incluye cd - diode.com.mx

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a

Incluye CD

Esta nueva edición desarrolla los programas académicos de Matemáticas financieras e Ingeniería

económica, en once capítulos que han sido reestructurados y actualizados pensando en la dinámica que

debe tener todo currículo. Se ampliaron los capítulos siguientes:

- : incluye el tema de las ecuaciones de valor.

- : incluye los temas sobre tasas de cambio y devaluaciones entre dos monedas, lo

mismo que las tasas de cambio y las devaluaciones cruzadas con otras monedas.

- : contempla todos los sistemas de amortización en UVR y en pesos.

- : presenta las diversas modalidades del gradiente, aritmético y geométrico.

- : se adicionó el tema que relaciona la tasa interna de retorno con el valor

presente neto y los flujos de caja descontados.

- : el apéndice respectivo se amplió con 100 problemas entre

propuestos y resueltos, con el fin de proporcionarle al lector una herramienta más para la solución de

sus propios problemas.

Adicionalmente, el texto contiene un CD-ROM con tres calculadoras que le permitirán al usuario resolver los

siguientes problemas:

- Encontrar las tasas de interés equivalentes a otra tasa cualquiera. Basta digitar en la calculadora la tasa

de interés conocida e inmediatamente aparecerán sus respectivas tasas equivalentes.

- Conocer la situación de un crédito bancario mediante una tabla de amortización debidamente detallada

para cualquiera de los sistemas de amortización que operan en el mercado financiero colombiano, para

créditos de vivienda y de libre inversión. En esta tabla se podrá apreciar cuánto se paga en una cuota

por concepto de capital, cuánto por IPC y cuánto por intereses propiamente dichos.

Estas modificaciones ponen la obra a tono con las exigencias de un mundo en constante cambio que exige

que los profesionales del área se mantengan actualizados.

Principio de la equivalencia financiera

Tasas de interés

Sistemas de amortización

Gradientes

Tasa interna de retorno

Problemas propuestos y resueltos

ISBN-13:978-958-41-0362-8

ISBN-10:958-41-0362-8

9 789584 103628

Preliminares 1/20/06, 10:08 AM4

Matemáticas financierasTercera edición

ALBERTO ÁLVAREZ ARANGOIngeniero industrial

Universidad Autónoma LatinoamericanaProfesor universitario

Revisión técnicaALEJANDRO USECHE

Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Guatemala • Lisboa • Madrid • Ciudad de MéxicoNueva York • Ciudad de Panamá • San Juan • Santiago de Chile • São Paulo

Auckland • Hamburgo • Londres • Milán • Montreal • Nueva Delhi • ParísSan Francisco • San Luis • Singapur • Sidney • Tokio • Toronto


MATEMÁTICAS FINANCIERAS, Tercera edición.

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, nila transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, porfotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares delCopyright.

Derechos reservados. Copyright © 2005, por Alberto Álvarez Arango

Derechos reservados. Copyright © 2005, por McGRAW-HILL INTERAMERICANA, S.A.Cra 11 No. 93 - 46. Bogotá, D.C., Colombia

Editora: Lily Solano ArévaloJefa de produción: Consuelo Ruiz M.Diagramación y armada electrónica: Yolanda Alarcón V.

3012456789 30123467895

Impreso en Colombia Printed in Colombia


Impresor: Legis S.A.

ISBN 10: 958-41-0362-8ISBN 13: 978-958-41-0362-8

A mi esposa, Astrid, y a mis hijos,Ricardo Alberto, Víctor Hugo y Gabriel Darío,

quienes son la fuente inmanente de mi vida.


v

ContenidoPrefacio

Notas preliminares ....................................................................................... xvJustificación ........................................................................................................................ xvObjetivo general .................................................................................................................. xvObjetivos específicos .......................................................................................................... xvLogaritmos ......................................................................................................................... xvi

Definición ..................................................................................................................... xviPropiedades de los logaritmos ...................................................................................... xvi

Logaritmo de un producto ...................................................................................... xviiLogaritmo de un cociente ....................................................................................... xviiLogaritmo de una potencia ..................................................................................... xviiLogaritmo de una raíz............................................................................................. xvii

Series o progresiones ........................................................................................................ xviiProgresión aritmética ................................................................................................... xvii

Suma de los términos de una progresión aritmética ........................................................ xviiiProgresión geométrica ........................................................................................... xviii

Suma de los términos de una progresión geométrica ................................................... xixEl número e ......................................................................................................................... xx

Factores a interés compuesto ....................................................................................... xxiiNomenclaturas diferentes pero equivalentes .......................................................... xxii

Capítulo 1 Interés ......................................................................................... 1Justificación .......................................................................................................................... 1Objetivo general .................................................................................................................... 1Objetivos específicos ............................................................................................................ 1Conducta de entrada ............................................................................................................. 2

Respuestas a la conducta de entrada ................................................................................ 2Interés ................................................................................................................................... 3

Definición ........................................................................................................................ 3Diagramas económicos ................................................................................................... 4Interés simple .................................................................................................................. 6Interés compuesto ............................................................................................................ 8

Valor futuro de una suma presente ............................................................................. 9Valor presente de una suma futura ........................................................................... 10

Diferencia entre interés compuesto e interés simple ..................................................... 12Problemas propuestos ......................................................................................................... 16

Autoevaluación ............................................................................................................... 16


Matemáticas financieras

vi

Respuestas a la autoevaluación ........................................................................................... 17Actividades de repaso ......................................................................................................... 18

Capítulo 2 Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos .... 19Justificación ........................................................................................................................ 19Objetivo general .................................................................................................................. 19Objetivo específico ............................................................................................................. 19Conducta de entrada ........................................................................................................... 20

Respuestas a la conducta de entrada .............................................................................. 20Principio de equivalencia .................................................................................................... 21

Descuento (D) ................................................................................................................ 21Valor nominal (Vn) .................................................................................................... 21Valor efectivo (Ve) ..................................................................................................... 21Descuento comercial (Dc) ........................................................................................ 22Descuento racional (Dr) ........................................................................................... 22Descuento compuesto (D’c) ...................................................................................... 24

Vencimientos ................................................................................................................. 25Vencimiento medio ................................................................................................... 25Vencimiento común .................................................................................................. 26

Ecuaciones de valor ............................................................................................................ 29Problemas propuestos ......................................................................................................... 38Autoevaluación ................................................................................................................... 39Respuestas a la autoevaluación ........................................................................................... 40 Actividades de repaso ........................................................................................................ 42

Capítulo 3 Tasas de interés: nominal y efectiva. Rentabilidad .................... 43Justificación ........................................................................................................................ 43Objetivo general .................................................................................................................. 43Objetivos específicos .......................................................................................................... 43Conducta de entrada ........................................................................................................... 44

Respuestas a la conducta de entrada .............................................................................. 44Tasa nominal y tasa efectiva ............................................................................................... 45

Tasa nominal .................................................................................................................. 45Tasa efectiva .................................................................................................................. 45Deducción de fórmulas .................................................................................................. 47

Capitalizaciones vencidas ........................................................................................ 47Capitalizaciones anticipadas .................................................................................... 50Cálculo de una tasa efectiva periódica cuando se conoce otra tasa

efectiva periódica ................................................................................................ 53Cálculo de una tasa efectiva anual cuando interviene el IPC ................................... 56Interés realmente cobrado en el año ......................................................................... 57


Contenido

vii

Cálculo de la tasa de interés cuando intervienen otros elementoscomo comisiones, estudio del crédito, papelería, timbres, dividendos, etc. ....... 57

Aplicaciones de las tasas de interés .................................................................................... 60En moneda corriente ...................................................................................................... 60En moneda extranjera .................................................................................................... 63

Inflación .............................................................................................................................. 63Causas de la inflación......................................................................................................64Efectos de la inflación.....................................................................................................65

Otras tasas de interés .......................................................................................................... 67Relaciones entre estas tasas de interés .......................................................................... 68

Cálculo de la devaluación ................................................................................................... 68Tasa de cambio (TC) ........................................................................................................... 68Devaluación (DEV) ............................................................................................................ 70

Tasas de cambio y devaluaciones cruzadas ................................................................... 72Problemas propuestos ......................................................................................................... 76Autoevaluación ................................................................................................................... 78Respuestas a la autoevaluación ........................................................................................... 80Actividades de repaso ......................................................................................................... 84

Capítulo 4 Anualidades y capitalización continua....................................... 85Justificación ........................................................................................................................ 85Objetivo general .................................................................................................................. 85Objetivos específicos .......................................................................................................... 85Conducta de entrada ........................................................................................................... 87

Respuestas a la conducta de entrada .............................................................................. 87Anualidades ........................................................................................................................ 88

Anualidades vencidas .................................................................................................... 88Anualidades indefinidas ................................................................................................ 93

Capitalización continua ............................................................................................ 95Anualidades anticipadas .............................................................................................. 100

Anualidad anticipada con cuota al final ................................................................. 104Liquidación de intereses sobre saldos mínimos ..................................................... 105Cuotas anticipadas y periodo de pago menor que el periodo de capitalización ..... 105Cuotas anticipadas y periodo de pago mayor que el periodo de capitalización ..... 107Cuotas vencidas ...................................................................................................... 110Anualidades diferidas ............................................................................................. 112

Problemas propuestos ....................................................................................................... 114Autoevaluación ............................................................................................................ 115

Respuestas a la autoevaluación ......................................................................................... 116Actividades de repaso ....................................................................................................... 120



viii

Capítulo 5 Gradiente ................................................................................ 121Justificación ...................................................................................................................... 121Objetivo general ................................................................................................................ 121Objetivos específicos ........................................................................................................ 121Conducta de entrada ......................................................................................................... 122

Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ 122Gradiente aritmético ......................................................................................................... 123Gradientes ......................................................................................................................... 132Gradiente aritmético (lineal) diferido ............................................................................... 132Gradiente aritmético infinito ............................................................................................ 134Gradiente aritmético (lineal) escalonado .......................................................................... 139Gradiente aritmético infinito y escalonado ...................................................................... 141Gradiente geométrico o (exponencial) ............................................................................. 142Gradiente geométrico infinito .......................................................................................... 146

Gradiente geométrico escalonado ............................................................................... 149Gradiente geométrico infinito y escalonado ..................................................................... 151Problemas propuestos ....................................................................................................... 159

Autoevaluación ............................................................................................................ 160Respuestas a la autoevaluación ......................................................................................... 162Actividades de repaso ....................................................................................................... 166

Capítulo 6 Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR 167Justificación ...................................................................................................................... 167Objetivo general ................................................................................................................ 167Objetivos específicos ........................................................................................................ 167Conducta de entrada ......................................................................................................... 169

Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ 169Amortizaciones ................................................................................................................. 170Sistemas simples ............................................................................................................... 171

Cuota única al final del periodo .................................................................................. 172Cuota periódica uniforme ............................................................................................ 172Cuota periódica creciente linealmente ........................................................................ 182Cómo calcular el saldo con este plan .......................................................................... 187Cuota periódica decreciente linealmente ..................................................................... 193Cuota periódica creciente geométricamente ................................................................ 195Sistemas integrados ..................................................................................................... 198Cuota fija durante todo el plazo y abonos extraordinarios periódicos fijos ................ 198Anualidad creciente geométricamente ........................................................................ 202

Sistemas agregados ........................................................................................................... 208Anualidad durante todo el tiempo y una cuota final ................................................... 209Anualidad vencida durante todo el tiempo y cuota decreciente linealmente

y anticipada ............................................................................................................ 211


Contenido

ix

Sistema de valor constante ............................................................................................... 218Sistema UPAC y Sistema UVR ................................................................................... 218

Comparación entre el sistema UPAC y el sistema UVR....................................................220Planes de amortización para créditos de vivienda ....................................................... 221Sistema de cuota constante en pesos ........................................................................... 222

Explicación de la tabla de amortización en el sistema de cuotaconstante (fija) en pesos. .............................................................................................. 223

Calculo de la tasa de interés realmente cobrada en un crédito...........................................225Sistema de cuota constante en pesos con abono extraordinario no pactado ......................227Sistema de abono constante a capital en pesos...................................................................229Sistema de abono constante en U.V.R.................................................................................231Sistema de abono constante a capital en U.V.R..................................................................233Problemas propuestos ....................................................................................................... 240


Capítulo 7 Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente ........ 259Justificación ...................................................................................................................... 259Objetivo general ................................................................................................................ 259Objetivos específicos ........................................................................................................ 259Conducta de entrada ......................................................................................................... 260

Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ 260Métodos para evaluar alternativas .................................................................................... 261Valor presente neto (VPN) ................................................................................................ 263

Alternativas con vidas útiles iguales ........................................................................... 265Alternativas con vidas útiles diferentes ....................................................................... 267

Costo anual uniforme equivalente (CAUE) ...................................................................... 269Fondo de amortización de salvamento ........................................................................ 269Valor presente de salvamento ...................................................................................... 270Recuperación de capital más intereses ........................................................................ 271

Costo capitalizado ............................................................................................................ 274Problemas propuestos ....................................................................................................... 280


Capítulo 8 Evaluación financiera de alternativas de inversión ................... 289Justificación ...................................................................................................................... 289Objetivo general ................................................................................................................ 289Objetivos específicos ........................................................................................................ 289Conducta de entrada ......................................................................................................... 290



x

Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ 290Cálculo del punto de equilibrio ........................................................................................ 291Sensibilidad ...................................................................................................................... 294Análisis ............................................................................................................................. 294Punto de equilibrio con más de dos alternativas ............................................................... 296Problema del reemplazo ................................................................................................... 303Beneficio neto .................................................................................................................. 307

Tasa de Actualización Social (is) ................................................................................. 307Beneficio neto (BN) .................................................................................................... 307Beneficio neto diferencial BN (i-j) ............................................................................. 307

Relación beneficio-costo .................................................................................................. 310Análisis de alternativas mediante las tasas de rendimiento de la inversión inicial

y de la inversión extra ................................................................................................... 311Problemas propuestos ....................................................................................................... 315


Capítulo 9 Tasa interna de retorno ........................................................... 335Justificación ...................................................................................................................... 335Objetivo general ................................................................................................................ 335Objetivos específicos ........................................................................................................ 335Conducta de entrada ......................................................................................................... 336

Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ 336Tasa interna de retorno ..................................................................................................... 337Tasa interna de retorno vs. valor presente neto ................................................................. 351Flujo de caja después de impuestos .................................................................................. 355

Cálculo de la TIR después de impuestos ..................................................................... 356Cálculo del CAUE ....................................................................................................... 357



Capítulo 10 Bonos .................................................................................... 375Justificación ...................................................................................................................... 375Objetivo general ................................................................................................................ 375Objetivos específicos ........................................................................................................ 375Conducta de entrada ......................................................................................................... 376

Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ 376Bonos ................................................................................................................................ 377


Contenido

xi

Bonos sin sorteo emitidos a la par ............................................................................... 378Bonos sin sorteo emitidos bajo la par .......................................................................... 379Bonos con sorteo emitidos a la par .............................................................................. 381Bonos con sorteo emitidos bajo la par ........................................................................ 386Bonos con sorteo emitidos bajo la par y con lote ........................................................ 387Bonos emitidos en serie ............................................................................................... 388



Capítulo 11 Activos financieros y bolsa de valores .................................. 403Justificación ...................................................................................................................... 403Objetivo general ................................................................................................................ 403Objetivos específicos ........................................................................................................ 403Conducta de entrada ......................................................................................................... 404

Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ 404La bolsa de valores ........................................................................................................... 405

¿Qué es la bolsa de valores? ........................................................................................ 405¿Quién es el comisionista de bolsa? ............................................................................ 405¿Qué operaciones realiza la bolsa de valores? ............................................................ 405¿Qué es una acción? .................................................................................................... 405¿Qué es un dividendo?................................................................................................. 406¿Qué es un ADR? ........................................................................................................ 406¿Qué es el CERT?........................................................................................................ 406¿Qué es el emisor? ....................................................................................................... 406¿Qué es el mercado primario? ..................................................................................... 406¿Qué es la liquidez primaria? ...................................................................................... 406¿Qué es el mercado secundario? ................................................................................. 406¿Qué es el mercado negro? .......................................................................................... 407¿Qué es la liquidez secundaria? ................................................................................... 407¿Qué es un mercado firme? ......................................................................................... 407¿Qué es un mercado ofrecido? .................................................................................... 407¿Qué es una operación carrusel? ................................................................................. 407¿Qué es un mercado repo? ........................................................................................... 407¿Qué es una operación swap? ...................................................................................... 407

Clases de activos ............................................................................................................... 408Activos monetarios ...................................................................................................... 408Activos reales .............................................................................................................. 408Otros activos ................................................................................................................ 408Activos financieros ...................................................................................................... 408


xii

Activos financieros que devengan interés ................................................................... 409Tasa de registro ............................................................................................................ 411Tasa para el comprador ................................................................................................ 411Tasa de cesión .............................................................................................................. 412

Con liquidación de intereses en forma anticipada .................................................. 413Precio de registro ......................................................................................................... 416Precio de compra ......................................................................................................... 417

Con liquidación de intereses al vencimiento o fecha de redención ........................ 419Activos financieros que se negocian a descuento ....................................................... 422Activos financieros con IPC ........................................................................................ 423Activos financieros con devaluación ........................................................................... 423Activos financieros con valorización .......................................................................... 425Activos financieros de rentabilidad agregada ............................................................. 426

Con interés en dos tasas distintas ........................................................................... 426Con interés y descuento.......................................................................................... 427Con interés e IPC.................................................................................................... 428Con interés y devaluación ...................................................................................... 428Con interés y valorización ...................................................................................... 429Con descuento y devaluación ................................................................................. 430



Apéndice AProblemas adicionales propuestos .................................................................................... 439

Apéndice BProblemas propuestos y resueltos ..................................................................................... 459Bibliografía ....................................................................................................................... 483Índice ................................................................................................................................ 485


xiii

PrefacioUna de las características más relevantes del mundo globalizadoson los cambios vertiginosos en todos sus ámbitos, en especial enel tecnológico, el económico y el financiero, los cuales son deter-minantes en el afianzamiento cultural de los países. Así mismo,las matemáticas financieras evolucionan constantemente, en lamedida que cambia el escenario sobre el cual actúan.

Por ello, consciente de la dinámica que reviste todo programaacadémico, en esta tercera edición se actualizan los contenidos yse profundiza sobre los capítulos siguientes:

- En el capítulo 2 se incluye el tema de las ecuaciones de valor,fundamentalmente para la reestructuración de obligacionesbancarias.

- En el capítulo 3, el tema de las tasas de interés se complementacon el de las tasas de cambio y la devaluación, tanto entre dosmonedas como entre varias monedas.

- En el capítulo 5, el tema de los gradientes se complementa contodos los diversos tipos de gradientes, aritméticos ygeométricos, para proporcionarle al estudiante un conocimientobásico para acometer posteriormente el estudio de temas rela-cionados con proyectos, costos de capital y rentas variables,entre otros.

- En el capítulo 6 se hace una breve reseña histórica del aspectofinanciero del sistema UPAC y su transición al sistema UVR,del cual se estudian todas sus aplicaciones a las operacionesfinancieras, entre ellas, los diversos planes de amortización.

- En el capítulo 9 se da más claridad al tema de la Tasa Internade Retorno y su relación con el Valor Presente Neto. Tambiénse recalca la gran diferencia que existe entre la Tasa Interna deRetorno y la tasa que indica la verdadera rentabilidad de un


xiv

proyecto, cuando hay capitales que salen de éste para generarnuevos rendimientos.

- Los capítulos restantes se conservan de la edición anterior porsu vigencia tanto en los programas académicos de las universi-dades como en el ejercicio práctico de los profesionales delárea financiera.

- Adicionalmente, el texto se acompaña de un CD-ROM dondeel estudiante encontrará unas calculadoras que le facilitaránlos cálculos en operaciones relacionadas con estos temas, y losdiversos planes de amortización para que el estudiante puedaponer en práctica los conocimientos teóricos expuestos en ellibro.

Por todo lo anterior, no cabe duda de que este libro contribuiráde manera decisiva en la formación de profesionales más compe-titivos, condición obligada para el éxito en la sociedad globalizadade hoy.

El autor


Contenido

xv

Notas preliminares

� J u s t i f i c a c i ó nCon el fin de proporcionar una mayor ayuda al lector, se incluyenestas notas preliminares como un repaso de aquellos conceptosmatemáticos sobre los cuales se basa en gran parte el contenidodel texto.

En la mayor parte de los casos, el lector ha olvidado los con-ceptos de progresiones aritméticas y geométricas, de logaritmos,en fin, se ha olvidado un poco de su formación matemática.

Por esta razón es necesario familiarizarse nuevamente con es-tos temas y nada más apropiado que proporcionar la informaciónadecuada para una buena nivelación.

� Objetivo generalObtener una nivelación adecuada para iniciar el curso de matemá-ticas financieras.

� Objetivos específicos

� Hallar la suma de los primeros n términos de una progresiónaritmética y de una geométrica.

� Diferenciar las propiedades de los logaritmos.



xvi

Logar i tmos� D e f i n i c i ó n

El logaritmo de un número es el exponente al cual debemos elevar un número llamadobase para obtener el número dado.

Ejemplo:

60

= 1

Base: 6Exponente: 0Número: 1

El logaritmo de 1 es cero (0), ya que cero (0) es el exponente al cual debe elevarse labase seis (6) para obtener el número uno (1).

Nota. Todo número elevado a un exponente cero (0) da como resultado el número uno (1).

Toda magnitud o número dividido por sí mismo da como resultado el número uno (1).Así:

1

1 = 1

2

2 = 1

a

a = 1

c

c = 1

10

10 = 1

5

5 = 1

Luego,

6

6

2

2 = 1 porque 36

36 = 1

entonces,

6

6

2

2 = 62-2

= 60

= 1

Por consiguiente,6

0 = 1

� Propiedades de los logaritmos1. Los números negativos no tienen logaritmo.

2. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa.


Notas preliminares

xvii

3. En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es cero.

4. Todo número mayor que la unidad tendrá logaritmo positivo.

5. Todo número no negativo menor que la unidad tendrá logaritmo negativo.

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log (2)(4) = log 2 + log 4

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo deldenominador.

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de labase.

log 43 = 3 log 4

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividida entre elíndice de la raíz.

Nota.

Luego,

Nota. El logaritmo de una suma algebraica no está definido.

Series o progresionesUna serie es una sucesión de términos que obedecen a una ley de formación.

Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5

6, 8, 10, 12

4, 8, 16, 32

Progresión aritmética (PA) es una serie en la cual cada término se forma al sumar alanterior una cantidad fija llamada razón.

Ejemplo:2, 4, 6, 8, 10



xviii

En este caso, la razón es 2

El primer término es 2

El último término es 10

� Suma de los términos de una progresión aritméti-

c aSe tiene la siguiente progresión aritmética:

a, b, c, d, … r, s, t, uLa suma será

Suma = a + b + c + d + … + r + s + t + u (1)

Si se invierte el orden,

Suma = u + t + s + r +… + d + c + b +a (2)

Al sumar (1) + (2) se obtiene:

2 Suma = (a + u) + (b + t) + (c + s) + (d + r) +…

+ (r + d) + (s + c) + (t + b) + (u + a)

Es una progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos esigual a la suma de los dos términos extremos, así:

2 Suma = (a + u)n

Progresión geométrica (PG) es una serie en la cual cada término se forma al multiplicar elanterior por una cantidad fija llamada razón.

Ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32

La razón es 2 r = 2

El primer término es 2 a = 2

El último término es 32 u = 32

El número de términos es 5 n = 5


Notas preliminares

xix

� Suma de los términos de una progresión geométricaSe tiene la siguiente progresión geométrica:

a, b, c, d, …s, t, u

La razón es r, Suma = a + b + c + d +… + s + t +u (1)

Se multiplica por la razón cada uno de los miembros de la igualdad:

(Suma) r = ar + br + cr +dr +… + sr + tr + ur (2)

Se resta de (2) la serie (1):

Porque

ar = b cr = d

br = c dr = e

Al factorizar se obtiene:

Suma (r − 1) = ur - a

Luego,

con r > 1

Si se quiere expresar la suma únicamente en función del primer término, entoncesbastará con reemplazar u por su equivalente:

u = arn − 1

Luego,

con r > 1



xx

Con esta expresión se calcula la suma de los términos de una progresión geométricacreciente.

Si la progresión geométrica es decreciente, la expresión será la siguiente:

El número eSe define como el valor de la función exponencial en 1 y se expresa como

e = exp 1

Esta letra se escogió en memoria de Leonhard Euler y se llama número de Euler, el cualno puede expresarse como la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. El núme-ro e es una constante que equivale a 2,71828182846.

Considérese la función logarítmica natural:

f (x) = ln x

La derivada de f está dada por f ′ (x) = 1/x. Luego, f ′ (1) = 1

Mediante la definición de la derivada y calculando f‘ (1) se tiene:

Luego,

Al reemplazar ∆x por k se obtiene:


Notas preliminares

xxi

La función exponencial y la función logaritmo natural son funciones inversas, entonces

Además, la función exponencial es continua y

existe y es igual a 1. Luego,

Así,

Ahora se comprueba que el límite existe: f (k) = (1 + k)1/k

A continuación se determinan los valores de la función para algunos valores de k queestán muy cerca de cero, pero sin llegar a ser cero.

Este cuadro indica que cuando k tiende a cero, el límite de (1 + k)1lk

es un valor com-prendido entre 2,718268237 y 2,71829542. Estos valores corresponden a unos valores dek por encima y por debajo de cero, muy próximos a cero pero sin llegar a ser cero.

Cuando k es igual a f (k) = (1 + k)1/k

1 2

0 ,4 2, 3191032

0 ,04 2, 6658363

0 ,004 2, 712865123

0 ,001 2, 716923932

0 ,0001 2, 7181459

0 ,00001 2, 718268237

−0 ,00001 2, 71829542

−0 ,0001 2, 718417755

−0 ,001 2, 719642216

−0 ,004 2, 723738403

−0 ,04 2, 77472006

−0 ,4 53, 586095691



xxii

Fórmula Terminología Terminología Terminología Terminologíamatemática de Grant tabl. Suramericana Tarquín Taylor

(1 + i)n (CAF′, i%, n) (1 + i)n (F/P, i%, n)SP CAP

i% n

(PWF´, i%, n) (P/F, i%, n)SP PWF

i% n

(CAF, i%, n) Sn (A/F, i%, n)SF DFi% n

(SFF, i%, n) (A/F, i%, n)SF DFi% n

(PWF, i%, n) an (P/A, i%, n)US PWF

i% n

(CRF, i%, n) (A/P, i%, n)CRFi% n

n

V

1

1+( )i n

1 1+( ) −i

i

n

i

i n1 1+( ) −

1 1

1

+( ) −+( )i

i i

n

n

i i

i

n

n

1

1 1

+( )+( ) −

1

an

1

Sn

� Factores a interés compuesto

Nomenclaturas diferentes pero equivalentes


Interés

� JustificaciónEn este capítulo el lector aprenderá a definir una serie de concep-tos como interés, valor presente, valor futuro, tasa de interés, tiempoo periodos de pago.

Asimismo comprenderá el concepto del valor del dinero en eltiempo y aprenderá a manejar los diagramas económicos o líneasde tiempo como una herramienta para visualizar y analizar losproblemas financieros.

Después de entender lo anterior, se iniciará el estudio del inte-rés simple y del interés compuesto estableciendo con claridad lascaracterísticas de cada uno de ellos y, en consecuencia, sus dife-rencias.

Al concluir esta etapa, el estudiante estará en capacidad de ini-ciar el cálculo de algunas operaciones financieras.

� Objetivo generalDeducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto a par-tir de su definición.

� Objetivos específicos� Interpretar los diagramas económicos.

� Establecer una clara diferencia entre interés simple e interéscompuesto.

� Calcular a interés simple:• El valor presente de una suma futura.• El valor futuro de una suma presente.• El valor futuro de una serie de cuotas iguales, en forma ven-

cida o anticipada.

� Calcular a interés compuesto:• El valor presente de una suma futura.• El valor futuro de una suma presente.

� Resolver unos casos de la vida real.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:11 AM1


2

Conducta de entradaA continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cualesuna sola es verdadera.

Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

1 En la progresión aritmética 2, 4, 6,…96, 98 la suma de sus términos es:a. 2.400b. 2.450c. 2.350d. 1.450e. 2.550

2 En la progresión geométrica −81, −27,−9, −3, −1, ... su razón es:a. 3

b. − 1

3c. a

d.1

3e. −3

3 Si log 10 = 1, log 100 = 2, entonces 5log 10.000 es igual a:a. 20 b. 15c. 10 d. 50e. 25

4 El valor de x en la ecuación log7 x = 3es:a. 49 b. 21c. 434 d. 729e. 343

5 Al expresar la relación en la ecuación3

4 = 81 mediante notación logarít-

mica, se obtiene:a. log3 4 = 81 b. log4 81 = 3c. 4 = log3 81 d. log81 4 = 3e. log81 = 3

Respuestas a la conducta de entrada

1. b 2. d 3. a 4. e 5. c

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:11 AM2

3

Interés

� DefiniciónEl Diccionario Larousse Ilustrado, edición 5a. de 1990, define el interés así: Interés: “Loque a uno le conviene. Beneficio que se saca del dinero prestado. Derecho eventual dealguna ganancia. Valor que en sí tiene una cosa”.

Algunos autores lo definen como:

� “Valor del dinero en el tiempo”.

� “Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo”.

� “Utilidad o ganancia que genera un capital”.

� “Precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo durante un periododeterminado”.

� “Rendimiento de una inversión”.

El pueblo dice: “Interés: ¿cuánto valés?”Todas estas definiciones son válidas.A continuación se presenta un ejemplo para aclarar lo expuesto.

El señor Pérez le prestó al señor Gil la suma de $100, con la condición de que el señorGil le devuelva la suma de $150 dos meses después.Como puede apreciarse, el señor Pérez se ganó $50 por prestarle $100 al señor Gildurante dos meses.Esto indica que los intereses fueron $50 durante los dos meses.Del problema planteado puede deducirse que:

a. $100 representan el capital invertido, capital inicial, valor presente o valor actual delcrédito. Este valor se denotará con la letra mayúscula P; por consiguiente P = 100.

b. $150 representan el valor en el cual se transformaron $100 durante dos meses; es elvalor inicial más los intereses, se denominará valor futuro y se representará con laletra F; por tanto, se define como el valor en el cual se convierte o transforma unasuma de dinero durante un tiempo determinado, y a una tasa de interés acordada opactada; F = 150.

c. $50 representan el valor de un interés devengado por $100 prestados durante dos me-ses. Este valor se indica con la letra mayúscula I y se define como la diferencia entre el

Capítulo 1 • Interés

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:11 AM3


4

valor futuro y el valor presente, lo cual corresponde a cualquiera de las definicionesdadas antes.

I = F − P

En el ejemplo, I = 150 − 100 = 50 y corresponde a un periodo de dos meses, el cual sedenota con la letra minúscula n. Así, n = 2 meses.

Por tanto, en porcentaje se tiene que 25

100 = 0,25; este valor corresponde a un Mes

porcentual que indicará el valor de los intereses; este índice se denomina tasa de interés yse denota con la letra minúscula i. Luego,

i = 25

100 = 0,25

Nótese que la tasa de interés no es más que la relación entre los intereses y el valor delcrédito.

i = I

P =

25

100 = 0,25 = 25%

Nota. Siempre que se trabaje con problemas financieros es necesario tener en cuenta que la tasade interés debe estar dada en función del periodo en el cual se trabaja el tiempo de las transac-ciones financieras. Por ejemplo, si el pago de interés es mensual, la tasa periódica debe sermensual; si los pagos son trimestrales, la tasa de interés periódica debe ser trimestral.

� Diagramas económicosConsisten en la representación gráfica de un problema financiero. Su importancia radicaen que permiten visualizar el problema, facilitando así su definición y análisis correcto.

Un diagrama consta de lo siguiente:

1. Una línea horizontal en la cual se representan todos los periodos en los cuales se hadividido el tiempo para efectos de la tasa de interés.

2. Unas flechas hacia arriba y otras hacia abajo, con las cuales se representa el flujo decaja (ingresos y egresos respectivamente).El ejemplo puede representarse así:

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM4


5

Ejemplo 1.1

Una persona invierte hoy $1.000 en una corporación que reconoce el 2% mensual. Si estapersona retira mensualmente los intereses y en el mes 36 retira el capital, ¿cuál es el diagramaeconómico?

Ejemplo 1.2

Una persona hizo un préstamo de $5.000 en una corporación que cobra el 10% trimestrala interés simple. Si esta persona paga los intereses trimestralmente y el crédito se vence enun año, ¿cuál es el diagrama económico?

Nota. Algunos autores no hablan de diagramas económicos, sino de “líneas de tiempo” odiagramas de flujo de caja.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM5


6

� Interés simpleSe dice que una operación financiera se maneja bajo el concepto de interés simple cuandolos intereses liquidados no se suman periódicamente al capital; es decir, los intereses nodevengan interés. Sus características son las siguientes:

1. La tasa de interés siempre se aplicará sobre el capital inicial.

2. Por la misma razón puede decirse que los intereses serán siempre iguales en cada periodo.

3. Las tasas de interés simple se pueden dividir o multiplicar por cualquier número parahallar su equivalente en un periodo de capitalización distinto. Por ejemplo, dada unatasa de 24% anual simple,24% anual simple/12 = 2% mensual simple2% mensual simple × 12 = 24% anual simple24% anual simple/4 = 6% trimestral simple

Ejemplo 1.3

Un Banco otorga un crédito de $20.000 a 4 meses y a una tasa del 24% anual simple. ¿Quéinterés simple se paga mensualmente?

P = $20.000i = 0,24 anual ó 0,02 mensualn = 4 meses

I = (20.000) (0,02) = 400

luego, I = P · i · n

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM6


7

Si se desea averiguar el valor total de los intereses,

I = 20.000 (0,02) (4) = 1.600

luego, I = Pin

De esta expresión pueden despejarse las otras variables:

PI

in=

iI

Pn=

nI

Pi=

Para calcular el valor futuro a interés simple es necesario sumar los intereses más elvalor presente:

F = P + I

Pero, como I = Pin, entonces:

F = P+ PinF = P (1+ in)

Al resolver el problema anterior,F = ?P = $20.000i = 0,02mensualn = 4 meses

Se tiene la expresión

F = P (1+ in)F = 20.000 [1 + (0,02)(4)]F = 21.600

Comprobación:

F = P + IF = 20.000 + 1.600F = 21.600

De la expresión de valor futuro puede despejarse la variable de valor presente, así:

F = P (1+ in)

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM7


8

luego,

Al resolver el ejemplo anterior,

F = $21.600i = 0,02mensualn = 4 mesesP = ?

� Interés compuestoA diferencia del interés simple, aquí se suman periódicamente los intereses más el capital.Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llamacapitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama periodo decapitalización.

Para comprender mejor esta definición, véase el ejemplo siguiente:

Ejemplo 1.4

El señor Pérez deposita $100 en un Banco, el cual le reconoce una tasa de interés del 36%anual con capitalización trimestral. ¿Cuál será el valor ahorrado al finalizar el primer año?

Como la tasa de interés dada es anual y la capitalización es trimestral, aquella debeexpresarse en términos trimestrales.

Luego,

Ahora puede elaborarse la siguiente tabla:

Periodo Valor Intereses Valor(n) presente (P) trimestre (I) futuro (F)

1 100 9 109

2 109 9,81 118,81

3 118,81 10,6929 129,50

4 129,50 11,6552 141,15

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM8


9

Gráficamente, el problema se representa así:

Al interpretar este caso particular en forma general, se tiene:n = número de periodos de capitalización

it = tasa de interés efectiva trimestral

P = valor presente

F = valor futuro

Con base en esta tabla, puede observarse la ley de formación y encontrarse las expre-siones generales siguientes:

Valor futuro de una suma presente

• El valor futuro en un periodo n está dado por:

F = P (1+i)n

Periodo Valor Intereses Valor futuro (F)(n) Presente (P) trimestre (I)

1 P Pi P + pi = P (1 + i)

2 P (1 + i) P (1 + i)i P (1 + i) + P (1 + i)i = P (1+ i)2

3 P (1 + i)2

P (1 + i)2i P (1 + i)

2 + P (1 + i)

2 i =P (1+ i)

3

4 P (1 + i)3

P (1 + i)3i P (1 + i)

3 + P (1 + i)

3 i =P (1+ i)

4

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM9


10

• Los intereses correspondientes a un periodo n están dados por:

In = iP (1+ i)n − 1

• El capital inicial para un periodo n está dado por:

Pn = P (1+ i)n − 1

Valor presente de una suma futura

A partir de lo anterior, también puede concluirse que:

Ejemplo 1.5

Se depositan $100.000 en una corporación que reconoce el 32% anual con capitalizacióntrimestral vencida. ¿Cuál será el valor acumulado al final de 2 años?

P = $100.000

it = = 0,08

n = 8 trimestres

F = ?F = P (1+i)

n = 100.000 (1+0,08)

8 = 185.093

Considerando el mismo problema pero a interés simple, se tiene:

F= P (1+in)F= 100.000 [1+0,08

(8)] = 164.000

Ejemplo 1.6

El señor Pérez necesita disponer de $300.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícu-la de su hijo. Si una corporación le ofrece el 36% anual con capitalización bimestral,¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM10


11

F = $300.000

n = 6 meses = 3 bimestres

i =0 36

6

, = 0,06 bimestral

P = ?

P = 300.000 (0,839619283) = 251.885,78

Si la variable a calcular fuera n, se tendría:

F = P (1 + i)n

1,19101602321 = (1,06)n

log 1,19101602321 = n log 1,06

0,075917604 = 0,025305865n

n = 3 bimestres

Si la variable a calcular fuera i:

F = P (1 + i)n

= (1 + i)n

1,06 = 1 + i

i = 1,06 − 1 = 0,06 o 6% bimestral

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM11


12

� Diferencia entre interés compuesto e interés simplePara comprender mejor esta diferencia véase la gráfica de los valores acumulados corres-pondientes a los intereses en el siguiente problema: P = $1.000.000, n = 6 meses, i = 0, 10.

Interés simple

I = Pin

I1 = (1.000.000)(0,10)(1) = 100.000

I2 = (1.000.000)(0,10)(2) = 200.000

I3 = (1.000.000)(0,10)(3) = 300.000

I4 = (1.000.000)(0,10)(4) = 400.000

I5 = (1.000.000)(0,10)(5) = 500.000

I6 = (1.000.000)(0,10)(6) = 600.000

Interés compuesto

I1 = Pi = (1.000.000)(0,10) = 100.000

I2 = I2 + I1 = (100.000)(1,10) + 100.000 = 210.000

I3 = I3 + I2 = (100.000)(1, 10)2 + 210.000 = 331.000

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM12


13

I4 = I4 + I3 = (100.000)(1,10)3 + 331.000 = 464.100

I5 = I5 + I4 = (100.000)(1,10)4 + 464.100 = 610.510

I6 = I6 + I5 = (100.000)(1, 10)5 + 610.510 = 771.561

Ejemplo 1.7

Se tiene un crédito de $5.000.000 a 24 meses y a una tasa del 5% mensual. a. Calcular losintereses y los saldos a interés simple e interés compuesto; b. Elaborar la gráfica.

Interés simple

Mes Monto Intereses Saldo

1 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.250.000,00

2 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.500.000,00

3 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.750.000,00

4 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.000.000,00

5 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.250.000,00

6 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.500.000,00

7 $5.000.000,00 $250.000,00 $6.750.000,00

8 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.000.000,00

9 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.250.000,00

10 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.500.000,00

11 $5.000.000,00 $250.000,00 $7.750.000,00

12 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.000.000,00

13 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.250.000,00

14 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.500.000,00

15 $5.000.000,00 $250.000,00 $8.750.000,00

16 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.000.000,00

17 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.250.000,00

18 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.500.000,00

19 $5.000.000,00 $250.000,00 $9.750.000,00

20 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.000.000,00

21 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.250.000,00

22 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.500.000,00

23 $5.000.000,00 $250.000,00 $10.750.000,00

24 $5.000.000,00 $250.000,00 $11.000.000,00

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM13


14

Interés compuesto

Mes Monto Intereses Saldo1 $5.000.000,00 $250.000,00 $5.250.000,002 $5.250.000,00 $262.500,00 $5.512.500,003 $5.512.500,00 $275.625,00 $5.788.125,004 $5.788.125,00 $289.406,25 $6.077.531,255 $6.077.531,25 $303.876,56 $6.381.407,816 $6.381.407,81 $319.070,39 $6.700.478,207 $6.700.478,20 $335.023,91 $7.035.502,118 $7.035.502,11 $351.775,11 $7.387.277,229 $7.387.277,22 $369.363,86 $7.756.641,0810 $7.756.641,08 $387.832,05 $8.144.473,1311 $8.144.473,13 $407.223,66 $8.551.696,7912 $8.551.696,79 $427.584,84 $8.979.281,6313 $8.979.281,63 $448.964,08 $9.428.245,7114 $9.428.245,71 $471.412,29 $9.899.658,0015 $9.899.658,00 $494.982,90 $10.394.640,9016 $10.394.640,90 $519.732,04 $10.914.372,9417 $10.914.372,94 $545.718,65 $11.460.091,5918 $11.460.091,59 $573.004,58 $12.033.096,1719 $12.033.096,17 $601.654,81 $12.634.750,9820 $12.634.750,98 $631.737,55 $13.266.488,5321 $13.266.488,53 $663.324,43 $13.929.812,9522 $13.929.812,95 $696.490,65 $14.626.303,6023 $14.626.303,60 $731.315,18 $15.357.618,7824 $15.357.618,78 $767.880,94 $16.125.499,72

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM14


15

Ejemplo 1.8

¿En cuánto tiempo se duplica un capital en una corporación que reconoce el 4% mensual?

F = P(1 + i)n

F = 2P

2P = P(1 + i)n

2 = (1,04)n

log 2 = n log 1,04

0,301029 = n(0,0170333)

n = 17,6729 meses

Ejemplo 1.9

Resolver el problema anterior considerando el interés simple.F = P (1 + in)F = 2P

2P = P (1 + in)

2 = 1 + 0,04n

2 − 1 = 0,04n

Comprobación:

a. A interés compuesto

F = 1 (1 + 0,04)17,6729

F = 2

b. A interés simple

F = 1(1 + in)

F = 1[1 + (0,04)(25)]

F = 2

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM15


16

Problemas propuestos

1. Una persona recibe al final de cadames y durante 10 meses la suma de$150.000; al principio de los mesestercero, cuarto, quinto y noveno debepagar $200.000. Elaborar el diagra-ma económico.

2. Elaborar el diagrama económico parael siguiente cuadro:

3. ¿Cuánto se necesita depositar hoy en unacorporación que reconoce el 3% men-sual para poder disponer de $5.000.000al cabo de un año? a. Resolver el proble-

ma a interés simple y a interés compues-to; b. Sacar conclusiones.Respuesta: A interés simple:$3.676.470,58; a interés compuesto:$3.506.899,40

4. ¿En cuánto tiempo se triplica un capitalsi la tasa de interés es del 6% trimes-tral? Resolver el problema para interéssimple y para interés compuesto.Respuesta: 33,33 trimestres; 18,85trimestres.

5. Una propiedad adquirida hace tresaños vale hoy $25.000.000; si la tasade valorización ha sido del 28% anualsimple durante los últimos tres años,¿cuál era el precio de la propiedad enesa época?Respuesta: $13.586.956,52

Autoevaluación1. El señor Pérez necesita disponer de

$1.000.000 dentro de seis meses parael pago de la matrícula de su hijo. Siuna corporación le ofrece el 28%anual con capitalización trimestral,¿cuánto deberá depositar hoy para lo-grar su objetivo?

2. Si la variable a calcular fuera n, ¿cuálsería la solución?

3. ¿En cuánto tiempo se duplica un ca-pital en una corporación que recono-ce el 3% mensual?

4. Resolver el problema anterior peroconsiderando el interés simple.

5. ¿A cuánto equivalen hoy $5.000.000que se entregarán dentro de un año sise considera una tasa de interés del24% anual con capitalización anual?

6. Resolver el problema anterior peroconsiderando el interés simple. Expli-car la respuesta.

7. Si hoy se depositan $2.000.000 en unacorporación que reconoce el 6% tri-mestral, ¿cuánto se tendrá ahorradoal final del quinto año?

Mes Ingresos Egresos

1 $500.000 $1.000.000

2 300.000 0

3 2.800.000 300.000

4 1.000.000 70.000

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:12 AM16


17

Respuestas a la autoevaluación

1. F = $1.000.000n = 6 meses = 2 trimestres

i = 0,28 anual = 0 28

4

, = 0,07 trimestral

P = ?

2. F = P (1 + i)n

1,14490 = (1,07)n

log 1,14490 = n log 1,07

n = 2

3. F = P (1 + i)n

F = 2P

2P = P (1 + i)n

2 = (1 + i)n

2 = (1,03)n

log 2 = n log 1, 03

n = 23,449772 meses

4. F = P (1 + in)F = 2P2P = P (1 + in)2 − 1 = in1 = in

5. P = ?F = $5.000.000n = 1 añoi = 0,24

6.

Las respuestas son iguales porque sólohubo un periodo de capitalización.

7. P = 2.000.000i = 0,06 trimestraln = 20 trimestresF = ?F = P (1+i)

n

F = 2.000.000 (1,06)20

= 6.414.270,94

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM17


18

Actividades de repaso8. ¿Cómo def ine usted el interés

simple?

9. ¿Cómo define usted el interés com-puesto?

10. ¿Cuáles son las características delinterés simple y del interés com-puesto?

11. Con un ejemplo analítico y una grá-fica establezca las diferencias en-tre el interés simple y el interéscompuesto.

1. ¿Qué es valor presente?

2. Defina valor futuro.

3. Defina tasa de interés.

4. Defina interés.

5. ¿Qué es un diagrama económico?

6. ¿De qué elementos consta un diagra-ma económico?

7. Proponga un ejemplo financiero yconstruya un diagrama económico.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM18

19

Principio de equivalenciaversus descuentos

y vencimientos

� JustificaciónEn este capítulo se estudiarán el principio de equivalencia o prin-cipio de equidad financiera y su aplicación a la teoría de losdescuentos y los vencimientos, bajo las modalidades del interéssimple y el interés compuesto.

Con esto se pretende dar al lector la información suficientepara que se capacite en el manejo de los descuentos y vencimien-tos de documentos y pueda realizar las diferentes operaciones fi-nancieras que se le presenten en la práctica.

� Objetivo generalEstablecer los parámetros para el cálculo de los descuentos y losvencimientos.

� Objetivo específico� Utilizar el principio de equidad financiera o principio de equi-

valencia para:• Calcular el descuento comercial.• Calcular el descuento racional.• Calcular el descuento compuesto.• Calcular el vencimiento medio.• Calcular el vencimiento común, en forma racional y en for-

ma comercial.• Resolver problemas de la vida real.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM19

20


Conducta de entrada

1 Elaborar un paralelo entre una opera-ción financiera a interés simple y otraa interés compuesto.

2 ¿Qué se entiende por capitalización?

A continuación se presenta una seriede enunciados con cinco respuestas,de las cuales una sola es verdadera.Marque con una ✗ la que usted consi-dere correcta.

3 Al cabo de seis meses, el valor futuroF de una inversión P = $10.000 al3 % mensual simple es de:a. $11.800 b. $10.800c. $12.800 d. $11.500e. $9.800

4 Si el señor Cortés necesita $ 100. 000dentro de un año, ¿cuánto debe de-positar hoy en una institución finan-ciera que reconoce el 2,5% mensual?a. $76.923,08 b. $78.923,08c. $74.355,59 d. $75.355,59e. $80.155,59

5 ¿Cuánto tiempo se necesita para con-vertir $25.000 en $40.025,81 si se de-positan en una corporación al 4%mensual?a. 10 mesesb. 12 mesesc. 15 mesesd. 13 mesese. 9 meses


1.

3. a

4. c

5. b

2. Capitalización es el proceso median-te el cual se adicionan al capital losintereses liquidados.

Interés simple

El capital inicial no varía durantetodo el tiempo.

La tasa de interés se aplica siempresobre el mismo capital.

Los intereses son siempre iguales paratodos los periodos de liquidación.

Interés compuesto

El capital inicial se incrementa perió-dicamente.

La tasa de interés se aplica siempresobre un capital diferente.

Los intereses son siempre mayorescada vez que se liquidan.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM20

21

Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

Principio de equivalenciaUna o varias sumas de dinero pueden transformarse en otra u otras sumas de dinero equivalen-tes con el paso del tiempo si la tasa de interés utilizada para la transformación satisface lasaspiraciones del inversionista.

Ejemplo 2.1

Si se quiere invertir en una cuenta de un Banco que reconoce el 24% anual, puede decirse que$100 invertidos hoy, en esa cuenta, son equivalentes a $124 que se entregarán en un año.

Nota. Algunos autores no hablan del principio de equivalencia sino del principio de equi-dad financiera, que es de mucha aplicación en matemáticas financieras, como es el casode los vencimientos, aunque antes de hablar de ellos se hará referencia a los descuentos.

� Descuento (D)El descuento es una modalidad del interés simple. La diferencia radica en que el interéssimple por lo general se paga vencido, en tanto que el descuento se produce por anticipado.

Si I = Pin

entonces,

D = Pin

donde i es la tasa de descuento.

En el mercado financiero operan tres tipos de descuentos: comercial, racional o simpley compuesto. Antes de definir cada uno de ellos es necesario precisar lo siguiente:

Valor nominal (Vn) es el valor que está escrito en un documento. En algunos casos semaneja como un valor futuro.

Valor efectivo (Ve) es el valor que se recibe después de haberse efectuado el respectivodescuento del valor nominal; luego,

Ve = Vn − D

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM21

22


Descuento comercial (Dc) es aquel que se calcula sobre el valor nominal de un documentoy siempre se paga antes de su vencimiento. También se le llama descuento bancario.

Dc = Vn in

Luego,

Ve = Vn – Dc

Ve = Vn – Vn inVe = Vn – (1 – in)

Ejemplo 2.2

El señor Pérez tiene una letra de $500.000 la cual estipula una tasa de descuento del 3%mensual y un vencimiento dentro de 6 meses.

a. ¿Cuál es el descuento comercial?Dc = Vn inDc = 500.000 (0,03) (6) = 90.000

b. ¿Cuál es el valor efectivo de la letra?Ve = Vn – (1 – in)Ve = 500.000 – [1 – (0,03) (6)] = 410.000

lo anterior equivale a:

Ve = Vn – Dc = 500.000 – 90.000 = 410.000

Descuento racional (Dr) es aquel que se calcula sobre el valor efectivo de un documento.

Dr = Ve in (1)

Sin embargo, Ve = Vn – Dr

luego, Ve = Vn – Ve in

Ve + Ve in = Vn

Ve (1+in) = Vn

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM22

23


de donde (2)

Al reemplazar (2) en (1) se obtiene:

Como Dc = Vn in

entonces,

Ejemplo 2.3

Con los datos del problema anterior, calcular:

a. Dr b. Ve

a. Dr =

Otra forma es:

b.

Otra posibilidad es:

Ve = Vn − Dr

Ve = 500.000 − 76.271,18 = 423.728,82

Nota. Este descuento también se denomina descuento justo, descuento interior o descuen-to por dentro.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM23

24


Descuento compuesto (D’c), como su nombre lo indica, opera con base en el interés com-puesto.

Si el proceso de capitalización es la suma periódica de los intereses, el descuento com-puesto debe ser todo lo contrario.

Como F = P(1 + i)n

luego, Vn = Ve (1 + i)n

de donde

por tanto,

Al factorizar se tiene:

Ejemplo 2.4

Con los datos del problema anterior, calcular:

a. D′c b. Ve

a.

D′c = 500.000 (0,162515743) = 81.257,87

b. Ve = Vn − D′c

Ve = 500.000 − 81.257,87 = 418.742,13

Nota. El descuento mayor es el comercial, le siguen el descuento compuesto y, por últi-mo, el racional.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM24

25


Ejemplo 2.5

El señor Pérez tiene una letra de $200.000, la cual reconoce unos intereses del 3% mensualy vence dentro de 5 meses. El señor Pérez ofrece la letra porque necesita dinero paraatender un compromiso urgente.

Quien ofrece comprársela le exige una tasa de descuento del 5% mensual, que es la tasacon la cual esa persona acostumbra trabajar. ¿Cuánto debe darle por la letra? Maneje lainformación a interés simple (descuento racional).

Lo primero que debe hacerse es hallar el valor futuro de la letra a la tasa que reconoce, osea, el 3% mensual.

F = P ( 1 + in)

F = 200.000 [1 + (0,03)(5)] = 230.000

Este valor futuro será el valor nominal de la letra. Luego se halla el valor efectivo que va arecibirse al 5%:

donde i es la tasa de descuento,

� VencimientosExisten dos clases de vencimientos: el medio y el común.

Vencimiento medio. Su característica fundamental radica en que el valor nominal de undocumento tiene que ser igual a la suma de los valores nominales de los documentos porlos cuales se desea cambiar. Esto implica que el valor del nuevo documento también tieneque ser igual a la suma de los valores actuales de los documentos que se cambian o senegocian.

Ejemplo 2.6

Se tienen dos letras, una de $50.000 y otra de $100.000, que vencen a los 6 meses y 9meses, respectivamente, La tasa de descuento sería del 3% anual. Si se quiere cambiar

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM25

26


estas dos letras por una sola, ¿cuál será el vencimiento de la nueva letra? Considerar laoperación en forma comercial.

Ve1 + Ve2 = Ve (nueva letra)

Vn1 + Vn2 = Vn (nueva letra)

50.000 + 100.000 = 150.000

Ve = Vn − Dc = Vn − Vn in = Vn (1− in)

Ve = 50.000 [1 − (0,03)(6)] + 100.000 [1 − (0,03)(9)]

150.000 [1 − (0,03)(n)] = 50.000(0,82) + 100.000(0,73)

150.000 − 4.500n = 41.000 + 73.000

− 4.500n = −36.000

n = 8 meses

Nota. En el vencimiento medio el problema consiste en calcular el vencimiento del nuevodocumento.

Vencimiento común. Su característica principal radica en que el valor nominal del nuevo olos nuevos documentos es diferente de la suma de los valores nominales de los documen-tos por los cuales se desea cambiar.

El problema consiste en:

a. Dado el valor nominal del nuevo documento o los nuevos documentos, hallar su venci-miento.

b. Dado el vencimiento del nuevo o los nuevos documentos, hallar su valor nominal.

Ejemplo 2.7

Con los datos del problema anterior y teniendo en cuenta que el valor nominal del nuevodocumento será de $170.000, hallar el vencimiento en formas racional y comercial.

a. En forma comercial:

Ve1+ Ve2 = Ve (del nuevo documento)

Ve = Vn (1−in)

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM26

27


50.000 [1 − (0,03)(6)] + 100.000 [1 − (0,03)(9)] =170.000 [1 − (0,03)(n)]

41.000 + 73.000 =170.000 − 5.100 n

−56.000 =−5.100n

n =10,98 meses

b. En forma racional:

121.113,03 (1 + 0,03n) = 170.000

121.113,03 + 3.633,39 n = 170.000

n = 13,45 meses

Ejemplo 2.8

Una persona debe una letra de $80.000 para cancelarla dentro de 6 años y otra de $ 100.000para cancelarla dentro de 7 años, y quiere liquidarlas con un solo pago dentro de dos años.¿Qué cantidad debe hacer efectiva en esa fecha si la tasa de descuento es del 8% anual enforma compuesta?

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM27

28


Ejemplo 2.9

El señor Pérez tiene documentos en las siguientes condiciones: $100.000 con vencimientoen 4 meses, $250.000 con vencimiento en 10 meses, $300.000 con vencimiento en 20meses. La tasa de descuento pactada es de 3% mensual y el señor Pérez desea cambiarestos tres documentos por uno solo. ¿Cuál será el plazo para dicho documento si se consi-dera un vencimiento medio?

Vn = Vn1 + Vn2 + Vn3

Vn = 100.000 + 250.000 + 300.000 = 650.000

Ve = Ve1 + Ve2 + Ve3

Ve = Vn (1− in)

Ve1 = 100.000 [1 − (0,03)(4)] = 88.000

Ve2 = 250.000 [1 − (0,03)(10)] = 175.000

Ve3 = 300.000 [1 − (0,03)(20)] = 120.000

Ve = 88.000 + 175.000 + 120.000 = 383.000

383.000 = 650.000 [1 − (0,03)(n)]

n = 13,69 meses

Ejemplo 2.10

Resolver el problema anterior considerando que el valor nominal del nuevo documentodebe ser $700.000.

Ve = Vn (1 − in)

383.000 = 700.000[1 − (0,03)(n)]

383.000 = 700.000 − 21.000 n

21.000n = 317.000

n = 15,09 meses

Ejemplo 2.11

Resolver el ejemplo anterior considerando que el plazo del nuevo documento será de 10meses.

Ve = Vn (1 − in)

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM28

29


383.000 = Vn [1 − (0,03)(10)]

383.000 = Vn − 0,3 Vn

383.000 = Vn (1 − 0,3)

383.000 = Vn (0,7)

Vn = 547.142,85

� Ecuaciones de valorConstituyen otra de las grandes aplicaciones del principio de la equivalencia financiera oequidad financiera. Operan tanto a interés simple como a interés compuesto.

En las ecuaciones de valor aparece el concepto de fecha focal, que se define comoaquella en la cual que se comparan los ingresos con los egresos. Esta fecha es acordadaentre las partes y a ella se debe trasladar todo el flujo de caja, con el fin de plantear en esepunto la respectiva ecuación de valor.

Ejemplo 2.12

La empresa XX le adeuda al Banco YY la suma de $600.000.000 representados en lossiguientes pagares: uno por $400.000.000 con vencimiento en 10 meses más intereses del28% anual, otro por $200.000.000 con vencimiento en 22 meses más intereses del 36%anual. El gerente de la empresa quiere reestructurar sus obligaciones y acuerda con elgerente del Banco pagarlas en la siguiente forma: $300.000.000 en la fecha y el resto en 13meses. ¿Cuál será el valor de dicho pago si la tasa de interés acordada para la reestructura-ción fue del 24% anual? Asuma una fecha focal en el mes 13 e interés compuesto.

Primero: se calcula el valor futuro del primer pagaré a una tasa de interés del 28% anual.Este valor se asume como un valor presente y se calcula su valor futuro en la fecha focal auna tasa del 24% anual.

Segundo: se calcula el valor futuro del segundo pagaré a una tasa del 36% anual. Este valor setraslada a la fecha focal, es decir, se le calcula su valor presente con una tasa del 24% anual.

Tercero: se trasladan los $300.000.000 a la fecha focal con una tasa del 24% anual.

Cuarto: el resto del pago está representado por la letra X. Como este valor está en la fechafocal, no hay, necesidad de trasladarlo.

Quinto: con todos los valores en la fecha focal, se procede a plantear la ecuación de valory luego a resolverla para el valor de X.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM29

30


F

F

F

110 3

222

9

313

400 000 000 1 0233333333 1 02 534 603 395

200 000 000 1 031

1 02320 661 923

300 000 000 1 02 388 081 989

= ( )[ ] ( )[ ] =

= ( )[ ] ( )

=

= ( ) =

. . . , . .

. . ,,

. .

. . , . .

F1 + F2 = F3 + X

534.603.395 + 320.661.923 = 388.081.989 + X

X = 467.183.329

Ejemplo 2.13

Resolver el problema anterior pero a interés simple.

F

F

F

F

1

1

2

3

400 000 000 1 0 0233333333 10 1 0 02 3

522 933 232

200 000 000 1 0 03 221

1 0 02 9281 335 932

300 000 000 1 0 02 13 378 000 000

= + ( )( )[ ] + ( )( )[ ]=

= + ( )( )[ ] + ( )( )

=

= + ( )( )[ ]=

. . , ,

. .

. . ,,

. .

. . , . .

X = 426.269.264

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:13 AM30

31


Ejemplo 2.14

Una empresa le ha firmado a un Banco un pagaré por $100.000.000 a 4 meses y una tasade interés del 30% anual; dos meses después firma otro por $50.000.000 a 3 meses y sinintereses. El gerente de la empresa quiere recoger estos pagarés y reemplazarlos por unosolo a 3 meses, contados a partir de la fecha de vencimiento del primer pagaré y con unatasa de interés del 36% anual. Además, entregará al Banco la suma de $30.000.000 en lafecha de vencimiento del segundo pagaré. ¿Cuál será el valor del nuevo documento? Asu-ma una fecha focal en el mes séptimo e interés simple.

F

F

F

F

1

1

2

3

100 000 000 10 30

124 1

0 36

123

119 900 000

50 000 000 1 0 10 36

122 53 000 000

30 000 000 10 36

122

= +

( )

+

( )

=

= +[ ] + ( )

=

= +

( )

. ., ,

. .

. .,

. .

. .,

= 31 800 000. .

F1 = 119.900.000

F1 + F2 = F3 + X

119.900.000 + 53.000.000 = 31.800.000 + X

X = 141.100.000

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:14 AM31

32


Ejemplo 2.15

Una deuda de $25.000.000 con vencimiento en 15 meses, sin intereses, y otra de $15.000.000con vencimiento en 24 meses e intereses del 30% anual van a cancelarse mediante dospagos iguales de $XX cada uno, con vencimientos en 12 meses y 18 meses, respectiva-mente. Hallar el valor de los pagos si la tasa acordada para la negociación fue del 28%anual. Asuma una fecha facal en 18 meses e interés simple.

F

F

P

F X

1

2

2

3

25 000 000 10 28

123 26 750 000

15 000 000 10 30

1224 24 000 000

24 000 000

10 2812

6

21 052 632

10 28

12

= +

( )

=

= +

( )

=

=+

( )

=

= +

. .,

. .

. .,

. .

. .

,. .

,

( )

=6 1 14, X

26.750.000 + 21.052.632 = 1,14 X + X

X = $22.337.679

Ejemplo 2.16

Dos obligaciones de $20.000.000 y $50.000.000 sin intereses, vencen en 3 y 10 meses,respectivamente. Si estas obligaciones se cambian por otra de $90.000.000 con vencimien-to a 15 meses ¿cuál será la tasa de interés de la negociación? Asuma la operacion a interéssimple y una fecha focal en el mes 15.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:14 AM32

33


20.000.000 [1 + 12i] + 50.000.000 [1 + 5i] = 90.000.000

20.000.000 + 240.000.000i + 50.000.000 + 250.000.000i = 90.000.000

i = 0,040816327 mensual

i = 4,0816327% mensual

Ejemplo 2.17

Una deuda de $25.000.000 con vencimiento en 12 meses y otra de $XX con vencimientoen 20 meses e intereses del 30%, van a cancelarse mediante dos pagos iguales de $24.830.570cada uno, con vencímiento en 10 meses y 18 meses, respectivamente. Determinar el valorde XX con una tasa de rendimiento del 28% anual y fecha focal en el mes 18. Asuma laoperación a interés simple.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:14 AM33

34


F

F

F X X

PX

1

1

2

2

25 000 000 10 30

1212 32 500 000

32 500 000 10 28

126 37 050 000

10 30

1220 1 5

1 5

10 2812

= +

( )

=

= +

( )

=

= +

( )

=

=+

. .,

. .

. .,

. .

,,

,

,

( )

= =

= +

( )

=

2

1 5

1 046666661 433121

24 830 570 10 28

128 29 465 6103

,

,,

. .,

. .

XX

F

37.050.000 + 1,433121X = 29.465.610 + 24.830.570

X = 12.034.001

Ejemplo 2.18

Una compañía manufacturera adquiere materias primas por valor de $200.000.000 y con-viene pagar el 30% anual de intereses. Si paga $30.000.000 cuatro meses después de lacompra y $40.000.000 seis meses después de la compra, ¿qué pago tendrá que hacer añoy medio después de la compra, para liquidar totalmente el saldo? Tome como fecha focalun año después de la compra y maneje la operacion a interés simple.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:15 AM34

35


F

F

F

PX

1

2

3

1

200 000 000 10 30

1212 260 000 000

30 000 000 10 30

128 36 000 000

40 000 10 30

126 46 000 000

10 3012

= +

( )

=

= +

( )

=

= +

( )

=

=+

. .,

. .

. .,

. .

.,

. .

,

( )

=6

1 15

X

,

260.000.000 = 36.000.000 + 46.000.000 + X

1 15,

X = $204.700.000

Ejemplo 2.19

Una compañía contrata el 10 de mayo un préstamo por $100.000.000 a una tasa de interésdel 32% anual y un plazo de 180 días. Calcular el saldo en la fecha de vencimiento de laobligación si se efectuaron los siguientes abonos:

En junio 15 $20.000.000

En julio 18 20.500.000

En septiembre 30.000.000

Asuma la fecha focal en la fecha de vencimiento de la obligoacíón. Trabaje a interéssimple.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:15 AM35

36


F

F

F

F

1

2

3

4

100 000 000 10 32

365180 115 780 822

20 000 000 10 32

365180 36 22 524 932

25 000 000 10 32

365180 69 27 432 877

30

= +

( )

=

= +

−( )

=

= +

−( )

=

=

. .,

. .

. .,

. .

. .,

. .

.000000 000 10 32

365180 116 31 683 288.

,. .+

−( )

=

115.780.822 = 22.524.932 + 27.432.877 + 31.683.288 + X

X = 34.139.726

Ejemplo 2.20

Se firmó un pagaré por $50.000.000 con un plazo de cinco meses para su vencimiento yuna tasa del 3% mensual a interés simple. Otro pagaré por $200.000.000 fue firmado dosmeses después del anterior, vence a los siete meses y contempla una tasa del 2,5% mensuala interés simple. Si se conviene con el acreedor darle $85.000.000 un mes después de lafecha de vencimiento del primer pagaré y el resto cinco meses después, considerando unatasa de interés del 4% mensual simple, ¿cuál será el valor del último pagaré?

F

F

F

1 50 000 000 1 0 03 5 1 0 04 6 71 300 000

2 200 000 000 1 0 025 7 1 0 04 2 253 800 000

3 85 000 000 1 0 04 5 102 000 000

= + ( )( )[ ] + ( )( )[ ] =

= + ( )( )[ ] + ( )( )[ ] =

= + ( )( )[ ]=

. . , , . .

. . , , . .

. . , . .

71.300.000 + 253.800.000 = 102.000.000 + X

X = 223.100.000

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:16 AM36

37


Ejemplo 2.21

Resolver el problema anterior considerando el interés compuesto.

F1 = 50.000.000 (1,03)5

(1,04)6

= 73.342.577

F2 = 200.000.000 (1,025)7

(1,04)2

= 257.136.502

F3 = 85.000.000 (1,04)5

= 103.415.497

73.342.577 + 257.136.502 = 103.415.497 + X

X = 227.063.582

Ejemplo 2.22

Tengo que pagar $10.000.000 dentro de 5 meses, $20.000.000 dentro de 8 meses y$30.000.000 dentro de 12 meses. Si deseo hacer un solo pago de $80.000.000, ¿cuá1 seráel plazo para dicho pago? Asuma una tasa del 3% mensual a interés compuesto y una fechafocal en el mes 12.

10.000.000 (1,03)7 + 20.000.000 (1,03)

4 + 30.000.000 = 80.000.000 (1,03)

12−n

12.298.739 + 22.510.176 + 30.000.000 = 80.000.000 (1,03)12−n

64.808.915 = 80.000.000 (1,03)12−n

0,810111438 = (1,03)12−n

log 0,810111438 = (12−n) log 1,03

−0,091455238 = (12−n)(0,01283725)

−0,091455238 = 0,15404652 − 0,01283725n

n = 19,12417 meses

n = 19 meses, 4 días

Nota: Este mismo problema se puede resoIver aplicando la teoría de descuentos.

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:16 AM37

38


Como el interés es compuesto, entonces se aplicará el descuento compuesto.

Vn = Ve (1 + i)n

Ve =V

in

n1+( )

10 000 000

1 03

20 000 000

1 03

30 000 000

1 03

80 000 000

1 03

8 626 088 15 788 185 21 041 39680 000 000

1 03

45 455 66980 000 000

1 03

1 03 1 759956497

1 759956497

1 03

5 8 12

. .

,

. .

,

. .

,

. .

,

. . . . . .. .

,

. .. .

,

, ,

log ,

log ,

( )+

( )+

( )=

( )

+ + =( )

=( )

( ) =

=

n

n

n

n

n

n = 19,12417 meses

n = 19 meses, 4 días

Problemas propuestos1. Se tienen dos documentos por

$500.000 y $600.000 con vencimien-to a 6 meses y 5 meses, respectiva-mente. Con el fin de expedir un solodocumento por $1.100.000 se ha pac-tado una tasa de descuento del 2,5%mensual, ¿a qué plazo debe expedirseel nuevo documento?Respuesta: 5,4545 meses

2. Resolver el problema anterior consi-derando como valor del nuevo docu-mento la suma de $1.500.000.Respuesta: 14,66 meses

3. ¿Qué tipo de vencimiento correspon-de al problema 1 y cuál al problema 2?

Respuesta: Medio; común

4. Se tienen dos documentos por$ 1.000.000 y $2.000.000 con venci-mientos a un año y dos años, res-pectivamente. Si la tasa pactada es de6,5% trimestral, ¿cuál será el plazopara un nuevo documento si se tieneen cuenta que se hará con vencimien-to medio?Respuesta: 6, 66 trimestres

5. Dos documentos por $200.000 y$300.000, respectivamente, vencen alos 2 años, 5 meses y 30 días, el pri-mero, y a 1 año, 3 meses y 90 días, elsegundo. Se quiere elaborar un solo

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM38

39


documento por $600.000 con una tasade 2,8% mensual, ¿cuál será el plazopara su vencimiento?Respuesta: 24,95 meses

6. El señor Pérez posee dos letras quesuman $800.000, una de las cualesvence dentro de 5 meses y se descuen-ta en forma comercial al 3% mensual,la otra vence dentro de 10 meses y sedescuenta en forma comercial al 3,5%mensual. Si hoy le ofrecen por ellasla suma de $620.000, ¿cuál será elvalor nominal de cada una?

Respuesta: $300.000 y $500.000, res-pectivamente

7. El señor Pérez tiene una letra por $xyla cual vence dentro 12 meses. El Ban-co le ofrece descontarla comercialmen-te a una tasa i% y le entrega $260.000.Otra entidad le ofrece la misma tasade descuento pero la operación la rea-liza en forma racional y le entrega$337.837,83. ¿Cuál es el valor nomi-nal de la letra y cuál es la tasa de des-cuento que ofrecen las corporaciones?Respuesta: $500.000; 4%

Autoevaluación1. El señor Pérez tiene en su poder una

letra de $1.000.000 que vence dentrode 5 meses y reconoce intereses del2,5% mensual simple, y quiere nego-ciarla con el Banco en forma comer-cial; el banco acepta la letra pero ladescuenta al 3% mensual. ¿Cuál es elprecio de la letra?

2. Resolver el problema anterior en for-ma racional.

3. Resolver el problema 1 considerandoel descuento compuesto.

4. Una letra de $200.000 se descuenta a7 meses en forma comercial y con unatasa de descuento del 3% mensual.¿Cuál es el valor del descuento?

5. Una letra de $300.000 se descuentaen forma comercial al 3% mensual.Si el descuento fue de $50.000, ¿quétiempo faltará para el vencimiento?

6. Una letra tiene impreso el valor de$500.000; si se descuenta en formaracional al 3% mensual, ¿cuál será elperiodo de redención si tiene un va-lor efectivo de $400.000?

7. El señor Pérez tiene una letra de$1.000.000 con vencimiento dentro deun año, cuatro meses, diez días. Si fue-ra a hacerse efectiva hoy, consideran-do una tasa de descuento del 2%mensual y realizando la operación enforma comercial, ¿cuál es el valor ac-tual de la letra?

8. Con los datos del problema anterior,calcular la tasa de descuento.

9. Una letra vence dentro de 8 meses yestipula una tasa de descuento del 3%mensual. Si se calculan los descuen-tos comercial y racional se hallará en-tre ellos una diferencia de $46.451,62.¿Cuál será el valor nominal de la le-

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM39

40


tra? Calcular cada uno de los descuen-tos citados.

10. El señor Pérez tiene una letra de$500.000 a una tasa de interés sim-ple del i% y con vencimiento dentrode 10 meses. Si dentro de 6 meses se

negocia esa letra con el Banco enforma comercial, se acepta al Bancola suma de $400.000 por ella y se re-conoce un descuento de $180.000,¿cuál fue la tasa de interés pactadainicialmente y cuál la tasa de des-cuento?


1. F = Vn

F = P(1 + in ) = 1.000.000[ 1 + (0,025)(5)]

F = $1.125 .000

Dc = Vn in = 1.125.000(0,03)(5) = $168.750

Ve = Vn − Dc = 1.125.000 − 168.750 = $956.250

2. F = $1.125.000

F = Vn

El descuento es igual a

Dr = Ve in = 978.260,86(0,03)(5) = $146.739,13

3. F=P(1 + i)n

F = 1.000.000(1,025)5 = $1.131.408,21

F= Vn

D′c = $155.445,54

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM40

41


4. Dc = Vn in

Dc = (200.000)(7)(0,03) = $42.000

5. Dc = Vn in

6. Ve = $400.000

Vn = $500.000

i = 0,03

n = ?

n = 8,3333 meses

7.

meses

Vn = $1.000.000

i = 0,02 mensual

Dc = Vn in = (1.000.000)(0,02)(16,3333)

Dc = $326.366,66

Ve = Vn − Dc = 1.000.000 − 326.666,66

Ve = $673.333,34

8. Vn = $ 1.000.000

Ve = $673.333,34

n = 16,33333 meses

i =?

Dc = $326.666,66

Dc = Vn in

i = 2% mensual

9. n = 8 meses

i = 0,03

Dc − Dr = 46.451,62

Sin embargo, Dc = Vn in

0,0576 Vn = (46.451,62)(1,24)

Vn = 1.000.000

Dc = Vn in

Dc = 1.000.000 (0,03)(8) = 240.000

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM41

42


10. Ve = $400.000

n = 10 meses

Dc = $180.000

n = 4 meses para descuento

Dc = Vn in

Vn = Ve + Dc

Vn = 400.000 + 180.000 = 580.000

(tasa de descuento)

F = P(1 + in)

i = 1,6% (tasa de interés)

Actividades de repaso

1. Enuncie el principio de equivalencia.

2. ¿Qué es un descuento?

3. ¿Cuál es la diferencia entre descuen-to e interés simple?

