Método del perpendículoMétodo del perpendículo

Resolución de triángulos Resolución de triángulos oblicuángulosoblicuángulos

Método del perpendículo.

Todo triángulo oblicuángulo se puede descomponer en dos triángulos rectángulos al trazar el perpendículo p.

Caso en que A<90º, B<90º.

Caso en que A>90º ó B>90º.

REGLAS

- El perpendículo p, a ser posible, debe trazarse desde un ángulo diferente al ángulo conocido.

- Al trazar el perpendículo p, en uno de los triángulos rectángulos deben conocerse dos de sus elementos.

- Cuando los datos conocidos son los tres lados, el método se complica demasiado.

Ejemplo 1:

Resolver el triángulo esférico, con los datos conocidos:

A = 75º 40’ b = 42º 23’ c = 107º 14’

1º) En el triángulo I conocemos: b , A.

Calculamos: ……………. p, x, X.

2º) En el triángulo II ahora conocemos: p,y

Calculamos: ……………. B, a, Y .

C = X + Y

Triángulo I

sin p = sin A sin b = 0.96887 * 0.67408 = 0.65309 → p = 40º 46’ 32”.

tan x = cos A tan b = 0.24756 * 0.91259 = 0.22592 → x = 12º 43’ 50”.

→ y = c – x = 94º 39’ 10”

345992.091364.3*73865.0

1

tancos

1tan

AbX → X = 19º 04’ 54”

Triángulo II

cos a = cos p cos y = 0.75727 * (-0.08111) = -0.06142 → a = 93º 24’ 30”.

86528.099670.0

86243.0

sin

tantan

y

pB → B = 40º 52’ 08”

881399.165309.0

22872.1

sin

tantan

p

yY → Y = 93º 02’ 33”

→ C = X + Y = 112º 07’ 27”

Ejemplo 2:

Resolver el triángulo esférico oblicuángulo, con los datos conocidos:

b = 51º 08’ c = 49º 27’ A = 118º 42’

I) Trazando el perpendículo p desde el ángulo B. II) « « « p desde « « C.

I) Trazando p desde B:

Calculamos: X, p, x.

AXAXc

tan*tan

1)º180cot(*cotcos → Ac

Xtan*cos

1tan

84214.0)82653.1(*65011.0

1tan

X

Cálculo de X:

Triáng. Rectángulo I

Cálculo de p:

cos (90º - p) = sin c . sin (180º -A) → sin p = sin c . sin A

sin p = 0.75983 * 0.87714 = 0.66647 → p = 41º 47’ 42”

Cálculo de x:

cos (180º - A) = cot c . cot (90º - x) → c

xA

tan

tancos

→ tan x = -cosA . tan c = -(-0.48022) * 1.16878 → x = 41º 47’ 42”

Triáng. Rectángulo II

Calculamos: a, Y , C. y = x + b = 80º 26’ 15”

Cálculo de a:

cos a = sin(90º - p) . sin(90º - y) = cos p cos y = 0.12384 → a = 82º 53’ 08”

Cálculo de Y:

cos(90º - p) = cot (90º- Y) . cot(90º - Y) → 90673.8sin

tantan

p

yY

→ Y = 83º 35’ 38”

Triáng. Rectángulo II

Cálculo de C:

cos (90º - y) = cot(90º - p) . cot C → 90653.0sin

tantan

y

pC

→ C = 42º 11’ 43”

Perpendículo desde C

Calculamos: X, p, x .

Cálculo de X:

cos b = cot X . cot (180º - A) =

Triáng. Rectángulo I

AX tan.tan

1

→ 87247.0tan.cos

1tan

AbX → X = 41º 06’ 14”

Cálculo de p:

cos(90º - p) = sin b . sin(180º - A) →

sin p = sin b sin A = 0.68249 → p = 43º 04’ 26”

Cálculo de x:

cos(180º - A) = cot b . cot(90º - x) → b

xA

tan

tancos

→ tan x = - cos A . tan b = 0.59584 → x = 30º 47’ 18”

c + x = y → y = 80º 14’ 18”

Triángulo rectángulo II

Calculamos: B, Y , a.

Conocemos: p, y

Cálculo de a :

cos a = sin(90º - p) . sin(90º - y) = cos p . cos y = 0.12384 →

a = 82º 53’ 10”

Cálculo de B :

cos(90º - y) = cot B . cot(90º - p) → 94865.0sin

tantan

y

pB

→ B = 43º 29’ 26”

Cálculo de Y:

cos(90º - p) = cot Y . cot(90º - y) →

51123.8sin

tantan

p

yY

→ Y = 83º 17’ 56”

→ Y – X = C = 42º 11’ 43”

Ejemplo 3:

Resolver por el método del perpendículo, el triángulo esférico, con los datos conocidos:

a = 58º 43’ ; c = 78º 29’ ; A = 40º 12’ .

Solución:

A < 90º; a + c < 180º → A + C < 180º ;

a < c → A < C Dos soluciones º90

º90

2

1

C

C

Primera solución (C1 < 90º)

Triángulo I:

(Datos conocidos): c, A

1. Cálculo de X1 :

92707.5tan.cos

1tan

tan.tan

1cot.cotcos

1

11

AcX

XAXAc

→ X1 = 80º 25’ 24”

(C1 < 90º)

Triángulo I:

(Datos conocidos): c, A

2. Cálculo de p1 :

→ p1 = 39º 13’ 52”

cos(90º - p1) = sin A . sin c →

sin p1 = sin A . sin c = 0.63245

(C1 < 90º)

Triángulo I:

(Datos conocidos): c, A

3. Cálculo de x1 :

→ x1 = 75º 03’ 47”

cos A = cot c . cot (90º - x1) =

tan x1 = cos A . tan c = 3.74855

c

x

tan

tan 1

(C1 < 90º)

Triángulo II:

(Datos conocidos): p1, y1.

4. Cálculo de y1 :

→ y1 = 47º 54’ 15”

cos a = sin (90º - y1) . sin (90º - y1) = cos y1 . cos p1 →

67037.0cos

coscos

11

p

ay

(C1 < 90º)

Triángulo II:

(Datos conocidos): p1, y1.

5. Cálculo de Y1 :

→ Y1 = 60º 15’ 25”

cos Y1 = cot a . cot (90º - p1) →

49610.0tan

tancos 1

1 a

pY

(C1 < 90º)

Triángulo II:

(Datos conocidos): p1, y1.

6. Cálculo de C1 :

→ C1 = 47º 44’ 06”

cos (90º - p1)= sin a . sin C1 → sin p1 = sin a . sin C1

74004.0sin

sinsin 1

1 a

pC

x1 + y1 = b1 = 122º 58’ 02”

X1 + Y1 = B1 = 60º 15’ 25”

B1 < 90º

Segunda solución: C2 > 90º . Triángulo I

Conocidos: A, c

Y2 = Y1 = 60º 15’ 25” .

p2 = p1 = 39º 13’ 52”

y2 = x1 = 75º 03’ 47”

Segunda solución: C2 > 90º . Triángulo II

Conocidos: a, p2

x2 = y1 = 47º 54’ 15” .

X2 = X1 = 60º 15’ 25”

180º - C2 = C1 = 47º 44’ 06”

C2 = 132º 16’ 45”b2 = y2 – x2 = 27º 09’

B2 = Y2 – x2 = 20º 09’ 31”