i parte: aritmetica y algebra matemática 0...

UCINF Universidad de Ciencias de la Informática

Escuela de Ingeniería

Carrera de Ingeniería de Ejecución en Informática

I PARTE:

ARITMETICA Y ALGEBRA

Matemática 0 Introducción a la Matemática Universitaria

Algebra 1 y Cálculo 1

Profesor: José Daniel Munar Andrade

“Este apunte ha sido desarrollado para proveer a las clases de

Matemáticas Introductorias de un elemento de discusión

que permita unificar criterio en las distintas secciones

que abordan el tema”

Semestre Otoño 2003


Ing. De Ejecución en Informática

Matemática 0 2do.Semestre 2003 2 Profesor: José Daniel Munar Andrade

Parte 0 Sistemas Numéricos

Esta unidad se ha desarrollado para explicar la formación de los conjuntos numéricos

En primer lugar esta el conjunto de los Número Naturales ( IN ) que

podrían señalarse como los que nos sirven para contar, pero se necesitaba el 0 para formar nuevos números y al agregarse éste se crearon los Números Cardinales ( INo ), ahora se contaba con todos los números positivos desde el cero hasta el infinito positivo , pero se necesitaba de los números negativos, que al ser agregados generaron los Números Enteros ( Z ) Hasta aquí, los conjuntos formados son "discretos", es decir, entre dos números consecutivos de algún conjunto no es posible intercalar otro. Si a los Números Enteros le agregamos los números fraccionarios o decimales se crean los Números Racionales ( Q ) Si los números posibles de intercalar entre dos números racionales son infinitos, por tanto se habla de conjunto "denso". pero no todos los números son posibles de escribir como fracciones por tanto necesitaremos de un conjunto diferente al resto que contenga a una serie de números muy particulares que no puedan ser escritos como racional y estos son los Números Irracionales ( Q* ) Estos al ser unidos con los Racionales nos entregan el conjunto más completo hasta el momento estudiado que son los Números Reales ( IR ) Si consideramos que existen algunos reales imposibles de determinar como por ejemplos las raíces negativas con índice par, estamos en presencia de los Números Imaginarios ( I ) que al unirlos con un real nos entregan los Números Complejos ( C ) Analicemos más en detalle algunos de los conjuntos numéricos señalados. 0.1 NUMEROS NATURALES

0.1.1 Definición: Son los números que nos sirven para contar IN = {1,2,3,4,5,6,7......} En la recta numérica : |----|----|----|----|----|----|-------> 1 2 3 4 5 6 7 ....(+) En este conjunto se definen las cuatro operaciones aritméticas elementales: 1. Adición o Suma :

(a + b ) = c a y b sumandos c es el resultado




2. Sustracción o Resta :

(a - b ) = c

a es el minuendo b es el sustraendo c es la resta o resultado.

3. Multiplicación :

a � b = c

a y b son los factores c es el producto o resultado

4. División :

a : b = c

a es el dividendo b es el divisor c es el cuociente o resultado

0.1.2 Propiedades de la Suma en los Números Naturales

Clausura. Al sumar dos números naturales cualesquiera ( a y b ),el resultado de esta suma es siempre un número natural(c). ∀a, b ∈ IN ∃ c ∈ IN /a + b = c Conmutatividad. No importa el orden en que se sume dos números naturales cualesquiera ( a y b ) el resultado es siempre el mismo. a + b = b + a ∀ a, b ∈IN Asociatividad. No importa la forma en que se agrupen los sumandos a, b y c , el resultado siempre será el mismo ( a + b )+ c = a + ( b + c) ∀ a, b, c ∈IN 0.1.3 Propiedades de la Resta de Números Naturales.

No satisface propiedades, el principal problema es que no satisface la

clausura. Por ejemplo sabemos que - 2 no es un número natural. Por lo tanto al restar dos naturales cuales quiera a y b su resultado será un número natural sólo si a > b . 0.1.4 Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

Clausura. El producto de dos números naturales es siempre un número natural. a � b = c ∈IN ∀ a, b ∈IN

Conmutatividad. El orden de los factores no altera el producto. a b = b a ∀ a, b ∈IN




Asociatividad. No importa el orden en que los factores se agrupen para multiplicarse, el resultado será siempre el mismo.(a � b ) � c = a � ( b � c )

a , b , c ∈IN Elemento Neutro Existe un elemento neutro, que para la multiplicación es el 1, es decir, al multiplicar cualquier natural por 1 el resultado es el mismo natural. a � 1 = a ∀ a ∈IN Distributividad . Distributividad de la multiplicación respecto de la suma. a ( b + c ) = a � b + a � c ( b + c ) a = b � a + c � a

0.1.5. Propiedades de la División de Números Naturales

Al igual que la resta no satisface propiedades, y como ella tampoco satisface la clausura, ya que al dividir dos números naturales cualesquiera el resultado no siempre es un número natural.

La división (a : b ) sólo tendría sentido en los números naturales si el dividendo ( b ) es un múltiplo del divisor ( a ).No olvidemos que los múltiplos de a son : a , 2a , 3a , 4a, etc.

Hasta ahora tenemos un conjunto que tiene sólo dos operaciones que satisfacen la clausura . La idea es obtener un conjunto, en el que a partir de los Números Naturales podamos realizar todas las operaciones sin restricciones, para ello, agregaremos más elementos hasta lograr nuestro objetivo. 0.2 NUMEROS CARDINALES.

0.2.1 Definición

Son todos aquellos números que representan la cardinalidad de algún

con junto. INo = {0,1,2,3,4,5,6....} En la recta numérica:

|----|-----|-----|-----|---------------> 0 1 2 3 4 ... Todas las propiedades que se cumplieron para las operaciones en IN se conservan, pero además agregaremos otras. 0.2.2.Propiedades de la Suma en los Cardinales

1. Clausura 2. Conmutatividad




3. Asociatividad Las propiedades anteriores son las mismas que se desarrollaron en los Números Naturales, para los Números Cardinales sólo se agrega el Elemento Neutro. Elemento neutro: En los cardinales existe para la Suma el elemento Neutro, de tal manera que al sumar un número cardinal cualquiera con el neutro, da como resultado el mismo cardinal. Entonces, a + 0 = a , ∀ a ∈ INo

0.2.3.Propiedades de la Resta de Números Cardinales En este conjunto sucede con la resta exactamente lo mismo que en los Números Naturales, es decir, no satisface propiedades, pero en este caso sólo se puede realizar la resta si el minuendo es mayor o igual que el sustraendo, es decir (a - b) ∈ INo si a > b 0.2.4.Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales.

Tan sólo enumeraremos las propiedades que satisface la multiplicación ya que fueron descritas anteriormente. a) Clausura b) Conmutatividad c) Asociatividad d) Elemento Neutro e) Distributividad f) a�0 = 0 ∀ a ∈ INo g) a�b = 0 si y sólo si a = 0 ó b=0

0.2.5.Propiedades de la División de Números Cardinales.

Sucede exactamente lo mismo que con la división de Números Naturales,

teniendo en consideración que el divisor debe ser distinto de cero ( esto porque no existe un resultado para la división por cero)

0.3 NUMEROS ENTEROS

0.3.1 Definición . Al conjunto de los Números Enteros lo designaremos por Z. Z = { .....-3,-2,-1,0, 1,2,3,4......}.En la recta numérica : <-----|----|----|----|----|----|----|--------> ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...




0.3.2 Propiedades de la Suma de Números Enteros

a) Clausura b) Conmutatividad c) Asociatividad d) Elemento Neutro Las propiedades anteriores fueron las mismas que se han desarrollado anteriormente; en los Números Enteros sólo se agrega el Elemento Inverso. Elemento Inverso ( opuesto) . El elemento inverso es el elemento opuesto a un número entero cualquiera en la recta numérica. Por ejemplo el elemento opuesto de a es -a de tal modo que al sumar el entero con su inverso resulta el elemento neutro a + (-a) = 0 a : número entero -a : opuesto 0 : elemento neutro de la suma 0.3.3 Propiedad de la resta en los Números Enteros.

En la resta, se tiene ya una primera propiedad.

Clausura : Al restar dos números enteros cualesquiera a y b el resultado es un número entero c , es decir, ∀ a, b ∈ Z ∃ c ∈Z / a - b = c 0.3.4. Propiedades de la Multiplicación de Números Enteros.

La multiplicación de enteros cumple con todas las propiedades ya

estudiadas y que son : a) Clausura b) Conmutatividad c) Asociatividad d) Elemento Neutro e) Distributividad f) 6. a � 0 = 0 g) a � b = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0

Cabe hacer notar que al multiplicar cualquier número entero por cero el resultado siempre será cero y al multiplicar dos números enteros su resultado es cero si uno de ellos es cero 0.3.5 Regla de los signos

En la multiplicación se establece la siguiente regla de multiplicación de

signos




+ * + = +

- * - = +

+ * - = -

- * + = -




0.3.6 Propiedades de la División de Números Enteros.

Rige para esta operación la misma restricción que se tiene para los

Números Cardinales (INo), y además la misma tabla de multiplicación de signos.

0.4 NUMEROS RACIONALES

0.4.1Definición.

Definiremos los números racionales de la forma Q = {b

a / a , b ∈ Z y b ≠ 0 }

0.4.2 Propiedades de la Suma de Números Racionales.

Para la suma de Números Racionales rigen las mismas propiedades que

para la Suma de los Números Enteros. 0.4.3 Propiedades de la Resta de Números Racionales.

Para la resta de Números Racionales rigen las mismas propiedades que

para la resta de Números Enteros. 0.4.4 Propiedades de la Multiplicación de Números Racionales.

Además de las propiedades mencionadas, en los Número Enteros

deberemos agregar la existencia de un Elemento Inverso.

Elemento Inverso. El elemento inverso de un número racional a es a-1

=a

1, de

tal modo que, 11

=a

a

Ejemplo: El inverso de 3 es 3

1 , el inverso de

5

4 es

4

5

0.4.5 Propiedades de la División de Números Racionales

a) Clausura: ∀ a, b ∈ Q ∃ c ∈ Q / a : b = c con b ≠ 0 Recién en el Conjunto de los Números Racionales las cuatro operaciones satisfacen la propiedad de clausura. Si revisamos lo que hemos hecho hasta ahora, tenemos que : IN ⊆ INo ⊆ Z ⊆ Q ,es decir, en cada uno de los pasos que hemos dado a partir de los Números Naturales, hemos formado conjuntos que cumplen cada vez más propiedades en su operatoria y que han transformado al anterior en subconjunto de él.




Operar con Conjuntos Numéricos puede ser más fácil de lo que parece. Por ejemplo : IN ∩ Z = IN Al interceptar dos conjuntos como los anteriores, donde IN son los números naturales y Z son los enteros que incluyen el 0 y los negativos, el resultado siempre será el más pequeño de estos. Lo mismo ocurre si se opera con los Números Enteros y los Números Racionales por ejemplo : Z ∩ Q = Z

Ahora bien, INo ∪ Q = Q,al unir dos conjuntos como los anteriores ,el resultado es todo lo contrario. El Conjunto resultante será siempre el que contenga más elementos, en este caso entre los Números Cardinales y los Números Racionales este último tiene más elementos. Pero no todos los números podemos escribirlos como fracciones, existe un conjunto infinito de números que son los Números Irracionales los cuales no pueden ser escritos de la forma a/b ,es decir, como Número Racional.

0.5 NUMEROS IRRACIONALES

0.5.1.Definición

Definiremos los números irracionales como Q* = { x / x no puede escribirse como a/b}. Algunos de los elementos del Conjunto de los Números

Irracionales son π; e ; etc,5,2

Estos números tienen la particularidad que son decimales infinitos.

π = 3,14....; e = 2,71.... ; 2 =1,41.... ; Dada la forma de los elementos de Q y Q* tenemos que Q ∩ Q* = φ . No es mucho lo que podemos hacer con Q* puesto que no satisface la propiedad de clausura en ninguna de las cuatro operaciones , es decir la suma, la resta, la multiplicación o división de dos números irracionales, no siempre resulta ser un irracional. Ahora bien , es importante destacar que cuando sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos un número racional con uno irracional el resultado siempre es irracional. , es decir si Q . Q* = Q* o Q : Q = Q* Debido a que este conjunto no cumple propiedades importantes lo uniremos con los racionales y formaremos un nuevo conjunto, los Números Reales.




0.6 NUMEROS REALES

0.6.1 Definición:

Sea IR = Q U Q*. La operatoria en IR satisface las mismas propiedades que cumplen en Q . Los IR es el conjunto numérico más importante y lo analizaremos detalladamente en el Volumen 2 de la serie de textos introductorios a la Matemática Superior.

0.7 NUMEROS IMAGINARIOS

Los números reales, como ya lo dijimos son un buen conjunto, pero resulta

que : 4− ∉ IR , 9− ∉ IR , es decir, las raíces con índice par de Números

Reales no existen en IR. Pero el problema se reduce a

2141414 *** −=−=−=−

Determinar que es 1− ,como ésta raíz no es un número real, le llamaremos

imaginario y lo denotaremos por i ,entonces i = 1− . Esta es la unidad imaginaria y sus múltiplos forman un nuevo conjunto llamado Números Imaginarios. 0.7.1 Definición:

U n número imaginario son todos aquellos que {a� i / a ∈ IR , i = 1− }es

decir {......3i,4i,5i, -7i, √2i ....}. Además la operación II ∩ R = φ , vale decir como II y R son conjuntos disjuntos ( dos conjuntos son disjuntos si su intersección es vacía). Ahora tenemos Números Reales y Números Imaginarios y al igual que en el caso anterior cuando interceptamos Números Racionales e Irracionales la intersección era vacía , la unión de esos conjuntos nos generó uno nuevo, lo mismo deberá pasar en este caso, pero esta vez a través de la suma de conjuntos entonces, unión II ∪ R = C, el resultado es un nuevo tipo de Número que llamaremos Números Complejos.

0.8 NÚMEROS COMPLEJOS Definición : Se define a los números complejos como aquellos que cumplen con

C = { a + bi / a , b ∈ IR , i = 1− }. En este conjunto C la operatoria satisface las

mismas propiedades que en IR. Finalmente tenemos, IN ⊆ INo ⊆ Z ⊆ Q ⊆ IR ⊆ C donde IN ⊆ C ‘ ; INo ⊆ C , etc y Q ∩ Q* = φ ; IR ∩ II = φ Los Números Complejos serán nuestro conjunto final en la revisión que hemos hechos de los Conjuntos Numéricos en este capítulo.




0.9 Ejercicios sobre Sistemas Numéricos

I.- Resuelva de acuerdo a lo solicitado las siguientes preguntas

1) Q ∩ Z = IN?

( V ) ( F )

2) Q - Q* = φ?

( V ) ( F )

3) IR - IN = Z?

( V ) ( F )

4) Calcular [ (IN ∩ Z) ∪ ( Q ∪ IR)]'

5) Determine si ( C - II) = ( Q U Q*)

6) Qué tipo de elementos tiene el

conjunto(IN ∩ INo ∩ IR) -(IN ∪ INo∪ R) 7) Dado x e y ∈ Q* , entonces

a) x + y = ? b) x – y = ? c) x � y = ?

8) La multiplicación de números complejos es conmutativa

( V ) ( F )

9) Es posible calcular el conjunto potencia de IN.

( V ) ( F )

10) En los Enteros el inverso multiplicativo de -a es a

( V ) ( F )

11) Qué tipo de Número resulta de la multiplicación de un Número Natural con un número imaginario.




12) Determine el conjunto más pequeño al cual pertenece -3

13) Determine el conjunto más pequeño al cual pertenece 0 14) Determine el conjunto más pequeño al cual pertenece 2i

15) Determine el conjunto más pequeño al cual pertenece 2 16) Determine el conjunto más pequeño al cual pertenece 3 + 2i

17) Determine el conjunto más grande al cual no pertenece 4−

18) Determine el conjunto más grande al cual no pertenece7/14

19) Determine el conjunto más grande al cual no pertenece i3−

20) Determine el conjunto más grande al cual no pertenece π

21) Determine el conjunto más grande al cual no pertenece π

3 3 8−

22) Calcular : [( Z - IR) ∩ ( C - II ) ]' 23) ¿Se puede determinar el conjunto resultado de :IR - Q - Q* - IN ? 24) ¿Cuál es el complemento de IN? 25) ¿Es cierto que (((Z ∪ IR) ∩ (Q ∪ IN)) - Q*) = Q

26) 4− ∈ I?

( V ) ( F )

27)(√1) ∈ Q*?

( V ) ( F )

28) -3 ∉ (Q U Z)?

( V ) ( F )

29) -4 ∉ Q*?

( V ) ( F )

30) (-6/3) ∈ Z?

( V ) ( F )

31 ) Si A = { x / x ∈ IN } ; B = { x / x ∈ Q } : C = { x / x ∈ Q* } D = { x / x ∈ II } determinar (A ∪ B ) ∩ C




32) Si A = { x / x ∈ IN } ; B = { x / x ∈ Q } : C = { x / x ∈ Q* } D = { x / x ∈ II } determinar (A - B) ∩ C 33) Si A = { x / x ∈ IN } ; B = { x / x ∈ Q } : C = { x / x ∈ Q* } D = { x / x ∈ II } determinar (D ∪ A) ∩ (C ∪ A) 34) Si A = { x / x ∈ IN } ; B = { x / x ∈ Q } : C = { x / x ∈ Q* } D = { x / x ∈ II } determinar (C ∪ A) ∩ (D ∩ A) 35) Si A = { x / x ∈ IN } ; B = { x / x ∈ Q } : C = { x / x ∈ Q* } D = { x / x ∈ II } determinar (Α ∪ B ∪ C) - (A ∩ B ∩ D)




Parte 01 Números Naturales y Enteros Esta unidad y las siguientes tratarán algo más en detalle algunas de las características más relevantes

de los conjuntos numéricos

0.10 NUMEROS NATURALES

Como ya se ha señalado, el Conjunto de los Números Naturales está formado por todos los números que nos sirven para contar N = { 1,2,3,4,5,6........} En el conjunto de los Números Naturales, como en todo conjunto existe un orden y por tanto es conveniente aprender a determinar los números que preceden o suceden a cualquier número natural

0.11 Antecesor y Sucesor de un Número Natural

Si analizamos el tipo de número que componen este conjunto podemos ver

que, la diferencia ( resta o sustracción ) entre dos números consecutivos es siempre UNO ( 1 ) Cada número es una unidad mayor que la anterior, por tanto el antecesor de n será n – 1 y el sucesor de n será n + 1. Si hablamos de tres números naturales consecutivos, podemos considerar

n+1nn-1

Un Un Un

Antecesor Número Sucesor

cualquiera cualquiera cualquiera

En el conjunto de los Números Naturales podemos destacar varios tipos de números tales como, los números pares, impares, primos y compuestos Analicemos brevemente cada uno de ellos. 0.12 Números Pares

Un Número Par se representa por 2n que siempre será un número par para cualquier valor de n ∈∈∈∈ N , es decir, el conjunto de los números pares se puede definir 2n = { 2,4,6,8,10,12.......}




0.13 Número Par antecesor y sucesor de 2n

Como los pares están intercalados con los impares, para encontrar el par

sucesor de 2n debemos sumar dos unidades y para su antecesor deberemos restárselas. De este modo, 2n - 2 es el antecesor par de 2n y 2n + 2 es el sucesor par de 2n. Ahora ya podemos formar tres pares consecutivos, a saber: 2n - 2 ; 2n ; 2n + 2 0.14 Números Impares

Un número impar se representa por 2n - 1 que siempre será un número impar cualquiera sea el valor de n ∈ IN , es decir, 2n -1 = { 1, 3 , 5 , 7 , 9 ,11,...} 0.15 Número Impar Antecesor y Sucesor de 2n -1

Al igual que en los números pares, se tiene que el impar antecesor de 2n - 1 es 2n - 3 y el impar sucesor de 2n - 1 es 2n+ 1. Por lo tanto al formar nuestros tres números impares consecutivos quedan : 2n - 3 ; 2n - 1 ; 2n + 1

0.16 Números Primos

Es todo número que sólo es divisible por dos números distintos , el 1 y

por sí mismo. Debemos dejar claro que El número uno ( 1 ) no es primo, puesto que sólo es divisible por UN número, el 1 y además el número dos ( 2 ) es el único número par que es primo. El conjunto de los números primos se representa: Nos. Primos = { 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 2 3 .....} 0.17 Números Compuestos.

Es todo número natural que no sea primo , a excepción del 1, es decir,

aquellos que tienen más de dos divisores distintos. Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de potencias naturales de números primos y esta forma de escribirlos se llama : Descomposición En Factores Primos. Ejemplo : 100 = 2²� 5²




0.18 Ejercicio Sobre Números Naturales

1) Represente la generalización de los números pares 2) Represente la generalización de los números impares 3) Descomponer en sus factores primos 840 4) Descomponer en sus factores primos 84 5) Descomponer en sus factores primos 348 6) Descomponer en sus factores primos 544 El tipo de número si se obtiene el producto de dos números pares es par o impar ¿El producto de dos números impares es par o impar? ¿El cuadrado de un número par es par o impar? El cuadrado de un número impar es un número par o impar? La suma de dos números pares es un número par o impar? La suma de dos números impares es un número par o impar? La suma de un número par con un número impar es un número par o impar? La suma de un número par con un número impar es un número par o impar? La suma de 3 pares consecutivos es 0 ¿ Cuáles son los números ? La suma de cuatro números naturales consecutivos es 106. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor ? 20) Si a y b son números pares, entonces el resultado de las operaciones siguientes, es par o impar. i) (a + b) - ( a - b) ii) 3a + 2b iiI) (a - b) 21) La suma de 5 pares consecutivos es x. ¿Cuál es el valor del primero de ellos?




22) ¿Cómo se pueden expresar 5 pares consecutivos ? 23) ¿Cuánto es la suma de dos pares consecutivos ? 24) Señale si existe más de una forma para escribir la suma de dos pares consecutivos. 25) ¿ Cómo se puede expresar la resta de dos impares consecutivos ? 26) ¿Puede encontrar una forma general para expresar los Números Primos ? 27) Si x e y son dos números primos , entonces x � y = ? a) Siempre es par b) Siempre es impar c) Es un número compuesto 28) Si x e y son dos números primos , entonces x + y = ? a) Siempre es par b) Siempre es impar c) Siempre es primo 29) ¿Cuál es el número primo sucesor del natural central entre cinco números consecutivos, cuya suma es 90 ? 30) La suma de 6 números naturales consecutivos es 33.¿Cuál es el producto de los 2 números centrales?




0.19 Ejercicio sobre Números Naturales

Ejercicios de selección única

1.- La suma de dos múltiplos de 5 es: a) Siempre un número par b) Siempre un número impar c) Un múltiplo de 10 d) Una potencia de 10 e) Ninguna de las anteriores 2.- Determine si la siguiente expresión es verdadera o falsa : "Todo número par es la suma de dos números primos", entonces ¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta? a) La afirmación es verdadera y 32 = 7+ 25 b) La afirmación es verdadera y 32 = 9+ 23 c) La afirmación es verdadera y 32 =11+21 d) La afirmación es verdadera y 32 =13+ 9 e) La afirmación es falsa 3.- ¿Cuántas veces se emplea la cifra 4 para escribir los naturales desde 20 a 60? a) 14 b) 13 c) 7 d) 6 e) 5 4.- Si a es un número par y b es un número impar, entonces es (son) correcta(s) I a² � b = par II ab + b = impar III a / b = 0 a) I y II b) I y III c) II y III d) I, II y III e) Ninguna anterior 5.- Si al producto de dos números impares consecutivos se le suma 1,el resultado es siempre : I Un Número par II Un cuadrado perfecto III Un múltiplo de 4 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III




e) I, II y III 6.- Si x = 2n ; y = 2n - 1 con n perteneciente a los Naturales , entonces : I x es siempre un número par II y es siempre un número impar III x - y > 0 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) I, II y III 7.-Si x ,y son números pares consecutivos, x < y ; cuya suma es 34 , entonces ¿cuál es el valor de x - 2y ? a) -2 b) 18 c) -18 d) - 18 e) - 20 8.- El resultado de la suma de dos números pares consecutivos es siempre: I Impar II Múltiplo de 2 III Múltiplo de 4 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) Ninguna anterior 9.- Si x es un número par ; e y es un impar.¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) siempre un número par? I 2x + y + 1 II x + y + 1 III x + 2y a) Sólo III b) I y II c) I y III d) II y III e) I,II y II 10.- 2n - 1 es un número impar, el impar subsiguientes es: a) 6n -1 b) 3( 2n + 1 ) c) 3 ( 2n - 1 ) d) 2n - 5 e) 2n + 3




11.- Si (2k - 1 ) es un número impar, el par anterior es: a) 2k b) 2k - 2 c) 2k + 2 d) k - 1 e) Otro valor 12.- Si a y b son números impares, es verdadero que : a) ( a + b) es impar y (ab) es impar b) ( a + b) es par y (ab) es impar c) ( a + b) es par y (ab) es par d) ( a + b ) es impar y (ab) es par e) Todas son falsas 13.- La suma de tres números naturales consecutivos es 3n . ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el producto de estos tres números?. a) n³ b) n³ - 1 c) n³ + 1 d) n³ - n e) No se puede determinar 14.- Si p = q ; q > r ; r > d ,entonces ,¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera ? a) p < d b) r = p c) p < r d) p > d e) d > q 15.- Si x no es mayor que 5 y x no es menor que 3. ¿ Cuál de las siguientes proposiciones es siempre correcta? a) x es mayor que 5 y menor que 3 b) x es menor que 5 y mayor que 3 c) x es igual a 0 d) x es un número negativo e) Ninguna anterior




0.20 NUMEROS ENTEROS

Recordemos que Z = { ........-4,-3,-2,-1, 0 , 1,2,3.....} . Al igual que los números naturales la diferencia entre dos enteros consecutivos siempre es 1. Nota : Cuando se trabaja con números enteros se debe tener cuidado con el uso de los signos y paréntesis. 0.21 Valor absoluto | x |

El valor absoluto de un número entero x es el número pero sin considerar

su signo. | x | = x

| -x | = x es decir, el módulo o valor absoluto de un número es el número considerado siempre en forma positiva. Recordemos que para sumar dos números enteros debemos considerar lo siguiente: a) Si los dos números a sumar tienen el mismo signo, estos se suman y se conserva su signo :

Ejemplo 3 + 8 = 11 -4 + -9 = -13 b) Si los dos números a sumar tienen distinto signo, estos se restan y se conserva el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

0.22 Operatoria en los Números Enteros

En los Números Enteros existe una prioridad para efectuar las operaciones, evidentemente también válida para IN y No. En una expresión se desarrolla : 1ero : Las multiplicaciones y divisiones 2do : Las sumas y restas La excepción la constituye el uso de paréntesis. En este caso, el desarrollo de estos tiene prioridad y se efectuarán las operaciones indicadas por él desde el paréntesis que está más al interior.




Ejemplo 3�-5 + 4 - 3 : 3 -15 + 4 - 1 -11-1 -12 Ejemplo:

( -(3 + (4 - 5( 3 + 2)))) ( -(3 + (4 - 5 (5)))) ( -(3 + (4 -25))) ( -(3 + (-21))) ( -(3 + -21)) ( -( -18)) 18 En los números enteros siempre podemos hablar de consecutividad, por lo cual cuando nos referimos a : a.- Tres enteros consecutivos los denotaremos por n ; n+1 ; n+2 b.- Tres pares consecutivos, los denotaremos por 2n ; 2n + 2 ; 2n + 4. c.- Tres impares consecutivos, los denotaremos por 2n - 1; 2n +1 ; 2n + 3 Existen algunos tipos de ejercicios que hablan de consecutividad de números pero para resolverlos no es necesario usar estas expresiones. Ejemplo : La suma de 4 números enteros consecutivos es 30.¿Cuáles son los números? En este ejemplo vemos que aparecen algunos elementos importantes tales como la cantidad de números (4); el hecho de que son consecutivos; y además el valor de la suma es 30.Cada vez que involucramos estos datos podemos resolver de muchas formas, he aquí algunas: Forma 1: Consideramos la suma (30) y la dividimos por la cantidad de números (4), esta operación siempre nos entregará el número central 30 : 4 = 7,5 y luego buscamos en las vecindades enteras y encontramos el número 7 y el 8 .Como son 4 los enteros , ellos son 6, 7, 8 y 9 ,es decir, los dos enteros anteriores y posteriores a 7,5

Forma 2

Sea n el primer número, entonces el consecutivo será ( n + 1 ) y así sucesivamente, por tanto n + (n + 1) + ( n + 2 ) + ( n +3 ) = 30 , por tanto si




operamos esta ecuación n = 6 y los consecutivos serán 7 , 8 y 9

0.23 Reglas de divisibilidad

Sumariamente las reglas de la divisibilidad se pueden esquematizar de la

siguiente manera : 2 Si su última cifra es par o cero 3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 4 Si el número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4 ó es 00 5 Si su última cifra es 5 ó O 6 Si es divisible por 2 y 3 a la vez 8 Si el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8 ó 000 9 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9 10 Si su última cifra es 0 0.24 Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) .

Es el número más pequeño que es múltiplo común de todos los números a

los cuales se calculará su MCM Ejemplo : Dados 3 , 6 y 9 .Determinar su MCM . Para aclarar bien el concepto determinaremos los múltiplos de cada número y luego buscaremos el menor de todos los múltiplos comunes. Los Múltiplos son:

M3 = {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33......} M6 = {6,12,18,24,30,36.........} M9 = {9,18,27,36,45.............}

Ahora bien los números comunes son : (busquemos la intersección )

M3 ∩ M6 ∩ M9 = { 18,36,54,......} El menor de los comunes es : 18 . El MCM entre 3 , 6 y 9 es 18. Método para el cálculo abreviado del M.C.M. a) Se descomponen los números a calcular en sus factores primos b) Se seleccionan los factores primos que aparecieron c) Se multiplican usando como exponente el mayor con que aparecieron

3 6 9 3 1 2 3 2




1 1 3 3 1 1 1

Por tanto el MCM = 232·* =18 Si se trata de expresiones algebraicas se procede de la misma forma

a) Se factorizan todas las expresiones b) Se multiplican todos los factores distintos c) Se elevan los factores comunes a la máxima potencia. Más adelante se darán los ejemplos respectivos. 0.25 Máximo común divisor (M.C.D.)

