LENGUAJE ALGEBRAICO.

Problemas de Planteamiento

DEFINICIÓN:

Muchos problemas de la vida real se pueden traducir a un lenguaje algebraico, para luego así poder llegar a una respuesta. Pero antes es necesario tener en cuenta algunos conceptos, ya que en Álgebra se usan letras y números.

-6x²y

Observación:

01.-Si el signo es mas “+” , no es necesario escribirlo.

02.-Si la parte numérica es “1”, no es necesario escribirla.

03.-Entre cada componente de un término hay una multiplicación. Ejemplo: -6x²y es lo mismo que escribir -6 · x² · y

Signo

Parte Numérica

Parte Literal

Sumando y/o restando diversos términos podemos construir expresiones más largas. A la suma (o resta) de dos términos lo denominamos binomio, a la de tres términos trinomio, y para sumas (o restas) más largas usamos el nombre polinomio.

Lo primero con lo que debe uno familiarizarse es con la evaluación de expresiones: Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por valores numéricos.

Ejemplo: Si queremos llegar al resultado (xa-x)· (xa+x) , debemos

saber (o tal vez inventar), el valor numérico de “x” y “a”. Nosotros inventaremos y usaremos x=2 y a=3. Por lo cual el resultado sería:

(2³ - 2) · (2³ + 2) = (8 - 2) · (8 + 2) = 6 · 10 = 60

ACTIVIDAD:

01.- Evalúa las expresiones a – b y b – a para los siguientes valores de a y b:

i) a = 13; b = 5

ii) a = -6; b = 10

iii) a = 5,6; b = -8,2

02.-Evalúa las expresiones y + para los siguientes valores de a y b:

i) a = 9; b = 16

ii) a = 36; b = 64

03.-Evalúa las expresiones x – (3x – 1) y 1 – 2x para los siguientes valores de x:

i) x = 8

ii) x = -4

iii) x = 0

04.- ¿Cuáles de las siguientes expresiones son iguales entre sí? Intenta con diferentes valores y luego decide.

i) (a – b)²

ii) a² – b²

iii) (a + b) · (a – b)

iv) a² – 2ab + b²

05.- Para saber el estado nutricional de una persona, se puede calcular el Índice de Masa Corporal (IMC). Para eso se divide la masa m (en kilogramos) por el cuadrado de la estatura h (en metros). Si el IMC está entre 18,5 y 25, se cataloga como normal; entre 25 y 30 se considera sobrepeso y sobre 30 se considera obesidad. Bajo 18,5 se considera infrapeso. Usando álgebra, el IMC se expresa como

i) Calcula tu IMC, usando una calculadora.

ii) Prueba con diferentes valores, planteándote diferentes situaciones.

OPERATORIA BÁSICA DEL ÁLGEBRA:

Como vimos anteriormente a veces dos expresiones Algebraicas son equivalentes, deducimos esto verificando el resultado. Ahora veremos como simplificar una expresión, es decir, equivalente a esta misma pero reducida .

Suma y Resta:

Sólo se puede simplificar una suma (o resta) de términos si hay términos semejantes. Términos semejantes son términos que poseen exactamente la misma parte literal. ¿Cómo se suman (o restan) términos semejantes? Se suman (o restan) las partes numéricas. El factor literal se mantiene.

Ejemplo: 8x²y – 3x²y + 9xy = 5x²y + 9xy

Observación: Solo los dos primeros términos son semejantes, el tercer término no tiene la misma parte literal. El resultado ya no se puede simplificar más.

Multiplicación:A diferencia de la suma, siempre se puede simplificar una multiplicación de términos. No necesitan ser términos semejantes. Para multiplicar términos, multiplicamos las partes numéricas entre sí y las partes literales entre sí.

Ejemplo: 2x²y · 6y · 4x²y³ = 48xy

Observación:

i) Multiplicamos las partes numéricas entre si : 2· 6 · 4 = 48

ii) Multiplicamos las partes literales entre si : Para eso multiplicamos las “x” entre si, y las “y” entre si.

x² · x² = x ² + ² = x y · y · y³ = y ¹ + ¹ + ³ = y

Prioridad de Operaciones y Uso de Paréntesis:El orden de las operaciones es: Primero: Multiplicaciones y divisiones. Después: Sumas y restas. Si se desea alterar este orden, se debe usar paréntesis. Para eliminar paréntesis se utilizan ciertas reglas.