4. Defina valor nominal y valor efectivo.

5. Defina descuento comercial.

6. Defina descuento racional.

7. ¿Cuál es la diferencia entre descuen-to racional y descuento comercial?

8. Defina descuento compuesto.

9. ¿Cuál es la diferencia entre descuen-to compuesto y los descuentos co-mercial y racional?

10. ¿Cuál de los tres descuentos es ma-yor?

11. Si a usted fuera a descontársele unaletra, ¿cuál descuento elegiría?

12. Si usted es quien va a efectuar el des-cuento, ¿cuál descuento elegiría ypor qué?

13. Defina vencimiento medio.

14. Defina vencimiento común.

15. ¿Cuál es la diferencia entre venci-miento medio y vencimiento común?

Capitulo 1-2 1/20/06, 10:17 AM42

43

Tasas de interés:nominal y efectiva.

Rentabilidad� Justificación

La mejor herramienta para medir el costo de un crédito o la renta-bilidad de una inversión es la tasa de interés efectiva.

Por lo general, cuando se habla de tasas de interés se hace refe-rencia a tasas nominales; por esta razón es necesario aprender acalcular las tasas de interés efectivas con las cuales se medirán loscostos de un crédito y la rentabilidad de una inversión. Asimismo,es necesario aprender a hacer todas las conversiones posibles entrelas diferentes tasas de interés.

� Objetivo generalEncontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa deinterés nominal dada, o viceversa.

� Objetivos específicos� Definir e interpretar el concepto de tasa de interés nominal.� Definir e interpretar el concepto de tasa de interés efectiva.� Calcular una tasa de interés efectiva anual cuando se conoce la tasa

de interés nominal anual, con capitalización vencida y anticipada.� Hacer el mismo tipo de cálculo pero a la inversa.� Calcular una tasa de interés efectiva periódica cuando se cono-

ce una tasa de interés nominal anual, y viceversa.� Calcular una tasa de interés efectiva anual conociendo la co-

rrección monetaria.� Calcular el interés real en el año.� Calcular la tasa de interés efectiva cuando intervienen comi-

siones, timbres, etc.� Calcular el costo de un crédito.� Calcular la rentabilidad en moneda corriente.� Calcular la rentabilidad en moneda extranjera.� Estimar cuándo puede invertirse en una moneda extranjera

determinada.

Capitulo 3 1/20/06, 10:28 AM43


44

Conducta de entradaA continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cua-les una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

1 Dada la ecuación ,

al despejar a1 se obtiene:

a. b.

c. d.

e.

2 Dada la ecuación F = P (1 + i)n,

al despejar i se obtiene:

a.P

Fn − 1 b. nF − 1

c.F

Pn − 1 d. nP − 1

e.

3 Dada la ecuación Sn

a an= +( )2 1 ,

al despejar n se obtiene:

a. b.

c. d.

e.

4 Juan deposita $151.500 en una cuentade ahorros que reconoce el 21% anualpor trimestre vencido. Su saldo den-tro de 2 años será:

a. $228.133,71

b. $238.143,71

c. $133.248

d. $258.133,71

e. $198.133,71

5 El señor Cortés posee una letra cuyovalor a su vencimiento es $255.000.Necesita efectivo y la vende hoy, tresmeses antes de su vencimiento, a Pe-dro, quien cobra el 4% mensual. Elvalor que recibe es:

a. $236.649,07

b. $126.694,07

c. $230.694,07

d. $226.694,07

e. $216.694,07


1. b 2. c 3. e 4. a 5. d

Capitulo 3 1/20/06, 10:28 AM44

Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

45

Tasa nominal y tasa efectiva

� Tasa nominalLa tasa de interés nominal (r) es aquella que tiene como base un año y muestra el númerode veces (n) que capitaliza al año; no indica directamente el costo real del dinero o larentabilidad de una inversión. Esta tasa se debe dividir entre el número de veces que capi-taliza al año para encontrar su tasa periódica equivalente respectiva, lo cual se puede ex-presar como:

ip = r

n

Por ejemplo, dada una tasa del 36% anual con capitalización trimestral (tasa nominal),se toma el 36% y se divide entre el número de trimestres que hay al año:

0,36/4 = 0,09 trimestral (o efectiva trimestral)

� Tasa efectivaEs aquella que indica efectiva o realmente cuál es la rentabilidad de una inversión o cuál esel costo de un crédito por periodo. Cuando se habla de tasas efectivas se involucra el con-cepto de capital es decir, el proceso mediante el cual se liquidan intereses sobre intereses yse suman al capital inicial. Con el ejemplo siguiente, estos conceptos podrán entendersemejor.

Ejemplo 3.1

El señor Pérez abrió una cuenta de ahorros con $100. La corporación le reconoce una tasade interés del 36% anual con capitalización trimestral. a. ¿Cuánto tendrá acumulado alfinal del primer año? b. Resolver el mismo problema considerando la capitalización anual.

Nota. La tasa del 36% anual enunciada en el problema es, por definición, la tasa nominal.

a. Con capitalización trimestral:P = $100r = tasa de interés nominal anualr = 0,36n = número de subperíodos en el periodon = 4 trimestres

r

n = tasa de interés efectiva periódica

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM45


46

Por consiguiente:

F = P(1 + i)n

Los intereses serán F − P = I

I = 141,1582 − 100 = 41,1582

La tasa de interés corresponde a

Esto indica que una tasa nominal anual del 36% con capitalización trimestral vencidaequivale a una tasa efectiva anual del 41,15%. En efecto, los intereses fueron de $41,15,dada la capitalización trimestral. En este caso, el periodo de capitalización es menor que 1año y, si se compara la tasa nominal anual con la tasa efectiva anual, puede concluirse quecuando el periodo de capitalización es menor que 1 año, la tasa efectiva anual es mayor quela tasa nominal anual.

b. Con capitalización anual:

F = P(1 + i)n

F = 136

Luego, I = F − P = 136 − 100 = 36

Esto indica que una tasa nominal anual del 36% con capitalización anual es igual a unatasa efectiva anual del 36%.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM46


47

Conclusión. Cuando el periodo de capitalización es igual a 1 año, la tasa nominal anual esigual a la tasa efectiva anual. En cualquier otro caso, la tasa efectiva anual será mayor quela nominal anual.

Lo anterior se debe a que en el primer caso hubo cuatro periodos de capitalización, entanto que en el segundo caso sólo hubo uno.

En consecuencia, puede afirmarse que cuanto más cortos sean los subperiodos de capi-talización en el periodo, mayor será la tasa efectiva anual.

� Deducción de fórmulas

Capitalizaciones vencidas

Fórmula para calcular la tasa efectiva periódica a partir de una tasa nominal anual. Latasa nominal tiene una relación muy estrecha con el concepto de interés simple; por esarazón, la tasa efectiva periódica puede calcularse dividiendo la tasa nominal por el númerode subperiodos. Luego,

Ejemplo 3.2

Calcular la tasa efectiva bimestral equivalente a una tasa nominal anual del 22,734% capita-lizable en forma bimestral.

r = 0,22734

n = 6

ip = ib = ?

Fórmula para calcular una tasa efectiva anual cuando se conoce la tasa nominal anual.En el ejemplo anterior, con capitalización trimestral, se indicó que

F = P(1 + i)n

Éste es el valor futuro de $100. Si queremos calcular el valor futuro de un solo peso, sedivide entre 100 cada miembro de la igualdad.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM47


48

También puede expresarse así:

luego,

Al interpretar estos resultados se tiene:

Esta expresión permite hallar la tasa efectiva anual a partir de una tasa nominal anual.Los términos que se utilizarán en el texto, en expresiones como la anterior, son:

ia = tasa efectiva anual

ip =r

n = tasa efectiva periódica

r = tasa nominal anual

n = número de periodos de capitalización al año

it = tasa efectiva trimestral

is = tasa efectiva semestral

im = tasa efectiva mensual

ib = tasa efectiva bimestral

Ejemplo 3.3

Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal anual del 24% con capitaliza-ción mensual vencida.

r = 0,24

n = 12

ia = ?

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM48


49

Fórmula para calcular una tasa nominal anual cuando se conoce la tasa efectiva anual.Basta con despejar r de la expresión anterior:

Se extrae la raíz n a cada miembro de la igualdad:

de donde

Ejemplo 3.4

Hallar la tasa nominal anual equivalente a una tasa anual efectiva del 31,0796% cuando lacapitalización es trimestral vencida.

ia = 0,310796

n = 4

r = ?

Fórmula para calcular la tasa efectiva periódica a partir de una tasa efectiva anual. Basta

con despejar r

n de la expresión anterior.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM49


50

ip = r

n = tasa efectiva periódica por definición

Ejemplo 3.5 Ejemplo 3.3

Calcular la tasa efectiva bimestral equivalente a una tasa efectiva anual del 25%.

ia = 0,25

n = 6

ip = ib = ?

Capitalizaciones anticipadas

Cuando la capitalización es anticipada, el proceso de sumar los intereses al capital se iniciamás rápido, dando lugar a que la tasa efectiva sea mayor que en el caso de la capitalizaciónvencida.

Ejemplo 3.6

Una corporación presta $ 100 a un año y estipula una tasa del 36% anual con capitalizacióntrimestral anticipada.

Entonces,

r , = 0,36 donde r′ = tasa nominal anual anticipada o tasa facialn = 4

P = $100

′ = =r

n

0 36

40 09

,, Esta es una tasa efectiva periódica

anticipada.

Esto quiere decir que al momento de hacer entrega del crédito, éste se hace por

Valor crédito entregado = P − IValor crédito entregado = 100 − 9 = 91

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM50


51

Así, (1)

Esto quiere decir que se paga a la corporación una tasa del 9,89010% trimestral vencido.

De (1) puede concluirse que

ipi

i= ′

− ′1

Esta es la expresión para hallar una tasa periódica vencida, a partir de una tasa periódi-ca anticipada.

donde i′ es la tasa efectiva trimestral anticipada.

Como ia = (1 + ip)n − 1

y sabiendo que:

ipi

i=

−= ′

− ′0 09

1 0 09 1

,

,

luego, ii

ia

n

= + ′−

−11

1

ii i

ia

n

= − ′ + ′− ′

−1

11

iia

n

=− ′

−1

11

ir

n

ia n n=

− ′

− =− ′( )

−1

1

11

11

Esta fórmula también puede expresarse así:

ir

na

n

= −

−−

1 1

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM51


52

Esta es la expresión para calcular una tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal

anual con capitalización anticipada, donde r

ni

′ = ′ = tasa periódica anticipada.

Ejemplo 3.7

Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal anual del 24% con capitaliza-ción mensual anticipada.

r = 0,24n = 12ia = ?

Fórmula para calcular la tasa nominal anual con capitalización anticipada cuando seconoce la tasa efectiva anual. Basta con despejar r de la expresión anterior:

ir

n

a n+ =− ′

11

1

11

1− ′

=+

r

n i

n

a

11

1− ′ =

+r

n ian

Al multiplicar por −1 y despejar r se obtiene:

r nia

n′ = −+

11

1

Nota: r´: es la tasa nominal anual anticipada o tasa facial.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM52


53

Ejemplo 3.8

Hallar la tasa nominal anual equivalente a una tasa efectiva anual del 33,680% cuando lacapitalización es trimestral anticipada.

ia = 0,3368n = 4r´ = ?

r′ = −+

=4 11

1 0 3368284

,% anual nominal trimestre anticipado

De este mismo ejemplo se puede decir lo siguiente:

i′ = =0 28

40 07

,, Tasa trimestral anticipada

ip =−

=0 07

1 0 070 07526

,

,, Tasa trimestral vencida equivalente al 7 % trimestral

anticipada

r = ( ) ( ) =0 07526 4 0 301075, , Tasa nominal anual vencida equivalente al 28 % nomi-nal anual T.A

A continuación se verá la conversión de tasas efectivas periódicas a otras tasas efectivas.

Cálculo de una tasa efectiva anual cuando se conoce la tasa efectiva periódica

Ejemplo 3.9

Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa del 6% bimestral vencida.

r

n = 0,06 bimestral

Luego,

Cálculo de una tasa efectiva periódica cuando se conoce otra tasa efectiva periódica.Este caso puede resolverse de dos maneras.A partir de la tasa efectiva periódica conocida se halla la tasa efectiva anual, y a partir deésta se halla la tasa efectiva periódica que se busca.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM53


54

Ejemplo 3.10

¿Cuál es la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa efectiva del 4% bimestral.

Aplicando la siguiente expresión:

Esta expresión se deduce en la misma forma que las anteriores. El problema consiste encalcular m y n. Para ello se establecen los siguientes interrogantes:

• En cuanto a la tasa efectiva periódica que se busca, ¿qué son un mes, un bimestre, untrimestre, etc., con respecto al año? Ese valor se identificará como m.

• En cuanto a la tasa efectiva periódica que se conoce, ¿cuántos meses, bimestres, trimes-tres, etc., tiene el año? Ese valor se conocerá como n.

Al resolver con estas condiciones el ejemplo anterior se tiene:

it = (1 + ib )mn

− 1

it = (1 + 0,04)mn

− 1

m = ¿Qué es un trimestre con respecto al año?

m =

n = ¿Cuántos bimestres tiene el año?

n =

Luego, mn =

it = (1,04)3/2

− 1 = 0,060596059 ó 6.0596%

Ejemplo 3.11

¿ Cuál es la tasa efectiva semestral equivalente a una tasa del 3% mensual?

is = (1 + im) mn

− 1

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM54


55

is = (1 + 0,03)mn

− 1

m = ¿Qué es un semestre con respecto al año? m

is = (1,03)6 − 1= 0,194052297

Ejemplo 3.12

Hallar la tasa efectiva para 7 meses equivalente a una tasa del 4% bimestral.

Tasa efectiva para 7 meses = (1+ 0,04)mn

− 1

m = ¿Qué son 7 meses respecto del año? m =

n = ¿Cuántos bimestres tiene el año? n = = 6

mn = (6) = 3,5

Tasa cada 7 meses = (1,04)3,5

− 1 = 0,147140697

Ejemplo 3.13

Hallar la tasa efectiva bimestral equivalente a una tasa del 5% trimestral.

ib = (1 + it)mn

− 1

ib = (1,05)mn − 1

ib = (1,05) 2/3

− 1 = 0,033061554

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM55


56

Cálculo de una tasa efectiva anual cuando interviene el IPC. Véase el siguiente casoparticular.

Ejemplo 3.14

El señor Pérez abrió una cuenta de ahorros en UVR en un banco. El depósito inicial fue deuna UVR. En ese momento el banco reconoció una tasa de interés equivalente al IPC más5 puntos porcentuales de interés adicional anual. Si el valor de la UVR era de $146,5684 yel IPC era de 7,2% anual, ¿cuánto tendrá ahorrado al final del año?

Al final del año la UVR valdrá:

146,5684(1,072) = $ 157,1213

Sobre este valor se reconocen los intereses:

157,1213(1,05) = $164,9773

Éste será el valor acumulado al final del primer año. Como

I = F − P

entonces, I = 164,9773 − 146,5684 = $18,4089

La tasa de interés efectiva anual es

efectivo anualiaI

P= = = =18 4089

146 56840 1256 12 56

,

,, , %

ia = −164 9773

146 56841

,

, (1)

Se tiene que164,9773 = 157,1213 (1+ 0,005) (2)

157,1213 = 146,5684 (1+ 0,072) (3)


164,9773 = 146,5684 (1 + 0,072) (1 + 0,05) (4)


ia = 146 5684 1 0 072 1 0 05

146 56841

, , ,

,

( ) +( ) +( )( )− (5)

ia = (1 + 0,072)(1 + 0,05) − 1

7,2% Tasa efectiva anual del IPC

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM56


57

Nota. Sólo para efecto de algunos cálculos financieros, el IPC es igual a la tasa de infla-ción. En el sentido estrictamente económico son dos conceptos distintos.

Luego, llamemos ii = tasa de inflaciónie = Tasa del margen o spread (puntos porcentuales de interés

adicional)Entonces

ia = (1+ii) (1+ ie) − 1

Al resolver el ejemplo anterior se tiene:

ia = (1,072)(1,05) − 1 = 0,1256 = 12,56% efectivo anual

Nota. Téngase muy en claro que la tasa efectiva anual es diferente del interés realmentecobrado.

Interés realmente cobrado en el año. Es igual a la tasa de interés adicional más los intere-ses sobre el IPC. El IPC genera intereses.

Interés realmente cobrado en el año = ie + (ie × ii)

En el ejemplo anterior se tiene: ia = (1,072)(1,05) − 1 = 0,1256

Interés realmente cobrado en el año = 0,05 + (0,05)(0,072) = 0,0536

Nota. ie = 0,05 ó 5%

Cálculo de la tasa de interés cuando intervienen otros elementos como comisiones,estudio del crédito, papelería, timbres, dividendos, etc.Con los siguientes ejemplos, el lector tendrá suficiente ilustración para calcular la rentabi-lidad de una acción (activo financiero de rentabilidad variable).

Nota. Algunos autores se refieren a tasas de interés con arandelas.

Ejemplo 3.15

El señor Pérez hizo un préstamo de $100 en una corporación que cobra el 36% anual conliquidación de intereses trimestral y debe pagar el 4% por concepto de timbres; este im-puesto se lo cobran en el segundo mes. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva cobrada en estecrédito?

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM57


58

Se sabe que la tasa efectiva trimestral debe estar por encima del 9%; entonces, supóngaseuna tasa del 10% trimestral y trasládense estos valores al punto cero.

100 = 3,753745 + 8,181818 + 7,438016 + 6,761833 + 6,147121 + 68,301345 = 100,583878

100 ≠ 100,583878

Esto indica que debe aumentarse la tasa para bajar el valor presente. Si se supone unanueva tasa del 11%, se obtiene:

100 = 3,7311668 + 8,108108 + 7,304601 + 6,580722 + 5,928578 + 65,873097 = 97,526273

100 ≠ 97,526273

Esto indica que la tasa buscada está entre el 10% y el 11%. Por tanto, debe interpolarse. Esdecir, hallar un valor que esté entre el 10% y el 11 % que satisfaga la igualdad. Para ello serelacionan los valores de los factores conocidos y luego se aplica una regla de tres simple.Cuando se trabaja con una tasa del 10% la diferencia es

100,583878 − 100 = 0,583878

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM58


59

Cuando se trabaja con una tasa del 11 % la diferencia es

97,526273 − 100 = −2,473727

El razonamiento es

� Para una tasa del 10% existe una diferencia positiva de 0,583878.

� Para una tasa del 11% hay una diferencia negativa de − 2,473727.

Luego, existirá una tasa que esté entre el 10% y el 11%, la cual hará que la diferencia seacero; es decir, la igualdad se cumple:

100 = 100 en este caso

Después se establecen las diferencias entre los factores ya conocidos.

d = 11% − 10% = 1%

b = 0,583878 − (−2,473727) = 3,057605

a = 0,583878 − 0 = 0,583878

Luego, la tasa que se busca es

it = 0,10 + 0,0019095 = 0, 1019095 =10,19095 %

Nota. Si el problema considera amortización del capital, la solución sería ésta:

Supóngase un abono de $30,00 en el sexto mes.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM59


60

Nota. Si el pago de los intereses fuera por anticipado, la solución sería esta:

� Aplicaciones de las tasas de interésBásicamente son dos. A toda persona le interesa saber cuánto le produce una inversión(rentabilidad) o cuanto paga por un préstamo (costo del crédito).

Como puede apreciarse, hay dos operaciones de tipo financiero: de capitalización opasivas y de crédito o activas, y pueden efectuarse en moneda corriente o en monedaextranjera.

En moneda corriente. Como se indicó antes, la tasa efectiva puede resultar afectada porfactores como el estudio del crédito, comisiones, etc. Además de estos factores existen otroselementos que afectan notoriamente la rentabilidad; ellos son los impuestos y la inflación.

Como estos factores disminuyen la rentabilidad, es necesario hablar de una rentabilidadneta y una rentabilidad real.

Rentabilidad neta (RN). Se define como aquella que queda después de descontar losimpuestos de la rentabilidad efectiva.

RN = ia − (ia)(it)RN = ia (1 − it)

donde it = tasa de tributación o tasa de retención en la fuente.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM60


61

Rentabilidad real (RR). Es aquella que queda después de descontar la tasa de inflación(ii) de la rentabilidad neta.

RR � RN − ii

Sin embargo, es necesario tener en cuenta que la anterior expresión es sólo una aproxima-ción, ya que la inflación no solamente afecta a los intereses sino también al capital inverti-do. Para comprender mejor este concepto y llegar a una fórmula precisa para el cálculo dela tasa de Rentabilidad Real, se presenta el ejemplo siguiente:

Ejemplo 3.16

El señor Pérez invirtió $100 y al final de un periodo determinado recibió $130. Es decir,F= $130P = $100I = $30

ia =

Si en ese mismo periodo se presentó una inflación del 20%, al principio del periodo podrácomprar x artículos por $y pero al final del periodo necesitará $y más el 20% para comprarlos mismos x artículos. Esto no indica que la rentabilidad real sea del 10%

RR � 30% − 20% = 10%

La rentabilidad real será menor porque:

� Si en principio un artículo valía $1,00, el señor Pérez podrá comprar 100 artículos conlos $100.

� Si en ese periodo hubo una inflación del 20%, el señor Pérez sólo podrá comprar conlos $130 ($100 de capital más $30 de interés) los siguientes artículos:

No. de artículos =

Esto demuestra que la rentabilidad real del señor Pérez fue del 8,33% y no del 10% comose había supuesto.

Conclusiones� Si se invierten $100 a una tasa de interés efectiva, al final de un año se tendrá:

F = 100 (1 + ia)1

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM61


62

� Si estas inversiones se dan después de descontar los impuestos entonces se hablará deRN

F = 100 (1 + RN)1

� Si en ese año se presentó inflación, el peso perderá poder de compra a la tasa de infla-ción (ii). Luego, a1 final del año los $100 invertidos inicialmente son equivalentes a

F = 100 (1 + ii)1

Además,

donde 1,30 = (1+ RN) y 1,20 = (1 + ii)

luego,

Ejemplo 3.17

Una corporación ofrece una tasa de IPC y una tasa de interés adicional del 4% para susdepósitos en cuentas de ahorro. Si la tasa de inflación está estimada en el 6.8% anual y laretención en la fuente es del 7%, ¿cuál será la rentabilidad real para esos depósitos?

ia = (1 + ic)(1 + ie) − 1

ia = (1,068)(1,04) − 1 = 11,072%

RN = ia (1 − it)

RN = 0,11072 (1 − 0,07) = 0,10296

RRRN ii

ii= −

+1

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM62


63

RR = − = =0 10296 0 068

1 0680 04022 4 022

, ,

,, , %

Este resultado es muy diferente de

RR = ia − i.i

RR = 0,11072 − 0,068 = 0,0427 = 4,27%

En moneda extranjera. Para hablar de la rentabilidad en moneda extranjera es necesariodefinir primero dos conceptos fundamentales: inflación y devaluación.

� Inflación"Es el incremento general de los precios de los bienes y servicios en un determinado país".En Colombia, el índice de inflación lo calcula mensualmente el Departamento Adminis-trativo Nacional de Estadística (DANE) con base en la canasta familiar de un consumidorrepresentativo (obreros y empleados).

Otros autores dicen que la inflación es "un exceso de la demanda solvente sobre la ofertaevaluada en términos de costos, diferencia que se refleja en el alza general de precios".

El Diccionario de economía política, de Wolfang Heller, define la inflación así: "Es elaumento general de precios imputable no a fenómenos parciales o aislados del sistemaeconómico, sino a una causa única, común a todas las variaciones de precios".

Un aumento aislado en el precio de un bien o un servicio no es condición suficientepara asegurar que hay un aumento de la inflación.

El concepto bienes se refiere a alimentos, calzado, muebles y enseres, menaje y vajillade hogar, electrodomésticos, textos escolares, periódicos, revistas, etc.

El concepto servicios se refiere a arrendamientos, servicios de acueducto, luz, alcanta-rillado, teléfono, servicio doméstico, transporte, comunicaciones, matrículas, pensiones,servicio odontológico, etc.

El concepto canasta familiar se conoce también con el nombre de agregado de bienesy servicios.

En la actualidad el DANE clasifica los bienes y servicios en siete grupos, a saber:

1. Alimentos

2. Vivienda

3. Vestuario y calzado

4. Productos farmacéuticos y asistencia médica

5. Educación, cultura y esparcimiento

6. Transporte y comunicaciones

7. Otros gastos

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM63


64

El índice de precios al consumidor (IPC), calculado por el DANE con base en la canas-ta familiar de obreros y empleados, no incluye los gastos correspondientes a las operacio-nes financieras, pagos de deudas o intereses causados por tarjetas de crédito, pago deimpuestos, multas, etc. Esto se debe a que el IPC sólo se refiere al consumo final.

Los siete grupos enumerados antes están constituidos por unos 700 artículos obtenidos me-diante una encuesta de ingresos y gastos. De estos 700 artículos sólo se seleccionaron 195 parahacerles un seguimiento de precios y luego conformar con ellos la llamada canasta familiar.

Una vez conformada la canasta familiar, se comparan los precios de ésta a una fechabase con los precios de la misma a otra fecha indicada. De esta manera se conoce cuál es elaumento o la disminución del precio de la canasta familiar, lo cual se conoce como índicede precios al consumidor.

Causas de la inflación

Entre otras, existen las siguientes:

1. El exceso de emisión de dinero por parte del Banco Central y, en general, los excesos deliquidez que generen crecimientos fuertes de la demanda agregada. En ocasiones estaemisión de dinero se hace para atender un incremento en el gasto público, lo cual daorigen a un incremento en el déficit final.

2. El aumento de la relación

Dinero en circulación

Oferta de bienes y servicios

incrementará, en consecuencia, el precio de los artículos por parte de los productores yvendedores.

3. El aumento de los salarios, en tanto que, la productividad se mantiene estable.

4. La inflación importada, es decir, el aumento del costo de los bienes importados bien seapor aumento de los precios en el país de orígen o por devaluación de la moneda local.

5. El establecimiento de créditos caros para el sector productivo real, cuyos costos losasumirá luego el consumidor.

Puede anotarse como otra causa de inflación el hecho de planear escenarios futurospara el desarrollo financiero considerando de antemano la inflación; en otras palabras, seplanea la continuidad de la inflación.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM64


65

Efectos de la inflación

La inflación afecta a todos los agentes de la economía de un país, ya que disminuye lacapacidad de compra del dinero; en particular, la inflación deteriora el buen comporta-miento financiero de las empresas porque:

1. Las cuentas por cobrar se recaudarán muy desvalorizadas.

2. No es conveniente mantener dinero en efectivo porque está perdiendo poder ad-quisitivo.

3. Las deudas y los presupuestos deben estimarse en otro sistema monetario (dólar, UVR,etc.) que no afecte la inflación.

4. Los precios de los artículos se fijan según los efectos de la inflación.

Devaluación. Etimológicamente, es reducir el valor de la moneda. Sin embargo, crea cier-ta confusión con el concepto de “depreciación monetaria”. También puede definirse comoIa pérdida de poder adquisitivo de una moneda con respecto a otra".

Todo rendimiento producto de una inversión en moneda extranjera está compuesto por:

a. lntereses en moneda extranjera.b. Variación de la tasa de cambio de la moneda local frente a la moneda extranjera.

Aunque el rendimiento está conformado por a y b, no puede decirse que el rendimientoefectivo es la suma de a + b.

Ejemplo 3.18

El señor Pérez hizo una inversión de un dólar; al momento de la inversión, el dólar tenía unvalor de $650. Sobre esta inversión se reconoce una tasa de interés del 9,5% anual (por logeneral, es prime rate para operaciones en dólares de EE.UU. o libor para operaciones en librasesterlinas o euros). La tasa anual de devaluación del peso frente al dólar se estima en el 25%.

En apariencia, el rendimiento efectivo de esta inversión es igual a

ia = 9,5% + 25% = 34,5%

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM65


66

Véase el análisis de la situación:

En dólares,

En pesos colombianos,

De esto puede concluirse que

I

iI

P

= − =

= = =

889 68 650 239 68

239 68

65036 87

, ,

,, %

Nótese que la tasa efectiva en pesos colombianos, de la inversión que el señor Pérez hizoen dólares, fue del 36,87% y no del 34,5% como aparentemente se mostró al principio.

Conclusión. Cualquier rendimiento en moneda extranjera debe calcularse así:

ia = (1 + id)(1 + ie) − 1

donde id es la tasa de devaluación. Cuando se presenta revaluación (reducción del preciode una divisa) de la moneda local, el signo de id es negativo.

Resolviendo el ejemplo anterior, se tiene:

ia = (1,25)(1,095) − 1 = 36,87%

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM66


67

Si se desea calcular RR en pesos, se iguala la rentabilidad efectiva en moneda extranje-ra con la rentabilidad neta:

ia = RN

Luego, RRRN ii

ii= −

+1

Calcúlese RR con la siguiente información:

ia = 0,3687

ii = 0,28

id = 0,25

Es decir, ii > id

RR = − =0 3687 0 28

1 286 9296

, ,

,, %

Supóngase ahora que id = 29%. Es decir, ii < id

RR = ia = (1,29)(1,095) − 1 = 41,25%

RR = − =0 4125 0 28

1 2810 35

, ,

,, %

A partir de estos resultados es fácil concluir que:

1. Si la tasa de inflación es menor que la tasa de devaluación, la rentabilidad real es mayorque la tasa de interés en moneda extranjera.

2. Si la tasa de inflación es mayor que la tasa de devaluación, la rentabilidad real es menorque la tasa de interés en moneda extranjera.

3. Si la tasa de inflación es igual a la tasa de devaluación, la rentabilidad real es igual a latasa de interés en moneda extranjera.

En consecuencia, debe invertirse en aquellas monedas para las cuales la inflación esmenor que la devaluación.

� Otras tasas de interésPrime rate: Tasa preferencial de colocación del mercado estadounidense; es decir, la tasa deinterés que cobran los bancos a sus mejores clientes. Su origen data de la recesión norteame-

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM67


68

ricana en 1930; de allí en adelante se toma como base para casi toda operación económica enlos EE. UU., dando como resultado un amplio respaldo en los principales bancos locales y las500 primeras compañías, según la revista Fortune; de allí su inclinación elitista. Esta tasa rigeprincipalmente en el CityBank, el Chase Manhattan Bank y el Bank of America. Cabe desta-car que esta tasa casi siempre trabaja con plazos inferiores a un año.

Libor: tasa de interés base promedio para la Unión Europea y Japón. Su origen se debe aldesequilibrio permanente de la balanza de pagos de los EE. UU. durante las décadas de1950 y 1960. Es la sigla de London Interbank Offered Rate; es decir, la tasa de interésinterbancaria de colocación del mercado de Londres.

Relaciones entre estas tasas de interés

Prime rate1. Tasa de interés alto: aumenta capitales hacia los Estados Unidos. Incrementa la deman-

da en dólares, lo cual conlleva al reavalúo en incremento de importaciones. Al originarun incremento en el mercado europeo, aumenta de manera significativa la oferta demoneda de la UE.

2. Tasa de interés bajo: aumenta de manera considerable el libor y los capitales fluyenhacia la UE y Japón aumentando en forma positiva la demanda de monedas europeasfuertes. Esto conlleva el incremento de importaciones desde los Estados Unidos deAmérica en general, aumentando en dólares, es decir, que hay devaluación frente a lasotras monedas para promover o incentivar las exportaciones.

Nótese que las dos tasas, tanto prime rate como libor, trabajan como los DTF del siste-ma financiero colombiano.

� Cálculo de la devaluaciónAntes de entrar en el tema, es necesario definir unas variables:

Tasa de Cambio (TC)

Es la relación existente entre dos monedas. Algunos autores la definen como el número deunidades de una moneda que se entregan por una unidad de otra moneda.

Si hoy el dólar se cotiza a $2.343, quiere decir que la tasa de cambio del peso frente aldólar es de $2.343 y se denota así:

TC $/D = $2.343

Si hoy se necesita comprar 1.000 dólares, se tendrá que pagar por ellos.

1.000 × $2.343 = $2.343.000

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM68


69

El problema puede ser planteado en otra forma:Hoy se dispone de 500 dólares y se requiere convertirlos a pesos:

500 × $2.343 = $1.175.500

Si el problema fuera a la inversa:¿A cuántos dólares equivale hoy un peso?Se resuelve con una regla de tres simple:

$2.343 1 dólar$1 X

Luego: un peso es igual a 1

2 343. = 0,000426803 dólares

Esto quiere decir que:

TCTCS/D

D/$

= 1

2 34311

2 343

.

.

=

( )2.343 = 2.343

Ejemplo 3.19

El señor Pérez tiene las siguientes inversiones:En Paraguay 100.000 guaraníesEn Venezuela 200.000 bolívaresEn Brasil 300.000 reales

Cuál será el valor en dólares de la inversión del señor Pérez, si a esa fecha el dolar secotizaba así:

1 dólar = 4.440 guaraníes743,750 bolívares2,7070 reales

Inversión en dólares =( )

+( )

+( )100 000

4 440

200 000

743 75

300 000

2 7070

.

.

.

,

.

,Inversión en dólares = 111.115,2202 dólares.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM69


70

Devaluación (DEV)

Se define como la pérdida de poder adquisítivo de una moneda respecto a otra.La devaluación de una moneda A respecto a otra moneda B, está dada por:

DEVTC TC

TCA /B1A /B 0A /B

0A /B

=−( )

donde: TC1 =Tasa de cambio al final del periodo

TC0 =Tasa de cambio inicial

Ejemplo 3.20

Si hoy la tasa de cambio del peso frente al dólar es de $2.343 y hace un año era de $1.850,entonces:

TC0 $/D = $1.850

TC1 $/D = $2.343

Luego,

DEVS/D =−( )$ . $ .

$ .

2 343 1 850

1 850

DEV $/D = 0,266486 = 26,6486%

La devaluación está dada en términos efectivos y, generalmente, por períodos anuales.

Cuando el resultado del cálculo de la devaluación sea negativo, entonces se dirá que endicho periodo no hubo devaluación sino revaluación. Los términos devaluación y revaluaciónson empleados en economías con tasas de cambio controladas (fijas o fijas−flexibles); si eltipo de cambio es flexible o libre, se habla de depreciación y apreciación, respectivamente.

Ejemplo 3.21

Si hoy la devaluación del peso frente al dólar es del 26,6486% y la tasa de cambio es de$2.343 por dólar, ¿cuál fue la tasa de cambio inicial?

DEV$/D = 0,266486

TC1 $/D = 2.343

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM70


71

TC0 $/D = ?

DEVTC TC

TC$/D1$/D 0$/D

0$/D

=−( )

02 TC

TC

0$/D

0$/D

,.

266486343

=−( )

TC0 $/D × 0,266486 = 2.343 − TC0 $/D

TC0 $/D (1 + 0,266486) = $2.343

TC1,2664860$/D = =$ .

$ .2 343

1 850

En conclusión:

TCTC

1+ DEV0$/D1$/D

$/D

= ( )Generalizando: sean A y B dos monedas

TCTC

1+ DEV0 A/B1A/B

A/B

= ( )

Si se desea proyectar la tasa de cambio inicial, bastará con despejar la tasa de cambiofinal:

TC1 A/B = TC0 A/B × (1 + DEV A/B)

Ejemplo 3.22

Se espera que para los tres próximos meses, el peso se devalúe frente al dólar así: 0,015,0,019 y 0,020. ¿Cuál será el valor de la tasa de cambio al final de tres meses?

TC0 $/D = $2.343

TC1 $/D = $2.343 (1,015) (1,019) (1,020)

TC1 $/D = $2.471,7963

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM71


72

� Tasas de cambio y devaluaciones cruzadasGeneralmente, en el mercado mundial existe una moneda patrón, alrededor de la cualgiran las demás monedas.

Hoy, esa moneda es el dólar. Sin embargo, al momento de escribir estas notas ya haydoce países que adoptaron como moneda patrón al euro: Bélgica, Alemania, Grecia, Espa-ña, Francia, Irlanda, Italia, Luxemburgo, Países Bajos, Austria, Portugal y Finlandia entreotros. Se espera que en un futuro, la moneda patrón a nivel mundial será el euro.

Si hoy un comprador colombiano desea adquirir una maquinaria en el Japón, deberáhacer la negociación cruzando las monedas: pesos colombianos con dólares y con yenes.El dólar actúa como moneda patrón en esa negociación.

Esto nos hace pensar que es necesario recurrir a una metodología para manejar talessituaciones.

Supóngase que se tienen las monedas A, B y C, y que la moneda patrón es A.Se trata entonces de hacer inversiones de moneda B en moneda C.

TC0 B/C = TC0 B/A × TC0 A/C

Asimismo:TC1 B/C = TC1 B/A × TC1 A/C

Luego, la devaluación de B respecto a C estará dada por:

DEVTC TC

TCB/CB/C B/C

B/C

=−( )1 0

0

Conocida la tasa de devaluación, se podrá calcular la tasa de rentabilidad efectiva enmoneda extranjera.

ia id ie= +( ) +( )[ ] −1 1 1

Ejemplo 3.23

Hace un año la tasa de cambio del peso frente al dólar era $1.850 por dólar y de 1,47marcos por dólar. Hoy es de $2.343 por dólar y de 1,59 marcos por dólar. Calcular:

a. La devaluación del peso frente al marco.

b. Si se reconoce el 5% sobre la inversión en marcos, ¿cuál será la rentabilidad efectiva enesa inversión?

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM72


73

Para calcular la devaluación del peso frente al marco, es necesario calcular primero lastasas de cambio inicial y final del peso frente al marco.

TC1 $/M = TC1 $/D × TC1 D/M

No se conocen las tasas de cambio del dólar frente al marco, pero se pueden calcular así:

TCTC

D/MD/M

00

1= ( )TC0 M/D = 1,47

Luego, TC D/M01

1 470 680272= =

,,

TC 0 $/M = $1.850 × 0,680272 = 1.258,5032

Asimismo:

TC1 M/D = 1,59

Luego, TC D/M11

1 590 628930= =

,,

TC1 $/M = $2.343 × 0,628930 = 1.473,5829

DEVTC TC

TC$/M$/M $/M

$/M

=−( )1 0

0

DEV$/M =−( )1 473 5829 1 258 5032

1 258 5032

. , . ,

. ,

DEV $/M = 0,170901 = 17,0901%

ia = (1,170901) (1,05) −1 = 0,22944605

Este problema se puede resolver mediante un método más sencillo, basado en una ma-triz de relación de monedas. La matriz tiene la siguiente configuración :

Se utilizará la siguiente convención: casilla (2, 1) en donde el primer número correspondea la fila y el segundo a la columna.

1 2 3 4

Relación Monedas TC0 Devaluación TC1

1

2

3

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM73


74

En la casilla (3, 1) se anota la relación de moneda del país que va a invertir frente al paísdonde se va a invertir.

En la casilla (1, 1) se anota la relación de moneda del país que va a invertir frente a lamoneda patrón.

En la casilla (2, 1) se anota la relación de la moneda patrón frente a la moneda en la cual seva a invertir.

Las demás casillas se llenan con la información que se disponga.

La casilla (3, 2) es igual al producto de la casilla (1, 2) por la casilla (2, 2)

La casilla (3 ,4) es igual al producto de la casilla (1, 4) por la casilla (2, 4)Con esta información se pueden calcular las devaluaciones, aplicando la fórmula estudiada.

El problema anterior se representa así:

La TC0$/M corresponde a la casilla (3,2) que es igual a

TC0$/M = $ 1.850 × 0,680272 = $1.258,5032

La TC1$/M corresponde a la casilla (3,4) que es igual aTC1$/M = $2.343 × 0,628930 = $1.473,5829

DEV$/M =−( )$ . , $ . ,

$ . ,

1 473 5829 1 258 5032

1 258 5032

DEV$/M = 0,170901

Si se quisiera calcular la devaluación del dólar frente al marco, se tendría:

DEVD/M =−( )0 628930 0 680272

0 680272

, ,

,

DEVD/M = − 0,075472

Esta devaluación dio un resultado negativo, lo cual indica que en ese periodo el dólarexperimentó una revaluación frente al marco.

1 2 3 4

Relación monedas TC0 Devaluacón TC1

1 $/D $1.850 $2.343

2 D/M 0,680272 0,628930

3 $/M

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM74


75

Ejemplo 3.24

El señor Pérez dispone de $500.000.000 para invertir en el exterior. Se le presentan lassiguientes propuestas: si invierte en Italia, le reconocen el 8% efectivo anual, pero si in-vierte en Alemania le reconocen el 4% efectivo anual sobre dicha inversión.

Con el fin de analizar las dos propuestas, recogió la siguiente información:

La cotización del dólar es de $2.316 por dólar y un año antes era de $1.810 por dólar.

La cotización del dólar es de 2.152,85 liras por dólar y de 2,1746 marcos por dólar.

En esa misma fecha, la devaluación del dólar respecto a la lira es de −0,1081575 anual.

Un año antes, el dólar se cotizaba a 2,05 marcos por dólar.

¿Dónde debe invertir el señor Pérez?Para resolver el problema es necesario calcular primero las tasas de cambio inicial y

final de dólar por lira y de dólar por marco.

TC1L/D = 2.152,85 liras por dólar

Luego, TC1L/D = =1

2 152 850 00046451

. ,, dólares por lira

TCTC

DEV0 D/L1D/L

D/L

=+( )1

Luego, TC0,00046451

0 D/L =+ −( )( ) =

1 0 10815750 00052084

,,

TC1M/D = 2,1746 marcos por dólar

Luego, TC1

1D/M = =2 1746

0 45985468,

, dólares por marco

TC0M/D = 2,05 marcos por dólar

Luego, TC1

0 D/M = =2 05

0 487805,

, dólares por marco

Con esta información se pueden plantear las dos matrices:

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM75


76

La primera matriz tendrá que ver con pesos, dólares y liras

La segunda matriz corresponderá con pesos, dólar y marcos.

Cálculo de la rentabilidad:En Italia: (1,141162631) (1,08) −1 = 0,232455En Alemania: (1,206241) (1,04 ) −1 = 0,25449064Al invertir en Alemania se obtiene una rentabilidad mayor que en Italia. Se recomienda

invertir en Alemania.


1 2 3 4


1 $/D $1.810 $2.316

2 D/L 0,00052084 − 0,1081575 0,00046451

3 $/L 0,942702 0,141162631 1,075782

1 2 3 4


1 $/D $1.810 $2.316

2 D/M 0,487805 0,45985468

3 $/M 882,927 0,206241 1.065,0234

1. Hallar las tasas efectivas anuales equi-valentes a una tasa del 25% anual concapitalización: a. mensual, b. bimestral,c. trimestral, d. semestral, e. anual.Respuesta: a. 28,07%; b. 27,75%;c. 27,44%; d. 26,56%; e. 25%

2. Resolver el ejemplo anterior conside-rando que las capitalizaciones sonanticipadas.Respuesta: a. 28,74%; b. 29,09%;c. 29,45%; d. 30,61%; e. 33,33%

3. Hallar la tasa de interés trimestralequivalente a una tasa de interés no-minal anual del 24% con capitaliza-ción trimestral.Respuesta: 6%

4. Hallar la tasa de interés efectiva anualequivalente a una tasa de interés no-minal anual del 24% con capitaliza-ción trimestral.Respuesta: 26,24%

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM76


77

5. Con la tasa de interés hallada en elejercicio anterior calcular la tasa deinterés trimestral.Respuesta: 6%

6. Comparar los resultados de los ejer-cicios 3 y 5. Analizarlos.

7. Hallar la tasa de interés trimestralequivalente a una tasa de interés del6,5% semestral.Respuesta: 3,198%

8. Hallar una tasa efectiva de interés para20 días equivalente a una tasa de in-terés nominal anual del 20%.Respuesta: 1,1%

9. Hallar una tasa de interés efectiva concapitalización para 20 días, equivalen-te a una tasa de interés efectiva anualdel 20%.Respuesta: 1,004%

10. Una persona invierte $10.000.000 enun CDT a tres meses; la tasa de inte-rés es del 5% anual, y la detributación es del 7%. La tasa de in-flación es del orden del 22% anual.¿Cuál es la rentabilidad real de esainversión?Respuesta: 0,033877049

11. Un Banco P presta $5.000.000 a unatasa de interés nominal anual del 31%con capitalización mensual vencida.El Banco C presta la misma cantidadal 32% nominal anual pero con capi-talización semestral vencida. ¿Quéopción aconsejaría usted? Explique ladecisión.

Respuesta: Tomar el préstamo en elBanco P ya que la tasa efectiva anuales mayor.

12. ¿Cuál es la tasa de interés realmente co-brada correspondiente al problema 10?Respuesta: 0,0610

13. Hallar la tasa de interés efectiva anualequivalente a una tasa de interés no-minal anual del 27% con capitaliza-ción mensual anticipada.Respuesta: 31,40%

14. Hallar la tasa bimestral equivalen-te a una tasa de interés del 6% se-mestral.Respuesta: 1,961%

15. Hallar la tasa de interés efectiva parados años equivalente a una tasa deinterés de a. 6,8% trimestral vencida;b. 6,8 trimestral anticipada.Respuesta: a. 69,26% b. 75,66%

16. Hallar la tasa efectiva bimestral equi-valente a una tasa nominal anual del24% con capitalización bimestral an-ticipada.Respuesta: 4,1667%

17. ¿Cuál es la tasa de interés efectivamensual equivalente para los créditosque se otorgan con una correcciónmonetaria del 26% anual y una tasaadicional del 3% anual?Respuesta: 2,196%

18. ¿Cuál es la tasa de interés realmentecobrada en los créditos. Asuma quela tasa de inflación es igual a la de

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM77


78

corrección monetaria del problemaanterior?Respuesta: 3,78%

19. El señor Pérez desea invertir cierto di-nero. Una corporación le ofrece el 36%

anual con capitalización semestral ven-cida; otra entidad le ofrece el 34% anualcon capitalización mensual vencida.¿Dónde debe hacer la inversión?Respuesta: En la que paga el 34%

Autoevaluación1. Hallar la tasa efectiva anual equiva-

lente a una tasa nominal anual del28%, en los siguientes casos:a. Con capitalización mensual vencidab. Con capitalización trimestral ven-

cidac. Con capitalización mensual anti-

cipadad. Con capitalización trimestral an-

ticipada

2. Hallar la tasa efectiva anual equivalentea una tasa nominal anual del 25% concapitalización anual vencida.

3. Resolver el problema anterior perocon capitalización anticipada.

4. Hallar la tasa efectiva trimestral equiva-lente a una tasa nominal anual del 36%.

5. Hallar la tasa efectiva trimestral equiva-lente a una tasa efectiva anual del 36%.

6. Hallar la tasa efectiva anual equiva-lente a una tasa nominal anual del36% con capitalización trimestral.

7. Hallar la tasa efectiva trimestral equi-valente a una tasa efectiva anual del41,1581609%.

8. Hallar la tasa nominal anual equivalen-te a una tasa efectiva anual del 35% concapitalización bimestral anticipada.

9. Hallar la tasa efectiva trimestral equi-valente a una tasa del 6% semestralcon capitalización vencida.

10. Una corporación ofrece una tasa deinterés del 5% más la corrección mo-netaria para aquellas inversiones enCDT que sean mayores que$100.000.000. Si la corrección mone-taria es del orden del 18,96%, la tasade inflación está estimada en un 19%y la retención en la fuente es del 7%,¿cuál será la rentabilidad real para esainversión?

11. La empresa X le adeuda al Banco Ylos siguientes pagarés:

Uno por $90.000.000 expedido hace5 meses y con vencimiento a 13 me-ses. Reconoce el 12% anual nominalcon capitalización mensual vencida.

Otro por $120.000.000 expedidohace 3 meses y con vencimiento aaño y medio. Reconoce el 13% anualefectivo con capítalización bimestralvencida.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM78


79

Otro por $140.000.000 expedido haceun mes y con vencimiento a 15 me-ses. Reconoce el 2% mensual venci-do con capitalización trimestralvencida.

Hoy se acordó con el Banco reestruc-turar dichas obligaciones en la si-guiente forma:

La empresa X le entregará al BancoY la suma de $80.000.000 en efectivodentro de 2 meses y el resto se lo entre-gará dentro de 11 meses. Se acordó ade-más que la fecha focal será dentro de11 meses y la tasa de reestructuraciónserá del 5% trimestral vencida con ca-pitalización bimestral vencida.a. ¿Cuál será el valor a entregar en la

fecha focal?b. ¿Acuánto equivale hoy dicho

valor?

12. Un inversionista deposita hoy en elBanco la suma de $100.000.000. ElBanco le reconoce el 24% anual no-minal con capitalización mensual ven-cida durante los primeros seis meses.De ahí en adelante y durante los sietemeses siguientes, le reconoce el 22%anual efectivo con capitalización bi-mestral vencida. Durante los ochomeses siguientes le reconoce el 3%bimestral vencido con capitálizacióntrimestral vencida y durante los cin-co meses siguientes le reconoce el 4%trimestral vencido con capitalizaciónmensual vencida. ¿ Cuánto tendráahorrado al final de todo el tiempo?

13. El señor Pérez tiene las siguientesobligaciones con el Banco: una por

$150.000.000 suscrita hace 4 meses.Reconoce el 21% anual efectivo concapitalización bimestral vencida y tie-ne un período de vencimiento de 21meses; otra por $120.000.000 suscri-ta hace 2 meses. Reconoce el 22%anual efectivo con capitalización tri-mestral vencida y tiene un período devencimiento de 13 meses.

Hoy acordó con el Banco cancelardichas obligaciones en dos pagosiguales así: el primero se hará dentrode 5 meses y el segundo se hará 8meses después del antenor.

Se estableció la fecha focal al finaldel mes 13 y la tasa de reestructura-ción se acordó en el 20% anual efec-tiva con capitalización semestralvencida.

¿Cuáles serán los valores de dichospagos?

14. El señor Pérez tuvo la oportunidad dehacer una inversión en Brasil, Perú oVenezuela.

En Brasil le reconocían el 3% efec-tivo anual; en Perú, el 8,1% efectivoanual y en Venezuela, el 10% efecti-vo anual.

La tasa de cambio final del pesofrente al dólar fue de $2.820,20 y ladevaluación del mismo fue del0,0431161 anual.

La tasa de cambio final del realfrente al dólar fue de 2,8950 y la ini-cial fue de 3,1470

La tasa de cambio inicial del solfrente al dólar fue de 3,6050 y la de-valuación del mismo fue del− 0,0355062 anual.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM79


80

La tasa de cambio final del bolí-var frente al dólar fue de 1.596 y lainicial, de 1.496,50

¿Dónde debió haber invertido el se-ñor Pérez? Explique analíticamentela respuesta.

15. EI señor Pérez desea obtener unarentabilídad real del 8% efectiva anualen sus inversiones.

Si la tasa de inflación es del 6,5%efectiva anual, ¿a qué tasa de interésefectiva anual debe invertir el señorPérez para alcanzar su objetivo?

1. a.

b.

c.

d.

2. Son iguales por tener la capitalizaciónanual y vencida.


3.

ia = (1 − 0,25)−1

− 1 = 0,333333

4.

5.

6.

7.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM80


81

8.

r = 0,292722

9. it = (1 + is)mn

− 1

it = (1 + 0,06)mn

− 1

it = (1,06)0,5

− 1 = 0,29563014

10. ia = (1 + ic)(1 + ie) − 1

ia = (1,1896)(1,05) − 1 = 0,24908

RN = ia(1 − it)

RN = 0,24908(1 − 0,07) = 0,2316444

11. a.

F1 = 90.000.000 (1,01)13

= $102.428.395

iapb = (1,05)2/3

−1 = 0,0330615

F1’ = $102.428.395 (1,0330615)3/2

= $107.549.815

iapb = (1,13)1/6

− 1 = 0,020578

F2 = 120000000 (1,020578)18/2

= $144.144.165

iapt = (1,02)3 − 1 = 0,0612

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM81


82

F3 = 140.000.000 (1,0612)15/3 = $188.414.465

F4 = 80.000.000 (1,0330615)9/2

= $92.609.978

$107.549.815 + $135.065.588 + $179.442.362 = $92.609.978 + X

X = $329.447.787

b. P =( )

=$ . .

,$ . ./

329 447 787

1 0330615275 481 61711 2

12. P = $100.000.000

n = 6 meses

r = 0,24

iapn = =0 24

12002

,

F1 = 100.000.000 (1,02)6 = $112.616.242

n = 7 meses

ia = 0,22 iapb = (1,22)1/6

− 1 = 0,0336971

F2 = 112.616.242 (1,0336971)7/2

= $126.467.111

n = 8 meses

iapb = 0,03 iapt = (1,03)3/2

− 1 = 0,0453358

F3 = 126.467.111 (1,0453358)8/3

= $142.339.847

n = 5 meses

iapt = 0,04 iapn = (1,04)1/3 − 1 = 0,0131594

F4 = 142.339.847 (1,0131594)5

= $151.955.140

13.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM82


83

iapb = (1,21)1/6

− = 0,03228012

F1 = 150.000.000 (1,03228012)21/2

= $209.394.686

iaps = (1,20)1/2

− 1 = 0,09544512

P1 4 6209 394 686

1 09544512197 047 944= =. .

( , ). ./

iapt = (1,22)1/4

−1 = 0,05096913

F2 = 120.000.000 (1,05096913)13/3

=$148.846.195

F2′ = 148.846.195(1,09544512)2/6

= $153.438.595

F3 = X(1,09544512)8/6

= 1,12924324X

$197.047.944 + $153.438.595 = 1,12924324X + X

X = $164.606.153

14.

Brasil:ia = (1,133915)(1,03) − 1 = 0,167932

Perú:ia = (1,081516)(1,081) − 1= 0,169118

Venezuela:ia = (1− 0,021919)(1,10) −1 = 0,075889

La mayor rentabilidad se obtiene en Perú.

Venezuela

Monedas TC0 DEV TC1

$/D 2.703,63 0,0431161 $2.820,20

D/B 1/1.496,50 1/1,596

$/B 1,8066 −0,021919 1,7670

Brasil

Monedas TC0 DEV TC1

$/D 2.703,63 0,0431161 $2.820,20

D/R 1/3,1470 1/2,8950

$/R 859,1134 0,133915 974,1623

Perú

Monedas TC0 DEV TC1

$/D 2.703,63 0,0431161 $2.820,20

D/Sol 1/3,6050 0,0368133 1/3,4770

$/Sol 749,9667 0,081516 811,1015

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM83


84

15. RRRN ii

ii= −

+1

0 080 065

1 065,

,

,= −RN

RN = 0,1502Si la it = 0,07

RN = ia(1 − it)

0,1502 = ia (1 − 0,07)

ia = 0,161505

ia = (1 + ii)(1+ie) − 1

0,161505= (1,065)(1 + ie)−1

ie = 0,090615

ie = 9,0615% anual


1. ¿Qué es una tasa de interés nominal?Dé un ejemplo.

2. ¿Qué es una tasa de interés efectiva?Dé un ejemplo.

3. ¿Qué diferencia existe entre tasa deinterés nominal y tasa de interés efec-tiva? Explique esta respuesta consi-derando una tasa del 28%.

4. ¿Qué se entiende por capitalización?

5. ¿Qué se entiende por periodo de ca-pitalización?

6. ¿Qué sucede con las tasas de interésnominal y efectiva cuando el periodode capitalización es un año?

7. ¿Qué sucede cuando los periodos decapitalización se hacen cada vez máscortos?

8. ¿Cuál es la diferencia entre una ca-pitalización vencida y una capitaliza-ción anticipada?

9. ¿Cúal es la diferencia entre tasa efec-tiva anual e interés real en un año?

10. ¿Qué es rentabilidad?

11. Defina rentabilidad real.

12. Defina rentabilidad neta.

13. ¿Qué es inflación?

14. ¿Cómo influye la inflación en la ren-tabilidad?

15. ¿Qué es devaluación?

16. Cite algunas causas de la inflación.

Capitulo 3 1/20/06, 10:29 AM84

85

Anualidades ycapitalización continua

� JustificaciónUna de las modalidades más utilizadas en el mercado financieropara pagar o ahorrar está determinada por el sistema de cuotasconstantes y periódicas, o sea, por el sistema de anualidad.

Como este tema está estrechamente ligado con el de las tasasde interés, es necesario tratarlos en conjunto para que el lectorobtenga una mejor capacitación en el cálculo de sumas futuras opresentes equivalentes a una serie de cuotas iguales.

Debido a que el sistema de capitalización no sólo es mensual,bimestral, trimestral, etc., sino que también puede expresarse comocontinuo, es necesario tratar las anualidades bajo el concepto decapitalización continua.

En este capítulo el lector se capacitará, además, para la liqui-dación de intereses sobre saldos mínimos en cuentas de ahorro ypara resolver algunos de sus problemas de la vida real, como sa-ber cuánto puede ofrecer por un activo que está en venta en unmomento dado, cómo calcular el precio de compra de un biendeterminado, etc.

� Objetivo generalEncontrar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie depagos o ahorros constantes y periódicos, y establecer los parámetrosque permitan la liquidación de intereses sobre saldos mínimos encuentas de ahorro.

� Objetivos específicos� Calcular el valor presente de una serie de pagos uniformes en

formas vencida y anticipada.

� Calcular el valor futuro de una serie de pagos uniformes enformas vencida y anticipada.

� Calcular el valor de una anualidad cuando la vida útil del acti-vo es indefinida.

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM85


86

� Calcular el valor futuro de una serie de cuotas uniformes cuan-do la capitalización es continua.

� Calcular el valor presente de una serie de cuotas uniformescuando la capitalización es continua.

� Liquidar intereses sobre saldos mínimos cuando las cuotasson anticipadas y el periodo de pago es mayor que el decapitalización.

� Liquidar intereses sobre saldos mínimos cuando las cuotasson vencidas.

� Calcular el saldo de una deuda.

� Calcular el valor a ofrecer por un activo cuando se presentauna subrogación del crédito.

� Calcular el precio de compra de un activo.

� Calcular la valorización de un activo.

� Cómo negociar activos cuando intervienen dinero en efecti-vo, CDT, bonos u otros documentos.

� Calcular el valor de una cuota cuando se otorga un periodo degracia para el crédito (anualidad diferida).

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM86

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

87

Conducta de entradaA continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cua-les una sola es verdadera.Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

1 La tasa de interés efectiva anual equi-valente a la tasa nominal anual del28% capitalizable trimestralmente es:a. 31,08% b. 28%

c. 30,08% d. 29,08%

e. 32%

2 La tasa nominal anual capitalizablemensualmente equivalente a la tasaefectiva anual del 37,1377% es:a. 30% b. 24%

c. 32% d. 34%

e. 31%

3 Si la tasa de corrección monetaria esdel 22,5% y el interés adicional es del8%, la tasa efectiva anual es:a. 30,2% b. 30,9%

c. 32% d. 32,30%

e. 31%


1. a 2. c 3. d 4. b 5. e

4 La suma de la progresión geométrica

2, 2

3,

2

9, ... hasta siete términos es:

a. b.

c. d.

e.

5 El último término de la progresióngeométrica 48, 24, 12, ... hasta seistérminos es:

a.2

3b.

5

4

c.4

5d.

1

6

e.3

2

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM87


88

Anualidades

Son cuotas de dinero periódicas e iguales que se entregan o se reciben al comienzo o al final decada periodo.

� Anualidades vencidas

Ejemplo 4.1

El señor Pedro Pérez espera recibir $5.000 mensuales durante tres meses. ¿Cuál será lasuma presente equivalente a esa serie de pagos, si se considera una tasa de interés de 3%mensual?

Se halla el valor presente de cada cuota y luego se suman esas cantidades.

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM88


89

Luego,

Como todas las cuotas son iguales, entonces:

F1 = F2 = F3 = A

donde A es el valor de una cuota uniforme.Si el número de periodos es n, entonces:

Lo que está dentro del corchete es la suma de los términos de una progresión geométricadecreciente de n términos cuya razón es

Esta suma tiene como expresión

Suma

Ahora se factoriza por

Entonces,

Ahora se calcula la suma:

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM89


90

Al reemplazar este valor en P se obtiene:

Con esta expresión se calcula el valor presente de una serie de cuotas iguales. Ahora seresuelve el ejemplo anterior:

De esta expresión puede despejarse el valor de A en función de P:

Al aplicarla al ejemplo anterior se tiene:

Con esta expresión se calcula el valor uniforme de una cuota en función del valor presentede la serie.

Como F = P(1 + i)n

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM90


91

si

entonces,

Luego,

Con esta expresión se calcula el valor futuro de una serie de cuotas uniformes. Al despe-jar A de la expresión anterior se tiene:

Con esta expresión se calcula el valor de una cuota uniforme en función del valor futuro de la serie.

Ejemplo 4.2

Compré un carro con una cuota inicial de $1.000.000 y 36 cuotas iguales de $200.000. Laagencia me cobra el 2,5% mensual sobre saldos. a. ¿Cuánto debo? b. Si pago toda la deudaen el último mes, ¿cuánto tengo que pagar? c. Si pago toda la deuda al final del décimomes, ¿cuánto debo pagar?

a.

b.

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM91


92

c. Al final del décimo mes se halla el valor futuro de las primeras 10 cuotas, luego secalcula el valor presente de las 26 restantes y se suman estos dos valores.

El valor a pagar es $6.030.798,57.

Ejemplo 4.3

El señor Pérez hizo un préstamo de $2.000.000 para cancelarlo mediante cuotas iguales de$134.431,41. La tasa de interés pactada fue del 3% mensual. ¿Cuál fue el plazo?

P = $2.000.000A = 134.431,41i = 0,03n = ?

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM92


93

Al multiplicar por −1 y aplicar logaritmos se tiene:

log 0,553675737 = log l − n log 1,03− 0,256744507 = 0 − n(0,012837224)

n = 20 meses

Ejemplo 4.4

Un estudiante necesita disponer de $150.000 dentro de 6 meses para pagar su matrícula.Una corporación le ofrece el 2% mensual para sus ahorros. ¿Cuánto deberá ahorrar men-sualmente?

� Anualidades indefinidasSon aquellas en los cuales el número de pagos (n) tiende a infinito. También se denominananualidades perpetuas.Como

si n tiende al infinito se tiene:

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM93


94

Para eliminar una indeterminación matemática (límite especial) existen tres formas:

1. Factorizando de manera apropiada.

2. Si persiste la indeterminación se divide cada variable por la variable de mayor exponente.

3. Si aún se mantiene la indeterminación se aplica el teorema de L'Hôpital, el cual consis-te en derivar hasta eliminar la indeterminación.

Al hallar el límite se obtiene:

Luego, A = Pi.Nótese que el valor de la cuota es igual a los intereses periódicos.

Ejemplo 4.5

Una persona quiere constituir un fondo para otorgar un premio anual de $2.000.000 enforma indefinida. Para ello deposita hoy la suma de $5.000.000 en una corporación quereconoce el 28% anual. ¿Cuánto tiempo debe dejar en depósito el dinero antes de empezara retirar la suma de $2.000.000 indefinidamente?

Ésta es la suma de dinero necesaria para poder retirar indefinidamente $2.000.000 anuales.

F = P(1 + i)n

7.142.857,14 = 5.000.000(1,28)n

1,428571428 = (1,28)n

log 1,428571428 = n log 1,28n = 1,444846597 años

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM94


95

Capitalización continua

Sistema en el cual el periodo de capitalización es lo más pequeño posible (diaria, porhoras, por minutos). Este sistema se emplea principalmente en economías con problemasde alta inflación o de hiperinflación, en donde el aumento continuo que sufren los precioshace necesario que las tasas de interés reflejen simultáneamente tal variación.

Como

si la capitalización es continua n tiende al infinito. Ahora,

Luego, n = rk. Entonces,

Por definición, el logaritmo natural en base e es igual a:

Luego,

Esto quiere decir que si se tiene una tasa anual del 30%, su equivalente cuando la capitali-zación es continua es

ia = e0,30

−1 = 0,349858808

donde e = 2,718281828

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM95


96

Si se desea calcular el valor futuro de una suma dada, con capitalización continua, entonces,

F = P(1 + i)n

Se reemplaza i por la tasa efectiva con capitalización continua, así:

ia = er − 1

Luego, F = P(1 + er − 1)

n

F = pern

Ejemplo 4.6

Si hoy se depositan $50.000 en una corporación que reconoce el 30% anual con capitaliza-ción continua, ¿cuánto se tendrá acumulado al final del quinto año?

F = Pern

P = $50.000

r = 0,30

n = 5

F = 50.000(e)0,30 × 5

F = (50.000)(2,718281828)0,30 × 5

F = 224.084,45

Su recíproco es

Luego,

Ejemplo 4.7

¿A cuánto equivale hoy la suma de $224.084,55 calculada dentro de 5 años, si la tasa deinterés es del 30% anual y la capitalización es continua?

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM96


97

P = 50.000

Si se desea calcular el valor futuro, conocida la cuota, esto es

Ejemplo 4.8

Se depositan $50.000 anuales durante 5 años en una corporación que reconoce el 30%anual con capitalización continua. ¿Cuánto se tendrá al final del quinto año?

F = 497.584,88

El recíproco del caso anterior es

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM97


98

Ejemplo 4.9

Si una corporación reconoce el 30% anual con capitalización continua y al final de 5 añoslos ahorros ascienden a $497.584,88, ¿cuál fue el depósito anual?

A = 50.000

Si se necesita calcular el valor de la cuota uniforme o anualidad, en función del valorpresente, entonces

Al factorizar se obtiene:

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM98


99

En otras palabras:

Ejemplo 4.10

¿Cuánto debe depositarse anualmente y durante 5 años, en vez de depositar hoy la suma de$111.026,19 en una corporación que reconoce el 30% anual con capitalización continua?

A = 50.000

El recíproco del caso anterior es:

Luego,

Es decir,

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM99


100

Ejemplo 4.11

¿Cuánto debe depositarse hoy, en vez de depositar anualmente y durante 5 años la suma de$50.000, en una corporación que reconoce el 30% anual con capitalización continua?

� Anualidades anticipadasEn algunas ocasiones se cancelan obligaciones con cuotas iguales y anticipadas; esto tam-bién ocurre cuando se ahorran sumas periódicas e iguales. Estos ahorros no se hacen enforma vencida sino anticipada.

Algunos autores no hablan de ahorros anticipados sino de imposiciones. Aquí sólo semanejara un concepto: "cuota igual anticipada", independientemente de que sea para aho-rrar o pagar, para recibir o para entregar.

Algunos flujos de caja, por naturaleza, se comportan como anualidades anticipadas; tales el caso de los arrendamientos, el pago de matrículas, las suscripciones y los seguros,entre otros.

Ejemplo 4.12

Una corporación le presta al señor Pérez la suma de $1.000.000 a 5 años y a una tasa del36% anual con capitalización mensual: ¿Cuál será el valor de la cuota mensual si ésta debeentregarse en forma anticipada?

P = $1.000.000n = 60 meses

A = ?

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM100


101

Antes de resolver el problema debe considerarse lo siguiente:

a. Del valor del crédito, la corporación deduce la primera cuota. En esta forma el valorque recibe el señor Pérez será:

P− A

b. Al deducirle una cuota al señor Pérez, sólo le restan por cancelar

n − 1 cuotas

Para una mejor comprensión, véase el diagrama de flujo:

El número de cuotas en una anualidad anticipada es igual al número de cuotas en unaanualidad vencida. El problema radica en que en la anualidad anticipada las cuotas sedesplazan un periodo hacia la izquierda, esto es, la primera cuota está en el punto ceroy por tanto el nuevo valor presente es igual a P − A, y el número de periodos que restanes n − 1.

c. Se tiene la siguiente expresión:

d. Como el nuevo valor presente es P − A y el número de periodos que resta es n − 1, sereemplaza en la expresión anterior y se despeja el valor de A:

Capitulo 4 1/23/06, 4:18 PM101


102

Al resolver el problema se tiene:

A = ( )( )

=1 000 000

1 03 1

0 03 1 03

35 080 5459

59

. .

,

, ,

. ,−−

De la expresión anterior se despeja el valor presente:

Al aplicar la expresión con los datos del problema anterior se obtiene:

P

P

=( )

( )

=

35 080 54 11 03 1

0 03 1 03

1 000 000

59

59. ,

,

, ,

. .

++ −−

Cuando se analiza el procedimiento para calcular el valor de la cuota uniforme en funcióndel valor presente, se observa que:

a. El nuevo valor presente está dado por P − A.

b. El número de periodos que faltan está dado por n − 1.

Ahora se calcula el valor de la cuota uniforme en función del valor futuro. Por estarel valor futuro en el extremo opuesto del valor presente, entonces ocurre lo contrariocon el valor futuro y con el número de periodos. Es decir, cada cuota se desplaza haciala izquierda en un periodo con respecto a las cuotas vencidas y, por tanto, hay quedesplazarlas a la derecha un periodo.

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM102


103

Luego, el valor futuro es

Ejemplo 4.13

Con los datos del problema anterior, calcular F.

F = 5.891.602,69

De la expresión anterior puede despejarse el valor de A, así:

Ejemplo 4.14

Con los datos del problema anterior, calcular A:

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM103


104

Anualidad anticipada con cuota al final

En algunas ocasiones no se está en condiciones de pagar la surna de dinero en formaperiódica en cantidades iguales, resultado de la financiación corriente de un préstamo.Ante esta situación se presenta la alternativa de fijar un menor valor de la cuota periódica(anualidad) y ofrecer el pago del resto del dinero al finalizar el plazo acordado, tiempodurante el cual se tendrá la oportunidad de percibir otros ingresos,como primas, ganan-cias de algun negocio, vacaciones, etc., con los cuales se cubriría la cuota final.

Ejemplo 4.15

El señor Pérez compró un vehículo por $5.000.000 para cancelar en dos años a una tasa del2% mensual. La cuota fijada para ese negocio fue de $259.172,04 en forma anticipada. Elseñor Pérez no puede atender el pago de dichas cuotas porque están por encima de susingresos mensuales y propone pagar la suma de $150.000 cada mes, en forma anticipada,y al final de la obligación cancelar el resto de la deuda. ¿Cuál será el valor de la cuotafinal?

Lo primero que debe hacerse es calcular el valor presente de las cuotas anticipadas queel señor Pérez puede cancelar, así:

P = 2.893.830,61

El valor actual de la obligación es de $5.000.000 y el valor actual de la cantidad que puedepagar el señor Pérez es $2.893.830,61. En consecuencia, la diferencia entre estos dos valo-res es el valor actual de lo que el señor Pérez debe pagar al finalizar la obligación; ahora secalcula el valor futuro de dicho saldo.

F = P(1 + i)n

Saldo: 5.000.000 − 2.893.830,61 = 2.106.169,39

F = 2.106.169,39(1,02)24

= 3.387.641,30

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM104


105

Liquidación de intereses sobre saldos mínimos

Cuotas anticipadas y periodo de pago menor que el periodo de capitalización

Rentas asincrónicas. Cuando el periodo de pago es diferente del periodo de capitalización.

Ejemplo 4.16

El señor Pérez ahorra $ 10.000 trimestrales al principio de cada periodo durante 2 años. Lacorporación le reconoce el 12% capitalizable semestralmente. ¿Cuánto tendrá ahorrado alfinal de los 2 años?

El movimiento contable sería el siguiente:

Al observar el diagrama económico del problema puede apreciarse que los primeros$10.000 ganan intereses durante 4 periodos; los segundos $10.000 ganan intereses du-rante 3 periodos; los terceros $10.000 ganan intereses durante 3 periodos; los cuartos$10.000 ganan intereses durante 2 periodos, y así sucesivamente.

n A Interés (I) Acumulado al final del periodo

0 10.000 10.000 = 10.000

1 10.000 10.000 + 10.000 = 20.000

2 10.000 (10.000)(0,06) = 600 20.000 + 10.000 + 600 = 30.600

3 10.000 30.600 + 10.000 = 40.600

4 10.000 (30.600)(0,06) = 1.836 40.600 + 10.000 + 1.836 = 52.436

5 10.000 52.436 + 10.000 = 62.436

6 10.000 (52.436)(0,06) = 3.146,16 62.436 + 10.000 + 3.146,16 = 75.582,16

7 10.000 75.582,16 + 10.000 = 85.582,16

8 - (75.582,16)(0,06) = 4.534,92 85.582,16 + 4.534,92 = 90.117,00

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM105


106

Luego,

F = 10.000(1,06)4 + 10.000(1,06)

3 + 10.000(1,06)

3 + 10.000(1,06)

2 + 10.000(1,06)

2+

10.000(1,06)1 + 10.000(1,06)

1 + 10.000 = 90.117,08

Al interpretar este problema puede concluirse la expresión general.

n = número de periodos de capitalización

k = número de depósitos o pagos en el periodo de capitalización

Luego, para este caso particular,

n = 4 (2 años = 4 semestres)

k = 2 (en cada semestre se hacen 2 pagos)

En el problema anterior se tenía que

F = A(1 + i)4 + 2A(1 + i)

3 + 2A(1 + i)

2 + 2A(1 + i) + A

El coeficiente de la última A es: (k - 1). Si los periodos fueran n se tendría:

F = A(1 + i)n + kA(1 + i)

n−1 + kA(1 + i)

n−2 + ... + kA(1 + i) + (k − 1) A

F = A[ (1 + i)n + (k − 1) ] + kA[ (1 + i) + (1 + i)

2 + (1 + i)

3 + ... + (1 + i)

n−1 ]

Lo que está dentro del segundo corchete es la suma de los términos de una progresióngeométrica creciente de (n − 1) términos con razón (1 + i). La expresión para calculardicha suma es

donde S equivale al número de términos

S = (n − l)

a = (l + i) r = (1 + i)

Suma

Suma

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM106


107

Luego,

Al resolver el problema anterior se obtiene:

F = 90.117,08

Cuotas anticipadas y periodo de pago mayor que el periodo de capitalización

Cuando esto ocurre, el problema sólo se limita a la tasa de interés y, en consecuencia, éstadebe expresarse en función del periodo de pago y aplicarse las expresiones conocidas paralas anualidades anticipadas.

Ejemplo 4.17

¿Qué capital se constituye en tres años si se invierten anticipadamente $10.000 anuales enun fondo de capitalización que paga el 10% semestral de interés compuesto?

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM107


108

Nota. Algunos autores manejan estos problemas en una forma a veces complicada. Prime-ro que todo, identifican el problema como "imposiciones anticipadas". Definen:

q = número de periodos de interés que contiene un periodo de pagon = plazo total = m/qm = total capitalización en todo el plazom = nq

Entre cuota y cuota hay q periodos de capitalización.