Es el mayor número que es divisor común de todos los números a los

cuales se les calculará su M.C.D. Al igual que en el caso anterior, el concepto es determinar los divisores de un número y encontrar el mayor de ellos Ejemplo : ¿Cuál es el MCD entre 3, 6 y 9? Los divisores son: D3 = { 3,1} ; D6 = { 6,3,2,1} ; D9 = { 9,3,1}

Los divisores comunes son: D3 ∩ D6 ∩ D9 = {1, 3 }El mayor de ellos (Máximo) es : 3 Por lo tanto el MCD de 3, 6 y 9 es 3

0.26 Método abreviado para calcular el MCD.

1º. Descomponer todos los números a calcular en sus factores primos. 2.º Seleccionar los números primos comunes a todas las descomposiciones. 3º. Multiplicar usando como exponente el menor con que aparecieron. Ejemplo: ¿Cuál es el MCD entre 12 , 6 y 15 ? 1º. Descomponer 12 = 2².3 6 = 2.3 15 = 3.5 2º. Seleccionar los primos comunes a todas las descomposiciones. En este caso el único es 3. 3º. Se considera con su menor exponente:1 Por los tanto, el MCD es 3 Para encontrar el MCD de expresiones algebraicas se procede de la misma forma. Más adelante se

explicará el procedimiento en forma detallada.




0.27 Ejercicios sobre Números Enteros

1) En el conjunto Z se define : a & b = ab - 1 entonces, calcular :3 & (-4) 2) En el conjunto Z se define : a & b = ab - 1 entonces, calcular : (-1) & (3) 3) En el conjunto Z se define : a & b = ab - 1 entonces, calcular : ( 3 & 2 ) & 5 4) Se define en Z la operación a * b = 3a - 3b , entonces , calcular :2 * ( -5) 5) Se define en Z la operación a * b = 3a - 3b , entonces , calcular (2�4) * ( 3- 4) 6) Se define en Z la operación a * b = 3a - 3b , entonces , calcular 1 * ( 2 * (-3)) 7) En el conjunto Z se definen las operaciones a ---> b = 3 + a – b y a <----- b = b - a – 3, entonces, calcular (-2) -----> (-5)

8) En el conjunto Z se definen las operaciones a ---> b = 3 + a – b y a <----- b = b - a – 3, entonces, calcular ( 1 ---> 2) <-----3 9) En el conjunto Z se definen las operaciones a ---> b = 3 + a – b y a <----- b = b - a – 3, entonces, calcular 1 -----> ( 2 <---- 3) 10) Si a* = a + a² ,entonces si a = 2 calcular (a*)* 11) Si j^ = a² - b² , entonces j^ = ? a+b

12) Si k = ( a + b)� a ,entonces k

a =?

13) Si a = -1 ; b = 5 ; c = -3 ; ab + bc + ca 14) Si u = 2p ; v = 2u ; w = 3v ; cuando p =2 ; w = ? 15) Si a + b + c = 2,entonces (a-2)+ (b-3) + (c+5) = ? 16) Si a - b = 7 y c - d = 8 , calcular a - b - 2c + 2d = ? 17) Si * = 40 ; & = 5 ; % = 6, calcular ( 7 - % + * - 1 ) & = ? 18) Determinar el M.C.D. entre 15 , 45 , 60 19) Determinar el M.C.D. entre 18 , 24 , 100




20) Determinar el M.C.D. entre 22 , 15 , 30 21) Determinar el M.C.D. entre 25 , 18 , 45 22) Representar en la recta numérica el conjunto A = {7,-3,-2,0 ,3 ,1,-5} 23) Representar en la recta numérica el conjunto B = { x - 1, x -2 , x + 1} 24) Representar en la recta numérica el conjunto C = { -10,-3, 2, 0 , -1, 1,-2,6 } 25) Calcular 17 - | -15 | 26) Calcular ( 6 - 9) + 3 - 5 - ( -3 )�2 27) Calcular 11�(-2) ( 7 - 10) + 2 28) Calcular -3 + (-2) (5) - 15 : 3 - 2 29) Calcular ( 1 - 13 + |7| ) : | -5| 30) Determine el M.C.M. entre 315 y 675 31) Determine el M.C.M. entre 99 y 113 32) Determine el M.C.M. entre 84, 96 y 108 33) Determine el M.C.M. entre 9 , 3 , 6 34) Determine el M.C.M. entre 75 , 12 , 13 35) Determine el M.C.M. entre 2 , 3 , 4 , 5 , 6 36) Determine el M.C.D. entre 16 y 72 37) Determine el M.C.D. entre 45 y 80 38) Determine el M.C.D. entre 43 y 72 39) Determine el M.C.D. entre 12, 18, 20 y 32 40) Determine el M.C.D. entre 15, 27, 30 y 42 41) Calcule el M.C.M y el M.C.D. de 51; 85; 17 42) Calcule el M.C.M y el M.C.D. de 18; 32; 40; 54ç




43) Calcule el M.C.M y el M.C.D. de 24; 30; 45; 72

Para los ejercicios 36 a 43 se pide encontrar la divisibilidad de estos (Use sólo las reglas de divisibilidad

entregadas en el texto )

44) 84

45) 243

46) 982 47) 115

48)2340

49)2885

50)4671

51)8474

52) 1 + ( - ( - ( a - 1 ))) 53) Ordenar en forma decreciente las siguientes magnitudes M > N ; O < P ; N > P ; O < M. 54) Reducir a la expresión más simple (a + b + c ) - ( a – b – c ) + (- a – b + c) 55) Si 1,2,3,4,6,12 son los divisores de 12, entonces ¿cuántos son los divisores

de 24? 56) De acuerdo al ejercicio anterior (54) ¿Cuáles son los divisores de 24? 57) César Augusto llegó al poder en el año 30 A , murió el año 14 DC a los

75años de edad .¿A qué edad asumió el poder? 58) Un reloj se atrasa 900 segundos por día. Se puso a la hora el día Domingo a

las 12:00, entonces , que hora marcará el Sábado siguiente al medio día ? 59) Las temperatura mínimas para cada día de la semana son 17º,12º,15º,-4º, -8 ,

0º y 3º , entonces ¿cuál es la temperatura mínima promedio ? 60) ¿Cuántas unidades menos tiene (-3k) que k ? 61) El término que sigue en la sucesión 1,4,10,22...es ? 62) ¿Por qué número es divisible la suma de tres números impares consecutivos? 63) ¿Qué número sumado a 75 lo convierte en múltiplo de 5 y 9 ?




64) ¿Qué cifra debe insertarse en para que 84 2 sea divisible por 4 ? 65) ¿Cuál es el número central de tres números impares consecutivos que

suman 453 ? 66) ¿Cuál es el menor número que se ha de sumar o restar a otro para hacerlo

impar? 67) ¿Cuál es el mayor múltiplo de 2 , contenido en un número ? 68) ¿Para qué valores de a, el número 31-a es un número natural ? Para los ejercicios 69 a 74 Si a y b son dos números impares, y c y d son pares, determine si las siguientes expresiones son pares o impares : 69) 2a + bc + c 70) 3(a + 2b) + 2d 71) 2ab + 3cd +2c 72) a(b + 3d) + 2b 73) a + b + 2c 74) 3bcd 75) ¿Puede un número impar ser divisible por 6 ? 76) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 52( ) sea divisible por 4 ? 77) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 34( ) sea divisible por 4? 78) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 4( )8 sea divisible por 4? 79) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 751( ) sea divisible por 3 ? 80) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 450( ) sea divisible por 3 ? 81) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 323( ) sea divisible por 3 ? 82) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 359( ) sea divisible por 9 ? 83) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 463( ) sea divisible por 9 ? 84) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 746( ) sea divisible por 9 ? 85) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 87 ( ) sea divisible por 7 ? 86) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 531( ) sea divisible por 11 ?




87) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 465( ) sea divisible por 8 ? 88) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 628 ( ) sea divisible por 2 ? 89) ¿Qué cifra se debe escribir en el ( ) para que 2946 ( ) sea divisible por 5 ? 90) Complete los siguientes "cuadrados mágicos" considerando que la suma de las filas, columnas y diagonales debe dar el mismo valor Ejemplo :

4 3 8

9 5 1

2 7 6

a)

1

5 7

b)

4 5 16

14 7

15 6

12 8 13

c)

10 35 33 24 1

26 17 6 28

5 12 30 34 14

23 3 7 25 32

18 31 11

36 4 2 27




0.28 Ejercicio sobre Números Naturales y Enteros

I.- Calcule : 1) 30 - 20 : 5 + 15 2) (30 - 20) : 5 + 15 3) 30 - (20 : 5 + 15) 4) 30 - 20 : ( 5 + 15 ) 5) (30 - 20) : (5 + 15) 6) 8 + 4 � 2 - 15 : 3 + 2 7) (8 + 4) � 2 - 15 : 3 + 2 8) 8 + 4 � 2 - 15 : (3 + 2) 9) (8 + 4) � 2 - 15 : (3 + 2) 10) 8 + (4 � 2 - 15) : (3 + 2) 11) (8 + 4) � (2 - 15) : 3 + 2 12) 8 + 4 � (2 - 15 : 3 + 2) 13) (8 + 4) � (2 - 15 : 3) + 2 14) (8 + 4) � (2 - 15 : 3 + 2) 15) (8 + 4) � (2 - 15 : 3) + 2 II .- Resuelva : 16) - { 5 [ -6 � 7 - ( 18 � 7 - 6 � -15 ) - 40 ] } 17) { 143 + [ -121 + ( -95 + 13 ) ] } : -15 18) -480 : [ 121 - ( 36 � 5 - 7 � -3 ) ] 19) (-31- 2�-18)�(-420:14+26)-(-73-120:-15) 20) (-96+173):11+{121-(208 : -13 - 41� -5)}

21) (-3)² + (-2)³ - 5� (-1)29

22) (-5)² - (-3)³ - (-2)4 - 5� (-1)

17

23) 2 � (-3)² - 3 � (-2)³ - 10 � (-1)21

24) (-1)20

+ (-1)21

+ (-1)22

- (-1)23

25) -2² + (-2)² -1² + (-1)²




III.- Escriba simbólicamente las siguientes operaciones matemáticas 26) La mitad de m más n 27) La mitad de m, más n 28) El doble de n disminuído en b 29) a incrementado en la mitad de b 30) El producto entre a y su sucesor 31) El exceso del doble de x, sobre y 32) El promedio entre p y el cuadrado de v 33) m disminuido en p veces n 34) El cubo de x menos el triple de u 35) El cuádruplo de : el doble de m, aumentado en n 36) El triple del cuadrado de un número 37) El cuádruplo del sucesor de un número 38) El antecesor del cubo de un número 39) La raíz cuadrada del quíntuple de un número 40) El quíntuplo de la raíz cuadrada de un número 41) El producto entre el antecesor y el sucesor de un número 42) m es el doble de n 43) x incrementado en el doble de y equivale al triple de z 44) la semisuma entre x, y, z es igual a la cuarta parte de v 45) El doble de x disminuido en 3 es lo mismo que x aumentado en 1 46) La séptima parte de la cuarta parte del doble de m, es igual al triple de su antecesor




IV.- Resolver : 47) Un vehículo recorre 45 m. hacia la derecha de un punto A y luego retrocede en la misma dirección a razón de 6 m/s. ¿Cuál es la posición respecto de A, al cabo de 5, 6 y 10 segundos después de iniciado el retroceso? 48) Se tienen tres varillas de 60, 80 y 100 cms. de longitud respectivamente. Se quiere dividir estas en pedazos de la misma longitud sin que sobre ni falte nada. Señale tres longitudes posibles para cada caso. 49) Un padre da a un hijo $ 800, a otro $ 750 y a otro $ 600 para comprar cuadernos con la condición de que cada uno compre la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán pagar por cada cuaderno y cuántos cuadernos comprarán ? 50) Se quiere envasar 161, 253 y 207 Kg. de plomo en tres cajas, de modo que los bloques de plomo de cada caja tengan el mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo y cuántos caben en cada caja? 51) ¿Cuál es la mayor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de tres llaves que vierten, la primera 12 litros por minuto, la segunda 18 litros por minuto y la tercera 20 litros por minuto ? 52) Hallar el número de bombones a repartir entre 3 cursos de 20, 25y 30 alumnos respectivamente, de modo que cada uno reciba el mismo número de bombones. 53) Tres perros galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si el primero tarda 10 seg. en dar una vuelta, el segundo 11 seg. y el tercero 12 seg. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese tiempo? 54) Tres aviones salen de una misma ciudad, el primero cada 8 días, el segundo cada 10 días y el tercero cada 20 días. Si salen juntos del aeropuerto el día 2 de Enero. ¿Cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán a salir juntos? ( no considere el año como bisiesto). 55) Andrés desea saber las edades de las tres hijas de Marcelo. Para ello Marcelo le dice: "el producto de sus edades es 36 y la suma de sus edades es igual al número de tu casa ( la de Andés)".Después de un instante le dice a Marcelo que le falta información, a lo que Marcelo responde: "la mayor toca el piano". Calcular :




a) La edad de las hijas b) El número de la casa de Andrés. 56.- Cuatro ciclistas recorren una pista circular en 8, 9, 12 y 15 seg.

respectivamente . Si parten todos juntos, después de cuántos minutos vuelven a pasar juntos por el punto de partida? 57) ¿Cuál debe ser la mayor longitud de una regla para medir exactamente 3 segmentos de 60cms, 120cms y 400cms respectivamente ? 58) Represente la edad de una persona a) Al cabo de n años, siendo m su edad actual b) Hace 10 años, siendo n su edad actual c) Al cabo de n años, siendo 40 años su edad actual d) Hace n años, siendo 40 años su edad actual e) Hace n años, siendo p años su edad actual 59) Si w = 3v ; v = 2u ; u = 2p , entonces, ¿Cuál es el valor de w si p = 2 ? 60) La suma de seis números naturales consecutivos es 63. ¿Cuál es el producto de los dos números centrales ? 61) Si a^ = a - 1, entonces, ( 1^)^ es : 62) El promedio entre 5 números enteros consecutivos es b. ¿Cuál es el entero central ? 63) ¿Cuál es el resultado de : - { - 5 -[ 4 � 3 - 10 : 5 ] } + 7 � -8

64) Si (a , b ) * c = a � c -

c

b, entonces, ¿Cuál es el valor de : (3,16)*4 ?

65) Si : (a * b) = - ( (a/b) - a + b ),entonces, cuánto vale (-6 * 2) = ? 66) En la sucesión: 4n-7, 3n-5, 2n-3, n-1; cuáles son los dos términos siguientes .




0.29 Ejercicio sobre Números Enteros

Ejercicios de selección única 1.- El semivalor de un número es 25, entonces el cuadrado del mismo número es: a) 250 b) 2.500 c) 25.000 d) 625 e) 62.500 2.-La expresión : el cuadrado de un número, disminuido en 5, es : a) (a - 5)² b) a² - 5 c) a(a - 5) d) 5 - a² e) (5 - a)² 3.-¿Cuántas veces el triple del antecesor de 5 es 72? a) 4 b) 6 c) 9 d) 18 e) 54 4.- Si a es el doble de b y éste a su vez es el triple de c, entonces a - c = ? a) 3c b) b c) 2b/3 d) 5b/3 e) a 5.- El inverso aditivo del doble de un número, es (3/5) de 200, entonces el inverso aditivo del número es : a) 60 b) -60 c) 120 d) -120 e) Ninguna anterior 6.- ¿Qué número tiene x unidades menos que y ? a) x + y b) y/x c) x/y d) x - y e) y - x 7.- Hace 6 años, una persona tenía x años de edad. ¿Qué edad tendrá dentro de 6 años ? a) x b) x + 6 c) x + 12 d) 6x + 6




6x – 6 8.- Si en un curso mixto de 40 alumnos, hay x niños ¿Qué representa la expresión (40 - x) ? I. el número de niños II. el número de niñas III. el número de niños que están presentes a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III e) Ninguna anterior 9.- Diego tiene (2m - 3) años y Gabriel (2m - 9) años, entonces Jorge que tiene la edad promedio de los dos anteriores, tiene : a) 2m b) 2m - 6 c) 2m + 3 d) 2m - 12 e) Ninguna anterior 10.- Un número de dos cifras en que "y" es la cifra de las decenas y "x" es la cifra de las unidades equivalente a: a) 10x + y b) 10y + x c) x + y d) y � x e) Ninguna de las anteriores. 11.- Qué número representa la siguiente expresión : 15 - { 9 - ( 8 - 17 ) } a) 7 b) 33 c) -3 d) 3 e) Ninguna anterior. 12.- Si a = -1 , b = 5 y c = -3 ; entonces, a � b + b � c + c � a = ? a) -180 b) -17 c) -15 d) -34 e) Ninguna anterior. 13.- Cuál es el resultado de - {- [ 1 - ( 4 - 19 ) ] + 5 } a) 21 b) -11 c) -21 d) 11 e) Ninguna anterior 14.- El resultado de : -8 + -9 � -4 � -7 + -4 � {-5 + 3 �[6 + -24 � -2]}




a) -888 b) -252 c) -808 d) -157 Ninguna anterior. 15.- Si n representa un número natural cualquiera. ¿Cuál de las siguientes expresiones siempre representa un número impar ? a) 2(n + 1) b) n² + 1 c) n(n + 1) d) 2n + 1 e) Ninguna anterior 16.- Si n es un número natural, entonces, la expresión n(n + 1) es siempre : a) Un número primo b) Un número impar mayor que 5 c) Un múltiplo de 2 d) Un número divisible por 3 e) Un número divisible por 2 y 3 a la vez 17.- Si A = { x ∈ N / x es par }, entonces, si a ∈ A, ¿Cuál de las siguientes expresiones es un elemento de A ? a) a + 1 b) 2a c) a³ + 1 d) a² + a e) 5a + 1 18.- Dada la sucesión numérica 1,4,10,22,... el término que sigue es : a) 44 b) 46 c) 48 d) 50 e) 54 19.- La suma de seis números naturales consecutivos es 27, entonces , el producto de los dos números centrales es : a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20 20.- Si A = { 1,2,3,4,6,12 }, es el conjunto de los divisores de 12. ¿Cuántos divisores más tiene 24 ? a) 6 b) 2 c) 8 d) 12 e) 24




21.- Si a + b = 1 y a - b = -1; entonces, a² - b² es : a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) Ninguna anterior 22.- Dada la siguiente sucesión numérica: 125, 64, 27, 8, ... en ella faltan el primer y último término. ¿Cuáles son ? a) 625 y 1 b) 216 y 2 c) 216 y 1 d) 250 y 30 e) Ninguna anterior 23.- Si al producto de dos números impares consecutivos se le suma 1, entonces, el resultado siempre es : a) Un número impar b) Un cuadrado perfecto c) Un número primo d) Un múltiplo de 3 e) Un cubo perfecto 24.- Si a es un número natural. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número par ? I. a + 1 II. a + 2 III. a² IV. 2ª a) Sólo II b) Sólo IV c) II y IV d) I y IV e) II, III y IV 25.- El mínimo común múltiplo entre 24, 16 y 36 es : a) 4 b) 36 c) 72 d) 108 e) 144 26.- Si 48 es múltiplo de p. ¿Cuál de los siguientes números también lo es ? a) 12 b) 68 c) 72 d) 80 e) 144




27.- Mi reloj es muy poco confiable pues este se atrasa 900 segundos cada día. Si lo puse a la hora el domingo a las 12:00 del medio día, entonces, el sábado siguiente al medio día marcará : a) Las 11 horas b) Las 11 horas y 30 minutos c) Las 10 horas y 15 minutos d) Las 10 horas y 30 minutos e) Las 10 horas y 45 minutos 28.- En un curso de 50 alumnos, 25 juegan fútbol y 20 juegan básquetbol. ¿Cuántos alumnos juegan ambos deportes si 15 alumnos del curso no hacen esos deportes? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 35 29.- Si n es un número natural , represente a) Tres naturales consecutivos y su suma b) Tres naturales pares consecutivos y su suma c) Tres naturales impares consecutivos y su suma d) El promedio aritmético de dos naturales impares consecutivos e) Ninguna de las anteriores 30) El máximo común divisor entre 18, 12 y 6 es: a) 36 b) 18 c) 6 d) 3 e) 2 31) Sea el inverso de a el real -a, entonces el inverso de ((- x)(x) - (-2x)² ) es: a) 3x² b) -3x² c) 5x² d) -5x² 6x² 32.- El inverso aditivo del antecesor de a es : a) a - 1 b) 1 - a c) a + 1 d) -(a + 1) e) Ninguna anterior




33.- Sea a el doble de 2 y b el triple de 3, entonces ¿Cuántos (a + b) son 130? a) 52 b) 26 c) 13 d) 10 e) 5 34.- Un niño dice a otro, "Si tú cuentas de 6 en 6 y yo de 7 en 7 nos encontramos en el número": a) 42 b) 36 c) 28 d) 14 e) 12 35.- ¿Cuál (es) de las siguientes expresiones numéricas es (son) igual (es) a la suma entre la cuarta potencia de dos y la tercera potencia de tres?

I 24 + 3³ II 4² + 3³

III 4 � 2 + 3 � 3 a) sólo I b) sólo II c) I y II d) II y III e) I, II, III 36.- En cuántas unidades aumenta el valor de la potencia 3² , si su base se aumenta en 2 y su exponente en 1. a) 9 b) 116 c) 134 d) 256 e) 1.271 37.- Dados los conjuntos A = { x ∈ N / 2 < x < 7} y B = { x ∈ N / x < 5} Entonces A ∩ B = ? a) { 3, 4 } b) { 3, 4, 5 } c) { 2, 3, 4 } d) { 2, 3, 4, 5 } e) { 2, 3, 4, 5, 6, 7 } 38.- A = { x / x es un número par}. Si a ∈ A, ¿Cuál de las siguientes expresiones representa un elemento de A? a) a + 1 b) 2a c) a³ + 1 d) 3a - 3 e) 5a + 1




39.- A y B están jugando con tres tipos de fichas , ∆ , #, .El cuadro representa lo que tiene cada uno:

A 2 1 3

B 1 3 4

# ž∆

Si ∆ = 5 puntos, # = 8 puntos, y = 4 puntos, entonces los puntos de B menos los puntos de A son: a) 15 b) 22 c) 25 d) 75 e) 92

40.- ¿A qué número corresponde la expresión: 3 � 104 + 2 � 10³ + 10² - 10

0 =?

a) 32.200 b) 32.199 c) 32.190 d) 32.101 e) 32.099 41.- Una persona duerme n horas al día. ¿Cuánto tiempo está despierta en un mes de 30 días? a) 24 - 30n b) 30n - 24 c) 24 � (30 - n) d) 30 � (n - 24) e) 30 � (24 - n) 42.- Una serie de aritmética tiene la forma: p � (p � 2q) (p � 4q) (p � 6q) + ...Si p = 4 y q = 1, entonces el 6º término es: a) 126 b) 54 c) 41 d) 14 e) 10 43.- El cuadrado de la diferencia de dos números naturales impares consecutivos es siempre: I Par II Múltiplo de 2 III Divisor de 4 a) sólo I b) I y II c) I y III d) II y III




e) I, II y III 44.- Cuatro poleras cuestan $ 3n y cinco pantalones $ 7n ¿Cuánto cuestan 12 poleras y 15 pantalones? a) 12 � 3n + 15 � 7n b) 12n + 15n c) 3 (3n + 7n) d) 9n + 21 e) 9 + 21n

45.- Si 10n + 10

n + 10

n = 30, entonces n = ?

a) 0 b) 1 c) 3 d) 10 e) 30 46.- "El doble del cubo de la diferencia entre a y b", se expresa por: a) a³ - b³ 2

b) (a - b)³ 2

c) (2a - 2b)³ d) 2 (a - b)³ e) 2a³ - 2b³ 46.- Para que el valor de p en la ecuación: p + 6 = q sea igual a 7. ¿Cuál debe ser el valor de q? a) - 13 b) -1 c) 1 d) 12 e) 13 47.- g un número natural que es divisor de 8, pero no es divisor de 4,entonces g=? a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) 0 48.- Si n es No.Natural y n ≠ 1. ¿Cuál de la siguientes afirmaciones es falsa ? a) n + 2 es el natural sucesor de n b) n² + 1 es el natural sucesor del cuadrado de n. c) (n + 1)² es el cuadrado del natural sucesor de n d) n² - 1 es el natural anterior al cuadrado de n e) 2 (n - 1) es el natural anterior al doble de n 49.- ¿Cómo se expresa el enunciado: "el doble de m, aumentado en el triple de un número n?




a) (2 + m) + 3n b) 2m + 3n c) 2 (m + 3n) d) m² + 3n e) (2 + m) + (3 + n) 50.- ¿En cuánto aumenta el producto 748� 592 si cada factor aumenta en 1? a) 592 b) 748 c) 1.341 d) 4.428 e) 4.441 51.- Si al producto de dos números impares consecutivos se le suma 1, el resultado es siempre un: a) Cuadrado perfecto b) Número impar c) Número primo d) Múltiplo de tres Cubo perfecto 52.- Si n representa un número natural cualquiera ¿Cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número impar? a) 2(n + 1) b) n² + 1 c) n (n + 1) d) 2 (n - 1) e) 2n + 1 53.- Una persona desea envasar 5 kg de mermelada, llenando frascos del tipo A (de 400 gr) y del tipo B (de 500 gr).¿Cuál (es) de las combinaciones siguientes le permite (n) envasar toda la mermelada? I 10A + 2B II 5A + 6B III 9A + 1B a) Sólo I b) Sólo II c) I y III d) I y II e) I, II, y III 54.- ¿Cuáles de las siguientes opciones representa la suma de tres naturales pares consecutivos sabiendo que n es el término central? a) n b) 3n c) 6n d) n + 6 e) 6n + 6 55.- Si el triple de r es igual al doble del sucesor de m y si m = 5 entonces 2r + m




=? a) 9 b) 10 c) 13 d) 14 e) 18 56.- ¿Cuál es el promedio entre los dos números impares consecutivos que están a continuación de 2n + 1 (con n ∈ N) a) 2n + 4 b) 4n + 8 c) 2n + 8 d) n + 2 e) 4n + 5 2 57.- Si a* = 2a² - a + 1 ; entonces (1*)* = ? a) 3 b) 4 c) 7 d) 9 e) 11 58.- En una sucesión de números, cada término es igual al doble del anterior, menos 3. Si el segundo término es 5, entonces ¿cuánto valen el primero y el tercero, respectivamente?

1º 2º 3º

? 5 ?

