informe evaluación en línea Área matemática prueba formativa

Informe Evaluación Formativa en Línea. Matemática. Ciclo 2014

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Informe Evaluación en línea

Área Matemática

Prueba formativa

Junio 2014

SEA - DIEE - DSPE - ANEP

http://www.anep.edu.uy/sea


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Contenido

PRESENTACIÓN ............................................................................................................... 2

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................... 4

1.1. Enseñar, aprender y evaluar en Matemática ................................................................ 5

1.2. Hacia un referente de evaluación común ................................................................... 10

1.3. Los instrumentos de evaluación en el ciclo 2014 .......................................................... 1

a. Pruebas de Educación Primaria ................................................................................... 1

b. Pruebas de Educación Media Básica.............................................................................. 2

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DE LAS PRUEBAS ............................................................................ 1

2.1. ANÁLISIS DE LAS PRUEBAS DE EDUCACIÓN PRIMARIA ...................................................... 2

2.1.1. Dominio: Números ............................................................................................ 2

2.1.2. Dominio: Geometría ........................................................................................ 22

2.1.3. Dominio: Magnitudes y Medida ........................................................................... 36

2.2. ANÁLISIS DE ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN (EDUCACIÓN PRIMARIA – EDUCACIÓN MEDIA) ....... 49

ACTIVIDAD: “Los triángulos equiláteros” ................................................................. 50

ACTIVIDAD: “El perímetro” .................................................................................. 54

2.3. ANÁLISIS DE LAS PRUEBAS DE EDUCACIÓN MEDIA BÁSICA ................................................ 59

2.2.1. La competencia Comunicar ............................................................................... 59

2.2.2. La competencia Ejecutar algoritmos .................................................................... 76

CAPÍTULO 3. CONCLUSIONES ......................................................................................... 91

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................... 94

ANEXO. DATOS ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN POR GRADO. CICLO 2014. ...................................... 1

Tabla1. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE TERCER AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA .......... 1

Tabla 2. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE CUARTO AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA ......... 2

Tabla 3. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE QUINTO AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA ......... 3

Tabla 4. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE SEXTO AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA ........... 4

Tabla 5. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE PRIMER AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA BÁSICA .... 5

Tabla 6. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE SEGUNDO AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA BÁSICA.. 6

Tabla 7. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE TERCER AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA BÁSICA .... 7


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PRESENTACIÓN

La evaluación de los aprendizajes en la modalidad en línea es un desarrollo del

Departamento de Evaluación de Aprendizajes1 de la Administración Nacional de

Educación Pública (ANEP), siendo definida como una de las líneas estratégicas de

política educativa del Consejo de Educación Inicial y Primaria (CEIP) en el quinquenio

2010-2014. En su marco de acción se elaboran e instrumentan, fundamentalmente,

pruebas de carácter formativo, destinadas a estudiantes desde tercero de educación

primaria hasta tercero de ciclo básico de enseñanza media, en tres áreas del

conocimiento: Ciencias Naturales, Lectura y Matemática.

La evaluación de los aprendizajes en la modalidad en línea es considerada una auténtica

innovación en materia de evaluación educativa, debido a que:

Instala a nivel nacional un referente conceptual común en relación a contenidos

curriculares y competencias o habilidades fundamentales a desarrollar en los

estudiantes de acuerdo a su grado de avance en la escolaridad formal.

Devuelve a los docentes de manera inmediata o “en tiempo real” los resultados

de las diferentes pruebas que, autónomamente, ellos aplican.

Promueve el desarrollo de instancias de reflexión docente, a nivel aula e

institucional, a través del uso de sus instrumentos de evaluación como insumo

potencial de análisis pedagógico.

Los instrumentos de evaluación se elaboran en clave formativa, con la intención de

favorecer discusiones –a la interna de los colectivos docentes y entre los distintos

estamentos del sistema educativo nacional- centradas en el análisis de los contenidos

curriculares abordados en las distintas áreas evaluadas conjuntamente con lo que

pondrían en juego los estudiantes a los efectos de resolver cada una de las actividades

de evaluación. De este modo, los datos estadísticos obtenidos en los ciclos de evaluación

no son más que tendencias globales, las cuales necesitan trabajarse localmente -en cada

aula con su docente, en cada centro educativo con su colectivo-, a fin de darle a la

información su auténtico significado.

1 Dependencia de la División de Investigación, Evaluación y Estadística (DIEE) de la Dirección Sectorial de Planificación Educativa (DSPE), ANEP-CODICEN.


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En este sentido, se reitera que la evaluación de los aprendizajes en la modalidad en

línea no ha sido desarrollada bajo la intencionalidad de categorizar grupos, docentes y/o

centros educativos en referencia a resultados obtenidos, ni tampoco para la toma de

decisiones respecto a la promoción de alumnos. Se manifiesta explícitamente que la

idea subyacente es pensarla como un aporte más para intervenir desde la enseñanza, lo

cual le confiere el carácter de evaluación educativa con fines de retroalimentación

pedagógica.

En estrecha relación con lo antedicho, uno de los elementos que debe destacarse en el

proceso de elaboración de instrumentos, es la articulación de distintas miradas sobre las

pruebas desarrolladas. Es decir, estas evaluaciones son el resultado de un trabajo

colaborativo entre diversos actores del sistema educativo nacional, donde lo crucial es

mantener altos niveles de coherencia entre las orientaciones didácticas, los vigentes

programas curriculares y la rigurosidad en cuanto a lo conceptual que exige cada una de

las áreas de conocimiento objeto de evaluación. Así entendido, junto al equipo técnico-

docente del Departamento de Evaluación de Aprendizajes se integran, en el caso

de Educación Primaria, la Inspección Técnica y el Instituto de Formación en Servicio del

CEIP, y en Educación Media, Inspecciones de Asignatura y de Institutos y Liceos.


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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Los ciclos de evaluación de los aprendizajes en la modalidad en línea comienzan a

planificarse a fines del año anterior a su instrumentación, estableciéndose en ese

entonces una agenda de trabajo común entre autoridades, inspectores, formadores y

evaluadores.

Durante la fase inicial de cada uno de estos ciclos de evaluación se desarrolla un intenso

proceso de definiciones en torno a qué se evaluará, qué tipo de actividades se utilizarán

en las pruebas, qué marco teórico oficiará como referencia, qué fines específicos tendrá

la propuesta en su conjunto. En términos técnicos, este es el momento donde se trata

de efectuar una “construcción conceptual de la realidad” que se desea conocer o

evaluar, lo cual posibilita la consolidación del “referente conceptual de la

evaluación”(RAVELA, 2006).

Sin lugar a dudas, estas decisiones iniciales inciden directamente sobre las

potencialidades y limitaciones de todos los instrumentos elaborados de ahí en más. Por

lo tanto, en esta fase resulta extremadamente relevante alcanzar los acuerdos que

permitan a los diferentes actores involucrados en el ciclo de evaluación dar cuenta de

sus necesidades e intereses concretos.

Dentro de los acuerdos alcanzados en el actual ciclo de evaluación cabe destacar dos

cuestiones medulares, al menos a la interna del área de Matemática. Primero, la

necesidad de comenzar la construcción del marco teórico de referencia, sobre todo en

cuanto a la noción de enseñanza y de aprendizaje, que subyace en esta modalidad de

evaluación educativa con fines formativos. Segundo, el interés de estabilizar una tabla

de especificaciones que, en calidad de referente de evaluación común, trascienda la

mirada en relación a los recortes curriculares destinados a los diferentes ciclos de la

escolaridad.

A tales efectos, a continuación se intercala en el informe un avance en cuanto a las

referencias teóricas que orientan en buena medida las evaluaciones en el área de

Matemática. Posteriormente, se detallan elementos del referente de evaluación

producto de los acuerdos interinstitucionales.


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1.1. Enseñar, aprender y evaluar en Matemática

La enseñanza de la matemática y sus complejas relaciones con el aprendizaje de la

misma constituyen el núcleo de diversas líneas de investigación en Didáctica de la

Matemática, cada una de las cuales aporta, desde su perspectiva, a la construcción de la

disciplina.

El problema de la enseñanza de la matemática no es meramente metodológico sino

asociado, entre otros, al carácter complejo de los objetos matemáticos, lo cual lleva a

preguntarse, por ejemplo:

“(…) ¿Cuál es el papel de las “rutinas” en el aprendizaje de las matemáticas? ¿Cómo diferenciar las rutinas de las actividades “creativas”? ¿Qué papel juega o podría jugar la actividad de resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas? ¿Cuál es la relación entre el aprendizaje de la “aritmética”, el “álgebra elemental” y la “geometría”? ¿Qué significa “adquirir el concepto de proporcionalidad” […] para tratar científicamente estas cuestiones es preciso disponer de un modelo explícito de la actividad matemática escolar en el que se modelicen, en particular, el “álgebra escolar”, la “aritmética escolar”, la “geometría escolar”, la “proporcionalidad”, etcétera? Asimismo, es necesario disponer de un modelo del proceso escolar de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas que contenga las nociones de “rutina matemática”, “actividad matemática creativa”, “resolución de problemas matemáticos”, “enseñanza escolar de las matemáticas”, etcétera, como nociones construidas en el modelo”. (GASCÓN, 1998:)

De esta manera, el conocimiento matemático se convierte en objeto de estudio y se

hace evidente que la apropiación de los contenidos matemáticos que se enseñan en la

escuela implican diferentes procesos cognitivos y modos de interacción, de manera que

no existe una respuesta al modo de enseñar matemática pues este varía en función de la

naturaleza del saber que se quiere comunicar, ni es suficiente saber cómo abordar la

enseñanza de un contenido particular porque el “cómo” va estrechamente asociado al

“qué” (LERNER, 1995).

No obstante, es posible encontrar entre las diversas corrientes didácticas actuales

acuerdos sobre qué implica enseñar matemática: acercar a los alumnos a una porción de

la cultura matemática identificada por las propiedades, definiciones, formas de

representación, así como por las prácticas que dotan de sentido a los contenidos

aprendidos y el quehacer propio de esta disciplina. Es parte del proceso de formación


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integral de los alumnos y, en su especificidad, como enseñanza de la matemática,

participa de los modos de hacer y pensar propios de esta ciencia. En su interacción con

el entorno social, la actividad de los matemáticos está ligada a la resolución de

problemas del mundo natural, social o matemático, la cual implica la construcción o

utilización de modelos que permiten anticipar resultados de acciones cuyas conclusiones

se analizan para determinar la correspondencia con las preguntas que originaron el

problema. Por otra parte, mejora los modelos, las formas de comunicación y establece

relaciones coherentes con lo conocido, ampliando la estructura matemática.

Adecuar esta forma de trabajo en la escuela es invitar al alumno a entrar en el juego

matemático, a producir conocimiento resolviendo problemas, a argumentar la validez de

sus procedimientos y resultados, ayudarlo a establecer relaciones para construir una

estructura más amplia (BRONZINA, CHEMELLO, AGRASAR, 2009).

“(…) “cómo” se hace matemática en el aula define al mismo tiempo “qué” matemática se hace, “para qué” y “para quiénes” se la enseña, lo que plantea una disyuntiva central en relación con la construcción de las condiciones que posibilitan el acceso a la matemática de unos pocos o de todos.” (ZILBERMAN, CASTRO, CHARA, 2006:18)

Al respecto, Bernard Charlot (1986) señala la importancia de comprender la

epistemología implícita en las prácticas de su enseñanza: la tesis biogenética y la

sociocultural postulan que los conceptos están dados y se trasmiten a los herederos

como don natural o como capital sociocultural (según una u otra tesis). Por el contrario,

el autor entiende que la matemática no se trasmite sino que se construye, pues es el

resultado de un trabajo de pensamiento que fabrica los conceptos para resolver

problemas, los cuales permiten plantear nuevos problemas, generalizando y articulando

en un proceso de reconstrucción permanente. Un verdadero problema debe permitir la

elaboración de hipótesis, de conjeturas que son confrontadas y testeadas en la

resolución de un campo de problemas. La recompensa es el éxito personal de resolverlo

por sus propios medios, la valoración de su imagen como alguien capaz de aprender

matemática.

¿Cuál es el status del saber y del docente? Edith Litwin (1998) manifiesta que en un

ambiente donde se privilegia el pensar, donde se producen actividades reflexivas, el


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mundo se reconoce como ambiguo e inequívoco, las disciplinas no representan el total

del conocimiento y a menudo se yuxtaponen, el docente es falible y la mejor expresión

del conocimiento es el razonamiento del estudiante acerca de un tema o cuestión. En

este entorno, la evaluación alienta la comprensión de caminos alternativos para la

construcción de conocimiento y erradica la veracidad de una única perspectiva en aras

de la comprensión crítica de la realidad.

¿Qué lugar ocupan los contenidos? En este enfoque de la enseñanza, el contenido

matemático se considera instrumento que debe ayudar a los alumnos a resolver

situaciones de diferente manera. El procedimiento utilizado, los conocimientos puestos

en juego y las relaciones que logra establecer dan cuenta de la forma en que cada

alumno está pensando. La tarea debe exigir reflexionar sobre la manera en que la han

resuelto, sobre cómo relacionar procedimientos alternativos y cómo lo que ya conocen

puede ser usado para representar de una manera nueva el problema.

El conjunto de prácticas que despliega un alumno a propósito de un concepto

matemático constituirá el sentido de ese concepto para ese alumno. Las aproximaciones

a los conocimientos matemáticos serán muy diferentes según los tipos de problemas

seleccionados, su secuenciación, los modos de presentación, las interacciones que se

promuevan entre los alumnos, las modalidades de intervención docente a lo largo del

proceso de enseñanza.

El profesor A. Weinzweg2 señala que, para ayudar a un niño a desarrollar un concepto,

hay que pensar en el contexto del cual surge el concepto, presentar una situación y

dejar que el niño empiece a desarrollar el concepto para resolver el problema, a

estructurar y organizar sus experiencias. Y luego se debe proporcionar otros contextos

para localizar la atención del niño en el hecho de que si resuelve un problema en un

contexto y obtiene una respuesta, y luego resuelve el mismo tipo de problema en un

contexto diferente, obtendrá la misma respuesta. Una vez que el niño toma conciencia

de la utilidad de cambiar de un contexto a otro, se da cuenta también de la utilidad de

aprender relaciones sin ningún contexto particular, de manera que puedan aplicarse a

toda clase de contextos.

2 Profesor de Matemática de la Universidad de Illinois, Chicago, Estados Unidos de América.


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El docente, para enseñar, realiza el trabajo inverso: una recontextualización y

repersonalización del saber en busca de situaciones que den sentido a los conocimientos.

(BROUSSEAU, 1986)

La historia de la matemática muestra que su avance obedece a la solución de problemas

externos e internos a la propia disciplina, no obstante: ¿resultan contextos igualmente

apropiados para el aprendizaje?

La concepción instrumentalista de la enseñanza de la matemática considera que esta se

justifica por la utilidad que tienen los saberes matemáticos para resolver problemas

cotidianos y que estos son la única vía para que los niños encuentren el sentido de la

matemática.

Desde una mirada sociocultural, los contextos de aplicación extramatemática se

justifican cuando ofrecen al alumno elementos para pensar, abordar, resolver o validar

los problemas que están enfrentando. En tanto, el contexto intramatemático es valioso

para entender la matemática como producto cultural, como práctica, como forma de

pensamiento, como modo de argumentación y para comprender la lógica interna de la

Matemática (SEOANE, SEOANE, 2011).

En el marco de la educación matemática realista (STREEFLAND, 1991), las situaciones

realistas son razonables, realizables o imaginables, en forma concreta. A partir de las

soluciones iniciales e informales que los niños inventan, el docente genera en sus

alumnos procesos de matematización progresiva. Trabajando en interacción con sus

pares, reinventan los objetos, modelos y herramientas matemáticas, a partir de

contextos y situaciones susceptibles de ser organizadas matemáticamente. La

matematización se da en el eje horizontal (pasaje de la realidad a la matemática) como

en el vertical (trabajo dentro de la realidad matemática misma).

La problematización es la estrategia básica para la construcción de las propiedades y

relaciones de los números y las figuras (ANEP-CEP, 2008:59). Uno de los objetivos es

“que los alumnos conjeturen, construyan argumentos, modelicen, analicen la

pertinencia de los resultados obtenidos y logren comunicar los procesos y razonamientos

realizados” (ANEP-CEP, 2008:66). De esta manera se puede leer la relevancia implícita


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que se da a la competencia matemática, así como a varias de las habilidades cognitivas

que se ponen en juego.

Independientemente de establecer niveles de logro o mencionar el término

competencia, la intención es apuntalar el desarrollo de los alumnos en otros aspectos

que rebasen los conocimientos y habilidades hacia el desempeño del ciudadano en

diferentes ámbitos.

¿Cómo puede el docente tener indicios de su presencia en las participaciones de sus

alumnos? Prever, observar, registrar, analizar y reflexionar sobre lo acontecido en el

aula son estrategias de producción matemática por parte del docente.

Respecto a la evaluación, David Clark (2006) señala que esta es constructiva cuando

valora lo que el estudiante ya sabe hacer y le ayuda a aprender lo que todavía no

domina. En la resolución de problemas el estudiante ha de mostrar su habilidad de

seleccionar las herramientas matemáticas apropiadas y combinarlas en un proceso

adecuado de solución. Las propuestas han de ser preparadas según el tipo de tarea y de

desempeño matemático que se pide al estudiante y deben discernir entre niveles de

respuesta del estudiante.

En la evaluación matemática se dificulta decidir qué peso se le dará a la coherencia

contextual de las respuestas del estudiante y al dominio de las habilidades. No es

posible saber si la falta de contextualización en la respuesta se debe a la falta de

criterio u obedece al contrato didáctico que rige las clases de matemática. Otro aspecto

que influye en la evaluación es el modo de comunicación requerido en relación a las

capacidades comunicacionales del alumno: gráfica, oral, visual, electrónica.

Por todo esto, la importancia de los resultados es relativa: muestra al docente un

comportamiento en una situación puntual, que le proporciona insumos para generar

nuevos aprendizajes. En este sentido, Jean Pierre Astolfi (2001) considera que el “error”

es un medio para enseñar.

Citando a Michel Sanner (1983), desde una mirada pedagógica, si se quiere que la noción

de obstáculo epistemológico sea operativa, no basta con reconocer el derecho al error,


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sino que se debe emprender el camino del conocimiento real del error. El obstáculo

consiste en actuar y reflexionar con los medios de que se dispone, mientras que el

aprendizaje consiste en construir medios mejor adaptados a la situación. La parábola de

“la farola” de Abraham Kaplan resulta esclarecedora de esta idea: “un borracho ha

perdido la llave de su casa y la busca, de madrugada, bajo una farola. Un señor que pasa

le pregunta si está seguro que la perdió allí. “No” – responde - pero este es el único

lugar donde veo algo”. De la misma manera, los obstáculos son el resultado de nuestra

forma de pensar y actuar allí donde vemos algo.

El error se reencuentra con su etimología “errar”, ir de un lado a otro; en sentido

figurado, como incertidumbre, ignorancia, ¿cómo no errar cuando no se conoce el

camino? Si alguien nos lo enseña, podemos evitar el errar por un tiempo, pero cuando

nos dejen solos, tendremos que tomar el papel de quien nos guiaba. De esta manera, el

error deja de ser objeto de castigo para considerarse un estado de conocimiento, con la

consecuente valoración del sujeto en proceso de aprendizaje.

En síntesis, evaluar matemática en clave formativa implica interpretar información

acerca de los niveles de apropiación de las herramientas para “hacer matemática” por

parte de los aprendices. Y ello es vital a fin de tomar decisiones informadas desde lo

pedagógico que se traduzcan en avances, tanto individuales como colectivos.

1.2. Hacia un referente de evaluación común

En el área de Matemática el referente conceptual de evaluación –el cual suele

denominarse tabla de especificaciones- resulta de la convergencia de contenidos

jerarquizados de los diseños curriculares vigentes3 con una serie de competencias

fundamentales en cuanto a la edificación del “razonamiento lógico-matemático”. Debe

aclararse que este referente ha sido diseñado con una mirada más allá de los ciclos

escolares tradicionales, atendiéndose sobre todo a la construcción de un trayecto

conceptual integral desde el tercer año de Educación Primaria hasta el tercer año de

Educación Media Básica.

3 Se hace referencia en este caso al Programa de Educación Inicial y Primaria Año 2008, y a los Programas de Matemática de Primer, Segundo y Tercer Año de Ciclo Básico, Reformulación 2006, Ajuste 2010.


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En síntesis, los contenidos seleccionados a fin de desarrollarlos ciclos de evaluación de

los aprendizajes en la modalidad en línea derivan de los dominios que se articulan en los

programas escolares de esta área, a saber: Números (Numeración y Operaciones),

Álgebra, Geometría, Estadística y Probabilidad, Magnitudes y Medida. Entretanto, las

competencias fundamentales establecidas en Matemática son cuatro, y se han definido

primariamente de este modo:

Aplicar conceptos: “analiza la capacidad de entender el significado de conceptos y principios fundamentales de la matemática, así como de interpretar el lenguaje simbólico propio de la disciplina. Para evaluar si un alumno ha comprendido y adquirido un concepto, se le exigirá que sea capaz de reconocerlo, describirlo o aplicarlo a una situación planteada, que puede ser contextualizada o no, y reflexionar sobre las relaciones internas de ese concepto y los vínculos con otros.” (ANEP, 2000:4)

Ejecutar algoritmos: “analiza la capacidad del alumno de manejar un repertorio de rutinas operatorias de carácter instrumental. Para demostrar que se ha logrado desarrollar destreza en las operaciones aritméticas, algebraicas o geométricas, el alumno deberá interpretarlas y ejecutarlas en situaciones contextualizadas o no, también deberá dar muestras de ser capaz de reflexionar sobre su significado y propiedades.” (ANEP, 2000:4)

Resolver problemas: “estudia la capacidad de analizar los datos, tener claro lo que se pide o lo que se debe obtener, elaborar una estrategia, ejecutarla, arribar a un resultado, reflexionar sobre la pertinencia del mismo y comunicarlo aplicando el lenguaje adecuado a la situación.” (ANEP, 2000:5) “Para evaluar el grado de desarrollo en el estudiante de la competencia Resolución de Problemas se le presentarán situaciones en las que deba elaborar y/o justificar una estrategia que le permita arribar a un resultado el cual deberá comunicar.” (ANEP, 2000:4)

Comunicar: “estudia la capacidad de comprender y producir información utilizando el lenguaje propio de la disciplina, el cual se puede presentar a través de diferentes códigos (simbólico, lingüístico o gráfico). Para evaluar el grado de desarrollo de esta competencia en los alumnos, se le presentan situaciones a través de las cuales deberá utilizar el lenguaje disciplinario en sus diferentes códigos y deberá ser capaz de: describir conceptos, procedimientos matemáticos y resultados obtenidos tanto en forma oral como por escrito (…); interpretar la información que se le presenta; reconocer las relaciones existentes entre los diferentes códigos.” (ANEP, 2000:5)

Cuadro 1. TABLA DE ESPECIFICACIONES EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA

COMPETENCIAS FUNDAMENTALES

DOMINIOS CONTENIDOS APLICAR

CONCEPTOS COMUNICAR

EJECUTAR ALGORITMOS

RESOLVER PROBLEMAS

NÚMEROS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

DIVISIBILIDAD

OPERACIONES

ORDEN

RAZONES y PROPORCIONES

ÁLGEBRA

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SECUENCIAS Y PATRONES

GEOMETRÍA

FIGURAS PLANAS

FIGURAS ESPACIALES

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

SUCESOS ALEATORIOS

DATOS E INFORMACIÓN ESTADÍSTICA

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

PROBABILIDAD DE UN SUCESO

MAGNITUDES Y MEDIDAS


PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN

1.3. Los instrumentos de evaluación en el ciclo 2014

Para el actual ciclo de evaluación de los aprendizajes en la modalidad en línea, se

jerarquizó la elaboración de actividades de evaluación centradas en los dominios

Números, Geometría y Magnitudes y Medidas, en Educación Primaria; y, Números y

Álgebra, en Educación Media Básica. Simultáneamente, se acordó la priorización de

actividades o ítems construidos en función de las competencias Aplicar Conceptos,

Comunicar y Resolver Problemas. Sin embargo, estas decisiones no inhabilitaron la

producción e inclusión de actividades enfocadas en otros dominios u otras competencias,

particularmente cuando las mismas resultaran sustantivas, atendiendo al carácter

formativo de la evaluación.

a. Pruebas de Educación Primaria

En función de la jerarquización antes mencionada, se elaboraron cuatro formas de

pruebas, esto es, una para cada grado de Educación Primaria desde tercero a sexto. Las

pruebas de tercero y cuarto año constan de 16 actividades de evaluación cada una,

mientras las de quinto y sexto año se conformaron con 18 ítems cada una.

De la misma forma que en ciclos anteriores, se diseñaron actividades de evaluación

comunes a fin de integrar las pruebas de grados consecutivos, y actividades

transversales a fin de integrar las pruebas de los cuatro grados a evaluar. El objetivo de

incluir este tipo de actividades que se proponen en más de un grado, es contribuir al

desarrollo de análisis institucionales, donde maestros de distintos niveles escolares

puedan identificar, en las matrices de respuestas de los estudiantes del centro

educativo, alguna evidencia de movilidad en cuanto al dominio de los conocimientos

matemáticos evaluados.

También como en otras ediciones, se elaboraron actividades de selección múltiple con

cuatro alternativas de respuesta, y actividades “abiertas” donde se requiere la

producción de una respuesta del estudiante. Las pruebas de tercero y cuarto cuentan

con 13 y 14 actividades de selección múltiple respectivamente, mientras que las de

quinto y sexto, tienen 15 y 16. De este modo, las pruebas de tercero y quinto incluyen


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tres actividades abiertas, en cambio las de cuarto y sexto, contienen dos actividades de

este tipo.