Al resolver en estas condiciones el problema anterior se tiene:

n = 3 añosq = 2 semestresm = nq = (3)(2) = 6A = $10.000

F1 = 10.000(1, 10)6

= 17.715,61F2 = 10.000(1, 10)

4= 14.641

F3 = 10.000(1, 10)2

= 12.100F = 44.456,61

Semestres A Acumulado en I Saldo finalel periodo (F)

1 10.000 10.000 1.000 11.000

2 11.000 1.100 12.100

3 10.000 22.100 2.210 24.310

4 24.310 2.431 26.741

5 10.000 36.741 3.674,10 40.415,10

6 40.415,10 4.041,51 44.456,61

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM108


109

Al interpretar estos resultados se tiene que

F = F1 + F2 + F3 + ... + Fn

F1= A(1 + i)m

F2= A(1 + i)m − m/n

= A(1 + i)m[(n − 1)/n]

F3= A(1 + i)m − 2m/n

= A(1 + i)m[(n − 2)/n]

Fn= A(1 + i)m

− [(n − 1)m/n]

= A(1 + i)m/n

Luego, F A i i im n m n m= +( ) + ⋅⋅⋅ + +( ) + +( )[ ]−1 1 11/ ( )

Como q = m/n,

F A i i i iq q n q m q m= +( ) + +( ) + ⋅ ⋅ ⋅ + +( ) + +( )[ ]− −1 1 1 12 1 1( ) / ( ) /

se tiene una progresión geométrica creciente. La suma de sus términos está dada por

de donde a = (1 + i)q

luego,

Al resolver el problema anterior se tiene:

Nota. Queda a criterio del lector escoger su forma de trabajo.

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM109


110

Cuotas vencidas

En este caso se considera que las cuotas se dan en forma vencida. Aunque no tiene sentidodecir que una persona se propone ahorrar cuotas vencidas, puede dársele otra presentaciónal problema diciendo que esa persona se propone ahorrar durante un tiempo determinado,pero empezando dentro de x tiempo.

Ejemplo 4.18

El señor Pérez ahorrará $10.000 trimestrales durante 2 años, empezando dentro de tresmeses. La corporación le reconoce el 12% anual con capitalización semestral sobre saldosmínimos en el respectivo semestre, ¿cuánto tendrá ahorrado al final del segundo año?

El movimiento contable será el siguiente:

Al observar el diagrama económico,

F = 10.000(1,06)3 + 10.000(1,06)

3 + 10.000(1,06)

2 + 10.000(1,06)

2 + 10.000(1,06)

1+

10.000(1,06)1 + 10.000 + 10.000 = 87.492,32

F = 2A(1,06)n−1

+ 2A(1,06)n−2

+ ... + 2A(1,06) + 2A

F = kA[1 + (1 +i) + (1 + i)2 + ... + (1 + i)

n−1]

n A Intereses (I) Acumulado total al final del periodo

1 10.000 = 10.000

2 10.000 10.000 + 10.000 = 20.000

3 10.000 20.000 + 10.000 = 30.000

4 10.000 20.000(0,06) = 1.200 30.000 + 10.000 + 1.200 = 41.200

5 10.000 41.200 + 10.000 = 51.200

6 10.000 41.200(0,06) = 2.472 51.200 + 10.000 + 2.472 = 63.672

7 10.000 63.672 + 10.000 = 73.672

8 10.000 63.672(0,06) = 3.820,32 73.672 + 10.000 + 3.820,32 = 87.492,32

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM110


111

Suma de los términos de una progresión geométrica creciente de n términos con razón(1 + i) y el primer término igual a 1.

Al reemplazar:

Al resolver el problema anterior se obtiene:

En general, cuando el periodo de capitalización es mayor que el periodo de pago (ahorro),para la liquidación de intereses debe tenerse en cuenta lo siguiente:

1. Los intereses sólo se liquidan sobre saldos mínimos. En este caso no se reconocenintereses sobre el dinero ahorrado entre los periodos de capitalización.

2. Los intereses se reconocen proporcionalmente. En este caso el interés que se paga esproporcional al tiempo (interés simple).

3. El interés a pagar es un interés compuesto. En este caso la tasa de interés correspon-diente al periodo de capitalización se expresa en términos del periodo de pago.

Ejemplo 4.19

¿Cuánto se tendrá ahorrado al final de 3 años si se depositan mensualmente $5.000 a partirde hoy en una corporación que reconoce el 27% efectivo anual?

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM111


112

F = 265.803,43

Anualidades diferidas

Se entiende por anualidad diferida aquella que inicia su proceso de pago o recibo despuésde transcurrir uno o varios periodos de pago. Estos periodos iniciales se conocen con elnombre de periodo de gracia.

Ejemplo 4.20

Una entidad financiera le otorgó al señor Pérez un crédito en las siguientes condiciones:

Plazo = 2 añosi = 3% mensualPeriodo de gracia = 4 mesesA = $200.000 mensuales

¿Cuál es el valor del crédito?

En primer lugar, se elabora la gráfica del problema:

P Ai

i i

n

n= +( ) −+( )

1 1

1

P′ = ( ) −( )

=200 0001 03 1

0 03 1 033 387 108 42

24

24.,

, ,. . ,

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM112


113

Este valor se toma como un valor futuro en el mes cuatro y luego se calcula su valorpresente en el punto cero.

Este problema puede resolverse directamente de la siguiente manera:

donde n = plazo de la obligaciónn′ = periodo de gracia

Ejemplo 4.21

Una corporación ofrece un crédito para pagarlo en tres años con cuotas trimestrales de$300.000. Si cobra el 32% anual capitalizable trimestralmente y otorga un semestre deperiodo de gracia, ¿cuál será el valor del crédito?

i = =0 32

40 08

,,

n = 12n′ = 2A = $300.000

P = $1.938.291,67

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM113


114

Problemas propuestos1. ¿Cuánto debe depositarse anualmen-

te durante 10 años para poder retirar$1.500.000 al final de los años 11, 12,13 y 14? Considere una tasa de inte-rés del 26% anual.Respuesta: $99.593,33

2. ¿A cuánto equivalen hoy los siguien-tes depósitos: $50.000 al cabo de cua-tro meses, $80.000 un mes después,$120.000 tres meses después y$200.000 mensuales durante cincomeses a partir del décimo mes? Con-sidere una tasa del 3% mensual.Respuesta: $910.154,98

3. Una nevera vale hoy $1.323.974,79 decontado. Si se compra financiada a 24meses con cuotas vencidas de $70.000mensuales, ¿cuál será la tasa de inte-rés de ese crédito?Respuesta: 2% mensual

4. Con el fin de atender los costos deestudio de su hijo, que nació hoy, unpadre de familia quiere construir supropio fondo financiero educativo.Estima que al cumplir su hijo ochoaños de edad, debe disponer de$10.000.000; ¿cuánto debe depositarcada mes en una corporación que lereconoce el 2,8% mensual?Respuesta: $21.262

5. Resolver el problema anterior consi-derando que los ahorros se hacen alprincipio de cada mes.Respuesta: $20.682,94

6. ¿Cuánto se tendrá acumulado en unacorporación que reconoce el 6,4% tri-mestral vencido sobre saldos mínimossi los depósitos mensuales son delorden de $50.000 durante dos años?Respuesta: $1.506.104,43

7. Si hoy se depositan $2.000.000 en unacorporación que reconoce el 28%anual con capitalización mensual ven-cida, ¿cuánto podrá retirarse desde elmes 12 hasta el final del mes 20 paradejar el saldo en cero?Respuesta: $320.845,74

8. Resolver el problema 7 considerandoque los retiros son trimestrales duranteun año y a partir del final del mes.Respuesta: $729.379.80

9. Hace dos años se compró un aparta-mento. En la actualidad se pagan cuo-tas mensuales de $90.000 a unacorporación que financió el 70% a 15años de plazo con una tasa de interésdel 2,35% mensual. ¿Cuál fue el pre-cio de compra del apartamento?Respuesta: $5.387.513,48

10. Con los datos del problema anterior,calcular la tasa de valorización anualsi se tiene en cuenta que hoy ofrecen$8.000.000 por el apartamento.Respuesta: 21,8571% anual

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM114


115

Autoevaluación1. ¿Cuánto se tendrá acumulado al final

del cuarto año en una corporación quereconoce el 13% semestral de interéscompuesto si los ahorros son de$20.000 anuales y se inician ya?

2. El señor Pérez ahorra $300.000 cada2 años en una corporación que le re-conoce el 25% anual. ¿Cuánto tendráahorrado dentro de 6 años si hace suprimer depósito hoy?

3. El señor Pérez ahorra $ 10.000 semes-trales en una corporación que le reco-noce el 36% anual con capitalizacióntrimestral. ¿Cuánto tendrá acumuladoal final del quinto año?

4. El señor Pérez ahorra $20.000 semes-trales en una corporación que le reco-noce el 28% anual con capitalizacióntrimestral en los 2 primeros años y ca-pitalización mensual los 2 años si-guientes. ¿Cuánto tendrá acumulado alfinal del cuarto año si sus depósitos seinician inmediatamente?

5. Una entidad prestó $10.000.000 alseñor Pérez para comprar su casa. Sehan pagado 50 cuotas. Si el préstamoestimaba una tasa efectiva del26,8241% y el pago de cuotas men-suales de $210.811, ¿cuánto adeudael señor Pérez? Calcular primero elplazo total y luego el saldo.

6. Una corporación le prestó $6.000.000al señor Pérez al 36% anual capitalizablemensualmente y con un plazo de 10años para que comprara su casa. La cuo-ta mensual fijada fue de $185.339,50.A los tres años el señor Pérez fue tras-ladado en su trabajo para otra ciudad y

se vio en la obligación de vender. Unamigo le propuso entregarle $2.500.000de contado y hacerse cargo de la deuda.¿Cuánto le ofrece por su casa este ami-go al señor Pérez?

7. El señor Pérez compró su casa hace 4años. Hoy ha sido avaluada por laLonja en $15.000.000. La casa secompró a un plazo de 180 cuotas men-suales y una tasa de interés nominaldel 24% anual. Hoy tiene una deudade $11.000.000. Si la cuota inicialdada por el señor Pérez fue del 20%,a. ¿cuánto costó la casa?, b. ¿cuál esla tasa de valorización anual?

8. El señor Pérez tiene una casa para laventa y la ofrece en $5.000.000. Con-sidera que su capital puede trabajarloa una tasa mínima de interés del 3%mensual. Un comprador hizo la si-guiente propuesta: le entrega un CDTpor $3.000.000 con vencimiento den-tro de un año y que produce $225.000de interés trimestral, y el resto de laplata la paga de contado. ¿Cuánto ledará de contado?

9. Ahorraré al principio de cada mes lasuma de $20.000 en una entidad, lacual reconoce el 28% anualcapitalizable trimestralmente sobresaldos mínimos. ¿Cuánto tendré aho-rrado al final de un año? a. Elaborarel diagrama y resolver el problemaconfigurando la tabla con todo elmovimiento contable. b. Resolver elproblema mediante la fórmula.

10. Resolver el problema anterior en for-ma vencida.

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM115


116


1.

2. i(cada dos años) = (1,25)2 − 1 = 0,5625

3.

4.

is = (1,07)2 − 1 = 14,49%

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM116


117

Este valor se considera como un valorpresente y se lleva al final de los dos añossiguientes con su respectiva tasa.

0 28

120 0233333

,.= mensual

is = (1,0233333)6 − 1 = 0,148425

F = P(1 + i)n

F = 113.492,25(1,0233333)24

= 197.413,45

Luego se calcula el valor futuro de las cuo-tas de $20.000 durante los dos años siguien-tes con la respectiva tasa semestral.

F = 114.427,68

Acumulado total = 311.841,13

5.

Al despejar n de esta expresión,

n = 150

Cómo sólo se han pagado 50 cuotas, se deben 100 cuotas. Luego,

P = 9.085.606,60

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM117


118

6. Como ha pagado 36 cuotas, aún debe84 cuotas. El valor presente de estascuotas más lo que le ofreció de con-tado es lo que está ofreciéndole porsu casa.

P = 5.662.137,58

Oferta = $5.662.137,58 + 2.500.000= 8.162.137,58

7. a. n = 180 − 48 = 132 cuotas

A = 237.387,41

Precio:

P = 11.533.326,02

Este valor sólo representa el 80%del precio real. Luego,

= 14.416.657,50

b. La valorización será:

n = 4 años

F = P(1 + i)n

i = 0,0099

8. Se calcula primero el valor presentede los intereses y luego el valor pre-sente del CDT.

it = (1 + 0,03)m

− 1

it = (1,03)3 − 1 = 9,272%

P = 724.606

P = 2.104.193,58

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM118


119

Valor presente total = 2.104.193,58 + 724.606 = $2.828.799,58Saldo a pagar = 5.000.000 − 2.828.799,58 = $2.171.200,42

9.

n = 4, k = 3

F = 272.612,50

n A Interés (I) Acumulado al final del periodo

0 20.000 20.000 = 20.000

1 20.000 20.000 + 20.000 = 40.000

2 20.000 40.000 + 20.000 = 60.000

3 20.000 20.000(0,07) = 1.400 60.000 + 21.400 = 81.400

4 20.000 81.400 + 20.000 = 101.400

5 20.000 101.400 + 20.000 = 121.400

6 20.000 81.400(0,07) = 5.698 121.400 + 25.698 = 147.098

7 20.000 147.098 + 20.000 = 167.098

8 20.000 167.098 + 20.000 = 187.098

9 20.000 147.098(0,07) = 10.296,86 187.098 + 30.296,86 = 217.394,86

10 20.000 217.394,86 + 20.000 = 237.394,86

11 20.000 237.394,86 + 20.000 = 257.394,86

12 - 217.394,86(0,07) = 15.217,64 257.394,86 + 15.217,64 = 272.612,50

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM119


120

10.

Actividades de repaso1. ¿Qué es una anualidad?

2. ¿Qué es una anualidad indefinida?

3. ¿Qué diferencia hay entre una tasa deinterés mensual con capitalización

diaria y una tasa de interés mensualcon capitalización continua?

4. ¿Qué son las rentas asincrónicas?

5. ¿Qué es una anualidad diferida?

Capitulo 4 1/23/06, 4:19 PM120

121

Capítulo 5 • Gradiente

Gradiente

� JustificaciónEn el capítulo 4 se indicó cómo manejar los cálculos con series depagos uniformes o anualidades; en este capítulo sólo se tratan se-ries de pagos que crecen o decrecen de manera uniforme y, enconsecuencia, se orienta al estudio del valor presente de una seriede gradientes y al cálculo de la serie uniforme equivalente delgradiente.

� Objetivo generalEncontrar los parámetros que permitan calcular las sumas presen-tes equivalentes a una serie de cuotas que crecen o decrecen linealy geometricamente.


� Calcular el valor presente que equivale a una serie que crece odecrece lineal o geometricamente.

� Calcular la cuota uniforme y periódica que equivale a una seriede gradiente que crece linealmente.

Capitulo 5 1/20/06, 10:33 AM121

122


Conducta de entradaA continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cualessolo una es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

1 Un terreno se vende por $500.000 decontado y $65.000 mensuales duran-te los próximos dos años. Si se supo-ne un rendimiento del 3% mensual,el precio de contado del terreno es

a. $1.900.810,74

b. $1.600.810,24

c. $1.700.810,24

d. $1.500.000

e. $1.650.000

2 Durante los últimos ocho años Marthaha depositado $100.000 al final decada año en una cuenta de ahorros quepaga el 23% anual; inmediatamentedespués de hacer el último depósitosu saldo es

a. $1.643.004,11

b. $1.743.004,11

c. $1.843.004,11

d. $1.543.004,11

e. $1.373.004,11

3 Si el señor Pérez necesita dentro dedos años la suma de $15.000.000 paraviajar a Europa, la suma que debe de-

positar cada mes a partir del próximomes en una cuenta de ahorros que re-conoce el 24% liquidable mensual-mente es

a. $493. 066,46

b. $593.006,46

c. $393.066,46

d. $793.066,46

e. $503.000,46

4 Si una corporación financiera reco-noce una tasa del 28% pagadera portrimestres anticipados, la tasa efecti-va anual equivalente es del

a. 31,08% b. 32,08%

c. 32,80% d. 33,68%

e. 40,0%

5 Si una corporación de ahorro y vivien-da cobra sobre sus préstamos una tasadel 21% de corrección monetaria más6% de interés adicional, la tasa efec-tiva anual equivalente es del

a. 27% b. 27,26%

c. 25,26% d. 26,26%

e. 28,26%


1. b 2. c 3. a 4. d 5. e

Capitulo 5 1/20/06, 10:33 AM122

123


Gradiente aritméticoUn gradiente aritmético o lineal es una sucesión de valores que aumenta o disminuye demanera uniforme. Estos valores (ingresos o egresos) constituyen el flujo de caja.

La cantidad en que aumenta o disminuye la serie se llama gradiente uniforme y sedenomina g. El primer valor aproximado de la serie se conoce como base de la serie y sedenota con la letra k.

Los gradientes son de mucha utilidad para:

a. Calcular cuotas que aumentan o disminuyen de manera uniforme.b. Elaborar presupuestos.c. Analizar costos para evaluar proyectos, etc.

Para comprender mejor estos aspectos, véase el problema siguiente.

Ejemplo 5.1

En el departamento de mantenimiento de una empresa se tiene el siguiente registro decostos mensuales de mantenimiento de la máquina XY.

Con los datos anteriores puede elaborarse una tabla ya que se conoce el valor de k y el valoraproximado del gradiente. Así, k = 130.000 y g = 10.000.

Mes Gasto real

1 $128.7502 $139.9003 $150.2004 $160.020...n

Mes Gasto real Gasto Gasto aproximadoaproximado en forma de gradiente

1 $128.750 $130.000 k + 02 $139.900 $140.000 k + g3 $150.200 $150.000 k + 2g4 $160.020 $160.000 k + 3g. . .. . .. . .n k + (n − l)g

Capitulo 5 1/20/06, 10:33 AM123

124


Al graficar la serie de gradientes se obtiene:

Es muy importante el hecho de que el primer gradiente siempre aparece al final del segun-do periodo, lo cual permite saber con precisión cuál es el punto cero en un momentodeterminado y establecer allí el valor presente de la serie.Supóngase como valores futuros cada uno de los valores de la serie del gradiente paraluego calcular su valor presente en el punto cero.Ya que

entonces,

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM124

125


La suma de estos valores presentes es el valor actual de toda la serie:

(1)

Al factorizar se tiene:

(2)

Al efectuar (2) − (1) se tiene:

(3)

Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométricadecreciente.

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM125

126


Suma =

Suma =

Al reemplazar en (3)

luego,

Si se desea actualizar toda la serie, incluida la base que está en todos los valores, setiene:

Nota. Si la serie es decreciente, basta cambiar el signo más (+) por el signo menos (−), a laserie del gradiente.

Para calcular la serie uniforme equivalente del gradiente se procede así:

(4)

Como

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM126

127


Al reemplazar P en (4) se tiene:

Luego

Ejemplo 5.2

El señor Pérez ahorrará una cantidad mensual durante 12 meses, en una corporación que lereconoce el 3% mensual. Su primer ahorro será de $10.000 y lo hará dentro de 3 meses.Cada ahorro que haga el señor Pérez lo incrementará en $2.000. ¿Cuál será el ahorrouniforme mensual equivalente?

El valor presente de la serie estará en el punto 2 ya que el primer gradiente apareció alfinal del cuarto periodo.

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM127

128


k = $10.000g = $2.000n = 12i = 0,03

P = 99.540 + 102.496,28 = 202.036,28

Este es el valor presente en el punto 2, luego en el punto cero es:

Si quiere hallarse una cuota uniforme, entonces:

1. Se anualiza el gradiente:

A = 66.666,66(0,154454974) = 10.297

2. Se suma la cantidad base más la anualidad del gradiente:

A = 10.000 + 10.297 = 20.297

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM128

129


Ejemplo 5.3

Una máquina presenta los siguientes costos de mantenimiento mensual:

Si se quiere presupuestar una cuota fija mensual para el próximo año, ¿cuánto se presu-puestaría? Suponga una tasa de interés del 2% mensual.

k = $100.000n = 12g = $10.000i = 2% mensual

A = 52.642,42A = 100.000 + 52.642,42 = 152.642,42

Nota. Otras aplicaciones importantes de los gradientes son la elaboración de planes deamortización, el cálculo de saldos para dichos planes (que se verán en el capítulo 6) y laevaluación de alternativas.

Ejemplo 5.4

En el cuadro siguiente aparecen los gastos netos de mantenimiento de una pequeña empresadurante el año inmediatamente anterior. Con base en esta información debe presupuestarse ungasto mensual uniforme para el año siguiente. Suponga una tasa de interés del 3% mensual.

Mes Cuota de mantenimiento

1 $97.870

2 109.900

3 120.300

4 131.050

5 139.870

•

•

•

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM129

130


Ahora se calcula el valor presente de las primeras cuatro cuotas iguales:

Mes Gasto real Gasto aproximado Gasto aproximadoen forma de gradiente

1 $125.000 $125.000

2 $125.000 $125.000

3 $125.000 $125.000

4 $125.000 $125.000

5 $140.000 $140.000 k + 0 = 140.000 + 10.000

6 $149.800 $150.000 140.000 + 10.000

7 $162.000 $160.000 140.000 + 20.000

8 $171.300 $170.000 140.000 + 30.000

9 $181.200 $180.000 140.000 + 40.000

10 $189.800 $190.000 140.000 + 50.000

11 $198.900 $200.000 140.000 + 60.000

12 $211.000 $210.000 140.000 + 70.000

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM130

131


Luego se calcula el valor presente de toda la serie en el punto 4 (mes cuarto):

P = 140.000(7,019692188) + 333.333,33(7,019692188 − 6,315273875)

P = 982.756,90 + 333.333,33(0,704418313)

P = 982.756,90 + 234.806,10 = 1.217.563

Este valor se considera futuro y su valor presente se calcula en el mes cero.

Este valor se suma al valor presente de las cuatro cuotas iguales, así:

P = 1.081.789 + 464.637,30 = 1.546.426,30

Se ha despejado P. Ahora se calcula el valor para cada una de las 12 cuotas iguales:

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM131

132


Gradientes

� Gradiente aritmético (lineal) diferidoEl concepto de diferido es el mismo que se aplicó a las anualidades diferidas. El problemaconsiste en calcular el valor presente de la serie de gradiente en su punto cero (dos perio-dos antes de aparecer el primer gradiente); posteriormente, este valor se asume como unvalor futuro al cual se le calcula el respectivo valor presente en el punto inicial.

Ejemplo 5.5

Una empresa compró un equipo en las siguientes condiciones: cuota inicial de $10.000.000; elresto se financió a dos años con pago de cuotas mensuales y vencidas. La primera cuota fue de$2.000.000 y se pagará al finalizar el quinto mes. Cada cuota se incrementará en $100.000. Latasa de interés será del 26,8241795% efectiva anual. ¿Cuál fue el precio de compra del equipo?

La gráfica es la siguiente:

De la gráfica se puede observar que la base del gradiente está en el mes quinto. Luego, elpunto de inicio de la serie del gradiente estará en el mes cuarto.

Primero: se calcula el valor presente de la serie total en el mes cuarto.

iap = − =1 268241795 1 0 0212 , ,

P = −

+ − −

2 000 000

1 02 1

1 02 0 02

100 000

0 02

1 02 1

1 02 0 02

24

1 02

24

24

24

24 24. .( , )

( , ) ,

.

,

( , )

( , ) , ( , )

P = 57.790.901

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM132

133


Segundo: este valor está calculado en el mes cuarto. Como el valor presente a calculardebe ser en el punto cero, es necesario trasladar este valor a dicho punto. Esto indica queentre el punto cero y el punto cuatro existe un periodo de gracia de cuatro meses.

P =( )

=57 790 901

1 02 4. .

,53.389.860

Si se tiene en cuenta que la cuota inicial fue de $10.000.000, entonces el costo delequipo estará dado por:

Costo del equipo = $53.389.860 + $10.000.000 = $63.389.860

Ejemplo 5.6

Una vivienda se compró en las siguientes condiciones:

Valor financiado: $100.000.000Plazo: diez años con pago de cuotas mensuales y vencidas.Periodo de gracia: seis meses adicionales al plazo inicial.Tasa de interés: 34,4888824% efectiva anual.

Cada cuota se incrementará en $1.000Calcular el valor de la primera cuota.La gráfica es la siguiente:

Primero: se calcula el valor futuro de $100.000.000 en el mes seis.

n = 120 meses iap = − =1 344888824 1 0 02512 , ,

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM133

134


F = 100.000.000 (1,025)6 = 115.969.342

Segundo: este valor será el valor a amortizar en 120 meses. El valor de la primera cuotaserá el valor de K.

115 969 3421 025 1

1 025 0 025

1 000

0 025

1 025 1

1 025 0 025

120

1 025

120

120

120

120 120. .,

, ,

.

,

,

, , ,= ( ) −

( )

+ ( ) −( )

−( )

=K

K= 3.023.696

Nota. Si se deseara calcular el valor de la cuota 80, se procederá en la siguiente forma:

A80 = K + (n - 1)gA80 = 3.023.696 + (80 - 1) 1.000A80 = 3.102.696

� Gradiente aritmético infinitoSu aplicación más importante está en el cálculo del costo del capital.El valor presente de la serie de gradiente aritmético definido está dado por

P Ki

i i

g

i

i

i i

n

i

n

n

n

n n= +( ) −+( )

+ +( ) −+( )

−+( )

1 1

1

1 1

1 1

Cuando n tiende a infinito:

P Ki

i i

g

i

i

i i i= +( ) −

+( )

+ +( ) −+( )

− ∞+( )

∞

∞

∞

∞ ∞1 1

1

1 1

1 1

P = ∞∞

Esto es una indeterminación matemática.

Para vencer la indeterminación matemática es necesario dividir cada una de las varia-bles por la variable de mayor exponente, luego:

P K

i

i i

i i

i

g

i

i

i i

i i

i

n

i

i

i

n

n n

n

n

n

n n

n

n

n

n

n

=

+( )+( )

−+( )

+( )+( )

+

+( )+( )

−+( )

+( )+( )

− +( )+( )+( )

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM134

135


P K i

i

g

ii

i

n

i

n n

n=

−+( )

+−

+( ) −+( )

11

11

1

1

1

Se calcula el límite cuando n tiende al infinito, para cada uno de los factores que aparecendentro de los corchetes.

Para el primero:

límn→∞

11

11

1

1 1 0 1−

+ =−

+ = − =∞( ) ( )i

ii

i i i

n

Luego,

P Ki

k

i=

=1

Para el segundo:

límn→∞

11

1

1

−+( ) −

+( )

=i

i

n

i

n

n

límn→∞

11

1

1

−+( ) −

+( )→∞

i

i

n

i

n

n nlím

Pero

límn→∞

11

1 1−

+( ) =i

i i

n

Nota. Ver demostración para el primer factor.

límn→∞

n

i n1+( )= ∞

∞ Indeterminación matemática

El paso siguiente para vencer esta nueva indeterminación matemática es aplicar el teore-ma de L’Hôpital, el cual consiste en derivar sucesivamente hasta superar la indeterminación.

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM135

136


lím límn n n n

n

i n i→∞ →∞ −+( )=

+( )=

∞=

1

1

1

101

El segundo factor quedará así:

g

i i

g

i i

g

i

10

12

− ( )

=

=

La expresión general se transformará en

Pk

i

g

i= + 2

Ejemplo 5.7

Una serie infinita de pagos mensuales está dada por: primer pago $500; segundo pago$550; tercer pago $600. Tasa de interés: 2% mensual. ¿Cuál será el valor presente de laserie?

g = 550 − 500 = 50

P = +( )

=500

0 02

50

0 02150 0002, ,

.

Ejemplo 5.8

Con el fin de asegurar el mantenimiento a perpetuidad de una vía, es necesario crear unfondo. El costo anual de las reparaciones se estima en $10.000.000 para el primer año, estese incrementará en $1.000.000 anual aproximadamente. Si la tasa de interés es del 24%anual, ¿cuál debe ser el valor del fondo?

Pk

i

g

i= + 2

P = +( )

=10 000 000

0 24

1 000 000

0 2459 027 7782

. .

,

. .

,. .

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM136

137


Ejemplo 5.9

Las acciones de la empresa XY tienen hoy un precio en el mercado de $2.500 c/u y recono-cen unos dividendos mensuales de $2,00 por acción. Al observar el valor mensual de losdividendos durante los últimos doce meses, se aprecia que vienen creciendo mes a mes en$0,05. ¿Cuál será el costo del capital si se espera que esta tendencia se mantenga?

Valor dividendo = $2,00 g = 0,05 K = 2+ 0,05 = 2,05P = 2.500 i = ?

Hoy el valor del dividendo es de $2,00. Dentro de un mes será de $2,05. Un mes des-pués valdrá $2,10 y así sucesivamente.

El costo del capital estará dado por la tasa de interés de la serie de gradiente aritméticae indefinida:

Pk

i

g

i= + 2

Pk i gi

i= +2

3

Pi3 = ki

2 + gi

Al simplificar se tiene que

Pi2 = ki + g

Pi2 − ki − g = 0

∞

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM137

138


Al aplicar la fórmula general para ecuaciones de segundo grado se obtiene:

ik k P g

P=

± + ( )( )( )( )( )

2 4

2

i =± ( ) + ( )( )

( )( )2 05 2 05 4 2 500 0 05

2 2 500

2, , . ,

.

i = ± =2 05 504 2025

5 0000 004900891

, ,

.,

i = 0,004900891 efectivo mensual

ia = (1,004900891)12

− 1 = 6,0422113% efectivo anual

Ejemplo 5.10

Las acciones de la empresa XY tienen actualmente un precio de $50,00 c/u. Con el fin deincentivar a los inversionistas para que adquieran estas acciones, se han elaborado lassiguientes propuestas:

a. Cada acción pagará un dividendo de $0,40 mensual.

b. Adicionalmente, cada acción pagará un dividendo de $0,15 el primer mes; el segundomes $0,17; el tercer mes, $0,19 y así sucesivamente.

¿Cuál será el costo del capital en cada propuesta?

a. El pago de $0,40 mensual y en forma indefinida, indica que se tiene una anualidadconstante e indefinida, donde:

P = $50,00A = 0,40

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM138

139


Luego, A = Pi

iA

P= = =0 40

500 008

,,

i = 0,008 efectiva mensual

ia = (1,008)12 − 1 = 10,0338694% efectiva anual

b. El gradiente serág = 0,19 − 0,17 = 0,02K = 0,15

i =± ( ) + ( )( )

( )0 15 0 15 4 50 0 02

2 50

2, , ,

i = 0,021556171 efectiva mensual.

ia = (1,021556171)12 − 1 = 29,1656457%

ia = 29,1656457% efectiva anual

� Gradiente aritmético (lineal) escalonadoSe conoce también con el nombre de anualidad creciente linealmente o aritméticamente.Las cuotas permanecen constantes durante todo un año y el incremento sólo se da de unaño a otro. El incremento está representado por un valor fijo. Ej: cada año las cuotas seincrementarán en $5.000.

Para deducir la expresión matemática que permita calcular el valor de las cuotas perió-dicas es necesario considerar primero lo siguiente:

Número de cuotas iguales durante un año : nTasa efectiva periódica : iap

Tasa efectiva anual : iaNúmero de años (plazo) : mValor del gradiente aritmético : gBase del sistema del gradiente : k

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM139

140


La expresión del valor presente de la serie de gradiente cuando éste aumenta de cuotaen cuota, está dada por:

P Ki

i i

g

i

i

i i

n

i

n

n

n

n n= +( ) −+( )

+ +( ) −+( )

−+( )

1 1

1

1 1

1 1

Como se trata de un gradiente escalonado en el cual el aumento se da de un año a otro,es necesario considerar que el valor de K (base del gradiente) está dado por el valor futurode la serie de cuotas iguales en un año. Esto es

K Aia

ia

p

n

p

=+( ) −

1 1

Dado que los incrementos son anuales, entonces la serie tendrá una tasa efectiva anualequivalente:

P Aia

ia

ia

ia ia

g

ia

ia

ia ia

m

iap

n

p

m

m

m

m m=+( ) −

+( ) −+( )

+ +( ) −+( )

−+( )

1 1 1 1

1

1 1

1 1

Ejemplo 5.11

Calcular el valor de una cuota mensual con la cual se amortiza un crédito de $50.000.000a una tasa de interés mensual del 2%, un plazo de diez años y con un incremento anual delas cuotas de $100.000.

n = 12 meses iap = 0,02m = 10 años ia = 0,268241795P = $50.000.000 g = $100.000

50 000 0001 02

0 02

1 268241795 1

1 268241795 0 268241795

12 10

10. .,

,

,

, ,= ( )

( ) −( )

A

+ ( ) −( )

−( )

100 000

0 268241795

1 268241795 1

1 268241795 0 268241795

10

1 268241795

10

10 10.

,

,

, , ,

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM140

141


50.000.000 = A (13,41208975) (3,381679467) + 372.798 (3,381679467 − 0,928922296)

50.000.000 = A (45,35538851) + 914.383

A = $1.082.244

� Gradiente aritmético infinito y escalonadoLa expresión para calcular el valor presente de la serie de gradiente aritmético infinito,está dada por:

Pk

i

g

i= + 2

De esta expresión se dedujo la variable i para calcular el costo del capital:

ik k Pg

P=

± +2 4

2

Cuando la serie de gradiente aritmético infinito es escalonada, el valor de K estará dadopor el valor futuro de la serie de cuotas iguales (serie A) del primer año:

K F Aia

ia

p

n

p

= =+( ) −

1 1

Luego, basta con reemplazar a K por su correspondiente valor.

Ejemplo 5.12

La empresa XY desea mantener constante durante todo el año el valor del dividendo men-sual, y al final de cada año aumentarlo en $0,10. ¿Cuál será el costo del capital si el valoractual de la acción es $500 y el primer dividendo que pagarían estas acciones fuera de$4,60 al mes? Asuma una tasa de interés del 2,5% mensual.

K = ( ) −

=4 601 025 1

0 02563 45954361

12

,,

,,

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM141

142


i =± ( ) + ( )( )

( )63 45954361 63 45954361 4 500 0 10

2 500

2, , ,

i = 12,847580% efectiva anual

� Gradiente geométrico o (exponencial)Es una serie de cuotas que crecen o decrecen en un porcentaje calculado sobre la cuotaanterior.

Su mayor aplicación está en el diseño de sistemas de amortización.

A1 = A1

A2 = A1 + A1 g = A1 (1+ g)A3 = A2 + A2 g = A1 (1 + g)

2

.

.

.Az = A1 (1 + g)

z−1con z ≤ n

Se calcula el valor futuro en el punto n para cada una de las cuotas indicadas:

F1 = A1 (1+ i)n−1

F2 = A1 (1+ g) (1+ i)n−2

F3 = A1 (1+ g)2 (1+ i)

n−3

.

.

.Fn = A1 (1+ g)

n−1 (1+ i)

n−n = A1 (1+ g)

n−1

Luego,

F = F1 + F2 + F3 + ... + Fn

F = A1 (1+ i)n−1

+ A1 (1+ g) (1+ i)

n−2 +

A1 (1+ g)

2 (1+ i)

n−3 + ... + A1 (1+ g)

n−1

F A i g i g i g in n n= +( ) + +( ) +( ) + +( ) +( ) + ⋅⋅⋅ + +( ) +( )[ ]− − − − − +1

1 1 2 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM142

143


otra forma de expresarlo es:

F A ig

i

g

i

g

in

n

n= +( ) + ++

++( )+( )

+ ⋅⋅⋅ ++( )+( )

−−

−11

2

2

1

11 11

1

1

1

1

1

Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométricacreciente, que se expresa así:

Suma = ar a

r

n −−1

Al reemplazar se obtiene:

Suma =

11

1

11

1

++

−

++

−

gigi

n

Suma =

11

1

1 11

++

−

+ − −+

gi

g ii

n

Suma =

11

1

1

++

−

−+

gi

g ii

n

Al reemplazar en la expresión original se tiene:

F A i

g

ig i

i

n

n

= +( )++

−

−+

−1

11

1

11

1

F A i igi

g i

n

n

= +( ) +( )++

−

−

−1

11 111

1

F A igi

g i

n

n

= +( )++

−

−

111

1 con g ≠ i

Esta es la expresión para calcular el valor futuro de la serie del gradiente geométrico oexponencial.

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM143

144


Si se desea calcular el valor presente de la serie, basta con reemplazar el valor de F porsu correspondiente valor en función de P

F = P (1 + i)n

P i A igi

g i

n n

n

1 111

11+( ) = +( )

++

−

−

P Agi

g i

n

=++

−

−

1

11

1

Pero A1 = K (La primera cuota es igual a la base de la serie gradiente)

P Kgi

g i

n

=++

−

−

11

1 con g ≠ i

Cuando g = i se presenta una división entre cero, lo cual indica que se está frente a unaindeterminación matemática y es necesario superarla:

lím lími g i g

n

P Kg

ig i

→ →=

++

−

−

1

11

=++

−

−

= −

=Ki

ii i

K

n11

111

1

0

0

0

Para vencer la indeterminación es necesario derivar; como g es una constante, enton-ces: 1 + g = una constante.

Luego 1 + g = a

lími g

n n

Ka n i

→

− −− +( )[ ]−

1

1

1

= +( ) =+( )

− −+kna g

kna

gn n

n

n11

11

=+( )

+( )=

++kn g

g

kn

g

n

n

1

1 11

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM144

145


Como i tiende a g, entonces el límite de i es g

Pkn

i=

+1

Para calcular el valor futuro cuando g = i, basta con reemplazar:

PF

i n=+( )1

Luego:

F

i

kn

in1 1+( )=

+( )

Fkn i

i

n

= +( )+( )

1

1

F = kn (1 + i)n-1

Ejemplo 5.13

Se tiene una serie de 50 pagos mensuales y vencidos, donde el primer pago es de $259.047y cada pago se incrementará en el 2% sobre la cuota anterior. Si la tasa de interés es del 3%mensual, ¿cuál será el valor del crédito?

n = 50K = 259.047g = 0,02i = 0,03P = ?

P =

−

−

=259 0471 021 03

1

0 02 0 03

10 000 000

50

.,,, ,

. .

Ejemplo 5.14

Resolver el problema anterior pero considerando que la tasa de interés y la tasa de incre-mento son iguales al 3% mensual.

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM145

146


Pkn

i=

+1

P = ( ) ( ) =259 047 50

1 0312 575 097

.

,. .

� Gradiente geométrico infinitoSu mayor aplicación está en el análisis de emisiones de acciones. La expresión del valorpresente de la serie de gradiente geométrico finito es

P K

g

i

g i

n

n

=

+( )+( )

−

−

1

11

con g ≠ i

Cuando g = i el valor de P está dado por

Pkn

i=

+1Si n tiende al infinito, entonces

Pk

i i= ∞

+= ∞

+= ∞

1 1

Esto indica que no existe el límite y, en conclusión, el gradiente no podrá ser igual a latasa de interés.

Cuando g sea diferente de i, será necesario considerar dos situaciones:

1. Cuando g mayor que i.

2. Cuando g menor que i.

Para la primera, g > i

P

k g

i

g i

n

=

++

−

−

11

1

Pk

g i

g

i

n

=−

++

−

1

11

Pk

g ilím

g

in

n

=−

++

−

→∞

1

11

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM146

147


El numerador será mayor que el denominador. Por tanto,

límg

in

n

→∞

++

−

= ∞ − = ∞1

11 1

Es decir: no existe límite para esa expresión.

Conclusión: al no existir el límite de la función anterior cuando n tiende a infinito paravalores con g mayores o iguales a i, se puede decir que el gradiente jamás podrá ser mayoro igual a la tasa de interés.

Para la segunda, g < i

P kg

ig i

n

=++

−

−

11

1

Pk

g ig

i

n

=−

++

−

1

11

Pk

g ilím

g

in

n

=−

++

−

→∞

1

11

El numerador es menor que el denominador y además, (1 + i)n tiende al infinito.

Luego

Pk

g ilím

g

in

n

n=−

+( )+( )

−

→∞

1

11

Pk

g i

k

g i=

−−( ) = −

−0 1

Pk

i g=

−

Ejemplo 5.15

¿Qué suma de dinero debo depositar en una corporación que me reconoce el 2% mensual,si deseo retirar la suma de $1.000.000 al final del primer mes, y para cada uno de los mesessubsiguientes el retiro se incrementará en 0,05% sobre el retiro anterior.

K = 1.000.000i = 0,02g = 0,0005

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM147

148


P =−

=1 000 000

0 02 0 000551 282 051

. .

, ,$ . .

Ejemplo 5.16

El precio de una acción es de $50.000 y se ha pensado en una nueva emisión de accionesque dé lugar a un aumento mensual de los dividendos en 2%. ¿Cuál será el costo del capitalsi actualmente se está pagando un dividendo mensual de $1,50 por acción?

Pk

i g=

−

i gk

p− =

ik

pg= +

K = 1,50 + (1,50) (0,02) = 1,53

i = +1 53

50 0000 02

,

.,

i = 0,02003060 = 2,003060% mensual

ia = (1,02003060)12 − 1 = 0,268698437

ia = 26,8698437% anual

Ejemplo 5.17

Una fundación dispone de $50.000.000 y desea constituir un fondo para otorgar en formaindefinida, un premio anual al mejor bachiller de una institución de educación. El primerpremio será de $5.000.000 y cada año se incrementará en un 20%. Si la tasa de interés esdel 24% anual, ¿cuál debe ser el valor de constitución del fondo?

K = 5.000.000i = 0,24g = 0,20

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM148

149


Pk

i g=

−

P =−

=5 000 000

0 24 0 20125 000 000

. .

, ,$ . .

Nota. Si se desea saber en cuánto tiempo se constituye el fondo, basta con calcular el valorde n en la siguiente expresión:

F = P (1 + i)n

125.000.000 = 50.000.000 (1,24)n

2,5 = (1,24)n

log 2,5 = n log 1,24n = 4,259610689 años

Nota. Un año después se puede iniciar la entrega del premio.

� Gradiente geométrico escalonadoSe conoce también con el nombre de anualidad creciente geométricamente. Su mayor apli-cación está en el diseño de sistemas de amortización. En este sistema, todas las cuotas deun año son iguales, el aumento se da de un año a otro y equivale a un porcentaje sobre laanualidad anterior.

Ejemplo 5.18

Se desea constituir un fondo que tenga acumulado $50.000.000 en cinco años. Para ello sehacen depósitos iguales al final de cada mes, en una corporación que reconoce el 2%mensual. Cada año, estos depósitos se incrementarán en un 10%. ¿Cuál será el valor delprimer depósito y del depósito 40?

F = 50.000.000g = 0,10K = 5 añosn = 12 mesesiap = 0,02ia = 0,268241795

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM149

150


La expresión para el cálculo de la anualidad creciente geométricamente (ver capítulosobre anualidades) es

AzP g

ia

ia

g

iaia g

z

p

n

p

k= +

+( ) −

− ++

−

−( )1

1 1 11

1

1

como F = 50.000.000

P =( )

=50 000 000

1 0215 239 11360

. .

,. .

A1

1 1

125

15 239 113 1 0 10

1 02 10 02

11 10

1 2682417950 268241795 0 10

= +( )

( ) −

−

−

−. . ,

,,

,,

, ,

A1 = $375.453

Para calcular el valor del depósito 40, es necesario tener presente que éste se encuentracomprendido entre las cuotas del año cuarto. Luego Z = 4.

A4

4 1

125

15 239 113 1 0 10

1 02 1

0 02

11 10

1 2682417950 268241795 0 10

= +( )

( ) −

−

−

−. . ,

,

,

,

,, ,

A4 = $499.728

Nota. Todas las cuotas del primer año son iguales, lo mismo que las del segundo año,tercero, cuarto y quinto.

Ejemplo 5.19

Si se desea disponer en quince años de $3.532.083.136 haciendo depósitos mensualesdurante todo este tiempo y en la siguiente forma: el primer año, los depósitos serán igualesy anualmente se incrementarán en 12%. La tasa de interés será del 2% mensual. Calcularel valor del primer depósito.

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM150

151


F = $3.532.083.136

P =( )

=3 532 083 136

1 02100 000 000180

. . .

,. .

ia = (1,02)12

− 1 = 0,268241795

A1

1 1

1215

100 000 000 1 12

1 02 10 02

11 12

1 2682417950 268241795 0 12

= ( )

( ) −

−

−

−. . ,

,,

,,

, ,

A1 = $1.307.978

� Gradiente geométrico infinito y escalonadoYa se vio que la expresión para calcular el valor presente de la serie de gradiente geométri-co infinito estaba dada por:

Pk

i g=

−

De esta expresión se dedujo la variable i para calcular el costo del capital:

ik

pg= +

Cuando la serie de gradiente geométrico es escalonada, se tiene lo siguiente:

∞

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM151

152


Cuando la serie de gradiente geométrico infinito es escalonada, el valor de K estarádado por el valor futuro de la serie de cuotas iguales (serie A) del primer año.

Nota. En este caso particular, la variable i es diferente de la variable iap.

Tasa periódica de interés = iap

Costo del capital = i

F Aia

iak

p

n

p

=+( ) −

=1 1

Luego,

i

Aia

ia

pg

p

n

p=

+( ) −

+

1 1

Ejemplo 5.20

Una empresa desea hacer una emisión de acciones, pero quiere conservar la política depagar los dividendos mensualmente e iguales. Sólo quiere que éstos aumenten su valoranualmente en 15%. Si el dividendo para el primer mes se ha estimado en $0,30 y el valoractual de la acción es de $1.000, ¿cuál será el costo del capital teniendo en cuenta que laempresa trabaja su capital al 42,5760887% efectivo anual?

iap = − =1 425760887 1 0 0312

, ,

El valor de los dividendos será:

Primer año = $0,30

Segundo año = (0,30) (1,15) = $0,345

Tercer año = (0,30) (1,15)2

= $0,39675

Y así sucesivamente.Los pagos son mensuales.

Luego,

n = 12

P = 1.000

K = 0,30

g = 0,15

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM152

153


ik

pg= +

K = ( ) −

0 30

1 03 1

0 03

12

,,

,

i =

( ) −

+0 30

1 03 10 03

1 0000 15

12

,,

,,

,

i = 0,154257609

i = 15,4257609% anual

Ejemplo 5.21

Usted realiza un ahorro mensual durante todo el año en un banco de los Estados Unidos. Elbanco le reconoce el 0.3% mes vencido sobre la inversión en dólares.

El primer depósito lo realizó a finales del mes de enero de 2002 por un valor de un mildólares (US $1.000) y lo ha venido incrementando en veinte dólares (US $20) mensualeshasta terminar el año.

La tasa de cambio en agosto 31 de 2002 es de $2.200 por dólar. La devaluación del pesofrente al dólar fue del 2% mensual durante el primer semestre del año. (Hasta junio 30), yse estima que será del 2,5% mensual durante el segundo semestre.

Si usted desea tener ahorrado a diciembre 31 de 2002 un valor de $38.500.000, ¿cuántodebe ser el valor del ahorro extra en dólares, y su equivalencia en pesos, que debe realizaral final del mes de mayo de 2002 para lograr el objetivo.

ie = 0,003g = 20 Es un gradiente aritmético

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM153

154


TC agosto31 = $2.200/dólar

DEV $/D = 0,02 DEV $/D = 0,025

TC diciembre 31 = $2.200 (1,025)4

= $2.428,3883

Valor deseado a diciembre 31 $ . .

. ,. ,

38 500 000

2 428 388315 854 13667= dólares

F ki

i

g

i

i

in

n n

= +( ) −

+ +( ) − −

1 1 1 1

15 854 13667 1 0001 003 1

0 003

20

0 003

1 003 1

0 00312 1 003

12 127. , .

,

, ,

,

,( , )= ( ) −

+ ( ) − −

+ P

P = 2.272,69 dólares

DEV 1 0

0

= −TC TC

TC

Donde TCTC

01

1=

+ DEV

TCjul.$ .

,$ . ,1 2

2 200

1 0252 093 9916=

( )=

TCmay.$ . ,

,$ . ,31

2 093 9916

1 022 052 9330= = / dólar

Luego, 2.272,69 dólares × $2.052,9330 / dólar = $4.665.680

Ejemplo 5.22

El banco XY me financió el 80% del precio de un vehículo en las siguientes condiciones:

Plazo: cuatro años con pago de cuotas mensuales y vencidas.

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM154

155


Cada cuota se incrementará en 1,172957% sobre la anterior.El valor de la primera cuota es de $843.108. La tasa de interés está dada por el IPC más 8puntos porcentuales de interés adicional.¿Cuál fue el precio del vehículo?

Asuma un IPC igual al 6,5% efectivo anual.

ia = ( )( )[ ] − =1 065 1 08 1 0 1520, , ,

iapn = − =1 1520 1 0 0117295712

, ,

PA n

i=

+= × =1

1

843 108 48

1 0117295740 000 000

.

,$ . .

costo vehículo = =$ . .

,$ . .

40 000 000

0 8050 000 000

Ejemplo 5.23

Hace tres años compré un apartamento. El banco me financió el 70% del precio del mismoa 15 años, con pago de cuotas mensuales y vencidas. Cada cuota se incrementará en $3.000sobre la anterior. La tasa de financiación fue del IPC más cinco puntos porcentuales deinterés adicional.

Hoy deseo vender el apartamento y un amigo me hizo la siguiente oferta: me entrega$10.000.000 de contado y un CDT por $30.000.000 con vencimiento a un año, con intere-ses mensuales de $285.000, los cuales se cobran al final de cada mes; además se hacecargo de la deuda.

Si mi tasa mínima de rendimiento es del 4%, ¿cuánto me estará ofreciendo el amigo porel apartamento?

¿Cuál será el valor máximo que le puedo reconocer por el CDT?Asuma un IPC del 6% efectivo anual y un precio inicial del apartamento de $90.000.000

P = $90.000.000 × 0,70 = $63.000.000

ia = (1,06) (1,05) − 1 = 0,1130

iapm = − =1 1130 1 0 0089615012

, ,

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM155

156


63 000 0001 00896150 1

1 00896150 0 00896150

180

180. .,

, ,= ( ) −

( )

+K

3 000

0 00896150

1 00896150 1

1 00896150 0 00896150

180

1 00896150

180

180 180.

,

,

, , ,

( ) −( )

−( )

=

K = $507.182

Se deben: 180 − 36 = 144 cuotasA37 = 507.182 + (37 − 1) 3.000 = 615.182

Saldo de la deuda:

P = ( ) −( )

615 1821 0089615 1

1 0089615 0 0089615

144

144.,

, ,

+ ( ) −( )

−( )

3 000

0 0089615

1 0089615 1

1 0089615 0 0089615

144

1 0089615

144

144 144.

,

,

, , ,

P = $63.328.597

CDT: P =

( )=30 000 000

1 0418 737 911

12

. .

,$ . .

Intereses: P = ( ) −( )

=285 0001 04 1

1 04 0 042 674 746

12

12.,

, ,$ . .

Oferta = $10.000.000 + $63.328.597 + $18.737.911 + $2.674.746

Oferta = $94.741.254

Valor máximo a reconocer por el CDT

$18.737.911 + $2.674.746 = $21.452.657

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM156

157


Ejemplo 5.24

Hace cuatro años compré un apartamento. El banco me financió el 80% del precio delmismo, a 15 años, con pago de cuotas bimestrales y vencidas. La primera cuota tuvo unvalor de $900.000 y cada cuota se incrementa en $5.000 sobre la anterior. La tasa de finan-ciación fue del IPC más 8 puntos porcentuales de interés adicional.

Hoy necesito vender mi apartamento y un posible comprador me hace la siguiente oferta:Me entrega $20.000.000 de contado y se hace cargo de la deuda. Además, me entrega

un CDT por $25.000.000 con vencimiento a un año y 2% mensual a interés compuesto.Los intereses se cobrarán al final del año con el CDT.

Si mi actividad económica me garantiza unos rendimientos mensuales del 4% sobre elcapital que invierto.

a. ¿Cuánto me están ofreciendo por el apartamento?

b. ¿Cuánto me costó el apartamento?

c. Si hoy quisiera cambiar de plan de financiación por otro que fuera de cuota constantedurante todo el tiempo, ¿cuál sería el valor de la nueva cuota? Resuelva esta preguntapor dos métodos diferentes. Asuma un IPC del 6% efectivo anual

ia = (1,06) (1,08) − 1 = 0,1448

iaps = − =1 1448 1 0 022794236

, ,

Ha pagado 24 cuotasDebe 90 − 24 = 66 cuotasK = $900.000 γ = $5.000A25 = $900.000 + (25 − 1) 5.000 = $1.020.000

Saldo de la obligación después de pagar 24 cuotas:

P = ( ) −( )

1 020 0001 02279423 1

1 02279423 0 02279423

66

66. .,

, ,

+ ( ) −( )

−( )

=5 000

0 02279423

1 02279423 1

1 02279423 0 02279423

66

1 0227942338 816 376

66

66 66.

,

,

, , ,$ . .

El CDT tendrá el siguiente valor al final del año:

CDT = (25.000.000) (1,02)12

= $31.706.045

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM157

158


Hoy, ese CDT equivale a:

CDT =( )

=31 706 045

1 0419 803 50212

. .

,$ . .

a. Valor de la oferta:$20.000.000 + $19.803.502 + $38.816.376valor oferta = $78.619.878

b. Para determinar el costo del apartamento es necesario calcular primero el valor delpréstamo.

Préstamo:

P = ( ) −( )

900 0001 02279423 1

1 02279423 0 02279423

90

90.,

, ,

+ ( ) −( )

−( )

=5 000

0 02279423

1 02279423 1

1 02279423 0 02279423

90

1 0227942340 050 572

90

90 90.

,

,

, , ,$ . .

Este valor de $40.050.572 representa el 80% del precio del apartamento.

Costo del apartamento = $ . .

,$ . .

40 050 572

0 8050 063 215=

c. Saldo de la obligación: $38.816.376cuotas pendientes: 66Aplicando anualidades:

A = ( )( ) −

=38 816 3761 02279423 0 02279423

1 02279423 11 143 036

66

66. ., ,

,$ . .

Aplicando gradientes:

A = − ×( ) −

=5 000

0 022794231

66 0 02279423

1 02279423 1123 03666

.

,

,

,$ .

Este valor corresponde al valor uniforme de la serie del gradiente.Por tanto, la cuota total y uniforme será:

A = $123.036 + A25

A = $123.036 + $1.020.000 = $1.143.036

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM158

159



1. Calcule el valor presente de la siguiente serie:

Suponga una tasa de interés periódica del 2,5%.Respuesta: $189.785,27

2. Con los datos del problema anterior calcule el valor de una cuota uniforme equivalente.Respuesta: $17.279,62


Suponga una tasa de interés periódica del 3%.Respuesta: $478.312

4. Con los datos del problema anterior calcule la cuota periódica uniforme equivalente.Respuesta: $48.052,22

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM159

160



Suponga una tasa de interés periódica del 2,5%.Respuesta: $342.221,99

6. Con los datos del problema anterior calcule una cuota periódica uniforme equivalente.Respuesta: $35.969,46

Autoevaluación1. El señor Pérez cree que su negocio le

producirá $5.000.000 el próximo año,cifra que aumentará en cantidadesiguales cada año hasta alcanzar$8.000.000 en siete años. Suponien-do que estas ganancias se comportancomo un gradiente aritmético crecien-te, establezca el gradiente y elaboreel diagrama económico.

2. Una persona ahorra $50.000 mensua-les durante cinco meses consecutivos.Luego incrementa sus ahorros en$10.000, cada mes durante los siguien-tes cuatro meses. Elabore el diagramae indique dónde debe calcularse inicial-mente el valor presente de la serie degradiente.

3. Determine valor de la cuota uniformepara los siguientes pagos mensuales:

Considere una tasa de interésdel 24% anual, con capitalizaciónmensual.

Mes Valor

1 $200.000

2 200.000

3 200.000

4 300.000

5 400.000

6 500.000

7 600.000

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM160

161


4. Calcule el valor presente de los si-guientes desembolsos mensuales conuna tasa de interés del 3% mensual.

5. El señor Pérez dispone de $5.000.000los cuales desea distribuir en sietepagos mensuales con una tasa del 2%mensual y un incremento de $100.000sobre cada cuota. Calcule el valor dela base del gradiente.

6. Halle la cuota uniforme para la seriede gradientes del problema anterior.

7. En el mes de junio de 1993, el señorPérez hizo un negocio en el cual secomprometió a entregar las siguien-tes sumas de dinero:

Si la tasa de interés es del 36%anual capitalizable mensualmente,¿cuál será el valor de una cuota men-sual uniforme equivalente a los pagosanteriores?

8. Con los datos del problema anteriorcalcule el valor de un solo pago a rea-lizar en el mes de junio y que sea equi-valente a los demás pagos.

9. El señor Pérez estima que el próximoaño su negocio le dará unas utilidadesde $3.000.000; también considera quela apertura económica le afectará y, enconsecuencia, sus utilidades disminui-rán cada año en $200.000 durante loscinco años siguientes. Elabore eldiagrama económico.

Mes Valor

1 $100.000

2 150.000

3 200.000

4 250.000

5 300.000

6 350.000

En julio/93 $150.000

En agosto/93 200.000

En septiembre/93 250.000

En octubre/93 300.000

En noviembre/93 350.000

En diciembre/93 400.000

10.Halle el valor presente de la siguiente serie:

Suponga una tasa de interés del 3%.

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM161

162



1.

Nota. El gradiente es de $500.000.

2.

Nota. En el mes cuarto.

3. Tasa de interés: 2% mensual.

Se calcula el valor presente de toda la serie en el segundo mes y luego este valor seconsidera como un valor futuro y se calcula su valor presente en el mes cero.

k = $200.000g = $100.000n = 5

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM162

163


P = 1.866.719,15

Luego se calcula el valor presente de las dos primeras cuotas:

P2 = 388.312,18

Se suman los valores de P1 y P2 y se obtiene:

P = 1.794.232,17 + 388.312,18 = 2.182.544,35

De esta manera se conoce el valor presente total de modo que puede distribuirseuniformemente.

4. k = $100.000g = $50.000n = 6

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM163

164


5. i = 0,02

6. A = 292.081,54A = 292.081,54 + 480.478,23A = 772.559,77

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM164

165


7.

n = 6k = $150.000g = $50.00

Primero se calcula el valor presente de la serie:

Luego, conociendo P, se calcula A:

8. Sería el valor presente en el punto cero.

P = 1.466.388,48

9.

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM165

166


10. Primero se calcula el valor presente de la serie en el punto 5.

k = $ 100.000g = $50.000n = 4

Éste se considera un valor futuro y se halla su valor presente en el punto cero.

Luego se calcula el valor presente de las cinco cuotas de $50.000 y se suma al datoanterior:

Actividades de repaso1. ¿Qué es un gradiente?

2. ¿Cómo se comporta una serie degradientes lineales?

3. Enuncie algunas aplicaciones relacio-nadas con los gradientes

4. ¿Dónde aparece el primer gradienteal graficar la serie?

5. ¿Qué se entiende por base de la seriedel gradiente?

6. ¿Qué relación tienen los gradientescon los sistemas de amortización?Explíquela.

Capitulo 5 1/20/06, 10:34 AM166

167

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Amortizaciones.Transición del sistema

UPAC al sistema UVR� Justificación

Con este capítulo se pretende dar al lector una información am-plia sobre qué es un sistema de amortización, cuáles son sus ele-mentos, qué es un sistema de amortización simple, qué es unsistema de amortización integrado, que es un sistema de amorti-zación agregado y cómo se dividen estos sistemas.

Asimismo, el lector aprenderá a deducir la fórmula matemáti-ca para un sistema de amortización cualquiera con sólo conocer lafunción del mismo y podrá asegurarse de que los sistemas de amor-tización enunciados son asimilables al sistema de unidad de valorreal (UVR).

� Objetivos generales� Encontrar una expresión matemática que permita al lector

calcular el valor de la primera cuota para que, apoyado en lafunción del sistema de amortización, pueda calcular las demáscuotas.

� Utilizar las operaciones del sistema UVR en el manejo de lasinversiones.

� Objetivos específicos� En un sistema de pago único, calcular el valor de la cuota al

final del periodo.

� En un sistema de cuotas uniformes, calcular el valor de cadacuota.

� En un sistema de cuotas uniformes con abonos extraordina-rios, calcular de nuevo el valor de la cuota cuando se efectúandichos abonos.

� Calcular el saldo de una deuda con pago de cuotas uniformes.

� En un sistema de cuotas crecientes o decrecientes linealmente,calcular el valor de la primera cuota.

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM167

168


� En un sistema de cuotas fijas durante todo el plazo y con abo-nos extraordinarios periódicos y fijos, calcular el valor de lacuota o del abono extraordinario, según el caso.

� En un sistema de anualidad creciente geométricamente, cal-cular el valor de la primera anualidad.

� En un sistema de anualidad durante todo el tiempo y una cuo-ta al final, calcular el valor de la anualidad o el de la cuotafinal, según el caso (leasing).

� En un sistema de cuotas vencidas durante todo el tiempo ycuotas decrecientes linealmente en forma anticipada, calcu-lar el valor de la segunda cuota.

� Calcular el valor de los intereses pagados hasta un periododeterminado en el sistema anterior.

� Calcular el valor de las cuotas en U.V.R y en pesos en un sis-tema de amortización cualquiera.

� Elaborar tablas de amortización para cualquier sistema deamortización.

� Elaborar gráficas de amortización y de saldos para cualquiersistema de amortización.

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM168

169


Conducta de entrada

1 ¿Qué es el IPC?

Establezca la veracidad o 1a falsedad de las proposiciones siguientes. Reemplacecada enunciado falso por una proposición verdadera correspondiente:

F V2 La suma de n términos de la progresión geométrica a, ar, ar

2, ...

esta dada por ❏ ❏

3 El valor futuro de una anualidad vencida o común está dado por ❏ ❏

4 El valor presente de un gradiente aritmético está dado por ❏ ❏

5 La sucesión l, 2x, 3x2, 4x

3, ... es una progresión aritmética. ❏ ❏


1. Es el índice de precios al consumidorcalculado por el DANE.

2. V

3.

4. V

5. F; la sucesión 1, 2x, 3x2, 4x

3 es una

progresión geométrica.

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM169

170


Amortizaciones

Amortizar no es más que redimir o pagar el capital y los intereses de un préstamo. Cuando sehabla de esto, deben tenerse presentes dos elementos que intervienen en la amortización:

� El abono al capital

� El pago de intereses

En todo proceso de amortización juegan un papel importante las siguientes variables:

� El valor presente

� La cuota periódica

� La tasa de interés periódica

� El número de periodos

La tasa de interés periódica puede estar constituida por la tasa de interés propiamentedicha y por la tasa de corrección monetaria u otro índice.

Cuando las cuotas crecen o decrecen en forma lineal o geométrica, entonces surgenotras dos variables:

� El incremento o el decremento

� La tasa de incremento o de decremento

Si la cuota tiene un incremento o un decremento lineal, esto obedece a una progresiónaritmética. Si la cuota crece o decrece geométricamente, la situación obedece a una pro-gresión geométrica.

Sistema de amortización. Es un procedimiento o pacto estipulado para el pago de unadeuda. En todo sistema de amortización existen los siguientes elementos:

1. La función: se encarga de definir cómo es el comportamiento de las cuotas.

Ejemplo 6.1

Se dice que cada cuota es igual a la anterior más un incremento. Entonces, la función será:A1 = A1

A2 = A1 + �A3 = A1 + � + � = A1 + 2�

.

.

.An = A1 + (n − 1)�

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM170

171


Por tanto, la función es

An = A1 + (n − 1)�

2. La fórmula: es una expresión matemática deducida para calcular el valor de la primeracuota y que, apoyada en la función, permite calcular las demás cuotas.

3. La tabla de amortización: es una herramienta que permite visualizar en cualquiermomento el proceso de amortización y da una idea precisa del estado de la deuda y dela discriminación de cada uno de los pagos realizados; además, está integrada por lascolumnas siguientes, entre otras:

• Número del periodo

• Valor de la cuota

• Interés periódico

• IPC

• Abono a capital

• Saldo de la deuda

• Factor para el cálculo de la nueva cuota cuando se hacen abonos extraordinarios encualquier periodo

En el mercado financiero colombiano operan tres sistemas de amortización:

Sistemas simples. Las cuotas se comportan como lo indica la función. Este comporta-miento puede ser: cuota fija, cuota creciente o cuota decreciente.Sistemas integrados. Las cuotas se comportan según el resultado obtenido al integrar dossistemas simples.Sistemas agregados. En éstos se dan varias series de cuotas que se comportan indepen-dientemente unas de otras.

� Sistemas simplesEstos sistemas son:

• Cuota única al final del periodo

• Cuota periódica uniforme

• Cuota periódica creciente linealmente

• Cuota periódica decreciente linealmente

• Cuota periódica creciente geométricamente

• Cuota periódica decreciente geométricamente

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM171

172


Cuota única al final del periodo

Consiste en no hacer pago alguno antes del vencimiento de la obligación.El problema se resuelve al calcular el valor futuro de la obligación, con la siguiente

fórmula:

F = P (1 + i)n

Ejemplo 6.2

¿Cuánto se pagará al final de una obligación si ésta se otorga por dos años con una tasa deinterés del 2% mensual y un crédito de $500.000?

F = 500.000 [1,02]24

= 804.218,62

Cuota periódica uniforme

Consiste en calcular el valor de una cuota igual para todos los periodos.La función es

A1 = A2 = A3 ... = An

La fórmula es

Ejemplo 6.3

Un crédito de $500.000 se pacta a dos años, con una tasa de interés del 2% mensual. ¿Cuáles el valor de la cuota mensual?

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM172

173


A continuación se explica la elaboración de una tabla de amortización con el sistema decuota periódica uniforme.

Ejemplo 6.4

Un crédito de $100.000 se cancelará en cuatro cuotas trimestrales iguales financiadas auna tasa del 28% anual capitalizable trimestralmente.

P = $100.000n = 4 trimestres

Tabla de amortización:

La tabla se obtuvo así:a. Con la fórmula se calculó el valor de la cuotab. Se multiplicó el valor de la obligación por la tasa periódica para calcular el valor del

interés en ese periodo.

I1 = (100.000) (0,07) = 7.000

I2 = (77.477,19)(0,07) = 5.423,40

Periodo n Cuota A Interés I Abono Saldo Factor

0 100.000 0,295228116

1 29.522,81 7.000 22.522,81 77.477,19 0,381051636

2 29.522,81 5.423,40 24.099,41 53.377,78 0,553091754

3 29.522,81 3.736,44 25.786,37 27.591,41 1,07000004

4 29.522,81 1.931,39 27.591,41 0

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM173

174


c. Se restó el interés calculado de la cuota y de este modo se obtuvo el valor abonadoal capital en dicho periodo.

Abono a capital = 29.522,81 − 7.000 = 22.522,81

d. A cada saldo se restó el valor abonado al capital y se obtuvo el nuevo saldo delperiodo siguiente:

100.000 − 22.522,81= 77.477,19

e. Se dividió la cuota de cada periodo por el saldo de cada periodo anterior y se obtuvoasí el factor para calcular la nueva cuota cuando hay abonos extraordinarios.

Abonos extraordinarios. Supóngase que en el ejemplo anterior se hizo un abono de $20.000después del pago de la primera cuota, entonces el valor de las tres cuotas restantes será elsiguiente:

Nuevo saldo = 77.477,19 − 20.000 = 57.477,19

La nueva cuota se calcula al multiplicar el nuevo saldo por el factor de la cuota en la cualse hizo el abono.

(57.477,19 )(0,381051636) = 21.901,77

Saldo de la deuda con cuota periódica uniforme

Llámese T = amortización real

T1 = A− I = A − Pi

La amortización aumenta de un periodo a otro en una proporción igual a la tasa de interés.A medida que aumenta la amortización, disminuyen los intereses.

T1 = T1

T2 = T1 + T1i = T1 (1 + i). .. .. .Tn = T1 (1 + i)

n−1

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM174

175


La amortización acumulada hasta un periodo n será igual a la suma de las amortizacionesperiódicas.

Tt = T1 + T2 +...+Tn

Tt = T1 + T1 (1 + i) + … + T1 (1 + i)n−1

Tt = T1 [1 + (1 + i) + … + (1 + i)n−1

]

Lo que está dentro del corchete es la suma de los términos de una progresión geométricacreciente de n términos. Esta suma esta dada por:

Luego,

El saldo de la deuda es igual al valor del crédito menos la amortización acumulada a esafecha.

Sin embargo, T1 = A − Pi. Luego,

Ejemplo 6.5

Con los datos del problema anterior, calcular el saldo en el tercer periodo.

Saldo = 100.000 − [29.522,81− (100.000)(0,07)]

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM175

176


Saldo = 100.000 − (22.522,81) (3,2149)

Saldo = 100.000 − 72.408,58 = 27.591,42

Este problema también puede resolverse al calcular el valor presente de las cuotas depago pendientes.

