inecuaciones de primer y segundo grado

Se

1 Departamento de ciencias 2014-2

Semana 1

Tema:

INTERVALOS, INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Y APLICACIONES.

INTERVALOS

1. Definicin: Se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma

comprendido entre dos puntos fijos llamados extremos.

Ejemplo de Intervalo: I= ,a b ; donde a es el extremo inferior del intervalo y b es el

extremo superior del mismo, adems a

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Semana 1

Si dos nmeros, cualquiera, cumplen una determinada desigualdad, sus inversos

cumplen la desigualdad contraria, esto es:

1 1a b

a b

2. Clases de intervalos:

2.1 Intervalos Abierto: Es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos

los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios

extremos.

En otras palabras I= ,a b = /x R a x b , observa que se trata de desigualdades estrictas.

Tambin se expresa en ocasiones como: I= ,a b

Grficamente: a b

2.2 Intervalo Cerrado: Es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los

puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos stos, forman parte del intervalo.

En otras palabras I= ,a b = /x R a x b , observa que ahora no se trata desigualdad estricta.

Grficamente: a b

2.3 Intervalo Semiabierto: Es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es

decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de stos, forman

parte del intervalo.

Intervalo Semiabierto por la derecha, o semicerrado por la izquierda, el extremo superior

no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras

, /I a b x R a x b , observa que el extreme que queda fuera del intervalo va

asociado a una desigualdad estricta. Tambin se expresa en ,I a b .

Intervalo Semiabierto por la izquierda , o semicerrado por la derecha, el extremo

inferior no forma parte del intervalo, pero el superior si, en otras palabras

, /I a b x R a x b , observa que el extreme que queda fuera del intervalo va

asociado a una desigualdad estricta. Tambin se expresa en ,I a b .

Grficamente: a b a b

Semirrectas reales:

Semirrecta de los nmeros positivos 0,I , es decir, desde cero hasta infinito.

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Semirrecta de los nmeros negativos ,0I , es decir, desde el menos infinito, el

infinito negativo, hasta cero.

Con lo que toda la recta de los nmeros reales seria ,I

Ejercicios resueltos:

1. Grafica los siguientes intervalos:

a. 2,5 b. 7,2 c. 3,6 d. 4,9 Solucin

a. -2 5 b. -7 2 c. -3 6 d. -4 9

2. Dados los intervalos: 3,5A y 6,3B Dibujar sobre la recta real y escribir con notacin de intervalo el resultado de las siguientes

operaciones: a) A B b) A B c) A B

Solucin (por el docente en clase)

EJERCICIOS PROPUESTOS

NIVEL I

1. Escribe el signo (pertenencia), o (no pertenencia), segn corresponda en cada caso:

a) 2,9998 2,3 b) 9

10 1,2 c) 2 1,2

d) 3 . 1,2 e) .. 3,4 f) e . 1,3

2. Grafica los siguientes intervalos:

a) 0,3 b) 1,4 c) 3,3

d) 2,3 e) 1

,22

f) 1

1 ,43

3. Dados los intervalos: 3,6 , B= 2,4 A

Dibujar sobre la recta real y escribir con notacin de intervalo el resultado de las siguientes

operaciones.

a) A B b) A B c) C

A d) cB e) B A

NIVEL II

4. escribir las siguientes desigualdades mediante intervalos abiertos, cerrados o semiabiertos.

a) 3

2x b)

14

2x c) 3 5x f) 5x

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g) 1 3

3 4x h)

22

3x

5. escribir como una desigualdad los siguientes intervalos:

a) 0,3 b) 1,4 c) 3,3

d) 2,3 e) 1

,22

f) 1

1 ,43

6. considerar los siguientes intervalos:

5,3A , 2,12B , 7,25C Y D R Hallar las siguientes operaciones:

a) A B b) ( ) cA B C c) ( )cB A B

d) ( )cB C A e) ( )A B C f) ( ) ( )C B A C

g) R A h) R B i) R C

INECUACIONES

A veces se dan unas condiciones en las que, en lugar de aparecer el signo igual, hay que utilizar

otros signos llamados de desigualdad.

Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vaca y el peso de la carga

que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, cunto puede

pesar, como mximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simblico, llamamos x al peso de cada cajn

y planteamos la siguiente inecuacin:

Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 - 4( x) 415

DEFINICIN: Una inecuacin es una desigualdad en las que hay una o ms cantidades

desconocidas (incgnita) y que slo se verifica para determinadas valores de la incgnita o

incgnitas.

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INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Si el grado de la inecuacin es uno, se dice que la inecuacin es lineal. Una inecuacin de

primer grado es una expresin de la forma:

0ax b , 0ax b 0ax b 0ax b donde 0a .

Se resuelve despejando la incgnita x.

Ejemplo 1 Resolver la inecuacin:2( 2) 3( 3)

56

x x

Solucin: El mnimo comn mltiplo de los denominadores es 6.

2 4 3 95

6

x x

5 55

6

x 5 5 30x 5 35x

35

5x 7x

Es decir el conjunto solucin de la inecuacin planteada es el intervalo ,7

Su grafica es:

Ejemplo 2. Resolver la inecuacin: 2 1

3( ) ( 3) 23 2

x x x

Solucin: 2 1

3( ) ( 3) 23 2

x x x

( 3) 4

3 22

x xx

3 33 2

2

xx

6 4 3 3x x

9 7x 7

9x

El conjunto solucin es: 7

,9

Ejemplo 3. Dada la inecuacin: 3 5 3 1x x

Solucin: 3 5 3 1x x

3 3 5 1x x 5 1 (esto es falso).

Por lo tanto no existe solucin.

Ejemplo 4 Resolver la inecuacin: 3 2 3 7 3x x x

Solucin: 3 2 3 7 3x x x

3 2 3 7x x 3 7 3x x

3 7 3 2x x 3 7 3x x

10 5x 2 4x

7

-7/9

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10

5x 2x

2 x . El conjunto solucin es:


NIVEL- I

En los siguientes problemas resuelva cada desigualdad y haga la grafica del conjunto solucin:

1. 4 2 4x x 2. 3 3 3x x 3. 3( 3) 3x

4. 3( 3 ) 3x 5. 4 3( 3 ) 6x 6. 52 3

x x

7. 1

( 3) 53

x x 8. 0 2 4 6x 9. 5 4 5x

10. 1 12 3

x x 11. ( 1) ( 3)

2 3

x xx x 12. 5 1 2x x

NIVEL II

Resolver las siguientes inecuaciones y haga la grafica del conjunto solucin:

1. 4 5 6 1x x 2. 1 3 1

13 4

xx

3. 2 1 3 3

3 2

x x 4.

2 11

2

xx

5. 2 2 5 2 3 2

3 3 4

x x xx

6.

22 2

5x

7. 4 3

3 93

x 8.

12 5 3 2( 2)

3 4 3

x x xx

9. 2 5 1 ( 2)x x x x 10. (2 -2)( 5) ( 4)(2 7)x x x x

11. 3 4

75 3

x x 12.

15(2 3) ( 1) 2

2x x x

NIVEL III

1. Demostrar que: si 2,4x entonces 2 3 7,11x

2. Demostrar que: si 2 6 4,4x entonces 1,5x

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INECUACIONES CUADRTICAS

Las inecuaciones cuadrticas presentan, o se pueden reducir a, las formas:

2 0ax bx c 2 0ax bx c

2 0ax bx c 2 0ax bx c

Para resolver una inecuacin cuadrtica hay que analizar el discriminante:2 4b ac

Caso I: Si 0 . El polinomio 2( )p x ax bx c ; es un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: Sea2( ) 6 9p x x x ,

Como 0 entonces 2 2( ) 6 9 ( 3)p x x x x , tenemos:

i) 2( 3) 0x CS.=

ii) 2( 3) 0x C.S.= - {3}

iii) 2( 3) 0x C.S.= {3}

iv) 2( 3) 0x

C.S.=

Caso II: Si 0 , entonces hay dos valores reales diferentes 1 2r r que anula al trinomio

2( ) P x ax bx c , es decir el polinomio es factorizable.

