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En la web dispone de ejercicios con los que reforzar y ampliar los contenidos.

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Inclusión y atención a la diversidad– Lo fundamental de la unidad

Esquema incompleto de los contenidos de la unidad

– Fichas de trabajo A

– Fichas de trabajo B

– Soluciones de las fichas de trabajo

INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDADÁrea

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NÚMEROS NATURALES, ENTEROS Y DECIMALES

Operaciones combinadas

En las expresiones con operaciones combinadas hemos de atender:

•Primeroalosparéntesis. (–12)+(–4)·[(6–21):(–3)–(+8)]=

•Despuésalasmultiplicacionesydivisiones. =……………………………………………………=

•Porúltimo,alassumasyrestas. =……………………………………………………

NÚMEROS DECIMALES

Lo fundamental de la unidad

Nombre y apellidos: .................................................................................................................................................................................................................................................

Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................1

NÚMEROS NATURALES

Divisibilidad

Descomposiciónenfactoresprimos:

630

315

105

35

7

1

2

3

3

5

7

630=…………

Cálculo del mínimo común múltiplo

1. Se descomponen los números en factores pri-mos.

2. Setomanlosfactores..........................................

............................................................................

90=2·32·5

105=3·5·7

mín.c.m.(90,105)=………

Suma, resta y multiplicación

2,3+0,45=….

2,75–2,3=…..

12,4·0,75=….

Tipos de números decimales

...

……

,2 45ExactosPeriódicos purosPeriódicos mixtos

Ej.:Ej.:……Ej.:……

Números…………

_

`

a

bb

bb

…No periódicos coninfinitas cifras. Ej.:……

Números…………

4

NÚMEROS ENTEROS

Suma y resta

•Alquitarunparéntesisprecedidodelsigno+,se..

................................................................................

•Alquitarunparéntesisprecedidodelsigno–,se...

................................................................................

11+(3–7)–(5–3+6)=.......................................

................................................................................

Producto y cociente

Regladelossignos

(+)·(+)=(+) (+)·(–)=(…)

(–)·(–)=(+) (–)·(+)=(…)

(+3)·(+2)=(……) (+7)·(–3)=(–21)

(–5)·(–4)=(+20) (–6)·(+5)=(……)

División

Sisemultiplicaneldividendoyeldivisorporelmis-monúmero,elcociente……………….

4,97:3,5←…………→49,7:35

4,97:3,5=…………………

Redondeo

En una cantidad obtenida mediante redondeo, elerrorabsolutoesmenorquemediaunidaddel…….

…………………………………………………………….

2,56666→redondeoalascentésimas:2,57

Error<5………..

INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDADÁrea fotocopiable

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PRACTICA

1. Completalacasillavacía,detodaslasformasqueseaposible,encadacaso,paraqueelnú-meroresultantedetrescifrassea:

3 7 …

a)Múltiplode3 b)Múltiplode5 c)Múltiplode7 d)Múltiplode11

2. Descompónenfactoresprimoslosnúmeros63,72,84y504.

3. Calcula:

a)mín.c.m.(20,30) b)mín.c.m.(63,84) c)mín.c.m.(63,72,84)

4. Calcula:

a)12–3·[(9–13)–(3–5)]

b)2–2·[(–3)·(+6)–(–23)]

c)7–30:[15:(6–11)+(–7)]

d)(4–7)2+(7–9)3–(–2)4

e)(3–7)2–(8–11)3+(2–4)5

5. Calcula:

a)8,61–(3,6–1,35):0,25 b)0,45·3,2–6·(2–1,9)

6. Clasificaestosnúmerosdecimales:

a)2,626262… b)0,007 c) 3 =1,7320508… d)0,45555…

7. ¿Quépuedesdecirdelerrorcometidoencadaredondeo?

a)1,3333→Redondeo:1,3 b)6,827512→Redondeo:2,83

Error<……........................ Error<…….......................

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................1


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Nombre y apellidos: ...................................................................................................................................................................................................................................................................

1. Unsupermercadodegransuperficie haceunpedidode1800botellinesy2000botesderefrescodenaranja.

Latablainformadelasexistenciasactualesdelalmacén:

cajas botellín 250 ml

packs bote 33 cl

packs botella 1,5 l

naranja 286 196 100

limón 150 172 87

cola 325 490 204

a)¿Haysuficientesexistenciasparaservirelpedido?

b)¿Cuántoydequésobraofalta?

2. ¿Cuáldelostresformatos(cajadebotellines,packdebotesopackdebotellas)contienema-yorcantidadderefresco?¿Ymenos?

3. Completa esta tabla de precios:

botellines 250 ml

botes 33 cl

botellas 1,5 l

coste caja o pack 6 € 3,3€ 6 €

coste unidad

precio litro

a)¿Enquéformatosalenmásbaratoslosrefrescos?

b)¿Quépreciohascompletadodeformaaproximada?¿Aquéordendeunidadeslohasapro-ximado?

4. Enunpalésehanapiladocajasdebotellinesdecolayenotro,allado,sehanapiladopacksdebotesdelmismosabor,alcanzandoamboslamismaaltura.

Laalturadeunacajaesde25cmyladeunpack,15cm.Sabiendoquelabasedelpalétieneungrosorde13cm,¿quépuedesdecirdelaalturadelconjunto?

APLICA. COMPRA DE REFRESCOS

Unalmacénmayoristaderefrescoscomercializasusproductosentresformatos:

—Botellinesde250mililitros,envasadosencajasde24unidades.

—Botesde33centilitros,envasadosenpacksde10unidades.

—Botellasdelitroymedio,envasadasenpacksde6unidades.


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Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................1

PRACTICA

1. Completalacasillavacía,detodaslasformasqueseaposible,encadacaso,paraqueelnú-meroresultantedetrescifrassea:

3 … …

a)Múltiplode25 b)Múltiplode33 c)Múltiplode65 d)Múltiplode125

2. Descompónenfactoresprimoslosnúmeros84,210,252y360.

3. Calcula:

a)mín.c.m.(84,252) b)mín.c.m.(210,252,360)

4. Calcula:

a)(–24)–(+3)·(–5)+(–4)·(1–8)

b)[(13–11)–(10–15)]–[(–12)–(–19)]

c) [(5–15)–(9–4)]:[(2–11)+14)]

d)[(20–8):(18–21)]·[(17–2):(–3)]

e)(4–10)3 : 62–44:(7–3)2

f ) [(3–5)3+6]2·[(5–8)2–7]2

5. Escribe:

a)Undecimalexacto,comprendidoentre1,72y1,73.

b)Undecimalperiódicopuro,comprendidoentre0,04y0,05.

c)Undecimalperiódicomixtocomprendidoentre2,333y2,334.

6. Teniendoencuentaque 7 =2,6457513…

a)Escribeunaaproximaciónde 5 conerrormenorquecincodiezmilésimas.

b)¿Quépuedesdecirdelerrorcometidoaldarlaaproximación 5≈2,24?

7. Calculayaproximaalascentésimas:

a)2,34·0,12+5,73:0,07

b)(6,08+3,257)·0,25–(7–4,885):2,25


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1. Calcula:

a)¿Cuántosbotellines,botesybotellashayenelalmacénenestosmomentos?

b)¿Cuántoslitrossuponenesasexistencias?

2. Unempleadohacolocadoenunpalévariascajasdebotellinesyvariospacksdebotes.Entotalsonmenosde20bultos,perohayelmismonúmerodebotesquedebotellines.¿Cuántascajasycuántospacksvanenelpalé?

3. Elpackdebotellasgrandessevendea6€.

a)¿Acómosaleellitroderefrescoenesetipodeenvase?Expresaelresultadocondoscifrasdecimales.

b)¿Quépuedesdecirdelerrorcometidoenlarespuestaanterior?

4. Elrefresco,envasadoenbotesoenbotellines,salea1€/litro.

a)¿Cuántocuestaunacajade24botellines?

b)¿Cuántocuestaunpackde10botes?

5. Elalmacénhaceunarebajadeun5%enlosbotellinessilaventasuperalas50cajas,ydeun10%enlosbotes,silaventasuperalos100packs.Unsupermercadodegransuperficiehaceunpedidode300botellinesdecolanormal,200denaranjay100delimón,yeldobledebotesdeesosmismossabores.

a)¿Cuántolecostaránlosrefrescosenvasadosenbotellines?

b)Ylosenvasadosenbotes?

c)Escribeunaexpresiónquereflejeelimportetotaldelafacturaycalculaelresultado.


Estatablarecogelasexistenciasactualesdeunalmacénmayoristaderefrescos:

cajas botellín 250 ml

packs bote 33 cl

packs botella 1,5 l

naranja 286 196 100

limón 150 172 87

cola 325 490 204

cola ligth 99 105 56

gaseosa — — 160

Todoslossaboressecomercializanentresformatos:

—Botellinesde250mililitros,envasadosencajasde24unidades.

—Botesde33centilitros,envasadosenpacksde10unidades.

Botellasdelitroymedio,envasadasenpacksde6unidades.


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Unidad 1

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a)372-375-378 b)370-375

c)371-378 d)374

2. 63=32·7;72=23·32;84=22·3·7; 504=23·32·7

3. a)mín.c.m.(20,30)=60

b)mín.c.m.(63,84)=252

c)mín.c.m.(63,72,84)=504

4. a)18b)–8c)10d)–15e)11

5. a)8,61–(3,6–1,35):0,25=–0,39

b)0,45·3,2–6·(2–1,9)=0,84

6. a)Númeroracional,periódicopuro.

b)Númeroracional,decimalexacto.

c)Númeroirracional.

d)Númeroracional,periódicomixto.

7. a)Error<5centésimas(0,05)

b)Error<5milésimas(0,005)


1. a)Nohayexistenciassuficientes.

b)Sobran286–1800:24=211cajasdebotelli-nes.Faltan2000:10–196=4packsdebotes.

2. Packdebotes,3,3litros<Cajadebotellines,6 li-tros<Packdebotellas,9litros.

3. botellines 250 ml

botes 33 cl

botellas 1,5 l

coste caja o pack 6 € 3,3€ 6 €coste unidad 0,25€ 0,33€ 1€precio litro 1€ 1€ 0,67€

a)Salenmásbaratosenbotellasde1,5litros.

b)Enbotellas,elrefrescosalea0,6666…€/l.Aldar el resultado0,67 seha aproximadoa loscéntimosdeeuro(alascentésimas).

4. mín.c.m.(15,25)=75.Laalturadelconjuntoseráde13+75=88cm,ode13+75·2=163cm.Noparece razonablequeseade13+75 ·3== 238 cmomayor.

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. a)325-350-375 b)3330-363-396

c)325-390 d)375

2. 72=23·32;82=22·3·7;210=2·3·5·7; 252=22·32·7;360=23·32·5

3. a)mín.c.m.(84,252)=252

b)mín.c.m.(210,252,360)=2520

4. a)19b)0c)–3d)20e)–10f )16

5. a)Porejemplo,1,725.

b)Porejemplo,1,040404…

c)Porejemplo,2,3388888…

6. a)2,646

b)Elerrorcometidoesmenorquecincomilésimas.

7. a)82,14 b)1,39


1. a)(286+150+325+99)·24=20640botellines

(196+172+490+105)·10=9630botes

100+87+204+56+160)·6=3642botellasde1,5litros

b)20640 · 0,25 + 9630 · 0,33 + 3642 · 1,5 == 13800,9litros≈13800litros

2. 120 botellines y otros tantos botes: 5 cajas y12 packs.

3. a)0,67€/litro.

b)Elerrorcometidoesmenorquemediocéntimo(error<0,005€).

4. a)6€ b)3,3€

5. a)Son25cajas,quenotienenrebajaycostarán150€.

b)120packs.Tienenrebaja.Costarán356,40 €.

c)600·(6:24)+(1200–1200:10)·(3,3:10)== 506,40€

600·0,25+(1200–1200:10)·0,33=506,40€ (600:24)·6+[(1200:10)–(1200:10):10]·

· 3,3=506,40€

Soluciones de las fichas de trabajo, de Inclusión y atención a la diversidad


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FRACCIONES

FRACCIONES (Y NÚMEROS RACIONALES)

Unnúmeroquesepuedeponerenformade……………………,ba ,esunnúmeroracional.

PASO DE FORMA FRACCIONARIA A FORMA DECIMAL

•312 =12:3=4→Número………………………… •

114 =4:11=0,36

$ →………………………………

•45 =5:4=1,25→Númerodecimalexacto •

3038 =38:30=1,26

! →………………………………

PASO DE FORMA FRACCIONARIA A FORMA DECIMAL

•Periódico puro: N=0,36$

•Periódico mixto: N=1,26!

100N= 36,363636… 100N= 126,6666…

–N= –0,363636… –10N= –12,666…

99 N=………………→ N= ……

…… ………= ………………→ N= …

………

LA FRACCIÓN COMO OPERADOR

•83 de152=(152:8)·3=……… •

83 de x=57→ x=(57:3)·8=………

FRACCIONES EQUIVALENTES

•Dosfraccionessonequivalentescuandorepresentanalmismonúmero……………….

•Losproductoscruzadosdedosfraccionesequivalentesson……..….…→ ·ba

dc → a·d=…·…

•Parasimplificarunafracciónse………………elnumeradoryel…………………porelmismo…………………

:…:

……

8436 12

8436 = = →fracciónirreducible

FRACCIONES EQUIVALENTES

•Parareducirfraccionesacomúndenominador,estassesustituyenporotrasequivalentescondenominadorigualal………………………………………………múltiplodelosdenominadores.

; ;61

85

32 ;mín.c.m.(6,8,3)=24→ ; ;

·6 41 4

85 3

32

··

…·

·…·… → ; ;…

244

24 24…

OPERACIONES CON FRACCIONES



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................2

Suma y resta

•Se reducen las fracciones a…………………denominador.

53

32 9

… ……

……= + =+

Producto

···

ba

dc

b da c=

·53

32

……

……= =

Cociente

:ba

dc

ba

cd··=

53

32· …

…=


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Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................2

PRACTICA

1. Expresacomofracciónycomonúmerodecimallapartecoloreadadecadafigura:

A B C

2. Completacadacasillaconunafracciónirreducible.

número decimal 0,12 0,4 0,6!

1 1,10 1,3!

1,25

fracción irreducible

3. Calculaycompleta.

a)32 de237 b)

32 de……=86

c)1011 de35 d)

1011 de……=22

4. Calculaysimplificalosresultados.

a)51

31

61

61

107

53– – –+ +e eo o

b)2 132

65

21– –+ +e eo o

c)61 1 7

95

94

6 35– – – –+e c eo m o

5. Calculaysimplificalosresultados.

a) ·52

75

2113– +

b) :15 7

2143–e o

6. Deunacubade900litrosdevino,1/3desucontenidoseenvasaenbotellasde2/5delitro.Delresto,lamitadseenvasaenbotellasde3/4delitro,ylaotramitad,enbotellasde1/2litro.¿Cuántasbotellasnecesitaremosdecadaclase?


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1. Elnúmerodeordenadoresenelpedidoesdeunacentena.Elnúmerodetabletasesigualaloscuatroquintosdelnúmerodeordenadoresyalosdosterciosdelnúmerodetelevisores.

a)¿Cuántosaparatosdecadaclasesehanadquirido?

b)¿Quéfraccióndelnúmerototaldeaparatoscorrespondeacadapartida?

