inferencia de diferencia de medias

7/25/2019 Inferencia de Diferencia de Medias

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Inferencia estadstica acercade medias y de proporciones

con dos poblacionesCAPTULO 9


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FOOD AND DU! AD"INI#TATION D$ $#TADO# UNIDO#WASHINGTON, D. C.

La Food and Drug Administration de Estados Unidos (FDA), a travs del Center for Drugand Research (CDER), garantiza ue los medicamentos sean confia!les " efectivos# $ese encarga de realizar las %rue!as necesarias a los medicamentos nuevos# La em%resa

%roducir un nuevo medicamento es la res%onsa!le de %resentar las evidencias de ue medicamento es confia!le " efectivo# Des%us, en el CDER, cient&ficos " es%ecialistas revisan las evidencias %resentadas#


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#

Las em%resas interesadas en ue se a%rue!e un nuevo medicamento realizan e'tensosestad&sticos %ara a%o"ar su solicitud# Las %rue!as ue se realizan en la industria farmasuelen com%render tres eta%as ) %rue!as %recl&nicas, *) %rue!as de uso %rolongado confia!ilidad " +) %rue!as de eficiencia cl&nica# En cada una de las eta%as sucesivas d%osi!ilidad de ue el medicamento %ase las rigurosas %rue!as en cam!io, el costo desu!siguientes aumenta enormemente# Los estudios realizados informan ue el costo %investigaci-n " desarrollo de un nuevo medicamento es de .*/0 millones " la duraci-nDe esta manera, es im%ortante descartar "a en las %rue!as de las %rimeras eta%as aumedicamentos ue no resultar2n 3tiles e identificar los ue %arecen %rometedores %asometindolos a las distintas %rue!as#


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Inferencias acerca de la diferencia entredos medias poblacionales% & y ' conocidas

4ean la media de la %o!laci-n "* la media de la %o!laci-n *, lo ue interesa ainferencias acerca de la diferencia entre las medias *# $ara hacer una inferencesta diferencia, se elige una muestra aleatoria sim%le de n unidades de la %o!laci-nmuestra aleatoria sim%le de n* unidades de la %o!laci-n *# A estas dos muestras ue se%arada e inde%endientemente se les conoce como m(estras aleatorias simples indEn esta secci-n se su%ondr2 ue se cuenta con informaci-n ue %ermite considerar desviaciones est2ndar " * se conocen antes de tomar las muestras# Este caso se ccaso " * conocidas# En el e5em%lo siguiente, se muestra c-mo calcular el margen

o!tener una estimaci-n %or intervalo %ara la diferencia entre las dos medias %o!laciose conocen " *#


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E5em%lo

6re"stone De%artment 4tores, 7nc# tiene dos tiendas en 8uffalo, 9ueva :or;, una en el cenotra en un centro comercial# El gerente regional ha o!servado ue los %roductos ue se vetienda no se venden !ien en la otra# El gerente cree ue esto se de!e a diferencias demogrclientes de las dos tiendas# De!e ha!er diferencias de edad, educaci-n, ingreso, etc#, entre

una " otra tienda# 4u%onga ue el gerente %ide ue se investigue la diferencia entre las meedades de los clientes de las dos tiendas#

4i la %o!laci-n es la %o!laci-n de clientes ue com%ra en la tienda del centro de la ciudaes la %o!laci-n de clientes ue com%ra en la tienda del centro comercial, se tiene

media de la %o!laci-n (es decir, media de las edades de los clientes ue com%ran en centro de la ciudad)

* media de la %o!laci-n * (es decir, media de las edades de los clientes ue com%ran ecentro comercial)#


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E5em%lo *

Las * Universidades de


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$stimaci)n de& *'% & y ' conocidas

> media de la %o!laci-n

* > media de la %o!laci-n *

$ara estimar *, se toma una muestra aleatoria sim%le de tama1o n de la %ouna muestra aleatoria sim%le de tama1o n* de la %o!laci-n *, " se calculan las domuestrales

x=>media muestral de aleatoria sim%le de tama1o n de la %o!laci-n

x=* >media muestral aleatoria sim%le de tama1o n* de %o!laci-n *


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E4?7


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ERR@R E4?B9DAR DE '1-x2

#4i am!as %o!laciones tienen distri!uci-n normal o si los tama1os de las muestras sosuficientemente grandes %ara ue el teorema del l&mite central %ermita concluir uedistri!uciones muestrales de '1" ' 2 %uedan ser a%ro'imadas mediante una distri!udistri!uci-n muestral de ' " '* tendr2 una distri!uci-n normal cu"a media es

Cuando se desconocen las desviaciones est2ndar de las %o!laciones, el error est2de la diferencia entre medias dado el uso a%ro%iado de la distri!uci-n normal es


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#

tiene una distri!uci-n normal est2ndar si las dos %o!laciones son normales, o esa%ro'imadamente normal est2ndar si se cum%len las condiciones del teorema del l&mitres%ectivamente#

Esto im%lica ue


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#


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intervalo de confianza %ara la diferencia


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E5em%lo de Estimador

E5em%lo# El salario medio semanal de una muestra de n > +0 em%leados de una gran em%res'1> .*0#00, con una desviaci-n est2ndar muestral de s > .#00# En otra gran em%resa, unde n > 0 em%leados %or hora tiene un salario medio semanal de .*G0#00, con una desviaci-de s > .0#00# El intervalo de confianza de HHI %ara la estimaci-n de la diferencia entre losmedios semanales de las dos em%resas es

donde


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#

As&, %odemos afirmar ue el salario %romedio semanal de la %rimera em%resa es ma"o%romedio de la segunda Em%resa %or un monto de entre .*#*+ " .G#GG, con una conf

en esta estimaci-n %or intervalo# Advirtase ue los tama1os de las muestras son sufgrandes %ara %ermitir el uso de %ara a%ro'imar el valor t#


