Capítulo IV

CANTIDAD, NÚMERO Y MEDIDA

Jairo Alvarez Gavir ia Ph.D. Introducción Para este Seminario – Taller, el trabajo con los maestros está orientado por los planteamientos de Verg-naud (1992), expuestos en el capitulo 6 de El número y la medida (Ver anexo 1) y por las ideas expuestas por Behr et al (1991b), en la primera parte del artículo Units of quantity: A conceptual basis common to additi ve and multipli cative structures (Ver anexo 2). El capitulo de Vergnaud fue complementado con un material en el que se hace una síntesis estructurada de las ideas matemáticas involucradas en su lectura (Ver Anexo 3). Los materiales fueron entregados a los maestros con una guía de lectura y luego discutidos por el grupo de participantes. En relación con los materiales mencionados se entregaron dos tareas que fueron analizadas por los maestros. Estas tareas fueron llevadas por ellos, posteriormente, al aula. Describimos a continuación, en forma esquemática, los principales planteamientos contenidos en los ma-teriales de lectura mencionados. En las secciones que siguen se presenta el análisis subjetivo de la tarea, y de la producción correspondiente, de uno de los alumnos en torno al segundo tema. Interesaba revelar en que medida los alumnos disponían de los conocimientos necesarios para realizar las tareas propuestas y en segundo lugar, de que manera el trabajo realizado por los maestros en el aula tuvo un efecto real en el aprendizaje de los alumnos. El primer conjunto de ideas, referidas a los planmteamientos de Vergnaud, tiene que ver con los procesos cognitivos del alumno en la construcción del concepto de número (natural) y la manera como conceptos matemáticos, tales como relación de equivalencia, relación de orden, función, correspondencia biunivo-ca, cardinalidad y homomorfismo ingresan en dicho proceso para que el estudiante aprenda a contar, a sumar y al mismo tiempo adquiera la noción de número natural. Con el material complementario se bus-caba que el alumno se formara una idea clara, desde una perspectiva matemática, de las estructuras aritmé-ticas que construye el alumno al aprender (¿aprehender?) las operaciones y nociones mencionadas. Dos conclusiones finales se pueden destacar de los planteamientos de Vergnaud que tienen implicaciones muy importantes en la enseñanza. La primera, que las relaciones entre los números reflejan relaciones en-tre colecciones discretas y finitas de objetos y que el niño construye la noción de número en íntima aso-ciación con las propiedades de tales colecciones. La naturaleza de esa conexión es de tipo ‘homomórfi-co’(Vergnaud pag 112, anexo 1, pág 6). La segunda, que el concepto de número natural realmente no se constituye en el niño hasta que este no ha apropiado la noción de suma (no el algoritmo de suma con de-cimales, Vergnaud pag 112). El saber contar es apenas un segundo paso en el proceso de constituir dicha noción, pero no es suficiente. En el proceso de constitución de la noción de número natural se pueden observar los siguientes subproce-sos cognitivos: La constitución de la serie numérica hablada. El que un niño pueda recitarla no quiere de-cir que sabe contar, tiene que tener conciencia de la necesidad de construir una correspondencia biunivoca con los objetos en la colección que quiere contar. (Vergnaud pag 102). El construir dicha correspondencia no significa, sin embargo, disponer de la noción de cardinal de un conjunto de objetos, que es una noción que, en general, resulta más difícil para el niño. (Vergnaud pag 104). La noción de cardinal es, ante todo,

la consolidación, por parte del sujeto de una operación de medición (léase comparación), que no necesa-riamente involucra el conteo, pero ambas operaciones son fundamentales en la noción de número (Verg-naud pag 104). Diríamos, que cuando se articulan los dos procesos en una sola interpretación, se consolida en el niño la noción y la secuencia de los números naturales. Analizando la forma como funciona el conteo en la práctica se ve la necesidad de introducir la secuencia de los números naturales y los símbolos que los representan (Vergnaud pags 109, 110, 111,112). Esta operación de medición, determina dos relaciones básicas en la consolidación del concepto de número natural cuando se aplica a cantidades discretas. De un lado la relación de orden: Una colección tiene mas elementos que otra, que se refleja en el ordenamiento de la secuencia y, de otro, la relación de equivalencia de coordinabili dad: Dos colecciones tienen el mismo número de elementos que conduce a la noción de cardinal y que dá la posición en la secuencia. Vergnaud hace notar que estas dos relaciones las aplica el niño en contextos, tanto de conjuntos discretos y finitos como de conjuntos continuos de valores y que mientras la relación de orden no parece tener difi-cultades en ambos tipos de conjuntos, si surgen dificultades, documentadas empíricamente, con relación a la utili zación de la relación de equivalencia en el caso continuo (Vergnaud pags 105,106,107). Por ello destaca que la noción de número natural surge asociada es con el manejo de estas relaciones en el contexto de colecciones discretas y finitas (Verganud pag107). Parece conveniente agregar a este planteamiento, que en el manejo de la relación de equivalencia en el contexto de conjuntos continuos está el germen de la noción más amplia de número real, que paulatinamente irá construyendo el sujeto, aunque no necesaria-mente todo egresado de la secundaria logre culminar dicho proceso exitosamente. Finalmente, Vergnaud observa como sin la noción de suma, que está más allá de la noción de conteo, pero conexa con ella, no se consolida plenamente la noción de número. Y como la apropiación de esta noción, está asociada con la construcción del homomorfismo de medición que asocia la cardinalidad de una colec-cion discreta y finita con un elemento en la secuencia de los números naturales, preservando la relación de orden y permitiendo calcular el cardinal de una colección que se obtiene por reunión de dos colecciones, en términos de los cardinales de las colecciones iniciales. (Vergnaud pag 113,114. Ver anexo 3, pag 6). Behr et al (1991b), se hacen planteamientos en torno a la manera de abordar la investigación tendiente a entender como se desarrolla el conocimiento y el aprendizajede los niños sobre constructos matemáticos, tales como los números enteros y racionales y sobre las correspondientes operaciones entre tales números. Se enfatiza, en especial, la importancia de conocer muy a fondo tales constructos matemáticos, como un punto de partida para inferir sobre las estructuras cognitivas requeridas por el niño para poder entenderlos. Este tipo de análisis, que nosotros llamaríamos a priori, daría las pautas teóricas que podrían guiar la in-vestigación desde una perspectiva cognitiva.(Behr et al, ver anexo 2, pags 124,125). Los autores hacen planteamientos específicos sobre conexiones entre los campos aditivos y multiplicativos que se hacen evi-dentes a través del análisis de la aritmética de la cantidad y que llevadas al aula podrían favorecer el aprendizaje de la aritmética de los números naturales y facili tar el aprendizaje y comprensión de los núme-ros racionales y sus operaciones(Behr et al, pags 123,124).En nuestro trabajo utili zamos los siguientes planteamientos del artículo: El primero, que tiene contacto con los planteamientos de Vergnaud, se refiere a que parte de las dificulta-des que enfretan los estudiantes en el aprendizaje significativo de la aritmética están asociadas con la pos-tura didáctica que presenta los números como un constructo matemático independiente del contexto social, para ponerlo luego a funcionar (léase aplicar) en diferentes situaciones problemas, en lugar de construir las diferentes nociones de números asociadas, desde el principio, con situaciones problema en las cuales se expresa su necesidad y adquieren su significado (Behr et al pags 121,122 ).

El segundo planteamiento que utili zamos, se refiere a que puede tener efectos negativos para el alumno, en su aprendizaje de la aritmética de los números naturales y para su paso a la aritmética de los números racionales, el trabajar problemas de conteo y de medición en este contexto, asociándolos rígidamente con la utili zación de un solo tipo de unidad y unidades simples. Por lo tanto, creemos en el planteamiento de que debe ser beneficioso para el aprendizaje al alumno el que se vea confrontado con situaciones aritméti-cas relativas a los números naturales que involucren el manejo y representación de distintos tipos de uni-dades y de unidades compuestas (unidades de unidades, Behr et al, pags 123,124). Nos parecen interesantes, por último, aunque el punto no fué trabajado con los maestros, los sistemas de representación generic manipulative aid y generalized notation for mathematics of quantity, que propo-nen los autores en torno a la matemática de la cantidad y la aritmética de los números. Creemos que es posible elaborar versiones de estos sistemas de representación que podrían ser llevados con éxito al salón de clase. Notas Complementarias para el artículo: Unidades de Cantidad: Una base conceptual común a las es-tructuras aditi vas y multipli cativas [1] Que tan cierto es esto en nuestro medio. ¿Comparte usted esta afirmación?.Valdría la pena proponer una indagación sistemática al respecto, que podría pasar por el análisis de textos. [2] Es fundamental que el profesor entienda el sentido de este planteamiento. A nuestra manera de ver re-sulta válida la afirmación de que la aritmética de los números está basada en la suposición de que todos los números representan cantidades de la misma unidad, pero no es válido el supuesto que la unidad de-ba ser simple. Este es un problema de la interpretacion que le puede dar el maestro inconscientemente, pero debe ser claro que el concepto de unidad es relativo y la unidad que se toma como base podría ser compuesta. Este punto se discutirá mas ampliamente en el taller. [3] Aceptamos este planteamiento, pero de acuerdo con el comentario anterior creemos que los problemas deben proceder fundamentalmente de la manera como el profesor plantea y utili za la aritmética de los nú-meros para representar operaciones de conteo y medición de conjuntos discretos. Naturalmente, es plausi-ble la idea, tal como lo sugieren los autores más adelante, que el desarrollar una notación que pueda repre-sentar de manera mas general operaciones y resultados de conteos y mediciones realizados con unidades compuestas favorezca el aprendizaje no solo de la aritmética de los números naturales sino también el pa-so a la aritmética de los números racionales. [4]. ¿Está seguro que entiende estos planteamientos?. Aqui se hacen en torno a la actividad investigativa. ¿ Cree que se podrían aplicar a la preparación de la enseñanza? [5] Este planteamiento se llega a comprender plenamente al leer las secciones que aparcen a continuación en las páginas 126 y 127. A manera de ejercicio, interprete el problema de bolsas y bolas que será objeto de discusión, utili zando los sistemas de representación a que se hace mención en esta parte del artículo. Análisis de los registros de los estudiantes Se analiza la producción de un estudiante que se resultó particularmente ilustrativa. La preparación mate-mática de este estudiante con relación al grupo objeto de la intervención, y en lo concerniente al tipo de conocimiento matemático requerido para resolver eficientemente el problema propuesto, podría conside-rarse ligeramente superior al promedio, si tomamos como base comparaciones un tanto aleatorias que

hicimos de las producciones de otros estudiantes. No obstante, no se dispone de suficiente información empírica para validar estas afirmaciones. Primeras observaciones según agrupaciones de registros. y registros individuales: Los registros escritos y las transcripciones escritas de los registros orales estan consignados en cuatro páginas que siguen a este análisis. En las dos primeras páginas estan los registros escritos del alumno. Las transcripciones de los registros orales aparecen numerados de 1 a 71 en las dos páginas siguientes. En las dos páginas de registros escritos se han marcado zonas que agrupan conjuntos de registros que pue-den ser útiles en el análisis. En cada página, estas zonas se han denotado con letras mayúsculas A, B, C, etc. siguiendo el orden del alfabeto. Se han utili zado también pares ordenados de númerales para señalar un registro escrito asociándolo con la transcripción de un registro oral. Esta asociación puede ser impor-tante para asignarle un significado al registro escrito correspondiente. En un par ordenado el primer núme-ral es el que se le ha asignado al registro escrito en un proceso de ordenamiento (no necesariamente se in-cluyen todos los registros), y el segundo númeral se refiere a la transcripción del registro oral que se aso-cia con el registro escrito. Asi, si un planteamiento o comentario va seguido del par (4,25) significa que el planteamiento que se hace se sustenta en la lectura e interpretación de registro escrito 4 y el registro oral asociado cuya transcripción es la 25. Teniendo en cuenta estos acuerdos notacionales es posible hacer, un seguimiento objetivo del proceso global que siguió el alumno y de las estrategias que puso en juego para resolver la tarea, , apartir de las secuencias de registros que produce el alumno y de los significados que se pueden asociar a los registros individuales. Lo primero que se puede sacar en claro es que el alumno realiza dos intentos de solución del problema, registrando uno en cada página. En el primer intento, consignado en la primera página, fracasa. En el se-gundo tiene éxito ayudado un poco por la buena suerte. El segundo intento surge como un replanteamiento del primer proceso cambiando el espacio de representación del problema. En el primer intento el espacio de representación utili zado es el aritmético y en el segundo el icónico, en realidad combinado con el arit-mético. La representación icónica permite al estudiante ganar claridad sobre el procedimiento a seguir y no solo al fracasar en el primer intento, sino también al atascarse mas adelante en el segundo intento, re-gistros (30,64) y (31,65), el mantenerse fiel a la representación icónica le permite sali r adelante. Comparadas las estructuras de los dos intentos de solución del alumno se pueden observar diferencias que luego analizaremos pero entre ellas hay una semejanza que puede ser utili zada para revelar uno de los principales vacíos en la formación matemática del alumno y que quizás fue la mayor dificultad que tuvo que obviar para llegar a una solución apropiada de la tarea. Este vacío tiene que ver con la división entre naturales que el estudiante ni sabe aplicar apropiadamente, ni sabe ejecutar. La semejanza es la siguiente: Si se comparan las zonas A y B en ámbos procesos de solución y aunque en el primer intento ocurren algunos errores de cálculo aritmético se podría decir que ámbos planes de acción son coherentes. Al tratar de seguir adelante para calcular el número de bolsas pedidas, o sea cuando los registros estan en las zonas C y D, se advierten dificultades de interpretación que se refejlan en errores. (Ver registros (9,24), (10,25) en el primero y (29,63),(29,64) en el segundo) Y a veces, en comportamien-tos erráticos como en el primer intento de solución (Registros (12,29),(13,32) y de ahi para abajo todos). En el primer intento, las dificultades de interpretación unido a los problemas aritméticos desarticulan todo el plan de acción del alumno y lo llevan a “inventar sin sentido” llevando al fracaso el proceso de solu-

