iii interp 2 - instituto de física lrt - buaplilia/numerico/iii_interp_2.pdf · (iv) análisis...

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UnidadUnidad IIIIII

-Interpolación mediantetrazadores:

Lineales, cuadráticos y cúbicos

LMM

Análisis Numérico y Programación

Primavera 2009 LMM

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Conceptos generales• Problema general: Se tiene un conjunto discreto de

valores (mediciones) de unacantidad, se requiere conocerun valor intermedio entre los valores discretos.

Opciones• 1. Obtener una curva que

represente la tendenciageneral de los datos. Vimosregresión por mínimoscuadrados.

• 2. Una curva que pase porcada uno de los puntos en forma directa. Interpolación, vimos mediante polinomios, ahora veremos trazadores

1

2


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f(x) a orden n

],...,,[))...()((...],,[))((

],[)()()(

01110

01210

0100

xxxfxxxxxxxxxfxxxx

xxfxxxfxf

nnn

n

−−−−−++−−+−+=

ji

jiji xx

xfxfxxf

−−

=)()(

],[

ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

−−

=],[],[

],,[Con las diferenciasdivididas

PolinomiosPolinomios de Newton (o Lagrange): de Newton (o Lagrange): parapara n+1 n+1 datosdatos, un , un polinomiopolinomio de de gradogrado nn


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Polinomios de interpolación de Lagrange

∑=

=n

iiin xfxLxf

0

)()()(

n+1 datos xi, yi, i=0,1,…,n

∏≠= −

−=

n

jij ji

ji xx

xxxL

0

)(


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TrazadoresTrazadores((splinessplines, en , en inglinglééss))

• ¿Qué es un trazador?

Cinta semirígidausada para trazarcurvas en dibujos, planos.


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TrazadoresTrazadores((splinessplines, en , en inglinglééss))

• Usan polinomios, pero de grado inferior

• Se ajustan subconjuntos de datos

• ¿Por qué usarlos?a) Para funciones que

presentan un cambio local abrupto

b) Polinomios de gradosuperior presentanoscilaciones indeseables, al limitar el grado en el trazador éstas se eliminan.


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Trazadores lineales

• Conjunto de funciones lineales (entrecada pareja de datos, la función de interpolación es lineal)

nnnnn xxxxxmxfxf

xxxxxmxfxfxxxxxmxfxf

≤≤−+=

≤≤−+=≤≤−+=

−−−− 1111

21111

10000

),()()(...

),()()(),()()(

f(x)

x

m0

m1

m2

x0 x1 x3x2xNo da una función suave

En los nodos la primera derivadade f(x) es discontinua

=nodo


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Ejemplo• Ajuste los datos de la tabla con

trazadores de primer grado. • Evalúe la función en x=5

60.05.4715.2=

−−

=m

x3

x2

x1

x0

0.59.02.57.01.04.52.53.0f(x)x

Solución.Se calculan las pendientes de laslíneas entre pares de puntos.Para el caso x=5, notamos que se encuentra en el intervalo [4.5,7]. La pendiente en este intervalo es

3.15.0*60.0.1)5.45()5.4()5(

=+=−+=== mxfxfEvaluando con esta

pendiente en la funciónlineal correspondiente


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Trazadores Cuadráticos• En general, si las m-ésimas derivadas deben ser

continuas, se requiere un trazador de un grado al menosm+1.

• Los de segundo grado tienen primeras derivadascontinuas en los nodos.

• En cada intervalo

iiii cxbxaxf ++= 2)(f(x)

x

a1,b1, c1

x0 x1 x3x2x

Si n+1 datos, n intervalos 3n constantes (a,b,c) por determinar

necesitamos 3n ecuaciones.Notar que hay n-1 nodosinteriores, es decir, nodos que no son los extremos.


