niveles más avanzados 4 y 5, finalizando sus rutas de cambio en el nivel 5 de composición total aditiva y multiplicativa (Ver Gráfica 9). De los 14 participantes de 1º grado, 6 niños evidencian este patrón. Se considera un patrón de ruta porque los 6 niños muestran el mismo ciclo de avance-retroceso-avance en la secuencia completa de aprendizaje. Sin embargo, se considera de comportamiento variable, porque las rutas revelan niveles de comprensión lejanos entre si altos y bajos. Este es el patrón de ruta que caracteriza los niños de 1º grado.

22

Gráfica 9. 2do Patrón de ruta con comportamiento variable en el grupo de 1º grado

0

1

2

3

4

5

6

Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6

Niv

el c

ompr

ensi

ón

1º Patrón de ruta con Comportamiento variable

Series1

Series2

Series3

Series4

Series5

Series6

Igualmente en un subgrupo de 3 niños del grado 1º se encuentran rutas de cambio en la comprensión con un Comportamiento variable (Ver gráfica 10). Estos niños se caracterizan por seguir rutas que se desarrollan de manera irregular entre todos los niveles de comprensión menos avanzados y más avanzados. Algunos niños avanzan a los niveles más altos y regresan a los niveles menos avanzados. Gráfica10. Niños con rutas de cambio con comportamiento variable en el grupo de 1º grado

0

1

2

3

4

5

6

Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6

Niv

el d

e co

mpr

ensi

ón

1º Comportamiento variable

Series1

Series2

Series3

En el grado 2º se encuentra 1 Patrón de ruta con comportamiento estable, 2 Patrones de ruta con comportamiento variable y 1 grupo de niños con rutas de cambio con Comportamiento variable. El Patrón de ruta con comportamiento estable se caracteriza porque, al igual que el patrón de ruta estable de 1º grado, los niños de 2º grado inician, desarrollan y finalizan la ruta en el nivel de comprensión numérica más avanzado 5 de composición aditiva y multiplicativa y dominio de la base diez y del principio de valor de posición. El patrón de ruta con este comportamiento estable es encontrado en 2 de los 14 niños del grado 2º y se considera el patrón de ruta más exitoso.

23

Gráfica 11. Patrón de ruta con comportamiento estable en el grupo de 2º grado

0

1

2

3

4

5

6

Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6

Niv

el c

ompr

ensi

ón

2º Patrón de ruta con Comportamiento estable

Series1

El Patrón de ruta con comportamiento variable encontrado en el grupo de 2º grado se caracteriza porque los niños empiezan en el primer ensayo en los niveles de comprensión menos avanzados 1 y 2, de composiciones unitarias y en un caso, en el nivel intermedio 3, de composición aditiva sin estímulo. Aunque un niño sigue sólo durante el segundo ensayo en el nivel 2, la mayoría de los niños desarrollan la ruta entre los dos niveles más avanzados 4 y 5 en los 5 ensayos siguientes, evidenciando la comprensión rápida de la tarea y un desempeño exitoso a partir del segundo ensayo, con composiciones parciales o totales aditivas y multiplicativas (Ver Gráfica 12). De los 14 participantes de 2º grado, 7 niños evidencian este patrón, siendo el más característico de este grado.

Gráfica 12. Patrón de ruta con comportamiento variable en el grupo de 2º grado

0

1

2

3

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Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6

Niv

el c

ompr

ensi

ón

2º Patrón de ruta con Comportamiento variable

Series1

Series2

Series3

Series4

Series5

Series6

Este es un patrón muy similar al 1er patrón de ruta con comportamiento variable encontrado en 1º grado. De la misma manera, se considera un patrón de ruta porque los 7 niños muestran el mismo

24

avance en la secuencia de aprendizaje, y aunque alcanzan cierta estabilidad en los últimos ensayos se presenta un comportamiento variable porque las rutas completas implican niveles de comprensión lejanos entre si altos y bajos. Un subgrupo de 3 niños del grado 2º revela rutas de cambio en la comprensión con un Comportamiento variable que no siguen un patrón (Ver Gráfica 13). Aunque estos niños tienden a empezar en niveles bajos o en el nivel intermedio, sus rutas se desarrollan de manera irregular entre todos los niveles de comprensión menos avanzados y más avanzados. Algunos niños avanzan a los niveles más altos y regresan a los niveles menos avanzados en diferentes ensayos. Gráfica 13. Niños con rutas de cambio con comportamiento variable en el grupo de 2º grado

0

1

2

3

4

5

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Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6

Niv

el c

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ón

2º Comportamiento variable

Series1

Series2

Series3

En el grado 3º se encuentra 1 Patrón de ruta con comportamiento estable, y 1 niño con ruta de cambio de Comportamiento variable. El Patrón de ruta con comportamiento estable se caracteriza porque los niños de 3º grado inician, desarrollan y finalizan la ruta en los dos niveles de comprensión numérica más avanzados 4 y 5 de composiciones parciales o totales aditivas y multiplicativas, mostrando dominio de la base diez en algunos o todos los rangos numéricos y manejo del principio de valor de posición, igualmente para algunos o todos los rangos numéricos (ver Gráfica 14). El patrón de ruta con este comportamiento estable es encontrado en 14 de los 15 niños del grado 3º, con 6 rutas similares (llamadas series en la gráfica) y se considera un patrón de desempeño relativamente exitoso, con múltiples variaciones entre estrategias ideales y estrategias transicionales (nivel 4) hacia el dominio total del sistema de notación en base diez.

