i dentificaciÓn de s istemas modelos parametricos y no parametricos 1
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IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
Modelos parametricos y no parametricos
1
CONTENIDO Modelos parametricos y no
parametricos Modelos parametricos Estructura de los modelos LTI Estructuras de los modelos LTI
estándar (Ljung)
Modelos no parametricosRespuesta al impulsoRespuesta en frecuencia
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Modelos parametricos y no parametricos
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EL PROBLEMA DE LA IDENTIFICACION
El problema de la identificación consiste en encontrar relaciones matemáticas entre secuencias de entrada y las secuencias de salida.
En general
NZ ,y t t t = 1,...N
En el caso de un sistema dinámico, el termino φ(t)contendría la información de las entradas y salidas
anteriores a t 4
EL PROBLEMA DE LA IDENTIFICACION
Entonces, el problema matemático que se formula es la construcción de una función
ˆˆ , ,Ny g t t
En general se busca una función g que sea parametrizable
A toda la familia de funciones candidatas se las denomina estructura del modelo
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EJEMPLO DE ESTRUCTURA
En el caso de una estructura ARX la correspondencia con la formulación general seria
1 2
Ta b b 1 1 2
Tt y t u t u t
, , Tg t t t
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EJEMPLO DE ESTRUCTURA
Por ejemplo, en el caso de una estructura de modelo simple como el ARX de primer orden:
1 21 1 2y t ay t b u t b u t
1 2, , 1 1 2g t t ay t b u t b u t
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CLASIFICACION DE LOS MODELOS
De acuerdo a la estructura (al numero de parametros) los modelos se clasifican en,
Modelos parametricos
Modelos no parametricos
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MODELOS PARAMÉTRICOS
A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo
Los modelos parametricos tienen un número finito de parámetros
AR, ARX, ARMAX, . . .
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MODELOS NO PARAMÉTRICOS
El modelo no puede representarse con un número finito de parámetros
1
, ,dd
d
g t t
Respuesta al impulso, respuesta en frecuencia
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Modelos parametricos
11
t tYU
U YProceso
Modelo
LOS MODELOS PARAMÉTRICOS
Los modelos parametricos tienen un número finito de parámetros
relacionan las señales de interés del sistema:
entradas, salidas, y perturbaciones
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YUModelo
LOS MODELOS PARAMÉTRICOS
En general, la estructura del modelo podría ser cualquiera
Regresiones lineales Regresiones no lineales Modelos conceptuales “fisicos” Modelos dinámicos Fuzzy o con redes
neuronales,
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YUModelo
Estructura de los modelos LTI
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ESTRUCTURA DE LOS MODELOS
Los modelos paramétricos se describen en el dominio discreto,
puesto que los datos que sirven de base para la identificación se obtienen por muestreo.
ZN = {u(1), y(1), u(2), y(2), ..., u(N), y(N)}
ESTRUCTURA DE LOS MODELOS
Los modelos LTI pueden expresarse como una ecuación en diferencias finitas
1 01a ba a n b ny t n a y t n a y t b u t n b u t
0 0
a bn n
k a j bk k
a y t n k b u t n k
ESTRUCTURA DE LOS MODELOS EN TERMINOS DEL OPERADOR DE RETARDO
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1 01a bn a d n d by t a y t a y t n b u t n b u t n n
1 11 0 11 na nd nb
na nba q a q y t q b b q b q u t
d a bn n n retardo “puro” con que aparece la entrada en la salida.
FUNCION DE TRANSFERENCIA
La relacion de entrada-salida se puede representar en terminos del operador de retardo como una “Funcion de transferencia”
1y t G q u t
1
1 0 11
11
nbnb
nana
b b q b qG q
a q a q
SISTEMA CAUSAL
Sistema causal
nb na
1
1 0 11
11
nbnb
nana
b b q b qG q
a q a q
Un sistema es causal si la respuesta del sistema en un instante t depende sólo de la entrada en ese instante y de
instantes anteriores.
