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IDENTIFICACIÓN DE LA COMPONENTE ALEATORIA EN EL COMPORTAMIENTO
TEMPORAL DE LOS CAUDALES MÍNIMOS MULTIANUALES DEL RIO FONCE (SAN GIL,
SANTANDER) Y CARACTERIZACIÓN DEL RUIDO BLANCO
JOHAN NORBEY CARVAJAL ANTURI
UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA CIVIL
2017
IDENTIFICACIÓN DE LA COMPONENTE ALEATORIA EN EL COMPORTAMIENTO
TEMPORAL DE LOS CAUDALES MÍNIMOS MULTIANUALES DEL RIO FONCE (SAN GIL,
SANTANDER) Y CARACTERIZACIÓN DEL RUIDO BLANCO
JOHAN NORBEY CARVAJAL ANTURI
TRABAJO DE GRADO
PROYECTO DE ALTO IMPACTO 2134 DE 2016
LÍNEA DE INVESTIGACIÓN:
PRODUCTIVIDAD E IMPACTO AMBIENTAL
TUTOR: PhD. HEBERT GONZALO RIVERA. DOCENTE DE LA UNIVERSIDAD MILITAR
NUEVA GRANADA.
UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA
FACULTAD DE INGENIERÍA
INGENIERÍA CIVIL
BOGOTÁ 2017
3
DEDICATORIA
Al ser supremo todo poderoso, por darme la salud y motivación de continuar por este camino de
la ingeniería. A mis padres y hermana que estuvieron siempre a mi lado apoyándome de forma
económica, sentimental y afectiva en esta etapa de mi vida, como estudiante universitario. A mi
compañera sentimental que me motivo y apoyo en esta culminación del pregrado. A mis
familiares en general y compañeros de la universidad. Muchos éxitos para todos.
JOHAN NORBEY CARVAJAL ANTURI
4
AGRADECIMIENTOS
Al creador de todo el universo, que me libro de todo mal y peligro por el camino que emprendí
durante la universidad, por darme la perseverancia, motivación de enfrentar, superar todas las
barreras y dificultades de la vida. También a mis padres, que se esforzaron al máximo en la
capital Colombiana trabajando duro, para apoyarme económicamente, física y mentalmente,
siendo lo último por medio del dialogo, llenándome de buenos principios, para actuar de la
manera correcta ante los diferentes contextos, que se presenten durante el diario vivir, para que
se transmite el lema de generación en generación, que es el de ´´Educad al niño para no
castigar al hombre´´ (Policía Nacional). A los docentes y administrativos de la Universidad
Militar Nueva Granada que aportaron muchos principios y valores para la formación
profesional. A mi tutor el Docente Hebert Gonzalo Rivera por su guía y conocimiento que me
brindo para la realización y finalización del proyecto. Igualmente a mi novia por su apoyo moral
y afectivo durante este proceso.
JOHAN NORBEY CARVAJAL ANTURI
5
CONTENIDO
Pág.
LISTA DE TABALAS……………………………………………………………………………………...7
LISTADO DE EXPRESIONES MATEMATICAS……………………………………………..............8
LISTA DE GRAFICOS…………………………………………………………………………………...9
RESUMEN………………………………………………………………………………………….…….10
ANTECEDENTES……………………………………………………………………………………….11
1) INTRODUCCION………………………………………………………………………………..15
2) OPBJETIVOS……………………………………………………………………………………16
2.1) OBJETIVO GENERAL…………………………………………………………………....16
2.2) OBJETIVOS ESPECIFICOS…………………………………………………….............16
3) PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………………………………......16
3.1) DEFINICION DEL PROBLEMA
3.2) JUSTIFICACION
4) MARCO TEORICO
4.1) Marco conceptual…………………………………………………………….……………18
4.1.1) series de tiempo……………………………………………………………...........18
4.1.1.1) tendencia a largo plazo…………………...……………………………..18
4.1.1.2) Efecto cíclico…………………………………………………..................18
4.1.1.3) Efecto Estacional…………………………….………………………......18
4.1.1.4) comportamiento de variación Aleatoria…………………….................19
4.1.2) Suaviza-miento Aritmético………………………………………...………………19
4.1.3) Series de Fourier………………………………………………………...………...19
4.1.4) Espectro Electromagnético………………………………………………………..20
4.1.5) Interferencias……………………………………………...………………………..21
6
4.1.6) Ruido Blanco……………………………………………………………………………..21
4.2) Marco Geográfico……………………………………………………………………….…22
4.3) Marco Demográfico……………………………………………………………………..…22
5) MATERIALES Y METODOS………………………………………………………………..…23
5.1) Materiales…………………………………………………………………………………..23
5.2) Metodología……………………………………………………………………………..…23
6) DESARROLLO DEL PROYECTO…………………………………………………………….25
6.1) Planteamiento teórico……………………………………………………………………..25
6.2) Presentación de Resultados……………………………………………………………...31
6.3) Análisis del desarrollo del proyecto…………………………………………..………….44
6.4) Cronograma……………………………………………………………………….............45
7) CONCLUSIONES……………………………………………………………………………….46
8) BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………….....47
7
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla N.1 Datos de los caudales mensuales mínimos vigentes 1955-2015………………….......24
Tabla N.2 valores Reales y suavizados de media móvil, del mes de en enero……....................27
Tabla N. 3 Suavizado de los caudales mínimos mensuales………………………………………..33
Tabla N.4 Datos Ruido Blanco………………………………………………………………………....37
8
LISTADO DE EXPRESIONES MATEMATICAS
Pág.
Expresión 1 Media móvil…………………………………………………………………..……….......17
Expresión 2 serie de Fourier…………………………………………………………………...…........17
Expresión 3 Ecuación diferencial no lineal……………………………………………………...........21
Expresión 4 Tendencia línea móvil……………………………………………………………............19
Expresión 5 Promedio Móvil……………………………………………………………………..……..25
Expresión 6. Señal s (t)……………………….………………………………………………...……....29
Expresión 7. Constante aperiódico…………………………………………………………………….29
Expresión 8. Densidad Espectral…………………………………………………………..……...…..30
Expresión 9. Transformaciones de Fourier con ruido blanco…………………………….…………31
9
LISTA DE GRAFICAS
Pág.
