Dosier módulo VII

Módulo VII

Diciembre de 2014

Introducción .......................................................................................................................... 3

Unidad I: Razonamiento combinatorio .................................................................................... 4

1.1 Matemática discreta y combinatoria ...........................................................................................4 1.2 Desarrollo cognitivo de la capacidad combinatoria .....................................................................4 1.3 Diagrama de árbol ........................................................................................................................9 1.4 Principio de la suma .................................................................................................................. 11 1.5 Principio del producto ............................................................................................................... 12

Unidad II: Conjuntos.............................................................................................................. 15

2.1 Introducción .............................................................................................................................. 15 2.2 Formando conjuntos ................................................................................................................. 15 2.3 Representación de conjuntos ................................................................................................... 16 2.4 Creando subconjuntos de un conjunto ..................................................................................... 20 2.5 Operando conjuntos ................................................................................................................. 25

unidad III: Métodos de conteo .............................................................................................. 34

3.1 Permutaciones .......................................................................................................................... 34 3.2. Variaciones ................................................................................................................................ 44 3.3. Combinaciones .......................................................................................................................... 50

Unidad IV: Cálculo proposicional ............................................................................................ 57

4.1 Introducción .............................................................................................................................. 57 4.2 Proposiciones ............................................................................................................................ 57 4.3 Conectivos lógicos ..................................................................................................................... 60 4.4 Tablas de verdad ....................................................................................................................... 70 4.5 Tautologías y contradicciones ................................................................................................... 73 4.6 Equivalencias lógicas ................................................................................................................. 74

Referencias documentales ................................................................................................... 78

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Dentro del Plan Nacional de formación de especialistas de matemática de primero y segundo ciclo de Educación Básica, se encuentra el módulo 7 titulado “Iniciación de la Matemática Discreta y Combinatoria” que pretende que los participantes comprendan, desarrollen y utilicen los conceptos básicos de la matemática discreta, para determinar el número de resultados posibles de un evento particular, el número de elementos en un conjunto sin necesidad de enumerarlos o verificar la veracidad de proposiciones a través de un razonamiento lógico, con el fin de contribuir al desarrollo formal de la matemática. En el desarrollo de este módulo se plantean problemas cotidianos que pueden ser abordados de diferentes formas, iniciando con procedimientos rudimentarios de cálculo mediante ensayo y error, luego se buscan métodos para realizar inventarios de todos los posibles resultados y finalmente, presentar la solución formal que considere el conjunto de posibilidades que deben examinarse y enumerarse hasta llegar a una conclusión o aplicación de una fórmula o modelo concreto. El contenido se ha organizado en cuatro unidades. En la unidad I, razonamiento combinatorio, se presenta las principales ideas y áreas de aplicación de la matemática discreta y combinatoria, así como el desarrollo cognitivo del pensamiento combinatorio y se finaliza con el desarrollo de un ejemplo, donde se evidencia los diferentes estadios de la capacidad combinatorio que considera Piaget. La unidad II contiene el concepto de conjunto que es básico en el desarrollo de la matemática y sus aplicaciones, se considera que, si un conjunto es finito y no muy grande, es posible describirlo por la lista de los elementos en él, además se presentan las operaciones entre conjuntos, entre otros. Esta unidad es fundamental para la comprensión de las últimas dos unidades que se desarrollan en este módulo. En la unidad III se desarrollan los métodos de conteo, con el fin de que los especialistas desarrollen capacidades para generar las posibles agrupaciones de elementos con una determinada característica, distinguir las diferencias principales entre permutaciones, variaciones y combinaciones y utilizarlas como herramientas para resolver problemas de recuento o enumeración. Finalmente, la unidad IV se refiere al cálculo proposicional, que inicia relacionando los conectivos lógicos con el lenguaje cotidiano, se construyen proposiciones y se utilizan los diferentes conectivos lógicos para analizar su validez, llegando a las tablas de verdad. Todos estos contenidos se desarrollan con el fin de que el especialista comprenda, desarrolle y utilice algunas técnicas de la Lógica Matemática para adquirir la capacidad de reconocer entre argumentos válidos y no válidos.

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Razonamiento combinatorio

1.1 Matemática discreta y combinatoria La matemática discreta estudia los conjuntos discretos que pueden ser finitos o, que, si no son finitos, se presentan como los números naturales, es decir, conjuntos numerables u objetos bien separados entre sí. Uno de los núcleos centrales de la matemática discreta es la combinatoria, que estudia colecciones, por lo general finitas, de objetos que satisfacen ciertos criterios que debe cumplir, por ejemplo, el hecho de que sea necesario o no el orden o la repetición. También, la combinatoria debe garantizar que no se omita ni se repita algún ordenamiento posible de las situaciones problemas que se estén analizando. En general, la combinatoria se considera como “el arte y ciencia de contar” que estudia las agrupaciones que pueden ser formadas cuando se toman todos, o algunos, de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, empresas, artículos producidos por una fábrica, etc. La Teoría Combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que pueden ser obtenidas bajo algún modo de composición de los elementos. Para ello, distingue básicamente tres conceptos: arreglos, permutaciones y combinaciones. Por otra parte, el abordaje y la aplicación de las técnicas de solución de situaciones problemas combinatorios han tenido profundas implicaciones en el desarrollo de la probabilidad, teoría de números, teoría de conjuntos, geometría, entre otras. Esta es una de las razones por las cuales la teoría combinatoria se considera una parte central de la matemática discreta y no un pre-saber exclusivo de la teoría de probabilidad.

1.2 Desarrollo cognitivo de la capacidad combinatoria Inhelder y Piaget (1955), impresión en español de la obra De la lógica del niño a la lógica del adolescente consideran diferentes estadios del desarrollo cognitivo del niño: Estadio I se considera las edades hasta 7-8 años, en este estadio el sujeto solo actúa para conseguir su objetivo, y no se pregunta acerca de cómo lo logra. El niño en este estadio presenta un razonamiento de carácter intuitivo y parcial, razona a partir de lo que ve. Domina en él la percepción. Estadio II se considera las edades de 8 a 11 años aproximadamente, este estadio marca el comienzo de las operaciones concretas, entendidas como la acción acompañada de una toma de conciencia de su propio mecanismo, aunque no buscan la razón de estos hechos mediante operaciones formales.

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Durante el período de las operaciones concretas, los niños buscan modos de realizar inventarios de todas las permutaciones, variaciones y combinaciones posibles en un conjunto dado con un número pequeño de elementos, y llegan a procedimientos rudimentarios de cálculo mediante ensayo y error. Estadio III (Formal) se considera las edades hasta 14-16 años y surge el pensamiento hipotético deductivo que se aplica sobre un conjunto de posibilidades que deben examinarse y enumerarse hasta llegar a una conclusión. Los jóvenes adquieren la capacidad de usar procedimientos sistemáticos para realizar inventarios de todas las permutaciones posibles, variaciones y combinaciones de un conjunto dado de elementos. Rafael Roa en su tesis doctoral (2000) hace una revisión bibliográfica sobre las diversas investigaciones que se han desarrollado en torno al desarrollo cognitivo de la capacidad combinatoria, entre las que menciona: Piaget considera los esquemas combinatorios como un componente esencial del pensamiento formal, con una importancia comparable a los esquemas de la proporcionalidad y de la correlación. Piaget e Inhelder (1951) describen el desarrollo psicogenético de las operaciones combinatorias en los distintos estadios de desarrollo, a partir de sus observaciones y entrevistas a niños, proponiéndoles tareas combinatorias con materiales concretos. Entre los hallazgos se destacan: Combinaciones Hasta los 7 años de edad aproximadamente, el niño construye las combinaciones por tanteo, de una manera empírica, y no es capaz de establecer un procedimiento sistemático que le lleve a determinar todos los casos posibles. Por ejemplo, para formar parejas de fichas de diferente color, tomadas de entre tres montones de diferente color, los niños de estas edades seleccionan parejas al azar y no buscan un procedimiento que les permita obtener todas las parejas posibles. No se aprecia algún procedimiento sistemático como dejar fija alguna ficha y mover las restantes. Desde los 8 a 11 años de edad aproximadamente, en la actividad de formar parejas lo que predomina es la búsqueda de un procedimiento sistemático de formación de parejas y se va desechando la obtención aislada de parejas. Esa búsqueda pocas veces conduce a resultados satisfactorios y, con demasiada frecuencia, el niño recurre de nuevo a la búsqueda empírica. De los 11 a 12 años de edad aproximadamente, los niños comienzan a descubrir con relativo éxito procedimientos sistemáticos de búsqueda de solución a los problemas planteados. Permutaciones Una característica importante a tener en cuenta es el gran número de permutaciones que se pueden obtener a partir de un número de elementos relativamente pequeño. Es por ello que Piaget no pretende que el niño sea capaz de obtener todas las permutaciones posibles de un determinado número de objetos y mucho menos que lleguen a la expresión matemática. Lo que se le pide a los niños es que realicen o logren un procedimiento que les permita obtener todas las permutaciones posibles de un número pequeño de objetos. En este sentido, se les pide a los niños que hagan las permutaciones de 2, 3 y 4 objetos sucesivamente.

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Variaciones Piaget considera a las variaciones como la síntesis de las combinaciones y permutaciones. En las variaciones de n elementos disponibles de donde se toman m, hay un primer paso de obtención de grupos de tamaño m y, a continuación, las posibles reordenaciones dentro de cada uno de ellos. En resumen, los alumnos al enfrentarse por primera vez a los problemas de combinatoria, los intentan resolver por tanteo de forma empírica, luego lo intenta resolver de forma concreta a través del uso de métodos gráficos que les permiten organizar la información y contar las posibilidades de una en una. Finalmente, detectan patrones en la información y utilizan operaciones para generalizar los patrones. El uso de estos procesos culmina en la deducción y uso de las fórmulas de manera efectiva y razonada en la solución de los problemas de conteo. Ejemplo 1.1. Elaboración de banderas

A. Dibujar banderas de dos franjas horizontales de colores distintos que deben ser elegidos entre tres colores: azul, rojo y verde. ¿Cuántas banderas es posible dibujar? Describir un método para estar seguro que no se pueden dibujar más banderas o no se ha omitido alguna bandera. Calcular el número de banderas mediante un procedimiento formal.

B. Utilizando los mismos colores de la parte A, dibujar todas las banderas de tres franjas horizontales

de colores diferentes. ¿Cuántas banderas es posible dibujar? Describir un método para estar seguro que no se pueden dibujar más banderas o no se ha omitido alguna bandera. Calcular el número de banderas mediante un procedimiento formal.

Solución A: A1. El dar respuesta a la primera pregunta -¿Cuántas banderas es posible dibujar?- es la primera fase en el análisis de un problema de combinatoria y consiste en la identificación de todas las configuraciones posibles, por ejemplo:

Se han elegido los colores de forma aleatoria y se determina que el total de banderas que se pueden dibujar son 6. A2. Para describir un método que garantice que no se pueden dibujar más banderas o no se ha omitido alguna. Se requiere definir algún patrón que compruebe que con los colores: azul, rojo y verde, únicamente se pueden dibujar 6 banderas de dos colores. Por ejemplo:

1. Fijar el color azul en la franja superior de la bandera, así:

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2. Fijar el color rojo en la franja superior de la bandera, así:

3. Fijar el color verde en la franja superior de la bandera, así:

El proceso desarrollado para garantizar que se han dibujado todas las posibles banderas o que ninguna se ha omitido, es una manifestación del Estadio II que define Inhelder y Piaget (1955), esta es una forma sistemática de verificar que únicamente es posible dibujar 6 banderas de dos colores. A3. El procedimiento formal conlleva un mayor análisis numérico de todas las posibles ordenaciones, por ejemplo:

Identificar: ¿Cuántos colores es posible elegir para la franja superior de la bandera?

Una vez elegido el color de la franja superior de la bandera, ¿cuántos colores es posible elegir para la franja inferior de la bandera?

Se puede elegir 3: azul, rojo, verde. Se puede elegir 2 colores.

El total de banderas posibles es 3x2=6

Solución B: B1. Se escriben todas las ordenaciones posibles de tres colores sin llevar un orden, luego se verifica que no se haya omitido alguna.

Se han ido ordenando las franjas de la bandera de forma aleatoria y luego se ha hecho una revisión para asegurar que no hay banderas repetidas y que no se ha omitido alguna, se concluye que en total hay seis banderas diferentes. B2. Para asegurar que no se pueden dibujar más banderas o no se ha omitido alguna, se busca un procedimiento sistemático, por ejemplo:

1. Fijar el color azul en la franja superior de la bandera, así:

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2. Fijar el color rojo en la franja superior de la bandera, así:

3. Fijar el color verde en la franja superior de la bandera, así:

Se ha desarrollado un proceso de forma sistemática, que permite verificar que únicamente es posible dibujar 6 banderas de tres colores, sin repetir u omitir alguna bandera. B3. Para determinar el número de banderas mediante un procedimiento formal, se realizará el siguiente análisis: En la franja superior de la bandera puede ir cualquiera de los 3 colores:

Para la franja central, una vez que se ha fijado el color de la franja superior, solo hay dos colores posibles.

Para la franja inferior, una vez que se han fijado los colores de las franjas superior y central, solo queda un color.

Por tanto, el total de banderas que se pueden dibujar son:

3 colores (franja superior) x 2 colores (franja central) x 1 color (franja inferior) = 6 banderas

Resumen: En el ejemplo desarrollado interesa el orden en que aparecen los colores. No se ha omitido alguna bandera posible (las banderas son diferentes). El factorial de un número natural n, se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n y se denota por: 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 2𝑥1. Por ejemplo, el factorial de 3 es 3! = 3 x 2 x 1 = 6. Por convención matemática se tiene que 0! =1.

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1.3 Diagrama de árbol En este apartado se desarrollará la idea de dibujar un diagrama, que permita contar grupos de elementos. La justificación de su enseñanza es que contribuye a comprender de manera intuitiva el ordenamiento de elementos. Ejemplo 1.2. Selección de atuendo

Para ir a trabajar, Adriana dispone de dos faldas: una negra (N), y una amarilla (A); y tres blusas: una roja (R), una azul (Az) y una blanca (B).

a) Enumerar todas las formas que se puede vestir Adriana. b) Elabore un diagrama que ayude a obtener todas las formas que puede vestirse Adriana. c) Pensar una forma numérica de obtener todas las formas de vestirse.

Suponga que las faldas y blusas son las siguientes:

Solución:

a) Las formas que se puede vestir Adriana para ir a trabajar son las siguientes:

1. Falda amarilla y blusa roja. 2. Falda negra y blusa azul. 3. Falda amarilla con blusa azul. 4. Falda negra con blusa roja. 5. Falda amarilla con blusa blanca. 6. Falda negra con blusa blanca.

Otra forma de mostrar la solución es:

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b) Para encontrar o enumerar las diferentes formas que se puede vestir Adriana se presenta el

siguiente diagrama:

A través del diagrama anterior se obtiene que Adriana puede vestirse de 6 formas de vestirse. Observe que se parte de un punto cualquiera (origen); del punto de partida se saca una línea para cada una de las faldas: Negra o amarilla; de cada falda salen tres líneas hacia las blusas: Roja, azul o blanca. Finalmente, se obtienen todos los posibles arreglos (formas de vestirse). El esquema anterior se conoce como diagrama de árbol y es una herramienta gráfica que permite enumerar todas las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones secuenciales o independientes. El árbol se construye a partir de un nodo, que representa la primera acción a efectuar; de éste se desprenden tantas ramas como maneras diferentes se pueda realizar esa acción; en las terminales de cada rama se dibujan otros nodos, que representan la segunda acción a efectuar y de los que se desprenden tantas ramas como maneras lógicas diferentes pueda realizarse esa segunda acción, considerando la manera en que se realiza la primera. Y así sucesivamente.

El diagrama de árbol es una representación gráfica que permite encontrar todos los arreglos que se pueden formar con los diferentes elementos que se tienen en un conjunto. Un arreglo es una ramificación - desde su punto inicial hasta su punto final - donde cada ramificación debe tener un elemento de cada grupo o conjunto.

c) Para obtener el resultado numérico del total de formas que puede vestirse Adriana, se realiza el

siguiente análisis:

Hay dos formas posibles de elegir las faldas (N o A), luego cada falda puede combinarse con tres posibles blusas (R, Az o B). Imagina que Adriana decide llevar la falda negra, entonces la puede combinar con: la blusa roja, la blusa azul o la blusa blanca, esto es, tiene 3 formas diferentes de vestirse. Ahora, si Adriana decide llevar la falda amarilla, también la puede combinar con: la blusa roja, la blusa azul o la blusa blanca y nuevamente tiene 3 formas de vestirse. Este análisis conlleva a totalizar 6 formas diferentes de vestirse, 3 con la falda negra y 3 con la falda amarilla. El cálculo final, se puede resumir de la siguiente forma: 2(faldas) x 3(blusas) = 6 formas de vestirse.

A

N

R

Az

B

AR

AAz

AB

R

Az

B

NR

NAz

NB

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1.4 Principio de la suma Para introducir el principio de la suma se desarrolla el siguiente ejemplo, que hace referencia a colorear o pintar algunas figuras geométricas. Ejemplo 1.3. Ordenamiento de figuras geométricas Se van a pintar figuras geométricas de color gris o negro, donde importa el orden de los colores. ¿De cuántas maneras distintas se pueden pintar las siguientes 5 figuras de forma que 3 de ellas sean de color negro y 2 de color gris?

Describir un método ordenado para estar seguro que no se pueden obtener más ordenaciones o no se ha omitido alguna. Calcular el número de ordenaciones considerando las mismas condiciones de la pregunta anterior, pero mediante un procedimiento formal. Solución: i) Se escriben todas las posibles ordenaciones de colores, donde siempre haya 3 figuras de color negro,

sin llevar un orden, luego se verifica que no se haya omitido alguna.

ii) Definir una estrategia a seguir para asegurar que se han obtenido todas las ordenaciones y que ninguna se repite.

Una estrategia sería:

1. Fijar las primeras dos figuras negras (el cuadrado y el círculo), luego ir moviendo la otra figura negra en los otros 3 espacios (se obtienen 3 ordenaciones diferentes).

2. Fijar la primera figura negra (cuadrado), segunda gris (círculo) y tercera negra (triángulo), luego ir moviendo la otra figura negra en los dos lugares restantes (se obtienen 2 ordenaciones diferentes).

3. Fijar la primera figura gris (cuadrado) y las otras dos figuras negras (círculo y triángulo), luego ir moviendo la otra figura negra en los dos lugares restantes (se obtienen 2 ordenaciones diferentes).