En el Cuadro 2 se muestra la distribución de actividades de acuerdo a Dominio,

Competencia y Grado.

b. Pruebas de Educación Media Básica

Esta evaluación en Educación Media tiene sus antecedentes en el año 2008, cuando la

Inspección de Matemática del Consejo de Educación Secundaria (CES), a través de la

Coordinación de Acciones y Proyectos en el Área de Matemática (CAPAM), trabajó en

forma conjunta con integrantes del equipo técnico de la DIEE en la elaboración de una

propuesta de evaluación formativa. La misma alcanzó a concretarse en el ciclo básico

del nivel secundario en los años 2008 y 2009, aunque bajo el formato tradicional –es

decir, imprimiendo las pruebas que fueron aplicadas-.

En 2012, se recuperó la experiencia con la intención de adecuar las actividades y las

pruebas a la modalidad de aplicación en línea, utilizando la Plataforma del Sistema de

Evaluación de Aprendizajes (SEA). En esta línea, durante estos últimos dos años se

trabajó intensamente, tanto con la Inspección de Matemática del CES como con la del

Consejo de Educación Técnico Profesional (CETP), en la revisión de los ítems y en la

rearticulación de su marco de referencia.

En atención a estas observaciones, se elaboraron tres formas de pruebas, esto es, una

para cada grado del Ciclo Básico de Educación Media. Las pruebas primer y segundo año

constan de 17 actividades de evaluación cada una, mientras la prueba de tercero se

conformó con 18 ítems.

Se diseñaron actividades de evaluación comunes a fin de integrar las pruebas de grados

consecutivos, y actividades transversales a fin de integrar las pruebas de los tres grados

a evaluar. El objetivo de incluir este tipo de actividades que se proponen en más de un

grado, es contribuir al desarrollo de análisis institucionales, donde docentes de distintos

niveles puedan identificar, en las matrices de respuestas de los estudiantes del centro


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educativo, alguna evidencia de movilidad en cuanto al dominio de los conocimientos

matemáticos evaluados.

Asimismo, las pruebas de sexto año de Educación Primaria y de primer año del Ciclo

Básico de Educación Media contienen tres actividades de evaluación comunes, con el fin

de observar eventuales progresiones en los aprendizajes de los estudiantes más allá del

lugar institucional donde se encuentren cursando.

Las actividades de evaluación que componen estas pruebas son todas de selección

múltiple, con cuatro alternativas de respuesta, en la que una sola de ellas es correcta.

Este tipo de actividad facilita el acceso a los resultados en tiempo real y permite el

análisis de las respuestas erróneas de los estudiantes a partir de las hipótesis de error

tenidas en cuenta en las alternativas no correctas. Además, es necesario indicar que las

pruebas se organizaron en actividades que, en base a un mismo “contexto situacional”,

plantean más de una pregunta, no obstante todas independientes entre sí. Esta forma de

organización hace que el estudiante, a partir de incursionar en una determinada

situación, deba poner en juego distintas habilidades cognitivas y mecanismos o

procedimientos de resolución, adecuados tanto al contenido curricular evaluado como al

grado de complejidad de cada una de esas preguntas.

En el Cuadro 3 se muestra la distribución de actividades de acuerdo a Dominio,

Competencia y Grado.

Cuadro 2. TABLA DE ESPECIFICACIONES DE LAS PRUEBAS DE MATEMÁTICA EN EDUCACIÓN PRIMARIA


DOMINIOS CONTENIDOS

APLICAR CONCEPTOS

COMUNICAR EJECUTAR

ALGORITMOS RESOLVER

PROBLEMAS

3° 4° 5° 6° 3° 4° 5° 6° 3° 4° 5° 6° 3° 4° 5° 6°

NÚMEROS

CONJUNTOS NUMÉRICOS 3 2 2 2

1 1

OPERACIONES 1 1 1 1

1 1 1 1 3 3 3 3

ORDEN 2 2 1 1

RAZONES Y PROPORCIONES

1

1 1

GEOMETRÍA

FIGURAS PLANAS 1 1 2 2 1 1 1 1

1 1 1

FIGURAS ESPACIALES

1


MAGNITUDES Y MEDIDAS 1 1 1 1

2 1 2 1

PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN

1 1 2

ÍTEMS POR GRADO Y COMPETENCIA 8 8 7 8 1 1 2 2 1 1 1 1 6 6 8 7

Cuadro 3. TABLA DE ESPECIFICACIONES DE LAS PRUEBAS DE MATEMÁTICA EN EDUCACIÓN MEDIA BÁSICA


DOMINIOS CONTENIDOS

APLICAR CONCEPTOS

COMUNICAR EJECUTAR

ALGORITMOS RESOLVER

PROBLEMAS

1° 2° 3° 1° 2° 3° 1° 2° 3° 1° 2° 3°

NÚMEROS

OPERACIONES

1 4 1

RAZONES Y PROPORCIONES

4 2 2

ÁLGEBRA

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1

3 3

3 5

1

SECUENCIAS Y PATRONES

1 1

GEOMETRÍA FIGURAS PLANAS 1

1 1 1

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

DATOS E INFORMACIÓN ESTADÍSTICA

3 3 3

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

1

1


PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN 1 1

2 1

ÍTEMS POR GRADO Y COMPETENCIA 2 1 2 3 6 6 1 3 5 11 7 5


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CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DE LAS PRUEBAS

En esta sección del documento se analiza una selección de las actividades de evaluación

utilizadas en el ciclo 2014, focalizando la mirada sobre la relevancia de lo que ellas

promueven en clave formativa, más que en los resultados obtenidos luego de su

aplicación.

Primero, se examinan ítems incluidos únicamente en las pruebas de Educación Primaria.

En este caso, el análisis se estructura en función de los Dominios que fueron

jerarquizados durante el actual ciclo de evaluación, a saber: Números, Geometría y

Magnitudes y Medidas. La intención de organizar el análisis de esta manera reside en

proporcionar a los docentes una mirada que dé cuenta de la estructura misma del

programa escolar vigente.

En segundo término, se analizan ítems interinstitucionales, o sea los que integran

simultáneamente las pruebas de Sexto año de Educación Primaria y de Primer Año de

Educación Media Básica.

Finalmente, en tercer lugar, se analizan ítems comunes y transversales de las tres

pruebas de Educación Media. En este caso, el eje articulador del análisis son las

competencias fundamentales que se evalúan en el Área de Matemática,

particularmente: Comunicar y Ejecutar Algoritmos.


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2.1. ANÁLISIS DE LAS PRUEBAS DE EDUCACIÓN PRIMARIA

A continuación se analizan actividades de evaluación de los dominios centrales,

Números, Geometría y Magnitudes y Medida. En Números, se trabaja con cuatro ítems

que refieren a la competencia Aplicar Conceptos: “Contador web”, “Pintando

fracciones”, “Figuritas brillantes” y “Figuritas brillantes II”. En Geometría, se examinan

seis actividades de evaluación que, en su conjunto, abarcan tres competencias:

“Componer un rectángulo” y “Elegimos un poliedro” para Aplicar Conceptos; “Cuadrado

en cuadrado” y “Cuadrado en circunferencia” para Comunicar; “Puzle 1” y “Puzle 2”

para Resolver Problemas. En Magnitudes y Medidas, se analizan dos actividades: “Rutas”

y “Tablero de Baloncesto”, ambos catalogados como problemas de estimación.

2.1.1. Dominio: Números

“El concepto de número no se reduce ni al proceso de conservación, ni a la actividad de cardinalización, ni a la resolución de una determinada clase de problemas, ni a procedimientos algorítmicos, ni a la comprensión y manipulación de signos sobre el papel. Pero es, de este conjunto de elementos diversos, de donde emerge, con la ayuda del entorno familiar y escolar, uno de los edificios cognitivos más impresionantes de la humanidad. (VERGNAUD, 1991, apud ANEP-CEIP, 2009:61).

La enseñanza de la numeración incluye dos aspectos: el concepto de número y el

sistema de numeración. El primero es una idea construida por cada individuo, que

resulta de las experiencias de resolución de situaciones, sus representaciones y

relaciones. En cambio, los sistemas de numeración son construcciones históricas y

culturales, por lo cual obedecen a convenciones: su aprendizaje implica comprender

cómo funciona y usarlo asumiendo su carácter arbitrario.

Su estudio ha de considerar el sistema de numeración como objeto matemático y como

instrumento cultural disponible en la sociedad. (TERIGI, WOLMAN, 2007)

Ambos aspectos están considerados en esta prueba. En cuanto objeto matemático, es un

sistema de representación de cantidades que involucra un proceso de diferenciación de

los elementos y relaciones reconocidos en el objeto a ser representado y una selección

de aquellos elementos y relaciones que serán retenidos en la representación, cuya


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economía es el resultado de una búsqueda sostenida a través de su génesis y lograda

mediante el agrupamiento que constituye la base, el valor posicional de las cifras y la

presencia del cero. Esta complejidad no es advertida por los usuarios adultos habituales

para quienes se puede entender como una simple traducción de las cantidades a la

forma gráfica, de manera que la enseñanza del sistema requiere desnaturalizar ese

saber adulto.

Por otra parte, los números como instrumentos de uso social pueden funcionar algo

diferente según el contexto: la moneda, el ómnibus, el teléfono, etcétera. En el caso

del dinero, cada billete no se contabiliza como unidad sino según su valor, de manera

que el principio de correspondencia entre el objeto y la palabra-número, utilizada en el

conteo, entra en conflicto. En los ómnibus es el valor que pierde sentido, pues el

número es un identificador. En los teléfonos, teclados y controles la serie numérica

cambia de orden de presentación. De manera que algunos saberes sociales diversifican

el funcionamiento del sistema, pero otros usos como el conteo o la noción de “tamaño”

de un número asociado a la cantidad de cifras, o el conocimiento de números presentes

en los portadores cotidianos, resultan apropiados para iniciar el trabajo con el sistema.

Se trata de poner a los alumnos en interacción con el objeto de conocimiento en toda su

complejidad, de manera de promover avances en sus interpretaciones y producciones

numéricas y la construcción de relaciones válidas en la organización del sistema. Esta

guarda estrecha relación con la organización de las operaciones ya que la comprensión

de la notación numérica supone desentrañar las operaciones subyacentes a ella; y, para

resolver las operaciones, es necesario poner en juego las propiedades del sistema. No se

trata de aplicar una propiedad enunciada por el docente sino de ir elaborando algunas

regularidades en base a procedimientos alternativos de resolución y su validación.

“Las regularidades constituyen conocimientos importantes en el camino de aproximación al SN, y son el producto de reflexiones sobre aquello que sucede en el uso del SN y sus resultados. A su vez, son parte del camino previo que lleva a introducirse en la búsqueda de las razones que hacen al funcionamiento de dichas regularidades. En efecto, solo tiene valor preguntarse por las razones de las regularidades una vez que estas han sido elaboradas por los alumnos. Las razones explican las regularidades porque dependen, precisamente, de las operaciones que subyacen a la organización del SN, y su comprensión supone para el niño la construcción de una red


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de conocimientos a lo largo de un tiempo prolongado de aprendizaje.” (TERIGI, WOLMAN, 2007:75)

“Contador web” es un ítem cerrado transversal al ciclo escolar evaluado, cuyo objetivo

es identificar el siguiente de un número natural en el caso de un cambio de orden en

nuestro sistema de numeración, particularmente en las centenas y aplicado a un

contexto de uso frecuente en los sitios web, como es el contador de visitas que da

cuenta de la popularidad del mismo. En este caso, la cantidad de visitas registrada es

8599, sin embargo el contexto de funcionamiento justifica la escritura con ceros a la

izquierda, en el entendido que el contador está programado para contabilizar un número

de visitas del orden de las centenas de mil, del millón, etcétera. A la complejidad propia

del registro numérico escrito se agrega la variación propia de su función social, de

manera que las hipótesis y reglas construidas acerca del sistema pueden entrar en

conflicto. No es el caso de este ítem, pero podemos pensar en la comparación de 08599

con 9000, donde la regla que establece que es mayor el que tiene más cantidad de

cifras, deja de tener validez y debe resignificarse mediante el concepto de cifra

significativa, concepto que sí interviene en la resolución del ítem.


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ACTIVIDAD: “Contador web” TIPO: cerrado

Código MAT1714

Dominio Números

Contenido Orden

Sub-contenido Orden en Naturales

Competencia Aplicar conceptos

Grado (Aplicación 2014) 3° a 6°de Educación Primaria

Objetivo Identificar el siguiente de un natural en el caso de un cambio de orden en el sistema de numeración decimal.

Alternativas de respuesta

A Agrega la cifra 1 a la derecha del número dado: puede entender que agregar la cifra 1 equivale a agregar el valor 1, a efectos de obtener el número siguiente al dado.

B

Agrega 1 al número formado por las 2 últimas cifras y obtiene 100. Deja las demás cifras iguales. Aplica correctamente la regularidad del pasaje de un orden al siguiente (última cifra 9) pero integra el valor obtenido al número dado en forma incorrecta al agregar un orden.

C

Agrega 1 en el lugar de las centenas. Puede aplicar la regularidad de que "al finalizar" la centena 5, pasa a la centena 6, pero no modifica las cifras de los siguientes órdenes. O puede pensar que debe agregar 1 y como en las unidades y decenas al agregar 1 obtiene 10 y en cada orden solo puede ubicar una cifra, opta por agregar 1 en la primera cifra menor que 9.

D

CLAVE Entiende que el número 1 que agrega el contador corresponde a una unidad. Se da cuenta que 99+1= 100, por lo que el próximo número cambiará a la centena del 6. Aplica correctamente la regularidad del pasaje del orden de las decenas al de las centenas.


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Resolver esta actividad supone la interpretación de los datos explícitos (número de

visitante, forma de conteo del instrumento) y su relación con conceptos implícitos en el

enunciado: “agregar 1” significa “formar el número siguiente”; a cada nuevo visitante le

corresponde un número. De donde se infiere que el nuevo visitante será 08599 y 1 más,

pero ¿se trata de sumar o de formar un número?, y ¿cómo se hace?

En un sentido cotidiano, agregar es añadir algo, como agregar un autito a una colección,

ponerlo junto a ellos. De la misma manera, agregar 1 puede entenderse como poner 1

junto a las otras cifras, con lo cual 08599 se transforma en 85991 y el cero queda fuera.

Tal vez, el cero sea sustituido por el uno en el entendido que mantiene la cantidad de

cifras y agrega uno o, simplemente se quita por su valor significativo nulo. Es posible

que la presentación gráfica del número, donde las cifras ocupan sus respectivos

casilleros, influya en esta forma de agregación, que responde a un tratamiento aditivo

del sistema. Este distractor es el más potente entre las respuestas erróneas de los

alumnos, pero tiene un porcentaje mucho menor que la respuesta correcta y disminuye

significativamente de 3° a 6°, por lo cual podemos pensar que, en el proceso de

apropiación de nuestro sistema de numeración, el error más persistente se explica por la

falta de comprensión de la posicionalidad del registro escrito. Resulta coherente con los

obstáculos epistemológicos derivados de la complejidad del sistema donde confluyen la

posicionalidad de las cifras y la adición de sus valores, en contradicción con el sistema

hablado de tipo aditivo. Así, 8599 oculta la base y el valor posicional de cada cifra así

como su suma (8. 103 + 5. 102 +9. 101 +9. 100) y difiere de su oralidad “ocho mil

quinientos noventa y nueve” (8000 500 90 y 9 donde se explicita el valor posicional y se

oculta su suma u otras variaciones mixtas como 8 1000 599, donde la transcripción de la

oralidad se mantiene en el orden superior y puede interpretarse como 8 veces 1000 más

599).

Decodificar códigos diferentes para concluir que representan el mismo objeto

matemático, es un proceso al que se arriba a lo largo de la escolaridad, en contacto

permanente con los números funcionando social y matemáticamente y mediante la

intervención docente para favorecer los procesos de validación y generalización. Cuando

un maestro interpreta una respuesta de un alumno, tiene en cuenta qué aspecto del


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funcionamiento del sistema está sosteniendo esa respuesta, tanto en lo que falta como

en lo que está presente respecto de una interpretación convencional.

La comprensión del funcionamiento del sistema solo puede lograrse interactuando con el

mismo en toda su complejidad y las regularidades solo son perceptibles en un amplio

subconjunto numérico, para lo cual las tablas constituyen un recurso apropiado, pues

permiten focalizar qué parte de la escritura numérica cambia cuando la cantidad

representada aumenta regularmente según múltiplos de 10, ubicando los números de 1

en 1 para cualquier centena de la serie (200 a 299 o 1200 a 1299), de 10 en 10 para un

intervalo de mil números o de 100 en 100, para 10000 números.

Las estrategias de resolución pueden variar notablemente según se miren los números en

su totalidad o no. Por ejemplo, se puede buscar los números que empiezan igual que el

referente: 08699 y 08600 y entre ellos seleccionar el que difiere en 1 con 08599. Si la

diferencia se busca en las cifras, la opción será 08699 pues solo cambia el 5 por el 6, sin

asociarlo a la noción de “siguiente de” o aplicándola a la cifra en su valor absoluto.

También puede elegirse 08699 porque el alumno sabe que 9 es el mayor valor posible en

cada orden, entonces no puede agregar 1 en las unidades ni en las decenas (porque

formaría 10) y decide agregarlo al 5. Esta respuesta corresponde solo al 18% de

respuestas y se reduce en cada grado hasta la mitad en 6°, por lo cual parece

suficientemente superado este tipo de error que se genera por la parcial comprensión de

las reglas del sistema.4

Un análisis similar de los números puede realizarse entre 08599 y 85100, donde el cero

se desecha por su falta de valor numérico, se compara 85 y 99 con 85 y 100, como la

primera parte es igual, se compara 99 y su siguiente 100, de donde se concluye

erróneamente que 85100 es el siguiente de 8599. En este caso está presente la noción de

“siguiente de” pero se desconoce el valor de las cifras 8 y 5 en función del lugar que

ocupan en el número. Esta respuesta es la de menor frecuencia, y también disminuye a

lo largo del ciclo escolar.

En suma, podemos decir que una importante cantidad de escolares comprenden que los

números (en este caso naturales) están compuestos por cifras de 0 a 9 que corresponden

4 Casos similares en investigaciones realizadas por Carpenter (1981), citado en Centeno Pérez, 1997.


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a cada uno de los órdenes y que el agregado de 1 al valor nueve da por resultado la

formación de una unidad del orden siguiente y que, además, aplican ese conocimiento

para establecer una relación de orden, para lo cual trabajan con el número en su

totalidad.

“Pintando fracciones” es un ítem abierto de desarrollo, transversal al ciclo escolar

evaluado, para que el alumno pueda comunicar las razones por las que acuerda, o no,

una determinada relación entre superficies representadas gráficamente.


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ACTIVIDAD: “Pintando fracciones” TIPO: abierto de desarrollo

Código MAT1344

Dominio Números

Contenido Conjuntos numéricos

Sub-contenido Representación gráfica de fracciones y decimales


Grado (Aplicación 2014) 3° a 6° de Educación Primaria

Objetivo Argumentar la relación parte todo en diferentes representaciones gráficas.


A Crédito completo

Argumenta haciendo referencia a que se pintó un cuarto del total, mencionando superficie o cantidad de cuadraditos. Ejemplos: "Sí, conté los cuadraditos pintados y en todos se pintó un cuarto del total" "Sí, porque la figura 1 está dividida en cuatro rectángulos iguales y hay uno pintado, en la figura 2 el cuadrado pintado se puede poner cuatro veces, y en las figuras 3 y 4 hay 16 cuadraditos y 4 pintados." En el 1 hay 4 rectángulos iguales y 1 pintado y es igual al de la figura 4. En el 2 hay 1 cuadrado pintado y cabe 4 veces en el cuadrado grande. Y es igual al pintado en 3." "Porque en la figura 1 hay 16 cuadraditos pintados de 64, en la figura 2 hay 1 pintado de 4 y las figuras 3 y 4 hay 4 pintados de 16 ". "Porque conté los cuadraditos pintados y en todos es la cuarta parte del total, en la 1 hay 16 pintados y 4x16=64, en la 2 hay 1 pintado 1x4=4, en las 3 y 4 la parte pintada es 4 y 4x4=16." "No, porque son diferentes. Pero en todos los cuadraditos pintados caben 4 veces en el cuadrado."

B Sin crédito

Responde dando razones matemáticas incorrectas o sin dar razones matemáticas correctas. Ejemplos: "Sí, porque se ve" "Porque sí" "Porque todas son un cuarto" "No, porque las figuras no están divididas en cuatro partes iguales" "No, porque la figura 2 está dividida en tres partes" "No, porque la figura 3 está dividida en dos partes" "No, porque en la figura 4 las partes no son iguales" Sí, porque en todas hay una parte pintada


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Si bien el reconocimiento de la fracción representada ya constituye un importante

aprendizaje, el énfasis está puesto en la validación en clave matemática. Esto implica la

activación de conocimientos sobre fracciones, más allá de su representación o sea a

nivel conceptual, establecer relaciones con la situación presentada y expresarlo

lingüísticamente: es, por lo tanto, un ítem muy ambicioso que admite diferentes niveles

de validación, de acuerdo a la escolaridad de los alumnos.

“Lakatos propone el término prueba para dar cuenta de un conjunto de explicaciones que no podrían ser consideradas como demostraciones pero que, sin embargo, encierran la comprensión del problema que está en cuestión. Bachelard sostiene (tomando a Piaget) que explicar es despejar las razones, responder a la pregunta del por qué. No tiene por qué responder a una cadena deductiva y se basa en el lenguaje natural.” (ITZCOVICH, 2014)

Se trata de procesos cognitivos complejos que deben ser promovidos desde la

enseñanza. En este caso, se agrega la dificultad del manejo del registro escrito como

medio de comunicación, pero es el único recurso disponible en la plataforma para

guardar las marcas del proceso de producción matemática de los alumnos. En la clase, el

maestro puede instrumentar otro tipo de registro, como la grabación de explicaciones

orales a efectos del análisis a posteriori de la situación didáctica que incluye, además de

las razones individuales, las interacciones entre los alumnos y con el docente. O tal vez,

abrir el aula a algún colega que observe, registre y enriquezca la experiencia.

Este tipo de situaciones pone de manifiesto la significación que los niños dan a lo que

dicen, escriben o hacen respecto de una idea matemática. Los comportamientos de los

alumnos pueden ser correctos durante un tiempo, aunque estén sostenidos por modelos

falsos. Es necesario que el maestro conozca lo que sus alumnos no han comprendido o

han comprendido erróneamente para crear las condiciones que permitan progresar y

reorganizar sus ideas. Los errores sistemáticos revelan la existencia de modelos

implícitos erróneos y están relacionados con una cierta manera de conocer que permite

detectar las resistencias a la evolución de un concepto, esto es, los obstáculos

epistemológicos. Los errores constituyen la explicitación de modelos erróneos implícitos

que, si no aparecen, se instalan y se consolidan. (CENTENO PÉREZ, 1997)

¿Qué idea de “cuarta parte” pueden tener los escolares? Tal vez, “lo que cabe 4 veces

en…” (una figura o un recipiente o una cantidad), o “una de 4 partes iguales”, o “divido


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en 4 partes iguales y me quedo con 1”. Todas estas formas de pensar la fracción 4

1

funcionan en muchos casos, frecuentemente asociados a un tipo de representación y de

situación.

Muchos niños reconocen 4

1 en esta representación pues la

figura está dividida en 4 partes que se perciben como

rectángulos de igual alto y ancho, por lo tanto se resuelve a

nivel de reconocimiento visual. No exige comprobar la relación

entre la figura pintada y la figura que la incluye pues dicha

relación es un dato explícito.

Este es, justamente, el proceso que debería hacer el alumno

para poner en juego su idea de fracción, para lo cual es

adecuada otra representación que exija probar si la región azul

“cabe exactamente 4 veces en la figura de borde rojo”. Puede

doblar o copiar, recortar y superponer, o trasladar o medir.

Para favorecer el concepto de fracción n

1, donde

n

1 es la cantidad que, repetida n

veces, reproduce la unidad, puede preguntarse, por ejemplo, cuál es la unidad sabiendo

que esta es la cuarta parte.

Tal caso tiene la riqueza de proponer un problema de múltiples soluciones, lo cual no es

frecuente. Estas dan lugar a discusiones acerca del concepto de igualdad en la cantidad

de magnitud considerada, independientemente de la forma, puesto que son propiedades

diferentes de la figura. Una cosa es la identidad y otra la igualdad y aunque pueda

parecer una exquisitez a nivel escolar, es lo que sustenta el trabajo con las relaciones

entre perímetro, área y volumen, contenidos relevantes del currículo escolar.


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Si estas fueran algunas de las respuestas, cada alumno debería dar sus razones de la

relación entre la figura parte y la figura unidad, para poder concluir que lo que tienen

en común es la cantidad de magnitud superficie: el cuádruplo de

De esta manera, se trabaja la cuarta parte y el cuádruplo como conceptos

complementarios.