2. Elcostedelapartidadetelevisoressupone3/5deltotaldelafactura,yeldelastabletas,1/10delamisma.

a)¿Quéfraccióndelafacturasuponelapartidadelosordenadores?

b)Sabiendoquelatiendapaga300€porcadaordenador,¿cuáleselimportetotaldelafac-tura?

c)¿Cuántocuestalapartidadetabletas?

d)¿Cuántocuestacadatelevisor?

3. Sumandocostes,impuestosymargendebeneficio,cadaartículosalealaventaporunpreciosuperiorenun25%alpreciodecompra.

a)¿Quéfraccióndelpreciodecompraesigualalpreciodeventa?

b)¿Cuálesseránlospreciosdeventadeesosartículos?

APLICA. ORDENADORES, TABLETAS Y TELEVISORES

La cadena electrostarcompraaundistribuidorunapartidadeordenadores,tabletaselec-trónicasytelevisoresTDT.


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Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................2

PRACTICA

1. Expresacomofracciónlapartecoloreadadecadafigura.

A B C

2. ¿Quéfracciónirreducibleseasociaacadabarracoloreada?

A

1 2 3 4

BC

D

3. Calcula.

a) 141

61

83 – – +c m> H

b)32 1

72 1

31

74– – – – +c em o> H

4. Calcula el resultadode estas operaciones, expresandoprimero cada términoen formadefracción:

a) , ,0 2151 0 6

53–+ +c em o

!

b) , : ,31 0 4 0 24

152– –e eo o

!

5. Antoniotieneunadeuda:acuerdapagar1/3deellaeneneroy1/3delrestoenfebrero.Deloquequeda,lamitadlapagaráenmarzoylaotramitad,queson200euros,lapagaráenabril.¿AcuántoasciendeladeudadeAntonio?


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1. ¿Quéfraccióndelasuperficiedelparqueestádestinadaacadazona?

2. ¿Quésuperficieocuparáelcésped?¿Ylasflores?

3. Delazonadestinadaaflores,lacuartapartesevaadedicarageranios,dosterciosdelresto,arosales,yloquequeda,aclaveles.

a)¿Quéfraccióndeestazonaocuparánlosrosales?¿Ylosclaveles?

b)¿Cuántosmetroscuadradosocuparánlosclaveles?

4. Unavezacondicionadoydelimitadoelterreno,seencargaráaunaempresadejardineríalaimplantacióndelcéspedydelasflores,ylacoberturadelaszonasdearena.

Latercerapartedelpresupuestoprevistoparaestostrabajoscorrespondealaimplantacióndelcésped,ylosdosquintosdelmismoalacondicionamientodelazonadeflores.Elresto,queasciendea8000€,correspondealacoberturadelaszonasdearena.

¿Cuáleselimportetotaldelpresupuestopresentadoporlaempresadejardinería?

APLICA. DISEÑANDO UN PARQUE

EnelbarriodeÁgatasevaaconstruirunnuevoparque,cuyodiseñoquedareflejadoeneste plano:

360 m

CÉSPED

FLORES

ARENA


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Unidad 2

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. A=3614

187= B=

3618

21= C=

3614

187=

2. número decimal

0,12 0,4 0,6!

1 1,10 1,3!

1,25

fracción irreducible 25

352

32

11

1011

34

45

3. a)182b)129c)38,5d)20

4. a)101 b)

32 c)–

32

5. a) 13 b)

52–

6. Necesitaremos750botellasde2/5de litro,400de3/4delitroy600de1/2delitro.

APLICA. ORDENADORES, TABLETAS Y TELEVISORES

1. a)Ordenadores:150;tabletas:120;televisores:180

b)Ordenadores:1/3;tabletas:4/15;televisores:2/5

2. a)Lapartidadelosordenadoressuponelos3/10deltotaldelafactura.

b)Lafacturasubea150000€.

c)Lastabletascuestan15000€.

d)Cadatelevisorcuesta500€.

3. a)Elpreciodeventaesigualalos5/4delpreciodecompra.

b)Losordenadoressevenderána375€; lasta-bletas,a156,25€,ylostelevisores,a625€.

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. A=3618

21=

B=36

194

=

C=,

3616 5

7233

2411= =

2. A=25 B= 2

1C=

56 D=

107

3. a)245 b)

71–

4. a)51 b)

53–

5. Ladeudaasciendea900euros.

APLICA. DISEÑANDO UN PARQUE

1. Césped:1/6;Flores:7/36;Arena:23/36

2. Césped:9600m2;Flores:11200m2

3. a)Rosales:1/2delazonadelasflores; Claveles:1/4delazonadelasflores

b)Losclavelesocuparán2800m2.

4. El importe total del presupuesto asciende a30000€.



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88

POTENCIAS Y RAÍCES

POTENCIAS. PROPIEDADES

1. an·am=an+m 2. (a·b)n=…… 3. (am )n=……

4. aa

n

m=…… 5.

ba nc m =……

ejemplos:

a3·a5=……aa5

8=…… (a3)5=……

POTENCIAS DE EXPONENTE CERO O NEGATIVO

6. a0=1(cona≠0) 7. a –n=aa11 n

n=c m 8. ba

ab

abn n

n

n–= =c cm m

ejemplos:

50=…… 2–3= …1 1

2

3–c m =…… …

…32

1–

=e o

POTENCIAS DE BASE 10

10n=100………………010–n=0,00………………01 n ceros ncifrasdecimales

ejemplos:

102=100 105=100000 10–2=0,01 10–5=0,00001

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO

309608=3·105+9·103+6·102+80,5038=5·10–1+3·10–3+8·10–4

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Para números muy grandes

257400000=2,574·108

Para números muy pequeños

0,00000582=5,82·10–6

RAÍCES EXACTAS

Si a=bn,entonces an =b

ejemplos:

814 =……,porque…………………………813 =……,porque…………………………



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................3


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89

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................3

PRACTICA

1. Calcula.

a)80 b)(–2)3 c)–32 d)(–5)2

e)8–1 f ) 2–3 g)(–5)–2 h)–3–2

2. Expresacomounapotenciadebase10:

a)Cienmil b)Diezmillones c)Unbillón

d)Unadécima e)Diezmilésimas f) Unabillonésima

3. Completa:

a)7·104+8·103+6·102+2=……………

b)3·10–1+5·10–2+2·10–3=……………

c)………………………………………………………=7025,38

4. Reduceyexpresacomopotenciaúnicaelresultadodeestasoperaciones:

a) ·2

2 26

3 5 b)

( )33

5

4 2 c) (2·3)4·

·2 31

2

2e o

5. Expresaestascantidadesennotacióncientífica:

a)320000 b)2500millones c)43millonésimas

6. Calcula:

a) 325 b) 5123 c) 16900

d)2783 e)

12817 f)

625164


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1. Comosabes, laTierra formapartedeunsistemaplanetario,elSistemaSolar,yeste formapartedeunagalaxia,laVíaLáctea.Puesbien,secalculaqueenlaVíaLácteahay,aproxima-damente,1,2·1011estrellas.

Sipudieses,podríasempezarahoraacontarlas:cadasegundo,unaestrella.¿Cuántosañostardarías(calcula,primeramente,cuántossegundostieneunaño)?

2. Unañoluzesunadistancia,laquerecorrelaluzenunaño:9,46·1012km.LaVíaLácteatieneundiámetrode2·105añosluz.¿Cuántoskilómetrosson?

3. Laluzrecorre300000kmenunsegundo.¿Cuántossegundostardalaluzenrecorrerunkiló-metro?

4. LaTierrayelSoldistan,comosabes,150millonesdekilómetros.

¿CuántotiempohacequepartiódelSollaluzqueestárecibiendolaTierraenesteinstante?

5. EntrelaLunaylaTierrahayunadistanciamediaaproximadade3,84·105km.

Imaginaquequisiésemossalvaresadistanciacolocandovirus,unotrasotro,yqueelegimosunvirusdelagripedeundiámetrode2,2·10–9m.¿Cuántosdeesosvirusnecesitaríamos?

6. Unaballenaazul,elanimalmásgrandesobrelaTierra,puedealcanzarunpesode200tonela-das,2·105kg.LamasadelaTierraes5,9736·1024kg.

¿Cuántasdeestasballenasazulesseríannecesariasparaigualarlamasadenuestroplaneta?

APLICA. NÚMEROS GRANDES, PEQUEÑOS NÚMEROS


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Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................3

PRACTICA

1. Calcula.

a)51 0c m b)

( )51– 2

c) 12

–3

c m d)– 12

4c m

e) 14

1–c m f ) 1

2– 3–c m g)

34

2–e o h)

( )23–

2

1

–

–

2. Completaenelprimercasoconelnúmero,yenelsegundo,conladescomposiciónpolinó-mica:

a)3·103+8·102+5·100+7·10–1+9·10–2=………………

b)………………………………………………………=25,038

3. Reduceyexpresacomopotenciaúnicaelresultadodeestasoperaciones:

a)( )·

aa a

2 3

3 5 b) x

1 2c m : x –3 c) a a

1·53 1–

c m> H ·a 4

4. Calcula.

a)25·4–2 b)633

4 c)

( ) ··

2 510 52 2 6

3 2

5. Calcula.

a)(3,6·1011)·(4,75·10–3) b)(28,6·104):(4,46·1012)

6. Ciertabacteriatieneunalongitudde3billonésimasdecentímetro,ylalongituddecadaunodesuscilios(1)esunacentésimapartedeladesucuerpo.Usalanotacióncientíficaparaex-presareltamañodecadacilio.

(1)Cilio:Filamentovibrátildeunabacteria.

7. Reduce.

a) 3 2 4 2 6 2–+ b) ·3 12 c) ·3 33

` j


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1. Teniendoencuentaquelaluzviajaa300000kmporsegundo,expresaennotacióncientífica:

a)Losmetrosquerecorrelaluzenunamillonésimadesegundo.

b)Loskilómetrosquerecorrelaluzenunaño.

2. Supongamosqueelserhumanoconstruyeseunanavequefuesecapazdeviajaraunaveloci-dadde300000km/h.Expresautilizandolanotacióncientífica:

a)Losmetrosquerecorreríaesanaveenunsegundo.

b)Loskilómetrosquerecorreríaesanaveenunaño.

3. Hagamosconlanaveunaexcursiónporelcieloestrellado:

1.ªetapa:TIERRA–CENTAURUS

2.ªetapa:CENTAURUS–RÉGULUS

3.ªetapa:RÉGULUS–TIERRA

Hazunaestimación:valora,deformaaproximada,laduracióndelviaje(usatucalculadoraylanotacióncientífica).

APLICA. VIAJE A LAS CONSTELACIONES

Mirandohaciaelsur,enprimavera,podemosver,entreotras,lassiguientesconstelaciones:

•CENTAURUS(sobreelhorizonte),consuestrellaα-Centauro,queestáa4,3añosluz.

•LEO,consuestrellaRégulus,a85añosluz.


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Unidad 3

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a)1 b)–8

c)–9 d)25

e)81 f )

81

g)251 h)–

91

2. a)105 b)107 c)1012

d)10–1 e)10–2 f ) 10–12

3. a)78602

b)0,352

c) (7·103+2·10+5+3·10–1+8·10–2)

4. a)22 b)3–3 c)22

5. a)3,2·105

b)2,5·109

c)4,3·10–5

6. a)2 b)8 c)130

d)32 e) 1

2 f )

52

APLICA. NÚMEROS GRANDES, PEQUEÑOS NÚMEROS

1. 1año=3,15·107segundos.Senecesitaríanunos3800años.

2. Son1,892·1018km(¡cercade2trillonesdekiló-metros!).

3. Tarda3,3 · 10–6 segundos (3,3millonésimasdesegundo).

4. 500segundos=8,3!minutos

5. Necesitaríamos1,745·1017virus.

6. Serían necesarias 2,9868 · 1019 ballenas azules(¡casi30trillonesdeellas!).

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. a)1 b) 15

c)–81 d)– 1

16

e)4 f ) –8

g)169 h)–

34

2. a)3805,79

b)2·10+5·100+3·10–2+8·10–3

3. a)a2 b)x c)a2

4. a)2 b)83 c) 1

10

5. a)1,71·109 b)6,41·10–8

6. Longituddeuncilio:3·10–14

7. a) 2 b)6 c)9

APLICA. VIAJE A LAS CONSTELACIONES

1. a)(300000·103):106=300m

b)300000·3600·24·365=9,4·1012km

2. a)(300000·1000):3600=8,33·104 m

b)300000·24·365=2,6·109km

3. Aproximadamente,(4,3+85)·2=178,6añosluz

(178,6·9,4·1012):(2,6·109)=6,457·105años(¡unos650000años!)



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PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

PROPORCIONALIDAD SIMPLE

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

•Almultiplicaruna(doble,triple,…),laotrase……

…………………………………………………………..

•Aldividiruna(mitad,tercio,…),laotrase…………

…………………………………………………………..

ejemplo:

Coste del aceite

cantidad (l ) 1 2 3 5 10

coste (€) 3,50 7 … … …

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

•Almultiplicaruna(doble,triple,…),laotrase……

…………………………………………………………..

•Aldividiruna(mitad,tercio,…),laotrase…………

…………………………………………………………..

ejemplo:

N.ºdebolsasquesellenancon100kgdenaranjas

kg/bolsa 1 2 4 5 10

n.º de bolsas 100 50 … … …

PROPORCIONALID COMPUESTA

•Condos bolsas de pienso se alimenta a tresgatosdurante20días.

•Conuna bolsa de pienso se alimenta a ungatodurante……días.

•Contres bolsas de pienso se alimenta a cincogatosdurante……días.

P.D.

BOLSAS

23

GATOS

35

DÍAS

20x

P.I.

·… …x3 320= → x=……

PORCENTAJES

•Parahallaruntantoporcientodeunacantidad,semultiplicalacantidadpor...................................................

………………………………………………………………………………………………………………………………..

a%→ a:100(númerodecimal)

Cálculo de la parte

12%de37512%de375=375·0,12=…….

Cálculo del total

12%dex=45x=45:0,12=………

Cálculo del %

x%de375=45

x=45:375=………%

AUMENTOS PORCENTUALES

•Paraaumentarunacantidadenuna%secalculael(100+a)%.

ejemplo:Aumentar280enun15%.Secalculael(100+15)%.115%de280=…………

DISMINUCIONES PORCENTUALES

•Paradisminuirunacantidadenuna%secalculael(100–a)%.

ejemplo: Disminuir280enun15%.

Secalculael(100–15)%.

Disminuirenun15%escalcularel…………

85%de280=…………



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................4


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Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................4

PRACTICA

1. Andrés(A)tiene48años,Berta(B),32años,Concha(C),30años,yDavid(D),28años.

a)¿CuáleslarazóndelasedadesdeBertayAndrés?

b)¿Dequiéneshablamossidecimosquesusedadesestánenrazónde5a8?

c)¿Paraquéparejalarazóndelasedadesesmáspróximaalaunidad?

2. Calculaxencadacaso.

a) x2665 25= b) x

2112177= c) x

102 11991=

3. Completalastablasdevalores.

a)Unciclistaavanzaavelocidadconstante.

tiempo (min) 5 1 3 10 60

distancia (m) 200

b)Distintosvehículosrecorrenladistanciaentredospoblaciones.

velocidad (km/h) 80 20 10 30 60

tiempo (min) 6

4. Untallerdeconfección,trabajandoenjornadasde8horas,fabrica2000camisetasen5días.¿Cuántascamisetasfabricaráen3días,trabajandojornadasde10horas?