Grafica 1. Señal s (t)…………………………………………………………………………………….29
Grafica N.2 Espectro de potencia del Ruido Blanco1……………………………………..……..…..30
Grafica N.3 comportamiento de los caudales mínimos mensuales.............................................32
Grafica N.4 Caudales desde enero hasta abril con su respectivo suavizado………………….....34
Grafica N.5 Caudales desde Mayo hasta Agosto con su respectivo suavizado……………….....35
Grafica N.6 Caudales desde Septiembre hasta Diciembre con su respectivo suavizado............36
Grafica N.7 Caudal del mes de Enero con su espectro y espectro con ruido blanco…...............38
Grafica N.8 Caudal del mes de Febrero con su espectro y espectro con ruido blanco..………..38
Grafica N.9 Caudal del mes de Marzo con su espectro y espectro con ruido blanco..….........…39
Grafica N.10 Caudal del mes de Abril con su espectro y espectro con ruido blanco.…………...39
Grafica N.11 Caudal del mes de Mayo con su espectro y espectro con ruido blanco..………….40
Grafica N.12 Caudal del mes de Junio con su espectro y espectro con ruido blanco..……........40
Grafica N.13 Caudal del mes de Julio con su espectro y espectro con ruido blanco..…………..41
Grafica N.14 Caudal del mes de Agosto con su espectro y espectro con ruido blanco..………..41
Grafica N.15 Caudal del mes de Septiembre con su espectro y espectro con ruido blanco..…..42
Grafica N.16 Caudal del mes de Octubre con su espectro y espectro con ruido blanco….........42
Grafica N.17 Caudal del mes de Noviembre con su espectro y espectro con ruido blanco........43
Grafica N.18 Caudal del mes de Diciembre con su espectro y espectro con ruido blanco…......43
1 Elaboración propia.
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RESUMEN
Los caudales de la corriente del rio Fonce son datos importantes para analizar la capacidad
volumétrica y velocidad que tenga el rio, para brindar así mismo un servicio al pueblo, fauna y
flora de nuestro territorio, logrando la predicción de su comportamiento, ya que al ser sus datos
de tendencia estocástica, no se logra identificar el comportamiento exacto por las fluctuaciones
presentes en el comportamiento de la variable caudal, donde se analizara a través de una serie
de tiempo. Por lo tanto se requiere un modelo el cual logre suavizar de manera eficaz el
comportamiento de la variable caudal, para mitigar los errores del mismo, analizar la
transformación de comportamiento no periódico a periódico y al final se logre interpretar la
tendencia de la variable, para saber qué resultados se obtiene de los caudales a futuro, y tener
la cantidad de energía que pueda generar a través del tiempo. Siendo así que este estudio fue
realizado con los caudales anuales mínimos desde el año 1955 hasta el 2015, donde se
evidenciaron diferentes valores de caudales con fluctuaciones muy grandes.
PALABRAS CLAVE: Caudal, Espectro, Estocástico, Ruido Blanco.
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ANTECEDENTES
La importancia de interpretar los comportamientos, fenómenos y todo lo que rodea al hombre,
es con el fin de actuar conforme a los reacciones que se generan por cada uno de los mismos,
ello se logra con base al modelo MEST, el cual integra el contesto, de todas las cosas,
podemos aplicar y analizar de forma más eficiente las mejoras para la estabilidad del futuro, ya
que se interviene la materia, energía, espacio y tiempo. Los avances tecnológicos al ser
directamente proporcionales con el tiempo, logra analizar, los comportamientos de las acciones
o reacciones, que se denotan como variables, donde su comportamiento es estocástico, siendo
así que varía atreves del tiempo, es por ello que por medio de la probabilidad y estadística, se
busca analizar, predecir y saber el resultado de la materia, en un determinado espacio, con
respecto al tiempo y así mismo saber la cantidad de energía, que se necesitó para obtener el
resultado que se manifestó en el diario vivir del hombre.
El estudio de los datos aleatorios, muestra cómo a través del tiempo, grandes autores e
investigadores deseaban predecir el comportamiento de una variable estocástica, donde no se
correlacionan directamente los resultados, siendo representada en una función no periódica a
través del tiempo, siendo así que lo relacionaban con el movimiento browniano, el cual lo definió
él mismo Robert Brown; como “movimiento aleatorio que se observa en ciertas partículas
microscópicas que se hallan en un medio fluido”. Este autor lo descubrió en 1827, donde
“observo por medio del microscopio la cantidad de polen que tenía una planta de especie
“clarekia pulchella”, de la cual fue tomada sus anteras, antes de abrirse, donde contenían
partículas o granos, el cual median entre 1/4000 a 1/3000 de pulgada, siendo alargada y
cilíndrica, estas se desplazaban en movimientos aleatorios sin razón aparente, donde en un
principio, se imaginó que las partículas tenían vida propia”, fue entonces tras muchas
observaciones y análisis que realizo Brown, observo cuando al abrirse las anteras y después de
cierto tiempo cuando se evaporo el agua dentro de las mismas, las partículas se depositaron
en la base del portaobjetos del microscopio, llevándolo a más incertidumbre y cuestionamiento
al respecto. Posteriormente, el fenómeno se relacionó no solo con partículas de polen, sino
también con partículas de materia inorgánica (polvo fino de algunos minerales; carbón, vidrio,
roca, etc.) Lo cual hasta principios del siglo XX, se explicó del porque el movimiento irregular de
12
las partículas de polen, el cual se debía al golpeteo constante de las moléculas invisibles de
agua sobre las moléculas visibles de las partículas de polen. (martinez, 2008)
Décadas más tarde interviene la teoría del sonido en 1880 el cual se concentra en estudiar los
problemas de la propagación sonora y de vibración por medio de ondas al momento de
interpretar instrumentos musicales o elementos que generan perturbación al contacto entre sí,
el científico responsable de esta teoría fue Rayleigh el cual fue galardonado y premiado del
nobel de física donde investigó sobre la densidad de los gases y así mismo descubrió uno de
los más importantes (el Argón). Este gran científico se destacó como el número uno en
matemáticas y su trabajo fue excelente en tan corto tiempo. En 1872 reside en Egipto, el cual
vivió y sostuvo a su familia económicamente gracias a la agricultura y por sus méritos de
reconocimiento científico que obtuvo en su juventud, el cual unos años más tarde deja a cargo
del hogar a su hermano menor y retoma la investigación científica por completo, donde intervino
con el tema del efecto Tyndall; el cual se interesaba por el resultado de los impactos de ondas,
en un medio fluido generando dispersión de la luz en el mismo medio.