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Gráfica 14. Patrón de ruta con comportamiento estable en el grupo de 3º grado

0

1

2

3

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5

6

Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6

Niv

el c

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ón

3º Patrón de ruta con Comportamiento estable

Series1

Series2

Series3

Series4

Series5

Series6

Finalmente, es encontrado un solo niño con una variación en la ruta de cambio de toda la secuencia de aprendizaje, y aunque esta variación es levemente diferente con respecto al patrón estable encontrado en el grado 3º, se ha clasificado como comportamiento variable siguiendo estrictamente un criterio: Presenta en la ruta completa niveles diferenciados, en este caso iniciando en un nivel intermedio 3 y pasando a niveles altos en los que se desarrolla el resto de la ruta.

0

1

2

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Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 Ensayo 6

Niv

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ón

3º Comportamiento variable

Series1

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3.3. Objetivo específico 2 Establecer si se encuentran diferencias en el desempeño de los niños, relacionadas con la variable formato de representación del numeral –arábigo y verbal-. 3.3.1. Resultados relación desempeño con formatos de representación Un análisis descriptivo permitió establecer las relaciones entre el desempeño de los niños y los formatos de representación. Este análisis se realiza primero para la relación logro vs. formato de representación, que son establecidos a partir del logro en el 1er numeral (1er ensayo) de cada sesión. Los análisis de logro general en función del formato durante la 1ra sesión, muestran que en Transición y en 3º grado de primaria hay una tendencia a mayor porcentaje de error cuando los niños se enfrentan a numerales en formato arábigo que en formato verbal, mientras en 2º grado hay mayor porcentaje de error cuando los niños se enfrentan a formato verbal (ver Tabla 2). En 1º grado, la relación tiende a ser equitativa para los dos formatos. En la 2da sesión, Transición y 1º tienden a mostrar un mayor porcentaje de error en formato arábigo, aunque la diferencia disminuye con respecto a la 1ra sesión. En 3º grado se invierte la relación, dado que con el avance de la 1ra a la 2da sesión, los niños logran mayor acierto en el formato arábigo que en el verbal. En la 2da sesión, el logro de 2do es equitativo para los dos tipos de formato.

Tabla 2. Logro en el primer numeral de cada sesión en función del tipo de formato

Grado Formato Error Sesión 1

Acierto Sesión 2

Error Sesión 1

Acierto Sesión 2

n % n % n % n % Tran Arábigo 7 100% 7 87,5% 1 12,5% Verbal 5 71,4% 2 28,6% 5 71,4% 2 28,6% 1° Arábigo 7 87,5% 1 12,5% 6 75,0% 1 12,5% Verbal 5 83,3% 1 16,7% 4 66,7% 2 33,3% 2° Arábigo 6 85,7% 1 14,3% 5 71,4% 2 28,6% Verbal 7 100,0% 5 71,4% 2 28,6% 3° Arábigo 6 75,0% 2 25,0% 1 12,5% 7 87,5% Verbal 3 42,9% 4 57,1% 2 28,6% 5 71,4%

Igualmente se establece la relación estrategia vs formato de representación. El análisis del tipo de estrategias que los niños utilizan en función del formato de representación muestra que existen estrategias que se utilizan exclusiva, ó predominantemente con un tipo de formato. La predominancia cambia de estrategia a estrategia. Estrategias que se privilegian de acuerdo al tipo de formato La estrategia 10 Composición parcial en rango menor con caja para potencia, que se presenta en 1º, y predominantemente en 2º y 3º y, la estrategia 5 Conteo marcas de cantidad con caja para potencia que se presenta en 1º, son estrategias exclusivamente verbales, es decir, el 100% de las veces que es usada, es cuando los niños se enfrentan a un formato verbal. La estrategia 3 Tope cardinal, predominante en el grado transición, es usada en ambos formatos, pero tiende levemente a ser usada con mayor frecuencia con formato verbal (55,3%) que con formato arábigo (44,7%).

27

Por otra parte, la estrategia 7 Fragmentación en rango menor que sólo se presenta en 1ro, es una estrategia exclusivamente arábiga, es decir, el 100% de las veces que es usada, es cuando los niños se enfrentan al formato arábigo. La estrategia 4 Conteo marcas de cantidad, que se utiliza en todos los grados y es predominante en 1ro y 2do, es igualmente usada con mayor frecuencia en el formato arábigo: en 1ro el 87,5% de las veces que la estrategia es usada es frente a formato arábigo mientras el 12,5% es usada frente a formato verbal; en 2do, el 85% de las veces que es usada es frente a formato arábigo mientras el 15% es usada frente a formato verbal. Los resultados encontrados en este análisis indican que los niños son capaces de representar de manera diferenciada las características sintácticas exclusivas de cada uno de los formatos de representación externa y estas representaciones dirigen los métodos de resolución de la tarea de comprensión numérica.

De acuerdo con el análisis de cambio en el desempeño intrasujeto, en todos los grados se encuentra 1 Patrón de ruta con comportamiento estable, sin embargo, hay diferencias en este patrón que permiten comparar los 4 grados. El Patrón estable de Trancisión se caracteriza por la