En el item analizado, estas dos representaciones (opciones 1

y 4) pueden relacionarse: si se reconoce la cuarta parte en la

primera, y se ven iguales tanto los cuadrados como las partes

pintadas en cada uno (aunque en diferente posición), se

infiere que la segunda también tiene 4

1 de superficie pintada. Este razonamiento

constituye un avance en el modo de pensar matemático porque el alumno es capaz de

establecer relaciones válidas, aun cuando se base en el reconocimiento visual. No hay

datos que aseguren la igualdad de los cuadrados pues las unidades de la cuadrícula son

diferentes. Se espera que los alumnos de clases superiores puedan validar la fracción 4

1

en cada caso por la relación entre la cantidad de unidades del cuadrado y la cantidad de

unidades pintadas (16 de 64 y 4 de 16 respectivamente). En este caso, está presente el

concepto de fracción equivalente y es un contexto apropiado para su resignificación.

Hay que considerar también la justificación de que “en esta figura está

pintada la cuarta parte porque hay cuatro partes y una pintada”. En

este caso, durante el trabajo posterior a la prueba, es fundamental

problematizar la respuesta del alumno, por ejemplo, en la siguiente


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figura también hay cuatro partes y una pintada ¿es 4

1? En ninguno

de los dos casos las 4 partes son iguales, pero en la original tienen

la misma cantidad de unidades y en la otra no.

En el siguiente caso (opción 2), si bien aparecen tres partes

definidas por segmentos interiores a la figura, la cuadrícula

(elemento auxiliar que también se aprende a usar) determina 4

regiones congruentes con la unidad, que, en caso de ser

considerada, facilita el reconocimiento de la fracción. Es un buen

ejemplo para aprender a analizar los datos de un problema, más

allá de la primera percepción.

Esta representación (opción 3) tal vez sea la menos intuitiva pues,

visualmente, se presentan dos regiones muy diferentes, donde la

cuadrícula no resulta útil para identificar cuatro partes iguales,

como en el caso anterior. Es necesario ser capaz de utilizarla a

efectos de determinar unidades y establecer la razón entre las

cantidades correspondientes a la superficie coloreada y en blanco.

Sin embargo, si se reconoce 4

1 en la opción 2, un nivel básico de justificar que la opción

3 también es 4

1, consiste en la igualdad de las dos regiones pintadas como partes de dos

cuadrados iguales. Esta justificación está basada solo en la percepción visual pues no

hay datos que la avalen, pero pone de manifiesto la capacidad de aplicar la transitividad

de la relación de igualdad (aunque no la conozca formalmente).

En caso de utilizar el conteo como estrategia de resolución, el alumno establece que hay

“4 cuadraditos” pintados de un total de 16, relación que puede expresarse con la

fracción 4

1, equivalente a

16

4. El concepto de fracción equivalente es, justamente, el

contenido que evalúa uno de los siguientes ítems.


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“Figuritas brillantes” y “Figuritas brillantes II” son dos ítems cerrados cuyo objetivo es

identificar la fracción correspondiente a un conjunto discreto representado

gráficamente: el primero es común a 3° y 4° y el segundo es común a 5° y 6°, por lo

cual pueden considerarse como actividades en secuencia sobre el contenido “fracciones”

en su significado subconjunto de un conjunto discreto, con una variable didáctica

importante que hace al avance conceptual. En un caso, la fracción expresada

numéricamente corresponde con la representada gráficamente; en el otro está en la

representación canónica equivalente a la fracción que resulta del cambio directo del

registro gráfico.


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ACTIVIDAD: “Figuritas brillantes”

TIPO: cerrado ACTIVIDAD: “Figuritas brillantes II”

TIPO: cerrado

Código MAT1606 Código MAT1672

Dominio Números Dominio Números

Contenido Conjuntos numéricos Contenido Conjuntos numéricos

Sub-contenido La fracción como razón Sub-contenido Equivalencia en Q

Competencia Aplicar conceptos Competencia Aplicar conceptos

Grado (Aplicación 2014)

3° y 4° de Educación Primaria Grado (Aplicación 2014)

3° y 4° de Educación Primaria

Objetivo Reconocer la fracción que representa una parte de un todo.

Objetivo

Reconocer la fracción equivalente a

otra dada en una representación

gráfica


A Responde con la fracción que expresa la relación inversa entre figuritas brillantes y el total de figuritas.


A

CLAVE

1)reconoce que hay 4 figuritas

brillantes de un total de 12, por

lo que la fracción es 4/12, pero

al no estar como alternativa,

identifica 1/3 como fracción

equivalente a 4/12

2) determina que la cantidad de

figuritas brillantes es un tercio

del total: por ejemplo, cuenta

la cantidad de figuritas

brillantes (4) y establece

cuántas veces están contenidas

en el conjunto de todas las

figuritas.

B Responde con la fracción que representa las figuritas no brillantes.

B

Responde con la fracción que

expresa la relación entre las

figuritas brillantes y las no

brillantes.

C Responde con la fracción que expresa la relación entre las figuritas brillantes y las no brillantes.

C

Responde con la fracción

equivalente a la que

representa las figuritas no

brillantes (8/12)

D

CLAVE Reconoce que hay 4 figuritas brillantes de un total de 12. Identifica la fracción correspondiente.

D

Responde con la fracción que

expresa la relación inversa

entre figuritas brillantes y el

total de figuritas.


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Al igual que el ítem anterior, pretende dar cuenta de los niveles de aproximación al

concepto de fracción. En la teoría de los Campos Conceptuales (VERGNAUD, 1990) dicho

concepto queda incluido en el campo de las estructuras multiplicativas. El autor define

concepto como una tripleta de tres conjuntos (S, I, R), donde:

S es un conjunto de situaciones que dan sentido al concepto (la referencia).

I es un conjunto de invariantes (objetos, propiedades y relaciones) sobre las cuales reposa la operacionalidad de los esquemas (el significado).

R es el conjunto de las formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento (el significante).

Para estudiar el desarrollo y el uso de un concepto es necesario considerar esos tres

aspectos simultáneamente. La diversidad de situaciones tiene que ver con los diferentes

procesos cognitivos y respuestas del sujeto al confrontarse con las mismas. Los

conocimientos de los alumnos son modelados por las situaciones que han encontrado y

dominado progresivamente, dando sentido a los conceptos y a los procedimientos que se

les quiere enseñar. El funcionamiento cognitivo de un sujeto en situación reposa sobre el

repertorio de esquemas disponibles, anteriormente formados, y cada esquema es

relativo a una clase de situaciones cuyas características son bien definidas, de manera

que las variables de situación constituyen un medio de generar de manera sistemática el

conjunto de dichas clases.

En estas dos actividades está presente el significado de la fracción como subconjunto de

un conjunto de objetos discretos, a diferencia del ítem “Pintando fracciones” donde la

fracción es una sub área de una región unitaria o parte de un todo. Las representaciones

de los dos tipos de actividades resultan, en principio, similares: basta separar las sub

áreas para convertirlas en nuevas unidades formando otro conjunto.


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Algunas investigaciones al respecto (DICKSON,BROWN, GIBSON, 1991) dan cuenta de

resultados diferentes: en algunos casos el nivel de dificultad es el mismo y en otros se

vio que la aproximación al concepto de fracción por la vía de los conjuntos resultaba

más difícil que las de áreas o rectas numéricas, lo cual puede deberse a la diferencia de

edad de las poblaciones indagadas.

Sin embargo, la actividad “Pintando fracciones” trasciende este simple pasaje de

representación pues entra en juego la cantidad de superficie independientemente de la

forma pero, básicamente, porque las cuartas partes no están dadas sino que es el

alumno quien tiene que determinarlas.

Por otra parte, en las situaciones de conjuntos discretos, los elementos no siempre

surgen de la descomposición de una unidad, por ejemplo si se trata de un conjunto de

frutas diferentes (manzanas, bananas, frutillas) y preguntamos sobre la fracción

correspondiente a un tipo de ellas, la igualdad de las unidades deja de tener relevancia

ya que lo importante es que cada una de ellas es una unidad en sí misma y está incluida

en un conjunto mayor. La idea de fracción como parte de una unidad, se complementa

con la noción de fracción como parte de un conjunto de unidades.

Dickson, et alt, (1991) entienden que el modelo de conjuntos lleva naturalmente a la

idea de razón y porcentaje en situaciones numéricas abstractas, donde la fracción

funciona como un operador que actúa sobre otro número, y no como unidad en sentido

autónomo. En tanto, el modelo área conduce más normalmente a la idea de fracción

como parte de una unidad patrón utilizada en la medida por intermedio de la noción de

recta numérica (asociada a la noción de fracción como punto de una recta).

En cuanto al tipo de situación, las actividades de las figuritas presentan otra diferencia

pues promueven nuevos procesos cognitivos: en lugar de validar una fracción dada en un

conjunto denso, se trata de seleccionar una fracción, para lo cual debe, previamente,

establecer la razón entre algunas unidades y el conjunto en el cual están incluidas.

En cuanto a las representaciones, estas actividades exigen la interpretación del código

lingüístico y matemático así como la traducción de lo icónico a lo simbólico. La pregunta

tiene una estructura sintáctica compleja que cuida la corrección matemática pero


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dificulta su inmediata comprensión. En el aula se transita gradualmente de lo coloquial a

lo formal, por eso el parafraseo del docente es apropiado en este caso.

Resolver la actividad “Figuritas” supone varios procesos: identificar las figuritas

brillantes como parte del conjunto, establecer la razón entre ambas cantidades y asociar

la misma al número fracción que la representa. Aproximadamente el 40% y 50% de

respuestas de 3° y 4° respectivamente dan cuenta de su logro.

El error más frecuente está en la respuesta 4

12(casi 30% y 23%), lo cual muestra que los

alumnos realizan correctamente el primer proceso (identificar) y también establecen

una razón correcta entre los referentes indicados en la consigna, sin embargo dicha

razón expresa la razón inversa a la solicitada. Indagar los motivos de dicho error

constituye una interesante instancia de evaluación formativa a nivel de aula. Es

probable que la escritura 4

12 traduzca el procedimiento del alumno (cuenta 12 figuritas

y 4 son brillantes) lo cual muestra que tiene en cuenta el conjunto y el subconjunto,

pero no asocia la fracción como representante de la relación entre subconjunto y

conjunto (qué fracción representa las figuritas no brillantes en el conjunto de figuritas

que tiene Juan). Este cambio de registro de lo lingüístico a lo numérico supone ciertas

reglas no siempre explícitas: “las figuritas no brillantes” o sea el subconjunto es

representado por el numerador de la fracción y “el conjunto de figuritas” o sea el

conjunto que las incluye es representado por su denominador.

Alrededor del 20% de respuestas es 8

4, la cual da cuenta que los alumnos realizan los

tres procesos necesarios pero falla en uno de los referentes. O sea que identifica dos

subconjuntos (figuritas brillantes y las otras), establece la razón entre las mismas y

reconoce la fracción que la representa. Es probable que se deba a su interpretación de

la consigna de compleja sintaxis.

Un escaso número responde en base a la relación de las figuritas no brillantes.


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Resolver la actividad “Figuritas brillantes II” requiere de los mismos procesos que la

actividad anterior: identificar las figuritas brillantes como parte del conjunto,

establecer la razón entre ambas cantidades y asociar la misma al número fracción que la

representa, pero dicha asociación requiere de la aplicación del concepto de fracción

equivalente. Aproximadamente el 18% y 21% de respuestas de 5° y 6° respectivamente

dan cuenta de su logro.

Con respecto al distractor 8

4, el comportamiento es muy similar al de “Figuritas”.

La respuesta de mayor frecuencia fue 4

12 (54% en los dos grados) y, sin dejar de

considerar lo dicho para esta misma respuesta en “Figuritas”, hay que tener en cuenta

que en “Figuritas II” hay dos alternativas de respuesta diferentes en atención al

concepto de fracción equivalente.

Es oportuna la noción de esquema (VERGNAUD, 1990) para explicar algunos aciertos y

errores en actividades que evalúan el concepto de fracción: un individuo puede aplicar

eficazmente un esquema a una clase más amplia (generaliza, transfiere,

descontextualiza) mediante el reconocimiento de analogías sobre ciertos criterios, entre

la clase de situaciones sobre la cual el esquema era ya operatorio para el sujeto, y las

situaciones nuevas a conquistar (invariantes).

Si un alumno ha resuelto correctamente situaciones de reconocimiento de una fracción

como parte de un todo, puede aplicar su esquema al reconocimiento de otra fracción

como subconjunto de un conjunto, en el caso que las demás condiciones sean similares.

En lugar de contar las partes iguales (en la magnitud considerada) de un todo, cuenta la

cantidad de unidades que forman el conjunto; luego cuenta la cantidad de unidades (en

lugar de partes) que cumplen determinada condición; establece la relación numérica

entre dicha cantidad y el total de unidades (en lugar de partes); la asocia a una

fracción.

Pero un esquema puede también ser aplicado a una clase demasiado amplia de modo

que se pone en situación de fallo y el sujeto debe restringir el alcance, y descomponer


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el esquema en elementos distintos, susceptibles de ser recompuestos de manera

diferente, eventualmente por adjunción de elementos cognitivos suplementarios.

En el caso de 4

12 como respuesta a “Figuritas brillantes II”, el alumno intenta seguir el

esquema que tenía para reconocer la fracción correspondiente a otra representada

gráficamente, pero falla porque dicha fracción no está presente (como en “Figuritas

brillantes”).

O sea que, en el esquema que reproduce, funcionan todos los pasos, pero falla la

asociación con la fracción. Es probable que estos alumnos sepan que la razón entre

figuritas brillantes y el total es 4 en 12 o sea 12

4, pero como dicha fracción no está entre

las alternativas, opta por la fracción cuyos términos coinciden con los números que ha

relacionado. Estos alumnos, aun advirtiendo la limitación de su esquema, no pueden aún

recomponerlo, por la imposibilidad de utilizar el concepto de equivalencia de

fracciones. Seguramente, la interacción con sus pares y la mediación docente ayuden a

la resignificación de fracción como una de las representantes de un número racional. En

este caso, recomponer el esquema implica contar de otra manera y/o establecer

relaciones alternativas entre los cardinales de los conjuntos o y/o entre números

fraccionarios. Por ejemplo, una vez establecida la relación 12

4 entre figuritas brillantes

y el total, es importante establecer que la fracción inversa 4

12 es la relación inversa o

sea entre el total y las brillantes, aspecto asociado a la forma lingüística. Si hay 4 en 12

¿cuántas brillantes hay cada 6 figuritas?, ¿y cada 3? La respuesta no surge solo del conteo

y no es evidente pues se deben considerar subconjuntos del original, equivalentes entre

sí. El sentido que adquiere la fracción trasciende la relación entre un subconjunto y el

conjunto que lo incluye, pues lo que da sentido a la respuesta es la noción de razón,

como generalización de los números fraccionarios que la representan.

Todas estas actividades de numeración y las dos siguientes correspondientes al dominio

geometría focalizan en la conceptualización de los objetos matemáticos y la posibilidad

de que los alumnos los reconozcan, relacionen y apliquen en sus resoluciones.


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Un concepto es una “representación simbólica (casi siempre verbal) usada en el proceso

de pensamiento abstracto y que posee un significado general correspondiente a un

conjunto de representaciones concretas con respecto a lo que tienen en común”.

(PIÉRON, 1957:72, apud FISCHBEIN, 1993)

En contraste, explica el autor, una imagen mental es una representación sensorial de un

objeto o fenómeno que incluye no solo las características que lo definen sino otras como

el color, tamaño, etcétera. En el razonamiento matemático no se refiere a las figuras

como objetos materiales ni como dibujos: los objetos materiales (sólidos o dibujos) son

modelos materializados de las entidades mentales con que el matemático trabaja. Solo

se puede considerar la perfección geométrica en sentido conceptual ya que los entes

geométricos no tienen correspondientes reales. Un rectángulo no es una imagen en

papel o en pantalla digital sino que es una forma controlada por una definición (por

ejemplo, un paralelogramo con un ángulo recto) a partir de la cual se pueden inferir

otras propiedades como el paralelismo de los lados opuestos, la congruencia de sus

ángulos, etcétera.

Sin embargo, una figura geométrica no es un mero concepto sino también la imagen

visual a la que está asociada y es la puesta en relación de ambos aspectos lo que

permite resolver problemas, como la puesta en relación de las propiedades e imagen de

una circunferencia para calcular una distancia recorrida con un vehículo con ruedas. El

equilibrio entre ambos aspectos supone un importante nivel de pensamiento matemático

ya que la relación entre lo figural y lo conceptual es muy compleja, lo cual provoca

tensiones internas que determinan la fragilidad de la organización de los conceptos

figurales5 en la mente de los estudiantes. La integración de ambos aspectos no es un

proceso natural sino que necesita de la frecuentación de situaciones didácticas que

sistemáticamente requieran de la cooperación entre los dos aspectos hasta su fusión en

objetos mentales unitarios.

5 Conceptos figurales es el nombre de las figuras geométricas en la teoría de los conceptos figurales de Fischbein, debido a la doble naturaleza de las mismas.


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2.1.2. Dominio: Geometría

“(...) hay un modo de estudiar geometría que permite que los alumnos desarrollen un modo de pensar, propio de la matemática, que solo existe si la escuela lo provoca y al que creemos que todos los alumnos tienen derecho a acceder. Es la relación con el saber la que está en juego. (SADOVSKY, et al, 2008:49)

El modo de pensar geométrico al que alude Sadovsky refiere a la entrada en la cultura y

en el juego matemático, lo cual supone defender una idea, justificar procedimientos,

formular conjeturas, demostrar la validez de un resultado, argumentar y contra

argumentar en un entorno de construcción participativa, donde la comunicación de

resultados cobra particular importancia.

Promover este modo de pensar va de la mano de la enseñanza de la geometría a partir

de situaciones que permitan anticipar relaciones para la construcción de las propiedades

de las figuras, mediante la problematización del conocimiento en cuestión, evitando las

prácticas ostensivas.6

Desde estos supuestos, las actividades de geometría de la prueba están pensadas en

relación a las competencias Aplicar Conceptos, Comunicar y Resolver Problemas.

Por otra parte, hay que tener en cuenta la esencia ideal de los objetos geométricos, los

conceptos asociados y su relación con las diferentes representaciones, integrados en la

búsqueda de soluciones a las actividades planteadas, de acuerdo a la noción de concepto

figural ya explicitada.

La insistencia del componente visual en la construcción de imágenes hace relevante la

presencia de actividades que pongan en juego el pensamiento visual y la visualización,

habilidad que no se reduce a ver sino que conlleva interpretación, acción y relación. Las

dos actividades de la prueba que se analizan a continuación contemplan este

componente.

6 La relación del alumno con el objeto de conocimiento es diferente a la relación que tiene el docente, supuestamente sabia, por lo cual no se puede asumir que el alumno “ve” lo que el profesor “muestra”. “El alumno no puede, con conocimientos generales -”observar”, “repetir”, “mirar con atención”- identificar el conocimiento que el profesor quiere presentarle porque los conocimientos disponibles en el profesor son fundamentales para reconocer -en el problema- lo que quiere enseñar. El alumno, para aprender ese saber que está en la mira, necesitaría tomar decisiones específicas. La ostensión fracasa en el aprendizaje, o hay un éxito ilusorio: el alumno dice “sí” pero interactuaba con otra cosa: el conocimiento aprendido es diferente al conocimiento enseñado.” (FREGONA, 2005:337)


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ACTIVIDAD: “Componer un rectángulo” TIPO: cerrado

Código MAT1686

Dominio Geometría

Contenido Figuras planas

Sub-contenido Polígonos: definición y propiedades.


Grado (Aplicación 2014) 5°y 6° de Educación Primaria

Objetivo Componer una figura determinada con otras dadas.


A

CLAVE Invierte la figura 1 y hace coincidir el lado no perpendicular a la base para formar un rectángulo de iguales dimensiones al de la figura 2.

B

Compone un rectángulo pero no igual al de la figura 2.

C

Compone un rectángulo diferente al de la figura 2.

D

Compone una figura con el mismo largo y la misma altura de la figura 2, pero no es un rectángulo.


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“Componer un rectángulo” es un ítem cerrado, planteado en 5º y 6º año, en un contexto

intramatemático, donde el alumno debe seleccionar, entre 4 posibilidades, la única

correcta que permite componer la figura solicitada a partir de otras, representadas

gráficamente.

Implica la capacidad de representar mentalmente las figuras geométricas combinadas

según las alternativas de respuesta, así como las transformaciones necesarias, teniendo

en cuenta algunas propiedades de las mismas. En este caso, se debe duplicar, trasladar y

rotar la figura 1 (trapecio), atendiendo a la propiedad de la igualdad de lados opuestos

del rectángulo y de la perpendicularidad de los lados consecutivos. La cuadrícula aporta

información y sirve como instrumento de medición: permite identificar los ángulos

rectos y cada cuadrado puede usarse como unidad de medida de superficie y sus lados

como unidad de medida de longitud, a efectos de validar la igualdad de la figura

compuesta con la figura de referencia.

Presenta la dificultad adicional de no mostrar las dos figuras necesarias, sino que el

alumno debe representarse mentalmente o dibujando en un papel las dos imágenes de la

figura 1 y el producto resultante de la composición. De acuerdo con los resultados

obtenidos en la aplicación, poco más de la tercera parte de los alumnos de 5° y 6°

respondió correctamente, lo que implica que lograron duplicar una figura y generar

algunos movimientos adecuados para la composición de ambos trapecios, haciendo

coincidir los lados no perpendiculares a la base para formar un rectángulo congruente

con la Figura 2.

El distractor más elegido fue el B (disminuye de 38% en 5° a 31% en 6°) lo cual resulta

coherente con la idea de componer una figura a partir de las otras dos que están

representadas gráficamente. Tal vez esta respuesta se deba a que es la única opción

posible para lograr un rectángulo usando las figuras que pueden ver, ante la ausencia de

transformaciones “imaginadas”. Pero también puede deberse a que la lectura de las

alternativas de respuesta ofrece la dificultad de un léxico técnico, codificado y una

sintaxis compleja que implica operaciones como duplicar, cuadriplicar y sumar. La

opción B tiene una estructura más simple, directamente asociable a lo que el alumno ve

en el dibujo.


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De cualquier manera, esta respuesta da cuenta de importantes logros en las estrategias

de traslación y rotación de las figuras, mediante un proceso de representación mental

así como las propiedades de los lados del rectángulo, que orientan dichos movimientos.

El único error para asegurar la igualdad de figuras está en la longitud de los lados

mayores. Sin embargo, esta no es una propiedad geométrica sino asociada a la medida.

Similar nivel de logro corresponde a la opción C (13%) donde, además, los alumnos son

capaces de componer figuras creadas por ellos, en este caso como reiteración del mismo

triángulo. Los procesos de duplicación, traslación y rotación se realizan más de una vez y

el rectángulo es construido como la unión de dos cuadrados formados por dos triángulos

rectángulos cada uno. Implícitamente, aparece la propiedad de la diagonal del cuadrado

que determina dos triángulos rectángulos iguales.

La opción D (15% en 5° y 18% en 6°) es la que presenta menor logro de las propiedades

asociadas a la resolución del ítem y/o de las estrategias de visualización, ya que la

composición resultante no es un rectángulo. Tal vez el alumno intenta igualar largo y

ancho de la figura 1 y el ángulo recto faltante: con un triángulo en un extremo iguala el

largo y con otro triángulo unido por su

hipotenusa al lado “inclinado” del trapecio,

forma el ángulo recto e iguala la medida del

lado menor del rectángulo, pero no “ve” el

vacío de superficie o lo traslada para

cubrirlo como si el original quedara en su

lugar.


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ACTIVIDAD: “Elegimos un poliedro” TIPO: cerrado

Código MAT1340

Dominio Geometría

Contenido Figuras espaciales

Sub-contenido Desarrollo de un poliedro


Grado (Aplicación 2014) 6° de Educación Primaria

Objetivo Identificar el desarrollo plano que corresponde a un prisma.


A Elige este desarrollo plano porque presenta todas las caras iguales. Tal vez confunde prismas con poliedros regulares, asociando el cubo, por ejemplo, que es un prisma con todas las caras iguales.

B

CLAVE Analiza cada desarrollo plano y busca al que presenta dos polígonos iguales (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen los polígonos de las bases.

C Considera la relación de los lados del polígono de la base con las caras laterales iguales lo que le asegura que se puede armar un poliedro, sin tener en cuenta que no corresponde a un prisma.

D

Considera la correspondencia de los lados de las bases con las caras laterales. Visualiza los cuadriláteros de las caras laterales, sin tener en cuenta que no son paralelogramos. Como los polígonos de las bases son semejantes es posible construir el poliedro, pero no prisma.


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“Elegimos un poliedro” es un ítem cerrado, planteado en 6º año, en un contexto

intramatemático, donde el alumno debe identificar entre 4 desarrollos planos el que

corresponde a un prisma. Para lograrlo, hay dos tipos de estrategias, en unas prevalece

lo visual y en otras lo conceptual, y la puesta en relación de ambas es lo que permite

resolver actividades geométricas (FISCHBEIN, 1993).

El alumno puede apropiarse mentalmente de cada representación gráfica e intentar

“ensamblar” una figura espacial, con la dificultad que conlleva el pasaje de la

representación bidimensional a una tridimensional. Una vez generada dicha figura es

necesario decidir si es o no un prisma: ¿se corresponde esta imagen con la

representación tridimensional que el alumno tiene de prisma?

Otra forma de abordar la situación es partir de las propiedades de los prismas: dos

polígonos cualesquiera iguales (bases) y tantos paralelogramos como lados tienen dichos

polígonos (caras laterales). Hay un solo desarrollo en estas condiciones así que es

suficiente para resolver la situación.

Un 40% de los alumnos evaluados fue capaz de desarrollar uno de estos tipos de

estrategia para responder correctamente.

Cualquiera sea la estrategia empleada, el lenguaje juega un rol importante pues las

palabras no siempre se asocian al concepto correspondiente, de manera que el alumno

puede visualizar un poliedro que no sea prisma por confusión de nomenclatura; o puede

entender el término paralelogramo como cuadrilátero, lo cual justifica la selección de

otros desarrollos.