Si al paréntesis lo antecede un signo “+”, se puede eliminar sin problema.

Si al paréntesis lo antecede un signo “–”, se elimina tanto el signo “–” como el paréntesis, pero se cambian los signos de todos los términos dentro del paréntesis.

ACTIVIDAD:01.-

i) Calcula y compara: a) 5p³q + 7p³q b) 7p³q + 5p³q

ii) ¿Es cierto que x + y = y + x?

02.-

i) Calcula y compara: a) 12m² – 4m² b) 4m² – 12m²

ii) ¿Es cierto que x – y = y – x?

03.-

i) Calcula y compara: a) (9ab + 3ab) + ab b) 9ab + (3ab + ab)

ii) ¿Es cierto que (x + y) + z = x + (y + z)?

04.-

i) Calcula y compara: a) 4a³bc² 6ab³c³ b) 6ab³c³ 4a³bc²

ii) ¿Es cierto que x y = y x?

05.-

i) Calcula y compara: a) (-2ab² · 3ac³) · ac b) -2ab² · (3ac³ · ac)

ii) ¿Es cierto que (x y) z = x (y z)?

PRODUCTOS NOTABLES:La propiedad distributiva establece que: a · (b + c) = a· b + a· c.

En su forma más general plantea que: (a + b) · (c + d) = a· c + a· d + b· c + b· d

Los llamados productos notables son casos especiales de la forma más general de la propiedad distributiva. Si uno conoce los productos notables, puede acortar considerablemente los cálculos.

Estos productos nacen de las siguientes preguntas: ¿Qué sucede si el segundo paréntesis es exactamente igual al primero? ¿Qué sucede si el segundo paréntesis es exactamente igual al primero, excepto por un signo?

Se obtienen las tres fórmulas siguientes:

Cuadrado de Binomio:

Fórmula: (a + b)² = a² + 2ab +b²

La primera se puede explicar mediante

el siguiente esquema:

Suma por Diferencia:

Fórmula: (a – b)2 = a² – 2ab + b²

ACTIVIDAD:

01.- Usa la propiedad distributiva para demostrar las fórmulas de los productos notables.

02.- Explica la segunda fórmula del cuadrado del binomio usando algún esquema. Trata primero por tu cuenta. Si no se te ocurre, busca en Internet.

03.- Calcula las siguientes expresiones. Verifica tu resultado evaluando.

i) (x + 2)²

ii) (4a – 1)²

iii) (x + 2y)(x – 2y)

iv) (7m – 3n)(7m + 3n)

04.- ¿Qué expresiones faltan en cada caso? Rellena los espacios que faltan para obtener dos expresiones equivalentes.

i) (3x +█)² = █ + █ + 49

ii) ( █ – 4)² = █ – 48y + █

iii) (█ + █)² = 4x² + 32x + █

FACTORIZACIÓN:Hasta el momento hemos utilizado la propiedad distributiva y los productos notables para eliminar paréntesis que pudiera haber en una expresión y luego simplificar. Sin embargo hay muchos ejercicios en que se requiere hacer justamente lo contrario, es decir poner paréntesis. Este proceso se conoce como factorización.

En general factorizar es más complicado que eliminar paréntesis, pues uno debe reconocer qué ejercicio había originalmente y eso requiere de ejercitación. Además hay expresiones que no se pueden factorizar.

• A continuación te presentamos una pauta que puedes seguir para tratar de factorizar un ejercicio:

Busca factor común: Esto consiste en “deshacer” la propiedad distributiva. Normalmente se presenta en dos situaciones:

i) ac + ad = a (c+d)

ii) (a + b)c + (a + b)d = (a + b) ∙ (c + d)

¿Cómo reconocerlo? → Un factor (o varios factores) debe repetirse en cada término de la suma. (En el primer ejemplo era “a”. En el segundo era “(a + b)”). Ese es el factor común.