Estrategias transicionales y los formatos Las estrategias 8 Composición de rango mayor y 9 Composición de rango menor, consideradas dos estrategias transicionales hacia el dominio completo del sistema en base diez, porque evidencian que los niños cuentan con los recursos operacionales y con el manejo de la base y el valor de posición para algunos rangos, es una estrategia que no se presenta frente a un formato determinado con una tendencia tan clara como las anteriores estrategias. En 1ro la estrategia 8 Composición de rango mayor es usada el 68,7% con formato arábigo y el 31,3% con formato verbal; sin embargo, en 2do la relación mayor-menor uso con cada formato se invierte, pues el 73% de las veces que es usada es frente a formato verbal y el 27% frente a formato arábigo. En 3ro el 77,8% de las veces es usada con formato arábigo y el 22,2% con formato verbal. La estrategia 9 Composición de rango menor, por su parte, es utilizada en 1º el 63% con formato arábigo y el 37% con formato arábigo, en 2do la relación es equitativa para cada formato y en 3º el 89,5% es usada con formato arábigo y el 10,5% con formato verbal. Aunque en toda la muestra, las estrategias transicionales tienden a ser usadas frente al formato arábigo, esta relación varía de grado a grado, y es un reflejo de la mayor dificultad que representa para los niños comprender el principio del valor de posición en el formato arábigo que en el formato verbal, tal como fue mostrado en el análisis logro vs formato de representación. A medida que los niños avanzan en la construcción y el dominio del sistema de numeración en base diez, se logra un desempeño exitoso similar para los dos tipos de formato. Esto se observa en que la estrategia ideal 12 Composición total explícita, es utilizada el 50 % de las veces con el formato verbal y el 50 % de las veces con el formato arábigo. 3.4. Objetivo específico 3 Establecer si se encuentran diferencias en el desempeño de los niños, relacionados con la variable grado/edad. 3.1.1. Resultados cambio en la comprensión intrasujeto e intersujeto en todos los grados

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presencia del nivel de comprensión 2 de bajo éxito, en que la tarea es comprendida como una tarea de composición unitaria y es evidenciado en 9 niños del grado escolar, el Patrón estable de 1º y 2º es igual, mostrando la presencia del nivel 5, el de mayor éxito, en todos los ensayos, pero es encontrado únicamente en dos niños en cada grado. El patrón estable de 3º es igualmente exitoso, con variaciones entre los dos niveles más avanzados de estrategias transicionales y la estrategia ideal, y es encontrado en 14 de los 15 niños. Estos datos evidencian una menor variabilidad en los grados de transición y 3º de primaria y una mayor variabilidad en los grados de 1º y 2º. Estos datos se confirman porque en transición sólo 4 niños evidencian comportamiento variable y en 3ro sólo un niño evidencia comportamiento variable. Entre transición y 1ro se evidencia menor variabilidad en 3ro. Por el contrario en 1º, son encontrados dos patrones de ruta con comportamiento variable y 3 niños con comportamiento variable y en 2º es encontrado un patrón de ruta con comportamiento variable y 3 niños con comportamiento variable, evidenciando en estos grados mayor variabilidad. El patrón de ruta de comportamiento variable 1 de 1º, es muy similar al patrón de ruta de comportamiento variable de 2º, caracterizados porque los niños inician en niveles bajos de comprensión y en el ensayo 2 o 3 avanzan y se quedan en los niveles más avanzados. Sin embargo, el patrón de de ruta comportamiento variable 2 de 1º evidencia drásticos pasos de niveles poco avanzados a más avanzados y de más avanzados a menos avanzados en el desarrollo de la ruta, de tal manera que se concluye mayor variabilidad en el grado 1º que en todos los grados. La mayor variabilidad en el grado 1º puede ser explicada por el paso al nivel de primaria caracterizado porque las instituciones educativas empiezan a brindar a los niños gran cantidad de información. Por ejemplo, los niños conocen el rango de los cienes y los miles conjugando en mayor medida el conocimiento que los cienes (en formato verbal) son los numerales de 3 cifras (en formato arábigo) y los miles (en formato verbal) son los numerales de 4 cifras (en formato arábigo). Al parecer entre más conocimiento los niños adquieren sobre el sistema más variabilidad se produce, mientras ellos empiezan a construir reglas de composición de numerales en cada formato. Cuando los niños avanzan hacia el dominio de las reglas del sistema, el comportamiento se va estabilizando de nuevo (como lo fue en transición), como sucede en 3º de primaria, y en desempeños exitosos. Los cambios en la comprensión intersujeto confirman estos datos. En primer lugar, en 3º se encuentran 3 de los 5 niveles de comprensión en la secuencia de aprendizaje, y los 3 sólo aparecen en el primer ensayo, y los otros dos a lo largo de los cinco ensayos estudiados, en Transición se encuentran 4 de los 5 niveles de comprensión, mientras en 1º y 2º se encuentran los 5 niveles a lo largo de los seis ensayos, mostrando que 3º es el grupo con menor variabilidad que los otros grados, y mostrando una mayor variabilidad de 1º y 2º, ñeque los niveles varían de ensayo a ensayo así como la frecuencia de presencia en un ensayo. IV. CONCLUSIONES Los resultados muestran cambios significativos en el aumento del logro entre las dos sesiones en los grados 1º, 2º y 3º y no así en Transición. Los cambios significativos hacia el logro en la tarea, encontrados en los grados 1º, 2º y 3º evidencian la efectividad de los protocolos de intervención incluidos desde el ensayo 2 y el potencial de aprendizaje al incluirlos como estrategia de

