informe 5

Ondas Estacionarias en una Cuerdacon Extremos Fijos (M1)

1 Introduccin.Las ondas mecnicas son perturbaciones que transportan energa de un punto a

otro a travs de un medio material. Uno de los efectos ms notorios de esta clase deperturbaciones es el desplazamiento que experimentan las partculas del material a me-dida que estas tienen lugar. Aunque dicho desplazamiento puede darse en cualquier tipode direccin dependiendo de la naturaleza de la onda, destacan aquellas ondas en lasque las partculas se mueven o bien paralelamente, o bien perpendicularmente a su di-reccin de propagacin. Las primeras se llaman ondas longitudinales, mientras que lassegundas ondas transversales.

Un caso concreto de onda mecnica transversal es la que se propaga a travs deuna cuerda sometida a una vibracin constante desde uno de sus extremos.

La velocidad con la que se propaga esta onda se puede calcular partiendo de unsencillo diagrama de fuerzas y de la ecuacin de onda caracterstica de las ondas trans-versales.

Figura 1: Diagrama de fuerzas de una cuerda de masa despreciable.

De este modo, si la onda se propaga horizontalmente en la direccin positiva deleje de abcisas, suponiendo que el peso de la cuerda m gd es despreciable frente al res-to de fuerzas, se tiene que la resultante de fuerzas sobre un elemento de cuerda dx tie-ne el siguiente valor en la direccin del eje de ordenadas:

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Ondas Estacionarias en una Cuerda con Extremos Fijos (M1)1155555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

dFy = T(sen-sen),

donde, de acuerdo con la tercera ley de Newton, |T| es la tensin que ejercen amboslados de la cuerda sobre el elemento dx, y y son los ngulos que forman la tensinque ejerce el lado derecho y el lado izquierdo de la cuerda con el eje x respectivamente.

En particular, cuando la curvatura de la cuerda no es muy pronunciada, a travsde la siguiente relacin entre infinitsimos:

senx ~ x ~ tgx si x0,

puede reescribirse el segundo miembro de la frmula anterior como:

T()=T(tgtg)=T(yxx+dx yxx)=T(yxx)Dado que dFy, a su vez, verifica que:

dFy=dm ay=x(2y

t2 )donde es la densidad de masa de la cuerda por unidad de longitud x,dividiendopor x se llega a la relacin:

(2y

t2 )=T

(yxx)x

Finalmente, puesto que, al tratarse de un elemento infinitesimal de cuerda, xtiende a 0:

( (2y

t2 )=T (2y

x2 )Comparando esta frmula con la siguiente ecuacin de onda:

(2y

t2 )= 1v2 (2y

x2 ) ,se sigue que la velocidad v de propagacin de la onda tiene la expresin:

v=TSi se dejan fijos ambos extremos de la cuerda, la particularidad que adquiere la

onda es que se propaga en ambos sentidos peridicamente. Esto se debe a que son refle-

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Ondas Estacionarias en una Cuerda con Extremos Fijos (M1)sdfsdfsdfdsf dsadddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd

jadas todas las perturbaciones que inciden en cualquiera de los dos extremos. En laprctica, sin embargo, lo que se observa es la suma algebraica de la onda incidente y dela onda reflejada.

Como consecuencia de este principio de superposicin, cuando existe un desfaseentre ambas ondas, aparecen puntos de la cuerda donde la amplitud de la vibracin esnula. Dichos puntos se denominan nodos y, concretamente, no varan su posicin en eltiempo para cierto tipo de longitudes de ondas. Por ese motivo, en tales frecuencias sedice que la onda sigue un patrn estacionario.

Figura 2: Relacin entre la longitud de onda, la longitud de la cuerda y elnmero de antinodos. La relacin entre las longitudes de onda y los patrones estacionarios se puede de-

ducir del hecho de que los extremos estn fijos. De esta manera, si ambos son nodos encualquiera de estos patrones, se cumple que:

2=Ln

,

donde es la longitud de la onda, L la longitud de la cuerda y n el nmero de puntosdonde la amplitud es mxima (antinodos).

