DIRECCIONES Y PLANOS CRISTALOGRFICOSAl hablar de materiales cristalinos, a menudo es conveniente especificar algn plano cristalogrfico particular de tomos o alguna direccin cristalogrfica. Convencionalmente se ha establecido que para designar las direcciones y planos se utilicen tres ndices enteros. Los valores de los ndices se determinan basndose en un sistema de coordenadas cuyo origen est situado en un vrtice de la celdilla unitaria y cuyos ejes (x, y, z) coinciden con las aristas de la celdilla unitaria como lo indica la Figura 1 (b). En los sistemas cristalinos hexagonal, rombodrico y triclnico, los tres ejes no son perpendiculares entre s, como ocurre en el familiar sistema de coordenadas ortogonales o cartesianas.

PUNTOS, DIRECCIONES Y PLANOS EN LA CELDILLA UNITARIA

COORDENADAS DE LOS PUNTOS.Es posible localizar ciertos puntos, como las posiciones de los tomos en la red o en la celdilla unitaria, construyendo el sistema de coordenadas dextrgiro de la Figura 1 (a). La distancia se mide en funcin del nmero de parmetros de red que habr que moverse en cada una de las coordenadas x, y y z para pasar desde el origen hasta el punto en cuestin. Las coordenadas se expresan como tres distancias, y separando cada nmero con comas.Cuando correlacionamos subsecuentemente varias propiedades y estructuras cristalinas ser necesario identificar la direccin especfica de los cristales. Esto puede hacerse relativamente simple si se usa la celdilla unitaria como base.

Figura 1. (a) Coordenadas de puntos seleccionados en la celda unitaria. Los nmeros se refieren a la distancia desde el origen en funcin de los nmeros de parmetros de red. (b) Direcciones vectoriales de los puntos. c) Vista esquemtica de la localizacin de los centros de los tomos en la estructura FCC de un metal.

Por ejemplo, la Figura 1 (b) muestra las tres direcciones dentro de una retcula simple ortorrmbica. La direccin [1 1 1] es aquella que pasa desde el origen y a travs de un punto de la distancia de la celdilla en cada una de las tres direcciones axiales. Del mismo modo, las direcciones [1 0 1] y [1 0 0] son rayos (vectores) que partiendo del origen pasan a travs de los puntos 1, 0, 1 y 1, 0, 0 de las distancias de las celdillas unitarias, respectivamente. La costumbre ha establecido utilizar parntesis cuadrados [h k l] para indicar la direccin de las celdillas (cristales). El parntesis (h k l) indica los planos de las celdillas.No es nada que se desconozca, al menos, se estipula que una celdilla cbica tiene vrtices cuya ubicacin se define en torno a un origen y a una disposicin de ejes, atribuidos a su vez a los ngulos, que le dan posicin entre los planos x, y y z. La distancia se mide en trminos de la cantidad de parmetros de red que hay que recorrer en cada una de las direcciones para ir del origen al punto en cuestin. Las coordenadas se escriben como las distancias, y los nmeros se separan por coma.DIRECCIONES CRISTALOGRFICAS.En la siguiente figura se muestra la notacin empleada para describir las direcciones reticulares. Debe hacerse notar que estas direcciones estn siempre representadas por un conjunto de nmeros enteros.

Figura 4.3.- Notacin para las direcciones de la red. Ntese que las direcciones paralelas [uvw] (por ejemplo, [111], comparten la misma notacin ya que nicamente esta desplazado el origen.

Una direccin cristalogrfica se define por una lnea que une dos puntos o por un vector. Para determinar los ndices de una determinada direccin, se siguen los siguientes pasos:1. En el origen de coordenadas del sistema se traza un vector de longitud conveniente. Todo vector se puede trasladar a travs de la red cristalina sin alterarse, si se mantiene el paralelismo.2. Se determina la longitud del vector proyeccin en cada uno de los tres ejes, en funcin de las dimensiones a, b y c de la celdilla unidad.3. Estos tres nmeros se multiplican o se dividen por un factor comn para reducirlos al valor entero menor.4. Los tres ndices, sin separacin, se encierran en un corchete, as: [uvw]. Los nmeros enteros u, v y w corresponden a las proyecciones reducidas a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente. La notacin de la direccin cristalogrfica se corresponde con la combinacin ms baja de nmeros enteros y representa distancias unidad en lugar de distancias actuales. As, la direccin cristalogrfica [222] es igual a la [111].

Tampoco se usan fracciones, as por ejemplo el rayo que intersecta el centro de la cara superior de la celda unitaria tiene de coordenadas x = 1/2, y = 1/2 y z = 1 y su direccin cristalogrfica no se representa por , sino que se multiplica por 2 con el fin de obtener la combinacin ms baja de nmeros enteros, por tanto, la direccin cristalogrfica se representa por [112].Para cada uno de los tres ejes existen coordenadas positivas y negativas. Los ndices negativos se representan mediante una lnea sobre el ndice. Por ejemplo, la direccin [111] tiene un componente en la direccin - y. Cambiando los signos de todos los ndices se obtiene una direccin antiparalela, por ejemplo, [111] significa la direccin directamente opuesta a [111].5. Todos los rayos paralelos tienen la misma direccin cristalogrfica.En algunas estructuras cristalinas, varias direcciones no paralelas con diferentes ndices son equivalentes, esto significa que el espaciado atmico a lo largo de cada direccin es el mismo. Por ejemplo, en los cristales cbicos, todas las direcciones representadas por los siguientes ndices son equivalentes: [100], [100], [010], [010], [001] y [001].En los cristales cbicos todas las direcciones que tienen los mismos ndices, sin tener en cuenta orden o signo, son equivalentes, por ejemplo, [123] y [213]. Generalmente esta condicin no se cumple en otros sistemas cristalinos. Por ejemplo, para cristales con simetra tetragonal, las direcciones [100] y [010] son estructuralmente equivalentes, mientras que no lo son las [100] y [001]. Por conveniencia, las direcciones estructuralmente equivalentes se agrupan en familias de direcciones, que se anotan encerradas en un parntesis angular: .En la figura 4.4 estn dibujadas varias direcciones cristalogrficas en la celdilla unidad cbica.

