UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA MECANICALABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOSINFORME N0 2METODOS DE MALLAS Y POTENCIALES DE NODOS

GRUPO 02 INTEGRANTES: HUANAY QUISPE, JASPER W. CARRION TORRES, LUIS DELMIO VALVERDE GUTIERREZ, ISMAEL JIMENEZ BAILON, MARCO ANTONIO PROFESOR: FRANCISCO SINCHI YUPANQUICURSO SECCIN: ML-121 D FECHA DE PRESENTACION: 16/04/2012

CODIGO: 20094523G 20091036H 20092523J 20107518A

2012 I

ResumenEn el laboratorio anterior pudimos ver la aplicacin de las leyes de Kirchhoff en la resolucin de circuitos elctricos, pero al hacer los clculos pudimos notar las analogas de las operaciones al hallar las respectivas corrientes y voltajes en cada malla. Dichas analogas no son pura coincidencia, puesto que al ser circuitos lineales se podr aplicar las leyes de Kirchhoff de manera simple en cada nodo y rama y as resolverlo planteando un sistema de ecuaciones lineales.

Si al plantear dichas ecuaciones agrupamos las variables de manera apropiada nos daremos cuenta que pudimos haber asumido direcciones de corrientes o potenciales sin que se altere el resultado final. En ello radica la importancia de los mtodos que veremos en el presente informe los cuales son MTODOS DE MALLAS Y POTENCIALES DE NODOS quienes harn ms prctico el clculo y resolucin de circuitos elctricosEste trabajo tiene como finalidad conocer, entender y aplicar los cocimientos en el tema de circuitos. A continuacin vamos a ver cmo se realizan el anlisis por mallas y por nodos.. Resolver un circuito es hallar las intensidades con su sentido de circulacin por cada uno de los componentes del circuito, o bien, la diferencia de potencial en cada uno de dichos componentes.

Objetivos Verificar experimentalmente mtodo de mallas y potenciales de nodos mediante el uso de un circuito con resistencias y un Fuente de Corriente Continua. Consolidar nuestro conocimiento terico de estos teoremas a travs de la prctica de laboratorio. Fundamento terico Circuito elctrico Un circuito elctrico es un trayecto o ruta de una corriente elctrica. El trmino se utiliza principalmente para definir un trayecto continuo compuesto por conductores y dispositivos conductores, que incluye una fuente de fuerza electromotriz que transporta la corriente por el circuito. Un circuito de este tipo se denomina circuito cerrado, y aqullos en los que el trayecto no es continuo se denominan abiertos. Un cortocircuito es un

circuito en el que se efecta una conexin directa, sin resistencia, inductancia ni capacitancia apreciables, entre los terminales de la fuente de fuerza electromotriz. Palabras claves Nudo: Un nudo es el punto de confluencia de tres o ms conductores. Malla: Es un camino cerrado a travs del circuito.

Los puntos A y B son nudos del circuito de la figura, ya que en ellos confluyen tres conductores. Los puntos 1, 2, 3, y 4 no se consideran nudos, ya que slo confluyen dos. Una malla estara formada, por ejemplo, por los componentes que se encuentran en el camino que une los puntos 1-A-B-3-1. En este circuito hay tres mallas: 1-A-B-3-1, 1-2-4-3-1 y A-2-4-B-A. Leyes de kirchhoff Las Leyes de Kirchoff son el punto de partida para el anlisis de cualquier circuito elctrico. De forma simplificada, pueden enunciarse tal y como se indica a continuacin: Ley de los nudos o primera ley de kirchhoff La suma de las intensidades que se dirigen hacia un nudo es igual a la suma de las corrientes que abandonan dicho nudo. La ley de los nudos, se deduce de la conservacin de la carga. Esta regla es necesaria para circuitos de mltiples mallas que contienen puntos en los que la corriente puede dividirse. Como en estado estacionario no hay posterior acumulacin de carga elctrica en ningn punto del circuito, la cantidad de carga que entra en un punto, debe ser igual a la que sale de dicho punto. Ley de las mallas o segunda ley de kirchhoff

La suma de las cadas de tensin o diferencias de potencial a lo largo de un circuito cerrado es nula. La ley de las mallas, se deduce a partir del simple hecho de que en el estado estacionario la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera es constante. En estado estacionario, el campo elctrico en cualquier punto (fuera de una fuente de fem) es debido a la carga acumulada sobre las superficies de los bornes de la batera, resistencias, cables, u otros elementos del circuito. Como el campo elctrico es conservativo, existe una funcin potencial en cualquier punto del espacio (excepto en el interior de una fuente de fem). Segn nos desplazamos a lo largo de la malla y se ha llegado al punto desde el que se comenz, la variacin neta del potencial debe ser igual a cero. Esta regla es una consecuencia directa del principio de conservacin de la energa.

