Universidad Nacional FedericoVillarreal

Facultad de Ingeniera Civil

CURSO TALLER DE METODOLOGÍA REDACCIÓN Y

EXPRESIÓN ORAL

APORTES DE TIMOSHENKO A LA CIENCIA

DOCENTE:

ALUMNO:

– VERDE CARBAJAL, Jenchluis Ricardo

CODIGO:

– 2014500105

Lima-2015

Baja

E FA DIOS por iluminar y bendecir nuestro camino. A nue-

stros padres, quienes nos apoyan de manera incondicional

en nuestra formacion academica; gracias a ellos por apostar

siempre en la educacion.

H G

pág. 1

1. BIBLIOGRAFIA: TIMOSHENKO STEPHEN PROKOFYEVICH

Stephen Timoshenko (1878-1972) fue un ingeniero ruso- estadounidense que es considerado el padre de la Ingeniería Mecánica moderna. Realizó el trabajo inicial en áreas de la Ingeniería Mecánica, Teoría de la Elasticidad y Resistencia de materiales. Su titulada "Teoría de Placas y Laminas" es una prueba de ello.

Timoshenko nació en el pueblo de Shpotivka en la

provincia de Chernigov. Estudió en una "escuela real"

Continuó sus Estudios en la Universidad de San

Petersburgo. Donde se graduó en 1901 y dio Clases en

dicha Institución de 1901 - 1903. Después, trabajó en el

Instituto Politécnico de San Petersburgo Bajo la

Supervisión de Viktor Kirpichyov de 1903 - 1906.

De 1907- 1911 fue un profesor del Instituto Politécnico de Kiev,

Dónde son los cantantes realizó Investigación de la Frontera en la zona de el del

"Método de Elementos Finitos De", en estos Años se publicó La primera versión

de su famoso libro de texto sobre “Resistencia de Materiales”.

En 1911 las Naciones Unidas firmo el referendo de protesta Contra el Ministro de

Educación Kasso del Instituto Politécnico de Kiev. En 1911 ganó El Premio de

la Academia Zhukovski Rusa de Ciencias que le ayudo un sobrevivir despues de

que perdiera su empleo. Posteriormente, se desplazó a San Petersburgo, dónde

trabajó como profesor en El Instituto Electromecánico de Vías de San

Petersburgo (1911-1917). Durante, este Tiempo desarrolló la "Teoría de la

elasticidad" y "la Teoría de la deflexión de vigas". En 1918 Regreso a Kiev y

ayudo a establecer La Academia Ucraniana de Ciencias, La más Antigua

Academia de Ciencias de todas las repúblicas socialistas soviéticas.

Despues de que las tropas de Denikin tomaran Kiev en 1919, la Academia

Ucraniana de Ciencias fue Cerrada y Timoshenko Perdió Su Trabajo. En 1920,

despues de qu e los Bolcheviques tomaran Kiev, Timoshenko emigró a

Yugoslavia, dónde se ocupó como catedrático en El Instituto Politécnico de

Zagreb. Es recordado Por dar las Clases en Ruso Pero usó todas las Palabras en

Croata Que conocía; parece que los Estudiantes conseguían entenderle bien.

En 1922 Timoshenko emigró a Los ESTADOS UNIDOS donde Trabajo Para

La Compañía Eléctrica Westinghouse de 1923- 1927, después de lo Cual pasaría a

ser profesor de la Universidad de Michigan, Diseñó los Primeros Programas de

Estudios de la Carrera de Ingeniería Mecánica. Sus Libros de Texto fueron

publicados en 36 Idiomas.

De 1936 en Adelante fue profesor de la Universidad de Stanford. En 1964 emigró a

Wuppertal en Alemania Occidental.

pág. 2

En 1957 la medalla ASME estableció una nombrada "Stephen Timoshenko", siendo

El Mismo La Primera personalidad en recibirla. La Medalla Timoshenko le fue

reconocida como una autoridad mundial en el ámbito de la Ingeniería Mecánica y

conmemoró sus contribuciones Como autor y maestro. La Medalla Timoshenko es

entregada anualmente por contribuciones distinguidas en la Mecánica Aplicada.

Falleció en 1972 Y Sus Restos reposan en Palo Alto,

California. Sus aportes de Timoshenko son:

Libros: Resistencia de materiales parte I Resistencia de materiales parte II Elasticidad aplicada Problemas de vibración en Ingeniería Elementos de la resistencia de Materiales

TEORIAS: Teoría de la Elasticidad. Teoría de la Deflexión en Vigas. Teoría de Placas y Láminas. Teoría de la Estabilidad Elástica.

pág. 3

2El modelo de flexión: Teoría de Timoshenko

Este modelo permite mejorar la respuesta de la teoría de Bernouilli-Euler cuando la

razón entre la longitud de la viga y la principal dimensión de la sección comienza a ser

cada vez más pequeña. Esto significa vigas de aspecto más robusto como se pueden ver

en la Figura 3.36. La teoría de Timoshenko se basa en las mismas hipótesis que la teoría

de Bernouilli- Euler, aunque con el agregado de algunas adicionales a saber:

- Se supone la presencia de un estado de tensiones cortantes en la sección de la viga.

- La rotación flexional se considera como una variable independiente no asociada con

los desplazamientos flexionales.

Para simplificar el proceso deductivo, que se dará en forma completa a partir de suponer

el campo de desplazamientos, se procederá a reducir el problema flexional a un solo

plano, para ir fijando ideas en el plano XY, y posteriormente se extenderá el problema

flexional a dos planos.

Para deducir las ecuaciones de equilibrio de flexión según la teoría de Timoshenko se

empleará el principio de trabajos virtuales considerando los desplazamientos virtuales

como entidades arbitrarias.

