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Dosier módulo IV

Módulo IV

Diciembre de 2014

INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................................................4

Unidad I. Actividades para introducir el álgebra y las primeras operaciones ............................. 6

1.1. Introducción histórica ...............................................................................................................61.2. Niveles de algebrización ............................................................................................................81.3. Estadios en la comprensión de las variables ...........................................................................121.4. ¿Cómo se motiva el aparecimiento del proceso del uso de las letras? ...................................131.5. Las letras adquieren significado en álgebra ............................................................................221.6. Suma y resta de monomios y polinomios con material manipulable (algeblocks o álgebra tiles)..

301.7. Lenguaje verbal y lenguaje algebraico ....................................................................................36

Unidad II. Potencias algebraicas ............................................................................................................43

2.1. Multiplicación de potencias algebraicas que tienen la misma base ........................................442.2. Simplificación de potencias algebraicas que tienen la misma base ........................................452.3. Multiplicación algebraica ........................................................................................................472.4. Productos especiales o productos notables ............................................................................522.5. Descomposición factorial ........................................................................................................552.6. División algebraica ..................................................................................................................61

Unidad III. Modelos de ecuaciones con enteros ................................................................................65

3.1. Modelo de ecuaciones con variable a un lado ........................................................................653.2. Modelo de ecuaciones con variable a ambos lados ................................................................663.3. Proceso de inversión o reversibilidad del pensamiento en resolución de ecuaciones ............673.4. Ecuaciones sencillas de segundo grado resueltas con material manipulable ..........................683.5. Método de completar cuadrados con algeblocks ...................................................................75

REFERENCIAS DOCUMENTALES ...............................................................................................................83

En los Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) se propone el Álgebra como uno de los cinco bloques de contenido, junto con Números y Operaciones, Geometría, Medida, Análisis de datos y Probabilidad, con la particularidad de que este bloque se debe desarrollar, no sólo en los niveles de enseñanza secundaria, sino incluso desde Preescolar.

Se debe advertir que no se trata de impartir un "curso de álgebra" a los alumnos de educación infantil y básica, sino de desarrollar el pensamiento algebraico a lo largo del período que se inicia en la educación infantil hasta el bachillerato. En el “álgebra escolar” se incluyen no solo las funciones y la capacidad de analizar situaciones con la ayuda de símbolos (planteamiento de ecuaciones en la resolución de problemas) sino también en el estudio de los patrones numéricos, geométricos, la determinación de reglas generales y el reconocimiento de estructuras isomorfas.

El razonamiento algebraico implica representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades en cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que se desarrolla este razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico, especialmente las ecuaciones, las letras como variables y las funciones. Este tipo de razonamiento está en el corazón de las matemáticas concebido como la ciencia de los patrones y el orden, ya que los procesos de formalización y generalización son procesos centrales de las matemáticas. En consecuencia, los maestros en formación tienen que construir esta visión del papel central de las ideas algebraicas en la actividad matemática, y sobre cómo desarrollar el razonamiento algebraico a lo largo de los distintos niveles.1

Por el rol a desarrollar, los docentes debemos reconocer que:

1. Los patrones o regularidades existen y aparecen de manera natural en las matemáticas. Pueden ser reconocidos, ampliados o generalizados. El mismo patrón se puede encontrar en muchas formas diferentes. Los patrones se encuentran en situaciones físicas, geométricas y numéricas.

2. El uso de símbolos permite expresar de manera eficaz las generalizaciones de patrones y relaciones. Entre los símbolos destacan los que representan variables y los que permiten construir ecuaciones e inecuaciones.

3. Las variables son símbolos que se escriben o colocan en lugar de los números o de un cierto rango de números. Las variables tienen significados diferentes dependiendo de si se usan como representaciones de cantidades que varían, como representaciones de valores específicos desconocidos, o formando parte de una fórmula.

1 JUAN D. GODINO, VICENÇ FONT (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada. Disponible en: http://goo . gl/AxKpTB

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4. Las funciones son relaciones o reglas que asocian los elementos de un conjunto con los de otro, de manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo uno del segundo conjunto. Se pueden expresar en contextos reales mediante gráficas, fórmulas, tablas o enunciados.2

Teniendo de referencia lo anterior, la tarea el docente es hacer que los niños también los desarrollen las habilidades asociadas a estas características de manera óptima.

El módulo consta de tres unidades de álgebra elemental:

La primera unidad, Actividades para introducir el álgebra y las primeras operaciones, tiene la finalidad de implementar y mejorar modelos matemáticos para la construcción de las variables. También se busca favorecer la transición de la aritmética al álgebra y desarrollar una visión del álgebra escolar más amplia y fundamentada que la visión tradicional de aritmética generalizada en los ámbitos escolares. La segunda unidad, Potencias algebraicas, trata sobre la multiplicación y factorización de expresiones algebraicas, dando prioridad a la visualización de figuras rectangulares que permitan desarrollar los algoritmos algebraicos de las operaciones y superar, así, a las tradicionales con los cuales se trabaja en el sistema educativo. La tercera unidad, Modelos de ecuaciones con enteros, se dedica a desarrollar los procesos de simbolización y modelización matemática, a través del planteamiento y resolución de problemas asociados a situaciones de la vida cotidiana o de complejidad para tener diferentes formas de soluciones, usando las herramientas de las ecuaciones de primero y segundo grado en una variable.

En cada unidad aparece implícito el enfoque de resolución de problemas y situaciones didácticas que permitan la construcción y adquisición de nociones elementales del álgebra a través del uso de recursos manipulables.

El módulo está formado de aspectos teóricos que permiten implementar situaciones de acción para activar conocimientos y formas de elaborar secuencias didácticas a implementar con niños del sistema educativo, modelos de resolución de problemas y formulación de problemas a resolver.

Es de hacer referencia que el módulo además de permitir el trabajo activo de los docentes especialistas, ayudará a tener modelos que sirven de apoyo para realizar sesiones con los docentes de básica que no han impartido un curso de álgebra y que estos tengan una perspectiva diferente y conocimientos básicos para implementarlo.

2 GODINO, JUAN D. y otros (2014): Niveles de algebrización de la actividad matemática escolar. Implicaciones para la formación de maestros. Enseñanza de las Ciencias, 32.1 pp. 199-219. Disponible en: h t tp:/ / g oo. gl/QHm z 9h . Para leer otros artículos de la revista consulte la siguiente dirección: h t tp:/ / en sc i en ci as .u ab. e s/ind e x (Ver en Referencias bibliográficas).

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Actividades para introducir el álgebra y las

primeras operaciones

1.1.Introducción histórica

El álgebra clásica nace como generalización de la Aritmética para la resolución de ecuaciones y el estudio de las operaciones y sus propiedades.

Se distinguen tres grandes etapas en la aparición de los métodos algebraicos: el álgebra retorica (que abarca la etapa anterior a Diofanto de Alejandría, siglo III), el álgebra sincopada (desde Diofanto hasta el siglo XVI, con Vieta) y el álgebra simbólica (desde Vieta hasta nuestros días). Las diferencias entre estas etapas van desde los métodos utilizados hasta la forma de expresión. En el álgebra retórica el lenguaje utilizado para plantear y resolver problemas ese lenguaje natural y, a veces, el geométrico. Las cuestiones se plantean siempre en situaciones aritméticas o geométricas concretas, sin ninguna pretensión de generalización ni formalización. En este periodo ya se resolvía ecuaciones lineales y cuadráticas por métodos exclusivamente aritméticos, aún muy distantes del pensamiento algebraico posterior. En el álgebra sincopada se distinguen varios momentos, uno anterior en el que se introducen algunas abreviaturas y nombres para ciertos conceptos matemáticos y otro en el que los símbolos algebraicos dan un salto cualitativo al pasar de jugar el papel sustitutivo de las abreviaturas o signos literales, utilizados hasta entonces, a ser un simbolismo representativo cargado de sentido. Se puede considerar este el comienzo histórico del lenguaje algebraico, pues hasta entonces los símbolos solo cumplían una función sustitutiva de números u objetos geométricos, pero carecían de toda la articulación semántica y sintáctica propia de un lenguaje. El álgebra simbólica comienza con Vieta (1540 1603). Su contribución más importante se realiza en el terreno de la simbolización algebraica, con la introducción de los signos literales para los coeficientes. Es la primera distinción manifestada en la historia del álgebra entre los conceptos de parámetro, representado por vocales (a, e...) e incógnita, representada por consonantes (m, p...). Vieta puso las bases para que, después de ´el, Descartes (1596-1650) y Newton (1643-1727) aplicaran el Álgebra a la Geometría y viceversa, así los matemáticos comenzaron a usar las nuevas entidades simbólicas y a operar con ellas como si fuesen cantidades reales. A partir del siglo XVIII se puede empezar a hablar del inicio de un álgebra moderna completamente distinta del álgebra clásica de la resolución de ecuaciones. El máximo exponente del álgebra moderna es Galois (1811-1832). Esta álgebra llega a tomar tanta distancia de los casos particulares que se centra en el estudio de las estructuras de sistemas matemáticos abstractos, dándose el paso del álgebra como método al álgebra como objeto.

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El tipo de experiencias que tienen los niños con la aritmética es importante para la comprensión progresiva del álgebra, ya que las primeras experiencias con el razonamiento algebraico se corresponden con la aritmética generalizada. El concepto matemático que hace posible esa generalización es el de variable. El uso de variables, tales como x e y en el enunciado y = 5x + 12, no es más que una generalización de una relación aritmética. Expresa la relación numérica general que un número es 5 veces otro número más 12. El uso de variables es un indicador clave de que la actividad matemática pasa de ser aritmética a algebraica. La enseñanza de la aritmética queda incompleta y deficiente si no se orienta hacia la generalización.

Godino y Font (2003) constatan la existencia en la escuela de una concepción tradicional y limitada del álgebra escolar denominada «aritmética generalizada». Esta concepción supone que el álgebra es un campo de las matemáticas en el que se manipulan letras que representan números no especificados.

Así, los objetos que se ponen en juego en la aritmética y la «aritmética generalizada» son los mismos: números, operaciones sobre números y relaciones entre los números; las diferencias entre ambas partes de las matemáticas están en la generalidad de las afirmaciones:

La aritmética trata con números específicos expresados mediante los numerales habituales: 20;−7; 14/ 5; 4.75; 3. O mediante expresiones numéricas en las que los números se combinan con los

símbolos de las operaciones aritméticas: 45 × 12; (73 + 5.4 )⁄3; (13 − 7.4)3. El álgebra trata con números no especificados (incógnitas, variables) representados por letras,

como x, y, t, v, o bien expresiones con variables: 3 � − 5; �2 − � + 5; ( � + 5)( � − 7); 3�� + 4� + � + � + 1.

Este «tipo de álgebra» está presente desde los primeros niveles educativos. Siempre que se necesite expresar una generalización, el simbolismo y las operaciones algebraicas resultan de gran utilidad. Es necesario, sin embargo, que los maestros tengan una visión del álgebra escolar más amplia que la que resulta de las generalizaciones aritméticas y el manejo de expresiones literales. Algunas características del álgebra que son fáciles de apreciar son:

El uso de símbolos, habitualmente letras, que designan elementos variables o genéricos de conjuntos de números, u otras clases de objetos matemáticos.

La expresión de relaciones entre objetos mediante ecuaciones, fórmulas, funciones, y la aplicación de unas reglas sintácticas de transformación de las expresiones.

Pero estas características del álgebra son solo su parte superficial. La parte esencial es la actividad que se hace con estos instrumentos. Las variables, ecuaciones, funciones, y las operaciones que se pueden realizar con estos medios son instrumentos de modelización matemática de problemas procedentes de la propia matemática (aritméticos, geométricos), o problemas aplicados de toda índole (de la vida cotidiana, financieros, físicos, etcétera).

Cuando estos problemas se expresan en el lenguaje algebraico, producimos un nuevo sistema en el que se puede explorar la estructura del problema modelizado y obtener su solución. La modelización algebraica de los problemas proporciona nuevas capacidades para analizar las soluciones, generalizarlas y justificar su alcance. Permite además reducir los tipos de problemas y unificar las técnicas de solución.

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Esta concepción ampliada del álgebra como instrumento de modelización matemática es la que se puede y debe ir construyendo progresivamente desde los primeros niveles educativos, puesto que la modelización algebraica es una cuestión de menor o mayor grado (Bolea, Bosch y Gascón, 2001).

Aunque el cálculo literal, basado en las propiedades estructurales de los conjuntos numéricos, se suele iniciar en secundaria, los procesos de simbolización, de expresión de relaciones y de identificación de patrones son propios de los primeros niveles de algebrización y, puesto que se puede iniciar su estudio desde la educación primaria, se debería hacerlo (Cai y Knuth, 2011).

1.2.Niveles de algebrización

En la realización de las actividades matemáticas se manifiesta el nivel de desarrollo algebraico que se posee. En Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros, Godino y Font proponen considerar dos niveles de algebrización primarios (que llaman protoalgebraicos al considerarlos como primarios, primitivos o incipientes). Estos niveles están enmarcados entre un nivel 0 de algebrización (ausencia de razonamiento algebraico) y un tercer nivel en el que la actividad matemática se puede considerar como propiamente algebraica.

El nivel se asigna no a la tarea en sí misma, sino a la actividad matemática que se realiza, por lo que dependiendo de la manera en la que se resuelve una tarea, la actividad matemática puede ser clasificada en un nivel u otro. Además, el cambio en alguna de las variables de la tarea puede dar lugar a nuevas prácticas matemáticas con progresivo nivel de algebrización.

Los criterios básicos para definir los niveles de algebrización son:

1. Generalización. Generación o inferencia de intensivos. Un objeto es extensivo si interviene en una práctica matemática como un ejemplar particular; mientras, se dice que es intensivo si interviene como un tipo, clase o generalidad. Estos atributos de los objetos matemáticos, emergentes de los procesos duales de particularización y generalización, son relativos al juego de lenguaje en queparticipan, y no son entidades absolutas. Por ejemplo, en el estudio de las funciones, � = 2� + 1, sería una función particular perteneciente a la clase o tipo de funciones lineales, � = �� + �; esta última expresión será un objeto intensivo. La función lineal particular, � = 2� + 1, estáconstituida por otros extensivos, los números 2, 1, la operación de sumar números reales, así comode otros intensivos, tales como es el conjunto R de números reales sobre el que toma valores la variable independiente x y la dependiente y de dicha función.3

2. Unitarización. Reconocimiento explícito de intensivos como entidades unitarias. En algunas circunstancias los objetos matemáticos participan como entidades unitarias (que se suponen son conocidas previamente), mientras que otras intervienen como sistemas que se deben descomponer para su estudio. En el estudio de la adición y sustracción, en los últimos niveles de educación primaria, el sistema de numeración decimal (decenas, centenas…) se considera como algo conocido y en consecuencia como entidades unitarias. Estos mismos objetos, en el primer curso, tienen que ser considerados de manera sistémica para su aprendizaje.

1. Formalización y ostensión. Nombramiento mediante expresiones simbólico-literales.

3 GODINO, J. D.; CASTRO, W. F.; AKÉ, L. P.; WILHELMI, M. R.: Naturaleza del Razonamiento Algebraico Elemental. Bolema, Rio Claro (SP),v. 26, n. 42B, p. 483-511, abr. 2012. Disponible en: http://goo.gl/69D r Nv

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2. Transformación. Utilización de los objetos intensivos en procesos de cálculo y en nuevas generalizaciones.

Nivel 0 de algebrización (ausencia de razonamiento algebraico)

Las prácticas matemáticas de nivel 0, esto es, aquellas que no incluyen características algebraicas corresponden a aquellas en las que intervienen objetos extensivos (particulares) expresados mediante los lenguajes natural, numérico, icónico o gestual. Pueden intervenir símbolos que refieren a un valor desconocido, pero este valor se obtiene como resultado de operaciones sobre objetos particulares. En tareas de generalización, el mero reconocimiento de la regla recursiva que relaciona un término con el siguiente, en casos particulares, no es indicativa de generalización.