Veamos un ejemplo, para ver la importancia de las leyes de Kirchhoff: Dado el siguiente circuito

Al escribir la primera ley, debemos considerar aquellas corrientes que salen de un nudo como positivas y las que llegan como negativas. La primera ley expresa la conservacin de la carga porque, como las cargas no se acumulan en un nudo, el nmero de cargas que

llegan a un nudo en un cierto tiempo debe ser igual al nmero de cargas que salen en el mismo tiempo. Al aplicar la segunda ley debemos tomar en cuenta las siguientes reglas. Una cada de potencial a travs de una resistencia es positiva o negativa segn que recorramos el circuito en el sentido de la corriente o en sentido opuesto. Cuando pasamos a travs de una fem, tomamos la diferencia de potencial como negativa o positiva dependiendo de que la atravesemos en el sentido en que acta la fem. La segunda ley expresa la conservacin de energa, ya que la variacin neta de energa de una carga despus de haber recorrido un camino cerrado debe ser 0. La primera ley aplicada a los nudos A, B y C da: Nudo A: Nudo B: Nudo C: -I1+I2+I3=0 -I3+I4+I5=0 -I2 -I4+I6=0

La segunda ley aplicada a los recorridos 1,2 y 3 da: Recorrido 1: -R2.I2+R3.I3+R4.I4-V2=0 Recorrido 2: R5.I5-R6.I6-R4.I4=0 Recorrido 3: R1.I1+R2.I2+R6.I6-V1+V2=0 Estas 6 ecuaciones son suficientes para determinar las seis corrientes en la red. Procedimiento 1) Implementar los siguientes circuitos.

Circuito no 01

Circuito no 02

2) Medir con el multmetro y calcular los valores de la siguiente tabla para ambos circuitos. Tabla del circuito no 01Elemento R1 R2 R3 R4 Valor medido Tension Corriente Potencia

R5 E1 E2

Tabla del circuito no 02Elemento R1 R2 R3 R4 R5 E1 E2 Valor medido Tension Corriente Potencia

Cuestionario1. Como se aplican los mtodos de ecuaciones de mallas y nodos en un circuito que presenta fuentes dependientes e independientes.

METODO DE MALLAS Y METODO DE NODOS. El anlisis de circuitos elctricos est vinculado por lo general con la solucinde un conjunto de n ecuaciones con n variables. Se han desarrollado dos mtodos sistemticos, el primero de ellos basado en la Ley de Kirchhoff de los Voltajes y el segundo basado en la Ley de Kirchhoff de las Corrientes, que permiten formular y resolver los sistemas de ecuaciones que describen los circuitos complejos en forma sistemtica. El primero de estos mtodos recibe el nombre de Mtodo de Mallas y las incgnitas del sistema de ecuaciones son las corrientes del circuito, mientras que el segundo se denomina Mtodo de Nodos y sus incgnitas son los voltajes de los nodos del circuito. El procedimiento que se va a describir para el Mtodo de Mallas es aplicable a redes planas, mientras que el Mtodo de Nodos puede aplicarse tanto a redes planas como no planas. En los prximos puntos se describen en detalle los dos Mtodos mencionados. 1.- El Mtodo de Mallas. El Mtodo de Mallas es aplicable a cualquier red plana. Se basa en el anlisis de las mallas elementales de la red. Segn se indic en el Captulo 1, el nmero de corrientes independientes de una red, que se corresponde con el nmero de

mallas elementales de la misma es igual al nmero de cuerdas, enlaces o eslabones, el cual est dado por la ecuacin: E = R - N + 1 (3.1) Donde: E: Nmero de enlaces, cuerdas o eslabones. N: Nmero de Nodos. R: Nmero de Ramas. As por ejemplo, la grfica orientada de la red mostrada en la Figura 3.1 se puede observar en la Figura 3.2. Dicha red consta de 13 Ramas y 7 Nodos, por lo que aplicando la ecuacin para calcular el nmero de Enlaces se obtiene que es igual a 7. Es conveniente observar que al hacer la grfica de la red se consider que los elementos E3 y E14 son parte de la misma Rama, identificada como R3, y lo mismo ocurre con los elementos E9 y E15, los cuales forman parte de la Rama R9. Dado el nmero de Enlaces, el nmero de corrientes independientes de la red es tambin igual a 7. En la Figura 3.3 estn identificadas las 7 mallas elementales de la red con sus correspondientes corrientes.