4. Fijar la primera figura gris (cuadrado) y las últimas dos figuras negras (rombo y pentágono), luego ir moviendo la otra figura negra en los dos lugares restantes (se obtienen 2 ordenaciones diferentes).

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5. Finalmente, hacer la ordenación negra, gris, gris, negra, negra (cuadrado, círculo, triángulo, rombo, pentágono).

Al sumar todas las posibles ordenaciones se obtiene un total de 10. iii) Realizar un análisis numérico para obtener el total de ordenaciones.

a) Identificar todas las posibilidades de seleccionar 3 figuras negras de un total de 5 (hay 10

formas). Es de notar que una vez seleccione las figuras negras, automáticamente se conocen las figuras grises que hacen falta.

b) Se toma el cuadrado negro, luego se identifica todas las posibilidades de seleccionar 2 figuras negras de un total de 4 (hay 6 formas), después se aparta al cuadrado negro y se identifican todas las posibilidades de seleccionar 3 figuras negras de un total de 4 (hay 4 formas); finalmente se suman todas las formas: 6 + 4 = 10 ordenaciones.

Nuevamente es de tener en cuenta que una vez se han seleccionado las figuras negras, también quedan seleccionadas las figuras grises.

Principio de la suma: Si un suceso A se puede realizar de “m” maneras diferentes, y otro suceso “B” se puede realizar de “n” maneras diferentes. Además, si ocurre uno no puede ocurrir el otro, el total de formas en que puede ocurrir A o B es m + n. Este principio puede generalizarse a más de dos sucesos.

Resumen: En el numeral iii) literal b) se ha aplicado el principio de la suma, definiendo los siguientes sucesos:

Suceso A: “Ordenaciones de figuras que tienen el cuadrado negro”, este suceso puede realizarse de 6 maneras.

Suceso B: “Ordenaciones de figuras que no tienen el cuadrado negro”, este suceso puede realizarse de 4 formas.

El total de formas de que ocurra A o B es: 6 + 4 = 10.

1.5 Principio del producto Actividad: Elegir el menú del almuerzo Al llegar al comedor, con el objetivo de almorzar, se encuentra el siguiente menú del día:

MENÚ DEL DÍA Sopas Platos Frijoles Carne Patas Pollo Gallina

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Se puede elegir una sopa y un plato principal por $2.00. ¿Cuántos menús diferentes se puede elegir? Solución: a) A partir del menú del día, se construye el siguiente diagrama: Se observa que el número de menús diferentes es equivalente a encontrar el número de caminos que pueden llegar a B desde el punto A. El primer tramo se puede recorrer de 3 maneras, el segundo tramo de 2 formas; en consecuencia, el total de formas de llegar a B desde A es: 3 × 2 = 6 maneras. b) Otra forma de enumerar los diferentes menús es la siguiente:

Sopas Platos Menús

Gallina Carne Gallina, Carne

Gallina Pollo Gallina, Pollo

Frijoles Carne Frijoles, Carne

Frijoles Pollo Frijoles, Pollo

Patas Carne Patas, Carne

Patas Pollo Patas, Pollo

Cuando hay pocos elementos es posible contar todas las combinaciones. Sin embargo, cuando el número de elementos es grande, resulta muy tedioso contar todos los eventos. En estos casos se aplica el Principio del Producto o Multiplicación el cual se enuncia a continuación.

Principio de la multiplicación: Dados 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘 , k conjuntos o eventos diferentes y 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 las cantidades respectivas de elementos de dichos conjuntos, entonces la cantidad de arreglos diferentes que contiene un elemento de cada conjunto, escribiendo primero los elementos del conjunto uno seguidos de los del conjunto dos y así sucesivamente hasta llegar al conjunto k, se llama regla generalizada de multiplicación, y está dada por 𝒏𝟏 𝒙 𝒏𝟐 𝒙 … . 𝒙 𝒏𝒌

Observaciones:

1) Los sucesos o eventos ocurren uno a continuación del otro, originando un suceso compuesto. 2) El principio de multiplicación solo está agilizando el principio de la suma, dada la definición de

multiplicación como una suma reiterada del mismo número, lo que se está haciendo aquí es sumar bloquecitos de igual tamaño.

Para finalizar este apartado, se retoma el ejemplo del menú, donde los bloquecitos involucrados en la multiplicación son: dos menús con sopa de gallina, dos con sopa de frijoles y dos con sopa de patas, así que hay 2+2+2 = 6 menús diferentes, y esta suma puede escribirse de manera más sencilla como 2+2+2 = 3(2). Es de tener en cuenta que si uno de los bloques no tuviera la misma cantidad de elementos no se podría aplicar el principio de multiplicación directamente, sino que habría que hacer casos.

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Ejercicios

1) Se continúa dibujando banderas. Dibujar banderas de tres franjas, suponiendo que tienes cuatro colores: azul, rojo, verde y amarillo ¿Cuántas banderas es posible dibujar? Describir un método para estar seguro que no se pueden dibujar más banderas o no se ha omitido ninguna bandera. Calcular el número de banderas mediante un procedimiento formal.

2) Ordenar en fila a 4 niños. La profesora de Matemática tiene por norma, felicitar el último día del

mes a los estudiantes que han cumplido año en dicho mes. Hoy es último de mes y hay 4 cumpleañeros del presente mes, solicita a los 4 pasar al frente y que sus compañeros les den un aplauso. ¿De cuántas formas se puede ordenar en fila los 4 estudiantes? Describir un método para estar seguro del total de ordenaciones de los 4 estudiantes. Calcular el total de las ordenaciones de los 4 alumnos mediante un procedimiento formal.

3) Dibujos con segmentos. Se tiene una malla cuadrangular formada por puntos, como se muestra en la

siguiente figura, cuyos lados son de un centímetro. ¿Cuántos dibujos diferentes puedes formar con tres segmentos de un centímetro unidos entre sí? A continuación, se presenta un ejemplo ilustrativo.

4) Continuando con la elección del menú. Para almorzar se puede elegir 1 sopa, 1 plato principal y 1 postre,

entre: 3 sopas diferentes, dos platos principales y 4 postres. ¿De cuántas formas se puede arreglar el menú? 5) Elección de junta directiva. En la elección de una junta directiva de una escuela hay 4 candidatos a

presidente, 3 candidatos a secretario y 5 candidatos a tesorero. ¿De cuántas maneras se puede elegir la junta directiva?

6) Pozos exploratorios. Un experimento consiste en observar el resultado de la perforación de cuatro

pozos exploratorios. El resultado del primer pozo puede presentarse de 2 maneras (0: seco, 1: productor), el resultado del segundo, tercero y cuarto pozos también puede presentarse de 2 maneras (0: seco, 1: productor). Determinar los resultados posibles en las perforaciones de los 4 pozos.

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Conjuntos

2.1 Introducción

Georg Cantor, el fundador de la Teoría de Conjuntos, es considerado por muchos como una de las mentes más originales en la historia de las matemáticas. Nació en San Petersburgo, Rusia en 1845. En su vida académica, Cantor tuvo muchas dificultades con sus colegas que no aceptaron sus teorías sobre los conjuntos infinitos.

Cantor murió en 1918 en un hospital debido a problemas mentales. En esos años, sus ideas revolucionarias comenzaban a ser aceptadas por algunos de los matemáticos más prominentes del nuevo siglo. Uno de los más grandes matemáticos del siglo XX, David Hilbert describió a las nuevas matemáticas de Cantor como “el producto más asombroso del pensamiento matemático” y aseguró que “nadie nos va a expulsar del paraíso que Cantor ha creado para nosotros”.

Richard Dedekind, un importante matemático alemán, amigo de Cantor, fue uno de los primeros que reconoció la importancia de sus ideas y se convirtió en su aliado importante en la promoción de la teoría de conjuntos.

2.2 Formando conjuntos

De aquellas situaciones en las cuales surgen agrupamientos o colecciones de entes concretos o inmateriales, aparece la noción intuitiva de conjunto, una noción primitiva que forma parte de nuestra manera de conocer y pensar.

En Matemática, la denominada Teoría de Conjuntos, es la rama que estudia las propiedades, operaciones y relaciones de estos objetos abstractos (conjuntos) que, sin duda alguna, constituye la base para fundamentar teóricamente cualquier otra rama de la disciplina, como la Aritmética, la Geometría, el Álgebra, la Estadística o el Cálculo, entre otras.

Un conjunto es toda agrupación de entes concretos o abstractos, determinados por su descripción, o bien caracterizados por una propiedad común, con lo cual es posible establecer con certeza si un objeto le pertenece o no. Los objetos que forman un conjunto son los elementos del conjunto.

Notación: un conjunto será simbolizado por una letra mayúscula A, B, C, ... y sus elementos, por letras minúsculas a, b, c, ….

Es inmediata la relación que existe entre los elementos y el o los conjuntos al que pertenecen, tal es la relación de pertenencia, si a es un elemento del conjunto A escribiremos:

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a ∈ A, leído como a pertenece a A

En caso contrario escribiremos:

a ∉ A, leído como a no pertenece a A

Son ejemplos de conjuntos:

Los departamentos de El Salvador.

Los miembros de la banda de paz del Instituto Nacional Francisco Menéndez.

Las gasolineras del puerto de La Unión.

Los colores del arcoíris.

Las rectas paralelas a una recta dada.

Los números pares positivos.

Las soluciones de una ecuación de segundo grado.

Los meses del año.

2.3 Representación de conjuntos

Para definir un conjunto utilizamos dos modos de hacerlo, mencionando uno a uno sus elementos o bien, caracterizando sus elementos por una propiedad común.

Definición por extensión: un conjunto queda descrito por extensión cuando se especifican todos sus elementos.

Definición por comprensión: un conjunto queda descrito por comprensión cuando sus elementos se caracterizan por una propiedad común.

Por ejemplo, el conjunto V = {a, e, i, o, u}, definido por extensión, también queda determinado por comprensión mediante V = {v: v es letra vocal}.

Nota: los dos puntos “:” en la descripción por comprensión se lee “tal que”.

Por otro lado, no es posible describir por extensión el conjunto ℕ de los números naturales, dado que es infinito:

Intuitivamente, diremos que un conjunto A es infinito cuando su extensión no tiene fin, caso contrario, diremos que es finito.

Llamaremos cardinal (o cardinalidad) de un conjunto finito A, a la cantidad de elementos que contiene, detonado por card(A).

Para el conjunto V anterior, se tiene card (V) = 5.

Existe un conjunto cuyo cardinal es cero, por tanto, carece de elementos y se denomina conjunto vacío, indicado por el símbolo Ø:

Por extensión: Ø = { }.

Por comprensión: existen diferentes propiedades que pueden ser usadas para determinar un conjunto vacío. Por ejemplo, las ciudades de El Salvador con 10 millones de habitantes, las ecuaciones cuadráticas con 3 soluciones, o las rectas paralelas que se cortan en un punto. Sin

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embargo, la propiedad que se maneja con mayor frecuencia para definir el conjunto Ø es “el conjunto de las x tales que x ≠ x”, simbólicamente: Ø = {x: x ≠ x}.

Todo conjunto con cardinal igual a la unidad será llamado conjunto unitario.

Son conjuntos unitarios:

A = {0}.

B = {p ∈ 𝚷 : p es punto que corta dos rectas secantes},

C = {x ∈ ℝ : 2x + 5 = 13}.

Conjunto universo

Observemos que tanto en B como en C nos referimos a dos conjuntos genéricos, el plano 𝚷 y los números reales ℝ, conjuntos que nos aportan el ámbito o dominio para la escogencia del elemento único que pertenece al conjunto unitario, tales conjuntos de referencia son denominados universo del discurso o simplemente universo:

Un conjunto es denominado universo U, si es el conjunto de todos los elementos de referencia que integran el ámbito o contexto para la formación de otros conjuntos.

Ejemplo 2.1.

1. Considere el siguiente universo U = {x: x es un número natural de dos cifras}. De este universo, forme el conjunto A = {x∈U: x es múltiplo de 15}.

a) Describa por extensión los conjuntos U y A b) Determine las cardinalidades de los conjuntos U y A.

Solución:

a) Conjuntos U y A por extensión.

Dado que el conjunto U está formado por los números naturales de dos cifras, tenemos que:

U = {10, 11, 12, 13, …, 97, 98, 99}

El conjunto A está formado por los múltiplos de 15, tomados de entre los elementos del conjunto U, que es nuestro universo de trabajo:

A = {15, 30, 45, 60, 75, 90}

b) Cardinal de U y A.

Haciendo un conteo de los elementos que contienen, podemos determinar que:

card(U) = 90 y card(A) = 6.

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2. La profesora de mi grado quiere designar una delegación de estudiantes para participar en el Campamento para una Cultura de Paz organizada por la escuela. Para esto, la profesora propone que los 25 niños del grado se pongan en fila y se numeren del 1 al 25. Se van a constituir 4 grupos:

El grupo A será integrado por aquellos estudiantes que les haya tocado un número que es cuadrado perfecto.

El grupo B será integrado por aquellos estudiantes que les haya tocado un número múltiplo de 3.

El grupo C será integrado por aquellos estudiantes a quienes les haya tocado un número primo.

El grupo D estará integrado por los estudiantes que no pertenezcan a ninguno de los grupos anteriores.

Finalmente, la profesora les indica que el grupo que asistirá al Campamento será aquel que esté integrado por la mayor cantidad de estudiantes. ¿Cuál es el grupo que asistirá al Campamento?

Solución:

Este ejemplo se puede visualizar como un problema que tienen 4 conjuntos y se desea determinar cuál de ellos tiene la mayor cardinalidad.

La primera cosa que debemos identificar es que el universo de trabajo son los números del 1 al 25. Es decir, U = {1, 2, 3, 4, …, 24, 25}

La descripción, por extensión, de cada uno de los conjuntos A, B, C y D es:

A = {1, 4, 9, 16, 25}, B = {6, 12, 18, 24} C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} D = {8, 10, 14, 15, 20, 21, 22}

Las cardinalidades de los conjuntos A, B, C y D son: card(A)=5, card(B)=4, card(C)=9, card(D)=7.

De manera que el grupo C, cuya cardinalidad es 9, es el que asiste al campamento para una Cultura de Paz.

3. Considere el conjunto S = {0, 1}. Llamaremos al conjunto S como alfabeto, y a los arreglos o cadenas formadas con los elementos de S los llamaremos palabras. Por ejemplo, 111, 100001, 001, 1 son palabras formadas con elementos del alfabeto S. El conjunto universo U está constituido por todas las palabras w formadas con los símbolos del alfabeto S y se denotará por S*. Definimos como Wk, al conjunto de palabras w a lo sumo de longitud k, esto es longitud(w) ≤ k

Dicho lo anterior, forme por extensión y comprensión el conjunto W3:

Por extensión: W3 = {0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}

Por comprensión: W3 = {w ∈ S* : longitud(w) ≤ 3}

Conjuntos disjuntos Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A está en B y ningún elemento de B está en A, se dice que A y B son disjuntos.

19

Ejemplo 2.2. Si E = {m, n, r} y F = {x, y, z}, E y F son disjuntos pues no tienen elementos comunes. Sean A = {3, 5, 6, 7, 12} y B = {4, 7, 10, 11}, A y B no son disjuntos puesto que 7 pertenece a ambos conjuntos.

Diagramas de Venn-Euler Una forma gráfica de representar conjuntos, tanto por extensión como comprensión, son los diagramas de Venn–Euler. En conjuntos definidos por extensión se especifican los elementos del conjunto encerrados mediante una curva, en conjuntos definidos por comprensión es suficiente trazar la curva cerrada, indicando en su exterior o interior el nombre del conjunto.

Otro ejemplo de diagrama Venn–Euler es:

Ejemplo 2.3. Considere los siguientes conjuntos:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (Conjunto Universo) A = {1, 4, 6, 8, 9} B = {2, 3, 5, 8, 9} C = {3, 5}

El Diagrama de Venn-Euler que corresponde a esos conjuntos es:

ℕ El espacio encerrado por la curva representa al conjunto de los

números naturales:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Los puntos suspensivos indican que ℕ es infinito.

20

2.4 Creando subconjuntos de un conjunto

Considere el conjunto U formado por la lista de apellidos de alumnos y alumnas del 5º grado del C.E. del cantón El Ángel en Tacachico. A partir de ese conjunto se forma el conjunto B de apellidos de niños y niñas con nota mayor que 8:

B = {Dimas, Gutiérrez, Lemus, López, Ortiz, Rodríguez}

Además, se forma el conjunto C de apellidos de las niñas con promedio mayor que 8:

C = {Lemus, Ortiz, Rodríguez}

Entre las agrupaciones de apellidos que hemos formado con los elementos de U (conjunto de referencia), observamos que todos los elementos de C también pertenecen a B, esto significa que C es subconjunto o parte de B.

Notación: A ⊂ B indica que A es subconjunto propio de B, y se dirá que A está propiamente incluido en B, o bien, A es parte propia de B. Es de destacar que un subconjunto propio no contiene a todos los elementos del conjunto.

Sean A y B dos conjuntos, se dice A es subconjunto de B si y solo si todo elemento de A pertenece a B.

En términos de pertenencia tendremos:

Para cualquier x ∈ A se tiene x ∈ B, si y solo si A ⊂ B

La notación A ⊆ B indicará que A es subconjunto propio de B o que A es igual a B.

Cuando se cumple simultáneamente que A ⊆ B y B ⊆ A, entonces ambos conjuntos son iguales, denotándolo como A = B, en términos de pertenencia:

21

A = B si y solo si x ∈ A implica x ∈ B, y x ∈ B implica x ∈ A

Para demostrar la igualdad de dos conjuntos A y B se aplica el anterior criterio de pertenencia.

Propiedades:

La inclusión es una relación que vincula a conjuntos, y cumple las propiedades siguientes:

Reflexiva: todo conjunto está incluido en él mismo

A ⊆ A

Antisimétrica: si un conjunto A está incluido en B y B está incluido en A, entonces A es igual a B

A ⊆ B y B ⊆ A entonces A = B

Transitiva: si un conjunto A está incluido en B y B está incluido en C, entonces A está incluido en C

A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C

Importante

No se confunda la relación de pertenencia con la relación de inclusión. La primera se refiere a un elemento y un conjunto, la segunda, un conjunto a otro conjunto:

a ∈ A es relación de pertenencia y A ⊂ B es relación de inclusión

Con cierta frecuencia no se usan correctamente. Por ejemplo, suponga que A ⊆ ℕ, las siguientes expresiones son equivalentes:

3 ∈ A y {3} ⊆ A

Pero no tiene sentido decir que 3 ⊆ A. Si a ∈ A es correcto escribir {a} ⊂ A mientras que es incorrecto escribir a ⊂ A.