5. Completaconunafracción.

a)50%→……… b)25%→……… c)75%→………

d)10%→……… e)20%→……… f) 30%→………

6. Calculayresponde.

a)¿Cuálesel16%de340euros?

b)El20%deunnúmeroes30.¿Cuáleselnúmero?

c)Delos80aspirantesaunpuestodetrabajo,hanaceptadoa60.¿Quéporcentajehaconse-guidoelpuesto?

d)Uncamión,cargado,haceunviajeaunavelocidadmediade60km/h,yregresa,descarga-do,un20%másrápido.¿Cuáleslavelocidadmediaenelviajedevuelta?


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1. ¿Cuántossacoshabríanecesitadoenesemismotiempo(60días),sihubieratenido40vacasmás?¿Ysihubieratenido15vacasmenos?

2. ¿Cuántosdíascompletoslehabríanduradoesos450sacos,sihubieratenido40vacasmás?¿Ysihubieransido15vacasmenos?

3. Durantelaprimaverapasada,el20%delasvacastuvieronunterneroounaternera.

a)¿Cuántosternerosyternerasnacieronenprimavera?

b)Sientrelascríassecontaron24terneros,¿quéporcentajedelascríasfueronhembras?

4. Elgranjerotieneprevistoaumentarenun10%elnúmerodevacasdesucabaña.Paraellosequedaráconalgunasternerasnacidas,pararecría,yvenderáelresto,asícomotodoslosterneros.

¿Cuántasternerasvenderáycuántassequedarápararecría?

5. Alcabodeunaño, las ternerasde recríaconsumirán tantopiensocomo lasvacasadultas.¿Cuántossacosdepiensonecesitaráelgranjeroalasemanaenesemomento?

APLICA. CABAÑA DE VACAS

Unganaderotieneenelalmacén450sacosdepienso,conlosquecalculaquealimentaráasus300vacasdurante60días.


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Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................4

PRACTICA

1. Reflexionaycontesta.

a)Enuncursodeyogaparticipan15hombresy35mujeres.¿Cuáleslarazónentreelnúmerodeindividuosdeambossexos?

b)LasedadesdeAdela yRobertoestánen razóndecuatroa cinco.Adela tiene32años.¿CuántostieneRoberto?

c)Enunrebañohaydoscabrasporcada7ovejas.Silasovejasson203,¿cuántassonlasca-bras?

2. Completalastablasdevalores.

a)LasmagnitudesAyBsondirectamenteproporcionales.

a 1 2 3 6 8 10

b 9

b)LasmagnitudesAyBsoninversamenteproporcionales.

a 1 2 3 6 8 10

b 9

3. Untallerdeconfección,trabajandoenjornadasde8horas,fabrica2000camisetasen5días.¿Cuántashorasdiariasnecesitatrabajarparaservirentresdíasunpedidode1500camisetas?

4. Completa.

0,9 % 80

fracción251

207

2019

n.º decimal 0,075 0,999

5. Calculayresponde.

a)¿Cuálesel7,5%de640euros?

b)El22%deunnúmeroes16,5.¿Cuáleselnúmero?

c)Aunconcurso-oposiciónsepresentan187aspirantesyaprueban34.¿Cuáleselporcentajedeaprobados?

d)Enciertapanadería,unabarradepanhasubidoun4%yahoracuesta1,30€.¿Cuántocostabaantesdelasubida?


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1. Calculaycontesta:

a)¿Cuántotardaríancincovolquetesenmoverlamismacantidaddetierrahastalaescombre-ra?

b)¿Quécantidaddetierramoveríanesoscincovolquetesenlajornadade8horas?

c)¿Cuántosmetroscúbicosmoveríanesoscincovolquetesenunajornadade10horas?

2. Ladireccióndelaobra,trasprobarconcincocamiones,trabajandoenjornadasde10horas,decidequeeltrabajonoavanzaaúnconsuficienteceleridadyquenecesitanaumentarelrit-modeltransportedetierraenun20%.

Piensaendosmanerasdeconseguirlo.

3. Simultáneamente,enlaconstruccióndelamismaautopista,seabreotrotajo,enelpuntoB,queestáa1,5kilómetrosdelaescombrera,yporunterrenomásangosto.

Desdeallí,tresvolquetes,enunajornadade8horas,solomueven135m3detierra.

a)¿EnquéporcentajeesmayorelrecorridodeloscamionesdesdeelpuntoBrespectoalosquetrabajanenelpuntoA?

b)¿Enquéporcentajedisminuyesurendimiento?

APLICA. OBRAS Y VOLQUETES

Durantelaconstruccióndeunaautopista,trescamionesvolquete,enunajornadade8 ho-ras,consiguentransportar204m3detierradesdeeltajo,enelpuntoA,hastalaescombre-ra,queestáaunadistanciade1,2km.


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Unidad 4

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a)LasedadesdeBertayAndrésestánenrazónde2a3(2/3).

b)HablamosdeConchayAndrés.

c)ParalaparejaC/D=14/15

2. a)x=10 b)x=33 c)x=78

3. a)

tiempo (min) 5 1 3 10 60

distancia (m) 200 40 120 400 2400

b)

velocidad (km/h) 80 20 10 30 60

tiempo (min) 6 24 48 16 8

4. Fabricará1500camisetas.

5. a)21 b)

41 c) 3

4

d)101 e)

51 f ) 3

10

6. a)54,4 b)150

c)Elpuestolohaconseguidoel75%delosaspi-rantes.

d)Lavelocidadmediaesde72km/h.

APLICA. CABAÑA DE VACAS

1. Con60vacasmáshabríanecesitado510sacos,ycon15vacasmenos,428sacos(lesobraríamediosaco).

2. Con40vacasmáslehabríandurado52días(casi53),ycon15vacasmenos,63días.

3. a)Nacieron60ternerosyterneras.

b)El60%fueronhembras.

4. Sonentotal36terneras.Deberáretener30pararecríayvender6.

5. Necesitará346,5sacos.

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. a)Loshombresylasmujeresestánenlarazónde3a7(3/7).

b)Robertotiene40años.

c)Lascabrasson58.

2. a)

a 1 2 3 6 8 10

b 1,5 3 4,5 9 12 15

b)

a 1 2 3 6 8 10

b 54 27 18 9 6,75 5,4

3. Necesitatrabajar10horascadadía.

4. 0,9 % 4 % 7,5 % 35 % 80 95 99,9 %

fracción1000

9251

403

207

54

2019

100999

número decimal

0,009 0,04 0,075 0,35 0,8 0,95 0,999

5. a)48

b)Elnúmeroesel75.

c)Aprueba,aproximadamente,un18,2%.

d)Antesdelasubidacostaba1,25€.

APLICA. OBRAS Y VOLQUETES

1. a)Tardarían4horasy48minutos.

b)Moverían340m3.

c)Moverían425m3.

2. Respuestaabierta.Porejemplo,puedenponeruncamiónmás,oaumentarendoshoraslajornadadeloscincocamiones.

3. a)LoscamionesquesalendeBrecorrenunadis-tanciaun25%mayorqueloscamionesquesa-lendeA.

b)LoscamionesquesalendeBrinden,aproxima-damente,un34%menosquelosquesalendelpuntoA.



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SECUENCIAS NUMÉRICAS

SUCESIONES

Unasucesiónesunconjuntode..............................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................

Sellamatérminogeneraldeunasucesióna...........................................................................................................

Porejemplo,enlasucesión1,4,9,16,25,…eltérminogeneralesan=………………

Eltérmino20deestasucesiónesa20=……………

PROGRESIONES DEFINIDAS EN FORMA RECURRENTE

Enunasucesióndefinidadeformarecurrente,cadatérminoseobtieneapartirde.............................................

Porejemplo,enlasucesión2,5,4,6,7,10,14,…cadatérminoseobtienesumando

losdosanterioresyrestandotres→ an=………………

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Unaprogresiónaritméticaesunasucesiónenlacualsepasadecadatérminoalsiguientesuman-dounacantidadconstante,d,llamada………………………………

Eltérminogeneraldeunaprogresiónaritméticaesan=……………………

Lasumadelosnprimerostérminosdeunaprogresiónaritméticaes

Sn=a1+a2+…+an=……………..

Porejemplo,enlasucesión7,11,15,19,…,cadatérminoseobtiene…………………………

Así:

d=…………an=…………a24=…………S24=…………

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Unaprogresióngeométricaesunasucesiónenlacualsepasadecadatérminoalsiguientemul-tiplicandoporunacantidadconstante,r,llamada……………………………

Porejemplo,enlasucesión0,25;0,5;1;2;4;…,cadatérminoseobtiene………………………

Así:

a6=a5·2ytambiéna6=a1·2·2·2·2·2=a1·25

Ydelamismaforma,a10seobtienemultiplicandoa1por2………veces.



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................5


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Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................5

PRACTICA

1. Continúaentrestérminoscadasucesión.

a)–10,–6,–2,2,6,……,……,……

b)5,6,4,7,3,……,……,……

c) , , ,321

42

8 164 ,……,……,……

2. Escribeloscuatroprimerostérminosdelassucesionescuyotérminogeneral,an,es:

a)an=2n

b)an=2n–1

c)an=2(n–1)

3. Escribe loscincoprimeros términosdeunasucesiónsabiendoque a1=1, a2=3 yque an = 1 +an–1+an–2

4. Escribelostrestérminossiguientesdeestasprogresionesaritméticasyhallasudiferenciaysutérminogeneral:

a)–4,–1,2,……,……,…… d=…… an=……………………

b)5,11,17,……,……,…… d=…… an=……………………

c)1,23 ,……,……,…… d=…… an=……………………

5. Hallaa20ylasumadelosveinteprimerostérminosdelasprogresionesdelejercicioanterior.

6. Escribelostrestérminossiguientesdeestasprogresionesgeométricasyhallasurazón.

a)3,6,12,……,……,…… r=……

b) , ,21

4 81 1 ,……,……,…… r=……


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102


1. Carloscreequecon10pisosserásuficiente.¿Quédiámetrodeberátenerentonceslatartaensupartemásbaja?

2. César,además,tieneotroproblema.Alhacerlatarta,antesdemontarla,tienequecolocarsobrelamesadelobradortodoslospisos,unoalladodeotro.

¿Quélongitudmínimadebetenerlamesa?

3. Porotrolado,Césarpiensadecorarlatartaconguindasconfitadas:unaguindaenelpisosu-perior,dosenelsiguiente,cuatroenelotro,yasísucesivamente,doblandolacantidad,hastallegaralpisoinferior.

¿Cuántasguindaspondráenelpisodeabajo?

4. ¿Bastará,paradecorarlatarta,conunbotedeguindasconfitadasquecontiene1000unida-des?¿Cuántassobraránofaltarán?

APLICA. LA TARTA DE LA BODA

NuriayCarlospreparansuboda.HoylestocahablarconCésar,elpastelero.Estelespro-poneunatartadevariospisoscirculares,teniendocadaunodeellosundiámetro5cmme-norqueelpisoinferior.Peroelúltimopisohadetener,independientementedelnúmerodeellos,20cmdediámetro.

20 cm


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103

Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................5

PRACTICA

1. Hallaeltérminogeneraldeestassucesiones:

a)1,5,9,13,…

b) , , ,321

32

4 54 ,…

c) , , ,32

94

218

8116 ,…

d)1, , ,32

94

218 ,…

2. Escribeloscuatroprimerostérminosdelassucesionescuyotérminogeneralan es:

a)an=n3

b)an= nn

11–

+

c)an=3

1 2n+

3. Calcula:

a)Eltérminoa100delasucesióndelosnúmerosimpares(1,3,5,...).

b)Lasumadeloscienprimerosnúmerosimpares.

4. Enunaprogresiónaritmética,a3=5ya6=17.Hallaladiferencia,d,lostérminosa1ya20 ylasumadelosveinteprimerostérminos.

5. Enunaprogresióngeométrica,a1=2ya4=1/4.

a)¿Cuáleslarazón?

b)Escribeloscincoprimerostérminos.

c)¿Cuáleseltérminogeneral?


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1. ¿CuántoskilómetrosrecorreelcamiónensuprimerviajeVAV?¿Yenlosdemásviajes,VBV,VCV,VDVyVEV?

2. ¿Cuántoskilómetrosrecorreelcamiónencadajornada?

3. Supongamosqueelcamiónllevaunavelocidadmediade80km/hyquelosoperariosparanunahoraparacomer.Además,tardan20minutosenllenarelcamiónencadapuebloy10mi-nutosenvaciarloenelvertederoV.Calculaeltiempoquedurasujornadalaboral.

4. Hacecincoaños,elcamiónrecogíacadadía,portérminomedio,3,5toneladasderesiduos.Desdeentonces,haidoaumentandocadaañoenun5%.

a)¿Cuántastoneladasrecogeactualmentecadadía?

b)Lacargamáximaquesoportaelcamiónesde5toneladas.Silarecogidaderesiduossiguecreciendoalritmoactual,¿cuantosañospasaránhastaquesenecesiteuncamióndemayortonelaje?

APLICA. RECORRIDO DE UN CAMIÓN

Todoslosdías,elcamióndelabasuratienequehacerelrecorridodesdeelvertedero,V,hastalospueblosA,B,C,DyE.

20 km30

km

V

A

5 km 5 km 5 km 5 km

B C D E

EnsuprimerviajesaledeV,llegahastaA,llenaelcamiónyvuelveaVparavaciarlo.Elrecorridoparalosotrospueblosessimilar.


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Unidad 5

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a)10,14,18

b)8,2,9

c) , ,21

42

83

2. a)2,4,6,8,…

b)1,3,5,7,…

c)0,2,4,6,…

3. a1=1;a2=3;a3=5;a4=9;a5=15

4. a)5,8,11,…;d=3;an=3n–7

b)23,29,135,…;d=6;an=6n–1

c)3,27 ,4,…;d=

21 ;an=

n2

5. a)a20=53;Sn=490

b)a20=119;Sn=620

c)a20=10;Sn=110

6. a)24,48,96,…;r=2

b) , ,116 32

1641 ,…;r=

21

APLICA. LA TARTA DE LA BODA

1. Latarta,abajo,tendráundiámetrode65cm.

2. Lamesadeberátenerunalongitudde,almenos,4,25metros.

3. Enelpisoinferiorpondrá512guindas.

4. Senecesitan1023guindas. Faltarán,por tanto,23unidades.Unbotenobastaráparadecorarlatarta.

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. a)an=4n–3

b)an= nn1+

c)an= 32

n

n

d)an= 32

n 1–e o

2. a)1,8,27,81,…

b)0, , ,1 33 2

15,…

c)1, , , 353

31

17,…

3. a)a100=199

b)S100=10000

4. d=4;a1=–3;a20=73;S20=700

5. a)r=21

b)2,1, , ,121

4 81 ,…

c)an= 21

n 2–

APLICA. RECORRIDO DE UN CAMIÓN

1. VAV:60km;VBV:70km;VCV:80km; VDV:90km;VEV:100km

2. Encadajornadarecorre400km.

3. La jornada laboral de los operarios es de 7 horas y20minutos,máslahoradelacomida.

4. a)Actualmenterecogeunascuatrotoneladasymedia.

b)Entresañosmás,lacantidadderesiduosquetienenque recogersuperará lascinco tonela-das.