Figura 3.1.- Circuito elctrico general.

Figura 3.2.- Grfica orientada del circuito de la Figura 3.1.

Figura 3.3.- Corrientes de malla del circuito de la Figura 3.1. Para definir el procedimiento del Mtodo de Mallas se va a considerar enprimer lugar una red con dos mallas elementales, cada una de las cuales cuenta con una fuente de voltaje independiente, segn se puede observar en la Figura 3.4.

Figura 3.4.- Red con dos mallas elementales. El primer paso para aplicar el Mtodo de Mallas consiste en asignarle a cadamalla elemental una corriente de malla. Estas corrientes se deben asignar todas enla misma direccin, usualmente en el sentido de las agujas del reloj, tal como se muestra en la Figura 3.5. Como puede observarse, la corriente que circula por las resistencias R1, R2 y la Fuente de Voltaje V1 es la definida como i1, la corriente que circula por lasresistencias R4, R5 y la Fuente de Voltaje V2 es la definida como i2, pero la

Figura 3.5.- Asignacin de las corrientes de malla en el circuito de la Figura 3.4. que circula por R3 es la corriente i3, la cual se puede expresar en funcin de las

corrientes de malla i1 e i2. Para ello se debe aplicar la LCK en el nodo A, obtenindose: i3 = i1 - i2 (3.2) Para resolver el circuito, es decir, determinar el valor de las corrientes de malla i1 e i2, se va a aplicar la LVK a cada una de las dos mallas elementales. Las ecuaciones que se obtienen son las siguientes: (3.3) Arreglando trminos y sustituyendo i3 por la expresin de la ecuacin (3.2) seobtiene: (3.4) De donde: (3.5) Al analizar el sistema de ecuaciones (3.5) se pueden deducir las siguientes conclusiones: Dadas las direcciones de las corrientes de malla, i1 e i2, las fuentes de voltaje, que se encuentran en el lado izquierdo de las ecuaciones, tienen signo positivo si la corriente de malla entra por el terminal negativo de la fuente, dado que en este caso representan un alza de voltaje en el lazo, mientras que tienen signo negativo si la corriente de malla entra por el terminal positivo, lo cual corresponde a una cada de voltaje en dicho lazo. En el lado derecho de las ecuaciones se encuentran los productos de las corrientes de malla por las resistencias del circuito. El trmino que multiplica a i1 en la primera ecuacin es (R1 + R2 + R3). Este trmino es la suma de todas lasresistencias que se encuentran en la malla de la corriente i1. En forma similar, eltrmino que multiplica a i2 en la segunda ecuacin es (R3 + R4 + R5), el cual es lasuma de todas las resistencias que se encuentran en la malla de la corriente i2. Porotra parte, en la primera ecuacin, la corriente i2 est multiplicada por -R2. Estaes la resistencia que la malla de i1 comparte con la malla de i2. El signo menos sedebe a que a travs de la resistencia R3 la direccin de la corriente i1 es opuesta ala de la corriente i2. De igual forma, en la segunda ecuacin, la corriente i1 tambinest multiplicada por -R2, la resistencia que comparten ambas mallas. R2 recibe elnombre de resistencia mutua entre las mallas 1 y 2. Este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas se puede escribir en forma matricial, tal como se indica a continuacin: (3.6) En general, esta ecuacin matricial de dos incgnitas puede escribirse de la siguiente forma:

(3.7) El trmino de la izquierda es una matriz columna en la que se encuentran lasfuentes de voltaje de cada una de las mallas. El trmino de la derecha est formado por el producto de dos matrices: Una matriz cuadrada en la que todos los elementos son resistencias y una matriz columna, donde se encuentran las corrientes de malla que constituyen las incgnitas del sistema. La diagonal principal de la matriz cuadrada, los trminos Ri i, contienen las resistencias totales de cada una de las mallas elementales de la red, mientras que los elementos que ocupan las posiciones Rihcontienen la resistencia comn entre las mallas i y h, con signo negativo. Por supuesto la resistencia Rihdebe ser igual a Rhi. Una vez definida esta ecuacin matricial es posible determinar las corrientes incgnita i1 e i2. Estas conclusiones se pueden generalizar a cualquier red plana con n mallas elementales que constan de resistencias y fuentes de voltaje independientes, como la mostrada en la Figura 3.6, lo cual da lugar a una ecuacin matricial con n incgnitas.

