PRÁCTICA DE LABORATORIO NÚM 3

P-SLM-03

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Rev. nº 1.0

Fecha 07/07/2010

DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM

Equation Chapter 1 Section 1

Información de la práctica

Título: DIFRACCION EN CAMPO CERCANO CON UN SLM

Asignatura: Óptica

Autores: Luis Miguel Sánchez Brea, José María Herrera Fernández

Horas: 3 horas

ALUMNO

Conocimientos

previos:

Haberse leído el principio de funcionamiento

Repasar conceptos de óptica, en particular la difracción en campo cercano, de la asignatura Óptica.

MATERIAL

Material

necesario:

Esquema:

Equation Chapter 1 Section 1

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Control de versión y tareas realizadas

VERS. FECHA COMENTARIO Realización

1.0 03/06/2010 Diseño de práctica Luis Miguel Sánchez Brea

1.0 12/06/2010 Realización de las imágenes Luis Miguel Sánchez Brea

1.0 24/06/2010 Realización de la práctica Luis Miguel Sánchez Brea, José María Herrera

Fernández

Índice

INFORMACIÓN DE LA PRÁCTICA ................................................................................................................... 1

CONTROL DE VERSIÓN Y TAREAS REALIZADAS ........................................................................................ 2

ÍNDICE ................................................................................................................................................................ 2

1 OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA ............................................................................................................... 3

2 INTRODUCCIÓN TEÓRICA ...................................................................................................................... 3

2.1 Semiplano ......................................................................................................................................... 3 2.2 Rendija .............................................................................................................................................. 6 2.3 Abertura circular ................................................................................................................................ 6

3 DESARROLLO EXPERIMENTAL ............................................................................................................. 9

3.1 Esquema de montaje ........................................................................................................................ 9 3.2 Montaje experimental ........................................................................................................................ 9

4 REALIZACIÓN EXPERIMENTAL ............................................................................................................ 10

4.1 Semiplano ....................................................................................................................................... 10 4.2 Rendija ............................................................................................................................................ 10 4.3 Abertura circular .............................................................................................................................. 11 4.4 Abertura cuadrada ........................................................................................................................... 12 4.5 Lentes de Fresnel ............................................................................................................................ 13

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Advertencias:

En esta práctica se emplea como fuente de luz un haz láser; debe

evitarse mirar directamente la luz que emite o cualquier reflejo directo.

El modulador de luz es un sistema delicado. Si tocamos el modulador

con los dedos, etc. lo romperemos. Está terminantemente prohibido

tocar el modulador.

1 Objetivos de la práctica

Observación de diferentes diagramas de difracción

Principios de funcionamiento de la lente de Fresnel

2 Introducción teórica

La aproximación de Fresnel se basa en la siguiente ecuación

2 2

20

1( , , ) e ( , )e

ki x y

ikz zx y z d di z

E E (1)

donde el campo incidente a la salida del elemento difractor 0( , ) ( , ) ( , )inct E E se obtiene como

la multiplicación del campo incidente por la transmitancia de dicho elemento difractor, según la aproximación

de elemento delgado.

2.1 Semiplano

Sea una onda plana monocromática en incidencia normal que ilumina un semiplano. El problema puede ser

tratado como unidimensional y la ec. (1) se transforma en

2( )

20, , ( ) ( )

ki x

ikz zi

x y z e t e dz

E E , (2)

siendo para este caso particular

1 0

( )0 0

t

. (3)

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Fig. 1. Esquema de la difracción en campo cercano por un semiplano

Realizando un cambio de variable, / ( )( )k z x , obtenemos que la integral resulta

2 /2

1/ iz k e d

(4)

donde 1 /x k z . Asimismo, sabiendo que las definiciones del coseno de Fresnel y el seno de

Fresnel resultan

2

0

2

0

( ) cos / 2

( ) sin / 2

C t dt

S t dt

(5)

Fig. 2. Funciones C(x) y S(x).