1º 3º a) 1 13 b) 4 7 c) 4 13 d) 1 7 e) 1 5 59.- El promedio entre 5 números consecutivos es a ¿Cuál es el número central? a) a b) 5a c) a /5 d) a + 5 e) a - 5 60.- Si H = {2, 4, 6} y M es el conjunto formado por todos los divisores de los elementos de H, entonces M = ? a) {1, 2} b) { 2 } c) {1, 2, 3} d) {1, 2, 3, 4} e) {1, 2, 3, 4, 6}




61.- Si a es un número natural ¿Cuál (es)de las siguientes expresiones representa un número par? I a + 1 II 2 ( a + 2) III a² IV 2a a) sólo II b) sólo IV c) II y IV d) I y IV e) II, III, y IV 62.- ¿Cuál (es) de las siguientes expresiones representa (n) al número 8888? I 8�10³ + 2³ �10² + 2² � 20 + 8 II 88 � 10² + 8 � 8 + 10 III 888 � 10 + 4 � 2 a) Sólo I b) I y II c) II y III d) I y III e) I, II, y III 63.- En el siguiente problema identifique la solución, mediante las letras S,R, M, D; las cuales indican las operaciones suma, resta, multiplicación y división respectivamente. Tenía a fotografías, y agregué b más, al colocarlas en un álbum llené c páginas, con la misma cantidad de fotografias. Las operaciones que determinan la cantidad de fotografías que puse en cada página es: a) S � R b) S � D c) S � M d) M � D e) R � D 64.- El número que es 14 unidades menor que el producto de 16 por la suma de 12 y 6 es: a) 302 b) 294 c) 288 d) 274 c) 108 65.- Si Z = 2n - 1 entonces ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? I El sucesor de Z es igual a n II El sucesor de n + 1 más el sucesor de n es igual al sucesor de z III El sucesor de Z menos 1 es igual a Z a) Sólo I b) sólo II c) Sólo III d) I y III




e) I, II y III 66.- En una carrera tres ciclistas parten, simultáneamente, demorando en dar una vuelta completa al Velódromo 10, 12 y 15 seg. respectivamente, el tiempo que demorarán en encontrarse nuevamente los tres, será: a) 15 seg. b) 30 seg . c) 45 seg. d) 60 seg. e) 65 seg. 67.- Un jugador tiene, 30 fichas blancas. Si en el casino, por cada 3 fichas blancas dan dos fichas rojas, entonces ¿cuántas fichas blancas le faltan a dicho jugador, para poder canjearlas por un total de 90 fichas rojas? a) 60 b) 90 c) 105 d) 120 e) 135 68.- Dos grupos de personas asisten a una reunión .En el primer grupo de 21 personas hay solamente 5 hombres. En el segundo grupo hay 1 hombre por cada 2 mujeres. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)? I El número de asistentes es múltiplo de 3. II El número de mujeres es par III El número de hombres es impar a) sólo I b)Sólo II

c) I y II d) II y I II e) I, II y III

69.- La suma de los sucesores de 2 números es a; entonces la suma de los antecesores de dichos números es: a) a - 2 b) a - 6 c) a - 3 d) a - 4 e) Ninguna de las anteriores 70.- Se sabe que la suma de dos números naturales es impar. Entonces ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera (s)? I Al menos uno de los números es par II El producto de los números es par III El cuadrado de uno de los números es impar. a) Sólo I b) Sólo III c) I y III d) II y III




e) I, II y III 71.- Hace n años Joaquín tenía p años de edad. Entonces ¿En cuántos años más Joaquín tendrá el triple de su edad actual? a) 3n + 3p b) 2n + 2p c) 3n - 3p d) n + 3p e) n - 3p 72.- Considerando que * # = 5, donde y # son letras cualesquiera, ¿Cuál (es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)

I 2 (p * q) = (p * q) + 5 II 5 (r * s) = (r * s) 2

III) 3 (m * n) = 2 (p * q) + 5 a) Sólo I b) I y II c) I y III d) II y III e) I, II y III 73.- Si n , p , q, son tres números naturales consecutivos, entonces p =? a) n + ( q � 2 ) b) n + ( q : 2 ) c) n : ( 2 + q ) d) ( n + q ) : 2 e) ( n + q ) � 2 74.- El séxtuplo del número par consecutivo a cuatro es: a) 36 b) 60 c) 30 d) 10 e) 1 75.- Por cada hora un reloj se atrasa cuatro min.Si se echa a caminar a las 12 del día. ¿Qué hora indicará a las 12 de la noche?: a) 11:12 b) 11:48 c) 11:36 d) 11:24 e) Ninguna anterior 76.- El enunciado, "El sucesor del cuadrado de la suma entre cinco y el doble de tres" se expresa mediante: a) ((5 + 2 � 3) + 1)² b) 5² + (2 � 3)² + 1 c) (5 + 2 � 3)² + 1 d) 5² + (2 � 3)² - 1 e) Ninguna anterior




77.- La expresión: 3�104 + 5�10² + 2�10+1 equivale al número:

a) 300 � 511 b) 30 � 521 c) 305 � 021 d) 35 � 021 e) 3. 050 � 201 78.- Un librero compra 20 libros a $120 cada uno. Cuatro de estos libros, por estar muy deteriorados, los vendió a $80. ¿Cuál es el precio mínimo al que debe vender los restantes, para no sufrir pérdidas?: a) $170 b) $104 c) $140 d) $130 e) $175 # 5 # 80.- Dada la suma: + 4 2 7 ; # y 12 # representan los dígitos que faltan, entonces: + # � = ? a) 48 b) 36 c) 45 d) 65 d) Ninguna de las anteriores 81.- Considerando a K como un número entero positivo, ¿cuál de las siguientes expresiones representa(n) un número par . I k + 1 II k + 2 III k² IV 2k a) Sólo II b) Sólo IV c) I y IV d) II y IV e) II, III y IV

82.- Para que 1 42 sea divisible por 6 ,en debe insertarse una de las siguientes cifras : a) 0 b) 3 c) 6 d) 7 e) 8




83.- Si x es un número entero divisible por 2 y z es un número entero divisible por 3,entonces ,¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera ? I x < z II x + z es divisible por 5 III xz es divisible por 6 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III e) Ninguna anterior 84.- ¿Cuál de los siguientes números es divisible a la vez por 2 , 3 y 7 ? a) 2371 b) 840 c) 237 d)120 e) 69 85.- El triple del número par consecutivo de 6 es : I número par II número impar III divisible por 4 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y III e) Ninguna anterior 86.- ( 3 - 3 ( 4 + 5)) =? a) 0 b) -9 c) -24 d) 9 e) 24 87.- Si a1 = 1 ; a2 = a1 + 1 ; a3 = a2 +2 a4 = a3 + 3 ,entonces a4 = ? a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 88.- Si a es el mayor de tres enteros consecutivos, el promedio quedará determinado por : a) 3a b) 3a -1




c) a d) a - 1 e) a - 3 89.- La suma de dos números enteros consecutivos es 51 , su producto es : a) 350 b) 550 c) 650 d) 400 e) 518 90.- Si 0 < P < Q < R < S ,entonces es falso: a) R < S > Q > O/2 b) P < R > Q > O c) O < S² > Q d) O < R > Q < P e) P < q < 2S 91.- Si k es un número entero negativo . Entonces es correcto: I k es mayor que k + 1 II 1/k es mayor que 1/ (k+1) III k es mayor que 2k a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) I y III 92.- Para que n ; 2n -1 y 2n sean tres números consecutivos , el valor de n debe ser: a) Cualquier número natural b) Cualquier número real c) 0 d) 1 e) 2




Parte 02 Números Racionales 0.31 Definición.

Los Números Racionales (Q)son todos aquellos que se pueden escribir

como fracciones.b

a , es decir, Q = {

b

a a, b ∈ Z , b ≠ 0 }

Todo número racional siempre se puede escribir o como fracción o como decimal

Racional

Fracción

Decimal

Propia

Impropia

Mixta

Finito

Infinito

Periódoco

Semiperiódico

{ {{ {

0.32 Fracción propia:

Es aquella en que el numerador es menor que el denominador

Ejemplo : 7 ; 15 ; 3 ; 10 8 20 4 13 0.33 Fracción impropia

Es aquella en que el numerador es mayor que el denominador.

Ejemplo : 8 ; 20 ; 4 ; 13 7 15 3 10

0.34 Fracción mixta

Es aquella que se presenta como una combinación de un número entero

con una fracción. Una fracción mixta NO es una multiplicación.

E

p

q Donde E es la parte entera y q

pes la parte racional Podemos

transformar esta fracción mixta a fracción común de la siguiente forma:




E

p

q=

Eq + p

q Ejemplo : 3 4 = 3�5 + 4 = 15 + 4 = 19 5 5 5 5 0.35 Decimal Finito .

Es aquel decimal que tiene un número finito de cifras.

Ejemplo : 0,324 ; 14,32 ; 6,1

0.36 Decimal periódico

Es aquel decimal infinito que después de la coma decimal posee un número que se repite infinitas veces. A este número le llamaremos período y lo denotaremos con una línea horizontal sobre el número a repetir.

Ejemplo : __

0,383838383838 ... = 0, 38 __

0.6666666............. = 0,6 _

13,11111............... = 13, 1

0.37 Decimal semiperiódico

Es aquel decimal infinito que entre la coma decimal y el período (cifra que se repite) tiene un número que no se repite, a este número le llamaremos anteperíodo.

Ejemplo : __ 0,316 = 0,31616161616..... Como se ha señalado, todo racional puede escribirse o como fracción o como decimal, esto significa que podemos transformar cualquier fracción a número racional y viceversa. 0.38 Transformaciones de Fracción a Decimal




Consiste en dividir el numerador por el denominador Ejemplo : 3 = 3 : 4 = 0,75 4 a) Transformaciones de Decimal a Fracción. Para efectuar esta operación dieferenciaremos el tipo de decimal del que se trata. a.1) Transformación de Decimal Finito a Fracción. Como numerador escribiremos el número completo y como denominador un 1(uno) seguido de tantos ceros como cifras tenga el decimal.

Ejemplos : 100

97970 =, ;

10000

318631860 =,

a.2) Transformaciones de Decimal Periódico a Fracción. Como numerador escribiremos el número completo, restándole todo el número que está delante del período y como denominador tantos nueves ( 9 ) como cifras tenga el período

Ejemplos : 999

3283280 =, ;

99

15150 =, ;

99

1363

99

1313767613 =

−=,

a.3) Transformaciones de Decimal Semiperiódico a Fracción. Como numerador escribiremos todo el número, restándole todo el número que está delante del período y como denominador escribiremos tantos nueves ( 9 ) como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros ( 0 ) como cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplos : 990

342

990

33454530 =

−=, ;

90

1119

90

12412433412 =

−=,

0.40 Operatoria de Fracciones

Las operaciones con racionales se pueden definir: a) Suma de fracciones con distinto denominador

bd

bcad

d

c

b

a +=+

b) Suma de fracciones con igual denominador

b

ca

b

c

b

a +=+

c) Resta de fracciones con distinto denominador




bd

bcad

d

c

b

a −=−

d) Resta de fracciones con igual denominador

b

ca

b

c

b

a −=−

e) Multiplicación . La multiplicación se define como:

d*b

c*a

d

c*

b

a=

es decir , se multiplican los numeradores y se divide por la multiplicación de los denominadores. f) División . La división se define como:

bc

ad

c

d*

b

a

d

c:

b

a==

es decir , se invierte la segunda fracción (inverso multiplicativo) y se transforma la operación en una multiplicación de fracciones.

0.41 Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción consiste en dividir el numerador y el denominador por el mismo número.

m:b

m:a

b

a=

0.42 Amplificación de Fracciones

Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el

denominador de la fracción por un mismo número.

m*b

m*a

b

a=

0.43 Comparación de Fracciones




Determinar qué fracción es mayor cuando tenemos que ordenarlas no es algo que uno pueda realizar a simple vista . Si comparamos dos números enteros , nos resulta evidente determinar al mayor, pero con fracciones esto no es tan claro.

1º Para determinar cuan de las fracciones d

cy

b

a, es la mayor se multiplica

en forma cruzada ascendente . Los números resultantes ad y bc son enteros , entonces si a � d > b � c es posible compararlos fácilmente . Luego, Si ad > bc , entonces a > c b d Si ad < bc , entonces a < c b d Si ad = bc , entonces a = c b d En este último caso diremos que las fracciones son equivalentes. Ejemplo : 5 > 3 pues 7 � 5 > 4 � 3 4 7 2º Cuando tengamos que comparar más de dos fracciones es conveniente igualar los denominadores y para ello deberemos calcular el M.C.M. de éstos y luego amplificarlos. Ejemplo :

Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones.5

8

4

6

5

7

4

3;;; el M.C.M. es 20,

luego amplificaremos por 5 la 1era y 3era fracciones y por 4 la segunda y 4ta

fracción, el resultado es 20

32

20

3

20

28

20

15;;; Ahora basta con comparar los

numeradores, 32 > 30 > 28 > 15 y por tanto el orden es5

8

4

6

5

7

4

3<<<




0.44 Ejercicio sobre Números Racionales

I.- Calcular :

1) ?: =2

1

10

1 2) ?

:

=

2

4

1

2

1

3) ¿ Cuál es el valor de a:a

1 si a = 2 ?

4) rr

rrrr

24

2468

−

−+− 5)

435

435

−−

++

6)

5

1 + 0,2 7)

e

c

e

b

e

a++

8)

−

+3

2

2

3

3

2

2

3 9 )

10

0010

,

,

ab

ba + si a = -1/2 ; b= 1/3

II.- ¿ Cuál de los resultados de las siguientes operaciones es menor que cero? 11) 3/4 - 7/8 0,1 12) 1/5 + 2/7 -0,001 13) - ( 0,01 � 3/4) - 0,3 � 2 14) - 1 3 + 2 7 4 8 3 1 4 15) ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor que 1 ? 3/4 ; 7/5 ; 18/7 ; 5/8 ; 14/15




16) Dado que A = 3/4 y b= -1/2,entonces , ¿cuál de las siguientes expresiones es la menor? a) a � b b) a + b c) a - b d) -a � b e) -a + b 17) Al ordenar en forma ascendente los elementos del Conjunto A = { 5 , 1/3, 6, 1/4, 7, 1/5, 8, 1/2} ¿Cuál es el elemento que ocupa el quinto lugar? III.- Escribir en orden decreciente los elementos de cada conjunto 18) A = { 1/2 ; 1/3 ; 7/9 ; 2/5 } 19) B = { 0,333 ; 1/3 ; 3/8 ; 3/10 } 20) C = { 0,25 ; 2/8 , 8/16 ; 16/64 } 21) D = { 0,03 ; 1/3 ; 7/6 ; 6/7 } IV .- Determinar la relación de orden que corresponde a cada caso. ( > , <, = ) Anote en el paréntesis el signo que corresponde

22) ( 3 / 5) ( ) (4 / 6) 23) ( 11/15) ( ) (17/19) 24) (13/18) ( ) (23/30) 25) ( 6 / 7) ( ) (18/21) V.- Complete con símbolos > , < , = , las siguientes afirmaciones: a,b ∈ ∈ ∈ ∈ IN ;b ≠≠≠≠ 0 Anote en el paréntesis el signo que corresponde 26) Si a > b , entonces a/b ( ) 1 27) Si a < b , entonces a/b ( ) 1 28) Si a = 0 , entonces a/b ( ) 0 29) Si a = b , entonces a/b ( ) 1 30) Si a = 1 , entonces a/b ( ) 1

VI.- Resuelva

31) ¿ Cuál es el valor de la fracción 90 ? 0,3 32) ¿ A qué fracción es equivalente el número 0,333...en que 3 es el período? 33) ¿A Cuánto equivale 4, 028 expresado como fracción común ?




34) Calcular el valor de la mitad de (1/2) : (1/4). 35) Si t = 5/v ¿Cuál es el nuevo valor de t si v se duplica ? 36) ¿Cuál es la suma del inverso aditivo y el inverso multiplicativo de 3/8 ? 37) En un juego de dardos uno de los participantes convierte 4 tiros y yerra

¿qué fracción de sus tiros convierte? 38) En un crucigrama ,de un total de 50 palabras un lector contestó bien 15 de

ellas y erradas sólo 5. ¿Qué fracción del total de palabras no contestó? VII .- Señalar cuál de los números es mayor para cada ejemplo: 39) (20/5) ; -5/20 ; 4/18 ; 9/10 ; 1/3 39) ( 0,64 : 0,25 ) ; ( 0,32:1/4 ) ; ( 0,128 : 0,1 ) ; ( 128 � 0,01)

40) Si m = 1 , entonces m10

; m³ +3 ; 6m ; (2m)³ ; ( 3m)² 41) 13/10 ; 6/5 ; 5/4 ; 59/50 ; 29/25 42) Si a = 0,2 ; Cuál de los siguientes números es mayor que 2 ? I a + 1,7 II ( a + 0,1) III 20a - 1 43) Si @ representa al número a y * representa al número 1/a, entonces ¿cuál

es el valor de la expresión */@ ? 44) ¿ Cuántas fracciones de numerador y denominador enteros se pueden

intercalar entre 6/7 y 7/8 ? VIII.- Completar con > , < , = , las siguientes afirmaciones:

Anote en el paréntesis el signo que corresponde 45) Si (a / b) ∈Q ; si a > b ,entonces a/b ( ) 46) Si (a / b) ∈Q ; si a < b ,entonces a/b ( ) 1 47) Si (a / b)∈Q ; si a = b ,entonces a/b ( ) 1 48) Si (a / b) ∈Q ; si a = 0 ,entonces a/b ( ) 1




49) Si (a / b) ∈Q ; si b = 0 ,entonces a/b ( ) 1 IX.- Expresar en fracción común los siguientes números decimales 50) 0,45 51) 0,128 52) 0,48 53) 0,25 54) 7,5 55) 0,625 56) 0,072 57) 0,0026 58) 6,375 59) 0,125 X .- Expresar en forma decimal las siguientes fracciones : 60) 3/4 61) 5/12 62) 8/15 63) 4/5 64) 1/3




0.45 Ejercicio sobre Números Racionales

1.- a (-b) + b = x , entonces (x/b) + a =? 2.- El valor de 0,6 + 2/5 =? 1/(0,1) 3.- ab =1 y a = c/d, entonces b = ? 4.- El producto de dos fracciones es 33,si una de ellas vale 33 1/3, cuánto vale la otra ? 5.- ¿Qué número dividido por 0,1 resulta 10 ? 6.- Cuál es el valor de la siguiente operación ((3/4) +0,75 )) (( 5/8) - (5/6) ?

7.- ¿ Cuál de los siguientes números no corresponde a b

c = ?

a) bc/ b² b) 3c/3b c) c + 3 d) c(c+3) / b (c + 3) e) c( b+3) / b (b+ 3) 8.- Cuál es el valor del cuociente entre 1/3 y 1/9 ? 9.-Si k = 1 / (a-b) , entonces 2/k = ? 10.- Si n = 1 y m = 0, entonces -n

+ n - m

m n + m 11.- Si (1/x) = a ; ( 1/(x+1)) = b y (1/(x - 1)) = c ; entonces, ¿cuál es el orden creciente entre ellas si x es mayor que 1? a) b - a - c b) c - a - b c) b - c - a d) a - b - c e) c - b - a 12.- Si = -1 y & = 2, ¿cuál es el valor de la expresión 2 - + 5 - 13 ? 2 4 2& 13.- Si a # b = 1/(b-a) , entonces cuánto vale 1 # 1 ? 14.- El inverso aditivo de a es -a , si a = 2/3 y b = 1/2, entonces cuánto vale el inverso aditivo de (a - b) ? 15.- Si (2,4)( 0,036) = x, entonces x =? 0,00576




16.- Si m = 2 ; n = 1 y p = 6,entonces [ 1 / (p - m)] + [n / (p - 3m)] = ? 17.- Si a = 16/20 y b = 4,entonces ¿ Cuál de las siguientes expresiones es mayor ? a) ab b) 1/ab c) 1 d) 0 e) (1/ab) : ab 18.- Cuál es el resultado de 3 1/4 - 21/2 : 3/4 19.-Si a = 3/4, b = 5/7 y c = 2/3, el orden decreciente es : a) a, b, c b) a, c, b c) b, c, a d) b, a, c e) c, b, a 20.- Cuánto vale la suma por diferencia entre los decimales 1,5 y 0,6 ? 21.- Si 0,6 � n = 0,12; n = ? 22.- ¿Qué parte del círculo, representa el sector achurado ?

1/2

1/3

a) 5/6 b) 3/5 c) 2/5 d) 1/6 23.- (1/4) � 0,25 = ? a) 0,16 b) 1/8 c) 1/16 d) 0,8 e) 1,6 24.- El número decimal 0,42 es equivalente a : a) 100/42 b) 42/1000 c) 42/100 d) 92/42 e) 42/99 25.- El producto de la suma por su diferencia entre 0,6 y 0,5 = ? 26.- Si (a / b) = (3 / 4), entonces 2a + b) / b = ?




27.- El valor de 27/9 - 81/25 = ? 28.- Si B se encuentra entre los puntos A y C. ¿Cuál debe ser el denominador de B?

A B C

76 230 77 ?

a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 29.- Los 6/5 de la diferencia entre 2/3 y 1/2 corresponde a : a) 5 b) 1/5 c) 4/5 d) 5/36 e) 5/6 30.- 28/15 - ((1/3) + (1/5)) = ? a) 30 b) 37/15 c) 2 d) 1/2 e) 46/15 31.- ¿Cuál de las siguientes expresiones es menor que -1 ? a) -6 / -20 b) (1,7) / (-17) c) (-0,3) / 17 d) (1,1) � (1 / -1 ) e) 0,000009 32.- El doble de (7 / 8) � (8 / 7) corresponde a la mitad de : a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 33.Si un número se divide por 0,02 da como resultado 800.¿Cuál es el número ? 34.- ¿Cuál es el valor de : (12 / 0,03) ? 35.- ¿Qué número dividido por (2 / 3) � m, nos da como resultado (3 / 2) � m ? a) 1 b) m c) m² d) (4 / 9) � m²




e) (9 / 4) � m² 36.- El resultado de [(3 / 4) / 0,75] - 2 = ? 37.- Según el diagrama adjunto determine cuál es el valor resultante al ingresar el número -1 / 3

Entrada restar 1/2 dividir por -2/3

¿ Es mayor

que 1 ?

sumar 3/4

sumar 1/4

salida

salida

→ →

↓

↓

← ←

←

38.- Si a 1 se le suma 0,5 ;se le resta 0,05 y el resultado se multiplica por 2, qué número resulta ? 39.- El cuádruplo del triple de (1/3) = ? 40.-¿Cuántas veces cabe la mitad de 0,2 en un entero?

41.- Si b

a = 1 entonces

4

ba −=?

42.- a + b = 5 y a = 4 entonces ?)ba(b

b=

+−

43.-¿Qué número multiplicado por5

4− da producto 1?

44.- 2

1=

b

a entonces ¿cuál de las expresiones siguientes es igual a cero?

a) 2a - b b) -2a -b c) 2a + b d) a - 2b e) a + 2b

45.- Si a es entero positivo entonces a

3 es mayor que

a) 3 b) 3 . a + 1 c) 3 .




a - 1 d) 3 . a - 2 e) Ninguna anterior

46.- Si a = 2 y b = 1/2 entonces el valor de (a / b)

a = ?

47.- Si a

+ 1

= 4b _ 1 entonces 2a + 1= ?

4 4 48.- Si 7 _ x

= 3

+ y entonces x + y =

4 5

49.- A qué número corresponde 2111

2 :

a) 233/11 b) 21 + (2/11) c) 21,18 d) 2118/99 e) Ninguna Anterior. 50.- Si la quinta parte de un número, distinto de cero, se multiplica por diez se obtiene: a) La mitad del número b) El mismo número c) El doble del número d) El cuadrado del número e) Ninguna anterior 51.- El valor de 32/8 - 41/2 + 64/7 = ?

52.-¿Qué precio tiene una mercadería si los3

2 de los

4

3de ella valen $ 75?

53.- Si 3=b

a y simultáneamente triplicamos a y disminuimos b a la mitad.Cuál es

el valor de la nueva fracción ? 54.- Si a = 0,28; al calcular las tres cuartas partes de un séptimo de a qué número resulta? 55.- Un medio de la mitad de seis enteros cinco octavos es igual a:

a) 53/2 b) 8

53

c) 17/4 d) 53/16 e) 53/32




56.- Para a = -1, el valor de (a - 4 + (4/a)) : (1 - (2/a)) =? 57.- El producto 71/5 � 4/9 = ? 58.- Dados los números racionales 7/8, 8/9, 13/15, 11/18 y 19/24 el mayor de todos ellos es : a) 7/8 b) 8/9 c) 13/15 d) 11/18 e) 19/24 59.- ¿Cuántos números racionales de denominador 45 pueden intercalarse entre 3/5 y 7/9? 60.- Calcular la diferencia entre 4/5 y 5/4 61.- Con los números racionales 3/4 y 9/8 se efectúan las operaciones siguientes con los resultados que se indican: I (3/4) + (9/8) = 15/8 II (9/8) - (3/4) = 3/2 III (3/4) : (9/8) = 1/6 de ellas son correctas : a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 62.- A cuánto equivalen los 5/4 de 1/3 ? 63.- Si p = 2/3 y q = 1/4, entonces, de las siguientes expresiones ¿Cuáles de ellas equivalen a un número entero ? I. (p + q) (p - q) II. 6pq III. 8p/3q a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III e) I, II y III 65.- (3/4 + 6/8) : 3/5 = ?




66.- La suma de dos racionales es 6 1/4 Uno de ellos es -2 1/2.¿Cuál es el otro número? 67.- La tercera parte de m es 1/6 ; luego m + m /3= ? 68 .- Cuánto vale la 1/2 del recíproco de 1/4 69.- (-2/5) � 3 : 2 = ?

70.- ¿Cuál es el valor de la tercera parte 5

2:

3

1 ?

71.- ¿Cuánto le falta a 0,4 para completar 15

11?

72.- El resultado de 3 1 - 2 1 : 1 3 es: 4 2 4 73.- ¿A qué fracción equivale: un medio de la mitad de seis enteros cinco octavos? 74.- El valor de 0,75 _ 1 es: 3 4 75.- Si a

= 1 y b

= 3 , entonces a + b < ?

2 4 a) 1 b) 5/4 c) 13/12 d) 4/5 e) 3/2 76.- ¿De qué numero debemos restar 2 1/3 para obtener 3 5/ 6 ? 77.- Si m = 2, n = -1 y q = 0, el valor de la expresión. (m²)² + 2n - q = ? n 3 78.- El producto de dos fracciones es 3/4 Si una de las fracciones es 1/3 ,cuál es la otra ? 79.- Si en los racionales: a

= 4, b

= 6, c

= 8, se multiplican sus respectivos denominadores

5 7 9 por 2, Cuál es el orden decreciente de ellos? 1 _ b 80. a

= ? Si a = 3 y b = 1

1 - a 4 2 b




81.- Si a = 0, 21; ¿calcular las tres cuartas partes de un séptimo de a ? 82.- La fracción equivalente a 0,1999... es: a) 1/ 5 b) 19/ 99 c) 19/ 89 d) 19/ 90 e) 19/100 83.- Si (a/b) = 3 y simultáneamente triplicamos a y disminuimos b a la mitad. Cuál es el valor de la nueva fracción? 84.- La mitad de 1 del doble de n es: 2 a) n/4 b) 3n/2 c) n d) 2n e) n/2 85.- ¿Qué número es los 3 de 42? 7

86.- Si a la cuarta parte de (2 +4

1 1) se le suma

2

1se obtiene x = ?

87.- Un cuarto de la "x" centésima parte de un número es 1. Entonces el cuál es el número ? 88.- Un basquetbolista lanza f tiros y falla p. ¿Qué fracción de sus tiros ha convertido? a) p/f b) f/p c) ( f - p ) / f d) ( p - f ) / f d) ( p - f ) / ( p + f ) 89.- 0,364 es equivalente con: a) 283 b) 283 900 990 c) 82 d) 820 225 999 90.- ¿Cuál de las siguientes expresiones es menor que 6? a) 6 + 6 - 6 6 6 b) 6 + 6 � 6 _ 6




6 c) 6 (6 + 6) 6 + 6 d) 6 + 6 + 6 6 + 6 e) 6 � 6 � 6 6 � 6 0.46 Ejercicios sobre Números Racionales

Ejercicios de selección única 1.- Una deuda de $a se cancela con $ a/3 al contado y el resto en 6 cuotas iguales, luego el valor de cada cuota es: a) a b) a 6 3 c) a d) a 4 2 e) a 9 2.- Una persona paga $12 por los 3 /5kg.de manzanas, ¿Cuánto ha de pagar para comprar un kilo y medio? a) $ 30 b) $ 20 c) $ 25 d) $ 15 e) $ 10,8 3.- En una plantación de pinos, los 3/4 de la quinta parte se atrofia, la fracción que representa los pinos de normal crecimiento es: a) 1 b) 1 4 5 c) 320 d) 17 20 e) 4 5 4.- De cada 120 piezas que hace una industria 4 salen malas, ¿cuál es la fracción que representa las piezas buenas hechas por la industria? a) 1 b) 29 30 30 c) 4 d) 1 116 20 e) 28




29 5.- Dos números son recíprocos entre sí. Uno de ellos es 9 veces mayor que el otro. ¿Cuál es el mayor de ellos? a) 1/3 b) 9 c) 3 d) 1/ 9 e) Ninguna Anterior. 6.- Hay 4/5 de una torta en un plato. Una porción es 1/10 de la torta. ¿Cuántas porciones podemos hacer? a) 4 b) 6 c) 10 d) 2 e) 8 7.- A qué número corresponde 212/11 : a) 233/11 b) 21 + (2/11) c) 21,18 d) 2118/99 e) Ninguna Anterior. 8.- En un curso faltaron a clase un día los 2/5 de los alumnos. Si ese día asistieron 24 alumnos ¿de cuántos alumnos se componía el curso? a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 44 9.- En la tierra un objeto pesa 6 veces lo que pesa en la luna. ¿Cuánto debe pesar en la luna una persona que en la tierra pesa 48 Kg.? a) 6 Kg. b) 8 Kg. c) 16 Kg. d) 42 Kg. e) 288 Kg. 10.- Juan tiene 2/3 de la edad de Alberto, si la diferencia de las edades es 4 años, las edades de Juan y Alberto son respectivamente : a) 12 y 8 años b) 4 y 8 años c) 8 y 4 años d) 6 y 12 años e) 8 y 12 años 11.- Un pastelero vende 3/5 de una torta y reparte en partes iguales el resto entre




sus ocho hijos. ¿Qué parte de la torta le tocó a cada hijo ? a) 1/5 b) 1/10 c) 1/20 d) 1/24 e) Ninguna Anterior 12.- José nació hace tres años, cuando Luis, su padre tenía la mitad de la edad del abuelo de José. Hoy las edades de los tres suman 78 años.¿Qué edad tiene el abuelo? a) 23 b) 39 c) 46 d) 49 e) 69 13. Una lechería despacha a un supermercado 18 cajas de mantequilla de 20 Kg. cada uno. La mantequilla está envasada en paquetes de 1/4 de Kg. ¿Cuántos paquetes se despacharon ? a) 90 b) 360 c) 1.440 d) 1.640 e) Ninguna Anterior 14.- El kilo de manzanas vale $ (a/2); el kilo de peras vale el doble, menos $ 10, entonces, por 10 kilos de peras se deben pagar : a) $ (10a - 200) b) $ (10a - 100) c) $ (2a - 10) d) $ (a - 20) e) $ (a - 10) 15.- Tres personas se reparten $ 24.500 de manera que la primera recibe el doble de la segunda y ésta el doble de la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera ? a) $ 3.500 b) $ 7.000 c) $ 12.500 d) $ 14.000 e) $ 21.000 16.- En un curso de 75 alumnos; los dos tercios escribe, un quinto calcula y el resto lee. ¿Cuántos alumnos son los que están leyendo? a) 50 b) 25 c) 15 d) 12 e) 10 17.- Sea (a/b) = 6, si a se duplica y b se disminuye a la mitad, entonces el valor de la fracción resultante dividida por 0,75 es :




a) 3/2 b) 16 c) 24 d) 32 e) 36 18.- Un pirata enterró la mitad de su botín en doblones y arrojó un tercio de él al mar. Cuando contó los que quedaban, tenía 4000 doblones. ¿Cuántos doblones tenía al principio? a) 12.000 b) 2.400 c) 24.000 d) 240.000 e) 18.000 19.- En la Luna un objeto pesa 1/6 de su peso en la tierra. ¿Cuánto pesará en la Luna un muchacho que en la Tierra pesa 54 kg? a) 40 kg. b) 32 kg. c) 24 kg. d) 9 kg. e) 8 kg. 20.- Un estanque de 17 1/2 litros de capacidad, necesita de 8 7/10 litros para llenarse. ¿Cuántos litros tenía el estanque? a) 8 4 lts. b) 9 4 lts 5 5 c) 8 1 lts d) 9 1 lts 5 5 e) Ninguna Anterior 21.- En la figura el trozo sombreado es 1/8 del cuadrado. ¿Cuántos trozos igual al sombreado se necesitarán para cubrir la mitad del total del cuadrado?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 22.- Si en 1 hora ha caído la arena a la parte baja del reloj de arena, de la figura, ¿cuánto tiempo se necesitará para que caiga toda la arena?