Figura 3.6. Red plana con n mallas elementales. Como se indic anteriormente, el primer paso consiste en asignarle a cadamalla elemental una corriente de malla, las cuales se deben asignar todas en la misma direccin, tal como se muestra en la Figura 3.7. A continuacin se puede escribir directamente la ecuacin matricial, cuya expresin general es la siguiente: [ V] = [ R ] [ i] (3.8) Al ubicar las fuentes de voltaje, las resistencias y las corrientes incgnita en esta ecuacin matricial se obtiene:

(3.9)

Figura 3.7.-Asignacin de las corrientes de malla en el circuito de la Figura 3.6. En cada uno de los elementos de la matriz columna ubicada a la izquierda delsigno igual se debe colocar el valor resultante de sumar algebraicamente todas las fuentes de voltaje de cada malla elemental, asignndole signo positivo a aquellas fuentes en las que la corriente entra por el terminal negativo y signo negativo a las que tienen la polaridad opuesta. La matriz cuadrada es la Matriz de las Resistencias de la red. Los elementos de la diagonal principal (Rii ) son iguales a la suma de todas las resistencias de cada malla. Los elementos restantes (Rih) son iguales a la resistencia que comparten las mallas i y h con signo negativo, y se cumple que Rih= Rhi, por lo que la matriz es simtrica. Si las mallas i y h no tienen una resistencia en comn, el trmino Rihes igual cero. La matriz [i] es una matriz columna con las n incgnitas de la red. Una vez planteada la ecuacin matricial, se resuelve aplicando la relacin:

(3.10) Si las fuentes independientes de las red son fuentes de corriente, pueden aplicarse las reglas de equivalencia entre fuentes reales, o en caso de que dichas fuentes de corriente no cuenten con resistencias en paralelo, puede utilizarse el Teorema de Blakesley, a fin de determinar un circuito equivalente en el que todas las fuentes sean fuentes de voltaje. Pero al definir dichos circuitos equivalentes se debe tener cuidado de identificar las variables de inters, ya que pueden "perderse" al realizar las transformaciones. En estos casos, una vez determinadas las corrientes de malla es necesario regresar al circuito original para calcular dichas variables de inters. Existen otros procedimientos para resolver circuitos que incluyen fuentes de corriente por el Mtodo de Mallas, que se estudiarn en los prximos puntos. 2.- El Mtodo de Nodos.

El Mtodo de Nodos es aplicable a cualquier red, plana o no plana. Se basa en el anlisis de los nodos independientes de la red. Segn se indic en el Captulo 1, el nmero de nodos independientes de una red es igual al nmero de nodos totales menos uno, el cual es el nodo de referencia o nodo de tierra. As por ejemplo, la grfica orientada de la red mostrada en la Figura 3.1 se puede observar en la Figura 3.2. Dicha red consta de 13 Ramas y 7 Nodos, por lo que el nmero de Nodos independientes es igual a 6. Para definir el procedimiento del Mtodo de Nodos se va a considerar en primer lugar una red con dos nodos independientes, a cada uno de los cuales est conectada una fuente de corriente independiente, segn se puede observar en la Figura 3.8.

Figura 3.8.- Red con dos nodos independientes. El primer paso para aplicar el Mtodo de Nodos consiste en asignarle a cada nodo independiente un voltaje referido al nodo de tierra, en el cual por definicin el voltaje es cero. Estos voltajes se definen asignando el terminal positivo al nodo independiente y el negativo al nodo de tierra, tal como se muestra en la Figura 3.9.