ción. En el segundo, el alumno reconoce que tiene dificultad y retoma la estrategia de solución en el espa-cio de representación icónica que le permite sali r adelante. Nuestro planteamiento es que las dificultades en ámbos procesos de solución están ligados a que el estu-diante no logra interpretar apropiadamente, en términos aritméticos la operación “ repartir” . Esto es bien claro en el segundo proceso de solución. El estudiante tiene el total de bolas ( Registro (27,59) bien calcu-lado. Piensa que el cálculo de bolsas pedido, de alguna manera tiene que ver con la división, y en la inter-pretación confunde losespacios de medida para producir el error consigando en el registro (29, 63), error que reconoce rápidamente (Registro (29,64)). Sinembargo, no propone la división correcta es decir no lle-ga a la interpretación aritmética esperada. Recurre a representar icónicamente el total de bolsas disponi-bles (17), cada una con 5 bolas y curiosamente no cuenta para calcular el total de bolas sino que lo calcula correctamente por multiplicación (Registros (32,67)). Al comparar con el total de bolas (Registros ((33,68)) se da cuenta que le faltan 13 bolas por repartir y llega a la solución (Registros (34,70), (34,71)). En este procedimiento exitoso hay un golpe de suerte. La idea (presunción) de que todas las bolsas inicia-les se van a necesitar no es necesariamente válido. El número de bolsas pedido puede ser menor que el número de bolsas que aparecen en el enunciado del problema,si el número de bolas por bolsa fuera mayor. Si este hubiese sido el caso, no está claro como hubiese proseguido el estudiante y bien podría ocurrir que el estudiante no pudiera resolver el mismo problema con otros datos.O sea, por el problema de la división, el procedimiento del alumno no es totalmente general y su estrategia no sería ganadora, en todos los casos, en este tipo de problemas. En definitiva, en el segundo intento de solución que es el exitoso el estudiante sigue claramente la estrate-gia 1 (agrupar – distribuir) en el espacio de representación icónica, combinada con representaciones arit-méticas. La estructura de la estrategia de solución del primer intento de solución que no culminó exitosamente, tie-ne algunas diferencias con la estructura del intento exitoso. En el primer intento, hay cambios de puntos de vista, el alumno hace cambios de estrategias que podrían tener interpretaciones distintas. Una interpretación puede ser la siguiente. En el primer intento de solución, los registros denotados (4,13), (5,15), (5,16), (5,17), (7,18) indican que el estudiante calcula un cierto total de bolas solo que el significa-do del 6 asociado con el par (7,18) no es claro. Pero el registro oral 18 lo conecta con los registros señala-dos con (2,8),(2,7),(2,6) que a su vez tiene un antecedente revelador en los registros (1,4). El 6 vendría a ser un resto de bolas que quedan despues de repartir de a 5 bolas en cada una de las 9 bolsas que dona Ro-berto. Solo que falla en la identificación de las operaciones aritméticas que debe hacer para calcular dicho residuo, como ha de equivocarse mas abajo al obtener la suma y obtener como resultado 109 (8,20). Este error y el confundir los espacios de bolas por bolsas desarticulan totalmente el plan de acción del alumno, que hasta ese momento era coherente. Los registros en la zona A estarían indicando que en (1,4) el alumno,de alguna manera, está intentando aplicar la estrategia 2, en forma restringida, es decir esta tomando 5 bolas como unidad de medida, llenan-do cada una de las 9 bolsas donadas por Roberto con 5 bolas y mirando cuantas bolas le sobran para su-marselas al total de bolas que tenía originalmente Pedro.Pero como se dijo, se equivoca al interpretar co-mo se calcula dicho resto. Es decir, se pueden interpretar los registros en las zonas A y B del primer intento de solución, son eviden-cia de dos estrategias coherentes que se coordinan en un proceso de solución para llegar al resultado, pero fracasan por los errores aritméticos y de interpretación ya mencionados.

Otra interpretación podría ser la siguiente: Las estrategias que se revelan en los registros de la zona A y de la zona B de este mismo proceso, no son coherentes y no están articuladas en un proceso de solución úni-co. Mas bien, la estrategia en A llega a un punto muerto para el alumno porque es inapropiada (Transcrip-ciones de registros orales 11 y 12) y la estrategia en la zona B es un replanteamiento de la estrategia de la zona A que en un momento dado retoma información de la primera parte que le parece pertinente. En este momento la nueva estrategia, que resulta de releer el enunciado es la estrategia 1 que fracasa, por proble-mas de interpretación del 6 (Registro (7,18)), al conectarla equivocadamente con la estrategia anterior, y luego por errores de tipo aritmético que ya se han mencionado. La estrategia inadecuada que se objetiva en los registros en la zona A, según este enfoque, esta basada en una percepción equivocada del problema, que de alguna manera parece suponer que la distribución de las bolas en grupos de a 5 se debe hacer en las bolsas que da Roberto y se trata de calcular cuantas de ellas necesita. (Registros (2,6).(2,7),(2,8) y las transcripciones 9, 10 de los registros orales Esta interpretación se mantiene latente en el alumno si uno ve la semejanza con la situación que se revela en los registros (29,63) y (29,64). Solo que en esta caso, el estuidiante cambia la interpretacion de resta a multiplicación. Otros hechos que se pueden observar es que hay abundantes errores aritméticos. Interpretativos (Registros (2,6),(9,24), (10,25) y otros en la zona C del primer intento de solución y (29,62) en la zona C del segun-do intento) . Algorítmicos (Registros (8,20), (12,29)) A manera de observaciones generales • El principal obstáculo que enfrenta el estudiante en su solución es el no diponer de la debida concep-

tualización de la operación aritmética de la división entre naturales. El estudiante, no solo no dispone al parecer del algoritmo, no sabe dividir, sino que no identifica en que situaciones la operación que se realiza entre objetos puede ser representada o interpretada como una división. En el caso que nos ocu-pa el estudiante es incapaz de asociar en forma explícita la operacion de la división con la repartición del total de bolas en bolsas de a cinco y cuando en un momento específico parece reconocer que debe dividir no sabe realizar la operación (no dispone del algoritmo) por lo cual el estudiante debe buscar una estrategia para sali r del bloqueo.

• Sobre la operación de multiplicación entre naturales el estudiante tiene sin duda algún dominio pero el

manejo algorítmico presenta deficiencias que tienen efectos concretos en las dificultades que tiene alumno en la solución del problema. Por ejemplo, si bien el estudiante sabe calcular mediante multi-plicación cuantas bolas hay en 4 bolsas cada uno conteniendo 4 bolas o en 4 bolsas cada una conte-niendo 7 bolas o en 9 bolsas cada una conteniendo 6 bolas, osea identifica bien la operación que debe aplicar y calcula bien multiplicaciones entre dos números de un solo digito, e incluso multiplica bien dos números cuando uno tiene dos dígitos y el otro un dígito, el estudiante falla al calcular el producto de un número de un dígito por otro número de tres dígitos, acaso porque el cero aparece en una posi-ción intermedia.(Registros (9,24)) En su momento esta falla es causa de desconcierto en el alumno conduciendolo a perder la ruta de su primer intento de solución

• En lo que concierne a la suma el estudiante identifica bien cuando debe aplicarla, en este caso para

calcular el total de bolas en todas las bolsas, y sin duda el dominio de la operación es mejor que en las operaciones anteriores, pero aún en la suma se evidencian deficiencias algorítmicas, pues se equivoca al a posicionar un número de un dígito en una suma de tres números cuando los dos restantes eran de dos dígitos.

• Algo interesante enel estudiante es que toma distancia de los problema e interpreta sus reusltados lo cual lo lleva a rconocer que esta atascado,o que comete errores.

• Estos planteamientos permitiría hacer un balance en términos de la formación aritmética del estudian-

te: La observación de registros de otros estudiantes permiten vislumbrar que este estudiante puede es-tar un poco por encima de la formación matemática promedia del grupo, aunque carecemos de los es-tadísticas para validar esta afirmación. En general, con excepciones notables, los estudiantes no tienen consolidada la operación aritmética de la división ni conceptualmente(apropiada identificación de si-tuaciones en que se aplica la división), ni en su aspecto algorítmico (los estudiantes no saben dividir). La suma entre naturales es la única operación que parece plenamente consolidada entre los estudian-tes aunque en el aspecto algoritmo el comportamiento del estudiante objeto de estudio sugiere que se pueden presentasr fallas en el manejo algoritmico cuando se trata de sumas generalizadas de números naturales con mas de una cifra y mas de dos sumandos. El aprendizaje de la multiplicación estaría a mitad de camino de ámbas operaciones. Es posible que entre los estudiantes de este nivel se presenten problemas tanto de tipo conceptual como algorítmico.

• Al hacer el seguimiento de los distintos registros escritos y grabados el estudiante utili za tanto el espa-

cio de representación aritmético como el sistema de representción icónico y es justamente en este sis-tema de representación donde el estudiante define con claridad un plan de solución llegando a la res-puesta correcta.

• El cálculo del número de bolas que tendría si en cada una de las 17 bolsas iniciales se ditribuyeran de a cinco bolas remite a dos consideraciones de interés. La primera, que el estudiante podría ser cons-ciente, de alguna manera, de las dos estrategias que hemos señalado en el Análisis Subjetivo de la Ta-rea. Es decir que un método para resolver el problema es proceder a dejar en cada una de las bolsas iniciales de a cinco bolas y calcular cuantas bolas nos sobran. Las bolas sobrantes luego se repartirían en bolsas de a cinco. En realidad esta es la manera como finalmente llega el alumno a la respuesta al no dominar ni entender la división. Esta es, de otro lado, la primera estrategia que parece vislumbrar el alumno cuando empieza por averiguar cuantas bolas tendría en nueve bolsas si en cada una se colocan cinco bolas.

• La otra consideración tiene que ver con la construcción de la divisón por parte del sujeto. Se podría pensar que el estudiante tiene en acto la definición de cociente (Sería aquel número que multipili cado por el divisor da el dividendo). Desde esta perspectiva el estudiante estaría verificando si 17es el co-ciente de dividir el total de bolas por 5. Esto estaría sugiriendo que el estudiante puede llegar natural-mente al concepto de división exacta y de división entera a partir del concepto de multiplicación me-diante la apropiada selecciónde las situaciones de enseñanza y sin tener que superponerle, de manera arbitraria, una definición de divisióny un algoritmo.

• En la gran mayoría de los casos cuyos registros fueron analizados, los estudiantes clarifican o resuel-ven el problema con mayor claridad cuando utili zan el sistema de representación icónico. Es frecuente el caso de estudiantes que aritmetizan en mínima medida este espacio de representación y resuelven el problema apoyandose basicamente en el conteo y poniendo en juego solo operaciones de colecciones de objetos, sin que realmente ingresen ní la suma ni la multiplicación. Por ejemplo los estudiantes di-bujan las bolsas y ponen en ellas tantos puntos como bolas se supone que deben tener las bolsas. Lue-go representan mediante un dibujo la reunión de todas las bolas en una sola bolsa y cuentan. Luegon van llenando bolsas hasta agotar el total.

Análisis subjetivo de la tarea sobre unidades compuestas

TAREA 2: Pedro tiene 8 bolsas con bolas, 4 contienen 4 bolas cada una y las 4 restantes contienen 7 bo-las cada una. Roberto le regala 9 bolsas con 6 bolas cada una. Si quiere colocarlas en bolsas con de 5 bolas cada una. ¿cuántas bolsas necesita?. Analisis subjetivo: Para revelar el tipo de conocimiento que el estudiante debe poner en juego para resol-ver la tarea, caracterizaremos, mediante un diagrama de flujo, un hipotético proceso de solución: 1. En la interpretación del problema se establecen dos momentos: 1a. La lectura de la tarea, en la que el estudiante lee la tarea y en primera instancia debe: �

Diferenciar dos espacios de medida, el de las bolsas y el de las bolas. �

Reconocer que la cantidad de bolas puede variar según la bolsa �

Tener en cuenta el tipo de "operación" realizada cuando el sujeto B le regala bolsas con bolas al sujeto A

Los requisitos para que el estudiante realice este paso debe estar famili arizado con la terminología usada y, por supuesto, saber leer. 1b. Representar el problema, creemos entender un problema y lo podemos operacionalizar en la medida en que construimos una representación personal del mismo en la cual se puede dar cuenta de los distintos aspectos (datos), que ingresan en él; en este caso las bolas y las bolas y la donación que ocurre (donación de bolsas y bolas). Esta representación casi siempre, pero no necesaria-mente, se objetiva y a su vez se soporta y clarifica mediante preguntas, versiones externas de diversa natu-raleza: objetos, dibujos, letras, números, etc. Los tipos de representación utili zados establecen niveles de abstracción y generalidad que puede manejar el alumno y sus indicadores del grado de evolución de su formación matemática. En este caso es posible identificar tres "sistemas de representación" atendiendo a su versión externa:

� Un sistema que podríamos llamar "concreto", que utili za objetos concretos "bolsas y bolas" para representar el problema. La operación propuesta es realizarla con objetos materiales.

� Un sistema de representación icónica , al igual que los resultados de procesos de transformación u operación que se piensan sobre ellas, las bolsas y las bolas se representan mediante dibujos de bol-sas y bolas.

� Un sistema aritmético en el que la representación se hace mediante números y la operación pro-puesta y el proceso de solución mediante operaciones aritméticas.

1a Lee la tarea

1b Representa el

problema

2 Escoge una estrategia de

solución

3 Ejecuta el plan

4 Produce un resultado

1 Interpreta el problema

No se podría considerar que los tres sistemas de representación funcionan totalmente separados, en el pro-ceso de solución pueden coexistir y en su versión externa pueden apoyarse entre sí. El último revela, por ejemplo, un cierto conocimiento aritmético personal y puede apoyarse en versiones parciales del sistema icónico para operar con mayor claridad. Requisitos: Como se dijo, los tres sistemas de representación se diferencian, fundamentalmente, por su grado de abstracción y generalidad. Del primero al segundo media un proceso de ideación y apropiación de métodos gráficos para describir e interpretar situaciones. El tercero supone, ante todo, la interpretación de acciones sobre objetos como operaciones aritméticas. En todos los sistemas de representación se re-quiera que el alumno sepa contar. 2. y 3. Escogencia y ejecución de una estrategia de solución. En los tres sistemas de representación es posible identificar dos estrategias: Agrupar - Repartir: consiste en "agrupar" todas las bolas disponibles y luego "repartir" en colecciones de cinco bolas. En el primer sistema de representación el significado de "agrupar" y "repartir" es li teral. Es lo que li te-ralmente se hace con los objetos que se utili zan para la representación. En el espacio de representación icónico la interpretación es muy cercana pero las acciones se representan gráficamente. Por ejemplo una bolsa con todas las bolas y luego el dibujo sucesivo de bolsas con cinco bolas, cada una, hasta agotar las bolas.

