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LABORATORIO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II RESPUESTA EN CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

RESPUESTA EN CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

1. OBJETIVO

Obtener la forma gráfica de la respuesta completa en el dominio del tiempo para circuitos de segundo orden, serie R - L - C, con fuentes de ondas periódicas: cuadrada, triangular y pulso.

Obtener la respuesta gráfica de voltaje y corriente en un circuito serie R - L - C con fuentes paso, rampa y pulso mediante el uso de Simulink de MATLAB.

2. MARCO TEÓRICO

ANÁLISIS DE RESPUESTA COMPLETA EN CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

En un circuito serie RLC, con las LVK, ocurre que:

V L+V R+V C=V

→Ldidt

+Ri+ 1C∫ i dt+V C=V

Ld2id t 2

+R didt

+ 1C

=dVdt→d2id t 2

+ RLdidt

+ 1LC

= 1LdVdt

Si s1 y s2 son raíces de la ecuación característica podemos obtener lo siguiente:

s2+2αs+ω02=0

Donde:s1=−α+√α 2−ω02

s2=−α−√α2−ω02Donde, ahora:

α= R2L→Factor de amortiguamiento

ω0=frecuencia resonante

Tendremos tres casos generales para la solución:

1. Caso sobre-amortiguado α>ω0. Tenemos que el valor del discriminante es mayor que cero.

2. Caso Subamortiguado α>ω0. Tenemos que el valor del discriminante es menor que cero.

3. Caso Críticamente amortiguado α>ω0. Las raíces de la ecuación característica son iguales.

V(t) f+

-

R

CL


3. EQUIPO A UTILIZARSE

PARTE EXPERIMENTAL:

FUENTESGenerador de ondas: Input 120V. Output: ondas cuadrada, triangular, senoidal e impulso. Varios rangos de amplitud y frecuencia.

ELEMENTOS1 Resistor decádico 0 - 11111Ω1 Inductor: 4Ω, 160 mH1 Capacitor: 0 - 1.1 μF

EQUIPO DE MEDIDA 1 Osciloscopio Digital

EQUIPO DE PROTECCIÓN Y MANIOBRA

1 Interruptor bipolar con fusibles de protección1 Tablero de conexiones1 Juego de cables para conexión3 puntas de prueba

SIMULACIÓN:

Computador Paquete computacional MATLAB

4. DESARROLLO PRÁCTICO

4.1. CIRCUITO SERIE R - L - C

Armar el circuito de la figura 1, garantizando siempre R ≥ 200 [Ω]. Usar los valores de R, C y frecuencia calculados previamente, tal que la gráfica mostrada en el osciloscopio, relativa a cada forma de onda con sus tres casos de amortiguamiento, corresponda a una buena exponencial. Dibujar cada una de las gráficas.

CH A CH B

REF Figura 1

5.CUESTIONARIO


5.1. Explicar qué significado tiene la constante de amortiguamiento en un circuito de segundo orden.

A partir de la resolución de la ecuación característica de la ecuación diferencial de segundo orden, este coeficiente es el valor que va determinar la forma que tenga la respuesta (definiendo el tiempo transitorio y estacionario), permitiendo que se den tres casos, el sobre amortiguado, el críticamente amortiguado y el sub amortiguado.

En un serie RLC, se define como R2∗L

∗(LC)12

La expresión determina la medida de la rapidez con la que decae o se amortigua la respuesta natural hacia su estado final permanente.

5.2. Presentar las gráficas de respuesta completa, correspondiente a cada una de las fuentes y con los tres casos de amortiguamiento, obtenidos en la práctica. Sobre poner sobre la gráfica anterior, la correspondiente a la solución analítica.

RESPUESTA SUBAMORTIGUADA.

Las raíces son complejas. El sistema presenta un comportamiento oscilatorio

Gráfico Obtenido en el laboratorio

RESPUESTA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADA


Las raíces son números reales y de igual valor El sistema no presenta oscilaciones

Gráfico Obtenido en el laboratorioRESPUESTA SOBREAMORTIGUADA

Las raíces son números reales y son distintas No hay oscilación

Gráfico Obtenido en el laboratorio

5.3. ¿Por qué la solución gráfica de amortiguamiento, debe ser exponencial decreciente. Explicar en base a la forma analítica de solución correspondiente a cada caso de amortiguamiento.

Para los tres Casos Tenemos:

a) Si α 2>ωo2

Las raíces son reales diferentes y la respuesta es sobre amortiguada. La expresión de la respuesta sobre amortiguada viene dada por:


b) Si α 2¿ωo2

Las raíces son reales iguales y la respuesta es críticamente amortiguada. La expresión de la respuesta críticamente amortiguada viene dada por:α = ωo, por lo que las raíces son reales iguales y la expresión de la parte transitoria es:

c) Si α 2<ωo2

Las raíces son complejas conjugadas y la respuesta es sub amortiguada. La expresión de la respuesta sub amortiguada viene dada por:α < ωo, por lo que las raíces son complejas conjugadas y la expresión de la parte transitoria es:

5.4. Enumere y sustente otras aplicaciones.


SIMULACIÓN

6. Circuito serie R - L -C.En el Simulink construir un modelo similar al de la figura 1. Correr y grabar el modelo con los valores de los elementos pasivos utilizados en la práctica anterior, para las tres fuentes y los tres casos de amortiguamiento y editarlo en Word.


