CUESTIONARIO

1. De la Tabla 1, grafique T2 (s) versus L (cm) en papel milimetrado; coloque la

variable L en el eje X y la Variable T2 en el eje Y. A partir del gráfico calcule el

valor de g. Determine el error porcentual experimental con respecto al valor

g=9,78 m/s2.

Rpta. La línea recta nos indica que si se establece una proporcionalidad

directa entre L y T2, la cual es de la siguiente forma:

T2 L(m) T2 * L T4

2.924

2,673

2.25

1,899

1,515

1.096

0,706

0.85

0,70

0,59

0.50

0,41

0,30

0,19

2.485

1.871

1.328

0.949

0.621

0.329

0.134

8.549

7.145

5.063

3.606

2.295

1.201

0.498

13.063 3.54 7.717 28.357

Donde:

m=7∗7 .717−13 .063∗3 .547∗28 .357−(13.063 )2

=0 .239

Entonces: L = 0.239 x T2

Rpta: Del ejercicio 9 del procedimiento tenemos:

L= 0.239 x T2 Pero por teoría: T = 2Π √ Lg , despejando L tenemos:

L =

g4Π

2 x T2 Luego: 0.239 =

g4Π

2

Calculando el error porcentual (E%)

E% =

Valorteórico−Valor experimentalValorteórico

×100 =

9 .78−9 .4269 .78

×100= 3.619%

L = m x T2

g=9 ,426m /s2

2. Con los datos de la Tabla 2 grafique T versus m en papel milimetrado. ¿A qué

conclusión llega observando la curva? ¿La conclusión coincide con la

observación cualitativa que se hizo al inicio de este laboratorio?

Rpta: Sí, es decir, se verifica que el período de un péndulo simple no depende de la

masa, pues a masas diferentes, mientras la longitud de la cuerda sea la misma, el

período no varía.

3. Grafique T(s) versus θ (grados) en papel milimetrado. Determine los pares

ordenados de la Tabla 3. ¿Existe dependencia de T con la amplitud angular θ ?

Si fuere así ¿Cómo sería esta dependencia?

Rpta: El periodo (T) no depende de la amplitud (θ ). Porque con los datos obtenidos

en la Tabla Nº 03 no se comprueba ninguna dependencia de T con θ .

Además por fórmula del periodo T = 2Π √ Lg , es decir, el periodo es independiente

de la amplitud (θ ) se requiere solamente que θ <10°, o sea que si aumentamos la

amplitud (cuidando que no supere de 10°) el periodo no cambiará.

4. ¿Hasta qué valor del ángulo el periodo cumplirá con las condiciones de un

péndulo simple?

Rpta: Para que se cumpla todas las condiciones de un péndulo simple el ángulo debe

ser menor que 10° es decir θ<10 .

5. Comprobó la dependencia de T versus L? ¿Cómo explica la construcción de

relojes de péndulo de distintos tamaños?

Rpta: Con los datos obtenidos en la Tabla Nº01 tenemos:

L 10 20 30 40 50 60 80 100

T 0,617 0.884 1,087 1,242 1,431 1,564 1,744 1,960

Cumplen:

T

√L=m

m = cte.

m1 m2 m3 m4 m5 m7 m8

0 ,617

√0 ,100 ,884

√0 ,201 ,087

√0 ,301 ,242

√0 ,401,564

√0 ,601,744

√0 ,801,960

√0 ,100

m =1,97 Entonces

T

√L=1 ,97

T=1,97 √LEl periodo (T) es dependiente de la longitud L.

El periodo es independiente de la masa pendular; se requiere solamente que la masa

tenga dimensiones pequeñas. O sea si aumentamos la masa; el periodo no varía.

Como ya comprobamos la dependencia de T vs L (según T=2,10√L ) T√L el

periodo es dependiente de la longitud (l).

Es decir que para construir relojes de péndulo de distintos tamaños tenemos que

tener en cuenta lo siguiente.

o Si aumentamos la longitud, el periodo aumenta, esto quiere decir que las

oscilaciones serán más lentas.

o Si acortamos la longitud, el periodo disminuye y las oscilaciones serán más

rápidas y los péndulos simples cumplen T=2π √ Lg .

6. Con los datos de la tabla º2 N, grafique T(s) vs. m (g) en papel milimetrado. ¿A

qué conclusión llega observando la gráfica?

Rpta: Sí, es decir, se verifica que el período de un péndulo simple no depende de la

masa, pues a masas diferentes, mientras la longitud de la cuerda sea la misma, el

período no varía.

