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Matemática 0 para Algebra 1 y Cálculo Diferencial

Matemática 0 2do.Semestre 2003 1 Profesor: José Daniel Munar Andrade

UCINF Universidad de Ciencias de la Informática

Escuela de Ingeniería

Carrera de Ingeniería de Ejecución en Informática

II PARTE: GEOMETRIA

Matemática 0 Introducción a la Matemática Universitaria

Algebra 1 y Cálculo 1

Profesor: José Daniel Munar Andrade

“Este apunte ha sido desarrollado para proveer a las clases de

Matemáticas Introductorias de un elemento de discusión

que permita unificar criterio en las distintas secciones

que abordan el tema”

Semestre Otoño 2003



Parte 07 Geometría Plana. ANGULOS 0.01 Definición.

Angulo es la abertura que se produce al intersectar dos rectas (Fig.1)

α

A B

D C

o

Fig.1

Un ángulo está formado por dos rayos que tienen un origen común. A ese punto común le llamamos vértice.

O A

B

α

α = ∠ ΑΟΒ

Un ángulo se define a través de tres puntos. La letra central siempre determina el vértice delángulo.(Fig.2)

Fig.2 0.02 Sistemas de medida.

Cuando hablamos de distancia , podemos expresarla de las siguientes formas 3 mts. = 300 cms. = 0,03 kms. En los tres casos nos estamos refiriendo a la misma distancia pero expresada en diferentes unidades. Con los ángulos puede ocurrir lo mismo, es decir , medir un mismo ángulo a través de diferentes unidades. Los sistemas usados son el sexagesimal, el centesimal y el circular. 0.03 Sistema Sexagesimal. En este sistema se divide una circunferencia en 360 partes y cada parte es un grado sexagesimal. 0.04 Subunidades del Sistema Sexagesimal Cada grado consta de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. ( 1º = 60' ; 1' = 60'')



0.05 Sistema Centesimal.

En este sistema se divide una circunferencia en 400 partes iguales y cada parte es un grado centesimal (Fig.4). 0.06 Subunidades del Sistema Centesimal Cada grado consta de 100 minutos y cada minuto de 100 segundos. 0.07 Sistema Centesimal.

En este sistema se divide una circunferencia en 400 partes iguales y cada parte es un grado centesimal (Fig.4). 0.08 Subunidades del Sistema Centesimal Cada grado consta de 100 minutos y cada minuto de 100 segundos. 0.09Sistema Circular En este sistema se divide la circunferencia en 2 π partes iguales ( π = 3,14... ) y cada parte de ella le llamaremos radian .Es una medida perimetral Podemos establecer el siguiente cuadro comparativo entre los Sistemas :

Sistema Sexagesimal Sistema Centesimal Sistema Circular 360 º 400

g 2πrad

180 º 200g πrad.

90 º 100g π/2rad.

Esto significa que si tenemos la medida de un ángulo en cualquiera de los sistemas, podemos transformarlo a cualquiera de los otros dos. En general los sistemas más usados son el Sexagesimal y el de Radianes y se sugiere que para su coversión se utilice la equivalencia 180º-----�π. 0.10 Aritmética angular Suma. Se deben sumar unidades correspondientes entre si:

Ejemplo

28º 39' 43'' +32º 50' 25'' 60º 80' 68''



Deberemos ahora convertir las subunidades ya que 80' son más que un grado y 68" son más que un minuto. Entonces, 60º 80' 68'' = 60º 60' + 20' 60" + 8 " y por tanto queda = 61º 21' 8 " Resta. Al igual que en la suma se deben restar unidades correspondientes entre si :

Ejemplo

73º 17' - 52º 20' 10'' Deberemos transformar las subunidades porque 20' no pueden ser restados a 17'.Entonces, 73º 17' = 72º 77' = 72º 76' 60'' De esta manera, la operación queda 72º 76' 60'' - 52º 20' 10'' 20º 56' 50'' 0.11 Clasificación de los ángulos Angulo agudo.

α

Fig.6 Es aquél que mide menos de 90º(Fig.6) Angulo recto

Fig.7 Es aquél que mide 90º.(Fig.7) Angulo obtuso

α Es aquél que mide mas de 90º y menos de

180º.(Fig.8) Fig.8 Angulo extendido A o B Fig.9 Es aquél que mide 180º.(Fig.9)


Ing. De Ejecución en Informática


Angulo convexo

Fig.11 Es aquél que mide más de 180º y menos de 360º.(Fig 11) Angulo completo

Fig.12 Es aquél que mide 360º (Fig.12) 0.12 Angulos suplementarios Dos ángulos αααα y ββββ se dice que son suplementarios si su suma es un angulo extendido, es decir , α + β =α + β =α + β =α + β = 180º. Entonces, el suplemento de cualquier ángulo α es : 180º - αααα (Fig.13)

180−α α

Fig.13

Ejemplo

¿Cuánto vale el suplemento de un ángulo de 45º? Si α = 45º y se define como suplemento de α' = 180 - α , entonces 180º - 45º = 135º ∴ el suplemento del ángulo es 135º 0.13 Angulos complementarios

Dos ángulos αααα y ββββ se dice que son complementarios si su suma es un




ángulo recto, es decir, α + β α + β α + β α + β = 90º.Entonces, el complemento de cualquier ángulo α es : 90 - αααα (Fig.14)

90−α

α Fig.14

Ejemplo ¿Cuánto vale el complemento de un ángulo de 30º ? Si α = 30º y definimos el complemento como α' = 90 - α, entonces el complemento de un ángulo de 30º es 60º.