Tiempo después interviene el Francés Bachelier (1870-1946) para la época de 1900, el cual
fue un gran matemático, donde durante sus estudios se en caminó por realizar la teoría de la
especulación que presentó en su tesis. Es el responsable de la modelación del movimiento
browniano, en caminado en el análisis de los estudios financieros, predicción del
comportamiento de precios siguiendo la distribución normal; afirmaba que las fluctuaciones de
los precios eran bastantes, por lo tanto miraba que el comportamiento de esta variable genera
una incertidumbre al público, concluyó que matemáticamente era imposible aspirar a una
predicción de los cambios de precios, pero que si era posible estudiar matemáticamente el
mercado en un momento determinado del tiempo, es allí cuando inicia un estudio detallado
sobre el comportamiento de las variables a través del tiempo.” Sin embargo su, trabajo no fue
muy galardonado por sus profesores y compañeros, donde fue hasta 1960, que le dieron
mucha importancia y apreciaron el trabajo que había realizado, ya cuando falleció”. (martinez,
2008)
13
Luego en 1905, interviene Albert Einstein (1879-1955), quien definió al movimiento browniano
como la interacción cinética molecular del calor de diminutas partículas suspendidas en un
medio líquido estacionario. Lo anterior fue explicado por medio de un artículo sobre mecánica
estadística donde aporta la expresión matemática del movimiento Browniano, también explica
que la dispersión del desplazamiento de la partícula en un fluido, en un tiempo dado, es
proporcional a dicho tiempo. Todo ello inicio fue por su gran labor en la investigación de los
átomos y de las moléculas donde se obtenían grandes relaciones entre fenómenos, tanto físicos
como químicos. Desarrollando una teoría de las fuerzas moleculares, a partir de los fenómenos
observables, despertándole el interés desde los detalles de las fuerzas moleculares relacionado
con investigaciones ya realizadas. Todo ello fue importante para Las diversas explicaciones del
movimiento Browniano a principios del siglo XX ya que la exclusión de las fuerzas vitales
apelaban la capilaridad, corrientes de convención, interacción con la luz y fuerzas eléctricas,
estando no del todo claras, es por ello que Einstein interviene para complementarlo con cada
uno de los ítems mencionados, gracias a sus estudios el logro analizar las investigaciones y
conclusiones que realizaban sus colegas con base al movimiento Browniano, de épocas
pasadas, dando el inicio de la explicación clara del movimiento Browniano con la presión
Osmótica y su relación con la teoría de la difusión y la teoría molecular. El escribe en su
artículo: “De acuerdo con esta teoría, una molécula disuelta difiere de un cuerpo suspendido
solamente en tamaño, y es difícil ver porqué los cuerpos suspendidos no deberían producir la
misma presión osmótica que un número igual de moléculas disueltas” (ALBERT EINSTEIN,
articulo 2), enfocándose en tres puntos primordiales para el análisis del movimiento Browniano
(1) Se basó en la presión Osmótica; (2) Identifico el desplazamiento de las partículas
suspendidas, antes que sus velocidades; (3) aplico la teoría molecular del calor y la teoría
microscópica de la disipación. Concluyendo con la obtención de la expresión matemática de
difusión, el cual se obtuvo gracias a la distribución de probabilidad de los desplazamientos, el
cual suponía la existencia de un intervalo de tiempo, corto con respecto al tiempo de
observación, pero así también lo suficientemente largo, como para que los movimientos de una
partícula suspendida en dos intervalos sucesivos pudieran tratarse como independientes.
Siendo así que el desplazamiento de las partículas pueden describirse por la distribución de
probabilidad que determina la cantidad de partículas desplazadas a una cierta distancia en cada
intervalo del tiempo. (PENROSE)
14
De 1921 hasta 1927 se sientan las bases estadísticas que fundamentaran la teoría de los ciclos
económicos y análisis econométrico de las series de tiempo, siendo así como A.N Kolgomorov
en 1931 y con el estadístico británico George Yule y su obra (Problema de correlación sobre el
tiempo); promueven la investigación y las primeras aplicaciones econométricas basadas en
modelos auto regresivos de segundo orden.
En 1960 los investigadores desarrollaron modelos que eran posibles en descomponer una serie
de datos el cual hacen parte de la serie de tiempo; tendencia, componente cíclico, componente
estacional y de aleatoriedad, basándose en la aplicación de medias móviles y en las
desviaciones de la variable.
Ya para los años 70, interviene las series de tiempo, encaminado al estudio de los datos
económicos, siendo Box E.P y Jenkins G.M, los responsables de desarrollar la técnica ARIMA
(Modelo Auto-regresivo Integrado de Medias Móviles), ellos parten de la concepción de la no
estacionalidad de la serie, pero gracias al matemático Francés J. Fourier, logra aproximar una
serie en términos de funciones de la misma variable, comprobando su orientación determinista,
mediante la aplicación de una o dos veces, de un procedimiento de integración de variables de
la serie estacionaria y de sumas se llega a la serie real; de ahí el nombre de modelos Auto
regresivos integrados y media móviles, donde hasta estos días se visualiza aplicar estos
modelos a cualquier variable interesada en analizar.