Ejemplo 6.6

Calcular la cuota uniforme y elaborar la tabla de amortización para un crédito en las si-guientes condiciones:

P = $1.000.000

n = 180 meses

ic = 24% = 0,24

ie = 9% = 0,09

ia = (1,24)(1,09) − 1 = 0,3516

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM176

177


La tabla de amortización es la siguiente:

Préstamo tipo estable

Año Mes Cuota Valor Interés Corrección Abono a Saldocuota mensual mensual monetaria capital

0 0 0 0 0 0 0 1.000.000

1 1 1 25.705,41 7.337,69 18.087,63 280,09 999.719,91

1 2 2 25.705,41 7.335,63 18.082,56 287,21 999.432,70

1 3 3 25,705,41 7.333,53 18.077,36 294,51 999.138,18

1 4 4 25.705,41 7.331,37 18.072,04 302,00 998.836,18

1 5 5 25.705,41 7.329,15 18.066,57 309,68 998.526,50

1 6 6 25.705,41 7.326,88 18.060,97 317,55 998.208,95

1 7 7 25.705,41 7.324,55 18.055,23 325,63 997.883,32

1 8 8 25.705,41 7.322,16 18.049,34 333,91 997.549,41

1 9 9 25.705,41 7.319,71 18.043,30 342,40 997.207,01

1 10 10 25.705,41 7.317,20 18.037,11 351,10 996.855,91

1 11 11 25.705,41 7.314,62 18.030,76 360,03 996.495,88

1 12 12 25.705,41 7.311,98 18.024,24 369,18 996.126,70

2 1 13 25.705,41 7.309,27 18.017,57 378,57 995.748,13

2 2 14 25.705,41 7.306,49 18.010,72 388,20 995.359,93

2 3 15 25.705,41 7.303,64 18.003,70 398,07 994.961,87

2 4 16 25.705,41 7.300,72 17.996,50 408,19 994.553,68

2 5 17 25.705,41 7.297,73 17.989,11 418,56 994.135,12

2 6 18 25.705,41 7.294,65 17.981,54 429,21 993.705,91

2 7 19 25.705,41 7.291,51 17.973,78 440,12 993.265,79

2 8 20 25.705,41 7.288,28 17.965,82 451,31 992.814,48

2 9 21 25.705,41 7.284,96 17.957,66 462,78 992.351,70

2 10 22 25.705,41 7.281,57 17.949,29 474,55 991.877,15

2 11 23 25.705,41 7.278,09 17.940,70 486,62 991.390,53

2 12 24 25.705,41 7.274,52 17.931,90 498,99 990.891,54

3 1 25 25.705,41 7.270,85 17.922,88 511,68 990.379,87

3 2 26 25.705,41 7.267,10 17.913,62 524,69 989.855,18

3 3 27 25.705,41 7.263,25 17.904,13 538,03 989.317,16

3 4 28 25.705,41 7.259,30 17.894,40 551,70 988.765,45

3 5 29 25.705,41 7.255,25 17.884,42 565,73 988.199,72

3 6 30 25.705,41 7.251,10 17.874,19 580,12 987.619,60

3 7 31 25.705,41 7.246,85 17.863,69 594,87 987.024,74

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM177

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3 8 32 25.705,41 7.242,47 17.852,93 609,99 986.414,75

3 9 33 25.705,41 7.238,01 17.841,90 625,50 985.789,25

3 10 34 25.705,41 7.233,41 17.830,59 641,40 985.147,84

3 11 35 25.705,41 7.228,71 17.818,99 657,71 984.490,13

3 12 36 25.705,41 7.223,88 17.807,09 674,43 983.815,70

4 1 37 25.705,41 7.218,93 17.794,89 691,58 983.124,12

4 2 38 25.705,41 7.213,86 17.782,38 709,16 982.414,95

4 3 39 25.705,41 7.208,66 17.769,55 727,20 981.687,76

4 4 40 25.705,41 7.203,32 17.756,40 745,68 980.942,07

4 5 41 25.705,41 7.197,85 17.742,91 764,64 980.177,43

4 6 42 25.705,41 7.192,24 17.729,08 784,09 979.393,34

4 7 43 25.705,41 7.186,48 17.714,90 804,02 978.589,32

4 8 44 25.705,41 7.180,58 17.700,36 824,46 977.764,86

4 9 45 25.705,41 7.174,53 17.685,44 845,43 976.919,43

4 10 46 25.705,41 7.168,33 17.670,15 866,92 976.052,51

4 11 47 25.705,41 7.161,97 17.654,47 888,96 975.163,55

4 12 48 25.705,41 7.155,45 17.638,39 911,56 974.251,99

5 1 49 25.705,41 7.148,76 17.621,91 934,74 973.317,24

5 2 50 25.705,41 7.141,90 17.605,00 958,51 972.358,74

5 3 51 25.705,41 7.134,87 17.587,66 982,88 971.375,86

5 4 52 25.705,41 7.127,65 17.569,88 1.007,87 970.367,99

5 5 53 25.705,41 7.120,86 17.551,65 1.033,49 969.334,50

5 6 54 25.705,41 7.112,68 17.532,96 1.059,77 968.274,73

5 7 55 25.705,41 7.104,90 17.513,79 1.086,72 967.188,01

5 8 56 25.705,41 7.096,93 17.494,13 1.114,35 966.073,67

5 9 57 25.705,41 7.088,75 17.473,98 1.142,681 964.930,99

5 10 58 25.705,41 7.080,36 17.453,31 1.171,73 963.759,26

5 11 59 25.705,41 7.071,77 17.432,12 1.201,52 962.557,73

5 12 60 25.705,41 7.062,95 17.410,38 1.232,07 961.325,66

6 1 61 25.705,41 7.053,91 17.388,10 1.263,40 960.062,27

6 2 62 25.705,41 7.044,64 17.365,25 1.295,52 958.766,75

6 3 63 25.705,41 7.035,13 17.341,81 1.328,46 957.438,29

6 4 64 25.705,41 7.025,38 17.317,79 1.362,24 956.076,05

6 5 65 25.705,41 7.015,39 17.293,15 1.396,87 954.679,18

6 6 66 25.705,41 7.005,14 17.267,88 1.432,39 953.246,80

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM178

179



6 7 67 25.705,41 6.994,63 17.241,97 1.468,81 951.777,99

6 8 68 25.705,41 6.983,85 17.215,40 1.506,15 950.271,84

6 9 69 25.705,41 6.972,80 17.188,16 1.544,44 948.727,40

6 10 70 25.705,41 6.961,47 17.160,23 1.583,71 947.143,68

6 11 71 25.705,41 6.949,85 17.131,58 1.623,98 945.519,71

6 12 72 25.705,41 6.937,93 17.102,21 1.665,27 943.854,44

7 1 73 25.705,41 6.925,71 17.072,09 1.707,61 942.146,83

7 2 74 25.705,41 6.913,18 17.041,20 1.751,03 940.395,80

7 3 75 25.705,41 6.900,33 17.009,53 1.795,55 938.600,26

7 4 76 25.705,41 6.887,16 16.977,05 1.841,20 936.759,06

7 5 77 25.705,41 6.873,65 16.943,75 1.888,01 934.871,05

7 6 78 25.705,41 6.859,79 16.909,60 1.936,01 932.935,03

7 7 79 25.705,41 6.845,59 16.874,58 1.985,24 930.949,80

7 8 80 25.705,41 6.831,02 16.838,67 2.035,71 928.914,08

7 9 81 25.705,41 6.816,08 16.801,85 2.087,47 926.826,61

7 10 82 25.705,41 6.800,77 16.764,09 2.140,55 924.686,06

7 11 83 25.705,41 6.785,06 16.725,38 2.194,97 922.491,09

7 12 84 25.705,41 6.768,95 16.685,67 2.250,78 920.240,31

8 1 85 25.705,41 6.752,44 16.644,96 2.308,01 917.932,31

8 2 86 25.705,41 6.735,50 16.603,22 2.366,69 915.565,62

8 3 87 25.705,41 6.718,14 16.560,41, 2.426,86 913.138,76

8 4 88 25.705,41 6.700,33 16.516,51 2.488,56 910.650,20

8 5 89 25.705,41 6.682,07 16.471,50 2.551,84 908.098,36

8 6 90 25.705,41 6.663,34 16.425,34 2.616,72 905.481,64

8 7 91 25.705,41 6.644,14 16.378,01 2.683,26 902.798,39

8 8 92 25.705,41 6.624,45 16.329,48 2.751,47 900.046,92

8 9 93 25.705,41 6.604,26 16.279,71 2.821,43 897.225,49

8 10 94 25.705,41 6.583,56 16.228,68 2.893,16 894.332,33

8 11 95 25.705,41 6.562,33 16.176,35 2.966,72 891.365,60

8 12 96 25.705,41 6.540,56 16.122,69 3.042,15 888.323,45

9 1 97 25.705,41 6.518,24 16.067,66 3.119,50 885.203,95

9 2 98 25.705,41 6.495,35 16.011,24 3.198,82 882.005,13

9 3 99 25.705,41 6.471,88 15.953,38 3.280,15 878.724,98

9 4 100 25.705,41 6.447,81 15.894,05 3.363,55 875.361,44

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM179

180



9 5 101 25.705,41 6.423,13 15.833,21 3.449,06 871.912,37

9 6 102 25.705,41 6.397,82 15.770,82 3.536,76 868.375,61

9 7 103 25.705,41 6.371,87 15.706,85 3.626,68 864.748,93

9 8 104 25.705,41 6.345,26 15.641,25 3.718,89 861.030,04

9 9 105 25.705,41 6.317,99 15.573,95 3.813,45 857.216,60

9 10 106 25.705,41 6.289,99 15.505,01 3.910,40 853.306,19

9 11 107 25.705,41 6.261,30 15.434,28 4.009,83 849.296,37

9 12 108 25.705,41 6.231,87 15.361,75 4.111,78 845.184,59

10 1 109 25.705,41 6.201,70 15.287,38 4.216,32 840.968,27

10 2 110 25.705,41 6.170,76 15.211,12 4.323,52 836.644,75

10 3 111 25.705,41 6.139,04 15.132,92 4.433,45 832.211,30

10 4 112 25.705,41 6.106,51 15.052,73 4.546,17 827.665,13

10 5 113 25.705,41 6.073,15 14.970,18 4.661,76 823.003,37

10 6 114 25.705,41 6.038,94 14.886,18 4.780,29 818.223,08

10 7 115 25.705,41 6,003,87 14.799,71 4.901,83 813.321,26

10 8 116 25.745,41 5.967,90 14.711,05 5.026,46 808.294,80

10 9 117 25.705,41 5.831,02 14.620,13 5.154,26 803.140,55

10 10 118 25.705,41 5.893,20 14.526,91 5.285,30 797.855,24

10 11 119 25.705,41 5.854,41 14.431,31 5.419,68 792.435,56

10 12 120 25.705,41 5.814,65 14.333,28 5.557,48 786.878,08

11 1 121 25.705,41 5.773,87 14.232,76 5.698,78 781.179,30

11 2 122 25.705,41 5.732,05 14.129,68 5.843,68 775.335,62

11 3 123 25.705,41 5.689,17 14.023,98 5.992,25 769.343,37

11 4 124 25.705,41 5.645,20 13.915,59 6.144,61 763.198,76

11 5 125 25.705,41 5.600,12 13.804,45 6.300,84 756.897,92

11 6 126 25.705,41 5.553,88 13.690,49 6.461,04 750.436,89

11 7 127 25.705,41 5.506,47 13.573,62 6.625,31 743.811,58

11 8 128 25.705,41 5.457,86 13.453,79 6.793,76 737.017,81

11 9 129 25.705,41 5.408,01 13.330,90 6.966,50 730.051,32

11 10 130 25.705,41 5.356,89 13.204,89 7.143,62 722.907,70

11 11 131 25.705,41 5.304,47 13.075,68 7.325,25 715.582,45

11 12 132 25.705,41 5.250,72 12.943,19 7.511,50 708.070,95

12 1 133 25.705,41 5.195,60 12.807,32 7.702,48 700.368,47

12 2 134 25.705,41 5.139,09 12.668,00 7.898,32 692.470,16

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM180

181



12 3 135 25.705,41 5.081,13 12.525,14 8.099,13 684.371,03

12 4 136 25.705,41 5.021,70 12.378,65 8.305,06 676.065,97

12 5 1,37 25.705,41 4.960,76 12.228,43 8.516,21 667.549,75

12 6 138 25.705,41 4.898,27 12.074,39 8.732,74 658.817,01

12 7 139 25.705,41 4.834,19 11.916,44 8.954,78 649.862,24

12 8 140 25.705,41 4.768,49 11.754,46 9.182,45 640.679,78

12 9 141 25.705,41 4.701,11 11.588,38 9.415,92 631.263,86

12 10 142 25.705,41 4.632,02 11.418,06 9.655,32 621.608,54

12 11 143 25.705,41 4.561,17 11.243,42 9.900,81 611.707,73

12 12 144 25.705,41 4.488,52 11.064,34 10.152,54 601.555,19

13 1 145 25.705,41 4.414,03 10.880,70 10.410,68 591.144,51

13 2 146 25.705,41 4.437,63 10.692,40 10.675,37 580.69,14

13 3 147 25.705,41 4.259,30 10.499,31 10.946,79 569.522,35

13 4 148 25.705,41 4.178,98 10.301,31 11.225,12 558.297,23

13 5 149 25.705,41 4.096,61 10.098,27 11.810,82 546.786,70

13 6 150 25.705,41 4.012,15 9.890,07 11.803,18 534.983,52

13 7 151 25,705,41 3.925,54 9.676,58 12.103,03 522.880,24

13 8 152 25.705,41 3.836,73 9.457,66 12.411,01 510.469,23

13 9 153 25.705,41 3.745,66 9.233,18 12.726,56 497.742,67

13 10 154 25.705,41 3.652,28 9.002,98 13.050,14 484.692,53

13 11 155 25.705,41 3.556,52 8.766,94 13.381,94 471.310,58

13 12 156 25.705,41 3.458,33 8.524,89 13.722,19 457.588,40

14 1 157 25.705,41 3.357,64 8.276,69 14.071,0 443.517,32

14 2 158 25.705,41 3.254,39 8.022,18 14.428,84 429.088,48

14 3 159 25.705,41 3.148,52 7.761,19 14.795,70 414.292,79

14 4 160 25.705,41 3.039,95 7.493,57 15.953,19 399.120,91

14 5 161 25.705,41 2.928,63 7.219,15 15.557,63 382.563,28

14 6 162 25.705,41 2.814,47 6.937,75 15.953,19 367.610,09

14 7 163 25.705,41 2.697,41 6.649,19 16.358,80 351.251,29

14 8 164 25.705,41 2.577,37 6.353,30 16.774,23 334.476,56

14 9 165 25.705,41 2.454,29 6.049,89 17.201,23 317.275,32

14 10 166 25.705,41 2.328,07 5.738,76 17.638,58 299.636,74

14 11 167 25.705,41 2.198,64 5.419,72 18.087,05 281.549,70

14 12 168 25.705,41 2.065,92 5.092,57 18.546,92 263.002,78

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM181

182



15 1 169 25.705,41 1.929,83 4.757,08 19.018,48 243.984,30

15 2 170 25.705,41 1.790,28 4.413,10 19.502,03 224.482,28

15 3 171 25.705,41 1.647,18 4.060,35 19.997,87 204.484,40

15 4 172 25.705,41 1.500,44 3.698,64 20.506,32 183.978,08

15 5 173 25.705,41 1.349,97 3.227,73 21.027,70 162.950,38

15 6 174 25.705,41 1.195,68 2.947,39 21.562,34 141.388,04

15 7 175 25.705,41 1.037,46 2.557,37 22.110,57 119.277,47

15 8 176 25.705,41 875,22 2.157,45 22.672,74 96.604,73

15 9 177 25.705,41 708,86 1.747,35 23.249,20 73.355,53

15 10 178 25.705,41 538,26 1.326,83 23.84 0,32 49.515,21

15 11 179 25.705,41 363,33 895,61 24.44 6,47 25.068,74

15 12 180 25.705,41, 183,95 453,43 25.06 8,02 0,72

1.046.736,53 2.580.237,27

Cuota periódica creciente linealmente

Nota. El incremento es en una suma fija,� = Suma fija

La función esA1 = A1

A2 = A1 + �A3 = A2 + � = A1 + 2�

An = A1 + (n − 1)�

La fórmula se deduce así:

La serie de cuotas crecientes se ha descompuesto en series de anualidades.La primera serie tiene n términosLa segunda serie tiene (n − 1) términos La tercera serie tiene (n − 2) términosLa última serie tiene un solo términoSe calculan los valores futuros de cada serie

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM182

183


Última serie

A1

3a. serie

2a. serie

1a. serie

1 2 3 n(n - 1)

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184


Al factorizar:

Al despejar el último paréntesis e invertir el orden se obtiene:

(1)

Lo que está entre corchetes es una progresión geométrica creciente de n términos, donde elprimero es 1 y la razón es (1 + i). La suma de los términos de una progresión geométricacreciente es

Al reemplazar se tiene:

(2)


Como F = P (1 + i)n, entonces

(3)

Ahora se hace

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM184

185


Luego,

Se despeja P, así:

Al factorizar se tiene

Con esta fórmula se calcula la primera cuota. Para calcular una cuota cualquiera (unacuota k), donde k ≤ n, la función es Ak = A1 + (k − 1)�. Entonces,

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM185

186


Ejemplo 6.7

Un crédito se otorga en las siguientes condiciones:

P = $1.000.000n = 180 mesesic = 0,24ie = 5%= 0,05� = 50 sobre cada cuota

Calcular la primera y la última cuotas.

Nota. En este ejemplo nótese cuánto se amortiza al capital en el primer periodo.La primera cuota es

A1 = 20.594,65

Esta cuota tiene tres elementos:a. Abono a capitalb. Interesesc. Corrección monetaria o IPC.

La tasa de interés efectiva periódica es

im = 0,022235397

Esta tasa está conformada por la tasa de corrección monetaria periódica y la tasa de interésperiódica adicional. Ahora se calculará la primera de ellas.

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM186

187


Si de la tasa efectiva periódica se resta la tasa de corrección monetaria periódica, se obtie-ne la tasa de interés realmente cobrada en este crédito.

Tasa realmente cobrada = 0,022235397 − 0,018087582

Tasa realmente cobrada = 0,0041478151Luego,

(1.000.000)(0,004147815) = 4.147,81 (interés)

(1.000.000)(0,018087582) = 18.087,58 (corrección monetaria)

La suma de estos valores da como resultado:

4.074.12 + 18.087,58 = 22.235,39

Esto indica que si A1 = $20.594,65 y la corrección monetaria más los intereses suman$22.235,39, entonces en ese periodo la amortización a capital fue negativa; es decir, lacuota fue inferior a los compromisos en $1.640,74Este valor debe sumarse al saldo y se continúa con el proceso normal.Esto quiere decir que la corporación refinanció la suma de $1.640,74 que faltaron en laprimera cuota.

Cómo calcular el saldo con este plan

Ejemplo 6.8

Con base en los datos del ejemplo anterior, calcular el saldo de la deuda después de pagarla sexta cuota.

n A I Abono a capital Saldo

0 1.000.0001 20.594,65 22.235,39 −1.640,74 1.001.640,742 20.644,65 22.271,87 −1.627,22 1.003.267,973 20.694,65 22.308,06 −1.613,41 1.004.881,384 20.744,65 22.343,93 −1.599,28 1.006.480,665 20.794;65 22.379,49 −1.584,84 1.008.065,506 20.844,65 22.414,73 −1.570,08 1.009.635,58...

180 29.544,65

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM187

188


Para calcular el saldo de una deuda amortizada mediante este plan puede aplicarse el con-cepto de gradiente y solucionar el problema. Primero se elabora la gráfica con el fin devisualizar el punto donde se calculará el saldo, lo mismo que el valor de k y el valor de g.

En el periodo 6 se da el punto cero para la serie de gradiente, lo cual indica que la base delgradiente (k) esta dada por el valor de la cuota 7 y que el gradiente (g) empieza a darse apartir del octavo mes. El valor de g será de $50, según los datos del problema.

Si n = 180, entonces

n =180 – 6 = 174

El problema consiste en calcular en el punto 6 el valor presente de la serie k y sumarlo alvalor presente de la serie de gradiente en el mismo punto.

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM188

189


P = 20.894,64(43,9936306) + 2.248,6668 (40,20318741)

P = 919.231,51 + 90.403,57

P = 1.009.635,08

Nota 1. A1 trabajar con un microcomputador, las diferencias tenderán a cero.Nota 2. Si el sistema es decreciente, se utilizará el gradiente decreciente.Nota 3. Si el sistema es creciente linealmente en porcentaje (sobre la primera cuota) seconvertirá este en suma fija y luego se procede como tal.

Ejemplo 6.9

Si el incremento es del 10% sobre la primera cuota y ésta tiene un valor de $100, tambiénpuede decirse que el incremento es de $10 sobre la cuota anterior. Ambos planteamientosson equivalentes.

Ejemplo 6.10

Un banco le otorgó un crédito de $1.000.000 al señor Pérez para la compra de vivienda, enlas siguientes condiciones:

Plazo = 15 años

Corrección monetaria = 25% anual

Tasa de interés = 4% anual

Pago de cuotas mensuales

Incremento de $50 sobre cada cuota.

1. Elaborar la tabla de amortización para las tres primeras cuotas. Incluir la columna delfactor para el cálculo de la nueva cuota.

2. ¿Cuál será el saldo de la deuda después de haber pagado la última cuota del cuarto año?

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:39 AM189

190


A1 = (22.104) (1,019927531) − 2.262,034021 (0,920713934)

A1 = 22.544,47 – 2.082,68 = 20.461,79

2. Cuota 48: última cuota del cuarto año.

n A Intereses Corrección Abono Saldo Factormonetaria a capital

0 1.000.000 0,0204617

1 20.461,79 3.334,74 18.769,26 −1.642,22 1.001.642,22 0,0204781

2 20.511,79 3.340,21 18.800,08 −1.628,51 1.003.270,73 0,0204947

3 20.561,79 3.345,64 18.830,65 −1.614,51 1.004.885,24

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A49 = A1 + (49 − 1) 50A49 = 20.461,79 + (48)(50)= 22.861,79A48: se supone como punto cero para la serie del gradienteA49: base del gradiente = 22.861,79 = kg = 50n =180 – 48 = 132

Nota. El incremento se realiza en un porcentaje sobre la primera cuota. � = %Esto quiere decir que la función es

A1 = A1

A2 = A1 + A1 � = A1 (1 + �)

A3 = A2 + A1 � = A1 + A1 � + A1 �

= A1 + 2A1 � = A1 (1 + 2 �)

A4 = A1 (1 + 3 �)

Ak = A1 [1 + (k − 1) �], con k ≤ n

En la deducción de la fórmula de cuota periódica creciente linealmente en una suma fija sellega a:

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:40 AM191

192


Considérese ahora que � equivale a un porcentaje sobre la primera cuota. Luego, el incre-mento se calcula como �A1.

Entonces,

donde

Para calcular una cuota cualquiera se utiliza la función:

Ejemplo 6.11

Se concedió un préstamo en las condiciones siguientes:P = $2.000.000n = 3i = 0,06� = 0,15 sobre la primera cuota

Se elabora la tabla de amortización como sigue:

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:40 AM192

193


Tabla de amortización:

Cuota periódica decreciente linealmente

a. En suma fija:En este sistema cada cuota es igual a la anterior menos una suma fija. Luego, si

entonces bastará cambiar el signo en el �:

Ejemplo 6.12

Se otorgó un crédito en las condiciones siguientes:P = $1.000.000n =3i = 0,02� = 100 decreciente

Elaborar la tabla de amortización.

A1 = 346.853,35


0 2.000.000

1 653.937,29 120.000 533.937,29 1.466.062,71

2 752.027,88 87.963,76 664.064,11 801.998,59

3 850.118,47 48.119,91 801.998,59 0

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:40 AM193

194


b. En porcentaje:

Si

entonces,

Ejemplo 6.13

Se concedió un préstamo en las condiciones siguientes:P = $1.000.000n = 3i = 0,02�= 0,0002883 disminuye

Calcular el valor de las dos primeras cuotas.

A2 = 346.754,67 [1 − (2 − 1) 0,0002883]

A2 = 346.754,67 [1 −0,0002883]

A2 = 346.654,35


0 1.000.000

1 346.853,35 20.000 326.853,35 673.146,65

2 346.753,35 13.463 333.290,35 339.856,10

3 346.653,35 6.797 339.856,10 0

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:40 AM194

195


Cuota periódica creciente geométricamente

Cada cuota es igual a la anterior más un porcentaje sobre la anterior.

La función es

A1 = A1

A2 = A1 + A1 � = A1 (1 + �)

A3 = A2 + A2 � = A1 (1 + �) + A1(1 + �) �

= A1 (1 + �) (1 + �) , el factor común es A1 (1 + �)

= A1 (1 + �)2

. .

. .

. .

Ak = A1 (1 + �)k–1

, con k ≤ n

Se calcula el valor futuro en el punto n para cada una de las cuotas indicadas en la función.

F1 = A1 (1 +i)n−1

F2 = A1 (1 + �) (1 +i)n−2

F3 = A1 (1 + �)2 (1 +i)

n−3

. .

. .

. .

Fn = A1 (1 + �)n−1

(1 +i)n−n

Fn = A1 (1 + �)n−1

Luego,

Otra forma de expresarlo es la siguiente:

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:40 AM195

196


Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométrica cre-ciente, y está dada por

Al reemplazar se obtiene:

Al reemplazar en la expresión original se obtiene:

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:40 AM196

197


Sin embargo, F = P (1 + i)n. Luego,

con � ≠ i

de donde

Si se desea calcular una cuota cualquiera, entonces:

donde k ≤ n.

Ejemplo 6.14

P = $2.000.000n = 10i = 0,03� = 0,15Calcular la séptima cuota.

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:40 AM197

198


Cuota periódica decreciente geométricamente

En este plan el gradiente � es negativo. Luego,

Ejemplo 6.15

Con este sistema resolver el problema anterior.

� Sistemas integradosComo su nombre lo indica, se trata de la fusión de dos sistemas simples. Entre estos setienen los siguientes:

• Cuota fija durante todo el plazo y abonos extraordinarios periódicos fijos.• Anualidad creciente linealmente• Anualidad decreciente linealmente• Anualidad creciente geométricamente• Anualidad decreciente geométricamente

Cuota fija durante todo el plazo y abonos extraordinarios periódicos fijos

Es necesario definir las variables siguientes:P = valor del créditon = plazoi = tasa de interésA = valor cuota fijaR = abono extraordinariom = número de abonos extraordinarios

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:40 AM198

199


Ejemplo 6.16

n = 5 años = 20 trimestresA = trimestralesR = semestralesm = 10 semestres

Nótese que se tienen dos series.El valor futuro de la serie de las cuotas periódicas es

El valor futuro de la serie de los abonos extraordinarios será la suma de los valores futurosde cada uno. Esto es,

F1 = R (1 + i)n – n/m

F2 = R (1 + i)n – 2n/m

F3 = R (1 + i)n – 3n/m

Fm = R (1 + i)n – mn/m

= R (1 + i)0

= R

Ftotal = F1 + F2 + F3 + … + Fm

F = R {(1 + i)n – n/m

+ (1 + i)n – 2n/m

+ (1 + i)n – 3n/m

+ … + (1 + i)n – (m – 1)n/m

+ 1}

F = R {(1 + i)n – n/m

+ (1 + i)n – 2n/m

+ (1 + i)n – 3n/m

+ … + (1 + i)n/m

+ 1}

Al invertir el orden se obtiene:

F = R[1 + (1 + i)n/m

+ ...

+ (1 + i)n−2n/m

+ (1 + i)n−n/m

]

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:40 AM199

200


Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométrica de mtérminos cuya razón es (1 + i)

n/m y el primer término es 1.

Al reemplazar se tiene:

Luego, en el punto n el valor futuro total está dado por la suma de los valores futuros de lasdos series.

Sin embargo, F = P(1 + i)n. Luego,

El problema consiste en hallar el valor de la cuota periódica fija cuando se conoce el valordel abono extraordinario periódico y fijo, o viceversa.

Ejemplo 6.17

P = $2.000.000n = 180 mesesR = $50.000 semestralesm = 30 semestresA = ?i = 0,03 mensual

capitulo 6-167-200 1/20/06, 10:40 AM200

201


Otra forma de solucionar el problema es:P = $2.000.000n = 180 mesesR = $50.000 semestralesm = 30 semestresA= ?i = 0,03 mensual

Como puede observarse, hay dos series de cuotas, así:

• Una serie de cuotas mensuales iguales

• Otra serie de cuotas semestrales iguales

Esto indica que deben tenerse dos tasas de interés efectivas periódicas equivalentes. Para laserie de cuotas mensuales:

im = 0,03 mensual

Para la serie de cuotas semestrales:is = ?is = (1,03)

6 − 1 = 0,194052296

Luego,

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:41 AM201

202


Anualidad creciente, geométricamente

Este plan se conoce también con el nombre de plan escaleno o escalera:

0 1 2 12 13 14 24 25 26 36

A

k = número de anualidades = numero de años que contenga el plazon = número de cuotas que contiene cada anualidad

Ejemplo 6.18

Si el plazo son 15 años y las cuotas son mensuales, entonces:k = 15n = 12

Lo primero que debe hacerse es calcular los valores futuros de cada serie de anualidades.En este caso se tiene una tasa efectiva periódica.Una vez calculados los valores futuros de cada serie de anualidades se calculan los valorespresentes de cada uno de esos valores futuros. En este caso, se tiene una tasa efectivaanual.

Como

� = tasa de incremento de una anualidad a otra.

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:41 AM202

203


Primera serie de anualidades:

Segunda serie de anualidades:

Tercera serie de anualidades:

Última serie de anualidades:

Ahora se calculan los valores presentes de los valores futuros hallados.

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:41 AM203

204


Luego,

A1 factorizar se obtiene:

Lo que está entre el corchetes es una progresión geométrica de k términos cuya razón es

y el primer termino es 1.

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:41 AM204

205


Como la tasa de interés efectiva anual es mayor que la tasa de incremento, para mayorcomodidad la expresión se multiplica por (−1).

Al reemplazar en la expresión inicial se obtiene:

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:41 AM205

206


Luego,

Para calcular una cuota z−ésima cualquier (z ≤ k), se utiliza la función:

Nota. Si las cuotas son mensuales y quiere hallarse la cuota número 50, ésta se encuentraen la quinta anualidad. Luego, n = 12, z = 5.

Ejemplo 6.19

P = $1.000.000

ic = 24% = 0,24

k = 10 años

ie = 9%= 0,09

ia = (1,24) (1,09) − 1= 35,16% = 0,3516

im = (1,3516)1/12

− 1 = 2,5425269% = 0,025425269

n = 12 meses

� = 18,5%

Calcular la cuota número 47.

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:41 AM206

207


Nota. La cuota numero 47 está en la cuarta anualidad.

Las deducciones de las expresiones de los otros sistemas integrados se hacen de manerasimilar a las anteriores.

Si se desea calcular el total pagado hasta una anualidad cualquiera, se procede de lasiguiente manera:

Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométrica cre-ciente, de k términos, y esta dada por:

Como cada cuota se paga n veces en cada anualidad, entonces:

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM207

208


Ejemplo 6.20

En el ejercicio numero 4 de la autoevaluación se tiene que:

A1 = $16.466� = 0,185k = 10n = 12

En la tabla de amortización se observa que se pagó:

por intereses = $1.086.114,87por corrección monetaria = $2.677.334,30por capital = $1.000.000

Total pagado = $4.763.449,17

Ahora,

I + corrección monetaria = Suma pagada − P

� Sistemas agregados

Entre los más importantes están los siguientes:

• Anualidad durante todo el tiempo y una cuota final

• Anualidad vencida durante todo el tiempo y una cuota decreciente aritméticamente yen forma anticipada. También se conoce con el nombre de cuota capital constante.

• Serie decreciente geométricamente y otra serie más, decreciente aritméticamente.

• Anualidad para todo el tiempo y una cuota más que crece geométricamente.

• Una anualidad que crece geométricamente y una cuota que también crece de la mismamanera.

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM208

209


Anualidad durante todo el tiempo y una cuota final

Este caso es muy conocido en el mercado financiero colombiano.El diagrama es el siguiente:

La función es:A1 = A1

A2 = A1

A3 = A1

A4 = A1

.

.

.An = A1 + cuota final

El problema consiste en calcular el valor presente de la serie de cuotas iguales y sumarle elvalor presente de la cuota final.

De esta expresión puede deducirse el valor de A, así:

Ejemplo 6.21

El señor Pérez necesita comprar un microcomputador. Llama a un vendedor y éste le hacelas siguientes ofertas:

• El microcomputador vale $1.000.000 de contado, pero puedo vendérselo financiado aun año con cuotas mensuales de $100.462.

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM209

210


El señor Pérez le dice que no puede comprarlo de contado y que, además, las cuotaspara comprarlo financiado son muy altas. En consecuencia, decide aplazar la compra delmicrocomputador. El vendedor insiste nuevamente y le dice:

• Como usted es una persona con muchas capacidades y demasiado responsable, mi em-presa le ayudará alquilándole el microcomputador durante un año sin ningún compro-miso de compra y con un canon de arrendamiento de $70.000 mensuales. Dentro de unaño, si usted quiere quedarse con el microcomputador, la empresa le reconoce el arren-damiento pagado y se lo vende por $432.318.

El señor Pérez analiza la oferta y concluye que verdaderamente el vendedor quiere ayudar-lo; cambia de opinión y cierra el negocio.

Lo que el señor Pérez no hizo fue el siguiente análisis:

1. Precio de contado: $1.000.0002. Al comprarlo por cuotas, el vendedor le financia el $1.000.000 a 12 meses y a una

tasa del 3% mensual.

3. De manera muy habilidosa el vendedor rebajó el valor de la cuota a $70.000 y los$30.462 restantes de cada mes, se los cobrará al final del año pero en forma finan-ciada. En otras palabras, no le habló de cuotas de pago sino de cuotas de arrenda-miento y además le dijo que la empresa le “regalaría” dichas cuotas de arrendamientosi él se quedaba con el microcomputador.

Nótese que lo que hizo el vendedor fue calcular el valor de la cuota final.

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM210

211


En otras palabras, el vendedor le cambió el empaque al producto.

Anualidad vencida durante todo el tiempo y cuota decreciente linealmentey anticipada

Este sistema también se conoce como cuota capital constante, y lo utilizan aquellas entida-des crediticias que cobran los intereses anticipados y el valor del crédito lo dividen enpartes iguales para todo el plazo.

La primera cuota corresponde sólo a los intereses anticipados sobre la totalidad de ladeuda.

I0 = Pi

La última cuota no contempla el pago de intereses porque éstos ya se pagaron anticipada-mente.

Las demás cuotas (comprendidas entre la primera y la ultima. constan de dos elementos:

• Interés pagado por anticipado• Abono a capital

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM211

212


El diagrama económico es el siguiente:

0 1 2 3 4 (n - 1) n

Las cuotas que amortizan el capital son:

Ac = P/n

Una cuota k cualquiera esta dada por:

Ak = Ac + Ik con 1 < k < n

Para calcular los intereses es necesario calcular primero los saldos:

1er. saldo = P – Ac

2do. saldo = P – 2Ac

3er. saldo = P – 3Ac

k−ésimo saldo = P – kAc

Luego, los intereses serán el producto del saldo por la tasa. Los k−ésimos intereses serán:

Ik = (P − kAc)i

Ik = Pi − kiAc

Sin embargo, Pi = I0. Luego,

Ik = I0 − KiAc

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM212

213


y la cuota total será:

Ak = Ac + Ik

Ak = Ac + I0 – kiAc

Ak = Ac (1 − ki)+I0

Ejemplo 6.22

Un banco hace un préstamo de $200.000 a un empleado del departamento. La tasa deinterés es del 2.5% mensual y el plazo son 5 meses. Elaborar la tabla de amortización.

P = $200.000n = 5 mesesi = 0,025 mensual

AP

nc = = =200 000

540 000

..

I0 = Pi = (200.000)(0,025) = 5.000

A1 = 40.000[1 − 1(0,025)] + 5.000 = 44.000

A2 = 40.000[1 − 2(0,025)] + 5.000 = 43.000

A3 = 40.000[1 − 3(0,025)] + 5.000 = 42.000

A4 = 40.000[1 − 4(0,025)] + 5.000 = 41.000

A5 = 40.000[1 − 5(0,025)] + 5.000 = 40.000

Tabla de amortizaciones:


0 5.000 5.000 200.000

1 44.000 4.000 40.000 160.000

2 43.000 3.000 40.000 120.000

3 42.000 2.000 40.000 80.000

4 41.000 1.000 40.000 40.000

5 40.000 0 40.000 0

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM213

214


Si se desea calcular el total de los intereses pagados hasta una fecha determinada, se proce-de de la siguiente manera:

I1 = Pi

I2 = (P − Ac) i

I3 = (P − 2Ac)i

Ik = [P − (k − 1) Ac] iLuego,

I = I1 + I2 + ... + Ik

I = Pi + i (P − Ac) + i (P − 2Ac) + ... + i [P − (k − 1) Ac]

I = Pi + (Pi − Aci) + (Pi − 2Aci) + ... + [Pi − (k − 1) Aci]

I = kPi – Aci [1 + 2 + 3 + ... + (k − 1)]

Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión aritmética.

Luego,

Como los intereses se pagan por anticipado, entonces el periodo estará dado por (k + 1).

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM214

215


Ejemplo 6.23

Con los datos del problema anterior, calcular los intereses pagados hasta el tercer periodoy hasta el último.

a. Hasta el tercer periodo:k = 3i = 0,025 mensualP = $200.000Ac = $40.000

Comprobación:

I3 = I0 + I1 + I2 + I3

I3 = 5.000 + 4.000 + 3.000 + 2.000 = 14.000

b. Hasta el último periodo:

Comprobación:

Ejemplo 6.24

El gerente de una empresa le solicita al jefe de cartera que le diseñe un plan de créditos enel cual cada cuota sea el doble de la anterior.

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM215

216


Primero debe elaborarse la función:

A1 =A1

A2 = 2A1

A3 = 4A1

.

.

.An = A1r

n−1

Luego, la k−ésima cuota con k ≤ n es Ak = A1rk−1

donde r = razón de la progresión geométrica.

Se tiene la suma de los términos de una progresión geométrica creciente. Luego,

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM216

217


Se reemplaza así:

Luego,

Comprobación:P = $100.000n = 4i = 0,02

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM217

218


Ahora se resolverá por fórmula: A3 = A1r

3−1 = 7.110,96 (2)

2 = 28.443,84

Sistema de valor constante

� Sistema UPAC y Sistema UVREl sistema de valor constante surgió durante la gran depresion de los Estados Unidos,cuando el desempleo y el incremento desmedido de la pobreza generaron la disminuciondel poder adquisitivo de los ciudadanos, además de la disminucion de ingresos en lasempresas. (no habia quien comprara).

En los años 30, algunos estudiosos convocados en Washington por el profesor JacobViner, entre ellos Lauchin Courrie, egresado de la Universidad de Harvard, tenían claro elobjetivo: buscar la solución a la crisis. Así, junto con el presidente del Banco Central sebuscó una manera de incentivar el empleo y, por consiguiente, el ingreso. En las condicio-nes dadas en ese momento, el único sector que se podría activar era el de la construcción,lógicamente con la ayuda del sector privado; la manera de hacerlo sería operando sobre laoferta y la demanda de fondos para la construcción de vivienda: la oferta, utilizando unsistema de garantías, y la demanda, mediante la facilitación de su pago con la disminuciónde las cuotas iniciales, unido esto a plazos mayores para rebajar el valor de las cuotas, contasas de interés bajas y tendencia a la baja de los precios de los inmuebles.

Todo lo anterior tendría como efecto directo la reactivación de la economía. Esta estra-tegia para reactivar la economía en momentos de depresión, generó la idea que dio origenal sistema de valor constante en nuestro país, el sistema UPAC.


0 100.000,00

1 7.110,96 2.000 5.110,96 94.889,04

2 14.221,92 1.897,78 12.324,14 82.564,90

3 28.443,84 1.651,29 26.792,54 55.772,35

4 56.887,68 1.115,44 55.772,35 0

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM218

219


El sistema UPAC nace jurídicamente con el decreto presidential 677 de mayo 2 de1972, con el cual se pretendió fomentar el ahorro para la construcción, orientándolo sobreel principio del sistema de valor constante y dando ciertos estímulos a las entidades finan-cieras, a través de exenciones tributarias.

Surgió asimismo, la figura de la corrección monetaria como el elemento fundamentalpara el cálculo del valor de la unidad de poder adquisitivo constante, upac. La Junta delBanco de la República estableció la metodología para el cálculo de la corrección monetaria.

Entre 1972 y mediados de 1999, la Junta del Banco de República modificó 22 veces lametodología para el cálculo de la correccíon monetaria hasta llegar en 1999 a una correcciónmonetaria conformada por el 25% del IPC y el 75% de la DTF en cifras redondas.

Esta situación dio lugar a una incapacidad económica de los deudores para cumplir consus obligaciones bancarias, dado que las tasas de interés se elevaron considerablemente y,como si fuera poco, se incurrió en anatocismo (cobro de intereses sobre intereses), figuraprohibida por la legislación civil y comercial de Colombia.

Ante estos hechos, el sistema financiero colapsó y debió intervenir la Corte Constitu-cional, lo cual trajo como consecuencia la desaparición del sistema Upac y el nacimientodel sistema UVR.

La unidad de valor real (UVR) no nació como una solución para los créditos de vivien-da durante la crisis financiera de 1999 sino que la desarrolló la Dirección General deCrédito Público del Ministerio de Hacienda, con el fin de emitir títulos de deuda públicainterna (TES) de largo plazo, denominados en una unidad que protegiera al comprador deltítulo de las variaciones en el nivel de precios de la economía, y le permitiera asegurar unarentabilidad real por encima de la inflación.

Posteriormente, la Ley de Vivienda 546 de l999 adoptó el sistema UVR como la basedel nuevo sistema de financiamiento de vivienda en Colombia, con una corrección mone-taria atada únicamente al índice de precios al consumidor (IPC), certificado por el Dane.Es decir, en esas condiciones la corrección monetaria sería igual al IPC; dicho de otraforma, la corrección monetaria sería sinónimo de IPC.

UPAC (unidad de poder adquisitivo constante): sistema que reconocía una tasa de interéssobre el capital invertido, previamente ajustado con la corrección monetaria causada, co-rrigiendo así la pérdida de poder adquisitivo causada por la inflación.

Cálculo de la UPAC para nov. 10/99

Valor UPAC a octubre 31/99 = 16.293,0768

Variación diaria: 1 1243 1 0 00032104365

, ,− =

UPAC = 16.293,0768(1,00032104)10

= 16.345,46

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM219

220


UVR (unidad de valor real): cálculo de la UVR: el valor en pesos de la Unidad de ValorReal (UVR) se determinará diariamente durante el periodo de cálculo, de acuerdo con lasiguiente fórmula:

UVRt = UVR15 × (1+i)t/d

dondeUVRt = Valor en pesos de la UVR del día t del periodo de cálculo

UVR15 = Valor en pesos de la UVR, el dia 15 de cada mes.

i = Variación mensual del índice de precios al consumidor certificada por el DANEdurante el mes calendario anterior al mes del inicio del periodo de cálculo.

t = Numero de días calendario transcurridos desde el inicio de un periodo decálculo hasta el día de cálculo de la UVR. Por lo tanto, t tendrá valores entre1 y 31, de acuerdo con el número de días calendario del respectivo periodo.

d = número de días calendario del respectivo periodo de cálculo.

Así, para calcular la UVR para el día 17 de noviembre de 1999, la operación es

UVRt = UVR15 × (1+i)t/d

UVR17 = 102,7091(1+0,0035)2/30

= 102,7330

Para calcular la UVR para el 2 de noviembre de 1999, la operación es

UVR2 = 102,3713(1+0,0033)18/31

= 102,5673

� Comparación entre el sistema UPAC y el sistema UVRAmbos sistemas tienen la misma filosofía: mantener el valor del dinero a través del tiem-po, dentro de una economía de tipo inflacionario.

Sistema UVR

1. Opera con base en el IPC

2. El IPC lo calcula el DANE

Sistema UPAC

1. Operaba con base en la correcciónmonetaria.

2. La corrección monetaria era calculadapor la Junta del Banco de la República.

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM220

221


3. El IPC se calcula con base en el au-mento del precio de una serie de bie-nes y servicios establecido por elDANE.

4. El periodo de cálculo está compren-dido entre el 16 de un mes y el 15del mes siguiente.

5. Los valores de la UVR para cada unode los días del periodo de cálculo,se establecen a partir del valor de laUVR del día 15 inmediatamenteanterior a la iniciación del periodode cálculo.

3. La corrección monetaria se calculabacon base en un determinado porcen-taje de la DTF y otro porcentaje delIPC. Cada vez el porcentaje de la DTFera mayor mientras que el porcentajedel IPC era menor.

4. El periodo de cálculo para las UPACestaba comprendido entre el primeroy último día de cada mes.

5. Los valores de la UPAC para cada unode los días del periodo de cálculo, seestablecían a partir del valor de laUPAC del último día del mes inme-diatamente anterior a la iniciación delperiodo de cálculo.

Como se puede observar la diferencia entre los dos sistemas radica básicamente en que elsistema UPAC estaba atado a una corrección monetaria que dependía de la DTF y el IPC,mientras que el sistema UVR está atado únicamente al IPC.

Planes de amortización para créditos de vivienda

Planes autorizados para créditos de vivienda, los cuales también son válidos para créditosde libre inversión

1. Cuota constante en pesos.

2. Abono constante a capital en pesos.

3. Cuota constante en UVR.

4. Abono constante a capital en UVR.

5. Cuota decreciente mensualmente en UVR y cíclica por años.

1. Cuota constante en pesos A Pi i

i

n

n= +( ) ×+( ) −

1

1 1

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM221

222


Eje

mpl

o 6.

25

Val

or d

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bols

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00.0

00.0

00Fe

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bols

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=[(

1 +

0,0

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(1 +

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1)]

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,198

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ope

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rese

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brad

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−00

$100

.000

.000

,00

0,01

6251

175

120

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−00

31$1

.625

.117

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0,00

6484

577

$648

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0,00

8878

420,

0089

3599

$893

.599

,05

$83.

060,

80$9

9.91

6.93

9,20

0,01

6264

685

220

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29$1

.625

.117

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$605

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0,00

8303

250,

0083

5360

$834

.666

,55

$184

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,64

$99.

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479,

560,

0162

9476

7

320

−Abr

−00

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577

$646

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,94

0,00

8878

420,

0089

3599

$891

.208

,49

$87.

186,

12$9

9.64

5.29

3,45

0,01

6309

025

420

−May

−00

30$1

.625

.117

,54

0,00

6274

742

$625

.248

,52

0,00

8590

790,

0086

4470

$861

.403

,22

$138

.465

,80

$99.

506.

827,

650,

0163

3171

9

520

−Jun

−00

31$1

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0,00

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577

$645

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0,00

8878

420,

0089

3599

$889

.192

,06

$90.

665,

80$9

9.41

6.16

1,85

0,01

6346

613

620

−Jul

−00

30$1

.625

.117

,54

0,00

6274

742

$623

.810

,78

0,00

8590

790,

0086

4470

$859

.422

,44

$141

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,31

$99.

274.

277,

540,

0163

6997

6

720

−Ago

−00

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.117

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6484

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$643

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8878

420,

0089

3599

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$94.

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85$9

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capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM222

223


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Jul - 02Ene - 0

3Jul -

03Ene - 0

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05Ene - 0

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06Ene - 0

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07Ene - 0

8Jul -

08Ene - 0

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1Jul -

11Ene - 1

2Jul -

12Ene - 1

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13Ene - 1

4Jul -

14Ene - 1

5

Gráfico de amortización - Plan cuota constante en pesos

Meses - periodos

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-20.000.000

0

20.000.000

40.000.000

60.000.000

80.000.000

100.000.000

120.000.000

� Explicación de la tabla de amortización en el sistema de cuotaconstante(fija) en pesos

Cuando existen dos tasas, una de IPC y otra de interés propiamente dicho, es necesariocalcular primero la tasa efectiva anual que resulta de dicha combinación.

El IPC es un índice o indicador cuya funcion es mostrar la variación anual que han sufridolos precios de los bienes y de los servicios en el país. En otras palabras, es el indicador de lainflación y, como tal, está expresado siempre en términos efectivos anuales.

La tasa de interés que se ha de combinar con el IPC se conoce con el nombre de mar-gen o spread. Esta tasa, por definición del Estatuto Orgánico del sistema financiero co-lombiano, tiene que estar expresada también en términos efectivos anuales, ya que si setrata de combinar dos tasas, éstas deben ser de la misma naturaleza. Es decir, no se puedecombinar una tasa efectiva anual con otra tasa nominal anual. Lo que sí se puede, es con-vertir una de ellas en otra que sea equivalente.

Ejemplo 6.26

Suponiendo que en un crédito la tasa de interés está dada por un IPC del 7,93%, y 11puntos porcentuales de interés adicional, primero se calcula la tasa efectiva anual:

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM223

224



iap = tasa periódica( mensual, bimestral, etc.)

ie = tasa de interés efectiva anual (margen o spread)

ia = (1+IPC)(1 + ie) − 1

ia = (1,0793)(1,11) − 1 = 0,198023

A continuación se calcula la tasa periódica para el periodo comprendido por los días trans-curridos entre dos periodos de pago. Para este ejemplo se calculará la tasa de interés parael periodo comprendido entre el 20 de enero de 2000 y el 20 de febrero de 2000, queequivale a 31 días; como el año 2000 es bisiesto se aplican 366 días.

iap = (1 +ia)31/366

− 1

iap = (1,198023)31/366

− 1 = 0,015420567

Nota. Esta tasa periódica está compuesta por dos elementos: la tasa del IPC periódica y latasa de interés periódica propiamente dicha.

Ahora se calcula el valor del IPC en cada periodo; para hacerlo, primero debemoshallar los intereses totales del respectivo periodo.

saldo: $100.000.000Intereses totales = 0,01542057 × $100.000.000 = $1.542.057

Nota. Este valor está compuesto por los intereses propiamente dichos del periodo y por elvalor del IPC del mismo periodo, ya que la tasa aplicada contiene esos dos elementos.

Ahora se calcula la tasa del IPC para el mismo periodo:

IPCp = (1,0793)31/366

− 1 = 0,006484577

Después se calcula el valor del IPC para el mismo periodo:

Valor IPC = 0,006484577 × $100.000.000 = $648.457,70

Del valor de los intereses totales se resta el valor del IPC y el saldo resultante corres-ponderá a los intereses propiamente dichos del mismo periodo. Entonces,

Valor intereses = $1.542.057 − $648.457,70 = $893.599,30

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM224

225


Esto quiere decir que en ese periodo se pagaron $893.599,30 por concepto de interesesy $648.457,70 por concepto de IPC.

Es importante aclarar que el IPC no es no es una tasa de interés. La ley 45 de 1990 diceque para los efectos de establecer los límites de la usura, la corrección monetaria (hoy,IPC) se computará como interés.

Existe otro procedimiento de cálculo, que corresponde al cálculo de la tasa de interésrealmente cobrada en un crédito, que algunos confunden con la tasa de rentabilidadreal. Son dos cosas muy distintas.

� Cálculo de la tasa de interés realmente cobrada en un créditoEn un crédito donde los cálculos de la tasa de interés están determinados por los efectos dela inflación o IPC es necesario considerar:

a. El objetivo del IPC es corregir los efectos de la inflación.b. Sobre el capital previamente corregido a actualizado con el IPC, se aplica la tasa de

interés propiamente dicha (margen o spread).

Lo anterior indica que la corrección monetaria o IPC produce también unos interesessobre ella y, por tanto, la tasa de interés realmente cobrada en un crédito estará dada por

ia = ie + (ie) (IPC)

En el ejemplo que hemos venido trabajando, se tendría que:

ia = 0,11 + (0,11)(0,0793) = 0,118723

La tasa periódica estará dada por

iep = (1,l 1)31/366

− 1 = 0,008878418

IPCp = 0,006484577Luego,

iap = 0,008878418 + (0,008878418)(0,006484577) = 0,008935993

Si se multiplica el saldo por esta tasa, se obtendrá el valor de los intereses propiamentedichos:

Valor intereses = 0,008935993 × $100.000.000 = $893.599,30

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM225

226


Como se puede observar, éste es el mismo valor calculado anteriormente.

A continuación se calcula el valor del abono o valor de la amortización.

Al valor de la cuota que corresponda pagar en un periodo determinado, se le restan losvalores correspondientes a intereses y corrección monetaria (IPC). Este resultado se restadel saldo insoluto del capital para obtener el nuevo saldo de la obligación.

Después se calcula el factor, el cual se conoce como factor de reducción de cuota ofactor para el cálculo de la nueva cuota. Se calcula a partir de la expresión general:

Fi = (Ai + 1) /si

Donde Fi = factor de la cuota iAi = cuota i

Ai+1 = cuota siguiente a la cuota iSi = saldo i

De ese modo se puede calcular el factor correspondiente a la cuota con la fórmula:

FA

S12

1

=

Este factor siempre será menor que la unidad excepto en la penúltima cuota.Con esta fórmula se hace el cálculo de la nueva cuota cuando hay abonos no pactados

inicialmente. Cuando se hace esta clase de abonos, el factor se constituye en el elemento funda-mental para el cálculo de la nueva cuota, a partir del momento que se hizo el abono al crédito.

Ejemplo 6.27

Supongamos que con el pago de la cuota 4, se hará un abono al crédito por $20.000.000Esto indica que el saldo después de pagar la cuota 4 estará dado por:

Saldo = Saldo anterior − Valor amortización de la cuota 4 − $20.000.000

El nuevo saldo así obtenido, se multiplicará por el factor correspondiente a la cuota 4 yel resultado será el valor de la nueva cuota que se continuará pagando a partir de la quintacuota inclusive.

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM226

227


Eje

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28

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capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM227

228


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capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM228

229


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35

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29

capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM229

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120.

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capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM230

231


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capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM231

232


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capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM232

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234


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capitulo 6-201-234 1/20/06, 10:42 AM234

235


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0285

8355

,879

693

1.82

6,35

4745

936.

735,

9738

0,01

1870

61

1320

−Feb

−01

3111

.119

,625

590,

0089

0285

8339

,619

930

2.78

0,00

5660

933.

955,

9682

0,01

1811

00

1420

−Mar

−01

2811

.030

,956

140,

0080

3783

7506

,980

334

3.52

3,97

5805

930.

431,

9924

0,01

1761

20

1520

−Abr

−01

3110

.942

,993

750,

0089

0285

8283

,496

528

2.65

9,49

7222

927.

772,

4951

0,01

1700

86

1620

−May

−01

3010

.855

,732

790,

0086

1443

7992

,229

332

2.86

3,50

3454

924.

908,

9917

0,00

0000

00

Val

or d

el d

esem

bols

o:$1

00.0

00.0

00Fe

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del d

esem

bols

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de 2

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zo:

15 a

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= 1

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11%

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ctiv

a an

ual

Tasa

per

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ca:

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(1,1

1)1/

12)

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= 0

,008

7345

94G

radi

ente

:10

% e

fect

ivo

anua

lV

aria

ción

de

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cuot

as:(

(1,1

0)1/

12)

− 1

= 0

,007

9741

4V

alor

de

la U

VR

en

ener

o 20

de

2000

:$1

03,6

516

Val

or d

el d

esem

bols

o en

UV

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$10

0.00

0.00

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,651

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.770

,442

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11.1

19,6

2559

Tab

la d

e am

orti

zaci

ón p

ara

las

16 p

rim

eras

cuo

tas

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM235

236


Este plan consiste en la integración de un sistema de gradiente geométrico decrecientecon otro sistema de cuota anual uniforme y anticipada durante todo el plazo.

El valor del gradiente está dado por el valor del IPC.Conociendo el valor del desembolso (valor del crédito) en UVR, se calcula el valor de

la cuota anual anticipada, con la expresión vista:

A

P

ia

ia ia

m

m

=+ +( ) −

+( )

−

−11 1

1

1

1

donde

A = valor de la cuota anual anticipada

P = valor del desembolso en UVR


m = plazo en años

E1 valor de la cuota anual anticipada se asume como un valor presente y se calcula laprimera cuota de la serie decreciente geométricamente. El gradiente está dado por lavariacion mensual de Ia UVR (la variación mensual es el IPC).

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM236

237


La expresión matemática para hacer el cálculo es

A

P g ia

g

ia

p

p

n1

11

1

=+( )

− −+

donde

A1 = valor de la primera cuota de la serie de 12 cuotas decrecientes

P = valor de la cuota constante y anticipada calculada anteriormente

g = valor del gradiente (variación mensual del IPC).

iap = tasa periódica

n = 12 meses. Este plan habla de cuotas mensuales, luego el ciclo es de 12 meses.

Este ciclo se repite año a año durante todo el plazo.

Ejemplo 6.33

Un crédito de vivienda por $50.000.000 se desembolsó el 20 de enero de 2000. El plazofue de 15 años. la tasa de interés es 11% efectiva anual. Las cuotas son mensuales y decre-cen en el valor del IPC. (Asuma el 10% efctivo anual). Elabore la tabla de amortizaciónpara varios periodos.

A =+ ( ) −

( )

−

−

482 385 2212

11 11 1

0 11 1 11

15 1

15 1

. ,

,

, ,

A = 60.435,14985 UVRA = P

A1 12

60 435 14985 0 0079744 0 00873459

11 0 00797441 0 00873459

=( )

− −+

. , , ,

,,

++

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM237

238


A1 = 5.559,8128 UVR

A2 = A1(1−g)k−1

A2 = 5.559,8128(1 − 0,00797414)2−1

= 5.515,4781

A12 = 5.559,8128(1 − 0,00797414)11

= 5.091,1172

Este problema se puede resolver en forma más simple, si se integran las dos fórmulas:

A

P

ia

ia ia

g ia

g

ia

gk

m

m

p

p

n

k=+ +( ) −

+( )

+[ ]

− −+

−[ ]

−

−−

11 1

1

11

1

1

1

11

donde

K = indica el número de la cuota. K tendrá valores desde 1 hasta 12.

P = valor del desembolso en UVR

Ejemplo 6.34

Calcular con los datos anteriores, el valor de la cuota 6

A6

14

14

125

482 385 2212 0 007974 0 00873459

11 11 1

0 11 1 11

11 0 00797414

1 0 00873459

1 0 007974114=

+( )

+ ( ) −( )

− −+

−[ ]

. , , ,

,

, ,

,

,

,

A61 009 794602

0 1816238540 960760119= ( ) =. ,

,,

A6 = 5.341,6464 UVR

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM238

239


Pla

n cu

ota

decr

ecie

nte

men

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men

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n U

VR

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e in

teré

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la U

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0 de

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embo

lso

en U

VR

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0.00

0.00

0 / 1

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516

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85,2

212

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Val

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UV

RU

VR

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esos

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esos

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482.

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2212

0,01

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000.

000

120

-Feb

-00

315.

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0,00

8878

418

4.28

2,81

751.

276,

9953

481.

108,

2259

0,01

1464

111

$104

,342

5$5

80.1

25$5

0.20

0.03

52

20-M

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029

5.51

5,47

810,

0083

0324

53.

994,

7596

1.52

0,71

8547

9.58

7,50

740,

0114

0875

6$1

05,8

427

$583

.773

$50.

760.

837

320

-Abr

−00

315.

471,

4969

0,00

8878

418

4.25

7,97

821.

213,

5187

478.

373,

9887

0,01

1346

492

$108

,186

0$5

91.9

39$5

1.75

3.36

84

20-M

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030

5.42

7,86

640,

0085

9079

04.

109,

6107

1.31

8,25

5747

7.05

5,73

300,

0112

8711

7$1

09,9

017

$596

.532

$52.

429.

236

520

-Jun

-00

315.

384,

5838

0,00

8878

418

4.23

5,50

011.

149,

0838

475.

906,

6493

0,01

1224

147

$110

,918

6$5

97.2

51$5

2.78

6.89

96

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030

5.34

1,64

640,

0085

9079

04.

088,

4143

1.25

3,23

2147

4.65

3,41

720,

0111

6404

3$1

11,3

955

$595

.035

$52.

874.

250

720

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315.

299,

0514

0,00

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418

4.21

4,17

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084,

8801

473.

568,

5371

0,01

1100

391

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,369

6$5

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53$5

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1.13

98

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031

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84.

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5393

1.05

2,25

6747

2.51

6,28

040,

0110

3639

8$1

11,3

915

$585

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$52.

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297

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305.

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841.

155,

5892

471.

360,

6911

0,01

0975

233

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,765

8$5

82.8

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1.54

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315.

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1320

-Feb

-01

315.

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0,00

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238

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7486

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2474

. . . 24 . .

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM239

240



1. Consultar todos los planes de amor-tización para créditos de vivienda quetienen los bancos y resolverlos parapréstamos de diferentes denomina-ciones.

2. El señor Pérez solicitó un crédito paravivienda y se le otorgó así:Valor del préstamo = $5.000.000Tasa de interés = 6% anualTasa de corrección monetaria = 19% anualPlazo = 10 añosPago de cuotas mensuales que seincrementarán en $60,00 cada una conrespecto a la anterior.Calcular la cuota número 20.Respuesta: $107.175,42

3. Con los datos del problema anterior,calcular la décima cuota pero tenien-do en cuenta que el incremento es del0,0566% sobre la primera cuota.Respuesta: $106.536,36

4. Una entidad otorgó un crédito paravivienda en las siguientes condicio-nes:Valor del préstamo = $10.000.000Tasa de interés = 5% anualCorrección monetaria = 20% anualPago de cuotas bimestralesPlazo = 15 años; cada cuota se incremen-tará en un 12% sobre la anteriorCalcular la cuota número 50.Respuesta: $248.411,30

5. El Banco le prestó al señor Pérez$30.000.000 en las siguientes condi-ciones:

Plazo = 36 mesesTasa de interés = 2,5% mensualPago de cuotas mensuales, de las cua-les cada una decrece en un 1,2% res-pecto de la anterior.Calcular la cuota número 12.Respuesta: $1.324,541

6. Un banco le prestó al señor Pérez$5.000.000 para mejorar sus cafeta-les. El crédito se dio así:Plazo = 3 añosPago de cuotas mensuales igualesTasa de interés = 2% mensualSi el señor Pérez se compromete ahacer abonos de $100.000 al final decada semestre, ¿cuál será el valor desus cuotas?Respuesta: $180.311,68

7. Una entidad tiene el siguiente planpara sus créditos de vivienda:Valor del préstamo = $10.000.000Plazo = 15 años con pago de cuotasmensualesTasa de interés = 4% anualCorrección monetaria = 19% anualCada año las cuotas se incrementaránen un 10% sobre la anualidad anteriorCalcular el valor de la cuota número80.Respuesta: $221.729,19

8. El Banco le prestó al señor Pérez$4.000.000 en las siguientes condi-ciones:Plazo = 3 años con pago de cuotasmensuales

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM240

241


Tasa de interés = 2,8% mensualPago de cuotas igualesPeriodo de gracia = 6 mesesEl plazo no incluye el periodo de gra-ciaCalcular el valor de la cuota.Respuesta: $209.827,91

9. El Banco le prestó al señor Pérez$5.000.000 con el siguiente plan:El capital se pagará en partes men-suales iguales y en forma vencidaLos intereses se pagarán mensualmen-te en forma anticipadaEl plazo será de 12 mesesTasa de interés = 2,5% mensualCalcular el valor de la sexta cuota.Respuesta: $479.166,66

10. Con base en los datos del problema9, calcular el total de los interesespagados hasta el mes 12.Respuesta: $812.500

11. Un crédito de $5.000.000 se otorga enlas siguientes condiciones:i = 0,025 mensualn = 12 mesesLa modalidad del pago será: pago deintereses por mes anticipado y el ca-pital se amortizará en partes mensua-les iguales vencidas. Calcular el valorde la quinta cuota.Respuesta: A5= $489.583,32

12. Con base en los datos del problema11, calcular el monto de los interesespagados hasta la novena cuota.Respuesta: I9 = $781.250

Autoevaluación

1. Un crédito se otorga en las siguientescondiciones:Préstamo = $1.000.000Tasa de corrección monetaria = 25%anualTasa de interés = 4% anualPlazo = 180 mesesIncremento = $60,00 sobre cada cuotaCalcular la primera y la segunda cuotas.

2. Un crédito se otorga en las siguientescondiciones:Préstamo = $5.000.000Plazo = 50 mesesTasa de interés mensual = 2%Incremento = 15% sobre la cuota anteriorCalcular el valor de la octava cuota.

3. Elaborar la tabla de amortización y surespectiva gráfica para un préstamoque se amortizará en las siguientescondiciones:Corrección monetaria = 24% anualTasa de interés adicional = 9% anualPlazo = 15 añosPago de cuotas mensualesIncremento =18,5% anualValor del préstamo = $1.000.000

4. Elaborar la tabla de amortización y lagráfica respectiva para un préstamoque se amortizará en las siguientescondiciones:Corrección monetaria = 24% anualTasa de interés adicional = 9% anual

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM241

242


Plazo = 120 mesesPago de cuotas mensualesValor del préstamo = $1.000.000Incremento = 18,5% anual.

5. Un crédito de $10.000.000 seamortizará en las siguientes condicio-nes:Corrección monetaria = 19% anualTasa de interés adicional = 5% anualPlazo = 15 añosPago de cuotas mensualesIncremento anual =14%Calcular el valor de la sexta cuota.

6. Con los datos del problema anterior,calcular el total pagado al final de los15 años.

7. Calcular el valor de la cuota mensualde un crédito otorgado en las siguien-tes condiciones:P = $5.000.000n = 24 mesesi = 0,03 mensualPago de una cuota de $1.000.000 alfinal de los dos años.

8. Un crédito de $90.000.000 fue desembolsado el día 13 de Junio de 2002. El siste-ma de amortización elegido fue el de cuota igual y vencida mensualmente en UVR.La tasa de interés sobre la UVR es del 23,872053% efectiva anual y el plazo es de15 años.a. Elaborar la tabla de amortización en UVR para los dos primeros pagos.b. Expresar en pesos el valor de la tercera cuota.

Información adicional:

9. Un crédito de $80.000.000 se desembolsó el día 15 de noviembre del 2002. Elsistema de amortización fue el de cuota constante mensualmente en UVR. ELplazo fue de diez años y la tasa de interés, 11% efectiva anual.

Elaborar la tabla de amortización en UVR para las tres primeras cuotas.Valor UVR de noviembre 15 de 2002: $128,3606

Fecha Valor de la UVR Variación mensual del IPC

Febrero 15 de 2002 $121.8943 Feb./0 0,0126

Marzo 15 de 2002 122.8695 Mar./02 0,0071

Abril 15 de 2002 124.4177 Abr./02 0,0092

May./02 0,0060

jun./02 0,0043

Jul./02 0,0002

Ago./02 0,0009

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM242

243


10. Un crédito por $80.000.000 se otorgó el día 13 de julio de 2002 en las siguientescondiciones:Plan de amortización: abono constante a capital en UVR.

Plazo: 15 años con pago de cuotas mensuales y vencidas.

Tasa de interés: 9% efectiva anual sobre la UVR.

Elaborar las tablas de amortización en UVR y en pesos.

Valor UVR de junio 15 de 2002: $126,4539

Valores del IPC : Mayo de 2002 0,0060

Junio de 2002 0,0043

Julio de 2002 0,0002

Agosto de 2002 0,0009


1.

A2 = A1 + (2 – 1)�

A2 = 20.045,66 + (1) (60) = 20.105,66

2.

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244


3. ia = (1,24) (1,09) – 1 = 0,3516

La tabla de amortización quedará así:Préstamo = $1.000.000� = 0,185k = 15

Mes Cuota Valor Interés Corrección Abono Saldocuota mes mensual monetaria a capital