Figura 3.9.-Asignacin de los voltajes de nodo en el circuito de la Figura 3.8. Como puede observarse, el voltaje sobre la resistencia R1 es v1, el voltaje sobre la resistencia R2 es v2, y el voltaje sobre la resistencia R3 es v3, el cual se puede expresar en funcin de las voltajes independientes v1 y v2. Para ello se debe aplicar la LVK en el lazo formado por las tres resistencias, obtenindose: v3 = v1 - v2 (3.11) Para resolver el circuito, es decir, determinar el valor de voltajes independientes v1 y v2, se va a aplicar la LCK a cada uno de los dos nodos. En este caso es conveniente utilizar la conductancia como el parmetro que relaciona el voltaje con la corriente, tal como se indica en la Figura 3.10. Las ecuaciones que se obtienen son las siguientes:

Figura 3.10.- Circuito en el que se utiliza la conductancia para representar a los Elementos disipativos.

(3.12) Arreglando trminos y sustituyendo v3 por la expresin de la ecuacin (3.11) se obtiene: (3.13) De donde: (3.14) Al analizar el sistema de ecuaciones (3.14) se pueden deducir las siguientes conclusiones: Dadas las polaridades de los voltajes independientes, v1 y v2, las fuentes de corriente, que se encuentran en el lado izquierdo de las ecuaciones, tienen signo positivo si la corriente entra por el terminal positivo del voltaje, dado que en este caso representan una corriente que se introduce en el nodo, mientras que tienen signo negativo si la corriente sale del terminal positivo del voltaje, lo cual corresponde a una corriente que sale del nodo. En el lado derecho de las ecuaciones se encuentran los productos de los voltajes independientes por las conductancias del circuito. El trmino que multiplica a v1 en la primera ecuacin es (G1 + G3). Este trmino es la suma de las conductancias que se encuentran conectadas al nodo donde est definido el voltaje v1. En forma similar, el trmino que multiplica a v2 en la segunda ecuacin es (G2 + G3), el cual es la suma de todas las conductancias que se encuentran conectadas al nodo donde est definido el voltaje v2. Por otra parte, en la primera ecuacin, el voltaje v2 est multiplicado por -G3. Esta es la conductancia que el nodo v1comparte con el nodo v2. El signo menos se debe a que en la conductancia G3 la polaridad del voltaje v1 es opuesta a la del voltaje v2. De igual forma, en la segunda ecuacin, el voltaje v1 tambin est multiplicado por -G3, la conductancia que comparten ambos nodos. G3 recibe el nombre de conductancia mutua entre los nodos 1 y 2. Este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas se puede escribir en forma matricial, tal como se indica a continuacin:

(3.15) En general, esta ecuacin matricial de dos incgnitas puede escribirse de la siguiente forma: (3.16) El trmino de la izquierda es una matriz columna en la que se encuentran las fuentes de corriente conectadas a cada uno de los nodos. El trmino de la derecha est formado por el producto de dos matrices: Una matriz cuadrada en la que todos los elementos son conductancias y una matriz columna, donde se encuentran los voltajes de nodo que constituyen las incgnitas del sistema. La diagonal principal de la matriz cuadrada, los trminos Gi i, contienen las conductancias totales conectadas a cada uno de los nodos de la red, mientras que los elementos que ocupan las posiciones Gihcontienen la conductancia comn entre los nodos i y h, con signo negativo. Por supuesto la conductancia Gihdebe ser igual a Ghisi todos los elementos de la red son lineales y pasivos. Una vez definida esta ecuacin matricial es posible determinar los voltajes incgnita v1 y v2. Estas conclusiones se pueden generalizar a cualquier red con n nodos independientes que constan de conductancias y fuentes de corriente independientes, como la mostrada en la Figura 3.11, lo cual da lugar a una ecuacin matricial con n incgnitas.

Figura 3.11.- Circuito con n nodos independientes. Como se indic anteriormente, el primer paso consiste en asignarle a cada nodo independiente un voltaje de nodo, las cuales se deben asignar con la polaridad indicada en la Figura 3.12. A continuacin se puede escribir directamente la ecuacin matricial, cuya expresin general es la siguiente: [ I] = [ G ] [ v] (3.17)

(3.18)

