EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS IHOJA 1

Ejercicio 1. Dadas las matrices

A =

1 1 2−1 2 0−1 1 1

y B =

0 −1 01 2 −10 −2 −2

,

calcular

(i) 2A− 3B, −2A+ 2B,(ii) A2, B2, AB y BA,(iii) (3A− I3)(I3 − 2B),(iv) ABA.

Ejercicio 2. Con las mismas matrices A y B del ejercicio anterior, calcular

(i) A2 −B2 y (A+B)(A−B),(ii) (A+B)2 y A2 + 2AB +B2.

A la vista de los resultados obtenidos, ¾son válidas las fórmulas (A−B)(A+B) =A2 −B2 y (A+B)2 = A2 + 2AB +B2 para matrices? ¾Por qué?

Ejercicio 3. Se consideran las matrices

A =

(1 2 34 5 6

), B =

(1 −10 1

), C =

−1 01 10 1

y D =

(−3 −2 −11 2 3

).

Calcula, si es posible,

(i) 2A−D, A− Ct, Ct + 3D,(ii) BA, BAt, BC, CB,(iii) B4, AAt, DtD.

Nota. Recuerda que, dada una matriz M , M t denota su matriz transpuesta (laque resulta de escribir las �las de M como columnas).

Ejercicio 4. Halla una fórmula general para An en términos de n, donde

A =

1 1 11 1 11 1 1

.

Ejercicio 5. ¾Es verdad que si AB = 0 entonces A = 0 ó B = 0, donde A y B sonmatrices cuadradas de orden 2? Justi�ca tu respuesta.

Ejercicio 6. Calcula los siguientes determinantes:

(i)

∣∣∣∣∣∣−2 5 11 0 11 −1 1

∣∣∣∣∣∣ , (ii)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 −1 12 0 2 −43 −1 2 −12 2 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

(iii)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 02 3 4 61 6 0 −10 −5 0 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ , (iv)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−4 1 1 1 11 −4 1 1 11 1 −4 1 11 1 1 −4 11 1 1 1 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

1

2

Ejercicio 7. Calcula las inversas de las siguientes matrices, si es posible:

A =

(0 11 0

), B =

(1 −1−1 1

)y C =

(1 23 4

).

Ejercicio 8. Calcula las inversas de las siguientes matrices, si es posible:

A =

1 2 31 3 20 1 1

, B =

1 3 00 1 20 1 1

, C =

3 −2 −1−4 1 −12 0 1

y D =

1 0 22 1 1−1 −1 1

.

Ejercicio 9. Calcula las inversas de las siguientes matrices, si es posible:

A =

2 −2 −3−1 3 41 −2 −3

, B =

1 2 31 1 20 1 2

y C =

1 2 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 1

.

3

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS IHOJA 1

SOLUCIONES

Ejercicio 1. Los cálculos que pide el ejercicio no tienen especial di�cultad.(i) Se obtiene

2A− 3B =

2 5 4−5 −2 3−2 8 8

, −2A+ 2B =

−2 −4 −44 0 −22 −6 −6

.

(ii) Resulta

A2 =

−2 5 4−3 3 −2−3 2 −1

, B2 =

−1 −2 12 5 0−2 0 6

,

AB =

1 −3 −52 5 −21 1 −3

, BA =

1 −2 00 4 14 −6 −2

.

(iii) Para trabajar menos, se sugiere observar que

(3A− I3)(I3 − 2B) = 3A− 6AB − I3 + 2B,

y como AB se calculó en el apartado anterior, la cuenta es muy rápida. Queda

(3A− I3)(I3 − 2B) =

−4 19 3613 −21 10−9 −7 16

.

(iv) Ahora

ABA =

9 −10 −3−1 10 23 0 −1

.

Ejercicio 2. Nuevamente los cálculos que se piden no deberían resultar difíciles.(i) Se obtiene

2A−D =

(5 6 77 8 9

), A− Ct =

(2 1 34 4 5

), Ct + 3D =

(−10 −5 −33 7 10

).

(ii) De los cuatro productos propuestos, sólo se pueden calcular BA y CB. Queda

BA =

(−3 −3 −34 5 6

), CB =

−1 11 00 1

.