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¿Cómo encontrar las ecuaciones?• Los valores de la función

de polinomiosadyacentes deben ser iguales en los nodosinteriores (i = 2,…, n)

)(

)(

112

1

11112

11

−−−

−−−−−−

=++

=++

iiiiii

iiiiii

xfcxbxa

xfcxbxa

Tenemos 2n-2 ecs.Puesn-1 nodos interiores(2 ecs. para c/nodo)

f(x)

x

f(x)=ai-1 x2+bi-1 x+ci-1f(x)=aix2+bix+ci

xi-1 xixi-2

Intervalo i-1 Intervalo i

(I)


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¿Cómo encontrar las ecuaciones restantes?

• La primera y la últimafunción deben pasar porlos puntos extremos.

• Las primeras derivadasen los nodos interioresdeben ser iguales.

• Suponemos que en el primer punto la segundaderivada es cero. Así, trazador del primer intervalo es lineal (trazador natural)

)(

)(2

0101201

nnnnnn xfcxbxa

xfcxbxa

=++

=++

iiiiii bxabxabaxxf

+=+

+=

−−−− 1111 222)('

a1=0

2

o bien n-1

1

Total 2n-2+2+n-1+1 = 3n ecuacionesPero Ec (IV) ya da el valor de una a, entonces 3n-1 ecuaciones

No. ecs

(II)

(III)

(IV)


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SistemaSistema de de ecuacionesecuaciones resultanteresultante

• Note que el sistema de ecuaciones para las a, b, c puede escribirse como(Nota: m =3n-1) ⎟⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mmmmmm

m

m

B

BB

AAA

AAAAAA

.........

.........

2

1

2

1

21

22221

11211

χ

χχ

El cual puede resolverse numéricamente.Por ejemplo, la subrutina gauss da un vector de resultados, quecorresponden a

b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 … am bm cm

c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 … cm-2 cm-1 cm

a1=0

Intervalo 1 2 3 m


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Ejemplo• Usar los datos de la tabla de la pag. 8• Notar que tenemos 4 datos y 3 intervalos 9 incógnitas, pero por Ec.

(IV) solo quedan 8.• Obtener el sistema de ecuaciones para las a, b, c.• Mostrar que los coeficientes para cada intervalo sona1= 0 b1= -1 c1=5.5a2=0.64 b2=-6.76 c2= 18.46a3=-1.6 b3= 24.6 c3=-91.3• Usar la subrutina gauss (en archivo gauss.for) para resolver el

sistema de ecuaciones resultante.

• Escribir las expresiones para los trazadores en cada intervalofi(x)=aix2+bi+ci.

• Evaluar la función en x=5Problema 18.10 del Chapra.


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TrazadoresTrazadores ccúúbicosbicos

iiiii dxcxbxaxf +++= 23)(Polinomio de tercer grado

Se tienen 4n ecuaciones de las condiciones siguientes

• Los valores de la función deben ser iguales en los nodosinteriores (2n-2)

• La primera y la última función deben pasar por los puntosextremos (2).

• Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n-1).

• Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n-1).

• Las segundas derivada en los extremos son cero. Trazadores en los extremos son lineales (2).


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PeroPero … … mejormejor formulaciformulacióónn alternativaalternativa

• Los nodos están unidos por una cúbica la segundaderivada es una línea recta. La escribimos como un polinomio de interpolación de Lagrange

1

1

11 )()()(

−

−

−− −

−′′+−−′′=′′

ii

iii

ii

iiii xx

xxxfxx

xxxfxf

•No conocemos las segundas derivadas.•Integramos dos veces para obtener fi(x) dos constantesde integración. Notar que segundas derivadas de miembroderecho tienen valores dados y vamos a determinarlos.

∫∫∫ −−−

− −−′′

+−−

′′=′′ dxxx

xxxfdxxx

xxxfdxxf i

ii

iii

ii

iii )()()()()( 1

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1 Primera integral,Etc.