Ejemplo 1. Calcula el término que falta: 1500 − 925 = Suponiendo que el resultado 575 se obtiene mediante el algoritmo usual de la sustracción, el númerodesconocido, representado por una línea horizontal ( ), es simplemente el resultado de efectuar la operación indicada en el primer miembro de la igualdad; el signo igual expresa el resultado de la operación. Se trata, por tanto, de una actividad típicamente aritmética.

El trabajo consiste en calcular el número particular que se debe asignar a la línea horizontal de la derecha.

Ejemplo 2. En un libro de primaria encontramos el siguiente ejercicio: Realiza estas sumas y compara los resultados:

a. 24386 + 6035; 6035 + 24386b. 24386 + 6035 + 715; 6035 + 715 + 24386

Si un alumno se limita a realizar las operaciones pedidas y comprobar que los resultados son iguales dos ados, la actividad matemática realizada no implicará ningún nivel de razonamiento algebraico.

Ejemplo 3. En los libros de educación primaria encontramos abundantes enunciados de problemas como el siguiente: La alcaldía plantó 25 cajas de árboles frutales. Cada caja contenía 20 arbolitos. Por falta de riego se secaron 72 arbolitos. ¿Cuántos quedan aún?

Un alumno puede razonar del siguiente modo: El número total de árboles que se plantaron fueron 25 cajas, por 20 plantas en cada caja, total 500 árboles. Como después se estropearon 72, habrá que

descontarlas del total, o sea, quedan 500 − 72 = 428; 428 arbolitos

frutales.En esta práctica matemática, intervienen números particulares, operaciones aritméticas aplicadas a estosnúmeros y la igualdad como resultado de la operación. Es cierto que en la tarea el sujeto debe reconocer la ocasión de aplicar los conceptos (objetos intensivos) de multiplicación y sustracción de números naturales, además del concepto de número natural aplicado como medida del tamaño de colecciones discretas.

Sin embargo, estos procesos de particularización no los consideramos como propios del razonamiento

algebraico: las reglas que definen las situaciones de uso de tales conceptos no se hacen explícitas en la realización de la tarea.

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Nivel incipiente de algebrización (nivel 1)

En el ejemplo 2, un alumno podría haber razonado de la siguiente forma: puesto que 24386 + 6035 es 30421, entonces para calcular 24386 + 6035 + 715 es suficiente añadir 715 al resultado 30421, dandocomo suma total 31136.

Asimismo, podría haber razonado que los resultados son iguales dos a dos, puesto que el orden en el que se suman dos términos es irrelevante. El alumno no tiene por qué nombrar a estos razonamientos propiedades asociativa y conmutativa; lo esencial es que establece una relación genérica entre números y unas propiedades reutilizables de sus operaciones. Aquí se establece un primer paso en la algebrización del razonamiento.

Intervienen objetos intensivos cuya generalidad se reconoce de manera explícita mediante los lenguajes natural, numérico, icónico o gestual. Pueden intervenir símbolos que refieren a los intensivos reconocidos, pero sin operar con estos objetos. En tareas estructurales, se aplican relaciones y propiedades de las operaciones y pueden intervenir datos desconocidos expresados simbólicamente. En tareas funcionales, se reconoce la generalidad, aunque expresada en un lenguaje diferente al simbólico-literal.

En el caso de prácticas matemáticas que ponen en juego incógnitas y relaciones (ecuaciones), el uso de materializaciones simbólicas ( , …, [ ]) para las cantidades desconocidas marca un primer nivel de algebrización si la determinación del valor desconocido no se hace mediante la mera asignación del resultado de operaciones sobre objetos particulares. Asimismo, la aplicación de propiedades relacionales y estructurales del semigrupo N de los naturales, expresadas con lenguaje numérico y natural, es también propia del nivel 1 de algebrización.

Ejemplo 4: a) 15 + 11 = 11 + [ ] b) 10 + [ ] = 15 + 15 c) 3 × [ ] = 672La tarea a) se puede resolver sin realizar directamente las operaciones, evocando la propiedadconmutativa de la suma de los números naturales.

La b) se puede resolver por descomposición y aplicando la propiedad asociativa: 10 + [ ] = 10 + 5 + 15 = 10 + (5 + 15) = 10 + 20. Luego el número que falta es 20.

La c) se puede resolver reconociendo que la división es la operación inversa de la multiplicación.

Algunos alumnos de 12-13 años persisten en resolver la expresión c) mediante ensayo y error, sin reconocer la relación inversa entre la división y multiplicación («síndrome de la inversa de la multiplicación»; Filloy, Puig y Rojano, 2008: 8). La resolución mediante ensayo y error, probando sucesivos números, sería una práctica de nivel 0 de algebrización.

En los tres casos, las tareas se resuelven evocando propiedades algebraicas de las operaciones con números naturales, y no realizando los cálculos sobre los números particulares que intervienen en ellas, o mediante ensayo y error. Esta es la razón por la que le asignamos un primer nivel de algebrización.

Ejemplo 5: Continúa la siguiente secuencia: ROJO, AZUL, AZUL, ROJO, AZUL, AZUL…

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Un alumno razona de la siguiente manera: Después de un rojo, siempre siguen dos azules y después de dos azules sigue un rojo. El alumno que razona de esta manera reconoce una regla general compatible con el conjunto finito de elementos dados que le permite ir generando sucesivamente los términos de la secuencia. Consideramos esta actividad de nivel 1 de algebrización. Si el alumno se limita a escribir los términos que siguen en algunos casos, sin expresar alguna regla general, la actividad sería de nivel 0.

Ejemplo 6 (Balanza algebraica): ¿Cuántos tornillos hay que poner en la tercera balanza de la figura para que quede equilibrada?

Solución: la segunda balanza indica que 3 destornilladores pesan igual que 6 tornillos; luego 1 destornillador pesa igual que 2 tornillos. En la primera balanza, hay 14 tornillos en el plato de la derecha; si quitamos el destornillador habrá que quitar 2 tornillos para que se mantenga el equilibrio. Luego en la tercera balanza hay que poner; 12 (tornillos).

Como se ve, se están aplicando propiedades estructurales del semianillo, aunque con un lenguaje natural. Se puede asignar el nivel 1 de algebrización a cada una de las etapas en las que se descompone la tarea.

Nivel intermedio de algebrización (nivel 2)

Este nivel de algebrización se define mediante la siguiente regla: Intervienen indeterminadas o variables expresadas con lenguaje simbólico-literal para referir a los intensivos reconocidos, aunque ligados a la información del contexto espacial temporal. En tareas estructurales, las ecuaciones son de la forma. En tareas funcionales, se reconoce la generalidad, pero no se opera con las variables para obtener formas canónicas de expresión.

Ejemplo 7: Una caja mágica duplica el número de monedas que metas en ella, pero después de usarla cada vez se deben pagar 4 monedas. Juan probó e introdujo sus monedas en la caja y, efectivamente, se duplicaron. Pagó 4 monedas y volvió a intentarlo. De nuevo se duplicaron, pero al pagar las 4 monedas se quedó sin dinero. ¿Cuántas monedas tenía Juan al principio?

Solución 1: Si Juan tuviera 2 monedas podría jugar; al meterlas en la máquina obtendría 4, pagaría 4 y se quedaría con 0, por lo que no podría volver a jugar. Si Juan tuviera 3 monedas, al meterlas en la máquina obtendría 6, al pagar 4 se queda con 2. Vuelve a meterlas, obtiene 4; al pagar 4 se queda sin dinero. Luego Juan tenía al principio 3 monedas.

La actividad matemática desarrollada en esta resolución no pone en juego ningún nivel de algebrización. El sujeto trabaja con valores particulares de las variables de la tarea y opera aritméticamente con ellos.

Veamos la siguiente solución:

Solución 2: Juan comienza con n monedas (cantidad desconocida); al ponerlas en la máquina obtiene eldoble, es decir 2n; paga 4 y se queda con 2� − 4. Introduce 2� − 4 en la máquina y obtiene el doble, o sea 2(2�– 4). Al pagar 4 se queda sin dinero, o sea 2(2� − 4) − 4 = 0.

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Al resolver se obtiene: 2(2� − 4) − 4 = 0; 4� − 8 − 4 = 0; 4� − 12 = 0; � = 3La solución 2 es claramente de nivel 2. La cantidad desconocida de monedas (incógnita) se representa

simbólicamente mediante una ecuación de la forma �� + � = �.Ejemplo 8: Secuencia de figuras con palillos: En la figura, ¿cuántospalillos son necesarios para formar el dibujo situado en la posición cuarta? ¿Y para formar el dibujo que estuviera en la posición 50? ¿Y para la posición 100?

Solución: la secuencia de figuras está formada por triángulos; cada triángulo requiere 3 palillos, luego la figura en la posición n requiere 3n palillos. Pero al poner juntos los triángulos se eliminan palillos; en la figura 2 se

elimina 1, en la 3 se eliminan 2, en la 4 se eliminan 3. O sea, la fórmula general será 3� − (� − 1).

Para lafigura 50, se necesitan 101 palillos y para la 100, 201.

Se trata de una generalización de tipo mixto, contextual y simbólico. La regla que proporciona el número de palillos en una posición cualquiera se relaciona con la forma y posición ordinal de la figura. La fórmula dada no es transformada operando con la variable para obtener la forma canónica de expresión.

Nivel consolidado de algebrización

En el ejemplo 6 (Balanza algebraica), la exposición en lenguaje natural podría haberse formalizado: puesto que 3d = 6t (3 destornilladores = 6 tornillos); dividiendo entre 3 ambos miembros, d = 2t. Además, en la primera balanza p + d + l = 14t (pieza, destornillador, llave = 14 tornillos). Entonces, si se quita el destornillador del platillo izquierdo el equilibrio se mantiene si quitamos un peso equivalente, o sea 2 tornillos.

Esta explicación de la actividad matemática realizada supone un nivel consolidado de algebrización (nivel 3), ya que se han planteado de manera simbólica las ecuaciones y se aplica una técnica de sustitución para resolver la ecuación requerida.

Este nivel puede ser descrito de la siguiente forma: Se generan objetos intensivos representados de manera simbólica-literal y se opera con ellos; se realizan transformaciones en la forma simbólica de las expresiones conservando la equivalencia. Se realizan tratamientos con las incógnitas para resolver

ecuaciones del tipo �� ± � = �� ± �, y la formulación simbólica y descontextualizada de

reglascanónicas de expresión de funciones y patrones.

1.3.Estadios en la comprensión de las variables

A lo largo del desarrollo del álgebra, aparecen dificultades al momento de comprender las letras, de ahí que varios autores discuten los siguientes significados que puede tener la letra para un niño (independientemente de la forma en que un niño la utilice, el trabajo del docente es llevarlo al uso adecuado de la misma, este es la letra como variable):

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Estadio 1: Letra evaluada. El niño asigna un valor numérico a las letras desde el principio. Si se pregunta alniño, "si 5 + 2� = 13, ¿cuánto vale x?", dirá que vale 4, sin que seguramente haga ninguna manipulación escrita, le bastará un simple cálculo mental. Un ejercicio tal como 11 − � = 6 se resuelve simplemente recordando la tabla de sumar, 6 + 5 = 11.

Estadio 2: Letra ignorada. El niño ignora la presencia de la letra, o no le da ningún significado. Si se lepregunta el valor de � + � + 2 cuando se sabe que � + � es igual a 27, el niño puede responder 29 sin pensar en ningún momento sobre la �, la � o la suma � + �.

Estadio 3: Letra usada como objeto. La letra es considerada como un objeto concreto. La frase matemática3� + 7� y la frase "tres manzanas y siete manzanas" se consideran como equivalentes. La letra � se

vecomo la abreviatura del nombre de un objeto particular. Esto ocurre especialmente en problemas dondese involucran objetos concretos como lápices, mesas, etc., y es esencial distinguir entre los objetos y las cantidades de los mismos.

Estadio 4: Letra usada como incógnita específica. Los niños consideran las letras como un número desconocido, pero específico y pueden operar sobre él directamente. "¿Cuál es el resultado de añadir 4 a3�?" La respuesta esperada, 4 + 3�, requiere considerar � como incógnita genuina, pero los niños en este estadio pueden dar como solución 3� y 4, 7�, o 7, en las que los elementos que intervienen soncombinados sin tener en cuenta la presencia de la letra.

Estadio 5: Letra usada como un número generalizado. Una letra se ve como representando varios

valores diferentes en lugar de uno solo. Si se pregunta a los niños que listen todos los valores de

�cuando +� � = 10 podemos encontrar que ofrecen uno o varios números que cumplen la condición,pero no reconocen la necesidad de listar todos los valores.

Estadio 6: Letra usada como variable. La letra se ve como representando un rango de valores no

especificados. Si se pregunta, ¿qué es mayor?, ¿3� o ( +� 3)? La letra � tiene que representar en

cada casoun conjunto de valores no especificados y usarse como herramienta para hacer la comparación sistemáticaentre tales conjuntos. Si los niños prueban con un solo número, por ejemplo 4, o con tres o cuatro númerosparticulares, decimos que están considerando la letra como número generalizado (estadio 5). Pero si consideran la relación en términos de todos los números, aunque pueden usar algunos ejemplos específicos para ayudarse en la decisión, entonces decimos que están en el estadio 6 y tratan la letra como variable.

1.4.¿Cómo se motiva el aparecimiento del proceso del uso de las letras?

Desde la educación parvularia, se deben incorporar actividades orientadas a la generalización. A continuación se muestran diferentes acciones que podemos seguir para que aparezca la generalización, el docente deberá ir modificando las actividades dependiendo del nivel de escolaridad con el que trabaja.

1.4.1. Adivinando números

Las actividades del tipo piensa un número4 apoyan con fuerza el proceso de simbolización que requiere el álgebra. Son sin duda, unas actividades amenas y sorprendentes para la mayoría de nuestros alumnos, y la explicación de la magia o el misterio que encierran permite justificar el álgebra como método para resolver

4 Juegos y matemáticas. Juego piensa un número: La magia del álgebra. Disponible en: h ttp s :// g oo. g l /Qw j 7b C

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situaciones y problemas. Los juegos de magia, suelen tener un efecto inmediato sobre la mayoría de los alumnos, que rápidamente quieren saber “el truco”. Debemos dejar muy claro, que lo que estamos haciendo, disfrazado de magia, en realidad es, solamente y nada menos, que aprovechar la potencia del álgebra.

El desarrollo en clase puede ser el siguiente: En una primera etapa, el profesor o profesora hace un poco de teatro, convirtiéndose en mago. Para eso, explica a la clase que, si hay un completo silencio, va a ser capaz, gracias a sus poderes mágicos algebraicos de adivinar un número que alguien en el grupo ha pensado, o bien de adivinar la edad de una persona, etc. Los alumnos, invariablemente se muestran interesados por esta parte de la actividad.

En una segunda etapa, se debe explicar a los alumnos en qué consiste la magia y cómo gracias a la simbolización algebraica, se puede adivinar lo que una persona no nos ha contado.

Para finalizar, los estudiantes pueden intentar inventar algún ejemplo del mismo tipo que los vistos en clase y practicar jugando con sus compañeros.

1. Un prestidigitador le propone a una persona realizarla siguiente secuencia de operaciones: Piense un número; sume 2; el resultado multiplíquelo por 3; reste 5; reste el número pensado; multiplique por 2; reste 1; diga el resultado final. Inmediatamente, él dice al instante el número pensado. Después, propone a los participantes que ellos mismos piensen un número y seleccionen, según su propio parecer, la secuencia de operaciones. Al final, él pide el resultado final y adivina el número. ¿Cómo lo hace?

2. La baraja española.5 Está formada por 40 cartas, con 4 figuras distintas y 10 cartas para cada figura.El juego consiste en adivinar una carta que se saca del mazo, después de barajarla.

1. Sacar una carta y taparla.2. Ahora a realizar operaciones.

- Anotar el número de la carta en un papel.- Duplicar el número.- Sumar 1 a lo obtenido.- Multiplicar por 5 la suma anterior.- Hecho esto, al número que se llegó.