1.000.000

1 1 13.992,47 7.337,62 18.087,65 −11.432,7 1.011.432

2 2 13.992,47 7.421,51 18.294,44 −11.723,4 1.023.156

3 3 13.992,47 7.507,53 18.506,49 −12.021,5 1.035.177

4 4 13.992,47 7.595,74 18.723,93 −12.327,1 1.047.505

5 5 13.992,47 7.686,19 18.946,90 −12.640,6 1.060.145

6 6 13.992,47 7.778,95 19.175,54 −12.962,0 1.073.107

7 7 13.992,47 7.874,06 19.409,99 −13.291,5 1.086.399

8 8 13.992,47 7.971,59 19.650,41 −13.629,5 1.100.028

9 9 13.992,47 8.071,59 19.896,93 −13.976,0 1.114.004

10 10 13.992,47 8.174,14 20.149,73 −14.331,3 1.128.336

11 11 13.992,47 8.279,30 20.408,95 −14.695,7 1.143.031

12 12 13.992,47 8.387,13 20.674,76 −15.069,4 1.158.101

1 13 16.581,08 8.497,71 20.947,33 −12.863,9 1.170.965

2 14 16.581,08 8.592,10 21.180,01 −13.191,0 1.184.156

3 15 16.581,08 8.688,89 21.418,60 −13.526,4 1.197.682

4 16 16.581,08 8.788,14 21.663,26 −13.870,3 1.211.553

5 17 16.581,08 8.889,92 21,914,15 −14.222,9 1.225.776

6 18 16.581,08 8.994,28 22.171,41 −14.584,5 1.240.360

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM244

245


7 19 16.581,08 9.101,30 22.435,21 −14.955,4 1.255.316

8 20 16.581,08 9.211,03 22.705,72 −15.335,6 1.270.651

9 21 16.581,08 9.323,56 22.983,10 −15.725,5 1.286.377

10 22 16.581,08 9.438,95 23.267,54 −16.125,4 1.302.502

11 23 16.581,08 9.557,27 23.559,21 −16.535,3 1.319.038

12 24 16.581,08 9.678,60 23.858,30 −16.955,8 1.335.993

1 25 19.648,58 9.803,02 24.164,99 −14.319,4 1.350.313

2 26 19.648,58 9.908,09 24.423,99 −14.653,4 1.364.996

3 27 19.648,58 10.015,83 24.689,58 −15.056,8 1.380.053

4 28 19.648,58 10.126,31 24.961,92 −15.439,6 1.395.493

5 29 19.648,58 10.239,60 25.241,19 −15.832,2 1.411.325

6 30 19.648,58 10.355,77 25.527,56 −16.234,7 1.427.560

7 31 19.648,58 10.474,90 25.821,21 −16,647,5 1.444.207

8 32 19.648,58 10.597,05 26.122,32 −17.070,7 1.461.278

9 33 19.648,58 10.722,31 26.431,09 −17.504,8 1.478.783

10 34 19.648,58 10.850,75 26.747,71 −17.949,8 1.496.733

11 35 19.648,58 10.982,46 27.072,38 −18.406,2 1.515.139

12 36 19.648,58 11.117,52 27.405,31 −18.874,2 1.534.013

1 37 23.283,57 11.256,01 27.746,70 −15.719,1 1.549.732

2 38 23.283,57 11.371,35 28.031,02 −16.118,7 1.565.851

3 39 23.283,57 11.489,63 28.322,57 −16.528,6 1.582.380

4 40 23.283,57 11.610,91 28.621,54 −16.948,8 1.599.329

5 41 23.283,57 11.735,27 28.928,10 −17.379,7 1.616.708

6 42 23.283,57 11.862,80 29.242,46 −17.821,6 1.634.530

7 43 23.283,57 11.993,57 29.564,81 −18.274,8 1.652.805

8 44 23.283,57 12.127,66 29.895,36 −18.739,4 1.671.544

9 45 23.283,57 12.265,16 30.234,32 −19.215,9 1.690.760

10 46 23.283,57 12.406,16 30.581,89 −19.704,4 1.710.465

11 47 23.283,57 12.550,75 30.938,29 −20.205,4 1.730.670

12 48 23.283,57 12.699,01 31.303,76 −20.719,1 1.751.389,91

1 49 27.591,03 12.851,03 31.678,52 −16.938,5 1.768.328,43

2 50 27.591,03 12.975,32 31.984,90 −17.369,1 1.785.696,62

3 51 27.591,03 13.102,77 32.299,07 −17.810,8 1.803.508,43

4 52 27.591,03 13.233,46 32.621,23 −18.263,6 1.821.772,08


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246


5 53 27.591,03 13.367,47 32.951,57 −18.728,0 1.840.500,09

6 54 27.591,03 13.504,89 33.290,32 −19.204,1 1.859.704,26

7 55 27.591,03 13.645,80 33.637,68 −19.692,4 1.879.396,70

8 56 27.591,03 13.790,30 33.993,87 −20.193,1 1.899.589,83

9 57 27.591,03 13.938,47 34.359,11 −20.706,5 1.929.296,38

10 58 27.591,03 14.090,41 34.773,65 −21.233,0 1.941.529,39

11 59 27.591,03 14.246,21 35.117,70 −21.772,8 1.963.302,26

12 60 27.591,03 14.405,97 35.511,52 −22.326,4 1.985.628,72

1 61 32.695,37 14.569,79 35.915,35 −17.789,7 2.003.418,48

2 62 32.695,37 14.700,33 36.237,13 −18.242,0 2.021.660,56

3 63 32.695,37 14.834,18 36.567,08 −18.705,8 2.040.366,44

4 64 32.695,37 14.971,44 36.905,43 −19.181,4 2.059.547,93

5 65 32.695,37 15.112,18 37.252,38 −19.669,1 2.079.217,11

6 66 32.695,37 15.256,52 37.608,15 −20.169,2 2.099.386,38

7 67 32.695,37 15.404,50 37.972,96 −20.682,0 2.120.068,47

8 68 32.695,37 15.556,26 38.347,05 −21.207,9 2.141.276,40

9 69 32.695,37 15.711,87 38,730,65 −21.747,1 2.163.023,55

10 70 32.695,37 15.871,45 39.124,01 −22.300,0 2.185.323,63

11 71 32.695,37 16.035,08 39.527,37 −22.867,0 2.208.190,69

12 72 32.695,37 16.202,87 39.940,98 −23.448,4 2.231.693,15

1 73 38.744,02 16.374,92 40.365,10 −17.996,0 2.249.635,16

2 74 38.744,02 16.506,97 40.690,62 −18.453,5 2.268.088,71

3 75 38.744,02 16.642,37 41.024,39 −18.922,7 2.287.011,45

4 76 38.744,02 16.781,22 41.366,66 −19.403,8 2.306.415,31

5 77 38.744,02 16.923,60 41.717,63 −19.897,2 2.326.312,52

6 78 38.744,02 17.069,60 42.077,52 −20.403,0 2.346.715,61

7 79 38.744,02 17.219,31 42.446,57 −20.921,8 2.367.637,47

8 80 38.744,02 17.372,83 42.824,99 −21.453,7 2.389.091,26

9 81 38.744,02 17.530,25 43.213,04 −21.999,2 2.411.090,53

10 82 38.744,02 17.691,67 43.610,96 −22.558,6 2.433.649,13

11 83 38.744,02 17.857,19 44.018,99 −23.132,1 2.456.781,29

12 84 38.744,02 18.026,93 44.437,40 −23.720,3 2.480.501,59

1 85 45.911,66 18.200,98 44.866,44 −1’7.155,7 2.497.657,34

2 86 45.911,66 18.326,96 45.176,75 −17.591.9 2.515.249.29

3 87 45.911,66 18.455,95 45.494,94 −18.039,2 2.533.288,50


capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM246

247


4 88 45.911,66 18.588,31 45.821,23 −18.497,8 2.551.786,38

5 89 45.911,66 18.724,04 46.155,81 −18.968,1 2.570.754,56

6 90 45.911,66 18.863,22 46.498,90 −19.450,4 2.590.205,02

7 91 45.911,66 19.005,94 46.850,72 −19.944,9 2.610.150,41

8 92 45.911,66 19.152,29 47.211,48 −20.452,0 2.630.602,11

9 93 45.911,66 19.302,36 47.581,41 −20.972,0 2.651.574,21

10 94 45.911,66 19.456,25 47.960,74 −21.505,3 2.673.070,53

11 95 45.911,66 19.614,04 48.349,72 −22.052,0 2.695.131,63

12 96 45.911,66 19.775,85 48.748,59 −22.612,7 2.717.744,40

1 97 54.405,32 19.941,78 49.157,60 −14.694,0 2.732.438,46

2 98 54.405,32 20.049,60 49.423,39 −15.067,6 2.747.506,12

3 99 54.405,32 20.160,16 49.695,92 −15.450,7 2.762.956,87

4 100 54.405,32 20.273,53 49.975,39 −15.843,5 2.778.800,47

5 101 54.405,32 20.389,78 50.261,97 −16.246,4 2.795.046,89

6 102 54.405,32 20.508,99 50.555,82 −16.659,4 2.811.706,38

7 103 54.405,32 20.631,24 50.857,16 −17.083,0 2.828.789,45

8 104 54.405,32 20.756,58 51.166,15 −17.517,4 2.846.306,85

9 105 54.405,32 20.885,12 51.483,00 −17.962,7 2.864.269,64

10 106 54.405,32 21.016,92 51.807,90 −18.419,4 2.882.689,14

11 107 54.405,32 21.152,08 52.141,07 −18.887,8 2.901.576,96

12 108 54.405,32 21.290,67 52.482,70 −19.368,0 2.920.945,01

1 109 64.470,31 21.432,79 52.833,03 −9.795,5 2.930.740,51

2 110 64.470,31 21.504,66 53.010,20 −10.044,5 2.940.785,06

3 111 64.470,31 21.578,37 53.191,89 −10.299,9 2.951.085,00

4 112 64.470,31 21.653,94 53.378,19 −10.561,8 2.961.646,82

5 113 64.470,31 21.731,44 53.569,23 −10.830,3 2.972.477,17

6 114 64.470,31 21.810,91 53.765,12 −11.105,7 2.983.582,89

7 115 64.470,31 21.892,40 53.966,00 −11.388,0 2.994.970,98

8 116 64.470,31 21.975,96 54.171,98 −11.677,6 3.006.648,61

9 117 64.470,31 22.061,65 54.383,20 −11.974,5 3.018.623,15

10 118 64.470,31 22.149,51 54.599,79 −12.278,9 3.030.902,14

11 119 64.470,31 22.239,61 54.821,89 −12.591,1 3.043.493,33

12 120 64.470,31 22.332,00 55.049,64 −12.911,3 3.056.404,65

1 121 76.397,32 22.426,74 55.283,17 −1.312,59 3.057.717,24

2 122 76.397,32 22.436,37 55.306,91 −1.345,96 3.059.063,21


capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM247

248


3 123 76.397,32 22.446,45 55.331,26 −1.380,18 3.060.443,39

4 124 76.397,32 22.456,37 55.356,22 −1.415,27 3.061.858,67

5 125 76.397,32 22.466,76 55.381,82 −1'.451,26 3.063.309,93

6 126 76.397,32 22.477,41 55.408,07 −1.488,15 3.064.798,09

7 127 76.397,32 22.488,33 55.434,99 −1.525,99 3.066.324,08

8 128 76.397,32 22.499,52 55.462,59 −1.564,79 3.067.888,88

9 129 76.397,32 22.511,01 55.490,89 −1.604,57 3.069.493,46

10 130 76.397,32 22.522,78 55.519,92 −1.645,37 3.071.138,84

11 131 76.397,32 22.534,85 55.549,68 −1.687,21 3.072.826,05

12 132 76.397,32 22.547,23 55.580,20 −1.730,10 3.074.556.16

1 133 90.530,82 22.559,93 55.611,49 12.359,40 3.062.196,75

2 134 90.530,82 22.469,24 55.387,94 12.673,64 3.049.523,10

3 135 90.530,82 22.376,24 55.158,70 12.995,87 3.036.527,22

4 136 90.530,82 22.280,89 54.923,64 13.326,30 3.023.200,92

5 137 90.530,82 22.183,10 54.682,59 13.665,12 3.009.535,79

6 138 90.530,82 22.082,83 54.435,42 14.012,56 2.995.523,22

7 139 90.530,82 21.980,01 54.181,97 14.368,84 2.981.154,38

8 140 90.530,82 21.874,58 53.922,07 14.734,17 2.966.420,21

9 141 90.530,82 21.766,47 53.655,57 15.108,79 2.951.311,42

10 142 90.530,82 21.655,60 53.382,28 15.492,93 2.935.818,48

11 143 90.530,82 21.542,92 53.102,05 15.886,84 2.919.931,63

12 144 90.530,82 21.425,35 52.814,70 16.290,77 2.903.640,85

1 145 107.279,0 21.305,82 52.520,03 33.453,17 2.870.187,68

2 146 107.279,0 21.060,35 51.914,95 34.303,73 2.835.883,94

3 147 107.279,0 20.808,64 51.294,47 35.175,91 2.800.708,03

4 148 107.279,0 20.550,53 50.658,22 36.070,27 2.764.637,76

5 149 107.279,0 20.285,86 50.005,80 36.987,36 2.727.650,39

6 150 107.279,0 20.014,46 49.336,78 37.927,78 2.689.722,61

7 151 107.279,0 19.736,16 48.650,76 38.892,10 2.650.830,50

8 152 107.279,0 19.450,79 47.947,29 39.880,94 2.610.949,55

9 153 107.279,0 19.158,16 47.225,94 40.894,93 2.570.054,62

10 154 107.279,0 18.858,09 46.486,24 41.934,69 2.528.119,93

11 155 107.279,0 18.550,39 45.727,74 43.000,89 2.485.119,03

12 156 107.279,0 18.234,86 44.949,96 44.094,20 2.441.024,82

1 157 127.125,6 17.911,31 44.152,40 65.061,93 2.375.962,89


capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM248

249


2 158 127.125,6 17.433,91 42.975,58 66.716,15 2.309.246,74

3 159 127.125,6 − 16.944,38 41.768,84 68.412,42 2.240.834,31

4 160 127.125,6 16.442,39 40.531,42 70.151,83 2.170.682,48

5 161 127.125,6 15.927,64 39.262,54 71.935,46 2.098.747,02

6 162 127.125,6 15.399,81 37.961,40 73.764,43 2.244.982,58

7 163 127.125,6 14.858,55 36.627,17 75.639,91 1.949.342,66

8 164 127.125,6 14.303,54 35.259,02 77.563,08 1.871.779,57

9 165 127.125,6 13.734,41 33.856,09 79.535,14 1.792.244,42

10 166 127.125,6 13.150,81 32.417,49 81.557,35 1.710.687,07

11 167 127.125,6 12.552,37 30.942,31 83.630,96 1.541.298,80

12 168 127.125,6 11.938,72 29.429,62 85.757,30 1.541.298,80

1 169 150.643,8 11.309,47 27.878,47 111.455,9 1.429.842,84

2 170 150.643,8 10.491,64 25.862,49 114.289,7 1.315.553,09

3 171 150.643,8 9.653,03 23.795,26 117.195,6 1.198.357,49

4 172 150.643,8 8.793,09 21.675,47 120.175,3 1.078.182,16

5 173 150.643,8 7.911,29 19.501,78 123.230,8 954.951,34

6 174 150.643,8 7.007,07 17.272,82 126.363,9 828.587,34

7 175 150.643,8 6.079,86 14.987,20 129.576,8 699.010,51

8 176 150.643,8 5.129,07 12.643,46 132.871,3 566.139,15

9 177 154.643,8 4.154,11 10.240,13 136.249,6 429.889,50

10 178 150.643,8 3.154,37 7.775,69 139.713,8 290.175,66

11 179 150.643,8 2.129,20 5.248,60 143.266,0 146.909,56

12 180 150.643,8 1.077,97 2.657,25 146.908,6 0,89

$2.791.182,09 $6.880.420,97

Saldo mayor : $3.074.556,16

Cuota mayor : $150.643,89

Cuota mínima : $13.992,48


capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM249

250



1.000.000,00

1 1 16.466,00 7.337,62 18.087,65 −8.959,26 1.008.959,26

2 2 16.466,00 7.403,36 18.249,70 −9.187,05 1.018.146,31

3 3 16.466,00 7.470,77 18.415,87 −9.420,63 1.027.566,95

4 4 16.466,00 7.539,90 18.586,27 −9.660,15 1.037.227,11

4. La tabla de amortización y la gráfica son las siguientes:

Préstamo = $1.000.000

� =18,5% anual

k = 10 años

n = 12 meses

ic = 24% anual

ie = 9% anual de interés adicional

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM250

251


5 5 16.466,00 7.610,78 18.761,00 −9.905,76 1.047.132,88

6 6 16.466,00 7.683,46 18.940,17 −10.157,60 1.057.290,50

7 7 16.466,00 7.758,00 19.123,90 −10.415,80 1.067.706,39

8 8 16.466,00 7.834,42 19.312,30 −10.680,70 1.078.387,10

9 9 16.466,00 7.912,80 19.505,49 −10.952,20 1.089.339,38

10 10 16.466,00 7.993,16 19.703,59 −11.230,70 1.100.570,11

11 11 16.466,00 8.075,57 19.906,73 −11.516,20 1.112.086,40

12 12 16.466,00 8.160,07 20.115,03 −11.809,00 1.123.895,48

1 13 19.512,22 8.246,70 20.328,63 −9.063,12 1.132.958,60

2 14 19.512,22 8.313,22 20.492,56 −9.293,55 1.142.252,17

3 15 19.512,22 8.382,41 20.660,66 −9.529,84 1.151.782,02

4 16 19.512,22 8.451,34 20.833,03 −9.772,14 1.161.554,16

5 17 19.512,22 8.523,04 21.009,78 −10.020,60 1.171.574,77

6 18 19.512,22 8.596,57 21.191,03 −10.275,30 1.181.850,15

7 19 19.512,22 8.671,97 21.376,89 −10.536,60 1.192.386,79

8 20 19.512,22 8.749,28 21.567,47 −10.804,50 1.203.191,33

9 21 19.512,22 8.828,56 21.762,90 −11.079,20 1.214.270,57

10 22 19.512,22 8.909,86 21.963,30 −11.360,90 1.225.631,51

11 23 19.512,22 8.993,22 22.168,79 −11.649,70 1.237.281,30

12 24 19.512,22 9.078,70 22.379,51 −11.945,90 1.249.227,29

1 25 23.121,98 9.166,36 22.595,58 −8.639,95 1.257.867,25

2 26 23.121,98 9.229,75 22.751,86 −8.859,63 1.266.726,88

3 27 23.121,98 9.294,76 22.912,11 −9.084,89 1.275.811,77

4 28 23.121,98 9.361,42 23.076,43 −9.315,87 1.285.127,65

5 29 23.121.9 9.429.78 23.244.94 −9.352,73 1.294.680,38

6 30 23.121,98 9.499,87 23.417,72 −9.795,61 1.304.476,00

7 31 23.121,98 9.571,75 23.594,90 −10.044,60 1.314.520,67

8 32 23.121,98 9.645,45 23.776,59 −10.300,00 1.324.820,73

9 33 23.121,98 9.721,03 23.962,89 −10.561,90 1.335.382,67

10 34 23.121,98 9.798,53 24.153,93 −10.830,40 1.346.213,16

11 35 23.121,98 9.878,00 24.349,83 −11.105,80 1.357.319,01

12 36 23.121,98 9.959,49 24.550,71 −11.388,20 1.368.707,23

1 37 27.399,54 10.043,05 24.756,69 −7.400,20 1.376.107,43

2 38 27.399,54 10.097,35 24.890,55 −7.588,35 1.383.695,78

3 39 27.399,54 10.153,03 25.027,80 −7.781,29 1.391.477,07


capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM251

252


4 40 27.399,54 10.210,13 25.168,55 −7.979,13 1.399.456,21

5 41 27.399,54 10.268,68 25.312,87 −8.182,00 1.407.638,21

6 42 27.399,54 10.328,72 25.460,86 −8.390,03 1.416.028,24

7 43 27.399,54 10.390,28 25.612,62 −8.603.35 1.424.631,59

8 44 27.399,54 10.453,41 25.768,24 −8.822,09 1.433.453,69

9 45 27.399,54 10.518,14 25.927,81 −9.046,39 1.442.500,09

10 46 27.399,54 10.584,52 26.091,43 −9.276,40 1.451.776,49

11 47 27.399,54 10.652,59 26.259,22 −9.512,26 1.461.288,75

12 48 27.399,54 10.722,38 26.431,28 −9.754,11 1.471.042,87

1 49 32.468,46 10.793,95 26.607,71 −4.933,19 1.475.976,06

2 50 32.468,46 10.830,15 26.696,94 −5.058,62 1.481.034,69

3 51 32.468,46 10.867,27 26.788,43 −5.187,24 1.486.221,93

4 52 32.468,46 10.905,33 26.882,26 −5.319,12 1.491.541,06

5 53 32.468,46 10.944,36 26.978,47 −5.454,36 1.496.995,43

6 54 32.468,46 10.984,38 27.077,13 −5.593,04 1.502.588,48

7 55 32.468,46 11.025,42 27.178,29 −5.735,25 1.508.323,73

8 56 32.468,46 11.067,51 27.282,03 −5.881,07 1.514.204,80

9 57 32.468,46 11.110,66 27.388,40 −6.030,60 1.520.235,40

10 58 32.468,46 11.154,91 27.497,48 −6.183,93 1.526.419,33

11 59 32.468,46 11.200,29 27.609,34 −6.341,15 1.532.760,49

12 60 32.468,46 11.246,82 27.724,03 −6.502,38 1.539.262,80

1 61 38.475,12 11.294,53 27.841,65 −661,043 1.539.923,92

2 62 38.475,12 11.299,38 27.853,60 −677,850 1.540.601,77

3 63 38.475,12 11.304,35 27.865,86 −695,085 1.541.296,86

4 64 38.475,12 11.309,45 27.878,44 −712,758 1.542.009,62

5 65 38.475,12 11.314,68 27.891,33 −730,800 1.542.740,50

6 66 38.475,12 11.320,04 27.904,55 −749,462 1.543.480,96

7 67 38.475,12 11.325,54 27.918,10 −768,518 1.544.258,48

8 68 38.475,12 11.331,18 27.932,00 −788,058 1.545.046,53

9 69 38.475,12 11.336,97 27.945,26 −808,094 1.545.854,63

10 70 38.475,12 11.342,90 27.960,87 −828,640 1.546.683,27

11 71 38.475,12 11.348,98 27.975,86 −849,709 1.547.532,98

12 72 38.475,12 11.355,21 27.991, 23 −871,313 1.548.404,29

1 73 45.593,02 11.361,60 28.006,99 6.224,432 1.542.179,86

2 74 45.593,02 11.315,93 27.894,41 6.382,690 1.535.797,17


capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM252

253


3 75 45.593,02 11.269,10 27.778,96 6.544,971 1.529.252,20

4 76 45.593,02 11.221,07 27.660,58 6.711,379 1.522.540,82

5 77 45.593,02 11.171,83 27.539,18 6.882,018 1.515.658,80

6 78 45.593,02 11.121,33 27.414,70 7.056,995 1.508.601,81

7 79 45.593,02 11.069,55 27.287,06 7.236,421 1.501.365,38

8 80 45.593,02 11.016,45 27.156,17 7.420,409 1.493.944,97

9 81 45.593,02 10.962,00 27.021,95 7.609,075 1.486.335,90

10 82 45.593,02 10.906,17 26.884,32 7.802,537 1.478.533,36

11 83 45.593,02 10.848,92 26.743,19 8.000,919 1.470.532,44

12 84 45.593,02 10.790,21 26.598,47 8.204,345 1.462.328,10

1 85 54.027,73 10.730,01 26.450,08 16.847,65 1.445.480,44

2 86 54.027,73 10.606,39 26.145,34 17.276,00 1.428.204,43

3 87 54.027,73 10.479,62 25.832,86 17.715,25 1.410.489,18

4 88 54.027,73 10.349,63 25.512,43 18.165,67 1.392.323,51

5 89 54.027,73 10.216,34 25.183,86 18.627,53 1.373.695,97

6 90 54.027,73 10.079,66 24.846,93 19.101,14 1.354.594,82

7 91 54.027,73 9.939,50 24.501,43 19.586,80 1.335.008,02

8 92 54.027,73 9.795,78 24.147,16 20.084,80 1.314.923,22

9 93 54.027,73 9.648,41 23.783,87 20.595,46 1.294.327,76

10 94 54.027,73 9.497,29 23.411,35 21.119,10 1.273.208,65

11 95 54.027,73 9.342,32 23.029,35 21.656,06 1.251.552,59

12 96 54.027,73 9.183,42 22.637,64 22.206,67 1.229.345,91

1 97 64,022,86 9.020,47 22.235,98 32.766,41 1.196.579,49

2 98 64.022,86 8.780,05 21.643,31 33.599,51 1.162.979,97

3 99 64.022,86 8.533,51 21.035,57 34.453,79 1.128.526,18

4 100 64.022,86 8.280,70 20.412,38 35.329,78 1.093.196,40

5 101 64.022,86 8.021,46 19.773,35 36.228,05 1.056.968,34

6 102 64.022,86 7.755,63 19.118,07 37.149,16 1.019.819,17

7 103 64.022,86 7.483,05 18.446,13 38.093,69 981.725,48

8 104 64.022,86 7.203,53 17.757,11 39.062,23 942.663,25

9 105 64.022,86 6.916,91 17.050,56 40.055,40 902.607,84

10 106 64.022,86 6.622,99 16.326,05 41.073,82 861.534,02

11 107 64.022,86 6.321,61 15.583,12 42.118,13 819.415,88

12 108 64.022,86 6.012,56 14.821,31 43.189,00 776.226,,88

1 109 75.867,10 5.695,66 14.040,12 56.131,32 720.095,56


capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM253

254


2 110 75.867,10 5.283,79 13.024,84 57.558,47 662.537,08

3 111 75.867,10 4.861,45 11.983,74 59.021,91 603.515,17

4 112 75.867,10 4.428,37 10.916,17 60.522,56 542.992,60

5 113 75.867,10 3.984,27 9.821,46 62.061,36 480.931,23

6 114 75.867,10 3.528,89 8.698,91 63.639,29 417.291,94

7 115 75.867,10 3.061,93 7.547,83 65.257,34 352.034,60

8 116 75.867,10 2.583,10 6.367,48 66.916,52 285.118,07

9 117 75.867,10 2.092,09 5.157,12 68.617,89 216.500,17

10 118 75.867,10 1.588,60 3.915,98 70.362,52 146.137,65

11 119 75.867,10 1.072,30 2.643,29 72.151,51 73.986,14

12 120 75.867,10 542,88 1.388,24 73.985,98 0,15

$1.086.114,87 $2.677.334,30

Saldo mayor : $1.548.404,29

Cuota mayor : $75.867,10

Cuota mínima : $16.466,01


0 20 40 60 80 100 1200

1

0,8

0,6

0,4

0,2

1,2

1,4

1,6

Préstamoa 120 cuotas

Saldo(millones de $)

Cuotas

Valor cuota

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM254

255


5. La sexta cuota está dentro de la primera anualidad.

ia = (1,19)(1,05) − 1 = 0,2495

im = − =1 2495 1 0 018735312

, ,

6. A1 = $110.023� = 0,14k = 15 añosn = 12 meses

Suma pagada =

Suma pagada = 57.884.077,77

7. P = $5.000.000n = 24 mesesi = 0,03 mensualPago de una cuota de $1.000.000 al final de los dos años.

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM255

256


8. iapm = − =1 23872053 1 0 01812

, ,

UVRjun.13 = UVRmay.15 (1 + IPCabril)29/31

=

UVRmay.15 = UVRabr.15 (1 + IPCmar)31/31

=

UVRmay.15 = 124,4177(1,0071)1

= 125,3011

UVRjun13 = 125,3011(1,0092)29/31

= 126,3792

v. crédito = =$ . .

,. ,

90 000 000

126 3792712 142 5044 UVR

A = ( ) ×( ) −

=712 142 50441 018 0 018

1 018 113 356 96856

180

180. ., ,

,. , UVR

a.

b. UVRsep.13 = UVRago.15 (1 + IPCjul.)29/31

=

UVRago.15 = UVRmay.15 (1 + IPCabr.)(1 + IPCmay)(1 + IPCjun)

UVRago.15 = 125,3011(1,0092)(1,0060))(1,0043)=

UVRago.15 = 127,7596

UVRsep.13 = 127,7596(1,0002)29/31

= $127,7835

Vr. tercera cuota = 13.356,9685 × $127,7835 = $1.706.800,22

n A I Abono Saldo

0 712.142,5044

1 13.356,9685 12.818,5650 538,4034 711.604,1009

2 13.356,9685 12.808,8738 548,0946 711.056,0062

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM256

257


9. P = =$ . .

,. ,

80 000 000

128 3606623 244 2042 UVR

iap = (1,11)1/12

− 1 = 0,008734594

A = ( )( ) −

623 244 20421 008734594 0 008734594

1 008734594 1

120

120. ,, ,

,

A = 8.403,2951 UVR

10. UVRjul.13 = UVRjun.15 (1 + IPCmay.)28/30

UVRjul.13 = 126,4539 (1,0060)28/30

= $127,1619

Valor del desembolso = $ . .

,. ,

80 000 000

127 1619629 119 2566= UVR

Valor de amortización de capital = 629 119 2566

1803 495 1069

. ,. ,= UVR

iap = (1,09)31/365 − 1 = 0,007346052

iap = (1,09)30/365 − 1 = 0,007108243

Intereses: 0,007346052 × 629.119,2566 = 4.621,5427 UVR

Valor cuota 1 = 4.621,5427 + 3.495,1099 = 8.116,6496 UVR

Tabla de amortización en UVR

Para elaborar la tabla de amortización en pesos, es necesario calcular primero losvalores de la UVR.

n A Días Intereses Abono Saldo

0 $623.244,2042

1 8.403,2951 30 $5.368,8923 $3.034,4028 620.209,8014

2 8.403,2951 31 5.521,6348 2.881,6602 617.328,1411

3 8.403,2951 31 5.495,9798 2.907,3152 614.420,8258

n Fecha Días Cuota Intereses Abono Saldo

0 Jul. 13/02 $629.119,2566

1 Ago. 13/02 31 $8.116,6496 $4.621,5427 $3.495,1069 $625.624,1497

2 Sep. 13/02 31 8.090,9744 4.595,8675 3.495,1069 622.129,0428

3 Oct. 13/02 31 7.917,3513 4.422,2444 3.495,1069 618.633,9359

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM257

258


UVRjul15 = $126,4539 (1,0060)30/30

= $127,2126

UVRago13 = $127,2126 (1,0043)29/31

= $127,7243

UVRago15 = $127,2126 (1,0043)31/31

= $127,7596

UVRsep13 = $ 127,7596 (1,0002)29/31

= $127,7835

UVRsep15 = $217,7596 (1,0002)31/31

= $127,7852

UVRoct13 = $127,7852 (1,0009)28/30

= $127,8925

Tabla de amortización en pesos


n Fecha Días Valor cuota Intereses Abono Saldo

0 Jul13/02 $80.000.000

1 Ago13/02 31 $1.036.693 $590.283 $446.410 $79.907.407

2 Sept13/02 31 1.033.893 587.276 446.617 79.497.827

3 Oct13/02 30 1.012.570 565.572 446.998 79.118.641

1. ¿Qué es amortizar?

2. ¿Cuáles son los elementos que inter-vienen en una amortización?

3. ¿Cuáles son las variables del procesode amortización?

4. ¿Qué se entiende por sistema de amor-tización?

5. ¿En qué consiste una función?

6. ¿Qué es una tabla de amortización?¿Cómo está conformada?

7. ¿En qué consisten los sistemas sim-ples?

8. ¿Cómo se dividen los sistemas sim-ples?

9. ¿En qué consisten los sistemas inte-grados?

10.¿Cómo se dividen los sistemas inte-grados?

11.¿En qué consisten los sistemas agre-gados?

12. ¿Cómo se dividen los sistemas agre-gados?

13. ¿Qué se entiende por IPC?

14. ¿Qué es una UVR?

capitulo 6-235-258 1/20/06, 10:43 AM258

259

Valor presente netoy costo anual uniforme

equivalente

� JustificaciónEn este capítulo el lector no sólo tendrá la oportunidad de aplicaruna gran parte de los conocimientos adquiridos en los capítulosanteriores sino que aprenderá algunas técnicas necesarias para latoma de decisiones.

A diario se presenta la necesidad de evaluar financieramentevarias alternativas con el fin de elegir una de ellas. Este capítulobrindará parte de la información requerida para ello.

� Objetivo generalEvaluar económicamente las diferentes alternativas de inversióny tomar las decisiones del caso.


� Calcular el valor presente neto (VPN).

� Calcular el costo anual uniforme equivalente (CAUE).

� Calcular el costo capitalizado.

� Aplicar el costo capitalizado a la toma de decisiones.

� Diferenciar todos estos métodos.

� Identificar el método más conveniente para aplicar según elcaso.

� Tomar decisiones correctas desde el punto de vista financiero.

Capitulo 7 1/20/06, 10:46 AM259


260

Conducta de entradaA continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cua-les una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

1 Hernando depositó $1.000.000 en unfondo que paga el 21% capitalizablemensualmente. Un año después co-menzó a depositar en la misma cuen-ta $20.000 mensuales. ¿Cuántotiempo tendrá que esperar para com-pletar $2.000.000?

a. 29 meses b. 39 meses

c. 19 meses d. 20 meses

e. 25 meses

2 ¿Cuál sera la cuota mensual que debedepositarse durante 10 años en una ins-titución financiera que reconoce el 24%capitalizable trimestralmente, para can-celar una deuda de $1.200.000?

a. $30.000 b. $26.000

c. $26.070 d. $27.000

e. $26.500

3 Matilde solicita un préstamo de $15.000a una corporación financiera que cobra

el 15% anual, con el compromiso de,cancelarla con cuotas anuales en unperiodo de ocho años. Los pagos seacuerdan de manera que cada uno serámayor que el anterior en $250 y que elprimer pago se hará un año después deconcedido el préstamo. La cantidad queconstituye el tercer pago es:

a. $2.147,42 b. $4.147,42

c. $1.447,42 d. $3.147,42

e. $5.147,42

4 Durante 30 años el señor Pérez hace de-pósitos anuales de $1.000 en una cuen-ta de ahorros. ¿Cuánto ha acumuladoen dicha cuenta inmediatamente des-pués de haber hecho el último depósitosi se reconoce un interés del 10% anual?

a. $154.494 b. $164.494

c. $174.494 d. $144.494

e. $104.594

5 Calcular el valor presente en el siguiente diagrama:

a. $8.144,09

b. $5.159,62

c. $7.124,09

d. $6.144,09

e. $7.144,09


1. a 2. c 3. d 4. b 5. b

Capitulo 7 1/20/06, 10:46 AM260

Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

261

Métodos para evaluar alternativas

Antes de entrar a estudiar estos métodos es necesario hacer claridad sobre dos conceptosque por lo general se confunden bastante.Tasa de rendimiento. Es aquella que sirve para medir las utilidades financieras de unainversión.Tasa mínima de rendimiento. Es aquella que sirve como marco de referencia para haceruna inversión. Se dice que es un marco de referencia porque por debajo de esta tasa no sedeben hacer inversiones.

Ejemplo 7.1

Tengo un negocio que produce el 3% mensual. Una corporación me ofrece por mis ahorrosel 2,5% mensual.Tasa de rendimiento = 2,5%Tasa mínima de rendimiento = 3%Obsérvese que no debo invertir al 2,5% mensual si mi negocio me da el 3% mensual.

Ejemplo 7.2

El señor Pérez se retiró de la empresa donde trabajaba y recibió la suma de $600.000 porconcepto de cesantías. El señor Pérez desea invertir su dinero lo mejor posible, ya que notiene otra fuente de ingresos. Una corporación ofrece pagarle el 30% anual, siempre y cuan-do él deje el dinero durante cinco años, al final de los cuales le entregarán todo el dinero. Porotra parte, un amigo le sugiere que organicen una pequeña industria. Después de hacer variascuentas, concluye que esa industria les dará los siguientes ingresos netos anuales.

Estiman también que al final de los cinco años el señor Pérez puede recibir $300.000 porconcepto de la venta de la maquinaria. Además, el señor Pérez cree que puede trabajar sudinero y en cualquier momento le produciría el 25% anual. ¿Qué decisión debe tomar elseñor Pérez?

Año Ingreso neto

1 $200.000

2 $300.000

3 $300.000

4 $200.000

5 $150.000

Capitulo 7 1/20/06, 10:46 AM261


262

Alternativa 1. Con la corporación obtiene:

Alternativa 2. Con la pequeña industria obtiene:

Flujo de caja:

Fin de año Alternativa 1 Alternativa 2

0 −$600.000 −$600.000

1 $180.000 $200.000

2 $180.000 $300.000

3 $180.000 $300.000

4 $180.000 $200.000

5 $780.000 $450.000

Total $900.000 $850.000

Capitulo 7 1/20/06, 10:46 AM262


263

Estos totales representan “contablemente” la ganancia de cada alternativa. La persona des-prevenida podrá elegir la alternativa 1 como la mejor.

Desde el punto de vista contable la alternativa 1 es la mejor, pero aceptar esto es contra-decir el hecho de que el señor Pérez tiene una tasa mínima de rendimiento del 25% anual,a la cual puede invertir los ingresos que recibe anualmente.

Esto indica que una decisión fundamentada en términos contables no tiene en cuenta lavaloración del capital.

Para solucionar este problema es necesario recurrir a la evaluación de las alternativaspor uno de los métodos que se expone a continuación.

� Valor presente neto (VPN)Consiste en tomar todos los valores de cada alternativa en el punto cero; es decir, se calcu-lan los valores presentes de los ingresos netos con base en la tasa mínima de rendimiento otasa de interés de oportunidad, que no es más que la tasa atractiva para el inversionista.

Ejemplo 7.3

Resuelva el problema anterior por este método.

Alternativa 1

Alternativa 2

P = −600.000 + 160.000 + 192.000 + 153.600 + 81.920 + 147.456 = $134.976

Capitulo 7 1/20/06, 10:46 AM263


264

Como puede apreciarse, la decisión es por la alternativa 2. En ambos casos el valor presen-te neto fue mayor que cero (VPN > 0), pero en la alternativa 2 resultó ser mayor indicandoasí que ésta es la mejor de las dos opciones.

Es conveniente resaltar el hecho de que el valor presente neto se calculó con la tasa deinterés de oportunidad y así debe procederse en casos similares.

Conclusión

• Si el valor presente neto calculado con la tasa de interés de oportunidad es mayor quecero, indica que a esa tasa de interés, el valor presente de los ingresos es mayor que elvalor presente de los egresos; es decir, el capital invertido en el proyecto produce unarentabilidad mayor que la obtenida con la tasa de oportunidad.

• Si el valor presente neto calculado con la tasa de interés de oportunidad es menor quecero, indica que a esa tasa de interés, el valor presente de los ingresos es menor que elvalor presente de los egresos; es decir, el capital invertido en el proyecto produce unarentabilidad menor que la obtenida con la tasa de oportunidad.

Ejemplo 7.4

El señor Pérez tiene sus ahorros en una entidad que le reconoce el 25% efectivo anual;desea retirar sus depósitos y comprar un taxi en las siguientes condiciones: cuota inicial de$3.000.000 y 36 cuotas mensuales vencidas de $250.000. El señor Pérez espera que el taxile produzca $300.000 mensuales y venderlo al final del tercer año en $9.000.000. ¿Seráesto un buen negocio?

Para resolver este problema se utiliza el índice del valor presente neto y se calcula elvalor presente con base en la tasa de oportunidad del señor Pérez, la cual es del 25%efectiva anual.

A = $250.000n = 36 mesesP = ?im = ?

Para los ingresos mensuales se calcula P:

Capitulo 7 1/20/06, 10:46 AM264


265

Se calcula P para el valor de la venta:

Valor presente de los ingresos:

7.799.994 + 4.608.011 = 12.408.005

Se calcula P para los pagos mensuales:

Valor presente de los egresos

= 6.499.995 + cuota inicial

= 6.499.995 + 3.000.000

= 9.499.995

VPN = 12.408.005 − 9.499.995 = 2.908.0 10Como VPN > 0, puede decirse que éste es un buen negocio.

El método de valor presente neto tiene dos modalidades:

a. Para alternativas con vidas útiles iguales

b. Para alternativas con vidas útiles diferentes

Alternativas con vidas útiles iguales

El problema se resuelve común y corriente. Se calculan los valores presentes de los flujosde caja netos para cada una de las alternativas o propuestas; finalmente, se eligirá aquellaque tenga el menor valor presente neto (si son alternativas de costo), o la de mayor valorpresente neto (si son alternativas de inversión).

Ejemplo 7.5

Una empresa necesita comprar una máquina. Al buscarla en el mercado encontraron lassiguientes alternativas:

Capitulo 7 1/20/06, 10:46 AM265


266

La tasa de interés atractiva para la empresa es del 32% anual. ¿Cuál alternativa se elige?

Máquina 1

Costo inicial $10.000.000Costo de operación anual:

Valor de salvamento:

Máquina 2

Costo inicial $15.000.000Costo de operación anual:

Máquina 1 Máquina 2

Costo inicial $10.000.000 $15.000.000

Costo de operación anual 300.000 100.000

Valor de salvamento 100.000 4.500.000

Vida útil 5 años 5 años

Capitulo 7 1/20/06, 10:46 AM266


267


Debe elegirse la alternativa 1.

Alternativas con vidas útiles diferentes

Como las comparaciones deben hacerse sobre el mismo periodo de vida útil, debe tomarseel mínimo común múltiplo (MCM) de las vidas útiles y suponer que hay reinversiones, conel fin de establecer el mismo tiempo para la comparación.

Ejemplo 7.6

Se tienen las siguientes alternativas:

Para la primera alternativa el ciclo se repite tres veces:

Alternativa 1 Alternativa 2

Costo inicial $5.000.000 $7.000.000

Costo de operación anual 200.000 100.000

Valor de salvamento 100.000 1.000.000


Tasa de interés: 30% anualMCM = (2)(3) = 6

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM267

268

P = 5.000.000 + 2.958.580 − 59.171,59 + 1.750.639 − 35.012,77 − 20.717,62 + 528.549P = $10.122.866

Para la segunda alternativa el ciclo se repite dos veces:

P = 7.000.000 + 3.186.163 − 455.166 − 207.176 + 264.274,59

P = $9.788.095



Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM268

269

� Costo anual uniforme equivalente (CAUE)Como su nombre lo indica, consiste en la conversión de todos los ingresos y egresos enpartes uniformes para cada periodo. En esta forma se calcula el CAUE para cada una de lasalternativas a evaluar y luego se comparan los CAUE para tomar la determinación delcaso. Las tres formas diferentes para calcular el CAUE son las siguientes.

Fondo de amortización de salvamento

El costo inicial de la inversión se convierte en un costo anual uniforme equivalente alutilizar la fórmula

Dado P, hallar A (recuperación del capital)

El valor de salvamento se convierte en un costo anual uniforme equivalente mediante lafórmula

Dado F, hallar A (fondo de amortización)

Este valor se resta del primero y se suma a los demás costos anuales.

Ejemplo 7.7

Calcule el CAUE de un equipo cuyo valor inicial es de $5.000.000, el valor de salvamentoes de $500.000 y tiene una vida útil de 7 años. Los costos anuales de operación se estimanen $1.000.000. Considere una tasa del 36% anual.

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM269


270

Esto significa que el costo anual uniforme equivalente no indica el costo real de dichaalternativa. Es un parámetro que permite establecer comparaciones frente a otras propues-tas o alternativas evaluadas en igualdad de condiciones, con el fin de decidir cuál de ellases la mejor desde el punto de vista económico.

Valor presente de salvamento

Consiste en hallar el valor presente de salvamento mediante la fórmula

Dado F, hallar P

Este valor se resta del valor inicial de la inversión. El resultado se anualiza mediante lafórmula:

Dado P, hallar A

Se suman los demás costos anuales.

Ejemplo 7.8

Resuelva el ejemplo 7.7 por este método.

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM270


271

Recuperación de capital más intereses

Se resta el valor de salvamento del valor inicial de la inversión. Este resultado se anualizamediante la fórmula

Dado P, hallar A

Se multiplica el valor de salvamento por la tasa de interés. Este resultado se suma al ante-rior y se suman los demás costos anuales.

Ejemplo 7.9

Resuelva el ejemplo anterior por este método.

5.000.000 − 500.000 = 4.500.000

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM271


272

Ejemplo 7.10

Para la compra de un equipo se tienen las siguientes alternativas:

Alternativa 1


Costo inicial $800.000 $900.000

Costo de mantenimiento anual 50.000 30.000

Costo de mano de obra anual 200.000 150.000

Otros costos anuales 0 50.000

Valor de salvamento 100.000 140.000


Tasa de interés: 29% anualSe utiliza el fondo de amortización de salvamento

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM272


273

Alternativa 2

Debe elegirse la máquina 2, ya que es la más conveniente desde el punto de vista económico.

Ejemplo 7.11

Para la ejecución de un proyecto de ingeniería se tienen dos alternativas. La primera con-siste en la compra de equipos y ejecutar por cuenta propia las obras. La segunda consisteen contratar el 100% de la ejecución de las obras. La información para cada una de ellas esla siguiente:

Alternativa 1. El equipo vale $65.000.000, tiene una vida útil de 5 años y un valor desalvamento de $7.000.000. La mano de obra anual y los costos de operación se estiman en$22.000.000. Otros costos adicionales se estiman en $12.000.000.

Alternativa 2. La obra a ejecutar tiene una vida útil indefinida y su costo es de $150.000.000,además requiere un mantenimiento a un costo de $1.000.000 anual. La reparación de laobra civil se hará cada 7 años a un costo de $10.000.000. La compañía tiene una tasa deinterés del 36% anual, ¿cuál es la mejor alternativa?

Al utilizar el fondo de amortización de salvamento se tiene:

Alternativa 1

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM273


274

Costos de operación anuales $22.000.000

Otros costos anuales $12.000.000

CAUE: $63.116.496

Alternativa 2

A = Pi = 150.000.000(0,36) = $54.000.000Costo de mantenimiento anual = $1.000.000Las reparaciones se dan cada 7 años

Luego,

Se elige la alternativa 2.

� Costo capitalizadoCuando se tienen alternativas con vidas útiles indefinidas se procede a calcular el costoanual uniforme equivalente (CAUE) por medio de cualquiera de los métodos conocidos yluego se divide dicho valor entre la respectiva tasa de interés. Esto es,

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM274


275

Antes se indicó que el valor de una cuota uniforme (A) cuando se conoce el valor presente(P) y n tiende al infinito, está dado por la siguiente expresión:

A = Pi

Si se despeja el valor presente, entonces

Sin embargo, A no es más que el CAUE, lo cual indica que:

Donde P es el valor presente cuando n tiende al infinito. Es decir, el costo capitalizado deuna alternativa está dado por el valor presente de ella cuando su vida útil tienda al infinito.

Ejemplo 7.12

Un proyecto requiere una inversión inicial de $500.000.000 y unos costos de operación anua-les de $10.000.000 durante los primeros siete años y de $25.000.000 para cada uno de losaños siguientes. Además, el proyecto necesitará una inyección de capital de $100.000.000 alfinal del quinto año. Cada 15 años tendrá que hacerse el mantenimiento, el cual se ha estima-do en $50.000.000. Si la tasa de interés es del 25% anual, ¿cuál será el costo capitalizado?

1. Se calcula el costo capitalizado a partir del CAUE.

P = $500.000.000 de inversión inicial

Valor presente de la inversión total:P = 500.000.000 + 32.768.000 = $532.768.000

CAUE = PiCAUE = 532.768.000(0,25) = $133.192.000

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM275


276

Los costos de operación anuales en forma indefinida son de $10.000.000. Es decir:CAUE = $10.000.000

A partir del octavo año los costos de operación anuales se incrementarán en $15.000.000anuales. Esto es:

Este valor presente de $60.000.000 está dado al final del séptimo año; luego, debeasumirse este valor como un valor futuro y calcular su valor presente equivalente en elaño cero.

Conocido P puede calcularse el CAUE; luego,

CAUE = PiCAUE = 12.582.912(0,25) = $3.145.728Para el mantenimiento:

Se suman todos los CAUE y se divide el total por la tasa de interés:

2. Ahora se calcula el costo capitalizado a partir del valor presente.El valor presente de la inversión total es:

P = $532.768.000

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM276


277

Este valor presente se encuentra en el séptimo año y debe tomarse como un valor futuroy calcular luego su valor presente equivalente en el año cero.

Para el mantenimiento:

Se suman todos los valores presentes:

P = $587.174.284,80

Nota. El estudiante se preguntará por qué al calcular el valor presente del mantenimientono se utiliza la fórmula

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM277


278

Ello se debe a que si se hubiera utilizado esta fórmula se habría obtenido un valor presente,pero para una vida útil definida el costo capitalizado de una alternativa es su valor presentecuando su vida útil tiende al infinito.

Ejemplo 7.13

Para determinado proceso industrial es necesario comprar una máquina. Para ello se tienendos alternativas:Alternativa A. Comprar una máquina marca X cuyo precio es de $15.000.000, con unavida útil de 10 años. Se espera que al final de su vida útil, la máquina deberá reemplazarsepor otra del mismo precio.Alternativa B. Comprar una máquina marca Y cuyo precio es de $10.000.000, con unavida útil de 8 años y un valor de salvamento de $3.000.000. Si la tasa de interés es del 28%anual, ¿cuál alternativa debe elegirse?

Alternativa A. Se anualizan todos los costos para hallar el CAUE.

Se calcula luego el valor presente del CAUE considerando que la vida útil de la alternativaes infinita.El valor presente calculado de esa forma es el costo capitalizado de la alternativa.

Alternativa B. Para la inversión inicial:

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM278


279

Para el valor de salvamento:

CAUE (total) = $3.251.193,77 − $135.358,13 = $3.115.835,64

Debe comprarse la máquina marca Y por ser la más económica.

Nota. El valor de salvamento es un ingreso; por esta razón los costos anuales deben dismi-nuirse en lo correspondiente a ese valor.

Ejemplo 7.14

El municipio de Abejorral necesita construir un sistema de garrucha sobre el río Arma yaque la corriente destruyó el puente. Para tal efecto dispone de dos ofertas:Oferta 1. Implica una inversión inicial de $10.000.000 y una vida útil de tres años.Oferta 2. Implica una inversión inicial de $18.000.000 y una vida útil de siete años, alfinal de los cuales es necesario reemplazar el sistema a un costo de $8.000.000.

La tasa de rendimiento es del 32% anual, ¿cuál es la mejor oferta?Oferta 1

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM279


280

Oferta 2. Para la inversión inicial:

El costo de reposición es de $8.000.000. Esto indica que del sistema antiguo se recupe-rarán $10.000.000; es decir, el valor de salvamento es de $10.000.000. Luego,

CAUE (total) = $6.722.791 - $534.884 = $6.187.907

La oferta a elegir es la 1 ya que es la más económica.

Problemas propuestos1. Para la compra de una planta eléctrica

se tienen las siguientes ofertas:Oferta 1. Comprar una planta marcaA cuyo costo es de $200.000.000, conuna vida útil de 10 años. Los costosanuales de mantenimiento son de$500.000. El valor de salvamento esde $2.000.000.Oferta 2. Comprar una planta marcaB cuyo costo inicial es de$150.000.000, con una vida útil de 9años y un valor de salvamento de $0.Los costos anuales de mantenimientoson de $2.000.000.La tasa de interés es del 30% anual.Calcular los CAUE para cada ofertay determinar cuál es la mejor. Resol-ver el problema por el método del fon-do de amortización de salvamento.Respuesta: $65.145.961 y $51.685.304.Debe elegirse la propuesta 2.

2. Resolver el problema anterior aplican-do el método del valor presente de sal-vamento.

3. Resolver el problema 1 aplicando elmétodo de la recuperación del capitalmás los intereses.

4. Un equipo industrial tiene un costo de$30.000.000 y una vida útil de 8 años,al final de los cuales debe reponerseal mismo costo. Si la tasa de interéses del 26% anual, ¿cuál es el costocapitalizado?Respuesta: $35.604.556

5. Se tienen dos ofertas para la comprade un equipo:Oferta 1. Costo inicial de $5.000.000y vida útil de 4 años.Oferta 2. Costo inicial de $7.000.000y vida útil de 8 años.

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM280


281

La tasa de interés es del 32% anual.¿Cuál es la mejor alternativa? Utiliceel método del costo capitalizado.Respuesta: La mejor oferta es la 1 puessu costo capitalizado es de $7.455.847frente a $7.851.888 de la 2.

6. Si el costo capitalizado de un activoque debe reemplazarse cada 15 añoses de $62.188.048 y su costo inicial fuede $60.000.000, ¿cuál fue la tasa de

interés utilizada para dichos cálculos?Respuesta: 25% anual.

7. Una obra civil se construyó a un costode $120.000.000. Al final de su vidaútil debe reponerse a un costo del 80%sobre la inversión inicial. Si el costocapitalizado ascendió a $124.649.683y la tasa de interés fue del 36% anual,¿cuál fue la vida útil estimada?Respuesta: 10 años.

Autoevaluación-

1.Para un proceso determinado se requiere comprar una máquina. Después de consultaren el mercado, se elaboraron las siguientes alternativas:

¿Cuál alternativa debe elegirse? Aplicar el método del valor presente.

2. Resolver el problema anterior pero considerando que la vida útil de la primera alterna-tiva es de tres años y la de la segunda es de cuatro años.

3. Para la compra de un computador se tienen las siguientes ofertas:

Elegir la mejor alternativa mediante el método del fondo de amortización de salvamento.


Costo inicial $50.000.000 $60.000 000

Costo de mantenimiento anual 3.000.000 500.000

Valor de salvamento 5.000.000 18.000.000


La tasa de interés es del 28% anual

Oferta 1 Oferta 2

Costo inicial $4.500.000 $3.800.000

Costos de mantenimiento anuales 10.000 15.000Valor de salvamento 1.000.000 500.000


La tasa de interés es del 27% anual

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM281


282

4. Resolver el problema anterior aplican-do el método de recuperación del ca-pital más los intereses.

5. Resolver el problema 3 por mediodel método del valor presente de sal-vamento.

6. Resolver el problema 3 mediante elmétodo del costo capitalizado.

7. Calcular el costo capitalizado de unequipo que cuesta $85.000.000 y tie-ne una vida útil de 9 años, al final delos cuales debe reemplazarse al mis-mo costo. Tome una tasa de interésdel 30% anual.

8. Con los datos del problema 7, calcu-lar el costo capitalizado suponiendoque el valor de salvamento es del 20%sobre la inversión inicial.

9. Se desea construir una obra cuyo cos-to inicial está estimado en$120.000.000. La vida útil se estipu-ló en 10 años, al final de los cualesdebe reponerse a un costo del 80%sobre la inversión inicial. Calcular elcosto capitalizado. Considere una tasade interés del 36% anual.

10. Con los datos del problema 9, calcularel costo anual uniforme equivalentemediante el método de la recuperacióndel capital más los intereses.


1. Alternativa 1P = $50.000.000

Costo de operación anual:


Alternativa 2P = $60.000.000

Costo de operación anual:

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM282


283



2. MCM = (3)(4) = 12 años

Para la primera alternativa el ciclo se repite cuatro veces y para la segunda, tresveces.

Alternativa 1

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM283


284

Alternativa 2


3. Oferta 1

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM284


285

Costos de mantenimiento anuales = 10.000

CAUE: $1.635.185

Oferta 2

Costos de mantenimiento anuales = 15.000CAUE: $1.597.372

Debe elegirse la oferta 2.

4. Oferta 1

Costos de mantenimiento anuales = $10.000CAUE: $1.635.372

Oferta 2


Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM285


286

5. Oferta 1

4.500.000 − 302.678 = $4.197.322

Oferta 2


6. Oferta 1

Los costos de mantenimiento anuales en forma indefinida son = 10.000

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM286


287

Oferta 2

Costos de mantenimiento anuales en forma indefinida son $15.000

Se elige la oferta 2 por ser la más económica.

7.

El valor de P es el costo capitalizado.

8. CAUE = $28.155.006Valor de salvamento = 85.000.000(0,20) = $17.000.000

Capitulo 7 1/20/06, 10:47 AM287


288

CAUE = $28.155.006 - $531.001 = $27.624.005

9.

El valor de salvamento será = 120.000.000(0,20) = $24.000.000

CAUE(total) = 45.292.357 - 418.471 = $44.873.886

10. Valor de salvamento = $24.000.000

120.000.000 - 24.000.000 = $96.000.000

CAUE = 36.233.886 + 8.640.000 = $44.873.886

Actividades de repaso1. ¿Cuál es la diferencia entre tasa de

rendimiento y tasa mínima de rendi-miento?

2. ¿Qué se entiende por valor presenteneto?

3. ¿En qué consiste el método de CAUE?

4. Explique cada una de las fórmas delCAUE y establezca sus diferencias.

5. ¿Qué se entiende por costo capitali-zado?

6. Explique las dos formas para calcu-lar el costo capitalizado y establezcasus diferencias.

Capitulo 7 1/20/06, 10:48 AM288

289

Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Evaluación financierade alternativas de inversión

� JustificaciónEn el capítulo séptimo se trató el tema de la evaluación de alterna-tivas mediante los métodos del valor presente neto, costo anualuniforme equivalente y costo capitalizado.

En este capítulo, el estudiante encontrará unas nociones preli-minares para la evaluación financiera de alternativas de inversióny de gasto, las cuales constituyen un complemento del capítuloséptimo y, además, le proporcionan una herramienta fundamentalpara cuando inicie el estudio sobre la evaluación económica deproyectos.

� Objetivo generalTener una visión clara sobre los diferentes métodos a utilizar paraevaluar financieramente un proyecto.

� Objetivos específicos� Evaluar alternativas mediante el cálculo del punto de

equilibrio.

� Evaluar alternativas cuando es necesario reemplazar una de ellaspor otra.

� Evaluar alternativas mediante el cálculo del beneficio neto y elbeneficio neto diferencial.

� Evaluar alternativas mediante el cálculo de las tasas de rendi-mientos de la inversión propiamente dicha y del rendimientode la inversión extra.

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM289

290


Conducta de entrada

1 ¿Qué se entiende por valor presente neto?

2 ¿Qué es el CAUE y cuáles son sus modalidades?

3 ¿Qué es costo capitalizado y cuáles son sus formas de calcularlo?

4 ¿Qué es una tasa de rendimiento?

5 ¿Qué es una TMR?


1. Es un método para evaluar alternati-vas y consiste en calcular el valor pre-sente del flujo de caja neto para cadauna de ellas, con base en la tasa míni-ma de rendimiento, y luego compararestos valores entre sí.

2. Tal como el VPN, el CAUE es otrométodo para evaluar alternativas, con-virtiendo todos los ingresos y egresosen cuotas periódicas iguales; poste-riormente se suman estos valores paracada alternativa y se comparan los to-tales entre sí. Tiene tres (3) modali-dades a saber: fondo de amortizaciónde salvamento, valor presente de sal-vamento y recuperación de capitalmás intereses.

3. Es un método para evaluar alternati-vas cuando éstas tienen vidas útiles

indefinidas. Consiste en calcular elCAUE y dividirlo por la respectivatasa de interés.

Este método tiene dos (2) modali-dades:a. Calcular el valor presente total de

la alternativa, cuando ésta tienevida útil indefinida.

b. Calcular el CAUE de la alternati-va y dividir luego este valor por latasa de interés.

4. Tasa de rendimiento es aquella quesirve para medir las utilidades finan-cieras de una inversión.

5. TMR es aquella tasa que sirve comomarco de referencia para hacer unainversión. Por debajo de ella no sedeben hacer inversiones.

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM290

291


Cálculo del punto de equilibrioEn algunos casos se observa que al comparar alternativas, varios elementos de costos pre-sentan variaciones en razón del producto o del uso. Cuando esto ocurre, es recomendableexpresar el parámetro que ofrece dificultad como una función variable, y posteriormentecalcular el valor de dicha variable en la cual las dos alternativas son iguales.

Generalmente los costos fijos son los costos iniciales de la inversión.La gráfica muestra que el costo fijo de la alternativa 2 es mayor que el costo fijo de la

alternativa 1; sin embargo, la alternativa 2 tiene unos costos variables menores que loscostos variables de la alternativa 1.Cada una de estas rectas es de la forma:

Y = mx + b

donde m = pendiente de la rectab = costos fijos

Luego: La recta de menor pendiente será la recta de menores costos totales.Esto se puede ver en la gráfica, donde E es el punto donde se cruzan las dosrectas; en él, las unidades variables para las dos alternativas tienen el mis-mo costo. Por esta razón, el punto E es el punto de equilibrio.

Si las unidades variables (horas de operación, etc.) exigidas están por encima del puntode equilibrio, la alternativa a elegir es aquella que tiene menor pendiente porque es la demenor costo total.

Si las unidades variables exigidas son menores que las estimadas para el punto de equi-librio, entonces la alternativa a elegir será la 1, ya que ésta tiene menor costo total en esascondiciones.

Generalmente los costos totales se expresan como CAUE, pero también se pueden ex-presar como valores presentes.

E$

0 Unidades variables

Costos fijos(2)

Costo total (1)

Costo total (2)

Costos fijos(1)

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM291

292


Ejemplo 8.1

El departamento de mercadeo de la empresa ABC ha incrementado notablemente las ven-tas. Con el fin de atender satisfactoriamente la demanda, el departamento de producciónrequiere comprar un nuevo equipo y para ello ha recopilado la siguiente información pro-porcionada por los fabricantes de este tipo de equipos:

Otras características

• Este equipo requiere dos operarios a un costo de $600 por hora.• La producción con este equipo es de 250 toneladas por hora.• Los costos anuales de mantenimiento y operación se calculan en $1.000.000.

Otras características

• Este equipo requiere tres operarios a $300 por hora.• La producción con este equipo es de 100 toneladas por hora.• El costo anual de operación y mantenimiento es de $200.000• La empresa tiene una tasa atractiva de 30% anual.

Si el departamento de producción exige 1.600.000 toneladas anuales, ¿cuál equipo se debecomprar?

X = número de toneladas al año, necesarias para llegar al punto de equilibrio.

Tipo A

Costo anual por tonelada

Costo anual por tonelada = 4,8 X

Tipo A

Costo inical: $50.000.000

Valor de salvamento: $3.000.000

Vida útil 5 años

Tipo B

Costo inical: $20.000.000

Valor de salvamento: 0

Vida útil 2 años

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM292

293


Se utiliza el método del fondo de amortización de salvamento:

CAUE = 20.529.077,42 − 331.744,64 + 1.000.000 + 4,8X

CAUE = 21.197.332,78 + 4,8X

Tipo B

En el punto de equilibrio las dos alternativas tienen los mismos costos.

Luego, se igualan:

21.197.332,78 + 4,8X = 14.895.652,17 + 9X

6.301.680,61 = 4,2X

X = 1.500.400

Es decir, se necesitan 1.500.400 toneladas anuales para llegar al punto de equilibrio.

Como el departamento de producción exige 1.600.000 toneladas anuales y esta cifra estápor encima del punto de equilibrio, entonces se debe elegir la alternativa de menor costo osea aquella que tiene menor pendiente y esa es la Tipo A.

Tipo A: Y = 4,8X + 21.197.332,78

Tipo B: Y = 9X + 14.895.652,17

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM293

294


ComprobaciónEn cada ecuación se sustituye el número de toneladas exigidas para calcular su costo.

Tipo A:CAUE = $21.197.332,78 + 4,8(1.600.000)CAUE = $28.877.332,78

Tipo B:CAUE = $14.895.652,17 + 9(1.600.000)CAUE = $29.295.652,17

El costo de las unidades en el punto de equilibrio:Se toma cualquiera de las ecuaciones:

CAUE = $21.197.332,78 + 4,8(1.500.400)CAUE = $28.399.252,78

� SensibilidadEs un índice que permite analizar las diferentes consecuencias de tipo económico que segenerarían por el hecho de elegir una determinada alternativa.

Una sensibilidad es alta cuando está comprendida entre los valores 1% y -1%.Fuera de estos valores, la sensibilidad puede ser considerada como baja.

A continuación se calcula la sensibilidad para el ejemplo anterior:Unidades punto de equilibrio: 1.500.400Unidades exigidas: 1.600.000

Sensibilidad = 1 500 400 1 600 000

1 600 000

. . . .

. .

−

Sensibilidad = −0,06225 = −6,225%

� AnálisisComo la sensibilidad es negativa, entonces se debe observar si este valor se aproxima acero o, por el contrario, se aleja.

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM294

295


Si el punto de referencia es −1% y la sensibilidad es de −6,225 %, es posible decir quela sensibilidad es baja; es decir, un aumento en las unidades exigidas no hace variar ladecisión tomada.

Una disminución en las unidades exigidas sólo podrá hacerse en un 6,225% sin quevaríe la decisión tomada. Un porcentaje mayor hará caer la decisión tomada y, en conse-cuencia, dará lugar a pérdidas.

Variación máxima permisible = (1.600.000) (−0,06225) = −99.600

1.600.000 − 99.600 = 1.500.400

Como se puede observar, se está en el punto de equilibrio. Si se disminuyen en unaunidad más las unidades exigidas, la decisión a tomar ya no será la alternativa A, sino la B.

Análisis:

(28.877.332,78) (−0,01655555) = −478.080

28.877.332,78 − 478.080 = 28.399.252,78

Si la sensibilidad fuera positiva, indicaría que el número de unidades exigidas está pordebajo de las unidades producidas en el punto de equilibrio y, en consecuencia, se puedeaumentar la exigencia hasta el porcentaje indicado por la sensibilidad. A partir de esepunto, cualquier aumento en las unidades que sobrepase el punto de equilibrio, hace cam-biar la decisión tomada.

Suponiendo que las unidades exigidas son 1.400.000

Si se toman como unidades exigidas 1.400.000, entonces la decisión debió ser por laalternativa B. Como la sensibilidad es del 7,1714285%, entonces sólo es posible aumentar

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM295

296


el número de unidades exigidas en 100.400. Si se aumenta una unidad más, la decisión atomar es la alternativa A.

� Punto de equilibrio con más de dos alternativasCuando intervienen más de dos alternativas es necesario calcular todos los puntos de equi-librio y posteriormente tomar la decisión.

Suponiendo tres alternativas:

A: Punto de equilibrio entre 1 y 2.B: Punto de equilibrio entre 1 y 3.C: Punto de equilibrio entre 2 y 3.

Si el departamento de producción exige una producción menor de 100 unidades, laalternativa a elegir es la 1.

Si el departamento de producción exige una producción entre 100 y 200 unidades, laalternativa a elegir es la 2.

Si el departamento de producción exige una producción mayor de 200 unidades, laalternativa a elegir es la 3.

Ejemplo 8.2

Una empresa necesita un equipo para determinado proceso. En el mercado se encuentranlos siguientes equipos:

CB

1 23

A

100 140 200 Unidades variables

$

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM296

297


Resolver el problema para:

1.600.000 unidades.

400.000 unidades.

1.200.000 unidades.

X = número de unidades anuales en el punto de equilibrio.

Análisis por el método de recuperación de capital más interés:

a. 50.000.000 − 3.000.000 = 47.000.000b. Dado P, hallar A

c. (3.000.000) (0,30) = 900.000d. 900.000 + 19.297.333 + 1.000.000 = 21.197.333

Y = 4,8X + 21.197.333 (1)

Análisis por el método del fondo de amortización:Dado P, hallar A

Equipo Costo Valor de Vida No. Operarios/ Producción/ Costo anualinicial salvamento útil valor hora hora de operación y

mantenimiento

1 $50.000.000 $3.000.000 5 años 2/$600 250 unidades $1.000.000

2 $20.000.000 0 2 años 3/$300 100 unidades $200.0000

3 $40.000.000 $5.000.000 3 años 1/$800 200 unidades $800.000

La empresa tiene una tasa de interés del 30%. El departamento de producción exige 1.600.0000unidades.

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM297

298


Y = 9X + 14.895.652 (2)

Análisis por el método del valor presente de salvamento:

a. Hallar P, dado F

b. 40.000.000 − 2.275.831 = 37.724.169

c. Dado P, hallar A

d. 20.771.930 + 800.000 = 21.571.930

Y = 4X + 21.571.930 (3)

Se igualan las ecuaciones:

(1) Y = 4,8X + 21.197.333

(2) Y = 9X + 14.895.652

(3) Y = 4X + 21.571.930

Se igualan (1) y (2):

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM298

299


Se halla Y (costo de las unidades en el punto de equilibrio):

Y = 4,8 (1.500.400) + 21.197.333

Y = 28.399.253


Se halla Y (costo de las unidades en el punto de equilibrio):

Y = 4,8 (468.246) + 21.197.333

Y = 23.444.914


Se halla el valor de Y (costo de las unidades en el punto de equilibrio):

Y = 9 (1.335.256) + 14.895.652

Y = 26.912.956

En las ecuaciones se reemplazan las unidades exigidas por el departamento de producciónque son 1.600.000:

Y1 = 4,8(1.600.000) + 21.197.333 = 28.877.333

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM299

300


Y2 = 9(1.600.000) + 14.895.652 = 29.295.652

Y3 = 4(1.600.000) + 21.571.930 = 27.971.930

Se reemplazan 400.000 unidades

Y1 = 4,8(400.000) + 21.197.333 = 23.177.333

Y2 = 9(400.000) + 14.895.652 = 18.495.652

Y3 = 4(400.000) + 21.571.930 = 23.171.930

Se reemplazan 1.200.000 unidades

Y1 = 4,8(1.200.000) + 21.197.333 = 26.957.333

Y2 = 9(1.200.000) + 14.895.652 = 25.695.652

Y3 = 4(1.200.000) + 21.571.930 = 26.371.930

La mejor alternativa de costos para las 1.600.000 unidades en:

(1) y (2) 1

(1) y (3) 3 La mejor alternativa es la 3

(2) y (3) 3

La mejor alternativa de costos para las 400.000 unidades en:

(1) y (2) 2


(2) y (3) 2

La mejor alternativa de costos para las 1.200.000 unidades en:

(1) y (2) 2


(2) y (3) 2

Nota. Para 1.600.000 unidades se eligió la alternativa 3.

Luego se analiza la sensibilidad en los puntos de equilibrio donde intervenga la alternativa 3.

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM300

301


Sensibilidad:

Es un rango muy alto para moverse hacia atrás hasta el punto de equilibrio; por tanto esposible bajar en este porcentaje hasta llegar al punto de equilibrio, sin que se vean altera-dos los costos.

Es un rango muy alto para moverse hacia atrás hasta el punto de equilibrio; por tanto esposible bajar en este porcentaje hasta llegar al punto de equilibrio, sin que se vean altera-dos los costos.

Para: 400.000 unidades

En este caso sería posible subir la producción en un 275,1%, hasta llegar a 1.500.400,que es la producción en el punto de equilibrio.


Para: 1.200.000 unidades



Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM301

302


E3

Y2

Y1

Y3

E2

E1

$

0

28.3

99.2

53

26.9

12.9

5623

.444

.914

21.5

71.9

30

21.1

97.3

33

14.8

95.6

52

400.

000

468.

246

1.20

0.00

01.

335.

256

1.50

0.40

01.

600.

000

Uni

dade

s

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM302

303


Problema del reemplazoEste problema tiene los siguientes orígenes:

1. Desgaste o deterioro de un activo por efectos del uso.

2. Insuficiencia para producir un determinado volumen exigido.

3. Insuficiencia para producir con unas determinadas especificaciones o características.

El primer punto da lugar a una serie de reparaciones y a un tiempo que se debe disponerpara ejecutarlas, lo que incrementa los costos de producción. Generalmente esta situaciónse acentúa a medida que se agota la vida útil del activo.

Ante un crecimiento del mercado, un equipo puede ser insuficiente para atender lademanda y, en consecuencia, es necesario su reemplazo por otro que produzca más unida-des, o se debe complementar con otro para atender la totalidad de la demanda.

En otras ocasiones, lo importante no es el volumen sino las características del productocomo: forma (rectangular, cuadrado, circular, triangular, etc.), color (negro, blanco, rojo,azul, blanco y negro, etc.), resistencia (fuerte, débil, etc.). Por lo general, en estos casos serecomienda hacer ajustes con otros equipos complementarios.

Los equipos pueden ser reemplazados por otros cuando se tornan obsoletos; esdecir, cuando aparecen otros equipos más eficientes, los cuales reducen los costos deproducción.

Con base en lo anterior, las decisiones a tomar pueden ser:

1. Comprar un equipo nuevo para reemplazar el equipo en uso.

2. Comprar dos o más equipos para reemplazar el equipo en uso.

3. Comprar uno o varios equipos para complementar el equipo en uso y atender la demanda.

Respecto al equipo en uso, toda empresa tiene la información que le suministraroncuando lo compró y además dispone de otra información que ha recogido durante el tiem-po que lleva operando el equipo, tal como:

• Costos reales y de mantenimiento• Valor en libros• Depreciación acumulada, etc.

Al hacer una comparación entre alternativas en uso y de reemplazo, es prioritario vol-ver a estimar nuevamente la información que se tiene del equipo en uso; es decir, calcular:

• Nueva vida útil• Nuevos costos de operación y mantenimiento

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM303

304


• Nuevo valor de salvamento• Valor del equipo en uso en el mercado (precio)

Existe una falsa tendencia a estimar el precio de un equipo en funcionamiento, como elque aparece en libros. Esto es inexacto. Lo primero que se debe hacer es calcular el precionominal que hace económicamente iguales las alternativas en uso y de reemplazo. Poste-riormente, este precio nominal se debe comparar con el precio real de la alternativa en usopara tomar la decisión.

Ejemplo 8.3

El señor Pérez tiene una pequeña industria y hace cinco años compró una máquina por$10.000.000. Los costos anuales de mantenimiento fueron estimados en esa época en$3.000.000. La vida útil que se estimó fue de nueve años y se consideró que el valor desalvamento sería de $1.000.000.

En la empresa del señor Pérez, la depreciación se hace mediante el sistema de línearecta. Esto indica que hoy, el valor en libros de la máquina es de $5.000.000.

Con el equipo que tiene el señor Pérez, la rentabilidad de la empresa no crece satisfac-toriamente. Por esta razón, indagó sobre un nuevo equipo que hace lo mismo que el quetiene y cuyas características son:

• Valor del equipo $15.000.000• Costo anual de mantenimiento $2.000.000• Vida útil 9 años• Valor de salvamento $2.000.000

Ante esta situación, se revisaron los datos del equipo en uso y los resultados fueron:• Sólo le restan tres años de vida útil.• No habrá valor de salvamento.• Según las estadísticas de mantenimiento, los costos anuales por este concepto son

de $4.000.000.

El vendedor de este equipo le ofrece $2.000.000 por el equipo en uso.El señor Pérez considera que su tasa mínima de rendimiento es de 25% anual.

PEU = Precio del equipo en uso

Por cualquiera de los tres métodos se calculan los costos anuales equivalentes para lasalternativas.

Se utiliza el fondo de amortización de salvamento.

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM304

305


Alternativa en uso:

Alternativa en reemplazo:

Para calcular el valor de PEU para el cual son iguales los costos anuales de ambasalternativas sólo basta con igualarlos:

PEU = Precio de equipo en uso para el cual son iguales los costos de ambas alternativas.

PEU (0,512295082) + 4.000.000 = 6.253.831

PEU = 4.399.479

Si el precio del equipo en uso es de PEU = $4.399.479, las dos alternativas tienencostos iguales y, en consecuencia, es indiferente para el señor Pérez continuar con el equi-po que tiene o cambiarlo por el propuesto.

Si en el mercado el precio real del equipo en uso es mayor que $4.399.479 entonces:CAUE de la alternativa en uso se torna mayor y, en consecuencia, se debe elegir la

compra del nuevo equipo.Si se hubiera tomado como precio del equipo en uso lo estimado en libros ($5.000.000),

entonces el CAUE del equipo nuevo sería menor y, por tanto, la decisión a tomar es ladel reemplazo; pero esta decisión crea un problema y es que cuando se haga el reempla-zo, no se encontrará en el mercado quién dé por el equipo en uso lo que dicen los libros(2.000.000 < 4.399.479).

Si se acepta esta oferta, el CAUE del equipo en uso será menor que el CAUE del nuevoequipo y, en consecuencia, no se debe hacer el reemplazo.

En el supuesto de que unos posibles compradores ofrecen $4.800.000 por el equipo enuso: En estas condiciones, 4.800.000 > 4.399.479, se debe vender y adquirir el nuevo equipo.

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM305

306


Comprobación

Ejemplo 8.4

Ante las características exigidas por el mercado para un determinado producto, es necesa-rio comprar una nueva máquina, ya que el equipo de que se dispone fue comprado haceocho años por $ 10.000.000. Los CAM (costos anuales de mantenimiento) se estimaron en$1.000.000. La vida útil se estimó en 15 años y no se estipuló valor de salvamento.

El equipo a comprar tiene las siguientes características:

• Valor inicial $15.000.000• CAM $500.000• Vida útil 10 años• Valor de salvamento $5.000.000

El perito que revisó el equipo en funcionamiento entregó la siguiente información:

• Vida útil 4 años• Valor de salvamento $300.000• CAM $2.000.000

Si se considera una tasa de 36% anual, ¿cuál será el valor mínimo por el cual se puedevender el equipo en uso?

Alternativa en uso:

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM306

307


Alternativa de reemplazo:

Ahora:PEU (0,508697646) + 1.955.391 = 6.074.363

PEU = 8.097.093

Éste es el valor mínimo para la venta del equipo en uso.

Beneficio netoAntes de definir el beneficio neto, se definirá primero la Tasa de Actualización Social.

� Tasa de Actualización Social (is)En todo proyecto es necesario cuantificar los costos y los beneficios sociales; es decir, losbeneficios sociales se deben asumir como ingresos y los costos sociales netos, como egresos.Dicho esto, la Tasa de Actualización Social se define así: “La medida en que la sociedadvalora los beneficios y los costos al incurrir en un costo social a cambio de un beneficiofuturo”.

� Beneficio neto (BN)Es la diferencia entre el valor presente de los beneficios sociales y el valor presente de loscostos sociales, cuantificados con anterioridad y actualizados con la Tasa de ActualizaciónSocial (is).

BN = B − C

� Beneficio neto diferencial BN (i - j)Es la diferencia entre los beneficios diferenciales y los costos diferenciales, con todos losvalores actualizados a la Tasa de Actualización Social (is). Si B1 y B2 son los valorespresentes de los beneficios sociales de las alternativas 1 y 2, y C1, y C2 son los costossociales respectivamente, entonces:

BN (2 − 1) = [B2 − Bl] − [C2 − CI]

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM307

308


Para que la alternativa 2 sea mejor que la 1 es necesario que el beneficio neto diferen-cial sea mayor que cero. Esto se logra cuando la diferencia entre los beneficios es mayorque la diferencia entre los costos sociales.

Cuando se trabaja con el beneficio neto diferencial es porque se están comparando dosalternativas con el fin de elegir entre ellas la más conveniente y excluir la otra.

Cuando se trabaja con el beneficio neto, se toma cada una de las alternativas en formaseparada y se les calcula el beneficio neto. Al final se obtendrá una lista de valores positi-vos y/o negativos. De estos valores se elige el de mayor beneficio neto.

Ejemplo 8.5

Para realizar una obra civil se tienen cuatro alternativas y sus costos son los siguientes:

Consideremos una is = 20% anual y una vida útil del proyecto de diez años.

Nota. En este tipo de análisis es necesario observar si el valor inicial de la inversión esigual o menor que la suma presupuestada para la obra.

Si el valor inicial de la inversión de una alternativa es mayor que la disponibilidadpresupuestada de la obra, esa alternativa se debe excluir del estudio ya que no hay capitalpara ejecutarla.

El estudio se inicia comparando las dos primeras alternativas:

Alternativa 1

Nota.Los costos anuales a usuarios son beneficios negativos.

Alternativa Inversión CAM CA a Usuarios

1 3.000.000 100.000 5.000.000

2 4.000.000 80.000 4.500.000

3 5.000.000 90.000 4.000.000

4 6.000.000 95.000 4.800.000

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM308

309


B2 − B1 = −18.866.124 − (−20.962.360)

B2 − B1 = 2.096.236

C2 = 4.000.000 + 335.398 = 4.335.398

C2 − C1 = 4.335.398 − 3.419.247 = 916.151

BN (2 − 1) = 2.096.236 − 916.151 = 1. 180.085

El BN (2 − 1) es mayor que cero, luego la alternativa 2 es mejor que la 1.Se comparan ahora la alternativa 2 con la 3.

B3 − B2 = −16.769.888 − (−18.866.124)B3 − B2 = 2.096.236

C3 − C2 = 5.377.322 − 4.335.398C3 − C2 = 1.041.924C2 − C1 = 4.335.398 − 3.419.247 = 916.151

BN (3 − 2) = 2.096.236 − 1.041.924BN (3 − 2) = 1.054.312

El BN (3 − 2) es mayor que cero, luego la alternativa 3 es mejor que la 2.Se comparan ahora la alternativa 3 con la 4.

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM309

310


B4 − B3 = −20.123.866 − (−16.769.888)

B4 − B3 = −3.353.978

C4 − C3 = 6.398.249 − 5.377.322 = 1.020.927

BN (4 − 3) = −3.353.978 − 1020.927 = − 4.374.905

El resultado es negativo, o sea menor que cero. Esto indica que la mejor alternativacontinúa siendo la 3.

Relación beneficio-costoLa relación beneficio-costo es un método muy acostumbrado por los organismos interna-cionales. Su expresión es la siguiente:

Donde B y C son valores presentes o anuales, calculados con la Tasa de ActualizaciónSocial (is).

Cuando se comparan alternativas mutuamente excluyentes, la relación beneficio-costo será:

B C i jBj Bi

Cj Ci/( ) −( ) = −

−

En este caso, la segunda alternativa será mejor que la primera si la relación beneficio-costode la segunda con respecto a la primera, es mayor que la unidad.

Ejemplo 8.6

Apliquemos este concepto al problema anterior. Los datos serán los siguientes:

B1 = −20.962.360 C1 = 3.419.247

B2 = −18.866.124 C2 = 4.335.398

B3 = −16.769.888 C3 = 5.377.332

B4 = −20.123.866 C4 = 6.398.249

Capitulo 8 1/20/06, 10:49 AM310

311


Alternativa 1 vs. alternativa 2

La relación es mayor que la unidad, luego la alternativa 2 es mejor que la 1.


(B/C) (3 - 2) = 2,01

La relación es mayor que la unidad, luego la alternativa 3 es mejor que la 2.


La relación es negativa o sea que es menor que la unidad, luego la alternativa 3 continúasiendo la mejor.

Análisis de alternativas mediantelas tasas de rendimiento de la inversión

inicial y de la inversión extra

Ejemplo 8.7

Se supone que para la ejecución de una obra civil se dispone de $130.000.000. Para estaobra se presentan seis alternativas; cada una estima una vida útil de 15 años y no seconsideran valores de salvamento. Todas las alternativas producen ingresos anuales. Seconsidera una tasa mínima de rendimiento del 30% anual. Cuando la inversión inicial

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM311

312


sea menor que la disponibilidad presupuestal, entonces se colocará el capital adicional a latasa mínima de rendimiento.

Las alternativas son las siguientes:

El estudio se inicia calculando las tasas de rendimiento de la inversión:

Se debe observar si estas tasas son mayores que la tasa mínima atractiva.Se puede observar que la tasa mínima es de 30% anual y las tasas de rendimiento de la

inversión son mayores que ella; luego, cualquiera de estas tasas es mejor que la tasa míni-ma de rendimiento.

Si existiera alguna alternativa donde la tasa de rendimiento de la inversión fuera menorque la tasa mínima atractiva, entonces se debería rechazar por no ser rentable. Aparente-mente la mejor alternativa es la 2, ya que tiene la tasa de rendimiento de la inversión mayor

Alternativa Inversión Ingreso anual

1 $50.000.000 $20.000.000

2 $70.000.000 $30.000.000

3 $90.000.000 $35.000.000

4 $100.000.000 $38.000.000

5 $110.000.000 $43.000.000

6 $130.000.000 $50.000.000

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM312

313


que las otras. Esta apreciación es errónea. Se debe continuar el estudio calculando las tasasde rendimiento de la inversión extra pero en forma comparativa entre dos alternativas.

La alternativa 1 tiene una tasa de rendimiento extra de 40% anual.Si se compara la alternativa 1 con la alternativa 2, la 2 implica hacer una inversión extra

de $20.000.000 respecto de la primera. Esto da lugar a obtener unos ingresos mayores de$10.000.000 respecto de la primera.

Luego,

Esta tasa de rendimiento de la inversión extra es mayor que la tasa mínima atractiva, lo cualindica que la alternativa 2 es mejor que la 1.

Si se compara la alternativa 2 con la alternativa 3, la 3 implica hacer una inversión extrade $20.000.000 respecto de la 2, y se obtendrán unos ingresos de $5.000.000 mayores quela 2.

Luego,

Esta tasa es menor que la tasa mínima (30%), por tanto es mejor la alternativa 2 que la 3.Si se compara la alternativa 2 con la alternativa 4, la 4 implica hacer una inversión extra

de $30.000.000 respecto de la 2, pero se obtienen unos ingresos de $8.000.000.Luego,

Esta tasa de rendimiento de la inversión extra también es menor que la tasa mínima (30%),por lo que la 2 continúa siendo la mejor alternativa.

Si se compara la alternativa 2 con la alternativa 5, la 5 implica una inversión extra de$40.000.000 respecto de la 2, pero se obtienen unos ingresos adicionales de $13.000.000respecto de la 2.

Luego

Esta tasa de rendimiento de la inversión extra es mayor que la tasa mínima (30%), luegola alternativa a elegir es la 5.

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM313

314


Si se compara la alternativa 5 con la alternativa 6, la 6 implica una inversión extra de$20.000.000 respecto de la 5, pero se producen unos ingresos adicionales de $7.000.000

Luego

Como ya no hay más alternativas, se puede decir que la mejor de todas es la alternativa 6.