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106

EL LENGUAJE ALGEBRAICO

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

En una expresión algebraica aparecen cantidades desconocidas que se representan por letras y

se llaman ...........................................................................................................................................

TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

NO IGUALDADES IGUALDADES

MONOMIOS

Un monomio es ..............

........................................

........................................

........................................

– 4xy 2 es un ...................

........................................

POLINOMIOS

Un polinomio es .............

........................................

........................................

........................................

2x – y 2 es un ..................

........................................

IDENTIDADES

Una identidad es una

igualdad algebraica que

es cierta para ..................

........................................

a + b = b + a es una ......

........................................

ECUACIONES

Una ecuación es una

igualdad algebraica que

es cierta para ..................

........................................

3x – 2 = 0 es una ...........

........................................

MONOMIOS

•Elcoeficiente de un monomio es .........................................................................................................................

•Elgrado de un monomio es .................................................................................................................................

•Losnúmerossonmonomiosdegrado ..................................................................................................................

•Cuandodosmonomiostienenidénticalaparteliteralsellaman .........................................................................

•Parasumardosmonomios,estosdebenser.........................................................................................................

POLINOMIOS

•Cadaunodelosmonomiosqueformanunpolinomiosellama ..........................................................................

•Elgrado de un polinomio es ................................................................................................................................

•Parasumar dos polinomios ...................................................................................................................................

•Paramultiplicar dos polinomios ...........................................................................................................................

IDENTIDADES NOTABLES

(a + b)2 = …………………… (a – b)2 = …………………… (a + b) (a – b) = ……………………

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es ......................................................................................................................................



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................6


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107

PRACTICA

1. Calculaelvalordeestasexpresionesalgebraicasparax = 1 y x =–1:

a) 5x 2 – 3x + 4

b) x 3 – 10x 2 – 5x + 6

c) x x2

54

7 6– –2

2. Reduce.

a) 5x 3 – 3x 3 – x 3

b) 2x 3 – 2 – 5x 2 + x 3 + 3x 2 – 4x + x 2 – 1

c) x – x x35 3

–

d) x x x x52

3 2 107– –

2 2+

3. Calculaestosproductosysimplificalosresultados:

a) –5x 3 · (x 2 – 3x + 1)

c) ·x x4 2

53

–e o

b) ·x x32

21 6–2 +e o

4. Opera y reduce estas expresiones:

a) (x 2 – 5x + 1) · (2x – 3)

b) (x – 3) · (x + 4) · (x – 6)

5. Extraelosfactorescomunes.

a) 2x 2 + x 3 b) xy 2 – x 2y

c) 10 – 15x d) 2x + 4xy 2

6. Desarrollaenformadepolinomio.

a) (x + 3)2

b) (2 + 3x)2

c) (x + 4) · (x – 4)

d) (2x + 1) · (2x – 1)

e) (x – 5)2

f ) x21 –

2c m

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................6


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108

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1. Llamandoxalanchodelaparcela,yutilizandoellenguajealgebraico,buscaunaexpresiónpara:

a) El largo de la parcela.

b) El lado de la casa.

2. ¿Quéexpresiónalgebraicatendrálasuperficiedelacasa?

¿Ylasuperficiedelaparcela?

3. ¿Ycuálserálasuperficiedetodalafinca,casaytierrajuntas?

4. Derepente,Adelarecuerdaloquetantasveceshaoídodeciralabuelo:“…graciasalamediafanegadetierra,nopasamoshambreenlaposguerra”.Conestosdatos,¿podráaveriguarlasdimensionesylasuperficiedelacasaydelafincacompleta?

(dato:1fanega≈6500m2)

APLICA. LA PARCELA DE LOS ABUELOS

Rebuscandoeneldesvándelacasadesusabuelos,Adela(estudiantede3.ºdeESO)haencontradoentreunosviejospapelesunplanodelacasaydeunterrenodelaboradya-cente.Observaquelacasaesuncuadradoperfectoyquelatierradelabores,aproxima-damente,eldobledelargaquedeancha.

Elpasodeltiempohaborradolasmedidas,peroquedaundato:desdelapuertadelacasahasta la esquina de la parcela hay una distancia de 25 metros.

25 mTIERRAx

Intrigada,decideinvestigarsobrelasdimensionesdetodalafinca.


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Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................6

PRACTICA

1. ConsideralospolinomiosA = x 3 – 2x+3,B = x 2 – 3x + 4 y C = 3x 2 – 2x–1.Calcula:

a) A + B

b) A – B – C

c) A · C

2. Reduce estas expresiones:

a) ( ) ( )x x x122 3

1 2 3 151 10 15– – – –+e o

b) 2(a + b) – 4[a – (2a – 3b)]

3. Extraelosfactorescomunes.

a) 2x 4 + 6x 3 – 4x 2

b) x 2y 3 – x 3y

c) 10x 3 – 5x

d) xy + x 2y 2

4. Desarrollaenformadepolinomio.

a) (2x – 3)2 b) x23 2–

2e o

c) (5x + 4) · (5x – 4) d) x221 2

+c m

e) x23

21–

2e o f ) ·x x

32 1

32 1–+e eo o

5. Teniendoencuentalosdesarrollosquevesacontinuación,ylaextraccióndefactorcomún,simplificalasfraccionesquesiguen:

(x + 2)2 = x 2 + 4x + 4 (x – 2)2 = x 2 – 4x + 4 (x + 2) · (x – 2) = x 2 – 4

a) xx

42 4

––

2

b) x x

x4 4

4–2

2

+ +

c) x x

x x6 12

2 8 8–

–2

2 +

d) x xx x

3 127 28

–3

3 2+


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1. ¿Quéexpresiónalgebraicadaráelarquitectopara lasuperficiedecadaplantadestinadaaoficinas?¿Yparalazonaacristalada?

2. ¿Yquéexpresióntendráelvolumendecadazonadeledificio,oficinasyservicioscomunes?

3. Elarquitectoestimaen120mlaalturadeledificio.¿Quésuperficiesedestinaráaoficinasencadaplanta?

APLICA

ElestudiodearquitecturaNuevosEspaciosdiseñaunatorreparaoficinas,conlaplantayelalzadoquevesenlafigura.

30 m

x

x

6x

x

x

30 m

2x

Latorresedivideendoszonas:unaparaoficinasyotraparaservicioscomunes,queseráacristalada.


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Unidad 6

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a) b) c)

x = 1 6 –8 9/4

x = –1 12 0 23/4

2. a) x 3 b) 3x 3 – x 2 – 4x – 3

c) x15

d) x x6 10

3–2

3. a) –5x 5 + 15x 4 – 5x 3

b) x x12 6

5–2

c) 6x 2 – 4x + 3

4. a) 2x 3 – 13x 2 + 17x – 3 b) x 3 – 5x 2 – 18x + 72

5. a) x 2 · (2 + x) b) xy · (y – x)

c) 5 · (2 – 3x) d) 2x · (1 + 2y 2)

6. a) x 2 + 6x + 9 b) 4 + 12x + 9x 2

c) x 2 – 16 d) 4x 2 – 1

e) x 2 – 10x+25 f )41 – x + x 2

APLICA. LA PARCELA DE LOS ABUELOS

1. a)Largodelaparcela:2x

b)Ladodelacasa:x – 25

2. Superficiedelacasa:(x – 25)2

Superficiedelaparcela:2x 2

3. Superficiedecasayparcela:3x 2 – 50x + 625

4. Superficiedelatierra:2x 2 = 3 250 m2 → → x≈40,31 m

Elladodelacasamide15,31mytieneunasuper-ficiede234,44m2.

La tierramide40,31mdeancho y80,62mdelargo.

La finca completa tiene una superficie de3484,44 m2.

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. a) x 3 + x 2 – 5x + 7

b) x 3 – 4x 2 + 3x

c) x 5 – 3x 4 + 2x 3 + 9x 2 – 17x +12

2. a) 2x + 3

b) 6a – 10b

3. a) 2x 2 · (x 2 + 3x – 2)

b) x 2y · (y 2 – x)

c) 5x · (x 2 – 1)

d) xy · (1 + xy)

4. a) 4x 2 – 12x + 9

b) x94

2 – 6x + 4

c) 25x 2 – 16

d) 4x 2 + 2x + 41

e) x x4

991–

2+

f ) x 19

4 –2

5. a) x 2

2+

b) xx

22–

+

c) x

x3

2– d) x

x3 6

7–

APLICA

1. Superficieplantaoficinas→ x 2 + 30x

Superficieplantazonaacristalada→ 15x – x22

2. Volumenoficinas→ 6x 3 – 180x 2

Volumenzonaacristalada→ 90x 2 – 3x 3

3. 60x = 120 → x = 20 m

Lasuperficiedestinadaaoficinasencadaplantaseráde2020 + 30 · 20 = 1 000 m2.



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Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................7

ECUACIONES

ECUACIONES

•Unaecuación es una propuesta de ......................................................................................................................

•Unvalordesconocidoenunaecuación,querepresentamosconunaletra,sellama .........................................

•Lasolución de la ecuación es ..............................................................................................................................

•Resolverunaecuaciónes ......................................................................................................................................

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

•Lasolución de la ecuación ax + b=0,cona≠0,esx =

•Dosecuaciones son equivalentes cuando ..........................................................................................................

•Pasospararesolverunaecuacióndeprimergrado:

1 Quitar .................................................................

2 Quitar .................................................................

3 Pasar ...................................................................

4 Simplificar ...........................................................

5 Despejar .............................................................

6 Comprobar .........................................................

ejemplo: xx 1 32 5

310

= ++

1

2

3

4

5

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

•Lassolucionesdelaecuaciónax 2 + bx + c=0,cona≠0,seobtienenaplicandolafórmula:

x = ejemplo: x 2 + 4x – 5 = 0

x1 = ……………… x2 = ………………

ECUACIONES INCOMPLETAS

Lasolucióndeax 2 + c=0,cona≠0,es:

x = ……………………………………

ejemplo: 7x 2 + 28 = 0

x = ……………………………………

Lasolucióndeax 2 + bx=0,cona≠0,es:

x1 = ……………… x2 = ………………

ejemplo: 2x 2 – 4x = 0

x1 = ……………… x2 = ………………

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES

Pasospararesolverunproblemamedianteecuaciones:

1 Identificar............................................................................................................................................................

2 Relacionar ...........................................................................................................................................................

3 Resolver ..............................................................................................................................................................

4 Interpretar ...........................................................................................................................................................


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Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................7

PRACTICA

1. ¿Paracuálesdelassiguientesecuacionesesx=–2solución?

a) x 3 + 8 = 0

b) –x 2 – 4 = 0

c) –x 2 + 4x = 6x

d) x2

1+ + x = 3

e) x 52 + = 3

f ) 3(x 2 + 1) = 2x + 3

2. Resuelveestasecuacionesdeprimergrado:

a) x + 3(x – 2) – 5 = 7 – 2x – (1 – 4x)

b) 1 – x5

+ x = x32 – 1

c) 2(x + 5) = x3

2+ + 4x

d) x3

1+ + 2x = 3 – x

3. Resuelveestasecuacionesdesegundogrado:

a) x 2 – 6x + 5 = 0

b) 6x 2 – 5x + 1 = 0

c) x 2 + x – 56 = 0

d) 12x 2 – x – 1 = 0

e) x 2 + 2x + 2 = 0

f ) x 2 – 10x + 25 = 0

g) 4x 2 – 12x = 0

h) 3x 2 + 2x = 0

i) 3x 2 – 243 = 0

j) x 2 + 9 = 0


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1. Llamandoxalpreciooriginaldelabatidora,escribeenlenguajealgebraico:

a)Elpreciodelacafetera.

b)Elpreciodelabatidora,unavezrebajado.

c)Elpreciodelaollarápida.

2. Escribeunaecuaciónquerelacioneelcostedelosartículosconelimportetotaldelacomprayresuélvela.Después,indicaelpreciodecadauno.

3. Antesdesalirdelatienda,Elisarecordóquetambiénnecesitabancucharillas,ycompróunpaquetequecostótantocomolacafetera.Así,cadacucharillasalíaporuneuromenosqueelnúmerodeunidadesqueconteníaelpaquete.

a)Llamandoahoraxalnúmerodecucharillas,escribeunaecuaciónquerelacionex con el preciodelpaquete.Yresuélvela.

b)¿Cuántocostabacadacucharillaycuantashabíaenelpaquete?

APLICA. COMPRAS DE MENAJE

AlbertoyElisaentranenunatiendademenajeparaelhogarparacomprarunacafetera,unabatidorayunaollarápida.

Unavezelegidoslosmodelos,Elisacomenta:

—Labatidoracuestaeldoblequelacafeteraytreintaeurosmenosquelaolla.

YAlbertoresponde:

—Sí,esosegúnelpreciodecatálogo,peroeldependientemeacabadeinformardequehoyhayunapromoción,ytodaslasbatidorastienenunarebajadel20%.

—Entonces—concluyeElisa—elimportetotaldelacompraseráde168€.


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Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................7

PRACTICA

1. Busca,portanteo,unasoluciónparacadaecuación:

a) x 4 – 54 = x 3

b) xx

11

–+ = 3

c) x 12–3

= x 2 – 2

d) xx

11

2

3

++ = 1

2. Resuelveestasecuacionesdeprimergrado:

a) xx x 26

35

232– –– = +

b) x x x2

551

1012 5– – –=+

c) xx x x3 68

1 3 3– – –=+

d) ( )x x x

53 2

311

152 3– – –– –

=

e) ( ) ( )x x x3 2

4 62 3

1811 7

47–

– –– –=

3. Resuelveestasecuacionesdesegundogrado:

a) 2x (x – 3) – 1 = x 2 – 3(x – 1)

b) 6x 2 + (x – 2)2 = x 2 – 5(x – 1)

c) x x x36 5 10 3

– –2 2

=

d) 2x (x + 1) + (x – 3)2 = 2(4 + x – x 2)

e) ( )

x x x32

51

152 12 + + =

+

f ) x xx 2 3 24 7

– –2

= +


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116


1. ¿Quédimensionestieneahoraelsolar?¿Esyadeplantacuadrada?

2. Satisfechoconlaampliación,Jaimedecideconstruirunavivienda.Legustamucholajardineríayelcultivodeflores,asíesquesuviviendavaaocuparunespacioenelinteriordelterrenoyestarárodeada,porlapartefrontalyporloslaterales,deunjardín.Enlapartetraseracons-truiráuninvernadero.

Quierequelaprofundidaddelapartedelanteradeljardínsea3veceselanchodelasparteslaterales,queseráigualalaprofundidaddelinvernadero.Paraexplicarbienloquequiere,hahecho este croquis:

x

x

x

3x

a)¿Quédimensionestendrálacasasiquierequelaplantatengaunasuperficiede96m2?

b)¿Quésuperficieocuparáelinvernadero?

APLICA. PEQUEÑA HERENCIA

ElpequeñoterrenoqueheredóJaimedesuspadresnoesuncuadradoperfecto.Calculaquetiene2mmásdelargoquedeancho.Decidecomprarleasuvecino4mmásendirec-ciónsury2mmásendireccióneste.Asíconsigueunterrenode256m2.