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enseñanza del sistema de notación en base diez. En transición los protocolos no tienen efectividad, pues los niños no muestran avances significativos de una sesión a otra, y su nivel de logro permanece relativamente estable entre todos los ensayos y a lo largo de la secuencia de aprendizaje. Se encuentran en total, en los cuatro grupos grado/edad, 12 estrategias de resolución distribuidas en 5 niveles de comprensión de progresiva abstracción. Los niveles de comprensión identificados se caracterizan por la progresiva construcción de operaciones aditivas y multiplicativas que evidencian el manejo operativo de valores numéricos para componer el numeral, y el dominio de las reglas de composición para un rango numérico determinado: 1) Nivel de conteos y agrupamiento de cajas, con una estrategia de conteos y agrupamientos azarosos y una estrategia de conteo total, 2) Nivel de composición unitaria, con la estrategia tope cardinal y la estrategia de secuencia dígitos 3) Nivel de composición aditiva sin estímulo, con la estrategia composición de otro numeral, 4) Nivel de composición parcial aditiva y multiplicativa con la estrategia fragmentación en rango menor, la estrategia composición parcial en rango mayor, composición parcial en rango menor y composicion parcial en rango menor con marca y finalmente 5) Nivel de composición total aditiva y multiplicativa con una estrategia de composición total implícita y una estrategia de composición total explicita. Las estrategias, reagrupadas en los cinco niveles conforman una secuencia de desarrollo de la comprensión numérica desde niveles menos avanzados de abstracción a niveles más avanzados de abstracción en relación con el concepto de número que los niños han construido. El otro resultado significativo es el referido a la variabilidad. El análisis intersujeto evidencia que los niños de todos los grados, desde Transición hasta 3ro de primaria, no presentan una sola forma de resolver la tarea de comprensión a lo largo de toda la secuencia de aprendizaje. Por el contrario, presentan variadas formas de abordaje de la tarea que evidencian a su vez, la presencia de diferentes niveles de comprensión. En el grado transición fueron encontrados cuatro niveles de comprensión, el 1, el 2, el 3 y el 5. En 1º y en 2º grado fueron encontrados los cinco niveles de comprensión, en 3º grado fueron encontrados los 3 niveles de comprensión más altos, 3, 4 y 5. Esto evidencia que los niveles de comprensión no son correspondientes y no dependen de una edad específica. Desde el punto de vista de la presencia de los niveles de comprensión en la secuencia de aprendizaje de seis ensayos se evidencia variabilidad en diferentes grados. El análisis intersujeto evidencia además 5 tipos de cambios: 1) Cambio de niveles de comprensión menos avanzados a niveles de comprensión más avanzados, 2) Cambio de niveles de comprensión más avanzados a niveles de comprensión menos avanzados, 3) Cambio de estados de mayor variabilidad a menor variabilidad, 4) Cambio de estados de menor variabilidad a mayor variabilidad y 5) Cambio de avance en el logro general del grupo hacia niveles de mayor comprensión y menor variabilidad. El análisis intrasujeto apoya estos resultados. En el nivel intrasujeto se encuentran 3 tipos de rutas de resolución de la tarea: 1) Patrón de ruta con comportamiento estable, 2) Patrón de ruta con comportamiento variable y 3) Rutas de Comportamiento variable. Las rutas de cada sujeto confirman variadas formas de cambio en los niveles de comprensión. Los resultados intersujeto e intrasujeto muestran que, aunque los niveles de comprensión de la tarea establecidos son progresivamente más avanzados, no se presentan en los niños de una manera lineal y progresiva, pues los niños presentan avances y retrocesos entre las estrategias y los niveles de comprensión.

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En general los niños mostraron diversidad en el desempeño intrasujeto e intersujeto (p.e. en el logro, niveles de comprensión y estrategias) y variados tipos de cambio que en pocos trabajos han sido relacionados previamente quizá por la naturaleza de los estudios que habían abordado esta temática, de tipo transversal o longitudinal. Este supuesto podría indicar que mecanismos de tipo dinámicos podrían interactuar con las comprensiones que los niños progresivamente logran del número y generan variabilidad en diferentes características de la actividad cognitiva (Siegler, 1994; Shrager & Siegler, 1998; Lemaire y Siegler, 1995), una pregunta que queda abierta para futuros estudios. Los análisis de logro general en función del formato durante la 1ra sesión, muestran mayor dificultad en la comprensión del formato arábigo en Transición y en 3º grado de primaria, mientras en 2º grado hay mayor porcentaje de error cuando los niños se enfrentan a formato verbal. Estas relaciones cambian hacia la segunda sesión, en que las diferencias en el logro frente a cada formato son menos evidentes. Este es un efecto posiblemente de la intervención con los protocolos de intervención reflexivos. . El análisis del tipo de estrategias que los niños utilizan en función del formato de representación muestra que existen estrategias que se utilizan exclusiva, ó predominantemente con un tipo de formato y que la predominancia cambia de estrategia a estrategia, por ejemplo, la estrategia 10 Composición parcial en rango menor con caja para potencia y la estrategia 5 Conteo marcas de cantidad con caja para potencia son exclusivamente verbales. La estrategia 3 Tope cardinal es predominante verbal. La estrategia 7 Fragmentación en rango menor es una estrategia exclusivamente arábiga y la estrategia 4 Conteo marcas de cantidad es usada con mayor frecuencia en el formato arábigo. Esto indica que características sintácticas exclusivas de cada uno de los formatos son representadas por los niños y dirigen los métodos de resolución de la tarea. Las estrategias transicionales 8 y 9 del nivel de Composición parcial, tienden a ser usadas frente al formato arábigo, sin embargo, esta relación varía de grado a grado, y es un reflejo de la mayor dificultad que representa para los niños comprender el principio del valor de posición en el formato arábigo que en el formato verbal. Cuando los niños logran el dominio del sistema la estrategia ideal 12 Composición total explícita, es utilizada el 50% de las veces con el formato verbal y el 50% de las veces con el formato arábigo. Los análisis intrasujeto e intersujeto apoyan la conclusión que en los grados se presentan diferencias en los tipos de cambio que se presentan. Estos resultados muestran que los grupos de transición y de 3º son menos variables que los grupos de 1º y de 2º. Que 1º es el que mayor variabilidad presenta y en frecuencia y en los tipos de cambio, al parecer porque en este grado hay un acceso a mayor conocimiento pero sin dominio de reglas. Entre más conocimiento los niños adquieren sobre el sistema más variabilidad se produce, mientras ellos empiezan a construir reglas de composición de numerales en cada formato. Cuando los niños avanzan hacia el dominio de las reglas del sistema, el comportamiento se va estabilizando de nuevo (como lo fue en transición), como sucede en 3º de primaria, y en desempeños exitosos. El fenómeno de cambio en las estrategias conduce a pensar acerca de cuáles pueden ser fuentes de cambio externas. A partir de estos resultados se puede concluir que protocolos de intervención basados en la presentación de preguntas aditivas y multiplicas combinados con la fragmentación del numeral en rangos menores parecen dirigir el pensamiento de los niños hacia la composicion aditiva y multiplicativa de los numerales, teniendo en cuenta la regla del valor de posición y las características de cada formato. La inclusión de protocolos pretende condensar los posibles cambios en la comprensión numérica que se presentarían en los niños en tiempos más amplios de