Actualmente la investigación se lleva en la Universidad Militar Nueva Granada, donde estudian
y analizan el tema de tendencias y comportamiento de la variable aleatoria, con el fin de
modelar la ecuación de la variable e interpretarlos para su intervención, mejora o ayuda de la
corriente Fonce en San Gil, Norte de Santander.
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1. INTRODUCCION
En el estudio de la hidrología encontramos gran incertidumbre ya que los datos obtenidos por el
uso de instrumentos, al momento de su medición conllevan a amplios márgenes de error, lo
cual, Según estudios realizados, en el caso de los caudales pueden superar el 30 %, siendo de
vital importancia estos datos, ya que con esta información incide directamente en la vida útil de
una obra (Hebert R. 2013). Con estas márgenes de error inmersas en los datos, se debe
buscar mitigarlas, analizando su comportamiento e identificando sus fluctuaciones tan
relevantes, después de realizar todo el proceso, se tendría datos más confiables y más exactos
para la construcción de una obra ingenieril, que cumpla con brindar un buen servicio y mejore
la calidad de vida de la población. La incertidumbre de estos datos hace que no se tenga
certeza del comportamiento a futuro de los caudales mínimos del rio Fonce, lo cual se analizaría
la cantidad de energía que pueda tener la corriente del Fonce, porque gracias a ello se logra
visualizar que reacción tendría la naturaleza; fauna, flora, vegetal, suelos, población etc., en una
cierta cantidad de energía que pueda acumular a través del tiempo. Sin una predicción y
estimación del comportamiento de los caudales, podrían presentarse inconvenientes, que
afectarían al entorno y así mismo a las infraestructuras que se realizaran.
Las series de tiempo identifican el comportamiento de una variable, logrando mirar que
tendencia podría llevar, que tan repetitivo se presenta un comportamiento dentro del mismo y
en qué momento se podría intervenir en la variable para evitar cambios drásticos en el contesto
que este la variable. Es por ello que este trabajo se muestra la aplicación de modelos de
predicción, como las de series de tiempo, transformada de Fourier, para tendencias no
periódicas y análisis de la cantidad de energía que pueda tener en un futuro la variable, por
medio del espectro.
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2. OBJETIVOS
2.1 OBJETIVO GENERAL
Determinar la componente aleatoria en la trayectoria estocástica del comportamiento de
los caudales mínimos en el rio Fonce (San Gil, Santander) y caracterizarla
estadísticamente.
2.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS
2.2.1) Compilar los datos de caudales mínimos del río Fonce.
2.2.2) Establecer en el comportamiento temporal de los caudales mínimos la
componente determinista.
2.2.3) Caracterizar estadísticamente la componente aleatoria tipo ruido blanco.
2.2.4) Socializar los resultados.
3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
3.1 DEFINICION DEL PROBLEMA
La medición de caudales en las estaciones del Instituto IDEAM se realiza mediante
diversos instrumentos, los cuales tienen una gran incertidumbre que incide en su análisis
y predicción a futuro.
En este trabajo de grado el problema se plantea mediante el interrogante ¿cuáles son
las características estadísticas de la componente aleatoria del proceso de caudales
mínimos en el río Fonce?
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3.2 JUSTIFICACION
Con la interpretación del comportamiento de una variable, se logran identificar los
parámetros de la series de tiempo; su tendencia, estacionalidad, estado cíclico y su
variabilidad como comportamiento estocástico, permitiendo que en este caso el estudio
siendo con datos de caudales, se analice el comportamiento de la corriente Fonce,
siendo éste no periódico si no variable, pero con la aplicación de las series de Fourier se
logra transformar la serie de forma periódica, detallando su tendencia y así mismo las
anteriores variables ya mencionadas, con el fin de suavizar su respectivo resultado, y al
final hibridarla con el ruido blanco, para que logre reducir errores que se tenía en el
resultado del comportamiento de la variable.
Una tendencia estocástica o comportamiento incierto hace que sus resultados no sean
tan confiables, es de vital importancia llegar a un punto de exactitud cada vez más
fuerte, el cual no genere dudas al momento de llegar a cierto punto del tiempo, y sea
verídica la predicción que se generó con base a lo estudiado.
Por todo lo anterior se debe predecir de manera correcta el comportamiento de los
caudales mínimos del río Fonce, aplicando el estudio de Series de Tiempo, analizando
después de un proceso de comportamiento de datos, mitigando las fluctuaciones que
puedan presentarse, y obtener así mismo su respectivo espectro o cantidad de energía
que pueda tener el Río Fonce.
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4. MARCO TEORICO
4.1 Para clarificar el estudio del presente trabajo, se retroalimenta la información,
tomando los conceptos de series de tiempo para facilitar la interpretación del mismo,
engranando las teorías con el alcance de la investigación:
4.1.1) series de tiempo:
Se identifican por especificar la estructura estocástica de un conjunto de datos, en
general ocurre que los valores que toma la serie en el periodo t depende de los
valores precedentes, logrando determinar la estructura de auto correlación de la
serie con el fin de identificar el proceso generador de los datos. (RAMIREZ, 2007)
También, se define como la sucesión de observaciones de un fenómeno que es
variable con respecto al tiempo, teniendo comportamientos no periódicas en
representación gráfica, lo cual es complicado descifrar y predecir el comportamiento
de la variable a futuro, para facilitar esta predicción, se estudian 4 variables
primordiales que hacen parte de la serie y estas son:
4.1.1.1) Tendencia a largo plazo: Está dado por el continuo cambio al que está inmersa la
variable a estudiar, siendo su contexto diferente en cada punto del tiempo, logra que estos no
lleguen a producir cambios bruscos en ciertas épocas, pero sí producen un cambio gradual y
estable a largo plazo.