7. Grafique T(s) vs. Θ (grados) en papel milimetrado. Determine los pares

ordenados de la tabla º3 N. ¿Existe alguna dependencia entre el periodo T con

respecto a la amplitud angular θ? Si fuere así, ¿cómo sería esta dependencia?

Rpta: El periodo (T) no depende de la amplitud (θ ). Porque con los datos obtenidos

en la Tabla Nº03 no se comprueba ninguna dependencia de T con θ .

Además por fórmula del periodo T=2π √ Lg es decir, el periodo es independiente de la

amplitud (θ ) se requiere solamente que θ <10°, o sea que si aumentamos la amplitud

(cuidando que no supere de 10°) el periodo no cambiará.

8. ¿Hasta qué valor del ángulo, el periodo cumplirá con la condiciones de un

péndulo simple? explique matemáticamente.

Rpta: El péndulo simple está formado por una masa pequeña “m” que está unida a un

extremo de una cuerda, de longitud L y masa despreciable de tal forma que no afecta

en el movimiento del péndulo

La posición de la masa en la parte más baja corresponde a la posición de equilibrio, de

tal manera que si es llevada fuera de esta posición, las fuerzas que actúan sobre la

masa tratarán de llevarla a la posición de equilibrio. Sea q0 el ángulo de amplitud

máxima, y q el ángulo para cualquier tiempo. Las fuerzas que actúan sobre la masa

son: el peso, mg; y, la tensión, T. La componente tangencial de la ecuación de

movimiento, de acuerdo a la Segunda Ley de Newton, es:

−mg . senθ=m .aT

Donde aT es la aceleración tangencial, dada por el producto del radio de giro L y la

aceleración angular, de tal manera que la ecuación de movimiento se puede escribir

como:

d2θdt 2

+ gLsenθ=0(1)

La ecuación de movimiento no corresponde a la de un Movimiento Armónico Simple,

que tiene una forma general dada por:

 

d2ξdt 2

+ϖ02 ξ=0 (2 )

Donde ξ es la variable de posición, y w0 es la frecuencia angular de oscilación.

Generalmente en los movimientos oscilatorios que no son armónicos simples se busca

determinar las condiciones bajo las cuales el movimiento se pudiera considerar

armónico simple. En este caso al comparar la ecuación de movimiento (ecuación 1),

con la ecuación general de un Movimiento Armónico Simple, es fácil ver que si:

senθ≈θ(3)

La ecuación de movimiento queda en la forma de un Movimiento Armónico Simple:

d2θdt 2

+ gLθ=0(4 )

La condición 3 indica se refiere a ángulos pequeños (menores a 12º), por lo que la

condición señala que se trata de “pequeñas” oscilaciones. Comparando las

ecuaciones 2 y 4 se puede identificar a la frecuencia angular:

ϖ 0=√ gLComo la frecuencia angular es igual al cociente de 2π entre el período, T0, entonces

tenemos que el período para pequeñas oscilaciones es:

T 0=2π √ Lg9. ¿Comprobó la dependencia de T vs. L? ¿Cómo explica la construcción de

relojes de péndulo de distintos tamaños?

Rpta: Se comprobó la dependencia de T vs L: si un péndulo tiene menor longitud, su

periodo T, tiende a disminuir.

El péndulo, como elemento regulador del reloj, tiene que oscilar con un periodo

determinado. Dicho periodo de oscilación necesario para que el reloj marque la hora

correctamente, depende exclusivamente del mecanismo. Ese periodo es por lo tanto,

una característica básica del mecanismo del reloj.

Lo primero que puede hacer es determinar el periodo característico del mecanismo.

Dicho periodo se calcula con la fórmula:

T 0=3600 x1

ϖ ' .n

Donde T 0 es el periodo expresado en segundos, ϖ ' es la velocidad angular de la

rueda de escape expresada en vueltas/hora, y n es el número de dientes de la rueda

de escape.

Para calcular ϖ ' se parte del cañón minutero que debe girar a la velocidad angular de

1 vuelta/hora. Las velocidades angulares de cada uno de los ejes del movimiento se

van calculando a partir de esta. El cálculo se hace teniendo en cuenta que la relación

de velocidades angulares y número de dientes de dos ruedas dentadas que engranan,

es:

ϖ ' 1. n1=ϖ' 2 . n2

Con esta sencilla fórmula, partiendo del cañón minutero, se llega a la velocidad

angular de la rueda de escape.

Una vez conocido el periodo necesario, que debe tener el péndulo, puede aplicarse la

fórmula:

T 0=2π √ LgSiendo g intensidad del campo gravitatorio terrestre, y L longitud del péndulo. Esto

nos permitirá calcular la longitud L de un péndulo simple, que tendría el periodo

indicado.

