Identificacin de Sistemas

Identificacin de SistemasIdentificacion de modelos no parametricos1ContenidoModelos parametricos y no parametricosMtodos de identificacinAnlisis de la respuesta transitoriaAnlisis de la correlacinAlgunos comandos en MatlabEjemplosAnalisis de FourierAnalisis espectralAlgunos comandos en MatlabEjemplos2Modelos parametricos y no parametricos3Ejemplo 4Utilizando las tcnicas frecuenciales del anlisis de Fourier determinar la respuesta frecuencial del sistema descrito en el ejemplo 1.

Ver Problema 2.8 en [Escobet y Morcego, 2003]49El problema de la identificacionEntonces, el problema matemtico que se formula es la construccin de una funcin

En general se busca una funcin g que sea parametrizable A toda la familia de funciones candidatas se las denomina estructura del modelo5Clasificacion de los modelosDe acuerdo a la estructura (al numero de parametros) los modelos se clasifican en,

Modelos parametricos

Modelos no parametricos6Modelos no paramtricosEl modelo no puede representarse con un nmero finito de parmetros

Respuesta al impulso, respuesta en frecuencia7Mtodos de IdentificacinttYUUYProceso

Modelo8Mtodos de identificacinMtodos no paramtricos, que permiten obtener modelos no paramtricos del sistema bajo estudio.

Mtodos paramtricos, que permiten obtener modelos paramtricos.9Mtodos no paramtricosAlgunos de estos mtodos son:

anlisis de la respuesta transitoria, anlisis de la correlacin, anlisis espectral, anlisis de la respuesta en frecuencia,anlisis de Fourier, etc.10Anlisis de la respuesta transitoria11

Sistema generador de datosSe supone el sistema generador de datos dado por

e es un ruido blancoq es el operador retardo

12Anlisis de la respuesta impulsoEsta metodologa de identificacin consiste en aplicar como entrada al proceso una seal impulso.

13Salida para una entrada uLa salida esta dada por

En terminos de la respuesta al impulso14Salida para una entrada pulso

Amplitud del pulso

La salida es la respuesta al impulso mas un termino de incertidumbre15Estimacion de la respuesta al impulsoEl valor estimado de los coeficientes de la respuesta impulso se determina a partir de:

con un error de estimacin de: v(t)/.

Qu tan importante es el error de estimacion?16Ejemplo 1Respuesta impulsional del sistema

Ver ident_elg_Ej1.m17Ejemplo 1Respuesta del sistema

Respuesta impulsiva sin ruidoRespuesta impulsiva con ruido18Problemas del metodo de la respuesta al pulsoLos problemas que se plantean en el anlisis de la respuesta impulso son:

gran sensibilidad al ruido,

dificultades con las colas del impulso debido a su larga duracin y bajas amplitudes,

queda restringido al estudio de sistemas estables.

19Respuesta al pasoOtro analisis transitorio es la respuesta a un escaln

20Estimacion de la respuesta al impulsoEl valor estimado de los coeficientes de la respuesta impulso se determina a partir de:

con un error de estimacin de: (v(t) v(t 1))/.

21EjercicioEncontrar la expresion para el valor estimado de los coeficientes de la respuesta impulso a partir de la respuesta al paso.

Encontrar la expresion para el error cometido22Anlisis de la correlacin23Sistema generador de datosSe supone el sistema generador de datos dado por

e es un ruido blancoq es el operador retardo

24Entrada al sistemaSe escoge como entrada al sistema u(t) un ruido blanco, cuya funcin de autocorrelacion es:

25Respuesta del sistemaentonces en terminos de la respuesta al impulso la correlacion cruzada entre la entrada y la salida es:

26Estimacion de la respuesta al impulsoLa respuesta al impulso puede ponerse del siguiente modo:

27Estimacion de la respuesta al impulsoLa respuesta al impuso puede estimarse de la estimacion de la correlacion-cruzada a partir de las N muestras

28Estimacion de la respuesta al impulsoEn el caso de una entrada ruido blanco la estimacion de la respuesta impulsiva es

Si la seal de entrada no es ruido blanco no es trivial como resolver el problema.