En el sistema de representación aritmético, se identifica números asociados separadamente con bolsas y bolas. "Agrupar" en este caso significa calcular el total de bolas y "repartir" de a cinco se interpreta como calcular el número de bolsas mediante división. Es importante observar que para calcular el total de bolsas y bolas se puede proceder mediante la suma de los números de bolas en cada bolsa (4+4+4+4) + (7+7+7+7) + (6+6+..9.. +6), o simpli ficando mediante el ingreso de la multiplicación 4 x 4 + 7 x 4 + 9 x 6. Es probable que quién utili ce solo suma en el cálculo del total de bolas no aplique la división para el cál-culo de las bolsas y recurra al sistema de representación icónico para resolver esta parte. Requisitos Los distintos procesos muestran claramente el tipo de conocimiento que tiene que poner en juego el alum-no para ejecutar esta primera estrategia. En los dos primeros sistemas de representación, estrictamente hablando y desde la perspectiva del cono-cimiento aritmético, el estudiante solo requiere contar. El "agrupar y "repartir" no requiere estar aritmeti-zado, está referido a disponer de dichos conceptos a nivel de colecciones de objetos específicos, es decir, tal como se usa en el lenguaje ordinario. La diferencia entre el sistema concreto y el sistema icónico está en el grado de mayor abstracción del segundo . En ninguno de los casos es explícito la necesidad del con-cepto de suma, ni el de multiplicación, ni mucho menos el de división. En la representación de tipo aritmético se requiere, como mínimo, interpretar "reunir" como "suma" y para realizar el cálculo "saber" sumar números de un solo dígito. El tratamiento se hace mas eficiente si la suma del número de bolas, en un número de terminado de bolsas, todas con el mismo número de bolas, se interpreta como multiplicación y para obtener el total se suman tres números de dos dígitos. Para calcular

el número de bolsas, "distribuir en bolsas de a cinco" se interpreta como "dividir por cinco" y para realizar el cálculo "saber dividir naturales de dos dígitos por un natural de un solo dígito". Segunda estrategia (Adopta 5 como unidad de medida). En la segunda estrategia, el proceso está guiado, implícita o explícitamente, por un proceso de medición que adopta una unidad compuesta de medida constituida por 5 bolas. En los sistemas de representación "concreto" e "·icónico", el proceso se expresa completando o dejando cinco bolas en cada una de las bolsas disponibles y luego "repartiendo" las bolas sobrantes en bolsas de a 5. En el sistema de representación aritmético no hay un modo fácil de representación mediante operaciones, pues no se desarrolla una artimética de unidades compuestas con ordenes diversos que sirva para represen-tar la que se ha llamado "aritmética de la cantidad", por eso, en el proceso de registro simbólico puede combinarse con un cálculo mental para obtener el total de bolas que sobran al final y que se "reparten" mediante división. Requisitos. Se podría decir que los conocimientos de tipo aritmético requeridos son basicamente los mismos que para la estrategia anterior, solo que interviene un cambio de punto de vista al hacer intervenir en la medición una "unidad compuesta" Registro de la producción de un alumno de 6º al resolver la tarea de las bolas: La tarea que se presenta es de papel y lápiz, se le pide al alumno que lea cuidadosamente el problema y que vaya diciendo todo lo que está pensando cuando lo resuelve. Pedro tiene 8 bolsas con bolas, 4 bolsas contienen 4 bolas cada una y las 4 restantes contienen 7 bolas cada una. Roberto le regala 9 bolsas con 6 bolas cada una. Si todas las quiere meter de 5 bolas por ca-da bolsa ; cuantas bolsas necesita ?. P: Que vas hacer ? 1. Que Pedro tiene.... 2. Estoy pensando en hacer una operación 3. Pero no se me viene a la cabeza 4. Estoy pensando como en multiplicar (multiplica 9 por 5 y escribe como resultado 45) 5. No, no, no, mejor....(silencio) 6. Estoy pensando en hacer una resta 7. Porque es que de allí me puede resultar el número que yo puedo necesitar 8. (coloca 9 con el signo (-), debajo coloca 5 y escribe como resultado 6), dice: son 6 9. Necesitaría un solo costal (pausa) 10. No, no, necesitaría dos bolsas 11. A ver como es que es ese problemita 12. (Vuelve de nuevo a leer el problema), Pedro tiene 4 bolsas con 4 bolas 13. Esto es 16 14. Y por aquí tiene las otras 4 con de a 7 bolas 15. Y yo aquí multiplicaría 7 x 4 16. Y eso me da 28 17. Bueno en la de 4 van de 16 18. Y 6 de por aquí de Roberto... 19. Entonces tenemos 28 + 16 + 6

20. (Escribe como resultado 104), pausa. 21. No, no, no, no 22. No necesitaría tantas bolsas 23. Bueno entonces.....(pausa) 24. Voy a multiplicar por 6 (escribe 6 debajo de 104, solo multiplica 6 por 4 y escribe 24), pausa. 25. Voy a multiplicar por 5 26. Multiplico 5 por 4, 20; 5 por 2, 10 y dos doce (escribe como resultado 120) 27. Ahora voy a multiplicar el 5 por este 6 28. 5 x 6 = 35 29. Y 1 que llevo son 37 30. (lo escribe antes del 120, como resultado le queda 37120) 31. Voy a sumar los resultados que me dio la primera 32. Escribe 45 debajo de 37 33. Escribe 6 debajo del 4 de 45 34. Escribe como resultado 144120 35. No ,no, venga a ver 36. Esta cosa tan enredada 37. Es que yo tengo la cabeza muy chiquitica para este problemita 38. Si multiplica por 45 ....(escribe el signo (x) al lado de 45) 39. Me da 144.120 40. No, esas bolsas no puede necesitar él 41. Mire aquí, ... ( silencio) 42. 8 y 4 43. Y sumo 12 bolsas 44. Necesitaría 12 bolsas 45. Ah ! ! no ! ! 46. Aaaah! ! multiplico 8 x 4 47. Escribe como resultado 32 48. No, tampoco 49. Será mejor 12 x 5 50. No, no me da esto... (silencio) 51. No, yo no sé como es esto... 52. Voy a dibujarlas a ver (dibuja 4 bolsas con 4 bolas en cada una y 4 bolsas con 7 bolas en cada una). 53. Y estas se las regala Roberto (dibuja 9 bolsas con 6 bolas en cada una) 54. Voy a juntarlas todas en una solo costal (dibuja las bolas en tres grupos de acuerdo con el número de

bolas) 55. Entonces tenemos 9 por 6 (escribe como resultado 54) 56. Y 4 por 4, 16 (lo escribe debajo de 54) 57. Y aquí 7 por 4, 28 (lo escribe debajo de 16) 58. A ver son, uhmm... 97 (escribe 97) 59. Espere a ver que me equivoqué 60. [escribe al lado 54, 16 (le coloca al lado el signo (+), y 28 en forma vertical] 61. Escribe como resultado 98 62. Ahora hay que reunirlas de a 5 bolas en cada bolsa (escribe 9 para dividirlo entre 5) 63. (Escribe como resultado 1,08). 64. Otra vez me equivoqué; voy a volver a dibujar esto (dibuja teniendo en cuenta el número de bolsas

que representó arriba) 65. Son 8 de acá, y 9 de acá; 8 y 8, 16 y 1, 17

66. (Escribe 17), 17 bolsas 67. Voy a probar (escribe 17 por 5 y coloca como resultado 85) 68. Ah! pero son 98 69. [Escribe debajo del 85, 98 antecedido del signo (-)] 70. Quedan faltando 13 71. Entonces son...(pausa), dos bolsas mas con de a cinco y sobran 3, o sea Se pueden meter esas tres en una bolsa?.

ANEXO 2 UNIDADES DE CANTIDAD: Una base conceptual común para las estructuras aditivas y multipli-cativas* Merlyn J. Behr, Guerson Harel, Thomas Past, Richard Lesh. El principio de las conexiones entre las estructuras del conocimiento matemático se menciona frecuen-temente en los escritos concernientes al conocimiento, al aprendizaje y a la enseñanza de las matemáticas. Menos frecuente son las exposiciones claras sobre lo que parece ser lo principal en esta conexión o que den un ejemplo explícito de las relaciones entre los conceptos matemáticos. Este capítulo usa el concepto matemático de unidades conceptuales compuestas e hipotetiza sobre el tipo de estructuras de conocimiento que se deben tener para que ciertos conceptos matemáticos se puedan aprender y cuales de éstos se nece-sitan desarrollar para tener la habili dad de hacer conexiones entre los conceptos matemáticos involucra-dos. A través de un análisis de la estructura matemática, desde los campos conceptuales de la adición y la multiplicación, hemos establecido una hipótesis acerca de las conexiones entre los conceptos dentro del campo conceptual de la adición y también dentro del campo conceptual de la adición y la multiplicación. La hipótesis última de trabajo es que la explicitación de estas conexiones en un contexto curricular podría facili tar a los niños la habili dad para ampliar su comprensión acerca de las estructuras aditivas y extender-las a las estructuras multiplicativas. INTRODUCCION Tradicionalmente se ha enseñado a los niños la aritmética de los números con el objetivo final de que sean hábiles al usar este modelo aritmético para resolver problemas cotidianos (real-world problems). El orden de esta actividad ha sido: primero, enseñar la aritmética de los números divorciada, principalmente, del contexto social; segundo se enseña a resolver problemas relacionando números y operaciones, (números que representan medidas); tercero realizar operaciones con números que representan medidas y operacio-nes sobre cantidades con un modelo que relaciona estas cantidades. Este modelo de enseñanza presenta la aritmética de la cantidad distanciada del contexto social, la manera que se podría adoptar es: comenzando con la observación de cómo se manejan las cantidades y se relacionan con los números asignándolos a los atributos cuantificables a través de los procesos de medida; de esta forma se podría enseñar la aritmética de la cantidad, y en últimas, la aritmética de los números. Una diferencia importante que se debe hacer es que la aritmética de los números está basada, aparente-mente, en suponer que todos los números representan cantidades de una misma unidad de uno, es decir, una cantidad de unidades simples. La aritmética de la cantidad involucra unidades conceptuales compues-tas de varias composiciones y requiere de especial atención porque involucra unidades de medida y unida-des compuestas de diferente tipo. Investigaciones en la Unión Soviética han dirigido la atención en la habili dad de los niños al manejar dife-rentes tipos de unidades de cantidad. Davidov (1982), al describir un trabajo experimental ll evado a cabo en la URSS, en los cursos de primero a tercer grado, encontró que, en un programa tradicional, el proce-dimiento para la adición y la sustracción era empleando números simples o multidígitos; con esto se podía determinar fácilmente que, por ejemplo, 3+ 4 es igual a 7. Algunos de los niños fueron hábiles al descri-bir contextos en los cuales los problemas numéricos correspondían con este modelo matemático. Estos

* Tomado de Units of Quantity: A conceptual Basis Common To Add itive and Multipli cative Struc-tures. Traducido y adaptado po r Rubén Darío Betancur Ps. y Adela Molina Ms.; revisado po r Marie-la Orozco Hormaza Ph.D.

mismos niños quedaban perplejos cuando se les preguntaba por el posible sentido que se le podría dar a un problema inesperado como 3+ 4= 5. En un experimento de enseñanza Dadivov encontró, en el mismo grado primero, niños que fueron hábiles con este problema donde se representaba con objetos físicos, tres recipientes de un mismo tamaño llenos hasta el borde con agua y cuatro recipientes de la mitad del ta-maño también llenos con agua, la pregunta que se les planteaba era: “¿cuantos recipientes largos se necesi-tan para contener el agua?”. Esta situación es fácilmente representada como sigue: ¿3 unidades de tama-ño 2 + 4 unidades de tamaño 1 = cuántas unidades de tamaño 2?; a través de una reformulación de uni-dades, se llega a que 4 unidades de tamaño 1 pueden ser 2 unidades de tamaño 2 (Behr, Harel, Post,& Lesh, 1992ª); luego, el procedimiento puede ser reescrito como 3 unidades de tamaño 2 + 2 unidades de tamaño 2 = 5 unidades de tamaño 2. Esta discusión ilustra que el supuesto que subyace a la aritmética de los números es que todas las cantida-des pueden ser representadas, desde un punto de vista, en términos de unidades de 1. Este supuesto subya-cente ha tenido un impacto negativo sobre el curriculum de la escuela primaria y secundaria; el actual cu-rriculum de la aritmética de los números enteros presenta situaciones problema en la cual los niños mane-jan cantidades expresadas, esencialmente, solo en unidades simples tanto mas cuando se proveen situa-ciones problema en las cuales se representan cantidades en varios tipos de unidad. (Steffe 1988), de la misma forma, en problemas llamados multipasos como: “ Jhon tiene cuatro bolsas con 6 canicas cada una, y tres bolsas con cuatro en cada una; ¿cuantas bolsas con 2 canicas en cada bolsa se pueden hacer?; ¿en cuales de estos problemas de cantidad propuestos, hay unidades compuestas?. Una aproximación tradicional es el cambio de unidades de uno en la solución de este problema; el acer-camiento tradicional es cambiar unidades de 6 canicas y 4 canicas en unidades de veinticuatro y doce ca-nicas, se adicionan y encuentra una unidad de treinta y seis canicas y entonces se divide por dos para hallar dieciocho unidades de dos canicas. Otra alternativa es reformular unidades de seis -canicas y cuatro-canicas a dos unidades de dos-canicas, como una unidad común de las dos dadas y que es la unidad reque-rida en el problema en cuestión. La representación y la solución de estos problemas llamados multipasos no requieren de una conversión en unidades de 1, realmente hay situaciones problemas en las cuales es más eficiente encontrar una unidad común diferente de una unidad de 1 y en los mismos casos usando una unidad de 1 es contrario a las restricciones de la situación problema. Freudenthal (1983) y mas reciente-mente Lamon (1989) proponen que los procesos de conceptualización de una situación en términos de una unidad común diferente de 1 debe ser normatizada. Galperin y Georgiev (1969) Sugieren que el concepto de unidad ocupa un lugar especial en la formulación de las nociones matemáticas elementales y acertadamente afirman que todos los conceptos matemáticos se apoyan en la noción de unidad. El trabajo de Steffe y sus colegas muestran claramente las relaciones entre la formación de unidades compuestas y el desarrollo de los conceptos de número, adición, y sustrac-ción de números enteros. Recientemente han sugerido que los conceptos de multiplicación y división y los números racionales dependen de la formación de ciertos tipos de unidades. Hemos asegurado que si les damos a los niños situaciones con la aritmética de los números enteros que involucran una variedad de tipos de unidades y experiencias en la representación y manipulación de canti-dades que pueden ser representadas en estos tipos de unidades, podrían proveer un fundamento adecuado para el aprendizaje y la comprensión de la aritmética de los números enteros y sería un puente cognitivo para aprender y comprender los conceptos de los números racionales y las operaciones. Para nuestro aná-lisis mostramos la estructura de las unidades de estos constructos matemáticos.