0.14 Ángulos adyacentes

Dos ángulos αααα y ββββ se dice que son adyacentes si tienen un lado común y el segundo lado sobre la misma recta.(Fig.15)

A O B

C

α β

Fig.15 Los ángulos adyacentes son suplementarios 015.- Ángulos consecutivos Dos ángulos αααα y ββββ se dice que son consecutivos si tienen un lado en común. (Fig.16)

α β

A O B

C

D

E

Fig.16 0.16 Ángulos opuestos por el vértice Son aquellos que se forman al prolongar los rayos de un ángulo desde el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. En la figura a y b




son opuestos por el vértice.(Fig.17) A B

C D

oα β

Fig.17 0.17 Formación de ángulos. Al intersectar dos rectas tenemos ángulos adyacentes y ángulos opuestos por el vértice.(Fig.18)

γ α β

γ

Fig.18 Angulos adyacentes son: α con β ; β con γ ; γ con δ ; δ con α . Además, α + β = 180 ≡ ; β + γ = 180º ; γ + δ = 180º ; δ + α = 180º Angulos opuestos por el vértice son: α con γ ; β con δ. Además, α = γ ; β = δ 0.18 Angulos entre paralelas Si intersectamos dos paralelas con una transversal tendremos :(Fig.19)L1 // L 2 y S: transversal

s

L1α β

γ δ

L2αβ

γ δ

Fig.19 0.19. Angulos correspondientes

Son aquéllos que están al mismo lado de la transversal y la paralela ; α con α' ; β con β' ; γ con γ’ ; δ con δ' . Además, los ángulos correspondientes son iguales entre si , α = α∋ ; β = β∋; γ = γ∋ δ = δ∋ 0.20 Ángulos alternos




Son aquéllos que se encuentran a diferentes lados de la transversal. Ahora

bien , ángulos alternos internos son aquellos que se encuentran a diferentes lados de la transversal y al interior de las paralelas γ = γ∋ ; δ = δ∋ ; γ = α∋ ; δ = β∋

Ángulos alternos externos son aquéllos que se encuentran a diferentes lados de la transversal pero hacia afuera de las paralelas ; β conδ'; α χον γ∋ ; β = δ∋ ; α = δ∋ Una manera más simple de recordar esto es numerando los ángulos formados entre las paralelas y la transversal, de tal modo que , Ángulos impares son iguales y Ángulos pares son iguales (Fig.20)

12

3 4

5 6

7 8

s

L1

L2

L1 // L2 ; S : transversal (Fig.20 ) 0.21. Bisectriz de un ángulo

Es la semirrecta que divide el vértice de un ángulo en dos ángulos

iguales.(Fig.21)

α/2

α/2α

O A

B

C

COA =

A O B

C

50

b COB

D

COD = DOB = 65º

Fig.21.

0.22 Ejercicios De Selección Única ANGULOS 1.- Si L1 // L2, entonces, la medida del ángulo α, sabiendo que β mide la mitad de α es :

L1

L2 60º

α β

a) 80º b) 60º c) 40º d) 90º e) 75º




2. En la figura se tiene que L1 ⊥ L2. Entonces la medida del ángulo x es :

L

L1

L2 x

α

a) 90º - α b) 180º - 2α c) α d) 45º e) Ninguna de las Anteriores.

3.- En la figura siguiente calcule α si 5α = 2β y L1 // L2

L1

L2 40º

α β

a) 80º b) 100º c) 40º d) 140º e) Ninguna Anterior

4.- En la figura RP y SP son bisectrices y L1 // L2. Entonces la medida del ángulo RPS es :

L1

L2 S

R

P x

100º

a) 40º b) 50º c) 75º d) 90º e) 100º

5.-Para que se cumpla que L1 // L2, el valor de x debe ser :

L1

L2

x+2 x+8

2x+5 2x-1

M1 M2

a) 2 b) 3 c) 8 d) 13 e) Ninguna de las Anteriores

6.- Si L1 // L2 entonces el valor de x es :

L1

L2

100º

M1 M2

60º

x

a) 80º b) 120º c) 140º d) 150º e) 160º




7.- Sabiendo que L es perpendicular a L1 y L2 , determine los valores de α y β.

