CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EN LAS MEDICIONES

OBJETIVOS

Reportar correctamente resultados, a partir del procesamiento de datos obtenidos a través de

mediciones directas.

INTRODUCCION

En el capítulo de medición se analizó lo que es la incertidumbre absoluta y la incertidumbre

relativa, de este criterio se puede observar que toda medición caerá dentro de un respectivo

intervalo de confianza el cual brindará la certeza de contener el valor real.

Sin embargo este intervalo de confianza en una medición directa es relativamente sencillo de

calcular o estimar. Un problema más complejo es ¿cómo proceder? cuando se tiene que reportar o

expresar correctamente un resultado, partiendo de varias mediciones directas (datos), resulta que se

puede inferir, que si las mediciones directas tienen sus incertidumbres, los resultados obtenidos del

procesamiento de datos (mediciones directas) también lo tendrán, como consecuencia de la

propagación de las incertidumbres de las mediciones directas.

En este capítulo se analizará el problema de cómo expresar correctamente los resultados partiendo

de varias mediciones directas (datos); para esto se considerará el primer caso:

Incertidumbre en resultados obtenidos de una función de una sola

variable:

Considere una magnitud X, al realizar varias mediciones de esta misma magnitud, se observa que

los valores difieren entre ellos (aunque entre ellos exista una mínima diferencia, por lo tanto, el

resultado se debe expresar incluyendo un intervalo de confianza, considerando la misma forma de

expresar una medición directa (X ± δX).

Supongamos que Z es una magnitud que depende de X esto se escribe así Z= f (X); como Z

depende de X es fácil ver que si existe una incertidumbre δX, entonces Z tendrá una incertidumbre

δZ como consecuencia de la propagación de la incertidumbre de X.

¿Cuánto valeδZ?,

En la figura 1, se puede apreciar que:

Zo = f (Xo); ZI = f (Xo – δX)

Zf = f (Xo + δX), en donde δZ = (Zf – ZI) (diferencia finita δZ)

Figura. 1

Ejemplo: Se requiere reportar el área Z de un cuadrado de lado X; entonces: Z = X2,

Pero si X tiene su incertidumbre δX, entonces Z tiene una incertidumbre δZ , por lo tanto;

Z = X2

Zo ± δZ = (Xo ± δX)2

Zo ± δZ = Xo2 ± 2XoδX + δX

2

Como las incertidumbres de las mediciones directas son pequeñas en comparación con las

magnitudes medidas, entonces sus cuadrados y más altas potencias se pueden despreciar, por lo que

X2 se puede despreciar, obteniéndose:

Zo ± δZ = Xo2 ± 2Xo δX ;

De aquí: Zo = Xo y δZ = 2Xo δX.

Donde δZ es la incertidumbre absoluta de Z.

Ahora, si se quisiera expresar la incertidumbre relativa, (definida en el capítulo anterior como la

incertidumbre absoluta con respecto a la magnitud medida):

2

2

Xo

XXo

Zo

Z, lo que nos lleva a

Xo

X

Zo

Z 2

Con el uso del cálculo diferencial se logra una simplificación en la obtención de las incertidumbres

δZ calculada.

Método general para el cálculo de la incertidumbre en resultados

obtenidos de una función de una sola variable:

Si Z = f (X), entonces la derivada de Z con respecto a X es:

dx

xfd

dx

dz

Cuando las diferencias son muy pequeñas (tienden a cero), entonces: x

z

dx

dz; por lo tanto

xdx

xfdz

Es decir, si se quiere encontrar la incertidumbre absoluta δZ, se tiene que derivar la función a

utilizar para encontrar el resultado deseado con respecto a la variable (magnitud, dato) medida

directamente, y a ese resultado multiplicar por la incertidumbre de la magnitud medida

directamente.

Por ejemplo, para el caso anterior del cuadrado:

dX

dZ= 2X, entonces δZ = 2XδX, que fue el resultado que anteriormente se encontró.