A continuacion se propone un metodo.29Caso de entrada cuasi-estacionaria deterministicaSi la entrada es cuasi-estacionaria deterministica entonces se usa un filtro L(q) denominado blanqueante

30Entrada cuasi-estacionaria deterministica

El filtro L(q) se implementa en el computador

31Algunos comandos en Matlab32EjercicioConsultar en matlab la ayuda de los siguientes comandos

covf

cra33Ejemplos

34Ejemplo 2Estimar la respuesta al impulso del sistema:

35Ejemplo 2Respuestas al impulso real (escalones) y estimada (crculos) mediante anlisis de correlacin.

Ver ident_elg_Ej2.m36Ejemplo 3Se desea utilizar el anlisis de correlacin para estimar la respuesta impulso del sistema discreto con un periodo de muestreo de 1 segundo:

q^-1 + 0.5q^-2 y(t) = -------------------------------- u(t) + v(t) 1 - 1.5q^-1 + 0.7q^-2

Ver Problema 2.7 en [Escobet y Morcego, 2003]37Anlisis de Fourier

38Estimacion de la respuesta en frecuenciaEs posible determinar la respuesta en frecuencia utilizando la transformada de Fourier de las seales de entrada y salida:Si la entrada tiene energa finita

39Estimacion de la respuesta en frecuenciaEn el caso de tener acceso a datos en un intervalo de tiempo finito 0 < t < S , la transformada de Fourier de las seales son

40Funcin de Transferencia Emprica (ETFE)La denominada Estimacin de la Funcin de Transferencia Emprica (ETFE) se determina con

41Propiedades de la ETFEse deduce que [Ljung94]

42Propiedades de la ETFEPara entrada peridica y S es un mltiplo del perodo:

ETFE est definida para un nmero fijo de frecuencias.

A estas frecuencias la ETFE converge al valor real y su varianza decrece en funcin de 1/N.43Propiedades de la ETFEPara entrada no peridica:

La ETFE converge asintoticamente a la funcin de transferencia cuando se incrementa el nmero de datos,

a mayor S mayor nmero de frecuencias evaluadas.

La variancia de ETFE no decrece al incrementar S, esta se mantiene constante e igual a la relacin seal/ruido para cada frecuencia.44Ventajas e inconvenientes del anlisis de Fourier Es un mtodo fcil y eficiente, especialmente cuando se aplica la FFT.

Permite una buena estimacin de G(jw) cuando la entrada es una seal peridica.

Para seales no peridicas la funcin obtenida es muy fluctuante.45Algunos comandos en Matlab46EjercicioConsultar en matlab la ayuda del siguiente comando

etfe47Ejemplo

48Anlisis Espectral

50Sistema generador de datos

Las seales u y v no estan correlacionadas 51Estimacion de la funcion de transferencia El espectro discreto es transformado por los sistemas lineales:

Entonces,

yu() = G0(e i)u()

para aquellas frecuencias donde u() > 0. 52Estimacion de la funcion de transferencia un estimado de la respuesta en frecuencia es

Es necesario estimar las dos densidades espectrales 53Estimacion de las densidades espectrales La densidad espectral de una seal cuasi-estacionaria u esta definida por

Cuando el estimado se basa en una secuencia finita de datos

54Principales pasos a seguir en el anlisisPASO 1: estimacion de las funciones de correlacin

55Principales pasos a seguir en el anlisisPASO 2: estimacion de las densidades espectrales

es una ventana de tiempo56Principales pasos a seguir en el anlisisPASO 3: estimacion de la funcion de transferencia,

57Principales pasos a seguir en el anlisisPASO 3: estimacion del espectro del ruido y su funcion de transferencia,

donde e es una seal de ruido blanco con variancia

v = He58Algunos comandos en Matlab59EjercicioConsultar en matlab la ayuda de los siguientes comandos

iddata

spa

plot, bode, nyquist60Ejemplos

61Ejemplo 5Con datos de entrada-salida correspondientes a un secador de mano, obtener una estimacion de la respuesta en frecuencia .

Ver ident_elg_EjA3.m 62Ejemplo 6Ver Problema 2.8 en [Escobet y Morcego, 2003]63FuentesVan den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identication for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004Belaustegui C., Orda C., Galarza C., Procesos Estocsticos. Notas de clase. Universidad de Buenos Aires, Departamento de Electrnica, 17 de Marzo 2005.Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificacin de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automtica i Informtica Industrial. Escola Universitria Politcnica de Manresa. 2003Kunusch Cristian, Identificacin de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003Lpez Guilln, M Elena, Identificacin de Sistemas. Aplicacin al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcal de Henares, Departamento de Electrnica. Enero, 200264ULTIMA DIAPOSITIVA65