Ilustración: A través del diagrama de Venn–Euler se ilustra la propiedad transitiva de la inclusión:

Propiedad transitiva

Si x ∈ A, y A ⊂ B, entonces x ∈ B

Si x ∈ B y B ⊂ C, entonces x ∈ C

C

x

A B

22

Conjuntos numéricos: Una importante relación de inclusión se tiene con los conjuntos numéricos:

El tamaño de las superficies en el diagrama no indica la “medida” del conjunto, solamente enseña la relación de inclusión.

El conjunto referente para esta inclusión es el conjunto de números reales, esto es U = ℝ.

Ejemplo 2.4.

Considere los conjuntos W3 = {w ∈ S*: longitud(w) ≤ 3} y W2 = {w ∈ S*: longitud(w) ≤ 2}. Compruebe que W2 es subconjunto o parte de W3.

Solución:

En efecto, sea w ∈ W2 lo que significa que longitud(w) ≤ 2, entonces podemos afirmar que longitud(w) < 3, por tanto, w ∈ W3

Al escribirlo por extensión, se evidencia que W2 = {0, 1, 00, 01,10, 11} es parte de W3

En general, si n < m, entonces Wn ⊂ Wm

Conjunto potencia

Un conjunto particular que se obtiene a partir de un conjunto A, es el conjunto potencia o conjunto de partes de A, denotado por P(A), compuesto por todos los subconjuntos de A.

P (A) = {X: X ⊂ A}

La construcción de P(A) se vuelve más compleja según sea la cardinalidad de A:

Para A = {a, b}, con card(A) = 2, tenemos card(P(A)) = 4:

Subconjuntos triviales* ∅ y A 2

Subconjuntos unitarios {a}, {b} 2 4

ℕ

ℚ

ℤ

ℚ’

ℝ

ℝ conjunto de los reales

ℕ conjunto de los naturales

ℤ conjunto de los enteros

ℚ conjunto de los racionales

ℚ’ conjunto de los irracionales

23

Para A = {a, b, c} con card(A) = 3, tenemos card(P (A)) = 8 = 23

Subconjuntos triviales ∅ y A 2

Subconjuntos unitarios {a}, {b}, {c} 3

Subconjuntos con dos elementos

3

8

Para A = {a, b, c, d} que tiene card(A) = 4, tendremos card(P(A)) = 16 = 24

Subconjuntos triviales Ø y A 2

Subconjuntos unitarios {a}, {b}, {c}, {d} 4

Subconjuntos con dos elementos

c d {c, d}

6

Subconjuntos con tres elementos

4

16

Resumiendo:

card(A) card(P(A))

2 22

3 23

4 24

24

La construcción de P(A) se complejiza según sea la cardinalidad de A, no obstante, podemos inducir su propia cardinalidad al conocerse la de A.

Sin verificarlo, se afirma que si card(A) = 5 entonces card(P(A)) = 25

Omitiendo la demostración puede inducirse que:

Si card(A) = n entonces card(P (A)) = 2n

Los elementos de P(A) son conjuntos, si X ⊂ A, entonces X ∈ P(A)

¿Cuánto es card(P (∅))? ¿Cuánto es card(P ({𝒂}))?

Ejemplo 2.5.

Considere el conjunto P2 = {p ∈ S*: longitud(p) ≤ 2}, ¿Cuántos elementos tiene P(P2)?

Siendo card(P2) = 6 obtendremos 26 elementos de P(P2)

Ejercicios

1) Escribir por EXTENSIÓN cada uno de los conjuntos siguientes que están descritos por comprensión:

a) A = {x: x es un número primo y par} b) B = {x: x es un mes del año cuyo nombre contiene la letra u} c) C = {x: x es solución de la ecuación 𝟐𝒙 − 𝟔 = 𝟎} d) D = {x: x es un entero par positivo y 𝒙 ≤ 𝟗} e) E = {x: x es un mes del año que tiene menos de 30 días} f) F = {x: x es un departamento de El Salvador con más de 5 millones de habitantes}

g) G = {x: x es solución de la ecuación 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎}

2) Describir por COMPRENSIÓN cada uno de los conjuntos siguientes que se describen por extensión:

a) A = {12, 14, 16, 18, 20} b) B = {Santa Ana, Ahuachapán, Sonsonate} c) C = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99} d) D = {abril, junio, septiembre, noviembre} e) E = {15, 20, 25, 30, 35} f) F = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}

3) Determinar la cardinalidad de cada uno de los conjuntos del numeral 1.

4) Considerar el siguiente diagrama de Venn-Euler de los 4 conjuntos A, B, C y D. Todos ellos están dentro del conjunto universal U.

25

Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.

a) Los conjuntos A y B son disjuntos b) Los conjuntos A y C son disjuntos c) Los conjuntos A y D son disjuntos d) Los conjuntos B y C son disjuntos e) Los conjuntos B y D son disjuntos f) 𝑨 ⊂ 𝑩 g) 𝑩 ⊂ 𝑪 h) 𝑪 ⊂ 𝑫 i) 𝑫 ⊂ 𝑩 j) 𝑪 ⊂ 𝑼

2.5 Operando conjuntos

Uniendo conjuntos La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A ∪ B. Observe que en la definición de la unión de conjuntos se utiliza la letra “o”, más adelante se verá que esta letra juega un papel importante como conectivo lógico. Mediante diagramas de Venn, se muestra el resultado de la unión de dos conjuntos relacionados de diferentes formas:

D

C

B

A U

A B

A U B

A B

A U B A U B

A

B

Cuando no tienen elementos comunes (conjuntos disjuntos)

Cuando tienen algunos elementos comunes

Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen

al otro conjunto

26

Si se considera un universo común U tanto para A como B, el conjunto C resultante estará incluido en U, con lo cual la operación unión asigna a la pareja de conjuntos A y B un único conjunto C:

(A, B) ∪→ C = A ∪ B

Formalizando la definición tenemos:

Sean A y B incluidos en un universo común U, se llama unión de A y B al conjunto formado por elementos de A o B, simbólicamente.

A ∪ B = {x ∈ U: x ∈ A o x ∈ B}

Ejemplo 2.6.

1. Si A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {5, 6, 8} entonces la unión de A con B es el conjunto:

A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

Observe que la unión de A con B consiste de todos los elementos de A y de B, y en caso de que tengan elementos en común, estos deben aparecer una sola vez en la unión. Por ejemplo, el elemento “5” pertenece tanto a A como a B pero en la unión sólo debe aparecer una vez.

2. Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 2, 3}, entonces la unión de A con B es el conjunto:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

La unión de conjuntos cumple las siguientes propiedades, que pueden demostrarse aplicando la definición, o bien, ilustrándolas mediante diagramas de Venn–Euler:

Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A

Sea x ∈ A ∪ B, si y solo si x ∈ A o x ∈ B, si y solo si x ∈ B o x ∈ A, de donde x ∈ B ∪ A

Asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Sea x ∈ (A ∪ B) ∪C, si y solo si x ∈ A ∪ B o x ∈ C, si y solo si (x ∈ A o x ∈ B) o x ∈ C, si y solo si x ∈ A o (x ∈ B o x ∈ C) de donde x ∈ A ∪ (B ∪ C)

Nota: esta propiedad permite operar más de dos conjuntos, por ejemplo, A ∪ B ∪ C.

La relación de inclusión y la operación unión quedan vinculadas por las dos propiedades siguientes:

27

Consecuencia inmediata de la propiedad A ⊂ B implica A ∪ B = B es:

Idempotencia A ∪ A = A

Absorción A ∪ U = U

Neutralidad A ∪ Ø = A

Ejemplo 2.7.

Sea el conjunto de símbolos indicados A = {a1, a2, a3, …, an} y B un subconjunto de A, los elementos de B se representarán en una “tira C de 0’s y 1’s” con n casillas. La representación en la “tira C” de un símbolo cualquiera ai será asignada mediante la regla:

1, si ai ∈ B ci =

0, si ai ∉ B

Considere A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y los subconjuntos T = {x ∈ A: x es par}, Q = {x ∈ A: x es primo}.

a. Formar las “tiras” de los conjuntos T y Q con los elementos de A.

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } Conjunto de referencia A

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Casillas de la “tira” T1

0 1 1 0 1 0 1 0 0 0

Casillas de la “tira” Q1

b. Siendo T1 y Q1 las “tiras” de T y Q respectivamente, encuentre T ∪ Q a partir de T1 ∪ Q1

Para formar la tira T1 ∪ Q1 se coloca 1 si hay 1 en la casilla correspondiente a x en T1 o en Q1 y se coloca 0 en caso contrario. De manera que se tiene:

28

T ∪ Q = {x ∈ A: hay 1 en la casilla correspondiente a x en T1 o en Q1}

0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 son pares o primos

T ∪ Q= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

Intersecando conjuntos

Otra manera de construir conjuntos es mediante la operación intersección “∩”, que se aplica a dos conjuntos determinados A y B, cuyo resultado es el conjunto C, formado con los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B, según los casos:

Considerando un universo común U tanto para A como para B, el conjunto C resultante estará también incluido en U, con lo cual la operación intersección asigna C a la pareja de conjuntos A y B como único conjunto:

∩

(A, B) C = A ∩ B

En recapitulación, se tiene:

Sean A y B incluidos en un universo común U, se llama intersección de A y B al conjunto formado por elementos de A y B, simbólicamente:

A ∩ B = {x ∈ U: x ∈ A y x ∈ B}

La intersección cumple las siguientes propiedades, las cuales, al igual que las de la unión, pueden demostrarse aplicando la definición o bien, representándolas con diagramas de Venn–Euler:

Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A

Sea x ∈ A ∩ B, si y solo si x ∈ A y x ∈ B, si y solo si x ∈ B y x ∈ A, de donde x ∈ B ∩ A. Asociativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Caso 1: Conjuntos disjuntos Caso 2: Conjuntos no disjuntos

29

Sea x ∈ (A ∩ B) ∩C, si y solo si x ∈ A ∩ B y x ∈ C, si y solo si (x ∈ A y x ∈ B) y x ∈ C, si y solo si x ∈ A y (x ∈ B y x ∈ C) de donde x ∈ A ∩ (B∩C).

Nota: Esta propiedad permite operar más de dos conjuntos, por ejemplo, A ∩ B ∩ C.

La relación de inclusión y la operación intersección quedan vinculadas por las dos propiedades siguientes:

A ⊂ B implica A ∩ B = A

A ⊂ C y B ⊂ C implica A∩ B ⊂ C

Consecuencia inmediata de la propiedad A ⊂ B implica A ∩ B = A es:

Idempotencia A ∩ A = A

Neutralidad A ∩ U = A

Absorción A ∩ 𝚽 = 𝚽

Ejemplo 2.8.

Considerando el mismo ejemplo que se usó en la unión de conjuntos y con la misma definición de T1 y Q1, encuentre T ∩ Q a partir de T1 ∩ Q1.

Solución:

Para formar la tira T1 ∩ Q1 se coloca 1 si hay 1 en la casilla correspondiente a x en T1 y en Q1 y se coloca 0 en caso contrario. De manera que se tiene:

T ∩ Q = {x ∈ A: hay 1 en la casilla correspondiente a x en T1 y Q1}.

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Se tiene que 2 es par y primo, entonces T ∩ Q= {2}

A

A ∩ B =

A

B

A

C

B

C

B A

| A ∩ B ⊂ C

30

Ejemplo 2.9.

Sean los conjuntos A = {x/x es un país de Asia} y B = {x/x es un país de África}. Encuentre A ∩ B.

Solución:

Dado que ninguno de los países de Asia y África son los mismos, o dicho de otra forma ningún país pertenece a África y Asia a la vez, la intersección es el conjunto vacío, y se representa:

A ∩ B = { }

Las operaciones unión e intersección de conjuntos se compatibilizan por la propiedad distributiva de la unión sobre la intersección y la propiedad distributiva de la intersección sobre la unión:

Distribución de la unión sobre la intersección

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Sea x ∈ A ∪ (B ∩ C), si y solo si x ∈ A o y x ∈ (B ∩ C), si y solo si x ∈ A o (x ∈ B y x ∈ C), si y solo si (x ∈ A o x ∈ B) y (x ∈ A o x ∈

C) de donde x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Distribución de la intersección sobre la unión

A ∩ (B ∪ C) = (A∩B) ∪ (A ∩ C)

Se demuestra de manera similar.

Diferencia de conjuntos

Otro conjunto que se obtiene a partir de A y B, es el determinado por la diferencia A – B, en ese orden, tal que el conjunto resultante C, está formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Igualmente, se puede obtener el conjunto F como la diferencia B – A, en ese orden, cuyos elementos pertenecen a B y no pertenecen a A.

Siendo U un universo común para A y B, el conjunto C = A – B, en ese orden, estará incluido en U, con lo cual la operación diferencia asigna a la pareja de conjuntos A y B un único conjunto C:

(A, B) C = A − B

En resumen, se tiene:

Sean A y B incluidos en un universo común U, se llama diferencia de A y B, en ese orden, al conjunto formado por elementos de A que no pertenecen a B, simbólicamente

A – B = {x ∈ U: x ∈ A y x ∉ B}

Es remarcable el hecho cuando B está incluido en A, en tal caso, A – B está formado por los elementos que le “faltan” a B para ser igual a A. Esta diferencia es el complemento relativo de B respecto a A.

Particularmente, si A = U, la diferencia U – B es el complemento absoluto de B, o simplemente el complemento de B.

–

31

Ejemplo 2.10.

Dados los conjuntos A = {1, 5, 7, 9, 11, 13, 15} y B={4, 5, 9, 11, 12}. Encuentre card(A-B).

Solución:

Se puede ver que A-B = {1, 7, 13, 15} por tanto card(A-B) = 4. Pero también se puede calcular usando el concepto de intersección, sabiendo que A={1, 5, 7, 9, 11, 13, 15} y A∩B = {5, 9, 11}.

card(A-B) = card(A) – card(A∩B) = 7 – 3 = 4

Complementando conjuntos

Sea A un conjunto incluido en un universo U, se llama complemento de A al conjunto AC talque.

AC = {x ∈ U: x ∉ A}

Recuperando la anterior definición es posible redefinir la diferencia A – B como:

A – B = A ∩ BC

Se presentan a continuación propiedades sintéticas de las operaciones con conjuntos:

Son propiedades del complemento de un conjunto A:

(𝐴𝑐)𝑐 = 𝐴 • 𝑈𝑐 = ∅

∅𝑐 = 𝑈 • 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇒ 𝐵𝑐 ⊆ 𝐴𝑐

Son propiedades combinadas del complemento con la intersección y la unión:

𝐴 ∩ 𝐴𝑐 = ∅

𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝑈

Son las leyes de De Morgan:

(𝐴 ∪ 𝐶)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 y (𝐴 ∩ 𝐶)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐

Sea x ∈ (A ∪ B) C, si y solo si x ∉ A ∪ B, si y solo si x ∉ A y x ∉ B, si y solo si x ∈ AC y x ∈ BC de donde x ∈ AC ∩ BC

Sea x ∈ (A ∩ B) C, si y solo si x ∉ A ∩ B, si y solo si x ∉ A o x ∉ B, si y solo si x ∈ AC o x ∈ BC de donde x ∈ AC ∪ BC

Ejemplo 2.11.

Considerando el mismo ejemplo que se usó en la unión y la intersección de conjuntos y con la misma definición de T y Q, es decir, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y los subconjuntos:

T = {x ∈ A: x es par}, Q = {x ∈ A: x es primo}:

a) Sean T1 y Q1 las “tiras” de T y Q respectivamente, encuentre (T ∩ Q)C a partir de (T1 ∩ Q1)C

T ∩ Q = {x ∈ A: hay 1 en la casilla correspondiente a x en T1 y Q1}

32

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 La tira (T1 ∩ Q1)C se obtiene invirtiendo los valores de la tira T1 ∩ Q1

(T ∩ Q)C = {x ∈ A: hay 0 en la casilla correspondiente a x en T1 ∩ Q1} (T ∩ Q)C = {x ∈ A: hay 0 en alguna casilla correspondiente a x en T1 o Q1}

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(T ∩ Q)C = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

b) Siendo T1 y Q1 las “tiras” de T y Q respectivamente, encuentre TC ∪ QC a partir de T1

C ∪ Q1C

TC = {x ∈ A: x es impar}

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Casillas de la “tira” T1C

QC = {x ∈ A: x es compuesto o x = 1}

1 0 0 1 0 1 0 1 1 1

Casillas de la “tira” Q1C

TC ∪ QC = {x ∈ A: hay 1 en la casilla correspondiente a x en T1C o en Q1

C}

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TC ∪ QC = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Ejercicios 1. Dados los conjuntos:

𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁/10 ≤ 𝑥 ≤ 25, 𝑥 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3} 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁/ 2 ≤ 𝑥 ≤ 30, 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟}

Encuentre:

a) 𝐴 ∪ 𝐵 b) 𝐴 ∩ 𝐵 c) 𝐴 − 𝐵 d) 𝐵 − 𝐴

33

2. Dado el siguiente diagrama de Venn-Euler:

Encuentre:

a) 𝐷 ∪ 𝐵 b) 𝐵 ∩ 𝐷 c) 𝐷𝑐 ∩ 𝐵 d) 𝐵𝑐 − 𝐷 e) (D − B) ∪ (B − D) f) (U − B) ∩ 𝐵𝑐 g) (𝐵 ∩ D) ∪ U h) (𝑈 ∩ 𝐵𝑐) − 𝐷 i) [{U − (B ∪ D)} ∪ 𝐵𝑐] ∩ D

3. Considere el conjunto universo U = {x: x es un número natural y x < 30}. Determine la intersección de

los conjuntos: A = {x/x es múltiplo de 2} y B = {x/x es un múltiplo de 6}.

4. En un centro escolar se realiza tres tipos de prueba a 100 alumnos y anuncia los siguientes resultados:

2 alumnos reprobaron las tres pruebas.

7 alumnos reprobaron la primera y segunda prueba.

8 alumnos reprobaron la segunda y tercera prueba.

10 alumnos reprobaron la primera y tercera prueba.

25 alumnos reprobaron la primera prueba.

30 alumnos reprobaron la segunda prueba.

25 alumnos reprobaron la tercera prueba.

Con base en la información anterior conteste las siguientes interrogantes:

¿Cuántos aprobaron las tres pruebas?

¿Cuántos aprobaron la primera y tercera prueba, pero no la segunda prueba?

¿Cuántos reprobaron la segunda y tercera prueba, pero no la primera prueba?

¿Cuántos reprobaron al menos en dos pruebas?

¿Cuántos aprobaron al menos una prueba?

