informe de movimiento oscilatorio forzado

Introducción

Cuando tenemos un sistema masa-resorte y movemos la masa de manera que el resorte experimenta una elongación, y luego soltamos la masa, esta comenzará a oscilar alrededor de su punto de equilibrio de manera indefinida. En el caso físico real esto no sucede, ya que existen fuerzas disipativas o de rozamiento las cuales son causantes de extinguir el movimiento, desapareciendo así las oscilaciones. Pero ¿Qué sucedería si aplicamos una fuerza que contrarreste el amortiguamiento?

En este informe analizaremos las características de un oscilador sometido a una fuerza impulsora senoidal; con la ayuda del matlab y el origin vamos a poder resolver la ecuación diferencial de movimiento, corroborar que el movimiento después de algunas oscilaciones tiene la forma A(w)cos(wt+) y mostrar graficas que permitan ver el comportamiento de las dependencias x(t),v(t), de la amplitud de las oscilaciones en función de la frecuencia angular de la fuerza impulsora(w), del desfasaje entre la fuerza impulsora y el movimiento resultante() en función de las frecuencia angular de la fuerza impulsora(w).

Procedimiento

-Con la ayuda del Matlab se construyeron dependencias x(t) y v(t) de un sistema oscilatorio, el cual tiene una ecuación diferencial de movimiento correspondiente a:

x=−w02 x−2 γ x+

F0mcos (wt)…(1)

ó

x=−w02 x−2 γ x+A0 cos (wt )…(2)

Donde w0es la frecuencia natural de movimiento, γ es la constante de amortiguamiento y w es la frecuencia de oscilación de la fuerza impulsora.

y se compararon con las dependencias x(t) y v(t) en el movimiento amortiguado.

-Se comparó las dependencias x(t) y v(t) del sistema oscilatorio para diferentes condiciones iniciales y se identifico el régimen transitorio y el régimen estacionario.

-Con la ayuda del Matlab se construyó el espectro del oscilador y se comparó los regímenes transitorio y estacionario.

-Se construyó el espectro del oscilador para diferentes valores de w0 y se identificó qué parámetros influyen en la frecuencia de las oscilaciones en el régimen estacionario.

-Haciendo uso del Origin6.0 se corroboró que el movimiento que se obtiene en el régimen estacionario viene dado por la formula:

x(t)=A(w)cos(wt-) ….(3),

se calcularon los desfasajes para diferentes frecuencias angulares de la fuerza impulsora y se graficó la dependencia (w) para diferentes valores de γ .

-Se calcularon los valores de A para diferentes valores de w, se encontró el máximo valor de A y se determino la frecuencia de resonancia.

RESULTADOS

1. Como se puede notar, la figura 1.a muestra la grafica de la posición en función del tiempo de un oscilador sometido a la fuerza impulsora senoidal (movimiento forzado) y superpuesta la grafica cuando la amplitud de la fuerza senoidal es 0 (movimiento amortiguado).Como se puede observar en el caso del movimiento amortiguado el oscilador empieza a moverse, pero la amplitud de las oscilaciones se hace cada vez pequeña hasta que se aproxima a 0, esto quiere decir que el oscilador se empieza a detener. En el caso del movimiento forzado el oscilador empieza a moverse y la amplitud de las oscilaciones decae hasta que después de un tiempo la amplitud se mantiene estable. Entonces se ve que para tiempos cortos los movimientos se comportan de manera parecida, mientas que para tiempos prolongados en el movimiento amortiguado el oscilador prácticamente se detiene y en el movimiento forzado el oscilador se comporta de manera parecida a un movimiento armónico simple.

(a)

(b)

Figura1

En la tabla1 se observa la posición y el tiempo después de algunas oscilaciones donde la amplitud de la oscilación es máxima (datos obtenidos del programa en Matlab). El intervalo de tiempo entre cada cresta es el periodo; para encontrar el periodo se tomará el promedio de algunos intervalos de tiempo.

Posición (m) Tiempo (s)0.1855 41.05240.1856 44.18380.1856 47.32160.1855 50.43640.1856 53.59290.1855 56.71720.1855 59.8569

Tabla1

El promedio de los intervalos de tiempo es 3.13575 s, esta cantidad es aproximadamente el periodo del movimiento después de algunas oscilaciones y la frecuencia es aproximadamente 0.31890 Hz.

2. En el caso anterior las dependencias x(t) y v(t) del movimiento forzado se construyeron con parámetros w0=3, γ=0.5, w=2, A0=1 y con condiciones iniciales x(0)=1 y v(0)=0, ¿Cuánto cambiará la grafica si las condiciones iniciales son x(0)=0 y v(0)=1?Como se puede observar en la figura 2.a se compara las graficas de la posición en función del tiempo para distintas condiciones iniciales; se nota que para tiempos pequeños las graficas son distintas, mientras que para tiempos prolongados las graficas se superponen de manera que no se puede diferenciar una de la otra como si tuvieran una forma definida o limite que no depende de los valores iniciales. Entonces el comportamiento de la función x(t) para tiempos pequeños depende de las condiciones iniciales mientras que para tiempos prolongados no depende de las condiciones iniciales.

