indice resolucion de problemas y metodo abn

Jaime Martínez MonteroConcepción Sánchez Cortés

RESOLUCIÓN DE PROBLEMASY MÉTODO ABN

Resolucion de problemas y metodo ABN.indb 3Resolucion de problemas y metodo ABN.indb 3 15/03/2013 9:19:3515/03/2013 9:19:35

Índice

PRESENTACIÓN ........................................................................................... 13

I. EL PAPEL DE LOS PROBLEMAS EN EL PROCESO FORMA-TIVO DEL ALUMNO .......................................................................... 151. Introducción ..................................................................................... 172. Vertiente utilitaria de los problemas matemáticos escolares ........... 183. Los problemas matemáticos escolares y la educación matemática . 194. Los problemas matemáticos escolares y la mejora del proceso de

enseñanza-aprendizaje ..................................................................... 205. Los problemas matemáticos escolares y la investigación científi -

co-educativa ..................................................................................... 22

II. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. PANORAMA ....................... 231. La resolución de problemas como una de las debilidades de nues-

tro sistema escolar ........................................................................... 252. Visión crítica de la actual metodología ........................................... 273. La confusión entre elementos lingüísticos y elementos algorítmicos . 284. La enseñanza al revés ...................................................................... 305. ¿Qué pinta el abn en todo esto? ....................................................... 31

III. LOS PROBLEMAS: UN VIAJE DE IDA Y VUELTA ...................... 331. Lo que sucede en una clase ............................................................. 352. El viaje de ida .................................................................................. 37


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3. Las operaciones surgen cuando se necesitan números grandes....... 384. ¿En cuántas situaciones diferentes hay que entrenar a los niños? ... 395. ¿Y los problemas de dos operaciones? ............................................ 41

IV. LA CATEGORÍA DE CAMBIO ......................................................... 431. Introducción ..................................................................................... 452. Elementos de la categoría de cambio .............................................. 453. La construcción de la categoría de cambio ..................................... 474. Practicar con el ejemplo .................................................................. 495. Difi cultades de los problemas de cambio. Secuenciación ............... 51

5.1. Algunas consideraciones ......................................................... 515.1.1. Cambio 1 y Cambio 2 ................................................. 515.1.2. Cambio 3 y Cambio 4 ................................................. 525.1.3. Cambio 5 y Cambio 6 ................................................. 53

5.2. Secuenciación .......................................................................... 536. El aprendizaje del proceso de resolución de los problemas de cam-

bio .................................................................................................... 546.1. Cambio 3 y Cambio 4 ............................................................. 546.2. Cambio 5 ................................................................................. 576.3. Cambio 6 ................................................................................. 59

7. Problemas de cambio con números grandes. El paso a los algorit-mos .................................................................................................. 597.1. Cambio 1 y Cambio 2 ............................................................. 597.2. Cambio 3 ................................................................................. 607.3. Cambio 4 ................................................................................. 607.4. Cambio 5. ............................................................................... 617.5. Cambio 6 ................................................................................. 61

8. Transformaciones de unos tipos en otros ........................................ 62

V. LA CATEGORÍA DE COMBINACIÓN ............................................ 651. Introducción ..................................................................................... 672. Elementos de la categoría de combinación ..................................... 673. La construcción de la categoría de combinación ............................. 684. Difi cultades de los problemas de combinación. Secuenciación ...... 695. El aprendizaje del proceso de combinación .................................... 706. Problemas de combinación con números grandes. El paso a los

algoritmos ........................................................................................ 71


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VI. LA CATEGORÍA DE COMPARACIÓN ........................................... 731. Introducción ..................................................................................... 752. La categoría de comparación. Sus elementos .................................. 783. La construcción de la categoría ....................................................... 794. Practicar con el ejemplo .................................................................. 825. Las difi cultades lingüísticas de los problemas de la categoría de

comparación .................................................................................... 846. La secuenciación de los problemas de comparación ....................... 857. El aprendizaje del proceso de comparación .................................... 87

7.1. Comprensión del proceso de comparación en los problemas de CM1 y de CM2 ................................................................... 87

7.2. Comprensión del proceso de comparación en los problemas de CM5 .................................................................................... 91

7.3. Comprensión del proceso de comparación en los problemas de CM6 .................................................................................... 92

8. TRANSFORMACIONES DE UNOS TIPOS EN OTROS ............ 938.1. Transformaciones en problemas sin resolver. ......................... 93

8.1.1. Entre CM1 y CM2. ..................................................... 938.1.2. Entre CM3 y CM6. .................................................... 948.1.3. Entre CM4 y CM5. .................................................... 94

