inductancia - gutierrez daniel

Inductancia de un solenoide

A.Astudillo, D. Gutiérrez y J. Porras Departamento de Física, Universidad del Valle

10 de Mayo de 2011

Abstract- Este informe expone los resultados obtenidos luego de

la práctica de laboratorio realizada donde se estudió la

inductancia en un solenoide por media de la relación existente

entre las características físicas propias de la construcción de este

como longitud. Diámetro y número de vueltas del conductor así

analizando los resultados demostrando esa relación.

Palabras clave: Inductores, Circuitos Capacitivos, Circuitos No Lineales, Corriente alterna.

1. INTRODUCCION

Cuando estudiamos los circuitos con elementos almacenadores

como son el caso de las capacitancias y las bobinas es necesario entender el cómo se generan estas características y

para este caso específico el de las bobinas donde nos

dispusimos a analizar y comprender la relación existente entre

los radios de una bobina, la longitud, el número de vueltas y

su inductancia total, demostrando así que la inductancia

depende de las características físicas del conductor. Por

ejemplo, si se enrolla un conductor, la inductancia aumenta.

Un arrollamiento de muchas espiras tendrá más inductancia

que uno de unas pocas vueltas. Además, si un arrollamiento se

coloca alrededor de un núcleo de hierro, su inductancia será

mayor de lo que era sin el núcleo magnético [1].

2. DISCUSIÓN TEÓRICA

Un circuito LC es excitado a oscilar libremente, a través de

una señal cuadrada de baja frecuencia. De la medida de la

frecuencia de oscilación propia definida como

√ y con

capacitancia conocida, se puede calcular la inductancia L del sistema.

En el experimento, se excitara el sistema LC, indirectamente

utilizando la ley de inducción de Faraday, a través de una

bobina excitadora , que está bajo la acción de un potencial

de tipo “onda cuadrada”, de tal forma que cada cambio brusco

de campo magnético creado por induce una fem en L,

excitando de esta forma el circuito LC a oscilar con frecuencia

propia

√ , L la inductancia del solenoide a conocer y C

una capacitancia de valor conocido.

Inductancia de un Solenoide:

El campo magnético uniforme H en la región central de un

solenoide de N espitas, longitud l, área transversal , (r

el radio del solenoide) por donde circula una corriente i bajo la

condición l >>r, viene dado por la siguiente expresión:

( )

El flujo de campo magnético a través del solenoide mismo

está dado por:

( )

( )

Si este flujo varia, induce una fem en los extremos del

solenoide dado por:

(

)

( )

La ec.3 nos da la dependencia de la autoinductancia de un

solenoide con su longitud, radio y numero de espiras, valida si

l >>r y bajo la suposición que el campo dentro es uniforme. Si

l >r entonces la ec.3 se modifica a [2]:

(

)

( )

3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Para comenzar la práctica se debe revisar el estado de cada

uno de los elementos a usar, que la fuente no presente daño

alguno, que cada una de las bobinas se encuentren bien

armadas y enrolladas que el osciloscopio no presente daño

alguno que impida su correcto funcionamiento, al igual que

los capacitores y que el generador de señales genere la señales

a usar. Una vez revisado el estado de los componentes

procederemos a hacer el montaje según lo indica la fig.1.

Familiar

Rectangle

Familiar

Callout

Esta es la ecuación (1)

Familiar

Rectangle

Familiar

Callout

Aqui hay un error, según esto fo = ωo?

Familiar

Line

Familiar

Text Box

Nota: 4.9

Fig.1. Montaje experimental

A continuación para cada inductancia se mide la frecuencia de

oscilación propia de la señal obtenida en el osciloscopio. Cada

inductancia se midió tres veces con diferentes valores de

capacitancia C1, C2 y C3. Luego procederemos a repetir el

proceso anterior con solenoides de la misma longitud y

números de espiras N, pero diferente radio r así también con

solenoides del mismo radio r, pero longitud l diferente y por

ultimo para el casi de los solenoides del mismo radio r y

longitud l, pero diferentes N, en cada caso analizando la

relación existente entre (r, l, N) con respecto a L. Anotando

para cada caso los valores de la frecuencia f, N, r, l y su

relación en la tabla 1 y 2.