34

Métodos de conteo

3.1 Permutaciones

Para iniciar el proceso de solución de problemas donde se aplican las técnicas de conteo, es fundamental establecer una estrategia que permita la comprensión del problema en términos del principio fundamental del conteo, dibujando un diagrama de árbol, identificando si es aplicable el principio multiplicativo o el aditivo, si importa o no el orden de los resultados, y si es permisible o no repetir resultados.

La acción de contar todas las ordenaciones posibles de un conjunto de n objetos se conoce como el proceso de permutar.

La palabra "permutar" significa, en el idioma español, cambiar el orden o disposición de algún objeto. También significa "cambiar un objeto por otro", siempre y cuando uno de esos objetos no sea dinero.

Existen dos tipos de permutaciones: Sin repeticiones y con repeticiones. Se refiere al hecho de que en el conjunto de objetos que se van a permutar haya o no repetidos. Aquí se comenzará considerando que todos los objetos son diferentes, o sea sin repeticiones.

Permutaciones ordinarias o sin repetición

En un famoso programa de televisión en vivo se presenta el siguiente concurso. Entregan al participante ocho tarjetas sin descubrir y le explican que cada una tiene escrita una letra de la palabra VEHÍCULO.

Con los ojos vendados ordena las tarjetas, y si al descubrirlas forma esa palabra, gana un vehículo último modelo. ¿Cuantas formas de ordenar las letras, pueden resultar?

A continuación, se presentan 3 formas de abordar la resolución del problema:

a) Una primera idea, como se mencionó en la Unidad 1, es intentar escribir todas las posibles ordenaciones, luego verificar que no hace falta alguna y que no hayan repetidas, esto es:

35

Así sucesivamente continuar hasta obtener la última. Sin embargo, después de escribir muchas ordenaciones, parece que siempre existe otra posible, esto hace reflexionar que el camino elegido es muy largo, quizás habrá que buscar otra estrategia más sistemática o alguna forma de resumir el conteo.

b) Otro recurso de solución del problema: Diagrama de árbol

El siguiente esquema de árbol, muestra la primera ramificación completa y se ha iniciado la segunda y tercera ramificación, a partir de este esquema se podría inferir ¿Cuántas ramas tendrá la 2° ramificación? ¿Cuántas ramas tendrá la 3° ramificación? ¿Cuántas ramificaciones se tendrá en total?

Del esquema de árbol se obtiene: que la primera ramificación consta de 8 ramas y la segunda tendrá 8 x 7 = 56 ramas (por cada letra de la palabra VEHÍCULO hay 7 ramas en la segunda ramificación), la tercera ramificación tendrá 56 x 6 = 336, se podría continuar con este análisis y con un poco de imaginación es posible llegar al total de formas de ordenar las letras de la palabra VEHÍCULO. Finalmente, el total de ramificaciones son 8, las cuales corresponden al número de letras de la palabra VEHÍCULO; la primera ramificación tiene 8 ramas, la segunda 7 ramas, la tercera 6 ramas, así sucesivamente hasta que la séptima tiene 2 ramas y la octava tiene 1 rama.

En resumen, el diagrama de árbol es una herramienta útil para obtener todas las ordenaciones posibles, sin embargo, en este ejemplo se tendría un árbol con muchas ramas, lo que hace muy tedioso su construcción.

c) Nuevo recurso de solución del problema. Aplicación de un método de conteo

En la Unidad 1 se definió el principio de la multiplicación, el cual es un método muy utilizado para solucionar problemas relacionados a encontrar el total de ordenaciones, donde intervienen muchos objetos, por ejemplo, el problema que se está analizando tiene 8 letras (son muchas). A continuación, se hace una aplicación del principio de la multiplicación al problema en estudio:

Número de letras posibles de la palabra VEHÍCULO en cada posición

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8°

8 7 6 5 4 3 2 1

36

Teniendo en cuenta los datos de la tabla anterior, el número de posibles ordenamientos que puede formar el concursante es:

8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40, 320

Ejemplo 3.1 Sentarse en fila: ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila de cinco sillas, Ana, Benito, Carlos, Daniel y Elena?

Solución: Sean A = Ana B = Benito C = Carlos D = Daniel E = Elena

En este ejemplo, no importa el orden en que estén colocadas las sillas, puede suponer que la fila de las 5 sillas es la siguiente:

La primera silla de la izquierda puede ser ocupada por cualquiera de las cinco personas; una vez ocupado ese primer sitio por cualquiera de las cinco personas, el siguiente lugar ya solamente podrá ser ocupado por una de las cuatro personas restantes; y así sucesivamente, quedando:

El primer sitio puede ser ocupado por cualquiera de las cinco personas.

Una vez ocupando el primer sitio, el siguiente lugar ya solamente podrá ser ocupado por una de las cuatro personas restantes.

Una vez ocupando el segundo sitio, el siguiente lugar ya solamente podrá ser ocupado por una de las tres personas restantes.

Una vez ocupando el tercer sitio, el siguiente lugar ya solamente podrá ser ocupado por una de las dos personas restantes.

Una vez ocupando el cuarto sitio, el siguiente lugar ya solamente podrá ser ocupado por la persona restante.

37

El producto de esos números es el total de formas que se pueden sentar las cinco personas en la hilera de cinco sillas, es decir:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Se llaman permutaciones ordinarias o sin repetición de 𝑛 objetos a las diferentes maneras en que se pueden ordenar esos 𝑛 objetos; todas las permutaciones constan de los mismos 𝑛 elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos. Notación: 𝑃𝑛

Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con los n objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundo objeto se puede hacer de (n-1) maneras diferentes y la elección del n-ésimo objeto sólo se puede hacer de una manera. Ahora, invocando el principio de la multiplicación se tiene P_n=n(n-1)(n-2)…(3) (2 )( 1) , esto es la definición de factorial de un número n:

P_n=n! NOTA: Para aplicar esta fórmula debe considerar que importa el orden en que se colocan los objetos.

Ejemplo 3.2 Aplicación de la fórmula de permutaciones. Se sientan en una fila de 5 sillas a 3 niños y 2 niñas. Se quiere determinar, el número de formas de sentarse, para cada una de las siguientes condiciones:

a. Los niños y las niñas se sientan donde quieran. b. Las niñas deben estar juntas y los niños también. c. Sólo los niños se sientan juntos y las niñas no. d. Deben sentarse alternados.

Solución: a. Los niños y las niñas se sientan donde quieran Información relevante:

No hay restricciones de donde se deben sentar los niños y niñas.

Interesa el orden en que se sientan los niños y niñas. Teniendo en cuenta la información relevante, el total de formas en que pueden sentarse son:

𝑃5 = 5! = 5x4x3x2x1 = 120 b. Las niñas deben estar juntas y los niños también

Se forman dos bloques, uno de niños y el otro de niñas, existen 𝑃2 formas de acomodar estos dos bloques en la fila, como puede verse en la siguiente ilustración:

38

Internamente el bloque de niños se puede acomodar de 𝑃3 formas, mientras que el de niñas de 𝑃2 formas.

Ahora, por el principio multiplicativo, el total de formas de sentarse de tal manera que las niñas estén juntas y los niños también, es:

𝑃2𝑥 𝑃3𝑥 𝑃2 = 2! 𝑥 3! 𝑥 2! = 24 formas de sentarse.

c. Sólo los niños se sientan juntos y las niñas no

En este caso el bloque de los niños ilustrado se considera como un solo elemento y se deben sentar en la parte central, a fin de garantizar que las niñas estén separadas, por ejemplo:

Los niños van juntos

Niña D Niño A Niño B Niño C Niña E

Como se mencionó en el literal b) internamente el bloque de niños se puede acomodar de 𝑃3 formas y las niñas también pueden intercambiar la silla y siguen estando separadas, por tanto, las niñas se pueden sentar de 𝑃2 formas. Por el principio multiplicativo, se tiene:

𝑃3𝑥 𝑃2 = 3! 𝑥 2! = 12 formas de sentarse.

d. Deben sentarse alternados

Se observa que, al haber tres niños y dos niñas, para que se sienten alternados, las ordenaciones han de empezar y acabar con un niño, por ejemplo:

Niño A Niña D Niño B Niña E Niño C

Todas las formas de ordenar los tres niños son 𝑃3 y las niñas se pueden sentar de 𝑃2 formas. Nuevamente, por el principio de la multiplicación, se tiene:

𝑃3𝑥 𝑃2 = 3! 𝑥 2! = 12 formas de sentarse.

Permutaciones circulares

En los ejemplos anteriores se ha ilustrado los elementos que forman las permutaciones colocados ordenadamente en línea recta. Sería lo mismo imaginar cuando se sitúan en una curva abierta; pero las condiciones varían si se ubica en una curva cerrada porque el orden que se establece entre sus elementos es relativo. A continuación, se desarrolla un ejemplo que permite ilustrar la situación de una permutación circular.

Forma 1 Niñas juntas Niños juntos

Niña D Niña E Niño A Niño B Niño C

Forma 2 Niños juntos Niñas juntas

Niño A Niño B Niño C Niña D Niña E

39

Ejemplo 3.3.

¿De cuántas formas se pueden sentar 4 personas en una mesa circular?

1) La primera idea es escribir de forma explícita todas las posibles ordenaciones de sentar a las 4 personas, para iniciar se requiere fijar una persona a fin de poder iniciar las ordenaciones (fijar la persona 1), luego se sienta al resto de personas, tal como se muestra a continuación:

Se observa que, independiente la persona que se fije se obtiene las mismas 6 ordenaciones, ya que en las permutaciones circulares importa la posición relativa de una persona con respecto a otras.

2) El segundo análisis es, tomar un elemento y ubicarlo en cualquiera de las posiciones, luego se ordenan el resto de elementos. Para este caso de 4 personas, se fijó la 1, luego a la par de la 1 en dirección a las agujas del reloj se pueden colocar cualquiera de los 3 restantes, en la siguiente posición se coloca cualquiera de los 2 restantes y queda 1 por colocar, por tanto, el total de ordenaciones circulares de 4 elementos es: 3x2x1 = 3! = 6.

Actividad. Se quiere confeccionar un collar con 8 cuentas de colores, todas de distinto color. ¿De cuántas formas se puede elaborar el collar si se utilizan todas ellas? Tomando en cuenta que el collar se puede girar, pero no se puede voltear.

a) Primera estrategia de solución, esquematizar el problema

Las cuentas de un collar quedan uniformemente distribuidas en una circunferencia y cualquier giro que se efectúe no cambia el collar (ver figura):

En la figura anterior, los 4 giros que se representan no modifican el collar. De hecho, para confeccionar el collar, importa la posición relativa de unas cuentas respecto a otras, pero no el orden en que estas han sido colocadas. Intentar escribir todas las posibles ordenaciones, luego verificar que no hace falta alguna y que no haya repetición. Después de escribir muchas ordenaciones, parece que siempre existe otra posible; esto hace reflexionar que el camino elegido es muy largo. Quizás habrá que buscar otra estrategia más sistemática o alguna forma de resumir el conteo.

1 2 3 4 5 6 7 8

40

b) Segunda estrategia de solución: Aplicar el diagrama de árbol

En el siguiente esquema de árbol se muestra la forma de contabilizar la cantidad de collares diferentes de 8 cuentas de colores. Se inicia fijando la cuenta 1 y se muestra la primera ramificación completa y parte de la segunda ramificación, a partir de este esquema se podría inferir ¿Cuántas ramas tendrá la 2° ramificación? ¿Cuántas ramas tendrá la 3° ramificación? ¿Cuántas ramificaciones se tendrá en total?

Se observa que la primera ramificación tiene 7 ramas y la segunda tendrá 7 x 6 = 42 ramas, la tercera ramificación tendrá 42x5 = 210, se podría continuar con este análisis y con un poco de imaginación es posible llegar al total de formas de diseñar el collar, esto es: 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5,040.

En resumen, el diagrama de árbol es una herramienta muy útil para obtener todas las ordenaciones posibles, sin embargo, para permutaciones circulares, no se recomienda su uso, debido a que se inicia fijando un elemento, rompiendo la idea del origen o raíz.

c) Otra estrategia de solución: Método de conteo

En el apartado de permutaciones sin repetición se mencionó que, cuando se quiere determinar el número de ordenaciones donde intervienen muchos elementos, es recomendable aplicar algún método de conteo. Por ejemplo, principio de la suma o principio de multiplicación. Dadas las características de este ejemplo, se aplica el principio de la multiplicación, así:

Formas de colocar las cuentas de color linealmente

1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8°

8 7 6 5 4 3 2 1

El número de posibles ordenamientos lineales que puede construir el collar es:

8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40, 320

Pero en las permutaciones circulares, para iniciar el ordenamiento se requiere fijar un elemento (cualquiera) y luego se empiezan a formar las ordenaciones, entonces para resolver esta situación, se fija la primera cuenta, después de la primera cuenta puede ir cualquiera de las 7 restantes, después de la segunda puede ir cualquiera de las 6 restantes, después de la tercera puede ir cualquiera de las 5 restantes y así sucesivamente, llegando a obtener que el total de posibles collares es:

7! = 5,040 collares distintos.

41

Teniendo en cuenta el resultado de esta actividad, se observa que las permutaciones sin repetición se relacionan con las circulares, a través de la siguiente expresión:

𝑃8

8=

8!

8= 7! = 5,040 collares distintos.

Se llaman permutaciones circulares de 𝑛 objetos a las diferentes maneras en que se pueden colocar esos 𝑛 objetos alrededor de un círculo; en este tipo de permutaciones, lo que importa son las posiciones relativas de los objetos con respecto a ellos mismos y no las posiciones absolutas de los objetos en el círculo. Notación: 𝑃𝐶𝑛.

Permutaciones circulares. Para calcular el número de permutaciones circulares de n objetos, se divide el número de permutaciones lineales de n objetos entre las n permutaciones equivalentes:

〖PC〗_n=P_n/n=n!/n=(n-1)!

Ejemplo 3.4 Aplicación de la fórmula de permutaciones circulares. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 6 personas, para una junta de comité si se sientan alrededor de una mesa redonda?

Solución:

Información relevante:

No hay restricciones de donde se deben sentar las 6 personas.

Interesa el orden relativo en que se sienten.

Teniendo en cuenta la información relevante, el total de formas que pueden sentarse son:

𝑃𝐶6 =𝑃6

6=

6!

6= (6 − 1)! = 5! = 120 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠

Permutaciones con repetición

En los casos anteriores, se ha obtenido permutaciones donde todos los elementos son diferentes; pero existen casos en que hay elementos repetidos, de manera que al intercambiarlos de posición lo que se obtiene es exactamente lo mismo que ya se tenía. Se trata entonces de una repetición.

Por ejemplo, si se tienen las letras POLO, cuando se intercambian las consonantes se obtiene la palabra LOPO. Si en vez de intercambiar las consonantes se intercambian las vocales, una O en el lugar de la otra O, (ver figura) se obtiene POLO, que es lo mismo que ya se tenía.

Ejemplo 3.5.

Obtener todas las permutaciones posibles con las letras de la palabra OSO.

Solución:

a) Primer paso, aplicar la estrategia de verificar las posibles ordenaciones.

P O L O

P O L O

42

Se parte del supuesto que todas las letras de la palabra OSO son diferentes y para diferenciarlas se denota por subíndices a las letras O, por lo que quedaría, 𝑂1 𝑆 𝑂2, describiendo las posibles ordenaciones serían las siguientes:

𝑶𝟏 𝑺 𝑶𝟐 𝑶𝟐 𝑆 𝑂1 𝑶𝟏 𝑂2 𝑆 𝑶𝟐 𝑂1 𝑆

𝑺 𝑂1 𝑂2 𝑺 𝑂2 𝑂1

¿Pero realmente se puede hacer diferente a la letra O?, eso no es posible, entonces ¿cuántos arreglos reales se tienen?

Arreglos iguales Arreglos reales

𝑂1 𝑆 𝑂2 = 𝑂2 𝑆 𝑂1 OSO

𝑂1 𝑂2 𝑆 = 𝑂2 𝑂1 𝑆 OOS

𝑆 𝑂1 𝑂2 = 𝑆 𝑂2 𝑂1 SOO

Para obtener los ordenamientos reales, es necesario partir de la siguiente expresión:

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 = 3!

2!

Permutaciones con repetición. Se llaman permutaciones con repetición de n elementos, distribuidos en k grupos de a_1,a_2,…,a_(k-1),a_(k )elementos indistinguibles, respectivamente, de tal forma que a_1+ a_2+⋯+ a_(k-1)+ a_(k )=n, a las distintas configuraciones que se pueden formar con los n elementos, de tal forma que cada una de ellas se diferencie de las demás en el orden de colocación de sus elementos, excluyendo las reordenaciones de elementos indistinguibles (esto es, que pertenecen a

un mismo grupo). Si se denota por〖PR〗_n^(a_1,a_2,…,a_(k-1),a_(k ) )a este número, se tiene que:

𝑃𝑅𝑛𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑘−1,𝑎𝑘 =

𝑛!

𝑎1!, 𝑎2!, … , 𝑎𝑘−1!, 𝑎𝑘!

Ejemplo 3.6 Aplicación de la fórmula de permutaciones con repetición. Se tiene la siguiente figura donde puede ver la representación de 12 elementos distribuidos en 4 grupos de elementos indistinguibles.

Se tiene:

4 rombos

2 corazones

3 caritas felices

3 lunas

43

Determinar el total de ordenaciones diferentes con las 12 figuras.

Solución:

En este caso, las posibles permutaciones de 12 elementos son 12! de las cuales 4 son figuras de rombos; 3 figuras de lunas; otras 2 corresponde a la figura de corazones y 3 figuras de caritas felices.

Los datos de este problema son: 𝑛 = 12 ; 𝑎1 = 4; 𝑎2= 3; 𝑎3 = 3 ; 𝑎4 = 2

Aplicando la fórmula de permutaciones con repetición, se tiene:

𝑃𝑅124,3,3,2 =

12!

4! 3! 3! 2!= 277,200

Ejemplo 3.7.

Si para fijar una base de madera se cuenta con 7 tornillos: 2 son de acero al carbón, 3 son de acero inoxidable y 2 son de bronce. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar los tornillos, si se distingue el material del que están hechos?

Solución:

Datos: 𝑛 = 7 ; 𝑎1 = 2; 𝑎2 = 3; 𝑎3 = 2 ;

𝑃𝑅72,3,2 =

7!

2! 3! 2!=

5,040

24= 210 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠

Ejercicios

1. Se van a colocar en la librera 8 libros diferentes, 4 de matemática, 2 de ciencias y 2 de sociales.

a) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden acomodar los libros? b) ¿De cuántas maneras diferentes se puede acomodar los libros, si los de cada materia deben

quedar juntos?