1

4

a) 4 hrs. b) 13 hrs. c) 7 hrs. d) 8 hrs. e) 1/4 hrs. 23.- Juan tiene 2/3 de la edad de Alberto. La diferencia entre sus edades es de 4 años. ¿Cuánto es la suma de las edades de Juan y Alberto? a) 16 años b) 20 años c) 12 años d) 24 años e) 14 años 24.- Arnaldo encontró medio pastel en el refrigerador y se comió la tercera parte de lo que encontró. ¿Qué fracción del pastel se comió? a) 1/ 3 b) 1/ 2 c) 1/ 6 d) 2 /3 e) 3/ 2 25.- Pilar le dio a Inés la mitad de sus galletas y media más. Le quedaron 7 galletas, entonces, ¿Cuántas recibió Inés? a) 8 b) 15 c) 7 1/2 d) 7 e) Ninguna Anterior. 26.- En el bolsillo derecho tengo 6 monedas más que en el izquierdo. Si paso 5 monedas del bolsillo derecho al izquierdo, éste queda con el doble de monedas de aquel. Si las monedas son de $ 10. ¿Cuánto dinero tengo ? a) $ 120 b) $ 90 c) $ 60 d) $ 40 e) $ 30 27.- La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 11. El número es 7 unidades mayor que el duplo del número invertido. ¿Cuál es el número?




a) 65 b) 56 c) 38 d) 74 e) 83 28.- Dos atletas parten juntos desde el mismo punto de un circuito. Uno demora 90 minutos en dar una vuelta, mientras el otro demora 120 minutos. ¿En cuántos minutos volverán a encontrarse en la partida? a) 240 minutos b) 180 minutos c) 360 minutos d) 420 minutos e) Ninguna Anterior 29.- Un cartero tiene que entregar cartas en cada una de las 5 casas dispuestas en una fila e igualmente espaciadas. Si puede comenzar a entregar en cualquiera casa. ¿Cuál es el camino más largo que puede recorrer?

A B C D E

a) A - C - E - B – D b) E - A - D - B - C c) C - D - E - B – A d) A - B - C - D - E e) C - A - E - B - D 30.- Un estanque está lleno hasta sus 5/20, ¿Cuántos viajes ha de hacer una persona para llenarlo con un balde de 1/4 de la capacidad del estanque? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 31.- Una persona compró 2 / 7de 3,5 docenas de naranjas. ¿Cuantas naranjas compró? a) 1,5 doc b) 12 doc c) 13 naranjas d) 1 doc e) 15 naranjas 32.- Si a cinco enteros un medio se le suma el producto de tres octavos por cuatro quintos, se obtiene: a) 4 9 10 b) 4 7 10




c) 4 4 5 d) 5 7 10 33.- a b = a

+ 3b, entonces - 1 1 es :

2 4 2 3 a) 0 b) 1/2 c) 2/3 d) - 1/16 e) - 2/3 34.-¿Cuál de las siguientes expresiones es más cecana a cero? a) (1/ 3)² b) 2 / 5

c) (1 / 2)-2

d) 1/ 4 e) (0,4)²

35.- Sea a = 0,01; b = 0,001; c = 0,0001 entonces bc

a =?

a) 0,01 b) 0,0000001 c) 0,00000001 d) 100.000 e) 10.000.000 36.-¿Cuánto vale la mitad del recíproco de 0,25? a) 8 b) 2 c) 1 d) 0,5 e) 0,125 37.- Si n ∈ N; n ≠ 1. entonces, al ordenar de mayor a menor las cantidades:

1

11;

1

1

−==

+=

nc

nb

na se obtiene:

a) c, a, b b) c, b, a c) a, b, c, d) a, c, b e) b, a, c

38.- Para cuál de los siguientes valores de h la expresión 5,0

hes mayor que 1.

a) 1 / 20 b) 1 / 2 c) 0, 08 d) 0,45 e) 0,55




39.- La expresión que representa la mitad del triple de x es: a) 3 x 2 b) 2x 3 c) 3 + x 2 d) 2 + x 3 e) x + 3 2 40. El valor de x en la expresión 2x + 4

= 10 es:

18 5 a) 3 b) 16 c) 20 d) 32 e) 36 41.- Si (x/5) + 2 = 1, entonces, el valor de x es : a) 5 b) 1/5 c) -3 d) -5 e) -9 42.- En la ecuación 0,1x + 2 = 3 ; el valor de x es : a) 0,01 b) 0,1 c) 1 d) 10 e) 100 43.- Si x - 2a = (a / 2), entonces, x = ? a) 5a b) 2a c) (5 / 2) � a d) a e) (2 / 5) � a 44.- La expresión 0,264 � 0,312 es equivalente a : 0,528

a) 0,156 � 10-3

b) 0,312 � 10-2

c) (2 � 78) � 10-3

d) (2 � 78) � -10-3




e) 2 � (78 � 103)

45.- Si se multiplica el inverso multiplicativo de 5 por 1/5 y este resultado se divide por 0,25 , se obtiene : a) 0,16 b) 0,25 c) 0,125 d) 25 e) 125 46.- El racional 2/5 se reduce a la mitad cuando a su denominador se le : a) Resta 3 b) Suma 5 c) Resta 5 d) Suma 1/2 e) Suma 2 47.- Si se define la operación a * b = 1/ab, entonces (a * b � (1/a)) * b es equivalente a : a) 0 b) 1 c) a � b d) 1/b² e) a² 48.- Si AD = 50 cm, BD = (3/5)AD y AC = (3/4)AD, entonces, ¿Cuánto mide BC?

A B C D a) 27,5 b) 20,5 c) 17,5 d) 15 e) 7,5 49.- ¿Qué fracción corresponde a la cuarta parte de la diferencia entre un medio y la mitad de un medio ? a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/16 50.- Si un número al pasar por un se cuadriplica, al pasar por un ∆ se divide por 4, y al pasar por un ⊗ disminuye en dos unidades, entonces, cuál es el valor final de 1/4 si pasa por la siguiente secuencia : ∆ → → ⊗ → ∆ a) 1/4 b) 1/16 c) 7/16 d) -1/16 e) -7/16




51.- Se define * a = [ * + a � (a/*) ] : 10-1

, entonces, ¿cuál es el valor de *a si * = 5 y A = 2 ?

a) -70 b) 70 c) 45 d) 58 e) -15 52.- ¿Cuál de las siguientes expresiones es menor que 1 ? a) (-1)² b) (1/2) + (3/4) c) (3/2) + (2/3) d) (5/6) � (3/2) e) (1/9) � (8/9) 53.- El valor de x en la expresión (x/a) - b = c está dado por : I a � c + ab II a(a - c) : (ac + ab) III ((abc/b) + (abc/c)) a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) II y III 54.- Al simplificar la fracción 27.510 resulta : 2.750 a) 2.751 / 273 b) 917 / 91 c) 131 / 13 d) 655 / 65 e) Ninguna anterior 55.- Si (p / q) = (2 / 3), entonces siempre se cumple que : a) 2p = 3q b) 3p = 2q c) p + 3 = q + 2 d) p + 2 = q + 3 e) p³ = q² 56.-




a = 2/a

b = 2b Si :

Entonces, el valor de

4 + 6 � 2

1

es :

a) 5/1 b) 13/4 c) 11/12 d) 16 e) 20 57.- Si

a

= a² calcular : 1 - a

a) 1 - a² b) 1 + 2a - a² c) a² - 1 d) a² - 1 + 2a e) 1 + a² - 2a 58.- El rectángulo de la figura se ha dividido en 8 partes iguales ¿Qué fracción del total representa la parte no achurada?

a) 1/2 b) 3/4 c) 3/8 d) 3/7 e) 5/8 59.- ¿Qué parte del círculo representa el sector achurado?

1/5 1/3

4/15

a) 12/15 b) 3/14 c) 1/5 d) 17/23 e) 1/ 3




60.- En el esquema de la figura, si x = -1, entonces, y = ?

→ → → →X + 4 � (-1) - 2 y

a) -5 b) 6 c) 0 d) 2 e) Ninguna Anterior 61.- 4 3 y z - x 7 9 9 2 5 5 2 calcular x + y - z a) 5 b) 0 c) 7 d) 3 e) Ninguna anterior 62.- y z 2 x x y x 2 + 4 1 z 2 9 9 0 7 Calcular : y(x + z) a) 21 b) 16 c) 24 d) 30 e) 25 63.- y z z 2 x x 0 x + 2 x y x 9 1 6 0 Calcular : x + y - z a) 4 b) 9 c) 10 d) 3 e) Ninguna anterior. 64.- La figura representa una máquina transformadora de números. El número X que entra por A, saliendo por B transformado en un número r. Si por A ingresa el número 2, ¿Qué número sale por B?




A

B

X

r

p = 3x

q = p - 4

r = q + 2

↓

↓

↓

↓

→

→

a) 2 b) 4 c) -4 d) 5 e) 1 65.- La figura representa una máquina transformadora de números. El número X que entra por A, saliendo por B transformado en un número r. Si por A ingresa el número 0, ¿Qué número sale por B?

A

B

X

r

p = x² - 1

q = -2 p + 5

r = - q / 14

↓

↓

↓

↓

→

→

a) -3 / 14 b) -9 / 14 c) -2 d) 1 / 2 e) -1 / 2 66.-En la figura, al número x que entra por A, se le realizan las operaciones indicadas en los casilleros, saliendo el resultado por B. Si x = 2 ¿ Qué número sale por B ?

A �3 �2 -1 B → → → → → X

a) 11 b) -12 c) 6 d) -11 e) Ninguna Anterior




67.- En la figura, al número x que entra por A , se le realizan las operaciones indicadas en los casilleros, saliendo el resultado por B. Si x = 5 ¿ Qué número sale por B ?

A + 5 �3 - 5 B → → → → → X

a) 5 b) 25 c) -8 d) -150 e) 8 68.- El esquema representa una máquina transformadora de números. Si el número X que ingresa es múltiplo de 2, sigue la trayectoria A. En caso contrario seguirá la trayectoria B. Si se ingresan los números 2 y 3 ¿Cuál es el producto de los números que salen por C y D ?

A B

p = x/2 q = 2x

p - 1 q + 3

C D

X

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

69.- En el esquema de la figura, si ingresa el número x = -1 ¿Qué número sale por D?

A 2 ( x - 1 ) C

B 1 - x D

X

→→

→→

→

70.- En el esquema : ⊗ = "multiplicar por 2" = "Sumar 3" ∆ = "Restar 5" Si x = 0 ¿Cuánto vale Y? X → ⊗ → → ∆ → Y




Parte 3 Potencias y Raíces

0.47 Definición Potencias (informal ) Es la multiplicación reiterada de un número por sí mismo, es decir,

a�a�a�a�a�...... a n veces .Esto lo podemos abreviar como an donde , a :es llamado base y es el número que se multiplicará y n :es llamado exponente e indica el número de veces que a se multiplicará la base por sí misma.�

0.48 Propiedades

Multiplicación de Potencias con igual base. Para multiplicar potencias de

igual base , se conserva la base y se suman los exponentes, es decir, an

� am

=

an+m

∀ a ∈ IR 0.49 División de potencias con igual base.

Para dividir potencias de igual base , se conserva la base y se restan los

exponentes, es decir, an : a

m = a

n - m ∀ a ∈ IR; a ≠ 0

0.50 Multiplicación de potencias con igual exponente.

Para multiplicar potencias de igual exponente , se conserva el exponente y

se multiplican las bases. an � b

n = ( a � b )

n ∀ a , b ∈IR

0.51 División de potencias con igual exponente.

Para dividir potencias con igual exponente se conserva el exponente y se

dividen las bases an : b

n = (a : b)

n ∀ a , b ∈IR; b ≠ 0. No olvide representar la

división como fracción

n

n

n

b

a

b

a

=

0.52 Potencia de una Potencia .

Para elevar a una potencia cual -quier potencia , se conserva la base y se

multiplican los exponentes (an)m

= an�m

∀ a ∈ IR 0.53 Potencia uno.

Todo número (base ) elevado a cero es igual a uno ( 1 ), es decir , a0 = 1 ∀




a ≠ 0 0.54 Exponente negativo.

Toda potencia elevado a exponente negativo es igual a n

n

aa

1=− ∀ a ≠ 0.

Esto también se denomina transformación de potencia con exponente negativo en potencia con exponente positivo. 0.55 Exponente –1.

A todo número elevado a -1 le sucede lo mismo que a una potencia

negativa cual quiera, es decir, a-1

= a

1 ∀ a ≠ 0

24

0.56 Potencias de 1

Toda potencia de 1 es igual a 1 , es decir , 1n = 1 ∀ n ∈ IR

0.57 Signo de una potencia.

Dada una potencia an el signo de ésta dependerá del signo de la base y la

paridad del exponente ,es decir, si éste es par o impar a) Base positiva : La potencia siempre será positiva , no importando su exponente. b) Base negativa y exponente par. La potencia será positiva, no importando el signo del exponente. c) Base negativa y exponente impar. La potencia será negativa no importando el signo del exponente. 0.58 Potencias de 10.

Las potencias de 10 son muy importantes en materias tales como Física y Química ,esto debido al uso de la notación científica.

10n esta potencia dependerá del signo del exponente.

10n = 100.....0 n ceros

10-n

= 0,000....01 n ceros Ejemplo:




104 = 10.000

107 = 10.000.000

10-3

= 0,001

105 = 0,00001

0.59 Notación científica

a ) Este tipo de notación la utilizamos para cantidades demasiado grandes

o bien demasiado pequeñas. Ejemplo: • la distancia entre la tierra y el sol • el peso de un átomo. b) También utilizamos notación científica cuando desarrollamos operaciones con números decimales. En ambos casos la notación científica consiste en escribir un número en la

forma a � 10n con 1 < a < 10 y n ∈ Z

Ejemplos :

a) 0,00032 = 3,2 . 10-4

El exponente negativo -n corre la coma hacia la izquierda n lugares. Así , en el ejemplo a no debe ser mayor que diez ( 10 ) ni menor que uno( 1 ) , entonces la cifra significativa es 32 que es mayor que diez por tanto corremos la coma un lugar y nos queda 3,2 .Ahora bien contando desde el tres ( 3 ) hacia la izquierda hasta la coma hay 4 lugares , por tanto la potencia de 10 es -4 ya que el número a escribir el menor que 1.

b) 450.000.000 = 4,5 � 108

En este ejemplo la cantidad es mayor que uno y por tanto, el exponente positivo n corre la coma hacia la derecha n lugares.La cifra es 45 y es mayor que diez ( 10 ) por lo tanto hay que correr la coma un lugar y queda 4,5 . Luego desde 5 ,incluyéndolo , se debe contar hacia la derecha y el resultado es ocho( 8 ), por tanto la potencia de 10 será ocho positivo porque la cantidad es mayor que uno

c) 0,36 � 0,008 = (36 � 10

-2)(8 � 10

-3)

0,0004 � 5000 (4 � 10-4

)(5 � 10³)

36 � 8 . 10-2

� 10-3

= 72 10

-5

4 � 5 10-4

� 10³ 5 10-1

14,5 � 10-4

= 0,00145




0.60 Ejercicios sobre Potencias

I.- Calcular :

1) (4 � 5) ³ 2) 2 -3

3) 25

� 27 4) (10

-3 )

5

5) ( 8² )³ 6) (-0,8) ³

7) ( -3) ³ ( -3) ² 8) [( -2/5)-6

] ²

9) (2/4)-3

10) (a-2

) º

11) ( -5)3 12) 2

6 � 2

2

13) ( 0,3 )-5

� ( 0,3 )³ 14) ( 0,25)5

( 0,25)²

14) ( 5²) ³ 15) 23 : 2

-4

16) 3-5

: 36

17) 43 : 4

7

18) 2-9

: 26

19) 10-5

: 109

65) a2 � a

5

67) (3/4)5 � (4/9)

5 68) 10

6 � 10

-6

69) a6 � a

8 70)

a

6 � a

-8

71) a-6

� a8 72) a

-6 � a

-8

73) a3 : a

2 74) 10

4 : 5

4

75) 26 : 2

2 76) 2

2 : 2

6

77) 106 : 10

-6 78) 10

-6 : 10

6

79) a2 : a

5 80) a

6 : a

8

81) a6 : a

-8 82) a

-8 : a

6




83) a-8

: a-6

84) 10-6

: 106

85) ¿Cuál es el valor de x en la expresión x = (-1)-5

+ (-1)º - (-1)9 ?

86) Calcular el valor de (0,025)² 87) Si a ² = 4 ; a � b = 1 es posible afirmar que : I a = 2 b = 1 II a = 2 b = 1/2 III a = -2 b = 1/2

88) Si a = 2 y b = 3a , entonces ab - b

= ?

a

89) ¿ Cuál (es) de las siguientes expresiones es equivalente a 25 - 1

I 2(24 - 1)

II 26 - 3

III 5² - 5 90) (( -2)²)³ 91) (( - 1/2) ³)²

92) (0,1)4 � (0,1)

-7 : (( -0,1) ²) 93) ((0,3)³ )²

29) 5 º

94) (2/3)4 95) 4

-5 : 4

7

II .- Expresar como producto o cuociente utilizando las propiedades de las potencias

Ejemplo : 45 4x + x + 1

= 45 4x

� 45 x � 45

96) 2 6 + x

97) a2x +1

98) x2a + 4

99) a3 + y - 2

100) an + 1

101) (0,2)3x - 4x² + 1

102) 32x - 1

103) (4,3) 5x² -x -4

104) 25x -1

� 1252x +1 105) (52

x - 1 : 5

x - 1 ) � 25

x + 1

106) 3 3x - 4

. 9x = 27 ² 107) a

4x + 2y �a

4x - 2y : a

2x




108) a x – 2 109) ( 1 + a )

4 - x

110) (x + y )2x - 10

111) 53x - 1

112) [ ( 0,3 )-4

]7 113) 9

5 : 3

-4

114) ((2 1/2)5)4 115) [( -6 ) ² ]

-3

116) ( -1/3³ ) ² 117) [( -3) ² ) ³

118) [(144)-2

]² 119) ( -3a) ³ � 3a³ 2a² � a³

120 )2

22 88 + 121)

34

50

222

22

)(−

− −

122) ((( -2)²)²)² 123) ((( -2)-4

)² )-1

124) ( a² b³ c-4

) � (a3 b

5 c²) 125)

+

2

2

b

b

a

a

126) a 3x - 3y

: a6x - 3y 127) ( a³ b³ / c )² ( c² b

4 / a

-7 )³

128) (-a)4 129) (-b)

3

130) (-2a)3 131) (3a

2)3

132) ((-2/3)a2)2 133) (-2a)

4

134) (-3a)3 135) (5a

2b)

2

136) (-5ab2)3 137) (-3ab

2c

3)2

138) (-3a2bc

2)3 139) (-4a

2b

2c)

3

140) (-4xy2z

2)4 141) ((2/3)ab

2)3

142) (a-3

)-2

143) (a-5

)-1

144) (-2a)-2

145) (-3a2)-2

146) (-4a3)-3 147) (-5a

2)-2




148) a-2

/ b-2

149) (a-2

) / (b-3

a-5

)

150) (a-1

b-2

) / (a-3

b-1

) 151) (a-1

a-3

) / (b-2

b)

152) (a-2

b-3

) / (a-3

b2) 153) (a

2b

-2) / (a

-2b

2)

154) (a-2

c-4

) / (b2a

2c

-6) 155) (c

-3b

-5a

-1) / (a

-3b

-4c

3)

156) a0 + a

1 + a

2 + 2a

-1 157) 2a

-1 + a

0 + 2a

1 + a

2

158) a-2

+ a-1

+ a-1

+ a2

159) 2a-1

+ 2a0 - 2a

1

Exprese todos los resultados con exponente positivo

160) 2x-4

161) (2x) -4

162) 2-4

x 163) (2x-1

) -4

164) (1 / 4x-4

) 165) (3m-3

x2) / (5y

2m

-4)

166) (axb

-y) / (y

-x) 167) xy

2x

-1

168) p-2

x-1

: 5x 169) 1 / 25-2

170) 1 / 2-5

171) ((y3x

-2) / (x

3y

-2))

-1

172) ((y3x

-3) / (x

3y

-3))

-1 173) (2x / 2

x) � (2

x-1 / -2

x-1) � (1 / 4

-x)

174) [2p+1

/ ((2p)p-1

)] : [4p+1

/ ((2p-1

)p+1

)] 175) (4 � 2m

- 5 � 2m-2

) / (2m

- 2m-1

)

176) (3x+4

- 12 � 3x+1

) / (3x+2

� 13) 177) (9 � 3p - 10 � 3

p-2) / (3

p+1 - 3

p)

178) (5x+5

- 6 � 5x+2

) / (5x+3

� 7) 179) (352 � 48

3 � 60

4) / (7

2 � 16

3 � 20

4)

180) (913 � 104

4 � 24

3) / (216

3 � 13

7)

181) 71) (3/5)-7

� (4/11)-7

� (27/24)-3

+ (27/12)-3

: (202/3)

-3

182) (125x4 /

16y

2)4 : (25x

2 / 72y

4)4

183) (2/3)3

184) (31/2)3

185) (12/3)-2




186) (52/7)-3

187) (11/4)-1

188) (0,25)-4

189) (0,125)-3

190) (1 : 0,125)-3

191) (5x / 6y)6 � (7z / 3x)

3 � (18y / 35z)

4

192) (3ab / 5cd)-4

� (5c / 6a)-3

� (4b / 3a)-2

193) ((x+y)/(z-u))4�(1/(x+y))

3�((z-u)/(a+b))

5

194) (x3y

3 / z

3) � (z

5y

4 / x

4) 195) (a

2b

3 / c

5)-7

: (a4b

3 / c

5)-4

196) (a-2

)-3

197) (a-2

)3

198) ((2/3)-3

)2 199) (-1)

1 + (-1)

2

200) (-1)3 + (-1)

4

0.61 Ejercicio sobre Potencias

I . Resolver :

1) (-1)0 + (-1)

1 + (-1)

2 + (-1)

3 2) (-1)

0 + (-1)

-1 + (-1)

-2 + (-1)

-3

3) a-1

+ a0 + a

1 4) [(-3/4)

-1]-1

+ [(-3/4)-2

]2

II .-Desarrolle las siguientes potencias ,aplicando propiedades 5) a² � a³ � a² 6) a³ : a² 7) a² : (a³ � a²) 8) ((-a²)²) 9) (-b)³ 10) (-2a)³ 11) (3a²)³ 12) [(-2/3)(a²)]² 13) (10² � 10²) : (5² � 5²) 14) [ (3/4)² � (3/4)³] � [(4/9)³ � (4/9)²] 15) 2³ � 2³ � 2² 16) (2³ � 2³) : 2²

17) 2² : (2³ � 2³) 18) [ 10² � 10³]² � [10-³ � 10

-²]

-³




19) [ 10² � 10³]² : [10-³ � 10

-²]

-³




III .- Desarrolle:

20) [ 10-² � 10

-³]

-² � [10³ � 10²]³ 21) ((-2a)²) 22) (5a²b)³

23) (-5ab²)² 24) ((-3ab²c³)²)³ 25) (-3a²b²c²)³ 26) (-4a²b³c)³ 27) (-4xy²z²)² � (-4xy²z²)² 28) ((2/3)ab²)³

29) ((-(2/3)x²y³)²)³ 30) (a-³)

-²

31) [(-a-³) � (-a

-²)]° 32) a

-² / b

-²

33) a-² / (b

-³ � a

-² � a³) 34) aº + a + a² + a³

35) a² + a² + a² + a + a² + a² 36) 2³ + 2³ + 2³ + 2³ 37) 4²+ 4²+ 4²+ 4²+ 4²+ 4²+ 4²+ 4² IV.- Usando potencias de 10 escriba : 38) 280.000.000.000 39) 160.000.000.000.000 40) 0,00000002 41) 0,0006794329 42) 15,478000 43) 0,000000000001 V.- Calcule :

44) 25 45) 5

2 + 2

5

46) 33 47) (3/4)

2

48) 54 49) (0,2)

3

50) (0,3)2 51) (1 + (1/2))

2

52) 24 + 4

2 53) (2,25)

3

54) 106 55) (0,75 + 0,25)

3




VI - Determine si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones

56) ( V ) ( F ) 24 = 4

2

57) ( V ) ( F ) 53 = 15

58) ( V ) ( F ) 4-2

= -16

59) ( V ) ( F ) 82 = 4

3

60) ( V ) ( F ) 32 + 4

2 = 5

2

61) ( V ) ( F ) 82 + 2

6 = 2

7

62) ( V ) ( F ) 23 + 3

3 = 5

3

63) ( V ) ( F ) 23 � 3

3 = 6

3

64) ( V ) ( F ) 52 + 5

0 = 26

65) ( V ) ( F ) 25 + 2 = 2

6

66) ( V ) ( F ) 102 - 8

2 = 6

2

67) ( V ) ( F ) a3 + b

3 = (a + b)

3

68) ( V ) ( F ) a3 � b

3 = (a � b)

3

69) ( V ) ( F ) a2 � a

-2 = 1

70) ( V ) ( F ) a2 � b

3 = (ab)

8

POTENCIAS

Desarrolle las siguientes potencias

71) (3ab2)2 72) ( -2a2b)2 ( -4ab3)2 74) (-a2b4)2 75) (-2 ax2)2 76) (-1/2 a2x3)3

77) (-2a3bx4)4 78) p p pn m n m− −2 3 4 3




79) x y x yn n n n− − − −2 3 4 5 80) a b

m n

a b

m n

n m n m n m− −

+ −

3

•

81) a b

c

c

a b

3 5

4 2 2: 82) x y

z

x y

z

n p

a

n p

a

2 5 3 2

6 7

6

9

− −

−

+

+•

m n

p

p

m n

x y a

y

y

y x x

− −

−

−

− −

3 8

7 9

10 6

4 7: 84) 2 3

5 7

5 7

4 62

3 3

3m n

p q

p q

m na

−−

−−

• •

5

6

7

3

18

35

6 3 4a

b

c

a

b

c

• • 86)

3

5

5

6

4

3

4 3 4ab

cd

c

a

b

d

• •

a b

c d a b

c d

a b

+−

+

−+

3 2 41

• •

m n

m n

p q

p q

p q

m n

m n

p q

+−

−+

++

−−

5 7 6 4

• • •

( ) ( )( )

a b

ab

a

b

b

a

m

m

m

m

2 3 3 2

4

3 2•

: •

90)

a b

c

c b

a

a b

c

a b

c

3 3

4

2 5 4

4

3 2 3

5

7 4 5

8

4

• : :




0.62 Ejercicio sobre Potencias

Ejercicios De Selección Unica 1.- La tercera potencia de la tercera parte de 6 es : a) 3² b) 8

c) 62/3

d) 63/2

e) 24

2.- ¿Cuál es el número cuyo cuadrado es 2²�3²�5² ? a) 10 b) 30 c) 90 d) 30² e) 15 3.- ¿Cuál de las siguientes igualdades no se cumple si a = b² ; x = 3y ; b = x a) 3a = 27y² b) b = 3y c) a = 9y² d) a + b² = x² + 9y² e) a + b = x + y 4.- ¿Cuál de los siguientes valores de a cumple con : a³ > 16 ? a) -2 b) -4 c) 2 d) 3 e) Ninguna anterior 5.- ¿Cuál es el doble de ( 2 - 1/2)² ? a) 9/4 b) 2 1/2 c) 4,5 d) 5 e) 15/2 6.- El resultado de

a³ � a² � b-5

� c³ � ( a � b)4 es :

a6 �b

-3 �c

5

a) c-2

/ a b) a3 / b

-2 c

-2

c) (ac)³ d) a² / b³ c-2

e) b² a² /c-2




7.- ¿Cuál es el resultado de (0,25) �( 5 )³ ?

I) 55 II) 5

-2

III) (0,5)-2

� 5³ a) I y II b) I y III c) III y IV d) II y IV e) I,II y III 10.- ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 270.000?

a) 2,7 � 104 b) 0,27 � 10

6

c) 27 � 10-5

d) 27 � 105

e) 30�30�30 11.- Si a = 2 ; b = -1 ,la expresión (a - b) ³ - (a + b)² - 13 ab es igual a : a) 0 b) 13 c) 52 d) -13 e) -26

12.- El valor de 3-3

� 9³ �(3/4)º es : a) 3³ b) 0

c) 27 � 4/3 d) 34

e) (3/2)-2

13.- Si =2² ,entonces 2 � ² = ? a) 32 b) 24 c) 16 d) 8 e) 6 14.- ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) iguales ?

I aº II a-3

� a2

III (2b - 3b) IV -b4 � b

-4

-b a) I y II b) I y III c) I,II y III d) I,III y IV e) I ,II ,III y IV




15.- ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a la expresión 2³ � 2 ?