L1

L2

L

140º

α

β

a) α = 40º ; β = 140º b) α = 50º ; β = 130º c) α = 40º ; β = 100º d) α = 60º ; β = 120º e) α = 20º ; β = 160º

8.- Si L1 // L2 y α = β, entonces el valor de ellos es : L1

L2 50º

α β

a) 25º b) 65º c) 75º d) 130º e) Ninguna Anterior




9.-En la figura se tiene que L1 // L2,entonces el valor del ángulo x en función de α y β es:

L1

L2

x

β

α

a) α - β b) β - α c) (1/2) ( α + β ) d) 2(α - β ) e) α + β

10. Dadas L1 // L2 ; entonces, x en función de α y β es :

L1

L2

x

α

β

a) α - β b) β - α c) 2α - β d) α - 2β e) α + β

11. Dadas L1 // L2, si el ángulo L1PS se trisecta, entonces, x mide :

L1

L2

P

S

x

25º

45º

O

a) 45º b) 50º c) 60º d) 70º e) 90º

12.- Si L1 y L2 forman un ángulo de 30º, entonces, sabiendo que y es el cuádruplo de x se tiene que :

L1

L2

L3

x y

30º

a) x + y = 90º b) x - y = 72º c) y - 4x = 0 d) x + y = 120º e) y = 30º




13. Dadas L1 // L2, entonces x mide :

L1

L2120º

40º

x

a) 20º b) 80º c) 100º d) 120º e) 160º

14. Si L1 // L2, entonces el valor de x es :

L1

L2 60º x+80º

3x+54º

a) 13º b) 25º c) 47º d) 73º e) 93º

15. Si L1 // L2, entonces, el ángulo x formado por las bisectrices de los ángulos en R y S mide :

L1

L2

x

R

S

a) 60º b) 75º c) 90º d) 120º e) Falta información

16. Dadas L1 // L2, determine el valor de x + y

L1

L2

2x

3x - 20º

y + 10º

a) 10º b) 20º c) 30º d) 60º e) Ninguna de las anteriores.

17.- De acuerdo a la figura ¿Cuál es el valor del ángulo COB? ( AC y BD son rectas )

x2x

CB

AD

O

a) 30º b) 60º c) 90º d) 120º e) 180º

18. Si L1 // L2 determine el valor de x + y




L1

L2

x

y 120º

50º

a) 40º b) 70º c) 90º d) 120º e) 170º

19.- En la figura L1 // L2 ; α = 120º - x ; β = 3x + 20º, entonces, el complemento de β es :

L1

L2

α

β

a) 20º b) 40º c) 60º d) 80º e) 10º

20.- En la figura L1 ⊥ L2. ¿Cuánto vale el suplemento de x ?

L1

L2

L

x

3x

a) 22,5º b) 67,5º c) 112,5º d) 157,5º e) Ninguna de las anteriores

21. En la figura L1 // L2; L3 // L4. Determine el valor de x - 2y

L1L2

L3

L4

y

30º

40º

x

a) 30º b) 80º c) 110º d) 180º e) Ninguna de las anteriores




22.- En la figura L1 // L2; α = 30º ; β = δ, determine y - x

L1

L2 x y

δ α β


23. En la figura se tiene que ∠ ABC = 90º; ∠ DBC = 70º, entonces, el valor de ∠ DBE es : A D

E

B C

a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 90º

24. Determine el valor de x

L xα

a) 90º + α b) 180º + α c) 180º - α d) 90º - α e) Ninguna de las anteriores

25.- En la figura se tiene : α = (1/3)β y α = (1/2)γ, determine el valor de x

L

M

N

β

αε

δγ

x

a) 20º b) 40º c) 60º d) 120º e) N.A.




26.- En la figura se tiene que L1 ⊥ L2; MD ⊥ L3 ; L3 bisectriz de ∠ MON. Determine x M

ON

L2

L3

D

x


27.- En la figura, OC es bisectriz de ∠ DOB y OB es bisectriz de ∠ DOA. Determine el valor de ∠ DOA

D O F

C B

A

40º


28.- En la figura se tiene que L1 // L2. Determine la medida de α

L1

L2

100º

α

60º


29. -En la figura se tiene L1 ⊥ L2, ∠ 1 = 35º , ∠ 1 = ∠ 2, entonces, ∠ 3 + ∠ 4 = ?

L1

L3

L2

L4

4

2 1

3

a) 70º b) 90º c) 105º d) 125º e) 160º

30.- En la figura se tiene que L1 // L2 , L2 es bisectriz de ∠ CBA. Entonces el valor de x es :




L1

L2

C

B

A

x

40º


032.- Ejercicios sobre TRIANGULOS (1)

1. Según la figura D y E son puntos medios de AB y BC respectivamente, AC

= AB = 2 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I. El triángulo AED es isósceles II. El área del triángulo AED es 0,5 cm²

III. El perímetro del triángulo AED es (2 + 2 ) cm

A D B

C

E

2. En el triángulo PQR, S es punto medio. Si QR = 4 cm, entonces PS mide :

R S Q

P 3. Según la figura BC = ED, además 2AE = AB. El área del triángulo ABC entonces el área del triángulo ADE es :

A E B

C

D 4. En la figura se tiene que los triángulos mayores son equiláteros e iguales entre sí; PQ mide 1 cm ; R y S son untos medios. Entonces la suma total de los perímetros de todos los triángulos es :

P Q

S R

5. ¿cuál debe ser la medida de un lado de un triángulo isósceles cuya base mide 1 cm, para que su perímetro sea igual al perímetro de un triángulo equilátero de lado 3 cm ?




6. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 12 cm. La hipotenusa es 1,25 veces el tamaño del cateto anterior, entonces, ¿ Cuál es el área del triángulo? 7.- En la figura se tiene que L1 // L2 ; FC // AB ; D es punto medio de EB ; AB = 8 cm ; EB = 10 cm, entonces, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) :

I. ∠ FED + ∠ DBC = 90º II. Per ∆ FED + Per ∆ DCB = Per ∆ ABE III. Ar ∆ FED + Ar ∆ DCB = Ar ∆ ABE (Per = Perímetro ; Ar = Area )

A B

F D C

E

L1 L2

8. Según la figura el perímetro del triángulo ABC es : a) 2(p + a) + (q + b) b) 2(p + q) + (a + b) c) 2(a + b) + (p + q) d) 2(a + b) - (p + q) e) (p + q) + (a + b)

A B

C

ba

pq

β

β

α

α

9. Según la figura el triángulo ABC y BDE son isósceles ; CB = BE. Si el área del triángulo BDE es 10 cm², entonces cuánto mide el área del triángulo ABC :

A B D

C

E

10. De acuerdo a la figura, el perímetro de ABCD es :

A 9 cm B

D 16 cm C

12 cm




11. Según la figura ED // AB y EF = CB, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) : I. Per ∆ EFD = Per ∆ ABC II. AF = CD

III. ∠ FED + ∠ CAB = ∠ ACB

A

B

C

D

E

F

12. El área del cuadrado ABCD es 72 cm² y está formado por 36 cuadrados iguales ¿Cuánto mide el área de la parte sombreada ?

A B

D C

13. Sean : A =(-2,-1) ; B = (3,-1) y C = (5,3), los vértices de un triángulo ¿Cuánto mide el área de dicho triángulo ?

A B

C

X (m)

Y (m)

14. Sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, se han dibujado 2 triángulos congruentes. Si AC = 5 cm ; AB = 12 cm; BD = 4 cm, entonces, el área total de la figura mide :

A B

D

E

C

15.- El ∆ ABC es rectángulo en C, CD ⊥ AB ; el ángulo DCB mide 40º,entonces el ∠ x mide :

40º

x

A D B

C




16.- En el ∆ ABC ; DE // AC , α = 60º y β = 70º,entonces, cuánto mide el ángulo x :

A D B

C

E

α β

x

17.- ABC ∆ equilátero , BD y AD son bisectrices, entonces, ¿cuál es el valor de los ángulos α y β respectivamente?

A B

C

D

α β

18.- ∆ ABC isósceles, entonces α y β miden respectivamente

x y

70

A B

C

19.- Si x = 45º ; y = 135º. ¿qué clase de ∆ es STQ :

S T

Q

x

y

20.- En el ∆ ABC se tiene que el ∠ LAC mide 106º y el ∠ ABC mide 16º , entonces el ∠ MCB mide :

L

A B

C

M

x

21.- En la figura hay tres triángulos equiláteros congruentes , entonces ¿cuánto mide x + y ?

x y




22.- En el ∆ ABC , x : y = 2 : 3 ,entonces el z mide:

xy

z

A B

C

70

50

23. En el ∆ de la figura, ¿cuál de los ángulos es equivalente es equivalente a la suma de los ángulos x e y ? a) R b) P c) Q d) P + Q e) Ninguna anterior

A B

CR

x

y

24. En el ∆ ABC, ¿ cuánto mide x ?

70º

30ºx

A B

C

25.-En la figura el ∆ ABE es equilátero y el ACD es rectángulo en C, si el ∠ CDF mide 100º,entonces el ∠ x mide :

A B C

E D

F

60º

x

26. AB : AD = BC : CE ,entonces el ∠ x mide:

A D B

C

E

70º 30º

x

27.- BP y CP son bisectrices de los ángulos exteriores del ∆ ABC ,entonces el ∠ a mide :

A B

C P

a

50º

40º




28.- BP y CP son bisectrices de los ángulos exteriores del ∆ de la figura, entonces cuánto mide el ∠ a :

A B

C

P

a




Geometría CUADRILATEROS 0.33.- Definición Un cuadrilátero es un polígono formado por cuatro lados 0.34 Suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero esta dada por Sint = 180º ( n - 2 ), siendo n el número de lados, la suma será siempre 360º. 0.35 Suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero.

La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es 360º 0.36 Clasificación de los cuadriláteros.