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tiempo, y explorar la variedad de recursos cognitivos que los niños evidencian en su proceso de construcción del sistema de numeración en base diez. Según Siegler (1995) en una aproximación a las diferentes dimensiones del cambio en la construcción del concepto de conservación del numero, propone que los estudios microgenéticos generalmente involucran la identificación de uno o mas tipos de experiencias que podrían contribuir al cambio cognitivo, proporcionando exposiciones intensivas para tales experiencias, y observando las reacciones de los niños ante éstas. Lo anterior, conduce a pensar que la intervención con protocolos especificados en una situación de resolución de problemas, pueden ser generadores de cambio en las estrategias utilizadas por los niños, dado que los protocolos de intervención pueden dirigir su pensamiento para considerar algunos elementos u operaciones para resolver la tarea. Un estudio a profundidad de estudios de caso es formulado para el estudio específico a profundidad de las fuentes de cambio, por eso los resultados no se enfocan en este aspecto. 3. COMPROMISOS PACTADOS 3. 1. Generación de nuevo conocimiento Tipo de producto 1 Artículo de investigación Nombre general Nombre particular del articulo

Cambio en niveles de comprensión numérica durante los primeros años escolares

Indicador 1 Manuscrito de artículo empírico (Anexo 2) Ciudad y fecha Presentación y envío de una publicación desde Cali en Diciembre de 2007 Participantes Yenny Otálora Sevilla Sitio de Información Centro de Investigaciones en Psicología, Cognición y Cultura Tipo de producto 2 situaciones de resolución de problemas de comprensión numérica en

ambientes de aprendizaje en CD-ROM (que sirvan para un futuro software educativo el cual constituye un escenario de simulación)

Nombre general Nombre particular del CD-ROM

Aplicaciones de dos tareas para futuro software educativo

Indicador CD-ROM con Aplicaciones de dos tareas para futuro software educativo (Anexo 3)

Ciudad y fecha Cali, 23 de Octubre de 2007 Participantes: Yenny Otálora Sevilla Sitio de Información Centro de Investigaciones en Psicología, Cognición y Cultura

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3.2. Fortalecimiento de la comunidad científica Tipo de producto Fortalecimiento de redes multidisciplinarias de investigación en el área

de Matemáticas y Cognición Nombre general Asesoría y trabajo conjunto profesor extranjero Nombre particular del profesor visitante

Visita Profesora Pilar Ruesga Ramos, Doctora en Didáctica de las Matemáticas, Universidad de Burgos para asesoría y trabajo conjunto al proyecto (Anexo 4)

Indicador Visita de un profesor en Educación Matemática de la Universidad de Burgos para asesoría y trabajo conjunto durante las semanas del 9 al 19 de enero de 2007.

Ciudad y fecha Cali, Enero de 2007 Participantes: Sitio de Información Centro de Investigaciones en Psicología, Cognición y Cultura Tipo de producto Formación de 2 jóvenes investigadores al interior del proyecto (en el

acta de compromiso fue pactado sólo 1 joven investigador) Nombre general Nombre particular de los jóvenes en formación y tesis

1) Viviana Varón: Estudio Sobre la Fuentes de Cambio de la Actividad Cognitiva en Niños al Resolver una Tarea de Comprensión Numérica 2) Nohemy Bedoya: Comprensión de la Regla del Valor de Posición en Niños con Dificultades en el Aprendizaje de las Matemáticas. Una Propuesta de Intervención.

Indicador Documentos Jóvenes Investigadores (Anexo 5) - 2 estudiantes de psicología-pregrado que desarrollan 1 año de práctica en el proyecto -2 proyectos de grado para Psicología pregrado

Ciudad y fecha Viviana Varón Fecha de inicio práctica supervisada: Enero 13 de 2006 Fecha terminación Práctica Supervisada: Mayo 29 de 2007 Aprobación Proyecto de Grado: 3 de Octubre de 2007 Nohemy Bedoya: Fecha inicio práctica supervisada: Octubre de 2005 Fecha terminación práctica supervisada: Diciembre de 2006 Aprobación Proyecto de Grado: Octubre 6 de 2006

Sitio de Información Centro de Investigaciones en Psicología, Cognición y Cultura

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3.3. Apropiación social del conocimiento Tipo de producto 1 Ponencia en evento nacional e internacional y 2 Ponencias en evento

nacional (en el acta de compromiso fue pactada sólo 1 ponencia) Nombre general Ponencia 1: I Seminario Internacional y VI Nacional de Investigaciones en

Educación y Pedagogía. Universidad Pedagógica Nacional. Ponencia 2: XVIII Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones y VI Encuentro de Aritmética. Universidad Pedagógica Nacional. Ponencia 3: XVIII Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones y VI Encuentro de Aritmética. Universidad Pedagógica Nacional.

Nombre particular de las ponencias

Ponencia 1: (Evento nacional e internacional): Uso de cajas de valor en situaciones de resolución de problemas para la comprensión del sistema notacional en base diez. Ponencia 2 (Evento nacional): Instrumentos para promover la comprensión y la producción numérica: el uso de cajas de valor, protocolos de intervención reflexivos y situaciones intensivas y extensivas. Ponencia 3 (Evento nacional): Niveles de comprensión numérica en preescolar y primaria: indicadores a partir del uso de cajas de valor, protocolos de intervención reflexivos y situaciones intensivas y extensivas.