Sumarle 1 si la figura es de oros. Sumarle 2 si la figura es copas. Sumarle 3 si la figura es de espadas. Sumarle 4 si la figura es de bastos.

Ya se puede adivinar tanto el número de la carta como la figura, con el número que se dé al final. Para ello se tiene que restar 5 al número que se llegó. En este número, las decenas indican el número de la carta y las unidades la figura.

5 VALIENTE BARDERAS, SANTIAGO (2000). Didáctica de la matemática. El libro de los recursos. Madrid: La Muralla.

15

3. Un número previamente ocultado. El juego consiste en llegar a conocer un número que previamente se anota y se mantiene oculto. El juego es entre dos personas. Pasos:

La primera persona anota en un papel un número entre 1 y 50 y se lo guarda →41 La

segunda persona anota en otro papel un número entre 51 y 100 →63

a) Se pide a la segunda persona que agregue otro número, el cual debe ser entre 99 y el número que

anotó la primera persona. Cosa que no sabe la segunda persona: 63 + 58 = 121.b) A la suma que obtuvo se le quita la cifra de las centenas. Dicho número se suma al número

que quedó: 21 + 1 = 22.c) Efectuar la resta entre el número que anotó y este último resultado: 63– 22 = 41.d) Ahora se saca el papel donde la primera persona anotó el número. Se observa que número

tiene anotado y deba coincidir con el número que llegó al paso 3. ¿Por qué ocurre esto?

4. La sabiduría del gran mago. El gran mago ordenó:

- Piensa un número cualquiera.- Súmale 3.- Multiplica el resultado por 2.- Réstale 8.- Divide por 2.- Me preguntó: ¿Cuánto te da?- Yo le contesté: Me da 54.- Y él me dijo, inmediatamente: El número que seleccionaste era 55.

¿En qué consiste el truco del gran mago?

5. Jugando a ser el gran mago. Toma un papel y escribe en él el número -1. Dile a tu público que vas a adivinar un número haciendo un truco de magia. Invitar a realizar las siguientes operaciones:

- Piensa un número.- Multiplícalo por 5.- Súmale 1.- Multiplica el resultado por 2.- Réstale 12.- Divide tu resultado por 10.- Réstale tu número inicial.

Antes de que te digan lo que obtienen, saca de tu bolsillo tu trozo de papel donde tienes anotado -1.

Se debe buscar una justificación al hecho de que el resultado sea siempre -1, cualquiera que sea el valor que se piense al principio. Esta justificación, la tendrán analizando las operaciones que realizan y simbolizándolas.

1.4.2. Con patrones

Los patrones y las regularidades numéricas como recurso para introducir la representación simbólica de

16

los números es un contexto que se puede explorar desde preescolar (un ejemplo cercano es, las caricaturas

17

de Dora la exploradora) en el razonamiento algebraico y funcional es proporcionarles secuencias de figuras u objetos que siguen un cierto orden o regularidad.

La actividad consiste en identificar el modelo o patrón que sigue la secuencia, describirla introduciendo símbolos y hacer predicciones sobre el tipo de objeto o figura que ocupará un lugar dado de la secuencia. Se trabaja bien individualmente o en grupos extendiendo patrones construidos con materiales simples como botones, bloques lógicos, cubos encajables, palillos, formas geométricas, etc. El núcleo o unidad de un patrón de repetición es la cadena más corta de elementos que se repiten.

1. Emparejamiento de números con una secuencia de figura:

En la imagen anterior, ¿cuál es la tercera figura? Para continuar el mismo patrón, ¿qué figura vendrá a continuación? ¿Qué observas en los números que están debajo de los triángulos? ¿Qué figura corresponderá al número 17? En los primeros años escolares tienen una gran importancia para desarrollar aspectos de relaciones entre objetos-posiciones, objeto-color, objeto-figura geométrica, etc.

2. Costo de cantidades de un artículo: En una tienda de la colonia donde vivo, se venden ricos jugos, el precio a pagar por jugo, es de 2.00 dólares. Complétala la tabla, para saber, cuánto costarán 7 jugos.

Número de jugos 1 2 3 4 5 6 7

Precio de los jugos 2.00 4.00

3. Patrones en tablas numéricas: La figura nos muestra una tabla que tiene 100 números. a) Si cuentas de 2 en 2, comenzando en 24, y marcas los números que vas obteniendo, ¿qué número marcarás después de 7 saltos? b) ¿Y si comienzas en el 46? c) Si comienzas a contar en el 6 de 2 en 2, ¿marcarías el número 90?

18

4. Comparar ambas cuadrículas y contesta: ¿Cuántas unidades se ha desplazado la secuencia con relación a la anterior? ¿Qué expresión generaliza el caso?

A partir del caso, se realizan variantes y se generalizan.

5. Crecimiento de cuadrados y generalización: Un albañil deberá colocar cerámica en una habitación cuadrada y desea saber la cantidad de losas a colocar. Inicia colocando una losa en la esquina tal como lo indica la primera figura. Seguidamente agrega 3 losas más bordeando la anterior. Ese proceso lo continúa haciendo cuatro veces más y descubrió una forma mucho rápida de contar la cantidad de losas a colocar. ¿Cuál es esa forma rápida de contar? Si la habitación se completa con losas haciendo 10 veces ese proceso, ¿cuántas losas se necesitan?

6. En las ciencias:6 En ciertas especies tropicales de termitas la reina alcanza un tamaño enorme. Su abdomen aumenta a tal punto que, por efecto de los huevos que contiene, la deja incapacitada para moverse. La siguiente tabla muestra la prodigiosa y sorprendente producción de huevos que pueden alcanzar algunas especies.

Días 1 2 3 4 5 6 7 8

Total 30,000 60,000 90,000 …….. …….. …….. ……… …….

¿Es fácil determinar una regla o patrón respecto a la producción de huevos?, ¿Existe un patrón para

la producción diaria? ¿Cuál sería la producción de huevos para � días?7. La siguiente tabla describe el crecimiento de un hongo observado en un experimento de ciencias7.

6 Educación Nuestra Riqueza, Gobierno de Chile. Ministerio de Educación (2006). Matemática. Álgebra 1° medio.7 Ibíd.

19

Día 1 2 3 4 5 6Masa (g) 2 5 11 23 47 95

El aumento de masa del hongo da muestra de su crecimiento. Este aumento es progresivo y obedece a un patrón. ¿Cuál es?, ¿se logra deducir? Escribe ese patrón encontrado.

El siguiente razonamiento permitirá comprender la situación: Analizar los valores dela tabla inicial incorporando una fila donde se muestra el aumento en gramos de un día a otro.

Día 1 2 3 4 5 6

Aumenta en 3g 6g 12g 24g 48g

Masa (g) 2 5 11 23 47 95

¿A los cuántos días el hongo pesará 1⁄2 kilogramo? ¿Cómo se llega a saber? Explicar_

Se puede optar por otro procedimiento para encontrar un patrón como el siguiente. A la tabla se le incorpora otra fila:

Día 1 2 3 4 5 6

Aumenta +3g +6g +12g +24 g +48g

Masa (g) 2 5 11 23 47 95

2(2) + 1 5(2) + 1 11(2) + 1 23(2) + 1 47(2) + 1

8. Comentar el patrón descrito en la última fila. ¿En qué se diferencian los patrones de la segunda fila y la cuarta? ¿Son ambos válidos?

9. Para los patrones de crecimiento de las figuras adjuntas, encuentre una expresión general que permita calcular el número de elementos para el n−ésimo término de la sucesión:

10. Dada la sucesión de los primeros números pares, represéntela utilizando configuraciones puntuales,

20

escriba al menos un desarrollo aritmético, y encuentre el término general de la sucesión.11. Dada la sucesión: 3, 8, 15, 24, 35..., represéntala utilizando configuraciones puntuales, escriba al

menos un desarrollo aritmético, y encuentre el término general de la sucesión.12. Se ha construido la siguiente secuencia de torres de cubos, pero esta vez hay dos cubos en cada

nivel que no se pueden separar. Las torres están apoyadas en la superficie y no se pueden levantar, A partir del material que disponen o de la figura que se muestra, responder los siguientes planteamientos:

a) Construir una tabla que muestre la relación entre la cantidad de cubos y la cantidad de caras visibles en cada torre.

b) Determinar la cantidad de caras de los cubos que no son visibles.c) Determinar la expresión aritmética que permite saber la

cantidad de caras visibles en cada caso.d) Determinar la expresión algebraica que permite saber la

cantidad de caras visibles en cualquier caso.e) Representar gráficamente los datos encontrados, y explicar de qué forma se relacionan los datos.

13. ¿Cuántas cerillas se necesitan para construir un cuadrado 20 × 20 siguiendo el procedimiento de la sucesión del dibujo?

14. ¿Cuántos cuadrados grises y cuántos blancos se necesitan para hacer la figura siguiente?

15. ¿Cuál es el área de cada torre de cubos (incluida la base) a medida que las torres se hacen más altas?, ¿cómo cambia el área?

16. Se colocan chocolates y caramelos en cajas, alineados de manera que siempre quede un caramelo rodeado por cuatro chocolates, tal como se muestra en las figuras. Busque un método para calcular el número de caramelos que irían en una caja de 17 × 19. Explique y justifique el método mediante palabras, diagramas o expresión.

20

17. Observa la siguiente sucesión de figuras y encuentra al menos 3 fórmulas para calcular el número de cuadrados de color rojo en función del número de orden de la figura.

18. Observa la siguiente sucesión de figuras y encuentra al menos 3 fórmulas para calcular el número de círculos de color rojo en función del número de orden de la figura.

19. Observa la siguiente sucesión de figuras. Encuentra al menos 5 fórmulas para calcular el número de cuadrados de color celeste en función del número de orden de la figura.

20. Al presentar las siguientes secuencias, se pide que la completen. Se ha incluido respuestas en negrilla para tener referencia. ¿Es necesario dibujar los patrones restantes? ¿Cuál de las gráficas va más arriba?

21. Observa la siguiente sucesión de torres construidas con cubos de arista 1 cm. Encuentra el área y el volumen de cada torre de cubos. Resume los resultados en el cuadro adjunto.

21

Torre 1 2 3 4 5 6 7 ··· nN° de cubos

ÁreaVolumen

22. Una constructora tiene diseñado un tipo de edificio modular para oficinas8, en el cual cada piso tiene forma cuadrada y en cada pared hay un gran ventanal, con tal de que los trabajadores cuenten con la iluminación natural apropiada. Además, en él se incluye que, en el último piso, al mismo tiempo de los cuatro ventanales, se coloque un tragaluz, con tal de dar una sensación de amplitud a quienes allí trabajen.

Dado que la constructora tiene mucha demanda, debe tener una forma rápida de calcular cuántos ventanales debe mandar a fabricar según la cantidad de pisos quesus clientes le exijan ¿Qué estrategia podría usar la empresa para determinar la cantidad de ventanalesa utilizar en diferentes casos (un piso, dos pisos, tres pisos…)? ¿Puedes proponer una forma general de calcular una cantidad cualquiera de ventanas, dado los pisos que un cliente requiera? Si se dispone de una cierta cantidad de ventanas en stock, ¿se puede anticipar para cuantos pisos alcanzará?

Reflexionar las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántas ventanas (incluidos el tragaluz) hay en cada uno de los edificios?b) ¿Cuántas ventanas (incluido el tragaluz) se necesitarían en los edificios 5, 6 y 7 (es decir, con 5, 6

o 7 pisos)?c) Utilizando el patrón encontrado, ¿podemos determinar la cantidad de ventanas del edificio 10,

15 y 54? ¿Cuáles son sus respectivos valores?d) ¿Existe algún edificio en el cual se vean 37 ventanas?, ¿cuál es el número de pisos en el cual se

ven 28 ventanas?e) Efectuar una gráfica en el plano que relacione la cantidad de ventanas con la cantidad de pisos.

23. Analizar la siguiente secuencia. Determinar la expresión que permite anticipar la cantidad de cuadritos que habrá en el nivel 20.

Ministerio de Educación. República de Chile (2012). Guías Didácticas para la Articulación de los Ejes Curriculares de Números, Álgebra, Geometría. Asignatura: Matemática 1° a 4° año de Educación Media. Impresión Maval.

22

24. Por el buen trabajo que realizó Lorena al hacer el arreglo en forma piramidal, el supervisor le da el día libre (generalmente en la embotelladora trabaja los domingos y descansa el lunes). Como es domingo, Lorena decide visitar a un amigo que vende naranjas en un mercado.

Al llegar al mercado, su amigo Antonio ha construido una pirámide con naranjas para que su mercancía se vea más llamativa (como se observa en la fotografía). Antonio le dice a su amiga Lorena que en la base colocó 16 naranjas por lado, pero ahora quiere saber cuántas naranjas utilizó en total para hacer la pirámide sin deshacerla. Como él sabe que Lorena siempre ha sido una persona con éxito en sus estudios, le pide ayuda para responder sus dudas. ¿De qué manera puedes calcular las naranjas en cada piso?,¿existirá algún modelo que te permita realizar el cálculo del total de naranjas sin destruir la pirámide?

1.5.Las letras adquieren significado en álgebra

1.5.1. Uso de letras

En el desarrollo de los programas de educación básica aparece el uso de letras para darle cabida a lasfórmulas, por ejemplo, el perímetro de un rectángulo, si a la base le llamamos “b” y a la altura " "� , el perímetro es P= � + � + � + � = 2� + 2�. Similarmente, si se tiene el perímetro del cuadrado, triángulo,círculo y polígono; como también las fórmulas para encontrar el área. Al igual que lo anterior volúmenesde paralelepípedos, cilindros, conos, esferas. En este contexto se entiende que una fórmula matemática es una expresión que contiene números y letras que permiten encontrar los resultados que se piden.

Desde hace años, las investigaciones de Krutetskii (1976) y otros9, en el campo de la resolución de problemas, pusieron de manifiesto que, a la hora de aprender (hacer) Matemáticas, los alumnos se pueden clasificar en tres grandes grupos:

a. El “visual o geométrico”, compuesto por aquellos alumnos que tienen una marcada inclinación hacia los aspectos visuales de las Matemáticas y que, consecuentemente, hacen uso del razonamiento visual.

b. El “no visual o analítico”, formado por estudiantes que no tienen necesidad de recurrir a ningúntipo de soporte visual para trabajar con esquemas abstractos.

c. El “intermedio o armónico”, integrado por aquellos alumnos en los que las dos orientaciones cognitivas anteriores se conjugan armoniosamente. Este tipo de alumnos hace un uso equilibrado del razonamiento visual y analítico.10

En general, los programas de enseñanza han prestado poca atención a los aspectos visuales de las matemáticas (excepción hecha, claro está, de los contenidos de tipo geométrico) y se han centrado casi exclusivamente en su componente analítica. Este enfoque presenta algunas deficiencias, dado que:

9 Centro virtual de divulgación de las matemáticas. DivulgaMAT. h t tp:/ / g oo. gl/yQ9w V u 10 Krutetskii divide a este grupo en dos subgrupos: El “armónico abstracto”, formado por aquellos estudiantes que pudiendo utilizar el razonamiento visual prefieren no

hacerlo. El “armónico pictórico”, compuesto por aquellos alumnos que pudiendo utilizar el razonamiento visual en la resolución de

23

un problema prefieren hacerlo.

No cubre las necesidades de aquellos alumnos cuya orientación cognitiva es eminentemente visual.

Propicia el abandono de estudiantes que podrían acceder a las Matemáticas a través de su componente visual.

Oculta los aspectos visuales que ayudan a conseguir la comprensión de conceptos y procedimientos.

Ignora las representaciones visuales como herramientas potentes para la resolución de problemas no necesariamente geométricos.

No contempla las demostraciones visuales como demostraciones matemáticas legítimas.

Para paliar estas limitaciones parece aconsejable incluir, siempre que sea posible, los contenidos de carácter algebraico desde una óptica visual y analítica para que los estudiantes se enfrenten al material de la manera que esté más próxima a su orientación cognitiva.