¿PORQUE UN ANALISIS DE LOS CONSTRUCTOS MATEMATICOS ELEMENTALES? Hay por lo menos dos aproximaciones posibles en las investigaciones y la teoría del desarrollo sobre el conocimiento y el aprendizaje de los constructos matemáticos de los niños, tales como los conceptos de los enteros, los números racionales y las operaciones entre éstos. Una aproximación, la cual es seguida por numerosos investigadores, es el trabajo con niños usando el interrogatorio y los experimentos de ense-ñanza; se asume que esto podría conducir a un entendimiento del conocimiento y el aprendizaje matemáti-co de los niños, y en últimas, al entendimiento de la matemática escolar y la organización de su enseñanza. Esta aproximación plantea que el desarrollo de las tareas matemáticas depende de la manera como los niños se enfrentan y responden individualmente o en pequeños grupos a éstas tanto en el aula como en otros escenarios instruccionales. Sostenemos que las estructuras cognitivas con las que los niños responden, evidencian que, substancial-mente, estas dependen de las tareas. Por tanto, se asume que en estas investigaciones se expone un amplio rango del conocimiento matemático de los niños y propone que el solucionador de tareas conoce amplia-mente la complejidad y las intrincadas estructuras que subyacen a los constructos matemáticos bajo inves-tigación. Creemos que la complejidad de lo matemático y lo psicológico de la matemática no está plena-mente comprendido. Una segunda perspectiva, asume la postura acerca de lo que más se necesita conocer de los constructos matemáticos, al igual que las llamadas matemáticas elementales. Esta perspectiva exige una gran cautela al hacer análisis detallados de los constructos matemáticos e hipotetizar acerca de las estructuras cogniti-vas necesarias para comprenderlos. De dicho análisis podría surgir una teoría sobre el conocimiento y el aprendizaje matemático que guiaría las investigaciones cognitivas. Esta no es una tesis en la que se argumente que una perspectiva es correcta y la otra no, la posición que asumimos es que las dos se relacionan. La información obtenida desde las investigaciones a lo largo de la primera perspectiva se puede usar para el análisis de los constructos matemáticos que permiten plantear hipótesis psicológicas acerca del conocimiento y el aprendizaje de los constructos con base en la realidad. De otro lado, un análisis profundo del contenido matemático y las hipótesis acerca de las estructuras cog-nitivas que se necesitan para el conocimiento de los constructos matemáticos, ofrece una base para pro-fundizar y analizar en la investigación sobre la construcción del conocimiento matemático de los niños. Involucramos un análisis de constructos matemáticos seleccionados, a través del cual contribuimos a pro-fundizar el entendimiento de lo matemático y formulamos hipótesis acerca de los aspectos psicológicos de las matemáticas. Al conducir el análisis y comunicar los hallazgos, hemos desarrollado dos sistemas representacionales “no estándar” . Cada uno de estos sistemas representacionales es altamente generalizado y abstracto. Uno lo denominamos generalizado o “ayuda manipulativa genérica”. La representación en este sistema aparece en forma de diagramas. El otro sistema es “una notación generalizada para la matemática de la cantidad”. Las representaciones de los sistemas son simbólicas. Un análisis de los procedimientos a través de la in-teracción entre los dos sistemas y el producto final, son representaciones paralelas de los dos sistemas. La representación de la “ayuda manipulativa genérica”, ofrece una perspectiva psicológica del análisis, y la notación simbólica generalizada para la matemática de la cantidad, ofrece una perspectiva desde lo ma-temático. Hemos tratado de aclarar que los sistemas representacionales no intentan ser usados en la co-municación matemática con los niños. Estos sistemas abstractos se pueden usar en ciertos contextos apro-piados. Hemos dicho que no estamos proponiendo estos sistemas para trabajarlos con los niños, pero en

contextos específicos se pueden implementar y han sido parte de un análisis teórico presentado a la comu-nidad científica. Hemos encontrado que el simbolismo matemático normal es inadecuado en la representación matemática de términos de varios tipos de unidad, por tanto, hemos creado una notación generalizada para la mate-mática de la cantidad. Esta notación, es general en el sentido que representa unidades de tipo general, en instancias específicas estos sistemas son unidades tales como: pulgadas, centímetros, manzanas, pizzas, etc. En nuestro análisis, resaltamos que la ayuda representacional manipulativa puede remontarnos a as-pectos psicológicos y cognitivos de la matemática de la cantidad. De nuevo advertimos que la “ayuda manipulativa genérica” tiene cierta característica inherente que puede facili tar o inhibir la representación. Los objetos tiene en particular forma color y otros atributos que potencialmente pueden facili tar o dificul-tar su uso en la ayuda manipulativa estándar. Sin embargo, en un análisis que hemos podido conducir so-bre la base en la cual la ayuda manipulativa puede ser cuestionada, se tienen en cuenta los hallazgos que permitan unificar aspectos de la ayuda manipulativa. Por esta razón hemos creado en la ayuda manipulati-va genérica signos en la cual los objetos se pueden representar como un indicador de posición de objetos desde la ayuda manipulativa estándar. El único atributo que hemos quitado deliberadamente en la repre-sentación de la ayuda manipulativa es la diferenciación en la asignación de unidades discretas o continuas. Una breve discusión de estos dos sistemas permitiría demostrar la facili dad de analizar algunos aspectos en el campo aditivo y multiplicativo. Sin embargo, los lectores pueden encontrar una discusión mas pro-funda en Behr, Harel, Post y Lesh (1992a, 1992b). Este capítulo tiene tres propósitos: uno es dar algunos detalles acerca de los dos sistemas representaciona-les; dos es demostrar la aplicación de este análisis a estructuras aditivas y multiplicativas seleccionadas; tres, demostrar a través del análisis las estructuras cognitivas que son comunes a los dos campos concep-tuales. A través del capítulo, mostraremos el problema de cómo la atención a los tipos de unidad en las situaciones con números enteros, podría facili tar el aprendizaje y la comprensión de los conceptos de nú-mero racional. Descripción y notación de unidades Notación para la ayuda manipulativa genérica. En la ayuda manipulativa genérica los símbolos pueden aparecer de la siguiente manera: O, * , ó #; (O), [ * ],((OOO)(OOO)), (OOO); o (OOO) con uno o dos resaltados. Los símbolos en el primer grupo se usan para denotar o mantener un lugar cuando se represen-tan objetos discretos como manzanas, naranjas o piedras: el segundo grupo de símbolos se usan para deno-tar unidades de cantidad. Para indicar que una colección de objetos o unidades son considerados como una unidad, encerramos uno o mas símbolos por cada objeto o unidad dentro de una agrupación particular de símbolos como ( ), [ ], { } . El artificio de resaltar en negrill a se usa para designar una fracción de una unidad. La conceptualización de unidades simples como una unidad-manzana, una unidad-naranja, o una unidad-piedra la denotamos como (O), (*), o (#). La combinación de agrupaciones de símbolos se usan para representar unidades complejas como unidades compuestas de unidades de unidades de unidades de unidades; y unidades de cantidades intensivas (unidades de razón en espacios de medida iguales o diferen-tes). Usamos () para el agrupamiento de símbolos, reservando éste [ ] y éste { } para cuando se necesi-te distinguir unidades de diferentes espacios de medida (Vergnaud, 1988) o identificar tipos especiales de unidades de cantidad tal como las unidades intensivas de cantidad. El concepto espacio de medida que . aquí se usa, se puede clarificar con un ejemplo. En dos cantidades representadas por (OOO) y (OOOO), TABLA 5.1 SISTEMA DE NOTACION USADO EN EL ANALISIS

TIPO DE UNIDAD REPRESENTACION PICTORICA REPRESENTACION DE LA MATEMATICA DE LA CAN-TIDAD

MATEMATICA DE LA CAN-TIDAD

Un objeto simple O, * , # Una unidad simple (0) (1-unidad ) o 1(1-unidad) Tres unidades simples (0) (0) (0) 3(1-unidad)s Una unidad compuesta de 3(1-unidad)s

(0 0 0) 1(3-unidad) s

Cuatro unidades compuestas de (3-unidad)s

(0 0 0) (0 0 0) (0 0 0) (0 0 0)

4(3-unidad)s

Una unidad compuesta de 4(3-unidad)s, como una unidad de uni-dades

[(0 0 0) (0 0 0) (0 0 0) (0 0 0)]

[4(3-unidad)s-unidad]

Una unidad intensiva de cuatro (1-unidad)s por 1(1-unidad), como una unidad de medida

[(0) (0) (0) (0)] 4(1-unidad)s (1-unidad)

Una unidad compuesta de dos unidades intensivas, como una unidad de unida-des

{ [(0) (0) (0) (0)] [(0) (0) (0) (0)]}

1{ 4(1 unidad)s} 1 unidad

Una unidad intensiva de 1(4-unidad) por [1-unidad],como una unidad de medida

[(0 0 0 0)] 4(1-unidad) [1-unidad]

Para designar ¼ de (4-unidades) [(0) (0) (0) (0)] o (0 0 0 0), o [(0 0 0) (0 0 0) (0 0 0) (0 0 0)]

¼ (4-unidad), ¼ (4(3-unidad)s unidad)

Para designar 2/4 de una (4-unidad)

[(0) (0) (0) (0)] o (0 0 0 0), o [(0 0 0) (0 0 0) (0 0 0) (0 0 0)]

2/4(4-unidad), 2/4[4(3-unidad)s-unidad]

Para designar ¼ de un 1(4-unidad) por [1-unidad], como una unidad de medi-da

[(0 0 0 0 0)] ¼ [1-unidad]

Para designar 2/4 de 1(4-unidad) por [1-unidad], como una unidad de me-dida

[(0 0 0 0)] 2/4[1-unidad]

Para designar una uniti zación de 2/4 de 1(4-unidad) por [1-unidad] como una unidad de medida

[(0 0) 0 0] 1[2/4(1-unidad)-unidad]

Para designar un ¼-unidad de una 4(1-unidad)s/ [1-unidad] como unidad de medida

[(0) (0) (0) (0)] 1[1/4-unidad]

Para designar dos ¼-unidad de una 4(1-undad)s/ [1-unidad] como una unidad de medida

[(0) (0) (0) (0)] 2[1/4-unidad]s

Para designar una uniti zación de dos ¼- unidad de una 4(1-unidad)s por [1- unidad] como una unidad de medida

[((0) (0)) (0) (0)] 1[2/4- unidad]

el O podría tener, por ejemplo, el mismo reemplazo en ambos. De otro parte en (OOO) y [OOO], el O po-dría tener diferentes grupos de reemplazo. Notación generalizada para la matemática de la cantidad. En la notación generalizada para la matemática de la cantidad el tamaño de la unidad se podría denotar con un número, un guión y una unidad, encerrra-dos en una agrupación de símbolos, (2-unidad). El número de unidades de uno puede ser denotado como n(b-unidad)s o 3(2-unidad)s. De este modo introducimos una notación para unidades compuestas (Steffe, 1988). Usando esta notación, los símbolos para las unidades se pueden encajar dentro de otros símbolos para unidades. Por ejemplo, 1(3(2-unidad)s-unidad), denota una unidad compuesta conceptualizada como (3-unidad), derivada a par-tir de la unitización de 3(2-unidad)s. La notación 3(2-unidad), denota tres unidades. Tres paquetes de dos manzanas se pueden representar, por ejemplo, denotándolo de esta forma, 3(2-unidad manzana)s. Mas adelante ilustraremos este sistema de notaciones presentando ejemplos con seguimiento. Para otros deta-lles y discusiones de este sistema de notaciones, los lectores interesados pueden consultar a (Behr et al)., 1992a, 1992b 1. Un solo objeto, O, lo hemos conceptualizado como una unidad simple y lo denotamos en la ayuda ma-nipulativa genérica como: (O), y en la matemática generalizada de la cantidad como 1(1-unidad), y la conceptualizamos como diversas unidades simples (denotadas en sus respectivos sistemas) de esta mane-ra: (O) (O) (O), 3(1-unidad)s. 2. Varios objetos, O O O, se pueden conceptualizar como una unidad compuesta: (O O O), 1(3-unidad)

3. Varias unidades simples, (O) (O) (O) (O), o varias compuestas (3-unidad)s, (O O O) (O O O) (O O O) (O O O), se pueden conceptualizar como una unidad de unidades: ((O) (O) (O) (O)), 1(4(1-unidad)s-unidad), ((O O O) (O O O) (O O O) (O O O)), 1(4(3-unidad)s-unidad). 4. Varias unidades de unidades compuestas ((OO)(OO)(OO)(OO)) ((OO)(OO)(OO)(OO)) ((OO)(OO)(OO)(OO)), se pueden conceptualizar como unidades de unidades de unidades: (((OO)(OO)(OO)(OO)) ((OO)(OO)(OO)(OO)) ((OO)(OO)(OO)(OO))), 1(3(4(2-unidad)s-unidad)s-unidad). 5.Una unidad compuesta tal como (4-unidad), (O O O O), y dos espacios de medida tal como ( ) y [ ] se pueden conceptualizar como unidades intensivas de cantidad, 1(4-unidad) por [1-unidad]: [(O O O O)], 1(4-unidad) [1-unidad] (Esto ilustra la notación para cantidades intensivas mas grandes que 1 por 1. Las cantidades intensivas fraccionarias se ilustran después) 6.Cuatro unidades simples tal como 4(1-unidad)s, (O) (O) (O) (O), y dos espacios de medida como ( ) y [ ], se pueden conceptualizar en otros tipos de unidades para las cantidades intensivas, 4(1-unidad)s por [1-unidad]:

[(O) (O) (O) (O)], 4(1-unidad) [1-unidad] En ambos sistemas notacionales el número de paréntesis insertados a izquierda y derecha, indican la com-plejidad de las unidades. En la próxima gráfica dirigimos nuestra atención al tema de la representación de las cantidades fraccionarias con los dos sistemas notacionales. La parte fraccional de la unidad, también son cantidades con unidades de distintos tipos de unidades. Por ejemplo, 2/4 pueden ser conceptualizados en términos de algunos tipos de unidad. Pueden ser 2/4(4-unidad), 1(2/4(4-unidad)-unidad)-unidad y 1(2/4-unidad). Ahora ilustramos cómo los sistemas notacionales abordan estas sutilezas. 1. Desde una unidad compuesta, por ejemplo una de (4-unidad), se puede hacer con objetos simples, (0

0 0 0 ) o unidad de unidades ((0) (0) (0) (0)) o ((000) (000) (000) (000)), podemos conceptualizarla como un cuarto de una unidad:

(0000), 1/4(4unidad) ((0) (0) (0) (0), ¼ (4(1-unidad)s-unidad ((000) (000) (000) (000)), 2/4(4(3-unidad)s-unidad). Hemos conceptualizado 2/4 de una unidad compuesta como una unidad de unidades, así: (0000), ¼(4-unidad), ((0) (0) (0) (0)), 2/4(4(1-unidad)s-unidad) (000) (000) (000) (000), 2/4(4(3-unidad)s-unidad). 2. Los dos objetos o unidades que forman la parte fraccionaria de una unidad, pueden ser tomados como una unidad. A partir de 2/4 de (4-unidad) podemos conceptualizarla como una unidad de unidades fraccionaria, así: ((00) 00), 1(2/4(4-unidad)-unidad) (((0) (0) (0) (0)), 1(2/4(4(1-unidad)s-unidad)-unidad) (((000)(000))(000)(000)), 1(2/4(4(3-unidade)s-unidad)-unidad) 3. Desde una cantidad intensiva o una unidad de medida de tipo 1(4-unidad) por [1-unidad], [(000)], po-demos conceptualizarla como 2/4 de la unidad de medida: [(0000)], 2/4[1-unidad]; 4. a partir de 2/4 [unidad] de cantidad podemos conceptualizarla como una unitización de una unidad compuesta, as [(00) 00], 1(2/4[1-unidad]-unidad]. 5. El ( 2/4(1-unidad)-unidad) puede ser conceptualizado como 1(2/4(1-unidad). 6. Desde una cantidad intensiva del tipo 4(1-unidad)s por (1-unidad) que puede ser conceptualizada como ¼-unidad de medida, así: ((0) (0) (0) (0)), 1(1/4-unidad).