Puesto que la longitud y la velocidad de la onda estn relacionadas por medio de:

fn=nv

,

donde es la longitud de la onda y f la frecuencia de la onda en un patrn estaciona-rio con n antinodos, la expresin anterior puede transformarse en la siguiente:

fn=n2L T

De acuerdo con este marco terico, el objetivo de este experimento ha sido estu-diar los patrones estacionarios de una cuerda elstica y de una cuerda plstica en undeterminado rango de frecuencias, con el fin de determinar la densidad lineal de masa

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de ambas y la velocidad de las ondas que se propagan con ellas.

2 Materiales y Mtodos.Los materiales empleados han sido: una cuerda elstica, una cuerda plstica, un

conjunto de pesas, una pesa digital, una polea, una cinta mtrica de un milmetro deprecisin, un oscilador mecnico y un generador de funciones.

Ambas cuerdas se han dispuesto horizontalmente. En los dos casos, uno de los ex-tremos se ha enrollado a un oscilador mecnico conectado a un generador de funciones.El otro extremo se ha ido atando a distintas combinaciones de pesos. Esto ltimo hasido lo que ha permitido mantener la cuerda en tensin.

Las combinaciones de pesos que se han aplicado han sido: 30.30, 80.30. 130.30,230.30 y 280.30 gramos, con un error de 0,01 g. Para cada una de ellas se ha medidoel valor de la frecuencia a partir del cual apareca un nmero de antinodos comprendi-dos entre 1 y 5 en el caso de la cuerda elstica, y entre 1 y 4 en el de la plstica.

3 Resultados Experimentales.En el caso de la cuerda elstica, se obtuvo la siguiente tabla de datos por medio

de la masa de 30.30 gramos y una longitud de cuerda de (1,1310 0,0005) metros:

Tabla 1: Medidas de la cuerda elstica con lamasa de 30.30 gramos.

A partir de estos datos se ha calculado el valor de la longitud de onda asociada acada frecuencia, con el fin de determinar la velocidad con la que se ha propagado laonda.

Para calcular cada se ha aplicado la frmula:

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n8,0 2

11,9 3

16,0 4

19,8 5

24,1 6

NA

F (Hz)

Error Experimental 0,1


=2Ln

Para calcular sus respectivos errores, dado que todas ellas son medidas indirectas,se ha aplicado:

()=2Ln

Para calcular v en cada caso:

v=nfn

Y para calcular sus errores:

(v)=n1fn

+fnn

fn2

Los resultados que se obtuvieron fueron:

Tabla 2: Medidas de la longitud y la velocidad de la onda propagada por la

cuerda elstica con una masa colgante de 30.3 gramos.

Para calcular la velocidad media a la que se ha propagado la onda se han seguidodos procedimientos distintos. Primero se ha realizado una media ponderada tanto delconjunto de medidas, como de sus errores. Es decir, se ha aplicado:

vmed=i=1

m vi(vi)

2

i=1

m1

(vi)2

1

i=1m 1(vi)2.

donde m es el nmero de valores.

Luego se ha calculado la media aritmtica de todas las medidas y su correspon-diente error cuadrtico:

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Longitud de Onda (m) Velocidad (m/s)Magnitud Error Magnitud Error n1,1310 0,0005 9,048 0,002 2

0,7540 0,0003 8,9726 0,0006 3

0,5655 0,0003 9,0480 0,0002 4

0,4524 0,0002 8,9575 0,0001 5

0,3770 0,0002 9,08570 0,00007 6


vmed=i=1

m

vi

mtn1 (vivmed)2m(m1) ,

donde la t de student que se ha escogido es la correspondiente a la de 4 grados de liber-tas y un intervalo del 95% de confianza: 2.776.

En el primer caso se obtuvo el valor:

vmed = (90520 2)10-5 m/s

En el segundo:

vmed = (90 1)10-1 m/s

Dado que es mayor el error en el segundo caso, dada la poca precisin del mtodoexperimental, se ha determinado dicha medida como el valor ms aproximado de la ve-locidad de propagacin de la onda.

Este mtodo es el que se ha seguido con el resto de las medidas.

Tabla 3: Medidas de la cuerda elstica con la masa de 80.3 g.

Tabla 4: Medidas de la cuerda elstica con la masa de 130.3 g.

En estas dos ltimas tablas se ha medido una longitud de la cuerda de una longi-tud de cuerda de (1,17 0,05)10 m .

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n13,8 2

20,5 3

26,4 4

33,6 5

41,4 6

NA

F (Hz)


n18,4 2

28,1 3

36,9 4

46,2 5

55,5 6

NA

F (Hz)



Tabla 5: Medidas de la cuerda elstica con la masa de 230.3 gramos.