En la tabla2 se observa la posición y el tiempo después de algunas oscilaciones donde la amplitud de la oscilación es máxima (x(0)=0 y v(0)=1).

Posición (m) Tiempo (s)0.1855 41.00990.1856 44.16580.1854 47.28840.1856 50.46570.1852 53.56400.1853 56.7700

0.1856 59.8753Tabla2


(a)

(b)Figura 2

Se pueden identificar dos partes en la grafica del movimiento forzado, la parte transitoria (ver fig3.a) y la parte estacionaria (ver fig3.b).

(a)

(b)

Figura 3

3. El diagrama fásico o espectro del oscilador es la grafica de la velocidad vs la posición de la partícula. Para el caso del movimiento armónico simple el espectro es una elipse (ver fig4.a) mientras que para el caso del movimiento amortiguado es una espiral logarítmica (ver fig4.b).Como se puede observar en la figura 4.c el espectro del movimiento forzado, en el régimen de transición el espectro se aproxima a una espiral y en el régimen estacionario se aproxima a una elipse.

(a) (b)

(c)

Figura 4

4. La figura 5 muestra el espectro del oscilador con w0=1(a) y también el

espectro del oscilador con w0=4 (b).La figura 6 muestra la dependencia x(t) para cada caso, se observa que con w0=1 la amplitud de las oscilaciones del régimen estacionario es mayor que

con w0=4.

En la tabla 3 se observa la posición y el tiempo después de algunas oscilaciones donde la amplitud de la oscilación es máxima con w0=1.


Tabla3


En la tabla 4 se observa la posición y el tiempo después de algunas oscilaciones donde la amplitud de la oscilación es máxima con w0=4.


Tabla4

El promedio de los intervalos de tiempo es 3.13813 s, esta cantidad es aproximadamente el periodo del movimiento después de algunas oscilaciones y la frecuencia es aproximadamente 0.318660 Hz

(a)

(b)Figura 5

Figura 6

La frecuencia en el régimen estacionario, como se puede notar en los cálculos realizados para los casos anteriores, no depende de w0, ni de las

condiciones iniciales, ni de γ .Si multiplicamos por 2π a la frecuencia obtenida en los casos anteriores, en todos los casos se obtiene una frecuencia angular de oscilación aproximadamente igual a 2, curiosamente este valor es igual al valor de la frecuencia angular con la que oscila la fuerza impulsora. Esto nos hace suponer que la frecuencia de las oscilaciones depende del valor de w (frecuencia angular de la fuerza impulsora).

5. El régimen estacionario del movimiento oscilatorio forzado que estamos estudiando parece tener forma de un movimiento armónico simple, con la ayuda de los datos obtenidos del programa en Matlab, y con el Origin6.0 vamos a encontrar la ecuación de la curva que se ajusta a dichos datos.En principio la curva debería tener una forma como la siguiente:

x(t)=Acos(w1t-δ)

Utilizando la herramienta Non Linear Curve Fitting del Origin6.0, la cual después de dar la formula que parece regir el movimiento ajusta la curva (de los datos obtenidos con el matlab), encuentra los valores de los parámetros A, w1, δ . (ver fig7).

De esta forma se corrobora que el movimiento que se obtiene en el régimen estacionario esta descrito por la Ec.3, ya que w1=w con un margen de error muy pequeño.

Figura 7

Como se observa en la figura 7, la herramienta del Origin6.0 encuentra valores aproximados para los parámetros con un margen de error muy pequeño, Repitiendo el mismo procedimiento para diferentes valores de w (ver Tab.5), se construirá una grafica que nos muestre la dependencia δ(w).

W (rads

)δ 1 (rad) δ 2 (rad)

0 0.1251 0.357931 0.3876 0.877842 0.48703 1.00788

2.2 0.6378 1.142492.4 0.86099 1.288512.6 1.17986 1.432513 1.57304 1.56978

3.2 1.93402 1.695313.4 2.21476 1.8039

Tabla 5

La figura 8, muestra la dependencia δ(w) con w0=3 y con dos valores de

γ .

Figura 8

Ambas graficas empiezan desde el punto δ=0, w=0 y van creciendo hasta se interceptan aproximadamente en w=3,δ=1.57.La intersección se da cuando

w alcanza el mismo valor que w0 y δ es aproximadamente π2

.Se observa

también que para γ=0,5 la grafica tiene mayor concavidad en comparación cuando γ=1,5.