Los cuadriláteros se clasifican en • Paralelógramos • Trapecios • Trapezoides

0.37 Definición Paralelogramos

Son cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos. Los paralelogramos son 1.- Cuadrados ;2.- Rectángulos ; 3.- Rombos ; 4.- Romboides 0.38 Propiedades Generales de un Paralelogramo. Las cuatro figuras que acabamos de mencionar en el párrafo anterior cumplen con las siguientes propiedades generales:

a) lados opuestos iguales b) ángulos opuestos iguales c) ángulos consecutivos suplementarios d) las diagonales se dimidian, es decir , se dividen en dos partes iguales




0.39 Propiedades Particulares del Cuadrado

a a

45º 45º

a 2

A B

D C

Fig.1

a) Tiene sus cuatro lados iguales b) Tiene sus cuatro ángulo iguales a 90º c) Las diagonales son iguales y miden a √2 d) Las diagonales son bisectrices de los ángulos interiores e) Las diagonales son perpendiculares entre si

f ) El área es a², siendo a el valor del lado g) El Perímetro es 4a , siendo a el valor del lado.

0.40 Propiedades Particulares del Rectángulo

A a B

D C

b

a²+b² β

α

α β

Fig.2

a) Tiene sus lados consecutivos diferentes b) Tiene sus cuatro ángulo iguales a 90º c) Las diagonales son iguales y miden

22 ba + d) Las diagonales NO son bisectrices e) Las diagonales NO son perpendiculares f ) El área es (a�b) siendo a y b los lados del rectángulo. g) El Perímetro es 2a + 2b = 2(a + b)

0.41.- Propiedades Particulares del Rombo

A a B

D C

ad1

d2

α α

h

Fig.3

a) Tiene sus cuatro lados iguales b) Tiene sus ángulos consecutivos diferentes c) Las diagonales son diferentes d) Las diagonales son perpendiculares entre si e) Las diagonales son bisectrices de los ángulos interiores. f ) El área es : (a�h)

= d1�d2 , d1 y d2

son las 2 diagonales. g) El Perímetro es 4a, siendo a el valor del lado




0.42 Propiedades Particulares del Romboide

A a B

b

D C

α β

β α

ha

Fig.4

a) Tiene lados consecutivos diferentes b)Tiene ángulos consecutivos diferentes c) Tiene diagonales diferentes d) Las diagonales no son bisectrices e)Las diagonales no son perpendiculares entre si f ) El área es (a�ha) o (b�hb) , donde ha es la altura sobre el lado a y hb es la altura sobre el lado b g) El perímetro es 2a + 2b = 2(a+b)

0.43 Definición Trapecios Es todo cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos. Los lados paralelos son llamados bases.(Fig.5) AB || CD a y b son las bases c y d son los lados no paralelos

A a B

d c

D b C

Fig.5

0.44 Mediana Al unir los puntos medios de los lados no paralelos resulta un trazo llamado mediana (Fig.6) MN = Mediana MN = CD + AB 2

A a B

d c

D b C

Fig.6

0.45 Area y Perímetro de un Trapecio

El área de un trapecio se calcula como h*CDAB

Area2

+= es decir, el área

de un trapecio es la semisuma de las bases por la altura. Lo anterior es equivalente a decir h*MNArea = . El Perímetro corresponde a AB + BC + CD + DA




0.46 Clasificación de los Trapecios

Los trapecios se clasifican en :Trapecios isósceles ; Trapecios rectángulos Trapecios escalenos 0.47 Trapecio Isósceles. Son aquellos cuyos lados no paralelos son iguales.(Fig.7) AB y CD lados paralelos AD y BC lados no paralelos

A a-b a-b

2 2

b

b

c c

α α

a

B

D C

Fig.7

0.48 Trapecio rectángulo Es aquél en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases (Fig.8) AB y CD lados paralelos AC y BD lados no paralelos

A B

C D

Fig.8

0.49 Trapecio Escaleno Es aquél que tiene todos sus lados diferentes. (Fig.9)

A b B

a c

D d C

Fig.9

0.50 Definición Trapezoide Es todo cuadrilátero que no tiene lados paralelos. Este puede ser simétrico o asimétrico (antisimétrico) 0.51 Trapezoide simétrico

También llamado deltoide está formado por dos triángulos isósceles que tienen la base en común.(Fig.10)




El área de un deltoide es el semiproducto de las diagonales. Area = d1�d2 2 El perímetro es la suma de todos sus lados

A C

B

D

d1

d2

Fig.10 0.52 Trapezoide asimétrico. Para calcular el área de este trapezoide, lo único que se puede hacer es dividirlo en figuras conocidas ( triángulos , cuadrados , trapecios etc.) y calcular por separado el área de cada una de estas figuras y posteriormente sumarlas. (Fig.11)

A

B

C

D

Fig.11

0.53.-Ejercicios Para Desarrollar Cuadriláteros 1.-

a

b

A B

C D

∠ a+ ∠ b = ?

2.-

A B

x

D C

Si AD = DE = EC ,∠x = ?

3.-

A E B

D F C

20º

x

AB || CD , EF es bisectriz del ∠ DEB ; ∠ x = ?

4.- ABCD cuadrado ; BC diagonal ; ∠x = ?




A B

C D

x

25º

5.-.

A B

C D

0x

ABCD cuadrado ; O pto de intesección de diagonales ; ∠x = ?