2

1 2( )( )ax bx c a x r x r

Para factorizar se puede utilizar el aspa simple la formula general.

Formula general:

2 4

2

b b acx

a

Luego se resuelve las desigualdades aplicando el criterio de los puntos crticos.

Mtodo de los puntos crticos:

1. Transponemos todos los trminos de la inecuacin al primer miembro. El coeficiente de la

variable con mayor exponente tiene que ser positivo.

2. Se factoriza totalmente la expresin obtenida en el primer miembro.

3. Se calculan los puntos crticos, los cuales son los valores que asume la incgnita al igualar a

cero cada factor lineal.

4. Se ubican los puntos crticos en la recta numrica.

5. Cada intervalo determinado por los puntos crticos consecutivos, se sealan alternadamente de

derecha a izquierda con signos (+) y (-). Se iniciar con el signo (+).

6. Casos:

Si la inecuacin admite como signo de la relacin: 0 0 se escogen los intervalos

que tengan el signo (+)

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Semana 1

Si la inecuacin admite como signo de la relacin: 0 0 se escogen los intervalos

que tengan el signo (-)

Si la inecuacin es en los puntos crticos sern abiertos.

Si la inecuacin es en los puntos crticos sern cerrados.

Ejemplos:

1. Resolver: 22 1 0x x

Solucin:

Como 0 , entonces factorizamos el polinomio

22 1 0x x 2 1 1 0x x

Puntos crticos: 2 1 0x ; 1 0x

1

2x

1x

Luego ubicamos los puntos crticos en la recta real: CS. 1

,12

+ - +

Se eligen los intervalos donde estn los signos (-) y los intervalos son ABIERTOS.

Entonces CS.= 1

,12

2. Resolver: 23 5 2 0x x

Solucin:

Como 0 , entonces factorizamos el polinomio 23 5 2 0x x 3 1 2 0x x

Puntos crticos: 3 1 0x ; 2 0x

1

3x 2x

Luego los puntos crticos lo ubicamos en la recta real:

Se eligen los intervalos donde estn los signos (+) y los intervalos son cerrados.

Entonces: CS.= 1

, 2 ,3



2 2 0x x 1 2 0x x

-1/2 1

-2 1/3

+ + -

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Puntos crticos: 1 0x ; 2 0x

1x 2x


Se eligen los intervalos donde estn los signos (-) y los intervalos son cerrados.

Entonces: CS.= 2,1


Solucin:


26 1 0x x 3 1 2 1 0x x

Puntos crticos: 3 1 0x ; 2 1 0x

1

3x

1

2x


Se eligen los intervalos donde estn los signos (+) y los intervalos son abiertos.

Entonces: CS.= 1 1

, ,3 2

CASO III: 0 Sea: 2ax bx c una expresin cuadrtica con 0a y supongamos que el

discriminante de la frmula cuadrtica 2 4 0b ac , luego:

i. Si 0a , entonces 2 0ax bx c para todo x R , luego el CS.= R

ii. Si 0a , entonces 2 0ax bx c para todo x R , luego el CS.= R

Ejemplo: Sea 2( ) 4 2 3P x x x , su 0

Pero ( )P x siempre es positive, para todo x R ; porque si completamos cuadrados tendramos:

2( ) 4 2 3P x x x = 21 3

42 4

x x

=

21 1 3

44 16 4

x

=

21 11

44 16

x

=

21 11

44 4

x

-2 1

+ - +

-1/3 1/2

+ + -

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Entonces:

1. 2( ) 4 2 3 0P x x x CS.= R

2. 2( ) 4 2 3 0P x x x CS.= R

3. 2( ) 4 2 3 0P x x x CS.=

4. 2( ) 4 2 3 0P x x x CS.=

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Semana 1


1. 2 4 0x 2. 2 9 0x

3. 2 9 0x 4. 2 9 0x

5. 2 1 0x 6. 2 5 6 0x x

7. 2 6 9 0x x 8. 2 3 10 0x x

9. 2 2 0x x 10. 2 2 35 0x x

11. 2 2 2 0x x 12. 2 5 14 0x x

13. 236 36 5 0x x 14. 2 6 0x x

15. 2 2 1 0x x 16. ( 2) 5x x

17. 2( 2) 6 2x x 18. 2(2 1)( 2) ( 1)x x x

19. ( 3) 1 5( 3)x x x 20. 2( 3) 3 5x x

21. 2( 2)( 1) 0x x x 22. ( 1)( 2)( 3) 0x x x

23. 218 2 0x x 24. ( 2)( 3) 2 x x x

25. 29 x x 26. (2 3)( 3) ( 1)(3 2)x x x x

27. 2 2 2( 1) ( 2) 3 7 1x x x x 28. (2 1)( 3) 9 ( 1)( 4)x x x x

APLICACIONES DE LAS INECUACIONES LINEALES Y CUADRTICAS

La resolucin de problemas expresados con palabras algunas veces puede implicar

desigualdades, como lo ilustran los siguientes problemas.

1. Transporte areo Un pequeo avin monomotor puede transportar un peso mximo de 1800

libras. Milagros Ramrez, la piloto, tiene que transportar cajas que pesan 50 libras cada una.

Plantea una desigualdad que pueda usarse para determinar el nmero mximo de cajas que

Milagros puede transportar de forma segura en su aeroplano, tomando en cuenta que ella pesa

125 libras. Determina el nmero mximo de cajas que Milagros puede transportar.

2. Costos: El costo total (en dlares) de produccin de x unidades de cierto articulo esta dado por

3100 25C x y cada unidad se vende a $37. El fabricante quiere saber cuantas unidades

deber producir y vender para obtener una utilidad de al menos $2000.

3. Nstor Pedroza, un conserje, debe trasladar varias cajas con libros del primero al quinto piso. El

letrero del elevador dice "Peso mximo 800 libras". Si cada caja de libros pesa 70 libras, calcule

el nmero de cajas que Nstor puede subir al elevador, si su peso es de 170 libras y sube con las

cajas al elevador.

4. En 1993 el operador de telefona celular Pacific Bell, cobraba 0.15 dlares por el primer

minuto, mas 0.14 dlares por cada minuto adicional (o fraccin), si el cliente estaba inscrito en

Se


Semana 1

s 80t 96 p

el plan A. Cuantos minutos (mximo y mnimo) puede hablar, en una misma llamada, una

persona que cuenta con mas de US$ 2.00 pero con menos de US $4.50?

5. Clculo de calificaciones En un curso de Matemtica Bsica, una calificacin promedio

mayor o igual a 80 y menor que 90 tiene como resultado una nota de B. Moiss Cruzate recibi

calificaciones de 85; 90; 68 y 70 en sus primeros exmenes. Para que Moiss reciba una nota

final de B en el curso, entre cules dos calificaciones debe estar su quinto (y ltimo) examen?

6. Temperatura corporal La temperatura normal del cuerpo humano es de 98.6F. Si una

temperatura x que difiere de la normal por lo menos 1,5 es considerada no sana, escriba la

condicin para una temperatura no sana x como una desigualdad. y resuelva para x.

7. Voltaje domstico En estados unidos el voltaje casero normal es de 115V. Sin embargo, no es

raro que el voltaje real difiera del normal en 5 voltios, cuando mucho. Exprese esta situacin

como una desigualdad. Utilice x como el voltaje real y resuelva para x.

8. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por

segundo. La distancia s (en pies) de la pelota al suelo despus de t segundos es 280 16S t t . Calcula el intervalo de tiempo en que la pelota est a menos de 96 pies del

suelo? (Ver figura.)

9. Repita el problema anterior para determinar cuando la pelota est a ms de 64 pies del

suelo.

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