4 m

2 m

SOLARANTIGUO

a + 2

a


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Unidad 7

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. Paralasecuacionesa),c)ye).

2. a) x = 6

b) x = –15

c) x = 4

d) x = 54

3. a) x = 1; x = 5

b) x = –1/2; x = –1/3

c) x = 7; x = –8

d) x = 1/3; x = –1/4

e) No tiene solución.

f ) x = 5

g) x = 0; x = 3

h) x = 0; x = –2/3

i) x = 9; x = –9

j) Notienesolución.


1. a) x/2

b) x – x10020 → x – x

54

c) x + 30

2. xx54

2+ + (x + 30) = 168 → x = 60

Lacafeteracostaba30€.

Labatidoracostaba,sinrebaja,60€,yconlare-baja,48€.

Laollarápidacostaba90€.

3. a) x · (x – 1) = 30 → x = 6; x = –5

b)Elpaquetecontenía6cucharillas.Cadacucha-rilla costaba 5 €.

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. a) x = 3

b) x = 5

c) x = –1

d) x = 1

2. a) x = –3

b) x = 25

c) x = 95

d) x = –10

e) x = 75

3. a) x = 4; x = –1

b) x = 1/3; x = –1/2

c) x = 1; x = –3/5

d) x = 7; x = –8

e) x = –1/3; x = –1/5

f ) x = 2; x = 22/7

APLICA. PEQUEÑA HERENCIA

1. Elsolar,ahora,escuadradoytiene16mdelado.

2. a)Laplantadelacasaseráunrectángulode8mde ancho por 12 m de largo.

b)Elinvernaderotendráunasuperficiede24m2.



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SISTEMAS DE ECUACIONES

ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

•Unaecuaciónlinealcondosincógnitastiene…………………………………soluciones.

•Sirepresentamosenelplanolassolucionesdeunaecuaciónlinealcondosincógnitas,

obtenemos una ....................................................................................................................................................

•Dosecuacionesformanunsistema cuando ........................................................................................................

•Lasolución de un sistema es ...............................................................................................................................

•Dossistemas son equivalentes cuando ..............................................................................................................

NÚMERO DE SOLUCIONES DE UN SISTEMA LINEAL

Sielsistematieneunasolución,

las dos rectas se cortan en .........

....................................................

Si el sistema no tiene solución,

las rectas son ..............................

....................................................

Sielsistematiene infinitassolu-

ciones,lasrectasson ..................

....................................................

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

SUSTITUCIÓN

Consisteendespejaruna ...........

....................................................

....................................................

....................................................

ejemplo: x yx y

6 10 1826 10

+ =+ =

*

x = ………… y = …………

IGUALACIÓN

Consisteendespejarlamisma ...

....................................................

....................................................

....................................................

ejemplo: x yx y

3 5 923 3

+ =+ =

*

x = ………… y = …………

REDUCCIÓN

Consiste en preparar las dos

ecuaciones para que ..................

....................................................

....................................................

ejemplo: x yx y

23 2 55 2+ =

+ =*

x = ………… y = …………

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS

Pasosqueconvienedar:

1 Identificar............................................................................................................................................................

2 Expresar ..............................................................................................................................................................

3 Resolver ..............................................................................................................................................................

4 Interpretar ...........................................................................................................................................................



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................8


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119

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................8

PRACTICA

1. Aquítienesunaecuacióncondosincógnitas,x + 3y=5.¿Cuálesdeestosparesdevaloressonsolucióndelaecuación?

a) xy

21

==

*

b) xy

81–

==

*

c) xy

52–=

=*

2. Completalatablaparacadaecuaciónyrepresentaenelgráficolasrectascorrespondientes:

y = 2x + 4x – 4 –2 0 2 4

y

y = –2x – 1x –3 –2 –1 0 1

y

Alavistadelgráfico,¿cuáleslasolucióndelsistemaforma-doporambasecuaciones?

1

Y

1 X

3. Resuelveestossistemasdeecuacionesporelmétododesustitución:

a) x yx y

5 2 73 4 1

––

=+ =

*

b) x yx y

3 72 05

4–+ =

=*

4. Resuelveestossistemasdeecuacionesporelmétododeigualación:

a) x yy x

44 345 –

–==

*

b) x yx y

106 7 345 3

–+ =

=*

5. Resuelveporelmétododereducción:

a) x yx y

3 2 2393 2

+ =+ =

*

b) x yx y

3 4 710 251

3– =+ =

*


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1. ¿Acómosaleelkilodesolomillo?¿Yeldechuletas?

2. ¿Yacuántosalecadakilodeperasycadakilodemanzanas?

3. Fueradeoferta,elkilodesolomilloestáa14euros,yeldechuletas,a12euros.Cadakilodemanzanascuesta2,40euros,ycadakilodeperas,1,50euros.

Estimoquenecesito,almenos,2,5kgdesolomillo,2kgdechuletas,3,5kgdemanzanasy3 kgdeperas.¿Mecompensanlasofertasentodosloscasos?¿Cómodebocomprar?

APLICA. OFERTAS

Ciertosupermercadopresenta,eldíade“Tiramoslosprecios”,lassiguientesofertasdecarneyfruta:

2kgdesolomillo

3kgdechuletas

54 €

3kgdesolomillo

2kgdechuletas

56 €

5kgdeperas

3kgdemanzanas

11 €

4kgdeperas

4kgdemanzanas

12 €


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Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................8

PRACTICA

1. Observalastresrectasdelgráficoysusecuacionesasociadas.

Después,sinhacerningunaoperación,escribe,silashay,lassolucionesdelossiguientessis-temas:

x yy x

2 102 3 102

–+ =

=4

x yx y

3 2 62 103

– =+ =

4

y xx y

2 3 103 2 6

––

==4

1

Y

1 X

x + 2y = 10

3x – 2y = 6

2y – 3x = 10

2. Resuelvecadasistemaporelmétodoindicado:

a)Sustitución b)Reducción c) Igualación

y xx y

3 2 73 172

– =+ =

* x y

x y

21

514

103 5

514

– =

+ =

Z

[

\

]]]

]]

( )x y

x y3 3

2 3 6–

–+ =

+ =*

3. Reducepreviamenteestossistemasy luegoresuélvelosporelmétodoqueconsideresmásadecuado:

a)

x y

x y

21

17

43

54

32

53

=

+ =

+Z

[

\

]]]

]]

b)

( ) ( ) ( )x y x

xy x y

y

3 1 5 3 1 2 2

24

6 33

6

– – –

–

+ = +

++

= +

Z

[

\

]]

]]


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1. ¿Enquépuntodeltúnelseencontraránambasycuántotiempoemplearánenhacerlo?

2. LaempresadelatuneladoraAcobra1,5millonesdeeurospordíatrabajadoy0,2millonesdeeurosporcada100metrosavanzados.LaempresadelaBcobra1millóndeeurospordíatrabajadoy0,3millonesporcada100metros.

Lafraccióndedíasecobracomoundíacompleto,ycadafracciónde100metros,tambiéncomo100metroscompletos.¿Cuántocobrarácadaempresaporlaobra?

3. Sihubieraqueelegirlamismaempresaparahoradarambosladoscondosmáquinasiguales,¿cuálseríaelpresupuestototaldelaobraencadacaso?¿Cuálhabríaqueelegirsiinteresaselamásbarata?

APLICA. LAS MÁQUINAS TUNELADORAS

Dosmáquinastuneladorashoradaránunamontañadesdepuntosopuestosparahaceruntúnelde24kmdelongitud.

24 km

BA

LatuneladoraA,desdelacaranortedelamontaña,avanzaaunritmode200mpordía,ylaB,algomáslenta,horada150mcadadía,desdelacarasur.


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Unidad 8

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a)Sísonsolucióndelaecuación.

b)Sísonsolucióndelaecuación.

c) No son solución de la ecuación.

2. x – 4 –2 0 2 4

y 2 3 4 5 6

x –3 –2 –1 0 1

y 5 3 1 –1 –3

1

Y

1 X

x = –2; y = 3

3. a) x = 1; y = –1 b) x = 1; y = 2

c) x = 2; y = –3

4. a) x = 10; y = 6 b) x = 8; y = 2

c) x = –11; y = 4

5. a) x = 5; y = 4 b) x = 5; y = 2

c) x = 5; y = 3

APLICA. OFERTAS

1. El solomillo sale a 12 €elkilo,y laschuletas,a10 €cadakilo.

2. Cada kilo de peras cuesta 1 €, y cada kilo demanzanas,2€.

3. Porseparado,encarnegastaría:

2,5·14+2·12=59€

Deboelegirlasegundaofertadecarne.

Enfruta,porseparado,megastaría:

3,5·2,4+3·1,5=12,900€

Deboelegirlasegundaofertadefruta.

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. x yy x

2 102 3 102

–+ =

=4 x = 0; y = 5

x yx y

3 2 62 103

– =+ =

4 x = 4; y = 3

y xx y

2 3 103 2 6

––

==4 No tiene solución.

2. a) x = 4; y = 5

b) x = 6; y = 1/5

c) x = –2; y = 4

3. a) x = 12; y = 15

b) x = 5; y = 2

APLICA. LAS MÁQUINAS TUNELADORAS

1. Lastuneladorasseencontrarána13714mdelaentrada por la cara norte y a 10 286 m de la entra-da por la cara sur.

Tardaránenencontrarse68,57días.

2. LaempresaAcobrará131,1millonesdeeuros.

LaempresaBcobrará99,9millonesdeeuros.

3. LaempresaAtardaría,condosdesusmáquinas,60días.Cobraría138millonesdeeuros.

LaempresaBtardaría,condosdesusmáquinas,80días.Cobraría152millonesdeeuros.

HabríaqueelegirlaempresaA.



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FUNCIONES Y GRÁFICAS

LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

•Unafunciónasociaacadavalordex ...................

................................................................................

•xeslavariable ........................................................

•yeslavariable ........................................................

•Eltramodevaloresdexparaloscualeshayvalo-

res de y se llama ...................................................

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Serepresentasobreunosejescartesianos.

•Elejehorizontalsellamade ...................................

ysobreélserepresentala ......................................

•Elejeverticalsellamade .......................................

ysobreélserepresentala ......................................

•Cadapuntodelagráficatienedos ........................

VARIACIONES DE UNA FUNCIÓN

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Para estudiar las variaciones de una función, tene-mosquemirarsugráficadeizquierdaaderecha.

•Unafunciónescrecientecuandoalaumentarlava-

riableindependiente,x, .........................................

................................................................................

ejemplo:

y = 2xesunafunción ............................................

•Sialaumentar lavariableindependiente,x, dis-

minuyelavariabledependiente,y,sedicequela

funciónes ...............................................................

ejemplo:

y = –2xesunafunción ...........................................

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

•Sienuna funciónhayunpuntomásaltoque los

puntosquelorodean,sedicequeesepuntoes ...

................................................................................

haz un dibujo:

•Siunafuncióntieneunpuntomásbajoquelosque

lorodean,sedicequeesepuntoes ......................

................................................................................

haz un dibujo:

•Alaizquierdadeunmáximo,lafunciónes ............

................... y a la derecha es .................................

•Alaizquierdadeunmínimo,lafunciónes ............

................... y a la derecha es .................................

TENDENCIAS DE UNA FUNCIÓN

•Unafunción es periódica cuando ...........................

................................................................................

•Elperíododeunafunciónes ..................................

................................................................................

CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDADES

•Unafunciónescontinuacuando ......................................................... dibuja un ejemplo:

............................................................................................................

............................................................................................................

•Silafunciónpresentasaltosensugráfica,sedicequees .................. dibuja un ejemplo:

............................................................................................................

............................................................................................................



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................9


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Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................9

PRACTICA

1. Imagínatequetienesunamáquina de funciones,deformaquesimetesunnúmerox por una ranura,saleporlabocadelamáquinaelvalory :“Dobledexyunaunidadmás”.

a)Completaestatabladevaloressegúnelnúmerox que metas:

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y

b)Dibujalagráficadelafunciónquerealizalamáquina.¿Cuáleseldominiodedefinicióndelafunción?

Y

X

c) Halla f (1/2)(valordey cuando x=1/2).¿Cuántovalef (–1/4)?

d)¿Paraquévalordexlamáquinamuestraelvalory=13?

2. Estaeslagráficadelatemperaturadeunenfermosegúnlashorasdehospitalización:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(OBSERVACIÓN)

TEMPERATURA (°C)

TIEMPO (horas)36

37

38

39

40

a)¿Conquétemperaturaingresóenelhospital?

b)¿Enquémomentoalcanzólatemperaturamáxima?

c)¿Enquéperíodoslatemperaturadecreció?

d)¿Cuántotiempoestuvoenobservaciónhastaquefuedadodealta?


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1. Construye,sobrelosmismosejes,unagráficaparacadamodelo que relacione y (altura) con t (tiempo).

2. Contestaalassiguientespreguntas:

a)¿Québotellaempiezaallenarsemásrápido,esdecir,crecemásdeprisa?

b)¿Apartirdequéinstantet,laotrabotellasellenamásrápido?

c)¿Quéenvasedebeserelegido?¿Porqué?

APLICA. ¿QUÉ MODELO DE ENVASE ELEGIR?

Unlaboratorioestáprobandodostiposdeenvaseparautilizarloenunexperimentoconpro-ductosquímicos.Unodeloscriteriosquedebenmedireseltiempoquenecesitacadaenvaseparallenarse(dadouncaudalconstante).Escogeránelenvasequemenosatrdeenllenarse.

10 cm

20 cmTRAMO1.°

TRAMO2.°

30 cm

A B

Lostécnicosvanllenandolosenvasesymidiendolaalturadellíquidocadaciertotiempo[relacionan y (la altura) con t(tiempo)].Losresultadosquedanreflejadosenlastablas.

modelo A

t (s) 1 2 3 … 20 21 … 24 25

y (cm) 1 2 3 … 20 21 … 28 30

modelo B

t (s) 10 15 20 21 22,5

y (cm) 5 10 18 22 30

Tramo 1.° Tramo 2.°


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127

Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................9

PRACTICA

1. Sedefineunafuncióncomounarelaciónentredosvariables(x,y )demodoqueacadavalorque le demos a x,lecorrespondeunoysolounvalordey.Segúnesto,¿cuálesdeestasgráficassírepresentanunafunciónycuálesno?

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

a b c d

2. Consideralafuncióndefinidaasí:

y = f (x) = x

x

x

x 3 4

44

para todo menor que

para todo mayor o igual que

+Z

[

\

]]

]

Represéntalagráficamentehaciendounatabladevalores.

X

Y

3. Dadalafunciónqueasociaacadanúmerox“sucuadradoaumentadoen1”,represéntalautilizandounatabladevalores.¿Cuálessuvalormínimo?¿Enquéxsealcanza?¿Paraquévaloresdexescreciente?¿Ydecreciente?


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1. Construyeunatabladevaloressobreelvalorydelcochesegúnpasenlosaños(t ),hastalos10años.¿Cuáleslaexpresiónalgebraicadeestafunción?

2. Representaestasituaciónmedianteunagráficaaproximada.

1

4

8

12

16

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10

PRECIO (miles de €)

TIEMPO (años)

3. Ayúdatedelacalculadoraydelaexpresiónalgebraicadelafunciónparasabercuántosañoshandepasarparaqueeldueñodelcochepuedavenderloal20%desuvalorinicial.

