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PRÁCTICA DE LABORATORIO NÚM 2
P-SLM-02
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Rev. nº 1.0
Fecha 07/07/2010
DIFRACCIÓN EN CAMPO LEJANO CON UN MODULADOR ESPACIAL DE LUZ
Información de la práctica
Título: Difracción en campo lejano con un modulador espacial de luz
Asignatura: Óptica
Autores: Luis Miguel Sánchez Brea
Horas: 3 horas
ALUMNO
Conocimientos
previos:
Haberse leído el principio de funcionamiento
Repasar conceptos de difracción de la asignatura Óptica.
MATERIAL
Material necesario: Ordenador + banco óptico+ componentes del esquema.
Esquema:
SOFTWARE Y DOCUMENTACIÓN
Software: Software de control del modulador
BMP para el SLM: Imágenes para difracción por campo lejano (carpeta propia)
Equation Chapter 1 Section 1
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Control de versión y tareas realizadas
VERS. FECHA COMENTARIO Realización
1.0 3/6/2010 Diseño de práctica Luis Miguel Sánchez Brea
1.0 25/6/2010 Realización de las imágenes Luis Miguel Sánchez Brea
1.0 13/7/2010 Realización de la práctica José María Herrera Fernández
Índice
INFORMACIÓN DE LA PRÁCTICA ................................................................................................................... 1
CONTROL DE VERSIÓN Y TAREAS REALIZADAS ........................................................................................ 2
ÍNDICE ................................................................................................................................................................ 2
1 OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA ............................................................................................................... 3
2 FUNDAMENTO TEÓRICO ........................................................................................................................ 3
2.1 Abertura cuadrada ............................................................................................................................. 4 2.2 Rendija unidimensional ..................................................................................................................... 5 2.3 Abertura circular ................................................................................................................................ 6 2.4 Doble rendija ..................................................................................................................................... 9
3 ESQUEMA DE MONTAJE ...................................................................................................................... 11
4 REALIZACIÓN EXPERIMENTAL ............................................................................................................ 12
5 BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................................... 19
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Advertencias:
En esta práctica se emplea como fuente de luz un haz láser; debe
evitarse mirar directamente la luz que emite o cualquier reflejo directo.
El modulador de luz es un sistema caro. Si tocamos el modulador con
los dedos, etc. lo romperemos. Está terminantemente prohibido tocar el
modulador.
1 Objetivos de la práctica
Observación de diferentes diagramas de difracción
Medida del tamaño de varios objetos.
2 Fundamento teórico
El campo difractado en la aproximación de Fraunhofer se calcula mediante
2 2
( )2 ( )
0( , , ) ( , )
x yik z
kz i x yz
ex y z e d d
i z
E E . (1)
siendo válido cuando la distancia del plano de observación es 2 2
maxz
. Consideraremos la
aproximación de elemento delgado mediante la cual el campo a la salida del elemento difractivo se obtiene
como la multiplicación del campo incidente por la transmitancia
0 ( , ) ( , ) ( , )inct E E . (2)
Fig. 1. Esquema de difracción en campo lejano en el plano focal de una lente.
En el plano focal imagen de una lente convergente se tendrán unas coordenadas (x’,y’) que son fáciles de
relacionar con las (x,y):
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'tan ' '
'
'' 'tan
'
x
y
x x xx f
z f z
yy yy f
zz f
(3)
En la transformada de Fourier '
'
x x
z f
2.1 Abertura cuadrada
Sea una onda plana monocromática ( )
0, x yi k k
inc e
E E que ilumina una abertura rectangular Fig. 2
descrita mediante
1 ( / 2, / 2) ( / 2, / 2),
( , )0 resto
a a b bt
(4)
Fig. 2. Esquema de la abertura cuadrada.
Entonces el campo difractado se puede calcular a través de la siguiente integral. Debido a la simetría del
problema la integral doble se separa en dos integrales simples.
2 2
2 2
2 2
2 2
( ' ' )( ) '
0
' '( ) ( )
' '
0
', 'a b
x y
a b
a bx y
a b
ki x y
i k k f
x yi k k i k k
f f
x y d e e d
e d e d
E E
E
(5)
donde
2 2
( )2 /
x yik z
ze i z
. Esta integral se resuelve de forma sencilla
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0
' 'sen ( ) sen ( )
' 2 ' 2', ' 4
' '( ) ( )
' 2 ' 2
x y
x y
x a y bk k k k
f fx y ab
x a y bk k k k
f f
E E
,
(6)
siendo la intensidad
2 2
0
' 'sinc [( ) ]sinc [( ) ]
' 2 ' 2x y
x a y bI I k k k k
f f
,
(7)
donde 0I la intensidad máxima. En la Fig. 3 se muestra una imagen de esta distribución.