Tabla 6: Medidas de la cuerda elstica con la masa de 280.3 gramos.

Ds

Tabla 7: Valores de la velocidad de propagacin de la onda medios en elcaso de la cuerda elstica para cada masa colgante.

En el caso de la cuerda plstica la longitud de la cuerda vari a (1.0 0.5)10 metros.

Teniendo esto en cuenta, las medidas obtenidas son las que aparecen en el restode las tablas.

55

n27,3 2

41,1 3

56,2 4

71,8 5

85,4 6

NA

F (Hz)


n31 2

46,8 3

62,8 4

79,7 5

96,7 6

NA

F (Hz)


Velocidad (m/s)Media Error

30,3 9,0 0,1

80,3 15,3 0,8

130,3 20,9 0,3

230,3 33 2

280,3 37 1

NA

Masa (g)



Tabla 8: Medidas de la cuerda plstica con la masa de 30.3 gramos.




56

n15,6 2

23,5 3

32,0 4

40,1 5

NA

F (Hz)


n25,3 2

37,7 3

50,9 4

64,5 5

NA

F (Hz)


n31,4 2,0

47,6 3,0

63,9 4,0

88,1 5,0

NA

F (Hz)


n40,8 2,0

62,5 3,0

83,6 4,0

104,8 5,0

NA

F (Hz)




Tabla 13: Valores de la velocidad de propagacin de la onda medios en elcaso de la cuerda plstica.

Para obtener los errores de las medias aritmticas de las velocidades se ha emple-ado la t de student correspondiente a 3 grados de libertad y un intervalo de confianzadel 95%: 3.182.

Tabla 14: Medidas de la tensin y del cuadrado de la velocidad en la cuerdaelstica segn la masa.

57

n46,3 2,0

70,0 3,0

100,6 4,0

119,1 5,0

NA

F (Hz)


Velocidad (m/s)Media Error

30,3 15,8 0,6

80,3 24,4 0,6

130,3 33 6

230,3 42 1

280,3 48 6

NA

Masa (g)


Velocidad al cuadrado (m/s)Tensin (N) Media Error

30,3 0,297 81 2

80,3 0,787 230 30

130,3 1,277 440 10

230,3 2,257 1100 100

280,3 2,747 1370 70

Error NA

Masa (g)

0,1 0,001


Tabla 15: Medidas de la tensin y del cuadrado de la velocidad en la cuerdaplstica segn la masa.

Para calcular la tensin se ha partido del supuesto, de acuerdo con el marco teri-co, de que el peso de la cuerda es despreciable. Esto implica que la tensin en cada unode sus puntos es la misma, y que no existe rozamiento entre ella y la polea. Por consi-guiente, dado que la tensin en el extremo de la cuerda donde se encuentra la masa col-gante es equivalente al peso de dicha masa, se ha deducido que ese es el valor de la ten-sin. Su error se ha calculado mediante la expresin:

(T)=9,8(m)

El error de la velocidad al cuadrado se ha calculado a travs de:

(vi2)=2vi(vi)

Para obtener la densidad de masa de ambas cuerdas se ha realizado un ajustelineal de los datos de estas dos ltimas tablas.

La representacin de los valores de la tabla 14 es la siguiente:

Grfica 1: Representacin de las medidas de la tensin de la cuerda elstica

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Velocidad al cuadrado (m/s)Tensin (N) Media Error

30,3 0,297 250 20

80,3 0,787 600 30

130,3 1,277 1100 400

230,3 2,257 1760 80

280,3 2,747 2300 600

Error NA

Masa (g)

0,1 0,001

y = b + axValor Error

b 0.31195 0.10301a 0.00182 0.00013R 0.9855 NA


Si se compara la ecuacin del ajuste:

T=0.3+0.0018v2 ,

con la que tendran que satisfacer la tensin y la velocidad al cuadrado:

T= v2 ,

se deduce que la pendiente de dicha grfica se corresponde con la densidad lineal demasa. Por lo tanto, su valor en el caso de la cuerda elstica es de (1.8 0.1)10-3 kg/m.

La representacin de los valores de la tabla 15 es:

Grfica 2: Representacin de las medidas de la tensin de la cuerda plsticacon respecto al cuadrado de la velocidad de propagacin de la onda.