4.1.1.2) Efecto Cíclico: Está dada cuando la serie aumenta o disminuye en forma de onda,
estos cambios son muy suaves, y por lo general están sometidos por el cambio en la demanda
de algún producto, ciclos de los negocios, acumulación de bienes etc. (JHON E. HANKE, 2010)
4.1.1.3) Efecto estacional: Está inmersa directamente con los intervalos de tiempo fijo de la
última ocurrencia, es decir durante el estudio de una variable es fácil detectar el
comportamiento similar en un punto fijo del tiempo con otro punto fijo, en otras palabras estos
19
puntos fijos se representan como el contexto de ciertas épocas del año donde su
comportamiento es repetitivo con respecto a los otros años, un ejemplo claro es el aumento en
ventas para las épocas decembrinas, siendo este un punto fijo de tiempo para los meses de
ventas en juguetería. (MENDENHALL/REINMEVTH)
4.1.1.4) comportamiento de variación Aleatoria: Componente irregular que representa la
variabilidad en la serie de tiempo después de que se eliminaron los anteriores componentes.
También se resalta los estudios, funciones y expresiones matemáticas que se deben utilizar
para obtener el resultado deseado.
4.1.2) Suaviza-miento Aritmético: Logra estimar la tendencia de una serie, removiendo
el ruido y las fluctuaciones de corto plazo de una serie dejando solo su movimiento
de largo plazo (tendencia), el promedio aritmético es una alternativa de suavizado el
cual es dado por un momento de tiempo t donde se puede tomar centrado, sobre 2m
+ 1 términos, esto es, m hacia delante de t, m hacia atrás y uno en t, como lo indica
la siguiente expresión.2 (MONTENEGRO, 2005)
∑
Expresión N.1 Media móvil
4.1.3 Serie de Fourier: la finalidad de la serie es descomponer un comportamiento de
una variable de estudio no periódica, en un comportamiento periódico básico con
senos y cosenos, donde en las señales las frecuencias son múltiplos de la señal
2 La descripción detallada de la estimación del suavizado se encuentran
(MONTENEGRO, SERIES DE TIEMPO, p. 449-460).
20
original, la descomposición permite el análisis de las propiedades y la síntesis de
los objetos o fenómenos.
∑ (
)
Expresión N.2 serie de Fourier
4.1.4 Espectro Electromagnético: Distribución energética de un conjunto de ondas,
siendo este una radiación que emite o absorbe una sustancia, en pocas palabras
es el resultado de la descomposición de un fenómeno, el cual trasciende de un
estado a otro, logrando exponer su cantidad energética de cualquier fenómeno
estudiado, donde en ciertos espectros se presenta información vital para su uso y
estudio como tal. Los responsables de transmitir la información con base a los
tres partes fundamentales de la misma, son: la amplitud, el cual se mide en
voltios; la frecuencia que es conocida como 1/T, siendo T el periodo, que
significa la duración de un ciclo de la señal u oscilaciones de la misma. Por lo
anterior es de vital importancia llegar a un punto del control de las oscilaciones
ya que si no hay un control sobre ellas, no habría una sintonización de la
información óptima para analizarse, es por ello que se implementa la modulación
que consiste en controlar, esas misma oscilaciones por medio de las altas
frecuencias, por potenciales de los electrodos de los aparatos electrónicos, de un
circuito de radiotransmisor. Siendo así que el análisis de las señales se lograría
por medio de las propiedades de las ecuaciones diferenciales, que en este caso
se habla de una ecuación no lineal, donde uno o varios de sus coeficientes son
funciones de (y), la cual seria, (y):
21
Expresión N.3 Ecuación diferencial no lineal
Con base a la teoría de la superposición3, esta ecuación no es aplicable para
solucionarla con ella, siendo aún más compleja que las lineales, la cual para estructurar
la señal convertida depende no solo de la forma de la señal, sino de su amplitud. Es de
mucha importancia recalcar estos sistemas no lineales, por lo que son acompañados por
la transformación del espectro de frecuencias, que a su vez dan resultado a la
modulación y en general a todos los procesos que tengan que brindar y transportar
información de un espectro electromagnético. (GONOROVSKI, 1972)
4.1.5 Interferencias: Son ruidos propios de diferentes intensidades, sean que
provengan de diferentes lugares, espacios, galaxias o de otras fuentes de
emisiones magnéticas. Lo grave de estas, es que distorsionan la señal, a causa
de las perturbaciones, el cual altera el mensaje o información de la señal,
creando errores en el receptor de dicho espectro, siendo así que se sustituya el
mensaje verdadero por otro, donde al final brindara información falsa.
(GONOROVSKI, 1972, p.22)
4.1.6 Ruido Blanco: Señal no correlativa , identificada por media cero y varianza
constante, es decir que en el eje del tiempo la señal toma valores sin ninguna
relacion unos con otros, por su respectiva media. Al momento de tener un
espectro plano, antes de someter la señal a una descomposicion por las series
de Fourier, tendria una amplitud constante , donde su comportamiento al final
seria una linea paralela a las abcisas.
3 La superposición consiste en descomponer una expresión lineal en dos o más expresiones sencillos, de tal manera
que la expresión original se obtiene de la suma de las expresiones sencillas.
22
4. 2 Marco Geográfico
El estudio se realizó con base a los datos obtenidos en el IDEAM, tomados de la
estación 24027010 de SAN GIL (SANTANDER), siendo el río Fonce el protagonista
principal de esta investigación, su estación Limnigráfica está ubicada a una latitud de
0632 N con longitud de 7307 W y con una elevación de 1113 m.s.n.m. Su excelente
clima tropical logra que se realice diversas actividades en ciertas épocas de año, lo cual
lo hace muy turístico. La importancia de cada uno de los puntos mencionados
anteriormente, son de vital importancia, porque gracias a ellos, logra la reacción del
comportamiento del rio, por ejemplo su ubicación siendo en la cordillera central de
Colombia, muestra una clara importancia en el caso de las pendientes que tiene el rio,
para el estudio de la escorrentía que se presente en las épocas de invierno y como
consecuencia de ello logre el aumento de los caudales en ciertos épocas del año.
