(Renato Descartes (1596-1650). Filsofo y matemtico. Padre de la Filosofa moderna. Naci en La Haye en Touraine, cerca de Poitiers. Desde 1967 La Haye se llama Descartes en honor al filsofo. Es considerado el creador de la Geometra Analtica. )GEOMETRA ANALTICA

Competencias de la Unidad. Al concluir la unidad sers capaz de:

1. Calcular la distancia entre dos puntos, la divisin de un segmento de acuerdo a una razn dada, la pendiente de una recta y el ngulo formado por dos rectas.

1. Encontrar la ecuacin de las secciones cnicas con centro en el origen, dadas sus caractersticas.

2. Identificar los parmetros que caracterizan una seccin cnica a partir de su ecuacin y a partir de su grfica.

Contenidos de la Unidad.

Sistema de coordenadas: unidimensional y bidimensional. Divisin de un segmento de acuerdo a una razn dada. La lnea recta. Pendiente de una recta. Formas de la ecuacin de la recta. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas. Punto de interseccin de dos rectas. Secciones cnicas con centro en el origen. (Circunferencia, parbola, elipse e hiprbola).

6.1 Sistema de coordenadas.

6.1.1 Concepto de segmento.

Actividad 1. Observe la figura y diga cules son los elementos que reconoce:

(B) (A)

Identifique los siguientes elementos:

1. Un punto2. Una recta3. Un segmento.

Si has sealado correctamente, has reconocido tres conceptos bsicos de la Geometra Euclidiana.

Actividad 2. De acuerdo a la figura de la Actividad 1, cmo se simbolizan los elementos que identificaste?

a. El punto A.b. La recta. c. El segmento.

6.1.2 Sistema de coordenadas unidimensional. La recta real.

Cuando tu ubicas puntos sobre una recta y le asignas un nmero real a cada punto, ests estableciendo una correspondencia biunvoca.

Concepto de correspondencia biunvoca entre puntos de la recta y el conjunto de los nmeros reales.

(A cada punto de la recta le corresponde un nmero real y a todo nmero real le corresponde un punto de la recta.)En la siguiente figura se ilustra el concepto enunciado:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

{ -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 }

(El conjunto de puntos, en correspondencia uno a uno con el conjunto de los nmeros reales, se llama sistema de coordenadas unidimensional o recta real (o numrica).)Actividad 3. A partir del grfico anterior determina a que nmero real corresponden los siguientes puntos de la recta: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7.

(La recta en la se ubican los puntos de acuerdo a la correspondencia biunvoca se llama recta numrica)

(La grfica representa la recta numrica. Ten presente, que se puede dibujar no slo en forma horizontal, sino que puede estar en cualquier posicin.)

(-0-11+)

(El nmero cero se toma, generalmente como origen del sistema de coordenadas unidimensional. Para los objetivos que se persiguen en la Escuela Secundaria, se acostumbra tomar el cero como origen de coordenadas )

Recuerda la observacin sobre el significado del smbolo hecha por C.F, Gauss y que la presentamos en la primera unidad.

.

(A todo punto de la recta le corresponde un nmero real y a todo nmero real le corresponde un punto de la recta)

6.1.3 La distancia entre dos puntos en el sistema unidimensional.

(Actividad 4. Analiza con detenimiento el Teorema 1 que se presenta a continuacin.)

(Teorema 1. La distancia entre los puntos P1 y P2, se define como el valor absoluto de la diferencia entre las coordenadas de los puntos. Si representamos la distancia por d, se escribe: o tambin , donde es la coordenada del punto y es la coordenada del punto )

(Actividad 5. De acuerdo al teorema 1, responda a las preguntas:)

a. Por qu se usan las barras de valor absoluto?

b. Qu significado tiene la afirmacin ?

c. Qu ocurre si los puntos coinciden?

Las preguntas anteriores tiene las respuestas siguientes:

a. Se usan barras de valor absoluto, porque la distancia entre puntos es una cantidad positiva.

b. Esta afirmacin nos muestra que la distancia entre dos puntos es simtrica. Esto significa que se recorre la misma distancia para ir del punto P1 al punto P2 que del punto P2 al punto P1.

c. Si los puntos coinciden, la distancia entre ellos es cero. Esto significa no moverse del punto. Nos podemos convencer que la distancia es cero sustituyendo las coordenadas de los puntos en la frmula que indica el Teorema 1. En efecto:

Si los puntos coinciden, entonces tienen la misma coordenada, y la distancia entre ellos es: .

Actividad 6. Calcula la distancia entre los puntos P1 (8) y P2 (-2) utilizando la frmula del teorema 1.

a. Aplica el teorema 1 para los puntos dados.

b. Realiza el clculo para la distancia de P2 a P1.

c. Compara los resultados. Qu puedes concluir del resultado obtenido?

Actividad 7. Calcula la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos:

a. A(-9) y B(+5)b. C(-34) y D(-16).c. E (45) y F (100)d. G (-23) y H(x)

6.1.4 Sistema de coordenadas en dos dimensiones o bidimensional.

(Concepto de sistema coordenadas en dos dimensiones o bidimensional.)

(Dados dos conjuntos A y B no vacos, el producto cartesiano de A con B, que se denota por se define:, los pares (x, y) se llaman pares ordenados.)

Si los conjuntos A y B son los nmeros reales, entonces el par (x,y) se llama par ordenado de nmeros reales.

Sobre una recta numrica, a cada punto le corresponde un nmero real. En un plano, a cada punto le corresponde un par ordenado de nmeros reales.

(I cuadrantex>0 y y>0II cuadrantex0III cuadrantex