La respuesta errónea más elegida fue D (31%), la cual da cuenta de la correspondencia

entre la cantidad de lados de las bases y de las caras laterales, pero estas son

cuadriláteros no paralelogramos y los pentágonos no son iguales. Es posible que el

alumno lo asocie a su imagen mental del desarrollo plano de un prisma debido a la

similitud con el más frecuentemente utilizado en el aula, cuyas caras laterales suelen

ser rectángulos no cuadrados, con los cuales se pueden confundir los trapecios del

desarrollo en cuestión.


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En este sentido, el estado de conocimiento se relaciona con cuestiones didácticas como

la diversificación de las representaciones de los prismas para que el concepto no quede

asociado a una o similares imágenes gráficas que obstaculizan la generalización de las

propiedades del objeto geométrico en estudio.

Los dos ítems siguientes, “Cuadrado en cuadrado” y “Cuadrado en circunferencia”, son

abiertos de desarrollo y hacen énfasis en la competencia Comunicar, debido a que su

resolución obliga a la comprensión y producción de información en diferentes códigos

(matemático-lingüístico-gráfico) y en diferentes registros (técnico, cotidiano).

La competencia Comunicar incluye la habilidad para cambiar el registro de

comunicación, que constituye un objeto de enseñanza a lo largo de la escolaridad, por lo

cual ambas actividades pueden considerarse parte de una secuencia y se espera que los

alumnos de clases superiores tengan mejores logros. El otro aspecto que hace la

diferencia de niveles son las figuras con que se trabaja: en el nivel superior se agrega, al

cuadrado, la circunferencia.

ACTIVIDAD: “Cuadrado en cuadrado”

TIPO: abierto de desarrollo ACTIVIDAD: “Cuadrado en circunferencia”

TIPO: abierto de desarrollo


Dominio Geometría Dominio Geometría

Contenido Figuras planas Contenido Figuras planas

Sub-contenido

Representación y construcción de figuras Sub-contenido

Representación y construcción de figuras

Competencia Comunicar Competencia Comunicar

Grado (Aplicación 2014)

3°y 4° de Educación Primaria Grado (Aplicación 2014)

5°y 6° de Educación Primaria

Objetivo Explicitar relaciones geométricas interfigurales.

Objetivo Explicitar relaciones geométricas interfigurales.


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A Crédito Total

Muestra identificar dos figuras (cuadrados) y las relaciones entre sus elementos. Da todos los datos necesarios y suficientes: 1- Los vértices de un cuadrado son los puntos medios de los lados del otro cuadrado. Puede identificar el cuadrado interior como tal o como rombo o sin darle nombre, con la condición que diga que sus vértices son los puntos medios del cuadrado ABCD. Puede o no agregar otros datos no necesarios, o que no afectan las relaciones entre las figuras geométricas, por ejemplo, referidos a la posición, la medida o el color de las mismas. 2- Identifica 4 triángulos rectángulos, cada uno de los cuales queda determinado por un vértice del cuadrado ABCD y los puntos medios de los lados que concurren a dicho vértice.


A Crédito Total

Muestra identificar correctamente las dos figuras (circunferencia y cuadrado) y las relaciones entre sus elementos. Da todos los datos necesarios y suficientes: 1- El lado del cuadrado mide igual que el radio de la circunferencia. 2- Un vértice del cuadrado coincide con el centro de la circunferencia Puede o no agregar otros datos no necesarios, o que no afectan las relaciones entre las figuras geométricas, por ejemplo, referidos a la posición, la medida o el color de las mismas.

B Crédito Parcial

Muestra identificar correctamente las dos figuras, da información correcta pero incompleta o evidencia una confusión de nombre de los elementos de las figuras. Por ejemplo: 1- Identifica las dos figuras como cuadrados (o cuadrado y rombo) e indica que la segunda es interior a la otra y tiene sus vértices en los lados del cuadrado (pero no indica que dichos vértices son los puntos medios de dichos lados).

O, identifica los 4 triángulos interiores al cuadrado, cada uno con un vértice coincidente con un vértice del cuadrado, pero no indica que los otros vértices son los puntos medios de los lados concurrentes a dichos vértices.

2- Identifica las dos figuras como cuadrado y rombo e indica que la segunda tiene vértices en los puntos medios de los lados del cuadrado (pero no indica cuáles de esos vértices cumplen con dicha condición o no indica que son todos).

3- Identifica las dos figuras como cuadrados (o cuadrado y rombo) e indica que la segunda es interior y tiene un vértice en el punto medio de un lado del cuadrado.

B Crédito Parcial

Muestra identificar correctamente las dos figuras (circunferencia y cuadrado), da uno de los datos correctamente pero el otro está incorrecto, incompleto o puede deberse a una confusión de nombre de los elementos de las figuras. Por ejemplo: 1- Da solamente el dato 1 correctamente (lado = radio) y dice que dos vértices del cuadrado están en la circunferencia 2- Da solo el dato 2 correctamente (vértice = centro) y dice que el cuadrado "sale un poco" de la circunferencia. 3- Da el dato 2 correctamente (vértice = centro) y dice que el lado del cuadrado mide igual al diámetro de la circunferencia. En todos estos casos puede o no hacer referencia a otros datos espaciales físicos o de medida.

C Sin

Crédito

Puede o no mostrar la identificación del cuadrado y del círculo, pero solo indica la coincidencia de un vértice con el centro. Cualquier otra respuesta.

C Sin

Crédito

Puede o no mostrar la identificación del cuadrado y del círculo, pero solo indica la coincidencia de un vértice con el centro. Cualquier otra respuesta.


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Raymond Duval (2006) plantea la cuestión de la contribución del aprendizaje de las

matemáticas a la educación general, para formar la mente o para el desarrollo de las

capacidades más globales de visualización, razonamiento, organización de la

información, para lo cual las variables cognitivas relativas a las diversas maneras de

representación deben ser tomadas en consideración. Se interroga sobre el tipo de

funcionamiento cognitivo que requiere la actividad y el pensamiento matemático en dos

cuestiones esenciales: ¿el funcionamiento del pensamiento matemático es

independiente del lenguaje y de otros sistemas de representación semióticos utilizados?,

¿el pensamiento funciona en matemáticas de la misma manera que en otros dominios de

conocimiento? Observaciones sistemáticas y recurrentes muestran que estas dos

cuestiones están en el centro de las dificultades que los alumnos encuentran en su

aprendizaje de las matemáticas y llevan a concluir que la forma de expresar y entender

los comentarios lingüísticos no es la misma dentro y fuera de las matemáticas.

Los contextos de representación usados en la actividad matemática son necesariamente

semióticos y tener en cuenta su naturaleza semiótica implica considerar tanto las formas

en que se utilizan como los requisitos cognitivos que conllevan.

“Lo que importa en las representaciones semióticas7 no es su relación con algo más, el objeto implícito, sino su capacidad intrínseca para ser transformadas en otras representaciones semióticas. Esa es la parte básica que juega en los procesos de aprendizaje (…). Hay dos clases de transformaciones de cualquier representación semiótica: la conversión y el tratamiento (…). Es la razón por la cual la conversión de representación es el primer umbral de la comprensión en el aprendizaje de las matemáticas.” (DUVAL, 2006:166)

Cambiar de un sistema a otro significa cambiar el contenido de representación sin

cambiar las propiedades matemáticas representadas. Toda información que se recibe

debe poder transformarse de modo tal que puedan extraerse de ella otras

informaciones: los ítems analizados intentan evaluar la posibilidad de realizar dichos

procesos. La representación presentada al alumno es gráfica y, para resolver la

actividad, él debe convertirla en representación lingüística, en un registro formal

específico de la geometría.

7 Representaciones semióticas: el medio del cual dispone un individuo para hacer visibles o accesibles a los otros sus representaciones mentales. En matemáticas, las representaciones semióticas no solo son indispensables para fines de comunicación, sino también para el desarrollo de la actividad matemática misma.


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Se trata de una actividad específicamente geométrica pues la consigna remite a la forma

de las figuras, sin mencionar medidas. La cuadrícula cumple la función de asegurar que

dichas figuras son cuadrados y circunferencia, aunque las unidades de medida pueden

ser utilizadas por los alumnos como un recurso para describir algunas de las propiedades

de las figuras.

De acuerdo con Sessa (1998) cumple los siguientes requisitos:

Poner al alumno en interacción con objetos que dejan de pertenecer al plano

físico para formar parte de un espacio conceptualizado, representado por figuras

o dibujos.

Los dibujos por sí solos, apelando exclusivamente a una constatación sensorial, no

posibilitan alcanzar una respuesta

Las propiedades de los objetos geométricos deben contemplarse para llegar a la

resolución.

La validación de la respuesta, fruto de la decisión autónoma del alumno, no se produce

empíricamente, sino que se sustenta en las propiedades de los objetos geométricos. Las

argumentaciones que producen a partir de ellas derivan en un nuevo conocimiento sobre

los objetos analizados.

Para cumplir la consigna, es necesario identificar las dos figuras geométricas, recordar

sus propiedades y establecer, entre las mismas, las relaciones que permiten su

reproducción. Si el alumno tuviera que hacer un trazado igual, estaría poniendo en

juego las propiedades en forma implícita, pero como debe comunicar para que otro

pueda hacer la reproducción, las mismas deben explicitarse y para ello debe cambiar al

registro propio de la lengua escrita. Además debe utilizar términos propios de la

geometría como “cuadrado”, “circunferencia”, “lado”, “radio”, “punto medio”,

“vértice” u otros. Probablemente esto sea lo más accesible, aunque haya alguna

confusión léxica (por ejemplo entre radio y diámetro) o inexactitud o ambigüedad (como

llamar rombo al cuadrado o “punta” al vértice), en tanto resulta de real complejidad

enunciar las relaciones interfigurales, de cuyos errores o incompletitudes resultan

algunas de las respuesta con crédito parcial, explicitadas en las grillas de corrección.


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Como ítem de evaluación en la plataforma SEA, la actividad queda en el cambio de

registro y, en el proceso de comunicación, se limita a la expresión escrita de

información (las propiedades interfigurales). Como actividad de clase, habilita la

interacción entre el emisor del mensaje y el destinatario (otro alumno) a efectos del

propósito de comunicación (el trazado de una figura geométrica determinada), de

manera que se pone en juego la comprensión de un mensaje escrito.

“(…) la formulación de un conocimiento implícito cambia a la vez sus posibilidades de tratamiento, aprendizaje y adquisición […] correspondería a una capacidad del sujeto para retomarlo (reconocerlo, identificarlo, descomponerlo y reconstruirlo en un sistema lingüístico. El medio que exigirá al sujeto usar una formulación debe involucrar (ficticia o efectivamente) a otro sujeto, a quien el primero deberá comunicar una información […] Si queremos determinar el contenido de la comunicación, también es necesario que los dos interlocutores cooperen en el control de un medio externo, de modo que ni uno ni otro pueda hacerlo solo y que la única manera de triunfar sea obteniendo del otro la formulación de los conocimientos en cuestión […] La formulación de los conocimientos pone en juego repertorios lingüísticos diversos (sintaxis y vocabulario). La adquisición de tales repertorios acompaña a la de los conocimientos que enuncian, pero ambos procesos son distintos.” (BROUSSEAU, 2007:25)

De manera que, el trazado de la figura exige que el primer alumno escriba los datos

correctos y que el segundo alumno los comprenda correctamente. El logro del trazado es

responsabilidad compartida de ambos, de manera que la validación del mismo corre por

su cuenta. A partir de su constatación, la corrección corre por cuenta de los alumnos,

quienes deben verificar lo acertado o erróneo de sus realizaciones.


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Los dos ítems siguientes son cerrados, muy similares a “Componer un rectángulo” en

cuanto al uso de la visualización y la composición de figuras. No obstante, el énfasis está

puesto en ambos en la competencia Resolver Problemas, tal como se ha definido en este

documento, centrada en la capacidad de seleccionar, ejecutar y validar estrategias que

permitan dar respuestas y comunicar resultados, o sea que dé cuenta de un proceso de

mayor complejidad que incluye aunque trasciende la mera aplicación de conceptos.

Se presentan en forma de rompecabezas, sobre una cuadrícula, recurso gráfico que

facilita la comparación y la identificación de las propiedades necesarias para validar las

respuestas.

ACTIVIDAD: “Puzle 1”

TIPO: cerrado ACTIVIDAD: “Puzle 2”

TIPO: cerrado


Dominio Geometría Dominio Geometría

Contenido Figuras planas Contenido Figuras planas

Sub-contenido Polígonos: definición y propiedades. Sub-contenido Polígonos: definición y propiedades.

Competencia Resolver problemas Competencia Resolver problemas Grado (Aplicación 2014)

3° de Educación Primaria Grado (Aplicación 2014)

4° y 5° de Educación Primaria

Objetivo Reconocer que la diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos rectángulos congruentes.

Objetivo Identificar la figura que, por composición, forma un cuadrado.


A Selecciona la pieza que tiene forma de cuadrado.


A

No tiene presente la figura en su conjunto. Selecciona la figura que completa un cuadrado, considerando únicamente el rectángulo verde y superponiéndolo al triángulo amarillo

B

Reconoce que faltan 2 lados del cuadrado y que deben ser de medida 3 pero no tiene en cuenta que el triángulo no tiene un ángulo recto.

B

No tiene presente la figura en su conjunto. Selecciona la figura que completa un cuadrado, considerando únicamente el triángulo amarillo.

C CLAVE Reconoce el triángulo congruente al dado, que debe girar para formar el cuadrado.

C CLAVE. Identifica la figura que completa el cuadrado, para cuyo encastre debe ser girada.

D

Reconoce el triángulo semejante al dado, que puede trasladar para intentar formar el cuadrado, pero no tiene en cuenta que la longitud de los lados no es la misma.

D Selecciona la pieza que tiene forma de cuadrado.


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“Puzle 1” corresponde a tercer año y propone formar un cuadrado a partir de un

triángulo, para lo cual el alumno debe seleccionar, de 4 figuras representadas

gráficamente, la única que permite lograr la composición requerida.

“Puzle 2” propuesta para cuarto y quinto año, presenta un nivel de complejidad mayor,

por un lado, en virtud de la mayor cantidad de piezas con el que se forma, y por otro,

dada la complejidad que supone la figura con la que se completa el mismo.

La respuesta correcta implica los procesos de recuperación, identificación y

transformación de figuras en el plano. En “Puzle 1” se trata de recuperar la imagen

mental de cuadrado, identificar la pieza faltante como un triángulo congruente con el

presentado, reconocer dicho triángulo entre las figuras azules, rotarlo y trasladarlo (en

su representación mental o en un papel auxiliar) de manera que las hipotenusas

coincidan. En “Puzle 2” también recupera la imagen mental del cuadrado, identifica la

pieza que completa el puzle (en este caso un trapecio rectángulo), lo rota y traslada, de

manera que la hipotenusa del triángulo amarillo coincida con el lado no perpendicular a

las bases del trapecio azul.

En base a los resultados obtenidos en la aplicación, 62% de los alumnos de tercer año son

capaces de utilizar sus conocimientos sobre cuadrados y triángulos y desarrollar

estrategias para llevar a cabo la composición. Resultados similares (53% en cuarto y 62%

en quinto) dan cuenta de la aplicación de logros similares en relación a composiciones

más complejas con triángulos y otros cuadriláteros.

En “Puzle 1”, A es la opción errónea más elegida, probablemente por la asociación con

el cuadrado, la única figura que aparece mencionada explícitamente en la consigna. Al

respecto, hay que tener en cuenta que la misma tiene una forma sintáctica compleja, ya

que los datos están incluidos en la pregunta, la cual, además, indica implícitamente que

se debe elegir una entre todas. La estructura clásica de un problema es: datos por un

lado e incógnita por otro; los datos suelen aparecer en un enunciado asertivo y la

incógnita en un enunciado interrogativo. No siempre se logra el equilibrio necesario

entre la claridad y la brevedad de las consignas por un lado y la precisión matemática

por otro, a efectos de la presentación en la prueba.


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Por eso, aunque se pueda esperar que los alumnos muestren lo que pueden hacer solos

con sus conocimientos matemáticos, en cada caso primará el buen criterio del docente.

Este tipo de dificultad, propia de la propuesta, puede diferenciarse fácilmente de las

propias del alumno, en relación a los contenidos en juego, en instancias de trabajo

posterior a su aplicación.

En “Puzle 2” las respuestas de los alumnos se distribuyen de forma más o menos

homogénea entre las opciones de respuesta no correctas. La opción D, en el caso de los

alumnos de cuarto año registra un porcentaje de respuesta levemente mayor y, al igual

que en el ítem anterior, se trata de la figura que aparece mencionada explícitamente en

la pregunta.

En “Puzle 1” el distractor D registró un porcentaje de respuesta levemente inferior al

distractor A. En este caso el alumno identifica la forma triángulo que completaría un

cuadrado con otro igual, mediante una traslación. Está parcialmente presente la

propiedad de la diagonal del cuadrado que determina dos triángulos rectángulos, ya que

falta la condición de congruencia de ambos. Esta respuesta está facilitada por la

posición de la figura elegida, lo que muestra que la estrategia de resolución tuvo una

omisión en la comparación de las dimensiones del triángulo faltante y el seleccionado.

El distractor B fue la respuesta menos elegida (6%). Una posible explicación de esta

opción es que el lado que está sobre la cuadrícula mide 3, igual que el lado del cuadrado

a completar.

En “Puzle 2”, las opciones A y B, con escaso porcentaje de respuesta, muestran que los

alumnos forman el cuadrado con una sola pieza de las presentadas, no con el conjunto.

Cabe destacar que algunos de los procesos involucrados en estos dos ítems, así como en

el primero de esta selección “Componer un rectángulo”, constituyen un sustento base

para la conceptualización de superficie y área, en cuanto hacen a la comprensión de la

conservación de la magnitud en figuras resultantes de componer y descomponer otras.


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2.1.3. Dominio: Magnitudes y Medida

“La medida es un objeto epistemológico particularmente interesante, desde el momento en que se encuentran, y confluyen en ella, lo teórico (la matemática), lo empírico (la observación) y lo técnico (el instrumento).” (BOYER, 1994)

La medida ha formado parte de la herencia cultural de los pueblos para atender las

necesidades comerciales y tecnológicas. Este interés de la medida como objeto cultural

lo hace integrable a los programas escolares y, consecuentemente, pasa a formar parte

del saber a enseñar, el cual, según Yves Chevallard (1985) debe sufrir las necesarias

deformaciones que lo hagan apto para que su enseñanza sea posible. Al respecto, María

del Carmen Chamorro (s.f.) entiende que la trasposición didáctica estándar de la

medida, reductora e incompleta, adolece de legitimidad epistemológica.

Es frecuente considerar que un conocimiento de uso social es fácil de aprender para el

alumno y que no necesita especial atención didáctica, desconociendo así la complejidad

de los conceptos matemáticos que hay detrás de ellos, producto de años de elaboración

científica. Por otra parte, los cambios sociales y tecnológicos en Metrología han

erradicado las prácticas sociales de medición: las balanzas digitales en lugar de las

balanzas de platillos, los objetos industriales en lugar de los artesanales, los relojes

digitales en lugar de los analógicos, la desvalorización de nuestra moneda que excluye

piezas de menor valor que la unidad, la venta de productos envasados en lugar de

fraccionados. Por ejemplo, en una balanza de platillos la masa de un objeto se

materializa a través de las pesas que equilibran dicho objeto. En cambio en una balanza

digital no hay ningún índice que pueda ser percibido sino que el orden sobre los objetos

está dado por los números del instrumento, lo que da lugar a una de las formas de la

aritmetización de la medida. Esto afecta la familiarización con procedimientos de

medición, adecuación, uso y lectura de instrumentos graduados, estimación,

aproximación, orden de magnitud, diferenciación de magnitudes en el objeto soporte

acordes al propósito de medición, todo lo cual queda oculto en la caja negra de

sofisticados instrumentos cuyo funcionamiento no resulta comprensible en los niveles

básicos.


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Respecto al valor social, el conocimiento de la medida ayuda a interpretar múltiples

aspectos del acontecer diario que son tratados mediáticamente y merecen una lectura

crítica. Oficia de instrumento para otras áreas de conocimiento, por lo que ayuda en el

tratamiento de temas transversales como la educación para el consumo. Según

Chamorro (1995), resulta paradójica la relación entre las demandas sociales y culturales

relativas a la medida y su enseñanza: bajo el supuesto de la utilidad práctica, los

aspectos enseñados suelen reducirse a ejercicios sobre el Sistema Métrico Decimal,

quedando ausente el concepto de magnitud, el trabajo sistemático sobre los métodos de

comparación, la aprehensión de la bidimensionalidad, la tridimensionalidad y sus

relaciones con la linealidad, así como la falta de prácticas efectivas de medición, lo cual

convierte la enseñanza de la medida en un discurso teórico, donde el mostrar prevalece

sobre el hacer.

Resulta necesaria la medición real de magnitudes en objetos del entorno cotidiano, lo

cual exige una preparación cuidadosa por parte del maestro, ya que es la puerta de

entrada para el trabajo del error y la aproximación como cuestiones inherentes a la

medida. Según la calibración y la precisión del instrumento, se obtiene un intervalo de

probabilidades como resultado de la medición, intervalo que puede ser construido a

partir de la experiencia realizada.

Otro entorno de la medida es el orden de magnitud, o sea el tamaño habitual de un

objeto, lo cual solo se aprende en la práctica y permite tanto validar como estimar

medidas.

“La estimación es una estrategia para trabajar con números en situaciones reales, que nos permite hacer una asignación rápida de valores numéricos manteniendo al mismo tiempo un cierto control sobre la validez de esa valoración. Por ello mismo la estimación está tan extendida como el uso del número. La estimación es útil en todas aquellas situaciones en las que hay que emplear números y trabajar con ellos.” (SEGOVIA, CASTRO, RICO, 1989:45)

Estos autores explican que, en muchos casos, la estimación resulta conveniente o es el

único procedimiento posible para la obtención de datos y las técnicas aplicadas

dependen de las causas que provocan la necesidad de estimar y de los contextos en que

se utiliza. Por ejemplo, cuando un agricultor necesita comprar fertilizantes, debe tener

en cuenta el área del terreno que solo puede calcular en forma aproximada debido a sus


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irregularidades, por lo cual debe estimar la cantidad de fertilizante mínima posible por

encima de lo necesario, en función del peso de las bolsas en que viene empaquetado.

Para verterlo sobre las plantas, no resulta práctico pesar cada porción sino que se puede

tomar una lata como unidad de referencia y estimar la cantidad de latas que hay que

verter, según la relación entre su capacidad y el peso de cada dosis de fertilizante. Para

la venta de la cosecha una buena estimación es fundamental: se estiman los kilos

producidos y se multiplica por el precio de venta. En la estimación del peso se enfrentan

los intereses del comprador y del vendedor, quienes suelen hacer una infraestimación y

una sobreestimación respectivamente, por lo que puede mediar un tasador. El producto

de la venta no suele pesarse después de la recolección, pero es el momento de mejorar

la estimación: como debe ser transportado en cajas iguales, se llenan y pesan algunas

cajas, se hace el promedio y se multiplica por el número de cajas.

De la misma manera, otras profesiones, técnicas y ciencias usan sistemáticamente la

estimación de modo que esta constituye un rasgo definitorio de las mismas: tal el caso

de las ciencias de la naturaleza, donde la datación de hechos y fenómenos se establece

a partir de indicadores y métodos diversos; igualmente la determinación de la carga

tributaria de los ciudadanos, los datos meteorológicos o el manejo del dinero y el tiempo

en un hogar.

Esta utilidad práctica que atiende a la razonabilidad de los resultados justifica

ampliamente la enseñanza de la estimación en la escuela. No menos importante resulta

la ampliación de una visión parcial de la matemática como ciencia que da respuestas

exactas, introduciendo el carácter aproximado como alternativa de respuesta y el

criterio de selección para el uso apropiado en cada caso.

Las dos actividades de evaluación seleccionadas para analizar, en el dominio Magnitudes

y Medida, tienen por objetivo estimar una longitud y se incluyen en la competencia

Resolver Problemas ya que,

“(…) ponen en marcha un proceso complejo de ajuste de la información disponible, de recuperación y transformación de otras informaciones y, finalmente, de acomodación de la cuestión planteada dentro del esquema elaborado con la información tratada. Al establecer una relación adecuada entre los datos disponibles y el dato que se busca, este queda delimitado y caracterizado. Cuando esa caracterización nos da una información suficiente para las


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necesidades de la cuestión inicialmente planteada, se dice que hemos resuelto el problema, y la información básica se llama solución al problema.”(SEGOVIA, CASTRO, RICO, 1989:77)

Estos autores entienden que la información incluye los datos del enunciado y también los

conocimientos y relaciones disponibles en el sujeto que resuelve el problema, y el

procedimiento es cualquier secuencia de relaciones y destrezas orientada a satisfacer

los requisitos de la pregunta.

Un problema de estimación se caracteriza por la no explicitación de la información, la

cual aparece como detalles aclaratorios de datos implícitos o que se suponen disponibles

en el sujeto a partir de su experiencia previa, la respuesta esperada nunca es exacta

pero sí comprendida en un rango adecuado y el procedimiento suele ser mental, con

números redondos que faciliten los cálculos, nunca preestablecido.

La relación entre estimación y resolución de problemas es compleja pues la estimación

constituye también la anticipación de posibles soluciones de cualquier problema,

liberándolo de mecanismos y facilitando la comprensión del mismo y la posibilidad de

verificar el sentido de la solución obtenida por cálculos exactos.