La integral resulta

( ) 1/ 2

( ) 1/ 2

C

S

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2 2 21/2 /2 /2

1 0 0

1 1

1/ 2 1 1/ 2 1

i i ie d e d e d

C iS C iS

C i S

(6)

Esta integral tambien se puede resolver mediante

22

4

2

bcax bx c

ab

e dx e erf axa a

(7)

sabiendo que

1

( ) ( ) (1 )2 2

iC z iS z erf i z

. (8)

Si definimos Fig. 3

2 2 2

1 2 1 2 1 2, [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]l C C S S (9)

Fig. 3. Función 2

1 2,l

entonces la intensidad para un semiplano resulta (Fig. 4)

2

0 1

1, ,

2I x z I l (10)

Fig. 4. Intensidad en campo lejano generada por un semiplano.

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La distribución de intensidad en el campo cercano no es abrupta sino que aumenta de forma gradual

realizando posteriormente un “rizado” alrededor del valor máximo. Muy lejos del borde la intensidad es la que

geométricamente esperábamos, pero esto no ocurre así cerca del borde. Asimismo, La posición más cercana

al borde que cumple 0,I x z I sucede cuando

2

zx

. (11)

Claro está que cuanto más cerca estemos del borde o la longitud de onda sea menor, más nos acercaremos

al modelo geométrico de difracción por un borde.

2.2 Rendija

El caso de la rendija es muy similar al del semiplano excepto por los límites de integración

2/2

( )2

0

/2

, ,

d ki x

ikz z

d

ix y z e e d

z

E E (12)

cuyo resultado anteriormente se ha obtenido

2

0 1 2

1, ,

2I x z I l (13)

con 1 / (1 2 / )

2

dk z x d y

2 / (1 2 / )2

dk z x d

Fig. 5. Campo cercano a distintas distancias de la rendija a) muy cerca, b) distancia intermedia, c) lejos de la

rendija. c) empieza aparecerse al resultado obtenido con la aproximación de Fraunhofer.

Obviamente, la aproximación de Fresnel también es válida para campo lejano, pero es más complicada y se

llega a los mismos resultados que la aproximación de Fraunhofer

2.3 Abertura circular

Sea el caso de la abertura circular de radio R donde iluminamos con una onda plana en incidencia normal

0( , )inc E E .

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Fig. 6. Abertura circular.

Considerando el cambio de coordenadas a polares obtenemos que el campo a una distancia z resulta ser

2 22' 2 'cos( )

2 20 0

0 0

Rk kikzi i

z ze

P e d d ei z

E E (14)

Esta integral es complicada de resolver analíticamente. En la Fig. 7 se muestra la intensidad difractanda para

diversas distancias. Se observa que cuando estamos muy cerca del objeto, la intensidad se parece a la

geométrica excepto por una serie de anillos de luz cerca de los bordes. Sin embargo, enla zona central la

intensidad es bastante uniforme. No obstante, a medida que nos separamos el comportamiento se separa del

geométrico apareciendo máximos y mínimos de luz en el centro del círculo.

Fig. 7. Intensidad obtenida mediante la aproximación de Fresnel para una abertura de radio 0.5a mm ,

iluminada con un haz plano con longitud de onda 0.5 m para las distancias 10z mm ,

55.6z mm , 62.5z mm , 166.7z mm , 250z mm y 500z mm

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Podemos analizar este comportamiento estudiando analíticamente la intensidad en el eje, puesto que esta

integral sí es resoluble. Tomando (14) para ' 0

2 22'

2 20 0

0 0

Rk kikzi i

z ze

P e d d ei z

E E (15)

La primera integral se resuelve trivialmente y la segunda que se puede resolver obteniéndose

2

20 0

2 2 2

0 0

1

4 sin4

ki R

ikz zP e e

kI P R

z

E E

E .

(16)

y cuando z , mediante un desarrollo en series se obtiene

2

22

0 0

RI P

z

E (17)

teniendo un decaimiento cuadrático.

Fig. 8. Distribución de intensidad en el eje. A partir de una cierta distancia el decaimiento es inversamente

cuadrático.

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3 Parte experimental

3.1 Esquema de montaje

Figura 1: Esquema de montaje.