Figura 3.12.-Asignacin de voltajes de nodo en el circuito de la Figura 3.11. En cada uno de los elementos de la matriz columna ubicada a la izquierda del signo igual se deben colocar el valor resultante de sumar algebraicamente todas las fuentes de corriente conectadas a cada nodo, asignndole signo positivo a aquellas fuentes en las que la corriente entra en el nodo y signo negativo a las que salen del nodo. La matriz cuadrada es la Matriz de las Conductancias de la red. Los elementos de la diagonal principal (Gi i) son iguales a la suma de todas las conductancias conectadas a cada nodo. Los elementos restantes (Gih) son igualesa la conductancia que comparten los nodos i y h precedida de un signo negativo, y se cumple que Gih= Ghi, por lo que la matriz es simtrica. La matriz [v] es una matriz columna con las n incgnitas de la red. Una vez planteada la ecuacin matricial, se resuelve aplicando la relacin :

(3.19) Si las fuentes independientes de las red son fuentes de voltaje, pueden aplicarse las reglas de equivalencia entre fuentes reales, o en caso de que dichas fuentes de voltaje no cuenten con resistencias en serie, puede utilizarse el Teorema de Blakesley, a fin de determinar un circuito equivalente en el que todas las fuentes sean fuentes de corriente. Pero como en el caso anterior, al definir dichos circuitos equivalentes se debe tener cuidado de identificar las variables de inters, ya que pueden "perderse" al realizar las transformaciones. En estos casos, una vez

determinados los voltajes de nodo es necesario regresar al circuito original para calcular dichas variables de inters. Existen otros procedimientos para resolver circuitos que incluyen fuentes de voltaje utilizando el Mtodo de Nodos, que se estudiarn en los prximos puntos. Aplicacin del Mtodo de Mallas y del Mtodo de Nodos a circuitos con Fuentes Dependientes. Como se indic anteriormente, hay cuatro tipos de Fuentes Dependientes, de acuerdo con la funcin de la Fuente y la Variable de Control. Dichos tipos son: Fuentes de Voltaje controladas por Voltaje (FVCV). Fuentes de Corriente controladas por Voltaje (FCCV). Fuentes de Voltaje controladas por Corriente (FVCC). Fuentes de Corriente controladas por Corriente (FCCC). Cuando se tiene un circuito que cuenta tanto con Fuentes Dependientes como Independientes y se le quiere analizar aplicando uno de los dos mtodos estudiados, se debe comenzar por identificar adecuadamente las variables incgnita (las corrientes de malla o los voltajes de nodo) y a continuacin se deben expresar las variables de control de las Fuentes Dependientes en funcin de las variables incgnita del sistema. Hecho esto se aplican las reglas correspondientes al mtodo que se est utilizando y se hacen las operaciones que sean necesarias para obtener una ecuacin matricial como la (3.8) si se est trabajando con el Mtodo de Mallas 0 como la (3.17) en caso de que se emplee el Mtodo de Nodos. Para ilustrar adecuadamente los pasos que hay que seguir, se van a utilizar dos circuitos, el primero de los cuales se encuentra en la Figura 3.26, el cual cuenta con dos Fuentes de Voltaje Independientes y una Fuente de Voltaje controlada por Corriente. (Nota: Por simplicidad, en esta versin preliminar las Fuentes Dependientes tambin se van a representar utilizando crculos).

Figura 3.26.- Primer circuito con Fuentes Independientes y Dependientes. Dado que todas las fuentes disponibles, tanto Independientes como Dependientes, son Fuentes de Voltaje, el circuito se va a resolver aplicando el Mtodo de Mallas. Para comenzar, se definen las corrientes de malla tal como se indica en la Figura 3.27.

Figura 3.27.- Aplicacin del mtodo de Mallas al circuito de la Figura 3.26. A continuacin se expresa la variable de control de la Fuente Dependiente en funcin de las corrientes de malla. En el circuito de la Figura anterior se puede observar que: ia= i1 (3.56) El siguiente paso consiste en aplicar el procedimiento desarrollado para escribir la ecuacin matricial correspondiente al Mtodo de Mallas. Al hacerlo se obtiene: (3.57) Sustituyendo la variable de control iapor la expresin que la relaciona con las variables incgnita se obtiene: (3.58) Como se puede observar en la ecuacin anterior, en la matriz de la izquierda hay un trmino que es funcin de las variables incgnita, por lo que es necesario realizar operaciones para que todas estas funciones se encuentren agrupadas. Pasando dicho trmino a la matriz de Resistencias de la derecha se obtiene: (3.59) De donde: (3.60) Esta expresin cumple con las reglas impuestas a la ecuacin matricial para el Mtodo de Mallas, pero en este caso, la matriz de Resistencias ya no es simtrica. Esta situacin se cumple en la gran mayora de los circuitos con Fuentes Dependientes. Resolviendo la ecuacin matricial planteada se obtiene:

(3.61) El segundo circuito que se va a analizar se encuentra en la Figura 3.28. En este circuito se quiere calcular la potencia disipada por la resistencia R2. Como puede observarse, el circuito cuenta con una Fuente de Voltaje

Independiente y una Fuente de Corriente controlada por Voltaje. Por lo tanto el primer paso es decidir cul es el procedimiento ms conveniente para determinar de la manera ms eficiente posible la variable de inters (PR2).