APLICA. DEPRECIACIÓN DE UN COCHE

Unseñorcomprauncochepor20000€.Sabequeelvalordeesecochesedepreciaun20%anualydeseavenderlocuandosuprecioenelmercadodesegundamanonoseainferioral20%delprecioquehapagadoactualmente.


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Unidad 9

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a)

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y –5 –3 –1 1 3 5 7

b)

X1

1

3

–2

Y

Dominio = ∞.

c) f 21c m = 2 ·

21 + 1 = 2

f 14

–c m = 2 · 14

–c m + 1 = 21

d) x = 6

2. a) 39°

b) En la 1.ª y 2.ª horas.

c) De la 2.ª a la 4.ª h y de la 6.ª a la 9.ª h.

d) Tres horas: 9.ª h a 12.ª h.

APLICA. ¿QUÉ MODELO DE ENVASE ELEGIR?

1.

5 10 15 20 25

A

5

10

15

20

25

30

A

B

B

2. a)ElmodeloA.

b)Apartirdet=21s,elmodeloBesmásrápido.

c) Debe elegirse el modelo B porque se llena dos segundos y medio antes.

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. Sonfuncionesa)yc).Nolosonb)yd).

2.

X4–2 5

4

Y

5

x –2 0 1 2 3 4 5 6 8

y 2,5 3 3,25 3,5 3,75 4 5 6 8

3.

X2–2

Y

x –2 –1 0 1 2

y 5 2 1 2 5

•Mínimoenx=0,y = 1

•Creceparax > 0 y decrece en x < 0.

APLICA. DEPRECIACIÓN DE UN COCHE

1. t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 20 16 12,8 10,2 8,2 6,6 5,8 4,2 3,4 2,7 2,1

y=20·0,8t

2.

1

4

8

12

16

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10

3. Deberá venderlo cuando cueste el 20% de20000 €,esdecir,4000€.

Hacemos4=20·0,8t y tenemos que t=7,21años.



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FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

FUNCIONES LINEALES

Función de proporcionalidad

•Suecuaciónesy = ..................

•Sugráficaesuna......................

........................... que pasa por

.................................................

.................................................

ejemplo:

Función y = mx + n

•Sugráficaesuna......................

.................................................

•m es la ...................................

•CortaalejeY en el punto ......

.................................................

ejemplo:

Función constante

•Laecuacióndelafuncióncons-

tante es y = ..............................

•Sugráficaesuna......................

..........................paralelaaleje

de ............................................

ejemplo:

PENDIENTE DE UNA RECTA

CONOCIDA SU ECUACIÓN

Parareconocerlapendientedeunarecta:

•Sedespeja ..............................................................

•Lapendientees ......................................................

ejemplo:

Lapendientedelarecta3x – 2y = 0 es:

m = ……………………………………

QUE PASA POR DOS PUNTOS

Lapendientedeunarectadelaqueconocemosdosdesuspuntos,A (x1,y1) y B (x2,y2),secalculaasí:

m =

ejemplo:

Lapendientedelarectaquepasapor(0,1)y(2, 5)es:

m = ……………………………………

ECUACIÓN DE UNA RECTA

Ecuación punto-pendiente:

•Sideunarectaconocemossupendiente,m,yunpunto,(x1,y1),suecuaciónes:

y = ………………………………………

ejemplo:Ecuacióndelarectaquepasapor(2,5)conpendiente–2:y = …………………………………

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS

Lasfuncionesy = ax 2 + bx + c,cona≠0sellamanfunciones .......................................................................... ,

yserepresentantodasmediante..........................consuejedesimetríaparaleloaleje .....................................

Sielcoeficiente,a,delax 2,espositivo,entonceslaparábolatienelasramashacia ....................................... ,

ysiesnegativo,lastienehacia................................Cuantomayorseasuvalorabsoluto,más ............................

.....................................eslaparábola.

Laabscisadelvérticedeunaparábola,y = ax 2 + bx + c,es .................................... LoscortesconelejeX se

calculanresolviendolaecuación..............................................,ycortaalejeY en el punto ...............................



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................10


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131

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................10

PRACTICA

1. Cincokilosdenaranjascuestan12,50€.

a) Representa en una tabla la relación x(pesoenkilos)cony (precio en euros). Halla y para x=1,2,3,4…

x (kg) 1 2 3 4 5

y (€)

b)¿Cuántodineropagaremospor8kg?¿Ypor14kg?

c)Escribelaexpresiónalgebraicadelafunciónpeso-precio.

d)Representagráficamentelafuncióny = f (x).¿Cuálessupendiente?

4

8

2 4 61 3 5

2

6

3

7

1

5

9101112

PESO (kg)

PRECIO (€)

2. Representagráficamentelasrectascuyasecuacionessonlassiguientes:

a) y = 3x

b) y = 2x + 1

c) y = x2

+ 1

d) y = –3

X

Y

3. Relacionacadaparábolaconsuecuación:

I. y = x 2 + 2x + 1

II. y = –x 2 – 8x – 17

III. y = – 21 x 2 + x +

21

IV. y = 2x 2 – 16x + 31

b

c d

a

X

Y

2

2

–2

–4

4

–2–4 4


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132


1. Construyeparacadamuelleunatablaquerelacioney(longituddelmuelle,encm)conx (pesoquesecuelga,enkg).

A B C

x 0 1 2 3

y 10

x 0 1 2 3

y 10

x 0 1 2 3

y 10

2. Construyelastresgráficas(x,y )enlosmismosejes.

2468

101214161820

1 2 3 4 5PESO (kg)

LONGITUD DEL MUELLE (cm)

3. ¿Quémuelleeselmásrígido(seestiramenos)?

4. Cadamuelleseromperácuandoseestireunmáximode15cm.¿Paraquévalordex(kg)serompecadamuelle?

APLICA. ELASTICIDAD DE LOS MUELLES

Deentretresmuelles,A,ByC,de10cmcadauno,perodedistintometal,queremoselegirelquesoportemáspesosinestirarse(deformarse)mucho.

Usamospesosde1a5kg.ElmuelleAseestira2cmporcadakiloquecolguemos.ElmuelleBseestira1cmporcadakiloyelCseestira1cmporcada2kgquecolguemos.


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133

Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................10

PRACTICA

1. a)Representagráficamentelarelacióny (m) con x (s).

x (s) 3 5 10 12 20

y (m) 4,5 7,5 15 18 30

b)¿Cuáleslaexpresiónalgebraicadeestarecta?

¿Ylapendientedelarecta?

x (s)

y (m)

8

16

4 8 12 16 202 226 10 14 18

24

4

12

20

6

14

22

2

10

18

2. Escribe laecuaciónde lasrectasdecadaapartadoy lasqueaparecentrazadasen losejescoordenados.Calculatambiénsupendienteysuordenadaenelorigen.

a)Pasapor(–1,4)ytienependiente52– .

b)Pasaporlospuntos(–3,1)y(–1,5).

c)Pasapor(–4,6)yesunafuncióndeproporcionalidad.

d)Pasaporlospuntos –, ,341 5

41yc cm m.

h)

e)

f)

g)

X

Y

2

2

–2

–4

4

–2–4 4 6 8

3. Representa lassiguientesparábolas,hallandoprimerosuvértice, lospuntosdecorteconlosejesylospuntoscercanosalvértice:

a) y = x 2 + 2x – 2

b) y = –2x 2 + 4x + 1 X

Y

4. Calculaconunsistemadeecuaciones lospuntosdecortede lapa-rábolaa)delejercicio3con larectaf )delejercicio2.Represéntalassobrelosmismosejesycompruebatusolución.

X

Y


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134


1. Calculalasexpresionesalgebraicasdelassiguientesfunciones:

•Cantidad de euros que paga por la valla de la parcela – lado de la parcela.

•Cantidad de euros que gana por la siembra del huerto – lado de la parcela.

2. ¿Cuántosmetroscuadradosdebetenerlaparcelaparaquelosbeneficiosqueledalahuertaequivalganaloquecuestalavalla?Planteaunsistemadedosecuacionescondosincógnitas.

3. Representalasdosexpresionesquehallasteenelejercicio1ycompruebaqueelpuntodecortecoincideconloquehascalculadoenelejercicio2.

200

400

2 4 6 7 8 91 3 5

600

100

300

500

150

350

550

50

250

450

CANTIDAD DE EUROS

LADO DE LAPARCELA (m)

4. Repitelosejercicios1,2y3enelcasodequelavallacostara30€pormetrolineal.Parare-presentarlasdosfunciones,debescambiarlaescala.

APLICA. LA PARCELA CUADRADA

Diegotieneunaenormeparcela.Quierevallarconunaalambradaunazonacuadradaparaplantarunhuerto.Cadametrolinealdealambradalecuestalomismo,20€,queloqueobtienealvenderloquesiembraencadametrocuadradodeparcela.


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135

Unidad 10

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a)

x (kg) 1 2 3 4 5

y (€) 2,50 5 7,50 10 12,50

b)8kg→ 20 €;14kg→ 35 €

c) y=2,5x

d)Lapendientees2,5.

4

8

2 4 61 3 5

2

6

3

7

1

5

9101112

PESO (kg)

PESO (€)

2.

ab

c

Y

X

d

–2–4

–2

–4

2

4

2 4

3. a → I; b → IV; c → II; d → III

APLICA. ELASTICIDAD DE LOS MUELLES

1. A

x 0 1 2 3 4 5

y 10 12 14 16 18 20

B

x 0 1 2 3 4 5

y 10 11 12 13 14 15

C

x 0 1 2 3 4 5

y 10 10,5 11 11,5 12 12,5

2.

2468

101214161820

1 2 3 4 5PESO (kg)

LONGITUD DEL MUELLE (cm)

A

B

C

3. ElmuellemásrígidoeselC.

4. A→3kgB→5kgC→ No se rompe.

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. a)

x (s)

y (m)

8

16

4 8 12 16 202 226 10 14 18

24

4

12

20

6

14

22

2

10

18

b) y=1,5x.Tienependiente1,5.

2. a → y = – 52 x +

518 ; m = –

52 ; n =

518

b → y = 2x + 7; m = 2; n = 7

c → y = – 23 x; m = –

23 ; n = 0

d → y = – 41 x + 1; m = –

41 ; n = 1

e → y = – 34 x +

32 ; m = –

34 ; n =

32

f → y = –x – 2; m = –1; n = –2

g → y = 32 x + 1; m =

32 ; n = 1

h → y = 3; m = 0; n = 3



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136

3. a

b

X

Y

2

2

–2

–4

4

–2–4 4

4.

X

Y

(–3, 1)

(0, –2)

APLICA. LA PARCELA CUADRADA

1. y = 80x; y = 20x 2

2. 16 m2

y xy x

0208

2==

4

3.

200

400

2 4 6 7 8 91 3 5

600

100

300

500

150

350

550

50

250

450

CANTIDAD DE EUROS


(4, 320)

4. 1) y = 120x; y = 30x 2

2) 36 m2

y xy x

12020 2

==

4

3)

CANTIDAD DE EUROS


400

800

2 4 6 7 8 91 3 5

200

600

300

700

100

500

900

(6, 720)



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137

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA

GEOMETRÍA MÉTRICA PLANA

TEOREMA DE PITÁGORAS

Se verifica en los triángulos .......................................

a 2 = a

b

c

ejemplo: Si la cuerda de una circunferencia mide 16 cm y está a 6 cm de distancia del centro, entonces el radio de la circunferencia mide r = …………………

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos en posición de Tales o que se pueden

poner en posición de Tales son .................................

Si un triángulo de lados a, b y c es semejante a otro de lados a', b' y c', entonces:

a/a' = ……… = ………

ejemplo:

a' = cm

9 cm

4 cma'

5 cm

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Rectángulo de lados a y b :

A = ……………………………

ejemplo: a = 3 cm, b = 7 cm

A = ……………………………

a

b

Paralelogramo de base b y altura a:

A = ……………………………

ejemplo: a = 7 cm, b = 20 cm

A = ……………………………

a

b

Triángulo de base b y altura a:

A = ……………………………

ejemplo: a = 2 dm, b = 5 dm

A = ……………………………b

a

Rombo de diagonales d y d' :

A = ……………………………

ejemplo: d = 15 m, d' = 12 m

A = ……………………………

d'd

Trapecio de bases b y b' y altura a:

A = ……………………………

ejemplo: b = 7 cm, b' = 11 cm a = 4 cm

A = ……………………………

b'

b

a

Polígono regular de lado l y apotema a:

A = ……………………………

ejemplo:

Hexágono, l = 10 m

A = ……………………………

a

l

Círculo de radio r :

A = ……………………………

ejemplo: r = 3,2 cm

A = ……………………………

r

Elipse de ejes 2a y 2b:

A = ……………………………

ejemplo: a = 5 m, b = 3 m

A = ……………………………a

b



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................11


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138

PRACTICA

1. Calcula el área de estas figuras. Halla, previamente, el elemento que falta aplicando el teore-ma de Pitágoras.

a)

30 cm

36 cm

x

b)

12 cmx

D

10 cmc) 3 cm

5 cm6 cm

x

2. Calcula el área y la longitud de estas figuras:

a)

2 m

b)

2 m

2 m

c)

2 m

2 m120°

3. Calcula el área y el perímetro de esta figura. Descomponla para ello en figuras más simples.

6 cm

3 cm2 cm

A

B

C D E

x

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................11


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139


1. Calcula la superficie de cada estancia de la casa.

salón habitación a habitación b baño

cocina habitación c terraza pasillo

2. ¿Cuál es el presupuesto para embaldosar toda la vivienda?

APLICA. EMBALDOSANDO UNA VIVIENDA

Para embaldosar esta vivienda, hemos elegido por catálogo los tipos de suelos y precios que ves en la tabla:

BAÑO

SALÓN

HABIT. C

HABIT. A

COCINA

HABIT. B

5 m

4 m

4 m

4 m

3 m3 m

3 m

4 m

3 m

4 m 3 m 2 m

pasillo y habitaciones Gres ocre 0,20 m × 0,20 m 20 €/m2

salón Gres blanco 0,40 m × 0,40 m 30 €/m2

baño y cocina Gres rojo 0,30 m × 0,30 m 12 €/m2

terraza Baldosín arcilla 0,15 m × 0,15 m 10 €/m2


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140

Área fotocopiable

Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................11

PRACTICA

1. Calcula el área de la parte sombreada de cada figura (calcula x previamente):

8 m

x

a) b)

6 m

6,8 m

6,8 m

x

c)

x

x

d)

x

f) 6 m

x x

e)

6 m

8 m

3 m

2 m

1 m

2 m

x

r

g)

x

6 m h)

x

x6√—2 m

6√—2 m

4√—2 m

x—2

Consulta el aparta-do c) de este mismo ejercicio.


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141

Área fotocopiable


1. Calcula el área del triángulo ABC.

2. Halla el área del segmento circular tramado en esta figura:

A

B1

1

3. Halla ahora el área del semicírculo de diámetro AB.

A

B1

1

4. Calcula, finalmente, el área de la lúnula AO'B aplicando los resultados que obtuviste en los ejercicios 2 y 3. ¿Es igual al área que calculaste en el ejercicio 1?