Figura 9

6. La tabla 6 muestra los valores de la amplitud del movimiento para distintos valores de w con w0=3, γ=0.5. Se construye la grafica a partir de estos datos(ver fig10).Se nota que la grafica crece hasta llegar a un punto máximo y luego decae, esto da la idea que para un wm a condiciones determinadas existe una amplitud máxima, en este caso la amplitud máxima se alcanza cuando w se aproxima al valor 2.9 como se observa en la grafica.

W (rads

)A(m)

0 0.111111 0.124032 0.18567

2.2 0.212452.4 0.247932.6 0.291253 0.32977

3.2 0.333173.4 0.291343.6 0.186873.8 0.150724 0.124065 0.059666 0.03615

Tabla6

Figura 10

La pulsación wm se conoce como frecuencia de resonancia y para este caso

comparando con el valor de w0 se aproximan bastante pero se nota que wm es

menor que w0.

COMENTARIOS Y DISCUCIONES DE LOS RESULTADOS

-Las graficas de la figura 1 muestran el movimiento y la velocidad en función del tiempo del oscilador, Enfocándonos en la solución de la ecuación diferencial de movimiento, ésta tiene una solución homogénea y una solución particular, la solución homogénea es igual a la del movimiento amortiguado y la solución particular tiene forma de un movimiento armónico simple. Lo interesante es que para tiempos prolongados, la parte homogénea se hace prácticamente 0 ya que en teoría se alcanza el 0 en el infinito, quedando así solo la solución particular. Es por eso que en las grafica se ve que en tiempos cortos se ve el régimen de transición y para tiempos prolongados se ve el régimen estacionario.

-La solución homogénea tiene constantes que dependen de los valores iniciales mientras que la solución particular no tiene constantes que dependan de los valores iniciales, es por eso también que en la figura 2 se ve que para diferentes valores iniciales el régimen estacionario es el mismo.

-Los diagramas de fase que se muestran en la figura 4 nos dan la idea de cómo se comportan los movimientos oscilatorios simple y amortiguado, y como se puede notar el diagrama de fases del movimiento oscilatorio forzado este se comporta primero como amortiguado y luego se asemeja al MAS. Estos diagramas también dan información sobre la energía; en el movimiento armónico simple se muestra una elipse que no varía, lo que no da la información que la energía se conserva es decir se mantiene constante, mientras que en el movimiento amortiguado la energía decae hasta que prácticamente se hace cero, entonces en el movimiento forzado la energía decae hasta que por acción de la fuerza impulsora esta se mantiene prácticamente constante ( la energía sigue decayendo pero muy poco, se mantendrá constante en el infinito).

-Debido a que en la solución particular se obtiene la amplitud aproximada de las oscilaciones se nota que si variamos el valor de la frecuencia angular natural del movimiento varía la amplitud de las oscilaciones.

-Los periodos y las frecuencias calculadas en los casos vistos de los ítems 1, 2 y 4 son muy cercanos y como se pudo calcular la frecuencia angular en todos los casos se aproxima bastante al valor de la frecuencia angular de la fuerza impulsora (la misma en todos los casos), por lo cual es de suponerse que la frecuencia del movimiento en régimen estacionario no depende de las condiciones iniciales ni de

los parámetros w0 , γ ni de la amplitud de la fuerza impulsora sino únicamente del valor de la frecuencia angular de la fuerza impulsora.

-Las dependencias obtenidas δ (w) para diferentes valores de la constante de amortiguamiento nos muestran esto mismo que d

CONCLUCIONES

El movimiento oscilatorio forzado analizado tiene dos regímenes en los cuales se comporta de manera totalmente distinta.

El régimen transitorio, en el cual el oscilador oscila aleatoriamente, depende de las condiciones iniciales y dura un corto tiempo; mientras el régimen estacionario, en el cual el oscilador tiene oscilaciones muy parecidas al movimiento armónico simple, no depende de las condiciones iniciales y se mantiene en el tiempo.

Las oscilaciones en el régimen estacionario tiene la frecuencia angular aproximadamente igual a la frecuencia de la fuerza impulsora senoidal.

El oscilador experimenta un desfasaje entre la fuerza impulsora y el movimiento resultante, este desfasaje tiene una dependencia con la frecuencia angular de la fuerza impulsora; para diferentes valores del factor de amortiguamiento esta dependencia tiene distintas formas, esto da información sobre el grado de amortiguamiento del oscilador.

La amplitud de las oscilaciones en el régimen estacionario depende del valor de la frecuencia natural del oscilador, el factor de amortiguamiento y por supuesto de la fuerza impulsora.

La dependencia entre la frecuencia angular de la fuerza impulsora y la amplitud del movimiento muestra un máximo de amplitud alcanzado cuando la frecuencia angular tiene un valor llamado frecuencia de resonancia.

Esta resonancia desaparece cuando el amortiguamiento es grande, por lo contrario cuando el amortiguamiento es muy pequeño la curva de resonancia se asemeja a la del movimiento no amortiguado

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