Figura 3.28.- Segundo circuito con Fuentes Independientes y Dependientes. Las opciones son las siguientes: - Aplicar el Mtodo de Mallas segn el procedimiento regular, utilizando el Teorema de Blakesley para trasladar la Fuente de Corriente Dependiente y ponerla en paralelo con las resistencias R1 y R3, o bien con las resistencias R2 y R4. La segunda posibilidad es la ms conveniente, porque no afecta la resistencia sobre la cual est definida la variable de control de la Fuente de Corriente Dependiente. A continuacin se transforman los dos arreglos resultantes de Fuentes de Corriente con resistencias en paralelo a Fuentes de Voltaje con resistencias en serie, con lo cual el circuito queda reducido a dos mallas. Es conveniente observar que ninguna de las transformaciones realizadas ha afectado la resistencia R1, en la que est definida la variable de control, por lo que dicha variable puede expresarse en funcin de las corrientes de malla. Sin embargo, dado que la resistencia R2 ha intervenido en una transformacin de Fuentes, hay que tener presente que una vez que se han calculado las corrientes de malla, es necesario regresar a la configuracin original para determinar la verdadera potencia disipada en dicha resistencia, que es la variable que se desea calcular. -Aplicar el Mtodo de Mallas sin efectuar traslaciones ni transformaciones de Fuentes. En este caso se definen tres corrientes de malla, y se escribe la ecuacin que relaciona la Fuente de Corriente Dependiente con dos de ellas. Puede tambin escribirse la ecuacin que relaciona la variable de control con las corrientes de malla. Para completar el sistema, se deben escribir dos ecuaciones ms, que pueden ser la del lazo formado por la Fuente de Voltaje, R1 y R2, y el formado por la Fuente de Voltaje, R3 y R4. Una vez calculadas las corrientes de malla, se puede determinar la corriente que circula por R2 y la potencia que disipa dicha resistencia. - Aplicar el Mtodo de Nodos segn el procedimiento regular, utilizando el Teorema de Blakesley para trasladar la Fuente de Voltaje Independiente y ponerla en serie con las resistencias R1 y R3. Luego se debe definir el nodo de referencia, (por ejemplo el de la parte inferior del circuito), definir los voltajes de nodo y

establecer la relacin entre la variable de control y los voltajes de nodo correspondientes. A continuacin se transforman las dos fuentes de voltaje con resistencia en serie en dos fuentes de corriente con resistencia en paralelo, con lo cual el circuito queda reducido a una red con dos nodos independientes, en la cual uno de los dos voltajes de nodo es la variable de inters para poder calcular la potencia disipada por R2. -Aplicar el Mtodo de Nodos sin efectuar traslaciones ni transformaciones de Fuentes. En este caso se definen el nodo de referencia y tres voltajes de nodo, y se establece el supernodo correspondiente a la fuente de 5V. A continuacin se escribe la ecuacin que relaciona la variable de control con los voltajes de nodo y la ecuacin determinada por la Fuente de Voltaje,. Para completar el sistema de ecuaciones es necesario escribir dos ecuaciones ms, que pueden ser las de los otros dos nodos independientes. Al resolver el sistema, uno de los voltajes de nodo es la variable de inters para poder calcular la potencia disipada por R2. Analizando las cuatro opciones presentadas, la que parece ofrecer el procedimiento ms rpido es la cuarta, por lo que a continuacin se procede a aplicarla. La Figura 3.29 muestra el circuito en el que se han definido el nodo de referencia, los voltajes de nodo y el supernodo correspondiente a la fuente de 5V.