Fig. 3. Distribución de intensidad en el campo lejano generada por una abertura rectangular.
De este resultado se pueden obtener diversas consecuencias:
La distribución de intensidad es una serie de máximos y mínimos en las dos direcciones
perpendiculares del rectángulo.
El máximo central es el más intenso y los siguientes decaen rápidamente.
Condición de mínimos en cada dirección:
'( )
' 2
'( )
' 2
x
y
x ak k m
f
y bk k m
f
con m = ±1, ±2 … (8)
2.2 Rendija unidimensional
Si en la abertura rectangular una de las dimensiones es mucho mayor que la otra se obtiene una rendija. Es
decir, se hace tender, por ejemplo, b a .
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Fig. 4. Esquema de una rendija a partir de una abertura rectangular
La figura de difracción se puede deducir a partir de la abertura rectangular, aunque en la dirección y’ la figura
se comprime puesto que 0 0lim sinc[ ' ] 'b b b y y y y
2
0 0
'sen ( )
' 2( ') '
'( )
' 2
x
x
x ak k
fI x I y y
x ak k
f
(9)
Fig. 5. Intensidad en el campo lejano generada por una rendija.
2.3 Abertura circular
Supongamos que una abertura circular de radio a es iluminada por una onda plana monocromática en
incidencia normal 0,inc E E . La transmitancia se puede escribir como
Sea una onda plana monocromática 0,inc E E que ilumina una abertura rectangular Fig. 2 descrita
mediante
2 2
2 2
1( , )
0
at
a
(10)
Debido a la simetría del problema es más conveniente escribir en coordenadas polares.
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cos
sin
' 'cos '
' 'sin '
x
y
d d d d (11)
Entonces la integral que rige la aproximación de Fraunhofer se puede escribir como
'cos( ')2
'
0 00 0
', '
kia
fd u e d
E E (12)
Por simetría, la soluciónes independiente de ' por lo que mediante un sencillo cambio de variable
obtenemos
'cos2
'
0 00 0
'
kia
fd u e d
E E (13)
Este integral se resuelve con las funciones de Bessel
0 0 10
' ' '' 2
' ' '
a k f kRd J RJ
f k f
E E (14)
por lo que la intensidad resulta
2'
1 '
0 '
'
ka
f
ka
f
JI I
(15)
Un esquema del problema se muestra en la Fig. 6 y la distribución de intensidad radial en la Fig. 7.
Fig. 6. Intensidad en el campo lejano producida por una abertura circular
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Fig. 7. Distribución de intensidad radial producida por la apertura circular.
Energía relativa de los primeros lóbulos resulta ser: 1er anillo: 84%, 2º anillo: 7%, 3er anillo: 2.8%. definida
como la intensidad total dentro de cada lóbulo.
21
1( )2
Pn
Pn
J zQ zdz
z
(16)
Para calcular el tamaño de la mancha de luz hay que determinar el radio del primer cero de la función
intensidad
2
' 1.22 ' 1.22 '' 2
af
f a
(17)
En campo lejano se observa un circulo rodeado de anillos, en vez de un sólo punto según la Óptica
Geométrica. Esto hace disminuir el poder resolutivo de un instrumento óptico, definido como la capacidad de
distinguir objetos próximos.
Dado un sistema formador de imagen (p. ej. lente convergente) y dos puntos muy alejados de él, el problema
se puede ver como difracción de Fraunhofer: ondas planas procedentes de los dos puntos que sufrirán
difracción por la abertura que supone el sistema óptico. En plano focal del sistema se formarán las dos
manchas de difracción.
Una forma de medir esta degradación es ver cuál es el poder resolutivo del sistema. Se establece el criterio
de Rayleigh para decidir si un sistema es capaz de resolver dos puntos próximos de forma que las imágenes
de los dos puntos están resueltas si la distancia d entre ellas es mayor que el tamaño de la mancha central de
difracción.
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Fig. 8. Poder resolutivo de una lente.
'd , 1.22 '2
d fa
(18)
Según este criterio, basado en la resolución angular, el poder de resolución depende únicamente de la
longitud de onda y el tamaño de la lente.