I 24 � 2

0 II 4²

III 8² a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I, II y III

16.- 7�10² + 5�10 + 3�10º +2�10-1

+ 4�10-2

=? a) 75,24 b) 753,00 c) 753,24 d) 75.300 e) 75.324

17.- Si 3

= 27 y 2兟 = 16,entonces el valor de la expresión ( + 兟兟

=?

a) 2401 b) 343 c) 153 d) 71 e) 7

18.- Si * =a ; & =1 ,la expresión (*) 2/&

+ 6 - 5(*)1/&

=? a) a + 6 + 5a² b) a + 6 - 5a² c) a² + 1 d) a² + 6 + 5a e) a² + 6 - 5a

19.- El valor de la expresión ( 4 - 1,007) � 10-2

es : a) 29,93 b) 0,02993 c) 299,3 d) 0,002993 e) 0,2993

20.- Si el producto de 0,024 por 0,15 se divide por 10-3

resulta : a) 25,2 b) 0,0252 c) 2,52 d) 0,000252 e) 0,252

21.- 6,93 � 10-3

: 2,31 � 10-2

= ?

a) 3 b) 30�10-1

c) 3�10-4

d) 0,3




e) 300�10-5

22.- Al simplificar la expresión ( 1/a )-1

- ( 1/a )-3

cuando a = 1/2 se obtiene :

( 1/a)-2

a) 3/2 b) 5/2 c) -3/2 d) -5/2 e) Ninguna de las anteriores

23.- El mínimo común múltiplo entre 2x2 ; 3x

3 y 4x

4 es :

a) 2x2 b) 4x

4

c) 12x2 d) 12x

4

e) 24x9

24.- El valor de (1 / 2)-2

es : a) -1 / 4 b) -1 / 2 c) 1 / 4 d) 2 e) 4

25.- El producto entre wx y w es :

a) 2wx b) (w

2)x

c) 2wx+1

d) wx+1

e) w2x

26.- Si ( -a)0 + (-a) + (-a)

2 = x , entonces x = ?

a) 1 b) a2

c) -a + a2 d) 1 - a + a

2

e) 1 + a + a2

27.- x2 + x

3

a) x5 b) x

6

c) 2x5 d) 2x

6

e) Ninguna de las anteriores

28.- Si a-1

+ b -1

+ c -1

= 0, entonces el valor de a cuando b = 4 y c = 12 es : a) 3 b) -3




c) 1/3 d) -1/3 e) -8

29.- La suma de ( -27)2/3

+ (27)2/3

es : a) Un nº imaginario b) 0 c) 18 d) 12 e) Ninguna de las anteriores

30.- Si z -1

= x -2

+ y -1

; si x = 1/3 e y = 1/4 , entonces z = ? a) 1,6 b) 1/6 c) 4/3 d) 3/4 e) 6

31.- Al reducir la fracción x-3

� z3 �y

-3 / x

-1 � z � y

-1 se obtiene :

a) x2y

2z

2 b) x

-2y

2z

-2

c) x2z

-2y

2 d) x

-2z

2y

-2

e) x-2

y-2

z-2

32.- (3/2)a2x

7 � (4/5)a

4x

2 � (2/3)ax = ?

a) (4/5)a8x

9 b) (4/5)a

7x

10

c) (24/30)a8x

14 d) (24/30)(ax)

7

e) N.A.

33 .- (0,3)-1

+ (1 / 0,3) = ? a) 2 b) 20 / 3 c) 6 d) 1 e) 3 / 19

34.- Al simplificar [(0,0009)-1/2

� (0,005)1/3

] / [ 0,3 � 51/2

] se obtiene : a) 10 / 3 b) 100 / 9 c) 3 / 10 d) 9 / 100 e) 100 / 3 35.- ¿Cuál de los siguientes números es equivalente a : 0,000000575 ?

a) 575 � 10-7

b) 5,75 � 10-7

c) 53/4 � 10-9

d) 575 � 10-6

e) Ninguna anterior




36.- 88 + 8

8 + 8

8 + 8

8 = ?

a) 832

b) 328

c) 4 � 832

d) 28

e) 226

37.- Se define : a(m,n)

= am

+ an, entonces, 2

(-1,2) = ?

a) (1/2) � 32 b) 2

c) 2-2

d) (1/2) � 22

e) 23

38.- ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a : 24 - 1 ?

I 23 + 7

II (25 - 2) / 2

III 2(2(2 + 2-1

)(2 - 2-1

)) a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Ninguna e) Todas

39. Se define : @ como

10

00

00

aa

aa

aaa

++

+= entonces, @ 2 - @ 3 = ?

a) 1 / 35 b) 3 / 2 c) 1 / 2 d) -1 e) Ninguna anterior

40.-Si definimos A* = A² + A y A# = A - 1,entonces, al calcular (1 / 2)* - (1 / 2)

# se

obtiene : a) 1 / 4 b) 1 / 2 c) 3 / 4 d) 5 / 4 e) 2 41.- Qué número multiplicado por a² da como resultado 12. 4 a) 12 b) 48 a² a² c) 48 d) 48 - a² a² e) a²




48 42.- Si x = 0,1; x² + x + 1 será igual a: a) 111 b) 11, 1 c) 1, 11 d) 0, 111 e) 0, 0111

43.- Si m = 2; r = -1 y q = 0. El valor de la expresión ( )

qr

r

m−+

3

222

es :

a) 11

11 b)

12

11

c) 9

5 d)

50

3−

e) 23

16−

44.- La mitad del inverso multiplicativo de un número es 1/8, luego el número está dado por : I (-2)³ II (1/4) + 2² - (1/2)² III (2/3) + (5/4) + (25/12) a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III

45.- El valor de : 1 : (0,25)-1

es : a) 1/4 b) 5/4 c) 4 d) 8 e) 16 46.- ¿Cuál (es) de la (s) afirmación (es) siguientes es (son) falsas?

I (-0,9)² < 0,1 II 0, 01 > 10 -2

III 0,009 � 0,1> 1,1 � 10 –2

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I , II y III e) Ninguna anterior 47.- Si x² - y² = (x/3) - (y/3), entonces, el valor de x + y es : a) 9 b) 3




c) 1 d) 1/3 e) 1/9 48.- (( 1 / 10.000) + 0,0001) : 0,0001 = ?

a) 1,1� 10-8

b) 1,1 c) 11 d) 2,0�10 e) 2

49.- El valor de la expresión (-2)1 + (-2)² + (-2)³ + (-2)

4 + (-2)

0 es :

a) (-2)10

b) 11 c) 17 d) 7 e) Ninguna anterior

50.- Al efectuar [[(-1)-1

]-1

]-1

se obtiene : a) 0 b) 1 c) -1 d) 10 e) Ninguna anterior




Parte 04

Raíces 0.63 Definición. (informal)

can = La raíz enésima de a es igual a c, ya que a = cn . Cuando se trata de la

raíz cuadrada de un número omitiremos el número 2.En una raíz can = los

elementos n : índice; a : cantidad subradical ; √ : radical ; c : valor de la raíz o raíz enésima de a

Toda raíz se puede escribir como una potencia cuyo exponente es una

fracción, por ejemplo 9 = 91/2

= 3 y 16 = 161/2

= 4

0.64 Propiedades

Las propiedades de las raíces son las mismas que se cumplen para

potencias, ya que toda raíz tiene una expresión como potencia. 0.65 Raíz de índice 1

11 =n . La raíz de índice 1 equivale al radicando ,es decir , cualquiera sea el índice si la cantidad subradical es uno , la raíz es 1 0.66 Raíz de un producto.

n ba· =

n√ a .

n√ b . Para extraer raíz de un producto, se saca raíz de cada

factor y se multiplican las raíces que resultan , o lo que es lo mismo , se multiplican las cantidades subradicales y se conserva el índice. 0.67 Producto de 2 raíces de igual índice

nn ba * = n ba * . Para multiplicar dos raíces de igual índice , se extrae

raíz de igual índice del producto de los radicandos. 0.68 Raíz de un cuociente

n ba :· = n

√ a :n√ b. Para extraer raíz de un cuociente se extrae raíz del

dividendo y del divisor y se dividen las raíces resultantes.




0.69 División de dos raíces de igual índice

nn ba : = n ba : . Para dividir dos raíces de igual índice se extrae raíz de

igual índice del cuociente de los radicandos , es decir, al dividir raíces del mismo índice se dividen las cantidades subradicales conservando el índice.

0.70 Raíz de una raíz

m n a = n�m

nm a* . Para extraer raíz de una raíz se extrae raíz del

mismo radicando pero de índice igual a la multiplicación de los índices. 0.71 Raíz expresada como potencia de exponente racional.

n√a

m = (

n√a )

m = a

m/n . Para expresar una raíz como potencia se eleva

el radicando a un exponente fraccionario, cuyo numerador es el exponente propio del radicando y cuyo denominador es el índice de la raíz. 0.72 Potencia de una raíz.

n√a

k = (

n√a )

k = a

n/k . Al extraer una raíz de una potencia de igual exponente

que el índice de la raíz , el resultado será siempre la cantidad subradical. Un c

aso especial lo constituye n√a

n = (

n√a )

n = a

n/n = a

0.73 Raíz de un irracional

Algunos irracionales tienen radicandos posibles de expresarse como

productos en que un factor, a lo menos, tiene raíz. Ejemplo :

√ 50 = √ 25 . 2 = √ 25 .√ 2 = 5 √ 2 √ 125 = √ 25 . 5 = √ 25 . √ 5 = 5 √ 5 0.74 Introducir un coeficiente como factor del radicando de una raíz.

a � n√ b =

n√a

n� b Es el problema inverso al anterior. Para resolverlo, basta

elevar el coeficiente dado al índice de la raíz y multiplicarlo por el radicando correspondiente. Ejemplo :

5 . √ 5 = √ 5″ . 5 = √ 25 . 5 = √ 125 6 . √ 3 = √ 6″ . 3 = √ 36 . 3 = √ 108




0.75 Multiplicar y dividir raíces de distinto índice

n√ a *

m√ b =

nm √ a

n *

nm √ b

m

= nm

√an ∗ b

m

Para multiplicar y dividir raíces de distinto índice basta darle un índice

común amplificando convenientemente cada raiz. Así, n

√ a : m

√ b = nm

√ an :

nm

√ bm

= nm

√an : b

m

En la práctica , conviene utilizar de preferencia el MCM de los índices. 0.76 Racionalización.

Racionalizar es eliminar la raíz del denominador, es intercambiar las raíces

entre denominador y numerador en una fracción Ejemplo : a √b para eliminar √b del denominador se multiplica por √b , es decir, se amplifica por √b , entonces

( )2*

b

ba

b

b

b

a

b

a== =

b

ba




0.77 Ejercicio sobre Raíces

I.- Calcular y/o desarrollar

1) √4 • √81 2) 3√27 •

3√8

3) √72 • √2 4)

4√8 •

4√2

5)

3√5 •

3√25 6) √7 • √6 • √14 • √3

7) √144 : √25 8) √49 : 169 9) √64 : √121 10) √64 : 8 11) √288 : √2 12) √

3√

4√6

13) √

3√3

2 14) √

3√54

15)

3√125

6 16) √16

3

17) 3√27 ″ 18) √50

3

19) (√3√ 2

4 )

5 20) (

5√

3√5

10 )″

21) (

5√10)

20

II .- Descomponga y resuelva

22) √ 12 + √ 18 − √ 27 + √ 20 23) √

75 + √ 50 − √ 32 + √ 72

24)

3√ 16 +

3√ 81 +

3√ 128 −

3√ 625 25) √8 + √50

26) √32 − √98 + √72 27)

3√27 +

3√243 +

3√147

28) √45 + √180 − √720 − √605 29) √50 − √72 + √243 III.- Desarrolle y / o simplifique

30) 3√

3√2 31) √√√ 2

32) √2

√ 2 33) 2

√ 2

√ 2




34) 3√2

√ 7 35)

6√

3√

4√ α

36)

5√5

3√

√ 7 37) x

3/4

38) 275/2

39) 643/6

40) 4

7/3 � 16

5/7 41)

4√8″

IV.- Dividir

44) √18 : √112 45) 3

3 3

xy

yx

√ 2 √ 7 46) √µ • √ν : √µ

√ν

V.- Simplificar y/ o descomponer de la forma a n b

47) 9

4 48)

169

100

3 3

3 38

z

yx 50) a4

51) 50 52) 450a 53) 72 54) 3 81 VI.- Desarrollar

56) √ 2 • √ 18 57) √ 50 • √ 2

58)

3√ 27 •

3√ 3 59)

3√6 •

3√24

VII.- Racionalizar : 60) 1 / 3 √ 3 61) 5 / √5 62) 2 / √3 63) √5 + 18

√2




VIII .- Exprese como una sola raíz y simplifique

64) (27a3b

5)1/3

65) 5√ a

3 �

4√

a

5

66) 6√ a

5 :

3√

a

2 68)

6√

8

69) √

7

2 70)

4√

3√ 9x

2y

4

71) 6

√ x2 + 2x + 1 72) √ 48a

3b

4c

6 / √ 3ab

2c

2

IX .- Simplifique

73) 424 ba 74) 8625 yx

75) 3 9327 ba

76) 3 12938 xba−3

10864 yx 78)

4 16816 ba

79) 3√ 1000x

9yb

18 80)

4√ 81a

12b

24

81) 6√ 64a

12b

18c

30 82) nnba 429

83) 5√ -x

5ny

10m 84) √ 9a

2 / 25x

4

85) 3√ -27a

3 / 64x

4 86)

5√ -a

5b

10 / 32x

15

87) 4√ a

8 / 81b

4c

12 88)

7√ 128 / x

14

89) n

n

y

x4

2

121 90)

312

9

216

125

m

x−

91) 3279

18

cb

a 92) 10

30

20

1024y

x

93) (18a3b

6)1/3

94) 4 3 429 yx

X.- Desarrolle

95) [ (-3)2 + 3

2 ] -3

2 96) a

3b

-8c

4 / b

-4a

5




97) (3.400 � 0,5 � 2.700) 98) (a / b)-n

� (b / a)n : (a / b)

2n

(1,7�0,0003 � 10-2

)

99) [ a3/4

� b5/2

� a ]2

100) √ 4 + √

144

101) 3√

8

3 +

5√

7

10 +

6√8

18 102) √

3√

4√

7√

1

103) 3√ −8 +

5√

-243

XI.- Resuelva usando propiedades de raíces 104) √ 3 · √ 27 105) √ 18 · √ 8

106) √ 10 · √ 15 · √ 6 107) √ 12 · √ 18 · √ 6

108) √ 6a²b³ · √ 54bc² 109)√ 20xy²z · √ 45x³y · √ yz

109) √ 15m²n5 · √ 60n 110) x √ xy³ · √ x³y

111) √ a / b · √ ab³ 112)2xy³ / 3 · √ 3x / 8y

113) √ 9xy³ / 10 · √ 20xyz · √ x²z / 8

114) √ x³y / 27 · √ 12x² / y² · √ y³ / xz

4

115) √ (x² + xy) . √ (a² + ab) . √ (ab – b²)

ax (a² - b²) (x² - y²)

√ (x³ - 2x²y + xy²) · √ (x³ + y³) · √ 9xy² + 9y³

(x³y + y4) (x² - y²)

XII.- Racionalizar

Racionalice las siguientes expresiones :

1 / √ 2 118) 2 / √ 2

119) 2 / 3√ 8 120) ab / √ 2a

3x / 2√ xy 122) a²b / √ ab

20a²bc / √ 15abc 124) 3ax / √ a²bx

125) (2 - √ 2) / √ 2 126) xy² / √ 4xy




(2 + √ 3) / (2 - √ 3) 128) (√ 5 + √ 2) / (√ 5 - √ 2)

129) 7 / (2 + 3√ 2) 130) (3 + 2√ 2) / (3 - 2√ 2)

a

a

−1

2 132) ( ) aba −+

1

( ) aa

a

− 134) (a² − 1) / (1 + √ 2 - a)

135) 2a / (√ a + x - √ x) 136) √ 6 / (2√ 3 - 3√ 2 – √ 30)




0.78 Ejercicios sobre Raíces

Ejercicios de selección única

1. Si x = √ 2 − √ 12,5, entonces, x2 = ?

a) -10,5 b) 14,5 c) -4,5 d) 4,5 e) 24,5 2. 3√ 8 + 2√ 32 + 4√ 58 − √ 162 = ? a) (√ 29 − 3) √ 2 b) −3 + √ 29 c) 8√ -64 d) 64 e) (5 + 4√ 29) √2

3. (x√2

)√8

= ?

a) x16

b) x4

c) x2 d) x

10

e) x32

4. (0,027)2/3

= ? a) 0,018 b) 0.81 c) 0,09 d) 0,9 e) Ninguna de las anteriores 5.- Si a = b

2 , entonces a + a = ?

a) b 3 b) 2b

3

c) 3b d) b2 + b

3

e) b2 + b

6.- Si ( a , b ) # ( c , d ) = ( ac ,

b√ d ) , entoces ( -2 , 2 ) # ( 3 , 9 ) = ?

a) ( -8 , -3 ) b) ( -8 , 3 ) c) ( -6 , 3 ) d) ( -3 , -8 ) e) ( 8 , 3)

7.- Si a = 251/2

- 2 y b = 32 +1 , entonces a ( 2a + b ) = ?

a) 48 b) 45 c) 42 d) 39




e) 36 8.- Si a y b son dos números enteros positivos , entonces ¿ cuál de las siguientes expresiones es (son) falsas ?

I ( a2 b

3 )

1/3 = b

3 2a II II abba ** = 1

ab

III ( )

1

*

*

4

1

2

1

2

=

ba

ba

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I , II y III

9.-

( )n12

81

3

+−

=?

a) 4 + n b) n c) 5 d) 4 e) 3

10.- Si a = 4/9 y b = -3/2 , entonces b

a1

− = ?

a) 0 b) 1 c) 4/3 d) 2/3 e) 4/9

11.- Si m =2

1 ; n = 2 , entonces m

2 + 2mn + n

2 = ?

a) 12 b) 9 c) 4,5 d) 2 e) 0

12.- Si ∆n

= n

1/2 + n y ∆n = n

1/2 - n , además n pertenece a los Naturales ,

entonces el valor de la expresión :( ∆4 / ∆ 16 ) = ?

a) -1/2 b) -3/4 c) 1/2 d) 1/4 e) Ninguna de las anteriores

13.- La expresión (( a7/4

) 3/7

) 4/21

es :

a) a3 b) a

7/4 + 3/7 + 4/21




c) a7 d)

7 √ a

e) Ninguna de las anteriores

14.- En la expresión 9n

= 3 , el valor de n es:

a) 2 b) 1/2

c) 3

d) -1 e) -1/2

15.- Si m = 2 + 8 , entonces m2 = ?

a) 10 b) 20

c) 18 d) 12 + 2 8

e) 12 + 8 2

16.- El resultado de 8

128 es :

a) 4 b) 16 c) 2 d) 10 e) √ 12

17.- 3

3 = ?

a) 3 b) 9 3

c) 9

3 d) 1

e) 3 3

18.- 1727250 +− = ?

a) 8 b) 8 2

c) 20 2 d) 140

e) No se puede determinar

19.- 52

2 = ?

a) 2/15 ( 5 ) b) 2/3 ( 5 )

c) 1 / 15 ( 5 ) d) 3/2 ( 5 )

e) 15/2 ( 5 )




20.- ( 28 + )2 = ?

a) 18 b) 10 c) 100 d) 16

e) 10 + 2 2

22.- 25169 − = ?

a) 8 b) 12

c) 144 d) 12

e) 8

23.- Si x + 2 = 3 , x = ?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

24.- La suma de 508 + equivale a :

a) 58 b) 7 2

c) 2 2

7 d) 200

e) No se puede calcular

25.- Si m = 82 + , entonces m2 vale :

a) 10 b) 16

c) 18 d) 10 10

e) 10 + 8 2




Parte 05 Expresiones Algebraicas 0.79 Término algebraica (informal)

Es la multiplicación o división de factores literales y coeficiente numéricos

Ejemplo : 3x²y ; 5

7−ax³ y² ; 4a²b³c

Todo término algebraico se compone de un factor literal (letras) y de un factor numérico (números) , es decir , si 3x²yes un término algebraico , el factor Literal x²y y el factor numérico 3 0.80 Expresión algebraica

Es la suma o resta de dos o más términos algebraicos. Ejemplo : 4xy + 8y; 3x²y + 2xy - 3z ; 0.81 Términos Semejantes.

Son todos los términos algebraicos que tienen un mismo factor literal.

Ejemplo: 7x²y con -4x²y ; 22xy³z con 30y³xz 0.82 Monomio.

Es una expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplo :

x ; y ; 2x² ; 7x³y³ ; 8xy²z 0.83 Binomio.

Es una expresión algebraica que consta sólo de dos términos.Ejemplo :

3x + 2y ; 7x² - 1 0.84 Trinomio.

Es una expresión algebraica que consta de tres términos. Ejemplo :

x²+ 2xy + y² ; 3x - y – 1. En general llamaremos polinomio a toda expresión algebraica que conste de dos o más términos. 0.85 Operatoria de Expresiones Algebraicas

Suma: Para sumar dos polinomios, juntamos los términos semejantes ,

conservamos el factor literal y sumamos los factores numéricos. Esto es válido también para la resta.




Ejemplo : 4x²y + 6xyz - 3xy² + 4xyz - 2x²y + 1 = (4 - 2)x²y + (6 + 4)xyz - 3xy² + 1 = 2x²y + 10xyz - 3xy² + 1 0.86 Multiplicación .

La multiplicación de polinomios se realiza término a término ,es decir,cada

término del primer polinomio con cada término del segundo polinomio, considerando las propiedades de la multiplicación de potencias Ejemplo : (2x - 3 ) (5 + 6x) = 2x�5 + 2x�6x - 3�5 - 3�6x = 2�5x + 2�6 x�x - 3�5 - 3�6x = 10x + 12x² - 15 - 18x = 12x² - 8x - 15 0.87 Productos Notables

Existen algunos productos de polinomios que tienen características

particulares, ello debido a que no es necesario realizar la multiplicación término a término para obtener el resultado, sino que éste tiene una forma predeterminada. 0.88 Cuadrado de Binomio

(a + b )² = a²+ 2ab + b²

(a - b )² = a² - 2ab + b². Se resuelve como : el cuadrado del primer término, más o menos (según el signo al interior del binomio) el doble del primer término por el segundo , más el cuadrado del segundo término) 0.89 Cubo de binomio

(a + b )³ = a³+ 3a²b+ 3ab²+ b³

(a - b )³ = a³ - 3a²b+ 3ab² - b³.(en este caso se resuelve como : el cubo del primer término, más o menos tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del tercero) 0.90 Suma por su diferencia

(a + b) (a - b) = a² - b². Se resuelve como el cuadrado del primero, menos

el cuadrado del segundo, considerando que llamamos segundo a aquel término




que cambió de signo. 0.91 Producto de dos binomios con un término en común

(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab. Se resuelve como : el término común al

cuadrado, más la suma de los dos términos distintos por el término común, más el producto de los dos términos distintos. 0.92 Factorización .

Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más

polinomios . Es la operación inversa de la multiplicación. Existen muchas formas de factorización , de hecho los productos notables son una de ellas , la agrupación de términos comunes o el factorizar por termino común y muchas otras. Ejemplo : x² - y² = (x + y)(x - y) x² + 2xy + y² = (x + y)(x + y)

(x + b) (x + c) = x² + (b+c)x + bc 0.93 División .

Para dividir dos polinomios primero factorizaremos tanto el numerador

como el denominador de ésta si es posible hacerlo, luego simplificaremos aquellos factores que aparecen tanto en el numerador como en el denominador Ejemplo : x² - 4x - 21

= (x - 7)(x + 3)

x²+11x+24 (x + 8)(x + 3)

= x - 7

x + 8 En muchas ocasiones nos encontraremos con sumas o restas de fracciones cuyo denominador son polinomios, por tanto aprenderemos a calcular el M.C.M y el M.C.D entre polinomios. 0.94 Cálculo del M.C.M.

Reiteraremos lo señalado en capitulo anterior al respecto. Para obtener el M:C:M de una expresión algebraica 1.- Se factorizan todos los polinomios a los que se les calculará el M.C.M. 2.- Se seleccionan todos los factores o polinomios diferentes que aparecieron. 3.- Se multiplican asignándole a cada uno su mayor exponente. Ejemplo :




Calcular el M.C.M. entre x² + 13x + 42 ; x² + 14x + 49 ; x² - 25 en este caso al factorizar cada polinomio tenemos : x² + 13x + 42 = (x + 7) (x + 6) x² + 14x + 49 = (x + 7)² x² - 25 = (x + 5) ( x - 5) por lo tanto el M.C.M. es (x + 7)²(x + 6)(x + 5) ( x - 5) 0.95 Cálculo del M.C.D.

Al igual que el anterior, reiteramos que para obtener el M.C.D de una expresión algebraica 1.- Se factorizan todos los polinomios a los que se les calculará el M.C.D. 2.- Se seleccionan todos los factores que aparecen repetidos en todas las factorizaciones 3.- Se multiplican todos los factores seleccionados asigándole a cada uno su menor exponente Ejemplo: Calcular el M.C.D. entre x³ + 3x² + 3x + 1; x² + 7x - 8 ; x² - 1 Factorizando cada polinomio resulta : x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³ x² - 7x - 8 = (x - 8) (x + 1) x² - 1 = (x + 1) (x - 1) el factor que es común a todos los polinomios es (x + 1) y su menor exponente es 1, por lo tanto el M.C.D. es (x + 1) Observación : Nótese que cuando no aparece un factor repetido en todas las factorizaciones, el M.C.D. es 1 0.96 Ejercicio sobre Expresiones Algebraicas

I.- Calcule el M.C.M y M.C.D entre los siguientes polinomios. 1) 15x³ + 20x² + 5x ; 3x³ - 3x + x² -1 ;

x4 + 18x³ + 3x²

2) x² + x - 2 ; x² - 4x + 3 ; x² - x - 6

3) 6a² + 13a + 6 ; 3a² + 14a + 8 ; 4 + 12a + 9a²

4) x² + 2x ; x³ - 2x² ; x² - 4

5) x6 - 4x³ - 32 ; ax4 + 2ax³ + 4ax²

2a² + 2ab ; 4a² - 4ab




7) 6x³y - 6x²y ; 9x³y² + 18x²y²

8) 12a²b³ ; 4a³b² - 8a²b³

9) a² + a ; a³ - 6a² - 7a ; a6 + a

10) 2x³ - 2x² ; 3x² - 3x ; 4x³ - 4x²

11) x² - 25 ; x² + 12x + 40 12) x² + 2x - 48 ; x² + 12x + 32 13) x² - x - 42 ; x² + 15x + 56 14) x² + 12x + 27 ; x² + 17x + 72 II.- Desarrolle y Simplifique 15) (x + y)² (x + y)(x - y) 16) (a + b - c)² - (-a -b + c)² (x² - y²) (x²+ 2xy+ y²) 17) (x - y)

_- (x + y) 18) ( 3x - 4)²

(x + y) (x - y) 19) ( 5x + 3)² 20) (x - 3) ( x² + 3x + 9) 21) (1 - x) ( x² + x + 1 ) 22) x² + 3x - 18

x² + 8x - 88

23) x4 – 81 24) x² - 4x - 21

25) (a + 1) (a + 2) 26) (x + 2) (x + 4) 27) (x + 5) (x - 2) 28) (m - 6) (m -5) 29) (x + 7) (x - 3) 30) (x + 2) (x - 1) 31) (x - 3) (x -1) 32) (x - 5) (x + 4) 33) (a - 11) (a + 10) 34) (n - 19) (n + 10) 35) (a² + 5) (a² - 9) 36) (x² - 1) (x² - 7) 37) 3x (5x - 7x²y + 4xy²) 38) (4x² - 7xy + 3y²) (-3x²y) 39) (14ax² - 5bxy + 4by²) (-2ab²) 40) (x² - 2xy + y²) (-4xy) 41) (x² + 2xy + y²) (-5xy²) 42) (4x² - 4xy + y²) (-2xy) 43) 5(2x - 5y + 4) + 2(4x - 12y - 10) 44) 4(2x² - 5x - 8) + 8(2 + 3x - x²) 45) x(5x - 8) + 3x(x - 5) - 5x(2x + 4) 46) 15x(x - 3)(2x - 1) - 4x(5 - x²) - (-14)




47) (x² + x + 1) (x - 1) 48) (4x² - 2x + 1) (2x + 1) 49) x² + x³ + (x + 1) (x - 1) 50) (2x + 3y + 1) (2x - 3y - 1) 60) (m + 3)² 61) (5 + x)² 62) (6a + b)² 63) (9 + 4m)² 64) (7x + 11)² 65) (x + y)² 66) (1 + 3x²)² 67) (2x + 3y)²

68) (a²x + by²)² 69) (3a³ + 8b4)²

70) (4m5 + 5n

6)² 71) (7a²b³ + 5x

4)²

72) (4ab² + 5xy³)² 73) (x10

+ 10y12

)² 74) (x + y) (x - y) 75) (m - n) (m + n) 76) (a - x)(x + a) 77) (x² + a²) (x² - a²) 78) (2a - 1) (1 + 2a) 79) (1 - 3ax)(3ax + 1) 80) (2m + 9) (2m - 9) 81) (a³ - b²) (a³ + b²) 82) (y² - 3y) (y² + 3y) 83) (1 - 8xy) (8xy + 1) 84) (6x² - m²x) (6x² + m²x) 85) (a + 2)² (a + 2) 86) (x - 1)² (x - 1) 87) (m + 3)² ( m + 3) 88) (n - 4)² (n - 4) 89) (2x + 1)² (2x + 1) 90) (1 - 3y)² (1 - 3y) 91) (2 + y²)² (2 + y²) 92) (1 - 2n)² (1 - 2n) 93) (4n + 3)² (4n + 3) 94) (a² - 2b)² (a² - 2b) 95) (2x + 3y)² (2x + 3y) 0.97 Ejercicio sobre Expresiones Algebraicas

II .- Factorizar 1) x² - y² 2) a² - 1 3) a² - 4 4) 9 - b²




5) 1 - 4m² 6) 16 - n² 7) a² - 25 8) 1 - y²

9) 4a² - 9 10) 25 - 36x4

11) 1 - 49a²b² 12) 4x² - 81y² 13) a² + ab 14) b + b² 15) x² + x 16) 3a³ - a² 17) x³ - 4x4 18) 5m² + 15m³ 19) ab – bc 20) x²y + x²z 21) 2a²x + 6ax² 22) 8m² - 12mn 23) 9a³x² - 18ax³ 24) 15c³d² + 60c²d³ 25) 35m²n³ - 70m³ 26) abc + abc² 27) 24a²xy² - 36x²y4 28) a³ + a² + a 29) 15y³ + 20y² - 5y 30) a³ - a²x + ax² 31) 2a²x + 2ax² - 3ax 32) x³ + x5 - x7