4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Para empezar se varía el radio de las bobinas para analizar la

dependencia de la autoinductancia L con el radio, a pesar de

que se toman los datos de diámetro ya que estos están estipulados en cada bobina.

( )

( )

Para las tablas 1 y 2, se calcula la autoinductancia L con (5).

TABLA 1

PARAMETROS DE LAS BOBINAS Y DATOS DE DIAMETRO,

CAPACITANCIA Y PERIODO MEDIDOS EN EL LABORATORIO

Diámetro C ±0,1

nF To (µs)

To (10-12

s2) L (H)

d1 = 26 ± 1

mm

11,1 11,6±0,4 134,56 ±

9 3,1*10-4 ± 2*10-5

30,1 19±1 361 ± 38 3,0*10-4 ± 3*10-5

50,1 24±1 576 ± 48 2,9*10-4 ± 2*10-5

L1 promedio experimental 3,0*10-4 ± 3*10-5

d2 = 33 ± 1 mm

11,1 14±1 196 ± 28 4,5*10-4 ± 7*10-5

30,1 24±1 576 ± 48 4,9*10-4 ± 4*10-5

50,1 30±2 900 ± 120

4,6*10-4 ± 6*10-5


d3 = 41 ± 1 mm

11,1 18±1 324 ± 36 7,4*10-4 ± 9*10-5

30,1 29±1 841 ± 58 7,1*10-4 ± 5*10-5

50,1 36±2 1296 ±

144 6,6*10-4 ± 7*10-5


Largo l 0,16 ± 0,001 m

N 300

Frecuencia f 1990 ± 1 Hz

0,024 0,026 0,028 0,030 0,032 0,034 0,036 0,038 0,040 0,042

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

Au

toin

du

cta

ncia

L (

H)

Diametro d (m)

Fig.2. Gráfica de L vs d de la tabla 1.

La fig.2 muestra la dependencia de la autoinductancia con el

radio, aunque tres puntos son insuficientes para hacer un

análisis, se puede observar que los puntos tienden a formar

una parábola como era de esperarse, ya que en (3) el radio está

elevado al cuadrado.

Ahora se varía el largo l y el número de vueltas N dejando el

diámetro constante tomando los valores de la tabla 2.

TABLA 2

PARAMETROS DE LAS BOBINAS Y DATOS DE CAPACITANCIA Y

PERIODO MEDIDOS EN EL LABORATORIO

l,N C ±0,1

nF To

(µs) To (10-12

s2) L (H)

l1 = 0,055 ± 0,001m

11,1 9,6

±0,4 92 ± 8

2,1*10-4 ± 4*10-5

N1 =100 30,1 16±1 256 ± 32 2,2*10-4 ±

3*10-5

N1/l1= 1818 ±33m-1 50,1 20±1 400 ± 40

2,0*10-4 ± 2*10-5

Familiar

Oval

Familiar

Rectangle

Familiar

Callout

Periodo?

Familiar

Line

L1 promedio experimental 2,1*10-4 ±

4*10-5

l2 = 0,107±

0,001m 11,1 14±1 196 ± 28

4,5*10-4 ±

7*10-5

N2 =200 30,1 23±1 529 ± 46 4,5*10-4 ±

4*10-5

N2/l2= 1869 ± 26 m-1

50,1 30±2 900 ± 120 4,6*10-4 ±

6*10-5


5*10-5

l3 = 0,16 ± 0,001m

11,1 18±1 324 ± 36 7,4*10-4 ±

9*10-5

N3 =300 30,1 29±1 841 ± 58 7,1*10-4 ±

5*10-5

N3/l3= 1875± 12 m-1

50,1 36±2 1296 ±

144 6,6*10-4 ±

7*10-5


5*10-5

Frecuencia f 1990 ± 1 Hz

Diámetro d 41 ± 1mm

Ahora se analizaran los datos experimentales de las tablas 1 y

2 con los datos esperados teóricamente a partir de (3), haciendo uso de la función Chi cuadrado χ2 [3].