También se relaciona la estimación con técnicas del pensamiento matemático: la

decisión del tipo de respuesta adecuada al texto de un problema, el sentido numérico,

la selección de una estrategia apropiada, la diversidad de caminos a seguir.


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ACTIVIDAD: “Rutas” TIPO: abierto de desarrollo

Un viajero recorrió 235 km desde Paysandú a Tacuarembó.

Con ayuda del mapa, ¿qué distancia aproximada deberá recorrer para ir desde Tacuarembó a

Montevideo?

Código MAT1795

Dominio Magnitudes y Medidas

Contenido Magnitudes y Medidas

Sub-contenido Estimación de medidas

Competencia Resolver Problemas


Objetivo Estimar una medida.


A Crédito completo

Responde con una distancia que se encuentra entre 350 km y 480 km. O muestra que la relación entre la distancia de Tacuarembó a Montevideo y la distancia de Paysandú a Tacuarembó es el doble o 1 vez y media (o relaciones comprendidas entre ambas).

B Crédito parcial

Su respuesta da cuenta de una estimación correcta (de acuerdo a las condiciones de crédito completo) pero que sumó el recorrido total, lo cual debe aparecer explícito para así diferenciarlo de una estimación no lograda. Ejemplo: "La distancia total es 235 + 470 = 705"

C Sin crédito

Cualquier otra respuesta.


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“Rutas” es un ítem abierto de desarrollo de la Prueba de 3° año, para que el alumno

pueda escribir los cálculos y relaciones entre los datos que le permiten obtener una

distancia aproximada entre las ciudades de Tacuarembó y de Montevideo.

Distinguimos varios tipos de información que el alumno debe identificar, recordar,

interpretar, relacionar.

Explícita numérica con unidad de medida: 235 km (distancia Paysandú–

Tacuarembó).

Explícita gráfica: la línea que se extiende desde los puntos identificados como

Paysandú y Tacuarembó respectivamente (distancia Paysandú-Tacuarembó). Para

darle el valor numérico, el alumno debe relacionar ambas representaciones.

Información implícita: la línea que se extiende desde los puntos identificados como

Tacuarembó y Montevideo respectivamente (distancia Tacuarembó-Montevideo). El

valor numérico solo puede aproximarse mediado por otras informaciones y procesos

inferenciales.

Conocimiento del lector acerca de los códigos de representación en un mapa

(propio de las Ciencias Sociales).8

Conocimiento del lector acerca de las unidades de medición.

El enunciado orienta el proceso de relacionar las representaciones numéricas y gráficas:

“con ayuda del mapa…” Una estimación rudimentaria consiste en advertir que la

distancia Tacuarembó-Montevideo es mayor que la distancia Paysandú-Tacuarembó. Esta

se puede afinar, estableciendo una posible razón entre las mismas mediante una

relación entre sus representaciones gráficas, o sea que este último tramo puede ser la

mitad del otro, un poco más o un poco menos. Por eso, el crédito completo corresponde

al intervalo [350;480], siendo 391 la cantidad indicada por Google Maps para el trayecto

mayor. Tengamos en cuenta que las medidas físicas son siempre inexactas, sea por la

imperfección de los objetos, la accesibilidad a los mismos, los niveles de precisión de los

instrumentos de medida y los errores que se cometen en su manipulación, de manera

8 Al respecto, debe tenerse en cuenta que en este mapa las rutas están coloreadas de azul, color que, convencionalmente se usa para las corrientes de agua. Aclaramos que el trazado del recorrido fue realizado automáticamente por Google Maps, de manera que podemos pensar en una adaptación a los recursos tecnológicos. De todas maneras, el ícono con el número de las carreteras, no deja lugar a dudas en su representatividad.


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que el valor dado por Google Maps es una buena estimación a la cual esperamos que los

alumnos puedan acercarse.

Una dificultad en el caso de las carreteras es la sinuosidad de las mismas, ya que una

estimación de la distancia entre las ciudades, si se visualiza como longitud de segmentos

de recta, puede dar una diferencia notoria en el resultado.

En este caso, si se gira el segmento PT

con centro en T hasta su intersección

con TM (I), se puede percibir que TM

es un poco mayor que IM, de donde se

infiere que la distancia TM es algo

menor al doble de PT. Los tramos PT y

TI presentan curvas similares, en

cambio el tramo IM parece menos

sinuoso. Sin embargo, la plataforma en

la cual se presenta la prueba no

permite hacer este tipo de trazados o

marcas en el mapa, por lo cual, el

alumno solo puede realizarlos

mediante una representación mental y

establecer con un margen de apreciación aceptable que el tramo menor está incluido

entre una vez y media y dos veces en el mayor. Redondeando a km, 235 una vez y media

es 353 y el doble es 470. El intervalo de crédito total aproxima a las decenas

inmediatamente anterior y posterior de dichos valores, respectivamente.

El crédito parcial se adjudica a los casos en que el registro del alumno dé cuenta de

estas comparaciones y cálculos, aunque la respuesta surja de la suma de 235 con el valor

estimado para el tramo mayor, bajo la hipótesis que el alumno considera el recorrido

total del viaje (Paysandú–Tacuarembó–Montevideo).

Se pone en juego la competencia Comunicar ya que la razón establecida entre

representaciones gráficas debe ser traducida en un registro numérico a efectos de dar

respuesta al problema, para lo cual es necesario realizar cálculos, lo cual complejiza el


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procedimiento de resolución. Una variante de esta actividad para realizar en clase, es

preguntar por la relación entre dos tramos (ej.:¿la distancia Tacuarembó-Montevideo es

casi la misma, una vez y media, casi el doble de la distancia Paysandú-Tacuarembó?),

pedir una explicación del procedimiento seguido, anotar respuestas, ir afinando las

estimaciones, utilizar la herramienta Google Maps y/o similares y verificar la

aproximación al valor establecido por los diferentes servidores de aplicaciones de mapas

virtuales, e incluso compararlos entre ellos9.

Una variable didáctica importante es

la referencia que permite estimar la

distancia: en lugar de dar el dato de la

distancia entre dos lugares, se puede

dar la escala: en esta imagen está

dada por los segmentos que

representan 100 km y 50 millas

respectivamente, unidades de uso

social. Una diferencia entre la

aplicación en línea y la aplicación en

papel es la posibilidad de

manipulación: aunque el alumno

pueda intentar transportar de alguna

manera el segmento de referencia

sobre la pantalla, no resultará tan

eficiente como en el papel donde puede hacer marcas. Un instrumento de medida

permitirá medir sobre el mapa y convertir la medida en distancia real. Si no se dispone

de tal instrumento, es preciso estimar la medida sobre el mapa y después convertirla.

Otra diferencia con el mapa original es la presencia de otros elementos como ciudades y

rutas que se relacionan con el problema. Por lo tanto, entran en juego otros procesos

como la identificación y selección de la información brindada, todo lo cual complejiza

porque responde a situaciones reales. Pero también pueden ofrecer al alumno otros

referentes de acuerdo a sus conocimientos sociales, como conocer la distancia entre dos

9 A modo ilustrativo, los valores indicados en algunos servidores son: YAHOO!MAPS: 396,48 km; bing mapas: 398,2 km; Gosur Mapas:397 km.

https://maps.yahoo.com/

http://www.bing.com/maps/?FORM=Z9LH4

http://www.bing.com/maps/?FORM=Z9LH4

http://www.gosur.com/pt/mapa/?route=1


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localidades que él ha recorrido. Sobre el carácter realista de la consulta de mapas para

circular, se podría objetar que, actualmente, la difusión de herramientas de alta

tecnología como el GPS, deja obsoletos los mapas estáticos. Sin embargo, la educación

matemática implica comprender e interpretar los datos proporcionados por dichos

dispositivos a efectos del manejo apropiado y la transferencia a la solución de

problemas. Es decisión del docente cómo presentar los problemas en una secuencia de

enseñanza, en un enfoque globalizador de los contenidos matemáticos y/o

interdisciplinar.

Cualquiera de estas variaciones pone énfasis en la medida más que en la unidad, el

alumno dispone de un objeto y se supone que posee el concepto de unidad de medida,

entonces se trata de asignar a ese objeto (tramo de ruta), un número (la medida) a

través de un auxiliar (la unidad). La estimación que consiste en realizar la asignación

inversa pone más en juego la unidad de medida y puede contribuir a que los estudiantes

adquieran un esquema mental de dichas unidades, por ejemplo buscar dos ciudades

entre las cuales haya una distancia aproximada a 100 km. Este tipo de actividades

debería iniciarse con situaciones que el alumno pueda verificar, por ejemplo encontrar

un objeto en el patio que pueda medir 2 m.


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ACTIVIDAD: “Tablero de baloncesto” TIPO: abierto de desarrollo

Estos jugadores de basquetbol tienen alrededor de 1,80 metros de estatura.

Aproximadamente, ¿a qué altura del piso está ubicado el aro de basquetbol de la imagen?

Código MAT1781

Dominio Magnitudes y Medidas

Contenido Magnitudes y Medidas

Sub-contenido Estimación de medidas

Competencia Resolver Problemas


Objetivo Estimar una medida.


A Crédito completo

Responde con una altura que se encuentra entre 2,70 y 3,10 metros. Estima que la distancia del tablero al piso es un poco más de 1 vez y media la estatura de los jugadores.

B Crédito parcial

Responde con una altura que se encuentra entre 2,30 y 2,70 metros. Pudo deberse a: - falta de precisión en la estimación - problema de interpretación, pensó que 1,80 metros corresponde a la longitud del jugador tal como está en la figura (saltando), o sea de los pies a las manos.

C Sin crédito

Cualquier otra respuesta.


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También “Tablero de baloncesto” es un ítem abierto de desarrollo que, solo incluido en

la Prueba de 5°año, busca que el alumno pueda escribir los cálculos y relaciones entre

los datos que le permiten obtener la altura aproximada del aro de la canasta de

baloncesto.

Distinguimos varios tipos de información que el alumno debe identificar, recordar,

interpretar, relacionar.

Explícita numérica con unidad de medida: 1,80 m (altura aproximada de los

jugadores).

Explícita gráfica: la imagen de los jugadores en posición de lanzar la pelota. Para

darle el valor numérico, el alumno debe relacionar ambas representaciones.

Información implícita: la imagen del aro de baloncesto y el piso en que se sustenta

el poste que se pueden modelizar como punto y recta entre los cuales determinar

la distancia. El valor numérico solo puede aproximarse mediado por otras

informaciones y procesos inferenciales.

Conocimiento del lector sobre una cancha de basquetbol.

Conocimiento del lector acerca de las unidades de medición.

El crédito completo corresponde al intervalo [2,70; 3,10] siendo 3,05 la altura oficial. En

este sentido, el conocimiento social sobre el juego, especialmente las condiciones de la

cancha, influye considerablemente en la resolución del problema, por lo cual, interesa

especialmente la argumentación por parte de los alumnos que responden

acertadamente. En el caso que conozca la altura oficial, no estima sino que recuerda

una información social que es útil para validar las respuestas de otros compañeros.

Más interesante resulta el caso de alumnos que estén familiarizados con las canchas de

básquetbol que, sin tener esta información, pueden asociar otras imágenes mentales y

saberes sociales para su aplicación en la estimación. Por ejemplo, si él sabe que su

altura es aproximadamente 1,50 m y que, parado debajo del canasto queda muy lejos,

agregará al menos un metro. Pero si, además sabe que en el juego no es fácil que la

pelota entre en el canasto, o sea que aunque se ponga en puntas de pie y alce los

brazos, no llega al aro, agregará aún más. En este procedimiento está estimando la

medida de sus pies, de sus brazos y la distancia que falta para llegar al aro.


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También puede haber alumnos que conozcan el basquetbol a través de la televisión,

donde la experiencia no es directa pero aporta a la creación de relaciones entre alturas

de jugadores en diversas posiciones y la del aro. En cambio, si el deporte no ha sido

vivido real o virtualmente, el proceso de estimación se limita a las inferencias sobre la

imagen (que también interviene en los casos anteriores).

Una dificultad a considerar es el referente numérico que corresponde a la altura de

personas fotografiadas en posición de tiro de la pelota al canasto, pues al saltar, los pies

no apoyan en el suelo, están estirados al igual que todo el cuerpo y los brazos

levantados, de manera que las siluetas de los jugadores se ven mucho más altas que su

altura. ¿Cuánto? Hay que agregar la distancia del suelo a los talones y la distancia de los

brazos desde la cabeza a los dedos que tocan la pelota. Mientras el tiro se hace en

forma inclinada, la distancia se mide sobre la perpendicular al plano de la base que se

interseca con un punto del aro, lo cual implica modelizar la altura de la silueta con un

segmento que se debe trasladar hasta que quede incluido en dicha perpendicular y así

poder relacionarlo con la distancia que aún falta para llegar al aro.

El crédito parcial corresponde al intervalo [2,30; 2,70] porque en tal caso el alumno ha

realizado una estimación gruesa, por ejemplo comparando la altura de las siluetas

humanas y la altura del aro y estimar que este puede estar poco menos de un metro más

arriba, tomando como referente 1,80 m de alto de los jugadores, con lo cual la

respuesta puede estar entre 2,50 m y 2,70 m. Otra posibilidad es una estimación

aceptable de las relaciones entre el referente 1,80 y la altura a que está el aro, con

error en la interpretación de la consigna, por el cual entiende que 1,80 es la altura de la

silueta de los jugadores y no de su estatura. En tal caso, la diferencia entre la altura de

dichas siluetas y la altura del aro puede estimarse como la tercera o cuarta parte de

1,80 a la cual se agrega o no la separación desde el suelo, con lo cual la respuesta está

entre 2,30 m y 2,60 m.

Una variable didáctica importante es la representación plana de una situación que

ocurre en el mundo tridimensional, donde entra en juego la perspectiva, y la

profundidad se ha perdido porque la fotografía muestra siluetas.


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En el entendido que estimar no es adivinar o dar un valor arbitrariamente sino que parte

de la información, la experiencia y los referentes sobre la situación, solo se puede lograr

a partir de la transferencia y adecuación de referentes construidos mediante la

frecuentación de experiencias reales de medición. Es probable que estas condiciones se

relacionen con los niveles de aceptación de las respuestas de los escolares a los dos

ítems analizados, por lo que la corrección colectiva de los mismos constituye un insumo

importante para conocer y comprender cómo utilizan sus saberes y hasta dónde pueden

avanzar mediante la cooperación con sus pares y el andamiaje docente.


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2.2. ANÁLISIS DE ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN

(EDUCACIÓN PRIMARIA – EDUCACIÓN MEDIA)

“La unidad del proceso educativo no la da la organización de las instituciones ni los programas ni los planes de estudios, la da la vida del educando, que es una continuidad sin transiciones y sin dualismos” (…) Querer que el niño se haga al modo escolar o al modo liceal tomando la expresión “modo” en su más amplia generalidad, es poner la carreta delante de los bueyes. Los niños no se hicieron para la Escuela o el Liceo. Liceos y Escuelas se hicieron para los niños.” (CASTRO, 1949)10

El tránsito escolar de los estudiantes entre la enseñanza primaria y la enseñanza media

es un tema controversial desde hace décadas en nuestro medio. Como decía el maestro

Julio Castro en el año 1949, “constituye un problema que se ramifica en varios

aspectos”, desde la accesibilidad hasta la intelectualidad, sin dejar de reconocer en ello

las finalidades disímiles que cada institucionalidad educativa desarrolla, extiende y

promueve.

La vigencia de este debate encuentra en la evaluación formativa en la modalidad en

línea un intento de avance. Se trata de fomentar una visión sistémica en torno a los

procesos de escolarización de los estudiantes, considerando el tránsito entre la Primaria

y el Ciclo Básico como un factor determinante en el desarrollo educativo. A tales

efectos, concibiendo un ciclo escolar integrado desde tercero de Educación Primaria

hasta tercero de Educación Media Básica, se decidió incluir actividades de evaluación

comunes a estudiantes de sexto año y de primer año de secundaria. Su objetivo es

promover la reflexión entre los docentes (maestros y profesores) sobre los contenidos

que las actividades abordan y los conocimientos y habilidades cognitivas que ellas

activan en los estudiantes.

A continuación se analizan dos actividades de integración: “Los triángulos equiláteros”

del dominio Geometría y dentro de la competencia Aplicar Conceptos; “El perímetro”,

de Magnitudes y Medidas, enfocada a Resolver Problemas.

10 Extraído de los Anales de Instrucción Primaria. Época II. Tomo XII. N° 4, Montevideo, abril de 1949. (Cf. ANEP-CODICEN, 2000)


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ACTIVIDAD: “Los triángulos equiláteros” TIPO: cerrado

Código MAT1705

Dominio Geometría

Contenido Figuras planas

Sub-contenido Propiedades de figuras


Grado (Aplicación 2014) 6° de Educación Primaria y 1° de Educación Media Básica

Objetivo Identificar ángulos rectos para aplicar la propiedad de que el triángulo equilátero no tiene ángulos rectos.


A Asume que un triángulo es equilátero, los otros dos son iguales entre sí: puede asociar igualdad de las figuras con igualdad de los lados. No tiene en cuenta que hay 2 triángulos rectángulos.

B Asume que 2 triángulos son equiláteros y puede asumir que el tercero es igual por tener 2 lados iguales. No tiene en cuenta que es un triángulo rectángulo.

C Identifica 3 triángulos iguales y puede asociar la igualdad de triángulos al concepto de equilátero. No tiene en cuenta que son triángulos rectángulos.

D CLAVE Identifica 3 triángulos sin ángulos rectos, lo que posibilita que sean equiláteros.


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“Los triángulos equiláteros” tiene como propósito el reconocimiento de triángulos

equiláteros a partir del análisis de ángulos. La cuadrícula permite la identificación de

ángulos rectos lo cual facilita descartar las opciones que presentan triángulos

rectángulos, aplicando la noción de ángulos agudos como propiedad del triángulo

equilátero. Esto implica que el estudiante debe razonar de una forma no convencional:

recordar que los ángulos de un triángulo equilátero son agudos, reconocer que los

ángulos agudos no son rectos, identificar los ángulos rectos presentados, descartar las

opciones que presentan triángulos rectángulos, seleccionar la única opción que presenta

triángulos acutángulos.

La actividad resultó difícil para los estudiantes de los grados evaluados, lo que se

evidencia en el porcentaje de respuesta de las alternativas no correctas. Poco menos de

la quinta parte de la población evaluada, tanto en sexto año de Educación Primaria

como en primer año de Educación Media Básica, seleccionó la clave. A su vez, los

patrones de respuesta en ambos grados son similares.

Este ítem, por un lado requiere que el alumno recupere el concepto de triángulo

equilátero así como también algunas de sus propiedades. Por otra parte, la

representación gráfica demanda que el estudiante logre visualizar los triángulos que

componen cada una de las figuras en forma individual. Es decir, las figuras presentadas

en las alternativas no son de uso frecuente en las prácticas de enseñanza, cada una de

ellas está compuesta por tres triángulos. Las figuras de las opciones A, B y C tienen al

menos un lado en común mientras que, en la opción D, un lado de un triángulo está

incluido en el lado de otro.

Se trata de evaluar Geometría a través de la resolución de problemas, en una situación

nueva que implica establecer relaciones interfigurales, apelando a conocimientos en

proceso de construcción. Para resolver esta situación es necesario que el alumno

visualice, explore y analice los grupos de triángulos presentados. A partir de estas

acciones se podrán recuperar y aplicar propiedades, clasificar, elaborar conjeturas y

tratar de validarlas.

Van Hiele citado por VARGAS, GAMBOA (2013) describe un modelo teórico de cinco

niveles jerárquicos para explicar la comprensión y el dominio de las nociones y


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habilidades espaciales de las personas. En esta descripción teórica, la importancia de lo

visual o del reconocimiento, surge como el primer nivel de aproximación al saber

geométrico. Es decir, en este primer nivel los alumnos reconocen las figuras y las

nombran basándose en sus características visuales globales. Los estudiantes aquí

posicionados son capaces de hablar sobre propiedades de las formas, muchas veces sin

pensar explícitamente en ellas. Para estos alumnos, lo que define a una forma es su

apariencia.

En los distractores A y B de la actividad de evaluación, el alumno reconoce algún

triángulo equilátero, que tiene algún lado en común con otro triángulo, lo que podría

llevarlo a pensar que los triángulos son iguales y por lo tanto, todos equiláteros. Una

posible explicación a esta hipótesis, es que asocia el término “equilátero” con

“igualdad”, pero luego se basa en la relación de igualdad entre algunos lados de las

figuras presentadas para dar su respuesta sin considerarlos todos. Si bien son escasos los

alumnos que seleccionan estas alternativas, la elección se vuelca levemente a la opción

B por sobre la opción A.

Merece un análisis especial el distractor C, opción de respuesta elegida por la mayoría

de los alumnos en ambos grados (56% en sexto año y 60% en primer año de media). Una

posible hipótesis de error es que los alumnos asocian el término “equilátero” con

igualdad de triángulos, y seleccionan esta alternativa porque es la única opción que

muestra los tres triángulos iguales. No reconoce que los triángulos iguales son

rectángulos y, por lo tanto, no son equiláteros. Posiblemente, otra de las hipótesis de

error es que el estudiante asocia el triángulo isósceles rectángulo con la propiedad de

equilátero, por tratarse de un triángulo particular.

En cuanto a los procesos cognitivos que realiza el alumno que resuelve correctamente

este ítem, es el docente quien, en su trabajo directo con los alumnos, estaría en

condiciones de indagar si estos realizaron algún razonamiento deductivo (por ejemplo,

el triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales, de 60°, por lo que un triángulo

rectángulo no es equilátero) o si se basaron en lo visual (por ejemplo, eligieron los

triángulos que más se parecen a su imagen mental de triángulo equilátero).


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Estas dos formas de abordaje y resolución del ítem pueden ser reflejo de los dos

primeros niveles desarrollados por Van Hiele. Los estudiantes que responden en forma

correcta esta actividad muestran habilidades que se corresponden con el segundo nivel

(análisis) donde los objetos de pensamiento son clases de formas en lugar de meras

formas individuales. Implica dar cuenta que una colección de formas pertenece a una

misma clase debido a sus propiedades y no por su apariencia. Si una figura es un

triángulo equilátero posee las propiedades correspondientes a esa clase (lados y ángulos

iguales, entre otras). Mientras que los estudiantes que seleccionan las opciones no clave

procesan la tarea según las habilidades descritas en el primer nivel (reconocimiento

visual), donde se reconocen las figuras geométricas por su forma, como un todo, no

diferenciando partes ni componentes de las mismas.

Es importante que las actividades geométricas consideren las diferentes tareas que

pueden desarrollar los alumnos, ya sea como forma de conceptualización, investigación

y demostración. Además del reconocimiento visual, se espera que los alumnos busquen

estrategias de trazado, de comunicación, de razonamiento, de deducción y de

aplicación.


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ACTIVIDAD: “El perímetro” TIPO: cerrado

Código MAT436

Dominio Magnitudes y medidas

Contenido Longitud, superficie, capacidad, amplitud.

Sub-contenido Perímetro de una figura.

Competencia Resolver problemas

Grado (Aplicación 2014) 6° de Educación Primaria y 1° de Educación Media Básica

Objetivo Comparar el perímetro de dos polígonos.


A Supone que, como la figura pintada tiene mayor cantidad de lados, su perímetro es mayor.

B

CLAVE 1- Sabe que el perímetro es la medida del contorno de una figura. Utiliza la cuadrícula para medir la longitud de los lados de cada figura, calcula y compara los respectivos perímetros. 2- "Traslada" los lados de la figura azul, no coincidentes con los del rectángulo, hasta que queden incluidos en sus lados paralelos "más próximos". De esta manera, determina que ambas figuras tienen igual perímetro.

C Supone que a menor área corresponde menor perímetro.

D Observa que los lados de la figura pintada incluidos en los lados del rectángulo miden la mitad y concluye que el perímetro es la mitad.


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“El Perímetro” es una actividad dada en un contexto intramatemático, siendo su

objetivo establecer una relación de orden entre los perímetros de dos figuras. El

estudiante debe comparar perímetros, ya sea cuantificando mediante el uso de la

cuadrícula o descomponiendo adecuadamente el contorno de una de las figuras para

poder contrastarlo con el contorno de la otra figura.

La opción A de este ítem es uno de los distractores más elegidos (alrededor de un tercio

de los estudiantes que realizaron la evaluación, indistintamente del ciclo escolar). La

hipótesis de error que subyace en esta opción evidencia una de las conclusiones erróneas

más frecuente que establecen los estudiantes: “a mayor cantidad de lados corresponde

mayor perímetro”.

También se pone de manifiesto otro de los errores frecuentes en la construcción del

concepto de magnitud geométrica, que involucra supuestas relaciones entre contorno y

superficie de una figura. De manera específica, ello muestra la asociación que realizan

algunos estudiantes entre la figura de menor área con la de menor perímetro, e

involucra la hipótesis de error presente en el distractor C. Esta opción fue elegida por un

alto porcentaje de los alumnos que realizaron la actividad, lo cual da cuenta de la

persistencia del obstáculo.

Los conceptos de contorno y superficie de una figura plana tienen muchos elementos en

común sobre el plano matemático, pero otros son fuertes supuestos de los estudiantes,

tanto de nivel escolar como de nivel secundario, lo cual evidencia que la construcción y

apropiación de estos conceptos no está acabada. Por ejemplo, algunas investigaciones

han demostrado ampliamente (STAVY, TIROSH, 2001) que un alto número de estudiantes

de todas las edades considera que existe una relación de estrecha dependencia entre los

dos conceptos sobre el plano relacional. Un ejemplo sería el siguiente:

Si A y B son dos figuras planas, entonces:

Si el perímetro de A es mayor que el perímetro de B entonces el área de A es

mayor que el área de B (Ídem con menor).