0, 2 ¼- unidad de medida: [(0)(0)(0)(0)], 2[1/4-unidad]s. Problema ejemplo: Una conexión dentro del campo conceptual aditi vo. Presentaremos un problema desde el dominio aditivo representado en unidades diferentes de uno y que indica una solución de éste en término de dos sistemas notacionales respectivamente figura 5.1 y 5.2. Al-gunos estudios pilotos indican cómo los niños resuelven el problema dado. Estos problemas los hemos generado de acuerdo con la clasificación que Riley, Greeno y Heller (1983) han dado a los problemas de adición y sustracción. Problema 1: Juan tiene tres bolsas, cada una contiene seis bolas. Tom le regala cinco bolsas mas y cada una contiene 4 bolas. Si Juan busca introducirlas en bolsas de dos bolas en cada bolsa , cuantas bolsas de-be tener?. Una representación con ayuda manipulativa en la solución de este problema se muestra en la figura 5.1. Se presenta una parte de una intervención con una niña de 11 años que esta presentando el pro-blema oralmente y también la forma de escribirlo, igualmente tomando bolas y bolsas plásticas con la cual representa la solución del problema.

(Después de leer el problema) bien el comienza con tres bolsas y seis bolas en cada una. (compone las bolsas] entonces Tom le da 5 bolsas con 4 bolas en cada una (com-pone nuevas bollasen otro sitio, luego las junta] . Ahora tenemos que ponerlas todas es-tas en bolsas de 2 en 2 (comienza con la bolsa de seis. Sacan y las ponen dentro de otra bolsa, sacan otras 2 y las ponen en otra bolsa, esto lo repiten esto con las bolsas restantes. Ahora el tiene una, dos, tres bolsas...[cuentan las 19 bolsas con dos bolas en cada bolsa.

Ahora seguimos con una representación de la matemática de la cantidad mostrada en la figura 5.2. En la representación simbólica de la tarea hemos representado el problema de la cantidad como sigue : Juan tiene tres bolsas con seis bolas de esta manera : 1(3(6-unidad)s-unidad) y Tom 5 bolsas con 4 bolas que el le regala a Juan 1[5[4-unidad]s-unidad]. Usando el ( ) para denotar una unidad de unidades para las bolas de Juan . Y [ ] para denotar la unidad de unida-des de unidades para las bolsas de Tom sugerimos que los dos espacios de medida están en la representación en el problema original. Cuando Juan toma las bolas que le regala Tom, las uni-dades se denotan con ( ).

1. (6(6/unidad) + 1(5(4-unidad)s-unidad 2. = 1(3(6-inidad)s-unidad)+ 1(5(4-unidad)s-unidad) (2) 3. = 1(3(3(2-unidad)s + 1(5(4-unidad)s-unidad) (3) 4. = 1(9(2(unidad)s-unidad + 1(5(4-unidad)s-unidad) (4) 5 = 1(9(2-unidad)s-unidad)+ 1(5(2(2-unidad)s/unidad)s-unidad (5) 6. = 1(9(2-unidade)s/unidad) + 1(10(2-unidad)s/unidad. (6) 7. = 9(2-unidad)s + 10(2-unidad)s 8. = 19(2=unidad)s. Una representación de la matemática de la cantidad para la adición del problema 1, el cual corresponde a la representación de la ayuda manipulativa es mostrada en la figura 5.1. Hemos ilustrado una conexión entre la representación de la matemática de la cantidad y la aritmética de los números con un problema similar, dentro del dominio de los números enteros.

Algunas consideremos en el problema 2. Problema 2. Juan tiene 5 bolsas que contienen 4 bolas cada una y una bolsa con 2 bolas. Rogelio tiene 2 bolsas con 4 bolas y 6 bolsas con 2 bolas cada una. Si ellos juntan las bolas cuantas bolsas y de que tama-ño deben ser para que ellos tengan el menor numero de bolsas (Hemos usado únicamente bolsas que con-tienen 2 o 4 bolas).La restricción de usar el menor numero de bolsas obliga a la representación desde el punto de vista de bolsas con un determinado tamaño. La solución de este problema usando la notación generalizada de la matemática de la cantidad puede ser representada como sigue: (5(4-unidad)s + 1(2-unidad)) + 2(4-unidad)s + 6(-unidad)s. = 7(4-unidad)s + 7(2-unidad)s = 7(4-unidad)s + 6(2-unidad)s + 1(2-unidad) = 7(4-unidad)s +3 (4-unidad)s + 1(2-unidad) = 10(4-unidad)s + 1(2-unidad). La simili tud entre esta solución y el procedimiento conocido que se usa con algunos niños para resolver el problema como 28+ 35 (Hiebert y Wearne, 1.992) es ilustrado en la siguiente sugerencia fundamentada como función de una situación problemática y la resolución esta basada sobre unidades de cantidad dife-rentes de las unidades simples. En este caso la relación entre cada problema y su solución ilustra la co-nexión con la aritmética de los números enteros multidígitos y se muestra a continuación. La adición de 28+ 35 es resuelta por algunos niños cuando dicen “ 2 de diez y 3 de diez, son 5 de diez y 8 y 5 son 13 o también 5de diez mas 6 de diez y 3 son 63”. Si aceptamos la representación del valor de po-sición, la suma de 28 y 35 corresponde a una representación de cantidades discretas en términos del menor número de bolsas donde las bolsas van de tamaño 1,10,100,...sin embargo, la conversión de 13 a uno de 10 y 3, sugiere una descomposición de una unidad de 13 unidades a una unidad compuesta de 10 y 3 uni-dades de 1. Una conexión entre los campos conceptuales aditivos y multiplicativos. Hemos llamado la atención sobre la simili tud conceptual entre la representación y la solución de proble-mas aditivos con números enteros (problema 1), un problema desde el campo conceptual aditivo, la adi-ción de números racionales y problemas desde el campo conceptual multiplicativo. En un número racional tal como 3/4 se pueden hacer interpretaciones en algún tipo de unidad (Behr al, 1992ª): 3/4(1unidad ), 1(3/4unidad), 1/4(3-unidad), y 3(1/4-unidad)s. Haciendo una interpretación tomamos 3/4 como 3(1/4-unidad)s, por 3/7 y 2/7, entonces, encontrar la suma de estas dos fracciones es conceptualmente lo mismo que encontrar la suma de 3(2-unidad) y 2(2-unidad). Esto involucra la adición de dos cantidades cuando ambas están representadas en términos de las mismas cantidades de uno, para el caso de los números enteros es una cantidad de 2-unidad y para el caso de los números racionales es una cantidad de 1/7-unidad. Usando la notación para la matemática de la cantidad estas dos sumas podrían ser representadas como si-gue: 3(2-unidad) + 2(2-unidad)s = 5(2-unidad), y 3(1/7-unidad)s + 1(1/7-unidad)s = 5(1/7-unidad)s.

Cada uno de estos problemas podría haberse hecho mas accequible a los niños usando unidades de canti-dad desde sus contextos cotidianos de tal manera que se usen elementos específicos de la notación genera-lizada de la matemática de la cantidad. Un paquete de dos manzanas puede ser conceptualizado como una unidad de 4, o como dos unidades de manzana. Igualmente, 1/7 de una manzana puede ser conceptualiza-do como una unidad o como 1/7 de unidad de manzana. Usando esta terminología, las dos adiciones po-drían ser conceptualizadas como sigue (3(2-paquete de manzana)+2(2-paquete de manzana)s= 5(2-paquete de manzana)s y (3(1/7-parte de manzana)s + 2(1/7-parte de manzana)s = 5(1/7-parte de manzana)s Estas adiciones pueden ser modeladas con manzanas reales o con ayuda manipulativas que representen manzanas o 1/7 de manzana. Si dos cantidades son representadas con diferentes unidades entonces expresar el puente entre estas canti-dades desde el punto de vista de unidades simples requiere que una o ambas de las dos cantidades se pue-dan reunitizar de tal forma que las cantidades sean expresadas en la misma unidad. Esta principio básico es fundamental cuando se dan expresiones simbólicas encerradas para la suma de dos cantidades fraccio-narios que son representadas con fracciones de diferente denominador. Desafortunadamente, en los prime-ros años en que los niños reciben un programa matemático tradicional, no se presentan situaciones en las cuales se requiere ilustrar estos principios cuando se imparten las adiciones con fraccionarios diferentes. Este es un punto en el cual el currículo podría revisarse, es decir, cuando se dan dos adiciones de fraccio-narios, los niños podrían tener conocimiento de estos principios (una unidad común). Desgraciadamente, los niños no tienen experiencias numéricas en este aspecto; se podrían incluir algunas pequeñas experiencias expresando cantidades en una unidad común o encontrando una unidad común para un par de cantidades. Probablemente, a través de las experiencias de los niños se podría incluir hallar el común de grandes factores comunes en los cuales se podrían involucrar estos conceptos; esta estrategia no es introducida a los niños desde una perspectiva de unidades de cantidad. La modificacion del currículo debe orientarse para darle a los niños experiencias con situaciones en las cuales se involucren estas situa-ciones como una necesidad. Hemos dado un ejemplo de una situación que requiere una o dos cantidades que deben ser reunitizadas. Presentamos la adición de 5(6-unidades de manzana)s y 3(4-unidades de manzana)s y de 5/6 y 3/4 para demostrar la simili tud conceptual entre estas dos adiciones. Una observación directa de 6-paquetes de manzana y 4-paquetes de manzana podrían ayudar a los niños a ver que un 6-unidad de manzana) podría ser reunitizado como 3(2-unidades de manzana)s y que un (4-unidades de manzana) podría ser reunitizado como 2(2-unidades de manzana)s. Una observación muy importante en esto es que un (2-unidades de manzana) es una unidad que satisface estos requerimientos. si el contenido para ambas cantidades es una subunidad y la medida en cada cantidad original con respecto a la unidad están los números enteros. Lo principal de esta igualdad puede ser abstraído y generalizado para aplicarlo a las unidades fraccionarias de cantidad tal como las cantidades que pueden ser expresadas en términos de una subunidad común. Una representación manipulativa de esta adición, podría ser muy similar a la demostración de la figura 5.1. (ver cuadro). Para una representación de la matemática de la cantidad, usando elementos particulares de la representación generalizada para la matemática de la cantidad, en la adición de las cantidades de manzanas, se podría proceder como sigue. 1. 5(6-unidades de manzana)s + 3(4-unidades de manzana)s 2. = 5(6-unidades de manzana)s + 3(2(2-unidades de manzana)s-unidad)s

3. = 5(3(2-unidades de manzana)s unidad)s + 1(6(2-unidades de manzanas) 4. =5(3(2-unidades de manzana)s + 1(6(2unidades de manzana)s-unidad) 5. =1(15(2(-unidades de manzana ) + 1(6(2-unidades de manzana)s-unidad) 6. = 21(2-unidades de manzana)s + 6(2-unidades de manzana)s-unidad) 7. =21(2-unidades de manzana)s 8. =212(2-unidades de manzana)s En la figura 5.3 tenemos una representación manipulativa de la suma de 3/4 + 5/6. Esto es mostrado por la matemática de la cantidad en la figura 5.4. 1. 5/6 + 374 = 5(1/6-unidad)s + 3(3(1/4-unidad)s (1) 2. = 5(1/6-unidad)s + 3(3(1/12-unidad)s-unidad)s (5) 3. =5(2(1/12-unidad)s + (3(3(1/12-unidad)s-unidad)s (5) 4. =5(2(1/12)unidad)s + 1(9(1/12-unidad)s-unidad) (7) 5. =1(10(1/12-unidad)s + 1(9(1/12)s-unidad (8) 6. = 10(1/12-unidad)s + 9(1/12-unidad9s (9) 7. = 19(1/12-unidad)s. Fig.5.4 Una representación de la matemática de la cantidad correspondiente a la representación manipulativa, se muestra en la figura 5.3. Experiencias manipulativas como las sugeridas en la figura 5.3 podrían ser una base que fundamente lo conceptual en la aritmética de los números y los algoritmos y que sustancialmente esta representada en la matemática de la cantidad mostrada en la figura 5.4 y que se podría llegar a lo siguiente: 1. 6/6 + 3/4 = 5(1/6) + 3(1/4) 2. = 5(1/6) + 3(3(1/12)) 3. = 5(2(1/12)) + 3(3(1/12)) 4. = 10(1/12) + 3(3(1/12)) 5. =19(1/12) 6. = 19/12. EL PRODUCTO DE UNIDADES. En esta sección consideraremos un análisis del tipo de experiencias que hemos hipotetizado los niños ne-cesitan durante su trabajo de multiplicación con números enteros (a) para entender a través del producto de la multiplicación y (b) provee una fundamentacion para la construcción del significado del producto de los números racionales expresados en forma de fracción. En una parte de este análisis mostraremos la si-mili tud conceptual entre los problemas como 5/6 X 4/7 del numero racional del concepto de multiplica-ción : 1. Si Yeny tiene tres blusas y cinco faldas, cúantas combinaciones puede hacer? 2. Si tres están en operación por cinco días, cuantos días pueden usarse' 3. 3 esquemas Si Roberto tiene tres variedades de manzanas y cinco variedades de naranjas, cuantos pa-

res de manzana, naranja puede elaborar? 4. Si la longitud del rectángulo es 3 y el ancho es 5 cm cuanto X unidades centímetros están en el área