6.-

A B E

D C

45º

X

AECD Trapecio ; ABCD cuadrado ; AE = AC ; ∠x = ?

7.-

A B

C D

x

ABCD cuadrado ; AD = 3 √ 2 ; ∠x = ?




8.-

A B

C D

E

F

ABCD cuadrado , AEFG rectángulo , ∠CBF = ?

9.-

A B

D C

E

ABCD rectángulo , CB = BE , ∠ABD = 60º, ∠BEC = ?

10.-

A D C

E

F

30º

.-∠ABE = ? , ∠ADC =? , ∠BCD = ?

11.-

A B

D C

x 40º

ABCD Rombo

12.-

ABCD Romboide ; ∠x= ?




A B

D C

x

40º 30º

60º

13.-

A B

D C

30º

80ºX

ABCD Romboide ; ∠x = ?

14.-

A B

D E F

C

60º

ABCD Romboide ; x = ? BC bisectriz ∠ABF , ∠ECD = ?

15.-

A B

D C

a a

a

x

2 3

3

ABCD Romboide ; x = ?

16.-

A B

D C

6x + 40º

8x


17.-





A B

D C

a

110º

18.-

A B

D C

50º 110º

ABCD trapecio isósceles ,∠ DBC = ? y ∠BCD = ?

19.-

A

B

C

D

125º

Xº

y

80º

ABCD cuadrilátero ; ∠x = ∠y/4 , ∠ y = ?

20.-

A B

DC

Y

X

130º

ABCD cuadrilátero ; x = 3y , ∠x = ? e ∠y = ?




21.-

A

B

C

D

70º

30º

25º

x

ABCD cuadrilátero ; ∠x = ?

Geometría Plana . CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO 0.55 Circunferencia: Circunferencia , es una curva plana, cerrada, tal que todo sus puntos equidistan de un punto fuera de ella llamado centro.(o) (Fig.1)

�o

Fig.1

0.56 Círculo Círculo, es una región del plano limitada por una circunferencia.(Fig.2)

�

Fig.2 0.57.- Elementos de un Círculo o Circunferencia Radio ( r ) Es el segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto sobre ella.(Fig.3) OA = r = radio

�o Ar

Fig.3

0.58 Cuerda ( c ) Es el segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia (Fig.4) AB = Cuerda

�O

A B

Fig.4




0.59 Diámetro ( D ) Es la mayor de las cuerdas,es decir, la cuerda con mayor longitud .La cuerda con mayor longitud de una circunferencia se obtiene cuando esta pasa por el centro y es equivalente a dos veces el radio.(Fig.5) r = radio ; AB = d = diametro

�r r

d

A B

Fig.5

d = 2r 0.60Secante ( s ) Es la recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos.(Fig.6) S = secante

�O

S

Fig.6

0.61 Tangente ( T ) Es la recta que intersecta la circunferencia en un solo punto P llamado punto de tangencia.(Fig.7) . T = tangente y P = punto de tangencia La recta tangente resulta de ser perpendicular al radio en el punto P ( sólo en ese punto)

� O

T

P

Fig.7

0.62 Arco de Circunferencia: Porción de la circunferencia limitada por dos puntos sobre ella.(Fig.8) AB = Arco ; a = ángulo

O

B

Aα

Fig.8




Los arcos se miden en el sentido opuesto al movimiento de los punteros del reloj(Fig.9) ∩ ∩ AB = Arco ; BA = Arco

O

B

A

α

Fig.9

0.63 Sector Circular Porción del círculo limitada por dos radios y un arco de circunferencia .(Fig.10) r = radio ; AB =arco

B

A

r

ro

α

0.64 Segmento Circular Porción del círculo limitada por una cuerda y un arco de circunferencia.(Fig.11) AB = Cuerda ; AB = Arco

B

A

Fig.11 0.65 Area del Círculo El área del círculo es p r² , donde p = 3,14 y r es el radio del círculo.(Fig.12)

�

Fig.12

0.66 Perímetro de la Circunferencia El perímetro de la circunferencia es 2 p r con p = 3,14 y r es el radio. Usando estas fórmulas podemos calcular el área de un sector circular.(Fig.13)

º

a*r*pArea360

2=

B

A

r

ro

α

Fig.13




y la longitud de arco AB es :(Fig.14)

º

aprlAB360

2=

O

B

A

α

Fig.14

Ejemplo ¿Cuál es el área del sector circular definido por el arco AB,si a = 105º y el r = 3 ? (Fig.15)

BA

O

3 3 α

Fig.15 a = 105º Area = p 3² �105º = 105º�9p = 21p 360º 360º 8

0.67 Ángulos en la circunferencia Angulo del centro Es aquél que esta formado por dos radios y cuyo vértice esta sobre el centro de la circunferencia.(Fig.17) AB = arco