Fig. 9. Criterio de Rayleigh de resolución de dos objetos lejanos. a) objetos resueltos, b) en el límite, c)
objetos no resueltos.
2.4 Doble rendija
Los fenómenos difractivos e interferenciales tienen la misma naturaleza y se pueden estudiar también a partir
de la aproximación de Fraunhofer. Sea el esquema de la Fig. 10 donde una onda plana donde el vector de
ondas está contenido en el plano z, sin
0 0xik ik
inc e e E E E , ilumina un sistema de dos rendijas de
tamaño a separadas una distancia d.
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Fig. 10. Esquema que muestra la difracción en campo lejano por una doble rendija.
Utilizando el esquema de la Fig. 10, la distribución en el campo lejano resulta ser la suma en las dos
aberturas
2 2
2 2
( ' ) ( ' )( sin ) ( sin )' '
0 0'a a
a a
k ki x i xd
i k i kf f
dx e e d e e d
E E E , (19)
Haciendo en la 2ª integral el cambio de variable ' d y volviendo a realizar el cambio de la variable
muda obtenemos
2 2
2 2
' ' '(sin ) (sin ) (sin )
' ' '
0 0
'( sin )
' 2
0
'
'(1 )sinc (sin )
' 2
a a
a a
x x xik ik d ik
f f f
x dik
f
x e d e e d
x kae
f
E E E
E
, (20)
considerando que /21 2 cosi ie e tenemos que la intensidad en el campo lejano resulta
2 2
0
' '4 sinc [( sen ) ]cos [( sen ) ]
' 2 ' 2
x ka x kdI I
f f , (21)
que es la composición de los dos efectos, difractivo dado por el término sinc y la interferencia, dada por el
término 2cos . En realidad el esquema Fig. 10 es el experimento de la doble rendija de Young donde las
rendijas tienen un tamaño finito.
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Fig. 11. Intensidad de campo lejano de la doble rendija.
3 Esquema de montaje
El montaje consta de un haz incidente colimado generado por un láser y un expansor. Dicho haz incide sobre
el modulador. Debido a la periodicidad de los pixeles en el SLM se genera un patrón de difracción adicional
que se puede eliminar con un sistema 4-f que proyecta la imagen a otro plano y además filtra dichos órdenes
espurios.
Figura 1: Esquema del montaje.
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Figura 2: Figura esquemática del montaje experimental
4 Realización experimental
El montaje experimental que se debe montar corresponde al de la Figura 3. Sin introducir ningún objeto gire el
polarizador y observe como de este modo puede variar la intensidad que llega a la cámara CCD, ya que el
láser está linealmente polarizado. Las líneas verticales que aparecen cuando la intensidad es elevada se
producen por saturación de la cámara CCD y no siempre pueden eliminarse en los experimentos de difracción
que se van a realizar. En cualquier caso, en cada experiencia gradúe la intensidad con el polarizador hasta
ver una figura de difracción lo más nítida posible.
Figura 3: Montaje experimental
El proceso para el envío de imágenes al SLM se explicó ampliamente en la práctica de calibración por lo que
pasaremos directamente al envío de las imágenes de las que queremos obtener la difracción. Para comenzar
comprobaremos experimentalmente que la figura de difracción que produce una rendija es la que mostramos
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teóricamente. Para ello abrimos Matlab, cargamos la función "enviarSLM" y enviamos la imagen etiquetada
como "rendija200um.bmp"
Figura 4: Rendija de 200 μm y Figura de difracción experimental producida.
Posteriormente desplazamos la lente convergente sobre el carril de sujeción hasta que obtengamos una
imagen nítida (o lo mejor posible) en aproximación de campo lejano. De esta forma la cámara estará ubicada
en el plano focal imagen de la lente.
Como vemos, la imagen obtenida experimentalmente contiene un poco de ruido debido al montaje del propio
sistema y el máximo central está ligeramente saturado sin embargo los órdenes de difracción secundarios se
aprecian claramente. Es interesante ver cómo cambia esta imagen si aumentamos el grosor de la rendija.
Figura 5: Figura de difracción producida por una rendija de grosor (a) 400 μm, (b) 600 μm, (c) 800 μm, (d) 1000 μm
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Vemos en la Figura 5 que el aumento del grosor de la rendija provoca un acercamiento de los órdenes de
difracción llegando a formar prácticamente una línea continua para el caso de 1000 μm. Veamos que sucede
si ahora enviamos al modulador espacial de luz una abertura cuadrada de 200 μm.