Si dos figuras tienen igual perímetro entonces tienen igual área. (Viceversa,

cambiando el orden “perímetro-área” con “área-perímetro”).


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Un factor importante, evidenciado por Azhari (1998), es que cuando existen dos

relaciones ligadas mutuamente, el estudiante intenta aplicar la siguiente “ley de

conservación”: si una determinada cosa crece, también lo hace la que está relacionada

con ella (y viceversa).

Lunzer (1968) refiere a los resultados obtenidos en un experimento efectuado en

colaboración con Piaget. En un geoplano, representando una situación de contexto

campestre, se situó una cuerda de 20 cm de longitud, de modo que encerrase un

cuadrado de 5 cm de lado. La misma cuerda fue colocada después, de manera que

dibujase, por ejemplo, un rectángulo de 6 cm y 4 cm, y otro de 7 cm y 3 cm de lado. En

cada ocasión se indagaba si las vacas tendrían la misma cantidad de hierba para comer

(haciendo referencia al área de la superficie marcada) o si el granjero tendría que

recorrer la misma distancia para dar la vuelta andando alrededor del campo (perímetro

de la figura marcada). Ninguno de los niños de 9 años estaba dispuesto a creer que

pudiera cambiar el área sin cambiar el perímetro y, recién hacia los 13 años, unos pocos

comprendían que el área cambiaba en cada ocasión.

En los trabajos de Moreira y Comiti (1993) y Moreira (1996) se hace énfasis en las

dificultades que tienen los estudiantes de los últimos años de la escuela para:

Reconocer cierta combinación de medidas de elementos de una figura como la

que determinan a esa figura. La idea de superficie de una figura plana, aunque no

sea determinante de ella, no siempre es reconocida como una característica de

dicha figura.

Diferenciar las medidas de superficie y contorno de una figura.

Construir el concepto de superficie de una figura plana.

Asimismo, en las investigaciones de los autores mencionados, se pone de manifiesto

cómo el aprendizaje de los diferentes elementos de las magnitudes geométricas es

específico y diferente en cada caso.

La investigación de Chamorro (1997) referida a la enseñanza de la medida, confirma la

complejidad del tema, especialmente en lo relacionado con el aprendizaje. Entre los

ejemplos específicos que menciona, aparecen precisamente el contorno y la superficie:


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"En la superficie, en cuanto medida producto, confluyen múltiples obstáculos conceptuales. Entre estos, la relación que las unidades de superficie conservan con las unidades de longitud, siendo las segundas la base de las primeras como productos de medidas. Dichas relaciones pueden ser comprendidas solo a partir de relaciones espaciales que a su vez deben ser coordinadas con relaciones multiplicativas. La coordinación entre la linealidad de cada una de las dimensiones y la linealidad de las superficies debe poder ser garantizada a través de un modelo geométrico que ayude a visualizar dichas relaciones". (CHAMORRO, 1997)

Además de los problemas mencionados acerca de las relaciones de superficie y contorno,

se agrega el problema lingüístico. Algunos estudiantes confunden la terminología área y

perímetro cuando la usan en forma intercambiada, así como también sucede con los

vocablos “paralelas” y “perpendiculares”, lo que no implica siempre error en el

concepto, sino en el vocablo, lo que puede indicar que el concepto está aún en

construcción.

Otro obstáculo adicional al que se puede enfrentar un alumno al trabajar con este tipo

de problemas puede ser la dificultad para comparar las dos figuras. Una es una figura no

convencional, no incluida entre las que tradicionalmente la escuela presenta. Los

docentes suelen elegir aquellas figuras convexas, convencionalmente presentadas

(“derechas”, “apoyadas”, “verticales”, “horizontales”). Esta actividad procura

problematizar al estudiante en la comparación de medidas de longitud a través de

figuras geométricas no canónicas. A su vez, el hecho de que se presente solo la figura no

convexa coloreada, puede ocasionar una confusión entre figura y fondo y afectar la

identificación de las dos figuras a comparar. La denominación del rectángulo como

“ABCD” (coincidente con la denominación de las opciones de respuesta) puede agregar

una dificultad extra, al ser una forma no frecuente de nominación de las figuras

geométricas a nivel escolar, además que no se proporcionan medidas de las figuras.

Todas las dificultades analizadas anteriormente se confirman con los datos empíricos

obtenidos de la aplicación. Una quinta parte de los estudiantes de Educación Primaria

contestaron correctamente mientras que al inicio de la Educación Media Básica este

porcentaje fue del 15%. Este eventual descenso en los números de respuesta correcta

podría explicarse de diferentes formas. Por un lado, puede vincularse a que el profesor

de enseñanza secundaria asume que el concepto de perímetro ya ha sido adquirido por

el estudiante en el ciclo anterior, por lo que no entiende necesario profundizar en él,


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pasando a dedicarle más atención al concepto de superficie. Por otro lado, en el

programa de Primer Año de Ciclo Básico, la unidad de geometría no explicita los

conceptos de área y perímetro, sin embargo el contexto geométrico se utiliza para situar

problemas algorítmicos. Estos resultados evidencian que esos conceptos aun no han sido

adquiridos, por lo que se requiere de más intervención pedagógica a fin de alcanzar ese

objetivo.

Los docentes pueden planificar problemas en el dominio de las magnitudes y medidas

con el propósito de lograr avances en la comprensión de área y perímetro, considerando

la independencia entre estos atributos de las figuras. En esas actividades, los alumnos

irán reconociendo que si una de estas medidas cambia, la otra puede o no modificarse.

No se busca que únicamente realicen cálculos o que apliquen fórmulas con la idea de

establecer estas relaciones, sino también trabajar en la composición y descomposición

de figuras a través de superposiciones, mediciones improvisadas y recortes, tanto

imaginados como realizados en forma empírica. A partir de sus descubrimientos, será

posible el logro de avances conceptuales desde “lo visible o medible” hacia la

producción de explicaciones sobre las transformaciones de las figuras consideradas.


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2.3. ANÁLISIS DE LAS PRUEBAS DE EDUCACIÓN MEDIA

BÁSICA

En esta sección se revisan actividades de evaluación, comunes y transversales, a las

pruebas de Educación Media. El enfoque de trabajo que aquí se desarrolla tiene como

centro dos de las competencias que se evalúan en el Área de Matemática,

particularmente: Comunicar y Ejecutar Algoritmos. Además, los ítems seleccionados

para el análisis tienen la característica de incluir bajo una misma “situación

contextual” distintas preguntas, aunque siempre independientes entre sí.

A continuación se trabaja con las actividades: “Importación de celulares” (Preguntas 1,

2 y 3), “Auto de carreras” (Preguntas 1, 2 y 3), “El juego de repisas” (Preguntas 1 y 2) y

“Antropólogos” (Preguntas 1, 2 y 3).

2.2.1. La competencia Comunicar

La competencia Comunicar en matemática es considerada una competencia básica,

según una de las posibles clasificaciones que sobre ellas se realiza, ya que “se

consideran primordiales en la educación secundaria obligatoria, (…), son comunes

para una amplia variedad de situaciones y contribuyen al aprendizaje a lo largo de

toda la vida” (SANZ DE ACEDO LIZARRAGA, 2010:19) y está abordada en estas

pruebas a través de distintas actividades. En esta competencia se pretende observar

la capacidad de comprender y producir información utilizando el lenguaje propio de la

disciplina.

En particular, en esta instancia de evaluación, se pone énfasis en el lenguaje gráfico. En

la actualidad, es común observar en diarios, revistas y otros medios de comunicación,

gráficos relacionados a fenómenos del mundo económico, político, cultural, social y

científico. La lectura e interpretación de la información es una competencia necesaria

para el ciudadano, ya que muchas veces utilizando esta información se debe realizar una

toma de decisiones de forma reflexiva y crítica.


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Para obtener información acerca del grado de desarrollo de esta competencia se

eligieron situaciones en las que el estudiante tuvo que interpretar la información

presentada en un gráfico cartesiano, relacionarla con el enunciado y aplicar los

conceptos necesarios para responder la pregunta planteada.

La interpretación se refiere a las habilidades de los estudiantes para leer una gráfica,

tanto local como globalmente, y darle sentido o significado (LEINHARDT, et al., 1990).

Wainer (1992), citado por Crisólogo y Cuevas (2006) identifica tres niveles de

procesamiento de la información relacionados con la interpretación gráfica:

El nivel elemental: “Implica la extracción de datos o la lectura de puntos aislados;

por ejemplo, quién alcanzó la más alta calificación del grupo, quién alcanzó la

calificación más baja, etcétera.”

El nivel intermedio: “Concierne a la detección de las tendencias observadas en

intervalos determinados de las gráficas; por ejemplo, entre los años 1990 y 1993

qué compañía tuvo la razón más grande de crecimiento.”

El nivel más alto: “Es una comprensión profunda sobre la estructura de los datos y

de su comportamiento, comparar tendencias y ver agrupamientos; por ejemplo, las

muchachas crecen más rápido que los muchachos.”

Más de un nivel puede estar presente al resolver una única actividad, por ejemplo, en la

detección de datos atípicos. Para ello se debe percibir del gráfico qué es lo común (ver

tendencias- nivel intermedio), y luego buscar puntos del gráfico que no cumplan con

esta tendencia (nivel elemental). Vale la pena mencionar además, que para hacer

preguntas referidas a los niveles superiores se requieren datos potentes, que permitan

hacer una reflexión, no necesariamente presentados de forma compleja.

A su vez otros autores, como Carlson (2002), citado también por Crisólogo y Cuevas

(2006), afirman que la habilidad de interpretación de la información gráfica de una

función es lenta y muchas de las dificultades que se presentan están asociadas al escaso

desarrollo de un razonamiento covariacional, que define como aquel que involucra a las

actividades cognitivas de coordinación de dos cantidades variables.


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A continuación se presentan dos actividades referidas a esta competencia, asociadas a

dos contextos distintos (“Importación de celulares” y “Auto de carreras”). Cada una de

las actividades se compone de tres preguntas y el contenido vinculante es la lectura de

gráficos.

En la actividad “Importación de celulares”, se puede observar cierta progresión en los

niveles mencionados. La primera pregunta implica una lectura puntual del gráfico, lo

que significa en términos cognitivos, identificar la ordenada correspondiente a un punto

determinado del mismo. En la segunda y tercera pregunta, se requiere una lectura más

global, realizando, en una de ellas, una comparación entre tendencias y, en la otra, una

identificación de un tramo del gráfico que cumpla con determinada condición. La

presentación de la actividad mediante una representación que incluye tres gráficos en

un mismo sistema de ejes coordenados es de uso habitual en la prensa para mostrar el

comportamiento de distintos fenómenos de la vida cotidiana. Este es un motivo por el

que se considera relevante la adquisición de las habilidades necesarias para poder leer,

interpretar y analizar la información que allí se presenta.


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ACTIVIDAD:“Importación de celulares”. Pregunta 1.

Código MAT1756

Dominio Probabilidad y Estadística

Contenido Representación e interpretación de datos

Sub-contenido Representación gráfica de datos

Competencia Comunicar

Grado (Aplicación 2014) 1°, 2° y 3° de Educación Media Básica

Objetivo Identificar información de un gráfico.

Alternativas de

respuesta

A Responde para la compañía 1 en el año 2008.

B

Responde con el mayor valor para la compañía 2 en el período

graficado, tal vez asociando la expresión "mejor estimación" con

"mejor importación" en el sentido de mayor número de unidades

importadas.

C Responde para la compañía 3 en el año 2008.

D CLAVE

Identifica el año 2008 en el eje de las abscisas. Identifica el gráfico

correspondiente a la compañía 3.Lee la ordenada correspondiente.


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El objetivo de este ítem es identificar información en un gráfico, específicamente, leer

la ordenada correspondiente a una determinada abscisa. Al tratarse de la lectura de un

punto aislado, se ubicaría en el nivel elemental, según los niveles de Wainer.

Esta es una pregunta que se considera a priori de dificultad baja, aunque probablemente

el hecho de que se den tres gráficos en un mismo sistema de ejes complejiza la

situación, así como también puede suponer una dificultad extra interpretar el valor de

las ordenadas (dadas en miles de unidades). El estudiante debe identificar la compañía

mencionada y el punto de este gráfico correspondiente a la abscisa 2008.

Los distractores A y C apuntan a errores en este proceso de identificación y selección de

la información pertinente para esa pregunta. No se podría decir que existen diferencias

en el nivel de logro de los estudiantes que optan por una u otra de esas opciones y

justamente los resultados apoyan esta hipótesis ya que muestran un porcentaje similar

de estudiantes que las seleccionan y que ronda un quinto de la población, en cualquiera

de los cursos.

Por otro lado, una proporción similar de los estudiantes evaluados optan por la

alternativa B mostrando una correcta identificación de la compañía en cuestión, pero

con un error en el reconocimiento de la información pedida, respondiendo con el mayor

valor que alcanza el gráfico de la compañía 2. Quizás evidenciando problemas en la

comprensión de la pregunta o del vocabulario utilizado, en particular de la frase “mejor

estimación”.

Teniendo en cuenta los tres cursos en que se aplicó esta pregunta podría decirse que se

observa un leve progreso en el logro por grado, que se concreta en diez puntos

porcentuales entre primero y tercero, pero siempre en el rango de dificultad media-

alta.


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ACTIVIDAD: “Importación de celulares”. Pregunta 2.

Código MAT1758





Grado(Aplicación 2014) 1°, 2° y 3° de Educación Media Básica


Alternativas de

respuesta

A Identifica el punto de intersección de los gráficos correspondientes a las compañías 1 y 2 en lugar de 1 y 3. Lee la abscisa correspondiente.

B CLAVE Identifica el punto de intersección de las gráficas de las compañías 1 y 3.Lee la abscisa correspondiente: 2007

C Identifica el punto de intersección de los gráficos correspondientes a las compañías 2 y 3 en lugar de 1 y 3.Lee la abscisa correspondiente.

D Considera el año en que la compañía 1 muestra el mayor crecimiento en la importación de unidades en el período total.


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Esta es la segunda pregunta asociada al mismo contexto de las “Importaciones de

celulares”. El proceso principal al que apela es vincular la información dada en lenguaje

natural con un aspecto del gráfico asociado a la comparación de las tendencias

mostradas en el mismo. Por lo tanto, según los niveles de Wainer este ítem se ubicaría

en el nivel intermedio.

El estudiante debe, en primer lugar, identificar los gráficos de las dos compañías

mencionadas en la pregunta, luego compararlas reconociendo que el punto de

intersección de ambas representaciones se corresponde con el momento a partir del cual

las importaciones de una compañía superan a la otra y, finalmente, leer la abscisa

correspondiente.

Las opciones de respuesta A y C pretenden rastrear errores en la identificación de los

gráficos de las compañías a las que la pregunta hace alusión, pero en ambos casos

identifica como respuesta a la pregunta, puntos de intersección de dos

representaciones.

La alternativa D se asocia a menor nivel de logro que las anteriores ya que hace

referencia a un error en la comprensión de la pregunta y quizás una incorrecta

interpretación del término “superó”. Quienes eligen esta opción no solo no identifican

correctamente las compañías involucradas en la pregunta sino que responden con un

valor de abscisa que se corresponde a momentos donde las compañías muestran el

mayor crecimiento con respecto a sí mismas. Esta opción es elegida, en cualquiera de

los cursos, en mayor proporción que las anteriores opciones no correctas.

Al igual que en la pregunta anterior se observa un leve y progresivo avance en el logro a

medida que se avanza en la escolaridad, pasando de un cuarto de la población de

primero que la responde correctamente a cuatro de cada diez estudiantes en tercero.

No se detecta diferencia en el logro entre la primera y la segunda pregunta, lo que

podría considerarse lógico en el sentido que ambas apuntan a evaluar la lectura de

acontecimientos puntuales expresados mediante un gráfico.


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ACTIVIDAD: “Importación de celulares”. Pregunta 3.

Código MAT1759








A Selecciona un período en el que los gráficos de dos de las compañías, la 1 y la 2, tienen un crecimiento similar (igual pendiente).

B

CLAVE Identifica el intervalo en que el gráfico de la compañía 3 es horizontal. Lee las abscisas correspondientes.

C Selecciona el intervalo en el que los gráficos de las compañías tienen puntos de intersección: la 1 con la 2 y la 2 con la 3.

D Selecciona un período en el que los gráficos de dos de las compañías, la 1 y la 2, tienen un crecimiento similar (igual pendiente)


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La última pregunta asociada al contexto de “Importaciones de celulares”, que

corresponde al nivel intermedio de Wainer, tiene por objetivo identificar información en

un gráfico, lo que implica en este caso, reconocer un tramo particular del gráfico

asociado a una condición. El estudiante debe identificar un intervalo, dado por las

abscisas de los extremos, en uno de los tres gráficos y asociar la horizontalidad del

gráfico con la ausencia de variación en la cantidad de importaciones de esa compañía.

En todos los distractores se evidencia, en primer lugar, un problema de comprensión de

los datos, suponiendo que el estudiante no toma en cuenta que se refiere a una

condición de una compañía, y no a relaciones entre dos de ellas.

En los distractores A y D se plantea la hipótesis de que el estudiante puede llegar a

asociar constante con igual pendiente y, en la opción B, con puntos de intersección. A

pesar de la similitud de los distractores A y D, este último es seleccionado casi por el

doble de los que eligen la alternativa A, tanto en primero como en segundo. En

cualquiera de las tres opciones no correctas, el nivel de logro es bajo ya que en ningún

caso relaciona la característica “constante” de las importaciones con la característica

del tramo horizontal de la representación.

Se debe tener en cuenta que a pesar de que las preguntas en esta secuencia implican

una comprensión de los datos cada vez más amplia, no implican necesariamente un

aumento de la dificultad empírica de las preguntas. En esta evaluación, se observa un

mayor porcentaje de respuesta correcta en la tercera pregunta de esta actividad.

En todas las actividades de esta secuencia se puede observar, en mayor o menor

medida, un aumento en el porcentaje de respuesta correcta al avanzar de grado,

registrándose en tercero casi una duplicación de la proporción de estudiantes que la

contestan correctamente en relación a los de primero. Este mejor desempeño a medida

que se avanza en la educación media básica es lógico si se piensa en el rol que,

progresivamente, adquiere el tema funciones, con especificaciones claras en el currículo

respecto a incentivar el trabajo “con situaciones donde el estudiante perciba que las

funciones permiten modelizar, describir y analizar fenómenos y eventualmente

cuantificarlos” (ANEP-CES, 2010), tal como se expresa en el programa del área

correspondiente a segundo del ciclo básico.


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En la actividad “El auto de carreras”, se muestra una representación gráfica relacionada

a un fenómeno físico vinculando las variables tiempo y distancia, en un contexto que

suponemos es familiar al estudiante por el frecuente uso en el aula.

Al igual que en la actividad anterior, los ítems involucrados en esta implican distintos

niveles de procesamiento de la información dada en forma gráfica, pero en este caso, se

presenta un único gráfico, evitando la complejidad adicional de la selección o

comparación de gráficos en un mismo sistema de ejes cartesianos.


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ACTIVIDAD: “El auto de carreras”. Pregunta 1.

Código MAT1762

Dominio Álgebra

Contenido Expresiones algebraicas

Sub-contenido Funciones


Grado(Aplicación 2014) 2° y 3° de Educación Media Básica

Objetivo Leer la ordenada de un punto de un gráfico dada su abscisa


A Elige el menor valor explícito en el eje de ordenadas (que representa los kilómetros recorridos).

B Confunde los kilómetros que recorre con el tiempo que empleó en hacerlo. Asocia el valor 60 (en km) porque es el mismo número que representa 1 hora (en minutos).

C CLAVE Identifica el valor de ordenada correspondiente al valor de abscisa que representa 1 hora.

D Selecciona el mayor valor de ordenada representado en el gráfico, tal vez teniendo en cuenta que 60 es el mayor valor de abscisa representado.


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Esta es una pregunta que se considera a priori de dificultad baja, corresponde al nivel

elemental de Wainer, ya que solo implica la lectura de la ordenada correspondiente a

una determinada abscisa, reconociendo previamente la variable representada en cada

eje y teniendo presente la equivalencia entre horas y minutos. Este es un caso concreto

de interpretación de la covariación que mencionan Crisólogo y Cuevas (2006).

Los distractores A y B son los de menor logro cognitivo ya que en el primer caso el

estudiante parece elegir un valor de los presentados en el eje vertical sin tener en

cuenta el tiempo al que se refiere la pregunta, y en el segundo, no tiene en cuenta la

relación entre las variables que muestra la gráfica y responde con la equivalencia horas-

minutos que corresponde al tiempo que hace referencia la pregunta.

La opción de respuesta D supone que el estudiante hace una lectura incorrecta del

gráfico relacionando el mayor valor del eje de las abscisas con el mayor valor del eje de

las ordenadas sin identificar la segunda componente del par ordenado del que se conoce

la primera componente.

Esta actividad fue propuesta en las pruebas de 2° y 3° año de enseñanza media

resultando de dificultad baja en ambos casos, con muy leve diferencia a favor de los

últimos. Los distractores fueron elegidos por escasa proporción de la población total,

con casi la misma aceptación de los distractores B y D y menor del distractor A.


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Código MAT1763

Dominio Álgebra





Objetivo Asociar la condición de ausencia de movimiento de un móvil con los tramos horizontales del gráfico de su recorrido.


A Asocia la expresión "estuvo detenido" con cero desplazamiento.

B Identifica solo el primer tramo en que el auto estuvo detenido.

C Identifica sólo el segundo tramo en que el auto estuvo detenido.

D

CLAVE Identifica los dos tramos horizontales del gráfico y lee las abscisas correspondientes. Suma los minutos de los intervalos identificados.


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Este ítem corresponde al nivel intermedio de Wainer, el estudiante debe asociar la

horizontalidad del gráfico con la condición de que el auto detuvo su marcha para luego

identificar los intervalos correspondientes y calcular el tiempo total sumando los

minutos de cada tramo.

Los distractores B y C apuntan a que el estudiante no tiene en cuenta que los tramos

horizontales del gráfico son dos, y solo responde con los minutos correspondientes a uno

de ellos, por lo que evidencian mayor logro que el A, llegando a cumplir con el objetivo

que persigue el ítem.

El distractor A puede estar relacionado con un error frecuente al considerar la gráfica

como un dibujo, lo que lleva a que el estudiante interprete que el gráfico presentado

muestra el recorrido del auto (mapa de ruta) y considere que, a partir del punto inicial,

siempre estuvo en movimiento. Otra posible hipótesis sobre el porqué de la elección de

esta opción es que el estudiante asocie “estar detenido” con desplazamiento cero o

velocidad cero. Este distractor se corresponde con la tipología de errores en matemática

que realiza Movshovitz, citado por Escudero y Domínguez (2014). En ella, el autor

considera una categoría denominada “Errores debidos a una interpretación incorrecta

del lenguaje” los cuales son consecuencia de una traducción incorrecta de hechos

matemáticos por el uso de lenguajes distintos, en este caso en particular, el lenguaje

gráfico.

Los resultados obtenidos en este ítem muestran un significativo progreso en el

porcentaje de respuesta correcta por grado, para segundo año resultó ser de dificultad

media mientras que, para tercero, fue de dificultad media baja, con casi dos tercios de

la población de tercero que respondió correctamente. Si bien los distractores B y C

corresponden al mismo logro la situación es variable en cuanto a captación de respuesta

ya que son elegidos por distinta proporción de estudiantes según el curso, si bien el

primero es siempre el menos elegido. La opción A, que como se dijo corresponde a un

erróneo uso del concepto de “detenido”, captura la cuarta parte de la población

participante de segundo año y algo menos de la de tercero.


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Código MAT1764

Dominio Álgebra





Objetivo Asociar el concepto de velocidad de un móvil con la pendiente del gráfico de su recorrido.


A Elige un intervalo que no corresponde al de mayor velocidad.

B CLAVE Identifica el tramo de mayor pendiente del gráfico, visualiza el segmento correspondiente y lee las abscisas de sus extremos.

C Elige el mayor intervalo de tiempo.

D Elige un intervalo que corresponde al de mayor cantidad de kilómetros recorridos pero no al de mayor velocidad.


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Esta pregunta, ubicada en el nivel intermedio de Wainer, requiere al igual que la

descrita anteriormente, cierto nivel de procesamiento de la información. Implica

relacionar las variables y observar la razón, por tramos, entre la variación de la variable

dependiente en relación con la de la variable independiente, lo que significa que el

concepto al que se alude en la pregunta no está dado explícitamente. Es necesario

además de interpretar el gráfico, recuperar el concepto de velocidad asociado a las

variables expuestas en el gráfico.

Es común que los estudiantes conciban la condición de mayor velocidad como asociada

con la representación gráfica de la ordenada de mayor altura o el intervalo al que le

corresponden las ordenadas de mayor altura. El distractor D busca captar a los

estudiantes que cometen este tipo de errores y siendo el más elegido de todos. En el

caso de la opción C, una posible hipótesis es que el estudiante interprete el gráfico

como un dibujo del camino realizado e infiera que alcanza mayor velocidad en los

tramos que no hay “repechos”.

Los resultados obtenidos en este ítem muestran aumento en el porcentaje de respuesta

correcta por grado. Se identifica la misma predilección en la elección de los distractores

en los estudiantes de ambos cursos, aunque en distinta proporción. Los distractores más

elegidos en ambos grados fueron C y D, que consideran el tramo donde una de las

variables relacionadas tiene mayor valor, tiempo o distancia, pero no llegan a asociar

que la velocidad está dada por la pendiente del gráfico de distancia en función del

tiempo. La opción A, que corresponde al menor nivel de logro, es muy poco

seleccionada.