En la práctica, nuestro péndulo real oscilando en el reloj, no se comportará como un

péndulo simple, dado que no lo es (péndulo simple: péndulo de masa puntual m,

suspendida de un hilo de masa despreciable, oscilando en el vacío, sin otra fuerza

exterior más que la que ejerce un campo gravitatorio).

Nuestro péndulo colocado en el reloj, estará sometido a las sucesivas fuerzas que le

aportará el mecanismo, que evitarán que se pare. Tendremos también las fuerzas de

rozamiento del péndulo con el aire. Por todo ello, la fórmula citada, correspondiente al

"MAS", nos dará tan solo una aproximación a la longitud necesaria.

Finalmente, iremos incrementando la masa de la lenteja del péndulo de forma

progresiva, hasta que para un determinado valor de la misma, el periodo de nuestro

reloj sea el deseado.

En ese momento, tendremos los dos parámetros básicos de nuestro péndulo: longitud

y peso.

10. Cuando la longitud del péndulo de un reloj se expande por efecto del calor,

¿gana o pierde tiempo?

Rpta: Observamos que el Periodo de oscilación es directamente proporcional al

cuadrado de la longitud que tenga la cuerda con la cual se desarrolla las oscilaciones

T1T2

=√L1√L2

Entonces si el péndulo se expande, su periodo de oscilación tiene que aumentar. Por

lo tanto, gana más tiempo.

11. Explique el significado “péndulo que bate el segundo”.

Rpta: Resulta que el tiempo de oscilación depende de la longitud y de la aceleración

de la gravedad.

Si en determinado lugar deseamos construir un péndulo cuyo tiempo de oscilación sea

un segundo, tendremos que modificar su longitud.

Ello se logra aplicando la expresión:

t=π .√ lgLuego:

t 2=π2. lg

y

l= t2 . gπ2

De este modo para t = 1 seg. Se logra un péndulo que “bate el segundo”. Por ello

decimos:

Péndulo que bate el segundo es aquel que cumple una oscilación simple en un

segundo.

12. ¿Por qué es necesario que la amplitud de oscilación para cada longitud es

siempre menor que un décimo de la longitud utilizada?

Rpta: Supongamos el péndulo en la posición de equilibrio AM (Fig. izquierda). El peso

P es anulado por la reacción del hilo y no hay oscilación. Consideremos la posición

OA, procedamos a descomponer la fuerza peso P, según las direcciones m y n.

Obtendremos las fuerzas F1 y F’. La fuerza F’ queda anulada por la reacción del hilo.

(Fig. abajo)

En consecuencia, en el punto A actúa solamente la fuerza F1, tangente al arco AMB y

que provoca el movimiento del péndulo hacia M.

Si en el punto A’ efectuamos el mismo proceso de descomposición de la fuerza (P)

peso, observaremos que F2 es menor que F1 obtenida anteriormente.

Resulta entonces que, a medida que a medida que, el péndulo se acerca a su posición

de equilibrio OM la fuerza que provoca el movimiento disminuye hasta hacerse cero

en el punto M (peso y reacción se anulan).

A pesar de ello, el péndulo continúa oscilando. Ello se debe a la inercia que posee. Si

durante este movimiento actúa una fuerza F1, F2, etc., el movimiento es acelerado (no

uniformemente acelerado).

Cuando el péndulo pasa al punto M, el peso del cuerpo actúa como fuerza negativa,

es decir, el movimiento es retardado. Así llegará a un punto B en que su velocidad se

anula, y no sube más.

En ese momento el proceso se invierte, repitiéndose en sentido contrario, es decir, de

B hacia M, continuando hasta A.

13. ¿En qué punto de su oscilación, el péndulo tiene la mayor velocidad y la

mayor aceleración? Explique.

Rpta: En síntesis:

1) Mayor Aceleración: en el punto A ya que vemos que la fuerza F1 desplaza el

péndulo hacia la derecha

2) Mayor velocidad: en el punto M ya que la velocidad máxima lo alcanza en el

momento en que se encuentra en el punto más bajo.

CONCLUSIONES

En la siguiente experiencia hemos podido sacar de conclusión que el periodo T

de un péndulo simple no depende, ni es proporcional a la masa m y al ángulo.

Que el periodo es indirectamente proporcional de la aceleración de la

gravedad.

Por otro lado se ha podido notar que si el periodo disminuye, el péndulo oscila

más rápido.

De igual manera si el periodo aumenta, el péndulo oscila más lento.

Un péndulo simple, o una variante de este, también es un método preciso y

práctico para medir el valor de la aceleración de la gravedad (g) pues es fácil

medir con precisión L y T.