Representacin de varias direcciones cristalogrficas en la celdilla unidad cbica.

En el sistema cbico, que se encuentra frecuentemente, el ngulo entre distintas direcciones puede determinarse a travs del producto escalar de dos vectores. Tomando las direcciones [uvw] y [u'v'w'] como 1os vectores D = ua + vb + wc y D' = u'a + v'b + w'c, puede determinarse el ngulo, , entre estas dos direcciones como:

PLANOS CRISTALOGRFICOS.La orientacin de los planos cristalogrficos de la estructura cristalina se realiza y se representa de modo similar al de las direcciones cristalogrficas. Los planos cristalogrficos del sistema cbico se expresan como un conjunto de nmeros enteros, conocidos como ndices de Miller (hkl) o de Millar-Bravais (hkil). Dos planos paralelos son equivalentes y tienen ndices idnticos. El procedimiento utilizado para la determinacin de los valores de los ndices es el siguiente:1. Si el plano pasa por el origen, se traza otro plano paralelo con una adecuada traslacin dentro de la celdilla unidad o se escoge un nuevo origen en el vrtice de otra celdilla unidad.2. El plano cristalogrfico o bien corta, o bien es paralelo a cada uno de los tres ejes. La longitud de los segmentos de los ejes se determina en funcin de los parmetros de red a, b y c.3. Se escriben los nmeros recprocos de estos valores. Un plano paralelo a un eje se considera que lo corta en el infinito y, por lo tanto, el ndice es cero.4. Estos tres nmeros se multiplican o dividen por un factor comn.5. Finalmente, se escriben juntos los ndices enteros dentro de un parntesis: (hkl)Una interseccin en el sentido negativo del origen se indica mediante una barra o un signo menos sobre el ndice. Adems, cambiando el signo de todos los ndices se obtiene un plano paralelo opuesto a una distancia equivalente del origen. En la figura se han representado varios planos.Una caracterstica interesante, que nicamente se cumple en el sistema cristalino cbico, es que las direcciones y planos que tienen los mismos ndices son perpendiculares.

Representaciones de diversos planos cristalogrficos

NDICES DE MILLEREl ndice de Miller es muy utilizada para designar planos reticulares y direcciones en un cristal. Para poder identificar unvocamente un sistema de planos cristalogrficos se les asigna un juego de tres nmeros que reciben el nombre de ndices de Miller. Los ndices de un sistema de planos se indican genricamente con las letras (h k l) Los ndices de Miller son nmeros enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre s. El signo negativo de un ndice de Miller debe ser colocado sobre dicho nmero.Obtencin de los ndices de Miller1. Se determinan las intersecciones del plano con los ejes cristalogrficos. Para poder determinarlas se utiliza como unidad de medida la magnitud del parmetro de red sobre cada eje.2. Se consiguen los recprocos de las intersecciones.3. Se determinan los enteros primos entre s que cumplan con las mismas relaciones. Tienen que ser enteros.

Nos referiremos, por sencillez, al sistema cubico, ya que el cubo es una estructura de simetra muy elevada, que contienen numerosos ejes de simetra. Elegiremos los ejes de referencia o eje cristalogrficos perpendiculares a las caras del cubo. Los ndices de Miller para los diversos planos se refieren a estos ejes y se deducen utilizando la siguiente fig. Tal y como sigue: (1) tomar el eje de referencia Z perpendicular a la cara del cubo tal y como se indica, (2) medir la posicin de los tomos a lo largo de los ejes, tomando como unidad de longitud la constante reticular. Lo dicho es equivalente a elegir como plano paramtrico abc el plano (111). (3) encontrar las intersecciones de cualquier plano con los tres ejes en funcin de abc. Tomar los recprocos de estos tres nmeros y reducirlos a los tres enteros ms pequeos. En este caso, un plano viene dado por cuatro nmeros, tal y como se indica el la fig.

Planos principales con su notacin en un cristal cubico. En cada caso, el primer numero del parntesis es el valor reciproco de la distancia interceptada a lo largo del eje x, el segundo el valor reciproco de la distancia interceptada por el eje y. anlogamente el tercero para el eje z.

Ejemplo: Determinar los ndices de miller del plano reticular que corta los ejes cristalogrficos en los puntos (2,0,0), (0, 1, 0) y (0, 0, 3).

A parit de la definicin de ndice de miller.H=m.c.m. (2, 1, 3)/2=6/2=3 k=m.c.m. (2, 1, 3)/1=6/1=6L= m.c.m. (2, 1, 3)/3=6/3=2Por lo tanto el ndice de miller de este plano ser: (362)