8.2. Transformaciones en problemas resueltos o manejando toda la estructura. ........................................................................... 94

8.3. Pruebe a hacerlo ...................................................................... 96

VII. LA CATEGORÍA DE IGUALACIÓN ................................................ 991. Introducción. ¿Es lo mismo comparar que igualar? ........................ 1012. Los elementos de la categoría de igualación ................................... 1043. La construcción de la categoría ....................................................... 1054. Practicar con el ejemplo .................................................................. 1085. Las difi cultades de los problmas de igualación. Su secuenciación 1106. El aprendizaje del proceso de igualación y las transformaciones de

unos tipos en otros ........................................................................... 112

VIII. REPARTO IGUALATORIO ............................................................... 1131. Introducción ..................................................................................... 1152. Elementos de la categoría ................................................................ 1173. La construcción de la categoría ....................................................... 1184. Practicar con el ejemplo .................................................................. 1215. Las difi cultades de los problemas de reparto igualatorio ................ 125


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5.1. Reparto Igualatorio 1 y Reparto Igualatorio 2 ........................ 1255.2. Reparto Igualatorio 3 y Reparto Igualatorio 4 ........................ 1265.3. Reparto Igualatorio 5 y Reparto Igualatorio 6. ...................... 126

6. El aprendizaje del proceso de reparto igualatorio ........................... 1276.1. RI1 y RI2 ................................................................................. 127

6.1.1. Los antecedentes ......................................................... 1276.1.2. Primeras actividades. Igualar sin más ....................... 1286.1.3. Imaginar lo que va a ocurrir ........................................ 1296.1.4. Se necesita trabajar con números ............................... 130

6.2. Los restantes tipos. De RI3 a RI6. .......................................... 132

IX. LAS CATEGORÍAS SEMÁNTICAS DEL PRODUCTO Y LA DIVISIÓN .............................................................................................. 1371. Introducción ..................................................................................... 1392. La naturaleza de las cantidades en las estructuras multiplicativas .. 1403. Las divisiones. División partitiva y división cuotitiva .................... 1434. Carácter simétrico o asimétrico de las cantidades ........................... 1445. Las categorías semánticas de las estructuras multiplicativas .......... 1446. Difi cultades generales de los problemas de estructura multiplica-

tiva .................................................................................................. 145

X. ISOMORFISMO DE MEDIDAS ........................................................ 1471. Introducción ..................................................................................... 1492. Los elementos de la categoría de isomorfi smo de medidas (IM) .... 1503. La construcción de la categoría ....................................................... 1514. Practicar con el ejemplo .................................................................. 1525. Las difi cultades de los problemas de isomorfi smo de medidas. Su

secuenciación ................................................................................... 1545.1. ¿Suma o multiplicación en IM1? ............................................ 1545.2. Atención a la propiedad conmutativa. .................................... 1545.3. ¿Es este un problema de isomorfi smo de medidas? ................ 1555.4. La secuencia de los problemas de isomorfi smo de medidas. .. 155

6. El proceso de enseñanza-aprendizaje de los problemas de isomor-fi smo de medidas ............................................................................. 1566.1. Isomorfi smo de medidas 1 ...................................................... 1566.2. Isomorfi smo de medidas 2 ...................................................... 1586.3. Isomorfi smo de medidas 3 ...................................................... 159


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XI. LA CATEGORÍA DE PROBLEMAS DE ESCALA ......................... 1631. Introducción ..................................................................................... 1652. Elementos de la categoría de escala ................................................ 1663. La construcción de la subcategoría de escala creciente .................. 1674. La construcción de la subcategoría de escala decreciente ............... 1695. Practicar con el ejemplo .................................................................. 1706. Las difi cultades de los problemas de escala .................................... 172

6.1. ¿Son fáciles o difíciles los problemas de escala? ................... 1726.2. Secuencia de los problemas de Escala .................................... 173

7. El proceso de enseñanza-aprendizaje de los problemas de escala-res .................................................................................................... 1747.1. El empleo de referentes y de los términos comparativos de

doble, triple, mitad, etc. ........................................................... 1747.2. Los productos de escala y la tabla de multiplicar ................... 1777.3. Transformación de unos tipos de problemas en otros ............. 177

XII. LA CATEGORÍA DE PRODUCTO CARTESIANO ........................ 1791. Introducción ..................................................................................... 181

1.1. Una situación nueva y poco tratada ........................................ 1811.2. Alguna explicación matemática más ....................................... 183