En general, al igual que en “Importación de celulares”, en todas las preguntas de esta

actividad se puede observar cierto progreso al comparar los porcentajes de respuesta

correcta en los dos grados en que fueron propuestas. La mayor diferencia se da en la

pregunta 2 de esta actividad, porque quizá colabora el hecho de que se suma al trabajo

realizado en las aulas de matemática el que se realiza en las de física,donde justamente

el programa de tercero incluye el comprender y utilizar el concepto de velocidad media

en un movimiento rectilíneo.


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Comparando una a una las preguntas de ambas actividades se observa que, aunque

requieren un nivel de habilidad similar, el porcentaje de respuesta correcta en la

segunda actividad es mejor que en la primera. Esto puede deberse a algunas de las

características ya mencionadas de estos ítems: no presentan la dificultad de tener varios

gráficos en uno y el contexto y tipo de gráfico es, generalmente, trabajado en el aula.


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2.2.2. La competencia Ejecutar algoritmos

Algunos autores consideran, “La idea de algoritmo como el conjunto de instrucciones

sobre una secuencia de operaciones para la realización de una tarea o solución de un

problema.” (RIVAS NAVARRO, 2008:68)

El trabajo con los algoritmos aritméticos se desarrolla desde los primeros años escolares

por lo que se espera que se transformen en una habilidad del tipo rutinario cuando el

estudiante está en el nivel secundario. Es sobre el segundo año de educación media que

se comienza a trabajar con algoritmos algebraicos. La habilidad en el dominio de esta

competencia es clave para el área y para disciplinas afines como física, por citar solo un

ejemplo. Su fundamento se sustenta en los teoremas de transformación de ecuaciones

cuya conceptualización en ocasiones se ve dificultada por una simplificación basada en

recetas muchas veces sin justificación explícita. Es con el sentido de indagar sobre la

evolución en el logro de esta habilidad básica a medida que se avanza en el grado, a la

vez que posibilitar la discusión del cuerpo docente sobre las posibles estrategias a

implementar en pos de abordar una temática clave que se plantean un conjunto de

actividades con este foco.

La actividad “Juego de repisas” es transversal a todos los cursos de educación

media, corresponde a la competencia de Resolver Problemas y se asocia a

contenidos curriculares del dominio Números, específicamente razones y

proporciones.


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ACTIVIDAD: “El juego de repisas”. Pregunta 1.

Código MAT1753

Dominio Números

Contenido Razones y Proporciones

Sub-contenido Proporcionalidad directa e inversa


Grado(Aplicación 2014) 1°, 2° y 3° Educación Media

Objetivo Seleccionar información y aplicar el concepto de proporcionalidad


A Responde con la cantidad de juegos a armar.

B Responde con la cantidad de ganchos grandes que necesita para armar los 5 juegos.

C Responde con la cantidad de ganchos pequeños necesarios para un juego de repisas.

D CLAVE Identifica el valor requerido en la lista de datos y calcula proporcionalmente a la cantidad de juegos: 12 x 5 = 60.


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En esta primera pregunta de la actividad toda la información es explícita y se apoya

con una imagen que pretende ayudar a la visualización de la estructura que es posible

construir con el listado de materiales proporcionados. Tal como se plantea, “(…) la

solución del problema requiere su comprensión, interpretando su enunciado,

identificando su estructura y tipo de problema, recuperando el conocimiento

conceptual o esquemático relevante disponible y empleo del conocimiento

procedimental pertinente”. (RIVAS NAVARRO, 2008:218)

Esta pregunta implica la ejecución de algoritmos aritméticos básicos, como lo son la

división y la multiplicación. El hecho de que se disponga de una serie de datos

adicionales de los cuales el estudiante tiene que seleccionar uno para luego llegar a la

ejecución del algoritmo, es lo que le confiere dificultad a la tarea y hace que se

clasifique dentro de la categoría de resolver problemas. Específicamente, se pueden

señalar como procesos mentales necesarios para contestar la pregunta, en primer

lugar, el identificar los elementos mencionados en ella dentro del listado de todos

los materiales necesarios para construir un juego de repisas. Luego, reconocer que

esa cantidad es la necesaria para construir un juego e identificando que la pregunta

refiere a la construcción de 5 juegos recuperar la multiplicación como operación

que permite resolver el problema y ejecutarla.

Los distractores apuntan a captar errores en la identificación de los datos

relevantes. Los datos empíricos muestran que es una pregunta que recoge un alto

porcentaje de respuesta correcta en cualquiera de los tres cursos en que se aplicó,

con un progreso año a año que totaliza 10 puntos porcentuales en todo el ciclo

partiendo de un valor cercano al 70%. La selección de los demás distractores es

baja, en particular el menos elegido es el A que corresponde a responder con la

cantidad de juegos a armar. Los distractores B y C corresponden a una selección

correcta del algoritmo que permite resolver el problema pero con un error en la

elección del material al que refiere la pregunta. Este motivo lleva a que, quienes

eligieron esas opciones no alcancen el objetivo que perseguía la propuesta.


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ACTIVIDAD: “El juego de repisas”. Pregunta 2.

Código MAT1754

Dominio Números

Contenido Razones y Proporciones

Sub-contenido Proporcionalidad directa e inversa



Objetivo En una relación de proporcionalidad identifica el menor cociente como la respuesta a la situación.


A Responde de acuerdo al cálculo para tornillos, material del que hay la mayor cantidad de unidades en la lista de materiales.

B Responde de acuerdo al cálculo para los ganchos grandes, material del que hay menor cantidad de unidades en la lista de materiales.

C Responde de acuerdo al cálculo de paneles de madera largos, material que aparece en el primer renglón de la lista de materiales.

D

CLAVE Divide la cantidad de cada uno de los materiales disponibles entre la cantidad necesaria de ese mismo material para fabricar una repisa. Selecciona el menor de los cocientes obtenidos.


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La segunda pregunta de este ítem incorpora nuevos datos al enunciado, lo que

aumenta la dificultad de la tarea anterior. Aun cuando se llega a identificar que es

necesario utilizar todos los datos para generar la respuesta, e incluso que la división

es la operación involucrada, el uso posterior de los resultados obtenidos de ellas,

implica una conceptualización de la división de alta complejidad.

Una vez que se efectuaron las 6 divisiones es necesario identificar el cociente de

cada una de ellas como el valor a utilizar. Un hecho no menor es que debe

identificar, en el caso de que el cociente sea decimal, que es necesario optar por el

entero menor más cercano a él como la cantidad de juegos que puede construir con

ese material. Luego, de ese conjunto de cocientes, tiene que reconocer el menor

como la respuesta buscada. Todas esas decisiones encadenadas le confieren

complejidad a la tarea y hacen que muchos estudiantes se queden en el camino o

lleguen con error a la respuesta. Estas complejidades de orden disciplinar y

cognitivo son las que hacen de este un ítem con mayor grado de dificultad respecto

a la primer pregunta con este mismo contexto.

Los distractores pretenden captar a aquellos estudiantes que tienen en cuenta uno

de los materiales disponibles para la construcción de los juegos de repisas sin tener

en cuenta que solo ese dato no es suficiente. Las opciones de respuesta muestran

una distribución bastante homogénea de la población evaluada, sin un mayor

predominio de una opción sobre otra. Se detecta un leve avance en el logro a

medida que se aumenta de grado pasando de un quinto de estudiantes de primero

que la contestan correctamente a un cuarto de los de segundo, para culminar en un

tercio de los de tercero.

Es importante señalar la diferencia en el logro entre la primera y la segunda

pregunta de esta actividad. En la primera había que identificar un valor dentro de

un conjunto y efectuar una operación, actividad que la pudieron resolver

satisfactoriamente casi tres cuartas partes de los evaluados pero en la segunda se

debían vincular muchos más valores y efectuar un único algoritmo en reiteradas

ocasiones para luego decidir qué hacer con los resultados obtenidos de su

ejecución. Esta actividad la lograron resolver en el mejor de los casos la tercera


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parte de los evaluados apoyando así la hipótesis de que el número de pasos

implicados en la resolución de una actividad aporta dificultad a la misma.

La actividad Antropólogos es común a segundo y tercero de educación media y está

compuesta por tres preguntas que, siendo independientes, comparten el mismo

estímulo. Las tres preguntas corresponden a la competencia Ejecutar Algoritmos y están

vinculadas a contenidos de álgebra.

El modelo matemático para la situación propuestas le presenta elaborado al estudiante

por medio de una expresión algebraica que involucra las variables longitud del húmero y

altura de la persona. La habilidad que se evalúa es la manipulación de la expresión algebraica

y se incluyen en la prueba en un orden que se corresponde con la dificultad a juicio de

experto.


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ACTIVIDAD: “Antropólogos”. Pregunta 1.

Código MAT1768

Dominio Álgebra


Sub-contenido Ecuaciones

Competencia Ejecutar algoritmos

Grado(Aplicación 2014) 2° y 3° de Educación Media

Objetivo Calcular el valor numérico de una expresión algebraica.


A No considera la variable h. Efectúa la siguiente operación: 70,64 + 2,89 = 73,53

B CLAVE Sustituye h por 30 en la ecuación y calcula H. Calcula: 70,64 + 2,89 x 30 = 157,34

C Aproxima 2,89 a 3 y calcula 70,64 + 3 x 30 = 160,64

D Sustituye h por 30 pero comete un error en la ejecución del algoritmo, no atiende a la prioridad de las operaciones: (70,64 + 2,89) x 30 = 2205,9


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En la primera pregunta el proceso mental que debe poner en marcha quien se enfrente a

resolver las actividades, a partir de identificar que la longitud dada del húmero

corresponde al valor de la variable h de la expresión, sustituir ese valor en la expresión y

efectuar los cálculos correspondientes. Es así que el objetivo de la actividad es calcular

un valor numérico de una expresión algebraica.

Los distractores apuntan a detectar errores en la ejecución del algoritmo lo que

implica la consideración de las variables involucradas en la expresión.

El primer distractor corresponde a la situación en que no se llega a sustituir la variable

por el valor dado, operando solo los coeficientes de la expresión. Esta opción se asocia a

muy bajo nivel de logro y pretende captar a los estudiantes que no identifican la

necesidad de atribuirle un valor a la variable como única posibilidad de obtener el valor

de la otra variable asociada a la expresión. Un alto porcentaje de la población evaluada

elige esta opción, alrededor del 40%. Llama la atención que la proporción de estudiantes

que la eligen es la misma en segundo y en tercero de educación media a pesar de que

en este último año han incorporado muchas más horas de trabajo con ecuaciones.

Este tipo de error es de los que Socas (1997) cataloga como errores que tienen su

origen en la ausencia de sentido, que ocurren cuando el estudiante hace una

inadecuada interpretación o procesamiento de la información brindada en lenguaje

matemático, respondiendo con una expresión sin sentido.

El último distractor, que se asocia también a bajos niveles de logro, pretende

rastrear errores en la ejecución del algoritmo al no tener en cuenta el orden de

prioridad de las operaciones. Además del hecho de que el valor 2205,9 cm debería

ser plausible de descartarse por el simple motivo de la imposibilidad de imaginar que

un ser humano pueda tener una altura de más de 22 m. Esta opción es la menos

elegida, apenas un 6% o 7% de la población que realizó la evaluación. Posiblemente,

esta baja tasa de aceptación se deba justamente a lo desajustado del valor con respecto

a la realidad. El error de no tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones es

un error en el que con mucha frecuencia incurren los estudiantes, por lo que cabría

esperar que un mayor porcentaje de estudiantes la seleccionen.


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Por otra parte, la opción C corresponde a una sustitución correcta de la variable en la

expresión y a una adecuada ejecución de los algoritmos teniendo en cuenta la

prioridad de las operaciones pero tomando un valor aproximado del coeficiente 2.89.

Esta opción trasluce un buen desempeño de los estudiantes que la eligen en

referencia al objetivo de la actividad. Teniendo en cuenta lo anterior, si bien la

clave es elegida por el 27% de los estudiantes que cursan segundo y un 31% de los que

cursan tercero podría decirse en sentido amplio, que casi la mitad de los estudiantes

logran el objetivo para el que se pensó la actividad en cualquiera de los cursos en los

que se aplicó.


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Código MAT1770

Dominio Álgebra





Objetivo Manipular expresiones algebraicas


A Error en el orden de prioridad de las operaciones o en la aplicación de la propiedad distributiva.

B Error al trasponer un factor como si fuera un sumando.

C Error en el signo al trasponer un sumando.

D CLAVE Realiza el procedimiento correcto para sustituir y hallar el valor de h.


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La segunda pregunta asociada a este contexto requiere un mayor dominio del trabajo

con expresiones algebraicas ya que para llegar a la solución es necesario, a partir de la

identificación del valor dado como correspondiente a la variable H, aplicar los

teoremas de transformación de ecuaciones. La anterior es la opción de trabajo a la

que apuntan los distractores. Estos pretenden captar aquellos estudiantes que no

respetan la prioridad de las operaciones, erran al aplicar la propiedad distributiva o los

teoremas relativos a transformación de ecuaciones. Sin embargo la opción de trabajo a

la que apuntan los distractores no es la única forma de abordar el ítem. También se

podría sustituir cada una de las opciones de respuesta en la expresión para verificar

con cual se obtiene como altura del hombre el valor de 163,12. Al ser una pregunta de

formato de respuesta cerrado no se puede detectar cual es la estrategia elegida por el

estudiante para llegar a su respuesta.

No se debería dejar de considerar al evaluar las estrategias seguidas por los

estudiantes y el desempeño demostrado frente a la actividad que, haciendo uso de un

poco de sentido común y sin necesidad de aplicar ningún concepto matemático

específico se podría llegar a la respuesta correcta. Para ello es necesario haber

comprendido el contexto, ya que cualquiera de los valores que no se corresponden

con la clave no son plausibles para la longitud de un hueso del brazo. Posiblemente

alguna porción del porcentaje de respuesta correcta registrado por la pregunta se deba

a la aplicación de este sentido común.

Llama la atención que a pesar de ser una actividad más compleja que la anterior

registró mayor porcentaje de respuesta correcta en cualquiera de los dos cursos en que

se aplicó. La mitad de los jóvenes evaluados de tercer año optaron por la opción

correcta, valor que no llega a superar en 10 puntos porcentuales el que alcanzan los

que cursan segundo de educación media. Una hipótesis que podría justificar esta

constatación es que algunos estudiantes pueden haber llegado a la respuesta correcta

no a partir de un cálculo específico sino por similitud con el valor que se proporciona

en la pregunta anterior para la longitud del húmero.

Las opciones B y C son elegidas en ambos cursos por casi un quinto de los que

participaron de la evaluación. La opción A, que corresponde a ese valor imposible para


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la longitud de un hueso del brazo de un ser humano, es sólo elegida por un 7% de los

estudiantes de tercero mientras que los de segundo llegan a duplicar ese porcentaje.


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Código MAT1769

Dominio Álgebra





Objetivo Generar una expresión equivalente a la dada para la otra variable.


A Error en el signo al trasponer un sumando.

B Error al trasponer un factor como si fuera un sumando.

C CLAVE Realiza el procedimiento correcto para sustituir y hallar el valor de h.

D Error en el orden de prioridad de las operaciones o en la aplicación de la propiedad distributiva.


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La tercera pregunta de esta actividad implica la manipulación directa de la

expresión algebraica. Asociada con la pregunta anterior, pero independiente de

esta, requiere de transformar la ecuación dada para obtener la expresión que

corresponde a la longitud del húmero para cualquier altura del hombre.

Si bien es muy similar a la pregunta anterior, el hecho de tener que manipular la

ecuación sin un valor específico para ninguna de las variables significa de mayor

complejidad para el estudiante. Sin embargo, la manipulación de la expresión dada

utilizando los teoremas de transformación de ecuaciones para llegar a una ecuación

equivalente a ella pero expresada en función de la altura del hombre, no es el único

procedimiento que lleva a la respuesta. Probablemente muchos estudiantes opten

por interpretar la expresión dada en cada uno de los distractores para decidir si

corresponde o no a la expresión buscada. Para ello es necesario recuperar además

de las transformaciones válidas, el concepto de prioridad de las operaciones

aritméticas y el significado de los paréntesis.

Cualquiera de los errores que pretende rastrear esta actividad son frecuentes en el

aula cuando se trabaja en el tema ecuaciones más aún cuando se está en las

primeras instancias de acercamiento al trabajo con ellas. La opción que acumuló

mayor porcentaje de respuestas es la opción A (42% en 2° y 35% en 3°) que muestra

un uso correcto del orden de prioridad de las operaciones pero con error en la

aplicación de uno de los teoremas de transformación de ecuaciones.

También es alto el porcentaje de estudiantes que optan por la opción B, un quinto

de la población evaluada, aunque en este caso no se puede determinar si el error

está en no aplicar el orden de prioridad de las operaciones o los teoremas de

transformación de ecuaciones.

La opción correcta es elegida por entre un cuarto y un tercio de los estudiantes que

cursan 2° y 3° de enseñanza media, respectivamente. Para algunos, podría llamar la

atención que la última opción es seleccionada sólo por el 10% de los estudiantes ya

que el error que presenta es de los más comunes pues no es fácil para los

estudiantes llegar a conceptualizar la implicancia del paréntesis en una expresión.


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Mirando la actividad antropólogos en su conjunto, es difícil identificar un mayor

dominio en la ejecución de algoritmos algebraicos a medida que se avanza en la

escolaridad, al menos de segundo a tercero de Educación Media Básica, y se detecta

una mayor dificultad en el trabajo con la expresión algebraica cuando esta no

implica el trabajo con casos específicos de alguna de las variables.


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CAPÍTULO 3. CONCLUSIONES

En esta sección del documento se sintetizan algunos de los hallazgos que emergen de las

actividades de evaluación propuestas. En el fondo, el interrogante es: ¿qué evidencias

concretas se relevan, en cuanto al avance en los conocimientos y en el dominio de

ciertas habilidades matemáticas, efectuado un ciclo de evaluación en la modalidad en

línea?

En primer lugar, a nivel escolar, la comprensión del funcionamiento del sistema de

numeración decimal y su aplicación conceptual, parece concordar con el avance en la

escolaridad, evidenciándose un crecimiento en el porcentaje de respuestas correctas, de

tercero a sexto de Educación Primaria, en actividades de evaluación transversales.

Entender las regularidades de este sistema y ponerlas en juego a fin de ordenar números

naturales de tres, cuatro o cinco cifras, resulta una de las fortalezas entre los

estudiantes de estos grados.

No obstante, cuando se aborda el número racional a través de diferentes actividades de

evaluación, se detectan dificultades, las cuales se explicarían tanto en los obstáculos

epistemológicos como en los desafíos didácticos que presenta la enseñanza este objeto

de conocimiento matemático. En “Pintando fracciones”, los estudiantes deben

argumentar la relación parte todo en diferentes representaciones gráficas. Si bien la

fracción es de frecuente uso a nivel escolar (4

1), las representaciones gráficas de la

misma no son en todos los casos las convencionales, lo cual termina dificultando su

reconocimiento. Entretanto, en los ítems de “figuritas brillantes”, se observa

claramente cómo la identificación de fracciones resulta compleja, más aun cuando se

trata de establecer determinadas relaciones a fin de reconocer fracciones equivalentes.

En segundo término, en la resolución de problemas, uno de los errores frecuentes –lo

que se constata también en las Evaluaciones Nacionales de Aprendizaje- es el que se

produce al enfrentar situaciones que requieren la elaboración, desarrollo y ejecución de

estrategias de solución que involucran más de un paso para lograr la respuesta. En estos

casos los estudiantes tienden a responder con el resultado del primer paso de la


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estrategia diseñada, sin analizar la pertinencia del resultado en relación al contexto de

la pregunta.

En las pruebas de Educación Media Básica, un ejemplo del tipo de error señalado se

presenta en el ítem “Juego de repisas”. En la primera pregunta solo se requiere efectuar

una multiplicación, siendo las tres cuartas partes de los estudiantes quienes identifican

los datos y ejecutan el algoritmo correctamente. En cambio para la segunda pregunta el

algoritmo requerido es la división. Acá, se debe identificar que es un cociente el que

responde a la pregunta, ejecutar ese algoritmo en múltiples casos, para finalmente

seleccionar el cociente solución. Esta multiplicidad de pasos y decisiones a tomar hace

que solo la tercera parte de los estudiantes evaluados contesten correctamente la

propuesta.

En tercer lugar, a nivel de Educación Media Básica, en relación a la ejecución de

algoritmos con expresiones algebraicas, los estudiantes evaluados muestran cierto

dominio en cálculo de valores numéricos. Es más bajo el nivel de logro en la

manipulación de expresiones equivalentes cuando no se involucran valores particulares

de las variables y, en este caso, no se observa una progresión por grados.

Es necesario reconocer que la competencia Matemática implica comunicación. La

lectura, la decodificación y la interpretación de afirmaciones, preguntas, tareas u

objetos permiten a los individuos formar un modelo mental de la situación, que es un

paso importante en la comprensión.

En cuarto lugar, es en relación a la modelización en Matemática donde se evidencia la

mayor dificultad, en todos los grados evaluados. Cuando el modelo es geométrico la

dificultad, en primera instancia, pasa por interpretar un modelo de tres dimensiones

dado a través de uno de dos dimensiones. Particularmente, en Educación Media Básica,

cuando la modelización se basa en el trabajo con expresiones algebraicas la dificultad

también está presente por grados. De este modo, una tercera parte de los estudiantes

logran responder en forma correcta cuando el modelo está dado y las variables están

presentadas en ecuaciones de primer grado. Sin embargo, la dificultad es mayor cuando

la expresión “modelizadora” de la situación involucra funciones de segundo grado donde


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el concepto de referencia es el crecimiento y se requiere la comparación con una

función de primer grado.

En lectura de gráficos se observa un claro progreso por grado, probablemente debido a

la frecuentación en la representación de datos utilizando este soporte, no solo en los

cursos de Matemática, sino en concordancia con otras asignaturas y sus propuestas

programáticas en el Ciclo Básico.

Finalmente, es necesario reafirmar la finalidad que tiene esta evaluación educativa: “lo

formativo”. Por ende, estas anotaciones finales no deben transformarse lisa y

llanamente en directivas concretas de trabajo, más bien intentan señalar desde una

mirada sistémica ciertos elementos de inflexión, los cuales deben ser objeto de análisis

pedagógico a nivel local. Para ello, es vital la reflexión y el sentido que se le da a estas

tendencias generales en cada colectivo docente, teniendo en cuenta las características

particulares del medio en el cual se desarrolla su actividad.


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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANEP-CEP (2008), Programa de Educación Inicial y Primaria, Montevideo, Imprenta Rosgal S. A.

ANEP-CES (2010),Programa de Matemática deSegundo año deCiclo Básico, Reformulación 2006,Ajuste 2010. Disponible en la web (última consulta 11/03/2014): [http://www.ces.edu.uy/ces/images/stories/reformulacion06/ajustesprogmat2010/ajustes2010progmat2cbref2006.pd]

ANEP-CODICEN (2000), Coordinación entre Primaria y Secundaria. 1949 Julio Castro. Aportes para la reflexión, Colección Homenaje al maestro, Montevideo, Unidad de Reprodocumentación del Consejo Directivo Central de la Administración Nacional de Educación Pública.

ANEP-MESYFOD (2000), Primer Análisis de la Prueba Censal en Matemática. Montevideo, Unidad de Reprodocumentación del Consejo Directivo Central de la Administración Nacional de Educación Pública.

ASTOLFI, Jean Pierre (2001), El “error” un medio para enseñar. Sevilla, Diada Editora, Segunda Edición.

BOYER, Alain (1994), “De la juste mesure”. En: BOYER, A., La mesure, Instruments et Philosophies. París, Champ Vallon.

BRONZINA, Liliana, Graciela CHEMELLO, Mónica AGRASAR (2009), Aportes para la enseñanza de la Matemática, Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo (SERCE), Oficina Regional de la Educación de la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OREALC/UNESCO), Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación (LLECE), Santiago, Salesianos Impresores S.A.

BROUSSEAU, Guy (1986), “Los diferentes roles del maestro”. En: PARRA, Cecilia, Irma SÁIZ (Comp.) (1994), Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires, Editorial Paidós SAICF, pp. 65-94.

BROUSSEAU, Guy (2007), Iniciación al estudio de la teoría de situaciones didácticas, Buenos Aires, Editorial del Zorzal.

CENTENO PÉREZ, Julia (1997), Números Decimales ¿Para qué? ¿Por qué?, Madrid, Editorial Síntesis.

CLARK, David (2006), “Evaluación constructiva en matemáticas. Pasos prácticos para profesores”. En: SEP (2006), Matemática. Antología. Primer Taller de Actualización sobre los Programas de Estudio 2006. Reforma de la Educación Secundaria, México, pp. 67-128. Disponible en la web (última consulta 11/03/2014): [http://telesecundaria.setab.gob.mx/pdf/matematicas/matematicas_anto2.pdf]


Página | 95

CHAMORRO, María del Carmen (1995), Aproximación a la medida de magnitudes en la Enseñanza Primaria. UNO (3), 31-53.

CHAMORRO, María del Carmen (s/f), “Diez recomendaciones sobre la enseñanza de la medida en la formación inicial de los maestros de primaria”. Curso de Actualización en la Enseñanza de la Matemática para Inspectores de Educación Primaria. Montevideo, Uruguay, Rosgal S.A.