A

B

ڼٻ

Fig.17

0.68 Angulo inscrito Es aquél que está formado por dos cuerdas y cuyo vértice está sobre la circunferencia (Fig.18)

A B

β

Fig.18

En ambos casos los ángulos subtienden o describen un arco AB sobre la circunferencia 0.69 Teoremas Angulos inscritos que subtienden o describen el mismo arco son iguales. (Fig.19) La medida del ángulo no depende del

α

α α

A

B

Fig.19




vértice sino que del arco que subtiende Angulos del centro que subtienden arcos iguales son iguales. (Fig.20) Si CD = AB , entonces a = b

AB

C

D

β

α

Fig.20 Un ángulo inscrito a y un ángulo del centro b que subtienden el mismo arco satisfacen que:(Fig.21) b = 2a

β

α

Fig.21

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.(Fig.22)

A B

C

Fig.22 g + d = a

α

β

δ γ

Fig.23 En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia se tiene que los ángulos opuestos son suplementarios. (Fig.24). a + b = 180º

α

β

Fig.24




El ángulo exterior de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia es igual al ángulo interior opuesto. (Fig.25)

α

α

Fig.25 Todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia satisface que :(Fig.26) a + c = b + d

b d

a

c Fig.26 Angulo exterior.(Fig.27) a = b - c 2

b c a

Fig.27

0.70 Ejercicios Para Desarrollar Circunferencia Y Circulo

Para el desarrollo de los siguientes ejercicios , considere 0 como centro de las circunferencias y a x la incógnita permanente 1.-

A

B

C

100º 95º

x 0

R : ( ) 2.-

A

B

C

x

0

E

D

40º

90º

R : ( )




3.-

A

B

C

x

0

25º 120º

R : ( ) 4.- BC = BA

A

B

Cx

0

140º

D

R : ( ) 5.-

A

B

Cx 0

D

70º

R : ( ) 6.-

A

B

C

x

0

D

30º

120º

R : ( )




7.- AD || BC

A

B

C

x

D

30º

R : ( ) 8.- AM 0 MB ; AB es el diámetro

A Bx 0

M R : ( ) 9.- T es la tangente y P el punto de tangencia

0

X

100º

T

P

Q R : ( ) 10.-

A

B

x 0

C

140º

30º

R : ( )




11.-

A

B

C

x

0

20º30º

R : ( ) 12.- CD = 1/2 AB

A B

C

x

D

R : ( ) 13.- T es la Tangente y P es el punto de tangencia

x

T

0

P

A B 60º

R : ( ) 14.-

x

0 A B

C

36º

R : ( ) 15.-




A

B

C

x

050º

D

R : ( ) 16.- y = 1/2 x ; calcular x e y

A

B

C

x

210ºY

R : ( ) Geometría AREAS Y PERIMETROS Areas y Perímetro de Triángulos 0.70 Area y Perímetro de un Triángulo cualquiera. Area = c.h c = b.hb = a.ha 2 2 2 Perímetro = a + b + c c

b

a

A B

C

A B

C

b

a

c

ch

hc

hb

ha

0.71Triángulo Rectángulo




Area = a . b = c.hc 2 2 Perímetro = a + b + c Teorema de Pitágoras : a

2 = b

2 + c

2

b a

cA B

C

hc

0.72 Triángulo equilátero.

Area : = a2/4 √ 3

Altura = a/h √ 3

A a B

C

ha a

0.73 Triángulo isósceles Area = c.h 2 Altura = ( se aplica Pitagoras )

A c B

C

ha a

0.74 Area y Perímetro de un Cuadrado

Area = a2

Perímetro = 4a

d = a 2 d

a

a

A B

D C

0.75 Area y Perímetro de un Rectángulo

Area = e . L

Perímetro = 2e + 2L

d = 22 Le +

A B

C D

L

e d




0.76 Area y Perímetro de un Rombo Area = e . h =

D.d

2

Perímetro = 4 e

A B

D C

e e

e

e

d

h

D

0.77Area y Perímetro de un Romboide Area = L . h =

D.d

2 Perímetro = 2L + 2e

A L B

e e

d

h

D

D CL

0.78 Area y Perímetro de un Trapecio Area = e + d . h 2 Mediana = e + d 2 A d B

D e C

h

M m N

0.79 Area y Perímetro de la Circunferencia

Area = π r 2

Perímetro = 2 π r

Arco AB = 2 π rº

a

360

Sector = π r 2

º

a

360

A

B

a

0.80 Ejercicios Para Desarrollar Areas Y Perimetros de : 1.- Un cuadrado de área 169 m2 . P : ( cm)




2.- Un predio rectangular que se necesita cercar y que tiene 63 mt de largo y una superficie de 3.402 m2 . P : ( cm) 3.- El cuadrado mayor que resulte de construir uno sobre la diagonal del otro , considerando que el perímetro del menor es 16 cm. P : ( cm) 4.- Un cuadrado de 16cm

2 de área y cuyo lado diminuye en 1 cm.

P : ( cm) 5.- Un cuadrado de área x cm

2 .

