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IV APLICACIONES DE LA INTEGRACION

IV.1.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.- Considérese la función (x) = y, el eje de las “x” y las ordenadas correspondientes a x = a y x = b para hacer la construcción siguiente:

La figura construida tiene:

a) Un número “n” de rectángulos igual a un número “n” de subintervalos en que se ha dividido el intervalo desde x = a hasta x = b

b) Las abscisas x1,x2,.....,xn en cada subintervaloc) Con las longitudes x1, x2,....., xn correspondientes a cada

subintervalod) Las ordenadas ( x1 ), (x2),....., (xn) correspondientes a cada

abscisa señaladae) Áreas correspondientes a cada rectángulo formado y que valen:

( x1) x1, (x2) x2,....., (xn) xn

De las consideraciones anteriores se tiene que el área bajo la curva puede ser calculada de la siguiente manera:

A = [ ( x1) x1 + (x2) x2 +.....+ (xn) xn]

Pero además ya se vio que el área bajo la curva es:

Por lo que se puede escribir:

= [ ( x1) x1+ (x2) x2+.....+ (xn) xn]

2

La igualdad anterior es un teorema que se define:

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.- Sea (x) una función continua en el intervalo x = a y x = b; divídase este intervalo en “n” subintervalos con longitudes x1, x2, ....., xn y elíjase un punto en cada subintervalo con abscisas x1, x2, ..... , xn y considérese la suma:

( x1) x1 + (x2) x2 +..... + (xn) xn =

Entonces, el valor límite de la suma cuando n tiende a infinito y cada subintervalo tiende a cero, es igual al valor de la integral definida:

IV.2.- INTEGRAL DEFINIDA.- La integral definida es un número resultante de integrar una función continua en un intervalo dado y se expresa de la siguiente manera:

donde a es menor que b y a es el límite inferior de la integración mientras que b es el límite superior siendo f(x) el integrando. La integral así definida se llama integral de RIEMANN.

Si a < b; = -

y si a = b, entonces = 0Del teorema fundamental del cálculo, tenemos:

= g(b) - g(a)...........que se denomina .............REGLA DE BARROW

donde g’(x) = f(x). La diferencia de valores para x = a y x = b da el área limitada por la curva cuya ordenada es “y”, el eje de las “x” y las ordenadas que corresponden a x = a y x = b.

Para calcular la integral definida se procede de la siguiente manera:

1. Se integra la expresión diferencial dada conforme a las reglas conocidas2. Sustituir en la integral encontrada el límite superior y restar del resultado la

sustitución del límite inferior. La constante de integración siempre desaparece en este tipo de problemas

IV.3.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.- A continuación, se enumeran las propiedades de la integral definida:

3

I. = 0

II. = -

III. = c siendo c = constante

IV. =

V. = + cuando a < b < c

EJEMPLOS1)

= = =

g(x) = ;

g(b) = g(5) = = ; g(a) = g(0) = = 0

2)

Resuelve los siguientes

EJERCICIOS XX1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

IV.4.- CALCULO DE AREAS.- Para el cálculo de áreas se encuentra la solución de la integral definida respectiva basados en el teorema fundamental del cálculo.

EJEMPLOS

1) Calcular el área limitada por y = 4x - x2 y el eje “x”; los límites x = a y x = b se encuentran donde la curva cruza el eje “x”. A continuación se traza la gráfica correspondiente:

4

el límite inferior es a = 0 y el superior b = 4

2) Calcular el área limitada por y = x2 - 7x + 6; el eje de las “x”; x = 2; x = 6.

5

Resuelve los siguientes:

EJERCICIOS XXI

1).- Calcula el área en cada inciso conforme a los límites que en los mismos se indican:

a) y = x + 3; y = - 2x + 8; x = 2; x = 4

b) x = 8 + 2y – y2 ; eje "y"; y = -1; y = 3

c) y = x2 ; eje "x"; x = 2; x = 4

d) y = 6x – x2; y + x + 1 = 0; x = 1; x = 3

e) y = x2; y = 0; x = 2; x = 5

f) y = x3; eje "x"; x = 1; x = 3

g) y = 8x – x2; y = 0; x = 1; x = 3

IV.5.- CALCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION.

Si se tiene la curva CD cuya función es y = f(x), el área entre dicha curva y el eje “x” será la región que esta dentro de ABDC. Si enseguida se hace girar el área ABDC tomando como eje de giro el eje de las “x”, la superficie en movimiento generará un sólido al que se llama SÓLIDO DE REVOLUCIÓN, el eje “x” es un eje de simetría de dicho sólido.

6

El volumen del sólido de revolución se calcula recordando que el volumen es el producto de la base por la altura y se procede dela siguiente manera:

1. Se divide el eje “x” en un número infinito de tramos con longitud dx2. Cada dx con una altura “y” formará rectángulos elementales3. Cada rectángulo elemental al girar alrededor de “x” formará cilindros

elementales con radio “y” y altura dx por lo que su volumen será y2dx4. Se suman los volúmenes de los cilindros elementales conforme al teorema

fundamental del cálculo para determinar el volumen del sólido de revolución

EJEMPLOS

1) Calcular el volumen del sólido generado cuando la región limitada por y = 4, x = 2 y x = 5 gira sobre el eje “x”.

= 16 ( 5 – 2 ) = 48 u2

2) Hallar el volumen del sólido que genera la región limitada por y – x – 3 = 0; x = 0 y x = 3 cuando gira

alrededor del eje “x”.

7

= 63 u3

Resuelve los siguientes:

EJERCICIOS XXII

1).-Calcula el volumen generado cuando las áreas que tienen los límites que en cada inciso se indican giran sobre el eje "x".

a) y = x - x2; x = 1; x = 3

b) y = x3; x = 0; x = 2

c) 2y = x; x = 0; x = 6

d) y2 = 8x; x = 2; en el primer cuadrante.

e) x2 + y2 = r2; x = -r; x = r