ComprobaciónCalcular el valor presente de todas las alternativas, a la tasa mínima atractiva.

Se utiliza el método del valor presente neto.

P2 = −70.000.000 + 30.000.000 (3,268211224) =

P2 = 28.046.337

P3 = −90.000.000 + 35.000.000 (3,268211224) =

P3 = 24.387.393

P4 = −100.000.000 + 38.000.000 (3,268211224) =

P4 = 24.192.027

P5 = −110.000.000 + 43.000.000 (3,268211224) =

P5 = 30.533.083

P6 = −130.000.000 + 50.000.000 (3,268211224) =

P6 = 33.410.561

Como se puede apreciar, la alternativa que mayor valor presente tiene es la 6, luego esta esla mejor alternativa de inversión.

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM314

315



1. La empresa Poderosa S.A. tiene una disminución en las ventas de sus productosdebido a la baja capacidad de producción e incumplimiento en la entrega de pedi-dos. Para solucionar el problema, el departamento de producción propone cambiarel equipo que tiene por uno nuevo. Los datos de las cotizaciones son los siguientes:

• La empresa tiene una tasa atractiva del 32% anual.• El departamento de producción debe cumplir con una demanda de 900.000

unidades anuales.¿Cuál alternativa se debe elegir?

Respuesta: la 2.

2. La empresa Cementos A.A requiere para la planta de producción unos equiposnuevos ya que con los actuales no alcanza a cubrir la demanda de cemento. Paraello tiene las siguientes alternativas:

• Tasa de interés: 28% anual.• La empresa debe cumplir con unas ventas de 2.500.000 unidades al año.

¿Cuál alternativa debe elegir? Hacer comentarios.Respuesta: la 1.


Costo inicial $50.000.000 $30.000.000

Valor de salvamento $2.000.000 0

C.M.O* 1.500.000 2.000.000


Operarios 2 a $1.000/hora 4 a $600/hora

Producción 300 unid./hora 250 unid./hora

* Costo mano de obra.


Costo inicial $200.000.000 $150.000.000


C.M.O* 500.000 1.500.000

Valor de salvamento $2.000.000 $1.000.000

Operarios 1 a $800/hora 2 a $600/hora

Producción 400 unid./hora 400 unid./hora

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM315

316


3. El señor Pedro Pérez desea cambiarunos equipos de su empresa ya quelos que tiene se han vuelto obsoletosen razón del uso y del tiempo. Un ex-perto le hizo el siguiente estudio delos equipos que tiene:• Los costos anuales de manteni-

miento están en el orden de$3.000.000.

• Sólo les restan unos dos años de uso.• Al final de su vida útil no tendrán

valor de salvamento.

Al consultar el mercado sobre nue-vos equipos, se encontró que una bue-na propuesta era adquirir un equipoen las siguientes condiciones:

Costo inicial = $100.000.000CAM = $5.000.000Vida útil = 10 añosValor de

salvamento = $5.000.000

El vendedor también le propuso reci-birle el equipo usado por $30.000.000.Si la tasa mínima de rendimiento delseñor Pérez es de 36% anual, ¿será con-veniente hacer ese negocio? ¿Por qué?Respuesta: No. El precio del equipo

en uso es de $50.599.760. No se pue-de vender por menos.

4. Una empresa desea cambiar uno desus equipos. El jefe de mantenimien-to hizo el siguiente diagnóstico sobreel equipo que está en operación:• Sólo le resta una vida útil de un año

y no tendrá valor de salvamento.• Los costos anuales de manteni-

miento son de $10.000.000.

Un vendedor le ofrece al gerentede esta empresa un equipo nuevo enlas siguientes condiciones:

Costo inicial = $180.000.000CAM = $5.000.000Vida útil = 10 añosValor de

salvamento = $10.000.000

Además, le propone recibirle elequipo usado como parte de pago yle fija un precio de $45.000.000.La tasa mínima de rendimiento de la em-presa es de 32% anual. ¿Debe el geren-te hacer el negocio? Explique el porqué.Respuesta: Sí. El precio del equipoen uso es de $42.585.055.

5. Para la ejecución de una obra civil se tienen las siguientes propuestas:

• La tasa de actualización social es de 32% anual y la vida útil de las obras se estimaen 15 años.

• El presupuesto asignado para la ejecución de las obras es de $75.000.000.¿Cuál debe ser la propuesta a elegir?

Respuesta: Ninguna.

Propuesta Inversión CAM CA a Usuarios

1 $80.000.000 $15.000.000 $40.000.000

2 100.000.000 10.000.000 30.000.000

3 135.000.000 5.000.000 20.000.000

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM316

317


6. Resolver el problema No. 5 pero con-siderando un presupuesto de$200.000.000.Respuesta: La tercera.

Alternativa Inversión Ingresos anuales

1 $30.000.000 $9.000.000

2 55.000.000 19.250.000

3 40.000.000 11.200.000

4 45.000.000 13.050.000

1. La Empresa A adquirió una máquinahace diez años por $7.000.000; la má-quina se ha estado depreciando en lí-nea recta sobre una vida útil de quinceaños, con un valor de salvamento de$1.000.000. En la actualidad, el costoanual de mantenimiento y operaciónasciende a $1.400.000.

Se está estudiando la posibilidadde reemplazar esta máquina por otramejor cuyo costo es de $6.500.000,

con una vida útil de diez años, sinvalor de salvamento y unos costosanuales de mantenimiento y opera-ción de $1.000.000.

La máquina actual se puede cam-biar por la otra, agregando la sumade $5.000.000. Se estima que la má-quina actual ya no tiene valor de sal-vamento y, además, le resta una vidaútil de cinco años. La tasa mínima derendimiento de la empresa es del 20%

7. Con los datos del problema No. 5, cal-cular la relación beneficio neto diferen-cial para cada una de las propuestas yconfirmar si la decisión tomada en elproblema No. 6 sigue siendo la misma.Respuesta: Sí.

8. Para el montaje y puesta en marcha de un proyecto para el levante y comercializaciónde la tilapia roja, se dispone de un presupuesto de $50.000.000 y se tienen lassiguientes alternativas:

La tasa mínima atractiva es de 32% anual. Aplicando el método de las tasas dela inversión inicial y de la inversión extra, determinar cuál es la mejor alternativa.Explicar el porqué.Respuesta: Ninguna.

9. Resolver el problema No. 8 pero con-siderando una tasa mínima atractivade 30% anual.Respuesta: La primera.

10. Resolver el problema No. 8 pero con-siderando una tasa mínima atractivade 28% anual.Respuesta: La cuarta.

Autoevaluación

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM317

318


anual. ¿Será conveniente realizar elcambio? Explicar analítica y teórica-mente la respuesta.

2. Se desea construir un hotel en una re-gión turística. Para ello se han desarro-llado siete alternativas, cada una de ellascon una vida útil de 20 años. No se con-sideran los valores de salvamento.Las alternativas son las siguientes:

El inversionista dispone de$20.000.000 que tienen una tasa mí-nima de rendimiento de 25% anual.Evaluar las alternativas utilizando la tasade rendimiento de la inversión extra.

3. Una fábrica de muebles produce dostipos de sillas y mesas. La empresatiene grandes recursos de madera,mano de obra y un buen mercado. Portanto, requiere de una nueva maqui-naria y para ello ha recopilado la si-guiente información:

Máquina tipo A:Costo inicial = $80.000.000Valor de salvamento = $5.000.000Vida útil = 5 años

• Este equipo requiere tres operariosa razón de $300 por hora.

• La producción con este equipo esde 350 unidades por hora.

• Los costos anuales de manteni-miento se estiman en $2.000.000.

Máquina tipo B:Costo inicial = $40.000.000Valor de salvamento = 0Vida útil = 4 años

• Este equipo requiere dos operariosa razón de $500 por hora.

• La producción se estima en 200unidades por hora.

• Los costos anuales de manteni-miento se han calculado en$400.000.

Si la empresa tiene una tasa atrac-tiva de 25% anual, y el departamentode producción necesita producir5.000.000 de unidades anuales ¿cuálmáquina se debe comprar? Hacer elanálisis del caso.

4. Una fábrica de alfombras requiere unamáquina para atender su demanda queestá insatisfecha. Después de consul-tar los proveedores, recoge la siguien-te información:

Máquina A:Costo inicial = $80.000.000Valor de salvamento = $4.000.000Vida útil = 4 años

• Esta máquina requiere dos opera-rios a $300 por hora, con una pro-ducción de 150 unidades por hora.

Alternativas Inversión Ingresoinicial anual

1 10.000.000 4.000.000

2 12.000.000 5.000.000

3 14.000.000 5.500.000

4 15.000.000 5.800.000

5 16.000.000 6.300.000

6 18.000.000 7.000.000

7 20.000.000 7.600.000

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM318

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• Los costos anuales de manteni-miento son de $1.000.000.

Máquina B:Costo inicial = $40.000.000Valor de salvamento = $1.000.000Vida útil = 2 años

• Requiere dos operarios a $300 porhora.

• La producción es de 120 unidadespor hora.

• Los costos anuales de manteni-miento son de $1.000.000

Máquina C:Costo inicial = $20.000.000Valor de salvamento = $3.000.000Vida útil = 2 años

• Esta máquina requiere dos opera-rios especializados a $600 por hora.

• La producción es de 200 unidadespor hora.

• Los costos anuales de manteni-miento son de $600.000.

• La tasa mínima de rendimiento dela empresa es de 25% anual.

• Si el departamento de producciónexije una producción de 4.500.000unidades al año, ¿cuál máquina sedebe comprar? Haga el análisis dela sensibilidad.

5. La compañía XYZ adquirió hace tresaños un equipo para un determinadoproceso, el cual tuvo un costo de$200.000.000, una vida útil de diezaños, unos costos anuales de mante-nimiento de $20.000.000 y un valorde salvamento de $ 10.000.000. Coneste equipo no se alcanza a atender la

demanda, la cual se ha triplicado. Anteesta situación es necesario consultaren el mercado sobre nuevos equipos.Los datos hallados son los siguientes:

Existe un equipo con la misma ca-pacidad del equipo actual, su costo esde $120.000.000, una vida útil de seisaños, un valor de salvamento de$20.000.000 y tiene unos costos anua-les de mantenimiento de $15.000.000.

Hay otro equipo cuya capacidad esel triple del actual. Su costo es de$400.000.000. Tiene una vida útil dediez años, un valor de salvamento de$50.000.000 y sus costos anuales demantenimiento se estiman en$50.000.000.

El jefe de mantenimiento de la em-presa revisó el equipo en uso y dio elsiguiente diagnóstico:

Tiene una vida útil de seis años,no tendrá valor de salvamento, loscostos anuales de mantenimiento yoperación ya ascienden a$30.000.000.

Los cálculos hechos para estable-cer el precio de equipo actual indicanque éste es de $50.000.000. La tasamínima de rendimiento de la empre-sa es de 30% anual.

Elaborar y valorar tres alternativasposibles.

6. Hace ocho años la empresa Líder S.A.adquirió un equipo en las siguientescondiciones:

Costo inicial = $15.000.000CAM = $5.000.000Valor de salvamento = $2.000.000Vida útil = 12 años

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM319

320


Ese equipo se ha vuelto obsoletoy por tanto es necesario cambiarlo porotro de mejores especificaciones téc-nicas. Al consultar el mercado se en-contró un nuevo equipo y lascondiciones para adquirirlo son lassiguientes:


El proveedor ofrece recibir el equi-po en uso por $3.000.000, suma quese abonaría al costo del nuevo equipo.

La empresa hace revisar el equipoen uso por un experto. Éste da el si-guiente diagnóstico:• Al equipo sólo le restan cuatro

años de vida útil.• No tendrá valor de salvamento.• Los costos de mantenimiento se

están incrementando anualmente.En ese momento ascienden a$6.000.000 anuales.

• La empresa trabaja con una tasade interés de 32% anual.

• ¿Será conveniente cambiar el equi-po por el propuesto?

7. Una compañía procesadora de frutascompró hace siete años una máquinadespulpadora por $11.000.000. Loscostos de mantenimiento anual se es-timaron en $2.000.000. La vida útilen diez años y se consideró un valorde salvamento de $2.000.000.

Según las estadísticas de produc-ción, la rentabilidad de la empresa seveía amenazada si se continuaba ope-

rando con esa máquina. Por tanto, setomó la decisión de comprar una nuevamáquina en las siguientes condiciones:


El equipo en uso fue evaluado enlas siguientes condiciones:

Sólo le restan dos años de vida útil,al final de los cuales su valor de sal-vamento será cero. Los registros demantenimiento indican que los cos-tos anuales por este concepto son delorden de $3.000.000.

El vendedor interesado en la ven-ta de este equipo le propone a la com-pañía recibir el equipo en uso comoparte de pago, y para ello le fija unprecio de $1.500.000.

La tasa mínima de rendimiento dela empresa es de 30% anual. ¿Seráconveniente este negocio para lacompañía?

8. Una empresa transportadora compróen 1991 una tractomula por$65.000.000; los costos de manteni-miento anual fueron estimados en$2.000.000; la vida útil se estimó endoce años y se consideró un valor desalvamento de $10.000.000.

Como a la empresa le interesa re-novar su equipo en forma periódica,tomó la decisión de comprar un nue-vo modelo avaluado en $95.000.000el cual tiene unos costos de manteni-miento anual de $2.000.000 y unavida útil de quince años, pero sin va-lor de salvamento.

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM320

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El vehículo usado se ofrece a unoscompradores de vehículos de segun-da, y éstos ofrecen por él la suma de$48.000.000 aduciendo que al vehí-culo sólo le restan cinco años de vidaútil y que su mantenimiento anual esde $3.000.000. Además, dicen que al

final de su vida útil, el vehículo notendrá valor de salvamento.

La empresa trabaja con una tasamínima de rendimiento de 36% anual.¿Será conveniente para la empresahacer el cambio de vehículo en esascondiciones? ¿Qué se debe hacer?

9. Para la construcción de una carretera que unirá la cabecera municipal con una de susveredas, se dispone de un presupuesto de $500.000.000 y se tienen las siguientesofertas:

La tasa de actualización social es de 25% anual. El proyecto tendrá una vida útilde 20 años.

Aplicando los conceptos de beneficio neto diferencial, determinar a qué empre-sa se le debe adjudicar la construcción de esta obra.

10. Con los datos del problema No. 7, calcular la relación beneficio-costo y observar sila decisión tomada en el problema No. 7 continúa siendo la misma.

11. El señor Pedro Pérez se ganó el premio mayor de la lotería, el cual estaba acumula-do en $373.134.328. El descuento por concepto de ganancias ocasionales es de33% y el señor Pérez destinará 80% de su premio para construir un edificio deapartamentos. El resto de su dinero lo invertirá en papeles financieros que le reco-nocen el 25% anual. Las propuestas que recibió para la construcción del edificio están resumidas enel siguiente cuadro:

Empresa Inversión CAM CA a usuarios

A $380.000.000 $30.000.000 $400.000.000B 420.000.000 20.000.000 300.000.000C 470.000.000 10.000.000 250.000.000D 510.000.000 0.000 200.000.000

Propuesta Inversión inicial Ingresos anuales

1 $150.000.000 $39.000.0002 160.000.000 42.400.0003 175.000.000 47.500.0004 180.000.000 50.400.0005 187.000.000 46.563.0006 193.000.000 52.385.7147 200.000.000 53.600.0008 201.000.000 60.300.000

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM321

322


Analizar las propuestas aplicando el método de las tasas de rendimiento de la in-versión inicial y de la inversión extra.

12. Los departamentos de Antioquia y Caldas están interesados en la construcción deuna presa aprovechando las aguas del río Cauca. Para ello, cada departamento haráun aporte de $5.000.000.000. A la licitación pública internacional se presentaronlas siguientes firmas constructoras y del estudio de sus ofertas se extractó el si-guiente cuadro, el cual debe ser evaluado aplicando el método del beneficio netodiferencial.

Vida útil del proyecto: 20 añosTasa de actualización social:25% anual


1. Alternativa en uso:n = 10 añosP = $7.000.000ni = 15 añosValor de salvamento = $1.000.000CAM = $1.400.000

Alternativa de reemplazo:n = 10 añosP = $6.500.000CAM = $1.000.000

Firma Inversión inicial CAM CA a usuarios

A $4.500.000.000 $2.000.000.000 $1.000.000.000

B 5.000.000.000 1.000.000.000 2.000.000.000

C 7.000.000.000 800.000.000 1.200.000.000

D 11.000.000.000 300.000.000 500.000.000

E 10.000.000.000 900.000.000 1.400.000.000

F 10.500.000.000 750.000.000 800.000.000

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM322

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Para la alternativa en uso:

Se igualan los dos CAUE con el fin de despejar el valor del PEU.PEU (0,33437970) + 1.400.000 = 2.550.398PEU = 3.440.394,22

Si se tratara de vender la máquina antigua para comprar una nueva, esto sólo sepodría hacer si la máquina antigua se vendiera por $3.440.394,22 o más. Si se hade vender por menos dinero, no se justifica hacer el reemplazo.

En este caso no se trata de vender para comprar otra máquina nueva: se trata decambiar la máquina antigua por una nueva, dando un valor mayor de $5.000.000.La condición de equilibrio (condición mínima) es recibir $3.440.394,22 por laventa y entregar $6.500.000 por el equipo nuevo.

$6.500.000 − 3.440.394,22 = 3.059.605,78

Éste sería el valor que se deberá dar de más.

Comparando este valor con el de la condición mínima, resulta inferior, luego esconveniente hacer el cambio.

2. Como la inversión inicial de cualquieralternativa no supera la disponibilidadpresupuestal de rendimiento, entoncestodas las propuestas son viables enprincipio.

El análisis del problema se iniciacon el cálculo de las tasas de rendi-miento:

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM323

324


Se puede observar que todas las tasasson mayores que la tasa mínima. Lue-go, cualquiera de ellas resulta mejoro es más conveniente que invertir a latasa mínima.

Así, se debe proceder a analizar lasalternativas mediante la comparaciónde las tasas de rendimiento de las in-versiones extras.

Comparación entre 2 y 1:

Si se elige la 2 y se excluye la 1, seincurrirá en un ingreso anual mayorde $1.000.000, pero la inversión ini-cial pasará de $10.000.000 a$12.000.000; es decir, la inversión ini-cial se incrementará en $2.000.000.Luego, la tasa de rendimiento de lainversión de esa inversión extra será:

Por ser 0,50 > 0,25, se excluye la 1 yse elige la 2.

Comparación entre la 2 y la 3.

Esta tasa es igual a la tasa mínima derendimiento. Luego, es indiferente ele-gir la 2 o la 3.

Comparación entre la 2 y la 4:

Por ser 0,2666 > 0,25 se elige la 4.





Comparación entre la 6 y la 7.


Conclusión. La mejor alternativa esla 7.

3. Máquina tipo A:

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM324

325


�

Máquina tipo B:

CAUE = 16.937.669 + 400.000 + 5XCAUE = 17.337.669 + 5X �

� = �

31.138.505 + 2,57X = 17.337.669 + 5X13.800.836 = 2,43X

X = 5.679.356

Ésta es la producción en el punto de equilibrio, en que los costos son iguales paraambas máquinas.

El departamento de producción exige una producción de 5.000.000 de unida-des anuales.

Se calculan los costos para cada una de las máquinas.

Máquina A:

CAUE = 31.138.505 + 2,57 (5.000.000)CAUE = 43.988.505

Máquina B:

CAUE = 17.337.669 + 5 (5.000.000)CAUE = 42.337.669

Nota. Se elige la máquina B por tener menor costo.

Esta decisión se puede confirmar aplicando los conceptos teóricos.De las dos ecuaciones, la de menor pendiente es la (1).El punto de pedido del departamento de producción es de 5.000.000 de unida-

des, cifra que es inferior a las producidas en el punto de equilibrio (5.679.356unidades), luego la ecuación de costos más favorable será la de mayor pendiente.

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM325

326


Si la producción exigida fuera superior a la del punto de equilibrio, entonces ladecisión a tomar sería con la ecuación de menor pendiente.

4. Máquina A:

�

Máquina B:

CAUE = 28.333.334 + 5X2 �

Máquina C:

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM326

327


CAUE = 17.022.349 + 6X �

� = �

34.181.572 + 4X = 28.333.334 + 5XX = 5.848.238

� = �

34.181.572 + 4X = 17.022.349 + 6XX = 8.579.612

� = �

28.333.334 + 5X = 17.022.349 + 6XX = 11.310.985

En cada ecuación se reemplaza el número de unidades exigidas por el departamento deproducción:

� Y = 34.181.572 + 4 (4.500.000) = 52.181.572

� Y = 28.333.334 + 5 (4.500.000) = 50.833.334

� Y = 17.022.349 + 6 (4.500.000) = 44.022.349

La de menor costo es la máquina C.

Análisis de la sensibilidad:Se trabaja con los puntos de equilibrio donde interviene la máquina C, es decir:

� y � � y �

Para � y �

La sensibilidad es muy baja. Es decir, la exigencia en producción se puede aumentarhasta en 90,658 % y seguirá siendo mejor alternativa la de la m áquína C.

(4.500.000) (1,90658) = 8.579.610

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM327

328


Si la producción se encuentra por encima de 8.579.612 que es el punto de equili-brio entre � y �, entonces la máquina C dejará de ser la mejor opción.

Entre � y �

Una sensibilidad negativa indica que la producción exigida está por debajo delpunto de equilibrio.

Luego(4.500.000) (1,513552) = 6.810.9844.500.000 + 6.810.984 = 11.310.984La sensibilidad también resultó ser baja.

5. Alternativa 1:

Adquirir dos unidades del equipo No. 1 y agregarlo al actual.

Costo equipo actual = $50.000.000Costo equipo No. 1 (dos) = 240.000.000Costo total = $290.000.000Vida útil = 6 años

Valor de salvamentoEquipo actual = 0Equipo No. 1 (dos) = $40.000.000Costo mano de obra:Equipo actual = $30.000.000Equipo No. 1 (dos) = 30.000.000Costo total = $60.000.000

CAUE = 109.734.346 − 3.135.772 + 60.000

CAUE = 166.598.574

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM328

329


Alternativa 2:

Adquirir tres unidades del equipo No. 1 y retirar el equipo actual.Costo = (120.000.000) (3) = $360.000.000Vida útil = 6 añosValor de salvamento = ($20.000.000) (3) = $60.000.000CMO = ($15.000.000) (3) = $45.000.000

CAUE = 136.221.947 + 45.000.000 − 4.703.658 =

CAUE = $176.518.289

Alternativa 3:

Retirar el equipo actual y comprar el equipo No. 2.Costo = $400.000.000Valor de salvamento = $50.000.000CAM = $50.000.000Vida útil = 10 años

CAUE = 129.385.376 + 50.000.000 − 1.173.172CAUE = $178.212.204La mejor es la alternativa 1.

6. Alternativa 1:

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM329

330


Alternativa 2:

PEU (0,477174184) + 6.000.000 = $11.446.222PEU = $11.413.488Conclusión. No conviene cambiar el equipo en uso; es preferible mejorarlo.

7. Alternativa 1:

Alternativa 2:

CAUE = $5.812.558 + $1.000.000 - $125.746CAUE = $6.686.812PEU (0,73478260) + 3.000.000 = 6.686.812PEU = $5.017.555Conclusión. Venderlo por $1.500.000 es vender a pérdida.

8. Alternativa 1:

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM330

331


Alternativa 2:

CAUE = $36.542.986PEU (0,458560) + 3.000.000 = 36.542.986PEU = $73.148.521No se puede vender el vehículo por $48.000.000.

9. La empresa D ha sido descartada ya que su oferta tiene un precio superior al presu-puesto asignado para la construcción de la carretera.

BB = −300.000.000 (3,953883) = −1. 186.164.900

BC = −250.000.000 (3,953883) = −988.470.750

CA = 380.000.000 + 30.000.000 (3,953883) = 498.616.490

CB = 420.000.000 + 20.000.000 (3,953883) = 499.077.660

CC = 470.000.000 + 10.000.000 (3,953883) = 509.538.830

BB − BA = 1.186.164.900 − (−1.581.553.200) = 395.388.300

CB − CA = 499.077.660 − 498.616.490 = 461.170

BN(B−A) = 395.388.300 − 461.170 = 394.927.130

BN(B−A) es mayor que cero. Por tanto, la propuesta B es mejor que la A.

Entre B y C.BC − BB = 988.470.750 − ( −1.186.164.900) = 197.694.150CC − CB = 509.538.830 − 499.077.660 = 10.461.170BN(C−B)

= 197.694.150 − 10.461.170 = 187.232.980BN(C−B)

es mayor que cero. Por tanto, la propuesta C es mejor que la B.

10.

La relación es mayor que “1”. La propuesta B es mejor que la A.Entre B y C

La relación es mayor que “1”. La propuesta C es mejor que la B.

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM331

332


11. Valor recibido: $373.134.328 × 0,67 = $250.000.000Presupuesto para inversión = $250.000.000 × 0,80 = $200.000.000Se descarta la propuesta 8 porque requiere de una inversión inicial superior alpresupuesto de la obra.Se calculan las tasas de rendimiento:

Se excluye la propuesta 5 por tener una tasa de rendimiento inferior a la TMR delseñor Pérez.

Se calculan las tasas de inversión extra:

Entre 1 y 2:

34% > 25%. Luego: se elige la 2

Entre 2 y 3:

La tasa es igual a la anterior. Se elige cualesquiera de las dos.

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM332

333


Entre 3 y 4:

58% > 25%. Se elige la 4.

Entre 4 y 6:

15,27% < 25%. Se elige la 4.

Entre 4 y 7:

16% < 25%. Se elige la 4.Conclusión. La mejor propuesta es la 4.

12. Se descartan las propuestas D y F porque sus costos son mayores al presupuestodisponible para la ejecución de la obra.

BB = −2.000.000.000 (3,95388314) = −7.907.766.280

CA = 4.500.000.000 + 2.000.000.000 (3,95388314) =

CA = 12.407.766.280

CB = 5.000.000.000 + 1.000.000.000 (3,95388314) =

CB = 8.953.883.140

BB − BA = −7.907.766.280 − (−3.953.883.140)

BB − BA = −3.953.883.140

CB − CA = 8.953.883.140 − 12.407.766.280

CB − CA = −3.453.883.140

BN(B−A) = −3.953.883.140 − (−3.453.883.140)

BN(B−A) = −500.000.000

BN(B−A) : es menor que cero. Entonces se elige la propuesta A.

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM333

334


Entre A y C:BC = −1.200.000.000 (3,95388314) = −4.744.659.768CC = 7.000.000.000 + 800.000.000 (3,95388314) =CC = 10. 163.106.5 10BC − BA = −4.744.659.768 − (−3.953.883.140) =BC − BA = −790.776.628CC − CA = 10.163.106.510 − 12.407.766.280CC − CC = −2.244.659.770BN(C−A)

= −790.776.628 −(−2.244.659.770) =BN(C−A)

= 1.453.883.140Se elige la C.

Entre C y E:BE = −1.400.000.000 (3,95388314) = 5.535.436.396CE = 10.000.000.000 + 900.000.000 (3,95388314)CE = 13.558.494.830BE − BC = −5.535.436.396 − (−4.744.659.768) =BE − BC = −790.776.628CE − CC = 13.558.494.830 − 10.163.106.510 =CE − CC = 3.395.388.320BN(E−C)

= −790.776.628 − 3.395.388.320BN(E−C)

= −4.186.164.948BN(E−C)

es menor que cero. Entonces se elige la propuesta C.


1. ¿Qué es una tasa de rendimiento?2. ¿Qué es una tasa mínima de rendi-

miento?3. ¿En qué consiste el método del valor

presente neto?4. ¿Cuáles modalidades tiene el método

del valor presente neto? Explíquelas.5. ¿En qué consiste el método del costo

anual uniforme equivalente?6. ¿Cuáles modalidades tiene el método

del costo anual uniforme equivalen-te? Explíquelas.

7. ¿En qué consiste el método del puntode equilibrio?

8. ¿Cuándo se usa este método?

9. ¿Qué diferencia existe entre el métododel valor presente neto y el del costo anualuniforme equivalente? Explíquela.

10. ¿Cómo se define la sensibilidad en latoma de decisiones?

11. ¿En qué consiste el problema del re-emplazo?

12. ¿Qué es el beneficio neto?13. ¿Qué es el beneficio neto diferencial?14. ¿Cuál es la relación beneficio costo?

¿Cuándo se usa? ¿Cómo se usa?15. ¿En qué consiste el método para eva-

luar alternativas mediante las tasas delrendimiento de la inversión inicial yde la inversión extra?

Capitulo 8 1/20/06, 10:50 AM334

335

Tasa interna de retorno

� JustificaciónEn todo proyecto es necesario conocer la tasa de interés queprodujeron los dineros del mismo. Esta tasa se halla al calcular latasa interna de retorno. Hasta esta parte se ha hecho referencia aun proyecto de inversión, pero también es necesario hablar deaquellas situaciones en las que se desea conocer el costo de uncrédito. Este caso no es más que la tasa interna de retorno para esasituación.

� Objetivo generalDeterminar una tasa de interés que establezca una igualdad entreuna suma presente y la suma de unos valores presentes de unasfuturas.

� Objetivos específicos� Calcular la tasa interna de retorno cuando no se tiene una tasa

de referencia.

� Calcular la tasa interna de retorno cuando se tiene una tasa dereferencia.

� Calcular la tasa interna de retorno cuando existen costosadicionales o arandelas, como comisiones, seguros, etc.

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM335

336


Conducta de entradaA continuación se presenta una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cualesuna sola es verdadera. Marque con una ✗ la que considere correcta.

1 La tasa efectiva anual equivalente ala tasa del 4% mensual es

a. 50,10% b. 60,10%

c. 40,10% d. 30,10%

e. 58,10%

2 La tasa efectiva anual equivalente ala tasa del 31% trimestre anticipadoes:

a. 40,08% b. 25,08%

c. 31,08% d. 31,18%

e. 38,08%

3 ¿A qué tasa de interés efectiva anualdebo depositar $1.000.000 para queal final de tres años pueda acumularla suma de $2.898.278,33?

a. 42,57% b. 42,75%

c. 45,27% d. 45,75%

e. 47,25%

4 Si Pedro compra un libro en $5.500 ydebe hacer pagos mensuales de $200durante 36 meses, ¿cuál es la tasaefectiva anual de dicha transacción?

a. l8,44% b. 19,44%

c. 20,08% d. 21,08%

e. 15,08%

5 Se compra una nevera por la suma de$820.000 con una cuota inicial de$220.000 y el saldo se financia a 12meses pagando $62.090,37 mensua-les. ¿Cúal es la tasa de interés que secobra en dicha transacción?

a. 4% mensual

b. 3% mensual

c. 2,5% mensual

d. 3,5% mensual

e. 5% mensual


1. b 2. e 3. a 4. c 5. d

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM336

337

Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

Tasa interna de retornoToda persona que desee hacer una inversión espera obtener una utilidad, la cual, expresadaen porcentaje, se denomina tasa de retorno razonable sobre la inversión.

Esta tasa de retorno razonable se conoce como tasa mínima atractiva de retorno(TMA) y debe ser mayor que cualquier otra tasa de retorno previamente establecida.

En los capítulos anteriores se estudió cómo una suma presente era equivalente a unasuma futura (principio de equivalencia con el paso del tiempo). Con base en este principiose establecerán igualdades para encontrar la tasa de interés que hace posible dichasigualdades. La tasa así hallada es la tasa de retorno.

Puede decirse, entonces, que la tasa de retorno es aquella que hace que el valor de losingresos de un proyecto sea equivalente al valor presente de los egresos; es decir, es aquellatasa de interés que hace que el Valor Presente Neto de un proyecto sea igual a cero. La tasade retorno se calcula bajo el supuesto de que todo el capital y los rendimientos que generael proyecto permanecen dentro del mismo hasta el final de su vida útil.

Para el cálculo de la tasa de retorno se considerarán dos situaciones:

1. No se conoce ninguna tasa de interés que permita analizar el problema.

Ejemplo 9.1

Un ciudadano invierte hoy $1.000.000 en un negocio que le dará $50.000 mensuales du-rante un año, al final del cual obtendrá el capital invertido, los intereses y $20.000 más.¿Cuál es la tasa de interés?

En el último mes obtiene, además de los $50.000:

1.000.000 + 20.000 = 1.020.000

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM337

338


Como no se conoce ninguna tasa inicial, se supone que todos los ingresos están en el mes 12.

F = (50.000)(12) + 1.020.000 = 1.620.000

Como

F = P(1 + i)n

Se reemplaza:

La tasa que hace que se cumpla la igualdad es del 4,10% mensual.Sin embargo, la igualdad planteada es artificial, es decir, no es cierta ya que se supuso quetodos los ingresos estaban en una misma fecha futura.Esta suposición tiene como objeto conocer una tasa de interés para tomarla como punto departida y así hallar la tasa de retorno.

Supóngase una tasa del 5% para plantear la igualdad:

Esto indica que la tasa del 5% no es la tasa de retorno. Debe buscarse una tasa mayor quedisminuya la expresión.

Si se toma el 5,5%, se obtiene:

1.000.000 ≠ 430.925,89 + 536.501,14

1.000.000 ≠ 967.427,03

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM338

339


Como puede apreciarse, el 5,5% tampoco es la tasa de retorno, pero queda claro que la tasade retorno está entre el 5% y el 5,5%.

Luego, se interpola:para el 5 % la diferencia es de +11. 136,71para el 5,5% la diferencia es de −32.573

de donde x = 0,00127384Luego, la tasa mínima atractiva de retorno (TMA) es igual a

5% + 0,00127384

Tasa mínima atractiva de retorno (TMA) = 5,127384%

2. Se conoce una tasa de interés que sirve de referencia.

Ejemplo 9.2

Un ciudadano compró un apartamento por $10.000.000, y los gastos de escritura y lacomisión fueron de $200.000, y espera venderlo dentro de 6 meses por $13.000.000.

Los gastos y las rentas durante ese tiempo son los siguientes:


1 $150.000 $10.000

2 150.000 80.000

3 150.000 50.000

4 150.000 70.000

5 150.000 20.000

6 150.000 40.000

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM339

340


Este ciudadano, que tiene una tasa de oportunidad del 3% mensual, ¿hizo un buen negocio?

Flujo de caja:

Se actualiza cada uno de los valores netos y se tiene:

Mes Ingresos Egresos Neto

0 −$10.200.000 −$10.200.000

1 $150.000 10.000 140.000

2 150.000 80.000 70.000

3 150.000 50.000 100.000

4 150 000 70.000 80.000

5 150.000 20.000 130.000

6 150.000 40.000 110.000

6 13.000.000 0 13.000.000

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM340

341


Se obtuvo un valor positivo, por tanto, debe considerarse una tasa mayor. Tómese el 4%,luego

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM341

342


Este resultado indica que debe buscarse una nueva tasa de retorno, mayor que el 4%.Supóngase la tasa del 5%:

Este nuevo resultado indica que la tasa de retorno está por encima del 5%. Ahora se consi-dera el 5,5%:

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM342

343


Como el resultado es negativo, puede decirse que la tasa de interés se encuentra entre el5% y el 5,5%. Se interpola, así:

Luego, TIR = 5,06%

El negocio fue bueno ya que la TIR es mayor que la tasa mínima de oportunidad delinversionista.

Conclusiones

• Si la TIR > tasa de interés de oportunidad del inversionista, la inversión es buena.• Si la TIR < tasa de interés de oportunidad del inversionista, la inversión es mala.

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM343

344


• Si la TIR = tasa de interés de oportunidad del inversionista, es indiferente hacer lainversión o seguir trabajando el capital a la tasa de oportunidad.

ComentariosAlgunos autores suelen hablar de “tasa de interés con arandelas”. Cuando hablan de“arandelas” se refieren a aquellos otros factores que intervienen para aumentar las tasas deinterés inicialmente pactadas o acordadas.

Estos elementos son, entre otros, las comisiones, los seguros, los timbres, los costos depapelería, el estudio del crédito, etc. Para el cálculo de estas tasas, basta elaborar el diagra-ma del problema con el fin de visualizarlo mejor y luego proceder como se hizo con laTIR.Costo de un crédito. Para calcular el costo de un crédito basta recurrir a la TIR; la tasa asíhallada representa el costo del crédito.

Ejemplo 9.3

Supóngase que una corporación otorgo un crédito de $1.000.000 a una tasa del 36% anualcon capitalización semestral y plazo de un año. El estudio del crédito, los timbres, lascomisiones y demás ascendieron a $20.000. Se acordó que este valor se pagará al finalizarel primer bimestre.

Al finalizar el segundo mes pagará la suma de $20.000 por concepto de comisiones yotros.Al finalizar el sexto mes (ler. semestre) pagará $180.000 por concepto de intereses.Al finalizar el plazo (1 año) pagará el capital de $1.000.000 más los intereses del segundosemestre, $180.000, para un total de $1.180.000.Existe una tasa que iguala la suma de los valores presentes de los diferentes pagos con elvalor presente del crédito.

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM344

345


En este caso dicha tasa será la tasa de interés efectiva pagada, la cual corresponde a la TIR.

Como la tasa que va a calcularse debe ser mayor que el 18% semestral, supóngase unatasa del 20%.

Como puede observarse, la tasa del 20% no es la que se busca porque esa igualdad no se hacumplido. Como se obtuvo una cifra inferior a $ 1.000.000, que es el miembro izquierdode la igualdad, entonces debe aumentarse dicha cifra hasta el $1.000.000. Esto se lograobservando las fórmulas que se han presentado.

Si se disminuye el denominador, la cifra total aumentará; por tanto, supóngase una tasadel 19% y repítase la operación.

Esto indica que la tasa buscada se encuentra entre el 19% y el 20%. Se interpola:

Luego, TIR = 0, 19 + 0,0022507067 = 19,225%.La tasa efectiva anual será

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM345

346


ir

n

i

a

n

a

= +

−

= +( ) − =

1 1

1 0 19225 1 42 1461742, , %

Si se hubiere presentado amortización del capital, supóngase un abono de $400.000 enel primer semestre. La gráfica sería

Los intereses en el segundo semestre disminuyeron porque disminuyó el capital, debido alabono que se hizo. El problema se resolverá como en el caso anterior. Si el pago de intere-ses o de algunos ítemes fuera por anticipado, entonces se tendría:

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM346

347


Se continuaría con el problema hasta llegar a la tasa indicada.

Ejemplo 9.4

El señor Pérez tiene su propio negocio, el cual le proporciona una tasa de oportunidad del8% mensual.Para modernizarlo ha pensado en comprar un computador que le venden enlas siguientes condiciones:

• Precio de venta: $3.000.000 menos el 20% si la venta es de contado.• Si la venta es a crédito deberá cancelar el 50% como cuota inicial y el resto se lo

financian a un año con pago de cuotas de $130.000 mensuales.Calcular el costo de dicho crédito, es decir, la tasa de interés mensual que le cobran al

señor Pérez.

a. Si el señor Pérez compra de contado el computador, sólo tendrá que pagar:

$3.000.000(0,80) = $2.400.000

b. Si compra a crédito tendrá que pagar una cuota inicial de $1.500.000 y, además,deberá cancelar mensualmente $130.000 durante un año. El problema consiste encalcular la tasa de interés con la cual se financia un capital. ¿Cuál es el monto delcapital financiado?

El capital financiado es la diferencia entre el precio de venta y la cuota inicial; sin embargo,como en este caso se hace un descuento al precio de venta por pago de contado, entoncesel valor a financiar será:

Precio de venta de contado − cuota inicial

Valor a financiar = 2.400.000 − 1.500.000 = 900.000

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM347

348


El diagrama económico es

Al aplicar el concepto de valor presente se tiene que:

Si se supone que la tasa de oportunidad del señor Pérez es de 8% mensual, se tiene:

Esto indica que el crédito tiene un costo mayor que la tasa de oportunidad del señor Pérez.Sin embargo, se calcula ese costo:

Según lo anterior, puede concluirse que la tasa buscada está entre el 8% y el 10%. Seinterpola:

• Con el 8% hay una diferencia positiva de $79.690 respecto de $900.000.

• Con el 10% hay una diferencia negativa de $14.220 respecto de $900.000.

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM348

349


Luego,TIR = 0,08 + 0,0169715 = 0,0969715 = 9,69715%

El costo del crédito es del 9,69715% mensual. Esto demuestra que al señor Pérez no leconviene comprar a crédito porque la TIR correspondiente a su financiación es mayor quesu tasa de oportunidad. Se le recomienda mejor comprar de contado.

Hasta ahora se ha visto cómo la tasa interna de retorno (TIR) representa la rentabilidadde una inversión o proyecto, ya que la TIR tiene como característica el hecho de estardeterminada por el capital que permanece en el proyecto; cuando éste considera la entregaparcial y periódica de capital, la TIR deja de representar la verdadera rentabilidad delproyecto y entonces es necesario calcular dicha rentabilidad.

Ejemplo 9.5

El señor Pérez compró un computador por $1.721.581, el cual produce $100.000 mensuales,y espera venderlo al término de un año por $1.500.000. Si el señor Pérez le presta a susamigos el producido mensual del computador a una tasa del 3% mensual, ¿cuáles serán laTIR y la verdadera rentabilidad de la inversión?

a.

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM349

350


Al aplicar VPN se tiene:

Al considerar con los procedimientos estudiados antes, se llega a una tasa del 5% men-sual, la cual es la TIR del proyecto pero no mide su verdadera rentabilidad ya que hayreinversiones de las utilidades mensuales.

Para calcular la verdadera rentabilidad es necesario considerar la tasa de oportunidaddel señor Pérez, o sea, la tasa a la cual él hace la reinversión.

Al calcular el valor futuro de las reinversiones se obtiene:

A = $100.000i = 0,03n = 12 mesesF = ?

Esto indica que el señor Pérez hizo una inversión de $1.721.581 y obtuvo al final del añola suma de $2.919.203, discriminada así:

$1.500.000 por concepto de la venta del computador$1.419.203 por concepto de la reinversión

En otras palabras, $1.721.581 se transformaron en $2.919.203 al final de un año. ¿Cuálfue la tasa que hizo posible la transformación?

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM350

351


Esta es la tasa que mide la verdadera rentabilidad del proyecto y se calcula así:

F = $2.919.203P = $1.721.581n = 1 año

� Tasa interna de retorno vs. valor presente netoMediante el método del valor presente neto se sabe si una propuesta o alternativa evaluadacon la tasa mínima de rendimiento del inversionista, es buena o es mala. Es decir, si haypérdidas o ganancias frente a esa tasa mínima de rendimiento o tasa de interés deoportunidad.

Si el VPN es mayor que cero, la propuesta es buena; es decir que es viable desde elpunto de vista financiero (el valor presente de los ingresos es mayor que el valor presentede los egresos a esa tasa de oportunidad).

Si el VPN es menor que cero, la propuesta es mala; es decir que no es viable desde elpunto de vista financiero (el valor presente de los ingresos es menor que el valor presentede los egresos a esa tasa de oportunidad).

La TIR indica la tasa de interés con la cual se está recuperando el capital. Tambiénseñala el costo de un crédito o la rentabilidad de una inversión.

Es muy importante tener siempre presente que la TIR sólo se refiere al capital quepermanece dentro del proyecto; cuando hay lugar a reinversiones de capital, entonces yano indicará la verdadera rentabilidad de la inversión. En estos casos se hace necesariocalcular otra tasa de interés, con la cual se indicará la verdadera rentabilidad.

Con el fin de hacer claridad en este tema, se analizarán los siguientes problemas:

Ejemplo 9.6

Una persona dispone de $100.000.000 para invertir. El Banco A le ofrece devolverle elcapital invertido en seis (6) cuotas mensuales, iguales y vencidas de $21.631.539.

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:53 AM351

352


El Banco B le ofrece devolverle el capital invertido en un pago único de $154.330.153 alfinal de los seis meses. Si la tasa mínima de rendimiento de esta persona es del 3% mensual.¿Cuál propuesta es la mejor?

Resolver el problema por el método del VPN y por el método de la TIR.Por el método del VPN

VPN A = − +( ) −( )

( ) ×( )$ . .$ . . ,

, ,100 000 000

21 631 539 1 03 1

1 03 0 03

6

6

VPNA = –$100.000.000 + $117.182.188 = $17.182.188

VPNB = − +( )

$ . .$ . .

,100 000 000

154 330 153

1 03 6

VPNB = –$100.000.000 + $129.249.073 = $29.249.073

En ambas propuestas, se obtuvo que el VPN es mayor que cero: el valor presente de losingresos es mayor que el valor presente de los egresos y por consiguiente, ambas propuestasproducen ganancias frente a la tasa de rentabilidad mínima del 3% mensual.

De las dos propuestas es mejor la del Banco B, ya que tiene un valor presente netomayor que la del Banco A.

Por el método de la TIR

Banco A:

$ . .$ . .

100 000 00021 631 539 1 1

1

6

6=

+( ) −[ ]+( ) ×( )

i

i i

Por tanteo se encuentra que i = 0,08

Luego, TIR = 8% mensual.

Banco B:

$ . . $ . .100 000 000 154 330 153

1 6=

+( )iPor tanteo se encuentra que i = 0,075Luego TIR = 7,5 % mensual.

La TIR de la propuesta A es mayor que la TIR de la propuesta B.A simple vista esto indica que es mejor invertir en el Banco A.Así por el método del VPN la mejor propuesta, es la del Banco B por el método de la

TIR, la mejor propuesta es la del Banco A. ¿Habrá entonces una contradicción entre dichosmétodos?

Capitulo 9-335-352 1/20/06, 10:54 AM352

353


Por principio de lógica matemática pensaríamos que no podría existir contradicciónentre el método del valor presente neto y el método de la tasa interna de retorno. Estaaparente contradicción se explica porque la TIR sólo se refiere a los capitales que perma-necen dentro del proyecto.

En el caso del Banco A, hay una reinversión: los $21.631.539 que recibe mensualmente,pueden ser reinvertidos a la tasa mínima de rendimiento del inversionista (3% mensual).Por tanto, la TIR de la propuesta A, no indica la verdadera rentabilidad y, en consecuencia,es necesario calcularla en la siguiente forma:

FA i

i

n

=+( ) −( )1 1

F =( ) −( )

$ . .,

,21 631 539

1 03 1

0 03

6

F = $139.921.661

Como inicialmente se invirtieron $100.000.000 y al final de seis meses se obtuvieron$139.921.661. ¿Cuál fue la tasa de interés que dio lugar a que $100.000.000 se transformaranen $139.921.661?

F = P(1 + i)n

$139.921.661 = $100.000.000(1 + i)6

i = 0,057582263

i = 5,7582263%

Esta es la verdadera rentabilidad de la propuesta del Banco A.Como en la propuesta del B no hay reinversión, entonces la TIR hallada para dicha

propuesta sí refleja la verdadera rentabilidad.Así, 5,7582263% del Banco A es menor que 7,5% del Banco B.En conclusión, la propuesta del Banco B continúa siendo la mejor opciónComo se puede apreciar el cálculo de la tasa de rentabilidad verdadera puede solucionar

la contradicción que se presenta entre el método del VPN y el de la TIR.

Ejemplo 9.7

Al señor Pérez se le presentan dos alternativas para invertir $50.000.000: la primera consisteen depositar hoy esa cantidad y dentro de dos años recibirá la suma de $69.620.000; lasegunda consiste en depositar hoy la misma suma y recibir al final de cada año y durantedos años, $32.727.300.

Para tomar una decisión, calculó la tasa interna de retorno de las dos propuestas yencontró que la primera tiene una TIR del 18% anual y la segunda, una TIR del 20% anual.

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:55 AM353

354


Un amigo le dijo que el método del VPN era el más seguro. Al hacer los cálculos con sutasa mínima de rendimiento del 10% anual, encontró lo siguiente:

VPN1 = $7.537.190VPN2 = $6.799.446

Según estos cálculos, la mejor alternativa es la primera pero según los cálculos de laTIR la mejor alternativa es la segunda.

Como se puede observar, aquí aparece la misma contradicción que en el problemaanterior. Todo se debe a que se está tomando como tasa de rentabilidad verdadera a la TIRde la propuesta que implica reinversión. Este es el error en el cual no se puede caer y paraello es necesario calcular la tasa de interés que indica la verdadera rentabilidad cuando haylugar a la reinversión.

F =( ) −( )

$ . .,

,32 727 300

1 10 1

0 10

2

F = $68.727.330

Entonces,

$68.727.300 = $50.000.000(1 + i)2

i = 0,172410

i = 17,2410% anual

Esta es la tasa que representa la verdadera rentabilidad de la segunda propuesta.La tasa del 17,2410% anual es inferior a la tasa del 18% anual de la primera propuesta,

de manera que no hay contradicción y sigue siendo la propuesta 1, la mejor de las dos.La tasa del 20% no refleja la verdadera rentabilidad de la propuesta porque en ella hay

lugar a reinversión y la TIR no se refiere a los capitales que salen del proyecto para serreinvertidos nuevamente.

Otra explicación que se puede dar al interrogante sobre la aparente contradicción de losmétodos es la siguiente: Si el señor Pérez trabajara los $32.727.300 que recibe al final delprimer año, a una tasa del 10% anual, entonces obtendría al final del segundo año:

$32.727.300 + ($32.727.300 × 0,10) = $36.000.000

A este valor se le deben sumar los $32.727.300 que recibe de la inversión inicial.

Así, $36.000.000 + 32.727.300 = $68.727.330

Esta suma es inferior a la que recibiría si eligiera la primera alternativa ($69.620.000),de modo que la mejor propuesta es la 1.

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:55 AM354

355


� Flujo de caja después de impuestosUn flujo de caja está compuesto por los ingresos y los egresos. En otras palabras, por lasentradas y las salidas o desembolsos.

Definición de variables

FCAI: flujo de caja antes de impuestos

FCDI: flujo de caja después de impuestos

IG: ingresos gravables

it: tasa de tributación

Fórmulas:

FCAI = Ingresos brutos − egresos

IG = FCAI − Depreciación

Impuestos = (IG)(it)

FCDI= FCAI − Impuestos

Ejemplo 9.8

Una empresa adquirió un equipo para un determinado proceso de producción. En estaempresa los activos se deprecian mediante el método de la línea recta. Los ingresos y losegresos son los siguientes:

Si la tasa de tributación es del 15% anual tabular el flujo de caja descontado.

Depreciación = 200 000 000

5

. . = 40.000.000

Año Ingresos Egresos FCAI Depreciación IG Impuestos FCDI

0 $200.000.000 −$200.000.000 −$200.000.000

1 $120.000.000 $30.000.000 $90.000.000 $40.000.000 $50.000.000 $7.500.000 $82.500.000

2 $110.000.000 $40.000.000 $70.000.000 $40.000.000 $30.000.000 $4.500.000 $65.500.000

3 $100.000.000 $55.000.000 $45.000.000 $40.000.000 $5.000.000 $750.000 $44.250.000

4 $105.000.000 $60.000.000 $45.000.000 $40.000.000 $5.000.000 $750.000 $44.250.000

5 $90.000.000 $40.000.000 $50.000.000 $40.000.000 $10.000.000 $1.500.000 $48.500.000

Año Ingresos Egresos

0 200.000.000

1 120.000.000 30.000.000

2 110.000.000 40.000.000

3 100.000.000 55.000.000

4 105.000.000 60.000.000

5 90.000.000 40.000.000

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:55 AM355

356


Cálculo de la TIR después de impuestos

La tasa interna de retorno calculada sobre el flujo de caja después de impuestos,generalmente es la mitad de la tasa interna de retorno calculada sobre el flujo de caja antesde impuestos.

20 000 000 82 500 0001

65 500 000

1

44 250 000

1

44 250 000

1

48 500 000

12 3 4 5. . . . . . . . . . . .=

+( ) ++( )

++( )

++( )

++( )i i i i i

Se busca primero una tasa de interés como punto de partida:

285.000.000 = 200.000.000 (1 + i)5

i = 7,34%

Esto indica que la tasa de interés a buscar es superior al 7,34%.Se inicia el proceso de tanteo con el 15%.

20 000 000 82 500 0001 15

65 500 000

1 15

44 250 000

1 15

44 250 000

1 15

48 500 000

1 152 3 4 5. . . .

,. .

,

. .

,

. .

,

. .

,= ( ) +

( )+

( )+

( )+

( )200.000.000 ≠ 199.774.786

La tasa del 15% no es la TIR.

Se debe plantear nuevamente el problema con una tasa inferior. Supóngase el 14,5%

20 000 000 82 500 0001 145

65 500 000

1 145

44 250 000

1 145

44 250 000

1 145

48 500 000

1 1452 3 4 5. . . .

,. .

,

. .

,

. .

,

. .

,= ( ) +

( )+

( )+

( )+

( )200.000.000 ≠ 201.880.312

La tasa del 14,5% tampoco es la TIR.

Todo indica que la tasa a buscar está entre el 14,5% y el 15%, de manera que se debeinterpolar:

0,145 1.880.3121.880.312

0,005 i 0 2.105.526

0,15 −225.214

i = ( ) × ( ) =0 005 1 880 312

2 105 5260 004465184

, . .

. .,

TIR = 0,145 + 0,004465184 = 0,14946518 = 14.946518%

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:56 AM356

357


La tasa del 14,946518% no refleja con exactitud el valor de la TIR, ya que el procedimiento decálculo mediante el método de tanteo, da lugar a un margen de error, el cual aumenta o disminuyedependiendo de cómo estén de alejados los dos extremos entre los cuales se interpoló.

Cálculo del CAUE

Asuma una tasa mínima de rendimiento del 12% anual.

l. Se llevan todos los valores a valor presente y luego se suman.

2. El valor presente calculado se anualiza para la vida útil de la propuesta y con la tasamínima de rendimiento del inversionista (12%)

P1 = –$200.000.000

P2 =82 500 500

1 12

. .

,( ) = $73.660.714

P3 =65 500 000

1 12 2. .

,( ) = $52.216.199

P4 =44 250 000

1 12 3. .

,( ) = $31.496.276

P5 =44 250 000

1 12 4. .

,( ) = $28.121.675

P6 =48 500 000

1 12 5

. .

,( ) = $27.520.203

Total = $13.015.067

A = ( ) ×( ) −

=13 015 067

1 12 0 12

1 12 13 610 506

5

5. ., ,

,. .

En caso de tener varias propuestas con vidas útiles diferentes, el cálculo del valor presenteneto se deberá hacer para un horizonte que iguale las vidas útiles de las propuestas, talcomo se indicó en el capítulo 7.

Sí se tienen las propuestas A y B:VPN de la propuesta A = al valor presente del CAUE de la propuesta A. Esto es:Dado A hallar P para un n igual al horizonte financiero.

VPN de la propuesta B = al valor presente del CAUE de la propuesta B. Esto es:Dado A hallar P para un n igual al horizonte financiero.

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:56 AM357

358


Ejemplo 9.9

El señor Pérez desea comprar un computador para su negocio. El precio del equipo es de $4.000.000de contado. Si se compra financiado, le cobrarán una tasa del 26,8241% efectiva anual.

El equipo lo financian a 4 meses con uno de los siguientes planes:Plan 1: cuatro cuotas mensuales, iguales y vencidasPlan 2: cuatro cuotas mensuales, vencidas e iguales de capital. Los intereses se pagarán

sobre los saldos insolutos del capital

Si el señor Pérez tiene una TMR del 2,5% mensual, ¿cuál plan debe elegir?

ia = 0,268241 iapm = (1,268241)1/12

− 1 = 0,02

Plan 1:

A = ( )( ) −

=4 000 0001 02 0 02

1 02 11 050 495

4

4. ., ,

,. .

VPN

VPN

= ( ) −( )

=

1 050 4951 025 1

1 025 0 025

3 951 935

4

4. .,

, ,

. .

Plan 2:

VPN = +( )

+( )

1 080 000

1 025

1 060 000

1 025

1 040 000

1 0252 3. .

,

. .

,

. .

,+

( )1 020 000

1 025 4. .

,

VPN = $1.053.659 + $1.008.923 + $965.743 + $924.070

VPN = $3.952.395

Se selecciona el plan 1.

n A I Abono Saldo

0 $4.000.000

1 $1.080.000 $80.000 $1.000.000 3.000.000

2 $1.060.000 $60.000 $1.000.000 2.000.000

3 $1.040.000 $40.000 $1.000.000 1.000.000

4 $1.020.000 $20.000 $1.000.000 0

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:56 AM358

359


Ejemplo 9.10

Para una empresa se requiere un equipo que tiene un precio en el mercado de $50.000.000de contado y una vida útil de 10 años, sin valor de salvamento.

Con este equipo se obtendrán ingresos anuales de $8.000.000. La empresa deprecia susactivos mediante el método de la línea recta. La tasa de tributación es del 30% efectivaanual y la TMR es del 9% efectiva anual. ¿Será conveniente comprar el equipo?

P = 50.000.000n = 10 años

Vr depreciación = =50 000 000

105 000 000

. .. .

VPN = − + ( ) −( )

50 000 000 7 100 0001 09 1

1 09 0 09

10

10. . . ..

. ,

VPN = −50.000.000 + 45.565.370

VPN = −4.434.630

No es conveniente porque VPN < 0

Nota. Es importante aclarar que el sólo hecho de que el VPN<0, es condición necesariapero no suficiente para asegurar que la mención no es conveniente. También se debe calcularel riesgo, antes de tomar la decisión.

Año Ingreso Egreso FCAI Depreciación IG IMP FCDI

0 50.000.000 −50.000.000 −50.000.000

1 8.000.000 8.000.000 5.000.000 3.000.000 900.000 7.100.000

2 8.000.000 8.000.000 5.000.000 3.000.000 900.000 7.100.000

3 8.000.000 8.000.000 5.000.000 3.000.000 900.000 7.100.000

4 8.000.000 8.000.000 5.000.000 3.000.000 900.000 7.100.000

5 8.000.000 8.000.000 5.000.000 3.000.000 900.000 7.100.000

6 8.000.000 8.000.000 5.000.000 3.000.000 900.000 7.100.000

7 8.000.000 8.000.000 5.000.000 3.000.000 900.000 7.100.000

8 8.000.000 8.000.000 5.000.000 3.000.000 900.000 7.100.000

9 8.000.000 8.000.000 5.000.000 3.000.000 900.000 7.100.000

10 8.000.000 8.000.000 5.000.000 3.000.000 900.000 7.100.000

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:56 AM359

360


Ejemplo 9.11

Una empresa desea comprar para su departamento de producción un equipo cuyo precioen el mercado es $40.000.000 de contado. El equipo tiene una vida útil de 5 años. Laempresa deprecia sus activos mediante el método de la línea recta. El valor de salvamentoes de $5.000.000.

Se espera que con este equipo se tengan los siguientes ingresos: el primer año serán de$14.000.000 y cada año se incrementarán 3% sobre el año inmediatamente anterior. Loscostos de mantenimiento y operación se estiman en $3.000.000 para el primer año y cadaaño tendrán un incremento de $500.000 sobre al año anterior. La tasa de tributación es el35% y la TMR es del 6% efectiva anual. ¿Es conveniente comprar el equipo?

$40.000.000 − $5.000.000 = $35.000.000

Vr depreciación = =35 000 000

57 000 000

. .. .

VPN = − + +( )

+( )

+( )

+( )

40 000 0009 600 000

1 06

9 548 000

1 06

9 504 190

1 06

9 468 816

1 06

12 692 130

1 062 3 4 5. .. .

,

. .

,

. .

,

. .

,

. .

,

VPN = −$40.000.000 + $9.056.604+ $8.497.686 + $7.979.901 + $7.500.189 + $9.484.298

VPN = 2.518.678

Sí es conveniente.

Nota. Esta decisión debe ser confirmada con un estudio del riesgo.

Año Ingreso Egreso FCAI DEP IG IMP FCDI

0 40.000.000 −40.000.000 –40.000.000

1 14.000.000 3.000.000 11.000.000 7.000.000 4.000.000 1.400.000 9.600.000

2 14.420.000 3.500.000 10.920.000 7.000.000 3.920.000 1.372.000 9.548.000

3 14.852.600 4.000.000 10.852.600 7.000.000 3.856.600 1.348.410 9.504.190

4 15.298.178 4.500.000 10.798.178 7.000.000 3.798.178 1.329.362 9.468.816

5 20.757.123 5.000.000 15.757.123 7.000.000 8.757.123 3.064.993 12.692.130

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:56 AM360

361



1. Al señor Pérez le ofrecen uncomputador por $2.500.000 parapagarlo en 12 cuotas mensuales de$251.155,21. ¿Cuál es la tasa deinterés que están cobrándole?Respuesta: 3% mensual

2. Un ciudadano invierte hoy la suma de$5.000.000, y dentro de dos mesesdebe invertir la suma de $2.000.000.Si espera recibir la suma de$8.438.291 dentro de diez meses,¿cuál es la tasa de retorno?Respuesta: 2% mensual

3. El señor Pérez invierte $2.000.000 enacciones de una cementera, las cualesle producen la suma de $80.000mensuales durante los primeros seismeses. Si al final del sexto mes espera

recibir la suma de $2.136.039, ¿cuálfue la tasa de retorno?Respuesta: 5% mensual

4. Si hoy se invierten $5.000.000 ydespués $1.000.000 al final de cadames durante un año, con el propósitode recibir al final del mismo la sumade $29.149.409, ¿cuál es la tasa conla cual se recupera la inversión?Respuesta: 7% mensual

5. Si hoy se invierten $3.000.000 ydentro de tres meses se hace la mismainversión con el fin de poder retirarmensualmente la suma de $564.091,durante 12 meses a partir del próximomes, ¿cuál será la tasa de retorno dela inversión?Respuesta: 2,5% mensual

Autoevaluación

1. El señor Pérez compró hoy un nego-cio por $20.000.000. Para ponerlo enfuncionamiento debe invertir$2.000.000 dentro de un mes. Él es-pera que su negocio le produzca$1.000.000 mensuales a partir del pri-mer mes y durante 11 meses más, alfinal de los cuales vende el negociopor $21.000.000. Calcular la tasa deretorno.

2. Un ciudadano compró un vehículo por$5.000.000 y a los dos años lo vende

por $8.000.000. ¿Cuál fue la tasa deretorno?

3. El señor Pérez compró un apartamentopor $15.000.000; el primer año gastó$150.000 mensuales en reparaciones.Después de un año lo vende por$23.515.217. Calcular la tasa deretorno.

4. El señor Pérez compró un bus por$72.000.000. Los costos de operacióny mantenimiento se estiman así:

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:56 AM361

362


Los ingresos mensuales se estimanen $2.500.000. Si vende el vehículo por$67.500.000 después de un año deservicio, ¿cuál es la tasa de retorno?

5. El dueño de un estanquillo tuvoconocimiento de que el aguardientesubiría $200 por botella al cabo de tresmeses. Si compra hoy 1.000.000 debotellas, ¿cuál es la tasa de retorno desu inversión? Considere un precioactual de $5.000 por botella.

6. Un ganadero compró 200 terneros a$120.000 cada uno. Al f inal delprimer año pagó por medicinas,cuidado y otros conceptos, la suma de$24.000.000. Si al cabo de un añovende este ganado por $56.000.000,¿cuál es el retorno de su inversión?

7. Un ciudadano compró un apartamentopor $21.226.866 y lo vende por$30.000.000 al año siguiente. Si por

Mes Valor

1 $1.000.000

2 1.000.000

3 1.000.000

4 1.000.000

5 1.000.000

6 1.100.000

7 1.200.000

8 1.300.000

9 1.400.000

10 1.500.000

11 1.600.000

12 1.700.000

impuesto predial pagó $250.000trimestrales durante ese año y seahorró $100.000 mensuales porconcepto de vivienda, ¿cuál fue la tasade retorno de su inversión?

8. El señor Pérez compró por $500.000un CDT cuyo valor nominal es de$600.000 y se redime dentro de unaño. El CDT reconoce $18.000trimestrales. ¿Cuál es la tasa de interéscon la cual recupera su inversión?

9. Un banco le hizo un préstamo al señorPérez en las siguientes condiciones:Valor del crédito = $1.200.000Estudio del crédito, timbres,

comisiones, etc. = $92.000Plazo = un añoPago de cuotas bimestrales

y vencidasValor de la primera cuota $260.000Valor de la segunda cuota $248.000y así sucesivamente. Calcular el costo

del crédito.

10. Una compañía automotriz financió unvehículo cuyo costo es de $7.000.000,en las siguientes condiciones:Cuota inicial del 42,8571428%

Saldo a dos años, distribuidos encuatro cuotas iguales de capital máslos intereses sobre saldos, pagaderascada una al finalizar el semestre.Comisiones y gastos de matrícula por$500.000, que se pagarán al finalizarel tercer mes. Si la tasa de interéspactada en principio es del 28% anualliquidable semestralmente, ¿cuál serála tasa de interés anual con la cualtrabajó la inversión?

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:56 AM362

363



1.

F = 1.000.000(12) + 21.000.000 = 33.000.000P = 20.000.000 + 2.000.000 = 22.000.000

Esto indica que la tasa a buscar está por encima del 3,43%. La igualdad se planteacon la tasa del 4,5%.

21.913.876 ≠ 21.501.522

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:56 AM363

364


Esto indica que la tasa a buscar está por debajo del 4,5%. En seguida se toma latasa del 4%:

La tasa que se busca está entre el 4% y el 4,5%. Al interpolar se tiene:

2.

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:56 AM364

365


3.

Esto indica que la tasa a buscar debe estar por encima del 2,8418%. Se toma el 3%:

Luego, la TIR = 3% mensual.

4. Flujo de caja:

Mes Ingresos Egresos Flujo neto

0 72.000.000 −72.000.000

1 2.500.000 1.000.000 1.500.000

2 2.500.000 1.000.000 1.500.000

3 2.500.000 1.000.000 1.500.000

4 2.500.000 1.000.000 1.500.000

5 2.500.000 1.000.000 1.500.000

6 2.500.000 1.100.000 1.400.000

Mes Ingresos Egresos Flujo neto

7 2.500.000 1.200.000 1.300.000

8 2.500.000 1.300.000 1.200.000

9 2.500.000 1.400.000 1.100.000

10 2.500.000 1.500.000 1.000.000

11 2.500.000 1.600.000 900.000

12 70.000.000 1.700.000 68.300.000

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:56 AM365

366


Se actualizan todos los valores netos y se toma, inicialmente, una tasa del 2% mensual.

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:57 AM366

367


Como se obtuvo un valor negativo, debe trabajarse con una tasa menor. Tómese el 1 %:

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:57 AM367

368


Se obtuvo un valor positivo, lo cual indica que la TIR está entre el 1 % y el 2% mensual.Al interpolar se tiene:

Luego, TIR = 0,01 + 0,0030155 = 1,30%.

5.

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:57 AM368

369


F = P(1 + i)n

5 200 000 000

5 000 000 0001 3. . .

. . .= +( )i

1 04 13

, − = i

i = 1,3159%

Luego, TIR = 1,3159% mensual.

6. Flujo de caja:

Se actualizan los valores netos. Tómese una tasa del 30% anual:

Como se obtuvo un valor positivo, debe buscarse una tasa mayor. Se toma el 35%:

Año Ingresos Egresos Flujo neto

0 24.000.000 −24.000.000

1 56.000.000 24.000.000 32.000.000

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:57 AM369

370


Luego, la TIR está entre el 30% y el 35% anual. Al interpolar se tiene:

Luego, TIR = 0,30 + 0,03375 = 33,375%.

7.

Se toma una tasa del 3%:

22.036.796 = 22.036.796

Esto indica que la TIR = 3% mensual.

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:57 AM370

371


8.

Inicialmente se considera una tasa del 8% trimestral:

500.000 ≠ 500.636Supóngase ahora una tasa del 9%:

500.000 ≠ 483.370

La tasa que se busca está entre el 8% y el 9%. Al interpolar se tiene:

x = =636

17 2660 036835

., %

Luego,

8% + 0,036835% = 8,036835% trimestral

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:57 AM371

372


9.

Aquí se tiene una serie de gradientes decreciente. Inicialmente, supóngase una tasadel 6%:

1.108.000 ≠ 1.140.992,10

Ahora se continúa el tanteo con una tasa del 7%:

1.108.000 ≠ 1.107.559,80

La tasa que se busca está entre el 6% y el 7%. Ahora se interpola para obtener:

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:57 AM372

373


Luego,

i = 0,06 + 0,009868 = 6,9868% bimestral

10.

Ahora se toma una tasa del 20% semestral y se resuelve el problema por otro métododiferente del de gradientes:

4.000.000 ≠ 4.033.056

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:57 AM373

374


Ahora se continúa el tanteo con una tasa del 21 % semestral:

4.000.000 ≠ 3.968.025

La tasa que se busca está entre el 20% y el 21 %. Al interpolar se obtiene:

Luego,

0,20 + 0,00508311 = 20,508311% semestralie = (1,20508311)

2 − 1= 45,2225312% anual


1. Defina tasa interna de retorno.

2. ¿Qué diferencia hay entre una tasaatractiva para el inversionista y la tasainterna de retorno?

3. ¿Qué se entiende por arandelas?

4. ¿Cuándo una tasa interna de retornoes buena para el inversionista?

5. ¿Qué sucede con la tasa mínimaatractiva para el inversionista si éstaes igual a la tasa interna de retorno?

Capitulo 9-353-374 1/20/06, 10:57 AM374

375

Capítulo 10 • Bonos

Bonos

� JustificaciónCuando una empresa tiene proyectos a largo plazo debe recurrirnecesariamente a una de estas dos operaciones financieras: emisiónde acciones o emisión de bonos.

En este capítulo sólo se tratará lo referente a bonos, ya que seha considerado de gran importancia entregar al lector una buenainformación teórico-práctica sobre la emisión y redención de losbonos.

Asimismo, el lector podrá aplicar sus conocimientos relacio-nados con los sistemas de amortización, vistos en el capítulo 6, alproceso de amortización de empréstitos.

� Objetivo generalUtilizar las operaciones de los diferentes sistemas de amortizaciónen el manejo de las transacciones con bonos.


� Aprender a negociar con bonos emitidos en el sistema financierocolombiano.

� Calcular el número de bonos a rescatar en un sorteo determinado.

� Calcular el número de bonos en circulación en un momentodado.

� Calcular el valor efectivo de un bono.

� Calcular el valor de un lote.

� Calcular el número de bonos a redimir en cada serie en unsorteo dado.

� Elaborar las tablas de amortización para los bonos.

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM375

376


Conducta de entrada1 ¿Qué se entiende por fecha de

redención o fecha de vencimiento?

2 ¿Qué se entiende por acreedor?

A continuación encontrará unaserie de enunciados con cincorespuestas, de las cuales una sola esverdadera. Marque con una ✗ la queconsidere correcta.

3 ¿A qué tasa de interés deben colocarse$500.000 para que tripliquen su valoren 28,011 meses?

a. 3,5% b. 2,5 %c. 4% d. 5%e. 3%

4 Un ingeniero se comprometió aconstruir un tramo de carretera cuyocosto es de $40.000.000. Como estaba

realizando otras obras y no lealcanzaron los fondos se vio obligadoa solicitar un préstamo a una entidadfinanciera que le otorgó el 30% delvalor de la obra a una tasa del 30%capitalizable mensualmente y leconcedió un plazo de 6 meses. ¿Cuántodebería pagar al final de los 6 meses?

a. $15.916.000b. $13.000.312c. $13.916.321,02d. $14.312.000e. $12.916.312

5 La tasa efectiva trimestral equivalentea la tasa del 28% capitalizabletrimestralmente es:a. 7% b. 14%c. 28% d. 16,98 %e. 31,08%


1. Fecha de redención o vencimiento esaquella en la cual una obligación sehace exigible en dinero.

2. Acreedor es la persona a quien se ledebe dinero.

3. c

4. c

5. a

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM376

377


Bonos

Se clasifican como activos financieros de rentabilidad fija aunque algunos bonos son derentabilidad variable. Son documentos emitidos a largo plazo para financiar algunosproyectos de importancia.

Ante la dificultad de reunir sumas grandes de dinero para atender la ejecución y puesta enmarcha de proyectos importantes, las empresas recurren a emisión de bonos o emisión deacciones, previo cumplimiento de los requisitos legales exigidos por nuestra legislación.

En el caso de los bonos, una vez emitidos se colocan en el mercado por intermedio deuna entidad financiera llamada fideicomisario, que se encarga de administrar la emisiónde los bonos y de manejar las relaciones entre la empresa y los tenedores de los bonos.

El tenedor de un bono es un inversionista (diferente de quien posee una acción, que esun accionista).Todo bono debe contener la siguiente información:

1. Valor nominal (Vn)

2. Fecha de emisión

3. Fecha de redención

4. Tasa nominal anual de interés (r)

5. Periodo de pago de los intereses

6. Forma de redención de los bonos

La redención de los bonos puede hacerse en una misma fecha o en fechas diferentes.Cuando se trata de redención de los bonos en varias fechas (serie de pago) debe

establecerse un orden de prioridades que por lo general se hace por sorteo.

Precio de un bono. Es el valor estimado para colocarlo en el mercado; en otras palabras,es el valor efectivo del bono (valor presente), el cual se calcula de la misma manera que elvalor presente.

Si Vn = Ve, la emisión es a la par.Si Vn < Ve, la emisión es sobre la par (bono con prima).Si Vn > Ve, la emisión es bajo la par (bono con descuento).

Premio de reembolso. Es una suma de dinero que se da a todo bono que resulta favorecidoen un sorteo, y para calcularlo es necesario estimar primero el valor del lote.

Valor del lote. Es la diferencia entre la cuota calculada con la tasa nominal anual y la cuotacalculada con la tasa efectiva en razón del premio.

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM377

378


Tasa de interés. Es la relación existente entre el interés acumulado por unidad de tiempo(valor futuro − valor presente) y la cantidad asignada (valor presente):

Tasa de retorno. Es aquella con la cual se mide la utilidad que todo inversionista esperaobtener de manera razonable en sus negocios. Se diferencia de la tasa de interés porqueésta se utiliza cuando se solicita un préstamo o cuando se estipula una tasa fija. La tasa deretorno razonable se conoce también con el nombre de tasa mínima de retorno requerida otasa mínima de retorno atractiva.

Valor presente neto. Es la diferencia entre el valor presente de los ingresos y el valorpresente de los egresos de una misma alternativa.

� Bonos sin sorteo emitidos a la parComo su nombre lo indica, sólo tienen una fecha de redención y se colocan en el mercadoa su valor nominal (Vn). Estos bonos pueden ofrecer incentivos como exenciones tributariaso tasas de interés atractivas.

Ejemplo 10.1

Un bono de $ 1.000 se emitió a 4 años y paga el 26% anual.