2. Con los elementos del conjunto A = {2, 4, 6, 8}, construir todas las permutaciones sin repetición de orden 4. 3. A la clase de resolución de problemas llegan tres alumnos y seis alumnas. El profesor decide que van a

resolver 9 ejercicios y cada estudiante pasa a resolver un ejercicio en la pizarra. a) ¿De cuántas formas pueden pasar a la pizarra? b) ¿De cuántas formas pueden pasar a la pizarra, si los alumnos salen de forma consecutiva?

4. Con las letras de la palabra MOROS, determinar el número de palabras de cinco letras que se pueden formar:

a) En total. b) Que comiencen con vocal y terminen con consonante. c) Que comiencen y terminen con consonante. d) Que lleven las tres consonantes juntas.

44

3.2. Variaciones

Con las permutaciones que se estudiaron en el tema anterior se pueden resolver problemas de conteo, cuando se seleccionan n elementos de un total de n, sin embargo, existen algunos casos particulares que se presentan con cierta frecuencia donde se seleccionan k elementos de un total de n, siendo k < n.

Ejemplos de este tipo de problemas son:

Obtener el número de formas de elegir al presidente, vicepresidente y secretario en una clase de 30 alumnos.

Obtener los posibles resultados de seleccionar al director(a) y subdirector(a) de una institución educativa, si participan 12 profesores en dicho proceso.

Variaciones ordinarias o sin repetición

Actividad. Elección de comité. Se quiere elegir un comité formado por tres miembros: Presidente, Tesorero y Secretario. Para seleccionarlo se dispone de cuatro candidatos: Arturo, Betty, Carlos y David.

¿Cuántos comités diferentes se pueden elegir entre los cuatro candidatos?

Solución:

Información importante:

1. En esta actividad, un comité es distinto a otro si difiere en algún miembro o en alguno de sus cargos. 2. No se permite repetición, esto es una persona no puede ocupar más de un cargo. 3. Interesa el orden en que se asignen los cargos.

a) La primera idea es escribir las posibles asignaciones de los cargos, por ejemplo: Que Arturo sea presidente, Carlos tesorero y David secretario. Otro comité distinto sería que Carlos sea presidente, David tesorero y Arturo secretario. Y así continuar escribiendo los distintos comités:

Continuar escribiendo de esta forma aleatoria todos los comités sin ningún método sistemático que garantice que no se ha olvidado ninguno o que no hay repetidos, podría conducir a un posible error de conteo.

45

b) Una forma ordenada de saber cuántos comités diferentes se puede formar, es la siguiente: primero se elige el presidente, luego el tesorero y por último el secretario. La siguiente tabla muestra los distintos comités que se pueden formar siguiendo el proceso descrito.

Presidente Tesorero Secretario Comité

Arturo

Carlos David Arturo, Carlos y David

Betty Arturo, Carlos y Betty

David Carlos Arturo, David y Carlos

Betty Arturo, David y Betty

Betty Carlos Arturo, Betty y Calos

David Arturo, Betty y David

Carlos

Arturo David Carlos, Arturo y David

Betty Carlos, Arturo y Betty

David Arturo Carlos, David y Arturo

Betty Carlos, David y Betty

Betty Arturo Carlos, Betty y Arturo

David Carlos, Betty y David

David

Arturo Carlos David, Arturo y Carlos

Betty David, Arturo y Betty

Carlos Arturo David, Carlos y Arturo

Betty David, Carlos y Betty

Betty Arturo David, Betty y Arturo

Carlos David, Betty y Carlos

Betty

Arturo Carlos Betty, Arturo y Carlos

David Betty, Arturo y David

Carlos Arturo Betty, Carlos y Arturo

David Betty, Carlos y David

David Arturo Betty, David y Arturo

Carlos Betty, David y Carlos

De acuerdo a la tabla anterior, se tiene 4 opciones para elegir el presidente y en cada una de ellas hay 3 maneras de elegir el tesorero y finalmente, se tiene dos opciones para elegir el secretario, obteniendo un total de 24 comités diferentes.

c) Buscar una estrategia numérica:

Candidatos para presidente Candidatos para tesorero Candidatos para secretario

4 3 2

El total de comités es: 4x3x2 = 24.

De la actividad anterior se destaca lo siguiente:

1. Se seleccionan 3 personas de un conjunto de 4. 2. No hay repetición porque los cargos son desempeñados por personas diferentes y el orden

influye, ya que determina el cargo que se desempeñará.

46

3. Diferencia entre variaciones y permutaciones: Las variaciones solo toma una parte del total de elementos, mientras que las permutaciones toman todos los elementos.

En general, si se tiene un conjunto de n elementos y de estos se toman todos para ordenarlos, entonces se tiene una permutación, pero si solamente se toman k de ellos, donde k ˂ n, como en el ejemplo de la formación del comité, entonces se tiene una variación, es decir, la variación es como la permutación, pero no se usan los n elementos, sino solamente k de ellos.

Se denomina variaciones ordinarias o sin repetición de elementos tomados de k en k de un total de n, (siendo k ≤ n) a cada uno de los distintos grupos de k elementos escogidos entre los n, de forma que:

- En cada grupo, los k elementos sean distintos. - Dos grupos son distintos, si difieren en algún elemento o en el orden de colocación.

- Para calcular las variaciones se utiliza la siguiente fórmula:

𝑉𝑛,𝑘 =𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!= 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑘 + 1)

Regresando al cálculo numérico del ejemplo anterior, el número de comités diferentes que se pueden formar con los 4 candidatos es:

𝑉4,3 =4!

(4 − 3)!= 4𝑥3𝑥2 = 24

Ejemplo 3.9. Hay 5 participantes en un determinado concurso. El jurado debe otorgar el primer premio y el segundo premio. ¿Cuántas decisiones distintas puede tomar el jurado? Solución: Se observa que:

1- Entre 5 participantes, serán elegidos 2, importa cuáles se eligen. 2- Darle el primer premio a Juan y el segundo a Pedro no es lo mismo que darle el primer premio a

Pedro y el segundo a Juan, importa el orden. Es evidente, que se trata de un problema de variaciones ordinarias o sin repetición, ya que no se puede elegir dos veces al mismo elemento (no se le puede dar a la misma persona los dos premios). Utilizando la fórmula de variaciones se tiene:

𝑉5,2 =5!

(5 − 2)!= 5×4 = 20

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Ejemplo 3.10.

En una carrera de 100 metros participan 8 corredores. ¿De cuántas formas diferentes se podría repartir las medallas de oro, plata y bronce?

Solución:

El total de elementos es 8 (los 8 corredores), los elementos a elegir son 3 (los premios), el orden en que se den los premios es importante y cada corredor sólo puede recibir un premio, por lo tanto, se trata de una variación sin repetición.

El total de formas diferentes de repartir los 3 premios es:

𝑉8,3 =8!

(8 − 3)!= 8×7×6 = 336

Variaciones con repetición

Actividad. Elección del coordinador y profesor de matemática. Una institución saca a concurso los cargos de coordinador del área de matemática y profesor de matemática para sexto grado, se presentan al concurso 5 candidatos: Profesor A, profesor B, profesor C, profesor D, profesor E. La institución puede seleccionar a un candidato y asignarle los dos cargos o seleccionar a dos de los 5 candidatos uno para cada cargo. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección?

Solución:

Información importante:

Se permite repetición, esto es una persona puede ser el coordinador del área de matemática y a la vez ser el profesor de matemática de sexto grado.

Interesa el orden en que se asignen los cargos.

a) La primera idea es escribir las posibles asignaciones de los cargos:

Continuar con la enumeración de todas las posibles formas de seleccionar a los profesores, podría conducir a un posible error de conteo, sin embargo, es una forma de conteo.

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b) Una forma ordenada cuando se tiene pocos elementos es utilizar el diagrama de árbol, donde la primera ramificación indica elegir al coordinador y la segunda ramificación es para elegir al profesor de matemática para sexto grado. A continuación, se hace una ilustración del diagrama de árbol.

A partir del árbol se observa que hay 5 posibilidades para elegir al coordinador del área de matemática y en cada una de ellas hay 5 maneras de elegir al profesor para sexto grado, obteniendo un total de 25 maneras de seleccionar al coordinador y al profesor.

c) Buscar una estrategia numérica:

Selección del coordinador Selección del profesor para 6°

5 5

El total de posibilidades de seleccionar al coordinador y al profesor es: 5 x 5 = 25.

Se denomina variaciones con repetición de elementos tomados de k en k de un total de n, a cada uno de los distintos grupos de k elementos escogidos entre los n, de manera que en cada grupo estén k elementos iguales o distintos.

En cada grupo hay k elementos distintos o no.

Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación.

La fórmula para calcular las variaciones con repetición es: 〖VR〗_(n,k)=n^k

Así en el ejemplo anterior el número de formas de seleccionar al coordinador y al profesor son:

𝑉𝑅5,2 = 52 = 25.

Ejemplo 3.11.

Se lanzan 2 dados de distinto color ¿Cuántos resultados diferentes se obtiene?

Solución:

Información importante:

1. En este ejemplo, cada resultado es distinto a otro si difiere en algún número. 2. Se permite repetición ya que puede obtenerse el mismo número en ambos dados. 3. Interesa el orden en el que se obtienen los resultados, por ejemplo, obtener 1 en el primer dado y

2 en el segundo, es diferente a obtener 2 en el primer dado y 1 en el segundo.

Este es un ejemplo clásico que se introduce para comprender las variaciones con repetición. Las caras del dado están numeradas del 1 al 6, por tanto, al lanzar los dados se obtiene los siguientes resultados:

49

Dado 1 Dado 2

1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 4, 5, 6

Al anotar todos los resultados posibles al lanzar dos dados se obtiene la siguiente tabla:

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

Para cada número, el dígito de la izquierda representa el resultado del primer dado y el de la derecha el del segundo dado. Por ejemplo 15, significa que en el primer dado se obtuvo 1 y en el segundo 5.

En la tabla anterior se observar que hay 36 resultados posibles. Al lanzar el primer dado se puede obtener cualquiera de los 6 resultados posibles y al lanzar el segundo también se puede obtener cualquiera de los 6 resultados posibles, por lo tanto, el total de resultados es:

𝑉𝑅6,2 = 62 = 36

El ejemplo anterior se puede generalizar, ¿cuántos resultados diferentes se obtiene al lanzar 5 dados?

𝑉𝑅6,5 = 65 = 7,776

Ejemplo 3.12.

En una caja hay cuatro bolas numeradas con los dígitos 2, 4, 7 y 9. Se elige una bola de la caja y se anota su número y la bola se devuelve a la caja. Se elige una segunda bola, se anota su número y se devuelve a la caja. Finalmente, se elige una tercera bola y se anota su número. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden obtener?

Solución:

En cada extracción de la bola se puede obtener cualquiera de los 4 dígitos, ya que el proceso se realiza con reposición. En este problema se eligen 3 de los 4 dígitos disponibles, es importante el orden, y se permite repetir el dígito, por lo tanto, se trata de una variación con repetición y la cantidad de números distintos de 3 cifras es:

𝑉𝑅4,3 = 43 = 64

Ejercicios

1. Se coloca en una bolsa 10 bolas numeradas en la forma siguiente: -1, -2, -3, -4, -5, 1, 2, 3, 4 y 5. Se toma al azar una bola y se anota el número obtenido. Sin devolver la bola a la bolsa se toma otro número al azar. ¿Cuántos productos de los dos números obtenidos son positivo?

50

2. Se desea elaborar banderas tricolores de tres bandas horizontales y se dispone de seis rollos de tela con los siguientes colores: Rojo, amarillo, marrón, negro, blanco, verde. ¿Cuántas banderas diferentes se puede elaborar?

3. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas pueden formarse con los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}?

4. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un tercer candidato. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?

5. ¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un grado, sabiendo que hay 28 alumnos en la clase?

6. ¿Cuántos resultados distintos pueden obtenerse al lanzar una moneda cuatro veces al aire? 7. En un examen de diez preguntas, cada pregunta tiene tres respuestas posibles (a, b, c). Si se

contestan al azar, ¿cuántos exámenes distintos pueden producirse? 8. Una cafetería vende 10 tipos de café diferentes, 5 amigos llegan y quieren tomar un café cada uno.

¿Cuántas formas posibles tienen de hacerlo? 9. Se extraen sucesivamente dos bolas de una bolsa que contiene seis de diferentes colores. ¿Cuántos

resultados distintos pueden producirse? a) Con devolución. b) Sin devolución.

3.3. Combinaciones

Situación problemática: Diana tiene cinco cajas de colores diferentes: azul, blanca, celeste, dorada y escarlata. Además, tiene tres bolitas idénticas de color negro y cada día las guarda usando tres de las cajas, una bolita en cada caja. Si fue un lunes la primera vez que las guardó, ¿qué día será la primera vez que utilice de nuevo las mismas tres cajas?

Solución:

a) Listar todas las posibles ordenaciones de tres cajas. Diana el primer día, un lunes, pudo haber utilizado las cajas azul, blanca y celeste para guardar las bolitas, el segundo día tendría muchas opciones para elegir las tres cajas en que guardará las bolitas, así que no está obligada a elegir las mismas que utilizó el primer día. Y así debe continuar cada día hasta que en algún momento ya haya utilizado todos los grupos de tres cajas posibles y tenga que obligatoriamente repetir algún grupo. Un ejemplo de cómo podría Diana ir seleccionando los grupos de tres cajas se muestra en la siguiente tabla:

Día Cajas utilizadas

Lunes Azul, blanca y celeste

Martes Azul, blanca y dorada

Miércoles Azul, blanca y escarlata

Jueves Azul, celeste y dorada

Viernes Azul, celeste y escarlata

Sábado Azul, dorada y escarlata

Domingo Blanca, celeste y dorada

Lunes Blanca, celeste y escarlata

Martes Blanca, dorada y escarlata

Miércoles Celeste, dorada y escarlata

Jueves Se repetiría algún grupo anterior

51

En esta situación puede variar el orden en que se utilicen los grupos de cajas, pero lo importante es que existen exactamente diez grupos distintos de tres cajas que Diana tiene como opción elegir para guardar cada día las tres bolitas, teniendo a su disposición cinco cajas diferentes. De tal manera que el décimo primer día, que será un jueves, obligatoriamente tendrá que repetir alguna combinación anterior.

Es evidente que los grupos de tres cajas podrían aparecer en la tabla en cualquier orden. Es sumamente importante llegar a tener la certeza de que no existen más formas distintas de elegir el grupo de tres cajas y que tampoco se ha cometido el error de repetir algún grupo de tres cajas. Por ello, lo recomendable es ir formando los grupos siguiendo algún orden.

b) Utilizar un procedimiento sistemático. Precisamente, en la tabla primero se han formado todos los grupos en que aparece la caja azul. Si se escriben los colores de las cajas en el orden azul, blanco, celeste, dorado y escarlata, se pueden ir formando grupos de tres cajas haciendo un recorrido de acuerdo a este orden. Primero se ha formado el grupo que usa las tres primeras cajas, luego se dejan fijas las primeras dos y se varía la tercera caja, formándose los grupos:

Azul, blanco y celeste.

Azul, blanco y dorado.

Azul, blanco y escarlata.

Como ya no hay más opciones para la tercera caja se cambia la opción de la segunda y se varía nuevamente la tercera caja, formándose:

Azul, celeste y dorado.

Azul, celeste y escarlata.

Nuevamente ya no hay más opciones para la tercera caja, así que se cambia la opción de la segunda otra vez y se varía la tercera, aunque en este caso para la tercera ya solo hay una opción.

Azul, dorado y escarlata.

Aquí ya no tiene sentido cambiar la segunda caja, lo que significa que ya no hay más grupos en los que intervenga la primera caja, la azul. Así que ya no hay porque utilizarla y se repite el proceso empezando en la caja blanca:

Blanca, celeste y dorada.

Blanca, celeste y escarlata.

Blanca, dorada y escarlata.

Ya no hay más opciones con la blanca así que ahora hay que empezar con la celeste:

Celeste, dorada y escarlata.

No hay más opciones que empiecen con celeste.

Ahora, se intenta empezar con la dorada. Se observa que no hay suficientes cajas para tener ordenaciones diferentes a las que ya se listaron, aquí termina el proceso de conteo.

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Con este método se puede tener la seguridad de que no faltan otras configuraciones ni se ha contado alguna repetida, siempre que el método se haya ocupado correctamente.

En la situación anterior, el orden en que se seleccionaban cada día las tres cajas no tenía relevancia alguna, es decir, da igual decir que el lunes las bolitas se guardaron en las cajas blanca, dorada y escarlata que decir que las tres bolitas se guardaron en las cajas dorada, escarlata y blanca; en ambos casos las cajas utilizadas son las mismas. A este tipo de configuración en la cual el orden de los objetos no es importante, sino que únicamente interesa cuáles son los objetos presentes en la configuración se le conoce como una combinación.

Una combinación es una forma de seleccionar objetos sin que importe el orden en que fueron seleccionados.

Ejemplo 3.13.

Si se dispone de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de cuatro cifras es posible formar si en dicho número los dígitos deben aparecer en orden decreciente?

Solución:

Si por ejemplo para el número que se desea formar se utilizaran los dígitos 2, 3, 5 y 6 entonces el número debe ser 6,532. Solo hay una manera de colocar esos cuatro dígitos de forma decreciente. De manera que para formar los números basta únicamente con seleccionar los cuatro dígitos que va a contener dado que una vez seleccionados hay una sola forma de ubicarlos. Las formas de seleccionar los cuatro dígitos se muestran a continuación:

Cifras seleccionadas Número formado Cifras seleccionadas Número formado

1,2,3,4 4321 1,3,5,6 6531

1,2,3,5 5321 1,4,5,6 6541

1,2,3,6 6321 2,3,4,5 5432

1,2,4,5 5421 2,3,4,6 6432

1,2,4,6 6421 2,3,5,6 6532

1,2,5,6 6521 2,4,5,6 6542

1,3,4,5 5431 3,4,5,6 6543

1,3,4,6 6431

En total hay 15 formas de seleccionar cuatro dígitos de los seis disponibles y, por lo tanto, es posible formar 15 números con sus dígitos en orden decreciente utilizando los dígitos del 1 al 6.

El ejemplo anterior muestra que existen 15 combinaciones distintas de 4 elementos que se pueden hacer teniendo 6 elementos disponibles.

Al número de combinaciones que se pueden hacer tomando r objetos teniendo n disponibles se le

denota por 𝐶𝑛𝑟 o bien por (𝑛

𝑟), y la fórmula que se utiliza es: 𝐶𝑛

𝑟 =𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)!

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Retomando el ejemplo anterior, se tiene que el total de números de cuatro cifras donde los dígitos aparezcan en orden decreciente es: 𝐶6

4 = 15.