Indicador Documentos presentaciones en eventos (Anexo 6) -3 presentaciones en power point de resultados parciales del proyecto -3 Certificados de participación en los eventos

Ciudad, fecha, evento e institución

Ponencia 1: Bogotá del 28 al 31 de Mayo de 2007 Ponencia 2: Bogotá del 21 al 23 de Junio de 2007 Ponencia 3: Bogotá del 21 al 23 de Junio de 2007

Tipo de producto Informe final de investigación Nombre general Nombre particular del informe

Informe técnico proyecto: Cambio cognitivo en la comprensión numérica de niños en sus primeros años escolares

Indicador - 1 Documento del informe técnico Ciudad y fecha Cali, 23 de Octubre de 2007 Sitio de Información Centro de Investigaciones en Psicología, Cognición y Cultura Tipo de producto Propuesta de intervención para maestros de preescolar y primaria Nombre general Nombre particular del programa

Propuesta de intervención para maestros: Aprendizaje del Sistema de Notación en Base Diez con Cajas de Valor (Anexo 7)

Indicador - Plan de trabajo del programa y descripción de recursos Ciudad y fecha Depende de aceptación en convocatorias Sitio de Información Centro de Investigaciones en Psicología, Cognición y Cultura

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4. EQUIPOS

Equipo Ubicación Usos 1 Equipo de cómputo portátil HP Intel Core2 Centrino DUO de 1.66 mhz Disco duro 74G Memoria RAM de 1GB

Centro de Investigaciones de Psicología, Cognición y Cultura

- Se utilizó para el análisis de datos de y el informe de los resultados de la investigación Cambio Cognitivo en la Comprensión Numérica de Niños en sus Primeros Años Escolares -Se utiliza para los cursos de pregrado, maestría y doctorado que dictan los profesores del grupo. - Se utiliza para la investigación Modelamiento del Cambio Cognitivo en Sistemas de Procesamiento Numérico en Niños actualmente en curso, financiada por Colciencias. -Se utiliza para el manejo de las bases de datos bibliográficas del Grupo -Se utiliza en el Programa de Intervención Temprana, el Niño Lector, Escritor, Matemático, Científico y Sujeto Social. Comprensión para el Desarrollo.

1 Impresora HP LaserJet 1020 (15 ppm carta / 14 ppm A4)

Centro de Investigaciones de Psicología, Cognición y Cultura

-Se utilizó para la impresión de todos los documentos y del informe de los resultados de la investigación Cambio Cognitivo en la Comprensión Numérica de Niños en sus Primeros Años Escolares -Se utiliza para la investigación Modelamiento del Cambio Cognitivo en Sistemas de Procesamiento Numérico en Niños actualmente en curso, financiada por Colciencias. -Se utiliza en el Programa de Intervención Temprana, el Niño Lector, Escritor, Matemático, Científico y Sujeto Social. Comprensión para el Desarrollo.

1 Cámara de video MiniDV Sony DCR HC36

Centro de Investigaciones de Psicología, Cognición y Cultura

-La utilizan los estudiantes de pregrado, maestría y doctorado que están haciendo su tesis en el grupo. -Se utiliza en el Programa de Intervención Temprana, el Niño Lector, Escritor, Matemático, Científico y Sujeto Social. Comprensión para el Desarrollo.

1 Cámara Fotográfica Sony DSC-S650

Centro de Investigaciones de Psicología, Cognición y Cultura

-La utilizan los estudiantes de pregrado, maestría y doctorado que están haciendo su tesis en el grupo. -Se utiliza en el Programa de Intervención Temprana, el Niño Lector, Escritor, Matemático, Científico y Sujeto Social. Comprensión para el Desarrollo.

2 Reguladores de corriente Everest ISO PC-3

Centro de Investigaciones de Psicología, Cognición y Cultura

Se utilizan en dos equipos del grupo Matemática y Cognición.

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5. IMPACTO Los resultados del estudio tienen impacto en dos tipos de comunidades: La comunidad psicológica y la comunidad educativa. En la comunidad científica psicológica y la conformación a mediano y largo plazo de una Red de investigación en cambio cognitivo en el desarrollo del conocimiento numérico y las habilidades matemáticas y sus relaciones o implicaciones con la educación. En la comunidad educativa, la consolidación a corto plazo de un Modelo de intervención en comprensión y producción numérica a través de ambientes ricos de aprendizaje y la conformación a mediano y largo plazo de Programas de intervención en instituciones educativas a través de software educativo.