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Distrib(ci)n t e inter,alos de confian-a para la diferencia entre dos medias

El uso de la distri!uci-n t en con5unci-n con una muestra es necesario cuando

) 4e desconocen las desviaciones est2ndar a de la %o!laci-n#

*) Las muestras son %eue1as (n J +0)# 4i las muestras son grandes, los valores t %ua%ro'imados %or la normal est2ndar z#

+) 4e su%one ue las %o!laciones tienen una distri!uci-n a%ro'imadamente normalue el teorema central del l&mite no %uede a%licarse en muestras %eue1as)#

) 4i Las dos varianzas %o!lacionales (desconocidas)


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Pr(eba de .ip)tesis acerca de& '

Ahora se ver2n las %rue!as de hi%-tesis acerca de la diferencia entre dosmedias %o!lacionales# D0 denota la diferencia hi%ottica entre "*, lastres formas ue %uede tener una %rue!a de hi%-tesis son las siguientes

H0 * K D0 H0 * D0 H0 * > D0

Ha * J D0 Ha * M D0 Ha * N D0


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E5em%lo4e lleva a ca!o %rue!as de resistencia a la tensi-n so!re diferentes clases de largueroutilizados en la fa!ricaci-n de alas de aero%lanos comerciales# De la e'%eriencia %asa%roceso de fa!ricaci-n de largueros " del %rocedimiento de %rue!a, se su%one ue lasest2ndar de las resistencias a la tensi-n son conocidas, Los datos o!tenidos son

0 G#O *

* * G#/ #/

4i , * denotan los %romedios verdaderos de las resistencias a la tensi-n %ara las largueros# Encuentre un intervalo de confianza del H0I %ara la diferencia entre las me%rue!e la hi%-tesis de ue las dos clases de largueros tienen la misma resistencia a la

Clase de lar/(ero Tama0o de la m(estra "edi m(estral Des,iaci)n $st


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#ol(ci)nEl inters es la diferencia en la resistencia a la tensi-n %romedio *

Un intervalo de confianza del H0I %ara la diferencia en la resistenciatensi-n %romedio es

*#** * +#H


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#

De hecho, %uede afirmarse ue se tiene una confianza del H0I de ue la resistencia tensi-n del aluminio de clase es ma"or ue la del aluminio clase * %or una cantidaentre *#** " +#H ;gPmm*

4i se utiliza el estad&stico z, se encuentra

Rechaz2ndose tam!ien la hi%-tesis nula, %or lo tanto se conclu"e ue la resistencia alumino de clase difiere del aluminio de clase *


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#

9@?A Usando las tres metodolog&as (intervalos de confianza, %rue!as dehi%-tesis con regla de decisi-n determinada %or la regi-n de rechazo " %rue!asde hi%-tesis con regla de decisi-n utilizando el valor %) los resultadosconcuerdan# Estos resultados coincidir2n, generalmente, %ara cualuiersituaci-n#


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EQE


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#ol(ci)n2

El inters es la diferencia entre el autom-vil el *

Un intervalo de confianza del H0I %ara esta diferencia es

9-tese ue el intervalo de confianza %ara * inclu"e el cero# Esto im%lica ue, con uconfianza del H0I, los datos no a%o"an la afirmaci-n de ue los autom-viles tienen diferetiem%os %romedio de estacionamiento# 4i se utiliza el estad&stico, se encuentra

9o rechaz2ndose tam!ien la hi%-tesis nula#


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$#TI"ACI3N PO INT$4ALO PAA LA DIF$$NCIA$NT$ DO# "$DIA# PO5LACIONAL$#% & 6 'D$#CONOCIDA# donde es el coeficiente de confianza#

En esta e'%resi-n el uso de la distri!uci-n t es una a%ro'imaci-n, %ero %ro%orcione'celentes " es relativamente f2cil de usar# La 3nica dificultad ue se encuentra ae'%resi-n (0#O) es determinar los grados de li!ertad %ara tP*# Los %auetes de calculan autom2ticamente los grados de li!ertad

Entonces %uede o!tenerse un estimador


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"(estras independientes y 4arian-as Desconocidas

Las medias " las varianzas son desconocidas# 4in em!argo, considrese ue es razona!lelas dos varianzas son iguales 4e desea encontrar un intervalo de confianza#

$ara desarrollar el intervalo de confianza se usa

Con n S n* grados de li!ertad


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#

$or lo tanto, un intervalo de confianza %ara la diferencia

Con el anterior intervalo se %uede tam!in %ro!ar la hi%-tesis nula

Adem2s, %ara %ro!ar esta hi%-tesis se %uede hacer uso del estad&stico


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E5em%lo

El administrador de un lote de autom-viles %rue!a dos marcas de llantas radiales# $ara ellazar una llanta de cada marca a las dos ruedas %osteriores de ocho autom-viles, " luego cautom-viles hasta ue las llantas se desgastan# Los datos o!tenidos (en ;il-metros) a%arec

siguiente ta!la

Encuentre un intervalo de confianza del HHI %ara la diferencia en el tiem%o %romedio de

!ase en estos resultados, Tu llanta es la ue usted %referir&a


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Inferencia sobre la diferencia deproporciones poblacionales

inferencia de diferencia de medias

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