Ve = 1.000 = Vn

Ve = PVn = F

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM378

379


Como puede observarse, el precio del bono es igual a su valor nominal.

� Bonos sin sorteo emitidos bajo la parComo los anteriores, sólo tienen una fecha de redención, pero se diferencian porque éstosse negocian en el mercado secundario por un valor inferior al nominal.

Ejemplo 10.2

¿Por cuánto debe venderse un bono de $1.000 emitido a 5 años al 28% anual, para que elcomprador obtenga una tasa del 32% efectiva anual?

Vn = $1.000Ve = ?n = 5 añosr = 28%ie = 32% (ésta es la tasa de retorno sobre la inversión)

P = $906,18

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM379

380


Ejemplo 10.3

El señor Pérez compró hoy en $4.000 un bono que se redimirá en dos años por $5.000, elcual reconoce un interés del 6% trimestral. Calcule las tasas de interés nominal y efectiva.

Se aplica el concepto de valor presente:

Al utilizar la tasa del 4% se obtiene:


Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM380

381



4.000 ≠ 3.933

La tasa buscada está entre el 9% y el 10%. Ahora se interpola:

• Con el 0,09 hay una diferencia de $169,77 con respecto a $4.000.• Con el 0, 10 hay una diferencia de − $67.

Se plantea una regla de tres simple:

Luego, la tasa es 0,09 + 0,007170. Entonces, TIR = 0,09717 = 9,717%, la tasa nominalanual será 4 (9,717%) = 38,868%. La tasa efectiva anual será:

ia = (1 + 0,09717)4 − 1 = 44,909%

� Bonos con sorteo emitidos a la parSon bonos con varias fechas de redención; es decir, se reembolsan periódicamente. Además,los bonos se colocan en el mercado a su valor nominal.

Ejemplo 10.4

Una empresa hizo una emisión de 50.000 bonos. El valor nominal de cada uno es de $1.000y se redimen en 4 años, pero se reembolsarán cada año mediante sorteos, y reconocen unatasa del 28% anual. ¿Cuáles bonos se rescatarán cada año?

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM381

382


1. Valor de la emisión:

50.000 (1.000) = 50.000.000

2. Los $50.000.000 corresponden al empréstito que una compañía debe amortizar en 4años. Supóngase que el sistema para amortizarlo es el de cuota constante.

Luego,

Cada año se pagarán $22.311.789,18, de los cuales una parte corresponde a intereses y laotra es la amortización real. El número de bonos, a amortizar en cada periodo está dadopor la amortización real de dicho periodo dividida por el valor nominal del bono.

Donde Ni = número de bonos rescatados en el periodo i.

Ti = amortización real en el periodo i

Ti =A − Ii

Primer periodo:

Queda un sobrante de $789,18 que produce intereses así:

789,18 (0,28) = $220,97

Sobrante total: 789,18 + 220,97 = $1.010,15

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM382

383


Segundo periodo:

Saldo = 50.000.000 − 8.311.000 = 41.689.000

I2 = 41.689.000(0,28) = 11.672.920

Sobrante = $879,33Interés del sobrante = 879,33 (0,28) = $246,21Sobrante total = 879,33 + 246,21 = $1.125,54

La siguiente tabla puede construirse así:

En la tabla puede observarse lo siguiente:a. La amortización aumenta de un período a otro en la tasa de interés.b. Al aumentar la amortización, aumenta el número de bonos rescatados de un periodo

a otro en la misma tasa que aumentó la amortización real.

Luego,

T1 = T1

T2 = T1 + T1i = T1 (1 + i)

.

.

.

Tk = T1 (1 + i)k−1

n Deuda inicial Interés Amortización Ni Sobrante Intereses SobranteI real + intereses

1 50.000.000 14.000.000 8.311.789,18 8.311 789,18 220,97 1.010,15

2 41.689.000 11.672.920 10.639.879,33 10.639 879,33 246,21 1.125,54

3 31.050.000 8.694.000 13.618.914,72 13.618 914,72 256,12 1.170,84

4 17.432.000 4.880.960 17.432.000,00 17.432 0 0 0

Total 50.000

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM383

384


Con k £ n. Lo mismo ocurre con Ni:

N1 = N1

N2 = N1 + N1i = N1 (1 + i)

.

.

.

Nk = N1 (1 + i)k− 1

Ejemplo 10.5

Con los datos del problema anterior, calcular N1, N2, N3 y N4.

Nota. Para el cálculo de Ni, se toma N1 con todos sus decimales.

N2 = N1 (1 + i)

N2 = 8.311.789,18 (1,28) = 10.639

N3 = 8.311.789,18 (1,28)2 = 13.618

N4 = 8.311.789,18 (1,28)3 = 17.432

41.689

Número de bonos favorecidos hasta el sorteo k:

La expresión entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométricacreciente que consta de k términos y cuya razón es (1 + i). Luego,

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM384

385


Número de bonos vigentes después del sorteo k:

Número de bonos vigentes antes del sorteo k:

Ejemplo 10.6

La compañía AB emitió 20.000 bonos de $5.000 cada uno a 5 años. Los bonos pagan unatasa del 24% anual y se redimen anualmente mediante sorteos. El sistema de amortizaciónes de cuota constante. Determinar: a. Número de bonos favorecidos hasta el tercer sorteo.b. Número de bonos en circulación después del cuarto sorteo.

Valor emisión: 20.000 (5.000) = $100.000.000

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM385

386


a. Número de bonos favorecidos hasta el tercer sorteo:

b. Número de bonos en circulación después del cuarto sorteo:

� Bonos con sorteo emitidos bajo la parEs uno de los sistemas más utilizados en el mercado financiero. Difiere del anterior en elprecio por el cual se coloca el bono en el mercado.

Ejemplo 10.7

Con los datos del problema anterior y considerando que al colocar los bonos bajo la parla empresa AB terminará por pagar el 26% efectivo anual. a. ¿Cuánto recibe la empresa?b. ¿Cuál es el Ve de cada bono? c. ¿Cuál es el número de bonos rescatados en el segundosorteo?

A = 36.424.771,49

a. Calcular ahora el valor presente de esta serie de cuotas pero a la tasa del 26% efectivoanual, para conocer cuánto recibió la compañía AB.

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM386

387


b.

c. Número de bonos rescatados en el segundo sorteo:

Nk =N1 (1 + i)k−1

N1 = 2.484,954298

N2 = 2.484,954298 (1,24)2−1

= 3.081

� Bonos con sorteo emitidos bajo la par y con loteLote. Es un premio que se adjudica a los bonos favorecidos en un determinado sorteo.

Ejemplo 10.8

Resuelva el problema anterior considerando que por el hecho de otorgar un premio al bonofavorecido en un sorteo, la empresa AB pagará una tasa del 28% efectiva anual.

a. ¿Cuánto recibirá la empresa AB?

b. ¿Cuál es el precio de venta de cada bono?

c. ¿Cuál es el valor del lote?

d. ¿A qué costo se rescatan los bonos favorecidos en el cuarto sorteo?a. Ya estaba resuelto: $95.981.851,55b. Ya estaba resuelto: $4.799,09c. Calcúlese ahora la nueva cuota que amortiza el capital de los $95.981.851,55 al

28% anual.

El valor del lote es igual a la diferencia entre las dos cuotas.

37.907.433,66 − 36.424.771,49 = $1.482.662,17

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM387

388


d. Para saber a qué costo se rescatan los bonos del cuarto sorteo es necesario conocerprimero cuántos bonos se rescatarán en el mismo.

N4 = N1 (1 + i)3

N4 = 2.484,954298 (1,24)3 = 4.738

Valor del premio para cada bono =

Valor de rescate de cada bono = 5.000 + 312,92 = $5.312,92

� Bonos emitidos en serieNo siempre todos los bonos son de la misma serie. Se acostumbra hacer las emisiones porseries para dar en cada una un valor nominal al bono con el fin de hacer más fácil sucolocación en el mercado.

Ejemplo 10.9

XYZ hizo la siguiente emisión de bonos:

Serie A: 50.000 bonos a $500 cada unoSerie B: 20.000 bonos a $600 cada unoSerie C: 10.000 bonos a $700 cada uno

Los bonos reconocen el 25% anual y se redimen en 6 años mediante sorteos anuales porel sistema de cuota constante. Como los bonos se colocaron bajo la par, XYZ terminarápor pagar el 27% anual. Además, con el fin de hacer más atractiva la venta se ha ofrecidoun premio para cada bono que resulte favorecido en un sorteo. Este hecho hace que laempresa termine por pagar el 29% anual.

a. ¿Cuánto recibe la empresa?

b. ¿Cuál es el valor efectivo de cada bono?


d. ¿Cuántos bonos de cada serie se redimen en el cuarto sorteo?

e. ¿Cuál es el valor de rescate para los bonos del cuarto sorteo?

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM388

389


a. Valor de la emisión:Serie A: 50.000(500) = $25.000.000Serie B: 20.000(600) = $12.000.000Serie C: 10.000(700) = $7.000.000

Se calcula el valor de las cuotas con las cuales se amortizará la emisión de cada serie.

Después de calcular el valor de la cuota que amortiza, debe calcularse el valor presenteequivalente a esa serie. Este valor es el que recibe la empresa.

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM389

390


b.

c. Valor del lote:

Valor del lote: 15.576.191,40 − 14.908.057,93 = $668.133,47

d. Intereses:A: 25.000.000(0,25) = 6.250.000B: 12.000.000(0,25) = 3.000.000C: 7.000.000(0,25) = 1.750.000

Amortización real Ti:

Ti = A − Ii

T1(A) = 8.470.487,46 − 6.250.000 = 2.220.487,46

T1(B) = 4.065.833,98 − 3.000.000 = 1.065.833,98

T1(C) = 2.371.736,49 − 1.750.000 = 621.736,49

3.908.057,93

Número de bonos rescatados en el primer sorteo = N1:

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM390

391


Número de bonos rescatados en el sorteo k = Nk:

T1 = T1

T2 = T1 + T1i = T1 (1 + i)

T3 = T1 (1 + i)2

.

.

.

Tk = T1 (1 + i)k − 1

La amortización aumenta de un periodo a otro en una proporción igual a la tasa de interés.Al aumentar la amortización real, aumentará en la misma proporción el número de

bonos a rescatar en dicho periodo.

Luego,

N = N1 (1 + i)k−1

N4 (A) = 4.440,974932 (1,25)3 = 8.673,77

Se redimieron 8.673 bonos de la Serie A.

N4 (B) = 1.776,389973 (1,25)3 = 3.469,51

Se redimieron 3.469 bonos de la Serie B.

N4(C) = 888,194987 (1,25)3 = 1.734,75

Se redimieron 1.734 bonos de la Serie C.Total bonos redimidos en el cuarto sorteo: 13.876.

e.

Serie A: 500 + 48,15 = $548,15

Serie B: 600 + 48,15 = $648,15

Serie C: 700 + 48,15 = $748,15

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM391

392


Comprobación:Serie A: 8.673,77(500) = $4.336.889,58

Serie B: 3.469,51(600) = $2.081.707

Serie C: 1.734,75(700) = $1.214.329,08

$7.632.925,66

T4 = T1 (1 + i)3

T4 = 3.908.057,941 (1,25)3 = $7.632.925,66

Ejemplo 10.10

Una compañía hizo la siguiente emisión de bonos:

Serie A: 55.000 bonos a $550 cada uno

Serie B: 25.000 bonos a $650 cada uno

Serie C: 15.000 bonos a $800 cada uno

Los bonos reconocen el 22% anual y se redimen en 6 años mediante sorteos anuales ymediante el sistema de cuota constante. Los bonos se colocarán en el mercado bajo la par,razón por la cual la empresa pagará el 24% anual; además, para hacerlos más atractivos sedará un premio por cada bono que resulte favorecido en los sorteos. Esta situación haceque la compañía termine por pagar el 26% efectivo anual.

a. ¿Cuánto recibe la empresa?

b. ¿A qué precio se colocan los bonos en el mercado?


d. ¿Cuántos bonos de cada serie se redimen en el cuarto sorteo?

e. ¿Cuál es el valor de rescate para los bonos del cuarto sorteo?

Valor de la emisiónSerie A: 55.000(550) = $30.250.000

Serie B: 25.000(650) = $16.250.000

Serie C: 15.000(800) = $12.000.000

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM392

393


Valor de las cuotas con las cuales se amortiza cada serie:

a.

La empresa recibe $55.794.807,57.

b.

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM393

394


c. A =( )

( ) −

=55 794 807 570 26 1 26

1 26 119 339 776 71

6

6. . ,

, ,

,. . ,

Lote = 19.339.776,71 − 18.472.219,05 = $867.557,62

Intereses:Serie A: 30.250.000(0,22) = $6.655.000Serie B: 16.250.000(0,22) = $3.575.000Serie C: 12.000.000(0,22) = $2.640.000

Amortización real:

T = A − I

TA = 9.551.873,95 − 6.655.000 = 2.896.873,95

TB = 5.131.171,95 − 3.575.000 = 1.556.171,95

TC = 3.789.173,13 − 2.640.000 = 1.149.173,13

Total: $5.602.219,03

d.

NA4 = 5.267,043549 (1,22)4−1

= 9.564

NB4 = 2.394,110705 (1,22)4−1

= 4.347

NC4 = 1.436,466423 (1,22)4−1

= 2.608

Total: 16.519 bonos

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM394

395


e.

Serie A: 550 + 52,51 = $602,51

Serie B: 650 + 52,51 = $702,51

Serie C: 800 + 52,51 = $852,51

Prueba:Serie A: 9.564(550) = $5.260.200

Serie B: 4.347(650) = $2.825.550

Serie C: 2.608(800) = $2.086.400

Total: $10.172.150

T4 = T1 (1 + i)4−1

T4 = 5.602.219,03 (1,22)3 = 10.172.778

Existe una diferencia de $628 entre la amortización real del cuarto periodo y sucorrespondiente valor, la cual se debe a las aproximaciones; por tanto,

10. 172.778 − 10.172.150 = 628

Con estos $628 puede redimirse un bono de $550. Luego, el número de bonos redimidosen el cuarto sorteo se incrementará en uno y los bonos de la serie A serán 9.565.

Problemas propuestos1. El Banco Central hizo una emisión de

$5.000.000.000 en bonos de $100.000cada uno, con un periodo de reden-ción de 3 años y pago del 30% anualde intereses. Si el señor Pérez tieneuna tasa de retorno del 35% anual,¿podrá ofrecer $95.000 por un bono?Respuesta: No puede.

2. Con los datos del problema anterior,calcular el precio del bono al salir almercado.

Respuesta: $91.520,6

3. La empresa HL hizo una emisión de100.000 bonos con valor nominal de$5.000 cada uno y redención a los 5años. Los bonos reconocen el 29%anual y se redimen mediante sorteosanuales y bajo la modalidad de cuotaconstante, ¿cuántos bonos se rescata-rán en el tercer año?Respuesta: 18.761.

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM395

396


4. Con los datos del problema anterior,calcular el número de bonosrescatados hasta el tercer sorteo.Respuesta: 46.504.

5. Con los datos del problema 3, calcularel número de bonos vigentes despuésdel segundo sorteo.Respuesta: 74.183.

Autoevaluación1. Un ciudadano pagó $120.000 por un

bono de $150.000, el cual se redimeen cinco años y paga el 36% anualliquidable trimestralmente. ¿Cuál esla tasa de interés efectiva y cuál es latasa de interés nominal que paga dichobono?

2. ¿Por cuánto puede comprarse un bonocuyo valor es de $500.000 y reconoceel 28% anual? El bono vence dentrode tres años y el inversionista deseaobtener una tasa de interés del 36%anual.

3. ¿Cuál será el valor nominal de unbono que reconoce $240.000 anuales,se redime dentro de cuatro años, secoloca en el mercado por $870.026 yofrece al inversionista una tasa deinterés del 30% efectivo anual?

4. Una empresa emitió bonos en lassiguientes condiciones:

Valor nominal: $500.000Periodo de redención: 5 añosTasa de interés: 28% anual pagaderopor trimestres vencidos.

Los bonos se venden con undescuento del 6% sobre el valornominal. Hallar su rentabilidad.

5. Al señor Pérez le ofrecieron unosbonos cuyo valor nominal es de$200.000 y reconocen una tasa deinterés del 24% anual liquidabletrimestralmente. El periodo deredención es de ocho años. Estosbonos salieron al mercado con undescuento del 10% sobre el valornominal. Si el señor Pérez estima quesu tasa de retorno es del 32% anualcapitalizable trimestralmente, ¿debehacer el negocio?

6. Con los datos del problema anterior,calcular la utilidad de la inversión.

7. Una compañía hace una emisión de500.000 bonos a $ 10.000 cada uno,redimibles en cinco años. Los bonospagan una tasa del 28% anual y seredimen anualmente mediante sorteosy con el sistema de amortización decuota constante. Estos bonos secolocaron bajo la par y, enconsecuencia, la compañía tendrá quepagar una tasa del 32% efectiva anual.Calcular el precio de venta de losbonos.

8. Con los datos del problema anteriorcalcular el número de bonosrescatados en el cuarto sorteo.

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM396

397


9. Considérese que en el problema 7 laempresa pagará un premio a todos losbonos que resulten favorecidos en elcuarto sorteo. Por esta razón, lacompañía terminará por pagar unatasa del 34% efectiva anual. Calcularel valor de rescate de los bonosfavorecidos en el sorteo en mención.

10. La empresa HL hizo la siguienteemisión de bonos:

Serie A: 100.000 bonos a $1.000 cadauno

Serie B: 50.000 bonos a $5.000 cadauno

Serie C: 20.000 bonos a $ 10.000 cadauno

Los bonos reconocen el 26% anualy se redimen en tres años por elsistema de cuota constante. Calcularlos intereses correspondientes alprimer periodo.


1.

Inicialmente se toma una tasa del 11 %:

Se toma una tasa mayor: 13 %:

Capitulo 10 1/20/06, 11:00 AM397

398


La tasa que se busca se encuentra entre el 11 % y el 13 Entonces se interpola:

Luego, la tasa es 0, 11 + 0,0066925 = 0, 11669La tasa nominal es (0, 11669)(4) = 46,667 % anualLa tasa efectiva es (1, 11669)

4 − 1 = 55,5% anual

2. I = 500.000(0,28) = 140.000

3.

4.

Capitulo 10 1/20/06, 11:01 AM398

399


Ve = $470.000Vn = $500.000n = 20 trimestresI = $35.000 trimestralit = 0,07

Supóngase una tasa del 8%:

Supóngase una tasa del 7%:

Luego, la tasa está entre el 7% y el 8%. Ahora se interpola.

Por tanto, la rentabilidad es

0,07 + 0,00611 = 0,07611 = 7,611 % trimestral

Capitulo 10 1/20/06, 11:01 AM399

400


5.

Lo primero que debe hacerse es calcular el valor presente neto:

Supóngase la tasa del 6%:

La tasa que se busca está entre el 6% y el 7%. Al interpolar:

• Con el 6% se tiene una diferencia de $20.000 con respecto a $180.000.• Con el 7% se tiene un diferencia negativa de $5.293 respecto de $180.000.

Luego, la tasa buscada es0,06 + 0,0079 = 0,0679 = 6,79%

El señor Pérez no debe hacer el negocio porque su tasa de retorno es del 8% trimestral,la cual es superior a la tasa del 6,79% obtenida.

Capitulo 10 1/20/06, 11:01 AM400

401


6. Basta calcular el valor futuro de los ingresos con la tasa de retorno hallada.

Es decir, invirtió $180.000 para obtener $200.113,41 dentro de ocho años. Luego,

Para un trimestre

7. Valor emisión: 500.000 (10.000) =$5.000.000.000

Se calcula el valor que va aamortizarse cada año, así:

Se calcula el valor presente de cadauna de estas cuotas, pero considerandola tasa del 32% efectiva anual, que es la

que pagará la empresa por el sólo hechode colocar los bonos bajo la par.

8.

El valor de P es el que recibe la com-pañía por la venta de los bonos. El valorde cada bono será igual a

Capitulo 10 1/20/06, 11:01 AM401

402


9. Lo primero que debe hacerse es calcular la nueva cuota que amortiza el capital de$4.631.120.728 al 34% anual.

El valor del lote es igual a la diferencia entre la cuota calculada con el 34% y con el28%:

Valor lote = 2.048.795.264 − 1.974.718.817Valor lote = 74.076.447Se sabe que N4 = 120.527Valor premio para bono =

Valor rescate de cada bono = 10.000 + 614,60 = $10.614,60

10.Valor de la emisión:

Serie A: 100.000(1.000) = $100.000.000

Serie B: 50.000(5.000) = $250.000.000

Serie C: 20.000(10.000) = $200.000.000

Intereses:

Serie A: 100.000.000(0,26) = $26.000.000

Serie B: 250.000.000(0,26) = $65.000.000

Serie C: 200.000.000(0,26) = $52.000.000

Total: $143.000.000

Actividades de repaso1. Defina el concepto de bonos.

2. ¿Cómo se emiten los bonos?

3. ¿Cómo pueden redimirse los bonos?

4. ¿Qué se entiende por periodo deredención?

5. ¿Qué se entiende por lote?

6. ¿Qué se entiende por emisión debonos a la par?

7. ¿Qué se entiende por emisión debonos en serie?

Capitulo 10 1/20/06, 11:01 AM402

Activos financierosy bolsa de valores

� JustificaciónLa mayoría de las universidades han incluido dentro de los programasacadémicos de administración de empresas, contaduría, economía,finanzas, comercio exterior, ingeniería industrial, etc., unas prácticasfinancieras consistentes en hacer simulaciones sobre diversasinversiones a través de las diferentes bolsas de valores.

Esta metodología permite al estudiante familiarizarse con unaserie de técnicas financieras y, lo más importante, con el modo deoperar cuando las transacciones financieras se realizan en elmercado de la bolsa.

En este capítulo, el lector encontrará una serie de herramientasque podrá utilizar en sus prácticas.

� Objetivo generalConocer cómo se negocian algunos papeles a través de las bolsasde valores.


� Calcular las tasas de cesión.

� Calcular las tasas de compra.

� Calcular las tasas de registro.

� Calcular el precio de compra de un papel (activo financiero).

� Calcular el precio de venta de un papel (activo financiero).

� Calcular la rentabilidad de los activos financieros, tanto paraquien vende como para quien compra.

� Calcular los valores a girar en una transacción financiera a travésla bolsa de valores.

Capitulo 11 1/20/06, 11:02 AM403

404


Conducta de entradaA continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cualesuna es verdadera.

Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

1 Hoy se hizo un depósito de$1.000.000 en una corporación cuyosistema de capitalización es mensual.Al f inal del mes 12 se empezó adepositar en la misma cuenta la sumade $20.000 durante 29 meses, al finalde los cuales se tendrá un saldo de$2.675.090. ¿Cuál fue la tasa deinterés nominal anual que le reconocióla corporación?

a. 20% b. 25%c. 30% d. 21%e. 28%

2 Una deuda de $1.200.000 se cancelacon cuotas mensuales de $116.985durante un año. ¿Cuál es la tasa deinterés nominal anual?

a. 24% b. 26%c. 28% d. 30%e. 32%

3 Una inversión hecha al 3% mensualen una corporación ascendió a

$10.468.889,65 al cabo de 25meses. ¿Cuál fue el valor de lainversión inicial?

a. $2.000.000b. $2.500.000c. $6.000.000d. $5.000.000e. $4.000.000

4 ¿En cuánto tiempo se triplica uncapital a una tasa de 4% anual?

a. 30 mesesb. 28,01 mesesc. 27,35 mesesd. 24,03 mesese. 25 meses

5 ¿A qué tasa de interés anual se invirtióun capital de $5.000.000 para que entres años se convirtiera en$9.533.120?

a. 18% b. 20%c. 22% d. 24%e. 26%


1. d 2. d 3. d 4. b 5. d

Capitulo 11 1/20/06, 11:02 AM404

405

Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

La bolsa de valores

Antes de entrar en el estudio de este capítulo, es conveniente que el lector conozca algunosconceptos y definiciones que le permitirán familiarizarse mejor con el tema.

¿Qué es la bolsa de valores?

Es una sociedad anónima vigilada por la Superintendencia de Valores y con mecanismosde autorregulación establecidos por la Cámara de la bolsa. Su objetivo principal es fomentarel mercado abierto, organizado y controlado de títulos valores entre los comisionistas debolsa, quienes actúan en representación de los propietarios de los títulos valores.

¿Quién es el comisionista de bolsa?

Es una persona que actúa como intermediario entre el vendedor y el comprador de untítulo valor. Por tanto, el comisionista de bolsa debe ser el asesor financiero de su cliente.

¿Qué operaciones realiza la bolsa de valores?

La bolsa de valores realiza dos tipos de operaciones:

1. De renta variable. Son aquellas que se realizan con acciones. El rendimiento sólo sedetermina cuando se hace la venta.

2. De renta fija. El rendimiento se puede determinar al momento de su adquisición ocuando se negocia en la bolsa de valores. Entre estos títulos se tienen los siguientes:

• Aceptaciones bancarias• CDT• Bonos• Cédulas hipotecarias• Certificados de reembolso tributario• Títulos de participación• Títulos de apoyo cafetero• Títulos de devolución de impuestos

¿Que es una acción?

Título valor que acredita los derechos que una persona natural o jurídica tiene sobre unasociedad anónima. Es un título valor de renta variable que, a diferencia de un bono, notiene un plazo al vencimiento; las empresas emisoras de acciones no se comprometen a

Capitulo 11 1/20/06, 11:02 AM405

406


pagar una determinada tasa de interés, sino que la rentabilidad que obtenga el accionistadepende del comportamiento del precio en la bolsa de valores y de los dividendos quereconozca. Por este motivo, las acciones implican un mayor riesgo para los inversionistasque los títulos de renta fija, pero en muchas ocasiones pueden generar también una mayorrentabilidad.

¿Qué es un dividendo?

Es una cuota de las ganancias líquidas obtenidas por la sociedad anónima y pagadaperiódicamente a cada uno de los propietarios de la sociedad, en proporción al número deacciones que posea. El valor del dividendo lo establece la asamblea general de accionistas.

¿Que es un ADR?

Es un certificado negociable el cual representa el valor de una acción ordinaria o preferencialde cualquier compañía no estadounidense.

¿Qué es el CERT?

Es el certificado de reembolso tributario. Este documento es emitido por el Banco Centraly representa un subsidio que entrega la nación para incentivar algunas exportacionesmenores. Sólo tiene efectos para el pago de algunos impuestos.

¿Qué es el emisor?

Es la entidad autorizada por la ley para emitir papel moneda o títulos valores.

¿Qué es el mercado primario?

Es aquel en el cual la negociación de un título se hace directamente con el emisor.

¿Qué es la liquidez primaria?

Se dice que un título tiene liquidez primaria cuando en ese momento se puede redimir anteel emisor.

¿Qué es el mercado secundario?

Es aquel en el cual la negociación de un título se hace con otras instituciones diferentes alemisor. Estas negociaciones se hacen generalmente en la bolsa de valores, la cual es prendade garantía para la transparencia de dicha transacción.

Capitulo 11 1/20/06, 11:02 AM406

407


¿Qué es el mercado negro?

Es aquel en el cual la negociación de un título valor se hace con instituciones o agentes porfuera de la bolsa de valores. En este mercado se corre un mayor riesgo que cuando lastransacciones se hacen en la bolsa de valores.

¿Qué es la liquidez secundaria?

Generalmente todos los títulos tienen liquidez secundaria, es decir, se pueden negociar enla bolsa de valores antes de su vencimiento.

¿Qué es un mercado firme?

Es aquel en el cual hay más compradores que vendedores, lo cual trae como consecuencialógica una alza en el precio de los títulos registrados en la bolsa de valores (ley de la ofertay la demanda).

¿Qué es un mercado ofrecido?

Es lo contrario del mercado firme. Por tanto, la tendencia de las cotizaciones es a la baja.

¿Qué es una operación carrusel?

Es la que tiene lugar cuando un grupo de inversionistas se compromete a transferirse entreellos la posesión de un título de renta fija, en tal forma que el plazo total para el vencimientodel título coincida con la sumatoria de los periodos durante los cuales cada uno de losparticipantes en la operación tuvo en su poder el título.

¿Que es una operación repo?

En esta operación, quien compra el título se obliga a transferirlo nuevamente al vendedorinicial, en un plazo y condiciones previamente establecidas.

¿Que es una operación swap?

Es la que tiene por objetivo mejorar las condiciones de rentabilidad, plazo y valor futuro delos títulos que conforman un portafolio. Un swap o permuta financiera es una transacciónen la que dos partes contractuales acuerdan intercambiar flujos monetarios en el tiempo;esta operación permite a dos o más partes intercambiar el beneficio de las respectivasventajas que cada una de ellas puede obtener sobre los diferentes mercados (de divisas o detasas de interés, por ejemplo).

Capitulo 11 1/20/06, 11:02 AM407

408


Clases de activosLos activos se pueden clasificar en los siguientes grupos:

• Activos monetarios

• Activos reales

• Activos financieros

• Otros activos

� Activos monetariosSon aquellos que resultan afectados por el fenómeno de la inflación. Ejemplo: el dinero enefectivo, las cuentas corrientes, etc. Su valor real es cada vez menor por el solo hecho deestar afectados por la inflación. Los activos monetarios son los de mayor liquidez.

� Activos realesSon aquellos sobre los cuales no incide el fenómeno de la inflación. Ejemplo: los edificios,los terrenos, los vehículos, etc. Los activos reales presentan menor liquidez.

� Otros activosSon todos los intangibles. Ejemplo: las marcas, las patentes, el buen nombre de la empre-sa, etc.

� Activos financierosSon documentos legales que acreditan la existencia de un derecho y, además, representanun título valor. Algunos de estos activos son considerados como activos monetarios.Los activos financieros se pueden clasificar así:

• Activos financieros de rentabilidad fija: en este grupo se encuentran los bonos y losCDT.

• Activos financieros de rentabilidad variable: a este grupo pertenecen las acciones.

Algunos autores profundizan un poco más en la clasificación de los activos financieros yhablan de dos grandes grupos, según el número de factores básicos que determinen surendimiento, tales como: el interés, el descuento, la devaluación, la corrección monetaria,la valorización y la desvalorización.

Capitulo 11 1/20/06, 11:02 AM408

409


Estos grupos son:

• Activos financieros de rentabilidad simple: la rentabilidad está determinada por un sólofactor básico.

• Activos financieros de rentabilidad agregada: la rentabilidad está determinada por va-rios factores básicos.

Los activos financieros de rentabilidad simple se subdividen en:

• Activos financieros que devengan interés.

• Con liquidación de intereses en forma vencida.• Con liquidación de intereses en forma anticipada.• Con liquidación de intereses al vencimiento o fecha de redención.

• Activos financieros que se negocian a descuento.

• Activos financieros con IPC.

• Activos financieros con devaluación.

• Activos financieros con valorización.

Los activos financieros de rentabilidad agregada se subdividen así:

• Con interés en dos tasas distintas.

• Con interés y descuento.

• Con interés e IPC.

• Con interés y devaluación.

• Con interés y valorización.

• Con descuento y devaluación.

� Activos financieros que devengan interésCon liquidación de intereses en forma vencida. Un caso típico de estos activos son lascuentas de ahorros, los certificados de depósito a término. etc.

Ejemplo 11.1

Una corporación reconoce el 24% anual nominal con liquidación trimestral sobre saldosmínimos para los depósitos en cuentas de ahorros. ¿Cuál será la tasa efectiva que ofrecedicha corporación?

Capitulo 11 1/20/06, 11:02 AM409

410


Ejemplo 11.2

Un CDT emitido a 90 días reconoce el 28% anual nominal con liquidación de intereses enforma trimestral.¿Cuál es su rentabilidad efectiva anual?

r = 0,28 n = 4 ia = ?

ia = +

− =1 0 28

41 31 079601

4,, %

Nota. Los CDT tienen liquidez primaria, es decir, se hacen efectivos ante la entidad emisoraal vencimiento del certificado.

También pueden tener liquidez secundaria, es decir, se pueden hacer efectivos antes desu vencimiento en las bolsas de valores (mercado secundario).

Ejemplo 11.3

Supongamos que el CDT del ejemplo anterior fue emitido el lo. de junio y se desea venderloel 6 de agosto del mismo año.Para poder venderlo en la bolsa es necesario registrarlo en ella.Asúmase que se registró el 6 de agosto por el 103% de su valor nominal.¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual de quien lo compra?¿Cuánto debe girar el comprador si la comisión de compra es del 0,003?¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual para el vendedor? Primero hay que definir qué es tasa de registro.

Capitulo 11 1/20/06, 11:02 AM410

411


� Tasa de registroEs la tasa de rentabilidad a la que se inscribe el título. Se denota con las letras TR.

El precio final del título será el valor futuro:

Luego,

La tasa efectiva anual de registro es

ia = (1 + TR)n−1

Como al CDT le faltan 25 días para su redención, entonces:

ia = (1 + 0,03883495 )360/25

− 1 = 73,089356%

Se calcula ahora la tasa para el comprador:

� Tasa para el compradorSe define como la diferencia entre la tasa efectiva de registro y la tasa de comisión decompra.Luego,

T. comp. = 0,73089356 − 0,003 = 0,72789356

Precio para el compradorSerá el valor actual del valor futuro del título, actualizado a la tasa del comprador.

Luego,

Precio comprador

Capitulo 11 1/20/06, 11:02 AM411

412


Hasta aquí sólo se ha visto la rentabilidad para el comprador. Ahora se verá cuál será larentabilidad para el vendedor. Supóngase una comisión de venta del 0,001.

Antes de analizar el problema es necesario definir qué es una tasa de cesión.

� Tasa de cesiónEs el costo de oportunidad al que renuncia el vendedor cuando entrega el título.

Está determinada por la suma entre la tasa efectiva anual de registro y la tasa de comisiónde venta.

Luego,T. cesión = ia, + T. comisión venta

Dondeia = tasa efectiva anual de registro

T. cesión = 0,730870 + 0,001 = 0,731870

Nota. No confundir la tasa de cesión (0,731870) con la tasa del comprador (0,72789356).

El precio para el vendedor, incluyendo la comisión de venta, es el valor actual del valorfuturo, actualizado en el punto de registro con la tasa de cesión.

Punto de registro = agosto 6

Conocido el precio de venta, éste se asume como un valor futuro.

Conocido este valor futuro y su valor presente (valor de la inversión inicial), se puedecalcular la rentabilidad para el vendedor.

iap =

El tiempo transcurrido entre la fecha de la inversión y la fecha de la venta es de 65 días.

Luego:

ia = (1,02995966)5,538461

− 1 = 0, 1776175 3

ia = 17,761753% Esta es la rentabilidad que el vendedor tenía cuando era dueño deltítulo.

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM412

413


Con liquidación de intereses en forma anticipada

Ejemplo 11.4

Una corporación emite un CDT a 90 días, el cual reconoce una tasa de interés de 25%anual nominal con liquidación de intereses cada trimestre, y en forma anticipada.

Calcular la tasa de rendimiento anual equivalente.

ia =

ia =

¿Cómo negociar este documento en la bolsa de valores?

El CDT fue emitido el lo. de marzo y vence el 30 de mayo del mismo año. Fue registradoen la bolsa de valores el 20 de abril del mismo año, y a un precio de 95% de su valornominal. ¿Cuál será el rendimiento para el comprador? Considérese una comisión de compradel 0,003.

La situación inicial es la siguiente:

I = (0,0625) (100) = $6,25

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM413

414


La situación a partir del momento del registro es la siguiente:

El comprador no recibirá los intereses debido a que estos ya fueron pagados por anticipado.

La tasa de registro será:

La tasa efectiva anual de registro será:

ia = (1 + 0,052631)360/40

− 1 = 0,586665

La tasa del comprador será:

T. comprador = TR − T. comisión compra

T. comprador = 0,586665 − 0,003 = 0,583665

El precio para el comprador será el valor actual del valor futuro del título, actualizado a latasa del comprador.

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM414

415


Ejemplo 11.5

Un banco le expidió a un ciudadano un CDT a 180 días, el cual reconoce 26% anualnominal en forma anticipada. Este señor desea vender dicho título con el fin de obteneruna tasa efectiva anual de 25% y decide venderlo al cabo de 110 días.

Las comisiones de compra y de venta son del 0,004. Calcular:

a. El precio y la tasa de cesiónb. El precio y la tasa de registroc. El precio y la tasa de compra

a. La situación inicial es la siguiente:

iap = =0 26

20 013

,, semestral

La situación para vender es la siguiente:

Se calcula el valor futuro de los $87 a la tasa de 25% anual efectiva. Antes de esto esnecesario calcular una tasa efectiva para 110 días, equivalente a una tasa efectiva de 25 %anual.

ia = (1 + 0,25)mn

− 1

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM415

416


ia = (1,25)110/360 − 1 = 0,07056

F = 87 (1,07056)1 = 93,1388

Precio de cesión: $93,1388

La tasa de cesión será:

iap = − =100 93 1388

93 13880 07366

,

,,

ia = (1,07366)5,142857

− 1 = 0,441263

b. Tasa de registro = Tasa cesión − Tasa comisión venta

TR = 0,441263 − 0,004 = 0,437263

� Precio de registroEs el valor actual del valor futuro del título, actualizado a la tasa de registro.

Precio de registro = $93,1897

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM416

417


c. Tasa del comprador = Tasa de registro − Tasa comisión compraTasa comprador = 0,437263 − 0,004 = 0,433263

� Precio de compraEs el valor actual del valor futuro a la tasa del comprador.

Ejemplo 11.6

El señor Pérez invirtió en un CDT el lo. de mayo, el cual vence un año después; reconoce29% anual con liquidación de intereses trimestralmente y en forma vencida.

Una segunda persona lo compra el 20 de diciembre a un precio de 102% después dedescontada la comisión. Calcular la rentabilidad anual.

Al momento de la venta, la situación es la siguiente:

Los intereses se pagan trimestre vencido:

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM417

418


Quien compra sólo recibe los intereses de los dos últimos trimestres.

Para calcular la rentabilidad, se aplica la TIR.

Se asume una tasa del 0,08% diario.

Se trabaja con el 0,09% diario.

Se trabaja con el 0,095% diario.

Lo anterior indica que la tasa buscada está entre el 0,09% diario y el 0,095% diario.Se debe interpolar:

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM418

419


Luego, la tasa interna de retorno es:

TIR = 0,0009 + 0,00003174 = 0,0009317 diario.

La rentabilidad anual será:

ia = (1,0009317)360

− 1 = 0,398298 = 39,8298%

Con liquidación de intereses al vencimiento o fecha de redención

Un caso típico lo constituyen las cédulas de capitalización. Una cédula de capitalizaciónes un contrato de ahorro mediante el cual una persona se compromete a ahorrar unasuma periódica hasta completar un determinado valor. Completado ese valor, lacapitalizadora le devuelve a la misma persona el total ahorrado más los intereses sobredicho valor acumulado. El tenedor de una cédula de capitalización participa general-mente en sorteos periódicos.

Ejemplo 11.7

La capitalizadora OP ofrece unas cédulas de capitalización cuyas características son lassiguientes:

• Ahorro mensual de $20.000 durante 36 meses.• Sorteos mensuales del valor de la cédula.• Rendimiento de 22% sobre el valor acumulado al final de los 36 meses.

Solución:

• Capital acumulado al final de los 36 meses = $720.000• Rendimiento sobre dicho capital = $158.400

Aparentemente la tasa de rendimiento sería:

Esto no es cierto, porque cada uno de los ahorros mensuales de $20.000, debió generarintereses.

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM419

420


La situación es la siguiente:

Se depositan 36 cuotas de $20.000 cada una y al final se tuvo un acumulado de $878.400(cuotas más intereses). El problema consiste en calcular la tasa de interés, conociendo elvalor de la cuota y el valor futuro de la serie de cuotas, aplicando el concepto de la TIR.

Se tantea el problema con una tasa inicial de 1%.

Se asume una tasa de 1, 10%

La tasa que se busca está entre 1,10% y 1,11%.

Se interpola:

TIR = 0,011 + 0,00005151683178 = 0,0110515168

TIR = 1,10515168%

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM420

421


La tasa efectiva anual será:

ia = (1,0110515168)12

− 1 = 14,098363%

Como se puede apreciar, esta tasa es muy diferente de 22% a que se refería la cédula decapitalización.

Ejemplo 11.8

Un banco emitió el lo. de mayo una cédula de capitalización a 90 días. Esta cédula esnegociada 25 días después, dando una rentabilidad para el comprador de 28% trimestreanticipado.

a. ¿Cuánto pagó el comprador?b. ¿Cuál fue el precio de registro?c. ¿Cuánto recibió el vendedor?

Nota. Las comisiones por concepto de compra y venta son de 0,003 cada una.

a. A la cédula le faltan 65 días para su vencimiento.

Se calcula primero la tasa efectiva anual equivalente a 28% anual nominal, con capitalizacióntrimestral anticipada.

ia =

−

− =1

10 28

4

1 0 3368054

,,

Quien compra está haciendo una inversión a 65 días.

La tasa efectiva para 65 días es la siguiente:

ia = (1,336805)0,180555

– 1 = 0,053809

ia = 5,3809%

El precio de compra se calcula actualizando el valor futuro de la cédula a la tasa efectivaperiódica del comprador.

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM421

422


b. Para calcular el precio de registro es necesario conocer la tasa de registro.

TR = Tasa comp. + Tasa comisión compra

TR = 0,336805 + 0,003 = 0,339805

El precio de registro es el valor actual del valor futuro a la tasa de registro.

c. Para calcular el precio de venta es necesario calcular la tasa de cesión.

T. cesión = TR + Tasa comisión venta

T. cesión = 0,339805 + 0,003 = 0,342805

El precio de venta es el valor actual del valor futuro actualizado a la tasa de cesión.

� Activos financieros que se negocian a descuentoUn caso típico lo constituyen los CERT.

CERT. Certificado de reembolso tributario. Su objetivo es promover las exportaciones debienes y servicios. Sirven para el pago de impuestos y los expide el Banco de la República.

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM422

423


El rendimiento para quien los adquiera en bolsa está determinado por el descuento entre elprecio de compra y su valor nominal. En caso de venderlos nuevamente en la bolsa, surendimiento será la diferencia entre el precio de compra y el precio de venta.

Ejemplo 11.9

Se adquiere hoy un CERT al 96% de su valor, y un mes después se usa para pagar unosimpuestos.

¿Cuál fue su rendimiento?

iap = −

=100 96

960 041666, mensual

ia = (1 + 0,041666)12

− 1 = 63,20% mensual

� Activos financieros con IPCLas cuentas de ahorro en corporaciones de ahorro y vivienda.

Ejemplo 11.10

Un Banco reconoce el IPC y 3 puntos de interés para las cuentas de ahorros. Si el IPC esdel 6,5% efectivo anual. ¿Cuál es la rentabilidad efectiva para esos depósitos?

ia = (1 + ii) (1 + ie) − 1

ia = (1,065) (1,03) − 1

ia = 0,09695 = 9,695% efectivo anual

� Activos financieros con devaluaciónNota. Los certificados de cambio eran emitidos por el Banco de la República. Aunqueestos papeles ya no circulan en el mercado financiero, es conveniente conocer la formacomo se negociaban.

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM423

424


Valor nominal: corresponde al valor de la tasa de cambio oficial vigente el día de laconversión por el valor que representa el título en divisas. Por tratarse de papelesrepresentativos de dólares, su rendimiento está dado por la tasa de devaluación.

Ejemplo 11.11

El 1 de mayo se compra un certificado de cambio con precio de $2.200 por dólar. Estetítulo vence 160 días después, época en la cual el cambio oficial será de $2.500.

a. ¿Cuál fue el rendimiento de la inversión?b. Si el vendedor lo cedió a una tasa del 35% efectivo anual. ¿Cuál fue la comisión de

compra, teniendo en cuenta que a la fecha de esa negociación el cambio oficial fuede $2.300 y la comisión de venta era del 0,001?

a. iap = − =2 500 2 200

2 2000 136363

. .

.,

iap = (1,136313)360/160− 1 = 0,3335

b. Para calcular la comisión de compra en función del nuevo cambio oficial ($2.300) esnecesario calcular el precio de compra como un porcentaje del nuevo tipo de cambio.Esto es:

Precio de compra como % = =2 200

2 3000 956521

.

.,

Comisión de compra% del precio compra % del precio registro

% Precio registro= −

Para aplicar esta fórmula es necesario calcular el porcentaje del precio de registro.Tasa de registro = Tasa cesión – Tasa comisión venta

TR = 0,35 – 0,001 = 0,349

El precio de registro es el valor actual del valor futuro, actualizado a la tasa de registro.

P =( )

=2 5001

1 3492 188 55

160 360.

,. ,

/

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM424

425


El precio de registro como porcentaje del nuevo cambio oficial es:

Precio de registro como % = = =2 188 55

2 3000 951554

. ,

.,

Comisión de compra = = − =0 956521 0 951554

0 9515540 005192

, ,

,,

Si se quiere saber cuál es la utilidad en cada dólar comprado, basta con multiplicar elporcentaje de comisión de compra por el precio de registro.

Utilidad por cada dólar comprado = (Comisión de compra) (Precio de registro)

Utilidad por cada dólar comprado = (0,005192) (2.188,55) = 11,36

� Activos financieros con valorizaciónEl caso típico lo constituyen las acciones.

Ejemplo 11.12

El señor Pérez compra una acción por $50.000 y dos meses después decide venderla por$60.000. La comisión fue de 2% sobre el precio de la acción. Calcular el rendimientoefectivo anual.

Cuando el señor Pérez compró la acción tuvo que pagar el valor de la acción más lacomisión de compra, es decir:

50.000 + (50.000) (0,02) = 51.000

Cuando la vendió recibió el valor de la acción menos la comisión, es decir:

60.000 − (60.000) (0,02) = 58.800

Luego,

iap = − =58 800 51 000

51 0000 152941

. .

.,

ia = (1,152941)360/60

− 1 = 134,8783%

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM425

426


� Activos financieros de rentabilidad agregadaLa rentabilidad agregada está determinada por la combinación de varios factores básicos.Estos activos son:

Con interés en dos tasas distintas

Un caso típico lo constituyen las cédulas hipotecarias valorizables clase A, las cuales tienenuna valorización diaria y una valorización escalonada sobre la inversión valorizadadiariamente.

Ejemplo 11.13

Una cédula clase A reconoce una valorización diaria equivalente a 14 % anual efectivo y,además, reconoce una valorización escalonada de 3% trimestre vencido sobre la inversiónvalorizada diariamente.¿Cuál es la tasa de rendimiento efectivo anual?

Para la valorización diaria:

ie1 = 0,14 anual efectivo

Para un peso:

F = 1 (1 + 0, 14)1 = 1,14

Este valor futuro tiene a su vez una valorización escalonada.

ia = − = =1 283080 1

10 283080 28 3080

,, , %

Luego la fórmula será:

ia = (1 + ie1) (1 + ie2) − 1

ie2 = (1,03)4 − 1 = 0,12550881

ia = (1,14) (1,12550881) − 1 = 28.308%

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM426

427


Con interés y descuento

Ejemplo 11.14

Una cédula hipotecaria se adquiere al 95% de su valor nominal. Su periodo de vencimientoes un año y paga 24% trimestre vencido. Calcular su tasa de rendimiento trimestral yanual.

Se calcula la TIR

Con el 8%

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM427

428


Interpolando:

iap =( ) ( )

=0 01 1 609

3 2390 0049675

, ,

,,

iap = 0,07 + 0,0049675

iap = 0,07496 trimestral

ia = (1,07496)4 − 1 = 0,33527 anual

ia = 33,527% anual

Con interés e IPC

Ejemplo 11.15

Un banco reconoce para sus depósitos de ahorros el 5% interés efectivo anual más el IPC,el cual es del 6,8% efectivo anual. ¿Cuál es la rentabilidad efectiva para estos depósitos?

ia = (1,05) (1,068) − 1

ia = 0,1214 =12,14% efectiva anual

Con interés y devaluación

Un caso típico lo constituyen los títulos canjeables por certificados de cambio.

Ejemplo 11.16

Un título canjeable por certificado de cambio reconoce 18% anual liquidable semestralmen-te. Si la devaluación está calculada en 13% anual, ¿cuál será la rentabilidad efectiva anual?

r = 0,18 anual

iap = =0 18

20 09

,, semestral

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM428

429


ie = (1,09)2 − 1 = 0,1881

id = 0,13 anual

ia = (1 + id) (1 + ie) − 1

ia = (1,13) (1,1881) − 1 = 34,2553%

Con interés y valorización

Ejemplo 11.17

Las acciones de un banco se adquirieron hace un año a $15,5 y hoy están a $20. Si ellosreconocen $0,10 de dividendos mensuales, ¿cuál es la rentabilidad efectiva mensual yanual?

Se trabaja inicialmente con 2%

Ahora con 3%

La tasa está entre 2% y 3%. Se interpola:

i =( ) ( )

=0 01 1 32

1 810 007292

, ,

,,

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM429

430


Luego: la tasa es 0,02 + 0,007292 = 2,7292% mensual

ia = (1,027292)12

− 1 = 38,142360% anual

Con descuento y devaluación

Ejemplo 11.18

El 20 de febrero de 1997 se negoció un certificado de cambio con un precio de $2.400 pordólar. El tipo de cambio en esa fecha era de $2.300 y la tasa de devaluación para 1997 seestimó en 14% anual. ¿Cuál fue la rentabilidad efectiva anual en esa operación? Se asumeque el certificado tiene 58 días de maduración.

Primero se calcula la tasa de descuento:

iep (descuento) = − =2 400 2 300

2 3000 043478

. .

.,

ie = (1,043478)360/58

− 1 = 0,302340

ia = (1,14) (1,30234) − 1 = 48,4668% anual

Otra forma:

iep descuento( ) = =100

2 3000 043478

.,

ie = (1 + 0,043478)360/58 − 1 = 0,302340

Como hubo devaluación, entonces:ia = (1 + id) ( 1 + ie) − 1

ia = (1,14) (1,30234) − 1 = 48,4668% anual


1. Una cédula de capitalización estima un plazo de tres años con ahorros mensuales de$20.000. Reconoce 22% sobre el total acumulado al final de todo el periodo. Calcularla tasa efectiva anual.Respuesta: 14,0983%.

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM430

431


2. Una cédula de capitalización emitidaa 90 días es negociada con unarentabilidad de 32% anual, concapitalización trimestral anticipada. Sia esta cédula le faltaban 50 días demaduración, ¿cuál fue el precio parael comprador si las comisiones deventa y compra son del 0,002 cadauna?Respuesta: 95,4733% del valornominal.

3. Con los datos del problema anterior,calcular el precio de registro.Respuesta: 95,4543% del valornominal.

4. Con los datos del problema 2, calcularel precio de venta.Respuesta: 95,4354% de su valornominal.

5. Si se adquiere un CERT por 94% de suvalor nominal y a los tres meses sepagan unos impuestos con elcertificado, ¿cuál fue el rendimientoobtenido?Respuesta: 28,0821% anual efectivo.

6. Una corporación reconoce 34% anualnominal con capitalización bimestralvencida. Calcular la rentabilidad anual.Respuesta: 39,1964% efectiva anual.

7. Una corporación reconoce 6,4%efectivo anual de IPC y 7% efectivoanual de interés adicional. ¿Cuál essu rentabilidad efectiva?Respuesta: 13,84% efectiva anual.

8. Una corporación reconoce 6,8%efectivo anual de IPC y 9% efectivoanual de interés adicional. Calcular latasa trimestral vencida.Respuesta: 3,87%.

9. Con los datos del problema anterior,calcular la tasa trimestral anticipada.Respuesta: 3,725% trimestral anticipada.

10.Una acción se negocia hoy por$50.000.000 y tres meses después senegocia nuevamente por $62.000.000.Si la comisión fue de 3% sobre elprecio de la acción, ¿cuál fue elrendimiento anual?Respuesta: 85,9622% EA

Autoevaluación1. Un CDT reconoce 20% de corrección

monetaria y 6% de interés adicional,¿cuál es su rentabilidad efectiva anualy semestral?

2. Un CDT cuyo valor nominal es de$5.000.000 se registra al lo. de juliode 1997 por el 102% de su valornominal. Si este documento vencedentro de seis meses y reconoce 36%

anual con capitalización trimestralvencida, ¿cuál será la tasa efectiva deregistro?

3. Con los datos del problema anterior,calcular el valor que debe pagar unposible comprador, si la tasa decomisión de compra es del 0,002 y lanegociación se hace cuando al CDTle faltan 45 días de maduración.

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM431

432


4. Con los mismos datos del problema2, calcular la rentabilidad para elvendedor si la comisión de venta seestimó en un 0,001.

5. Un CDT reconoce 19% de interésnominal anual. Calcular la rentabilidadefectiva anual si la capitalización estrimestral anticipada.

6. El señor Pérez tiene un CDT de$3.000.000 emitido el lo. de octubrede 1997 y con vencimiento a tresmeses. Este documento reconoce 36%anual con capitalización trimestralanticipada.

El señor Pérez necesita vender elCDT y lo registra en la bolsa el 26 denoviembre del mismo año por un valorigual a 96% de su valor nominal.

Calcular el rendimiento para elcomprador, si la tasa de comisión decompra es del 0,003.

7. El señor Pérez invirtió $2.000.000 enun CDT el cual vence a seis meses yreconoce 32% con capitalizaciónsemestral anticipada. El señor Pérezdesea obtener una rentabilidadefectiva anual de 31 % y decide

venderlo al cabo de 130 días. Si lascomisiones de compra y venta seestimaron en el 0,003, calcular elprecio de venta y la tasa del vendedor.

8. Con los datos del problema anterior,calcular el precio de registro y la tasade registro.

9. Con los datos del problema 7, calcularel precio de compra y la tasa decompra.

10.El señor Pedro Pérez adquirió un CDTpor $ 10.000.000 con:

Fecha de expedición: julio lo. de 1997.

Vencimiento: un año.

Capitalización: trimestral vencida.

Tasa de interés: 36% anual.

Ante una emergencia económica,el señor Pérez le ofrece el CDT a suamigo, el señor Gustavo López, quienlo compra el 16 de noviembre de 1997por $11.500.000 después de descontarla comisión.a. ¿En qué mercado negoció el señor

López el CDT?b. ¿Cuál es su rentabilidad anual?

Respuestas a la autoevaluación1. a. Anual:

ia = (1 + ic) (1 + ie) – 1ia = (1,20) (1,06) – 1ia = 27,20%

b. Semestral:

iap = − =1 272 1 12 7829, , %

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM432

433


2. r = 0,36

n = 2 trimestres

iap = 0,09 trimestral

Precio de registro = ($5.000.000) (1,02) $5. 100.000

Precio final:

F = $5.000.000 (1,09)2 = $5.940.500

Tasa de registro:

Tasa efectiva de registro:

ia = (1 + TR)n − 1

ia = (1,164803)2 − 1 = 0,356766

3. Tasa del comprador:

Tasa del comprador = ia − Tasa de comisión de compra

Tasa del comprador = 0,356766 − 0,002

Tasa del comprador = 0,354766

Precio para el comprador:

La rentabilidad para el comprador será:

Precio de compra: $5.719.261,63

Valor futuro: $5.940.500

Utilidad: $5.940.500 − $5.719.261,63

Utilidad: $221.238,37

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM433

434


Rentabilidad para el comprador:

Rentabilidad para el comprador: 3,8683% durante 45 días que le faltan de madurezal CDT.

Luego,

ia = (1,038683)360/45

− 1 = 35,4766% anual

ia = 35,4766% anual.

4. Tasa de cesión = Tasa de registro + Tasa de comisión de venta

Tasa de cesión = 0,356766 + 0,001 = 0,357766

Precio para el vendedor:Suponiendo que al CDT le faltaban 45 días para su vencimiento (en otras palabras:se registró cuando le faltaban 45 días para hacerlo efectivo en el mercado primario).

Utilidad = $5.717.680,50 − $5.000.000

Utilidad = $717.680,50

Rentabilidad para el vendedor:

Rentabilidad para el vendedor = 14,3536101% durante 135 días.

Luego,

ia = (1,14353610)360/135

− 1 = 0,42999004

ia = 42,999004% anual

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM434

435


5. iar

n

n=−

−1

1

1

ia =−

−1

10 19

4

14,

ia = 0,214898ia = 21,4898%

6. r = 0,36

iap = 0,36/4 = 0,09

I = (0,09) (3.000.000) = 270.000

Cuando el CDT se registra le faltan 35 días de maduración.

Quien lo vaya a comprar no recibirá los intereses porque estos ya fueron pagados poranticipado y los recibió inicialmente el señor Pérez.

Tasa efectiva anual de registro:

n = 360/35

ia = (1,041666)360/35

− 1 = 0,521774

La tasa para el comprador:

Tasa para el comprador = ia − Tasa de comisión de compra.

Tasa para el comprador = 0,521774 − 0,003

Tasa para el comprador = 0,518774

Precio para el comprador:

Es el valor actual del valor futuro del título, actualizada la tasa del comprador.

n = 35/360

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM435

436


Rentabilidad para el comprador:

Precio de compra = $2.880.554

Valor futuro = $3.000.000

Utilidad = $3.000.000 − $2.880.554

Rentabilidad = 4,1466% durante los 35 días que le faltan al CDT.

Luego,

ia = (1,041466)360/35

– 1 = 51,8776%

ia = 51,8776% anual.

7. r = 0,32

iap = 0,32/2 = 0,16

Intereses: ($2.000.000) (0,16) = $320.000

Estos intereses los reclama el señor Pérez en forma anticipada; es decir, el CDT lecostó $2.000.000 − $320.000 = $1.680.000

Se calcula valor futuro de $1.680.000 a una tasa efectiva de 31 %.

ia = (1 + 0,31)mn

− 1

m = 130/360

n = 1

mn = 130/360

ia = (1,31)130/ 360

− 1 = 0,102422

F = $1.680.000 (1,102422) = $1.852.069

F es el precio de cesión.

La tasa del vendedor o tasa de cesión es aquella a la que renuncia el vendedor almomento de hacer la transacción.Al CDT le faltan 50 días para su vencimiento. Al final de éstos el compradorrecibirá $2.000.000

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM436

437


Esta es la tasa para 50 días. La tasa efectiva anual de cesión será:

ia = (1,0798733)360/50

− 1 = 73,8939%

8. TR = Tasa de cesión − Tasa de comisión de venta

TR = 0,738938 − 0,003 = 0,735939

Precio de registro:

n = 50/360

Nota. La tasa de registro también se puede calcular así:

Para un añoTR = (1,079614)

360/50 − 1 = 0,735939

Como al CDT le faltan 50 días para su vencimiento, su tasa efectiva anual deregistro será:ia = (1,0796145)

360/50 − 1 = 0,735939

9. Tasa de compra = TR − Tasa de comisión de compra

Tasa de compra = 0,735939 − 0,003 = 0,732939

Precio de compra =

10. a. En el mercado secundario. En el mercado primario lo hizo el señor Pérez.

b.

El señor Gustavo López sólo recibe los intereses de los tres últimos trimestres.

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM437

438


Para calcular la rentabilidad se aplica la TIR.

Interés: ($10.000.000) (0,09) = $900.000.000

La tasa tendrá que ser inferior a 9%.Si se toma 5% se obtiene:

Si se toma 4% se obtiene:

Esto indica que la tasa buscada está entre 5 % y 4%. Al interpolar se obtiene que la TIRes el 4,4524% trimestral.Luego,ia = (1,044524)

4 – 1 = 19,0347% anual.

Esta es la rentabilidad anual que obtiene el señor López con su inversión.


1. ¿Qué se entiende por mercado primario?

2. ¿Qué se entiende por mercado secundario?

3. ¿Qué es una tasa de cesión?

4. ¿Qué es una tasa de registro?

5. ¿Qué se entiende por periodo demaduración?

6. ¿Qué diferencia hay entre la fecha deredención y la fecha de vencimiento?

Capitulo 11 1/20/06, 11:03 AM438

Problemas adicionalespropuestos

� CAPÍTULO 1

1. Un padre de familia necesita disponer de $1.000.000 dentro de6 meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si unacorporación le reconoce el 2% mensual de interés simple,¿cuánto debe depositar hoy?Respuesta: $892.857,14.

2. Resolver el problema anterior pero considerando el interéscompuesto.Respuesta: $887.971,38.

3. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado en unacorporación que reconoce el 3,5% bimestral de interés simple?Respuesta: 57,14 bimestres.

4. Resolver el problema anterior pero considerando el interéscompuesto.Respuesta: 31,93 bimestres.

5. ¿Cuánto se tendrá acumulado al final de dos años si se depositan$30.000 mensuales en una corporación que reconoce el 2,8%mensual de interés simple?Respuesta: $951.840.

6. ¿En cuánto tiempo se convierte un capital de $2.000.000 enotro de $5.000.000 si la tasa de interés es del 4% mensual?Considere el interés simple.Respuesta: 37,50 meses.

7. Resolver el problema anterior pero considerando el interéscompuesto.Respuesta: 23,36 meses.

8. ¿A qué tasa de interés simple mensual se triplica un capital endos años?Respuesta: 8,33%.

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM439

440


9. Resolver el problema anterior peroconsiderando el interés compuesto.Respuesta: 4,683938% mensual.

10. ¿Cuánto debe depositarse mensual-mente y en forma vencida durante tresaños para constituir un fondo de$5.000.000 a una tasa de interéssimple del 3% mensual?Respuesta: $91.074,68.

11. Resolver el problema anterior peroconsiderando la anualidad anticipada.Respuesta: $89.317,61.

12. ¿Cuál será el valor de la cuota mensualy vencida que amortizará una

obligación de $1.000.000 a una tasade interés simple del 2% mensualdurante 15 meses?Respuesta: $76.023,39.

13. Resolver el problema anterior peroconsiderando la cuota anticipada.Respuesta: $74.712,64.

14. ¿En cuánto tiempo se duplica uncapital a una tasa de interés simple del6,5% bimestral.Respuesta: 15,38 bimestres.

15. Resolver el problema anterior peroconsiderando el interés compuesto.Respuesta: 11 bimestres.

� CAPÍTULO 2

1. Una letra de $1.000.000 consagraunos intereses del 2,5% mensual yvence dentro de 10 meses. Calcularel descuento comercial.Respuesta: $250.000.

2. Un pagaré se firmó a 15 meses y a unatasa de descuento del 3% mensual. Si eldescuento comercial es de $2.250.000,¿cuál es el valor nominal del documento?Respuesta: $5.000.000.

3. Una letra vence dentro de 9 meses y sedescuenta al 3,5% mensual. Si el valornominal es de $10.000.000, ¿cuál seráel descuento racional?Respuesta: $2.395.437,26.

4. Un documento estipula una tasa dedescuento del 2% mensual y vencedentro de 20 meses. Si el descuento

racional es de $4.000.000, ¿cuál es elvalor nominal del documento?Respuesta: $14.000.000.

5. Con los datos del problema anterior,calcular el valor efectivo del documentomediante dos procedimientos distintos.Respuesta: $10.000.000.

6. Una letra tiene un valor nominal de$8.000.000 y vence dentro de 13meses. Si la tasa de descuento es del4% mensual y se descuenta comercial-mente, ¿cuál es el valor efectivo de laletra?Respuesta: $3.840.000.

7. Resolver el problema anterior peroconsiderando el descuento en formaracional.Respuesta: $5.263.157,89.

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM440

441

Apéndice A • Problemas adicionales propuestos

8. Un documento tiene un valor escritode $7.000.000 y vence dentro de 10meses. Estipula una tasa de descuentodel 2% mensual. Calcular eldescuento compuesto.Respuesta: $1.257.561,90.

9. Si el descuento compuesto de undocumento que estimaba una tasa dedescuento del 3% mensual y unvencimiento de 8 meses fue de$3.000.000, ¿cuál era el valor nominaldel documento?Respuesta: $14.245.638,90.

10. Una letra de $100.000 y otra de$200.000 vencen a los 6 y 8 meses,respectivamente. La tasa de descuentoes del 2% mensual. Se desea cambiarestas dos letras por una sola. Si laoperación se realiza en formacomercial, ¿cuál será el vencimientode la nueva letra?Respuesta: 7,333 meses.

11. Una letra de $300.000 y otra de$400.000 vencen dentro de 3 y 4meses, respectivamente. Si la tasa dedescuento es del 3% mensual y sedesea cambiarlas por una sola letra de

valor nominal de $800.000, ¿cuál seráel vencimiento de ésta si la operaciónse realiza en forma comercial?Respuesta: 7,291666 meses.

12. Resolver el problema anterior peroconsiderando la operación en formaracional.Respuesta: 8,835927 meses.

13. Resolver el problema No.11 considerandola operación en forma compuesta.Respuesta: 8,085378 meses.

14. El señor Pérez tiene dos obligacionespara cancelarlas así: una por $200.000a 3 meses y otra por $400.000 a 5meses. La tasa de descuento pactada esdel 4% mensual. Se desea cambiar estosdocumentos por uno cuyo vencimientoes de 6 meses. ¿Cuál será el valor delnuevo documento si la operación serealiza en forma racional?Respuesta: $634.761,89.

15. Resolver el problema anterior perorealizando la operación en formacompuesta.Respuesta: $640.972,78.

� CAPíTULO 3

1. Hallar la tasa efectiva anual,equivalente a una tasa del 40% anualnominal, cuando:a. La capitalización es trimestral

vencida.

b. La capitalización es trimestralanticipada.

Respuesta: a. 46,4 1 %b. 52,415790%.

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM441

442


2. Hallar la tasa efectiva trimestral,equivalente a una tasa del 31,079601% efectiva anual con capitalizacióntrimestral vencida.Respuesta: 7%.

3. Hallar la tasa anticipada trimestral,equivalente a una tasa del 33,68054%efectiva anual.Respuesta: 7%.

4. Hallar la tasa efectiva trimestral,equivalente a una tasa del 28% anualnominal vencida.Respuesta: 7%.

5. Hallar la tasa vencida trimestral, equivalentea una tasa del 36% anual nominal con ca-pitalización trimestral anticipada.Respuesta: 9,890109%.

6. Hallar la tasa efectiva anual, equivalentea una tasa del 30% anual nominal concapitalización anual vencida.Respuesta: 30%.

7. Hallar la tasa efectiva anual, equivalentea una tasa del 32% anual nominal concapitalización anual anticipada.Respuesta: 47,058823%.

8. Hallar la tasa efectiva semestral,equivalente a una tasa del 3% trimestral.Respuesta: 6,09%.

9. Hallar la tasa efectiva mensual, equivalentea una tasa del 18% semestral.Respuesta: 2,796974%.

10. Un banco reconoce para las cuentas deahorros una tasa del IPC más 4 puntos por-centuales de interés adicional. Si la tasa

de inflación es del 6% efectiva anual y laretención en la fuente es del 7%, calcular:

a. Tasa de interés efectiva anual.b. Tasa de interés realmente cobrada.c. Tasa de rentabilidad neta.d. Tasa de rentabilidad real.

Respuesta: a. 10,24% b. 4,24%c. 9,5232% d. 3,323773%.

11. Una inversión en moneda extranjerareconoce el 8,5% de interés efectivo.Si la tasa de inflación es del 22% anualy la tasa de devaluación es del 24%anual, hallar la rentabilidad real dedicha inversión.Respuesta: 10,278688%.

12. Con los siguientes datos, calcular larentabilidad real en moneda nacionalLibor: 0,09Tasa de inflación: 0,23Tasa de devaluación: 0,21Respuesta: 7,227642%.

13. Con los datos siguientes, calcular larentabilidad real en moneda nacional:Prime rate: 0,09Tasa de inflación: 0,21Tasa de devaluación: 0,23Respuesta: 10,801652%.

14. Con los siguientes datos, calcular larentabilidad real en moneda nacional:Prime rate: 0,09Tasa de inflación: 0,21Tasa de devaluación: 0,21Respuesta: 0,09.

15. Con base en los problemas 12, 13 y 14,¿qué conclusiones pueden sacarserespecto a la rentabilidad real?Respuesta: Véase p. 99.

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM442

443


� CAPÍTULO 4

1. Un automóvil cuesta $15.000.000 yse entrega financiado a 36 meses. Sila cuota inicial es del 30% y la tasa definanciación es del 4,5% mensual,calcular el valor de la cuota mensual.Respuesta: $594.360,68.

2. Un apartamento vale $60.000.000 yse financia a una tasa del 3% mensual,con cuotas de $1.853.395. Calcular elplazo.Respuesta: 10 años.

3. La matrícula de un estudiante dentrode 6 meses costará la suma de$1.000.000. ¿Cuánto deberá ahorrarmensualmente este estudiante en unacorporación que le reconoce el 2,5%mensual para poder disponer de dichodinero en el momento de cancelar lamatrícula?Respuesta: $156.549,97.

4. ¿Cuánto se tendrá ahorrado al final deun año en una corporación quereconoce el 21% anual de IPC y 5puntos adicionales si mensualmente sedepositan $150.000?Respuesta: $2.013.524,85.

5. Una universidad quiere otorgar demanera indefinida un premio anual de$5.000.000 al mejor estudiante. Si hoydeposita $50.000.000 en una corporaciónque le reconoce el 2% mensual, ¿Decuánto necesitará disponer antes deiniciar su propósito?Respuesta: $250.000.000.

6. Con los datos del problema anterior,calcular el tiempo durante el cualdeberá dejar el depósito en lacorporación, antes de iniciar supropósito.Respuesta: 81,273958 meses.

7. ¿Cuánto se tendrá acumulado al finaldel segundo año, si hoy se depositan$2.000.000 en una corporación quereconoce el 36% anual concapitalización continua?Respuesta: $4.108.866,42.

8. Una persona ahorra $3.000.000 anualesen una corporación que le reconoce el 28%anual con capitalización continua. ¿Cuántotendrá acumulado al final de 10 años?Respuesta: $143.391.103,40.

9. Una corporación reconoce el 32%anual con capitalización continua. Si alfinal del décimo año una persona dis-pone de $10.000.000, ¿cuál fue el de-pósito anual?Respuesta: $160.258,06.

10. Una corporación le prestó al señorPérez la suma de $15.000.000 parapagarlos en 15 años con cuotasmensuales y anticipadas. Si la tasa deinterés es del 32% anual, ¿cuál es elvalor de la cuota?Respuesta: $393.045,91.

11. La señora Catalina Acosta ahorra $50.000al principio de cada bimestre y durante 1año. La corporación le reconoce el 2 1 %

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM443

444


anual de IPC y tres puntos adicionales,con capitalización semestral. ¿Cuántotendrá ahorrado al final del año?Respuesta: $615.021,05.

12. ¿Cuánto se tendrá acumulado al finaldel quinto año, si se ahorran $2.000.000anuales y en forma anticipada en unacorporación que reconoce el 9%trimestral?Respuesta: $31.583.001,46.

13. Una persona ahorra $150.000bimestrales durante 3 años. El primerdepósito lo hará dentro de 2 meses.La corporación le reconoce el 25%anual con capitalización semestralsobre saldos mínimos. ¿Cuánto tendráahorrado al final del tercer año?Respuesta: $3.698.231,50.

14. ¿Cuánto se tendrá ahorrado al finalde cuatro años si se depositan$300.000 trimestrales en un banco que

reconoce un IPC del 5,5% efectivoanual y 6 puntos de interés adicional?El primer depósito se hará hoy.Respuesta: $6.138.002,20.

15. El banco AG le otorga un crédito a uncampesino para pagarlo con cuotas de$50.000 mensuales y un plazo de 5años, dentro de los cuales se consideraun periodo de gracia de 4 meses, si latasa de interés es del 24% anual. ¿Cuálfue el valor del préstamo?Respuesta: $1.547.657,89.

16. Un banco tiene para los caficultoresel siguiente plan:Valor del préstamo: $5.000.000Plazo: 2 añosPeriodo de gracia: 3 meses adicionalesal plazoTasa de interés: 18% anualPago de cuotas: mensualesCalcular el valor de la cuota.Respuesta: $261.022,76.

� CAPÍTULO 5

1. Un apartamento se compra en las si-guientes condiciones:Tasa de interés: 3% mensual.Plazo: 120 meses.Valor de las cuotas: la primera será de$50.000 y se pagará un mes despuésde recibir el préstamo. De ahí en ade-lante cada cuota se incrementará en$5.000. Calcular el valor del préstamo.Respuesta: $6.437.968,24.

2. Con los datos del problema anterior,calcular el valor de la cuota uniformemensual.Respuesta: $198.868,31.

3. El mantenimiento de un vehículo tuvolos siguientes costos durante un año:

El analista de presupuesto deseaestablecer una cuota fija mensual para elpróximo año. ¿Cuál será el valor de lacuota si la tasa de interés es del 2,5%mensual?Respuesta: $46.030,89.

Mes Costo de mantenimiento

Enero $20.000

Febrero $26.000

Marzo $29.000

Abril $35.500

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM444

445


4. Una obligación de $100.000.000 debecancelarse en 5 cuotas bimestrales, auna tasa de interés del 36% anual.Cada cuota se incrementará en$5.000.000 sobre la anterior. Calcularel valor de la primera cuota.Respuesta: $14.321.474,67.

5. Calcular el valor presente de lasiguiente serie:

Tasa de interés: 3%.Respuesta: $363.670,41.

6. Calcular el valor presente de lasiguiente serie:


Periodo Valor

1 $60.000

2 $70.000

3 $80.000

4 $90.000

5 $100.000

Periodo Valor

1 0

2 0

3 0

4 $60.000

5 $70.000

6 $80.000

7 $90.000

8 $100.000

7. Calcular el valor presente de la si-guiente tabla:


8. Un vehículo cuesta $30.000.000 y sefinanciará de la siguiente manera: cuotainicial: 20%. El resto se pagará en 36cuotas mensuales con un incremento de$50.000 a partir de la segunda. Si la tasade interés es del 2% mensual, ¿cuál seráel valor de la quinta cuota?Respuesta: $372.545,20.

9. Un ciudadano ahorra $10.000mensuales. El primer ahorro lo haceal final del primer mes y durante 14meses. Al f inal del mes octavoincrementa sus ahorros en $5.000sobre la cuota anterior. Si la tasa deinterés es del 3% mensual, calcular elvalor presente de dicha inversión yelaborar el diagrama económico.Respuesta: $211.284

10. Con los datos del problema anterior,calcular el valor del ahorro uniformemensual durante todo el tiempo.Respuesta: $18.704,20

Periodo Valor

1 0

2 0

3 $80.000

4 0

5 0

6 $40.000

7 $80.000

8 $120.000

9 $160.000

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM445

446


11. Un crédito de $6.437.968,24 se otorgó a10 años con pago de cuotas mensuales ya una tasa del 36% capitalizable men-sualmente. Si la primera cuota fue de$50.000, calcular el valor del gradiente.Respuesta: $5.000.