Es interesante notar que en lugar de seleccionar los 4 dígitos que formarían al número, bien se pudo seleccionar los 2 dígitos que no estarían en el número y así automáticamente el número quedaría

formado, esto es 𝐶62 = 15 = 𝐶6

4.

Relación entre variaciones y combinaciones

Ejemplo 3.14.

Alejandro, Blanca, Camila, Diego y Elia suben a un bus y ven que únicamente está disponible un asiento para tres personas, por lo que dos de ellos tendrán que viajar de pie. ¿De cuántas maneras distintas pueden tres de ellos sentarse en el asiento disponible?

Solución:

En este caso es importante quienes son los tres que ocuparán el asiento, pero también tiene relevancia el orden en que se sientan, no es igual ir a la orilla que en medio o junto a la ventana, por lo tanto, es un problema de variaciones. Sin embargo, puede descomponerse el análisis en dos pasos: Primero seleccionar a los tres que ocuparán el asiento y luego preocuparse por el orden en que esos tres ya seleccionados van a ocupar el asiento. Como se observó antes, el total de maneras de seleccionar tres objetos de cinco disponibles es 10, así que hay 10 maneras distintas de seleccionar a los tres que ocuparán el asiento. Ahora bien, esos tres ya seleccionados pueden ocupar el asiento de seis maneras distintas, dado que son seis las maneras distintas de ordenar a tres objetos. Es decir, que por cada una de las 10 maneras de seleccionar a los tres que ocuparán el asiento hay 6 formas distintas de ordenarlos, así que en total son 10(6) = 60 el total de maneras distintas en que tres de ellos pueden ocupar el asiento.

Relación entre variaciones y combinaciones 𝑉53 = 𝐶5

3(3!)

Ejemplo 3.15.

Para formar una contraseña Rodrigo desea usar dos dígitos pares distintos de cero, no repetidos y dos vocales no repetidas, aunque pueden aparecer en cualquier orden. ¿Cuántas contraseñas distintas puede formar Rodrigo?

Solución:

Dado que la cantidad de símbolos de cada tipo está restringida, es muy conveniente seleccionar primero cuales vocales y qué dígitos aparecerán en la contraseña.

El número de maneras de seleccionar dos vocales diferentes de cinco disponibles es 𝐶52 = 𝐶5

3 = 10

mientras que el número de maneras de seleccionar dos dígitos diferentes de entre 2, 4, 6 y 8, son 𝐶42 = 6.

Por lo tanto, hay (10)(6) = 60 maneras de seleccionar los cuatro símbolos que formarán la contraseña, éstos símbolos, una vez seleccionados solo falta ordenarlos, lo cual puede hacerse de 4! = 24 maneras. Así, en total existen (60)(24) = 1,440 contraseñas diferentes que puede formar Rodrigo con dos dígitos pares distintos de cero y dos vocales distintas.

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Ejemplo 3.16.

En la colonia Los Pinos se han reunido sus habitantes con motivo de formar la directiva, si hay 5 candidatos para ocupar los cargos de presidente, secretario o tesorero. ¿De cuántas maneras diferentes podría quedar formada la directiva?

Solución:

Se tienen 5 personas disponibles para ocupar 3 cargos disponibles. Una manera de formar la directiva sería seleccionando primero el presidente y para ello hay 5 personas disponibles. Una vez decidido el presidente se puede seleccionar como secretario a una de las 4 personas restantes, ya aquí habrían 5(4) = 20 opciones distintas para la pareja del presidente-secretario. Finalmente, se selecciona como tesorero a una de las 3 personas aún disponibles, por lo tanto, se tendrían 20(3) = 60 opciones distintas de formar la directiva. Este cálculo corresponde al valor de V5,3, tal como se desarrolló en el tema de variaciones.

Otra forma de proceder para formar la directiva es: seleccionar a las 3 personas que estarían en la directiva

de las 5 disponibles, puede hacerse de 𝐶53 = 10 formas. Observe que no se les han asignado los cargos

que ocuparán, ya que, una vez decidido quiénes son las tres personas que estarán en la directiva, se asignan los puestos, lo cual puede hacerse de 3! = 6 maneras distintas. Por tanto, el total de maneras

diferentes de formar la directiva es: 𝐶53 (3!) = (10)(6) = 60.

Es importante notar que en un problema de variaciones están involucrados dos procesos o pasos para formar una configuración particular: se está seleccionando objetos de un conjunto disponible y luego se ordenan los objetos seleccionados.

Caminos en una cuadrícula

Ejemplo 3.17.

¿Cuántos caminos distintos se pueden seguir para llegar desde la intersección de Av. Brisas con Calle Sol hasta la intersección de Av. Mares con Calle Luna, si el recorrido debe ser el más corto posible?

Solución:

Un recorrido que cumple con las condiciones es el que se muestra a continuación:

En ese camino se ha avanzado una cuadra hacia la derecha, dos cuadras hacia arriba y finalmente dos cuadras hacia la derecha nuevamente.

Si se identifica un movimiento de una cuadra hacia la derecha con el símbolo y

un movimiento de una cuadra hacia arriba con el símbolo , entonces el camino señalado como ejemplo

corresponde a la secuencia . Se observa que cualquier camino más corto debe hacer dos movimientos hacia arriba y tres hacia la derecha, por lo que puede identificarse con una secuencia de tres

símbolos y dos símbolos . Recíprocamente, cualquier cadena de cinco símbolos, tres de los cuales sean y dos sean corresponde a uno de los caminos válidos. Es decir, hay una correspondencia uno a uno

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entre el conjunto de cadenas de los cinco símbolos y el conjunto de caminos más cortos que van de la esquina inferior izquierda de la cuadrícula hasta la esquina superior derecha.

De manera que si se desea contar el número de caminos, resulta más conveniente contar el número de

cadenas distintas que se pueden formar con los cinco símbolos . Para ello, una manera de hacer el conteo es imaginarse que hay cinco espacios vacíos disponibles para estos símbolos y entonces solo se necesita seleccionar en cuales de esos cinco espacios se van a colocar las dos flechas verticales o bien, seleccionar en cuales se van a colocar las tres flechas horizontales.

El número de maneras de seleccionar dónde colocar las tres flechas horizontales teniendo cinco lugares

disponibles es 𝐶53 = 10. Por lo tanto, ahora también se puede concluir que existen 10 caminos que

cumplen las condiciones del problema. La respuesta es la misma si en lugar de elegir dónde colocar las

flechas horizontales se hubiera elegido donde colocar las dos verticales, esto es 𝐶52 = 10 = 𝐶5

3 como se había mostrado anteriormente.

Ejemplo 3.18.

¿Cuántos caminos de longitud mínima moviéndose sobre las líneas de la siguiente cuadrícula llevan del punto A al punto B pero pasando por el punto M?

Solución:

Como los caminos que van de A a B deben ser de longitud mínima entonces solo debe moverse hacia arriba o hacia la derecha. Para asegurar que los caminos pasen por M, es necesario descomponer el proceso en dos partes, calculando primero los caminos que van de A a M y luego los que van M a B.

Para ir de A a M se debe dar cuatro pasos, de los cuales dos son a la derecha y dos hacia arriba, en algún orden,

así que el total de caminos distintos para llegar de A a M es 𝐶42. Luego el número de maneras de ir de M a B es

𝐶32, dado que debe dar tres pasos en total, de los cuales dos son a la derecha y uno hacia arriba.

De manera que el total de caminos distintos completos de A a B se obtiene al multiplicar 𝐶42 (𝐶3

2) =6(3) = 18, dado que cualquiera de los caminos de A a M se puede completar con cualquiera de los tres caminos que van de M a B.

Ejercicios

1. A una reunión asisten 5 personas, si todos se saludan entre sí exactamente una vez estrechándose la mano, ¿cuántos apretones de mano se dan en total en la reunión?

2. En una venta de licuados tienen disponibles fresas, guineos, zapotes, piña y zanahoria. Si los clientes pueden pedir su licuado con uno, dos o hasta tres de esas frutas, ¿cuántos licuados diferentes podrían prepararse?

3. Se dispone de tres cartas iguales y de cinco sobres de diferentes colores: amarillo, blanco, crema, dorado y escarlata, para guardarlas. Si cada sobre sólo puede contener, a lo sumo, una carta. ¿De

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cuántas formas podemos colocar las tres cartas en los cinco sobres diferentes? Ejemplo: podemos colocar una carta en el sobre amarillo, otra en el blanco y otra en el crema.

4. Se sabe que, por dos puntos pasa una sola recta. ¿Cuántas rectas pasan por 5 puntos entre los cuales no hay 3 alineados?

5. ¿Cuántos triángulos se pueden formar utilizando los vértices de un polígono regular de 10 lados? 6. De un grupo de 24 personas se quieren elegir 5 representantes de la siguiente forma: Manuel y Luis

deben estar en el grupo elegido. Hay 8 mujeres en total pero a lo más deben figurar 2 en el grupo. ¿De cuántas maneras distintas puede hacerse la elección?

7. Un grupo de 15 alumnos(as) debe dividirse en 3 equipos de 5 personas cada uno. ¿De cuántas formas puede hacerse la distribución si:

a. un grupo discutirá sobre el valor de la cooperación, otro sobre la solidaridad y otro sobre la

honestidad? b. los tres grupos deben discutir sobre el valor de la honestidad?

8. Cuántos caminos de longitud mínima moviéndose sobre las líneas

de la siguiente cuadrícula llevan

a. Del punto A al punto B. b. Del punto A al punto B pasando por M. c. Del punto A al punto B pasando por M y por N. d. Del punto A al punto B pasando por M o por N. e. Del punto A al punto B, pero no pasa por M ni por N.

9. ¿Cuántos caminos llevan de A a B en la siguiente

figura, moviéndose sobre las líneas, si dichos caminos deben ser lo más corto posible?

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Cálculo proposicional

4.1 Introducción Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se definió la lógica como la rama de la gramática que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje. Como la palabra es la expresión, o manifestación del pensamiento y el pensamiento racional es la base de la filosofía, puede decirse en general, que la lógica es la ciencia del pensamiento racional. Es importante aclarar que la lógica no se ocupa del contenido de los pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos. En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar pensamientos de los demás, Aristóteles, considerado por los griegos “el padre de la lógica”, creó métodos sistemáticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarrolló la lógica proposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas. El gran matemático Gottfried Leibniz, en 1646 fue el primero en intentar reformar la lógica clásica, planteando que la dependencia lógica entre proposiciones es demostrada reduciendo argumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecánico y a éste esquema (lógica simbólica) lo llamó una característica universal. El proceso de la lógica continuó en el siglo XIX. En 1847 el matemático inglés George Boole en compañía de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones lógicas con las matemáticas, pues a partir de los operadores aritméticos de adición, multiplicación y sustracción crearon los operadores lógicos equivalentes de unión, intersección y negación; además formularon los principios del razonamiento simbólico y el análisis lógico. A Boole se le atribuye la invención de una herramienta, un método para comprobar la veracidad de las proposiciones compuestas, llamada tablas de verdad. Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra Principia mathematica, quienes codificaron la lógica simbólica en su presente forma definiéndola como la “ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles”. Por esta razón, se le atribuye a ellos la fundación de la lógica formal moderna.

4.2 Proposiciones 1. Analizar las siguientes oraciones:

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a. El 19 de septiembre de 1996 fue jueves1. b. San Miguel es la capital de El Salvador. c. Todo número entero par mayor que 2 es la suma de dos números primos2. d. 29×3 = 87. e. La formación docente consta de 9 módulos. f. C. D. Chalatenango ganará el torneo Clausura 2020. g. 17 + 0 = 170. h. El volcán Chinchontepec está ubicado en Sonsonate.

¿Son verdaderas o falsas? Argumentar.

2. Analizar lo siguiente:

i. ¡Hola! j. Las matemáticas son divertidas k. ¿Qué estás haciendo? l. ¡Cuídate! m. ¡Ayúdame por favor!

¿Son verdaderas o falsas? Argumentar.

3. ¿Cuál es la diferencia entre las oraciones de 1 y 2?

Solución:

En el problema 1:

Oración V o F Argumentos

a El 19 de septiembre de 1996 fue jueves V Puede verificarse utilizando congruencia (visto en el Módulo 2)

b San Miguel es la capital de El Salvador F La capital de El Salvador es San Salvador

c Todo número entero par mayor que 2 es la suma de dos números primos

¿? ¿?

d 29×3 = 87 V 29×3 = 87

e La formación docente consta de 9 módulos F Consta de 8 módulos

f C. D. Chalatenango ganará el torneo Clausura 2020 ¿? ¿?

g 17 + 0 = 170 F 17 + 0 = 17

h El volcán Chinchontepec está ubicado en Sonsonate

F Está ubicado en San Vicente

¿Qué sucede con los literales c y f?

1 Puede verificarlo utilizando congruencias. 2 Esta es la conjetura de Goldbach que data desde 1742.

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El literal c expresa la conjetura que enunció el matemático Christian Goldbach en el siglo XIX, hasta este momento no se ha podido demostrar, sin embargo, ha habido avances significativos en este esfuerzo, por lo que se espera que en algún momento se pueda determinar la veracidad o la falsedad de la proposición. Con respecto al literal f, será hasta el año 2020 se podrá verificar si el C. D. Chalatenango ganará el torneo Clausura de ese año, es decir, hasta ese año se podrá determinar si la proposición es verdadera o no.

De esta manera se puede concluir que en algún momento se podrá determinar la veracidad o no de las oraciones de los literales c y f.

En el problema 2:

Oración/expresión V o F Argumentos

i ¡Hola! ¿? Es un saludo

f Las matemáticas son divertidas ¿? Es subjetivo

g ¿Qué estás haciendo? ¿? Es una pregunta

h ¡Que te vaya bien! ¿? Es una expresión de despedida

i ¡Ayúdame por favor! ¿? Es una solicitud de ayuda

Respecto a la pregunta 3, básicamente la diferencia es que en las oraciones de 1 se puede determinar en algún momento, si son verdaderas o falsas; mientras que, en las oraciones de 2, no es posible. Esto conlleva que:

Una proposición es una oración declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas al mismo tiempo. La designación de verdadero o falso, de los cuales sólo uno es asignable a una proposición, es llamada el valor de verdad de la proposición.

Si la oración es una pregunta o una orden, o si es demasiado imprecisa (o carece de sentido), entonces no se puede clasificar como verdadera o falsa. En tal caso, no serían proposiciones los siguientes ejemplos:

¡Márchate!

La matemática es más interesante que la física.

¿Cómo estás?

Estas no son proposiciones en virtud de la definición dada, ya que no se pueden clasificar satisfactoriamente como verdaderas o falsas.

Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural. Así, también se logra simplificar la escritura de argumentos lógicos complicados, creando un lenguaje simbólico, en donde se establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigüedades del lenguaje corriente o natural. Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden simbolizar las proposiciones:

p: El 19 de septiembre de 1996 fue jueves. q: San Miguel es la capital de El Salvador.

El valor de verdad de p es verdadero; mientras que el valor de verdad de q es falso.

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La lógica es un método de razonamiento, todo debe definirse de manera que no dé lugar a dudas o imprecisiones en su significado. Nada puede darse por supuesto, y las definiciones de diccionario no son normalmente suficientes. Por ejemplo, en el lenguaje ordinario un enunciado u oración se puede definir como "una palabra, o grupo de palabras, que declara, pregunta, ordena, solicita, o exclama algo; unidad convencional del habla o escritura coherente, que normalmente contiene un sujeto y un predicado, que empieza con letra mayúscula y termina con un punto". Sin embargo, en lógica simbólica una oración tiene un significado mucho más limitado y se llama proposición.

4.3 Conectivos lógicos

Lee los siguientes enunciados (los cuales se retomarán más adelante):

1. Si dos números son naturales pares, entonces su suma será un número par. 2. Si un triángulo es rectángulo entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es

igual al cuadrado de la longitud de su hipotenusa, es decir si los lados del triángulo son 𝑎, 𝑏 y 𝑐, se cumple que 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2.

3. Si el cuadrado de un número es par, entonces el número es par.

Todas las proposiciones vistas hasta ahora son simples. Sin embargo, es usual en el lenguaje cotidiano utilizar proposiciones como las siguientes:

a. Tengo una moneda de 25 centavos de dólar y tengo una moneda de 10 centavos de dólar. b. Los humanos son mortales y 6 es un número primo. c. La selección de fútbol de El Salvador ganó o perdió el partido. d. En El Salvador no hay violencia. e. Si apruebo los 8 módulos de formación docente, entonces recibiré la certificación. f. Un número es par si y solo si es divisible por 2.

Una proposición es compuesta si consiste de dos o más proposiciones simples unidas por uno o más

conectivos lógicos, entre estos están “y”, “o”, “no”, “si, entonces”, “equivale”.

Conjunción

En la siguiente proposición compuesta: “Tengo una moneda de 25 centavos de dólar y tengo una moneda de 10 centavos de dólar”, se hace uso del conectivo y. Esto expresa que dos situaciones o eventos son ciertos simultáneamente. Es decir:

p: Tengo una moneda de 25 centavos de dólar. q: Tengo una moneda de 10 centavos de dólar.

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Si p y q son dos proposiciones simples, la proposición compuesta “p y q”, se simboliza por “p ∧ q” y se llama conjunción. ¿Cuándo será verdadera esta proposición? Existen cuatro posibilidades concretas:

Esta proposición compuesta será verdadera solamente en el caso en que ambas proposiciones simples sean verdaderas, es decir, el caso 1. En Cualquiera de los otros casos al menos una es falsa, por tal razón la proposición compuesta sería falsa.

En el literal b. Los humanos son mortales y 6 es un número primo, también tiene 4 posibilidades:

p: los humanos son mortales. q: 6 es un número primo.

Una vez más, para que la proposición compuesta p ∧ q sea verdadera debe cumplirse que ambas proposiciones simples sean verdaderas, en base a esto se hace el siguiente análisis:

¿Cuál es el valor de verdad de p? ¿Son los humanos mortales? Si ¿Cuál es el valor de verdad de q? ¿Es 6 un número primo? No

Como p es verdadera y q es falsa, que es el caso 2 de la tabla, entonces la proposición p ∧ q es falsa.

En el ejemplo anterior es importante notar que no se requiere que las proposiciones estén relacionadas entre sí, ¿qué tiene que ver que los humanos sean mortales o no, si 6 es primo o no? Sin embargo, si se puede determinar su valor de verdad, tendrá sentido en lógica matemática.

Una observación importante es que, en el lenguaje matemático, una conjunción es independiente del orden de sus partes: p ∧ q significa lo mismo que q ∧ p. Esto no siempre es cierto en el lenguaje cotidiano, por ejemplo:

David cenó y luego se acostó.