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procedimientoprocedimiento

•Las constantes C1 y C2 se obtienen de: igualamos f(x) a f(xi-1) y a f(xi), al evaluarla en xi-1 y xi, respectivamente.

•Obtenemos un polinomio de grado 3 (resultado de dobleintegración de x) con dos incógnitas: las segundas derivadas(ver Ec. C18.3 de Chapra).

112

1

2

1

1

111

1

)2/()()2/()()(

)()()()()(

Cxxxxxxfxxx

xxxfxf

dxxxxxxfdxxx

xxxfdxxf

iii

iii

ii

iii

iii

iii

ii

iii

+−−′′

+−−

′′=′

−−′′

+−−

′′=′′

−−−

−

−−−

− ∫∫∫

Para la primera integral, por ejemplo


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• Derivando la expresión para fi(x) y haciendo que estaprimera derivada sea continua en los nodos interiores, se obtienen n-1 ecuaciones con n+1 segundasderivadas de f (evaluadas en los n+1 nodos) desconocidas.

• Haciendo cero las segundas derivadas en los extremoseliminamos dos incógnitas se tienen n-1 ecuacionescon n-1 segundas derivadas como incógnitas


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EcuaciEcuacióónn ccúúbicabica parapara cadacada intervalointervalo

)(6

))(()(

)(6

))(()(

)()(6

)()()(6

)()(

11

''

1

11

1

1

31

1

3

1

1

−−

−

−−

−

−

−−−

−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

−+

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −′′−

−+

−−′′

+−−

′′=

iiii

ii

i

iiii

ii

i

iii

iii

ii

iii

xxxxxf

xxxf

xxxxxf

xxxf

xxxxxfxx

xxxfxf

Rescribimos la ecuación para fi(x)

Notar que al sustituir los valores de las segundas derivadas, la función quedaperfectamente definida (las cantidades restantes son los datos).

(V)


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Sistema de ecuaciones

• Con las segundas derivadas comoincógnitas, la Ec. C18.3.4 del Chapraqueda como

)]()([6)]()([6)('')()('')(2)('')(

11

11

111111

iiii

iiii

iiiiiiiii

xfxfxx

xfxfxx

xfxxxfxxxfxx

−−

+−−

=

−+−+−

−−

++

++−+−−

Notar que la matriz del sistema es tridiagonal y simétrica

(VI)


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MatrizMatriz tridiagonaltridiagonal

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

44

333

222

11

000

000

fegfe

gfegf

Se puede definir por tres vectores e, f, g de n elementos, dondee1=gn=0Si corresponde a un sistema de ecuaciones, los términosindependientes se pueden dar en otro vector de n elementos, digamosel vector r. Ver subrutina tridiag.La solución de este sistema de ecuaciones puede obtenerse fácilmente, ver subrutinas decomp_thomas y subst_thomas.


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ComparaciComparacióónn entreentre los los distintosdistintos trazadorestrazadores

Aunque la interpolacióncúbica es muy parecida al trazador, difieren sobretodo en las derivadas en los extremos.

Para los datos de la pag. 8


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ComparaciComparacióónn entreentre los los distintosdistintos mméétodostodos de de interpolaciinterpolacióónn

Regresión lineal

Regresión polinomial

Regresión lineal múltiple

Interpolación polinomial de Newton en diferenciasdivididas

Interpolación polinomial de Lagrange

Trazadores cúbicos


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EjerciciosEjercicios• Utilice la subrutina spline para interpolar los datos

de la pag. 8• Recuerde que debe leer el número de datos y los

arreglos x,y=f(x). Estos últimos se encuentran en un archivo.

• Evalúe la función en x=5. Compare con los valoresobtenidos usando trazadores lineales y cuadráticos.

• Resuelva los ejercicios 11, 21 y 22 del Cap. 18 del Chapra.

• Resuelva los ejercicios 3, 9 y 10 del Cap. 20 del Chapra.


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