53

5. In

ecua

cion

es. S

iste

mas

de

inec

uaci

ones

© grupo edebé

Refuerzo

Ficha

Nombre: ..................................................................................................... Curso: ...................................... Fecha: .....................................

2Sistemas de inecuaciones

1. Resuelve este sistema de inecuaciones. Sigue los pasos indicados y completa:

2 1 3

2 2

x

x x

+

+

>

≥

— Resuelve cada una de las inecuaciones.

Primera inecuación: 2x 1 > 3; 2x > 3 .......; x > ..............; S1 ( ............., )

Segunda inecuación: x 2 ≥ 2x; ........ ≥ 2; x ≤ ..............; S2 , .............

— Representa en una misma recta numérica el conjunto solución de cada inecuación.

— Determina las soluciones comunes a las dos inecuaciones. Para hacerlo, dibuja la intersección de los intervalos solución de cada inecuación. Éste será el conjunto solución del sistema.

— El conjunto solución es, entonces: S

(.....……......, .................].

Cuando no hay ningún valor que verifique todas las inecuaciones del sistema al mismo tiempo, decimos que el sistema no tiene solución.

2. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones.

— Resuelve cada una de las inecuaciones.

Primera inecuación: 4x 3 > 5; 4x > ................ ; x > ..............; S1 ( ............., )

Segunda inecuación: 3x 2 ≤ 2x 2; ............... ≤ ...............; x ≤ ..............; S2 , .............

— Representa en una misma recta numérica el conjunto solución de cada inecuación.

— Determina las soluciones comunes a las dos inecuaciones.

— Como no existen valores que sean a la vez solución de las dos inecuaciones, el sistema no tiene solución. S .............

3. Resuelve ahora los siguientes sistemas.

a) 3 1 1

2 1 9

x x

x

− +

−

>

≤

b) 7 5

1

28 3

− ≤ −

− ≤

x

x ( )

c) 3 1 2

2 3

x

x

−

+

>

≤

–1 0 1 32

–1 0 1 32

0–1–2–3–4

4 3 5

3 2 2 1

x

x x

+ −

+ ≤ −

( )

54

5. In

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iste

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Ficha

RefuerzoSolucionario

2

1. 2x > 3 1; x > 1; S1 (1, )

−x ≥ 2; x ≤ 2; S2 ( , 2]

S = (1, 2]

2. 4x 3 > 5; 4x > −5 − 3 ; 4x > −8 ; x > −2 ; S1 (−2, )

3x 2 ≤ 2x 2; 3x − 2x ≤ −2 − 2; x ≤ −4; S2 , −4

S =

3. a) 2x > 2; x > 1; S1 (1, )

2x ≤ 10; x ≤ 5; S2 ( , 5]

S (1, 5]

b) x ≤ 5 7; x ≤ 12; x ≥ 12; S1 [12, )

x 8 ≤ 6; x ≤ 6 8; x ≤ 14; S2 ( , 14]

S [12, 14]

c) 3x > 3; x > 1; S1 (1, )

x ≤ 1; S2 ( , 1]

El sistema no tiene solución.

–3 –1 1 20 3–2

0–1–2–3–4

55

5. In

ecua

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Profundización 3Ficha

Nombre: ..................................................................................................... Curso: ...................................... Fecha: .....................................

1. Resuelve esta inecuación de segundo grado

x2 6x 8 < 0

mediante la resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita.

— En primer lugar, descomponemos factorialmente el polinomio. Para hacerlo, encontramos las soluciones de la ecuación x2 6x 8 0.

x x x2 6 8 0− + = → =±.......... ....................

22 2

6 82

=±

=

− + = −

.......... ..........

....( ) (x x x ....... ..........) ( )⋅ − 2

Así, resolver la inecuación x2 6x 8 < 0 es equivalente a resolver (x ..........) ! (......... 2) < 0.

— Comprobamos el signo del producto de los factores mediante el siguiente cuadro.

— Por lo tanto, (x ..........) ! (......... 2) < 0 equivale a dos sistemas de inecuaciones:

x − >− <

..........

..........

0

2 0

o bien

x − <− >

..........

..........

0

2 0

— El problema se reduce a resolver dos sistemas de inecuaciones de primer grado.

Primer sistema

x x− >− <

→

>..........

..........

0

2 0

...........

.......... <

2

El primer sistema no tiene solución. S1

Segundo sistema

x x− <− >

→

<..........