SISTEMA CAUSAL
Sistema causal
Se dice que la funcion de transferencia es propia
Es decir, el sistema es realizable
20
nb na
1
1 0 11
11
nbnb
nana
b b q b qG q
a q a q
Estructuras de los modelos LTI estándar (Ljung)
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LOS MODELOS PARAMÉTRICOS ESTÁNDAR
A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo
En la identificacion de sistemas se recurre a modelos estándar,
cuya validez para un amplio rango de sistemas dinámicos ha sido comprobada experimentalmente
AR, ARX, ARMAX, . . .
LOS MODELOS PARAMÉTRICOS ESTÁNDAR
A la familia de modelos se la denomina estructura del modelo
Al orden del modelo se le denomina complejidad del modelo
ARX de segundo orden
LOS MODELOS PARAMÉTRICOS ESTÁNDAR
Los modelos encontrados son modelos LTI, representados por relaciones entre polinomios,
1
1 0 11
11
nbnb
nana
b b q b qG q
a q a q
PRESENCIA DE PERTURBACIONES
La salida puede ser calculada en forma exacta una vez conocida la entrada al sistema
Pero en la mayoría de los casos esto es imposible debido a que siempre existen señales espurias que afectan al sistema y se escapan de nuestro control.
1y t G q u t
PRESENCIA DE PERTURBACIONES
La salida puede ser calculada en forma exacta una vez conocida la entrada al sistema
Pero en la mayoría de los casos esto es imposible debido a que siempre existen señales espurias que afectan al sistema y se escapan de nuestro control.
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1y t G q u t
PRESENCIA DE PERTURBACIONES
Hay muchas fuentes y causas de perturbaciones,
27
YUProceso
perturbaciones
– ruido a la entrada del sistema– ruido que entra en alguna parte
dentro del sistema– ruido a la salida del sistema– entradas exógenas al sistema
SISTEMA GENERADOR DE DATOS
Con el fin de simplificar la representacion se considera que todas las perturbaciones entran en la salida
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0y t G q u t v t
CARACTERIZACIÓN DE LAS PERTURBACIONES
Una simple aproximación de v(t) podría ser
1v t H q e t
1
0
k
k
H q h k q
donde e(t) es un proceso “ruido blanco”
SISTEMA GENERADOR DE DATOS
0y t G q u t v t
SISTEMA GENERADOR DE DATOS
G(q) modela la parte determinista.
H(q) modela la parte estocástica.
0y t G q u t H q e t
SISTEMA GENERADOR DE DATOS Observaciones:
v(t), es un proceso estocástico. Pero las
perturbaciones que observamos son realizaciones del proceso estocástico
En los métodos de estimación de parametros discretos los errores de modelización se incluyen en v(t)
RESPUESTA IMPULSIVA Y EL MODELO DE RUIDO Un modelo LTI puede ser especificado por
y t G q u t H q e t
1
0
k
k
G q g k q
1
1
1+ k
k
H q h k q
ef x : la funcion densidad de probabilidad de e(t)
FAMILIAS DE MODELOS (LJUNG) Es posible agrupar los modelos en dos
bloques:
Modelos en que
Modelos en que
1 1H q
1 1H q
MODELOS EN QUE H(Q) = 1
Modelos de media ajustada, MA
1y t B q u t nk e t
1 10 1
nbnbB q b b q b q
modelos de respuesta impulso finita (FIR)
MODELOS EN QUE H(Q) = 1
Modelos del error en la salida, OE.
1
1
B qy t u t nk e t
F q
1 111 nf
nfF q f q f q
MODELOS EN QUE H(Q) ≠ 1
Modelos autoregresivos con variables exógenas, ARX
1 1A q y t B q u t nk e t
1 111 na
naA q a q a q
MODELOS EN QUE H(Q) ≠ 1
Modelos autoregresivos de media móvil y variables exógenas, ARMAX
1 1 1A q y t B q u t nk C q e t
G y H tienen el mismo denominador
MODELOS EN QUE H(Q) ≠ 1
Modelos Box-Jenkins, BJ
1 1
1 1
nkB q C q
y t q u t e tF q D q
Una propiedad particular de esta estructura es que G y H no tienen
parámetros comunes.