del rectángulo? b-unidad

Cada uno de estos problemas involucra el producto de las unidades de cantidad. La solución de estos pro-blemas involucra un tipo de multiplicación de difícil i nterpretación como una adición reiterada. (Freu-denthasl, 1983; Dienes, 1960). En el problema de las blusas, las pantalonetas y el par de prendas hay in-volucrados tres espacios de medida. Podemos denotar estas unidades como (1-unidad blusa), (1-unidad pantaloneta), y (1-unidad de prendas). En este caso particular el producto de estos dos tipos de unidad ocu-rre con bastante frecuencia en nuestra vida diaria y la hemos denominado como conjunto producto de uni-dad. Sin embargo es importante reconocer que la unidad del conjunto de prendas es una pareja, una par de blusa x pantaloneta. El procedimiento para realizar nuestro análisis de problemas que involucren el producto de medidas, re-quiere adicionar dos esquemas de notación. Una extensión: esquemas de notación. Si tenemos dos unidades compuestas de dos espacios de medida diferentes, una (a-unidad) y una [b-unidad.] donde a y b son números racionales positivos, podemos denotarlo indicando el producto, como 1(a-unidad) X 1(b-unidad). El producto-unidad que resulta en este proceso al ll evar a cabo esta multipli-cación de unidades es una unidad que denotamos como 1(((a-unidad) X [b-unidad ])-unidad). El paréntesis que cierra (a-unidad) X [b-unidad] en la notación sirve únicamente para un grupo (a-unidad) X [b-unidad] como una entidad gramatical. Esta es la ayuda en el reconocimiento de (-unidad), por b(-unidad) es el ob-jeto que provee la base perceptual para formar una unidad conceptual, con la cual denotamos como mos-tramos. Descomposición de (a-unidad) a (a(1-unidad)s-unidad) o [b-unidad] a [b-unidad]s-unidad]ayudaremos a transformar el producto de unidad dentro de una unidad que son compatibles para reformar este producto de unidades dentro de una unidad de producto de unidades para encontrar proble-mas que contrasten. una secuencia de reunitizacion en una unidad producto de unidades (ab(1((1-unidad)X [1-unidad])-unidad). Estas reunitizaciones son la hipótesis de las estructuras cognitivas en el producto de la multiplicación. Usamos este ejemplo del numero de combinaciones posibles entre tres blusas y cuatro faldas que proveen algunas intuiciones sobre estas ideas . La forma del producto entre tres blusas y cuatro faldas, de formación de la unidad conceptual y las reformas que es necesario que ocurran. Primero las tres blusas y las cuatro faldas son reunitizadas como (3-unidad blusas) y [4-unida falda]. Entonces (3-unidades blusa] es descompuesto como (3(1-unidad blusa)s-unidad); cada una de esta (1-unidad blusa)es par con [4-unidad falda] hacia la forma 3(1((1-unidad blusa) X [4-unidad falda])-unidad)s. Después [4-unidad falda] es descompuesta en [4[1-unidad falda]s-unidad], cada uno de (1-unidad lusa)s es "distribuida alrededor" de la operación unitaria en [1-unidad falda]s en [4[1- unidad falda -unidad]s a la forma tres unidades de la forma { 4(1((1-unidad blusa) X [1-unidad falda)-unidad)-unidad} s. Esto describe hasta el final algunas de las construcciones cognitivas que se refieren cuando 3 por 4 es un par construido. Estos resultados abstractos tomana forma en los principios de unitización usados en la matemática genera-lizada de la notación de la cantidad y luego se ilustra con (3-unidad), que es (000) y [4-unidad] que es [**** ]. Principios para la reuniti zacion en el producto de unidades 1. Los principios que hemos hipotetizado para representar las estructuras de conocimiento de que se ne-

cesitan para simbolizar el producto cruzado de dos cantidades con la ayuda manitpulativa o con la no-tación estándar. Sin embargo, estos principios son "axiomas" esenciales solo para el sistema de nota-

ciones, ellos también,(eso creeemos) representa el conocimiento esencial para la comprensión del sig-nificado del producto cruzado de la multiplicación. Sin embargo, solo representa las estructuras de co-nocimiento que podrían ser desarrolladas intuitivamente por los niños.

a. Si la (a-unidad) es reunitizada en (a(1-unidad)s, el producto unidad (1((a-unidad) X [b-unidad])-unidad) es (1((a(1-unidad)s-unidad) X [b-unidad)]-unidad.

b. b. Si [b-unidad] es distribuido sobre la operación de unitización en (a(1-unidad)s, (1((a(1-unidad) X [b-unidad]-unidadf) resulta a(1((1-unidad X [b-unidad])-unidad)s.

c. Si [b-unidad] en a(1((1-unidad) x [b-unidad])-unidad)s es reunitizado ab[1-unidad]s, el re-sultado es (a(1((1-unidad) X b[1-unidad]s-unidad])-unidad)s-unidad).

d. Si (1-unidad) en (a(1((1-unidad) X [b(1-unidad)s-unidad])- unidad)s-unidad es distribuido a través de la operación de unitización de b[1-unidades], el producto unidad resultante es (ab(1((1-unidad) X [1-unidad])-unidad)s-unidad).

2. Si el [b-unidad] es reunitizado en b[1-ubidad]s, el producto unidad (1((a-unidad), [b-unidad])-unidad)

resulta (1((a1-unidad)s-unidad) X [b(1-unidqd)s-unidad])-unidad. De nuevo la secuencia de reunitiza-ciones es similar a 1ª- 1c y se obtiene el mismo resultado que en 1d.

3. Si (a-unidad) es reunitizado como a(1-unidad)s y [b-unidad] es reunitizado en b[1-unidad]s, el produc-

to unitario (1((a-unidad) X [b-unidad])-unidad) se obtiene (1((a(1-unidad)s-unidad) X [b(1-unidad]s-unidad])-unidad). De nuevo, una secuencia de reunitizaciones similar a 1ª-1c obtiene los mismos re-sultados que 1d.

Mostraremos algunas ilustraciones de estos comentarios generales usando una (3-unidad) que es (000), y una [4-unidad], que es, [* * * * ].

1. Si (000) es reunitizado en ((0) (0) (0)) entonces el producto unidad { (0 0 0) X [* * * ]} se obtiene { ((0) (0) (0)) x [ * * ]} , { 1((3(1-unidad)s-unidad) X [4-unidad])-unidad} . Y desde esto distribución de [ * * * * } cubre la operación de unitización en ((0) (0) (0)) se obtiene la descom-posición del producto de unidad en el producto de unidades mostrado en 1ª:

a. { ((0) X [* * * ]) ((0) X [ * * * ]) ((0) X [* * * ])} , 1{ 3(1((1-unidad) X [4-unidad])-unidad)s-unidad} ; y por la reunitización de [* * * ] en [[*] [*] [*] [*]] en 1ª podemos formar la unidad del producto de unida-des mostrado en 1b. b. { ((0) X [[*] [*] [*] [*]]) ((0 X [[*][ *] [*] [*])} , 1{ 3(1((1-unidad) X [4 [1-unidad]s-unidad])-

unidad]s-unidad} y con la distribución a través de la multiplicación X (0) a través de la operación de unitización en [[*] [*] [*] [*]] en cada ((0) X [[*] [*] [*] [*]]) se obtiene la descomposición de productos de uniddes en 1b hacia la unidad de unidades del producto de unidades mostrado en 1c. c. { (((0) X [*]) ((0) X [*]) ((0) X [*]) ((0) X [*]))

(((0) X [*]) ((0) X [*]) ((0) X [*]) ((0 X [*])) (((0) X [*]) ((0) X [*]) ((0) x [*]) ((0 X [*]))} ,

(((0) X [*]) ((0) X [*]) ((0) X [*]) ((0 X [*]))} , 1{ 3(4(1((1-unidad) X [1-unidad])-unidad)s-unidad)s-unidad} ; y una forma de composición de unidades desde la unidad de unidades de productos de unidades en 1c nosotros podemos obtener la unidad del producto de unidades mostrado en 1d.

1d. { ((0) X [*]) ((0) X [*]). . . ((0) x [*])} 1(12(1((1-unidad)X [1-unidad])-unidad)s-unidad} .

2. Si [* * * ] es descompuesto en unidades simples [[*] [*] [*] [*]] entonces, el producto unidad { (0 0 0) X [ * * * * ]} se obtiene, { (000) X [[*] [*] [*] [*]] } , { 1((3-unidad) X [4[1-unidad]s-unidad])-unidad} . Desde esta reunitización del producto de unidades y una secuencia parecida a 1ª-c obtenemos el mismo resultado que en 1d.

3. Si (000) es reunitizado en ((0) (0) (0)) y [**** ] es reunitizada en [[*] [*] [*] [*]] , entonces el producto

de unidad { (0 0 0) X [* * * ]} se obtiene { ((0) (0) (0)) X [[*] [*] [*] [*]] } , { (3(1-unidad)s-unidad X [4 [1-unidad]s-unidad]-unidad} . Desde esta reunitización del producto de unidades y una secuencia simi-lar de 1ª-1c obtenemos los mismos resultados que en 1d.

La figura 5.5 muestra una continuación de la interpretación geométrica correspondiente a la secuencia de unitización de cantidades discretas contenidas en 1, utili zando el producto indicado 1(3-in.unidad) X 1[4-cm unidad). En el caso discreto, la notación (1-unidad) X [1-unidad] denota el par (no necesariamente ordenado) de cantidades (1(1-unidad), 1[1-unidad]). Continuando los casos que incluyen arreas rectangulares se puede pensar de (1-unidad) x [1-unidad] denota un par de unidas de longitudes formando un segmento de ángu-los rectos (i.e., como ). Entonces yustaponiendo un numero apropiado de este con los lados del rectángu-lo y con otra parte del rectángulo dentro de las unidades de área del rectángulo. Esta concepción del pro-ducto de unidades de longitud de medidas pueden ser entendidas de cómo un producto de medidas de las longitudes de los lados del rectángulo es el resultado de la medida del área incluida en los lados. Otros principios para la reuniti zacion en el producto de unidades. Los principios para la reunitizacion de la unidad producto la hemos traído en las situaciones que involu-cran el producto de 1(a-unidad) y 1[b-unidad]. Denotaremos el producto indicado de m(a-unidad)s y n[b-unidad]s, donde m y n no son números enteros negativos. a.(m(1(((a-unidad) X [n[b-unidad]s-unidad)s-unidad) b. (n(1((m((a-unidad)s-unidad) X [b-unidad])-unidad)-unidad), c.(mn(1((a-unidad) X [b-unidad])-unidad)s-unidad) d. (x(n(v(1((a-unidad) X [b-unidad])-unidad)s-unidad), donde 1>= x, v,y xv = m e.(t(u(v(1((a-unidad) X [w[b-unidad]s-unidad)s-unidad)s-unidad)s-unidad), donde 1<= t, u, v, m =, tu, y n= vvw. Ilustramos esta reunitizacion usando el producto unitario ((1(30(2-unidad pulg.)s-unidad) X [6[5-unidad cm]s-unidad]). Sugerimos que el lector imagine un rectángulo de 30(2-unidad pulg.)s de altura y 6[5-unidad cm]s de largo. Mostraremos la representación simbólica de la reunitizacion en este producto uni-dad correspondiente desde a hasta -e, y la rotularemos como a' - e' y daremos una descripción verbal del particionamiento del rectángulo en la cual se describe la unitización.

a.(30(1((2-unidad pulg.) X [6 `5-unidad cm]s-unidad])-unidad)s-unidad), el rectángulo original es dividido 30 horizontal, rectángulos, cada uno es 1(2-unidad pulg.) alto por 1[6[5-unidad cm]s-unidad]de largo.

b'. (6(1((30(2-unidad pulg.) X [5-unidad cm])-unidad)s-unidad), el rectángulo original esta dividi-do en columnas verticales, forma rectángulos de 1(30(2unidad pulg.)s-unidad) de alto por 1[5-unidad cm]de largo.

c' (180(1((2-unidad pulg.) X 1[5-unidad cm])-unidad)s-unidad), el rectángulo original es dividido en 180 rectángulos , cada uno es 1(2unidad pulg.) de alto y 1[5-unidad cm] de largo.

d' (10(6(3(1((2-unidad pulg) X [5unidad cm])s-unidad)s-unidad)s-unidad)s-unidad), el rectángulo original es dividido en 10 partes horizontales de rectángulos con 6 rectángulos en cada divi-sión, los cuales son 1(3(2-unidad pulg.)s-unidad) de alto por 1[5-unidad cm] de largo.

e' (10(3(3(1((2-unidad pulg.) X [2[5-unidad cm]s-unidad)s-unidad)s-unidad)s-unidad), el rectángulo original es partido en 10 divisiones que contienen rectángulos con 3 rectángulos en cada di-visión, los cuales son (1(3(2-unidad pulg.)s-unidad) de alto por 1[2[5unidad cm]s-unidad] de largo.

Es interesante resaltar como la descripción verbal de la partición del rectángulo original tiene palabras que sugieren que de rectángulos correspondiente cada uno a un nivel de unidades involucradas sugeridas para la generalización de la representación de la matemática de la cantidad: el producto del alto por el ancho en el rectángulo que es dividido en partes de rectángulos, cada uno es absorbido en el rectángulo original Problemas con Números Enteros En esta sección presentamos algunos ejemplos de problemas que sugieren el tipo de problema que consi-deramos los niños podrían tener experiencias de resolución durante su estudio de la aritmética de los nu-merosa enteros. Estos problemas podrían incrementar la comprensión de la multiplicación del producto de unidades y también fundamentarían la comprensión la operación multiplicativa de los números racionales como producto de unidades. Después mostramos la solución de algunos problemas de multiplicación con números enteros, mostraremos la solución de algunas multiplicaciones con números racionales para mos-trar la simili tud conceptual y procedural en la representación y solución de estos problemas. A través de cada problema mostraremos la representación y la solución de ambos, el sistema de notación con la ayuda manipulativa y el sistema de notación para la matemática de la cantidad. Ampliaremos detalles en el análi-sis hipotetico del tipo de unidades formado en el proceso conceptual de la solución del producto de medi-das en la multiplicación. Ejemplo de problema 1. Juana tiene una gran cantidad de tres variedades diferentes de manzanas y cuatro variedades de naranjas. Ella las está empacando en paquetes de tal manera que contenga una manzana y una naranja por paquete de tal forma que cada variedad de naranja-manzana quede representado. Cuantas clases de paquetes podrá empacar?. Analizamos el problema como sigue: las tres variedades de manzanas y las cuatro variedades de naranjas, respectivamente, constituyen (3-unidades manzana) y (4 unidades naranja). Denotamos esto con la ayuda manipulativa genérica como (01 02 03) y [*1 *2 *3 *4]. El modelo de la matemática de la cantidad para el problema en términos de la representación generalizada de la matemática de la cantidad es 1(3-unidad) X 1[4-unidad] = ? ((1-unidad) X [1-unidad]-unidad)s. Alternativamente podríamos pensar las tres variedades de manzanas y las cuatro variedades de naranja como (3(1-unidad manzana)s-unidad) y [4[1- unidad naranja]s-unidad], respectivamente. Sin embargo, resultan algunas pequeñas diferencias cuando se lleva a cabo la multiplicación del producto cruzado. Uno de los primeros pasos para la primera interpretación es cambiar (3-unidades manzana) a (3(1-unidad manzana)s-unidad), y [4-unidad naranja]s-unidad] [4-unidad naranja] a [4[1-unidad naranja]s-unidad]. La representación en la ayuda manipulativa de la solución es presentada en la figura 5.6 y la representa-ción en la matemática de la cantidad se muestra en la figura 5.7. Una posible conceptualización para hallar la solución del producto cruzado es mostrada en estas dos representaciones en que se hipotetiza que el niño podría construir la unidad realizando arreglos en dos dimensiones. Las dos unidades compuestas