Siguiendo el razonamiento anterior, se tiene que la densidad lineal de la cuerdaplstica es de (1.22 0.06)10-3 kg/m.

Para tener un factor extra con el que comparar la fiabilidad de estas medidas seha representado tambin el inverso de la tensin frente al inverso del cuadrado de la ve-locidad.

En este caso, dado que la frmula con la que habra que comprar los ajustes line-ales es la siguiente:

1T=v

2

la pendiente a de la regresin se trata del inverso de la densidad lineal de masa de las

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b 0.02382 0.08849a 0.00122 0.00006R NA0.0992


2=1a(a)( 1a2)

As:

Grfica 3: Representacin del inverso de las medidas de la tensin de lacuerda elstica con respecto al inverso de las medidas del cuadrado de lavelocidad de propagacin de la onda.

La densidad de cuerda elstica esta vez es de de (3.50 0.02)10-3 kg/m.

Grfica 4: Representacin del inverso de las medidas de la tensin de lacuerda plstica con respecto al inverso de las medidas del cuadrado de lavelocidad de propagacin de la onda.

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b 0.1846 0.0104a 285.609 1.7528R NA0.09999


b 0.04987a 842.406 24.789R NA

-0.03782

0.09974


La densidad de cuerda plstica es de de (1.19 0.03)10-3 kg/m.

4 Discusin de Resultados.Los resultados obtenidos de la velocidad de propagacin de la onda a travs de la

cuerda elstica y a travs de la cuerda plstica ponen de manifiesto la independencia deesta con respecto a su frecuencia. De esta manera, tal y como se anticipaba tericamen-te segn la frmula:

v=T ,la variacin de la tensin ha sido la que en mayor medida ha originado una variacin enla magnitud de la velocidad. Esto es, ha sido sobre todo el incremento de la masa de laspesas aplicadas en los extremos de la cuerda lo que ha originado un incremento de lavelocidad.

Aparentemente, segn los ajustes lineales de las grficas 1 y 2, el valor de la den-sidad lineal de masa ha permanecido constante en las dos cuerdas. Por lo tanto, dichasregresiones sugieren que el valor de no ha influido en ninguno de los casos al valor dev.

Las grficas 3 y 4 ponen esto en entredicho. As, dado que representan la ecua-cin:

1T= v2 ,

es de esperar que el inverso de la pendiente del ajuste lineal de ambas grficas sea muy parecido al obtenido en los casos anteriores. Sin embargo, el resultado que se obtiene dela densidad lineal de la cuerda elstica, de (3.50 0.02)10-3 kg/m, es muy dispar al querefleja la regresin lineal de la grfica 1: (1.8 0.1)10-3 kg/m.

Esto se puede interpretar como que los datos representados no siguen un modelolineal. Es decir, la pendiente de la funcin que mejor se ajusta a los datos no permanececonstante en cada punto. Esta conclusin es, de hecho, coherente con las propiedadesparticulares de la cuerda elstica. As, mientras mayor es el peso que cuelgue por unode los extremos de la cuerda, es de esperar que se estire y, por lo tanto, disminuya lacantidad de masa por unidad de longitud. Esto se pudo comprobar empricamente amedida que se realizaba el experimento.

Los resultados obtenidos para la cuerda plstica, (1.19 0.03)10-3 kg/m, segn lacuarta grfica, y (1.22 0.06)10-3 kg/m, segn la segunda, se solapan perfectamente.Por lo tanto, al contrario que en el caso de la cuerda elstica, se puede deducir que ladensidad lineal de masa de la cuerda permanece constante con el incremento de la ten-

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sin. Tambin esto se ajusta a las propiedades particulares de esta cuerda, ya que no escapaz de estirarse.

5 Conclusiones.El modelo terico de onda mecnica transversal que se propaga a travs de una

cuerda tensa de extremos fijos describe adecuadamente el comportamiento de una ondareal. Ahora bien, es necesario tener en cuenta las caractersticas de cada cuerda para sa-ber cmo aplicar correctamente las frmulas deducidas en el marco terico.

Por otro lado, la relacin entre la tensin y el cuadrado de la velocidad es lo bas-tante fuerte y poco sensible a otra serie de variables como para que un mtodo tanpoco preciso como el empleado sea suficiente para obtener unos buenos resultados.

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informe 5

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