y
MODELOS EN QUE H(Q) ≠ 1
Modelos ARARX
Modelos ARARMAX
1 1
1
1nkA q y t q B q u t e tD q
1
1 1
1
nkC q
A q y t q B q u t e tD q
ESTRUCTURA PEM
Todas estas familias de modelos se puede representar por
1 1
1
1 1
nkB q C q
A q y t q u t e tF q D q
Util para elaborar algoritmos ya que sus resultados cubren todos los casos especiales
ESTRUCTURA PEM
Util para elaborar algoritmos ya que sus resultados cubren todos los casos especiales
EJERCICIO Escriba un modelo de segundo orden
con un retardo para cada uno de los modelos propuestos
Modelo de media ajustada, MAModelo del error en la salida, OEModelo autoregresivo con variable
exógena, ARXModelo autoregresivo de media móvil y
variable exógena, ARMAXModelo Box-Jenkins, BJ
Introduzca este modelo en matlab
Modelos no parametricos
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t tYU
U YProceso
Modelo
Respuesta al impulso
45
RESPUESTA IMPULSIVA
En terminos de la respuesta impulsiva, , la expresión general de un modelo LTI discreto es del tipo
46
0
l
k
y t g k q u t
0k
g k
Para sistemas estables
RESPUESTA IMPULSIVA
La respuesta impulsiva, puede verse como un operador
47
0k
g k
Para sistemas estables
1 1 20 1 2G q g g q g q
0
l
k
y t g k q u t
RESPUESTA IMPULSIVA
La respuesta al impulso del sistema es simplemente
la serie que resulta de la division de los polinomios del numerador por el denominador de la funcion de transferencia
1 1 20 0 1 21
nbnb
nana
b b qG q g g q g q
a q
RESPUESTA IMPULSIVA
Ejercicio: Dado el sistema LTI
Encontrar los coeficientes de la respuesta impulsiva
2 3
11 2 3
0.5 0.3
1 0.2 0.16 0.24
q qG q
q q q
SISTEMA GENERADOR DE DATOS
Se supone el sistema generador de datos dado por
0y t G q u t v t 50
LA PRESENCIA DE RUIDO
Se supone el sistema generador de datos dado por
0y t G q u t v t
e es un ruido blanco
q es el operador retardo
v t H q e t
51
RESPUESTA AL IMPULSO
Consiste en aplicar como entrada al proceso una señal impulso de tiempo discreto
u(t)
t
1
T
y(t)
t
system
hjh1
52
SALIDA PARA UNA ENTRADA PULSO
La salida esta dada por
1k
y t g k u t k v t
En terminos de la respuesta al impulso
53
SALIDA PARA UNA ENTRADA PULSO
y t g t v t Amplitud del pulso
u(t)
t
1
T
y(t)
t
system
hjh1
La salida es la respuesta al impulso mas un termino de incertidumbre 54
Ejemplos
55
EJEMPLO 1
Encontrar la respuesta al impulso del sistema
1 2
1 2
0.5
1 1.5 0.7
q qy t u t v t
q q
1 2
1 2
1 0.2
1 1.5 0.7
q qv t e t
q q
Ver ident_elg_Ej1.m 56
EJEMPLO 1
Respuesta del sistema
0 5 10 15 20 25 30 35 40-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Respuesta impulsiva sin ruido
Respuesta impulsiva con ruido
57
EJEMPLO 2
Encontrar la respuesta al impulso del sistema:
58
Respuesta en frecuencia
59
LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Es posible determinar la respuesta en
frecuencia utilizando la transformada de Fourier de las señales de entrada y salida:
Si la entrada tiene energía finita
YG i
U
60
Ejemplo
61
EJEMPLO 4
Determinar la respuesta en frecuencia del sistema descrito en el ejemplo 1.
62
1 2
1 2
0.5
1 1.5 0.7
q qy t u t v t
q q
1 2
1 2
1 0.2
1 1.5 0.7
q qv t e t
q q
FUENTES Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification
for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004
Belaustegui C., Orda C., Galarza C., Procesos Estocásticos. Notas de clase. Universidad de Buenos Aires, Departamento de Electrónica, 17 de Marzo 2005.
Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003
Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003
López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002 63
ULTIMA DIAPOSITIVA
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