Los alumnos piensan que los aspectos visuales de un concepto o de un procedimiento son algo periférico a él y prefieren las descripciones analíticas de una propiedad a las descripciones visuales. Los alumnos suelen mostrarse reacios al uso del razonamiento visual tanto en la resolución de problemas como en las demostraciones matemáticas. Vinner (1989), refiriéndose al rechazo de los alumnos hacia las demostraciones de tipo visual, cree que puede ser debido a la convicción de que una demostración algebraica es más rigurosa y general. Esta convicción puede basarse en los éxitos obtenidos por los estudiantes al memorizar fórmulas y procedimientos algebraicos. Además, los profesores de Matemáticas solemos tener un marcado sesgo algebraico, adquirido en los estudios universitarios, que transmitimos a nuestros alumnos.

Como dice Kline (1976): Algunos profesores, que conocen las demostraciones rigurosas, se sienten incómodos al presentar simplemente un argumento convincente que ellos, al menos, saben que es incompleto. Pero no es el profesor quien debe quedar satisfecho, sino el estudiante. La buena pedagogía exige compromisos de esta índole.

Vinner recomienda que en la enseñanza de las Matemáticas debería hacerse hincapié en la legitimidad del enfoque visual en las demostraciones y en la resolución de problemas. De este modo, se podría desterrar la creencia, tan extendida entre el alumnado, de que una demostración visual no es una demostración matemática.

1.5.2. Las letras representan dimensiones

Para el uso del lenguaje algebraico se hace necesario identificar el proceso inverso al usado en aplicar fórmulas para calcular perímetros, áreas y volúmenes, es decir, dado un arreglo de letras realizar su

modelo geométrico. La letra " "� puede representar a cualquier valor, y ésta se puede

representargeométricamente (en concordancia con lo del perímetro se hace linealmente), dibujando flechas o

vectores que representen el valor de " "� . Las letras adquieren utilidad en la solución de

problemasmatemáticos y llegan a tener vida por ellas mismas, no siempre estará referida a un número determinado.

Los profesores como los/as alumnos/as, llegan a reconocer que una de las dificultades es el momento cuando las letras comienzan a sustituir a los números, en los cuales los elementos básicos, la materia prima

23

de las matemáticas dejan de ser objetos, cosas, número… ya sea como incógnitas, números generalizados, parámetros o variables.

Hay países que han retomado el método CPA, cuyas siglas indican: concreto, pictórico, abstracto, para elaborar modelos de aprendizaje de los/as niños/as, por lo cual se realiza la propuesta de inicio de esta forma:

a) Suma de letras en una dimensión

Empezaremos por usar la recta numérica:

Al centro se encuentra el 0; todos los números a la derecha del cero son positivos, y todos los que están a la izquierda son negativos.

Ahora te presentamos una flecha:

Diremos que la longitud de la flecha es A, es decir A representa el largo de la flecha. Si colocamos tres flechas o vectores una tras otra, como se muestra en la figura, se obtiene una flecha que será del tamaño de las tres flechas juntas:

Al visualizar, el tamaño que tienen las tres flechas juntas es igual a A + A + A = 3A. Por lo tanto, el tamaño de la flecha grande también es 3A.

Si hay que sumar varias veces la letra A, simplemente añadiremos la flecha A tantas veces como la queramos sumar (en el caso de niños, se trabaja el contexto de juntar, aumentar, reunir, para llegar al concepto suma).

Si las flechas las ubicamos en una recta numérica queda de la siguiente manera:

Observamos que A representa una longitud y las longitudes solo son positivas, por lo que el resultado 3A es positivo.

Ahora asignaremos a la letra V como la longitud de esta otra flecha:

24

+ + + + 1 = 100+

Geométricamente queda:

+

+

+

+

+

+ 1 = 99 + 1

= 99

Ahora que ya hemos visto los ejemplos anteriores, ¿qué sucede si unimos dos flechas de tamaño V?

Y ¿qué sucede si unimos tres flechas de tamaño V?

Pero si queremos unir los dos resultados anteriores, se obtiene lo siguiente:

Ejemplo de problemas para realizarlos con flechas o segmentos:

Adiós mis cien palomas, una historia de la matemática hindú:

Al volar sobre un palomar, dijo el gavilán: -Adiós mis cien palomas.A lo que las palomas respondieron: -No somos 100, pero nosotras, más nosotras, más la mitad de nosotras, más un cuarto de nosotras, más tú, gavilán, si seríamos 100.

¿Cuál es el número de palomas?

Resolución gráfica

Digamos que nosotras

es: Entonces:

11 = 99

Cada flecha pequeña vale 9, por esto es que las palomas son 36:

9 9 9 9= 36

25

Resolver los problemas utilizando segmentos o flechas:

1. Una señora en el momento de realizar un testamento tenía $33,300 ahorrados en un banco. En el documento queda expresado: Mi esposo y mi hermana recibirán lo mismo, la mitad de lo de mi esposo es para mi hija y la octava parte de lo de mi hermana es para mi sobrina. Finamente, $1,800 son para una institución benéfica. ¿Qué dinero le toca a cada uno?

2. En un festival de frutas una señora se da cuenta que 5 de cada 14 naranjas de su canasto salen en mal estado. Si en total haya 140 naranjas. ¿Cuántas naranjas están en buen estado? Diseñar la solución de expresiones utilizando segmentos o flechas y determinar el valor de x:

2 x - 1 = 7�X + 2x + 3 = 30

3. Cuatro amigos deciden realizar una colecta para una obra de beneficencia. El segundo da dos veces loque dio el primero, el tercero da tres veces lo del segundo y el cuarto da cuatro veces lo del tercero. Si reunieron $2,640, ¿cuánto dio cada uno?

4. Diseñar situaciones similares a las anteriores.

De manera similar se plantean las flechas o segmentos para el conocimiento del negativo de las letras.

Veamos el siguiente caso: −4(3�)Una forma de analizarlo es olvidándonos por un momento del signo menos. Se tiene entonces 4(3�) = 4veces sumado 3�. Al ubicarlo en la recta queda de la siguiente manera:

Pero incluir el signo menos lo que significa es que las flechas cambian de sentido y posición con relación al0. Como se encuentran al lado derecho, considerando el signo menos, las tenemos que ubicar en el ladoizquierdo. Y así obtenemos:

Y este gráfico de flechas, como ya hemos visto antes, tienen como resultado −12�

Ahora analicemos el siguiente caso: −2(−3�)Similar al caso anterior, nos olvidamos por un momento del primer signo menos y pensamos solo en

2(−3�). Representado en la recta numérica queda de la siguiente forma:

26

Pero el incluir el menos, lo que significa es que se deben colocar las flechas al otro lado del 0. Entonces se obtiene:

3� + 3� = −2(−3�) = 2(3�) = 6�b) Las letras representan áreas cuadradas

Si se tiene un cuadrado de lado “a”, ¿cuál es la expresión que determina su área?

¿Cuál es la expresión que determina el área de la siguiente figura?

En la figura se tiene �2 + �2 + �2 + �2 = 4�2, teniendo otra forma de calcularlo, se observa que la base es 4� y la altura es � y se utiliza el producto de la base por la altura, teniendo el producto de 4�. � = 4�2.Es de importancia la relación espacial y la determinación del algoritmo.

Como ejercicio, determinar el área de cada figura presentada:

Didácticamente para la comprensión del uso geométrico de cantidades negativas es como tener la imagen en un espejo de los números positivos. Podemos representar las imágenes en el lado izquierdo del espejo y así representar las “áreas negativas”:

27

En el momento de sumar o restar considerar las formas de agrupar o juntar, tomando en cuenta la neutralización de las figuras.

Trabajando con figuras cuadradas y teniendo una disposición como el de la figura, aparece implícita la propiedad conmutativa de las piezas:

c) El producto de tres letras representa volumen de prismas rectangulares11

Así como las letras pueden significar, longitud de una flecha o de un segmento, el cuadrado de una letra puede representarnos áreas. El cubo de una letra puede interpretarse como el volumen de un cubo de arista a, por ejemplo.

𝑉= �. �. � = �3

Por otro lado, la interpretación de la suma de una misma letra elevada al cubo es la suma varias veces del volumen que representa, obteniendo un volumen más grande.

11 Tomado de: h t t p:/ / g oo. gl/1p1ZgL

28

Encontrar la medida del largo, ancho de cada poliedro. Calcular el volumen total en cada poliedro.

Observemos ahora los siguientes prismas:

a. Escribe el volumen de cada uno de ellosb. ¿Qué puede decirse de la representación geométrica de cada monomio

obtenido? Escribir el polinomio representado en las figuras:

29

1.6.Suma y resta de monomios y polinomios con material manipulable (algeblocks o álgebra tiles)

Es una versión simplificada (compuesta por placas, tiras y unidades) de los Bloques Multibase de Dienes, utilizada por Bruner y el propio Dienes en 1963 para la construcción de cuadrados, como representación geométrica de trinomios de términos positivos de segundo grado que son cuadrados perfectos, en el contexto de una investigación con escolares sobre etapas de desarrollo cognitivo. La metodología de combinación de las piezas, en cuanto a los trinomios que pueden representarse, y en cuanto a su campo de aplicación a la resolución de todo tipo de ecuaciones de segundo grado, del modelo de Dienes y de otros modelos también inspirados en la versión simplificada de los Bloques Multibase, denominados algebra tiles2 (utilizados en Estados Unidos) y orientados entre otras aplicaciones (como son el producto de monomios y de binomios, el cuadrado de un binomio de 1er grado, etc.) a la factorización de trinomios de segundo grado.

Descripción del material didáctico: Se llama puzle algebraico (algeblocks o algebra tiles) a una colección de figuras geométricas planas, formada por cuadrados y rectángulos que representan:

el cuadrado de área 1 de dimensiones 1 x 1, que denominaremos unidad positiva. el rectángulo de área X de dimensiones 1 x X, que denominaremos tira positiva.

el cuadrado de área ��de dimensiones X x X, que denominaremos placa positiva.Unidad positiva Tira positiva Placa positiva

Cuadrado de área 1 Rectángulo de área x

Unidad negativa Tira negativaCuadrado de área ��

Placa negativa

Cuadrado de área -1 Rectángulo de área -x

Cuadrado de área -��

Estudiamos que el área de un rectángulo es el producto de la base por la altura:

� Á ��� = �. ��

30

Y el área de un cuadrado de lado L, es L × L= L2

L

L

Aunque las áreas y las medidas de los lados de los rectángulos no pueden ser negativas, en el modelo didáctico de representación desarrollado, las piezas negativas, representan figuras con área negativa como consecuencia de ser negativa la medida de uno de sus lados. Solamente lo utilizaremos como un recurso que nos facilitará la reducción de expresiones algebraicas.

Veamos algunos ejemplos

Suma de monomios

Al término ��� se le conoce como termino cuadrático, y representa grupos de x2. Por

ejemplo:

1. Una placa 𝐱� o conjunto de placas cuando ��� es

positivo.

4 x2 significa cuatro veces x2 y lo podemos colocar así:

Entonces ��� significa un número de veces x2 y lo representaremos como el área de un rectángulo formado cuadrados de área x2.

2. Una placa o un conjunto de placas −�2 , cuando ���es

negativo:

3. El término en � (��) puede ser representado

mediante:

a. Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos conjuntos de tiras �, cuando �� es

positivo.

31

b. Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos grupos de tiras −� , cuando �� es

negativo.

En estos casos los que nos indica que la expresión es negativa es el color.

Se hace énfasis que cada resultado recibe el nombre de monomio y se pueden generar variantes.

c. Combinación de colores: La combinación de dos grupos o conjunto de placas �� y −��, de

tiras Xy –X como se indica en las figuras, siempre que la suma algebraica de los dos grupos coincida con

el término ��2 o �� que queremos representar. Aquí se aplica el principio: “Pares de

valoresopuestos o de signo distinto se anulan o se neutralizan”.

4� − 2� = 2� � − 3� = −2� 4� − 5� = −�d. El término independiente se representa mediante: Una unidad o conjunto de unidades positivas

(1) cuando el término independiente es positivo.

Una unidad o conjunto de unidades negativas (-1) cuando el término independiente es negativo.

32

A partir de lo anterior se fundamenta con las piezas polinomios de grado uno y de grado dos. Además, por la disposición y selección de las piezas se puede clasificar los monomios, binomios y trinomios, así como también las partes que tiene cada término. Esto dependerá del aspecto teórico a desarrollar. Sé que se quiere lograr al manipular y organizar las piezas es la creación de una imagen cerebral que provoque en el cerebro niveles de abstracción para ir creando los conceptos algebraicos.

a) Expresiones de 2° grado completas (��² + �� + )� 12

La expresión 2�² + 4� + 3 se puede representar por las

piezas:

Observemos el siguiente ejemplo:

Escribiendo la suma de todos los valores, tenemos la expresión: �² + � – � – � – � – � – –� �. Agrupando términos y operando obtenemos la expresión:

�2 − 2� − 3Escribir las expresiones algebraicas cada grupo de figuras y al final generaliza justo como en el ejemploanterior:

Representación geométrica de la suma algebraica de polinomios:

Sumar: ��² + � –� � y �² + �� + �

Lo cual se representa por la expresión: 3�2 + 5� + 112 Para hacer otros modelos diferentes a los presentados aquí visite: h t t p s:/ / g oo. gl / ASEHI W

33

Diseñar los modelos de la suma de los polinomios con algeblocks:

a) �² + 2 � + 2 y 3�² – � + 3b) 2�² − 3 � − 1 y −�² − 2� – 2c) �² + � − 3 y �² + 2� – 4d) 4�² − 2 � – 5 y −�² − 2 � + 4e) �² + 5� – 6 y −2�² − 4 � + 2f) −2�² − 5 � + 7 y −�² + 4� – 2g) −6�² − 5 � − 6 y −2�² + 4�

b) Representación geométrica de la resta de polinomios

Efectuar: (�² − � + )–� (−��² + � + )�

Agregamos al primer polinomio los cuadrados y rectángulos que se indican en el segundo polinomio, pero estos últimos serán sus opuestos, así:

34

1. Utiliza figuras para representar la resta de polinomios y encuentra la expresión resultante Igual como en el ejemplo anterior:

a) (2�2 + 2� − 2) − (−3� −² 4� + 3)b) (3�2 − � + 5) − (2�² + 3� − 2)c) (�2 + 5� − 6) − (−2�² − 4� + 2)

2. Escribir en cada círculo de la figura uno de los monomios que la suma de los valores da cada lado sea la misma:

1 �2, �2,

2

3 �2, 2�2,2

5 �2 y 3�2, de tal manera

2

3. Siguiendo el patrón de las tres primeras figuras. ¿Cuantos triángulos pequeños aparecerán en la novena figura?

a) 216 b) 486 c) 540 d) 600

4. Dada la sucesión 2, 6, 12, 20, 30… Realizar:

a) Una configuración puntual.b) Un desarrollo aritmético.c) Generalizar.

5. Si al tener una molécula de agua (𝐻2�), su fórmula nos indica que tiene 1 átomo de oxígeno y 2 de hidrógeno; 2 moléculas entonces, suman 2 átomos de oxígeno y 4 de hidrógeno. Si en una muestra hay25 moléculas de agua, ¿Cuántos átomos de hidrógeno hay? Identificar la secuencia y generalizar

escribiendo una fórmula. ¿Cuántos átomos de nitrógeno hay en 15 moléculas de �2�3? ¿Cuántos

deoxígeno?

35

1.7.Lenguaje verbal y lenguaje algebraico

El simbolismo algebraico es el lenguaje que da voz al pensamiento algebraico, “el lenguaje que expresa la generalidad”. (Mason, 1996)

El lenguaje (verbal, gráfico, simbólico) describe las situaciones-problemas y determina el significado que tienen estas, lo cual permite plantear y resolver los problemas.