que representan factores en el producto podrían ser conceptualizadas como un rectángulo del uno por el otro; a lo largo de la dimensión vertical y el otro a lo largo de la dimensión horizontal. La multiplicación del producto cruzado es llevada a cabo para la primera reunitizacion de las dos unidades compuestas que representan las dimensiones vertical y horizontal de las dos unidades de unidades (i.e., (3-unidad manzana) reunitizada como (3(1-unidad manzana)s-unidad y [4-unidad naranja] en [4 [1-unidad naranja]s-unidad]). Mostraremos, como lo ilustrado en la figura 5.6, la multiplicación del producto cruzado en la unidad "horizontal" - tomando arbitrariamente puede ser [4[1-unidad naranja]s-unidad]- está distribuida sobre la operación de unitización en la unidad "vertical" resultando unidades de la forma ((1unidad manzana) X [4[1-naranja]s-unidad). En la figura 5.6 esta distribución está acompañada de al-gunos pasos; entre estos pasos está la aplicación de la distributividad, la distribución de la multiplicación del producto cruzado por a (1-unidad manzana) sobre la operación de unitización en [4[1-unidad naran-ja]s-unidad] es llevada a cabo como (4(1((unidad de manzana) X [1-unidad naranja])s-unidad)s-unidad). Formalmente, la multiplicación de este producto cruzado es realizado por el emparejamiento del “prime-ro” (1-unidad manzana) con [4[1-unidad naranja]s-unidad] y luego formando cuatro pares ordenandos -((1-unidad manzana), [1-unidad naranja]) en pares. El "segundo" (1-unidad manzana) es entonces pareada con [4[1-unidad naranja]s-unidad], y entonces los cuatro pares ordenados son formados. Se continúa hasta (1-unidad manzana)s y obtener todo lo que es usado. Este proceso es mostrado diagramaticamente en la figura 5.8 y en la que se dan sugerencias de cómo este proceso se puede implementar en un programa de computación interactivo. Hemos usado la analogía de un arreglo rectángular solamente porque esto muestra un buen modelo para usarse con los niños. Teóricamente, las dos dimensiones no necesitan ser rectangulares ni obligatoriamen-te ser lineales. Sin embargo el análisis hecho en las figuras 5.6 y 5.7 para las cantidades discretas podrían tener mucha simili tud con las cantidades continuas donde el problema podría tener la forma de unidades de área desde unidades lineales a partir de las longitudes de los lados. Ejemplo problema 2. Un rectángulo tiene una longitud de 6 pulgadas y una altura de 4 centímetros. Cuál es el área del rectángulo. Hemos omitido deliberadamente la especificación de las unidades en las cuales se podría expresar el área para sugerir que este es un camino apropiado para responder las preguntas del estudiante. El problema de decidir cual unidad se usa para expresar el área forzará al estudiante a considerar cuales unidades son po-sibles, basado en las unidades en las cuales es expresado el largo de los lados, una consideración que con-cierne a las relaciones entre las unidades de área y el producto de las unidades lineales. Algunas unidades son posibles con cada uno de ellos (((1-unidad cm) X [1-unidad pulgada])-unidad)s, (((1-cm unidad) X [ 2-unidad pulgada])-unidad)s, (((2-unidad cm.) X [2-unidad pulgada])-unidad)s, (((2-unidad cm.) X [3-unidad pulgada])-unidad)s. En efecto, una respuesta correcta es que el área es (1((4-unidad cm.) X [6-unidad pulgada])-unidad)s estas se muestran en las figuras 5.9 y 5.10. En la demostración de la figura 5.9 se ha intentado hipotetizar sobre el tipo de unidades que los niños po-drían formar en la búsqueda del área del rectángulo usando 1-cm X 1-pulgada, el objeto, dicen, es un blo-que de este tamaño, como se muestra. El niño coloca primero el objeto en el lugar, dice, por arriba de la mano izquierda fuera del rectángulo haga un trazo alrededor de éste. Esto se repite entonces hasta realizar seis filas de seis de 1-cm X 1-pulgada en forma de rectángulo resultando una unidad de producto de uni-dades, (6(1-unidad cm.) X 1-unidad pulgada]unidad])s-unidad). Esto se repite haciendo una segunda, una tercera y una cuarta hilera, resultando cuatro en tales unidades de producto de unidades. Eventualmente los niños pueden ver el área como el producto del número de 1-cm. X 1-pulgada del rec-tángulo en una fila y el número total de las filas. Si estas experiencias pueden conducir al niño a mirar el

área del rectángulo cómo se puede relacionar con el producto cartesiano de dos medidas de longitud? es, claramente, una pregunta abierta. Por esta razón la solución es "guiada" por la ayuda manipulativa (una región física rectangular y unas piezas rectangulares) antes que ser un plan predeterminado y una solución anticipada por parte de los estudiantes, esto no está ligado con las conexiones que se puedan realizar. Si el estudiante maneja la longitud y el ancho de 1-cm X 1-pulgada como un objeto en que con las medidas de los lados respectivos del rectángulo se pueda realizar una predicción acerca del número de copias del rec-tángulo que se podrían necesitar para cubrir el rectángulo correctamente; esto podría ser de una gran ayu-da. La representación en la figura 5.10 corresponde al método de determinación del área por la formación de una rejill a dentro del rectángulo. Los procesos pueden ser: primero, la partición de unos de sus lados de-ntro de las unidades de longitud - seis de 1-pulgada de longitud por cuatro de 1-cm. De longitud. En la figura 5.10, uno de 4- cm. es particionado en uno de 1- cm. de longitud. Nuevas líneas se trazan paralelas al otro lado que resulta de la partición de puntos sobre el lado adyacente. Después de esto, el otro lado es particionado dentro de la unidad pulgada (seis de 1-pulgada de longitud en la figura 5.10), y las lineas son dibujadas en paralelo del lado adyacente que resulta de la partición de los puntos sobre el primer lado. Es-ta rejill a que se muestra se puede cerrar de manera tal que los niños puedan completar un arreglo en el que se busque el producto Cartesiano de dos unidades discretas y poder facili tarle a los niños la habili dad para construir la conexión entre la multiplicación del producto de medida y el concepto del uso de la multipli-cación para determinar el área. La demostración de la ayuda manipulativa en la figura 5.9 refleja que el niño podría determinar el área del rectángulo colocando 1-cm X 1-pulgada como un bloque de filas. Los pasos 5ª hasta 5f (figura 5.9) co-rresponden a lo hecho por los niños en la primera hilera y los pasos 7, 9 y 10 corresponden a lo realizado en las siguientes hileras. La acción en este procedimiento de medida puede ser completada articulándola con la medida de una cantidad lineal. El procedimiento puede ser percibido por los niños como una simple colocación de unidades de final a final y terminar contando el número de unidades; Sin embargo, en algu-nas actividades que se dirigen a la formación de unidades, tal como lo hemos hipotetizado -unidades sim-ples basadas en bloques simples, luego en unidades dobles, triples y finalmente en un bloque de hileras simples- en algunos casos, la intervención del maestro puede ser necesaria. Cuando se ha formado el pri-mer bloque de hileras, los niños podrían tener la habili dad para conceptualizar esto como una unidad; la intervención del profesor puede facili tar dicha conceptualización con preguntas como éstas: Cómo puedes describir los bloques que tienes aquí? (mirando una respuesta tal como "una hilera "). Cuántos rectángulos hay en la hilera? Cuál es la medida de este lado del rectángulo? Es esta hilera la medida de este lado del rectángulo? Cada una de estas preguntas pueden ser dibujadas por los niños para que pongan atención a las relaciones entre el número de rectángulos en una hilera y el número de unidades de medida en un lado del rectángu-lo. Si el niño repite el procedimiento de formar hileras similares en forma aditiva se pueden formular pre-guntas apropiadas para abordarlas en una discusión (Cuántas hileras hay?, el número de hileras es igual a la medida del otro lado del rectángulo?). Hemos mostrado esta actividad como una ayuda al niño en la conceptualización del área como un producto: el número de hileras es al tiempo el número en cada hilera. Pero este producto es justamente una operación que evita el conteo del número de rectángulos simples. Los niños pueden necesitar hacer la conexión que el número de hileras que corresponden con la medida de un lado y el número en cada hilera como la medida en la otra dimensión, y en esta vía el producto del número de filas al tiempo del número en cada hilera podría corresponder al producto de la medida de los

dos lados. Esta actividad manipulativa puede ayudar al niño en la conceptualización de las relaciones entre una medida dimensional de un lado con las dos medidas dimensionales del área, si tuviera duda. Una circunstancia molesta en esta secuencia es que la medida de los lados del rectángulo no son discutidas hasta después de haber sido hechas las hileras. Se puede llamar la atención dibujando esto en forma subse-cuente pero en actividades similares y empezando la secuencia preguntando a los niños una predicción del número en las hileras y el número de hileras pueden crear un desequili brio cognitivo apropiado (Piaget, 1985) para dirigirse hacia una acomodación de estas relaciones. El procedimiento para realizar una predic-ción podría forzar a los niños hacia la anticipación de arreglos de rectángulos simples en las hileras y co-lumnas dentro de las restricciones de la longitud y el tamaño del rectángulo. La demostración manipulativa en la figura 5.10, en la que también se trata con el problema de hallar el área de un rectángulo de 4-cm. por 6-pulgadas, corresponde a una actividad en la cual el niño se dirige primero a indicar activamente las unidades de medida lineales sobre los dos lados adyacentes de un rec-tángulo dado y se traza entonces la rejill a del rectángulo con las medidas 1-cm. por 1-pulgada. ¿Puede esta experiencia, a partir de una discusión profesor-alumno, ayudar a los niños a ver que la formación del rectángulo de 1-cm. por 1-pulgada como una unidad compuesta de dos dimensiones del rectángulo?. Este “enrejado” también involucra la formación de subunidades de la unidad rectángulo dada de 4-cm. por 6-pulgada. Cada línea es dibujada en paralelo hasta el final de la longitud de 1-cm por 6-pulgadas; la dimen-sión sugerida de la unidad de área es 1-cm. por 6-pulgadas. Cuando todas las unidades posibles de este tipo son formadas, cada línea trazada hasta el final de la unidad 1-pulgada en paralelo con 4-cm. la dimen-sión formada por cuatro de 1-cm por 1-pulgada es una unidad de área o una unidad compuesta de unidades dibujada como una columna de cuatro de 1-cm. por 1-pulgada unidad. Cuando se trazan todas estas líneas el área puede ser conceptualizada como una unidad compuesta de unidades de unidades hecha con seis unidades compuestas de unidades (las columnas de seis de 4-cm. X 1-pulgada). Esto puede encaminar hacia la idea que el área puede ser conceptualizada como el producto del número del rectángulo de 1-cm X 1-pulgada al tiempo que el número en una columna. sugerimos que este tipo de actividad manipulativa en el transcurso de la interacción profesor-alumno podría ayudar al niño a conceptualizar la relación entre una unidad de medida dimensional de los lados del rectángulo con las unidad de medida de dos dimensio-nes de la región incluida dentro de estos lados. Por supuesto, el cambio de lugar de la primera línea dibujada (fig 5.10) en paralelo con la dimensión de 6-pulgadas en laque hemos terminado con columnas de rectángulo de 1-cm por 1-pulgada ó el primer tra-zo de línea en paralelo con una dimensión de 4 cm. en el que podemos terminar con hileras de rectángulos ha sido arbitrario en el caso de esta de esta demostración. Lo mismo es cierto para demostración en la fi-gura 5.9. Para los niños, las experiencias deben estar provistas de ambas opciones y ellos necesitan que se les permitan crear sus propios opciones. De nuevo, un aspecto en esta intervención podría estar reservado a la discusión con los niños acerca del trazado de la rejill a de líneas como una sugerencia y en varios puntos de la secuencia en la cual el estu-diante tenga que hacer una predicción acerca del número de rectángulos de 1- cm por 1- pulgada que pue-den resultar. Las mejores intervenciones orientadas en esta dirección pueden ser dividiendo (o sugerirle al niño que las divida) en partes de 1- cm por 4- cm de lado y preguntar por el número de rectángulos de 1- cm por 6-pulgadas que podrían estar. Uno podría tener al niño dibujando (y ,eventualmente, con represen-taciones mentales) líneas hasta los puntos finales del segmento de 1- cm. Entonces, se puede sugerir al niño que retenga la imagen del rectángulo de 1- cm por 6- pulgadas, marcar (o hacer que el niño marque) los puntos del lado de 6- pulgadas dentro de la parte de 1- pulgada y piense acerca de las líneas dibujadas que resultan desde cada partición y anticipe el número de pequeños rectángulos (1- cm por 1- pulgada),

que podrían resultar de cada rectángulo de 1- cm por 6- pulgadas. y finalmente predecir el número total de rectángulos pequeños. Uno podría ir mas allá y ocupar al niño en situaciones donde la pregunta es sobre el número de pequeños rectángulos que hay de 2- cm. por 1- pulgada, 1- cm. por 2- pulgadas, 2-cm. por 2- pulgadas, 2-cm. por 3- pulgadas... etc., en el rectángulo entero y después particionar apropiadamente los lados del rectángulo. Se puede involucrar a los niños en situaciones en las cuales la altura es particionada en de cuatro unidades de 1- cm y la longitud en dos unidades de 2- pulgadas mas dos unidades de 2- pulgadas y hacer que el niño determine los tipos y números de cada tipo de unidad que podrían resultar si se toma el producto de las medidas de la altura y la longitud. Una actividad similar podría ser la partición de la altura en una unidad de 2- cm. mas dos unidades de 1- cm. y anticipar la longitud. Este tipo de actividades pueden ser la plataforma para las futuras conexiones entre el área y la multiplica-ción de unidades en el punto donde la actividad de partición de los lados del rectángulo en longitudes apropiadas y determinar las unidades de área resultantes desde estas particiones lo que podría dar una base conceptual firma para la multiplicación de números multidígitos tal como 25 X 34. La forma como esto puede darse está sugerido en la fig. 5.11. La flexibili dad en la partición de los lados del rectángulo puede orientar a los niños a inventar estrategias alternas de realización de computaciones como es sugerido en la figura 5.12. Multiplicación de Números Racionales En esta sección abordaremos mas directamente algunos problemas tal como el ejemplo del problema 1(juana tiene una gran cantidad de tres variedades diferentes de manzana y cuatro variedades de naranjas. Ella está haciendo paquetes de frutas de tal forma que quede representado una manzana y una naranja por paquete de cada de variedad manzana-naranja. ¿Cuántas clases de paquetes diferentes puede hacer?), se puede usar la forma que fundamenta el resultado del producto de los números racionales. Hay una vía alterna que se puede mirar en el ejemplo del problema 1. Una modificación de este problema va en la dirección de proveer soporte adicional para la multiplicación de números racionales de la manera siguiente: Juana tiene una gran cantidad de tres variedades diferentes de manzanas, dos de éstas son rojas y las otras de colores diferentes. ¿Cuántos paquetes, de entre todos los paquetes pueden contener manzanas rojas?. Una representación de este problema podría ser: { ((01) (02) (03)) X [[*1] [*2] [*3] [*4]] } , esto es como { (3(1- unidad manzana)s- unidad) X 4[1- unidad]s –unidad])-unidad} . La unitización para la variedad de manzanas rojas podría darse así: { (((01) (02) (03)) X [[*1] [*2] [*3] [*4]] } , o { ((2(1- unidad manzana roja)s- unidad) + (1- unidad manzana)) X [4[1- unidad naranja]s- unidad]} . Y la distribución de la multiplicación del producto cruzado por [[ *1] [*2] [*3] [*4]] sobre la operación de unitización del primer nivel en (((01) (02)) (03)) da: { (((01) (02)) X [[*1] [*2] [*3] [*~4]]) (03) X [[*1] [*2] [*3] [*4]]) } , o { ((2(1- unidad manzana roja)s- unidad) X [4[1- unidad naranja]s- unidad] + (1- unidad manzana)) X 4[1- unidad naranja]s- unidad]} .