Figura 3.29.- Aplicacin del procedimiento alternativo del Mtodo de Nodos al circuito de la Figura 3.28. Ecuacin de la variable de control: v0 = v1 - v2 (3.62) Ecuacin determinada por la Fuente de Voltaje: v1 = 5V (3.63) Ecuaciones adicionales para definir completamente el sistema: Ecuaciones de las Corrientes de Kirchhoff en los nodos 2 y 3: (3.64) (3.65)

La variable de inters es el voltaje v2, ya que una vez conocido este valor puede calcularse la potencia disipada por la resistencia R2. Para calcularlo, se sustituyen las ecuaciones (3.62) y (3.63) en la (3.64), con lo cual se obtiene: (3.66) De esta ecuacin se deduce: (3.67) Una vez conocido este valor, la potencia disipada por la resistencia R2 se puede calcular utilizando la siguiente expresin: (3.68) Como ejercicio, puede resolverse el problema utilizando las otras tres opciones propuestas. Evidentemente el resultado debe ser el mismo, independientemente del mtodo seleccionado para analizar la red.2. Resolver tericamente los circuitos implementados y contrastar con los valores experimentales, tabulando los errores relativos porcentuales. Circuito 1: Circuito no 01

Tabla de Datos: Elemento R1 R2 R3 Valor Medido R [Ohm] 384,7 28650000 23240000 Valor Terico R [Ohm] 390 22000000 22000000 Tensin lectrica [V] 0,0001 7,78 8,75 Corriente [mA] 0,00026 0,000272 0,000377 Potencia [mW] 0,000000026 0,00211616 0,00329875

R4 R5 E1 E2

21890000 9960

22000000 10000

2,36 0,0048 20 30

0,000108 0,000482 0,00026 0,000272

0,00025488 2,3136E-06 0,0052 0,00816

Resolviendo el circuito anterior por el mtodo de mallas: Planteamos el sistema de ecuaciones: ( 1 ( ) ..2 Reemplazando datos tenemos lo siguiente: )

Con estos datos obtenemos todas las dems corrientes tericas: Elemento R1 R2 R3 R4 R5 Corriente Real [mA] 0,00026 0,000272 0,000377 0,000108 0,000482 Corriente Terica [mA] 0.0001182 0.0006309 0.0005127 0.0001182 0.0006309 Error porcentual (%) 119.966 56.887 26.467 8.6294 23.601

Circuito 2: Circuito no 02

Tabla de Datos: Elemento R1 R2 R3 R4 R5 E1 E2 Valor Medido R [] 1487 6760 10130 9890 12070 Valor Terico R [Ohm] 1500 6800 10000 10000 12000 Tensin lectrica [V] 6.07 24.04 17.80 12.30 6.229 30 20 Corriente [mA] 4.082 3.556 1.757 1.243 0.516 3.516 2.839 Potencia [mW] 24,77774 85,48624 31,2746 15,2889 3,214164 105,48 56,78

Resolviendo el circuito por el mtodo de mallas: Planteamos el sistema de ecuaciones: .1 ( ) .2 ( ) .3 ( ) .4 Resolviendo tenemos lo siguiente:

Con los datos obtenidos podemos hallar las dems corrientes: Elemento R1 R2 R3 R4 R5 Corriente Real [mA] 4.082 3.556 1.757 1.243 0.516 Corriente Terica [mA] 49.699 6.495 22.841 20.363 1.657 Error porcentual (%) 91.786 45.250 92.307 93.895 68.859

3. Simular computacionalmente los circuitos implementados con un software conocido (Proteus 7 Professional)

Simulacin Circuito no 01

Simulacin Circuito no 02

4. Qu restricciones se deben considerar cuando en un circuito se presentan elementos no lineales ?

Son dispositivos no lineales diodo, transistor. Las restricciones a considerar son las siguientes:La caracterstica v-i no es una recta. No puede ser aplicado el Principio de Superposicin. No podemos obtener el equivalente de Thvenin para un circuito que contenga uno o ms elementos no lineales. Circuitos con elementos no lineales: no siempre pueden ser resueltos por mtodos matemticos directos: Modelos del dispositivo no lineal: zonas de operacin lineales (Modelado por segmentos lineales). Se puede aplicar el Mtodo grfico.

CONCLUSIONES:Los mtodos de Anlisis de Mallas y Potencial de Nodos hacen que el clculo de circuitos elctricos sea ms prctico, ya que con ste podemos plantear las ecuaciones de manera ms directa y agrupar de manera ms rpida los componentes de nuestro sistema lineal.