(IDEAM)
4.3 Marco Demográfico y cronológico:
El trabajo presente se desea interpretar los valores de los caudales desde el año 1955
hasta el año 2015, ya que actualmente solo se encuentra información hasta este año en
el IDEAM (Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales). Con base a los
habitantes de esta región santandereana, al transcurrir los años ha tenido un gran
aumento en el asentamiento poblacional, la cual estudios realizados por el DANE, para
el año 2005 tenía un total de 42988 habitantes (Censo general del DANE, 2005, p.54)
comparandolo con el sistema de identificacion de potenciales beneficiarios de
programas sociales (SISBEN) para el año 2012 se ceunta con 89998 habitantes. Por lo
anterior es de vital importancia el estudio del comportamiento del rio, ya que al ver el
aumento de asentamiento poblacional en el pueblo de San Gil, se debe actuar y tomar
medidas, para asesorar a los pobladores que en un futuro cuando se instalen y se
ubiquen en San Gil, lo hagan en un territorio que no sea de alto riesgo, ya sea por las
crecientes del rio o retornos del comportamiento del mismo. (DANE, 2005)
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5 MATERIALES Y METODOS
5.1 MATERIALES
Este trabajo se realizara con recursos propios, con el uso del software labview
obtenido gratuitamente por la web y el Excel inmerso del paquete office.
5.2 METODOLOGIA
Se obtuvo la información hidrológica del IDEAM, de los Caudales mínimos, el cual fue
de la estación ubicada en San GIL, identificada con el número 24027010, donde se
inicia la compilación de los datos, graficando los valores de los caudales anuales desde
el año de 1955 hasta el 2015, se analiza las fluctuaciones, donde se prosigue a
implementar dos métodos de suavizado de la variable en estudio, que en este caso son
los caudales mínimos mensuales, se utiliza la media móvil:
Expresión N.4 Tendencia línea móvil
Donde At es uno de los valores de los caudales que se tomaran como punto inicial, n
el número de volares el cual se tomaran para hacer la respectiva media, hasta llegar
al dato final de todo el comportamiento de la variable, que depende de su valor n o
número de datos a promediar, reduciendo al final las fluctuaciones del
comportamiento de la variable de los caudales mínimos.
24
La información suministrada por el IDEAM, con el que realizamos el respectivo suavizado, y
estudio de la variable son:
Tabla N.1 Datos de los caudales mensuales mínimos vigentes 1955-2015 (IDEAM)
25
El procedimiento aplicado fue el siguiente:
a) Se grafican y se analizan cada variable caudal vs tiempo, representándola gráficamente
en una serie de tiempo.
b) Se suaviza las fluctuaciones representadas en el comportamiento de la serie, por medio
de la media móvil.
c) Se compara el anterior resultado con la compilación de los datos en un software llamado
labview el cual muestra el comportamiento de la variable también suavizada.
d) Al tener el resultado de las funciones en labview, se somete a una trasformada de
Fourier para interpretar su comportamiento de forma periódica y así mismo poder
analizar estadísticamente el comportamiento de la variable por las características de las
series de tiempo.
e) El resultado del comportamiento de la variable de forma periódica, se fusiona con un
ruido blanco con el fin de analizar la cantidad de energía o espectro generado a través
del tiempo.
f) Análisis de todos los resultados.
6. DESARROLLO DEL PROYECTO
6.1) Planteamiento teórico:
Para el desarrollo del presente trabajo, se analizó e interpreto todos los datos de los caudales
mínimos, observando que algunos datos, venían con errores de digitación, se procedió en
corregirlos. Como primer medida se grafica el comportamiento de los mismos, se identifica los
caudales mínimos como la variable de estudio principal versus el tiempo, al tener su respectiva
gráfica, se procede a mitigar las grandes fluctuaciones que tenía, utilizando la expresión
matemática de Media móvil, con un periodo n=3, ya que según (MONTENEGRO, SERIES DE
26
TIEMPO, 2005) “si M es un numero par, los promedios móviles ocurrirán entre los puntos de
tiempo en lugar de en los puntos del tiempo” , siendo así que no se lograría un buen punto de
comparación con los valores reales, y en el caso de que M sea muy grande en este caso igual a
5, los datos tanto como los finales y los iniciales no tendrán un valor suavizado, y no tendrían
una consideración tan confiable como con los periodos bajos.
Se aplica la fórmula de media móvil y se obtiene los diferentes comportamientos de la variable
Caudal, de forma suavizada en cada uno de sus meses. Luego se procede hacer el respectivo
análisis de cada uno de las gráficas, teniendo en cuenta las cuatro componentes principales de
la teoría de series de tiempo, el cual son: su variación aleatoria, los efectos estacionales,
efectos cíclicos y la tendencia a largo plazo.
Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:
Expresión N.5 Promedio Móvil4
Se procede a sacar el suavizado con la anterior ecuación, con los datos de la variable caudal
para cada uno de los meses, durante el tiempo estudiado desde el año 1955 hasta el 2015.
Para el mes de enero desde 1955 hasta 2015:
Periodo M = 3 es el valor óptimo que se definió5; valores reales y suavizados con media móvil
del mes de enero, presente en la siguiente página.
4 Cabe resaltar que esta expresión matemática es igual a la expresión N.3 que es la de tendencia línea móvil, la diferencia es que es más explícita la N.4 que la N.3 5 Explicación del periodo n=3 páginas 24 y 25, primer párrafo del punto 6.1.
27
Tabla N.2 valores Reales y suavizados de media móvil, del mes de en enero
28
Cabe resaltar que los últimos dos valores que están en blanco en los datos suavizados de las
celdas, no tienen valor, porque al ser media móvil, siempre toma el número de datos
dependiendo del periodo y en este caso al ser 3, faltaría un valor para que se complete la
media, es por esta razón que si se toman valores muy grandes, en el caso de un M=5 esta no
resultaría una consideración no tan seria como la del M=3, ya que serían más valores sin
suavizar, es decir datos ausentes sin valor suavizado.