En la práctica es necesario plantear ecuaciones para ser resueltas y no siempre es fácil identificar la información que nos lleva a la ecuación. Los problemas de aplicación no indican en forma directa “resuelva la ecuación”, sino que son relatos que proporcionan información suficiente para resolverlos y debemos ser capaces de traducir una descripción verbal al lenguaje algebraico o aritmético. El alumno que se enfrenta a una letra con un carácter algebraico, por primera vez, va a asociar ésta a su conocimiento del alfabeto, por lo tanto, la letra a va a significar la primera letra del alfabeto, vocal, con un sonido determinado y que aparece en unas ciertas palabras. La idea de que esta letra pueda llevar asociada una representación diferente de la citada es nueva para el alumno, y no evidente. Conlleva, no sólo la generación de nuevos esquemas mentales, sino el cambio de otros ya establecidos y fuertemente arraigados.

Esto se puede apreciar en el siguiente diálogo entre la maestra y la alumna en la clase de matemáticas.

Maestra: Si m es un número, ¿podrías decirme como representas el número siguiente? Alumna: n.M: Pero n es la letra siguiente, no el número siguiente.A: Pero si m es un número, su siguiente es la letra siguiente.M: ¿Cómo sabes que n no representa otro número, m y n representan números cualesquiera? A: Porque es el siguiente a m.M: Bien, piensa en un número concreto para m. A: Por ejemplo, 5.M: ¿Sabrías decirme el siguiente? A: Sí, es fácil, 6.M: ¿Cómo lo has hecho?A: Porque 6 es el número siguiente a 5.M: Me refiero a cómo calculas 6 a partir de 5.A: Ah, sumándole 1.M: (Después de poner varios ejemplos similares). Pues haz lo mismo con m, súmale 1. A: m + 1.M: ¡Pues ese es el número siguiente a m!, lo lograste.

La función de una letra depende del contexto en el que se encuentra y no es fácil para los alumnos que se inician en el álgebra diferenciar cuando la letra representa un valor o cantidad de un número u objeto o cuando representa el número u objeto mismo. (Booth, 1984).

El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular problemas con las ecuaciones pertinentes y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando

36

37

generalidades. Su función principal es establecer y estructurar un idioma que ayuda a generalizar las distintas operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales como son: la multiplicación, la división, la suma y la resta.

Cualquier combinación de números y letras se conoce como expresión algebraica. Por lo tanto, al traducir un cierto problema al lenguaje algebraico, se obtienen expresiones algebraicas, que son una secuencia de operaciones entre números y letras. A las letras se les llama, en general, variables o incógnitas y se simbolizan con las últimas letras del alfabeto, en cambio las primeras letras se emplean para simbolizar números arbitrarios pero fijos, llamadas constantes.

También aparecen igualdades que son de distinto tipo: identidades, ecuaciones y fórmulas. Las operaciones básicas con expresiones algebraicas, se utilizan en el importante proceso de resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y otras importantes aplicaciones de ellas.

Algunos investigadores han definido ciertos principios elementales para la enseñanza-aprendizaje del álgebra:13

1. Lograr un determinado grado de automatización de las operaciones básicas en un estadio es un prerrequisito para el desarrollo en el estadio siguiente.

2. No introducir nuevas ideas o técnicas algebraicas demasiado rápido.3. No introducir nuevas ideas o técnicas algebraicas demasiado específicas que no sirvan para el

desarrollo algebraico futuro.4. Asegurar que los aspectos diferentes de una idea, técnica o símbolo algebraico estén claramente

distinguidos.5. No introducir la notación formal antes de que una idea o técnica algebraica haya sido asimilada

por los alumnos.6. Evitar la complejidad notacional innecesaria.7. Favorecer la comprensión algebraica en términos de lenguajes.8. No introducir técnicas formales demasiado pronto.

Ejemplo: El motorista de un colegio hizo "n" viajes en un día, transportando 50 niños en cada viaje. ¿Cómo expresarías el número total de niños que transportó ese día?

n es el número de viajes, y como en cada viaje van 50 niños, 50n es el número total de niños que transportó ese día.

1. En el cuadro que se presenta a continuación, asocia a cada expresión verbal de la izquierda su correspondiente expresión algebraica de la derecha.

13 Ver en Esquinas, Ana. (2009): Dificultades de aprendizaje del lenguaje algebraico: del símbolo a la formalización algebraica: aplicación a la práctica docente. Tesis doctoral Universidad Complutense de Madrid (pp. 159-160). Disponible en: h t tp:/ / ep r i n ts.u c m.e s/8283/1/T 3 0670.pd f

Expresiónalgebraica

������� −�,� � + �

� + �� + �,

�(� − )��� − �����

38

Expresión verbal

De un número se ha restado su tercera parte

Dos séptimos de un número

Un número que supera a � en 13 unidadesEl número total de zapatos que calzan las personas que hay enuna habitaciónLa edad de mi abuelo hace 13 añosEl espacio recorrido por un móvil que va a 13 km/h

Dos números enteros consecutivos

Un número impar y su anterior

Tres cuartos del anterior de un número entero

El veinte por ciento de una cantidad

2. Completa el cuadro a continuación, escribiendo a la par de cada expresión verbal de la izquierda, la expresión algebraica correspondiente.

Expresión verbal Expresión algebraicaUn múltiplo de seis más su dobleUn múltiplo de seis más su mitadUn número par mayor que 20La edad actual de una persona y la que tendrá el año que vieneEl 15 % de una cantidadEl siete por ciento de un númeroEl precio de una camisa incrementada en un quince por cientoEl precio de unos pantalones rebajado en un diez por cientoEl interés que produce un capital al 13% en un añoEl precio de un artículo que se ha subido un 13% y después se ha rebajado en un 15%La media aritmética de dos númerosUn número de dos cifrasEl doble de un número más el triple del otroLa suma de las edades que tendrán un padre y su hijo dentro de 8 añosUn número más el 5% de otro númeroEl área de un cuadrado incrementado en su perímetroEl IVA aplicado a un producto con un descuento del quince por ciento

39

3. Completa el cuadro a continuación, escribiendo a la par de cada expresión algebraica de la derecha, la expresión verbal correspondiente.

Expresión verbal Expresión algebraica

����

�� +�𝒏, (𝒏− �)� + (� − �)� + (� + �)

� + (� + �) + (� + �� +�𝒏𝒏+ �

��, (��+ )�

(��+ �), (��+ )�

�� + ��

���� +���9 < 15 <30

��� − = ���� − ��

(� − )� �

�� + ���� + �� −�,� (� + �), (� + �)

(�� + ),� (�� + �), (�

4

4. En los cuadros, codifica algebraicamente la medida de los lados de las figuras siguientes, de acuerdo a las condiciones que se indican:

Ejemplo:

La base es 15 metros más larga que la altura.

La altura es un tercio de la base.

El perímetro es 50 cm.

El perímetro es 12 dm.

La base es 3 m menor que la altura.

41

Las diagonales miden � � �.

La diagonal mide �.

El radio de la circunferencia circunscrita es �.

La base es dos veces y media la altura.

El área es 24 metros cuadrados.

El área es 16 metros cuadrados.

42

5. Traducir al lenguaje algebraico las siguientes expresiones:

a. La edad de Silvia es �. Su edad dentro de 15 años será: � + 15b. En un gallinero hay � gallinas. Entre cabezas y patas hay:c. En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide 45 grados y cada uno de los ángulos iguales

mide �. La suma de los tres ángulos es:d. En un triángulo isósceles, uno de sus ángulos iguales mide 45 grados y el ángulo desigual mide

� grados. La suma de los tres ángulos es:e. Unos gemelos tienen � años, la madre tiene 27 años más y el padre 6 más que la madre.

Entrelos cuatro tienen:

f. Una garrafa contiene � litros. Se extrae un quinto del total; después se extraen 27 litros yfinalmente 3/5 de lo que había al comienzo.

Se han extraído: Todavía quedan:

g. En una parcela de � metros cuadrados de superficie se han plantado 1/6 de yuca, 5/12 de tomates y 1/3 de papas.

Se han plantado: Quedan por plantar:

h. Dos CD cuestan cada uno � dólares El primero se ha rebajado un 15% y ahora cuesta: El segundo se ha rebajado un 10% y ahora cuesta:

i. Un capital de � dólares colocado al 12% durante 7 meses. Produce unos intereses de: Se convierte en un capital de:

43

Potencias algebraicas

Cuenta la leyenda14 que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram. En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle. Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez. Después de explicarle las reglas yentregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido. Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara. El inventor, para darle una lección de humildad rechazó esa recompensa, pero el rey insistió y Sissa pidió lo siguiente: Deseo que ponga un grano de trigo en el primer cuadro del tablero, dos, en el segundo, cuatro en el tercero, y así sucesivamente, doblando el número de granos en cada cuadro, y que me entregue la cantidad de granos de trigo resultante (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32…).

Rey magnánimo –declaró el más sabio de los geómetras-, calculamos el número de granos de trigo que constituirá la recompensa elegida por Sissa y obtuvimos un número cuya magnitud es inconcebible para la imaginación humana. Hallamos en seguida, y con la mayor exactitud, correspondería ese número total de granos, y llegamos a la siguiente conclusión: la cantidad de trigo que debe entregarse a Lahur Sissa equivale a una montaña que teniendo por base la ciudad de Taligana, fuese 100 veces más alta que el Himalaya. La India entera, sembrados todos sus campos, y destruidas todas sus ciudades, no produciría en un siglo la cantidad de trigo que, por vuestra promesa, debe entregarse al joven Sissa.

¿Cuantos granos de trigo habrá que colocar en la casilla 64? Para calcular este número tendríamos que armarnos de paciencia. Hay que utilizar métodos menos largos, basado en las propiedades de potencias.

Definición: La potenciación es una expresión matemática que se utiliza para expresar la multiplicación de la misma variable las veces que su exponente lo indique. Sus términos principales son la “base” y el “exponente”:

Exponente →

Base → � � = � × � × � × … × � × �“n” veces

14 Tomad de Las matemáticas detrás de las redes sociales. Disponible en: h t tp:/ / g o o . gl / a5r O jx

44

Por ejemplo: 24 indica que la base “2”, se está multiplicando por sí misma 4 veces, y se lee: “Dos a la

cuarta”. Así, 24 = 2 × 2 × 2 × 2, es decir que 24 = 16.Definición de una potencia:

a0 = 1a1 = aa2 = a. aa3 = a. a. a a4 = a. a. a. aa5 = a. a. a. a. aa6 = a. a. a. a. a. aa7 = a. a. a. a. a. a. a

Para leer las potencias se tiene:

�2: “a” al cuadrado. �3: “a” al cubo. �4: “a” a la cuarta. �5: “a” a la quinta.

�6: “a” a la sexta.Y así sucesivamente.

Completa la tabla:

Potencia Se lee Desarrollada Igual a:

54 Cinco al cuadrado 5 × 5 256 × 6 × 6 × �5 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 ×

2.1.Multiplicación de potencias algebraicas que tienen la misma base

Dado el producto de las potencias (�3). (�6) para obtener el resultado seguiremos los siguientes

pasos:1. Vamos a expresar cada potencia en forma de producto. Así:

�3 = �. �. ��6 = �. �. �. �. �. �

2. Realizar el producto:

45

(�3)(�6) = (�. �. �)(�. �. �. �. �. �) = �9

9 veces multiplicada “x”

4

3

46

Observación: Como puedes ver el exponente del resultado (“9”) es igual a la suma de los exponentes de

cada una de las potencias del producto, es decir: 9 = 3 + 6.

Practica lo anterior en las siguientes situaciones: (�2)(�5); (�3)(�7); (�5)(�5); (ℎ4)(ℎ3)Conclusión: “Al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes.”

�� × �� = ��+�

Realizar el producto de (���). (−���). Para este caso la potencia va acompañada de un coeficiente, y lospasos a seguir son:

1. Primero vamos a acomodar los coeficientes y luego las potencias, así tenemos que:

(4�3). (−9�7) = (4). (−9). �3. �72. Multiplicamos los coeficientes y luego las potencias (Al multiplicar potencias de la misma base se

suman los exponentes).

(4�3). (−9�7) = (4). (−9). �3. �7 = −36�3+7 = −�����

Efectuar la siguiente multiplicación:

(�5). (−6�4). (−7�3). (−�6)(�5). (−6�4). (−7�3). (−�6) = (1). (−6). (−7). (−1). �5. �4. �3. �6 = −42�5+4+3+6= −�����

2.2.Simplificación de potencias algebraicas que tienen la misma base�7Si tenemos:�

, es factible realizar la división simplificando factores de la siguiente manera:

�7�4 =

� × � × � × � × � × � × � = �3� × � × � × �

Esta misma simplificación la podemos hacer de la siguiente manera:

�7�4 =

�4 × �3�4 = �

Cuando una letra o símbolo se escribe sin exponente, se sobre entiende que es uno. Así �1 = �. En general, se tienen los teoremas de los exponentes. Si 𝑖� �, � ∈ � � �, � ∈ ℝ, ��������:

a) ��. �� = ��+� d)� � = 1

, si � < �b) (��)� = ��.� e) (�. �)� = ��.

c) �

��f)

� ��( ) � =� ��

47

� = ��−� si � > �

48

15

1. ¿Cuánto es 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77 + 77?2. Observa la siguiente secuencia:

23 − 2 = 1 · 2 · 333 − 3 = 2 · 3 · 443 − 4 = 3 · 4 · 553 − 5 = 4 · 5 · 6(a) Escribe las 3 regularidades que siguen a continuación.

(b) Ocupando la secuencia anterior, ¿cuánto es 123– 12...?3. Completar la tabla siguiente:

Un número termina en: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Su cuadrado termina en:Su cubo termina en:Su cuarta potencia termina en:Su quinta termina en:

3. Si � = ��𝑡; � = ���; � = ���; � ≠ 0 � � ≠ 0, el valor de E = ��−� . ��−1. �𝑡−�, es:

a) 1 b) -1 c) 0 d) − 12 e) Faltan datos

4. Sabiendo que �� = �� = 2 , calcular el valor de E = ������

a) 16 b) 4�� c) 4� d) 4� e) 32

5. Si “x” verifica que 4�+2 − 5. 4 � = 99, ���� �� �� ����� �� � = √32� − 143a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) No es posible

6. Cuál es el valor de “x” en la expresión 2� + 2�+2 = 40a) -2 b) 3 c) 8 d) 4 e) 5

7. Al resolver �� − (�2)�2 =0, la suma de los valores de x es:

a) 3 b) 1.5 c) 2.5 d) 5 e) 6

49

15 Ver más en Sector matemática. Disponible en: ht tp:/ / g oo. gl/K6fbe I y TORI LOZA, ARMANDO; RAMOS LEYVA, JUAN C. (1998): Problemas de álgebra y cómo resolverlos. Perú: Colección Racso.

50

2.3.Multiplicación algebraica

La multiplicación se puede ver fácilmente a través del uso de manipulativos. La visualización permite determinar las reglas o propiedades a construir. El modelo a continuación sigue la didáctica de Brousseau, utilizando los modelos de Dreyfous, quien coloca una situación de acción para elaborar sus respectivas conjeturas operativas. Veamos el ejemplo:

Una niña observa sobre una mesa la disposición de las siguientes piezas de algeblocks:

Hay dos filas en las que cada una tiene 3� + 3. El total visualmente es 6� + 6.

Puede plantearse así: 2 veces 3� + 3 es equivalente a escribir 2(3� + 3) = 6� + 6 y es la aplicación de laley distributiva del producto con respecto a la suma.

El ejemplo planteado es 3 veces −2�2 + 2� − 1, al visualizarlo como un todo es −6�2 + 6� − 3. Algebraicamente es: 3(−2�2 + 2� − 1) = −6�2 + 6� − 3.

Al efectuar el producto de 3 por �, utilizando un esquema de doble entrada,

tenemos:

El rectángulo que se forma es 3�. Similarmente con los bloques se efectúa el producto de un monomio por un binomio.Ejemplo: � ( � + 1). Lo primero es formar los lados del rectángulo. Después se forma el rectángulo en la parte interior y se obtiene:

48

Así que: �(� + 1) = �2 + �

Utilizar los bloques para multiplicar:

a) 5 (2�)b) 2(� + 3)c) 4(2� + 5)d) 3 � (� + 3)e) 2 � (� − 2)f) 4 � (� − 1)La propiedad que se debe construir es la distributiva del producto con respecto a la suma. Luego se modelaproductos de binomio por binomio.