No significa lo mismo que: David se acostó y luego cenó.

Otra diferencia importante con el uso de y en el lenguaje natural se puede observar en frases como “Roberto y Nerys son amigos”. En esta proposición no es posible utilizar el símbolo ∧ para representar la palabra “y” ya que no está siendo usada para unir dos proposiciones. “Roberto” no es una proposición, ¿por qué?

Disyunción Analiza las siguientes proposiciones:

1 Tengo una moneda de 25 centavos de dólar Tengo una moneda de 10 centavos de dólar

2 Tengo una moneda de 25 centavos de dólar No tengo una moneda de 10 centavos de dólar

3 No tengo una moneda de 25 centavos de dólar Tengo una moneda de 10 centavos de dólar

4 No tengo una moneda de 25 centavos de dólar No tengo una moneda de 10 centavos de dólar

1 Los humanos son mortales 6 es un número primo

2 Los humanos son mortales 6 no es un número primo

3 Los humanos no son mortales 6 es un número primo

4 Los humanos no son mortales 6 no es un número primo

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Tengo una moneda de 25 centavos de dólar o tengo una moneda de 10 centavos de dólar. La clase de mañana será en el aula 12 o la clase será en el aula 19.

En la siguiente proposición compuesta “Tengo una moneda de 25 centavos de dólar o tengo una moneda de 10 centavos de dólar”, se usa el conectivo o, que expresa que un evento es cierto o el otro evento es cierto, es decir, dadas dos proposiciones p, q, la proposición compuesta p o q, que se simboliza por p ∨ q, es llamada disyunción. Se tienen las siguientes posibilidades:

p: Tengo una moneda de 25 centavos de dólar. q: Tengo una moneda de 10 centavos de dólar.

La disyunción es verdadera si al menos una de las proposiciones simples es verdadera, es decir la proposición disyuntiva será falsa únicamente cuando ambas proposiciones son falsas. Por tal razón los casos 1, 2 y 3 son verdaderos porque al menos una es verdadera, mientras que el caso 4 será falsa dado que ambas son falsas. Esto introduce una diferencia importante con el lenguaje cotidiano, donde la proposición p ∨ q normalmente indica que p es verdadera o q es verdadera, pero no ambas, como en el caso de la proposición “la clase de mañana será en el aula 12 o la clase será en el aula 19”. Sin embargo, en la proposición en cuestión, tanto p como q pueden ser ciertas simultáneamente, es el caso de la opción 1, este significado inclusivo del conectivo o es el que se utilizará de aquí en adelante.

Ejemplo 4.1.

Para analizar el significado inclusivo del conectivo o. Ana, una madre de familia ofrece a su hijo Ademar, en el día de su cumpleaños lo siguiente: “te compro un juguete o te compro un pastel”, al final del día, la madre compró ambas cosas, entonces, ¿la proposición es falsa o verdadera?

Como Ana compro el juguete, ya se asegura que al menos una proposición simple es verdadera, por lo tanto, la proposición compuesta “te compro un juguete o te compro un pastel” es verdadera.

Ejercicios

Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. 1

4 es un número fraccionario o es un número entero. Debido a que “

1

4 es un número fraccionario”, es

suficiente para que la proposición compuesta sea verdadera. 2. El número 10 es múltiplo de 20 o el número 3 es impar. Aun cuando “10 no es múltiplo de 20”, la

proposición compuesta es verdadera ya que “3 si es impar”. 3. 2+3=6 o 2×4 =6. Como “2+3=6” es falsa y “2×4 =6” es falsa, entonces la proposición compuesta es falsa.

1 Tengo una moneda de 25 centavos de dólar Tengo una moneda de 10 centavos de dólar

2 Tengo una moneda de 25 centavos de dólar No tengo una moneda de 10 centavos de dólar

3 No tengo una moneda de 25 centavos de dólar Tengo una moneda de 10 centavos de dólar

4 No tengo una moneda de 25 centavos de dólar No tengo una moneda de 10 centavos de dólar

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4. El círculo tiene simetría axial o tiene simetría central. Como el círculo tiene simetría axial (su eje es cualquier recta que pase por el centro), es suficiente para concluir que la proposición compuesta es verdadera, aunque también es verdadera “tiene simetría central”.

5. Un triángulo equilátero tiene sus tres lados congruentes o sus tres ángulos tienen la misma medida. Como ambas proposiciones son verdaderas, entonces la proposición compuesta es verdadera, aunque bastaría solo con una.

6. Todo triángulo isósceles es equilátero o el primer número natural es cero. Como “todo triángulo isósceles es equilátero” es falsa y “el primer número natural es cero” es falsa, la proposición compuesta es falsa.

7. El cuadrado es un rectángulo o el rectángulo es un cuadrado. “El cuadrado es un rectángulo” es verdadera, aunque “el rectángulo es un cuadrado” es falsa, la proposición compuesta es verdadera.

Negación

Analiza las siguientes proposiciones:

El cuadrado no es un rectángulo. El número 27 no es un número primo.

Primero se determina la proposición en positivo. Sea p: El cuadrado es un rectángulo, entonces la proposición “El cuadrado no es un rectángulo” se simboliza como ¬p, utilizando el conectivo “¬” que significa la negación de una situación o evento.

¿Cómo determinar el valor de verdad de ¬p?

Una proposición p solo tiene dos opciones: es verdadera o falsa, si p es verdadera, ¬p es falsa. Si p es falsa, ¬p es verdadera. Si p: El cuadrado es un rectángulo, es verdadera, entonces ¬p: El cuadrado no es un rectángulo, es falsa. La información se presenta en una tabla:

Proposiciones Valor de verdad

p: El cuadrado es un rectángulo Verdadero

¬p: El cuadrado no es un rectángulo Falso

Se puede concluir que, si una persona dice que “El cuadrado no es un rectángulo”, es falso.

De la misma manera si q: El número 27 es un número primo, es falsa, entonces la proposición negación ¬q: El número 27 no es un número primo, es verdadera.

Proposiciones Valor de verdad

q: El número 27 es un número primo Falso

¬q: El número 27 no es un número primo Verdadero

Negación de la negación

Analiza la siguiente proposición:

“no es cierto que el cuadrado no es un rectángulo”

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Se utiliza la proposición más simple, p: El cuadrado es un rectángulo, entonces ¬p: El cuadrado no es un rectángulo, además ¬(¬p): no es cierto que el cuadrado no es un rectángulo. En este caso si ¬p es verdadera, ¬(¬p) es falsa; mientras que si ¬p es falsa, ¬(¬p) es verdadera:

Proposiciones Valor de verdad

p: El cuadrado es un rectángulo Verdadero

¬p: El cuadrado no es un rectángulo Falso

¬(¬p): No es cierto que el cuadrado no es un rectángulo Verdadero

Una observación muy importante es que el valor de verdad de p y ¬(¬p) siempre es el mismo, en este sentido la expresión “El cuadrado es un rectángulo” es lógicamente equivalente a decir “No es cierto que el cuadrado no es un rectángulo”.

Ejemplo 4.3.

Determine el valor de verdad de “No es cierto que el número 𝜋 no es un número racional” ¿Es falso o verdadero?

Proposiciones Valor de verdad

r: El número 𝜋 es un número racional Falso

¬r: El número 𝜋 no es un número racional Verdadero

¬(¬r): No es cierto que el número 𝜋 no es un número racional Falso

¡CUIDADO!

En el lenguaje común se utilizan muchas expresiones o preguntas como las siguientes:

a. ¿No tenés dinero Chepito? b. ¿Ya no hay pan? c. ¿Cuántas naranjas hay? No hay ninguna d. ¿No te has despertado?

Se analizará cuál debe ser la respuesta correcta a estas preguntas:

a. Si Chepito no tiene dinero, usualmente se responde “no” a la pregunta, sin embargo, esto es lógicamente incorrecto, puesto que es equivalente a decir: “no, no tengo dinero” y esto significa que si tiene dinero. Parece lógico, ¿verdad? Entonces la respuesta correcta debe ser “si”, que significa “si, no tengo dinero” que es equivalente a decir “no tengo dinero”.

b. Si no hay pan, usualmente se responde “no”, pero es incorrecto, se debe responder “si”, que significa “si, no hay pan”.

c. Si no hay naranjas, responder “No hay ninguna” es incorrecto, puesto que “No hay ninguna” es equivalente a decir que hay al menos una. Lo respuesta correcta debe ser “No hay” o “hay ninguna” ¿Parece extraño verdad?

d. Si ya te despertaste, usualmente se responde “si” a la pregunta ¿No te has despertado?... ¿cómo es posible que estés hablando sino te has despertado? La respuesta debe ser “no”, que es equivalente a “no, no me he despertado”, esto significa “si, me he despertado”.

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Sugerencia. Para evitar los inconvenientes presentados en los ejemplos anteriores se recomienda no anteponer la palabra “no” a las preguntas y tener mucho cuidado cuando se utilice la negación de la negación.

Condicional Analiza el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. Si pasas la materia, entonces obtendrás un automóvil. b. Si apruebo los 8 módulos de formación docente, entonces recibiré la certificación. c. Si los cerdos vuelan, entonces puedes entender la diferencia entre razón y fracción. d. Si dos números son naturales pares, entonces su suma será un número par. e. Si un triángulo es rectángulo entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es

igual al cuadrado de la longitud de su hipotenusa (Teorema de Pitágoras).

En el literal a, se pueden determinar dos proposiciones simples, p: pasar la materia, q: obtener un automóvil, formándose así la proposición compuesta p implica q, que se simboliza como p ⟶ q. A las expresiones de esta forma se les llama condicional o implicación, donde p es el antecedente y q es el consecuente, usualmente se presenta cuando acontecen sucesos como los siguiente: si sucede una cosa, entonces/implica otra cosa. La verdad o falsedad de un condicional será definido completamente por la verdad o falsedad del antecedente y del consecuente. Hay 4 posibilidades:

En el caso 1, si se pasó la materia y se obtuvo el automóvil, claramente la proposición condicional p ⟶ q es verdadera, es decir si p y q son ambas verdaderas, entonces p ⟶ q es verdadera.

En el caso 3, si no se pasó la materia y se obtuvo el automóvil, entonces la proposición condicional p ⟶ q es verdadera, es posible que se hicieran otros esfuerzos para de comprarlo, es decir si p es falsa y q es verdadera, entonces p ⟶ q es verdadera.

En el caso 4, si no se pasó la materia y no se obtuvo el automóvil, entonces la proposición condicional p ⟶ q sigue siendo verdadera, es decir si la condición para comprar el automóvil era pasar la materia, pero no se cumplió esta condición, entonces no hay problemas sino se compró el automóvil, es decir si p y q, ambas son falsas, entonces p ⟶ q es verdadera.

Por último, en el caso 2, si se pasó la materia, pero no se obtuvo el automóvil… hay problemas porque se cumplió con el requisito, pero no se obtuvo lo que se prometió a cambio, en este caso p ⟶ q es falsa, es decir, la única manera en que una proposición condicional p ⟶ q es falsa se da cuando el antecedente p verdadero y el consecuente q es falso. En resumen:

1 Pasar la materia Obtener un automóvil

2 Pasar la materia No obtener un automóvil

3 No pasar la materia Obtener un automóvil

4 No pasar la materia No obtener un automóvil

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Con el análisis anterior, se puede concluir en el literal b, que la única manera de que sea falsa la proposición “Si apruebo los 8 módulos de formación docente, entonces recibiré la certificación” es si un especialista aprueba los 8 módulos, pero no recibe la certificación.

En el literal c, “Si los cerdos vuelan, entonces puedes entender la diferencia entre razón y fracción” es un ejemplo que el antecedente puede ser falso, pero si el consecuente es verdadero la proposición condicional es verdadera, es decir “los cerdos vuelan” es falso, sin embargo “puedes entender la diferencia entre razón y fracción” debe ser verdadera para un especialista que ya cursó el Módulo 6 de la formación. Por lo tanto, la proposición compuesta es verdadera.

En matemática frecuentemente se utilizan expresiones de la forma “p ⟶ q”, dado que esto provee el medio por el cual se demuestran teoremas, propiedades y resultados muy importantes en las diferentes ramas de estudio de esta disciplina.

Demostrar una propiedad o proposición de este tipo, significa tener una hipótesis; los elementos o herramientas que son ciertos y que servirán como base para construir una tesis. En este sentido, si se requiere demostrar una proposición de la forma p ⟶ q, p es la hipótesis y q es la tesis, en otras palabras, si p es verdadera, se deben realizar pasos lógica y matemáticamente correctos para demostrar que q también es verdadera, así se podrá asegurar que p ⟶ q es verdadera.

Con respecto al literal d, demostrar que “Si dos números son naturales pares, entonces su suma será un número par”. En este caso:

p: dos números son naturales pares. q: la suma será un número par.

Se debe demostrar que p ⟶ q, es decir, si dos números son naturales pares, entonces la suma debe ser también un número par. Considérese algunos ejemplos:

Si a = 2 y b = 4 son números pares, entonces a + b = 2 + 4 = 6, es un número par.

Si a = 4 y b = 6 son números pares, entonces a + b = 4 + 6 = 10, es un número par.

Si a = 26 y b = 938 son números pares, entonces a + b = 26 + 938 = 964, es un número par.

Si a = 1754 y b = 39872 son números pares, entonces a + b = 1754 + 39872 = 41626, es un número par.

Aparentemente es cierto, sin embargo, qué sucede si se intenta hacer todas las combinaciones posibles con todos los números que existen… son infinitos, es imposible terminar. Ante esta dificultad es necesario generalizar, que es uno de los objetivos en una demostración.

La hipótesis es p: dos números son naturales pares:

Entonces sean a=2k y b=2n

p q p ⟶ q

Verdadero Verdadero Verdadero

Verdadero Falso Falso

Falso Verdadero Verdadero

Falso Falso Verdadero

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Donde k y n son enteros, se desea probar que q: a + b es un número par.

a + b = 2k + 2n = 2 (k + n) = 2m, donde m= k+n

Luego como a + b = 2m se concluye que a + b es un número par, justo lo que se quería demostrar.

Con respecto al literal e, demostrar que “Si un triángulo es rectángulo entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de su hipotenusa”, en este caso:

p: un triángulo rectángulo q: la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de su hipotenusa p es la hipótesis y q es la tesis.

En lenguaje formal el teorema anterior se enuncia así:

Dado el ∆ABC, tal que CA = 𝑏, AB = 𝑐 y BC = 𝑎; con ∡C = 90°, establece la siguiente igualdad 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

Para demostrar este teorema se construye un cuadrado que tenga como uno de sus lados la hipotenusa AB̅̅ ̅̅ .

Al construir tres triángulos rectángulos congruentes al ∆ABC, cuyas hipotenusas sean los tres lados restantes del cuadrado ADEB, se forma el cuadrado CFGH en el que cada uno de sus lados mide 𝑎 + 𝑏.

Si se encuentra el área del cuadrado CFGH de dos formas distintas:

Forma 1 A1 = (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Forma 2 A2 = 𝑐2 + 4 (𝑎𝑏

2) = 𝑐2 + 2𝑎𝑏

Como el área es la misma se tiene que A1 = A2

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑐2 + 2𝑎𝑏 ⇒ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

Ejemplo 4.4.

Hay cinco tarjetas en una mesa. Cada tarjeta tiene un número de un lado y una letra en el otro. Carlos afirma que, si una tarjeta tiene una vocal en un lado, entonces el número que aparece en el otro lado de la tarjeta es par. Si lo que se ve de las tarjetas es lo siguiente:

E K 4 7 8

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¿Cuántas tarjetas como mínimo tiene que voltear Alicia para ver si lo que dice Carlos es cierto? En este problema la proposición que debe analizarse, es la siguiente: “Si una tarjeta tiene una vocal en un lado, entonces el número que aparece en el otro lado de la tarjeta es par”. Sea p: una tarjeta tiene una vocal en un lado, y q: el número que aparece en el otro lado de la tarjeta es par. Se debe analizar que p ⟶ q debe ser verdadera, para que lo dicho por Carlos sea cierto, lo importante es determinar cuántas tarjetas deben voltearse como mínimo.

Con la tarjeta se tiene que ¿Para que p ⟶ q sea verdadero, es necesario saber el valor de verdad de q, si p es verdadero? Sí, por tal razón si es necesario voltear esta tarjeta.

Con la tarjeta se tiene que ¿Para que p ⟶ q sea verdadero, es necesario saber el valor de verdad de q, si p es falso? No, es indiferente el valor de verdad de q, no es necesario voltear esta tarjeta.

Con la tarjeta se tiene que ¿Para que p ⟶ q sea verdadero, es necesario saber el valor de verdad de p, si q es verdadero? No, es indiferente el valor de verdad de p, no es necesario voltear esta tarjeta.

Con la tarjeta se tiene que ¿Para que p ⟶ q sea verdadero, es necesario saber el valor de verdad de p, si q es falso? Sí, es necesario voltear esta tarjeta.

Con la tarjeta se tiene que ¿Para que p ⟶ q sea verdadero, es necesario saber el valor de verdad de p, si q es verdadero? No, es indiferente el valor de verdad de p, no es necesario voltear esta tarjeta. En conclusión, Alicia debe voltear como mínimo 2 tarjetas para saber si lo que dijo Carlos es cierto.

p q p ⟶ q

Verdadero ¿? Verdadero

p q p ⟶ q

Falso ¿? Verdadero

p q p ⟶ q

¿? Verdadero Verdadero

p q p ⟶ q

¿? Falso Verdadero

p q p ⟶ q

¿? Verdadero Verdadero

E

K

4

7

8

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Ejercicios 1. Indica cuáles de las siguientes oraciones/expresiones son proposiciones. Argumenta.

a. El Salvador tiene 14 departamentos. b. ¿Cuántos días tiene enero? c. El primer grito de independencia de Centroamérica se dio el 5 de noviembre de 1811. d. El 11 es un número primo. e. El volcán Ilamatepec está ubicado en Cuscatlán. f. 5 + 7 = 13. g. La traslación es una transformación isométrica. h. ¿Para dónde van? i. Los números naturales son un subconjunto de los números enteros. j. ¡Apresúrate!

2. Exprese las siguientes proposiciones compuestas en forma simbólica:

a. No irás a jugar fútbol, o irás y nadie estará ahí. b. Juan y Beto están ambos diciendo la verdad, o ninguno la está diciendo. c. Comeré pescado o pollo, pero no comeré pescado y puré de papas. d. Tendremos ya sea lectura o tarea para la siguiente clase, pero no tendremos tarea y examen al

mismo tiempo. e. 3 es un divisor común de 6, 9 y 15. f. Alicia y Carlos no están ambos en el cuarto. g. Alicia y Carlos están ambos fuera del cuarto. h. O Alicia o Carlos no están en el cuarto. i. Ni Alicia ni Carlos están en el cuarto.