APLICA. LA PRIMERA “CUADRATURA”

Cuadrar el círculo (es decir, construir un cuadrado usando regla y compás, con la misma área que el círculo) fue un problema que obsesionó a los geómetras griegos del siglo v a. C.

En vano. Hasta la fecha, nadie lo ha conseguido. Pero, en los esfuerzos por hacerlo, Hipócrates de Chíos (428 a. C.) pudo “cuadrar la luna”: de-mostró que el área de la lúnula AO'B (véase figura) es la misma que la del triángulo ABC (y, por tanto, equivalente al cuadrado OBCD).

A

B C

O

O'

D

1

¿Te atreves a demostrarlo? Voy a ayudarte.


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142

Unidad 11

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a) x = 30 18–2 2 = 24 cm

A = 432 cm2

b) x = 01 6–2 2 = 8 cm

A = 96 cm2

c) x = 25 9– = 4 cm

A = 18 cm2

2. a) A = 12,56 cm2; L = 12,56 cm

b) A = 3,14 cm2; L = 3,14 cm

c) A = 4,19 cm2; L = 4,19 cm

3. x = 936 – ≈ 5,2 cm

A = 21,4 cm2; P = 19 cm

APLICA. EMBALDOSANDO UNA VIVIENDA

1. SALÓN: 44,56 m2

HABITACIÓN A: 12 m2

HABITACIÓN B: 15 m2

HABITACIÓN C: 16 m2

COCINA: 13,5 m2

TERRAZA: 12 m2

PASILLO: 30 m2

BAÑO: 12 m2

2. Presupuesto:

44,56 · 30 + (30 + 12 + 15 + 16) · 20 + (12 +

+ 13,5) · 12 + 12 · 10 = 3 222,80 euros

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. a) x = 5,7 m

A = 32 – 25,5 = 6,5 m2

b) x = (2/3) de 6 = 4 m

A = , ·2

6 8 6 – π · 22 = 7,83 m2

c) x = 6 m

A = π · ·46

26 6–

2 = 10,27 m2

d) x = 4 m

A = π · 42 – 32 = 18,27 m2

e) x = 7,4 m

A = ππ( ) · , · · ,

26 3 7 4

42

22 2

–2 2

++

≈ 28,84 m2

f) x = 3 m

A = π43· 2

= 14,14 m2

g) x = 3 m

A = 14,13 + 2 · π ·943–

2e o ≈ 18 m2

h) A = 36 – 2 · 10,27 = 15,46 m2

APLICA. LA PRIMERA “CUADRATURA”

2. AABC = 21

3. π π4 2 4 2

11 1· – –2

=

4. El radio del semicírculo es 22

.

Asemicírculo = π

π·

22

42

2

=

f p

5. El área de la lúnula es:

Alúnula = π π4 4 2

121– – =c m , la misma que la del

triángulo ABC.



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143

FIGURAS EN EL ESPACIO

POLIEDROS REGULARES

• Un poliedro es regular si sus caras son .................................................................... y en cada vértice concurren

el mismo número de .............................................................

tetraedro ........................... ........................... ........................... ...........................

4 caras, caras, caras, caras, caras,

triángulos ........................... ........................... ........................... ...........................

• Dos poliedros son duales si el número de ................... de uno coincide con el número de ................... del otro.

Son duales el cubo y el .................... También son duales el .................... y el dodecaedro.

POLIEDROS

ÁREA Y VOLUMEN DEL PRISMA

A = ...................... + ...................... Alateral Abase

V = Abase · altura = ....................

ÁREA Y VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

A = ...................... + ...................... Alateral Abase

V = A

3· ALTURABASE =

CUERPOS REDONDOS

CILINDRO

a2πr

r

r

A = .................... + .................... Alateral Abases

V = Abase · altura = ....................

CONO

rr

gga 2πr

A = .................... + .................... Alateral Abase

V = A

3· ALTURABASE =

ESFERA

r

A =

V =

COORDENADAS GEOGRÁFICAS

• Las coordenadas geográficas de un lugar son la ............................... y la ...............................

• La latitud puede ser ........................ o ........................ y la longitud puede ser ........................ o ........................



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................12


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144

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................12

PRACTICA

1. Calcula el área lateral (Alat), el área total (Atotal) y el volumen de los siguientes cuerpos. Halla primero el valor de x y el de h cuando se necesiten. (Todas las medidas están dadas en centímetros).

a) b) c)

1212

8

6

6

7

4 4(CARA LATERAL)

6x

x

x

hx

3,4

7,75

d) e) f)

154

x10

39

x


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145


1. Quiere embaldosar toda la planta baja (garaje incluido) con un tipo de baldosa que sale a 10 euros cada metro cuadrado. ¿Cuál será el coste de todo el material que necesita?

2. Arreglar el tejado de la casa y del garaje sale a 14 €/m2. ¿Cuál será el coste de esa partida?

3. Para colocar radiadores en toda la casa, necesita saber su volumen, ya que debe colocar un radiador por cada 100 m3. ¿Cuántos de estos elementos necesita y cuál será el presupuesto si el precio de cada radiador es de 60 €?

APLICA. ARREGLOS EN LA CASA RURAL

Antes de iniciar las obras de su casa, Alicia ha hecho estos planos con las medidas que ha podido tomar directamente. (Todas las medidas están dadas en metros).

13

4

4

9

9

18

16

9

9

GARAJE

PLANTA DE LA VIVIENDA

x y

10

1636


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146

Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................12

PRACTICA

1. Calcula el área total (Atotal) de los siguientes cuerpos (medidas en centímetros):

a) b) c)

20

12

4

44 4

88

4

66

6

4

4 x

2. Calcula el volumen de estas figuras truncadas. Observa los dibujos: tendrás que utilizar la se-mejanza de triángulos para hallar algunas medidas (todas en centímetros).

a) b)

4

2

6

5

5

5

6

1012

20

4040

20

8 8 A

O

C

C

O

B

B

B'

B'

A'

A

A'

H

H

h

h

3. ¿Qué cantidad de agua necesitamos para refrigerar exteriormente el cilindro de mineral inte-rior? La circunferencia de la base mide L = 28 m, y recuerda que 1 l = 1 dm3.

10 m

3


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147


1. Calcula el valor de r de la pieza central.

2. ¿Qué superficie, en metros cuadrados, ocupará todo el recinto?

3. En el proyecto está previsto acristalar con lunetas todos los laterales y la cúpula. Si el acrista-lamiento cuesta a 25 €/m2, ¿cuál será el coste?

APLICA. MUSEO DE LAS CIENCIAS

En cierta ciudad se quiere construir un Museo de las Ciencias. El proyecto aprobado cons-ta de cuatro salas semicirculares de 20 m de radio y 10 m de altura, un recinto cuadrado central de 40 m de lado y, encima de él, una pieza cilíndrica de radio r, rematada por una cúpula acristalada de radio r.

40 m

10 m

r

SALADE

FÍSICA

SALADE

QUÍMICA

SALA

DE

MA

TEM

ÁTI

CA

S

SALA

DE C

IENC

IAS

NA

TURA

LES

40 m

40 m

40 m

ASTRO

NÓ

MIC

A

CÚ

PULA

r

r

10 m


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148

Unidad 12

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a) x = 2 cm

Alat = 432 cm2; Atot = 619,2 cm2

V = 2 244,7 cm3

b) x = 4,95 cm ≈ 5 cm

Alat = 240 cm2; Atot = 290 cm2

c) x = 2,75 cm; h = 7,25 cm

Alat = 77,5 cm2; Abase = 27,5 cm2

Atot = 105 cm2

V = 66,4 cm3

d) x = 12 cm

Alat = π · r · g = 424 cm2

Abase = π · r 2 = 254,34 cm2

Atot = 678,34 cm2

V = 1 017,36 cm3

e) x = 8 cm

Alat = 150,8 cm2; Abases = 56,55 cm2

Atot = 207,35 cm2

V ≈ 226 cm3

f) Asemiesfera = 100,48 cm2

Vsemiesfera ≈ 134 cm3

APLICA. ARREGLOS EN LA CASA RURAL

1. Aplanta = 324 m2

Coste = 3 240 €

2. x = 10 m; y = 5 m

Atejado = 405 m2

Coste total → 5 670 €

3. V = 5 022 m3

Necesita 51 radiadores.

Coste radiadores → 3 060 €

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. a) Atot = 511,68 cm2

b) Altura de una cara: a = 12,04 cm

Alat = 240,8 cm2

Abases = 52 cm2

Atot = 292,8 cm2

c) Altura de una cara triangular: a = 5,66 cm

Alat = 259,92 cm2

x = 3,46 cm

Abase = 41,52 cm2

Atot = 301,44 cm2

2. a) h = 38,16 cm

H h20 12= → H = 63,6 cm

H – h = 25,44 cm

V = 24 935,7 cm3

b) V = 323,733 cm3

3. Vagua = 557 700 dm3 = 557 700 l

APLICA. MUSEO DE LAS CIENCIAS

1. r = 20 m

2. 4 113,27 m2

3. 6 283,18 · 25 = 157 079,5 €



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149

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. FRISOS Y MOSAICOS

MOVIMIENTOS

Un movimiento es una transformación en el plano en la cual todas las figuras mantienen ...................................

..................................................................................................................................................................................

En un movimiento, la distancia entre dos puntos cualesquiera, P y Q, permanece ...........................................

Es decir, si P → P' y Q → Q', entonces PQ = .................................

Se dice que un punto o una figura es invariante o doble en un movimiento cuando se transforma en ................

..................................................................................................................................................................................

TRASLACIONES

Se llama traslación T según el vector t a una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P' tal que

PP ' = ..............................

Puntos dobles: ...........................................................

Figuras dobles: ..........................................................

....................................................................................

....................................................................................

Dibuja el resultado de trasladar este triángulo según las traslación del vector t . Nombra sus vértices.

C

A

B

→t

GIROS

Se llama giro G de centro O y ángulo α a una trans-

formación ..................................................................

....................................................................................

Puntos dobles: ...........................................................

Figuras dobles: ..........................................................

....................................................................................

....................................................................................

Dibuja el resultado de aplicar a este triángulo un giro de centro C y ángulo 90°, según el movimiento de las agujas del reloj.

CA

B

SIMETRÍAS

Se llama simetría S de eje e ...................................

....................................................................................

Puntos dobles: ...........................................................

....................................................................................

Figuras dobles: ..........................................................

....................................................................................

....................................................................................

Dibuja el resultado de aplicarle al triángulo una sime-tría de eje e.

C e

A

B



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................13


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150

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................13

PRACTICA

1. Dibuja la figura simétrica de a) respecto al eje e y la de b) respecto al punto O.

a) b)

eA

B

CD

E

A B

CDO

2. Dibuja la figura trasladada de a) según el vector de traslación u y la trasladada de b) según el vector v .

a) b)

A B

C

D

E

→u

A

B

C

DE

→v

3. Dibuja las siguientes figuras después de efectuar sobre ellas un giro de centro O y ángulo, el indicado en cada caso.

a) El punto A, un ángulo de 30°.

AB

O

A

O

A

C

B

D

O

b) El segmento AB, un ángulo de 90°.

AB

O

A

O

A

C

B

D

O

c) El trapecio ABCD, un ángulo de 180°.

AB

O

A

O

A

C

B

D

O

Si comparas el movimiento 1-b) con el 3-c), ¿qué descubres?


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151


1. ¿Qué movimiento transforma la baldosa 1 en la 2 ? ¿Y la 1 en la 3 ?

2. ¿Cómo se pasa de la baldosa 1 a la 6 ? ¿Y de la 6 a la 7 ?

3. ¿Cuántas baldosas necesitaremos, al menos, para cubrir 1 m2?

Si queremos alicatar un cuarto de baño con forma de ortoedro de dimensiones 6 m × 4 m × 3 m, ¿cuántas de estas baldosas necesitaremos?

APLICA. FRISOS Y MOSAICOS

Para estudiar los movimientos en el plano, el profesor de Matemáticas de 3.º de ESO lleva a sus alumnas y alumnos a una exposición. A Juan le toca estudiar varias cuestiones de esta composición:

20 cm

20 cm 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10


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152

Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................13

PRACTICA

1. Construye la figura simétrica de cada una de estas en los casos que se indica:

a) Respecto al eje e. b) Respecto al punto O.

eAB

C

D

EF

GH

I

A

O

B

C

D

EF

GH

I

2. Considera el triángulo de vértices O (0, 0), A (1, 3) y B (4, –1).

a) Represéntalo.

b) Dibuja el triángulo O'A'B' trasladando el anterior según el vector u (5, 1).

c) ¿Qué coordenadas tienen los vértices del triángulo O'A'B' ?

3. Considera el cuadrado de vértices O (0, 0), A (3, –1), B (1, 3) y C (4, 2). Dibuja el cuadrado O'A'B'C' que resulta al girar OABC un ángulo de –180° con centro en O.

a) ¿Cuáles son las coordenadas del nuevo cuadrado O'A'B'C' ?

b) ¿Cómo son las dos figuras entre sí?


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153


1. ¿A partir de qué polígono regular se obtienen las dos baldosas que forman el enlosado?

2. ¿Qué movimiento transforma la baldosa 1 en la 6 ? ¿Y la 1 en la 3 ?

3. ¿Cómo se puede pasar de la baldosa 1 a la 8 ? ¿Qué relación hay entre este movimiento y los movimientos sucesivos 1 → 2 → 3 → 8 ?


Para estudiar los movimientos en el plano, el profesor de 3.º de ESO decide llevar a sus alumnas y alumnos a ver los mosaicos del palacio árabe del pueblo de Juan. A este le toca estudiar varias cuestiones sobre esta composición, que se puede ver en una de las estan-cias del palacio:

1

6 8

34

9

5

10

2

7

A B

C D


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154

Unidad 13

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a)

eA

B

CD

EA'

B'

C'D'

E'

b)

A B

CDO

A'B'

D'C'

2. a)

A B

C

D

E

A' B'

C'E'

D'

→u

b)

A

B

C

DE

A'

B'

C'

E' D'→v

3. a) b)

A

A'

O

A

A'

B

B'

O

c)

A

C

B

D A'

C'

B'

D'

O

Los movimientos 1-b) y 3-c) son equivalentes.


1. 1 → 2 Simetría (eje) 1 → 3 Traslación

2. 1 → 6 Simetría (centro)

6 → 7 Simetría (eje)

3. 25 baldosas; 2 100 baldosas para el baño.

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. a)

eAB

C

D

EF

GH

I

A'

B'C'

D'E'

F'

G'

H'

I'

b)

A

O

B

C

D

EF

GH

I

A'B'

C‘

D'

E'

F'

G'

H'I'

2. O' (5, 1)

A' (6, 4)

B' (9, 0)

A

BO

A'

B'O'

O'(5, 1)A'(6, 4)B'(9, 0)

3.

A

BC

C'

O

A'

B'

O'

a) A' (3, 1); B' (–1, –3); C' (– 4, –2)

b) Las figuras son simétricas respecto a O.


1. El triángulo equilátero.

2. 1 → 6 Giro de 60° 1 → 3 Traslación

3. 1 → 8 son simétricos respecto al punto de cor-te (vértice) entre ambos. Este movimiento equiva-le a hacer:

1 → 2 Giro de 60° 2 → 3 Giro de 60°

3 → 8 Giro de 60°

Giro de 180° de 1 a 8 .