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ANEXO 1 ASPECTOS METODOLÓGICOS Y SITUACIÓN EXPERIMENTAL

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ASPECTOS METODOLÓGICOS Y SITUACIÓN EXPERIMENTAL 1. Participantes En el estudio participan 58 niños de Transición a 3ro de primaria, con edad homogenizada para cada grado escolar así: 15 niños de Transición entre 5,1 -5,10 años; 14 niños de 1 de primaria entre 6,1-6,10 años, 14 niños de 2 entre 7,1 -7,10 años y 15 niños de 3 entre 8,1 -8,10 años. Los niños asisten a un colegio privado de la ciudad de Cali de nivel socio-económico medio-alto. Aunque el estudio inicialmente planteó el análisis del desempeño sólo de 42 niños desde 1ro de primaria hasta 3ro de primaria, consideré necesario incluir en el estudio un grupo de niños que se encuentran ya en un periodo de preescolar denominado transición, con el fin de observar la evolución que los niños pueden tener en la comprensión numérica desde antes de ingresar a la primaria. Este daría un cuadro más completo de los cambios en la comprensión numérica a través de las diferentes edades. 2. Diseño Se trata de un análisis cualitativo y cuantitativo del desempeño de los niños en la resolución de una tarea de comprensión numérica presentada en dos formatos diferenciados: formato verbal hablado y formato arábigo y del cambio en el desempeño a lo largo de 6 ensayos distribuidos en 2 sesiones. El grupo de niños en cada grado escolar es dividido en dos subgrupos, que son sometidos a dos condiciones según el formato de la tarea a la que se enfrentan: Grupo Formato Verbal (GFV) y Grupo Formato Arábigo (GFA), tal como se muestra en el Cuadro 1. Los niños en cada grupo son asignados aleatoriamente a cada condición. En la Sesión 1, los entrevistadores llevan a cabo la aplicación de tres numerales. Los tres numerales son análogos cumpliendo la condición sin cero. En la Sesión 2, llevan a cabo la aplicación de otros tres numerales análogos cumpliendo la misma condición sin cero. De esta manera, los niños se enfrentan a la tarea en tres ensayos en una primera sesión (Sesión 1), y en tres ensayos en una segunda sesión (Sesión 2). Entre las dos sesiones hay una semana de diferencia.

Grado Edad No. niños 1ra sesión

Total niños

sesión 1

No. niños 2da sesión Total niños

sesión 2 Verbal F

Arábigo Verbal Arábigo Transición 5,1 -5,10 años 6 8 15 6 9 15 1° primaria 6,1-6,10 años 6 8 14 6 7 13 2° primaria 7,1-7,10 años 7 7 14 7 7 14 3° primaria 8,1-8,10 años 7 8 15 7 8 15

Cuadro 1. Número de niños en cada grado y en cada condición

A los niños que no tienen éxito en la tarea después del ensayo 2 se les presenta dos protocolos de intervención reflexivos entre cada ensayo hasta el final de la secuencia de aprendizaje. Estos protocolos de intervención son construidos previamente a partir del análisis de tareas y dirigen el pensamiento de los niños hacia la composicion aditiva y multiplicativa de los numerales, teniendo en cuenta la regla del valor de posición y las características de cada formato. La inclusión de protocolos pretende condensar los posibles cambios en la comprensión numérica que

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se presentarían en los niños en tiempos más amplios de tiempo, y explorar la variedad de recursos cognitivos que los niños evidencian en su proceso de construcción del sistema de numeración en base diez. 3. Instrumento

Se utiliza como instrumento una tarea de comprensión numérica llevada a cabo con un material cuasi-abstracto denominado Cajas de valor. El material está compuesto por un grupo de cincuenta (50) cajas de balso del mismo tamaño (5x3x3 cms.), que se subdividen en cinco grupos de acuerdo a su valor. Cada valor operacionaliza las diferentes unidades del sistema de numeración en base diez: 10 cajas de valor uno (1), 10 cajas de valor diez (10), 10 cajas de valor cien (100), 10 cajas de valor mil (1000) y 10 cajas de valor diez mil (10000). Todas las cajas tienen escrito el valor correspondiente en la parte superior en formato arábigo. Para la presentación de la tarea, se ponen sobre la mesa las cajas agrupadas según su valor (el orden de ubicación de los grupos es al azar). Para 1° de primaria se ponen sobre la mesa diez cajas de valor 1, diez cajas de 10 y diez cajas de 100. Después se le narra la siguiente historia para contextualizar la tarea: “Don Pepe tiene una tienda, y le gusta guardar los granos en cajas. Cada una de las cajas está marcada con un número que indica la cantidad de granos que hay dentro de ella. Por ejemplo, ¿Esta caja que número tiene?” (se le muestra al niño una caja de 1), “¿Cuántos granos hay dentro de ella?, ¿Cuántas cajas de un grano tienes?” (se le muestran al niño las diez cajas de 1). “Esta otra caja que número tiene?” (se le muestra al niño una caja de 10), “¿Cuántos granos hay dentro de ella?, “Cuántas cajas de diez granos tienes?” (se le muestran al niño las diez cajas de 10). “Y ésta otra caja que número tiene? (se le muestra al niño una caja de 100), ¿Cuántos granos hay dentro de ella?, “Cuántas cajas de cien granos tienes?” (se le muestran al niño las diez cajas de 100). “Don Pepe tiene que enviar un pedido de granos, tu podrías ayudarlo a organizar las cajas para reunir el número de granos que tiene que enviar?”. Después de esta familiarización con el material y el contexto, a los niños en la condición GFA se les muestra en la tarjeta el número 645 y se les da la siguiente consigna: “Don pepe tiene que enviar este número de granos en la menor cantidad de cajas posibles. ¿Cómo podrías organizar las cajas para reunir únicamente este número de granos?. La tarjeta se deja visible durante toda la tarea. A los niños en la condición GFV se les da la siguiente consigna: “Don pepe tiene que enviar ‘seiscientos cuarenta y cinco` granos en la menor cantidad de cajas posibles. ¿Cómo podrías organizar las cajas para reunir únicamente ‘seiscientos cuarenta y cinco` granos?. El número en formato verbal hablado se le repite al niño si él lo solicita. Se espera a que los niños configuren el numeral. Una vez reciben el numeral los niños deben construirlo con las cajas de valor, por ejemplo, el número 645 sería construido idealmente con 6 cajas de valor 100, 4 cajas de valor 10 y 5 cajas de valor 1 (Ver Figura 1). Una vez terminada la tarea se hacen a los niños las siguientes preguntas para que explicite la configuración que ha organizado: “¿Has terminado? Cómo organizaste las cajas para reunir el número de granos del pedido?. Cuántos granos tienes en total por todas las cajas?”.