Para decir con que probabilidad nuestros datos experimentales

se ajustan a lo esperado teóricamente se debe cumplir la

desigualdad (6). Donde χ2 se calcula con (7), r es el número de

filas de la tabla a tratar, k son las columnas a estudiar y se

obtiene a partir de la tabla de distribución χ2 sabiendo que el

grado de libertad es (r-1)*(k-1). [4]

( )( ) ( )

∑( )

( )

TABLA 3

DATOS EXPERIMENTALES Y TEORICOS DE LA

AUTOINDUCTANCIA L VARIANDO EL RADIO DE LAS BOBINAS

Autoinductancia Valor experimental (H) Valor teórico (H)

L1 3,0*10-4 ± 3*10-5 3,8*10-4± 1,4*10-4

L2 4,7*10-4 ± 6*10-5 6,1*10-4 ± 4*10-5

L3 7,0*10-4 ± 5*10-5 9,3*10-4 ± 5*10-5

Se han obtenido los siguientes datos de la tabla 3:

χ2 = 1,1*10-4

= 0,002 (para una probabilidad de 99.9%, grado de libertad

2)

r = 3

k = 2

Así que si resolvemos (6) tenemos: 1,1*10-4< 0,004, lo que

quiere decir que nuestros datos experimentales se ajustan a lo

esperado teóricamente con una probabilidad del 99.9%

TABLA 4

DATOS EXPERIMENTALES Y TEORICOS DE LA

AUTOINDUCTANCIA L VARIANDO EL LARGO L Y NUMERO DE

VUELTAS N DE LAS BOBINAS


L1 2,1*10-4 ± 4*10-5 3,0*10-4 ± 2*10-5

L2 4,5*10-4 ± 5*10-5 6,2*10-4 ± 4*10-5

L3 7,0*10-4 ± 5*10-5 9,3*10-4 ± 5*10-5


χ2 = 1,3*10-4


2)

r = 3

k = 2

Si resolvemos (6) tenemos: 1,3*10-4< 0,004, lo que quiere

decir que nuestros datos experimentales se ajustan a lo


Ahora se hará el análisis con los valores nominales de L que

aparecen en cada bobina.

TABLA 5 DATOS EXPERIMENTALES Y TEORICOS DE LA

AUTOINDUCTANCIA L VARIANDO EL RADIO DE LAS BOBINAS


L1 3,0*10-4 ± 3*10-5 3,3*10-4

L2 4,7*10-4 ± 6*10-5 5,3*10-4

L3 7,0*10-4 ± 5*10-5 8*10-4


χ2 = 2,2*10-5


2)

r = 3

k = 2




TABLA 6 DATOS EXPERIMENTALES Y TEORICOS DE LA

AUTOINDUCTANCIA L VARIANDO EL LARGO L Y NUMERO DE

VUELTAS N DE LAS BOBINAS


L1 2,1*10-4 ± 4*10-5 2,0*10-4

L2 4,5*10-4 ± 5*10-5 5,0*10-4

L3 7,0*10-4 ± 5*10-5 8,0*10-4


χ2 = 1,8*10-5


2)

r = 3 k = 2




A pesar de las comparaciones con la función Chi cuadrado χ2,

se observa una diferencia entre los datos teóricos y

experimentales, esto se puede explicar teniendo en cuenta que

al tomar los datos de periodo To en el osciloscopio, hay un

error de apreciación, además puede haber un error

instrumental en las capacitancias ya que se confió en el valor mostrado por ellas, más no se midió los valores usados para el

experimento.

5. CONCLUSIONES

La autoinductancia y el radio tienen una dependencia

cuadrática como es un poco apreciable con la gráfica, y a

partir de la formula.

Es muy importante tener en cuenta que a la hora de utilizar el

osciloscopio como instrumento de medida de periodos, voltajes, entre otros datos, se presenta siempre un error de

apreciación que afecta en medida a los datos que se desean a

obtener. Además, si es posible, será necesario medir el valor

de las capacitancias utilizadas en el experimento en lugar de

confiar en el valor que el fabricante determine, ya que esto

también puede afectar los datos medidos y calculados.

REFERENCIAS [1]http://www.pablin.com.ar/electron/cursos/inductan/index.htm,Mayo 14 de 2011 [2] Guía de practica Laboratorio de Electromagnetismo, María Elena Gómez, 2009. Universidad del Valle [3]http://es.wikipedia.org/wiki/Prueba_%CF%87%C2%B2_de_Pearson, Mayo 9 de 2011 [4]http://www.ucema.edu.ar/u/rst/Simulacion_de_Sistemas/Teoria/ta

blachicuadrado.pdf, Mayo 9 de 2011

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