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155

TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

POBLACIÓN Y MUESTRA. VARIABLES

• Una población es ...................................................

................................................................................

ejemplo:

• Una muestra es ......................................................

................................................................................

ejemplo:

• Un individuo es ......................................................

................................................................................

ejemplo:

• Las variables numéricas se llaman ..........................

.....................................y pueden ser de dos tipos:

a) ............................................................................

ejemplo:

b) ............................................................................

ejemplo:

• Las variables no numéricas se llaman .....................

................................................................................

ejemplo:

TABLAS DE FRECUENCIA

La siguiente lista muestra el número de libros que han leído los 30 estudiantes de una clase a lo largo del verano. Haz el recuento y rellena la correspondiente tabla de frecuencias absolutas, relativas, porcentuales y acumuladas.

8 5 6 7 6

6 4 5 3 6

5 6 7 8 4

3 4 4 6 3

4 6 7 7 3

5 5 6 8 3

nifrecuencia absoluta

frecuencia relativa

frecuencia porcentual

frecuencia acumulada

3

4

5

6

7

8

total

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Pon nombre a estos gráficos y asocia a cada uno de ellos el tipo de variable para el que se suele utilizar:

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 148,5

2468

101214

153,5 158,5 163,5 168,5 173,5 178,5

INDUSTRIA

AGRICULTURA

SERVICIOS

................................. ................................. .................................

................................. ................................. .................................



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................14


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156

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................14

PRACTICA

1. Indica en cada caso si la variable que se estudia, para un cierto grupo de alumnas y alumnos, es cualitativa o cuantitativa:

a) Número de horas diarias que ven la televisión.

b) Deporte preferido.

c) Número de libros que leen al año.

d) Tipo de libros que leen.

2. Completa la siguiente tabla de frecuencias para una variable X (“Número de hijos por matri-monio o pareja”) en una muestra de 50 parejas de una localidad.

Siendo:

fi : frecuencia absoluta de cada dato x.

fri : frecuencia relativa de xi.

Fi : frecuencia absoluta acumulada.

Fri : frecuencia relativa acumulada.

xi fi fri = fi /n Fi Fri

0

1

2

3

4

5

8

12

14

8

6

2

n = 50

a) ¿Cuántas parejas (en %) tienen menos de 3 hijos?

b) ¿Qué porcentaje de parejas tienen un hijo o más?

c) ¿Qué porcentaje de parejas tienen entre 1 y 3 hijos (ambos incluidos)?

3. Representa en un diagrama de barras las frecuencias absolutas del ejercicio anterior.

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5


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1. Sabiendo que hay 7 300 millones de habitantes en la Tierra, ¿cuántas personas hay que tengan entre 0 y 14 años? ¿Y mayores de 65 años? ¿Y mujeres?

2. Construye una tabla con las frecuencias absolutas correspondientes a la población de cada uno de los continentes.

3. Dibuja el diagrama de sectores correspondiente al porcentaje de la población mundial que hay en cada continente.

APLICA. POBLACIÓN MUNDIAL

Esta curiosa estadística mundial muestra cómo se reparten los habitantes en los cinco con-tinentes, y cómo están repartidos si se tiene en cuenta el sexo o la edad:

SEXO EDAD

GEOGRÁFICAMENTE

50 50

8%

5,5%

10,5%

60,5%

0,5%

15%

260-14

6615-64

8 +65


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158

Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................14

PRACTICA

La siguiente lista corresponde a las horas de estudio semanal de un grupo de estudiantes de un centro de secundaria:

14 9 9 20 18 12 14 6 14 8

15 10 18 20 2 7 18 8 12 10

20 16 18 15 24 10 12 25 24 17

10 4 8 20 10 12 16 5 4 13

1. Reparte los datos en intervalos de extremos: 1,5 - 6,5 - 11,5 - 16,5 - 21,5 - 26,5 y cuenta el número de individuos que corresponde a cada intervalo. Cada vez que cuentes un individuo, táchalo de la lista para no volver a contarlo.

intervalo número de individuos

1,5 - 6,5

6,5 - 11,5

11,5 - 16,5

16,5 - 21,5

21,5 - 26,5

2. Construye una tabla de frecuencias con las marcas de clase y con las frecuencias absolutas, relativas, porcentuales y acumuladas.

intervalomarca

de clase

frecuencia absoluta

frecuencia relativa



1,5 - 6,5

6,5 - 11,5

11,5 - 16,5

16,5 - 21,5

21,5 - 26,5

total

3. Dibuja el histograma correspondiente.

2

4

6

8

10

12

1,5 6,5 11,5 16,5 21,5 26,5


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1. ¿Qué representan las barras? ¿Y la línea continua?

2. ¿Cuáles son las variables? ¿De qué tipo son?

3. Escribe la relación entre las dos variables y razona por qué ocurre así.

4. Indica, razonadamente, cuál de los siguientes climogramas corresponden a San Sebastián, a Santa Cruz de Tenerife, a Salta (Argentina) y a El Cairo (Egipto):

0 0

10 20

20 40

30 60

40 80

50 100

60 120TEMPERATURAS (°C) PRECIPITACIONES (mm)

E F M A M J J A S O N D

A

0 0

5 50

10 100

15 150

20 200

25 250



B

0 0

5 10

10 20

15 30

20 40

25 50



C

0 0

20 5040

10060

15080

200100

250120TEMPERATURAS (°C) PRECIPITACIONES (mm)


D

APLICA. CLIMOGRAMA

Es frecuente que en un mismo gráfico se representen dos series de datos relativos a una misma variable. En este se muestran datos sobre la climatología de Badajoz, durante un año.

0

10

20

30

40

0

20

40

60

80TEMPERATURAS (°C) PRECIPITACIONES (mm)



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160

Unidad 14

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. a) Cuantitativa. b) Cualitativa.

c) Cuantitativa. d) Cualitativa.

2. xi fi fri = fi /n Fi Fri

012345

81214 8 6 2

0,160,240,280,160,120,04

82034424850

0,160,400,680,840,96

1

a) 68 % b) 84 % c) 68 %

3.

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5

APLICA. POBLACIÓN MUNDIAL

1. Entre 0 y 14 años hay unos 1 900 millones de per-sonas. Hay unos 584 millones de personas mayo-res de 65 años. Hay unos 3 650 millones de muje-res en el planeta.

2. continente población (en millones)

América del norte 584

América del sur 401,5

Europa 766,5

África 1 095

Asia 4 416,5

Ocaenía 36,5

total 7 300

3. América del norteAmérica del surEuropaÁfricaAsiaOceanía

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. intervalo número de individuos

1,5 - 6,5 5

6,5 - 11,5 11

11,5 - 16,5 12

16,5 - 21,5 9

21,5 - 26,5 3

2. xifrecuencia absoluta

frecuencia relativa



4 5 0,125 12,5 % 5

9 11 0,275 27,5 % 16

14 12 0,300 30 % 28

19 9 0,225 22,5 % 37

24 3 0,075 7,5 % 40

total 40 1,000 100 %

3.

2

4

6

8

10

12

1,5 6,5 11,5 16,5 21,5 26,5

APLICA. CLIMOGRAMA

1. Las barras representan las precipitaciones, y la lí-nea continua, las temperaturas.

2. Temperatura y precipitación. Cuantitativas conti-nuas.

3. Las temperaturas son altas en primavera y verano, y las precipitaciones son altas en otoño e invierno.

4. A → Santa Crus de Tenerife

B → Salta (Argentina)

C → El Cairo (Egipto)

D → San Sebastián



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161

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

PARÁMETROS DE CENTRALIZACIÓN

• La media de un conjunto de datos, x1, x2, …, xn se calcula así: x– =

ejemplo: 3, 2, 3, 1, 4, 5, 8 → x– = ........................................

• Si ordenamos los datos de menor a mayor, la mediana es ........................................

ejemplo: 3, 2, 3, 1, 4, 5, 8 → Me = ........................................

• La moda de un conjunto de datos es ........................................

ejemplo: 3, 2, 3, 1, 4, 5, 8 → Mo = ........................................

PARÁMETROS DE DISPERSIÓN

• La desviación media del conjunto x1, x2, …, xn cuya media es x– se calcula así: DM =

• La desviación típica es la raíz cuadrada de la .................................. y se calcula así:

σ = ................... =

• El coeficiente de variación sirve para comparar la dispersión de dos poblaciones heterogéneas.

Se calcula así:

CV =

PARÁMETROS DE POSICIÓN

• Primer cuartil, Q1, es el valor de la variable que deja por debajo de él a ............................... de la población.

• ...................... cuartil, Q3, es el valor de la variable que deja por debajo de él a tres cuartos de la población.

• La mediana es el ...................... cuartil, y es el valor de la variable que deja por debajo de él ...........................

de la población y por encima, ...............................

• En este diagrama .................................. la mediana es .............., el primer cuartil es .............., el tercer cuartil

es .............. y el rango o recorrido es .....................................

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21



Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................15


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162

Ficha de trabajo A


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................15

PRACTICA

La siguiente lista muestra el número de conciertos que dan cada mes en la famosa sala Kurgans a lo largo de 40 meses:

3 5 4 5 7 4 3 5 8 6

5 6 4 6 4 4 3 4 4 6

5 5 7 4 8 4 3 5 8 6

4 4 3 6 6 5 5 6 6 4

1. Completa la siguiente tabla a partir de los datos:

xi fi xi · fi xi2 · fi

3

4

5

6

7

8

total

2. Calcula la media, la moda y la mediana del conjunto de datos.

3. Halla la desviación típica y el coeficiente de variación.

4. Calcula los cuartiles y dibuja el diagrama de caja y bigotes.


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1. Halla el promedio ( x– ) de goles y completa las tablas:

EQUIPO A EQUIPO B


0 6

1 4

2 9

3 12

4 4

5 3

total


0

1

2

3

4

5

total

2. Calcula la mediana y la moda en cada caso.

3. Calcula la desviación típica en ambos casos.

4. Halla el coeficiente de variación de cada equipo.

5. ¿Qué equipo es más regular goleando?

APLICA. ¿QUÉ EQUIPO ES MÁS REGULAR METIENDO GOLES?

EQUIPO A EQUIPO B

golesn.º de

partidos

0 6

1 4

2 9

3 12

4 4

5 3

total n = 38

golesn.º de

partidos

0 8

1 10

2 3

3 2

4 8

5 7

total n = 38


fotocopiable

© G

rup

o A

naya

, S. A

. Mat

eria

l fo

toco

pia

ble

aut

oriz

ado

.

164

Ficha de trabajo B


Curso: ............................................................................................................................................ Fecha: ...............................................................................................................15

PRACTICA

1. La altura media de cuatro hombres es 1,80 m, y la de seis mujeres, 1,70 m. Calcula:

a) La suma de las alturas de los cuatro hombres.

b) La suma de las alturas de las seis mujeres.

c) Altura media de todo el grupo de hombres y mujeres.

2. Hemos analizado la sangre de 30 pacientes diabéticos para medir su cantidad de azúcar en sangre (valor de referencia normal, 1). Se han obtenido estos resultados:

0,8 0,8 0,9 0,8 1,1 1,2 1,2 1,3 1,4 1,6

1,1 1,3 1,2 1,5 1,6 1,2 0,8 0,8 0,9 0,9

1,4 1,4 1,5 1,3 1,1 0,8 0,9 0,9 1 1,2

a) ¿Cuál es el rango de la distribución?

b) Agrupa los datos en cuatro intervalos de longitud 0,2 con sus correspondientes marcas de clase, según la tabla. Halla x– y completa la tabla.


0,8 - 1

total

c) Halla la desviación típica.

d) Halla el coeficiente de variación.


© G

rup

o A

naya

, S. A

. Mat

eria

l fo

toco

pia

ble

aut

oriz

ado

.

165


1. a) Halla el número medio de horas que se hace deporte a la semana en cada clase ( x– ) y com-pleta las tablas de arriba. ¿Cuál es la moda en cada caso?

b) Obtén la desviación típica y el coeficiente de variación en cada grupo.

c) ¿Qué clase practica deporte más regularmente?

APLICA. LA CLASE MÁS DEPORTISTA

Analizamos los hábitos deportivos de dos clases, A y B, de 3.º ESO, de 32 alumnos cada una. Los datos quedan reflejados en estas tablas:

CLASE DE 3.º A CLASE DE 3.º B

xi (h/semana)

fi (alumnos)

xi · fi xi2 · fi

0 5

1 7

2 10

5 6

7 4

total

xi (h/semana)

fi (alumnos)

xi · fi xi2 · fi

0 6

2 14

3 10

5 1

7 1

total


fotocopiable

© G

rup

o A

naya

, S. A

. Mat

eria

l fo

toco

pia

ble

aut

oriz

ado

.

166

Unidad 15

Ficha de trabajo A

PRACTICA

1. xi fi xi · fi xi2 · fi

3 5 15 45

4 12 48 192

5 9 45 225

6 9 54 324

7 2 14 98

8 3 24 192

total 40 200 1 076

2. x– = 40200 = 5; Mo = 4; Me = 5

3. σ = 40

1076 5– 2 = 1,38; CV = ,5

1 38 = 0,28

4. Q1 = 4; Q3 = 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

APLICA. ¿QUÉ EQUIPO ES MÁS REGULAR METIENDO GOLES?

1. EQUIPO Axi fi xi · fi xi

2 · fi

0 6 0 0

1 4 4 4

2 9 18 36

3 12 36 108

4 4 16 64

5 3 15 75

total 38 89 287

EQUIPO B


0 6 0 0

1 10 10 10

2 3 6 12

3 2 6 18

4 8 32 128

5 7 7 35

total 38 89 343

x–A = 2,34 x–B = 2,34

2. MeA = 2,5; MoA = 3; MeB = 2; MoB = 1

3. σA = 1,44; σB = 1,88

4. CVA = 0,62 CVB = 0,8

5. Es más regular el equipo A.

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1. a) 1,80 = nxi/ → Σ xi = 7,20

b) 1,70 = nxi/ → Σ xi = 10,20

c) x–total = , ,

107 20 10 20+

= 1,74

2. a) Rango: 1,6 – 0,8 = 0,8

b)


0,8 - 1 0,9 11 9,9 9,91

1 - 1,2 1,1 4 4,4 4,84

1,2 - 1,4 1,3 8 10,4 13,52

1,4 - 1,6 1,5 7 10,5 15,75

total 30 35,2 43,02

x– = ,

3035 2

= 1,17

c) σ = 0,26

d) CV = 0,22

APLICA. LA CLASE MÁS DEPORTISTA

1. a) CLASE DE 3.º A

xi (h/semana)

fi (alumnos)

xi · fi xi2 · fi

0 5 0 0

1 7 7 7

2 10 20 40

5 6 30 150

7 4 28 196

total 32 85 393

CLASE DE 3.º B

xi (h/semana)

fi (alumnos)

xi · fi xi2 · fi

0 6 0 0

1 14 28 56

2 10 30 90

5 1 5 25

7 1 7 49

total 32 70 220

x–A = 3285 = 2,66; x–B =

3270 = 2,34; MoA = MoB = 2

b) σA = 2,28

σB = 1,44

CVA = 0,86 CVB = 0,66

c) La clase B practica más deporte regularmente.


inclusión y atención a la diversidad - junta de andalucía · en la web dispone de ejercicios con...

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