I. 4.

Observable & Erwartuugswerte

Def . ; Sei SER cine endlich Menge run inoghileu Messergebwissen ,

17:25 → BCH )

ein POVM und SEBCH ) ein Dichte operator . Dann definiert

. e M > := I m Plm ) den" Erwwtungswert

"

undmts

. var ( M ) := ( ⇐ uiplm ) ) - < 17>2 die,

Variauz"

Ben . :° Wir konneu denErwwtungswwt Schreiber als < M > = tr[ st ] with : :[ MMH

MES

• 1st Mein PVM,

daun . ' st die Abbildung ( M

,tm }n ,

) t > A

injekwv durch die Spektralzuleguug von R.

In diesem Fall gilt S = spec ( A ) sowie

var ( M ) : < IT 's - < As'

= : var ( in )

and wir neuuen den hvmitescheu Operator 15"

Observable"

.

( Achtung : Twminoloyie variiut in dv Literature )

Bsp . : 1st 71=62 und beschreibt 5 die Preparation des Spins lines Ehektrous,

daun

entsprecheu die Observable r. .

Tz,

T} den komponenten des Spins bzgl .der drei

Richtuugen in , Raum.

II . Uuscharferelationeu und gemeinsame Messbwkeit

Thin. : [ Robertson

'29 ]

Sind A. BE BCH ) Observable,

daun gilt fir alle Dichteopvutoren SEBCH ) :

var ( A) var ( B ) s. ty / e [ A. B ] > /

"

wobei [ A, B ] .

'

= AB - BA der"

kommutator"

ist.

Beweis : Definiere At := A . e A > I,

I : :B - EB > I.

Danu ist < An s = e I > = 0,

var ( A) = < 12 > - < Is'

= < A2

- 2< As'

# + e A 51 > = var ( A ),

var ( B ) : var ( B )

und [ At, I ] = [ A

, B ] .

Angeuommen 5=14×41 ist rein.

Mit Cauchy - Schwarz & Humitezitat

gilt dann var ( A) var ( B ) = < 4.An 't > it

,I '

4 )

= hit1121154112

>. leant

, BY > 12=1 < t,

EBY > 1

'

= 1 Re et,

I By > It llmet ,IBY > 12

= ÷, let ,

1 II + Biiltsptt, let .[ I. I ]t > 1

'

>. ty / it

,[ A. B ]Y > 12

.

Dies bewist die Aussage fir alle reinen Zustaude . Das dies dann

antomahsch anch fer akc gemischhn Zustaude gilt , folgt aus

" Purifzierung"

( → naiohsk Woche ).

D

° Dies gilt anch wenn A dB die Observable fir Ort und lmpwls sind.

In dem

Fall gilt [ A. B) =i1 ( in Einhciten von A ~ 10.343 's ),

so class

var ( A)"

var ( B)" 2

t I (, Heisenberg's che Uuscharferelakon

"

)

Def .:

Zwei POVMS M;

:25"

→ BLH )

,ietl ? }

,he pen " gemeinsam

messbar"

.

wenu es ein POVM M : 251×5 ' → BIH ) gibt ,so dass

M ( Ix S,

) = M.LI ) ¥I c- S,

M ( S, × ] ) = M

,( ] ) V. 3 c- S

,

Interpretation : M beschreibt line Messing dwen Messergebnisse Pane sind,

so dap

die zuytnorigeu Marginal rvtuluugen idenlisch sind unit den Uvtilnuyn ,

die M,

btw.

M, tefvn ( bei gleiuw Preparation )

.

11 11

2- . B.

s

S > M = s → M,

→

v

Umgemeinsame Messbwkiit und kommntntivitat in Beziehungzn setzen

,

benotigen wir :

Lemma : Sind A. B.CEBCH) so

,

class OEA :B,

dann giltBC : 0 ⇒ AC :O

.

Beweis : BC :O ⇒ C+ Bc =0

Mit o= (it Bc 7 C

+

A C ' . 0 gilt dann

0 : C*

AC : ( A c)+

( AC ) and damit AC = 0.

Folglich anch AC :O . 17

Thin.

: Zwei PVMS M;

: 2£' → BCH )

, it 17,2 },

sind gemeinsam messbwg.

d. w . :

[ M,

( I,

).

17,

( I. ) ] : 0 V. I; e zs:

.

Beweis :

"

⇐"

MCI ) := [ M.

" ' this ) vfillt die gewiuschten Ggenschaften

,( i. JIEI

da M, II. 117 ,lIz ) ' . 0 Winn die Opvntoren kommutrwm

.

I,

:=S,\I,

"

⇒

"

M ,( I,

)M,

( I, ) : M ( I. xs

.) M( 5

, xi,

)

- ( 171 I. ×I, ) + MII .×I ,

) ) ( MII .×I ,It Ml ¥XI

,) )

= M ( I, XI

,

)2

Die drei inbrigeu Twine vuschwinden in Folgedes uorigen Lemmas.

Z. B. : M.LI

,)M

,( I

,)=O => MII

,

× I,) M.LI

,) : 0

⇒ M ( I ,×I ,)M( E. × I

,) :O

.

Dasselbc Argument wit 1 ⇒ 2 vvtanscht fuihrt daun zu

M,

LI,

) M,

( I.

) = Ml I. XI,)

"

: M.LI.

) MZLIZ ). a