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Diseño de experimentos – p. 1/23

Ideas básicas del diseño experimentalCapítulo 4 de Analysis of Messy Data. Milliken y Johnson (1992)


Ideas básicas del diseño experimental

Antes de llevar a cabo un experimento, se deben contestaralgunas preguntas:

1. Cuántos tratamientos se van a estudiar?

2. Cuántas veces se va a observar cada tratamiento?

3. Cuáles son las unidades experimentales?

4. Cómo aplica el experimentador los tratamientos a las u.e.disponibles y luego observa las respuestas?

5. Se puede analizar el diseño resultante y/o se pueden hacerlas comparaciones deseadas?



Considere un experimento que involucra t tratamientos y cadatratamiento se aplica a r u.e. diferentes.

Un modelo matemático que se puede usar para describir yij ,la respuesta observada de la j-ésima u.e. del i-ésimotratamiento es:

yij = µi + ǫij

{

i = 1, 2, . . . , t (1)

j = 1, 2, . . . , r

donde µi es la media real, pero desconocida, de lasrespuestas del i-ésimo tratamiento y ǫij es una variablealeatoria que represental el ruido resultante de la variacióntotal y otras posibles fuentes de error aleatorio y no aleatorio.



Para llevar a cabo este experimento, el investigador debeseleccionar rt u.e. y asignar aleatoriamente cada tratamientoa r de las u.e.

El uso de la aleatorización es muy importante ya que previenela introducción de sesgos sistemáticos en el experimento. Si elinvestigador no usa la aleatorización, entonces no puede decirsi una diferencia observada se debe a diferencias entre lostratamientos o se debe al método sistemático usado paraasignar los tratamientos a las u.e.

Ya que el objetivo de un experimento es comparar la respuestaobservada en las u.e. de los tratamientos, entonces, mientrasmás parecidas sean las u.e. mejores serán las comparacionesentre los tratamientos.



En muchos experimentos es imposible seleccionar rt u.e.idénticas.

El que las u.e. no sean idénticas contribuye al error ǫij .Entonces, se mejoran los experimentos si el investigadorpuede agrupar las u.e. en grupos que sean muy parecidos,u.e. muy parecidas se les llama homogéneas.

Cuando este es el caso, los tratamientos pueden compararseen las u.e. similares donde la variación debida al grupo puedetomarse en cuenta en el análisis.

Estos grupos de u.e. homogéneas se llaman bloques.



Sean r bloques con t u.e. cada uno, cada tratamientoapareciendo una sola vez en cada bloque.Un modelo que representa la respuesta observada del i-ésimotratamiento en el j-ésimo bloque es:

yij = µi + bj + ǫ∗ij

{

i = 1, 2, . . . , t

j = 1, 2, . . . , r

Observe que el ǫij del modelo (1) se reemplazó por bj + ǫ∗ij ,esto es, la variación entre grupos o bloques de u.e. seidentificó y se separó de ǫij .Se pueden comparar dos tratamientos, libres de efectos debloque, tomando diferencias dentro de bloque de lasrespuestas de los dos tratamientos como:

yij − yi′j = µi − µi′ + ǫ∗ij − ǫ∗i′j

el cual no depende del efecto del bloque bj .



Un objetivo del diseño experimental es seleccionar y agruparel material experimental de tal manera que se reduzca el errorexperimental. Entonces, necesitamos que las u.e. en lascuales se van a comparar los tratamientos, sean lo másparecidas posible para que puedan detectarse pequeñasdiferencias significativas entre dos tratamientos.

Si hay t tratamientos y t u.e. se puede llevar a cabo unexperimento y se puede estimar la media de cada tratamiento.Pero la varianza del error no se puede obtener a menos quealguno o todos los tratamientos sean replicados (tenganrepeticiones).

Una réplica de un tratamiento es una observaciónindependiente del tratamiento y, por lo tanto, dos réplicas(repeticiones) de un tratamiento deben involucrar dos u.e.



Frecuentemente se utliza dividir una muestra para generar dosobservaciones a las que se les llama réplicas cuando enrealidad son submuestras o mediciones repetidas.

Por ejemplo, dos mediciones independientes de la estatura deuna persona no dan una medida de la variación de estaturasde la población de personas, sino que dan una medida de lavariación de la medición de estatura en esa persona.

Otro ejemplo, considere un experimento para comparar lacapacidad de tres conservadores para inhibir el crecimiento dehongos en cierto tipo de pastel.