Ejemplo 1: Efectuar el producto de (� + 1)(� + 2). Primero se crean los lados del

rectángulo:

Al formar el rectángulo se tiene �2 + 2� + � + 2 ; finalmente (� + 1)(� + 2) = �2 + 3� + 2Ejemplo 2: Efectuar la multiplicación de (2� − 1)(� + 2)

49

Al formar el rectángulo del interior se tiene ((2� − 1)(� + 2) = �2 + �2 + 4� + (−�) + (−2), que es equivalente a escribir (2� − 1)(� + 2) = �2 + �2 + 4� − � − 2, habiendo neutralización. Así: (2� − 1)(� + 2) = 2�2 + 3� − 2.

Ejemplo 3: Efectuar el producto de (� − 3)(� − 2):

50

En el rectángulo interior se observa �2 − � − � − � − � − � + 6. Así: (� − 3)(� − 2) = �2 − 5� + 6.

Utilizando los bloques, efectuar las siguientes multiplicaciones: a) (� + 2)(� + 3)b) (� + 3)(� − 4)c) (2� + 3)(� − 3)d) (2� − 2)(� + 5)

a) Multiplicación por medio de una tabla

Se mostrará los resultados en una tabla de doble entrada. Multiplicar(2� − 1)(� + 2):

Multiplicar � +22� 2�2 +4�−1 −� −2

La tabla muestra el producto como 2�2 + 4� − � − 2. Al neutralizar o reducir 4� − � = 3�. Así,

(2� − 1)(� + 2) = 2�2 + 3� − 2.En la tabla como modelo nos proporciona una forma de comprobar si se multiplica correctamente. Si semultiplica en la tabla los términos en las diagonales ¿Qué se observa?

(� − 1)(� + 4) = �2 + 3�

51

− 4

5

La tabla de doble entrada es:

Multiplicar � +4� �2 +4�−1 −� −4

Si se multiplican los términos de las diagonales, ¿qué ocurre?

b) La multiplicación con la politabla de Dreyfous

Para empezar a trabajar se debe conocer la formación de la politabla. A continuación, aparece la figura que muestra las medidas de las longitudes de cada espacio.

Es importante que siempre recuerdes que la longitud más pequeña

es la unidad, la que le sigue en tamaño es la � y la más larga es la

�.El mismo arreglo de longitudes está en la parte vertical y horizontal.

Ejemplo 1: Multiplica 3 por x. Recuerda, el primer factor, en este caso 3, se coloca en el lado horizontal, como se muestra en la figura. Luego, coloca el segundo factor en el lado vertical.

Se colocan ligas azules ya que el 3 y x son positivos. La zona de intersección es la respuesta y queda de color azul. Así: 3 (x) = 3x

5

Ejemplo 2: Efectuar �(� + 2)Así �(� + 2) = �2 + 2�

Ejemplo 3: multiplicar �(� + � + 3)Así: �(� + � + 3) = �� + �2 + 3

Ejemplo 4: Multiplicar (2� − 3)(3� − 2)Así:(2� − 3)(3� − 2) = 6�2 − 13� + 6

1. Realizar las siguientes multiplicaciones utilizando la politabla de Dreyfous y tablas de doble entrada: a) (−2�)( � + 1) b) (2� − 3)(2� − 3)

2. Expresa con un monomio el área de la parte coloreada en estas figuras.

3. Se tiene el plano de una casa, la cual se proyecta en un terreno rectangular. De acuerdo al plano, calcular la superficie que abarca la construcción, excepto el corredor.

2.4.Productos especiales o productos notablesa) El cuadrado de un binomio

Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio.

Este consiste en considerar el área de un cuadrado de lado “a + b” y las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Consideremos dos trazos “a” y “b”:

Con ellos se construye un trazo de longitud “a+ b”:

52

53

Y con él, un cuadrado de la misma longitud:

Si observas el cuadrado de base (a + b) y altura (a + b) se ha dividido en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado “a” y otro menor de lado “b”, y dos rectángulos de largo “a” y ancho “b”. La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado a + b, es decir:

(� + �)2 = �2 + �2 + �� + �� = �2 + �2 + 2abEs de notar que: los cuadrados quedan en diagonal y que el producto resulta �2�2, al igual que el productodel área de los dos rectángulos resulta igual. Encontremos el área de un cuadrado de lado (3� + 2�).

Es de notar que siguen el mismo patrón: dos cuadrados colocados en diagonal y dos rectángulos para completar el cuadrado que comprende las cuatro piezas de algeblocks.

( 3 � + 2 �)2 = (3�)2 + (2�)2 + 2(3�)(2�) = 9�2 + 12ab + 4�2b) Producto de conjugados o producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Construimos un cuadrado de lado b.

Marcamos un segmento de lado a como indica la figura, y trazamos una diagonal, obteniendo los siguientes segmentos:

Recortamos la figura según se indica: Con las piezas azules armamos un rectángulo (será necesario "dar vuelta" una de ellas):

Por lo que (� + �)(� − �) = �2 − �2

54

c) Volumen del cubo de la suma

Ahora sumemos el volumen de cada paralelepípedo que forman el cubo de arista � + �. ( � + �)3 = �3 + �2� + �2� + �2� + ��2 + ��2 + ��2 + �3(� + �)3 = �� + ���� + ���� + ��

Completa los siguientes cuadros, tomando en cuenta que ahora se le asignará variables distintas a losconos rojos y azules.

Con tres conosrojos

Con dos conos rojosy uno azul

Con un cono rojo ydos azules

Con tres conosazules

El cono rojo representara la variable �, y el cono azul la variable � . Se colocan tres conos uno sobre

elotro y determinar todos los casos que se pueden obtener y los conos sirven como factore s, Así: tresconos rojos indican �. �. � = �3; dos conos rojos y un azul �. �. � = �2�, logrando formar tres casos, luego el total es 3�2�; un cono rojo y dos azules �. �. � = ��2; teniendo tres casos, el total es 3��2 y finalmente tres azules �3. Al sumar los resultados de los casos se tendrá que (� + �)3 = �3 + 3�2� + 3��2 + �3.

Expresión del área comosuma de las áreas

de cada pieza

Expresión del área comoproducto de

sus dimensiones�� + � (� � + �)

Expresión del área comosuma de las áreas

de cada pieza

Expresión del área comoproducto de

sus dimensiones�� + �

Expresión del área comosuma de las áreas

de cada pieza

Expresión del área comoproducto de

sus dimensiones��� + ��

55

2.5.Descomposición factorial

Haciendo uso de los algeblocks y la politabla se tendrá una mejor comprensión de este proceso algebraico.

a) Descomponer en factores +�� ��Se da el binomio y se pide encontrar los factores. En la figura, dado el rectángulo, determinar la base y laaltura.

1) Observa que la expresión del binomio 2� + 2 es la suma total del área de cada una de las piezas.

�� + � = (� � + )�

2)

3)

4) Para el siguiente rectángulo, determinar la base y la altura, es decirlos factores de la expresión:

Se procede descomponiendo los coeficientes en factores primos y las letras como productos según los exponentes:

Expresión del área comosuma de las áreas de

cada pieza

Expresión del área comoproducto de

sus �� − � (� + �)( –� �)

Expresión del área comosuma de las áreas de

cada pieza

Expresión del área comoproducto de

sus 56

9 3 12 2 30

3 3 6 2 15

1 3 3

1

9�2� + 12 �� + 30�2�2 = 3.3. �. �. +� 2.2.3. �. � + 2.3.5. �. �. �. �,

tienen en común ��, que en elrectángulo es la altura. Y la base será el polinomio formado por lo que no tienen en común:

9�2 + 12�� + 30�2�2 = 3�(3�� + 4� + 10 ��2)

Descomponer en factores, realizando los dibujos rectangulares y el proceso algorítmico desarrollado:

12� + 18� − 24�5�2 − 15�� − 10��

6�2� − 30��2 + 12�2�2b) Diferencia de cuadrados perfectos

Al observar la figura el área del rectángulo corresponde ser �2 − 1 y la base y la altura son los

conjugados.

�2 − 1 = (� + 1)(� − 1)Completar el cuadro de la derecha y escribir las identidades:

1)

Primer Cuadrado – Segundo Cuadrado

Raíz cuadradaer

término

Raíz cuadradado

términoDescomposición

36 − �2 √36 = 6 √�2 = � 36 − �2 = (6 + �)(6 − 1 − 16�2 − 57

2)

Expresión del área comosuma de las áreas de cada pieza

Expresiónproducto de

c) Raíz cuadrada de cuadrados perfectos

Completa la siguiente tabla:

NúmeroNatural 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cuadrado DelNúmero

1² = 1 2² = 4 3² = 9

Raíz Principal √1 = 1 √4 = 2 √9 = 3Se llama raíz cuadrada principal al valor positivo de dicha raíz, ya que toda raíz cuadrada tiene dos � resultados, uno negativo y otro positivo. Se hace uso de la propiedad �√�� = � �

9a4 9 a4

3a2

16x6 16

x6 4x3

d) Algoritmo de la diferencia de cuadrados perfectos

Descomponer en factores �2 − 49Procedimiento:

1) Hallar las raíces principales de cada cuadrado2) Un factor es la suma y el otro factor la diferencia de dichas raíces (conjugadas)

Por tanto: �2 − 49 = (� + 7) × (� − 7)Descomponer en factores completando el cuadro.

principal del 1 principal del 2

Expresión del área comosuma de las áreas

de cada pieza

Expresión del área comoproducto de

sus

�� + �� + � (� + )(� � + Expresión del área como suma de las

áreas de cada pieza

Expresión del área como producto de sus

dimensiones

�� + �� + � (� + �)(� +

Expresión del área comosuma de las áreas de

cada pieza

Expresión del área como

producto de sus dimensiones

58

�2 − 10064�2 − 9�44 − �2

1 − 4�2�2 − �2

e) Trinomio cuadrado perfecto

Observa cada figura y encuentra su base y altura y la expresión algebraica que determina el

área: 1)

Área: �� + �� + � = (� + �)�

2)

Área: �� + �� + � = (� + �)(� + �)3)

Algorítmicamente puede realizarse con el método de las tijeras o aspas.

Proceso algebraico (método de las tijeras)

1. Descomponer en factores �2 + 6� + 9

59

Factores de x2 Divisores de 9↓ ↓X 3X 3

Se multiplican cruzados:

Luego los factores se leen en forma horizontal:

�2 + 6� + 9 = (� + 3)(� + 3) = (� + 3)2Segundo término del trinomio

2. Descomponer en factores 9�2 − 12� + 4↓ ↓3X 23X 2

Así: 9�2 − 12� + 4 = (3� − 2)(3� − 2) = (3� − 2)2f) Factorización del trinomio �� + �� + �1. Descomponer en factores �2 + 6� + 5Si lo hacemos con algeblock:

Los cuadrados se colocan en diagonal, se completan los espacios con rectángulos de área “x”

Luego al final buscamos la base y la altura del rectángulo. Así: �2 + 6� + 5 = (� + 5)(� + 1)Realizar el ejemplo anterior con el método de las aspas.

Factores de 2�2 Divisores↓ ↓2xx

5 = 5x1 = 2x operativamente 5� con 2�, sumado o restado no conduce a

Descomponer en sus factores �2 + 4�– 12(Si lo hacemos con algeblock)

Al observar la figura anterior tenemos que completarla con más piezas. Entonces hay necesidad de introducir 2 parejas de rectángulos x neutralizados:

base: (� + 6) altura (� − 2); → �2 + 4� − 12 = (� + 6)(� − 2)Realizar el ejemplo anterior con el método de las aspas.

g) Factorización del trinomio ��� + �� + �Descomponer en factores 2�2 − 11� + 5. Usaremos el método de las tijeras.

2�2 − 11� + 5

2�2 − 11� + 5Factores de 2x2 Divisores↓ ↓x 5 = 10x2x 1 = x

Para que resulte −11�, ambos divisores deben ser negativos:2�2 − 11� + 5↓ ↓

Factores de 2x2 Divisores↓ ↓x -5 = -10x2x -1 = -x

-11x → 2�2 − 11� + 5 = (� − 5)(2� − 1)

60

1. Descomponer en factores utilizando Algeblocks o politabla de Dreyfous, los trinomios cuadráticos: 1) �2 + 7� + 10 2) �2 − � − 2 3) �2 − 3� − 4 4) �2 + 2� − 8 5) �2 + 7� − 186) 5�2 + 6� + 1 7) 5�2 − 6� + 1 8) 5�2 + 4� − 1 9) 5�2 − 4� − 1

Resuelva los siguientes ejercicios haciendo uso de la geometría elemental para introducir laspropiedades algebraicas:

2. Represente en diferentes contextos las expresiones algebraicas siguientes:

5� 4�� 4�2� �2 + 3� 4�(3 + �) �( +� �) = �� + ��

2�2 + 3�� + �23. Construya cuatro figuras rectangulares con dimensiones 3�y�, � � �; � � � ; 4 � � .

Determine lasexpresiones algebraicas que representan:

El primer rectángulo La suma de los tres primeros rectángulos La suma de todos los rectángulos Clasificar las expresiones anteriores en monomios o polinomios

4. Utilizando el recurso geométrico, interpretar las identidades siguientes:

(� ± �)2 = �2 ± 2�� + �2 (� + �)(� − �) = �2 − �2 (� + �)(� + �) = �2 + (� + �)� + ��

(� ± �)3 = �3 ± 3�2� + 3��2 ± �35. Utilizando áreas, demuestre las siguientes identidades:

( �2 + ��) = (� + �)2 − (�)22

(� + �)2 + (� − �)2 = 2(�2 + �2)2.6.División algebraica

La división se contextualiza, en este apartado, como la operación inversa de la multiplicación. Esto es teniendo un polinomio cociente, y un factor para determinar el otro factor.

61

División con algeblocks y politabla de Dreyfous

Para trabajar con piezas rectangulares o algeblocks hay que formar grupos de piezas iguales.

8�Ejemplo 1: dividir 2 con algeblocks

Inicialmente debemos tener 8 rectángulos de área �:

Se divide en dos grupos iguales. Cada grupo tiene 4�:

8�Entonces: 2 = 4�Otra forma de realizar la división es en el contexto de laforma inversa de la multiplicación.Se forma un rectángulo con los 8� y uno de los lados es dos unidades positiva.

4�Ejemplo 2: Divide 2 con politabla.

Para hacer esto, colocas primero el divisor (en este caso 2) en el lado

horizontal como se muestra en la figura. Luego, tienes que obtener 4�dentro de la intersección de los hules o liguillas. Para lograrlo, estira lasliguillas hasta obtener 4 rectángulos: cada uno con un lado de dimensión

1 unidad y el otro lado � unidades. El resultado (cociente) de la divisiónse obtiene en el lado vertical. En este caso, el factor que buscas

(cociente) es 2�. El divisor siempre se representará en el lado horizontal.

Ejemplo 3: dividir

9�+6

3Tendremos 9 rectángulos de área � y 6 cuadrados de área 1 y formaremos tres grupos.

Cada grupo tiene 3� + 2 en piezas, entonces 9�+6 = 3� + 2

3

62

En este caso se puede involucrar la distributividad del divisor 3 para cada término del dividendo, es decirmodelar 9�+6

=39 � + 63 3

= 3� + 2.

Ejemplo 4: Divide

�2+6�

�

, representándolo como la operación inversa de la multiplicación se tiene:

Así: �

2+6��

= � + 6Ejemplo 5: Divide

�2+2�

�

Inicialmente representa el divisor �2 + 2� en la parte horizontal,observa en la parte izquierda queda indicado el divisor. La lectura delcociente se hace en la parte superior.

�2 + 2�� = � + 2

De forma similar, se argumenta la ley distributiva del divisor con cadatérmino del dividendo.