12. Un préstamo concedido a 120 meses,con pago de cuotas iguales de$198.868,31, estimaba una tasa deinterés del 42,576088% efectivoanual. Si se desea cambiar este planpor otro en el cual cada cuota sea iguala la anterior más una suma fija, ¿cuálserá el valor del incremento si laprimera cuota es de $50.000?Respuesta: $5.000.

13. Calcular la tasa de interés en lasiguiente serie:

Periodo Valor

1 $30.000

2 $60.000

3 $90.000

4 $120.000

5 $150.000

P = $418.611,94.Respuesta: 2%.

14. Un estudiante ahorra al final de cadames la suma de $50.000 durante 6meses consecutivos. Por motivoseconómicos suspende sus ahorros y losreinicia en el mes 12. A partir del mes18 incrementa en $10.000 el depósitoanterior, y así sucesivamente hasta elmes 30. La tasa de interés es del 2%mensual. Construir el diagramaeconómico y establecer el punto en elcual se calcularía inicialmente el valorpresente de la serie del gradiente.Respuesta: Mes 16.

15. Durante 12 meses una persona aho-rra $ 100.000 al final de cada mes ya partir del segundo mes incrementasus ahorros en $20.000 sobre el de-pósito anterior. Si le pagan una tasade interés de 2,5% mensual, ¿cuántotendrá acumulado al final del año?Respuesta: $2.815.862,47.

� CAPÍTULO 6

1. Un crédito de $ 10.000.000 seconcedió a 15 años con pago de cuotasmensuales vencidas e iguales. Elbanco cobra el IPC más 3 puntos deinterés adicional. Si el IPC tiene unvalor del 6,5% efectivo anual, calcularel valor de las cuotas mensuales.Respuesta: $103.153,80

2. Con base en los datos del problema an-terior, calcular el saldo de la deuda des-pués de haber cancelado la cuota No. 85.Respuesta: $8.782.290,95.

3. La señora Catalina Acosta compró unapartamento en las siguientescondiciones:

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM446

447


Valor del préstamo: $50.000.000Plazo: 10 añosPago de cuotas: mensualesTasa de interés: 30% anualCada cuota tiene un incremento de $80sobre la anterior.Calcular la cuota No. 35.Respuesta: $1.318.132,58.

4. Con base en los datos del problemaanterior, calcular el saldo de la deudadespués de haber cancelado la cuotaNo. 40.Respuesta: $45.506.093,19.

5. Un crédito de $10.000.000 se cancelaráen las siguientes condiciones:Plazo: 12 meses.Tasa de interés: 3% mensual.Cada cuota se incrementará en el 6%sobre la primera cuota.Calcular el valor de la primera cuota yel de la última.Respuesta: A1 = $767.526,01

A12 = $1.274.093,17.

6. Una vivienda cuesta $40.000.000, y unacorporación financia el préstamo en lassiguientes condiciones:Plazo: 10 añosPago de cuotas: mensualesTasa de interés: 3% mensualCada cuota será igual a la anterior me-nos $5.000.Calcular la primera y la última cuotas.Respuesta: A1 = $1.384.465

A120 = $789.465.

7. Resolver el problema anteriorconsiderando que cada cuota es igual ala anterior menos el 0,0036115 sobrela primera.

Respuesta: A1 = $1.384.465A120 = $789.465.

8. Un vehículo tiene un precio de$25.000.000 y se f inancia en lassiguientes condiciones:Plazo: 3 años. Pago de cuotas:mensuales.Tasa de interés: 4% mensual.Cada cuota se incrementará en un 10%sobre la anterior.Calcular el valor de la cuota No. 20.Respuesta: $1.404.351,92.

9. Una nevera se financió de la siguientemanera:Valor: $2.500.000Plazo: 1 año.Pago de cuotas: mensuales.Tasa de interés: 5% mensual.Cada cuota es igual a la anterior menosel 10% sobre la misma.Calcular el valor de la primera y laúltima cuotas.Respuesta: A1 = $444.980,97

A12 = $139.639,74.

10. Un crédito de $20.000.000 se amortizaráde la siguiente forma:Plazo: 36 meses. Tasa de interés: 4%mensual.Las cuotas serán uniformes y cada 6meses se hará un abono extraordinariode $1.000.000. Calcular el valor de lacuota.Respuesta: $906.975,66.

11. Un apartamento se financia en lassiguientes condiciones:Valor del crédito: $35.000.000Plazo: 180 meses.Tasa de interés: 2% mensual.

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM447

448


Pago de cuotas: mensuales.Cada año se incrementará el valor dela cuota en un 14%.Calcular el valor de la cuota No. 18.Respuesta: $478.134,12.

12. Con base en los datos del problemaanterior, calcular el total pagado hastala cuota No. 96.Respuesta: $66.600.360,14.

13. El señor Pérez recibe un préstamo de$10.000.000 con una tasa definanciación del 3% mensual; el plazoes de 12 meses y las cuotas se pagaránmensualmente. Cada mes se hará unaamortización igual de capital y los

intereses se pagarán por anticipado.Calcular el valor de la quinta cuota.Respuesta: $1.008.333,33.

14. Con los datos del problema anterior,calcular el valor de los intereses pa-gados durante todo el tiempo.Respuesta: $1.950.000.

15. Un crédito se pagó con una tasa deinterés de 36% anual. Además, cadaaño se reajustan las cuotas en un18,5%. El valor de la cuota se estimóen $2.000.000 anuales. El plazo es de12 años. ¿Cuánto se pagará en totalpor este crédito?Respuesta: $85.408.486,28.

� CAPÍTULO 7

1. Para un proceso de producción se requiere comprar una máquina. En el mercado seencuentran las siguientes opciones:

Tasa de interés: 28% anualMediante el método del valor presente, determinar cuál es la mejor alternativa.Respuesta: La de la máquina B.

2. Un inversionista tiene las siguientes opciones: invertir $50.000.000 en unacorporación que le reconoce el 38% anual liquidable mensualmente, siempre ycuando deje en depósito el dinero durante un año. Comprar una microbuseta, lacual le producirá un ingreso mensual de $800.000 y al final del año espera venderlaen $62.000.000. ¿Cuál alternativa es la mejor? Utilice el método del valor presenteneto. Considere una tasa de interés del 3% mensual.Respuesta: Comprar la microbuseta.

Máquina A Máquina B

Costo inicial $10.000.000 $15.000.000

Costo anual mantenimiento 4.000.000 2.000.000

Costo anual operación 2.000.000 1.000.000


Valor salvamento 0 0

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM448

449


3. Se tienen las siguientes alternativas:

Tasa de interés: 32% anualMediante el método del valor presente neto, definir cuál es la mejor.Respuesta: La alternativa 1.

4. Para la compra de una máquina se tienen las siguientes alternativas:

Tasa de interés: 25% anualAplicar el método del valor presente neto y elegir la mejor alternativa.Respuesta: La alternativa 2.


Cuota inicial $60.000.000 $80.000.000

CAO (Costo Anual de Operación) 3.000.000 1.000.000

Valor salvamento 5.000.000 20.000.000

Vida útil: 4 años 4 años


Cuota inicial $12.000.000 $15.000.000

CAO 3.000.000 1.000.000

Valor salvamento 5.000.000 2.000.000


5. El costo inicial de un equipo es de$50.000.000. Su valor de salvamentoes de $10.000.000 y tiene una vidaútil de 10 años. Los costos anualesde operación se estiman en$5.000.000. Si la tasa de interés esdel 30% anual, calcular el CAUE, porel método del fondo de amortizaciónde salvamento.Respuesta: $21.407.806.

6. La construcción de una vía tiene uncosto de $2.500.000.000. Los costosanuales de mantenimiento son de$50.000.000 en forma indefinida.

Calcular el CAUE. por el método delfondo de amortización de salvamento.Considere una tasa de interés del 28%anual.Respuesta: $750.000.000.

7. Resolver el problema 5 aplicando elmétodo del valor presente desalvamento.Respuesta: $20.938.537.

8. Resolver el problema 6 aplicando elmétodo del valor presente desalvamento.Respuesta: $750.000.000.

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM449

450


9. Un bus cuesta $70.000.000. Los costosanuales de mantenimiento y operaciónse estiman: en $15.000.000. El valor desalvamento es de $ 10.000.000. Su vidaútil es de 12 años. Calcular el CAUE.Por el método de recuperación de capitalmás intereses. Considere una tasa deinterés del 36% anual.Respuesta: $40.753.314.

10.Calcular el CAUE por el método derecuperación de capital más interesescon los siguientes datos:Costo inicial: $15.000.000CAM 5.000.000Valor salvamento: 2.000.000Vida útil: 5 añosTasa de interés: 25% anualRespuesta: $10.334.008.

11. Con base en la siguiente información, calcular el costo capitalizado y elegir lamejor alternativa.

Tasa de interés: 35% anualRespuesta: La alternativa 2.


Costo inicial $20.000.000 $18.000.000


Valor salvamento 5.000.000 0

12. Resolver el problema 11 aplicando elmétodo del fondo de amortización desalvamento.Respuesta: La alternativa 2.

13. Calcular el CAUE para la alternativa2 del problema 11 y compararla conel costo capitalizado de la mismaalternativa. ¿Si estos valores no soniguales, qué indican realmente?

14. Un equipo debe reponerse cada 10 años. Su costo inicial ascendió a $20.000.000 ysu costo capitalizado es de $21.564.229. Calcular la tasa de interés.Respuesta: 30%.

15. Para la compra de una máquina se tienen las siguientes alternativas:

Tasa de interés: 28% anualAplicando el costo capitalizado, ¿cuál es la mejor alternativa?Respuesta: La segunda.


Costo inicial $40.000.000 $30.000.000

Valor salvamento 10.000.000 0


Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM450

451


� CAPÍTULO 8

1. El departamento de producción de unaempresa exige una producción anualde 300 unidades. Si las ecuaciones decostos para dos alternativas son:Y = 5X + 15.000Y = 8X + 14.000a. ¿Cuál es la ecuación de menor

pendiente?b. ¿Cuántas unidades se producen en

el punto de equilibrio?Respuesta: a. La primera. b. 333.

2. Las ecuaciones de costos de dosalternativas están dadas por:Y = 200.000 + 3XY = 180.000 + 7X

La producción exigida es de 6.000unidades anuales y la producción enel punto de equilibrio es de 5.000unidades anuales.

Sin hacer una sola operaciónmatemática, decir cuál es la ecuación

de costos más favorable y explicar elporqué. Comprobar lo asegurado.Respuesta: La primera.

3. Una empresa ha tomado la decisión decomprar el equipo A, el cual necesitapara ampliar su volumen de producción.Al hacer los cálculos de la sensibilidadsobre la decisión adoptada, se encontróque es del −0.05. ¿Qué observacionesse pueden hacer al respecto?

4. De las siguientes ecuaciones de cos-tos, cuál es la más favorable desde elpunto de vista económico, teniendo encuenta que la producción exigida estápor encima del punto de equilibrio.Explicar el porqué y comprobar conun ejemplo.Y = 20.000 + 3XY = 18.000 + 9XRespuesta: La primera.

5. Cuál será la alternativa económica más favorable para producir las siguientesunidades anuales según la gráfica. a. 900.000 unidades anuales. b. 1.850.000unidades anuales. c. 2.5 80.720 unidades anuales. d. 3.100.000 unidades anuales.

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM451

452


6. El señor Pedro Pérez quiere cambiar su taxi por uno nuevo. La agencia que levende el nuevo vehículo le hace la siguiente cotización:

Este vehículo se recibe en $3.000.000 como parte del pago del vehículo nuevo.El señor Pérez estima que su tasa de rendimiento mínima es de 28% anual ¿Esbueno el negocio? ¿Por qué?Respuesta: No.

7. Para la construcción de una obra civil se dispone de $90.000.000 y se tienen lassiguientes propuestas:

La obra tendrá una vida útil de ocho años. La tasa de actualización social es de26% anual. Aplicando el método del beneficio neto diferencial, ¿cuál es la propuestaque se debe aceptar y por qué?Respuesta: Ninguna.

8. Resolver el problema 7 pero considerando que el presupuesto asignado es de$400.000.000.Respuesta: La tercera.

9. Confirmar los resultados del problema 8 aplicando el método de la relaciónbeneficio-costo.

10. Explicar por qué los beneficios se manejan como cifras negativas.

11. La compañía XYZ tiene un presupuesto de $200.000.000 para una obra determinada.Esta empresa tiene una tasa rendimiento mínima de 40% anual. Los presupuestosrecibidos para la ejecución de la obra son los siguientes:

Propuesta Inversión CAM CA a usuarios

1 $100.000.000 $10.000.000 $900.000.000

2 200.000.000 20.000.000 600.000.000

3 300.000.000 30.000.000 300.000.000

Vehículo nuevo Vehículo usado

Costo $19.000.000 CAM $5.000.000

CAM $2.000.000 Salvamento $2.000.000

Salvamento $7.000.000

Vida útil 8 años Vida útil 2 años

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM452

453


Vida útil: 20 años.Aplicando el método de las tasas de la inversión inicial y de la inversión extra,

¿cuál es la mejor propuesta? ¿Por qué?Respuesta: Ninguna.

Propuesta Inversión Ingreso anual

1 $70.000.000 $27.300.000

2 80.000.000 30.400.000

3 90.000.000 35.550.000

4 92.000.000 35.880.000

Alternativa Inversión Ingreso anual

1 $80.000.000 $27.200.000

2 100.000.000 33.000.000

3 120.000.000 38.400.000

4 140.000.000 43.400.000

5 160.000.000 48.000.000

12. Resolver el problema 11 pero conside-rando una tasa de rendimiento mínima de39.2% anual.Respuesta: La tercera.

13. Resolver el problema 11 considerandoque la tasa de rendimiento mínima es de38 % anual.Respuesta: La tercera.

14. Aplicando el método de las tasas de la inversión inicial y de la inversión extra,evaluar las siguientes alternativas y decir cuál es la mejor económicamente.Considere una tasa de rendimiento mínima de 30% anual.

Respuesta: La primera.

15. Resolver el problema 14 pero considerando una tasa mínima de rendimiento de 28%anual.Respuesta: La segunda.

� CAPÍTULO 91. Después de hacer una inversión de $38.317.524, ésta produce mensualmente la suma

de $5.000.000. Al final del mes doce se recupera el capital invertido en principio yun excedente de $21.682.476. ¿Cuál fue la tasa con la cual se recuperó la inversión?Respuesta: 15 % mensual.

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM453

454


2. Una inversión de $20.000.000 tuvo elsiguiente flujo de caja:

Calcular la tasa interna de retorno.Respuesta: 4,093632%.

3. Una inversión de $12.521.685 produjolos siguientes ingresos netos mensuales:

Calcular la tasa interna de retorno.Respuesta: 10% mensual.

4. Una obligación de $1.010.182 secancela en 12 cuotas mensuales, así:al final del primer mes: $50.000. Alfinal del segundo mes: $60.000. Alfinal del tercer mes: $70.000, y asísucesivamente. ¿Cuál es la TIR?Respuesta: 3% mensual.

5. Un comerciante invierte inicialmente$10.042.364 y recupera su capital, así:al final del primer mes:$2.000.000; alfinal del segundo mes: $5.000.000; alfinal del tercer mes: $6.000.000. Sisu tasa atractiva es del 9,5% mensual,¿hizo una buena inversión? Explique.


1 $ 1.000.000 $100.000

2 1.000.000 200.000

3 1.000.000 400.000

4 1.000.000 200.000

5 21.000.000 50.000

Mes Ingresos

1 $3.000.000

2 4.000.000

3 5.000.000

4 4.000.000

Respuesta: Sí. La tasa interna deretorno es mayor que la tasa atractivadel inversionista.

6. Calcular la tasa interna de retorno conla información de la siguiente tabla:

Respuesta: 35,49%.

7. Un comisionista presta $1.717.987para que se le paguen de la siguientemanera: siete cuotas mensuales yvencidas de $200.000 cada una. Alfinal del tercero y séptimo meses, unacuota tradicional de $400.000. ¿Conqué tasa recuperará su capital?Respuesta: 6% mensual.

8. Una inversión de $1.000.000 se esperarecuperar con tres cuotas mensualesy vencidas. La primera cuota será de$346.853,35. La segunda, de$346.753,35 y la tercera, de$346.653,35. ¿Cuál será la tasa deretorno?Respuesta: 2% mensual.

9. El señor Pérez le presta a un amigo$2.000.000 para que se los cancele entres cuotas mensuales vencidas. Laprimera cuota será de $653.937,29.De ahí en adelante, cada cuota se


0 $−668.714

1 $200.000 50.000

2 300.000 40.000

3 400.000 40.000

4 500.000 20.000

5 600.000 10.000

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM454

455


incrementará en un 15% sobre la pri-mera. ¿Cuál será la tasa con la cual serecuperará su inversión?Respuesta: 6% mensual.

10. El señor Pérez invierte $20.000.000en acciones, las cuales le darán unosdividendos anuales de $7.000.000. Alfinal del año octavo espera recibir$30.087.256 más los dividendos.¿Cuál será su tasa interna de retorno?Respuesta: 36,656212%.

11. Con los datos del problema anterior,calcular la tasa interna de retorno me-diante el método del CAUE.Respuesta: 36,656212%.

12. Una inversión de $10.000.000 se recu-perará en 12 cuotas de $1.065.521,76mensuales vencidos. ¿Cuál es la tasainterna de retorno?Respuesta: 4% mensual.

13. Un prestamista invierte $5.000.000 yespera recibir dentro de 2 años la sumade $31.705.904. ¿Cuál es la tasainterna de retorno?Respuesta: 8% mensual.

14. Una inversión de $ 10.000.000 hoy y$15.000.000 dentro de 5 meses setransformarán en $45.464.148 dentrode 12 meses. Calcular la tasa internade retorno.Respuesta: 6,72% mensual.

15. Un inversionista trabaja su capital a unatasa del 7% mensual. Un amigo lepropone invertir hoy $25.000.000 y alfinal de 3 años recibirá $203.681.300.¿Usted qué le aconsejaría?Respuesta: No haga la inversión conel amigo. Su tasa de interés es mayorque la tasa de retorno de la inversión.Recuerde que el inversionista puedehacer reinversiones periódicas.

� CAPÍTULO 10

1. Un bono de $5.000 se emitió a 5 añosy reconoce el 24% anual. Si la emisiónfue a la par, ¿cuál es el valor efectivodel bono?Respuesta: $5.000.

2. Un bono de $10.000 se emitió a 6 añosy reconoce el 28% anual. Si un inver-sionista trabaja su dinero al 30% anual,¿cuánto podrá ofrecer por el bono?Respuesta: $9.471,44.

3. Un bono tiene un valor nominal de$50.000, vence dentro de 5 años yreconoce el 30% de interés anual. Un

inversionista considera que su tasamínima de rendimiento es del 32%anual. Si ese bono se lo ofrecen por$45.479, ¿deberá comprarlo?Respuesta: Sí. La tasa de descuentoes mayor que la tasa mínima derendimiento del inversionista.

4. Un inversionista compró un bono de$100.000 en $90.000. El bonoreconoce el 2% mensual y se redimeen 3 años. Calcular la tasa de interésnominal y la tasa efectiva anual.Respuesta: r = 28,162%ia = 32,096983%.

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM455

456


5. Una aerolínea hizo una emisión de100.000 bonos cuyo valor nominal esde $2.000 cada uno y con periodo deredención de 3 años. Los bonos serescatarán cada año mediante sorteosy reconocen el 32% anual. ¿Cuántosbonos se rescatarán cada año?Respuesta: 24.616, 32.493 y 42.891.

6. Una empresa hizo una emisión de50.000 bonos con valor nominal de$5.000 cada uno y un periodo deredención de 4 años. Los bonosreconocen el 28% anual y se redimenanualmente mediante sorteos. Elsistema de amortización es de cuotaconstante. Calcular el número de bonosen circulación después del segundosorteo.Respuesta: 31.049 bonos.

7. Una empresa necesita hacer unaampliación de su planta; para ellorequiere un capital que no lo encuentraen los bancos y, en consecuencia, seve en la obligación de recurrir a unaemisión de bonos. Ésta se hace por100.000 bonos y con un valor nominalde $50.000 cada uno. Estos bonosreconocen el 24% anual y se redimena 5 años mediante sorteos y con elsistema de cuotas constantes. Con elfin de hacer más atractiva la comprade los bonos, la empresa los colocarábajo la par y en consecuencia pagaráel 28% efectivo anual.a. ¿Cuánto dinero recaudará la

empresa?b. ¿A cómo se colocarán los bonos

en el mercado?Respuesta: a. $4.611.387.009b. $46.113,87.

8. Con los datos del problema anterior,calcular el número de bonosredimidos en el tercer sorteo.Respuesta: 12.954 bonos.

9. Una empresa hizo una emisión de20.000 bonos a $100.000 cada uno.Los bonos reconocen el 25% anual yse redimen a 6 años, y su rescate sehará mediante sorteos y con el sistemade cuota constante. Con el fin de haceratractiva la inversión, los bonossaldrán al mercado por un valorinferior al valor nominal y, enconsecuencia, la empresa reconoceráel 27% efectivo anual.

Además, la empresa dará un premioa cada bono que resulte favorecido enun sorteo y, por tanto, la rentabilidadofrecida será del 30% anual. ¿Cuál seráel valor del premio para cada bonorescatado en el cuarto sorteo?Respuesta: $13.172,19.

10. Con los datos del problema anterior,calcular el valor del rescate de losbonos favorecidos en el quinto sorteo.Respuesta: $110.538,96.

11. ¿Por cuánto debe ofrecerse un bono de$ 100.000, emitido a 6 años y al 30%anual, para que quien lo adquieraobtenga una rentabilidad del 35%anual?Respuesta: $88.074,20.

12. El señor Pérez cree que puede trabajarsu dinero al 31% anual y compró unbono de $500.000 por $439.110,74, elcual reconoce el 25% anual. ¿Hizo unbuen negocio? Explique su respuesta.Respuesta: No.

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM456

457


13. El Distrito Capital hizo una emisiónde 20.000 bonos por valor de$100.000.00, los cuales pagan el 24%anual y se redimen a 5 años, con unvalor nominal de $5.000 cada uno.Calcular el número de bonos encirculación antes de realizar el cuartosorteo.Respuesta: 10.613 bonos.

14. La compañía XY hizo una emisión de50.000 bonos con un valor nominalde $5.000 cada uno y un periodo deredención de 2 años. Los bonosreconocen el 6% trimestral. Si cada

bono se ofrece por $1.000 menos aun inversionista cuya tasa mínima derendimiento es del 8% trimestral,¿hará un buen negocio la compañíaal adquirirlos?Respuesta: Sí.

15. ¿Cuánto puede ofrecerse por un bonode $50.000 que vence dentro de 4meses, reconoce una tasa del 2%mensual, se colocó a la par en elmercado y la tasa mínima derendimiento de quien lo compre es del35% anual nominal?Respuesta: $48.292,93.

� CAPÍTULO 11

1. Un documento reconoce 36% anualcon capitalización bimestral. Calcularla rentabilidad efectiva anual cuando:a. La capitalización es vencida. b. Lacapitalización es anticipada.Respuesta: a. 41,8519%b. 44,9549%.

2. Un CDT emitido a 180 días reconoce32% anual con liquidación de interesestrimestralmente y en forma vencida. Sieste documento se registra por 112%de su valor nominal y se negociacuando le faltan 30 días para suvencimiento, ¿cuál será la rentabilidadefectiva anual del comprador?Respuesta: 62,7622%.

3. Con los datos del problema 2, calcularel valor que debe pagar el comprador,teniendo en cuenta que la comisiónde compra es del 0,002.Respuesta: $112,01.

4. Con los datos del problema 2, calcularla rentabilidad que tenía el vendedordel CDT al momento de venderlo.Asuma que la comisión de venta esdel 0,001.Respuesta: 31,2572% anual.

5. Un CDT emitido el 1o. de junio y a 90días reconoce 28 % anual nominal concapitalización trimestral anticipada.Este documento se desea negociar enla bolsa de valores. Para ello se registrael 6 de julio del mismo año por un valorequivalente a 94% de su valor nominal.Si la comisión de compra es del 0,002,¿cuál será el rendimiento que obtendráel comprador?Respuesta: 6,3612% para los 55 días.

6. Un título valor se expidió a seis mesesy reconoce 24% anual nominal enforma anticipada. El señor PedroPérez, quien es el dueño del título,

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM457

458


quiere venderlo al cabo de cincomeses y obtener una rentabilidadefectiva anual de 23%. Si lascomisiones de compra y venta son del0,003, ¿cuál será el precio de venta yla tasa de cesión?Respuesta: $95,93 y 64,7376%.

7. Con los datos del problema 6, calcularel precio de registro y la tasa deregistro.Respuesta: $81,28 y 64,4376%.

8. Con los datos del problema 6, calcularel precio de compra y la tasa decompra.Respuesta: $81.34 y 64.1376%.

9. El señor Pedro Pérez compró un CDTque había sido emitido el lo. de agostoy vencía un año después. Estedocumento reconoce 32% anual concapitalización bimestral vencida. El28 de abril del año inmediatamentesiguiente, el señor Pérez vende a unamigo el CDT por un precio de 103%después de descontarle la comisión¿Cuál fue la rentabilidad anual?Respuesta: 33,20%.

10. Una compañía de f inanciamientocomercial ofrece a sus clientes unascédulas de capitalización quereconocen 24% anual sobre el saldoacumulado al final del segundo año.Mensualmente se harán sorteos delvalor de la cédula. Los ahorros

mensuales son de $100.000. ¿Cuál esla rentabilidad que ofrece estacompañía?Respuesta: 24,14%.

11. Resolver el problema 10, peroconsiderando un plazo de 36 meses.Sacar conclusiones.Respuesta: 15,2922%. Conclusión.A mayor plazo, menor es larentabilidad. En las cédulas decapitalización la rentabilidad esinversamente proporcional al plazo.

12. El señor Pedro Pérez compró unacédula de capitalización. Él esperaobtener una rentabilidad de 28% anualcon capitalización bimestralanticipada. Este documento vencedentro de dos meses. Si las comisionespor venta y compra son del 0,002 cadauna, ¿cuál fue el precio de compra?Respuesta: $95,33.

13. Con los datos del problema 12,calcular el precio de registro.Respuesta: $95,31.

14. Con los datos del problema 12,calcular el precio de venta.Respuesta: $95,29.

15. Resolver el problema 12 peroconsiderando que la capitalización esvencida. Elabore conclusiones.Respuesta: $95,54.

Apéndice A 1/20/06, 11:05 AM458

Problemas propuestosy resueltos

� CAPÍTULO 1

1. Se necesita disponer de $20.000.000 dentro de un año. ¿Cuántose tendrá que depositar hoy en un Banco que reconoce el 1,5%mensual? Resuelva la operación a interés simple y a interéscompuesto.Respuesta: $16.949.153 y $16.727.748

a. F = P [1 + in]$20.000.000 = P [1 + (0,015 × 12)]

P = =$ . .

,$ . .

20 000 000

1 1816 949 153

b. F = P (1 + i)n

$20.000.000 = P (1,015)12

P =( )

=$ . .

,$ . .

20 000 000

1 01516 727 748

12

2. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital al 2% mensual?Resolver el problema a interés simple y a interés compuesto.Respuestas: 50 meses y 35 meses.

a. F = P [1 + in]2P = P [1 + 0,02 n]2 − 1 = 0,02 nn = 50 meses

b. F = P (1 + i)n

2P = P (1,02)n

2 = (1,02)n

log 2 = n log 1,02n = 35 meses

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM459

460


3. ¿A qué tasa de interés mensual se debe colocar un capital de $10.000.000 para que setransforme en $30.000.000 al final de 3 años? Resolver el problema a interés simple ya interés compuesto.Respuesta: 5,55% mensual y 3,098% mensual

a. $30.000.000 = $10.000.000 [1 + 36i]

3 = 1 + 36i

i = =2

365 55, % mensual

b. $30.000.000 = $10.000.000 (1 + i)36

3 = (1 + i)36

3 136

= + i

i = 3,098 mensual

4. ¿Cuánto tendré ahorrado al final de 2 años si hago los siguientes depósitos en un Bancoque me reconoce el 1,2% mensual?Hoy deposito: $5.000.000Al final del mes 5: $3.000.000Al final del mes 12: $1.000.000Resolver el problema a interés simple y a interés compuesto.Respuesta: $9.972.000 y $10.030.729

a. F1 = $5.000.000 [1 + (0,012) × (12)]= $5.720.000F2 = $3.000.000 [1 + (0,012) × (7)] = $3.252.000F3 = $1.000.000 = $1.000.000

$9.972.000

b. F1 = $5,000.000 (1,012)12

= $5.769.473F2 = $3.000.000 (1,012)

7= $3.261.256

F3 = $1.000.000 = $1.000.000$10.030.729

5. ¿Qué capital se debió tener ahorrado al final del quinto año en un Banco que reconoceel 1,3% mensual, si 3 años después se retira la suma de $10.000.000 y la cuenta quedaen cero? Resuelva el problema a interés simple y a interés compuesto.Respuesta: $6.811.989 y $6.281.451

a. PF

in=

+( ) =+ ( )( )[ ] =

1

10 000 000

1 0 013 366 811 989

$ . .

,$ . .

b. PF

in

=+( )

=( )

=1

10 000 000

1 0136 281 451

36

$ . .

,$ . .

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM460

461

Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

6. ¿Cuánto se tendrá ahorrado al final de 2 años si hoy se deposita la suma de $20.000.000en un Banco que reconoce el 1,6% mensual a interés simple durante los primeros 10meses y de ahí en adelante el 1, 1 % a interés compuesto?Respuesta: $27.039.843F1 = $20.000.000 [1 + (0,016)(10)] = $23.200.000F2 $23.200.000 (1,011)

14 = $27.039.843

7. ¿Cuánto se debe depositar hoy en un Banco que reconoce el 1,3% mensual, para poderretirar $10.000.000 al final del mes 5 y $15.000.000 al final del mes 12, dejando así lacuenta en cero? Resolver el problema a interés simple y a interés compuesto.Respuesta: $22.299.343 y $22.220.896

a. P115 000 000

1 1 013 713 748 854=

+ ( )( )[ ] =$ . .

,$ . .

$13.748.854 + $10.000.000 = $23.748.854

P223 748 854

1 0 013 522 299 343=

+ ( )( )[ ] =$ . .

,$ . .

b. P1 7

15 000 000

1 01313 703 299=

( )=$ . .

,$ . .

$13.703.299 + $10.000.000 = $23.703.299

P2 5

23 703 29

1 01322 220 896=

( )=$ . .

,$ . .

� CAPÍTULO 2

1. Un pagaré por $10.000.000 con vencimiento a 10 meses, reconoce el 2% mensual ainterés compuesto. Este pagaré tiene 3 meses de maduración y se negocia a una tasa dedescuento del 4% mensual y a interés compuesto. ¿Por qué valor es aceptado el pagaré?Respuesta: $9.263.356

F = 10.000.000 (1,02)10

= $12.189.944

Ve =( )

=12 189 944

1 049 263 356

7

. .

,$ . .

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM461

462


2. Un CDT por $20.000.000 con vencimiento a 18 meses, reconoce el 1,5% mensual ainterés compuesto. El CDT se negocia 5 meses después de su expedición en formacomercial y a una tasa de descuento de 2,5% mensual.a. ¿Cuál es valor del descuento?b. ¿Cuál es el valor efectivo del CDT.Respuesta: a. $8.497.714 b. $17.649.099F = $20.000 (1,015)

18 = $26.146.813

Descuento comercial: Dc

Dc = Vn • i • nDc = (26.146.813)(13)(0,025) = $8.497.714Ve = $26.146.813 − $8.497.714 = $17.649.099

3. Tengo las siguientes obligaciones con el Banco:• Un pagaré por $100.000.00 con vencimiento a 10 meses. Tiene 3 meses de

maduración y reconoce el 2% mensual a interés simple.• Un pagaré por $150.000.000 con vencimiento a 18 meses. Tiene 2 meses de

maduración y reconoce el 1,5% mensual a interés compuesto.Se acordó con el Banco reestructurar estas obligaciones en la siguiente forma:Fecha focal: dentro de 9 mesesTasa de reestructuración: 2,5% mensual a interés compuesto.Se harán dos pagos así: uno por $90.000.000 dentro de 3 meses y el resto se pagaráen la fecha focal.a. ¿Cuál será el valor de pago a la fecha focal?b. ¿A cuánto equivalen en la fecha de negociación los dos nuevos pagos?

Respuesta: a. $186.675.626 b. $83.573.947 y $149.476.

F1 = $100.000.000 [1 + (10)(0,02)] = $120.000.000F´1 = $120.000.000 (1,025)

2 = $126.075.000

F2 = $150.000.000 (1,015)18

= $196.101.095

P2 7

196 101 095

1 025164 973 034=

( )=. .

,$ . .

F3 = $90.000.000 (1,025)6 = $104.372.408

= $126.075.000 + $164.973.034 = $104.372.408 + xx = $186.675.626

P3 3

90 000 000

1 02583 573 947=

( )=$ . .

,$ . .

P4 9

186 675 626

1 025149 476 468=

( )=$ . .

,. .

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM462

463


4. Tengo las siguientes obligaciones con el Banco:• Un pagaré por $80.000.000 con vencimiento a 6 meses, reconoce el 2% mensual a

interés compuesto y tiene 1 mes de haber sido expedido.• Un pagaré por $140.000.000 con vencimiento a 12 meses, reconoce el 2,3% mensual

a interés compuesto y le faltan 9 meses para su vencimiento.Estos pagarés serán reestructurados en la siguiente forma:Fecha focal: dentro de 8 meses.Tasa de reestructuración: 2,1 % mensual a interés compuesto.Se harán dos pagos iguales así: e1 primero dentro de 3 meses y el segundo en lafecha focal.

a. ¿Cuál será el valor de dicho pago?Respuesta: $130.850.144

F1 = $80.000.000 (1,02)6 = $90.092.994

F´1 = $90.092.994 (1,021)3 = $95.888.880

F2 = $140.000.000 (1,023)12

= $183.922.830

P′ = ( ) =2183 922 830

1 021180 139 892

$ . .

,$ . .

F3 = x (1,021)5 = 1,109503 x

$95.888.880 + $180.139.892 = 1,10950 x + xx = $130.850.144

5. Un apartamento que está para la venta, tiene un precio de contado de $70.000.000. Eldueño del apartamento trabaja su dinero y obtiene una rentabilidad equivalente al 6%mensual a interés compuesto.Un cliente le ofrece entregarle $30.000.000 de contado y el saldo se lo paga así:• Con un CDT $30.000.000, el cual vence a los 6 meses, reconoce el 1% mensual a

interés compuesto y tiene 2 meses de maduración.• Con un pagaré de $15.000.000 suscrito el día que se haga la negociación y con

vencimiento a 4 meses. El pagaré reconocerá el 3% mensual a interés compuesto.

a. ¿Cuánto le está ofreciendo el cliente por el apartamento?b. ¿Hará la negociación?

Respuesta: a. 68.597.328 b. No

F1 = $30.000.000 (1,01)6 = $31.845.605

Ve =( )

=$ . .

,$ . .

31 845 605

1 0625 224 702

4

F2 = $15.000.000 (1,03)4 = $16.882.632

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM463

464


Ve =( )

=$ . .

,$ . .

16 882 632

1 0613 372 626

4

Oferta: $30.000.000 + $25.224.702 + 13.372.626 = $68.597.328

6. Se tienen dos obligaciones con las siguientes condiciones:• Una por $20.000.00 con vencimiento a 8 meses y reconoce el 2% mensual a interés

simple. Tiene 2 meses de maduración.• Otra por $30.000.000 con vencimiento a 10 meses y reconoce el 1,5% mensual a

interés compuesto. Tiene 4 meses de maduración.Si hoy se negocian estas obligaciones en forma comercial y a una tasa de descuentodel 3% mensual, ¿cuál será el valor a reconocer por dicha obligación?

Respuesta: $47.573.305

F1 = $20.000.000 [1 + (0,02) (8)] = $23.200.000Ve1 = 23.200.000 [1 − (0,03) (6)] = $19.024.000F2 = $30.000.000 (1,015)

10 = $34.816.225

Ve2 = $34.816.225 [1 − (0,03) (6)] = $28.549.305$28.549.305 + $19.024.000 = $47.573.305

7. Un CDT reconoce el 2% mensual a interés compuesto, vence a los 10 meses y senegoció a los 6 meses en forma racional, por un valor de $16.622.651. Si la tasa dedescuento fue el 2,5% mensual, ¿cuál será el valor nominal del CDT?Respuesta: $15.000.000

$ . .,

16 622 6511 0 025 4

=+ ( )( )[ ]

F

F = 18.284.916$18.284.916 = P (1,02)

10

P = $15.000.000

8. Un CDT cuyo valor nominal es de $10.000.000, vence a los 8 meses, tiene 2 meses demaduración y reconoce el 1,6% mensual a interés compuesto, se desea negociar conuna persona que ofrece por él la suma de $9.236.503.

Si la operación se realiza en forma compuesta, ¿cuál será la tasa de descuento utilizadapara la negociación?Respuesta: 3,5% mensual

F = $10.000.000 (1,016)8 = $11.354.020

$ . .$ . .

9 236 50311 354 020

16

=+( )i

(1 + i)6 = 1,22925527

i = 0,035

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM464

465


9. Una persona tiene una obligación por $20.000.000 con vencimiento a 11 meses, reconoceel 1 % mensual a interés compuesto y tiene 3 meses de maduración, y otra por$10.000.000 con vencimiento a 12 meses, reconoce el 1,5% mensual a interés simple ytiene 5 meses de maduración.

Si la primera se descuenta en forma comercial al 2% mensual y la segunda en formaracional al 3% mensual, ¿cuál será el valor de los descuentos?Respuesta: Dc $3.570.139 Dr $2.047.934F1 = $20.000.000 (1,01)

11 = $22.313.367

Ve = $22.313.367 [1 − (0,02) (8)] = $18.743.228Dc = $22.313.367 − $18.743.228 = $3.570.139

Otra forma:Dc = ($22.313.367) (8) (0,02) = $3.570.139F2 = $10.000.000 [1 + (0,015) (l2)] = $11.800.000

Dr = × ×+ ( )( )[ ] =$ . . .

,$ . .

11 800 000 0 03 7

1 0 03 72 047 934

10.Un pagaré por $50.000.000 vence a los 10 meses y reconoce una tasa i a interéscompuesto. Si 4 meses después de su expedición, el pagaré se negocia con el Banco enforma compuesta y se acepta por él la suma de $47.179.331, lo mismo que un descuentode $9.155.250, ¿cuáles son las tasas de interés y de descuento?Respuesta: 1,2% y 3%Ve = $47.179.331F = $56.334.589

VF

ie n

=+( )1

$47.179.331 (1 + i)6 = $56.334.589

i = 3%F = P (1 +i)

n

$56.334.589 = $50.000.000 (1 + i)10

i = 1,2%

� CAPÍTULO 3

1. Cuánto tendré ahorrado al final de 3 años si hoy deposito la suma de $30.000.000 en unBanco que me reconoce las siguientes tasas de interés:• Durante los primeros 5 meses, el 24% anual nominal con capitalización bimestral

vencida.

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM465

466


• Durante los 11 meses siguientes, el 18% anual efectivo con capitalización trimestralvencida.

• Durante los 7 meses siguientes, el 3 % bimestral con capitalización semestral vencida.• Durante el resto del tiempo, el 6% semestral con capitalización trimestral vencida.Respuesta: $48.456.953

iapb = =0 24

60 04

,,

F1 = 30.000.000 (1,04)5/2

= $33.090.597iapt = (1,18)

1/4 − 1 = 0,0422466

F2 = 33.090.597 (1,0422466)11/3

= $38.512.033iaps = (1,03)

6/2 − 1 = 0,092727

F3 = 38.512,033 (1,092727)7/6

= $42.709.721iapt = (1,06)

3/6 − 1 = 0,02956301

F4 = 42.709.721 (1,02956301)13/3

= $48.456.953

2. Mi actividad comercial es la compraventa de vehículos. Este negocio me reporta unarentabilidad equivalente al 5% mensual a interés compuesto. Por uno de los vehículos,que tiene un precio de venta de $60.000.000 de contado, un posible comprador me hizola siguiente oferta:

Me entrega $20.000.000 de contado y en efectivo y un CDT por $35.000.000 convencimiento a 1 año. El CDT tiene 3 meses de maduración y reconoce el 12,6825% efectivoanual. La capitalización es mensual vencida. Los intereses se pagarán al vencimiento, con elcapital. Adicionalmente, me firma una letra por $10.000.000 a 2 meses. La letra reconoce el2% mensual a interés simple. ¿Usted qué me aconseja?¿Hago el negocio?Justifique analíticamente su respuesta.Respuesta: NoF1 = $35.000.000 (1,01)

12 = $39.438.876

Ve =( )

=$ . .

,$ . .

39 438 876

1 0525 422 651

9

F2 = $10.000.00 [1 + (0,02) (2)] = $10.400.000

Ve =( )

=$ . .

,$ . .

10 400 000

1 059 433 107

2

Oferta: $20.000.000 + $25.422.651 + $9.433.107 = $54.855.758

3. Hallar la tasa trimestral vencida, equivalente al 20% anual nominal trimestre anticipado.Respuesta: 0,052631

i´m = 0,50 trimestral anticipada = =0 20

40 050

,, trimestral anticipada

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM466

467


iapm =−( ) =0 050

1 0 0500 052631

,

,,

4. Hallar la tasa mensual anticipada, equivalente al 24% anual nominal con capitalizaciónmensual vencida.Respuesta: 0,0196078

iapm = =0 24

120 02

,, mensual vencida

i´m = 0 02

1 0 020 0196078

,

,,

+( ) = mensual anticipada

5. Hallar la tasa nominal anual con capitalización bimestral vencida, equivalente al 18%anual nominal con capitalización bimestral anticipada.Respuesta: 0.185567

i´m = =0 18

60 03

,, bimestral anticipada

iapm =−( ) =0 03

1 0 030 0309278351

,

,, bimestral vencida

r = (0,0309278) (6) = 0,185567

6. Con base en los datos del problema anterior, calcular la tasa efectiva anual:a. A partir de la nominal anual vencidab. A partir de la nominal anual anticipadac. Sacar conclusionesRespuestas: a. 20,052053% b. $20,052053 c. Son iguales porque las tasas nominalesson equivalentes y las tasas equivalentes producen el mismo resultado efectivo.a. ia = (1 + 0,0309278351)

6 − 1 = 20,052053%

b. ia =−( )

− =1

1 0 031 20 052053

6,

. %

c. Son iguales porque las tasas nominales son equivalentes y las tasas equivalentesproducen el mismo resultado efectivo.

7. ¿Qué sucede con la tasa de rentabilidad real sobre una inversión en moneda extranjera,cuando:a. la tasa de inflación es menor que la tasa de devaluación?b. la tasa de inflación es mayor que la tasa de devaluación?c. son iguales?

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM467

468


Justifique analíticamente sus comentarios.Respuesta:a. Cuando ii < id la rentabilidad real es mayor que la tasa ofrecida (margen o spread)b. Cuando ii > id la rentabilidad real es menor que la tasa ofrecida (margen o spread)c. Cuando ii = id la rentabilidad real es igual a la tasa ofrecida (margen o spread)a. ii = 0,069 id = 0,12 ie = 0,05

ia = (1, 12) (1,05) – 1 = 0,1760

RR = − =0 1760 0 069

1 0690 10

, ,

,,

Observación: cuando: ii > id la rentabilidad real es mayor que la tasa ofrecida (margeno spread)b. ii = 0,12 id = 0,069 ie = 0,05

ia = (1,069) (1,05) – 1 = 0, 12245

RR = − =0 12245 0 12

1 120 00221875

, ,

,,

Observación: cuando ii > id la rentabilidad real es menor que la tasa ofrecida (margeno spread)c. ii = 0,12 id = 0,12 ie = 0,05

ia = (1,12) (1,05) – 1 = 0, 1760

RR = − =0 1760 0 12

1 120 05

, ,

,,

Observación: cuando ii = id la rentabilidad real es igual a la tasa ofrecida (margen ospread)

8. ¿A qué tasa de interés debo negociar unos papeles en la bolsa de valores, si deseoobtener una rentabilidad real del 6% anual? Se estima que al final del año, la inflaciónserá el 7,2% efectiva anual. Hoy, la retención en la fuente es del 7% efectiva anual.Respuesta: 6,957%

RRRN ii

ii= −

+1

0 060 072

1 072,

,

,= −RN

RN = 0,13632RN = ia (1 − 0,07)0,13632 = ia (0,93)ia = 0,14658

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM468

469


ia = (1 + ii) (1 + ie) − 10,14658 = (1,072) (1 + ie) − 1ie = 0,06957

9. En toda operación financiera que realizo, espero obtener siempre una rentabilidad del5% efectiva anual. En unos papeles que se negocian en la bolsa de valores, se ofrece laDTF trimestre anticipado más 2 puntos (tasa de negociación). Si la DTF tiene un valorde 7,8% anual nominal TA y se espera una tasa de inflación del 6,5% efectiva anual,¿será conveniente hacer dicha operación?Respuesta: NoTasa facial = 0,078 + 0,02 = 0,098

i´t = =0 098

40 0245

,,

ia =−( )

= =1

1 0 02451 0 1043

4,

, Tasa que reconoce el CDT

RRRN ii

ii= −

+1

0 050 065

1 065,

,

,= −RN

RN = 0,11825RN = ia (1 − it)0,11825 = ia (1 − 0,07)ia = 0,127156 tasa a la cual debo negociar0,127156 > 0,1043

10.El Señor Pedro Pérez hizo las siguientes inversiones el día 10 de septiembre de 2003:En libras esterlinas: le reconocen el 3% efectivo anual.En yenes: le reconocen el 5% efectivo anual.En euros: le reconocen el 6% efectivo anual.Las tasas de cambio para el 10 de septiembre de 2003 eran las siguientes:$2.876,60 pesos por dólar0,62805 libras esterlinas por dólar1,1219 dólares por euro

E1 10 de septiembre de 2004, las tasas de cambio fueron las siguientes:$2.587,20 pesos por dólar109,2896 yenes por dólar0,81347 euros por dólar

Durante el periodo de la inversión, el dólar se devaluó en 0,129931 frente a la libraesterlina y en 0,071428 respecto al yen.

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM469

470


a. ¿Cuál de las tres inversiones fue la mejor para el señor Pérez y cuál la menosconveniente? Justifique su respuesta.

b. Si el señor Pérez hubiera pretendido obtener una rentabilidad real del 5% efectivaanual en la mejor inversión, ¿a qué tasa de interés debía haber hecho la inversión,teniendo en cuenta que nuestra inflación durante el periodo de la inversión fue del5,89% efectiva anual?

Respuesta: a. La mejor fue en libras esterlinas.b. 9,406%.

ia = (1,0162488) (1,03) − 1 = 0,04673626

ia = (1 − 0,03636) (1,05) − 1ia = 0,01182

ia = (1 − 0,01450) (1,06) − 1 = 0,044630

La menos conveniente fue en yenes.

b. 0 050 0589

1 05890 111845,

,

,,= − ∴ =RN

RN

RN = ia0,111845 = (1 + 00162488) (1 + ie) − 1ie = 9,406%

LE

Moneda TCo Dev TC1

$/D 2.876,60 2.587,20

D/£ 1/0,62805 0,129931 1,7991

$/£ 4.580,2085 0,0162488 4.654,6315

YJ

Moneda TCo Dev TC1

$/D 2,876,60 2.587,20

D/Yen 0,00854 0,071428 1/109,28896

$/Yen 24,56616 -0,03636 23,67288

EURO

Moneda TCo Dev TC1

$/D 2.876,60 2.587,20

D/E 1,1219 1/0,81347

$/E 3.227,2575 -0,01450 3.180,4492

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM470

471


11.El 16 de septiembre de 2004, se negocia en la bolsa de valores un CDT que tiene lassiguientes características:Valor nominal: $900.000.000Fecha de expedición: mayo 14 de 2003Plazo: 2 añosTasa de rentabilidad: DTF + 2 puntos TAPago de interés: en forma vencidaTasa de negociación: DTF + 1 punto TACalcular el precio de compra (neto comprador).

Otra información:Valor DTF para septiembre 16 de 2004: 7,88% nominal anual TAValor DTF para agosto 14 de 2004: 7,70% nominal anual TAValor DTF para mayo 14 de 2004: 7,75% anual nominal TAModalidad: fecha inicioRespuesta: $913.894.509 neto comprador (NC).

r´ = 0,0770 + 0,02 = 0,0970

i´t = =0 0970

40 02425

,,

iapt =−

=0 02425

1 0 024250 02485

,

,,

r´ = 0,0788 + 0,02 = 0,0988

i´t = =0 0988

40 02470

,,

iapt =−

=0 02470

1 0 024700 02533

,

,,

r´ = 0,0788 + 0,01 = 0,0888

i´t = =0 0888

40 0222

,,

59 92 89

Ago.14/04 Sep.16/04 Nov.14/04 Feb.14/05 May.14/05

0,02485 0,02533 1,02533

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM471

472


ia =−( )

− =1

1 0 02221 0 093956

4,

,

NC = ×

( )+ ×

( )+ ×

( )$ . . ,

,

$ . . ,

,

$ . . ,

,/ / /

900 000 000 0 02485

1 093956

900 000 000 0 02533

1 093956

900 000 000 1 025333

1 09395659 365 151 365 240 365

NC = $22.042.701 + 21.965.622 + 869.886.186

NC = $913.894.509

� CAPÍTULO 4

1. Un préstamo de $100.000.000 fue financiado por un Banco para pagarlo en cuotasmensuales, vencidas e iguales de $1.451.181 cada una. La tasa de financiación fue del13% efectiva anual. ¿Cuál fue el plazo en meses dado por el Banco?Respuesta: 120 meses

n

iP

A

i=

− − ×

+

+( )

log

log

1

1

n =− − ×

+

( )log

log

0 0102368100 000 000

1 451 1811

1 0102368

,. .

. .

,

n =− [ ] =

log 0 294588

0 00442318120

,

,

2. Una persona desea jubilarse dentro de 15 años, con una pensión de $30.000.000. Si elfondo de pensiones al cual está afiliada, trabaja el capital invertido al 3% mensual y ainterés compuesto, ¿cuál debe ser la cotización mensual que debe hacer el futuropensionado?

Nota: Asuma que las cotizaciones serán iguales durante todo el tiempo.Respuesta: $147.418

PA

i= = =$ . .

,$ . . .

30 000 000

0 031 000 000 000

Éste es el capital que producirá la pensión de jubilación de $30.000.000.15 × 12 = 180 meses

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM472

473


A Fi

in

=+( ) −

1 1

A =( ) −

$ . . .,

,1 000 000 000

0 03

1 03 1180

A = $147.418

3. Se estima que el mantenimiento de una obra civil de vida útil indefinida será de$50.000,000 anuales. Con el fin de atender estos gastos, se constituirá un fondo en unBanco que reconoce el 18% anual efectivo. ¿Cuál será el valor de dicho fondo?Respuesta: $277.777.778

PA

i= = =$ . .

,$ . .

50 000 000

0 18277 777 778

4. Si para la constitución del Fondo a que se refiere el problema anterior, se dispone de uncapital de $30.000.000, ¿en cuánto tiempo se constituirá el Fondo?Respuesta: 3 años, 1 mes, 1 día

$50.000.000 = $30.000.000 (1,18)n

1,66666 = (1,18)n

n = =log ,

log ,,

1 66666

1 183 08628 años

(0,08628) (12) = 1 mes

5. El Señor Pérez, necesita un crédito de $20.000.00 para atender los gastos de su finca.Un Banco le otorgó el préstamo en las siguientes condiciones:Plazo: 2 años con pago de cuotas mensuales y vencidas.Tasa de interés: 19% anual efectivo.Período de gracia: 6 meses adicionales al plazo inicial.¿Cuál será el valor de la cuota mensual con la cual se pagará el préstamo?Respuesta: $1.084.183

iapm = (l,19)1/12

− 1 = 0,01460169F = $20.000.000 (1,01460169)

6 = $21.817.425

A =( )

( ) −

$ . ., ,

,21 817 425

1 01460169 0 01460169

1 01460169 1

24

24

A = $1.084.183

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM473

474


6. Si las cuotas del problema anterior fueran anticipadas, ¿cuál sería su valor?Respuesta: $1.068.580

A =( ) −

( )

+

−

−

$ . .

,

, ,

21 817 425

1 01460169 1

1 01460169 0 014601691

24 1

24 1

A = $1.068.580

7. Un vehículo se financió en las siguientes condiciones:Precio: $70.000.000Plazo: 3 añosTasa de interés: 10% anual efectivaPago de cuotas mensuales, vencidas e iguales.

Adicionalmente se harán unos abonos de $2.000.000 cada 2 meses durante todo elplazo.¿Cuál será el valor de la cuota con la cual se pagará el vehículo?Respuesta: $2.151.126

iapm = (1,20)1/12

– 1 = 0,0153094iaps = (1,20)

1/6 – 1 = 0,0308533

$ . .,

, ,$ . .

,

, ,70 000 000

1 0153094 1

1 0153094 0 01530942 000 000

1 0308533 1

1 0308533 0 0308533

36

36

18

18=

( ) −

( )

+( ) −

( )

A

$70.000.000 − $27.309.629 = A [27,5187042]$42.690.371 = A [27,5187042]A = $1.551.322

8.Unos equipos industriales se adquieren en la siguiente forma:Valor de los equipos: $100.000.000Cuota inicial: 30%Tasa de interés: 26.8242% efectiva anualEl resto se financió así:24 cuotas mensuales, vencidas e iguales.

Adicionalmente, se harán 2 pagos extras, uno por $10.000.000 al final del mes 5 yotro por $25.000.000 al principio del mes 13.¿Cuál será el valor de las cuotas mensuales?Respuesta: $2.179.895

$70.000.000: Valor a financiar

$ . .,

, ,

$ . .

,

$ . .

,70 000 000

1 02 1

1 02 0 02

10 000 000

1 02

25 000 000

1 02

24

24 5 12=

( ) −

( ) ( )

+( )

+( )

A

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM474

475


$70.000.000 − $9.057.308 − $19.712.329 = A (18,9139256)$41.230.363 = A (18,9139256)A = $2.179.895

9. Unos equipos tienen un precio de $50.000.000 de contado. Si se compran a crédito, elplazo será de 2 años, con pago de cuotas mensuales, vencidas e iguales y una cuotaadicional de $10.000.000 al final del plazo. ¿Cuál será el valor de las cuotas mensuales?Asuma una tasa de interés del 36% anual nominal.Respuesta: $2.661.897

iapm = =0 36

120 03

.,

$ . .,

, ,

$ . .

,50 000 000

1 03 1

1 03 0 03

10 000 000

1 03

24

24 24=

( ) −

( )

+( )

A

$50.000.000 − $4.919.337 = A [16,935542]$45.080.663 = A [16,935542]A = $2.661.897

10. Unos equipos de computación tienen un precio de $10.000.000 y se desea comprarlosmediante el sistema de leasing (contrato de arrendamiento con opción de compra).

El plazo para esta operación es de 1 año (12 meses) y la tasa de interés es del 18%anual nominal. Si el valor de rescate (cuota global entregada al final del plazo) es iguala 5 veces el valor de una cualquiera de las cuotas de arrendamiento mensual ¿cuál seráel valor de dichas cuotas?Respuesta: $662.715 y $3.313.575

iapm = =0 18

120 015

.,

$ . .,

, , ,10 000 000

1 015 1

1 015 0 015

5

1 015

12

12 12=

( ) −

( )

+( )

AA

$ . . ,,

10 000 000 10 9075055

1 195618= [ ] +A

A

$ . . ,,

10 000 000 10 9075055

1 195618= +A

A

$ . .,

,10 000 000

13 04120930 5

1 195618= +A A

11.956.180 = 18,0412093AA = $662.715Cuota global: ($662.715) (5)= $3.313.575

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM475

476


� CAPÍTULO 5

1. Compré un vehículo financiado en la siguiente forma:Precio: $60.000.000Tasa de interés: 13% efectivo anualPlazo: 4 años con pago de cuotas mensuales y vencidas. Cada cuota se incrementa en$1.000 sobre la anterior.Calcular el valor de las cuotas 1, 10 y 48Respuesta: $1.566.863, $1.575.863 y $1.683.863iapm = (1,13)

1/12 – 1 = 0,01023684

$ . .,

, ,

.

,

,

, , ,

60 000 0001 01023684 1

1 01023684 0 01023684

1 000

0 01023684

1 01023684 1

1 01023684 0 01023684

48

1 01023684

48

48

48

48 48

= ( ) −( )

+

( ) −( )

−( )

K

K = $1.566.863 = A1

A10 = $1.566.863 + (10 – 1) 1.000 = $1.575.863A48 = $1.566.863 + (48 – 1) 1.000 = $1.683.863

2. El Banco me financió el 70% del precio del apartamento en las siguientes condiciones:Plazo 15 años con pago de cuotas mensuales y vencidas. La primera cuota es de $800.000,cada cuota se incrementa en $2.000 sobre la anterior.Tasa de interés: IPC + 10 puntos.a. ¿Cuánto me prestó el Banco? b. ¿Cuánto costó el apartamento?Asuma un IPC de 7% efectivo anualRespuesta: a. $60.916.402 b. $87.023.431ia = (1,07) (1,10) – 1 = 0,1770iapm = (1,1770)

1/12 – 1 = 0,0136733

a.

$60.916.402 = valor del préstamo

b. $ . .

,$ . .

60 916 402

0 7087 023 431= = costo del apartamento

3. Hace 5 años que compré un apartamento en las siguientes condiciones:Precio: $90.000.000Tasa de interés: 18% efectivo anualPlazo: 10 años. Pago de cuotas mensuales y vencidas. Cada cuota se incrementa en $1.500.

P = ( ) −( )

+ ( ) −( )

−( )

$ .,

, ,

$ .

,

,

, , ,800 000

1 0136733 1

1 0136733 0 0136733

2 000

0 0136733

1 0136733 1

1 0136733 0 0136733

180

1 0136733

180

180

180

180 180

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM476

477


a. ¿Cuál es hoy el saldo de la deuda?b. Si hoy deseo cambiar de plan por otro que sea de cuota estable, ¿cuál será el valor de

la nueva cuota? Resolver este punto por dos métodos diferentes.Respuesta: a. $65.163.445 b. $1.607.786iapm = (1,18)

1/12 – 1 = 0,013888

P K= =( ) −

( )

+( ) −

( )−

( )

$ .,

, ,

$ .

,

,

, , ,90 000

1 013888 1

1 013888 0 013888

1 500

0 013888

1 013888 1

1 013888 0 013888

120

1 013888

120

120

120

120 120

K = $1.479.671Cuotas pagadas: 5 × 12 = 60Cuotas pendientes: 120 − 60 = 60A61 = $1.479.671 + (61 − 1) 1.500 = $1.569.671a.

P =( ) −

( )

+( ) −

( )−

( )

$ . .,

, ,

$ .

,

,

, , ,1 569 671

1 013888 1

1 013888 0 013888

1 500

0 013888

1 013888 1

1 013888 0 013888

60

1 013888

60

60

60

60 60

P = $65.163.445

b. Primer método

A =( )

( ) −

$ . ., ,

,65 163 445

1 013888 0 013888

1 013888 1

60

60

A = $1.607.786

Segundo método

A = −( )( )( ) −

$ .

,

,

,

1 500

0 0138881

60 0 013888

1 013888 160

A = $38.115A total = $1.569.671 $38.115 = $1.607.786

4. Los costos de mantenimiento de una obra civil de vida útil indefinida se estiman en$40.000.000 para el primer año, $41.000.000 para el segundo año, $42.000.000 para eltercer año y así sucesivamente. Para garantizar este mantenimiento se ha constituido unfondo en un Banco que reconoce el 20% efectivo anual. ¿Cuál será el valor del fondo?Respuesta: $225.000.000

P = +( )

40 000 000

0 20

1 000 000

0 202

. .

,

$ . .

,

P = $200.000.000 + $25.000.000P = $225.000.000

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM477

478


5. La cobertura del lecho de una quebrada requiere un mantenimiento de $20.000.000para el primer año. Se estima que estos costos se incrementarán anualmente un 8%.Para garantizar este mantenimiento se ha constituido un fondo en un Banco que reco-noce el 15% efectivo anual. ¿Cuál será el valor del fondo?Respuesta: $285.714.286

P =−

=$ . .

, ,$ . .

20 000 000

0 15 0 08285 714 286

6. Se desea constituir un fondo que permita el retiro de $10.000.000 el primer año. Cadaaño se incrementarán los retiros en un 5% hasta completar 20 retiros. Si el Banco reco-noce una tasa de 12% efectivo anual,¿cuál será el valor del fondo?Respuesta: $103.563.030

P =

−

−

$ . .,

,

, ,

10 000 0001 05

1 121

0 05 0 12

20

P = $103.563.030

7. Resolver el problema anterior pero considerando que el incremento de los retiros anua-les será del 12%.Respuesta: $178.571.429

P = × =$ . .

,$ . .

10 000 000 20

1 12178 571 429

8. El mantenimiento de una represa requiere $20.000.000 anuales durante los primeros 5años de ahí en adelante, esa cantidad se incrementará en un 6% anual. Con el fin degarantizar este mantenimiento, se ha pensado en constituir un fondo en un banco quereconoce el 13% efectivo anual. ¿Cuál será el valor de constitución del Fondo?Respuesta: $234.723.348

K = ($20.000.000) (1,06) = $21.200.000

P′ =−

=121 200 000

0 13 0 06302 857 143

$ . .

, ,$ . .

P`$ . .

,$ . .1 5

302 857 143

1 13164 378 723=

( )=

P2

5

520 000 0001 13 1

1 13 0 1370 344 625= ( ) −

( )

=$ . .,

, ,$ . .

Ptotal = $164.378.723 + $70.344.625P = $234.723.348

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM478

479


9. Un crédito de $30.000.000 se cancelará en 100 cuotas mensuales y vencidas. Cadacuota decrecerá en $1.000 respecto a la anterior. Si la tasa de financiación es del19,5618% efectivo anual, ¿cuál será el valor de las cuotas 1 y 100?Respuesta: $618.647 y $519.647

iapm = (1,195618)1/12

= 0,015

300 000 0001 015 1

1 015 0 015

1 000

0 015

1 015 1

1 015 0 015

100

1 015

100

100

100

100 100. .

,

, ,

.

,

,

, , ,=

( ) −

( )

−( ) −

( )−

( )

K

K = Al = $618.647A100 = $618.647 − (100 − 1) 1.000 = $519.647

10.Resolver el problema anterior pero considerando que cada cuota decrece en el 1% enrelación con la anterior.Respuesta: $817.517 y $302.260

A =+( )

− −

$ . . , ,

,

,

30 000 000 0 01 0 015

11 0 01

1 015

100

A1 = $817.517A100 = $817.517 (1 − 0,01)

99 = $302.260

� CAPÍTULO 6

1. Diseñar un algoritmo matemático que permita establecer el total pagado al final delplazo pactado para cancelar una obligación, la cual se amortiza mediante el sistema degradiante aritmético y creciente.Respuesta:

A n gn n

1

1

2×( ) +

−( )

A1 = A1

A2 = A1 + gA3 = A1 + 2g...An = A1 + (n – 1)g

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM479

480


Total pagado = A1 + A2 + A3 + ……. + An

Total pagado = n (A1) + g + 2g + 3g + ……. + (n – 1)gFactorizando la serie de gradiente:Total pagado = g [1 + 2 + 3 + … + (n – 1)]Se tiene la suma de los términos de una serie aritmética creciente:

SU a n

=+( )2

Sg n n

=−( ) +[ ] −( )1 1 1

2

Sg n n

=−( )[ ]1

2

Total pagado = n A gn n( ) ( ) +

−( )[ ]1

1

2

2. Un crédito de $10.000.000 se cancelará en 5 cuotas mensuales y vencidas; cada cuotase incrementará en $200.000 sobre la anterior. La tasa de financiación es del 2% mensual.Calcular el total pagado y comprobarlo con la suma de las cuotas.Respuesta: $10.647.520

$ . .,

, ,

$ .

,

,

, , ,10 000 000

1 02 1

1 02 0 02

20 000

0 02

1 02 1

1 02 0 02

5

1 02

5

5

5

5 5=

( ) −

( ) ( )

+( ) −

( ) ( )−

( )

K

K = $1.729.504A1 = $1.729.504A2 = $1.929.504A3 = $2.129.504A4 = $2.329.504A5 = $2.529.504

$10.647.520 total pagado

Total pagado = ($1.729.504) (5) + $200.0005 5 1

2

−( )

Total pagado = $8.647.520 + $2.000.000Total pagado = $10.647.520

3. Una persona desea que, al morir, sus bienes sean vendidos y con dicho dinero seconstituya un Fondo que garantice la entrega de un premio anual en forma indefinida.Este premio se debe incrementar anualmente en un 3% sobre el premio del año anterior.

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM480

481


Año Tasa Valor Total Menos Saldointerés interés acumulado premio siguiente

0 $200.000.000

1 0,18 36.000.000 236.000.000 30.000.000 $206.000.000

2 0,18 37.080.000 243.080.000 30.900.000 $212.180.000

3 0,118 38.192.400 250.372.400 31.827.000 $218.545.400

4 0,18 39.338.172 257.883.572 32.781.810 $225.101.762

5 0,18 40.518.317 265.620.079 33.765.264 $231.854.815

Si el valor de los bienes vendidos ascendió a $200.000.000 y la tasa de interés reconocidapor el Banco es del 18% efectiva anual, ¿cuál será el valor del premio para el primeraño y para el año 5?Respuesta: $30.000.000 y $33.765.264

Pk

i g=

−K = P (i – g)K = $200.000.000 (0,18 - 0,03)K = $30.000.000K5 = $30.000.000 (1,03)

4

K5= $33.765.264

4. Con los datos del problema anterior, elaborar una tabla en la cual se indique el valor delos premios anuales durante los primeros 5 años, lo mismo que el valor del Fondo alfinal de cada uno de dichos años.Respuesta:Año 1 $30.000.000 y $206.000.000Año 2 $30.900.000 y $212.180.000Año 3 $31.827.000 y $218.545.400Año 4 $32.781.810 y $225.101.762Año 5 $33.765.264 y $231.854.815

5. Los estudios de un proyecto determinaron que una vez puesto en marcha éste, requeriráde un mantenimiento anual cuyos costos son los siguientes:

Durante los primeros 3 años, los costos serán de $60.000.000 anuales; de ahí enadelante se incrementarán en un 2% anual en forma indefinida. La TRM es del 24% yefectivo anual. Se estima que el proyecto se pondrá en marcha 4 años después de inicia-da la obra.

¿Con qué capital se debe constituir un fondo al iniciar la obra, para que se garanticeel mantenimiento a perpetuidad del proyecto?

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM481

482


Respuesta: $111.995.374

P1

3

360 000 000

1 24 1

1 24 0 24118 878 185=

( ) −

( )

=$ . .,

, ,$ . .

P261 200 000

0 24 0 02278 181 818=

−=$ . .

, ,$ . .

P3 3

278 181 818

1 24145 902 820=

( )=$ . .

,$ . .

Ptotal = $118.878.185 + $145.902.820 = $264.781.005Este es el valor del fondo a la fecha de iniciarse la puesta en marcha del proyecto.

P4 4264 781 005

1 24111 995 374=

( )=$ . .

,$ . .

Con este valor se debe constituir el fondo al iniciarse la ejecución del proyecto.

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM482

483

Bibliografía

ARBOLEDA, Benjamín, Ingeniería económica, segunda edición, 1987.

GÓMEZ CEBALLOS, J. Alberto, Matemáticas financieras, segunda edición, 1983.

TARKIN, Anthony J. y Blank Leland, T., Ingeniería económica, edición revisada, 1983.

PORTUS, Lincolnyan, Matemáticas Financieras, cuarta edición, 1997.

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM483

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM484

485

Índice

AAbonos extraordinarios, 174Acción, 405Activos,

financieros, 403de rentabilidad agregada, 409

con descuento y devaluación, 409con interés en dos tasas distintas,

409, 426con interés y corrección monetaria e

IPC, 409, 428con interés y descuento, 409, 427-428con interés y devaluación, 409con interés y valorización, 409, 429

de rentabilidad fija, 408, 426de rentabilidad simple, 409

con devaluación y descuento, 430con valorización, 425que devengan interés, 409

con liquidación de intereses alvencimiento o fecha deredención, 409

con liquidación de intereses enforma anticipada, 409

con liquidación de intereses enforma vencida, 409

que se negocian a descuento, 409,422-425con IPC, 409con devaluación, 409con valorización, 409

de rentabilidad variable, 408

monetarios, 408otros, 408reales, 408

ADR, 406Alternativa(s):

con vidas útiles iguales, 265con vidas útiles diferentes, 267

Amortización, 170-217planes de, 129

para créditos de vivienda, 221-223sistemas agregados de, 208-218

anualidad durante todo el tiempo y unacuota final, 209-211

anualidad vencida durante todo el tiem-po y cuota decreciente linealmente yanticipada, 211-217

sistemas de, 170sistemas integrados, 171

anualidad creciente geométricamente,202-208

cuota fija durante todo el plazo y abonosextraordinarios periódicos fijos, 198-201

sistemas simples, 171-208cuota periódica creciente

geométricamente, 195-197cuota periódica creciente

linealmente, 191-192, 182-187cuota periódica decreciente

geométricamente, 198cuota periódica decreciente

linealmente, 193-194cuota periódica uniforme, 172-182

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM485

486


cuota única al final del periodo, 172tabla de sistema UPAC y sistema

UVR, 177Análisis de alternativas mediante las tasas de

rendimiento de la inversión inicial y de lainversión extra, 311-314

Anualidades, 85-113anticipadas, 100-103

con cuota al final, 104creciente geométricamente, 150diferidas, 112-113, 132indefinidas, 93-113vencidas, 88-93

BBase de la serie, 123Beneficio(s):

Costo, relación, 310Neto (BN), 307- 310

diferencial, 307Bienes, 63Bolsa de valores, 405-407

operaciones,carrusel, 407de renta fija, 405de renta variable, 405repo, 407swaps, 407

Bonos, 375clases,

con sorteo emitidos a la par, 381-386con sorteo emitidos bajo la par y con

lote, 387-388con sorteo emitidos bajo la par, 386-387emitidos en serie, 388-395precio de un, 377sin sorteo emitidos a la par, 381sin sorteo emitidos bajo la par, 379-381

CCálculo(s):

de la TIR después de impuestos, 356del CAVE, 357-360

del punto de equilibrio, 291con más de dos alternativas, 298

Canasta familiar, 63Capitalización:

anticipada, 50-55continua, 95-103vencida, 47-50

Certificado de reembolso tributario (CERT),405, 422

Comisionista de bolsa, 405Costo(s):

anual uniforme equivalente, 269-274capitalizado, 274-280de capital, 141

Crédito:costo de, 344

Cuota igual anticipada, 100Cuotas anticipadas:

y periodo de pago mayor que el periodo decapitalización, 107-109

y periodo de pago menor que el periodo decapitalización, 105

Cuotas periódicas, 139Cuotas vencidas, 109-112

DDANE, 63Deducción de fórmulas, 47-59Descuento, 21-28

comercial, 22-23compuesto, 24, 25y vencimientos, 18-42, 47, 53, 56, 57

Devaluación, 65, 70cálculo de la, 19, 68

Diagramas económicos, 4-5Dividendo, 406

EEcuaciones de valor, 29-37

evaluación financiera y alternativas de inver-sión, métodos de, 289-330

beneficio neto, 307beneficio neto diferencial, 307

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM486

487

Índice

costo anual uniforme equivalente (CAUE),290

punto de equilibrio, 291

FFlujo de caja, 123Fondo de amortización de salvamento, 269-270

GGradiente, 121, 124

anualidad del, 128aritmético o lineal, 123

diferido, 132escalonado, 139, 140infinito, 134, 141

base del, 140geométrico, 141, 142

Geller, Wolfang, 63

IIndeterminación matemática (límite especial),

94Inflación, 63-66

causas, 64efectos, 65

Interés, 3-18compuesto, 8-11

diferencia con interés simple, 12-15simple, 6-8

diferencia con interés compuesto, 12-15

LL’Hôpital, teorema de, 135Libor, 68Liquidación de intereses sobre saldos mínimos,

105-113liquidez:

primaria, 406secundaria, 407

MMercado:

firme, 407negro, 407ofrecido, 407primario, 406secundario, 406

PPeriodo de capitalización, 8Precio:

de compra, 417-422de registro, 416

Premio de reembolso, 377Prime Rate, 67Principio de equivalencia, 19-42Problema del reemplazo, 303-306

RRecuperación del capital más intereses, 271-273Rentabilidad:

en moneda corriente, 60neta, 60real, 60

en moneda extranjera, 60Rentas asincrónicas, 105-107

SSaldo de la deuda con cuota periódica uniforme,

174-176Series:

decreciente, 126uniforme, 126

Sistemas UPAC y UVR, 218-220comparación entre los, 220-222

Sistema de valor constante, 218-239

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM487

488


TTasa(s):

de actualización social, 307de cambio y de valuaciones cruzadas, 72-76de cesión, 412-416de interés, 45-76, 147, 378

aplicaciones de las, 60-67cálculo de las, 56-59efectiva, 45nominal, 45otras, 67realmente cobrada en un crédito, 225-

238de registro, 411de rendimiento mínima, 261de retorno, 335-373, 378efectiva, 45

anual, 48cálculo de, conocida otra tasa efectiva

periódica, 45, 53interna de retorno (TIR), 337-350

vs valor presente neto, 351-360nominal anual, 48, 49, 52para el comprador, 411

VValor:

de la serie de un gradiente, 124del lote, 377efectivo, 21futuro, 124, 132

de una suma presente, 9nominal, 21, 377presente:

en el punto cero, 124de la serie, 127de salvamento, 270

de una suma futura, 10neto, 378

Vencimiento, 25-28común, 26-28medio, 25-26

Apéndice B 1/20/06, 11:07 AM488

incluye cd - diode.com.mx

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