Para el primer valor suavizado seria:
= 32,34
= 28,96
Es así como se obtienen cada uno de los resultados de los caudales de forma suavizada en el
mes de enero con la media móvil, los demás datos los encuentra en la tabla N.2 p.27.
Al realizar el análisis de las anteriores graficas ya mencionadas, se crea una base de datos de
ruido blanco, el cual teóricamente se conoce como media cero y con varianza constante. Lo
anterior es con el fin de realizar otro procedimiento diferente a la media móvil, implementando
un software llamado labview, donde por medio de este, se realizara la aplicación de la
transformada de Fourier expuesta en el punto 4.1.3. Es importante resaltar en esta parte sobre
las señales periódicas complejas, el cual es el resultado de la aplicación de Fourier, siendo
estas la adición de oscilaciones con frecuencias, con características fundamentales de su
resultado espectral, donde contiene la información sobre las amplitudes y sus respectivas fases
armónicas.
Matemáticamente decimos que al aplicar una transformada de Fourier hace que un
comportamiento de la variable caudal aperiódica se vuelva periódica y así mismo logre
comprimir sus variaciones armónicas, dejando sus periodos constantes, en este caso el
software, hace el siguiente procedimiento:
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Tenemos un comportamiento de la variable caudal, en un lapso de tiempo el cual la definiremos
como, señal S (t):
Grafica N.1 Señal s (t)
Tomando un lapso de tiempo, se analiza primero esta señal con la forma de una serie de
Fourier, donde implementando la formula tenemos:
∑
Expresión 6. Señal s (t).
Donde es igual a la frecuencia representada en 2π/T, mientras que es la multiplicación de
una integral con una constante:
∫
Expresión 7. Constante aperiódico
Al sustituir la expresión 7 en la 6, teniendo en cuenta que en esta parte de la sustitución, el
periodo es igual a 2π/ , resaltándose que está fuera del intervalo cero, quiere decir que la
30
periodo en la expresión 6 determina una función periódica que se obtuvo por repetición s (t) a
derecha e izquierda con periodo T. Al resolverse los movimientos armónicos que se componen
en esta serie, su comportamiento será muy grande, por lo anterior cuando el periodo tienda al
infinito, entonces la frecuencia tendera a cero, se recuerda que es solo cuando T, tienda al
infinito de lo contrario no. Al tener claro ya lo anterior y ejecutando la expresiones matemáticas
ya mencionadas, se logra obtener el resultado de la densidad espectral de la frecuencia.
(GONOROVSKI, 1972)
∫
Expresión 8. Densidad Espectral
Ya por último teniendo la densidad espectral se realiza la hibridación o adición, en el espectro
con un ruido blanco, resultado de la transformada de Fourier, el cual teóricamente al adicionar
lo ( , su resultado debe ser un comportamiento constante, el cual su potencia es
la misma en cada uno de los periodos del comportamiento de la misma, así como se ilustra en
la siguiente gráfica:
Grafica N.2 Espectro de potencia del Ruido Blanco6
La expresión matemática que explica este comportamiento, se expresa por un comportamiento
de auto correlación, es decir que se necesitan de los valores pasados para generar una
6 Elaboración propia.
31
estructura del comportamiento de la variable en su ecuación, debe sustituir la media igual a
cero, pero con una varianza constante, lo cual sería:
∫
.
Expresión 9. Transformaciones de Fourier con ruido blanco
Es de vital importancia que la potencia para que pueda ejecutarse la
respectiva expresión y de como resultado el comportamiento de la variable como constante.
(GONOROVSKI, 1972)
Con base a lo anterior estos procesos se realizaron automáticamente en el software Labview
teniendo como tal, la representación gráfica del comportamiento, tanto de la variable normal,
con su respectivo espectro y su espectro con ruido blanco, que se presentaran en el siguiente
punto.
6.2 Presentación de resultados:
Las siguientes graficas muestran el comportamiento normal de las variables, todas inmersas en
una sola gráfica, donde posteriormente se mostrara una por una, con su respectivo proceso de
suavizado por el sistema de Media Móvil.
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Grafica N.3 comportamiento de los caudales mínimos mensuales
33
Siendo así se presentan los valores obtenidos por la media móvil en cada uno de los caudales
mínimos mensuales, suministrados por el IDEAM:
Tabla N. 3 Suavizado de los caudales mínimos mensuales.
Con base a la tabla anterior estos son cada uno de las representaciones graficas del
comportamiento de los caudales mínimos por mes durante los años de 1955 hasta el 2015:
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Grafica N.4 Caudales desde enero hasta abril con su respectivo suavizado
35
Grafica N.5 Caudales desde Mayo hasta Agosto con su respectivo suavizado
36
Grafica N.6 Caudales desde Septiembre hasta Diciembre con su respectivo suavizado.
37
Los siguientes valores son un resultado aleatorio elaborado en Excel, siendo estos los datos del
ruido blanco, el cual se identifica como media cero y de varianza constante, donde en este caso
tomamos como valor 1, posteriormente se incorpora en el software y realiza la transformación
con el espectro de Fourier:
Tabla 4. Datos Ruido blanco
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Al tener el suavizado de los caudales mínimos mensuales de las gráficas anteriores, se procede
a implementar el software labview, para que muestre gráficamente el espectro de los caudales
de cada mes y también el comportamiento que tendrá con el ruido blanco:
Grafica N. 7 Caudal del mes de Enero con su espectro y espectro con ruido blanco..
Grafica N. 8 Caudal del mes de Febrero con su espectro y espectro con ruido blanco.
39
Grafica N. 9 Caudal del mes de Marzo con su espectro y espectro con ruido blanco.
Grafica N. 10 Caudal del mes de Abril con su espectro y espectro con ruido blanco.
40
Grafica N. 11 Caudal del mes de Mayo con su espectro y espectro con ruido blanco.
Grafica N. 12 Caudal del mes de Junio con su espectro y espectro con ruido blanco.