Ejemplo 6: Divide

3�+3�+1

En este caso, comienza colocando hule para localizar el divisor x + 1en forma horizontal:

Luego dentro de la región limitada por el hule, identificar el dividendo3� + 3. Una vez localizado el dividendo se abarca con otro hule para3� + 3darle lectura a la parte superior. Por tanto

+� 1 = 3:

63

Ejemplo 7: Divide �2 + 2 � ����� � + 2Se utiliza el método anterior. Se localiza inicialmente el divisor � + 2.

Dentro de lo limitado por el hule localizar �2.

Te darás cuenta que al localizar �2 en forma vertical quedarectángulos x y limitas con un hule para dar lectura en la parte superiordel cociente.

Ejemplo 8: Dividir

6�2+11�+

42�+1

con algeblocks. Las disposiciones son como lo indica en la figura, el cociente

que se lee es: 3� + 4, entonces:

6�2 + 11� + 4

2� + 1= 3� + 4

Ejemplo 9: Divide �2 + 3� + 2 ����� � + 2Se ubica el divisor x +2, en seguida localizas, dentro de lo

limitado anteriormente, �2.

Luego el dividendo que se desea obtener es �2 + 3� + 2 y solose tiene limitado �2 + 2� y para completar el dividendo falta x+2 (una x más 2 unidades). Al agregar 1 unidad al cociente, seobtiene la figura.

Con lo anterior, se puede presentar el algoritmo de la división de polinomios:

64

Modelos de ecuaciones con enteros

Los /as niños/as de educación primaria son capaces de aprender a resolver ecuaciones sencillas. La situación fundamental es el abordaje didáctico y metodológicamente de este contenido. Es ideal que llegaran a tener dominio en el lenguaje algebraico, yaque nos aseguraríamos de la etapa del razonamiento. Es usual que una ecuación puede expresarse en estos niveles con lenguaje usual, así, por ejemplo: ¿Por cuánto hay que multiplicar 3 para obtener 15?, ¿Qué número hay que restar a 20 para obtener 16? Además, se puede expresar en forma escrita, de forma gráfica, de forma gráfico numérica y otras de acuerdo a la necesidad didáctica.

3.1.Modelo de ecuaciones con variable a un lado

Resolver la ecuación � + 4 = 6. Para resolver la ecuación se necesita dejar sola a la � en un lado del signo igual. Se tienen dos opciones:

a) Quitar 4 fichas amarillas “1” en ambos lados:

� + 4 = 6 Quita 4 fichas amarillas “1” de cada lado � = 2b) Introducir 4 fichas −1 rojas a ambos lados y luego

neutralizar

� + 4 = 6 � + 4 + (−4) = 6 + (−4) � = 265

Resolver la ecuación � − 4 = 2, puede tenerse nuevamente dos opciones:a) Introducir fichas en el miembro derecho y luego quitar las que son iguales en ambos lados:

� − 4=2

Se introduce 4 fichas “1” y 4 fichas “-1” en el miembro derecho y se quitan de cada lado 4 fichas “-1”. � = 6

b) Introducir 4 fichas +1 en el miembro izquierdo y neutralizar:

� − 4 = 2 Se neutralizan −4 + 4 = 0 � = 63.2.Modelo de ecuaciones con variable a ambos lados

Al resolver una ecuación de primer grado con la misma variable a ambos lados del signo igual, se realizará un paso fundamental: sumar o restar para eliminar de un lado el término que contiene la variable.

Representar y resolver la ecuación −� + 2 = 2� − 4.

−� + 2 = 2� − 4 La suma es

cero La suma es cero

Ejercicios: Representar y resolver las ecuaciones:

Se divide cada lado en 3 grupos 2 = �

1) � + 3 = 8 2) � + (−5) = −4 3) � − 2 = 14) 2� + 3 = −9 5) 3� + 2 = 2� − 3 6) 3� + 6 + 2� + 7 = 387) � + 1 = −� − 1 8) 4 − 2� = −4� + 5 9) 2� + � + 1 = � + 4

66

1. los 14 dígitos del número de una tarjeta de crédito deben escribirse en las casillas que se muestran a

continuación. Si la suma de tres dígitos consecutivos cualquiera debe ser 20, ¿cuál es de valor de �?

2. Las medidas de los ángulos de un trapecio son �, � + 10, � + 20 y � + 30 grados. ¿Cuál es la medida del mayor de los ángulos en grados?

3. Un triángulo equilátero tiene lados cuyas longitudes se muestran en el

diagrama. Determinar el valor de �.

4. Juana y Mario elaboran un cuadrado mágico para jugar con sus compañeros de clase. Esto quiere decir que la suma de los números en cualquier fila, columna

o diagonal debe dar el mismo resultado. ¿Cuál es el valor de �?

3.3.Proceso de inversión o reversibilidad del pensamiento en resolución de ecuaciones

Los procesos reversibles como una habilidad matemática pueden aparecer como algo natural en la formación de los estudiantes si ayudamos a desarrollarlos mediante situaciones problemáticas, ejercicios y preguntas adecuadas. Así, por ejemplo:

¿Cuál es el número que multiplicado por 2, restado en 1, aumentado en 5 y dividido por 4, es igual a 8? El problema lleva a la ecuación de primer grado:

2� − 1 + 5= 84Este problema se resuelve por el método de inversión, el cual consiste en ir de atrás hacia adelante en elenunciado y cada operación se sustituye por su inversa. Esto es:

Resultado 8Dividido por 4 → Multiplicado por 4: 8�4 = 32Aumentado en 5 → Disminuido en 5: 32 − 5 = 27Restado en 1 → Sumado en 1: 27 + 1 = 28Multiplicado por 2 → Dividido entre 2: 28 ÷ 2 = 14

67

68

Esta forma permite resolver un problema con el recurso de la aritmética elemental. Además, se puede integrar a un flujograma:

Ejercitando lo anterior:

1. Sea la ecuación � + 7– 2 = 10.

2. Resolver 2� − 4 + 7 = 19.3. ¿Cuál es el número que duplicado, disminuido en tres, elevado al cuadrado, dividida la potencia entre

11, da el número 11?4. Diseño de ejercicios y problemas de los docentes.

3.4.Ecuaciones sencillas de segundo grado resueltas con material manipulable

Actividad 1: Resolver la ecuación de 2º grado �2 − 5� + 4 = 0 con algeblocks mediante la construcción de un rectángulo.

a) Construido el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus dimensiones.

b) Mediante lo cual, se obtiene la ecuación de 2º grado equivalente a

�2 − 5� + 4 = 0 en forma factorizada:

(� − 4)(� − 1) = 0c) Resolviendo algebraicamente esta ecuación equivalente, tenemos las soluciones:

69

Resolver la ecuación de 2º grado �2 − 6� + 8 = 0, utilizando la construcción de un rectángulo.a) Construye un rectángulo a partir de las piezas que representan el primer miembro.Dibuja el rectángulo con sus dimensiones. Representa en forma simplificada el rectángulo.

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente a �2 − 6� + 8 = 0.Resuelve la ecuación equivalente obtenida. Procedimiento algebraico.

Resuelve la ecuación de 2º grado �2 + 4� + 3 mediante la construcción de un rectángulo.a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas que representan al 1er miembro de la ecuación.Dibuja el rectángulo con sus dimensiones. Representa de forma simplificada el rectángulo.

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente a �2 + 4� + 3 = 0.Escribe la ecuación factorizada equivalente.

Resolver la ecuación �2 + 2� − 8.a) Con la selección de piezas que representan el primer miembro de la ecuación se obtiene un rectángulo

incompleto. Para completar el rectángulo, añadimos parejas de piezas con signos opuestos (neutralizadas) que denominaremos “parejas de área cero”.

7

b) Completando el rectángulo, calculamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus

dimensiones. Mediante lo cual, obtendremos la ecuación de 2º grado equivalente a �2 + 2� − 8 = 0en forma factorizada.

c) Resolviendo esta ecuación factorizada obtenemos las soluciones:

Resuelve la ecuación de 2º grado �2 + � − 2 = 0 con piezas de algeblocks, mediante la construcción

dea) Representa el rectángulo construido a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuación.

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente.

71

c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida.

Resuelve la ecuación de 2º grado �2 − 3� − 4 = 0 con piezas de algeblocks, mediante la

construccióna) Representa el rectángulo construido a partir de las piezas que representan el 1er miembro de laecuación.

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente a

�2 − 3� − 4 = 0.

c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida.

Resolver con algeblocks la ecuación incompleta �2 + 2� = 0, mediante la construcción de

una) Construido el rectángulo calculamos su área apartir de sus componentes y a partir de sus dimensiones.

b) Mediante lo cual, obtenemos la ecuación de 2ºgrado equivalente a �2 + 2� = 0 en forma factorizada: �(� + 2) = 0.

c) Resolviendo algebraicamente esta ecuación equivalente, tenemos las soluciones:

Resuelve la ecuación 3�2 − 4� = 0 simpilficando y obteniendo factor común.a) Escribe la ecuación factorizada equivalente.

b) Resuelve la ecuación factorizada equivalente.

72

Resolver utilizando la factorización (construye un rectángulo) la ecuación de Segundo grado incompleta�2 − � = 0a) Representa el rectángulo construido, a partir

de las piezas que representan el 1er miembrode la ecuación.

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente a

�2 − � = 0.

c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida.

Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación de 2º grado incompleta �2 + 5� = a) Representa el rectángulo construido, a partir

de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuación.

b) Escribe la ecuación factorizada equivalente a

�2 + 5� = 0.

c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida.

Observación: Las ecuaciones de 2º grado incompletas, sin término independiente, del tipo �2 + �� = 0, resueltas en los ejemplos anteriores, o del tipo ��2 + �� = 0, pueden factorizarse y escribirse�(�� + �) = 0 y las soluciones serán � = 0 � � = − �

�

73

Resuelve la ecuación 7�2 + 21� = 0 simpilficando y obteniendo factor común.a) Escribe la ecuación factorizada equivalente.

b) Resuelve la ecuación factorizada equivalente.

Resuelve la ecuación de 2º grado 4�2 + 13� + 3 = 0 con algeblocks, por medio de construir

una) Seleccionadas las piezas que representan el 1er

miembro de la ecuación, construye el rectángulo con dimensiones.

b) Considerando las dimensiones del rectángulo,forma la igualdad de las dos expresiones de 2º grado:

4�2 + 13� + 3 = (4� + 1)(� + 3)Luego la ecuación de 2º grado factorizada

equivalente a 4�2 + 13� + 3 = 0 es:(4� + 1)(� + 3) = 0c) Resolviendo algebraicamente la ecuación de 2º grado en forma equivalente se llega a las soluciones:4� + 1 = 0 → � = − 14(4� + 1)(� + 3) = 0

� + 3 = 0 → � = −3Entonces las soluciones son � = − 1 � � = −34

Resuelve la ecuación de 2º grado 2�2 + 7� + 3 = 0 con algeblocks, auxiliándose de la construcción

dea) Seleccionadas las piezas que representan el 1er

miembro de la ecuación, construye el rectángulo con dimensiones.

b) Considerando las dimensiones del rectángulo,forma la igualdad de las dos expresiones de 2º grado.

74

c) Resolviendo algebraicamente la ecuación de 2º grado en forma equivalente se llega a las soluciones.

Resuelve la ecuación de 2º grado 2�2 − 3� + 1 = 0 con algeblocks, auxiliándose de la construcción

dea) Seleccionadas las piezas que representan el 1er

miembro de la ecuación, construye el rectángulo con dimensiones.

b) Considerando las dimensiones del rectángulo,forma la igualdad de las dos expresiones de 2º grado.

c) Resolviendo algebraicamente la ecuación de 2º grado en forma equivalente se llega a las soluciones.

Resuelve la ecuación de 2º grado 2�2 − 3� + 1 = 0 con algeblocks, auxiliándose de la construcción

dea) Seleccionadas las piezas que representan el 1er

miembro de la ecuación, construye el rectángulo con dimensiones.

b) Considerando las dimensiones del rectángulo,forma la igualdad de las dos expresiones de 2º grado.

c) Resolviendo algebraicamente la ecuación de 2º grado en forma equivalente se llega a las soluciones.

75

3.5.Método de completar cuadrados con algeblocks

El método consiste en construir o completar un cuadrado con las piezas que representan el 1er miembro de una ecuación de 2º grado en forma general, para tener una ecuación equivalente en forma de binomio al cuadrado, con o sin término independiente. Ejemplos:

Escribe en forma de cuadrado de un binomio las siguientes ecuaciones de 2º grado.

a) �2 + 6� + 9 = 0 (� + 3)2

b) �2 + 10� + 25 = 0

c) 4�2 − 4� + 1 = 0

d) 4�2 + 12� + 9 = 0

76

1. Si la suma de los cuadrados de dos números es 34, y el producto es 15, ¿cuál es la suma de los números?

2. Se tiene el producto de tres números naturales consecutivos, sumado con el número intermedio.¿Qué resultado obtiene? Demuestre que es cierto para cualquier caso.

3. Encuentre todos los números naturales cuya diferencia de cuadrados es igual a 39.4. Si un número más su recíproco es 3, ¿cuál es el valor de la potencia cuarta del número más la

potencia cuarta del recíproco del número?5. Hay seis asientos entre sillas y taburetes. Las sillas tienen cuatro patas y los taburetes tres. En total,

hay veinte patas. ¿Cuántas sillas y cuántos taburetes hay?6. ¿Cuántas diagonales tiene un triángulo?, y ¿un cuadrado?, y ¿un cuadrilátero cualquiera?

Generalice el resultado para un polígono cualquiera. ¿Depende el número de diagonales de la forma del polígono únicamente del número de vértices o lados?

7. ¿Cuánto suman los ángulos interiores en un polígono de n lados?8. Queremos cercar con alambre un jardín de forma cuadrada:

¿Cuánto alambre es necesario si el lado del jardín mide 12 m? ¿Y si mide 7 m?, ¿o 33.5 m? Construya una tabla con los datos anteriores y añada otros. Sitúe en una gráfica los datos de la tabla. ¿Cómo quedan los puntos? Si se han utilizado 108 m de alambre, ¿qué dimensiones tiene el jardín? Explique cómo se

hallan los metros de alambre necesarios si se conoce la longitud del lado del jardín.

Escriba una fórmula que exprese los metros de alambre necesarios para cercar un jardín de �metros de lado.

9. El coste de una ventana cuadrada depende de su tamaño. El precio del cristal es de 5 dólares por

��2y el marco 10 dólares por

dm. ¿Cuánto costará una ventana de 7 dm de lado, de 1 m y de 1.5 m? Construya una tabla, con los datos anteriores y otros que elija, obteniendo el costo según la

longitud del lado de la ventana. Sitúe los valores de la tabla anterior en una gráfica cartesiana. Escriba una fórmula que exprese el costo, conocida la longitud del lado.

10. En una nevería venden helados a $2.50 cada uno. El vendedor recibe un salario base de $300 más el 10% de las ventas. Encuentre una expresión que represente el salario del vendedor en términos de la cantidad de helados vendidos.

11. Exprese la longitud de una circunferencia en función del área del círculo correspondiente.12. Una alumna se golpeó en una rodilla jugando fútbol, su médico prescribió un anti-inflamatorio para

reducir la hinchazón. Tenía que tomar dos tabletas de 220 mg cada 8 horas durante 10 días. Si sus riñones filtraban de su cuerpo un 60% del medicamento, cada 8 horas, ¿qué cantidad quedaba en su sistema circulatorio al cabo de los 10 días? ¿Y si hubiera tomado la medicina durante un año?

13. Ana eligió 3 dígitos distintos y escribió todos los números de 3 cifras que se forman con ellos sin repetir. Luego sumó todos los números que obtuvo. Sabiendo que la suma de los tres dígitos

77

originales es 14, encuentre la suma obtenida por Ana.

14. Ernesto tiene 321 en billetes de 1, 5 y 25. Si tiene igual cantidad de billetes de 1 y de 5, determine cuántos billetes de cada clase puede tener. Dé todas las posibilidades.

15. Encuentre todos los números naturales de dos cifras, tales que el producto de sus dígitos más el doble de la suma de sus dígitos sea igual al mismo número.