33) a²b8 - c² 34) 100 - x²y

6

35) 14x²y² - 28x³ + 56x4 36) 34ax² + 51a²y - 68ay² 37) 96 - 48mn² + 144n³ 38) a²b²c²- a²c²x² + a²c²y² 39) 55m²n³x + 110m²n³x² - 220m²y³ 40) 93a³x²y - 62a²x³y² - 124a²x

41) x - x² + x³ - x4 42) a6 - 3a

4 + 8a³ - 4a²

43) 25x7 - 10x

5 + 15x³- 5x² 44) ax + a + bx + b

45) xa + x -3a – 3 46) 2x - 2 + yx - y 47) ma - mb + an – bn 48) -2x + 2xn - 3yn + 3




49) 2 + an+ 2a + n 50)a + xa - 1 51) x² + 1 - ba² - bk 52) 3x²-2xy - 6x + 4y 53) a² + ab+ ax + bx 54) am - bm + an - bn 55) ax - 2bx - 2ay + 4by 56) a²x² - 3bx² + a²y²- 3by² 57) 6m - 9n + 21nx - 14mx 58) 1 + a + 3ab + 3b

59) x² - 2x + 1 60) y4 + 1 + 2y²

61) a² - 10a + 25 62) 9 - 6x + x²

63) 16 + 40x² + 25x4

64) 1 + 49a² - 14a

65) 36 + 12m² + m4

66) 1 - 2a³ + a6

67) a8 + 18a

4 + 81 68) a

6 - 2a³b³ + b

6

69) 4x² - 12xy + 9y² 70) 9b² - 30a²b + 25a4

71) 1 + 14x²y + 49x4y² 72) 1 + a10

- 2a5

73) 256a12

- 289b4m

10 74) x² + 7x + 10

75) x² - 5x + 6 76) x² + 3x + 10 0.98 Ejercicio sobre Expresiones Algebraicas

I.- Simplificar : 1) 2x² - 22x + 60 5 - 6x²

2) a² + a - 2 . n - an - m + am

3) 2x² - 9x - 5 10 + 3x - x²

4) 5x³ - 15x²y

90x³y² - 10x5

5) (x - 5)³ 125 - x³

6) x² + 7x + 10 . x² - 4x - 21 . x² + 3x - 4 x² + 2x - 3 x² + 9x + 20 x² -5x - 14

7)36x²+60x+25 a²+11a+30 (a-5)(6x-5) a² - 25 36x² -25 (6x+5)(a+6)

8) 2x - 2 . x - 1 3x 2x




9) a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc : a+b+c x² + y² +z² + 2xy + 2xz + 2yz x+y+z

10) 4a² - 12a + 9 . 4 + 3b 16 - 9b² 2a - 3

III.- Efectuar las siguientes sumas y restas

11) a + 4a . a + 2

12) m - n - n² m

13) x + 5 - 3 . x - 2

14) 1 - a² + a - 3 a

15) x - 2 + 3x + 2 4 6

16) 1 - a + x a - x

17) 2 + 1 . 5a² 3ab

18) a - 2b + b - a 15a 20b

19) n + 3 + 2 m² mn m

20) 1 - x + x + 2 + 1 . 2x x² 3ax²

21) 2a - 3 + 3x + 2 + x - a 3a 10x 5ax

22) 1 + 1 + 1 . 3x + 3 2x - 2 x² - 1

23) 1 + 1 . a + 1 a - 1

24) 2 - 1 . x + 4 x - 3

25) m + 3 + m + 2 m - 3 m - 2

26) 5 + 7x . x + 8 x - 1

27) x + x + 1 x² - 1 (x - 1)²

28) 2 + 3x . x - 5

29) x + a + 3a² - x² x + 3a x² - 9a²

30) 2 + 2 . a² - ab ab + b²




0.99 Ejercicio sobre Expresiones Algebraicas

1.- Al factorizar y simplificar la expresión (a - b)² resulta: a² - b² 1 b) a - b c) (a - b)/ (a +b) d) 0 e) -2ab 2.- Si se define p q = pq - q , entonces (3 + x) (4 - y) = ? a) xy - x+ y b) xy - y + 4x + 8 c) -xy - 2y + 4x + 8 d) 2xy - 2y + 4x + 8 e) xy - 2y + 4x - 8 3.- Al multiplicar y reunir términos semejantes en la siguiente expresión x² + 3x (1 - x) + 2x (1 +x) se obtiene : a) x² + 1 b) 2 + 3x c) 5x d) 3x e) x 4.- Cuál(es) de los siguientes valores permiten que (a - b)² = (a + b)² I 0 ≠ a = -b II 0 ≠ a = b III a = b = 0 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) Ninguna anterior 5.- ¿Cuál de las siguientes expresiones da como resultado (a - b) ? a) a² - b² b) (a² - ab²)/ ab c) ab² - a²b/ ab d) (1/a)(a² - b/a) e) (ab) (1/b - 1/a) 6.- ¿Cuánto debemos restar a la expresión (x - 1) para obtener ( 1 - x) =? a) 2 b) 2x c) x + 1 d) 2x + 2 e) 2x - 2 7.- Si p + 2q = 3 , entonces 2(3p + 6q) =? a) 18 b) 12 c) 9 d) 8 e) 6




8.- Si a = x - y ; b = 2y - x ,entonces b - a = ? a) y b) 3y c) -3y d) 2x - 3y e) -2x + 3y 9.- ¿Cuánto debemos sumar a 3x - 1 para obtener 1 - x ? a) 2x b) -4x c) 4x - 1 d) 2 - 4x e) 1 - 4x 10.- Dado que x = b + 1 ; y = 2b - 1 ; b = a - 1, entonces la expresión x + y + a es igual a : a) 4a - 3 b) 4(a - 1) c) 4a - 5 d) 4a - 1 e) Otro valor 11.- Si a la suma de (x + y) con (x - y),le restamos la suma de 2(x + y) con 3( y - x) , resulta : a) 3x - 5y b) x - 5y c) x + y d) 3x - y e) Otro valor 12.- ¿Cuál es el valor de la expresión (a - 2b) si a = x -2y + z ; b= y - x ? a) x - z b) z - x c) 3x + z d) 3x e) 3x - 4y + z 13.- Si a² - b² = c ,entonces a - b = ? a) c b) c - b c) c(a + b) d) c/(a + b) e) c/(a - b) 14.- Las operaciones y & , están definidas como a b = a + b +a³ ; a & b = -a-b-a³ ; entonces para un x e y cualesquiera , (x y) + (x&y) =? a) 0 b) x c) x + y d) y e) x - y




15.- ¿A qué número hay que sustraer (x - 1) para obtener (x - y) ? a) x - y b) x + y c) 2x - y d) 2x - y - 1 e) 2x - 2y - 1 16.- La expresión x² - y² es igual a : (x+y)(x-y) a) (x - y)/ (x + y) b) (x + y)/(x - y) c) 1 / (x + y) d) 1 e) 0 17.- Si a² - b² = (3a - b) + (a - 3b) y a b ,entonces a + b = ? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 18.- Al factorizar y amplificar la expresión x ² + 3x - 18 x² + 10x +24 a) 1 b) (x + 6) / (x + 4) c) ( x - 3) ( x + 4) d) ( x - 3) / ( x + 4) e) (x + 6 )² ( x - 3 ) ( x + 4 ) 19.- El valor de ( a + b ) ² - ( a - b ) ² es : a) 4ab b) 2a² + 2b² c) -4ab d) 2(a + b)² e) 0 20.- Una expresión equivalente a : x² - 2xy + y² x²- y² a) ( x - y ) / ( x + y ) b) ( x + y ) / ( x - y ) c) ( x - y ) / ( x + y ) d) ( x - y ) ² e) ( x - y ) 0.100 Ejercicios sobre Expresiones Algebraicas

I. Reúna términos semejantes 1) 3x + 5x - 8x + x 2) 2x - 5x + 9x - 3x




3) x - x + 2x 4) 3x - 2y + 5x + y 5) x + 1 - 3x + 5 6) (2a

2 – 3b + 5 ) + ( ( -3b + 4a

2) + (-5 + 7b)

7) (-3a2 + 4ab + b

2) + (-a

2 + 7ab – 4b

2)

8) (12x3y + 7xy

3) + (-4x

3y – 8xy

3) + (3xy

3 – 5x

3y)

9) ( ) ( )327345

1 2222 +−++−+

++− abbabbabba

10) ( )xxxxx 37124

143

2

1 22 +−+

++−+

++

11)

−+

+−+

++ 222222 42

1

5

423

4

3

5

2cbaabcba

12)

−

+−+−−−+ 2222

5

4

6

5

5

24

3

1343 aaaaaaa

13) ( )23222322 5434

1232 xyzxyxzxyzxzxy −+

−+

−+−−

14)

−+

+−+−−+ yxyyxxyyyxyxy 222222

8

14

4

53

2

1

2

132

15)

+

−−−++−− 22222

3

1)32(

2

53

2

1

3

4ababbaabbaabab

II.- Desarrolle las siguientes multiplicaciones

16) )475(3 22 xyyxxx +−

17) )3)(374( 222 yxyxyx −+−

18) )2)(4514( 222 abbybxyax −+−

19) )4)(2( 22 xyyxyx −+−

20) )5)(2( 222 xyyxyx −++

21) )2)(44( 22 xyyxyx −+−




22) )10124(2)452(5 −−++− yxyx

23) )32(8)852(4 22 xxxx −++−−

24) )42(5)5(2)85( +−−+− xxxxxx 25) )14()5(4)12)(3(15 2 −−−−−− xxxxx

26) (x + 5)(x - 3)

27) (x + 6)(x + 9)

28) (x + 8)(x - 8)

29) (x - 3)(x + 1)

30) (x - 2)(x - 2)

31) (a + 1) (a + 2)

32) (x + 2) (x + 4)

33) (x + 5) (x - 2)

34) (m - 6) (m -5)

35) (x + 7) (x - 3)

36) (x + 2) (x - 1)

37) (x - 3) (x -1)

38) (x - 5) (x + 4)

42) (a - 11) (a + 10)

39) (n - 19) (n + 10)

43) (a² + 5) (a² - 9)

40) (x² - 1) (x² - 7)

44) (3x + 2) (3x +6)

41) (a + 4) (b + 5)

III.- Desarrolle los siguientes productos notables 45) (x + 5)²

46) (x - 1)²

47) (3 - x)²

48) (4 + x)²

49) (-2 - x)² 50) (x + 5)(x - 5)

51) (x + 3)(x - 3)

52) (x - 7)(x + 7)

52) (x - 1)(x + 1)

54) (x + 2)(x - 2)

55) (x + y) (x - y)

56) (m - n) (m + n)

57) (a - x)(x + a)

58) (x² + a²) (x² - a²)

59) (2a - 1) (1 + 2a)

60) (1 - 3ax)(3ax + 1)

61) (2m + 9) (2m - 9)

62) (a³ - b²) (a³ + b²)




IV.- Factorización de Expresiones Algebraicas 63) a2 + ab

64) x2 + 5x

65) x2y + xy2 – x3

66) 5xy2 – 15y3

67) 2abc + 4ab – 6a2c

68) x4 + x3 + x2

69) 8x2y2 – 4x3y + 10xy3

70) 9a3 – 12a4 + 6a2

71) 15x – 25x2 + 5ax

72) 12a2b – 15a2b2 + 21a2b3

(a – b)2 + 2(a – b) – a(a – b)

–5(x – 2) – x(x – 2) + (x – 2)2

(2a + b)2 – (2a + b)(3 – 5a) + 2(2a + b)

(a – b)3 + (a - b)2 – (a – b)

(3a + b)(a – 2b) – (3a + b)(2a - b)

x(a – b) – a + b

x – 1 + y(1 – x)

ab + ac – b – c

3x – x3 + 6 – 2x2

ax – 2bx + ay – 2by

2ax + b – a – 2bx

ab + ax – mb – mx

a2 – a3 + 2 – 2ª

x4 + x3 – x2 – x

4x2 + 6ax – 2x – 3a

4x2y + 6xy2 – 6x2 – 9xy

ax – 2bx + cx – a2 + 2ab – ac

3a2b – 2a2x – 2a3 – 2ax2 + 3abx + 3bx2

a2 – x2

1 – x2

a2x2 – y2

16 – a4

4a2 – 9

22

9

4ba −

a2x4 – y6

4b4 – 25x2




22

16

9

4

81yx −

100) x4 – y10

ax2 – a

3x2y2 – 3

8a3 – 2ab2

a3 – 36ab4

36a2x – 9b2x

54

9

1

4

25aab −

5234

8

1

2

9baba −

a2 + 6a + 9

x2 + 2xy2 + y4

x2 + 8x + 16

4a2 + 9 – 12a

9x2 + 12xy + 4y2

x6 – 2x3 + 1

m4 – 2m2n3 + n6

4x2 + 2xy + 2

4

1y

2

5

4

25

4xx ++

117) 2

9

4

3

41 xx +−

118) 222

7

4

49

4zxyzyx +−

119) 223

36

1

3

1axyxyaxa +−

abx2 – 2a2bxy + a3y2b

121) 144a3b3 + 81a4b2 + 64a2b4

122) 5x3y + 10x2y2 + 5xy2

123) 24x3 – 24a2x3 + 6a4x3 124) 63

16

455

2

15aa ++

125) 424242333

16

1

4

1

4

1cbacbacba ++

126) 25a6b4 + 49a2b8 – 70a4b6

127) aaa9

7

3

7

4

7 23 ++

128) 2324262

15

8

25

2

9

8yxayaxa ++

129) x2 – 3x + 2135)

130) a2 – 9a + 8

x2 – 5x + 6

132) x2 – 7x + 10

x2 + 8x + 15 x2 + 7x + 12




x2 – 5x + 4

x2 + 5x – 6

a2 – 8a + 15

a2b2 – 7ab + 12

x2 – 5x – 6

x2 – 10x – 16

V.- División de polinomios

Divida los siguientes polinomios ,identificando resto y cuociente : a3 - a2 + 5a - 3 : a2 - 2a + 1 142) x3 - 2x2 + 5x - 4 : x2 + x + 1 x2 + 7x - 8 : 3x – 2

a5 - a4 + a3 - a2 + a -1 : a2 - a – 1

x6 - 4x4 + 3x2 + 1 : x3 - x – 1

2x3 - 5x2 - x + 1 : 2x + 1

-4a2 - 9a3 + 6a - 1 : 2a – 3

35m3 + 47m2 + 13m + 8 : 5m + 1

155) 2a4 -13a3b+ 31a2b2 - 38ab3 + 24b4 : 2a2 - 3ab + 4b2

156) a2 + 3x2 + 4ax . a + x

157) 2x2 - 3ax + a2 : a - 2x

158) 6x4 - ax2 - 15a2 : 5a + 3x2

159)b3 -4ab2 + 5a2b - 2a3 : a2 - 2ab + b2

160) 15x4+10x3y -9x2y2 +4y4 : 5x3 - 3xy2 + 2y3 161) 3a4 + 5a3b - 3a2b2 + 5ab3 - 2b4 : 3a2 - ab + 2b2

2x5 - 3x4y + 8x3y2 - 6x2y3 + 7xy4 - 2y5 : 2x3 - x2y + 3xy2 - y3 163) 3x5 + 4x4 + 5x - 8x3 + 2 - 6x2 : x2 + 2xy - y2 164) x5 + 3x4y + x3y2 + 2xy4 - y5 : x2 + 2xy - y2 165) 2a5 - 10a4b + 20a3b2 - 24a2b3 + 12ab4 - 2b5 : a3 - 2a2b + 3ab2 -b3

166) x x y x y x y x y xy y x xy y6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 2 21

6

10

3

5

6

10

3

3

2

3

2

1

3

1

6

1

2− + + + + + − +:

VI.- Fracciones Racionales

Realice las operaciones indicadas con las siguientes expresiones algebraicas :




167) 3 2ab

m

a

mn:

168) a b

c

ab

c

2

3

22:

169) 8

3

4

9

23 2xy

x yz: −

170) 2

5 10

3 2

4

3 2

3

a m n

b

am n

b:

171) 24

7

6

35

2 3 2

3 4

4

2 3

x y z

a b

xy

a b: −

172) 15

4

3

23

2 2

2

abc

m

a b

m n:

173) 4

5

2

15

3 2

2

2 4a b

xa b: −

174)

12 62 4

5 4

x z

y xy: −

175) 2 2

3

4 42

a b

x

a b

x

− −:

176)

1 1

32

2− −x

a

x

a:

176) 5

10

25

5

2 2 2

2

a ab

x

a b

x

− −:

177)

12 3 8 22

3 2

a ab

x x

a b

x x

−

−

−

+:

179) ab a a

a

a b ab

a

+ −

−

+ − +

−

2

2

2 2

23

1 2

27 9:

180) ab ac b c

a

b c

a

+ − −+

+

−4 4

2 2

12:

181)

1

2

1 3 3

4

2

1 2

2 3 2 3

2

2

2

− − +−

+ + +

−

⋅

+ −

+ +

a a a

a

a a a

a

a a

a a:

182) a

a a

a a

a

3

2

2

3

27

3 9

3 9

27

+

+ +

− +

−:

183) ax ay x y

a a

a

a

a

x y

+ − −

− −

−

−

⋅

++2

2

22

3 3

4

3 3:

184) ( )( )

:x y a

a

a

a

x y

a

+ −

−−

−⋅

+

+

1

4 8

1

4 1

2

2

185) 6 2

5 6

6 9

3

9

3 62

2

2

2+

− +⋅

− +

+

−−

x

x x

x x

x x

x

x:

186)

1

2 1

1

2 1

2 1 2 1

a ab

a

b

a

−−

+

−+

+




187)

1

1

1

1

4

12

1

2x x x

xx

++

−+

−

−+

188)

2 4 4

2 2

2 2

2 2

x y

x y x y

y

x y x y

+

−−

−

−+

−

189)

4 2

3 3

3

2 2

22 2

2

2

a b

a b

a b

a b

ab

a b

a ab

ab b

−−

−++

+−

+

−

190) 1

23

1

2

1

4

32+

− ++

xx

191)

x

xx

x

x

x x

−−

−

+−

−

⋅−

+ −

3

22

34 5

1

4

1 2

2

2

192)

a b

b

b

a b

a bb

a b

−+

+

− ++

2

193)

2

1

3

32

2

3

62 2

x x

x x x x

+−

+

− −−

+ −

194) a

a

aa

a

− +−

− +−

⋅ −−

16

6

23

6

19

162

195) a b

ab

a b

a bab

a b

a b ab

a b

− +−

+ −+

+ +

−

2

2

22 2

2 2:

196)

1

3

33

9

33

2

1

2

2

2

−

−−

−−

−−

+

a

aa

a

a

a

a

a

a

197)

m

n

n

m

m n

m n

m n

+ +

+

−

−

1

1 1

3 3

2 2:

198) x

x y

x y

yx y y

x y

x y

y

x y

y

−+

−

−+

−

−+

+

2 2

2 3

2 2

2

2

2

4 2

( ):

199) 1

11

1

11

1

2+

−⋅ +

−

+

+

−

ab

a ba

a

b

ba

ab

a

: 200)

1

1

1

1

2 2

1

2 2

1 2

2

2

2

2

−+

−+−

++

−

−

+ +

x

x

x

x

x

x

x

x x:




201)

x

y

y

x

x

y

y

x

x

x y

x xy y

x xy

y

x

x

y

−

− ++

−−

− +

−

+ −2

2 3 2

2

2 2

2

202)

1

1

2

2

3 2

2 2

a b

b

a ab

b

a ab

a b

b

a b

+−

+−

−

++

−

203)

22

22

23

62

2

2

1

2

1

yxyx

y)yx(

yxyxyx

++

−++

++

−−

204)

aa

a b

a b

a bb

b

a b

a b

a ab b

a b

a b

a b

b

−+

+−

+−

+

+ +⋅

−

+

+

23 2 2

3

2 2

2 2

3 3

2 2

:

:

205)

1 12 2 2 2 2 2

2 2

3 3xy x y

x y

x y

x y

x xy y

x y

x y−

+−

−

+ +

−

−: :




Parte 06

ECUACIONES 0.106 Definición.

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas 3x²y - 2x = 3 + 2xy 3x - 8 = 5x - 2 7X² + 3xyz = 4xy - 1 Resolver una ecuación es encontrar los valores de x que hacen posible la igual dad . Estos valores se denominan raíces de la ecuación. Para resolver ecuaciones debemos considerar las siguiente propiedades. 0.107 Propiedades para resolver una ecuación

a) Dada una ecuación,si sumamos o restamos un mismo término a ambos lados de la igualdad ésta no varía. Ejemplo : 3x + 5 = -2x - 8 / + 2x 3x + 5 + 2x = -2x - 8 + 2x 5x + 5 = -8 b) Si restamos un mismo término a ambos lados de una igualdad ésta no varía. 5x + 5 = - 8 / -5 5x + 5 -5 = -8 - 5 5x = -13 c) Si multiplicamos o dividimos por un mismo término a ambos lados de la igualdad esta no varía. 5x = -13 / : 5 5x = -13 5 5 x = -13 5 d) Al elevar a una potencia o extraer raíz a ambos lados de una igualdad ,ésta no varía. Ejemplo : x² + 2x + 1 = 4 (x + 1)² = 4 /√ (x + 1) = ± 2 Ejemplo :

√x + 5 = 6 / ( )² √(x + 5 )² = 6²




x + 5 = 36 x = 36 - 5 ⇒ x = 31 0.108 Resolución de ecuaciones.

Cuando resolvamos una ecuación debemos despejar la incognita x y para

ello aplicaremos todas estas propiedades ante -riormente mencionadas. a) En toda ecuación , para despejar x debemos aplicar siempre la operación opuesta de cada término Ejemplo : 7x - 2 = 4x + 3 / - 4x 4x aparece sumando por tanto se aplica la operación contraria a la suma que es la resta, entonces 7x - 2 -4x = 4x + 3 - 4x 3x - 2 = 3 / + 2 2 aparece restando por tanto se aplica la operación contraria a la resta que es la suma , entonces 3x - 2 + 2 = 3 + 2 3x = 5 / : 3 3 aparece multiplicando a x por tanto se aplica la operación contraria a la multiplicación que es la división, entonces 3x = 5 3 3 x = 5/3 Ejemplo : 2y - 3 = 8 y + 5 / -2y -5 2y - 3 - 2y - 5 = 8y + 5 - 2y -5 - 8 = 6y / : 6 -8/6 = y En resumen para despejar la incógnita es preciso dejar a un lado de la igualdad, todos los términos que tienen la incógnita y al otro lado los términos libres de ella.

SISTEMAS DE ECUACIONES




0.109 Definición: Un sistema de ecuaciones consiste en operar 2 o más ecuaciones con 2 o

más incognitas, las cuales tienen soluciones simultáneas,es decir, las soluciones de una ecuación son también las soluciones de la otra. Ejemplo : 3x + 2y - 6z = 5 -4x + 6y - z = -32 7x + 4z = -9 _________________ Los sistemas que analizaremos en este capítulo son sistemas compuestos por 2 ecuaciones con dos incógnitas. 0.110 Resolución de sistemas de ecuaciones.

La resolución de sistemas de ecuaciones puede realizarse por distintos métodos.No existe uno mejor que otro, la sugerencia es utilizar cuando sea pertinente el que le resulte más sencillo. Métodos de resolución. 0.111 Método de Igualación

Consiste en despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita y luego

igualar las expresiones resultantes, de esta manera resultará una ecuación con una incógnita. Ejemplo 3x - 2y = 7 5x + 6y = -7 ____________ Al despejar x en ambas ecuaciones resulta : 3x - 2y = 7 x = 7+ 2y 3 5x + 6y = -7 x = -7 - 6y 5 Al igualar sus resultados queda: 7 + 2y = -7 - 6y 3 5 Al resolver esta ecuación tenemos 5( 7 + 2y) = 3 ( -7 - 6y)




35 + 10y = -21 - 18y 18y + 10y = -21 - 35 28y = -56 ⇒ y = -2 Este valor de y deberá ser reemplazado en cualquiera de las dos ecuaciones originales del sistema .Al hacerlo tendremos una nueva ecuación que nos entregará el valor de x. Si reemplazamos el valor de y que es -2 en la primera ecuación tendremos: 3x - 2y = 7 Ecuación original, 3x - 2(-2) = 7 Ecuación efectuado el reemplazo, entonces 3x + 4 = 7 que resulta x = 1 0.112 Método de sustitución.

Consiste en despejar una de las incógnitas en cualquiera de las dos

ecuaciones y luego sustituir este valor en la otra ecuación: Ejemplo : 3x - 2y = 7 5x + 6y = -7 ___________ Despejando x en la primera ecuación tendremos: 3x - 2y = 7 x = 7 + 2y 3 Este valor lo reemplazaremos en la segunda ecuación 5x + 6y = -7 Primera Ecuación 5 ( 7 + 2y) + 6y = -7 3 Ecuación sustituida, entonces nos queda 35 + 10y + 6y = -7 3 y luego al resolver se obtiene y = -2 como ya habíamos despejado el valor de x x = 7 + 2y, 3 ahora reemplazamos aquí el valor de y x = 7 + 2(-2) 3 lo cual al resolver obtenemos x = 1




0.113 Método de reducción

Este método consiste en igualar los coeficientes numéricos de alguna de las dos incógnitas pero con diferente signo y luego sumar las dos ecuaciones .El resultado de esta operación será una ecuación con una incógnita Ejemplo : 3x - 2y = 7 5x + 6y = -7 ___________ Si igualamos la incógnita y queda: 3x - 2y = 7 / �3 5x + 6y = -7 ___________ 9x - 6y = 21 5x + 6y = -7 ___________ Entonces al sumar, 9x - 6y + 5x + 6y = 21 - 7 14x = 14⇒ x = 1 Al igual que en los métodos anteriores, sustituimos el valor de la incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones y nos entrega el valor de y. 0.114 Ejercicio sobre Ecuaciones

I.- Represente simbólicamente los siguientes enunciados : 1) a incrementado en b 2) a disminuido en b 3) El producto entre a y b 4) El cuociente entre p y q 5) La mitad de p 6) El doble o duplo de x 7) El séxtuplo de q




8) El cuadrado de a + b 9) La quinta potencia de x 10) n veces h 11) El exceso de x sobre y 12) La semisuma entre a, b y c 13) El promedio entre m, n y r 14) El sucesor de n 15) El antecesor de j 16) Un número par cualquiera 17) Un número impar cualquiera 18) El sucesor par de un número par 19) El antecesor de un número impar 20) El inverso aditivo de n 21) El inverso multiplicativo de k 22) El recíproco de t 23) a es menor o igual que b 24) m es mayor o igual que n 25) El semiproducto entre a, b y c 26) La razón entre a y b 27) El a por ciento de h 28) La enésima parte de m II. Escriba simbólicamente las siguientes operaciones matemáticas :




29) La mitad de m más n 30) La mitad de m, más n 31) El doble de : n disminuido en b 32) a incrementado en la mitad de b 33) El producto entre a y su sucesor 34) El exceso del doble de x, sobre y 35) El promedio entre p y el cuadrado de v 36) m disminuído en p veces n 37) El cubo de x menos el triple de u 38) El cuádruplo de : el doble de m, aumentado en n 39) El triple del cuadrado de un número 40) El cuádruplo del sucesor de un número 41) El antecesor del cubo de un número 42) La raíz cuadrada del quíntuple de un número 43) El quíntuplo de la raiz cuadrada de un número 44) El producto entre el antecesor y el sucesor de un número 45) m es el doble de n 46) x incrementado en el doble de y equivale al triple de z 47) La semisuma entre x, y, z es igual a la cuarta parte de v 48) El doble de x disminuído en 3 es lo mismo que x aumentado en 1 49) La séptima parte de la cuarta parte del doble de m, es igual al triple de su antecesor III.- Desarrolle y/o resuelva :




50) x + 9 = 16 51) x + 10 = 21 52) 9 + x = 8 53) x - 3 = 3 55) 7x - 15 - 2x = 5 56) 4(3x - 5) + 3 = 19 57) 5(13x - 51) = 70 58) 7x = 59 - (12x + 21)

59) x + 2 + (x - 3) = x - (4x -14) 60) 6

5

3

2=

x

61) 16

52

4

3+=+

xx 62) 05

3

4=−

−x

63) 4

3250

4

3−=− x

x 64)

2

5

12

2 xxx =

++

65) (2x - 3) + (4 - 5x) = -(9x + 6) + (7 + 9x) 66) (15x + 5) - 3(4x - 2) = 2(x - 7) + 5(x + ) 67) Los 3/4 de los alumnos de un curso de 48 alumnos son niños ¿ cuántos alumnos del curso son niñas ? 68) Si se compran x huevos a $ 50 cada uno, ¿cuál es la cantidad mínima de huevos que deben venderse a $ p cada uno para cubrir el costo ? 69) La cuarta parte de x es 1/8, lurgo ¿cuál es el valor de x + x/4 ? 70) ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación : al producto de 2/3 por 1/2 se le resta 1/3? 71) Si p : q = 1 , entonces q = ? 72) ¿Cuánto dinero tenía Benjamín, si al gastar la cuarta parte de su capital se quedó con 6r? 73) ¿Qué número multiplicado por 4/9 da como resultado 2/3 ? 74) ¿Por qué número hay que dividir 5/6 para obtener 3/4 ? 75) La suma de tres números consecutivos es 75 , ¿cuáles son los números ? 76) Determine los valores de x e y para el sistema compuesto por las ecuaciones 2x + 12y = 54 ; 7x - 3y = 9