2. Elementos de la categoría de producto cartesiano ........................... 1843. La construcción de la categoría ....................................................... 1854. Practicar con el ejemplo .................................................................. 1875. Las difi cultades de la categoría de producto cartesiano. Secuencia-

ción .................................................................................................. 1885.1. Los aspectos generales ............................................................ 1885.2. La secuencia de los problemas de producto cartesiano ........... 189

6. El proceso de enseñanza-aprendizaje de los problemas de produc-to cartesiano ..................................................................................... 1896.1. Para empezar ........................................................................... 1896.2. Producto Cartesiano 1 y Producto Cartesiano 2 ...................... 191

7. El caso especial del productocartesiano 3 ....................................... 1937.1. Cálculo de cuadrados .............................................................. 1947.2. Cálculo de la raíz cuadrada. El viaje de ida ............................ 1957.3. Cálculo de la raíz cuadrada. El viaje de vuelta ....................... 1977.4. ¡Hágalo! Practique lo aprendido. ............................................ 198


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XIII. LOS PROBLEMAS DE DOS O MÁS OPERACIONES .................. 2011. Introducción ..................................................................................... 2032. La estructura de los problemas de dos operaciones ........................ 2053. La composición de los problemas de dos operaciones a partir de

los de una operación ........................................................................ 2073.1. Montar un problema nuevo a partir de otro ya resuelto .......... 2073.2. Problemas que recogen una historia ........................................ 208

4. Descubriendo la pregunta oculta ..................................................... 2095. La descomposición de un p2e en dos p1e ....................................... 2116. Composición a partir de operaciones indicadas .............................. 213

XIV. LA SINTAXIS DE LOS PROBLEMAS DE DOS OPERACIO-NES. ESQUEMAS SUBYACENTES .................................................. 2171. Introducción ..................................................................................... 2192. Estructuras básicas, esquemas subyacentes y operaciones ............. 220

2.1. Las estructuras básicas. ........................................................... 2203. La categoría semántica de estructuras básicas jerárquicas .............. 223

3.1. Estructuras aditiva-aditiva ....................................................... 2253.2. Estructuras aditiva-multiplicativa ........................................... 2263.3. Estructuras multiplicativa-aditiva ........................................... 2263.4. Estructuras multiplicativa-multiplicativa ................................ 227

4. La categoría semántica de estructuras básicas de compartir el todo .................................................................................................. 2274.1. Estructuras aditiva-aditiva. ..................................................... 2294.2. Estructuras aditiva-multiplicativa ........................................... 2304.3. Estructuras multiplicativa-aditiva ........................................... 2304.4. Estructuras multiplicativa-multiplicativa ................................ 230

5. La categoría semántica de estructuras básicas de compartir una parte ................................................................................................. 2315.1. Estructuras aditiva-aditiva. ...................................................... 2325.2. Estructuras aditiva-multiplicativa ........................................... 2325.3. Estructuras multiplicativa-aditiva ........................................... 2335.4. Estructuras multiplicativa-multiplicativa ................................ 234

6. La categoría semántica de estructuras básicas de doble inclusión .. 2346.1. Estructuras aditiva-aditiva ....................................................... 2356.2. Estructuras multiplicativa-aditiva ........................................... 2356.3. Estructuras multiplicativa-multiplicativa ................................ 236


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XV. LA PRÁCTICA DE LA SINTAXIS..................................................... 2371. Los ejemplos .................................................................................... 2392. Tras el entrenamiento, la práctica .................................................... 243

XVI. LOS PROBLEMAS Y LAS OPERACIONES ................................... 2471. Introducción ..................................................................................... 2492. Estructuras aditivas .......................................................................... 2553. Estructuras multiplicativas .............................................................. 256

3.1. La multiplicación .................................................................... 2563.1.1. Preguntas de izquierda a derecha ................................ 2573.1.2. Preguntas de derecha a izquierda ................................ 257

3.2. La división ............................................................................... 2573.2.1. Preguntas sobre los dividen-

dos residuales, parciales y los cocientes ..................................................................... 257

3.2.2. Preguntas sobre el resto .............................................. 258

XVII. EL VIAJE DE VUELTA ....................................................................... 2591. Introducción ..................................................................................... 2612. Los problemas con números muy pequeños .................................... 2623. Problemas orales para descubrir la operación ................................. 2644. Problemas sin datos ......................................................................... 2645. Enunciados sin preguntas y preguntas sin enunciado ..................... 2666. Problemas difusos ............................................................................ 2677. Elaborar problemas siguiendo unas instrucciones concretas .......... 268

BIBLIOGRAFÍA............................................................................................. 269


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