Figura 6: Abertura cuadrada de 200 μm y la figura de difracción producida
En la Figura 6 vemos que una abertura cuadrada produce una figura de difracción en forma de cruz donde
tenemos un máximo central con una intensidad luminosa bastante superior a los órdenes inferiores cuando el
ancho y el largo son iguales. Variemos, al igual que en el caso anterior, el tamaño de la abertura
Figura 7: Figura de difracción producida por un cuadrado de lado (a) 400 μm, (b) 600 μm, (c) 800 μm, (d)
1000 μm.
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El comportamiento que apreciamos en la Figura 7 es similar a lo visto en el caso anterior. Aumenta el número
de órdenes de difracción visibles y estos se aproximan entre sí.
Nos podríamos preguntar si el comportamiento analizado hasta ahora se mantiene si la abertura cuadrada se
desplaza lateralmente. Para ello disponemos de la Figura 8 donde la abertura se desplaza horizontalmente
hacia la izquierda
Figura 8: Abertura cuadrada desplazándose horizontalmente
Figura 9: Figura de difracción producida por las imágenes de la Figura 8.
Como era de esperar, la figura de difracción no depende de la posición de la abertura manteniéndose
constante en todos los casos.
El siguiente experiencia que vamos a ver es la figura de difracción de una abertura rectangular en la que la
que la dimensión vertical es más grande que la horizontal
Figura 10: Abertura rectangular y figura de difracción producida
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En la Figura 10b podemos ver la figura de difracción producida por la abertura rectangular (Figura 10a). A
diferencia con la figura de difracción producida por una abertura cuadrada, los órdenes de difracción
horizontales aparecen notablemente más aplanados debido a la diferencia de longitudes en las dimensiones
de la abertura que produce la difracción. Con la abertura cuadrada hemos demostrado que la figura de
difracción no varía con el desplazamiento lateral de la abertura. En el caso de la abertura rectangular
observaremos qué sucede si rotamos la abertura tal y como muestra la Figura 11.
Figura 11: Abertura circular rotada de izquierda a derecha 0º, 15º, 30º, 45º, 60º, 75º
Figura 12: Figuras de difracción producidas por las aberturas de la Figura 11
Vemos en la Figura 12 que la rotación de la abertura produce una rotación en la imagen formada en campo
lejano.
Al iniciar este apartado vimos el comportamiento de una rendija que no es más que una abertura rectangular
en la que una de las dimensiones es infinita. Ahora veremos el comportamiento al ir aumentando el número
de las mismas hasta llegar a observar el comportamiento de una red de difracción.
Figura 13: Variación del número de rendijas desde 1 hasta 8.
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Figura 14: Figuras de difracción producidas por la Figura 13
Como vemos en la Figura 14, con el aumento del número de rendijas aumenta claramente la intensidad
luminosa llegando a saturar en el orden central y se reduce la anchura de los órdenes de difracción. Si ahora
ampliamos el número de rendijas hasta infinito tenemos una red de difracción unidimensional donde se sigue
manteniendo la tendencia
Figura 15: Red unidimensional de difracción y figura de difracción.
En la Figura 16 tenemos el caso de una red de difracción pero en este caso bidimensional donde podemos
observar los órdenes de difracción en las dos dimensiones
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Figura 16: Red de difracción bidimensional y figura de difracción producida
Otra de las aberturas típicamente utilizadas en los laboratorios es la abertura circular. En la Figura 17
podemos ver un ejemplo de la misma y la figura de difracción producida
Figura 17: Abertura circular y figura de difracción producida
En la Figura 17 podemos ver claramente los máximos y mínimos producidos y que predice la teoría de
difracción. Si ahora en vez de una abertura circular situamos dos muy cercanas entre si podemos ver una
figura de difracción similar aunque con las interferencias producidas por ambas aberturas (Figura 18)
Figura 18: Doble abertura circular y figura de difracción producida
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Para terminar veremos un caso curioso como es el de la Figura 19 donde tenemos una serie de objetos
circulares distribuidos aleatoriamente y que producen una figura de difracción totalmente definida al contrario
de lo que la intuición nos podría hacer pensar.
Figura 19: Objetos distribuidos aleatoriamente y figura de difracción producida.
¿Por qué sale con una forma octogonal en los órdenes superiores en lugar de una simetría completamente
circular?
5 Bibliografía
J. W. Goodman “Introduction to Fourier Optics”, McGraw- Hill (1996)