Si se usó un arreglo espacial para mostrar las etapas del procedimiento para llevar a cabo este producto cruzado, también se puede hacer con un programa computacional interactivo y el resultado final se puede mirar más adelante. Cada una de las dos unidades del producto de unidades corresponde a uno de los términos en el producto distribuido. ((01) x [*1]) ((01) x [*2]) ((01) x [*3]) ((01) x [*4]) ((02] x [*1]) ((02) x [*2]) ((02) x [*3]) ((02) x [*4]) . . . ((03) x [*1]) ((03) x [*2]) ((03) x [*3]) ((03) x [*4]). Mostrado de esta manera uno podría contar fácilmente, o multiplicar hasta encontrar que ocho de doce paquetes tienen una manzana roja. Otra modificación, para ir mas allá en la dirección de proveer un soporte adicional para la multiplicación de números racionales, es suponer mas arriba, que dos de tres variedades de manzanas son rojas y que tres de cuatro variedades de naranjas son “naranjas Cali fornia” . Entonces se considera la pregunta, ¿Cuántas tipos de paquetes se hacen con una manzana roja y una “naranja Cali fornia” , y cuantos paquetes de manzanas-narnajas hay en total?. Una representación del problema en la ayuda manipulativa genérica puede ser así: { ((01) (02) (03)) x [[ � 1] [ � 2] [ � 3] [*4]] } , o { (3(1- unidad manzana) x [4[1- unidad]s- unidad]) –unidad} . La unitización para la variedad de manzanas rojas y las “naranjas Cali fornia” da: { (((01) (02)) (03)) x [[[ � 1] [ � 2] [ � 3]] [*4]] } , O el resultado del producto unidad desde la multiplicación del producto cruzado de: ((2(1- unidad manzana roja)s- unidad) + (1- unidad manzana)) y [[3- unidad naranja Cali fornia]s- unidad] + [1- unidad naranja]] . Una distribución apropiada de la multiplicación del producto cruzado sobre la operación de unitización y el arreglo de los resultados en los cuatro cuadrantes correspondientes con los cuatro mayores términos del producto distribuido podría darse como sigue: ((01) x [� 1]) ((01) x [� 2]) x ((01) x [� 3]) . ((01) x [*4]) ((02) x [� 1]) ((02) x [� 2]) ((02) x [� 3]) . ((02) x [*4]) . . . ((03) x [� 1]) ((03) x [� 2]) ((03) x [� 3]) . ((03) x [*4]). La respuesta a la pregunta de lo que se puede obtener con la interpretación del producto de unidades en el cuadrante superior izquierdo de la figura es que se halla el número del producto unidad en este. Esta pregunta puede ser contestada a partir de dos cómputos separados, uno puede preguntar por las ventajas cognitivas que hay en la observación de un problema con esta forma. Cada uno de los factores –dos variedades de manzanas de tres y tres variedades de naranja de cuatro – en la multiplicación del producto cruzado estan en relación parte-todo, por lo tanto, el resultado es un producto de relaciones parte-todo. El producto tiene esta representación mas general: (2(1-unidad)s de 3(1-unidad)s) x (3(1- unidad)s de 4[1- unidad]s) =? (((1-unidad) x [1- unidad])- unidads de ?(((1- unidad) x [1- unidad])-unidad)s.

El problema tomado sobre el carácter del producto de números racionales cuando la unidad de dos variedades de manzanas rojas es considerada como 2/3 de todas las variedades de manzanas, y la unidad de tres variedades de naranjas Cali fornia se puede considerar como ¾ de todas las variedades de naranjas. La interpretación de esta pregunta queda así 2/3 x ¾ = 6/12. Una interpretación alterna al problema se puede dar si reemplazamos cada (1- unidad manzana roja) y (1-unidad manzana) por la notación general de unidad (1/3 unidad) y cada [1- unidad naranja Cali fornia] y 1-[1- unidad naranja] por [1/4- unidad]. Entonces la multiplicación del producto cruzado es: ((2(1-unidad manzana roja)s- unidad) + (1- unidad manzana)) por [[3[1-unidad naranja Cali fornia]s- unidad] + [1- unidad naranja]] , Se puede hacer la siguiente unidad de producto cruzado: { ((2(1/3- unidad)s- unidad) + (1/3- unidad)) x [[3[1/4- unidad]s- unidad]+ [1/4 –unidad]] } . Una cuidadosa investigación de estas estructuras de unidades involucra llevar a cabo una distribución apropiada de la multiplicación del producto cruzado sobre la operación de unitización en el que se reformula este producto unidad dentro de la unidad compuesta del producto de unidades lo que podría orientar esta interpretación: 2/3 x ¾ = { (2(1/3- unidad)s- unidad) x [3[1/4- unidad]s- unidad]- unidad} = { 6((1/3- unidad) x [1/4- unidad])s- unidad} .................... = { 6(1/12- unidad)s- unidad} ............................................ = 6(1/12- unidad)s............................................................ Si se orienta como un algoritmo para la multiplicación de números racionales se representa como múltiplos de unidades de fracción, el cual se ilustra como: 2/3 x ¾ = 2(1/3) x 3(1/4) = (2 x 3) (1/3 x ¼). = 6(1/12) = 6/12. De esta manera un entendimiento básico para la multiplicación de números racionales es que un número racional a/b se puede representar como unidades de tamaño 1/b, a(1/b), y el producto de dos unidades de fracción 1/x y 1/b es 1/(x. b), y el producto de dos números racionales es, conceptualmente, un problema de producto de unidades (Vergnaud, 1988). En el resto de esta sección miraremos mas directamente un modelo de la ayuda manipulativa con cantidades discretas en la multiplicación de números racionales. El tipo de unidades conceptuales que, de acuerdo con nuestra hipótesis, se necesitan para entender la multiplicación son similares a aquellas mostradas en el análisis detallado mostrado en las figuras 5.6 y 5.7. El modelo correspondiente a la matemática de la cantidad enfatiza, mas allá, en la formación y reformación de estas unidades. Hemos iniciado con un modelo de ayuda manipulativa basado sobre cantidades discretas para encontrar el producto de 1/6 y ¼ (ver figura 5.13). El producto de 1/6 y ¼ se fundamenta en el contexto de resultados del producto cruzado de dos unidades implícitas en las fracciones 1/6 y ¼ - un (6- unidad) y un (4- unidad). El resultado de este procedimiento es una representación del producto unidad y el producto de las fracciones como el resultado de un procedimiento único. Esto es importante en el siguiente sentido; para los niños, quienes llevan a cabo procedimientos de cuantificación, el producto de 1/6 y ¼ es necesario que el/la niño/a cuantifiquen la

parte de la estructura del producto de unidad (un entero del cual 1/6 y ¼ son las partes). Esta parte de la estructura podría ser cuantificada por los niños de diversas maneras: como 6(1/6) x 4(1/4), como 6 x 4(1/6 x ¼), como 24(1/6 x ¼), como 24(1/24) y como 24/24. Una vez que la unidad del producto entero es cuantificada como 24(1/24), 1/6 x ¼ , puede ser uno de veinte y cuatro (1/24s) y es tan cuantificable como 1/24. No es que el producto de (6- unidad) y el (4- unidad) (e.g. un arreglo de 6 x 4) fuera dado y la intersección de 1/6 de una dimensión y ¼ de la otra fundamente y demande la representación del producto de 1/6 y ¼ como a menudo aparece en los libros de textos. Una vez que se ha establecido para orientar el producto de dos unidades fraccionarias, las unidades tal como (1/a- unidad) y [1/b- unidad] iguales a 1{ 1/ab- unidad} , esto puede posibili tar a los niños el trabajo con la siguiente multiplicación simbólica para el producto de 4/6 y ¾: 1. 4/6 x ¾ = 4(1/6- unidad) x 3[1/4- unidad] 2. = 4 . 3(1/6- unidad) x [1/4- unidad] 3. = 12(1/6- unidad) x [1/4- unidad] 4. = 12{ 1/24- unidad} De una manera mas simple y con el simbolismo de la aritmética del número las fracciones se pueden representar como múltiplos de unidades fraccionarias, esto podría aparecer como sigue: 1. 4/6 x ¾ = 4(1/6) x 3(1/4) 2. = 4 . 3(1/6) x (1/4) 3. = 12(1/6) x (1/4) 4. = 12(1/24) 5. =. 12/24. Se puede proporcionar el apoyo manipulativo para esta multiplicación tal como se sugiere en la figura 5.14. DISCUSION Y CONCLUSIONES Este trabajo analítico representa un intento de llevar a cabo dos objetivos. Un objetivo es la hipótesis de las estructuras cognitivas se desarrollan o que necesitan ser desarrolladas para la adquisición de la comprensión de los conceptos discutidos. Un segundo objetivo es considerar que estas estructuras cognitivas sugieren una clase de actividades de aprendizaje que los niños deben experimentar para que tengan la oportunidad de desarrollar estas estructuras. Una conjetura es que estas estructuras de unidad que hemos hipotetizado corresponden a estructuras mentales que el aprendiz desarrolla con algún apoyo desde la ciencia cognitiva (S. Ohlsson, comunicación personal, Agosto 7, 1991). Queremos enfatizar que los sistemas notacionales que hemos desarrollado y comunicado en el capítulo donde planteamos el análisis teórico y que lo hemos difundido dentro de la comunidad de investigadores no pretende ser usado con los niños, pero tampoco descartamos la posibili dad que en instancias particulares estos sistemas notacionales se puedan usar con ellos. No obstante el desarrollo de estas instancias va mas allá de la visión de este capítulo. Argumentamos, sin embargo, que la unidad de análisis de la ayuda manipulativa genérica proporciona una base para la construcción de tales instancias al proporcionar a los niños experiencias manipulativas apropiadas.

Las investigaciones podrán determinar si las estructuras cognitivas que hemos hipotetizado son o no necesarias para el aprendizaje y la comprensión de los conceptos que hemos puesto bajo discusión. El análisis que se ha dado en este capítulo ha sido validado con el apoyo de un trabajo en progreso realizado por Simon y Blume (1991). En sus investigaciones con profesores de preservicio han investigado el desarrollo de la comprensión del área de una región rectangular como una relación multiplicativa entre las longitudes de los lados. El trabajo se apoya, primero que todo, en la intuición de cómo el área de un rectángulo es referido al producto de la medida de longitud y plantean que no está esencialmente ligada a una intervención instruccional previa. Los profesores de preservicio, a partir de algunas intuiciones instruccionales basadas en estas investigacione, han adelantado un movimiento en el que han desarrollado su propia comprensión de las relaciones planteadas en el punto donde la intuición sobre el área fue fundamental para entenderla como la unidad del producto cruzado de la altura por la longitud. Las unidades usadas fueron varas cortas y largas. La comprensión del área fue mostrada en el contexto del siguiente problema: Dos personas trabajan juntas para medir el tamaño de una región rectangular, uno mide la longitud y el otro mide la altura. Cada uno de ellos usa una vara para medir. Las varas, sin embargo, son de diferente longitud. Luisa dice “La longitud son cuatro de mis varas.” Ruiz dice “El ancho son cinco de mis varas.” ¿Qué tienen que averiguar sobre el área de la región rectangular?. Los estudiantes trabajan en estos problemas en grupos de tres. La respuesta de Tony es particularmente apropiada para el análisis presentado en la hoja: “Yo pienso que si tu tienes suficientes varas para construir el rectángulo entero, ellos podrían mover al interior, naturalmente, rectángulos en miniatura. Si tu tienes todas las varas ... atraviesas cuatro, atraviesas cuatro, atraviesas cuatro y entonces puedes formar, naturalmente, rectángulos dentro del rectángulo.” Si miramos aparentemente, este estudiante tiene en mente que los pares de ángulos derechos sucesivos de regletas yuxtapuestas al margen del rectángulo o colocadas en pares previamente, podría encerrar la región rectángular. Mas allá del análisis del protocolo podría ser necesario determinar en estos estudiantes el nivel y la simili tud de sus estructuras cognitivas, esto está hipotetizado en la Fig. 5.9 o 5.10. Las conexiones entre los conceptos matemáticos es un concepto que llama considerablemente la atención y es abordada frecuentemente en las discusiones acerca del aprendizaje de las matemáticas (e.g., Curr iculum and evaluation for school mathematics, 1989) Especificaciones claras sobre como se constituyen estas conexiones aparecen menos frecuentemente. Hemos planteado que la unidades de cantidad son el punto de enlace de tales conexiones y apoyarían las conexiones entre lo cognitivo y lo matemático. Usando una tarea que involucre la adición en problemas de cantidad dando unidades “desarticuladas” (unlike), (unidades diferentes de 1) hemos mostrado las conexiones entre algunas estructuras de problemas y la adición de Números Multidígitos y también algunas estructuras de problemas y la adición de Números Racionales. En la sección de la multiplicación de Números Racionales hemos mostrado como la interpretación del mismo problema en unidades de Números Enteros y en unidades de números fraccionarios posibili ta la conexión entre estructuras de problemas con números enteros y estructuras de problemas con números racionales. Hemos hipotetizado que la ejempli ficación de estas conexiones en situaciones instruccionales puede enriquecer la comprensión de los niños en problemas y procedimientos computacionales y facili tar la extensión del conocimiento de los niños desde situaciones con números enteros hasta situaciones con números racionales. AGRADECIMIENTOS El desarrollo de este capítulo fue, en parte, apoyado por aportes de The National Science Foundation under Grant No. DPE 84-70077 (Proyecto del Número Racional). Las opinione, resultados o conclusiones expresados aquí por los autores no necesariamente reflejan el punto de vista de la NSF.

REFERENCIAS

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