P : ( cm) 6.- Un cuadrado , si el radio de la circunferencia circuncrita a él es 4√ 2 ? P : ( cm) 7.- De un nuevo cuadrado que resulta de la variación del perímetro de uno de lado a cuando cada uno de sus lados aumenta en una unidad ? P : ( cm) 8.- Un cuadrado de lado a, cuando cada uno de sus lados aumenta al doble. P : ( cm) 9.- Un tablero de ajedrez sabiendo que cada una de sus 8 casillas tiene 2,5 cm de lado.

A : ( cm2)

10.- Una superficie que necesita ser revestida con baldosas de 25 cm. de lado y considerando que el patio tiene 12 mt de largo y un ancho que es las 3/4 partes del largo ?

A : ( cm2)

11.- Un rectángulo , si su largo es el triple del ancho y su perímetro es 16.

A : ( cm2)

12.- Un rectángulo que tiene un perímetro de 24 cm y uno de sus lados mide 4 cm.

A : ( cm2)

13.- Un rectángulo cuyo perímetro es 48 y el lado excede en 6 al ancho .

A : ( cm2)

14.- Un rectángulo , si el largo mide 32 cm y el ancho es el 25 % del largo . P : ( cm)




A : ( cm2)

15.- Un rectángulo si su diagonal mide 13 cm. y el ancho mide 5 cm ? P : ( cm)

A : ( cm2)

16.- Un rectángulo cuya suma de los lados de es 100 cm y están en la razón 3 : 7 . P : ( cm)

A : ( cm2)

17.- Un rombo sabiendo que la suma de la base y su correspondiente altura es 18 cm y su diferencia es 2cm. P : ( cm)

A : ( cm2)

18.- Un triángulo rectángulo , sabiendo que el cateto mide 12 cm y la hipotenusa es un 25% más que dicho cateto. P : ( cm)

A : ( cm2)

19.- Una circunferencia de radio 5. P : ( cm)

A : ( cm2)

20.- Una circunferencia de diámetro 20 cm. P : ( cm)

A : ( cm2)

Calcular el Area y Perímetro de las siguientes figuras geométricas : 21.- ABCD romboide .

A B

C D

A : ( cm

2)

P : ( cm )

22.- ABCD Trapecio isósceles.

A 5 B

13

D 14 E

A : ( cm

2)

P : ( cm ) 23.- DEF , Triángulo rectángulo en F 24.- Perímetro ABCDEF = ?




A B

D E

2 2

6 8

F

A : ( cm

2)

P : ( cm )

A B

F E

D C

7

3

12

8

A : ( cm

2)

P : ( cm )

25.- AB = 40 CM

oA B

S1

A : ( cm

2)

P : ( cm )

26.-

o º

20

20

A : ( cm

2)

P : ( cm ) 27.- ABCD cuadrado de lado 6 ; AD y BC diamteros.

D C

A B

A : ( cm

2)

P : ( cm )

28.- Circunferencias congruentes y tangentes de radio 3 cm

º º

º

A : ( cm2)

P : ( cm ) 29.- OP = OQ = 6 cm.

P O Q

A : ( cm

2)

P : ( cm )

30.- AB = 10 cm = diametro

A B

D C

10

A : ( cm

2)

P : ( cm )

31.- AO = OB = 8 cm. 32.- BOA = 60º ; r = 10 cm




A B0

A : ( cm

2)

P : ( cm )

0

A

B

10

A : ( cm

2)

P : ( cm ) 33.- ABCD cuadrado.

0

A B

C D

4

A : ( cm

2)

P : ( cm )

34.- ABCD cuadrado CE = AB = 4 cm.

A B

D C E

3 A : ( cm

2)

P : ( cm ) 35.- BCD triángulo equilátero ; Perímetro ABCDE = ?

A B

C

E D

8

6

36.- ABCD rectángulo ; GF puntos medios

A E B

G F

D C8

6

A : ( cm

2)

P : ( cm )

37.- ABCD cuadrado ; ABFG rectángulo

A E B

G F

D C

6

a

A : ( cm

2)

P : ( cm )

38.-

A B

D 2a E

2bM

AM = MD A : ( cm

2)

P : ( cm )




39.- AM = MD

A B

D E

M

N

6

8

16

12

A : ( cm

2)

P : ( cm )

40.-

A B

D E

2 b ab

A : ( cm

2)

P : ( cm )

41.-

A B

D E

a-x

x

a A : ( cm

2)

P : ( cm )

42.- Area ABC

=

a

a

a a

A B

C

A : ( cm

2)

P : ( cm ) 43.-

A B

C

2 - x

x

A : ( cm

2)

P : ( cm )

44.-

A B

C

x

4

6

x

A : ( cm

2)

P : ( cm ) 45.-

A B

D C

a

c

d

b

E

A : ( cm

2)

P : ( cm )

46.-

A B

D Cb

a

A : ( cm

2)

P : ( cm )




47.-

A B

D C

E

M

4

4

4

48.-

A B

D C

E

F

3

12

A : ( cm

2)

P : ( cm )

ii parte: geometria matemática 0 introducción a la … · 2018-09-06 · matemática 0 para...

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