3. ¿Cuáles de las siguientes expresiones lógicas no son válidas?

a. ¬(¬p ∨ ¬¬r) b. ¬ (p, q, ∧r) c. p ∧ ¬p d. (p ∧ q) (p ∨ r)

4. Si p representa la proposición “compraré los pantalones” y s la proposición “compraré la camisa”. ¿Qué oraciones en español son representadas por las siguientes expresiones lógicas?

a. ¬p ∧ ¬s b. ¬p ∨ ¬s c. ¬ (p ∧ ¬r)

5. Sean p, q, r las proposiciones: p = “Está lloviendo”, q = “El sol está brillando”, r = “Hay nubes en el cielo”. Traduzca las siguientes frases a notación lógica usando p, q, r y los conectivos lógicos:

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a. Está lloviendo y el sol está brillando. b. Si está lloviendo, entonces el sol no está brillando. c. Si no está lloviendo, entonces el sol no está brillando y no hay nubes en el cielo. d. El sol está brillando si y sólo si no está lloviendo. e. Si no hay nubes en el cielo, entonces el sol está brillando.

6. Identifique al antecedente y al consecuente en cada una de las siguientes expresiones condicionales:

a. Si las manzanas son rojas, entonces las naranjas son verdes. b. Es necesario que n sea primo para que 2n - 1 sea primo. c. Cuando Carlos juega el equipo gana. d. El equipo gana cuando Carlos juega.

4.4 Tablas de verdad Situación problemática: Andrea tenía guardadas en una cajita cincuenta tarjetas, cada una con un número entero del 1 al 50. Ella tiene un hermano menor llamado Mario con quien le gusta jugar y pasar tiempo. Un día Mario le pidió a Andrea que lo llevara a comer helado. Andrea le dijo: Toma una carta de la caja, sin verla, y si el número en la carta que tomes es impar y múltiplo de 3, entonces te llevaré a comer helado. La carta que tomó Mario tenía el número 23, Andrea se quedó pensando un momento y luego fueron juntos a comer helado. ¿Cumplió Andrea con lo que había dicho? Solución: El número 23 cumple con ser impar pero no es múltiplo de 3, de manera que al tomar Mario la carta con el número 23 no cumplió con la condición que su hermana le había puesto para llevarlo a comer helado. Sin embargo, nótese que la promesa hecha por Andrea tiene la forma de una implicación en la cual, el antecedente son las condiciones que debía cumplir el número en la tarjeta y el consecuente consiste en que llevaría a Mario a comer helado. En este caso, el antecedente no se ha cumplido, ha resultado ser falso dado que el número no cumple ambas condiciones y al llevar Andrea a su hermano a comer helado ha hecho que el consecuente sea verdadero, se tiene entonces que la implicación en la promesa de Andrea tiene de hecho valor de verdad Verdadero. Así que en realidad no ha ido en contra con lo que dijo dado que al no haber logrado Mario cumplir con el reto lo que ocurre es simplemente que Andrea no estaba obligada a llevarlo a comer helado, al menos desde el punto de vista de la lógica formal. También pudo ocurrir que el número fuera par, múltiplo de 3 y que Andrea llevara a Mario a comer helado, ¿habría cumplido entonces Andrea con lo que dijo? ¿Y qué tal si en la situación original no hubieran ido por el helado? ¿Cuáles son todas estas variaciones que pueden presentarse? Para determinar todas estas posibilidades puede ser útil presentarlas en una tabla. Además, se puede reducir la cantidad de texto y hacer más simple la presentación de la información al utilizar un lenguaje simbólico. Nótese que la proposición “Si el número en la carta que tomes es impar y múltiplo de 3, entonces te llevaré a comer helado” es una implicación, donde su antecedente está compuesto por las

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dos proposiciones “el número en la tarjeta es impar” y “el número en la tarjeta es múltiplo de 3”, las cuales forman una conjunción. El consecuente es la proposición “Andrea lleva a Mario a comer helado”. Determinar si Andrea cumple o no con lo que dijo consiste en determinar si la proposición compuesta “Si el número en la carta que tomes es impar y múltiplo de 3, entonces te llevaré a comer helado” tiene valor de verdad verdadero o falso. Si se denota a las tres proposiciones simples por:

p: El número en la tarjeta es impar

q: El número en la tarjeta es múltiplo de 3

r: Andrea lleva a Mario a comer helado Entonces, la proposición compuesta “Si el número en la carta que tomes es impar y múltiplo de 3, entonces te llevaré a comer helado” puede escribirse en términos de estas tres proposiciones más simples como (p∧q)→ r. Todas las posibles variaciones resultan del hecho que el número en la tarjeta puede ser impar o no, puede ser múltiplo de 3 o no, de que Andrea lleve a Mario a comer helado o no; es decir, de que la proposición p sea verdadera o falsa, de que la proposición q sea verdadera o falsa, de que la proposición r sea verdadera o falsa. Se deben analizar entonces todas las posibles combinaciones de esas opciones. Dado que son tres proposiciones con dos opciones de valor de verdad para cada una, el número total de posibilidades es 2(2)(2)=23=8. Por ejemplo, si p es verdadera, q es verdadera y r es verdadera, entonces (p∧q) es verdadera y resulta que (p∧q)→ r es verdadera, en este último paso la proposición (p∧q) se analiza como si fuera una sola proposición dado que ya se había determinado su valor de verdad. El análisis completo de la proposición (p∧q)→ r se presenta en la siguiente tabla de verdad:

p q (p∧q) r (p∧q)→ r

V V V V V

V V V F F

V F F V V

V F F F V

F V F V V

F V F F V

F F F V V

F F F F V

Una tabla de verdad es una representación esquemática de las relaciones entre proposiciones; sirve para determinar los valores de verdad de las proposiciones compuestas, las cuales dependen de los conectivos utilizados y de los valores de verdad de sus proposiciones simples.

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La siguiente tabla resume los valores de verdad de los conectivos lógicos y constituye la base para establecer bajo qué condiciones una proposición compuesta es verdadera o falsa.

p q ¬ p ¬ q p˄q p˅q p→q p↔q

V V F F V V V V

V F F V F V F F

F V V F F V V F

F F V V F F V V

Construcción de tablas de verdad Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta es necesario elaborar la correspondiente tabla de verdad. Para tal fin y mediante el siguiente ejemplo se enuncian los pasos a seguir: Ejemplo 4.5. Construir la tabla de verdad para la proposición ¬(p∨q). Paso 1: Identificar cuántas y cuáles son las proposiciones simples distintas presentes en el razonamiento: En este caso intervienen dos proposiciones simples: p y q. Paso 2: De acuerdo al número total de proposiciones simples se determina el número de combinaciones posibles entre sus valores de verdad, recordando que para cada proposición simple hay dos opciones: ser verdadera o ser falsa. El ejercicio propuesto tiene dos proposiciones simples, así que las combinaciones posibles son:

p verdadera y q verdadera. p verdadera y q falsa. p falsa y q verdadera. p falsa y q falsa.

Así que con dos proposiciones se tienen 4 combinaciones posibles, mostradas en la tabla. Ejemplo 4.6. Si fueran tres proposiciones simples distintas p, q, r, ¿cuántas combinaciones posibles serían? Solución: Se tiene que el número de combinaciones distintas son 2(2)(2)=23=8, las cuales son:

p q

V V

V F

F V

F F

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Inicio de la tabla Continuación

p q r p q r

V V V F V V

V V F F V F

V F V F F V

V F F F F F

De similar manera, si la proposición compuesta tuviera cuatro proposiciones simples distintas, entonces el número de combinaciones posibles sería 2(2)(2)(2)=24=16, y en general, si fueran n proposiciones simples se tendrían 2n combinaciones posibles. Para formar todas las combinaciones podría hacerse de manera desordenada, pero es mejor seguir algún orden para evitar casos repetidos, por ello se acostumbra empezar con el caso en que todas las proposiciones simples sean verdaderas y terminar en el caso en que todas son falsas. Para lograrlo, en la primera columna se inicia llenando la mitad con V y la mitad restante con F. En la segunda columna, la cuarta parte es V, luego se llena la siguiente cuarta parte con F, la siguiente cuarta parte con V y la cuarta parte restante con F. La tercera columna se llena asignando grupos cada octava parte y se continúa así hasta llenar todas las columnas.

Nótese que para la proposición (p∨q) → (p∧q) el número de combinaciones posible es 22 = 4 dado que solo intervienen dos proposiciones simples.

Paso 3: Regresando a la proposición compuesta que se va a analizar, se debe estudiar el orden en que se deben realizar las operaciones lógicas. Para ello se debe observar cómo están colocados los signos de agrupación. En el ejemplo que se está trabajando, la proposición ¬(p∨q) requiere primero obtener el valor de verdad de la conjunción (p∨q) para luego obtener su negación, para cada uno de estas operaciones se agrega una columna a la tabla.

Paso 4: Elaborar la tabla con el número de columnas determinado por el número de proposiciones simples y el número de conectivos lógicos que aparecen en la proposición compuesta.

Paso 5: Finalmente, se completa la tabla llenando de columna en columna, teniendo en cuenta el orden de las operaciones lógicas y las reglas para asignar valores de verdad propias de cada conectivo dependiendo de los valores de verdad de cada proposición simple.

p q p˅q ¬ (p˅q)

V V V F

V F V F

F V V F

F F F V

4.5 Tautologías y contradicciones

Entre las proposiciones compuestas existen unas que son muy importantes por ser siempre verdaderas independientemente del valor de verdad de las proposiciones simples que la conforman. Este tipo de

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proposiciones recibe el nombre de tautologías. En otras palabras, una tautología es una proposición compuesta que es verdadera para todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simples que la conforman.

Ejemplo 4.8.

La proposición (p∧q) →p es una tautología. Para demostrarlo, se debe construir su tabla de verdad y verificar que efectivamente es verdadera para todos los casos:

p q p∧q (p∧q)→p

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V

Con esto queda demostrado que (p∧q)→p es una tautología.

Por otra parte, una proposición compuesta que es falsa para todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simples que la conforman se denomina una contradicción.

Ejemplo 4.9.

La proposición p ∧ ¬ p es una contradicción, como lo demuestra a continuación su tabla de verdad.

p ¬ p p ∧¬ p

V F F

F V F

4.6 Equivalencias lógicas

Las tautologías permiten estructurar métodos de demostración que son ampliamente utilizados en el campo de la lógica. De ahí la importancia de familiarizarse con el simbolismo manejado y su correspondiente aplicación.

Dos proposiciones compuestas se consideran lógicamente equivalentes, si tienen los mismos valores de verdad para cada caso en su tabla de verdad.

Ejemplo 4.10.

La proposición p⟶q y la proposición ¬p∨q son lógicamente equivalentes.

Solución:

Para demostrarlo se hará la tabla de verdad de cada una de ellas y al compararlas deben coincidir sus valores de verdad en cada combinación posible.

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Tabla de verdad de la proposición p⟶q:

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla de verdad de la proposición ¬p∨q:

p q ¬p ¬p∨q

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

Como se puede observar, los valores de verdad coinciden, por lo tanto, ambas proposiciones son equivalentes.

Implicación directa, contraria, recíproca y contrarecíproca

Dadas dos proposiciones p y q, existen varias formas de enunciar con ellas proposiciones condicionales o implicaciones, así:

Implicación directa: p→q

Implicación contraria: ¬ p→ ¬ q

Implicación recíproca: q→p

Implicación contrarecíproca: ¬ q→ ¬ p Ejemplo 4.11. Dadas las proposiciones p: la cifra de las unidades es cero, q: el número es múltiplo de 5, entonces:

Implicación directa: p→q: si la cifra de las unidades es cero entonces el número es múltiplo de 5.

Implicación contraria: ¬ p→ ¬ q: si la cifra de las unidades no es cero entonces el número no es múltiplo de 5.

Implicación recíproca: q→p: si el número es múltiplo de 5 entonces la cifra de las unidades es cero.

Implicación contrarecíproca: ¬ q→ ¬ p: si el número no es múltiplo de 5 entonces la cifra de las unidades no es cero.

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A continuación, se muestra la tabla de verdad para las cuatro formas de la implicación:

Directa Contraria Recíproca Contrarecíproca

p q ¬ p ¬ q p → q ¬ p → ¬ q q→p ¬ q → ¬ p

V V F F V V V V

V F F V F V V F

F V V F V F F V

F F V V V V V V

Al observar la tabla, ¿cuáles de las formas de implicación resultan ser equivalentes?

Claro, al comparar los valores de verdad correspondientes a las columnas de la implicación directa y a la contrarecíproca se observa que coinciden, por lo tanto, son equivalentes. De igual manera, las implicaciones contraria y recíproca se observa que son equivalentes. De manera que, en el ejemplo anterior, dado que la afirmación “si la cifra de las unidades es cero entonces el número es múltiplo de 5” es cierta, también la afirmación “si el número no es múltiplo de 5 entonces la cifra de las unidades no es cero” también lo es. Mientras que la afirmación “si el número es múltiplo de 5 entonces la cifra de las unidades es cero” no es correcta, dado que existen múltiplos de 5 que su cifra de las unidades es 5 y no 0, como por ejemplo el 15, de manera que la afirmación “si la cifra de las unidades no es cero entonces el número no es múltiplo de 5” tampoco es correcta. La equivalencia entre estas implicaciones resulta de mucha utilidad cuando se debe demostrar alguna afirmación que tiene forma de una implicación, lo cual es algo esencial en matemática. Es posible que la implicación contrarecíproca resulte más sencilla de argumentar su veracidad en comparación con la implicación directa. Por ejemplo, si acerca de un número entero se debe demostrar que “si el cuadrado del número es par, entonces el número es par”, puede mejor demostrarse su contrarecíproca: “si el número no es par, entonces su cuadrado no es par”, la cual puede también enunciarse como “si el número es impar entonces su cuadrado es impar”. La demostración consiste entonces en denotar al número entero con la forma 2k+1, dado que es impar, donde k es un número entero cualquiera, y calcular su cuadrado desarrollando (2k+1)2= (2k)2+2(2k)(1)+(1)2=4k2+4k+1, donde por ser k un número entero se tiene que 4k2+4k+1 es también un número impar como se debía demostrar. Es decir que efectivamente, si un número es impar entonces su cuadrado es también impar con lo que se demuestra, con base en la equivalencia entre la implicación directa y la contrarecíproca, que también es cierto que si el cuadrado de un número es par entonces el número debe ser par.

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Ejercicios 1. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados:

a. Si 5 < 3 entonces -3 < -5. b. No es verdad que 2 + 2 = 4 o 3 + 5 = 6. c. 2 + 2≠4 y 3 + 3 = 6. d. Si 3 < 5 entonces -3 < -5.

2. Proporcionar las recíprocas y las contrarecíprocas de las siguientes implicaciones:

a. q→r b. Si x2 = x entonces x = 0 o x = 1 c. Si 2 + 2 = 4 entonces 2 + 4 = 8 d. p→(q ∧ r) e. Si x + y = 1 entonces x2 + y2 ≥1

3. Construir la tabla de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

a. p→(q ∧ r) b. (p→¬q) ∨ (¬p ∨ r) c. (p→¬r) ↔ (q ∨ p)

4. Demostrar mediante tablas de verdad, cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías,

contradicciones o contingencias:

a. (p ∧ ¬q) → (¬p ∨ ¬q) b. (¬p ∧ (q ∨ r ) ) ↔ ((p ∨ r ) ∧ q) c. ¬ (p → ¬q) ↔ (q → ¬p)

5. Si la proposición compuesta (¬p →r) → (r ∨ q) es falsa, determinar el valor de verdad de las

proposiciones p, q y r. 6. Demostrar las siguientes implicaciones utilizando contrarecíproca:

a. “Si el producto de dos números es impar, entonces ambos números son impares”. b. “Si en un cuadrilátero ninguno de sus ángulos es obtuso, dicho cuadrilátero es un rectángulo”.

Si una proposición no es tautología ni es contradicción entonces se le llama contingencia.

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Sitio Web: Operaciones con conjuntos Enlace: https://goo.gl/ufGMqt

Resumen: En este sitio encontrará una forma muy didáctica de abordar las diferentes operaciones con conjuntos, así como el concepto de cardinalidad.

Sitio Web: Fórmulas combinatoria, variaciones, permutaciones, y combinaciones. Enlace: https://goo.gl/5iOsBp

Resumen: Una página web que explica las diferencias entre variaciones, permutaciones y combinaciones, presenta ejemplos y las fórmulas para cada una.

Sitio web: Disfruta las matemáticas Enlace: https://goo.gl/gdl5fr

Resumen: Se explica con ejemplos las diferencias entre las permutaciones y las combinaciones sin repetición y con repetición. Posee una calculadora interactiva para las combinaciones y las permutaciones.

Sitio web: Descartes 2D Enlace: https://goo.gl/RPrRwA

Resumen: Una página web que define y da ejemplos de variaciones ordinarias o sin repetición y de variaciones con repetición.

Sitio web: Laboratorio básico de azar, probabilidad y combinatoria Enlace: https://goo.gl/jCUAqB

Resumen: Se presentan interesantes herramientas interactivas que permiten simular procesos que, de otra forma, serían difíciles de reproducir, de manera que apoyan la resolución de problemas y la adquisición de conceptos matemáticos sobre la matemática discreta y combinatoria, proporcionando a los alumnos situaciones de simulación, ensayo y error.

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Sitio web: Universidad de Granada: Apuntes y ejercicios de Cálculo. Consejos para resolver problemas Enlace: https://goo.gl/6UbZZp

Resumen: Rica fundamentación teórica sobre la resolución de problemas que ayuda a esclarecer los conceptos de ejercicio y problema. Además, se presentan unas recomendaciones para ser eficaz en la resolución de problemas y se plantean las etapas a realizar para resolver los problemas matemáticos, definiendo las diversas estrategias de abordaje para trabajar con éxito.

Bibliografía básica

BATANERO, M; GODINO, J. D. Y NAVARRO-PELAYO, V. (1996). Razonamiento Combinatorio. Editorial Síntesis. GONZÁLEZ, GEOFFREY A. (2011). Lógica matemática. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. INHELDER, B. Y PIAGET, J. (1955). De la lógica del niño a la lógica del adolescente. Barcelona: Paidós. LIPSCHUTZ, SEYMOUR (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw Hill. RAO, RAFAEL (2000). Razonamiento combinatorio en estudiantes con preparación matemática avanzada.

Universidad de Granada, España.