Se aplica un conservador a cada pastel. Después de 9 días dealmacenado se mide el número de esporas de hongo por cm3.

Como el investigador quiere 10 réplicas para el análisis, dividecada pastel en 10 partes y obtiene la medición de esporas dehongo en cada parte.

Sin embargo, esas 10 mediciones no resultan de 10aplicaciones independientes del conservador.

La medida de variación de sus submuestras es un indicador dela variación dentro del pastel y no de la variación u.e. a u.e.

Para tener 10 réplicas, el investigador necesita hacer 10pasteles con cada conservador, cada uno de ellos mezcladoindependientemente del otro.



Es muy importante distinguir entre una submuestra y unaréplica, ya que la varianza del error estimada entre lassubmuestras es en general considerablemente menor que lavarianza del error estimada entre réplicas o u.e.

Por lo tanto, la estadística F de las pruebas construída usandola varianza del error calculada de las submuestras será muchomayor de lo que debe ser, llevando al experimentador aencontrar más diferencias significativas de lo que debería.


Estructuras de un diseño experimental

1. Estructura de tratamientos. Es el conjunto detratamientos, combinación de los niveles de los factores bajoestudio, o poblaciones que son seleccionadas por elinvestigador para comparar.

La estructura de tratamientos puede ser un conjunto de t

tratamientos, llamada estructura de tratamientos unifactorial(de una vía, one-way), o un conjunto de combinaciones deniveles como un arreglo factorial de 2 factores (vías) o demayor orden.


Estructuras de un diseño experimental

2. Estructura de diseño. Es la forma en que se agrupan lasu.e. en conjuntos homogéneos (bloques).

La estructura de diseño de un experimento involucra elagrupamiento de las u.e. de tal manera que las condicionesbajo las cuales se observan los tratamientos sean lo másuniformes posible.

Si todas las u.e. son homogéneas, entonces solo hay un grupoo bloque de observaciones y las u.e. pueden ser asignadas alos tratamientos completamente al azar. Esta estructura dediseño se llama diseño completamente al azar .

Si se requiere más de un grupo de u.e. para que dentro decada grupo las u.e. sean más homogéneas entre sí que entregrupos, entonces la estructura de diseño es algún tipo dediseño de bloques .


Diseño experimental

Una vez que se seleccionaron las estructura de tratamientos yde diseño, el diseño experimental se especifica describiendoexactamente el método de asignación aleatoria de lostratamientos a la u.e. en la estructura de diseño.

El diseño experimental define el modelo apropiado que debeusarse para un análisis correcto. Al construir el modelo, sehacen dos suposiciones básicas:

1. Se supone que los componentes de la estructura de diseñoson efectos aleatorios, esto es, los bloques usados son unamuestra aleatoria de la población de posibles bloques deu.e.

2. Se supone que no hay interacción entre los componentesde la estructura de diseño y los componentes de laestructura de tratamientos. Es decir, se supone que larelación existente entre los tratamientos será consistentede bloque a bloque, o dicho de otra manera, los bloques noinfluyen en la relación entre los tratamientos.


Tipos de estructuras de diseño

La estructura de diseño se selecciona usando toda lainformación disponible de las u.e. y se escogeindependientemente de la estructura de tratamientos.

Tipos de estructura de diseño.

1. Diseño completamente al azar. Se supone que todas lasu.e. son homogéneas y los tratamientos se asignan a lasu.e. completamente al azar.

2. Diseño de bloques al azar (completos). Si hay t

tratamientos, este diseño consiste de b bloques con t u.e.cada uno. Cada tratamiento se asigna aleatoriamente a lasu.e. en cada bloque. (Restricción en la aleatorización).

Si cada bloque tiene ct u.e. con c entero, entonces cadatratamiento se puede asignar a c u.e. en cada bloque(bloques al azar generalizados).


Tipos de estructuras de diseño

3. Diseño de cuadro latino. Consiste de un diseño debloques en dos direcciones. Si se tienen t tratamientos, t2

u.e. se arreglan en un cuadrado t × t donde los renglonesse llaman bloques renglón y las columnas bloquescolumna. Los tratamientos se asignan aleatoriamente a lasu.e. de tal manera que cada tratamiento ocurra una solavez en cada bloque renglón y una sola vez en cada bloquecolumna.