77) Determine los valores de x e y para el sistema compuesto por las ecuaciones 6x - 4y = -4 ; 5x + 8y = -60 78) Determine los valores de x e y para el sistema compuesto por las ecuaciones 12x - 10y = -18 ; 4x + 3y = 13 79) Determine los valores de x e y para el sistema compuesto por las ecuaciones 8x + 3y = 25 ; 5x + y = 13 80) La suma de dos números es 18 y uno de ellos tiene 6 unidades más que el otro.¿Cuáles son los números ? 81) Dos números suman 28 y su diferencia es 2.¿Cuáles son los números?. 82) Dos números se encuentran en la razón de 5 es a 6 , ¿cuáles son los números si su diferencia es 5 ? 83) La diferencia entre 2 números es 48 y la suma de ellos es 168 .¿Cuáles son los números ? 84) Dos personas se reparten $ 4800 de tal forma que la diferencia de lo que recibe cada una es $ 1200 . ¿Cuánto recibe cada uno ? 85) Entre dos amigos juntan $ 646, si uno tiene $ 170 más que el otro. ¿Cuánto dinero tiene cada uno ? 86) La suma de 2 números es 180 y uno de ellos es 30 unidades menos que el otro . ¿Cuál es el valor de cada número ? 0.115 Resuelva y verifique la siguiente ecuaciones:

12 -15x 7) -(8x 2 .1 =−

x)- (2 6 - 14 -3x ) 4 -(x 4 .2 =−

1) -(x 3 - 1 5x 3) - x ( 2 .3 =+−

1 -2x x)- (2 4 ) 1 -(x 3 .4 =+−

11 - 1) -(2x 3 ) 3 (x 2 - x)- (1 8 .5 =+−

4 x)- (1 3 -2x 3) (x 4 - 2) (x 6 .6 +=++−




1 x 4x) - (3 2 1) -(2x - ) 4 (x 5 .7 +=++−

x)- (1 12 7) (2x 3 2x) - (3 3 x) (1 4 .8 ++=++−

[ ] [ ]7) -(3x - x)- (3 3 -2x 21 3) -(x - 1)- x ( 3 2 .9 =−

2x - x)- (4 x - 5 x) (2 1) -(x .10 =+−

1) 3x (2x 2 1) (2x x)- (1 - 1) x (2x .11 2 ++=++−

3) x ( ) 2 (x 3) -(x 2) -(x x)- (3 2 .12 ++=+−

[ ] x- 2 3 x)- 2 ( 1 - 3) (2 -x - 1 .13 +=+−

3) (x 3) - x ( 5 1) -(x 2) -(x .14 ++=−

[ ] x) (1 x)- 1 ( 2 2 x)- (1 - 1 - 2 .15 +=−

[ ] 2x) - (3 5 - x 2x) - (1 5 1) -(x - - 3 .16 =+−

22 1) -(x 2x 1) -(x 3 - 2) (x .17 +=+−

1) -(3x 3x) (1 1) -(x 3 - 1 2) -(3x .18 2 +=+−

[ ] 1) -(2x 3 - x)- (3 2x - 2) (x 2) -(x 2 - 1) -(x 3 .19 22 =+−

[ ]22 2) -(x 5 - 2) (x 1) -(x 2 ) 6 (4x 2 - 3x) - (5 5 .20 +=+−

( ) ( )4

7 - 3

3

x - 1 -2x

4

3 2

2

1 .21 =

++−− x

12

5 2x 1 -

6

1 x

3

1 -

2

x - 1) (4x

2

3 .22 +=

+

+−

12

5 2x 1 -

6

1 x

1 -

2

x

2

1 -

4

12x .23 +=

+

+

−

1) (2x 3

1 - 3 x ) 2 (x

6

1)1(

3

2 .24 ++=++−− x




( )( )1 2

2322 x

3

x - 1

3

x 1 .25

3 +

++−=+

+−

xx

4

19 2) (6x 3

4

3 - 2 x 2) (x 3) -(x - 1) (x .26 2 ++

=

+++−

2

x- 1

0,5

1 -x

10

1 2x

5

1 -3x .27 +=

++−

12

11 -3x

4

1 -2x -

3

1 2x -

5

1 -x -

3

1 x

4

5 .28 =

+

+−

3) (4x - 1) -(x 4 1) (2x 3 - ) 1 (3x 2 .29 +=++−

1) -(x 4 - 3 -4x 1) (3x 2 - 1) (2x 3 .30 =++−

3

1) -(x 3) (x

2

1 -x

3

2 x .31

+=

+−

x3

1 3) -(x

3

1 - 1

3

x 1 -

3

1 x -

3

x- 2 .32 +=

+

+−

( )4

1 -2x 13 -3x 5 x

2

7 - 5

3

5 2 -x

3

1 .33 =+

+−

4) (x 12

19

3

3 -2x -

2

3x

2

3 -

3

1 - 2 .34

22

+=

+

−

8

11 x 3 4x -

2

1 2x

6

1 -

4

1 3

2

1 .35 +=+

+

−− x

+−=

+

− x-

2

1

3

5 5

2

x- 2 -

3

2 -x 3 1) -(3x 2 -

2

1 -x

3

1 .36

12

1 -

2

x 1 x)- (1 -

2

x- 2

6

1 -

4

3 2x .37

+=

+−




( )10

1

5

3x 2

3

1 4 -x

2

1 -x

5

1 -

2

1 .38 =

++

+− x

3

2 -5x

6

1 x

3

4 -x - 2

2

5 .39 =

+++− x

2

3

3

x- 2 - 5x

2

1 2x -

3

1 -x -2x .40 =

+

+−

II Resuelva las siguiente ecuaciones literales : 4 7a -3x a) (x 3 -2x .1 =+−

4 6 3) -(x a a -3x .2 +=−

4 1) - (2a a 2) (a 1) (a ax .3 =+++−

4 xa) - (b - 4b x b) (a .4 =+−

4 3)- b (x 2 2) -(x b b)x a - (2 .5 ++=+−

4 )x a - (2b - b a x 3b) (a .6 ++−

4 1 - 2a 1) -(x 1) (a - 1) - a ( x) (2 .7 =++−

4 4 - 1) (x a a -2x .8 +=−

4 1 3b x b) (1 1 -(2x b -bx .9 +++=−

2a x a) - (1 x 2) (a -3x .50 +=+−

6) -(3x b 2) -(x a .51 =−

2ax - 1) (a 1) - (a 1) - (a 3 5a) - (3 x .52 +=+−

bx - b) - (a b) (a - b) (a2x - b) - (a b) (x .53 +=++−

22 2b - a b) -(x a - b) - (a2x .54 =−




3

1 x

a

a x

3a

4 - a -x .55

+=

++−

0 b

x- a -

a

b x .56 =

+−

2a 1) (x 3a -2bx .57 =+−

23b) (a x) 2a (6b 3b ax .58 +=+++−

6

x

3a

2x - a 1 -

2a

a -x .59 +=−

2

222 b 2

12x b 3x b) -(x .60

++=+−

x a

ax - 1 -

a

2 x .61

2=

+−

a) (b a) - (b - 2a) (x a - a) -(x .62 222 ++=−

3 1 a

2x

1 - a

2 -x .63 =

++−

( )

0 2ab

x2a b

b

x- b -

2a

2a -x .64 =

++−

2b - 1

2x

b 1

1 -x -

b - 1

1 -x .65 =

+−

b

x- b

a

a -x -

ab

2 .66 =−

a - a

1 -ax

a

1 -x -

1 a

1 x .67

2=

++

−

22

2

b a

2ab - 8b

b a

b 2x -

b - a

b x .68 =

+++

−

2

1

a

b -x -

2b

a) -(x 3 .69 =−




( )ab

22b - b - a

x b

b - 3 2b -

b

2x a .70 +=

+−

III.- Sistemas de ecuaciones y problemas con enunciado

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones con dos incógnitas :

71) x y

x y

+ =− =

4

2 72)

x y

x y

− =+ =

3

5 73)

2 4

5 13

x y

x y

− =− =

74) 3 5

2 4

x y

x y

+ =− =

75) 4 9

3 16

x y

x y

− =− =

76) 2 6

3 2 6

y x

x y

= −− =

77) x y

y x

= += − +

1

2 5 78)

x y

x y

= −=

1

2 3 79)

2 3

2 7

u v

u v

+ == +

80) 2 11

5

b a

a b

+ =− =

81) y x

x y

= − −

− =

1

31

4 3 18

82) y x

y x

= − +

= −

1

41

2 4

83) 3 5

3 2

x y

y x

− = −− = −

84) y x

y x

= − ++ =

3 5

4 12 20 85)

2 6

3 4 4

x y

x y

+ =+ =

86) 2 1

3 2 12

y x

y x

+ =− =

87) 5 3 6

1

x y

x y

+ =− = −

88) 3 4 1

3 2 0

x y

x y

− = −− + =

89) 5 4 11

3 5 23

x y

x y

+ =− = −

90) − + = −

− = −0 3 0 5 0 1

0 10 0 4 0 38

, , ,

, , ,

x y

x y 91)

1

2

2

31

3

4

1

32

x y

x y

+ =

− =

92) 3 5 30

5 3 34

x y

x y

+ =+ =

93) 0 2 0 3 0 1

0 03 0 01 0 07

, , ,

, , ,

x y

x y

+ =− =

94)

3

5

2

314

3

4

1

314

x y

x y

+ =

− =

95) 5 8

3 4 14

m n

m n

+ =− =

96) 4 1

2 16

x y

x y

+ =− =

97) 3 7

5 6 14

b a

a b

− = −+ =




98) x y

x y

+ =− + =

3 7

4 7 99)

x y

x y

+ =− = −

9

2 3 100)

2 6

3

x y

x y

+ =− =

101) x y

x y

− =− + = −

2 6

3 4 102)

9 3 3

2 3 8

x y

x y

+ = −− = −

103) 6 3 18

6 3 12

x y

x y

− =+ = −

104) 5 3 9

2 5 16

x y

x y

+ = −− = −

105) 3 2 22

9 8 4

x y

x y

+ =− = −

106) 5 3 24

3 5 28

r s

r s

− =+ =

107) 5 7 16

2 8 26

x y

x y

− = −+ =

108) 0 3 0 2 0 3

0 2 0 3 0 3

, , ,

, , ,

x y

x y

+ =+ = −

109) 0 7 0 3 0 5

0 4 0 7 1 3

, , ,

, , ,

x y

x y

− =− + =

110) 5 9 7

7 3 5

x y

y x

− =− = −

111) a b

b a

− =+ =2 16

3 3 112)

3 15

4 1

( )a b

a b

− == +

113) 1 3 0 2 12

0 4 17 89

, ,

,

x y

x y

− =+ =

114) x y

y x

− =

− = −

1

10100

1

10100

115)

1

8

3

5

19

23

10

7

201

x y

x y

+ =

−− = −

116)

1 32

6 534

x y

x y

− =

+ = − 117)

2 10

5 25

x y

x y

+ =

+ = − 118)

−+ = −

− =

2 46

9 1019

x y

x y

119) 3 2 2 3 7

6 1 5 1 18

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

− + − =− − + = −

120) 7 2 9 1 28

4 2 6 1 12

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

+ + − =− − + = −




121) 3 2 1 5 3 9

4 3 1 7 2 13

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

− − + =− + + =

122) 10 5 7 3 49

9 4 14 4 9

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

+ − + = −+ + − = −

123) 12 7 5 3 30

18 5 4 85

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

− + + =− − − =

124) 7 1 2 2 3

5 1 3 3 2

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

+ − = +− + = −

125) 5 2 1 11 4 5 1

3 5 1 59 2 3 1

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

− − = ++ − = −

126) 11 3 1 11 3 8

22 1 13 9 7

( ) ( )

( ) ( )

x y

x y

− + = − −+ − = −

127) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

x y x y

x y x y

− + = − ++ − = + −

4 7 3 4

5 2 2 1 128)

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

x y x y

x y x y

+ + − + + =− + + − + =

3 5 1 8 0

2 3 5 7 2 6 5 1 0

IV.- Resolver los siguientes Sistemas de Ecuaciones

Resuelva los siguientes problemas traduciéndolos a sistemas de ecuaciones : 129) La suma de dos números es -42. El primero de ellos menos el segundo es

52. Determine los números. 130) La suma de dos números es -63. El primer número menos el segundo es -

41. Determine los números. 131) La diferencia entre dos números es 16. Tres veces el mayor de ellos es

nueve veces el menor. ¿Cuáles son los números ? La diferencia entre dos números es 11. El doble del menor, más tres veces el

mayor es 123. ¿Cuáles son los números? 133) La soya contiene un 16% de proteínas y el maíz un 9%. ¿Cuántos kilos de

cada uno de estos ingredientes se debe mezclar para obtener una mezcla de 350 kilos con un 12% de proteínas?

134) Una empresa realizó dos inversiones por un total de $ 8.800.000. En cierto

año estas inversiones produjeron $1.326.000 en interés simple. Una parte del dinero se invirtió al 14% y otra al 16%. Encuentre la cantidad invertida a cada tipo de interés.

135) Un tren sale de una estación y viaja hacia el norte a 75 km/h. Dos horas

más tarde un segundo tren deja la misma estación sobre una vía paralela y




viaja hacia el norte a 125 km/h. ¿A qué distancia de la estación dará alcance el segundo tren al primero?

136) Dos automóviles salen de una ciudad viajando en direcciones contrarias.

Uno viaja a 80 km/h y el otro a 96 km/h. ¿En cuánto tiempo se encontrarán a 528 kilómetros de distancia entre sí?

137) Un día una tienda vendió 30 poleras. Las blancas costaban $ 3.450 y las de

colores $ 5.680. En total se vendieron $ 125.990. ¿Cuántas poleras de cada tipo se vendieron?

138) Alfredo es 8 años mayor que su hermana María. Hace 4 años la edad de

María era dos tercios la de Alfredo.¿Qué edad tiene cada uno ? 139) Angela es 12 años mayor que su hermano Roberto. Dentro de 4 años

Roberto tendrá dos terceras partes de la edad de Angela. ¿Qué edad tiene cada uno?

140) El perímetro de un campo rectangular es de 628 m. El largo del campo

excede a su ancho en 6 m. Calcule las dimensiones del terreno. 141) El perímetro de un terreno rectangular es de 190 m. El ancho es la cuarta

parte del largo. Calcule las dimensiones del terreno. 142) El dígito de las decenas de un entero positivo de dos dígitos es 2 más que

tres veces el dígito de las unidades. Si los dígitos se intercambian, el nuevo número es 13 menos que la mitad del número dado. Determine el número dado.

V.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones con tres incógnitas :

143) x y z

x y z

x y z

+ + =− + =

− + + =

6

2 3 9

2 2 9

144) 2 10

4 2 3 10

3 2 8

x y z

x y z

x y z

− + =+ − =− + =

145) 2 3 1

2 9

2 4 17

x y z

x y z

x y z

− − = −− + = −

+ − =

146) x y z

x y z

x y z

− + =+ + =+ + =

6

2 3 2 2

3 5 4 4

147) 2 3 5

3 8 22

3 2 12

x y z

x y z

x y z

− + =+ + =− + =

148) 6 4 5 31

5 2 2 13

2

x y z

x y z

x y z

− + =+ + =

+ + =




149) 3 2 7 13

8 6 47

7 9 9 3

a b c

a b c

a b c

− + =+ − = −− − = −

150) x y z

x y z

x y z

+ + =+ + = −

− + − = −

0

2 3 2 3

2 3 1

151) 2 3 17

3 2 8

5 2 3 5

x y z

x y z

x y z

+ + =− + = −

− + =

152) 2 3 4

4 2 9

3 5 2 5

x y z

x y z

x y z

+ − = −− + =+ − =

153) 2 2

2 3 6

3 2 4 7

x y z

x y z

x y z

+ + = −− + =

− + = 154)

2 2 11

3 2 2 8

4 3 0

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

155) x y z

x y z

x y z

− + =+ − =− + =

4

5 2 3 2

3 7 4 8

156) 2 2 3

6 3 4

3 2 0

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =− + =

157) 4 4

2 1

6 3 2 3

x y z

x y z

x y z

− − =+ + = −− − =

158) a b c

a b c

a b c

+ + =+ − = −+ + =

2 1

7 3 2

5 3 2

159) 2 3 12 4

4 6 6 1

1

r s t

r s t

r s t

+ + =− + =+ + =

160) 10 6 7

5 9 2 3

15 12 2 5

x y z

x y z

x y z

+ + =− − =

− + = −

VI.- Problemas de Aplicaciones de Primer Grado 161) La suma de dos números es 100 y el duplo del mayor equivale al triple del

menor. Hallar los números 162) Las edades de un padre y su hijo suman 60 años. Si la edad del padre

disminuyera en 15 años tendría el doble de la edad de su hijo. Hallar las edades de ambos.

163) Divida 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga

a la menor aumentada en 100 164) Entre dos personas juntan $ 150. Si la primera pierde $ 46, lo que le queda

equivale a lo que tiene la otra persona. ¿Cuánto tiene cada uno? 165) Dos números suman 180, y el duplo del menor excede en 45 al mayor. Halle los números. 166) La suma de dos números es 540 y el mayor excede al triple del menor en

88. Halle los números. 167) La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12 se

tiene el cuádruplo del menor. Halle los números. 168) Una mascota con su collar ha costado $ 54.000, la mascota costó 8 veces

lo que costó el collar. ¿Cuánto se pagó por separado por la mascota y el collar?




169) Entre Beatriz y Ana juntan $ 8.400. Si Beatriz pierde $ 1.600 y Ana ganó

$2.000, entonces ambas tienen lo mismo. ¿Cuánto tenía cada una, y cuánto tienen ahora?

170) En una clase hay 60 alumnos entre varones y damas. El número de damas

excede en 15 al duplo de los varones. ¿Cuántos varones y damas hay en la clase?.

171) Divida 160 en dos partes tales que el triple de la parte menor disminuido en

la parte mayor equivalga a 16. 172) La suma de dos números es 506 y el triple del menor excede en 50 al

mayor aumentado en 100. Halle los números. 173) Una agenda y un bolígrafo han costado $ 1.800. Si la agenda hubiera

costado $600 menos y el bolígrafo $ 400 más, habrían costado lo mismo. ¿Cuál es el precio que se pagó por cada uno de los artículos?

174) Una varilla de 84 cm de longitud está pintada de rojo y negro. La parte roja

es 4 cm menor que la parte pintada de negro. Halle la longitud de cada parte.

175) La edad actual de una Alejandra es el doble de la de Marcelo, y hace 10

años la edad de Alejandra era el triple de Marcelo. Halle las edades actuales de Alejandra y Marcelo.

176) La edad de Ariel es el triple que la de Sofía y dentro de 5 años será el

doble. Halle las edades de Ariel y de Sofía. 177) Pedro tiene el doble de dinero que Ricardo. Si Pedro Pierde $ 1000 y

Ricardo Pierde $ 500, Pedro tendrá $ 2.00 más que Ricardo. ¿Cuánto dinero tiene cada uno ?

178) Laura tiene la mitad de dinero que Alfredo. Si Laura gana $ 6.600, y Alfredo

pierde $ 9.000, Laura tendrá el doble de lo que le quede a Alfredo. ¿Cuánto dinero tiene cada uno ?

179) En una clase el número de mujeres es el doble que el número de hombres.

Si ingresaran 20 mujeres y dejaran de asistir 10 hombres, habría 6 mujeres más que hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la clase?

180) La edad de un Patricia es el triple de la edad de su hijo. La edad que tenía

el Patricia hace 5 años era el doble de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar las edades actuales de Patricia y la de su hijo.




181) La suma de dos números es 85 y el número menor aumentado en 36

equivale al doble del mayor disminuido en 20. Hallar los números. 182) Laura tiene 5 veces lo que tiene su hermana Paula. Si Laura le diera a su

hermana Paula $ 500, ambas tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada una de las dos hermanas?

183) Un colono ( Nemesio ) tiene $ 1.400.000 en dos bolsa. Si de la bolsa que

tiene más dinero saca $ 200.000 y los pone en la otra bolsa, ambas tendrán igual cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene Nemesio en cada bolsa?

184) El número de días que ha trabajado Marta es 4 veces el número de días

que ha trabajado Manuel. Si Marta hubiera trabajado 15 días menos y Manuel 21 días más, ambos habrían trabajado igual número de días. ¿Cuántos días trabajó cada uno ?

185) Hace 14 años la edad de Carolina era el triple de la edad de su hijo y ahora

es el doble. Halle las edades que tenían Carolina y su hijo hace 14 años. 186) Dentro de 22 años la edad de Armando será el doble de la de su hijo, y

actualmente es el triple. Halle la edad actual de Armando y la de su hijo. 187) Entre Ricardo y Gloria tienen $ 8.400. Si Ricardo gana $ 8.000 y Gloria

gana $ 4.000, Ricardo tendrá el triple de lo que tenga Gloria. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

0.116 Ejercicio sobre Ecuaciones

1.- Si x = 3 , entonces el valor de q en la expresión 2x² - q = 10 es : a) 10 b) 8 c) 6 d) -8 e) -6 2.- Si 3x = x + y ,siendo x = 8 ,entonces y = ? a) 24 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4 3.- Si vy - t = u, entonces y = ? a) u + tv b) (tu)/v c) (u + t)/v d) u + t e) (uv)t




4.- Si a + b = c ; b + c = d ,entonces a = ? a) b - d b) d - 2b c) b- 2d d) d - b e) c - d 5.- Si = a + b y && = 2a - b, entonces 4 - 2&& =? a) 0 b) a + b c) a - b d) 2b e) 6b 6.- Si 7 + a = 7 - a ,entonces a = ? a) -a b) 7 c) -7 d) 0 e) 14 7.- Si 2x + 1 = 7 ,entonces x² + 1 = ? a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 8.- Si (x + 3)a = 40, con a = 5 , entonces x=? a) 5 b) -5 c) 3 d) 8 e) -8 9.- ¿Qué número multiplicado por a/2 da como resultado 2 ? a) -a b) -2a c) a/4 d) 4/a e) 2/a 10.- ¿Con cuántos paquetes de arroz de un kilo se llenan 8 bolsas de tres cuartos de kilo? a) 8 b) 6,5 c) 6 d) 5 e) 3




11.- Si x + 2y + 3z = 12 y si x = 2y = 3z, entonces y² = ? a) 4 b) 9 c) 16 d) 4/9 e) 9/4 12.- ¿Cuál de las siguientes expresiones indica la relación existente entre x e y, si x = 2a e y = 6a con a0 y a a) y = x/3 b) y = 3x c) y = x + 3 d) y = x + 4 e) Ninguna anterior 13.- Si a = 8 y b = 5a/2 , entonces 8a - 3b + 1 = ? a) 21 b) 14,5 c) 5 d) -5 e) -3,5 14.- Si x - 1 = 3 , entonces x³ - 2 = ? a) 64 b) 62 c) 16 d) 4 e) 2 15.- El valor de x para la ecuación ((x + 7) / 3) - 1 = (2x + 2) / 2 es : a) 2 b) 1/2 c) 3 d) -1 e) -1/2 16.- Los 2/3 de los alumnos de un curso de 36 alumnos son varones ¿cuál es el número de niñas ? a) 24 b) 20 c) 16 d) 12 e) 8 17.- La diferencia entre los 7/12 y los 8/15 de un número es 6¿cuál es el número? a) 30 b) 60 c) - 120 d) 120




e) 12 18.- El valor de x en la expresión 25�25�25 = 125/x es : a) 1 / 250 b) 1 / 125 c) 1 / 25 d) 125 e) 25 19.- Si n + 6 personas compran cada uno de ellos una radio, entonces sí sólo la mitad de ellos hubiera comprado , el total de las radios vendidas serían : a) n + 3 b) (n/2) + 6 c) (n/2) + 3 d) (n/2) - 3 e) Ninguna anterior 20.- Si x + 2 = x + 3 ,entonces x = ? a) x puede tomar cualquier valor b) x es positivo c) x es negativo d) x no puede tomar ningún valor e) x comprende los valores entre 3 y 2 21.- Si a + b + c = 800 ; c = 284 y b - c = 217, entonces los valores de a y b son respectivamente :

a b a b a) 447 67 b) 299 501 c) 299 217 d) 15 501 e) 0 516 22.- Si la suma de dos números es 8 y su diferencia es 2 , la suma de sus cuadrados será : a) 64 d) 25 b) 48 e) 4 c) 34 23.- Si u + v = a y u - v = b ,entonces u�v=? a) ( 1/4 ) (a² - b²) b) ( 1/2 ) (a² - b²) c) ( 1/2 ) (2a²- b²) d) ( 1/4 ) (a² + b²) e) ( 1/2 ) (a² - 2a²)




24.- La suma de dos números es 84 y su diferencia es 16.¿Cuáles son los números? a) 42 42 b) 20 64 c) 50 34 d) 45 39 e) 30 54 25.- 12 lápices y 15 gomas se venden en $ 1.320,a los mismos precios 9 lápices y 20 gomas cuestan $ 1340,¿cuánto cuesta cada lápiz y cada goma ? lápiz goma lápiz goma $ $ $ $ a) 40 60 b) 100 30 c) 50 70 d) 60 40 e) 120 80 26.- Al dividir 106 en dos partes de tal manera que la mayor exceda a la menor en 24 ,los números que se obtienen son: a) 56 50 b) 40 66 c) 53 53 d) 32 74 e) 65 41 27.- Juan tiene 14 años menos que Carlos y ambas edades suman 56 años.¿Cuáles son las edades de cada uno ? Juan Carlos Juan Carlos a) 36 20 b) 21 35 c) 24 32 d) 35 21 e) 20 36 28.- La suma de dos número consecutivos es 103 , ¿ cuáles son los números?. a) 52 y 53 b) 54 y 49 c) 48 y 55 d) 51 y 52 e) 50 y 51 29.- Encontrar dos números pares cuya suma sea 194 a) 95 y 99 b) 97 y 97 c) 96 y 98 d) 94 y 100 e) 98 y 99 30.- Encontrar dos números cuya diferencia es 44 y cuya suma es 66.




a) 33 y 33 b) 40 y 26 c) 50 y 16 d) 55 y 11 e) 30 y 36




0.117 Ecuación de Segundo Grado

Sea P(x) = ax2 + bx + c , un polinomio de segundo grado. Se denomina "

ecuación de segundo grado" a la expresión ax2 + bx + c = 0 . Cada término del

trinomio se llama :

• ax2 término de segundo grado

• bx término de primer grado • c término independiente Resolver una ecuación es encontrar los valores de x que le dan a la igualdad P(x) = 0 el valor verdadero

Ejemplo :2x2 + 3x - 2 = 0 tiene dos soluciones ( raíces) , a saber ,x1 = 1/2 ; x2 = -2

Esto significa que : 2 ( 1/2)2 + 3 (1/2 ) - 2 = 0 , y 2 ( -2 )

2 + 3( -2 ) -2 = 0 , son

proposiciones verdaderas. Las ecuaciones de segundo grado se clasifican atendiendo al número de términos de P(x) y el coeficiente de cada uno . La ecuación de segundo grado se

divide en Ecuaciones Incompletas donde, ax2 = 0 donde b y c = 0 ( trivial ),

ax2 + c = 0 donde b = 0 ( pura ) , ax

2+ bx = 0 donde c = 0 ( binomial ) y

Ecuaciones Completas x2 + bx + c = 0 donde a = 1( particular ); ax

2 + bx + c = 0

con a ¹ 1 ( general ) 0.118 Resolución de ecuaciones incompletas

1.- Si b = 0 y c = 0 , entonces ax2 = 0 ∧ x = 0 ( "a ≠ 0 ) S = { 0 }

2.- Si b = 0 , ax2 + c = 0 ⇒ ax

2 = -c ⇒ x

2 = -c/a

x1 = + a

c− y x2 = -

a

c−

Ejemplo :

3x2 - 27 = 0 ⇒ 3x

2 = 27 x

2 = 9 33 21 −==⇒ xyx

3.- Si c = 0 , entonces ax2 + bx = 0

Factorizando, x( ax + b ) = 0 ⇒ x = 0 v ax + b = 0 , por lo tanto x = 0 ⇒ x1 = 0 ax + b = 0 , lo que queda ax = -b con x = -b/a y x2 = -b/a




Ejemplo :

3x2 - 4x = 0 ⇒ x(3x - 4 ) = 0 ⇒ x = 0 v 3x - 4 = 0

x1 = 0 y 3x2 -4 = 0

3x2 = 4 x2 = 4/3

0.120 Resolución de ecuaciones completas

1. Cuando a = 1 . Ecuación Particular a) Mediante factorización cuando el trinomio es cuadrado perfecto

Ejemplo : x2 - 8x + 16 = 0 ⇒ ( x - 4 )

2 = 0 ⇒ x - 4 = 0 ⇒ x = 4

b) Mediante factorización cuando el trinomio no es cuadrado perfecto

Ejemplo : x2 + 4x - 5 = 0

Factorizando el trinomio queda (x + 4x + 4 ) - 4 - 5 = 0 ⇒ ( x + 2 )2 - 9 = 0

Factorizando la diferencia de cuadrados( x + 2 + 3 ) ( x + 2 - 3 ) = 0 Þ x + 5 = 0 v x - 1 = 0 ; x + 5 = 0 x1 = -5 y x - 1 = 0 x2 = 1

c) Mediante fórmula. Sea x2 + bx + c = 0 .Transformando la ecuación x

2 + bx = -c

y Completando un cuadrado de binomio en el primer miembro queda x2 + bx +

(b/2)2 = (b/2)

2 - c

Factorizando ( x + b/2 )2 = (b/2)

2 - c ⇒ x + b/2 = ± √ (b/2)

2 - c ;

x = - (b/2) ± √ (b/2)2 - c

Ejemplo :

a) x2 - 6x + 7 = 0 ⇒ x = - (6/2) ± √ (-6/2)

2 - 7

x = 3 ± √ 9 - 7 ⇒ x = 3 ± 2 ⇒ x1 = 3 + 2 y x2 = 3 - 2 2.- Cuando a ≠ 1 a) Mediante factorización

Ejemplo : 6x2 - x - 1 = 0 ⇒ x

2 - (1/6)x - (1/6) = 0. Transformando para completar

un cuadrado perfecto ( x2 - 1/6 x + 1/144) - 1/144 - 1/6 = 0.