6.25*Rs

s +6.25*(R+4)s+6.25/C2

Transfer Fcn

StepScope

Figura 1

CUESTIONARIO:

1. Presentar la simulación del modelo de la figura 1 para cada fuente y los tres tipos de amortiguamiento.

Circuito Serie R-L-C (Subamortiguado)

Circuito Serie R-L-C (Críticamente Amortiguado)

Circuito Serie R-L-C (Sobre amortiguado)


SIMULACIONCircuito Serie R-L-C

CASO SOBREAMORTIGUADOFuente Paso

Podemos ver que cuando tenemos una función paso el voltaje varia de 0 hacia cierto valor y dentro de estos intervalos de tiempo el voltaje de los elementos tienen un valor decreciente que llega o tiende a cero por la presencia de un capacitor que su comportamiento es similar al de un circuito abierto dentro de un análisis en el transitorio


Fuente Pulso

La función paso diríamos que es una función parecida a la onda pulso, la grafica de la resistencia será parecida solo que en este caso también podremos tener valores de voltajes negativos cosa que no se puede apreciar en una onda pulso, los transitorios aparecen dentro de cada nivel de periodicidad del circuito

Fuente Rampa


La función rampa presenta el mismo modelo de grafica decreciente y estabilizándose en el valor de 0 debido a la presencia del capacitor

CASO SUBAMORTIGUADOFuente Rampa

Podemos ver que este movimiento o esta forma de la grafica no se estabiliza o tiene un tiempo mucho mas lento que el de sobre amortiguado, además podemos decir que dentro de la simulación se obtuvo una forma de onda muy similar a la obtenida en el laboratorio considerando la parte practica

Fuente Pulso


Esta onda presenta una característica en la que al parecer sus oscilaciones nunca termina, para llegar a esta expresión es necesario que dentro de la forma matemática de la solución se presente una función trigonométrica ya sea el seno o el coseno

Fuente Paso

De acuerdo a la grafica, y en la teoría vista en circuitos este caso de análisis jamás tendrá fin y oscilara infinitamente pero ya en la parte practica vemos que esto no es así pues después de algún tiempo se haya presentado por primera vez el fenómeno del transitorio este tiende a dejar de oscilar y estabilizarse en 0


CASO CRITICAMENTE AMORTIGUADO

Fuente Rampa

Este tipo de caso se da cuando las variables α y ω son iguales de tal manera que la forma de la solución cambia, por tanto con más razón las graficas en las que ocurre el transitorio, se puede ver que la onda resultante puede crecer hasta un cierto valor para luego decrecer como lo hacían las anteriores simulaciones hasta intentar estabilizarse en 0

Fuente Pulso


Como se puede ver en la función pulso se ajusta perfectamente lo visto y estudiado acerca de los fenómenos transitorios se puede ver que crece la onda luego da una pequeña oscilación para luego estabilizarse en 0 como el resto de graficas de movimiento subamortiguado

Fuente Paso

Finalmente en una función pulso los valores de α y ω al ser iguales generan una onda la cual como se menciono antes de acuerdo a la teoría esta bien pues esta onda crece y decrece en cada salto y lapso del transitorio.


CONCLUSIONES

Hemos podido observar y verificar el comportamiento que tienen los circuitos serie R-L-C cuando le aplicamos diferentes señales de entrada y se ha analizado a los mismos de forma matemática para determinar las posibles diferencias que hubiesen podido existir.

Es posible ver el estado transitorio de una función, modificando los parámetros del circuito como resistencia, capacitancia, inductancia. Esto logrará que el tiempo en el que la excitación tarda en causar un efecto sea mucho mayor.

Los casos de amortiguamiento nos indican la forma gráfica que tendrán los transitorios sin obtener todavía las raíces o las soluciones de la ecuación diferencial ya se sabrá qué forma de función tienen solo analizando las tres posibilidades que tienen los parámetros α y ω es decir

α >ω sobre amortiguadoα<ω subamortiguadoα=ω críticamente amortiguado

Mediante la ayuda de software de simulación se logró obtener las gráficas para las diferentes respuestas, Simulink de Matlab nos ayudó a observar de una mejor manera además de permitirnos analizar cada grafica resultante más detalladamente.

BIBLIOGRAFIA

Análisis de Circuitos Eléctricos; Apuntes de Clase, Ing. Luis Barajas. Circuitos Eléctricos; R. C. DORF; Alfa omega; México; 1995; Segunda Edición. http://www.scribd.com/doc/31001772/Regimen-Transitorio http://www.fisicarecreativa.com/informes/infor_em/RLC_sp_forzados.pdf http://www.uhu.es/javier.alcantara/TC_TEMA_3.pdf http://www2.imsecnm.csic.es/~rocio/EBAS/DOC_PDF/APUNTES/Ctos_2orden.pf

http://sysutpl.wordpress.com/grafica-de-senales-fundamentales/

http://www.fisicarecreativa.com/informes/infor_em/RLC_sp_forzados.pdf

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