3.2 Montaje experimental

El montaje experimental que se debe montar corresponde al de la Figura 2. Sin introducir ningún

objeto, gire el polarizador y observe como de este modo puede variar la intensidad que llega a la

cámara CCD, ya que el láser está linealmente polarizado. Las líneas verticales que aparecen cuando

la intensidad es elevada se producen por saturación de la cámara CCD y no siempre pueden

eliminarse en los experimentos de difracción que se van a realizar. En cualquier caso, en cada

experiencia gradúe la intensidad con el polarizador hasta ver una figura de difracción nítida.

Figura 2: Montaje experimental

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4 Realización experimental

4.1 Semiplano

En el laboratorio se dispone de varias funciones creadas en MATLAB y que se han explicado en la

práctica 1: Adecuación y calibración de un modulador espacial de luz (SLM). Comenzaremos

observando la difracción producida por una imagen en la que se muestra el borde de un objeto

(Figura 3). Para ello en el montaje de la Figura 2 desplazamos la lente convergente hasta que la

cámara CCD recoja una imagen lo más nítida posible. Si hemos realizado bien este procedimiento

Figura 3: Borde y figura de difracción.

Como podemos observar, la frontera entre los dos niveles de color no es abrupta haciendo evidente

que en esta situación la óptica geométrica ha dejado de ser válida produciéndose la difracción.

4.2 Rendija

A continuación vamos a observar este mismo fenómeno utilizando como objeto difractor una rendija

a la que vamos a ir aumentando el tamaño.

Figura 4: Rendija de 200 μm, 400 μm, 600 μm, 800 μm, 1000 μm

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Figura 5: Figuras de difracción producidas por la Figura 4

4.3 Abertura circular

En la Figura 5 vemos que al ir aumentando el tamaño de la rendija en la imagen objeto también se

produce un aumento en la figura difractada, sin embargo volvemos a tener presente una clara

difracción observándose en el interior de la rendija los órdenes. Otra de las aberturas típicas que se

utiliza en la óptica difractiva es la abertura circular que al igual que antes variaremos de tamaño tal y

como indica la Figura 6

Figura 6: Aberturas circulares de 4000 μm, 3000 μm, 2000 μm, 1000 μm, 500 μm

obteniendo la figuras de difracción que vemos a continuación

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Figura 7: Difracción producida por las aberturas de la Figura 6

En la Figura 7 podemos ver las figuras de difracción producidas al ir variando el tamaño de la

abertura circular. Como vemos, la disminución del tamaño conlleva una mejor observación de las

fluctuaciones cercanas al borde.

4.4 Abertura cuadrada

En la abertura cuadrada se vuelve a observar el mismo comportamiento.

Figura 8 circulares de 3000 μm, 2000 μm, 1000 μm, 500 μm

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Figura 9: Difracción producida por las aberturas cuadradas de la Figura 8

4.5 Lentes de Fresnel

La Lente de Fresnel, es un diseño de lente que permite la construcción de lentes de gran apertura y

una corta distancia focal sin el peso y volumen de material que debería usar en una lente de diseño

convencional. Cuando las lentes son grandes, su grosor puede hacerse excesivo, pues hacen la

lente muy pesada y cara. Por ello, se puede mantener los radios de curvatura de las lentes

separándolas en anillos circulares. El grosor de la lente en cada anillo es diferente, eliminando el

enorme espesor que tendría la lente de ser sus superficies continuas, mientras que la superficie

presenta un aspecto escalonado. Se emplean en lupas planas con formato de tarjeta de crédito,

linternas de los faros, faros de los automóviles, indicadores de dirección, etc.

En nuestro caso, vamos a enviar al modulador una lente de Fresnel en la que hemos ido variando el tamaño

de la focal.

Figura 10: Lente de Fresnel de focal de 100 cm, 50 cm, 20 cm

A la hora de la fabricación material de estas lentes debido a las técnicas actuales conviene que el la

lente sea diseñada de forma binarizada, es decir, que en vez de en escala de grises como las que

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hemos mostrado en la Figura 10 solo estén en blanco y negro. Esta mayor facilidad a la hora de la

fabricación no resulta gratuita ya que lleva consigo una perdida en la eficiencia difractiva. En la Figura

11 podemos ver las lentes de Fresnel de la Figura 10 binarizadas.

Figura 11: Lente de Fresnel de focal de 100 cm, 50 cm, 20 cm y binaria