En general para cualquier resultado obtenido de una función de una sola variable:

nXZ

XnXZnXdx

dz nn 1 - 1 - ⇒

X

Xn

Z

Z

X

XnX

Z

Zn

n

⇒ 1 -

Incertidumbre en resultados obtenidos de una función de dos o más

variables:

En el caso anterior, se obtuvo una expresión general para determinar laIncertidumbre en resultados

obtenidos de una función de una variable, mediante la aplicación de la derivada; sin embargo, a

INCERTIDUMBRE

ABSOLUTA

INCERTIDUMBRE

RELATIVA

menudo los resultados que se desean obtener no dependen solo de una variable sino de dos, tres o

más variables medidas, y cada una de ellas aportará con su respectivaincertidumbre en la

propagación, así que, δZserá la incertidumbre calculadade la medición indirecta y esta representa el

más amplio margen de posibilidad para Z. Si bien esta apreciación es un poco pesimista nos permite

obtener cierto grado de certeza en la medición Z.

Método general para la incertidumbre de un resultado en funciones de

dos o más variables

Consideremos a Z como un resultado obtenido a partir de las magnitudes (datos) X y Y de tal

manera que están relacionadas mediante la ecuación: Z = X + Y, es decir Z = f (X, Y); en este caso

otra vez X aportará en la incertidumbre con δX , mientras que Y aportará en la incertidumbre con

δY, luego:

Z ± δZ = (X ± δX) + (Y ± δY)

Reordenando: Z ± δZ = X + Y ± δX +δY

Por lo tanto δZ = δX +δY

Ahora, si se utiliza el cálculo, como las dos variables aportan a la incertidumbre de Z, entonces se

podría obtener cada incertidumbre por separado y sumarlos. Si la función es Z = X + Y, usando

derivadas parciales (es decir derivando con respecto a cada variable asumiendo a la otra

momentáneamente constante) 1X

Z entonces XZ o δZ = δX pero eso es solo lo que aporta

X porque se mantuvo a Y constante, ahora si derivamos con respecto a Y obtenemos YZ o

δZ = δY, por lo tanto δZseria igual a la suma de los aportes de X y Y, es decir δZ = δX +δY, lo que

anteriormente se obtuvo.

Generalizando podemos decir que, si F = f (W, X, Y) entonces:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

,,

zz

fy

y

fx

x

fF

zz

fy

y

fx

x

fdF

ZYXfF

Observar que las barras indican el valor absoluto de las derivadas, por lo que las incertidumbres no

se pueden eliminar.

Por ejemplo si Z = X – Y, entonces 1X

Z y XZ , así , YZ , por lo tanto se podría

pensar que δZ = δX – δY, pero eso disminuiría el margen de la propagación es más si δX = δY, se

eliminaría, obteniéndose un δZ = 0, lo cual no es posible si X y Y tienen incertidumbre. Para evitar

estos problemas se considera el más amplio margen de posibilidad para Z, y eso es cuando se

suman las incertidumbres, para eso se utiliza las barras de valor absoluto. Por lo tanto, si Z = X –

Y, entoncesδZ = δX + δY.

Ejemplo 1:

Un estudiante realizó la medición de un cuadrado obteniendo el valor de (10.8 ± 0.1) cm. Desea

encontrar el área del cuadrado con su respectiva incertidumbre. Para este caso tenemos una variable

a la que llamaremos “X” y usaremos la siguiente nomenclatura para la medida así:

(X± ) ; donde X es el valor medido y X: es la incertidumbre de la medición

Por lo tanto la medida del AREA se reportará así:

(A± A) ; donde A es el área y A es la incertidumbre del área

Sabemos que el área de un cuadradoes A=X2

X Dado X= (10,8±0.1) cm

X Área= X2 = (10,8)

2 = 116,64cm

2

Si tenemos en cuenta las reglas de multiplicación y división con cifras significativas nuestro

resultado necesita tener 3 cifras significativas ya que (10,8)2 es como si tuviéramos 10,8x10,8 por

lo que debemos tener siempre presente estas reglas, entonces nuestro resultado del Área de nuestro

cuadrado es:117 cm2

Existen tres métodos para calcular la incertidumbre.

Uso de las diferencias finitas

Calculo diferencial

Calculo por logaritmo neperiano

PRIMER MÉTODO (USO DE DIFERENCIAS FINITAS)

Área mínima:

Amin= (X X)2Amin= (10.8-0.1)

2= (10.7)

2Amin= 114.49 114Amin= 114cm

2

Área máxima:

Amax= (X+ X)2Amax= (10.8+0.1)

2 = (10.9)

2Amax= 118.81 119 Amax= 119cm

2

Una vez obtenido los valores máximos y mínimos del área se procede a la siguiente operación.