4. Diseño de bloques incompletos. Cuando el número detratamientos es mayor que el número de u.e. en cadabloque.

5. Combinaciones y generalizaciones. El tamaño de losbloques varía de bloque a bloque, o algunos bloques estánincompletos y otros completos.


Tipos de estructuras de tratamientos

1. Estructura de una vía (oneway) . Consiste de un conjuntode t tratamientos o poblaciones que corresponden a los t

niveles del factor bajo estudio.

2. Estructura de dos vías (twoway) . Consiste de unconjunto de tratamientos construidos al combinar losniveles de dos factores. Si el primer factor tiene s niveles yel segundo r niveles, resultan s × r tratamientos.

Ejemplo: Diseño factorial 3 × 4, 12 tratamientos.

B1 B2 B3 B4

A1 A1B1 A1B2 A1B3 A1B4




Tipos de estructuras de tratamientos

3. Estructura de arreglo factorial . Consiste de un conjuntode tratamientos construidos al combinar los niveles de 2 omás factores.

4. Estructura de arreglo factorial fraccional . Consiste desolo una parte o fracción de todas las combinacionesposibles de niveles (tratamientos) de un arreglo factorial.Existen diferentes técnicas para seleccionar la fracciónapropiada.

5. Arreglos factoriales con uno o más controles . Porejemplo un factorial 3 × 2 + 1 significa que se tienen dosfactores uno con 3 niveles, el otro con 2 niveles y untratamiento testigo o control.

Todas las estructuras descritas se pueden considerar comouna estructura de una vía (oneway) para propósitos deanálisis.


Ejemplo

Un nutriólogo quiere estudiar el efecto de 5 dietas para perderpeso. La estructura de tratamientos es de un solo factor con 5niveles.

■ Si hay 20 personas homogéneas, se puede usar un diseñocompletamente al azar donde cada dieta se asignacompletamente al azar a 4 personas. El modelo:

yij = µi + ǫij

ó

yij = µ + τi + ǫij i = 1, . . . , 5 j = 1, . . . , 4

F.V. g.l.

Dieta 4Error 15


Ejemplo

■ Si hay 10 hombres y 10 mujeres en lugar de las 20 personashomogéneas, el género de la persona puede usarse comobloque, entonces se usaría un diseño de bloques al azargeneralizado donde cada dieta se asigna aleatoriamente ados hombres y dos mujeres.

yijk = µi + bj + ǫijk

ó

yijk = µ + τi + bj + ǫijk i = 1, . . . , 5 j = 1, . . . , 4

F.V. g.l.

Bloque 1Dieta 4Error 14


Ejemplo

■ En algunos casos, el sexo de la persona no es una buenaselección como factor de bloqueo ya que puede ser un tipode tratamiento (sobre todo si consideramos que puedehaber interacción de los dos factores). Si es así, laestructura de tratamientos es un factorial de 2 vías (dieta ysexo) con 10 tratamientos, resultado de combinar dosniveles de sexo con 5 niveles de dieta. El diseño escompletamente al azar con 2 repeticiones.

yijk = µij + ǫijk

ó

yijk = µ + αi + βj + γij + ǫijk i = 1, . . . , 5 j = 1, 2 k = 1, 2

µ media generalαi efecto de dietaβj efecto de sexoγij interacción dieta sexo


Ejemplo

La Tabla de ANOVA para cada uno de los modelos es:

F.V. g.l.

Modelo µij

Sexo x Dieta 9Error 10

Modelo µ + αi + βj + γij

Sexo 1Dieta 4

Sexo x Dieta 4Error 10


Ejemplo

■ Suponga ahora que las dietas tienen una estructuraconsistente de una dieta control y cuatro dietas resultado dela combinación de dos niveles de proteína y dos niveles decarbohidratos.

La estructura de tratamientos de Dieta es un arreglo factorial2 × 2 con un control, que al cruzarse con Sexo genera unaestructura de tratamientos de tres vías con dos controles(uno para hombres y otro para mujeres). El diseño escompletamente al azar.

El modelo es:

yijk = µ + αi + βj + γij + ǫijk i = 1, . . . , 5 j = 1, 2 k = 1, 2


Ejemplo

F.V. g.l.

Sexo 1Dieta 4

Control vs. 22 1Proteína 1

Carbohidrato 1Proteína x carbohidrato 1

Sexo x Dieta 4Sexo x Control vs. 22 1

Sexo x Proteína 1Sexo x Carbohidrato 1

Sexo x Carbohidrato x Proteína 1Error 10

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