16. Miguel sube la escalera de uno en uno. Daniel baja la escalera de dos en dos. Daniel baja dos escalones en el mismo tiempo en que Miguel sube uno. Ayer, cuando Miguel había subido 11 escalones, Daniel empezó a bajar. Cuando Daniel terminó de bajar, a Miguel le faltaba subir 8 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

17. Sea n un número cuadrado perfecto, de cuatro cifras, todas menores que 6. Si a cada cifra se le suma 1, el número resultante es otro cuadrado perfecto. Determine n.

18. Se llama cuadrado perfecto al cuadrado de un número entero. Si x es un cuadrado perfecto, ¿Cuál esel próximo cuadrado perfecto?

19. Dada la divisibilidad por 4, 5, 6 o 7, ¿por cuál de ellos es divisible �3 − �?20. Si �� = � , 1 + 1 = � , entonces (� + �)2 como queda expresado en función de � � �?

�2 �221. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la expresión �2 + 8�, si se asignan valores reales a

x?(desigualdades)

22. A una fiesta asistieron 20 personas. María bailó con siete muchachos, Olga con ocho, Sandra con nueve y así hasta llegar a Sonia, que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos había en la fiesta?

23. Encontrar las soluciones enteras positivas de la ecuación 2�−1. � − 2 � = 768 (material

paracapacitación para olimpiadas costarricense de matemáticas)

24. En un cierto Planeta hay tantos días en una semana como semanas en un mes como meses en un año.Si un año tiene 1331 días. ¿Cuántos días tiene una semana?

1) Haciendo uso de un modelo adecuado a cada una de las expresiones, obtener distintas interpretaciones de las siguientes identidades algebraicas:

� ) ( � + � )2 = �2 + 2�� + �2� ) ( � − � )2 = �2 − 2�� + �2�) ( � + � + �)2 = �2 + �2 + �2 + 2(�� + �� + ��)�) (� + �)3 = �3 + 3�2� + 3��2 + �3 = �3 + �3 + 3��(� + �)�) (� − �)3 = �3 − 3�2� + 3��2 − �3 = �3 + �3 − 3��(� − �)�) (� + � + �)3 = �3 + �3 + �3 + 3(� + � + �)(�� + �� + ��) − 3��

�) �2 − �2 = (� − �)(� + �)2) Se construye una piscina rectangular, como lo muestra la figura.

Exprese, en función de �, el área de la superficie de la piscina.

Exprese, en función de �, el área de los azulejos. Desarrolle la expresión obtenida y pruebe que el área de los

azulejos es 2� (25 − 2�).

77

) Escribir cada una de las expresiones algebraicas al menos de tres formas

4�� � = ℎ�2 �2 + �

78

ta de dos formas diferentes (como un polinomio

3) La siguiente figura está compuesta por un triángulo y un rectángulo, cuyas longitudes están expresadas en

las mismas unidades, � � > 0.

Deduzca el área de la figura en función de �. Desarrolle la expresión del área. Factorice la expresión del área.

Encuentre el área si � = 3 ��.4) Exprese el área de las siguientes figuras de dos formas diferentes:

5) Determine el área de la región indicada y de la respues en forma desarrollada y en forma factorizada:

6 diferentes, si es posible.

(� + �)2 �3 + �3 1

� 1

�(�+1) 1 + 1

�(�+1) (�+1)(�+2)7) Para cada una de las siguientes expresiones, escribir dos expresiones equivalentes:

1 − 11− 1𝑥−1 � + � √�−√� 1 + 13+ 13+1

3 (4(5 − �) + 7)(6� + 5)8) Para las siguientes igualdades, distinga cuáles son verdadera para cualquier valor que tomen las

variables, cuales son verdaderas únicamente para ciertos valores de las variables y cuáles nunca son verdaderas.

(� + �)2 − (� − �)2 = 4�� (� + �)2 + (� − �)2 + 2 = 1 − �2 + 4�� − 4�2 (� + � + �)2 + (� − �)2 + (� − �)2 + (� − �)2 = 3(�2 + �2 + �2) (� + 3)2 + (� + 1)2 = 0 �3 + �3 = (� + �)3 − 3��(� + �) �2(� − �) + �2(� − �) + �2(� − �) = (� − �)(� − �)(� − �) (� − 2)2 + 1 = (� − 1)22 2 ( � + � ) − ( � + � ) = � + � − � − ��+�+�+� 1 − 1 = ( � + � ) ( � − � )

�2+1 �2+1 (��+1)2+(�−�)2

1 + 1 = 2�

��−1 �+ 1 = 21 1

�=

�2− �22�

+�

+ 2�−�

9) Factorice los siguientes polinomios:

� = (� + 1)(� + 4) − 3(� + 4) + �2 − 16 � = �6 + �4 + �2 + 1 (������ �� ������ �2 + 1) � = �3 − 8 + 4(�2 − 4) − 3� + 6 � = �2 − �2 + �3 + �3 �6 + 27 8�3 − �9

10) Para todo real � se construye otro real � = (�2 − 16)2 − (� + 4)2Factorizar la escritura de � en cuatro factores.

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−

Desarrolle la escritura de �. Escoja la forma más cómoda de calcular � en los siguientes casos:

� = 0, � = 3, � = 5, � = −4, � = √3 − 111) Factorizar �4 + 4 como el producto de dos polinomios con coeficientes reales.12) Verifique que �6 − 1 = (� − 1)(�5 + �4 + �3 + �2 + � + 1)

� = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +

12 4

816 32

� = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 13 9

2781 243

� = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 323 9 27

81243

13) Demuestre que la factorización de �7 − 1 es de la forma �7 − 1 = (� − 1) (. . . ).

Investigue quénúmeros podrán calcularse con esta identidad.

14) Encontrar todos los enteros positivos �, � tales que �+� = 13 con � + � ≤ 8015) Calcular: 1

1�2

1+ 2�3

�+�−11+ ⋯ +�(� + 1)

Para � = 1, 2 … 10. Encontrar una fórmula que permita calcular eficientemente la suma.16) Calcular: 1 1 1 + + ⋯ + √1 + √2 √2 +

√3√� + √� + 1

Para � = 3, 8, 15. Encontrar una fórmula que dependa únicamente de k.

17) Si �, � ∈ �, son tales que � + � = 26 y �3 + �3 = 5408, ¿cuánto vale �2 + �2 ?18) Sean �, � ����� ��� �� = 3 = � + �. �������� �3 + �319) Sabiendo que (� + 1)2 = 7. �������� �3 + 1

� �320) Calcule �3 + �3 + �3,si se sabe que � + � + � = 0 y ��� = 121) Sean �, � ∈ � � � ≠ �. Calcular (�+�)2 si:

�−�

2�2 + 2�2 = 5 ��

�2 + �2 = 6��22) Si �, � son números reales tales que � − � = ��, calcular

� + � − ��� �23) Sea � un número natural. Demuestre que �2 + (� + 1)2 + �2(� + 1)2 es un cuadrado

perfecto, es decir, que puede escribirse de la forma (� + �)224) Sea � , un número natural:

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Verifique la identidad(� + 1)(� + 2) = �(� + 3) + 2 Demuestre, que �(� + 1)(� + 2)(� + 3) + 1 es un cuadrado perfecto (utilice el

problemaanterior).

25) Sean �, � ∈ �, tales que � + � + �� = 34 , calcular � + �26) Determinar las soluciones enteras de la ecuación (� + 1) (� + 1) = 0

� �27) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

(� + �)(� + �) = 30(� + �)(� + �) = 15(� + �)(� + �) = 18

28) Determinar � + � + �, si se sabe que �, �, � son reales positivos y:�� = 24�� = 72�� = 48

29) Encontrar todas las parejas de números �, � tales que:4 1 1= +� + �� �

30) Sean �, �, � números reales tales que � − 7� + 8� = 4 � ��� = 1 y 8� + 4� − � = 7. Determinar el valor �2 − �2 + �2

1. Si un automovilista conduce a 60 km/h, llega a su destino a las 1:00 p. m.; si conduce a 80 km/h llega a las 11:00 a. m. ¿Qué distancia recorre y cuál es su hora de partida?

2. En el tablero quedan 6 casillas vacías. Escribe en cada una de ellas, un número distinto mayor que cero, de tal forma que, al multiplicar los tres números en una fila, columna o en una diagonal, el resultado sea siempre el mismo.

3. En una botella se encuentran10 canicas, unas son rojas y las otras azules. Si se agregan 3 canicas azules y 2 rojas, entonces se tendrá dos veces más. ¿Cuántas canicas de cada color había inicialmente en cada botella?

4. Un ciclista corre a la velocidad de 25 km/h en terreno plano; en subida lo hace a 15 km/h y en bajada a 30 km/h. El ciclista hace 4 horas y 24 minutos para recorrer una ruta en el sentido AB, y 4 horas y 36 minutos en el sentido BA. Si la ruta tiene una longitud de 100 km, determine las longitudes del terreno plano, del terreno en cuesta y en bajada cuando se viaja en el sentido AB.

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5. Sea ABC un triángulo y Γ su circunferencia inscrita (incírculo). Se tienenlos datos siguientes: ̅� ̅̅� ̅ = 5.5, � ̅̅̅� ̅ = 5, � ̅̅̅� ̅ = 3.3. Determinar las

longitudes de las longitudes � ̅̅̅� ̅´, ̅� ̅̅� ̅´ y ̅� ̅̅� ̅´.6. Las áreas de tres terrenos rectangulares son proporcionales a 4, 5 y 6.

El primero y segundo terreno tienen lo mismo de largo; el segundo y tercero el mismo ancho. La suma de los tres largos es 280 m y la suma de los tres anchos es 192 m. Determine las dimensiones de cada terreno.

7. En el juego del tiro al blanco que se muestra, el anillo A, el anillo B y el anillo C corresponden a diferentes puntajes. La suma de los puntajes de A y B es 25, de B y C es 36 y de A y C es 31. ¿Cuál es la suma de los valores de los puntajes A, B y C?

8. En el centro escolar, el profesor de matemática les indica a sus estudiantesque resuelvan el juego “obteniendo el mismo número”. Les dice las siguientes instrucciones: escriban un número de dos cifras; a la derecha deese número junten el mismo número; dividan este último número entre el número original. Luego les interroga, ¿a qué número llegaron? Y todos responden 101. ¿Por qué sucedió?

9. La suma de dos números � � � es S y su producto es P. Muestre que si tales números existen deben ser solución de la ecuación �2 − �� + � = 0 . Deduzca de lo anterior una condición para que talesnúmeros existan.

10. Exprese el trinomio ��2 + �� + � en la forma � (� − �) + � en donde �, � y � se

deben determinar.Utilice esta forma para determinar el mínimo y el máximo valor que puede alcanzar el trinomio

��2 + �� + �. Utilice la técnica anterior para el trinomio 2�2 + 4� − 3.

11. Verifique el trinomio ��2 + �� + � puede ser escrito de la forma:

� [(� +� )2 − (2�

�2 − 4�� 4�2 )]Deducir de lo anterior la clásica fórmula para resolver la cuadrática:

��2 + �� + � = 0Observar que la existencia de soluciones en � y el número de soluciones lo determina la expresión:

�2 − 4��12. Determine todos los trinomios de segundo grado que admiten como raíces a:

r1 = 2 y r2 = −3 r1 = −1 y r2 = −4 r1r2 = −2

13. Mostrar que el producto de dos números positivos de suma constante 16, es máximo cuando ambos

números son iguales. Deducir de lo anterior que, de los rectángulos de perímetro fijo, el de mayor área es el cuadrado.

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Bibliografía básica

BARNETT RICH (1995): Álgebra elemental. Serie de Schawm. México: McGraw Hill.CAMARGO URIBE, LEONOR; GARCÍA DE GARCÍA, GLORIA; LEGIZAMÓN DE BERNAL, CECILIA; SAMPER DE CAICEDO, CARMEN;

SERRANO DE PLAZAS NELLY. Alfa 8 con estándares. Grupo Editorial Norma.CORCIO, CLAUDIA PATRICIA et al (2013): Resolución de problemas IV. Materiales de apoyo para docentes de

matemáticas. Ministerio de Educación. El Salvador.MINED (2001): Álgebra, cuadernos de Curso de Postgrado para profesores de tercer ciclo. El Salvador. PROYECTO JÓVENES TALENTO DE EL SALVADOR, NIVEL I. Curso de Iniciación al álgebra. 2013, 2014.TORI LOZA, ARMANDO; RAMOS LEYVA, JUAN C. (1998): Problemas de álgebra y como resolverlos. Colección

Racso. Perú.VALIENTE BARDERAS, SANTIAGO (2000). Didáctica de la matemática. El libro de los recursos. Madrid: La Muralla. JUAN D. GODINO, VICENÇ FONT (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros. Publicación realizada en el marco del Proyecto de Investigación y Desarrollo del Ministerio de Ciencia y Tecnología, BSO2002-02452.

Recursos en internet

Revista digital: Enseñanza de las Ciencias. Revista de investigación y experiencias didácticas.Enlace: http://ensci e ncias.uab.es/index

Resumen: Enseñanza de las Ciencias es una revista dirigida a profesores e investigadores del campo de la didáctica de las ciencias y de las matemáticas que promueve los estudios que correspondan a las necesidades del profesorado de ciencias y matemáticas y que profundicen en el impacto de diferentes prácticas educativas ya sea en el aula o en contextos informales.

Sitio web: Algebra TilesEnlace: http: / /goo.gl/CJcQ2l

Resumen: Sitio virtual para realizar ejercicios con un simulador de resolución de ecuaciones.

Sitio Web: Algebra Tiles. IlluminationsEnlace: ht t p: / /goo.gl/3B9 0 Jp

Resumen: Simulador virtual para realizar expresiones algebraicas, multiplicación algebraica, factorización.

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Sitio web: Pasatiempos y juegos en clase de matemáticasEnlace: https://goo.gl/xhjDV0

Resumen: Blog en el que se enseña la aplicación de los rompecabezas en el ámbito algebraico. Se orienta hacia el diseño, la elaboración y la implementación de los rompecabezas en la resolución de ecuaciones de segundo grado a fin de mejorar las habilidades y destrezas algebraicas mediante actividades lúdicas.

Sitio web: Didactmatic PrimariaEnlace: ht t p: / /goo.gl/23i3Uf

Resumen: Página web que desarrolla, con aplicaciones virtuales, contenidos educativos digitales multimedia para la enseñanza y aprendizaje de matemática que integre las TIC con fundamento didáctico. Análisis y valoración de interés didáctico, basada en el aprendizaje por descubrimiento, atención a la diversidad y fomento de la creatividad.

Sitio Web: Sector matemática. El Portal de las matemáticasEnlace: http://www.sec t ormatematica.cl/educ m edia.htm

Resumen: Es una página web diseñada por el maestro chileno Danny Perich. Contiene desarrollo de contenidos de distintos niveles: básico, medio y preuniversitarios. Además, una serie de recursos didácticos: juegos matemáticos, crucigramas, videos, presentaciones en PowerPoint. Contiene también evaluaciones para los distintos niveles. Hay libros digitales de gran importancia para el desarrollo profesional docente.

Presentación: Las matemáticas detrás de las redes socialesEnlace: http: / /goo.gl/mHl f Ac

Resumen: Presentación PowerPoint que contiene historias asociadas a cálculos matemáticos, de interés para el aprendizaje de las matemáticas.

Documento: Secuencia didáctica de álgebraEnlace: ht t ps : //goo.gl/9MnxPS

Resumen: El recurso presenta una secuencia didáctica sobre lenguaje algebraico expresiones algebraicas, operaciones fundamentales, ecuaciones lineales. Pretende que los alumnos sean capaces de realizar la traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa, formando ecuaciones lineales, expresiones algebraicas, despeje de variables, operaciones algebraicas, términos semejantes y métodos de solución de problemas de la vida real o cotidiana.

Sitio Web: Curso de especialización en matemática para Tercer CicloEnlace: ht t ps : //goo.gl/rErmwb

Resumen: Blog que contiene materiales del desarrollo de los cursos de postgrados de matemática para Tercer Ciclo de Educación Básica de El Salvador.

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