Ahora bien, de acuerdo con las hipótesis de la teoría, el campo de desplazamiento para

una viga en flexión se puede reducir a las siguientes expresiones:

…………3.105

Para interpretar el sentido de (3.105) se puede observar la Figura 3.38.

Ahora reemplazado (3.105) en las relaciones (3.43) y (3.44) para hallar las

deformaciones se tiene:

………….3.106

En la Expresión (3.106) se utiliza el apóstrofo para indicar la derivación con respecto a

la variable x. Con la descripción cinemática puesta en evidencia en las expresiones

(3.105) y (3.106) es claro que plano de la sección transversal (que se mantiene siempre

plana) de la viga, no es perpendicular al eje neutro una vez deformada la misma. Para

ello se puede ver la comparación entre las teorías Bernoulli-Euler y Timoshenko en la

Figura 3.39. Por otro lado recuérdese que según la teoría de flexión clásica (i.e Teoría

de Bernoulli-Euler), la deformación axial es proporcional a la derivada de la rotación

flexional (3.101) definida en función de la primer derivada del desplazamiento flexional

del eje neutro, y en consecuencia de la tangente de la curva de deformación del eje

neutro. Adicionalmente de la (3.106) se tiene que la deformación por corte transversal

pág. 4

no es nula y en consecuencia la tensión cortante no es nula. Luego suponiendo nulas

xx xy, la energía de

deformación y el trabajo de las fuerzas externas vendrá dado por la siguiente expresión:

La expresión (3.107) puede ser replanteada en términos de los desplazamientos y

deformaciones virtuales, de tal manera que el principio de trabajos virtuales queda

descripto por la siguiente expresión:

……….3.108

Donde el operador tiene el significado de entidad virtual aplicable solo a deformaciones

y desplazamientos. Luego, reemplazando (3.105) y (3.106) en (3.108), se puede obtener

la siguiente expresión:

…….3.109

En (3.109) teniendo en cuenta las ecuaciones constitutivas de las tensiones en términos

de las deformaciones se pueden definir los esfuerzos, momento flector y esfuerzo de

corte de la siguiente manera:

………….3.110

Antes de proseguir, es importante el análisis de un par de cosas. En primer lugar la

deformación por corte obtenida en (3.106) no es función de la variable y, en

consecuencia, por (3.47) la tensión cortante tampoco será función de y. Esto contradice

pág. 5

la evidencia de que las tensiones cortantes de una viga varían con la variable y, según

(3.103). Para tener una mejor representación de la energía (o trabajo virtual) de las

tensiones de corte se empleará la fórmula de Colignon-Jourawski. Para ello si se

consideran dos situaciones:

a) si se analiza el desplazamiento de una sección sin considerar el alabeo (ver Figura

3.38b) se tendrá que la energía de deformación de corte por unidad de longitud viene

dada por

……….3.111

b) Ahora si se considera la fórmula de Colignon-Jourawski correspondiente (3.103), la

energía de deformación de corte por unidad de longitud viene dada por:

………3.112

Es verifica que y entre ellas se puede establecer una relación como la siguiente:

…….3.113

cada sección (en la Tabla 3.12 se muestran valores para algunas secciones) y en virtud

de (3.113), el esfuerzo de corte (3.110) se puede reemplazar por (3.114).

……..3.114

Ahora bien, con las definiciones (3.114) se puede rescribir (3.109) de la siguiente

forma:

……..3.115

Nótese que las variables virtuales se hallan con órdenes de derivación cero y uno, luego

se tiene que integrar por partes para obtener la expresión anterior en términos de los

desplazamientos virtuales:

………3.116

Las ecuaciones diferenciales de equilibrio se pueden hallar de (3.116) teniendo en

cuenta que y son cantidades arbitrarias. Luego se deben cumplir las siguientes

ecuaciones diferenciales de equilibrio:

………3.117

pág. 6

Junto con las condiciones de borde:

……3.118

Entonces la solución se obtiene resolviendo (3.117) sujetas a las condiciones (3.118).

En la Tabla 3.13 se pueden obtener algunos casos de condiciones de borde típicas.

En cuanto a la valoración del estado tensional, en la Teoría Timoshenko se emplea el

mismo criterio que en la Teoría Bernouilli-Euler, basado en las ecuaciones (3.102) o

(3.103).

A continuación se verán dos ejemplos para distinguir las dos teorías flexionales. En el

primer caso se comparan las soluciones para una viga empotrada en ambos extremos

sometida a una carga distribuida uniforme. En (3.119) y (3.120) se muestran las

soluciones obtenidas (mediante Mathematica) para la teoría B-E y la Timoshenko,

respectivamente, para una viga de sección circular y longitud unitaria (L=1). Obsérvese

que la solución del desplazamiento uyo, según la Teoría Timoshenko, es igual a la suma

de la solución de la Teoría B-E más los términos devenidos del corte por flexión. En la

Figura 3.40.a se muestra la diferencia entre ambas para una relación D/L=0.1 y en la

Figura 3.40.b para una relación D/L=0.3.

…………3.119

pág. 7

En la Figura 3.41 se puede apreciar la comparación experimental entre las dos teorías

para un tubo estructural de aluminio de sección rectangular, empotrado en un extremo y

con carga en el otro. Nótese la diferencia que hay entre una teoría y otra con respecto a

los resultados experimentales.

Versión 2014

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

En la hoja de cálculo de Mathematica “Vigas.nb” (ver página web de la asignatura) se

muestra la solución y comparación de varios casos adicionales de las teorías B-E y

Timoshenko.