Busca si hay diferencia de cuadrados (suma por diferencia):

a² – b² = (a + b) (a – b)

¿Cómo reconocerlo? →

i) Debe haber dos términos.

ii) Ambos términos deben ser cuadrados perfectos.

iii) Ambos términos deben estar restados. (Para ser más precisos, deben tener distinto signo).

Busca si hay un trinomio cuadrado perfecto (cuadrado de binomio):

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²

¿Cómo reconocerlo? →

i) Debe haber tres términos.

ii) Dos términos deben ser cuadrados perfectos.

iii) El tercer término se debe verificar apartes. Busca si hay un trinomio de la forma:

x² + px + q

Este trinomio se factoriza: x² + px + q = (x + a)∙(x + b), con a + b = p y a∙ b = q

¿Cómo reconocerlo? → Debe haber un polinomio de segundo grado. El coeficiente de x² debe ser 1.

¿Cómo reconocerlo? → Busca dos números, a y b, que sumados den p (el coeficiente de x) y que multiplicados den q (el coeficiente libre)

Si hay más de tres términos, agrupa algunos de ellos y aplica los métodos anteriores:

• Ejemplo: xy + xa + wy + wa = x ∙ (y + a) + w ∙ (y + a) = (y + a) ∙ (x + w)

Recuerda que si no logras factorizar un ejercicio, puede ser porque no se te ocurrió el método correcto, o tal vez porque se debe usar algún método que desconoces (hay muchos métodos más aparte de los que mencionamos) o simplemente porque no se puede factorizar. En este caso, la respuesta es: “no puedo factorizar este ejercicio con los métodos que disponemos”. Si hay más de tres términos, agrupa algunos de ellos y aplica los métodos anteriores.

Agrupamos estos dos

Agrupamos estos dos

ACTIVIDAD:

No hay factor común

¿Hay Sumas

?

¿Hayalgún factor

quese repita en

cadatérmino?

Inicio

Saca factor Común

Sí

Sí

no

no

01.- A la derecha ves un diagrama de flujo que explica cómo sacar factor común.

• Usa el diagrama para tratar de factorizar las siguientes expresiones:

i) xy² + y²w

ii) 5xy² – 15y

iii) 4xy + 8xy² – 12xy³

iv) 24a³b² – 12a³b³

v) x(a + 7) + 5(a + 7)

vi) 2x(a – 1) – 3y(a – 1)

vii) 8a – 8abc

viii) 3x + 5y + z

02.-

i) Construye un diagrama de flujo para la diferencia de cuadrados.

ii) Construye un diagrama de flujo para el trinomio cuadrado perfecto.

iii) ¿Puedes hacer un diagrama de flujo que fusione los dos diagramas anteriores.

iv) Puedes hacer un diagrama que fusione “factor común”, “diferencia de cuadrados” y “trinomio cuadrado perfecto”?

03.- Factoriza las siguientes expresiones. Ten presente que se quiere factorizar al máximo, es decir puedes aplicar varios métodos uno tras otros. No te detengas hasta que hayas comprobado que ningún método funciona más.

i) x² – 100

ii) 25a² – 144b²

iii) 9x²y – 121z

iv) 16x² + 8x +1

v) 4y² – 24y + 36

vi) 25x² + 30xy + 9y²

vii) x² + 8x + 15

viii) n² + n – 20

ix) m² – 12m + 27

x) xm – ym + xn – yn

04.- La expresión x² + 6x + 9 puede analizarse como trinomio cuadrado perfecto y también como trinomio de la forma x + px + q. ¿Cuál de las dos debe privilegiarse? ¿O da lo mismo?

05.- Calcula los siguientes ejercicios de la manera más eficiente posible:

i) 3 ∙ 15 – 3 ∙ 12 – 3 ∙ 3

ii) 0,2 ∙ 3,5 + 0,2 ∙ 1,5 – 0,2 ∙ 4

iii) 77² – 23²

iv) 14² - 16