..........

0

2 0

...........

.......... >

2

La solución del segundo sistema es S2 ( ............, ............)

La solución de la inecuación será la unión de los intervalos solución S1 y S

2.

S ( ............, ............)

2 4

2 4

x1 ........

x2 ........

Primer factor(x ..........)

Segundo factor(......... 2)

Producto

...........

...........

...........

...........

57

5. In

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Ficha de evaluación

Nombre: ..................................................................................................... Curso: ...................................... Fecha: .....................................

Ficha

4

1. En cada uno de los siguientes apartados aparecen dos desigualdades. Indica qué operación debemos efectuar sobre la primera desigualdad para obtener la segunda.

a) 4 < 7 9 < 12 b) 7 3 2 12 c) 7 ≤ 2 14 ≥ 4

2. Expresa algebraicamente las situaciones descritas por las siguientes frases.

a) La madre de Úrsula es muy joven. Aunque a su edad le añadas 10, no llega a los 45 años.

b) Juan guarda en su cartera dos billetes de 5 ∑. Si a esta cantidad le suma la calderilla que lleva en el bolsi llo de los pantalones, puede comprar una entrada de 15 ∑ para el partido del domingo, y todavía le sobra dinero.

3. Indica cuáles de los siguientes valores son soluciones de la inecuación 5 4

33

xx

−< .

a) x 1 b) x 0 c) x 1 d) x 2

4. Determina si estas dos inecuaciones son equivalentes.

a) 2x 3 > 1 3x b) 5x 2 < 8

5. Escribe una inecuación equivalente a x > 2.

6. Resuelve las inecuaciones siguientes y representa gráficamente las soluciones.

a) − +

≤− +x x1

5

2

4 b)

2

32

3

45x x− +≥ c) y 1 < 3x 2

7. Resuelve los siguientes sistemas indicando los pasos del procedimiento que has utilizado. Representa gráfica-mente las soluciones.

a x

x x

b y)

)− −

+ < +

1 3

42

7

3

71

3≥

<< −+ +

2

1 3 5

y

y y≤

8. Escribe una inecuación o sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita para cada uno de los intervalos representados en la figura.

–2 –4 –1

a b

9. Queremos construir una piscina de 100 m2 de superficie como máximo. Si la longitud es de 12 m, ¿cuánto puede medir de ancho?

10. Adivina qué número natural verifica las condiciones siguientes.

a) Su triple más su doble es menor que 30.

b) La tercera parte aumentada en 5 unidades es menor que su doble disminuido en tres unidades.

58

5. In

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4Ficha

Ficha de evaluaciónSolucionario

1. a) Sumar 5 a cada miembro.

b) Restar 9 a cada miembro.

c) Multiplicar por ( 2) cada miembro.

2. a) x 10 < 45; b) 10 x 15.

3. a) 3 " 3; b) 4

3 < 0; c) 1

3 < 3; d) 2 < 6.

Son solución x 0, x 1 y x 2.

4. a) 2x 3 > 1 3x; 2x 3x > 1 3;

x > 2; x < 2

b) 5x 2 < 8; 5x < 8 2; 5x < 10;

x < 2

En efecto, las dos ecuaciones son equivalentes.

5. Por ejemplo, 2x 5 > 9

6. a) 4 ( x 1) ≤ 5 ( x 2);

4x 4 ≤ 5x 10;

4x 5x ≤ 10 4; x ≤ 6

b) 8x 24 ≥ 9x 60; x ≤ 84;

c)

7. a) x

x x

≥ −

+ < +

2

28 2 3 7

b) 3y y < 2; 4y < 2; y < 1

2

y 5y ≤ 3 1; 4y ≤ 2; 4y ≥ 2; y ≥ −1

2

S = −

1

2

1

2,

8. Respuesta sugerida.

a) 2x 1 ≥ 3

b)

9. Llamamos a a la anchura.

Entonces, 12 · a ≤ 100; a ≤25

3

10.

3 2 30

35 2 3

5 30

15 6 9

x x

xx

x

x x

+ <

+ < −

→

<

+ < −

xx

xx

<

>

⇒ =

6

24

5

5

0 1 2 3 4 5 6

–86 0–85 –84 11

–2 –1 1 2015

10—1—12

1

2

S = −

2

1

5,

x

x

≥ −

<

2

1

5

2 2

4 8

x

x

≤ −

− ≤