Incertidumbre del área ( )

= (Amax-Amin)/2 = (119-114)/2 = 2.5

La respuesta quedaría:

A± A= (117 ± 2.5) cm2

SEGUNDO MÉTODO (CÁLCULO DIFERENCIAL)

Calculamos la incertidumbre del área usando las propiedades del cálculo diferencial

Decimos que es casi igual porque son valores muy pequeños.

Despejando δf.

Remplazando en la fórmula despejada.

Considerando nuestro ejemplo anterior en la cual A=X2

Derivando x2 con respecto a x.

Remplazando los valores de x y δx.

Resolviendo la multiplicación y redondeando a una cifra

significativa porque esa será la única cifra que incidirá en la cifra dudosa de la medición.

Reportando la medición con su respectiva incertidumbre.

TERCER MÉTODO (USO DE LOGARÍTMO NATURAL)

Calculamos la incertidumbre del área usando las propiedades de logaritmo natural y el diferencial

total de dicha función.

Luego aplicamos los siguientes pasos para el cálculo de la incertidumbre absoluta de nuestra

medición indirecta utilizando el método antes mencionado:

Para este ejercicio utilizamos la fórmula para calcular el área de un cuadrado.

Aplicamos logaritmo natural ( ) a ambos lados.

Utilizamos las propiedades de logaritmo natural para bajar nuestro exponente.

Luego derivamos el respecto a A; y respecto a x.

Definimos nuestra función. Derivamos nuestra función respecto a x.

La derivada de nuestra función es .

Como cuando las diferencias son muy pequeñas (tienden a cero), por lo tanto:

Donde igualamos la incertidumbre absoluta de la función y la incertidumbre de la

medición con el resultado de la derivación de nuestra función.

Despejando, nos queda que la incertidumbre absoluta de la función es igual a la

incertidumbre de la medición sobre el valor de la medición.

Aplicando a nuestro ejercicio nos queda: donde, es la incertidumbre absoluta de

nuestra medición indirecta, A es el valor del área, es la incertidumbre de nuestra medición

directa y x es el valor de nuestra medición directa.

Despejando y remplazando datos tenemos que:

Realizando la multiplicación nos queda:

El resultado de la multiplicación nos dio un número con 3cifras significativas, por lo que no es un

resultado válido, ya que en nuestra multiplicación anterior debíamos tener en cuenta las reglas para

la multiplicación y división con cifras significativas. Así que redondeamos nuestra cantidad hasta

una cifra significativa:

Por lo tanto nuestra respuesta final nos queda:A± = (117±2) cm2

Ejemplo 2:

Se utilizó un calibrador Vernier para la medición del diámetro y el espesor de una moneda; con los

datos obtenidos encontrar el área de la circunferencia de la moneda y el volumen de la misma con

su respectiva incertidumbre.

Diámetro: a a = (26,30 0,05) mm; espesor: h h = (1,90 0,05) mm

Determinamos el área A que corresponde al valor medido.

Luego para calcular la incertidumbre absoluta derivamos la función A con respecto a la variable

debido que tiene incertidumbre a

Reemplazando los valores nos queda,

Por lo cual el área de la circunferencia de la moneda con su respectiva incertidumbre es:

Podemos apreciar que

El ejercicio nos pide calcular el volumen es V=Área h

Por lo cual el volumen que corresponde al valor medido es:

V=543.3 * 1.90V= 1032.27 =1032 =1.03 x

Calculamos la incertidumbre del volumen por el método de cálculo diferencial:

Por lo cual hacemos un breve análisis del concepto anterior se tiene la función F la misma que

depende de las variables X,Y,Z en donde la incertidumbre de F es F

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

,,

zz

fy

y

fx

x

fF

zz

fy

y

fx

x

fdF

ZYXfF

En nuestro caso la función corresponde al volumen V= h la misma que depende de la variable

a y h

Observe que la función F se deriva con respecto a la variable a debido a que posee incertidumbre

y que también se deriva con respecto h por que posee incertidumbre

Derivamos V con respecto a manteniendo h como una constante

Derivamos V con respecto h manteniendo a como una constante

Reemplazando nos queda

(1.03x x

Ejemplo 3

Un péndulo simple se usa para obtener el valor de la aceleración de la gravedad (g), usando

g

lT 2 periodo T medido fue ( 02.024.1 )s y la longitud es de )002.0381.0( m ¿Cuál es

el valor de este resultado (g) con su incertidumbre absoluta y relativa?