Factorizando el trinomio ( x - 1/12 )2 - 25/144 = 0




Factorizando la diferencia de cuadrados ( x - 1/12 + 5/12 ) ( x - 1/12 - 5/12 ) = 0

( x + 4/12 ) ( x - 6/12 ) = 0 ( x + 1/3 ) ( x - 1/2 ) = 0 ⇒ ( x + 1/3 ) = 0 v x - 1/2 = 0 x + 1/3 = 0 x1 = -1/3

x - 1/2 = 0 x2 = 1/2 b) Mediante formula

Sea ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 1. Aplicando igual procedimiento que en la ecuación

anterior cuando a = 1 , se obtiene la formula x = acbb 42 −±−

2a

Ejemplo : 2x2 + 2x + 5 = 0

x = 362 −±− ; x1 = -1 + 3i ; x2 = -1 - 3i

4 2 2

0.121 Naturaleza de las ecuaciones de la ecuación de 2do. grado

Las raíces de la ecuación ax2+ bx + c = 0 ( a,b,c IR ) pueden ser reales o

complejas.Sabemos que esta ecuación se revuelve por la fórmula x =

acbb 42 −±−

2ª La naturaleza de las raíces depende del radicando b - 4ac al cual llamaremos discriminante y designaremos D (delta) 1.- ∆ > 0 ⇒ x1 ≠ x2 ∧ x1 , x2 son raíces reales 2.- ∆= 0 ⇒ x1 = x2 ∧ x1 , x2 son raíces reales 3.− ∆ < 0 ⇒ x1 ≠ x2 ∧ x1 , x2 son raíces complejas Ejemplo :

a ) 2x2 - x - 1 = 0 ⇒∆= 1 - 4 . 2 . (-1 ) = 1 + 8 = 9 > 0 La ecuación tiene

raíces reales y distintas

b) 4x2 + 4x + 1 = 0 ⇒ ∆ = 16 - 4 . 4 . 1 = 16 - 16 = 0

La ecuación tiene raíces reales e iguales

c) 4x2 - 4x + 9 = 0 ⇒ ∆ = 16 - 4 . 4 . 9 = 16 - 144 = - 128 < 0 . La ecuación

tiene raíces complejas conjugadas




0.122 Propiedades de las raíces de la ecuación cuadrática.

Considerando la ecuación de segundo grado y sus raíces ax2 + bx + c = 0

x1 = acbb 42 −+− x2 = acbb 42 −−−

2a 2a 1. Suma de raíces x1 + x2 = -b/a

2. Producto de las raíces x1 . x2 = a

c

Ejemplo : 2x2 - 7x + 6 = 0

x = ( 7 ± 6*2*449 − ) / 4⇒ x1 = 2 y x2 = 3/2

x1 + x2 = 2 + 3/2 = 7/2 = - ( -7)/2 = -b/a x1 . x2 = 2 . 3/2 = 3 = 6/2 = c /a

Ejemplo : Siendo x1 = 2/3 y x2 = - 4 forma la ecuación. Sea ax2 + bx + c = 0 la

ecuación solicitada

Dividiendo por a x2 + b/a x + c/a = 0

x2 - ( x1 + x2 ) x + x1*x2 = 0 ,pero

x1 + x2 = 2/3 + -4 = ( 2 + -12 ) / 3 = -10/3

x1 . x2= 2/3 ( -4) = -8/3

Reemplazando x2 - ( - 10/3) x + ( -8/3) = 0 ⇒ 3x

2 + 10x - 8 = 0

0.123 Ejercicio sobre Ecuaciones de Segundo Grado

I.- Resolver mediante la factorización

1) x2 = 10x – 21 2) 12x

2 - cx - 20c

2 = 0

3) x2 - 2/3 x = 32 4) 1 / (1+x) - 1/ (3-x ) = 6/35




5) 5x² - 1 = 8 - 2x² + x – 1 6) (a2 b)/ x

2 + ( 1 + b/x) a = 2b + a

2 /x

III .- Indique la naturaleza de las raíces sin resolverlas

7) 8 + 6x = 5x2

8) 1/2 x2 = 14 - 3x

2

9) x 2 + 7 = 4x

IV.- Resolver

10) Si la ecuación x2 + 2 ( 1 + k) x + k

2 = 0 ,tiene raíces iguales encontrar el valor

de k V.Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula. 11.- x² - 18x + 80 = 0 12.- x² - 4x + 31 = 0 13.- x² - 4x - 96 = 0 14.- x² + 8x - 84 = 0 15.- x² - 17x + 52 = 0 16.- x² + 19x + 88 = 0 17.- x² + 7x - 120 = 0 18.- x² + 11x - 80 = 0 19.- x² - 15x - 76 = 0 20.- x² + 13x - 140 = 0 21.- x² - ( 1 1/2) x = 1 22.- x² - (1/5)x = 24 23.- x² + (2/3)x - 8/9 = 0 24.- x² + (3/4)x + 1/8 = 0 25.- x² - ( 1 2/3)x - 26 = 0 26.- x² - ( 2 5/6)x + 2 = 0 27.- x² - ( 2 8/45)x - ( 1 2/3) = 0 28.- x² + 0,6x = 18,4 29.- x² + 4ax = 12a² 30.- x² - 5ax + 6a² = 0 VI. Resuelva, usando la fórmula 31.- 4x² + 5x = 6 32.- 6x² + 5x = 1 33.- 6x² - 13x + 6 = 0 34.- 3x² - 10x - 25 = 0 35.- 9x² - 8 = 6x 36.- 7x² - 16x + 9 = 0 37.- 21x² - 8x - 5 = 0 38.- 8x² - 17x = 115




39.- 3x² + 2x = 133 40.- 3x² + 2x = 85 41.- 9x² + 12x + 4 = 0 42.- 3x² - 4x = 7 43.- 12x² - 13x + 3 = 0 44.- 9x² + 11x = 58 45.- 6x² - 35x + 50 = 0 46.- 11x² + 6x - 56 = 0 47.- abx² + ( a² - 2b²)x = 2ab 48.- bdx² + adx + ac = -bcx 49.- 4ax² - a²b² = 2ab²x - 2a²bx 50.- a( x + a )² = b( x + b )² VII. Identifique el tipo de raices que deben tener las siguientes ecuaciones cuadráticas ( reales, iguales o disstintas, o bien complejas conjugadas ) 51.- x² - 13x + 36 = 0 52.- x² - 9x - 36 = 0 53.- x² - 8x + 21 = 0 54.- 3x² - 16x + 5 = 0 55.- 2x² + 17x + 33 = 0 56.- 4x² - 48x + 153 = 0 57.- x² + 12x + 20 = 0 58.- x² + 12x + 36 = 0 59.- x² + 10x + 34 = 0 60.- 6x² - 15x - 28 = 0 61.- 16x² - 24x + 9 = 0 62.- 9x² + 180x + 904 = 0 VIII. Resuelva los siguientes problemas que involucran ecuaciones cuadráticas. 63.- Qué número multiplicado por 30 es 1000 unidades menor que su cuadrado ? 64.- Descomponer 3.024 en dos factores cuya suma sea 120. 65.- Descomponer 100 en dos sumandos tales que la suma de sus cuadrados sea 5.162 66.- Al producto de la edad de una persona por 15 , le falta 100 unidades para completar el cuadrado de la edad. ¿Cuál es la edad de la persona ? 67.- Los socios de un Club, se proponen reunir $ 360.000, para una donación, debiendo dar cada socio la misma cantidad. Otro club acuerda reunir la misma suma ; pero, como este club tiene 6 socios menos que el primero, cada socio debe




dar $ 2.000 más. ¿cuántos socios tiene cada club ? 68.- Cierto número de personas gastó en un restaurant $ 5.040. si las personas hubieran sido 2 menos y cada una hubiera gastado $ 105 más, la cuenta habría sido de $ 5.250. ¿ Cuántas eran las personas ? 69.- Se vende una mercadería en $ 432, ganando un tanto por ciento igual a la tercera parte del precio de compra. ¿ Cuál era el precio de compra ? 70.- Un comerciante compró café por $ 13.200 y té por $ 18.000, obteniendo 40 kg. más de té que de café. ¿ Cuánto valía el kg. de café, sabiendo que un kg. de té costó $ 40 menos que un kg. de café ? 71.- Entre cierto número de personas compran un auto que vale US $ 1.200. el dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿ Entre cuántas personas compraron el auto ? 72.- Los gastos de una excursión son $ 90.000. Si disienten de ir 3 personas, cada una de las restantes, tendría que pagar $ 1.000 más. ¿ Cuántas personas van a la excursión y cuánto paga cada una ?

0.124 Ejercicios sobre Ecuaciones de Segundo Grado

VII.- Determinar el carácter de las raíces de las siguientes ecuaciones, sin resolverlas:

0 2 -5x 3x)188 2 =+ 0 14x - 2x )189 2 =+

0 1 4x - 4x )190 2 =+ 0 5 2x - 3x )191 2 =+

0 25 10x - x)192 2 =+ 055 x)193 2 =−− x

0 7 9x - 2x )194 2 =+ 0 1 12x 36x )195 2 =++

0 3 5x - 4x )196 2 =+ 0 1 - x x)197 2 =+

0 8 7x - 5x )198 2 =+ 0 11 -10x - x)199 2 =

VIII.- Determinar, usando las propiedades de las raíces, si:

0 6 - x xde raíces lasson 3y 2 )200 2 =+

0 5 -4x - xde raíces lasson 5y 1201) 2 =




0 - x - 2x de raíces lasson 5y 1202) 2 =

0 3 -8x 3x de raíces lasson 3

1y 3- )203 2 =+

0 2 11x - 5x de raíces lasson 5

1-y 2204) 2 =+

0 4 17x 4x de raíces lasson 4

1-y 4- )205 2 =++

0 5 - x 24 5x de raíces lasson 5

1-y 5- )206 2 =+

0 28 -3x xde raíces lasson 7-y 4 )207 2 =+

0 2 - x 6x de raíces lasson 2

2-y

2

1 )208 2 =+

0 3 -2x - 8x de raíces las son 4

3-y

2

1 )209 2 =

IX.- Determinar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son:

4y 3 )210 211) -1 y 3

7-y 5- )212

11y 10- )213

2

1y 1 )214

3

2-y 3 )215

2

3-y 2- )216

4

3y

2

1- )217

7

2y 5- )218

8

1-y 2- )219

52-y 18 )221




3

5-y 6 )220

11y 15- )222

2y 0 )223

3

1-y 0 )224

5-y 5 )226

2

1-y

2

1 )225

7y 7 )227

3

11-y 8 )228

2

9-y

6

5- )230

7

3y

2

11- )229

a-y 2a 231)

4

by

a

2b- )232

3

m-y m )234

b - ay b )233

a

b-y

2

a )235

2 - 1y 2 1 )236 +

5- 2y 5 2 )237 +

1- - 3y 1- 3 )238 +

X.-Encontrar dos números sabiendo que:

30 producto ely 11 es suma La )239 260 producto ely 33- es sumaLa )240

294 producto ely 49- es suma La )242

247- producto ely 6 es suma La )243

1- producto ely 2

3 es suma La)244

8 producto ely 3

22- es suma La )245

8

3- producto ely

4

1 es suma La )246

6- producto ely 7

4 13- es suma La)247

1 producto ely 3

13- es suma La )248

20

3 producto ely

40

31 es suma La )249

9

5- producto ely

6

1- es suma La)250

10

3- producto ely

20

7 es suma La )251




4- producto ely 5

14 es suma La )252

6

1 producto ely

72

59 es suma La )253

4- producto ely 2 es suma La )254 9

56- producto ely

3

11- es sumaLa )255

22a- producto ely a es suma La )256

210b producto ely 7b- es suma La )257

XI.- Descomponer en factores, hallando las raíces:

63 16x - x)258 2 + 143 24x x)259 2 ++

6 - x 2x )260 2 +

2 - 5x 12x ) 2 +261

8 41x 5x )262 2 ++

10 - 7x 6x ) 2 +263

12 25x - 12x264) 2 +

63 50x 8x 265) 2 ++

7 30x 27x266) 2 ++

3061x - 30x267) 2 +

180 -153x - 11x268) 2

2x - x - 6 )269

22x -9x - 5 )270

24x -4x 15 )271 +

7 -55x -72x )272 2 63 -207x 10x274) 2 +

230x -31x 6 )273 +

2 x-15x - 100)275

49 -31x 18x )276 2 + 22 2a -ax - 6x )277

22 15y -22xy 5x78)2 + 22 7m -32mx - 15x79)2

XII.- Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado :

2 3x - x)280 2 + 2 3x x)281 2 ++

2 3x x282) 2 ++ 12 - x x)283 2 +




2 4x x284) 2 ++

5 4x - x)285 2 +

3 6x - x286) 2 +

6 - x 2x287) 2 +

15 - x - 2x )288 2

15 2x x- )289 2 ++

20 7x 3x-290) 2 ++ 0.124 Ejercicios sobre Ecuaciones de Segundo Grado Determinar el carácter de las raíces de las siguientes ecuaciones, sin resolverlas:

0 2 -5x 3x .1 2 =+− 0 14x - 2x .2 2 =+−

0 1 4x - 4x .3 2 =+−

0 5 2x - 3x .4 2 =+−

0 25 10x - x.5 2 =+−

055 x.6 2 =−−− x

0 7 9x - 2x .7 2 =+−

0 1 12x 36x .8 2 =++−

0 3 5x - 4x .9 2 =+−

0 1 - x x.10 2 =+−

0 8 7x - 5x .11 2 =+−

0 11 -10x - x.12 2 =− Determinar, usando las propiedades de las raíces, si:

0 6 - x xde raíces lasson 3y 2 .1 2 =+− 0 5 -4x - xde raíces lasson 5y 1 .2 2 =−

0 - x - 2x de raíces lasson 5y 1 .3 2 =−

0 3 -8x 3x de raíces lasson 3

1y 3- .4 2 =+−

0 2 11x - 5x de raíces lasson 5

1-y 2 .5 2 =+− 0 4 17x 4x de raíces lasson

4

1-y 4- .6 2 =++−

0 5 - x 24 5x de raíces lasson 5

1-y 5- .7 2 =+−

0 28 -3x xde raíces lasson 7-y 4 .8 2 =+−

0 2 - x 6x de raíces lasson 2

2-y

2

1 .9 2 =+− 0 3 -2x - 8x de raíces las son

4

3-y

2

1 .10 2 =−

III.- Determinar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son:




4y 3 .1 − 3y 1- .2 −

7-y 5- .3 −

11y 10- .4 −

2

1y 1 .5 −

5

1-y 2- .6 −

3

2-y 3 .7 −

2

3-y 2- .8 −

4

3y

2

1- .9 −

7

2y 5- .10 −

3

5-y 6 .11 −

8

1-y 2- .12 −

52-y 18 .13 −

11y 15- .14 −

2y 0 .15 − 3

1-y 0 .16 −

5-y 5 .17 − 2

1-y

2

1 .18 −

7y 7 .19 − 3

11-y 8 .20 −

2

9-y

6

5- .21 −

7

3y

2

11- .22 −

a-y 2a .23 −

4

by

a

2b- .24 −

3

m-y m .25 −

b - ay b .26 −

IV.- Encontrar dos números sabiendo que:

30 producto ely 11 es suma La .1 − 260 producto ely 33- es suma La .2 −

306- producto ely 1- es suma La .3 −

294 producto ely 49- es suma La .4 −

247- producto ely 6 es suma La .5 − 1- producto ely

2

3 es suma La .6 −

8 producto ely 3

22- es suma La .7 − 8

3- producto ely

4

1 es suma La .8 −

6- producto ely 7

4 13- es suma La .9 − 1 producto ely

3

13- es suma La .10 −

20

3 producto ely

40

31 es suma La .11 −

9

5- producto ely

6





10

3- producto ely

20

7 es suma La .13 − 4- producto ely

5


6

1 producto ely

72


4- producto ely 2 es suma La .16 −

4

11- producto ely 1 es suma La .17 −

9

56- producto ely

3


22a- producto ely a es suma La .19 −

210b producto ely 7b- es suma La .20 −

9

m- producto ely

2

m es suma La .21

2

−

V.- Descomponer en factores, hallando las raíces:

63 16x - x.1 2 +− 143 24x x.2 2 ++−

155 -26x - x.3 2−

6 - x 2x .4 2 +−

2 -5x 12x .5 2 +−

8 41x 5x .6 2 ++−

10 -7x 6x .7 2 +−

12 25x - 12x .8 2 +−

63 50x 8x .9 2 ++−

7 30x 27x .10 2 ++−

3061x - 30x .11 2 +−

180 -153x - 11x .12 2−

2 x- x - 6 .13 −

22x -9x - 5 .14 −

24x -4x 15 .15 +−

212x -13x 4 .16 +−

7 -55x -72x .17 2−

230x -31x 6 .18 +−

63 -207x 10x .19 2 +−

2 x-15x - 100 .20 −

49 -31x 18x .21 2 +−

22 2a -ax - 6x .22 −

22 15y -22xy 5x .23 +−

22 7m -32mx - 15x .24 −

VI.- Encuentre las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado :

2 3x - x.1 2 +− 2 3x x.2 2 ++−




2 3x x.3 2 ++− 12 - x x.4 2 +−

1 2x - x.5 2 +−

2 4x x.6 2 ++−

5 4x - x- .7 2 +−

3 6x - x.8 2 +−

6 - x 2x .9 2 +−

15 2x x- .10 2 ++−

15 - x - 2x .11 2−

20 7x 3x- .12 2 ++−




0.125 Ejercicios sobre Ecuaciones Irracionales

Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales

1) xxx =−+− 1152 2) xxx =+−+ 741 2

3) xx =−+ 12 2 4) 251 2 +=++ xxx

5) 22133 2 +=+−− xxxx 6) 837 2 +=++ xx

7) xxx 51 2 +=− 8) 1223 −= x

9) 11 −=+ xx 10) xx =−+ 11

11) 431 −−=− xx 12) 236 +=+ xx

13) 3234 =+− xx 14) xx

−=+

33

5

15) x

xx

−

+=+

2

162

2

16) ( ) ( ) 14528 −+=+ xx

xx

2

2

3=

+ 18)

xxx

+=++

3

33

xxx

x

−=

−

+

2

12 20)

32

1

9

32

+=

−

−

xx

x

21) x

x

x

23

23

5 +=

− 22)

22

2

1

+=−+

+ x

xx

x




0.126 Ecuaciones Logarítmicas y Exponenciales

Definición

Cuando hablamos de Logaritmos, en el fondo, estamos hablando de potencias, ¿ qué significa esto ?, bueno, an = b, lo podemos enfocar como potencia si desconocemos el valor de b o como un logaritmo si desconocemos el valor de n. Es decir el logaritmo es una función matemática que calcula el exponente al cual hay que elevar a para obtener b, o sea, loga b = n =: a

n = b

La notación loga b se lee “logaritmo de b en base a” o “logaritmo en base a de b”,a es llamado base y b argumento. El logaritmo está definido sólo si a y b son valores estrictamente positivos (es decir a,b ≠ 0; a,b > 0). No olvidar esta restricción en la definición de logaritmo, puesto que siempre debemos asegurarnos de que la base y el argumento sean siempre positivos.

Esencialmente, dentro del trabajo con logaritmos, se debe hacer uso de las siguientes propiedades, todas elllas consecuencia de su relación con potencias. Obs : como notación diremos que log10 a = log a , es decir si la base es 10 omitiremos su escritura.

0.127 Propiedades :

1) loga 1 = 0 ∀ a ∈ R+ ; Ej. log3 1 = 0 ; log 1 = 0

2) loga a = 1 ∀ a ∈ R+ ; Ej. log3 3 = 1 ; log 10 = 1

3) loga (b�c) = loga b + loga c ∀ a,b,c ∈ R+ ; Ej. log5 7�6 = log5 7 + log5 6

4) loga (b/c) = loga b - loga c ∀ a,b,c ∈ R+ ; Ej. log4 3/8 = log4 3 - log4 8

5) loga bn = n�loga b ∀ a,b ∈ R+

n ∈ R ; Ej. log7 85 = 5�log7 8

6) loga n √ b = 1·loga b ∀ a,b ∈ R

+ ,

n n ∈ R , n ≠ 0; Ej.log2

6 √7 = 1·log2 7

6

7) loga b = logc b ∀ a,b,c ∈ R+ , (cambio de base) logc a




Ej. log3 5 = log9 5

log9 3 esto quiere decir que si la base con la cual se está trabajando no es apropiada se puede escoger una que si lo sea. El tipo de ejercicios requeridos en este capítulo están orientados a calcular la base, el argumento o bien directamente el logaritmo. Nos veremos enfrentados a ecuaciones en las cuales deberemos aplicar las propiedades de logaritmos, o bie, ejercicios en los cuales para resolver una ecuación deberemos decidir aplicar logaritmos, para poder obtener la solución. Existe una constante matemática llamada e la cual tiene el valor de e = 2,718281828, ( se usa frecuentemente en las matemáticas universitarias ). Cuando se considera un logaritmo en la base e se le llama logaritmo natural y se denota por Ln, o sea, Ln a = loge a, y evidentemente todas las propiedades vistas antes son también válidas para este logaritmo.

0.128 Ecuación Lagarítmica

Ecuación logaritmica es aquella ecuación en la cual las incógnitas se

encuentran en el argumento del logaritmo. Para resolverla aplicamos propiedades, y una vez obtenidos los resultados, es preciso, verificar que realmente son soluciones, ya que puede suceder que al reemplazar un valor obtenido como respuesta, resulte el argumento negativo. Ej. log (x + 3) + log(x - 4) = 2 usando propiedad 3 : log (x + 3) � (x - 4) = 2 usando la definición : 10² = (x + 3) � (x - 4) resolviendo algebraicamente : 100 = x² - x - 12

x² - x - 112 = 0 resolviendo a través de la fórmula de raíces de la ecuación de 2º grado :

x = 1 ± √ 449 es decir x1 ~ 11,1 ; x2 ~ 10,1

2

pero ocurre que al reemplazar estos valores en la expresión original, para x1 , el argumento es siempre positivo, pero no ocurre lo mismo con x2 , ya que al sustituir en el segundo logaritmo, este resultaría con argumento negativo; por lo tanto la solución sólo es x1 , (el valor de x2 no se descarta sólo por ser negativo , sino porque genera un argumento negativo). 0.129 Ecuación Exponencial.




Es aquella ecuación en que las incógnitas se encuentran en el exponente. para resolverlas hacemos uso de logaritmos y de sus propiedades. Ej . 52x + 2 = 35x - 1 aplicamos la función logaritmo a ambos lados de las igualdad : log 52x + 2 = log 35x - 1 usando la propiead 5 : (2x + 2)�log 5 = (5x - 1)�log 3 usando propiedad distributiva : 2x�log 5 + 2�log 5 = 5x�log 3 - log 3 reuniendo los logaritmos en el lado

izquierdo : 2x�log 5 - 5x�log 3 = - log 3 - 2�log 5 factorizando por x : x ( 2log 5 - 5log 3 ) = -log 3 - 2log5 multiplicando por -1 : x ( 5log3 - 2log5 ) = log 3 + 2log5 finalmente despejando x x = log 3 + 2log5 5log 3 - 2log 5

0.130 Ejercicios sobre Logaritmos

0.Cálculo de Logartimos:

1.- Si 20)2(log 22

2 =+− baba ; 2log 32 =a ; 15)(log2 =+ ba . Calcular el valor

numérico de : a

ba

4log

22

2

−

2.- Simplifique :

+

3

5

3

3 2

6

logloga

b

b

a

a

aaa

3.- Exprese en un solo logaritmo en base p :

)log(log:)log2

3log

2

1log34(

2

1

4

2

2

5

2

6

db

p

db

cpdcb ppppp +−+−

4.- Si ( ) ubabayuba

842log10

log 22

4−−=+−=

+ . Calcule el valor de

− 22

100log

ba

5.- Si .6)(log4)(log 33 =−=+ yxyyx Calcular 22

3

9log

yx −

6.- Si 2)(log4)(log 22 =−=+ bayba . Calcular 22

2

8log

ba −




7.- Exprese en un solo logaritmo 3loglog2

1log3 444 +−− cba

8.- Exprese en un solo logaritmo 2log2

1loglog3 333 +−− cba

9.- Determine 2)

1log(

log =+ xx aa , a>0 y x>0 10.- Determine el conjunto de soluciones de la ecuación 12log)12(log4 =+ xx

Utilizando solamente propiedades encuentre el valor numérico de las siguientes expresiones logarítmicas

11. ( ) 55log327log2log 534

8 −−

12. 37

3

4

3

349

7log

2128

8log

27

33log −+

13. 22log392

12

)4

12(log2

15log 1625 −

−

++

14. 23log4log1 23 23−+ + 15.-

13log2log3 2

3

4 )5,1(4−

−

15. 81log2·log3

1·2 49

5,2log1

3log5

5 ⋅

−

16.-

++

52log6

2

1loglog 2

2

23

17.- 7log6log5log4log3log2log 876543 ⋅⋅⋅⋅⋅

18.- ))81(log(loglog 324

Demuestre las siguientes igualdades :

19.- ( )

cacba

cablog

3

1log

2

1log

9 633

6

122

−=−

20.- acba

cabln

2

1ln

6 421

3 21

=−−−

−−

21.- Si a² + b² = 7ab , entonces )log(log2

1)(

3

1log baba +=+

22.- )223(log223

223log

2

1+=

−

+aa




23.- ( ) ( )23log23log +−+−=+++ xxxx aa

24.- x

axa

x

axabb

−+−=

++ 2222

loglog

25.- Si Y = xlog1

1

10 − y z = ylog1

1

10 − entonces x = zlog1

1

10 − Utilizando definiciones y propiedades demuestre los siguientes enunciados : 26.- yxyx aa =⇔= loglog con a 1 a > 0 x > 0 y > 0

27.- 1loglog =⋅ ab ba 28.- bb

aa 1loglog −−=

29.- bb a

n

an loglog = 30.- xa x

a =log

31. xaxa =log 32.- a

x

xb

a

b loglog

log=

En los ejercicios 33, 34 y 35 despeje la variable pedida :

33.- Despeje t en

−⋅=

−

cr

t

eCEQ 1

34.- Despejar x en x

x

b

by

−

+=

1

1ç

35.- Despejar n en a

aRM

n−+−=

)1(1

Resuelva las siguientes ecuaciones y compruébelas

36.- ( ) ( )55log15log22log2 1 +=++− − xx

37.- ( )( )( ) 0log1log1log1log =+++ xdcba

38.- xaxxa 4log1 =+ , a > 0 , a ≠ 1

39.- ( ) 61010log

16log

loglog =−

xx

40.- )152(log2log 77 −⋅= xx

41.- ( ) ( ) )35log(17log2log)54log( −−−=+−+ xxxx




42. 54loglogloglog 42222

=⋅⋅⋅ xxxx

43.- ( )32log)44(log 1

22 −+=+ +xx x

44.- 1log4

7log

10 ++

= x

x

x

45.- )1()1()1()1(...........1 842132 aaaaaaaaa xx +⋅+⋅⋅+⋅+=++++++ −

46. ( ) ( )12log194log2log 22 ++=++ −− xx

47. 1log1log1loglog 5335 −+− −=− xxxx

48. 1)(log)5(log 2

5

2 =⋅ xxx

49. 3241 55337 ++++ −=−⋅ xxxx 50. 75,0logloglog 42 =+− xxx

aaa

En los ejercicios 51, 52 y 53 justifique el por qué de su respuesta

51. Las ecuaciones xx

6log2 337 =− y xx 672 =− no son equivalentes

52. La expresión : 7,0log4,1log 22 + no es un número real

53. La relación : xa

xa lnln

1log ⋅=

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones :

54. 5,1loglog

5,1loglog

2

2

=+

=+

yx

yx

bb

aa 55.-

32)(

32

=+

=+−

−

xy

yx

yx

yx

56.- 2log3)log()log(

13log1)log( 22

=−−+

=−+

yxyx

yx 57.-

0)(log

1)(log

=+

=−

yx

yx

xy

xy

58.- Encuentre las soluciones para las ecuaciones : 3loglog 2xyx xy =+ y xx xx )(=

59.- Encuentre el valor de 72log24 si se sabe que a=2log6




60.- Determine una relación entre a, b y c para que se cumpla la igualdad : aaaa bcbcbcbc −+−+ ⋅=+ loglog2loglog

Resolver las siguientes ecuaciones

7x a a ) =61

83 x a a ) =+62

3x - 7 b b63) = 1 3 ) x =64

1 2 65) 1 -x = 4 4 )x - 3 =66

q q ) 1 x =+67

75x5 - 8x m m ) +=68

93-xx c c c ) =⋅69

81 x 1 - x b b b ) =⋅ +70

7 8x5x 143 - 5x a a a ) ++ ⋅=71

4x - 9

x6 - x

9 8

7 1

5

4 4 ) =

⋅

−6

72

3 27

13 1 :

9

4 473)

5 - x

5 - 4

x

=

4

( ) 18x3 m m ) =74

( ) ( ) 375

++−=

x1 x7 x1 - x a a )

( ) ( ) ( )97577 6 - x1 - 7x1 5x a a a ) ⋅=+

64 4 ) x =76

81 978) x =

216 679) -x = 36

1 6 ) x =80

8 4

1 )

x

=

81 343

7

1 )

x

=

82

32 64 ) x

1

=83

32 0,25 ) x =85

x

8

3 3

4 2 .

=−1

84

8 16 ) x

2

=86

9 27) x

2

=87 x

5 - x

8

1 4)

−

=8

88




5 x3 3 - 5x a a ) +=89

( )325790xx x3 c c c ) =⋅ +

x - 46 xx - 20 x a a ) 20291 +− =

63x x a a ) 75392 =+

( ) 1 a a : a ) 4,5x4x - 3 =⋅−5 7693

6 436 x4 5 - x a : a a ) 3794 −=

6 24 - 3x48 6 9x2 - 7x a a a : a ) ⋅=+95

424 x30 x20 x15 x : a a a : a)

681278943296

−−−− ⋅=

i parte: aritmetica y algebra matemática 0...

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