41
Grafica N. 13 Caudal del mes de Julio con su espectro y espectro con ruido blanco.
Grafica N. 14 Caudal del mes de Agosto con su espectro y espectro con ruido blanco.
42
Grafica N. 15 Caudal del mes de Septiembre con su espectro y espectro con ruido blanco.
Grafica N. 16 Caudal del mes de Octubre con su espectro y espectro con ruido blanco.
43
Grafica N. 17 Caudal del mes de Noviembre con su espectro y espectro con ruido blanco.
Grafica N. 18 Caudal del mes de Diciembre con su espectro y espectro con ruido blanco.
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6.3) Análisis del desarrollo del proyecto: Los resultados de la media móvil, expresan que el comportamiento de ciertos meses durante las décadas de 1955 hasta 2015, han tenido un comportamiento estacional comparados con otros meses, en los años desde 1968 a 1980, evidenciando que en estos lapsos de tiempo, hubo fluctuaciones grandes de crecientes y de reducción del caudal, por lo anterior en el resto de los años de estos meses, sigue una tendencia cíclica del aumento del caudal, y otros como en el caso de febrero que tiende a estabilizarse, lo cual la tendencia anterior se visualiza más en los últimos años. Los principales meses que se ven inmersos en la componente estacional de este lapso de tiempo son: Enero, Febrero, Mayo y Diciembre, sin embargo el más importante de resaltar es el del mes de marzo el cual evidencia que cada 25 años el caudal aumenta al mismo nivel, donde no cabe duda que su comportamiento, se verá manifestó en cada lapso de dicho tiempo, similar a la tendencia de junio donde su trabajo desde el año 1963 hasta 1975, se repite nuevamente en 1975 hasta 1985. Respecto a los otros meses encontramos que su tendencia a largo plazo es totalmente cíclica, pero cabe resaltar que esta tendencia cíclica, para algunos aumentan a través del tiempo y para otros disminuye su caudal de forma suave, donde para el primer grupo de meses encontramos a: Noviembre, Agosto, Abril, y el único mes que tiende a disminuir de forma cíclica es Julio. Por ultimo tenemos a los meses de septiembre y octubre donde juntos viven en comportamiento similar de aumento en ese lapso de tiempo, de forma estacional en los años de 1980 hasta 1990. Con base a los resultados obtenidos del software labview, el espectro obtenido por cada uno de los meses, implementando la transformada de Fourier, nos muestra cambios muy mínimos en su comportamiento de unos con respecto a otros, los únicos que se vieron distintos uno de otros y que son importantes de resaltar fueron los espectros de marzo y abril, los cuales el comportamiento de sus espectros fluctúan de forma drástica, en comparación con los demás espectros, siendo así que se evidencia que el cambio de su comportamiento al ser estacional, nos induce a que varía su densidad espectral de potencia, lo contrario a los meses por ejemplo de Diciembre y Noviembre, donde su espectro tiende hacer llano, lo cual se evidencia en su comportamiento normal que tiende a llevar un comportamiento más cíclico, quiere decir que en este mes, se lleva a una cantidad de energía constante, donde no varía, ni cambia de forma drástica . Por ultimo al verificar el resultado del comportamiento de la adicción del ruido blanco con el espectro obtenido por la serie de Fourier, su tendencia no fue acorde a lo teórico, es decir gráficamente no se representó de forma constante el espectro con Ruido, siendo así que tras de un análisis minucioso, se logró estabilizar por medio de la alteración de la amplitud y la frecuencia, alargando la tendencia del espectro con Ruido, para obtener su Energía total constante.
45
6.4) Cronograma:
Tabla N. 5 Cronograma de actividades.
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7. CONCLUSIONES:
El análisis de las cuatro componentes de las series de tiempo, implementadas en el
estudio del comportamiento de los caudales mínimos mensuales, logra que se prevé y
se visualice el comportamiento de la misma hacia un futuro, ya que pueden presentarse
catástrofes o inconvenientes con base a la corriente Fonce, Tanto del incremento del
caudal como la reducción de la misma, afecta directa o indirectamente a los pobladores,
es por eso que allí es donde se interviene para dar una solución y también para prevenir
los diferentes contestos que vivan las personas residentes de San Gil.
El estudio de una variable aleatoria se puede relacionar con el comportamiento de una
señal, siendo así que tanto el comportamiento de la variable y la señal, contienen cierta
cantidad de energía para que produzca o realice un trabajo, gracias al estudio, del
comportamiento de las ondas de una señal, podríamos determinar la cantidad de
energía que pueda tener una variable aleatoria, relacionándola con la parte cuantitativa
con lo cualitativo, donde en su parte cuantitativa analizaremos el espectro o densidad
espectral de la señal, que va relacionada con su amplitud el cual se mide en voltios y su
frecuencia que se mide en (Hz), mirando al final su relación de que tanta energía pueda
tener, para así mismo aprovecharla y usarla para beneficio de la comunidad de San Gil.
Gracias a los avances tecnológicos se puede resaltar que el software labview, es una
gran herramienta para visualizar el comportamiento de una señal, pero es de vital
importancia relacionar el comportamiento de una acción real con el comportamiento de
las señales, para que al final, se pueda interpretar de la mejor manera la información.
La obtención de la energía de una variable aleatoria, se podría optimizar y manipular
directamente con la reducción de su espectro interno, cuando es sometido a una acción
de ruido blanco, ya que el ruido blanco hace que sea constante su potencia, es allí
cuando se interviene, para aprovechar la potencia total que tiene cada variable aleatoria.
Para lograr obtener la información de una señal es de vital importancia crear un artefacto
radiotécnico receptor de señales, que logre modificar o alterar la señal, por medio de la
disminución o aumento de la amplitud y frecuencia, lo cual si logra esta acción bajo el
espectro de un ruido blanco, podríamos tener la información real de la señal, en este
caso del comportamiento de los caudales mínimos mensuales del rio Fonce.
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8. BIBLIOGRAFIA
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