2

24 2

Tl

g

g

lT

2

2

2

2

2

/78.97823.924.1

381.04

4smg

T

lg

Ejemplo 4:

Determinar la incertidumbre relativa porcentual del resultado obtenido del volumen de un alambre

(cuyo diámetro es d = (3.00±0.01) mm. y su longitud L = (50.0±0.2) cm

Procedimiento para la práctica.

Mida las tres dimensiones del bloque y repórtelas correctamente considerando el error instrumental

además mida también la masa del bloque, y finalmente calcule la densidad del bloque y repórtela

con su respectiva incertidumbre.

Con el calibrador de Vernier registre el diámetro y con el anillo micrométrico registre el espesor de

la arandela (considere el error instrumental). Calcule el volumen, mida también la masa y reporte

correctamente la densidad con su respectiva incertidumbre.

Complete las tablas en donde se reporten correctamente las diferentes medidas de la práctica.

Tenga en cuenta que todos los datos consignados deben tener claras las unidades correspondientes.

Revise el siguiente link.

http://www.youtube.com/watch?v=FjGV6ve-Nxg

TT

gl

l

gg 2

24

Tl

g

3

2

3

2

22

824

4

T

l

Tl

T

g

TT

lT

g

TT

ll

Tg

3

2

2

2 84

%78.3100

10078.9

37.0100

/37.078.9 2

xg

g

xxg

g

smg

37.03669.0

02.024.1

381.08002.0

24.1

43

2

2

2

g

g

Ld

ddL

V44

)2( 2

4

42

2

2

Ld

Ld

dLd

V

V

L

L

d

d

V

V2

100*50

2.0

3

01.02%

V

V%06.1%

V

V

4

2LdV L

L

Vd

d

VV

Preguntas para la prueba de entrada

Usando el segundo método (Cálculo Diferencial) resuelva los siguientes ejercicios.

1.-Se quiere determinar el volumen de un paralelepípedo utilizando su masa y densidad: masa=

(1204.171 ± 0.001) g; densidad del acero medida = (7.850 ± 0.001) g/cm3. Reportar el valor del

volumen del cuerpo con su respectiva incertidumbre en cm3.

2.-En una práctica de caída libre donde un objeto se suelta de una altura h y el tiempo de caída es t

.

Determine la gravedad y su incertidumbre correspondiente.

3.-Un péndulo simple se usa para obtener el valor de la aceleración de la gravedad (g), usando

g

lT 2 periodo T medido fue ( 02.024.1 )s y la longitud es de )002.0381.0( m ¿Cuál es

el valor de este resultado (g) con su incertidumbre absoluta y relativa?

4.-Un estudiante hace las siguientes mediciones de magnitudes, en un mismo experimento:

a = (5 1) cm, b = (18 2)cm, c =(12 1) cm,

t = (3.0 0.5) s, m = (18 1) g M= (2.23 + 0.05) kg

Usando las reglas de propagación de incertidumbres, determine las siguientes cantidades con sus

incertidumbres (absoluta y relativa):

a) a + b + c b) a + b – c c) c/td) m/(abc)e) M –mf) M/m

REPORTE DE DATOS Y RESULTADOS

Práctica de Propagación de Incertidumbre Fecha_________ Paralelo____ P.Entrada ____

Apellidos_____________________ Nombres____________________ Desempeño en clase ____

Informe Técnico ____

P.Sálida____

Total ____

Objetivos de la práctica

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Usando el método de cálculo diferencial, proceda a calcular la incertidumbre absoluta tanto del

volumen V como de la densidad del bloque y el anillo.

Anotar en el casillero correspondiente, el volumen, la masa y la densidad del bloque

Anotar en el casillero correspondiente, el volumen, la masa y la densidad del anillo