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Figura 1. Configuración ideal de numeral 645

Para todos los grupos de sujetos, se ha establecido como nivel de complejidad componer numerales en el rango superior al asignado para el grado escolar del niño. Este rango es utilizado a partir de los criterios del MEN-ICETEX1

Comprensión del problema, dejando que los niños puedan establecer como meta la trasformación del numeral estímulo en un formato determinado –arábigo ó verbal hablado- a una configuración con las cajas de valor.

. Por esta razón para Transición, se hace la misma presentación que a 1, sin las cajas de 100 con los numerales en el rango correspondiente variando únicamente el formato; para 2° se incluyen las diez cajas de 1.000 y se dice la misma consigna con los numerales correspondientes al grado 2° y variando únicamente el formato de presentación del número. Para 3° se hace la misma presentación que a 2º incluyendo las diez cajas de 10.000 y se dice la misma consigna con los numerales correspondientes al grupo de 3° y variando únicamente el formato de presentación del numeral en cada condición. 3.1. Análisis de tarea de la situación: La tarea permite investigar en los sujetos:

Procesamiento léxico cuando los niños deben identificar el valor semántico de los dígitos del numeral arábigo o las marcas de cantidad del numeral verbal con un procedimiento de recuperación de la memoria a largo plazo.

Procesamiento sintáctico para la comprensión del numeral estímulo, cuando los niños deben establecer la regla que determina la composición de un numeral en formato arábigo, ó verbal hablado:

o En el caso del formato arábigo, establecer la regla del valor de posición: Comprender el valor de posición implica que el niño comprenda que cada posición de los dígitos indica el valor del orden en el sistema (1, 10 o 100) por el cual se debe multiplicar el dígito y que este aumenta de derecha a izquierda. La comprensión del valor de cada dígito y de cada posición implica que el niño comprenda las unidades como compuestas, y que cada posición cambia de valor. La comprensión de los valores del sistema implica que el niño comprenda el 1, el 10 y el 100 como unidades compuestas.

1 Ministerio de Educación Nacional-Instituto Colombiano para el fomento de la Educación Superior. Instituciones que establecen los lineamientos para la educación en Colombia.

100 100 100 100 100

1 1 1 1

10 10 10

1

100

10

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o En el caso del formato verbal hablado, la regla de composición morfosintáctica de

palabras numéricas entre prefijos que corresponden a marcas de cantidad y sufijos que corresponden a marcas de potencia. Comprender la relación entre las marcas de cantidad y las marcas de potencia implica que el niño comprenda que cada marca de potencia indica el valor del orden (1, 10 o 100) por el cual se debe multiplicar la marca de cantidad que le antecede que este disminuye de mayor a menor a medida que el número es enunciado. Si a una marca de cantidad no le sigue una marca de potencia es porque la cantidad se encuentra en el orden de las unidades y se multiplica por 1. La comprensión del valor de cada marca de potencia y de cada marca de cantidad implica que el niño comprenda las unidades como compuestas. La comprensión de los valores del sistema implica que el niño comprenda el 1, el 10 y el 100 como unidades compuestas.

Procesamiento sintáctico para la producción de la configuración de cajas: Corresponder

cada dígito ó cada marca de cantidad del numeral estímulo con un número de cajas del mismo valor. Reglas de conteo para establecer cada cantidad de cajas: correspondencia uno a uno, orden estable y cardinalidad (tope).

o Composición multiplicativa: El valor de las cajas en cada grupo debe corresponder al orden por el cual se multiplica cada marca de potencia o cada posición de la cadena de dígitos.

o Composición aditiva: Para componer la configuración en un todo que corresponda al numeral estímulo.

El uso de las cajas de valor permite manejar niveles de complejidad en función de los rangos numéricos que se trabajan en cada grado escolar y es por esto, que se puede utilizar incluso desde transición hasta quinto de primaria. La implementación de un contexto del mundo real le ofrece la estructura de una situación de resolución de problemas a la cual los niños se enfrentan: plantea una meta que alcanzar, y le otorga al niño un rol, de tal manera que esa meta sea significativa para él como solucionador. La presencia del contexto favorece no sólo la comprensión de la tarea por los niños, sino que recrea una actividad numérica de la vida real en que tiene lugar la comprensión de los números en diferente formato y despliega una serie de estrategias que son definidas operacionalmente como la “organización de su conocimiento y recursos cognitivos puestos en un procedimiento dirigido a una meta” (Otálora, 2005). Las estrategias permiten establecer diferentes niveles de comprensión numérica. El contexto ha sido probado en un pilotaje previo a la aplicación. Este pilotaje ha arrojado como resultado una mayor comprensión de la tarea, en contraste con menor comprensión, cuando se pide al niño construir la configuración a partir de los numerales presentados, pero sin un contexto significativo. 4. Descripción de los protocolos de intervención

Se diseñan dos protocolos de intervención. El primer protocolo es utilizado para la revisión de la configuración que el niño ha construido, con preguntas aditivas y multiplicativas y una comparación del valor total expresado por el niño con el valor de la configuración unidad por unidad igualmente con preguntas aditivas y multiplicativas. El segundo protocolo corresponde a la manipulación del rango numérico del numeral presentado para que sea configurado de nuevo, a

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partir de la fragmentación del numeral en rangos inferiores y progresivamente un aumento del rango numérico, integrando las diferentes unidades de orden. 5. Procedimiento general Para las dos sesiones de aplicación de la tarea de comprensión numérica los niños son evaluados individualmente por los entrevistadores, en un salón dispuesto por el colegio, con condiciones de silencio y espacio adecuado para la resolución. Cada sesión dura 60 minutos aproximadamente. Todas las sesiones son grabadas en video. Se diseñan rejillas específicas para la codificación de desempeños.