CHARLOT, Bernard (1986), “La epistemología implícita en las prácticas de enseñanza de las matemáticas”, conferencia dictada en Cannes en 1986.

CHEVALLARD, Yves (1985), La trasposición didáctica. Del Saber Sabio al Saber Enseñado, Buenos Aires, Editorial Aique, 1997.

CRISÓLOGO, Dolores, CUEVAS, Ithandehuil (2006), “Lectura e interpretación de gráficas socialmente compartidas”. En: Relime, Vol.10, Núm. 1, marzo 2007, pp. 69-96. Disponible en la web (última consulta 22/06/2014): [http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-24362007000100004]

DUVAL, R. (2006), “Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para cambiar el registro de representación”, La Gaceta de la RSME, 9.1, pp. 143-168.

FISCHBEIN, Efraim (1993), “The theory of figural concepts”. En: Revista Educational Studies in Mathematics, 2 (24), pp. 139-162.

FREGONA, D. (2005), “Prácticas ostensivas en la enseñanza de la matemática”. En: Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, vol. 18, México, pp. 335-340, disponible en la web (última consulta 10/07/14): [http://www.pucrs.br/famat/viali/orientacao/leituras/artigos/ALME18.pdf]

GASCÓN, Josep (1998), “Evolución de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica”. En: Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 18/1, N°52, pp. 7-33.

ITZCOVICH, Horacio (2014), “La demostración en la formación docente”, Simposio organizado en el Instituto de Perfeccionamiento y Estudios Superiores (IPES) del Consejo de Formación en Educación (CFE), Montevideo, julio de 2014.

LEINHARDT, G., ZASLAVSKY, O., STEIN, M. (1990), “Functions, graphs and graphing: tasks, learning and teaching.”En: Review of Educational Research 60, pp. 1-64.

LERNER, Delia (1995), “El lugar del conocimiento didáctico en la formación de profesores”, conferencia realizada en el marco del Primer Seminario Internacional “¿Quién es el profesor del tercer milenio?” Bahía, Brasil, Mimeo, 1995, pp. 31-46.

http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-24362007000100004

http://www.pucrs.br/famat/viali/orientacao/leituras/artigos/ALME18.pdf


Página | 96

LITWIN, Edith (1998), “La evaluación: campo de controversias y paradojas o un nuevo lugar para la buena enseñanza”. En: CAMILLONI, A., CELMAN S., LITWIN. E., PALOU DE MATÉ, M., La evaluación de los aprendizajes en el debate didáctico contemporáneo, Buenos Aires, Editorial Paidós SAICF.

RAVELA, Pedro (2006), Para comprender las evaluaciones educativas. Fichas didácticas, Programa de Promoción de la Reforma Educativa en América Latina y el Caribe (PREAL), Santiago, Editorial San Marino.

RIVAS NAVARRO, Manuel (2008), Procesos cognitivos y aprendizaje significativo, Comunidad de Madrid.

SADOVSKY, Patricia, PARRA, Cecilia, ITZCOVICH, Horacio, et alt (1998), Matemática. Documento de trabajo N° 5. La enseñanza de la geometría en el segundo ciclo. Gobierno de Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento.

SANZ DE ACEDO LIZARRAGA, María Luisa (2010), Competencias cognitivas en educación superior. Buenos Aires, Narcea Ediciones.

SEGOVIA, I., E. CASTRO, L.RICO. (1989), Estimación en cálculo y medida. Madrid, Síntesis.

SEOANE, Silvana, Betina SEOANE (2011), Matemática. Material para docentes. Sexto grado. Nivel Primario. Proyecto Escuelas del Bicentenario, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Instituto de Planeamiento de la Educación (IIPE-UNESCO).

SOCAS, M. (1997), “Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en la Educación Secundaria”. En: RICO, L., CASTRO, E., et al., La educación matemática en la enseñanza secundaria. ICE/Horsori, pp. 125-154.

STREEFLAND, Leen (Comp.) (1991), Los contextos realistas en la resolución de problemas matemáticos, Realistic Mathematics Education in Primary School (RME), Utrech, Instituto Freudenthal.

TERIGI, Flavia, WOLMAN,Susana (2007), “Sistema de numeración: consideraciones acerca de su enseñanza”. En Revista iberoamericana de Educación N°43, enero-abril 2007,pp. 59-83.

VERGNAUD, Gérard (1990), “Teoría de los campos conceptuales”. Disponible en la web, (última consulta 7/08/2014): [http://www.slideshare.net/reyessgus68/3-campos-conceptuales-de-vergnaud-presentation-819397]

WAINER, H. (1992), “Understanding graphs and tables”. En: Educational Researcher 21, pp. 14-23.

http://www.google.com.uy/search?hl=es&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22Mar%C3%ADa+Luisa+Sanz+de+Acedo+Lizarraga%22&source=gbs_metadata_r&cad=7


Página | 97

WEINZWEG, A. I. (s.f.). Aprendizaje matemático y contextualización, entrevista realizada por el Profesor Thomas O´Brien, Universidad de Southern Illinois, Edwardsville, USA. Disponible en la web (última consulta 11/03/2014): [http://www.matematicasparatodos.com/pdf/Aprendizaje_matematico_y_contextualizacion.pdf]

ZILBERMAN, Graciela, Adriana CASTRO, Silvia CHARA (2006), Matemática 3. Primer Ciclo EGB/Nivel Primario. Núcleo de Aprendizajes Prioritarios (NAP). Serie Cuadernos para el aula. Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología, Presidencia de la Nación, Consejo Federal de Cultura y Educación (CFCE), Buenos Aires, Gráfica Pinter S.A.


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ANEXO. DATOS ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN POR GRADO. CICLO 2014.

Tabla1. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE TERCER AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA

Código Orden Título Objetivo Competencia Dominio Contenido Porcentaje de Respuesta

A B C D S/R

MAT 1792 1 Completando el álbum

Aplicar la relación de orden en los números naturales.

APLICAR CONCEPTOS

NÚMEROS Orden 7 77 6 7 2

MAT 1714 2 Contador web Identificar el siguiente de un natural en el caso de un cambio de orden en el sistema de numeración decimal.

APLICAR CONCEPTOS


MAT 1691 3 Entrega de libros 2 Diseñar y ejecutar una estrategia de cálculo para resolver una situación en un contexto cotidiano.

RESOLVER PROBLEMAS

NÚMEROS Operaciones 24 22 10 41 3

MAT 1692 4 De compras Redondear a unidades un número decimal de acuerdo a nuestro sistema monetario.

APLICAR CONCEPTOS


Magnitudes y medidas

20 58 8 10 4

MAT 1722 5 El peso de la mochila

Establecer la relación kg- g, con el fin de realizar un cálculo

RESOLVER PROBLEMAS



29 13 17 38 3

MAT 1606 6 Figuritas brillantes Reconocer la fracción que representa una parte de un todo.

APLICAR CONCEPTOS

NÚMEROS Conjuntos numéricas

28 11 20 39 3

MAT 1344 7 Pintando fracciones

Argumentar la relación parte todo en diferentes representaciones gráficas.

APLICAR CONCEPTOS


19 81 68

MAT 1795 8 Rutas Estimar una medida. RESOLVER

PROBLEMAS MAGNITUDES Y MEDIDAS


32 6 61 69

MAT 1791 9 Cuadrado en cuadrado

Explicitar relaciones geométricas interfigurales.

COMUNICAR GEOMETRÍA Figuras planas 4 14 82 71

MAT 1793 10 puzle Reconocer que la diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos rectángulos congruentes.

RESOLVER PROBLEMAS

GEOMETRÍA Figuras planas 16 6 61 14 4

MAT 1700 11 ángulos rectos Identificar ángulos rectos en una figura. APLICAR

CONCEPTOS GEOMETRÍA Figuras planas 4 6 28 57 5

MAT 1736 12 cálculo pensado Identificar cálculos equivalentes que aplican la propiedad distributiva.

APLICAR CONCEPTOS


MAT 1713 13 situaciones a resolver

Identificar la situación de combinación de transformaciones correspondiente a un cálculo dado.

RESOLVER PROBLEMAS


MAT 206 14 El ómnibus Resolver una situación de transformaciones positivas y negativas.

RESOLVER PROBLEMAS


MAT 1725 15 la calculadora Interpretar el funcionamiento del sistema de numeración decimal posicional.

APLICAR CONCEPTOS

NÚMEROS Conjuntos numéricos

18 42 13 21 6

MAT 1794 16 sumando Reconstruir el algoritmo convencional de la suma.

EJECUTAR ALGORITMOS



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Tabla 2. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE CUARTO AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA


A B C D S/R

MAT 1713 1 Álbum de figuritas del mundial

Reconocer la resta que resuelve una situación cotidiana.

RESOLVER PROBLEMAS




RESOLVER PROBLEMAS



35 11 14 39 1

MAT 1714 3 Contador web Identificar el siguiente de un natural en el caso de un cambio de orden en el sistema de numeración decimal

APLICAR CONCEPTOS


MAT 1692 4 De compras Redondear a unidades un número decimal de acuerdo a nuestro sistema monetario.

APLICAR CONCEPTOS



18 66 6 8 2

MAT 1736 5 Estadios Aplicar la relación de orden en los números naturales.

APLICAR CONCEPTOS


MAT 1795 6 Juntando figuras Aplicar el concepto de perímetro para su cálculo en una figura no convencional.

RESOLVER PROBLEMAS


Longitud, superficie, capacidad, amplitud

57 22 8 12 1

MAT 1793 7 Puzle Identificar la figura que, por composición, forma un cuadrado.

RESOLVER PROBLEMAS




MAT 1791 9 Cuadrado en cuadrado





APLICAR CONCEPTOS


17 83 70

MAT 1606 11 Figuritas brillantes

Reconocer la fracción que representa una parte de un todo.

APLICAR CONCEPTOS


23 6 20 49 2

MAT 1792 12 50 OFF Reconocer el significado de un porcentaje de descuento.

APLICAR CONCEPTOS

NÚMEROS Razones y

proporciones 39 26 8 24 3

MAT 1725 13 Butacas Identificar el significado de una operación en una situación determinada.

APLICAR CONCEPTOS


MAT 1691 14 Entrega de libros 2

Diseñar y ejecutar una estrategia de cálculo para resolver una situación en un contexto cotidiano.

RESOLVER PROBLEMAS


MAT 206 15 El ómnibus Resolver una situación de transformaciones positivas y negativas.

RESOLVER PROBLEMAS


MAT 1794 16 sumando Reconstruir el algoritmo convencional de la suma.

EJECUTAR ALGORITMOS



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Tabla 3. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE QUINTO AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA


A B C D S/R



RESOLVER PROBLEMAS



36 8 12 43 1

MAT 1689 2 Compra escolar Resolver un problema, que involucra reparto, en varios pasos.

RESOLVER PROBLEMAS


MAT 1740 3 Cifra que falta en la división

Reconstruir el algoritmo convencional de la división entre 2 cifras.

EJECUTAR ALGORITMOS


MAT 1735 4 La división Aplicar la definición de división entera. APLICAR

CONCEPTOS NÚMEROS Operaciones 12 48 30 9 1

MAT 487 5 Distintas expresiones

Reconocer la notación decimal correspondiente a una fracción.

COMUNICAR NÚMEROS Conjuntos numéricas

49 16 19 15 1

MAT 1672 6 Figuritas brillantes 2

Reconocer una fracción equivalente a otra dada en una representación gráfica.

APLICAR CONCEPTOS


18 23 5 53 1



APLICAR CONCEPTOS


27 73 67

MAT 1783 8 Cuadrado en circunferencia



MAT 1690 9 La pecera Reconocer la magnitud que, en determinado contexto, permite resolver un problema de medición.

APLICAR CONCEPTOS



10 25 58 5 1

MAT 1712 10 Comparamos magnitudes

Identificar la relación entre área y perímetro de dos cuadriláteros.

RESOLVER PROBLEMAS



13 43 24 18 2

MAT 1741 11 foto en la cartelera

Identificar el coeficiente de proporcionalidad adecuado al contexto situacional.

RESOLVER PROBLEMAS

NÚMEROS Razones y


MAT 1682 12 Puzle Identificar la figura que, por composición, forma un cuadrado.

RESOLVER PROBLEMAS


MAT 1686 13 Componer un rectángulo

Componer una figura determinada con otras dadas.

APLICAR CONCEPTOS




MAT 1781 15 tablero de baloncesto

Estimar una medida. RESOLVER



16 26 58 69


APLICAR CONCEPTOS


MAT 557 17 Entrega de libros Identificar una secuencia de operaciones que permite resolver una situación en un contexto cotidiano.

RESOLVER PROBLEMAS


MAT 1719 18 el doble de figuritas

Establecer relaciones numéricas. RESOLVER

PROBLEMAS NÚMEROS Operaciones 9 49 24 16 2


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Tabla 4. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE SEXTO AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA


A B C D S/R


APLICAR CONCEPTOS


MAT 1755 2 Raciones para perros

Elaborar una estrategia de cálculo con números naturales para resolver un problema.

RESOLVER PROBLEMAS


MAT 1735 3 La división Aplicar la definición de división entera. APLICAR

CONCEPTOS NÚMEROS Operaciones 14 57 22 6 1

MAT 487 4 Distintas expresiones

Reconocer la notación decimal correspondiente a una fracción.

COMUNICAR NÚMEROS Conjuntos numéricas

41 13 29 15 1

MAT 1672 5 Figuritas brillantes 2

Reconocer una fracción equivalente a otra dada en una representación gráfica.

APLICAR CONCEPTOS


21 21 4 53 1

MAT 1285 6 Recipientes Calcular un total aditivo que involucra fracciones.

RESOLVER PROBLEMAS




APLICAR CONCEPTOS


31 69 65

MAT 436 8 El perímetro Comparar el perímetro de dos polígonos. RESOLVER



27 21 39 11 2

MAT 1340 9 Elegimos un poliedro

Identificar el desarrollo plano que corresponde a un prisma.

APLICAR CONCEPTOS

GEOMETRÍA Figuras

espaciales 10 39 18 31 2

MAT 1779 10 latas Visualizar cómo, los cambios en la altura y el diámetro de un cilindro, afecta su capacidad.

RESOLVER PROBLEMAS



17 40 9 32 2

MAT 1690 11 La pecera Reconocer la magnitud que, en determinado contexto, permite resolver un problema de medición.

APLICAR CONCEPTOS



10 33 52 4 2

MAT 1705 12 Los triángulos equiláteros

Identifica ángulos rectos para aplicar la propiedad de que el triángulo equilátero no tiene ángulos rectos.

APLICAR CONCEPTOS


MAT 1712 13 Comparamos magnitudes

Identificar la relación entre área y perímetro de dos cuadriláteros.

RESOLVER PROBLEMAS



15 42 23 17 2

MAT 1783 14 Cuadrado en circunferencia



MAT 1686 15 Componer un rectángulo

Componer una figura determinada con otras dadas.

APLICAR CONCEPTOS


MAT 1703 16 Trabaja sin hacer cálculos

Identificar el valor posicional de las cifras en el desarrollo del algoritmo convencional de la multiplicación.

EJECUTAR ALGORITMOS


MAT 557 17 Entrega de libros Identificar una secuencia de operaciones que permite resolver una situación en un contexto cotidiano.

RESOLVER PROBLEMAS


MAT 1778 18 Botellas Calcular el cuarto proporcional en una situación dada.

RESOLVER PROBLEMAS

NÚMEROS Razones y



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Tabla 5. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE PRIMER AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA BÁSICA


A B C D S/R

MAT1743 1 Recipientes Calcular un total aditivo que involucra fracciones

RESOLVER PROBLEMAS


MAT1744 2 Camionetas

Aplicar los conceptos de cociente y resto de una división entera y analizar la pertinencia del resultado obtenido, para tomar una decisión en función del contexto situacional

RESOLVER PROBLEMAS


MAT436 3 El perímetro Comparar el perímetro de dos polígonos RESOLVER


Longitud, Superficie, Capacidad, Amplitud

36 15 38 10 1

MAT1745 4 Cantero de flores Calcular el área de un polígono irregular empleando equicomposición

RESOLVER PROBLEMAS



28 36 16 17 3

MAT1705 5 Los triángulos equiláteros

Identifica ángulos rectos para aplicar la propiedad de que el triángulo equilátero no tiene ángulos rectos.

APLICAR CONCEPTOS

GEOMETRÍA Figuras Planas 9 13 60 17 1

MAT1746 6 Puerta giratoria 1 Identificar la medida de un ángulo al centro APLICAR

CONCEPTOS MAGNITUDES Y MEDIDAS


20 14 52 13 2

MAT1747 7 Puerta giratoria 2 Elaborar una estrategia que implica operaciones aritméticas sencillas en un contexto situacional

RESOLVER PROBLEMAS


MAT1760 8 Antena Reconocer el lugar geométrico de un punto en el plano dadas dos condiciones

RESOLVER PROBLEMAS


MAT1703 9 Trabaja sin hacer cálculos

Identificar el valor posicional de las cifras en el desarrollo del algoritmo convencional de la multiplicación

EJECUTAR ALGORITMOS


MAT1748 10 La Florería 1 Calcular un precio con porcentaje de aumento

RESOLVER PROBLEMAS

NÚMEROS Razones y

Proporciones 15 39 31 13 2

MAT1749 11 La Florería 2 Reconocer las operaciones y el orden en que se aplican para resolver la situación planteada

RESOLVER PROBLEMAS


MAT1750 12 La Florería 3 Calcular un porcentaje RESOLVER

PROBLEMAS NÚMEROS

Razones y Proporciones

10 14 12 60 3

MAT1753 13 Juego de repisas 1 Seleccionar información y aplicar el concepto de proporcionalidad

RESOLVER PROBLEMAS

NÚMEROS Razones y


MAT1754 14 Juegos de repisas 2

En una relación de proporcionalidad identifica el menor cociente como la respuesta a la situación

RESOLVER PROBLEMAS

NÚMEROS Razones y


MAT1756 15 Importación de celulares 1

Identificar información en un gráfico COMUNICAR PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Representación. Interpretación

de Datos 19 22 23 32 3




de Datos 18 25 25 29 3




de Datos 16 33 21 28 3

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?Z_dg6wUqTVZQR_aZrxNr1A==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?7eH8ifzajP3jozj9YQzyLQ==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?Rgw42glEhD16hNsMTQfhHQ==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?fy1Rutj5m7WxrZrC_zxSwg==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?Ngahd3r7WWLpCdjca+lKQw==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?Ngahd3r7WWLpCdjca+lKQw==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?2Oc3Kjgm1ceRFkn7qroKtA==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?D3VHjBxtGKnO1QT1rCW67w==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?TivIp1A+yN_tdfv7DiY3YQ==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?9W1L_eQL5sFTk_d3FSwKsg==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?9W1L_eQL5sFTk_d3FSwKsg==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?p1uV4VLodjd4_NFFMYLnRQ==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?K2KJn55h6giYrYpvX2q5Dg==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?3ZxkGUxW5LfwJM6avSiv4Q==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?EM9o1SRKd_tE6RGTePm+Vg==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?fNNJ3vjpaEoCgKTgdFR23w==


http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?Ot0g0nqHvARwW1WRPfStZg==


http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?M_oYaAFDpVVq1QVlk8HiUA==


http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?R_96vfrEb5hLQrCl1gU1Xw==



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Tabla 6. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE SEGUNDO AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA BÁSICA


A B C D S/R

MAT1762 1 El auto de carreras 1

Leer la ordenada de un punto de un gráfico dada su abscisa.

COMUNICAR ÁLGEBRA Expresiones Algebraicas

3 8 79 9 1


Asociar la condición de ausencia de movimiento de un móvil con los tramos horizontales del gráfico de su recorrido.


24 13 18 44 1


Asociar el concepto de velocidad de un móvil con la pendiente del gráfico de su recorrido


6 53 18 22 1

MAT1746 4 Puerta giratoria 1. Identificar la medida de un ángulo al centro APLICAR

CONCEPTOS MAGNITUDES Y

MEDIDAS


18 7 64 10 1

MAT1747 5 Puerta giratoria 2. Elaborar una estrategia que implica operaciones aritméticas sencillas en un contexto situacional

RESOLVER PROBLEMAS


MAT1760 6 Antena Reconocer el lugar geométrico de un punto en el plano dadas dos condiciones.

RESOLVER PROBLEMAS


MAT1765 7 Manzanos 1 Identificar un patrón aritmético en un contexto geométrico.

RESOLVER PROBLEMAS

ÁLGEBRA Secuencias y Patrones

19 23 37 20 1

MAT1766 8 Manzanos 2 Reconocer la expresión algebraica correspondiente a un patrón aritmético en contexto geométrico.

RESOLVER PROBLEMAS

ÁLGEBRA Expresiones Algebraicas

11 16 37 34 1

MAT1768 9 Antropólogos 1 Calcular el valor numérico de una expresión algebraica.

EJECUTAR ALGORITMOS


44 28 20 6 2

MAT1770 10 Antropólogos 2 Manipular expresiones algebraicas. EJECUTAR

ALGORITMOS ÁLGEBRA

Expresiones Algebraicas

14 21 20 43 3

MAT1769 11 Antropólogos 3 Generar una expresión equivalente a la dada para la otra variable.

EJECUTAR ALGORITMOS


42 20 26 9 3

MAT1745 12 Cantero de flores. Calcular el área de un polígono irregular empleando equicomposición

RESOLVER PROBLEMAS



30 38 15 14 2


RESOLVER PROBLEMAS

NÚMEROS Razones y Proporciones

4 9 14 72 1

MAT1754 14 Juegos de repisas 2 En una relación de proporcionalidad identifica el menor cociente como la respuesta a la situación

RESOLVER PROBLEMAS


26 24 25 24 1



Representación Interpretación de Datos

19 23 21 34 2




17 32 21 29 2




10 47 20 21 2

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?CggmHkBxcfbeyN36baOv3w==


http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?4jAe_xARe0M5HBX1fgrpaw==


http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?KQPc4D9icC2pppdYy_m+dg==


http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?2Oc3Kjgm1ceRFkn7qroKtA==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?D3VHjBxtGKnO1QT1rCW67w==


http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?ZJIEbttI9gj1xXO_aDuYvg==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?NkiJ_SwlbQj5DIJQJJtd5Q==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?idFXfFvldRKUsIRmuz5FFg==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?VTQEq9iK19dD6DE0feVuWw==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?d__wMOJyflfvZNTXTRT0Ng==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?fy1Rutj5m7WxrZrC_zxSwg==










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Tabla 7. DATOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA PRUEBA DE TERCER AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA BÁSICA

Código Orden Título Objetivo Competencia Dominio Contenido

Porcentaje de Respuesta

A B C D S/R


Leer la ordenada de un punto de un gráfico dada su abscisa.


2 6 84 5 3


Asociar la condición de ausencia de movimiento de un móvil con los tramos horizontales del gráfico de su recorrido.


17 6 12 62 3


Asociar el concepto de velocidad de un móvil con la pendiente del gráfico de su recorrido


3 63 13 18 3

MAT1768 4 Antropólogos 1 Calcular el valor numérico de una expresión algebraica.

EJECUTAR ALGORÍTMOS


43 31 15 7 4

MAT1770 5 Antropólogos 2 Manipular expresiones algebraicas. EJECUTAR

ALGORÍTMOS ÁLGEBRA

Expresiones Algebraicas

7 17 18 52 5

MAT1769 6 Antropólogos 3 Generar una expresión equivalente a la dada para la otra variable.



35 20 30 10 6

MAT1771 7 Frecuencia cardíaca 1

Identificar variables y calcular un valor numérico.



6 12 32 46 4

MAT1772 8 Frecuencia cardíaca 2

Plantear una ecuación a partir de otras dadas para resolverla.



12 23 19 41 5

MAT1765 9 Manzanos 1 Identificar un patrón aritmético en un contexto geométrico.

RESOLVER PROBLEMAS

ÁLGEBRA Secuencias y Patrones

17 21 37 21 3

MAT1767 10 Manzanos 3 Comparar el crecimiento de una función cuadrática con el de una lineal.

APLICAR CONCEPTOS


12 45 25 15 4

MAT1760 11 Antena Reconocer el lugar geométrico de un punto en el plano dadas dos condiciones.

RESOLVER PROBLEMAS


MAT1773 12 Promedio de pruebas

Aplicar el concepto de promedio RESOLVER

PROBLEMAS PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

25 32 27 11 4

MAT1774 13 Promedio estatura Aplicar el concepto de promedio APLICAR

CONCEPTOS PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

17 31 13 35 4


RESOLVER PROBLEMAS


2 7 9 78 4

MAT1754 15 Juegos de repisas 2

En una relación de proporcionalidad, identificar el menor cociente como la respuesta a la situación

RESOLVER PROBLEMAS


18 19 26 32 4




17 19 18 41 5




12 39 21 23 5




8 61 13 13 5







http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?idFXfFvldRKUsIRmuz5FFg==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?VTQEq9iK19dD6DE0feVuWw==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?d__wMOJyflfvZNTXTRT0Ng==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?fS7kbENQXjHYWA08jJlXeQ==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?fS7kbENQXjHYWA08jJlXeQ==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?iM6fcQPjQ_l1rSs0uJkg8A==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?iM6fcQPjQ_l1rSs0uJkg8A==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?ZJIEbttI9gj1xXO_aDuYvg==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?GnIIFwDbxTwI1HZ3eBXt8g==


http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?lwI28DVoJwLCIPqf9EcFHQ==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?lwI28DVoJwLCIPqf9EcFHQ==

http://admin.sea.edu.uy/servlet/viewitem?AyeHIWy8y2s8EbrZ9s6BeA==










informe evaluación en línea Área matemática prueba formativa

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