(iii) Ahora sí se pueden hacer todos los productos propuestos. Resulta

B4 =

(1 −40 1

), AAt =

(14 3232 77

), DtD =

10 8 68 8 86 8 10

.

Ejercicio 3. (i) Se comprueba enseguida que

A2 −B2 =

−1 7 3−5 −2 −2−1 2 −7

.

4

Igualmente se calcula que

(A−B)(A+B) =

−1 6 −2−3 −1 −5−4 9 −8

.

Los resultados no coinciden: la fórmula A2−B2 = (A+B)(A−B) no es válida paramatrices. La razón está en la no conmutatividad del producto de matrices, puestoque al desarrollar (A+B)(A−B) queda

(A+B)(A−B) = A2 −AB +BA−B2,

y si A y B fuesen números entonces AB = BA y los dos sumandos de en medio secancelarían, lo que daría la fórmula usual. Pero, como sabemos, en general AB ̸=BA para matrices, luego los dos sumandos de en medio no se cancelan y la fórmuladeja de ser válida.

(ii) Ahora

(A+B)2 =

−1 −2 01 17 −30 −3 0

pero

A2 + 2AB +B2 =

−1 −3 −53 18 −6−3 4 −1

,

de modo que (A+B)2 = A2+2AB+B2 tampoco es válida para matrices. La razónes semejante a la del apartado anterior.

Ejercicio 4. Calculando las primeras potencias de A para ver cuál puede ser elresultado general, se obtiene

A2 =

3 3 33 3 33 3 3

, A3 =

9 9 99 9 99 9 9

, A4 =

27 27 2727 27 2727 27 27

,

y esto sugiere la fórmula general

An =

3n−1 3n−1 3n−1

3n−1 3n−1 3n−1

3n−1 3n−1 3n−1

.

La manera formal de demostrar esto es por inducción, como vimos en clase.Sabemos que la conjetura es cierta para los valores n = 2, 3, 4, porque concuerdacon los cálculos explícitos que hemos hecho más arriba. Y ahora, supuesto que escierta para n, veamos que también lo es para n+ 1. Esto probará que de hecho esválida para cualquier n.

Como se supone que la conjetura es cierta para n, se tiene que

An =

3n−1 3n−1 3n−1

3n−1 3n−1 3n−1

3n−1 3n−1 3n−1

= 3n−1

1 1 11 1 11 1 1

= 3n−1A,

de modo queAn+1 = AnA = (3n−1A)A = 3n−1A2.

Pero A2 = 3A, así que se tiene

An+1 = 3n−13A = 3nA,

5

que es exactamente lo que dice la conjetura para n+ 1.

Ejercicio 5. No, no lo es. Por ejemplo, si escogemos

A =

(1 −1−1 1

)y B =

(2 −32 −3

)se comprueba enseguida que AB = 0, pero claramente ni A ni B son cero.

La intención de este ejercicio es destacar otra diferencia más entre el álgebra dematrices y el de los números reales. Si a, b son números reales cuyo producto escero, alguno de los dos debe necesariamente ser cero (¾por qué?); lo que acabamosde ver es que esto no es cierto para matrices.

Ejercicio 6. (i) Con la regla de Sarrus se calcula enseguida el determinante pedido,que resulta ser −3.

(ii) Podemos desarrollar este determinante por la segunda columna, por ejemplo,y obtenemos la igualdad∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 −1 12 0 2 −43 −1 2 −12 2 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣∣2 2 −43 2 −12 1 1

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2 −1 12 2 −42 1 1

∣∣∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣∣∣2 −1 12 2 −43 2 −1

∣∣∣∣∣∣y al evaluar los determinantes 3× 3 con la regla de Sarrus queda un resultado �nalde 60.

(iii) Desarrollando aquí por la tercera columna queda∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 02 3 4 61 6 0 −10 −5 0 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −4

∣∣∣∣∣∣1 2 01 6 −10 −5 8

∣∣∣∣∣∣ = −108.

(iv) Aunque este determinante puede calcularse desarrollando por una línea,vamos a dar un argumento indirecto que prueba que vale 0. Llamemos A a lamatriz (de tamaño 5×5) de la cual se pide calcular el determinante. La clave está enobsevar que si sumamos las �las segunda, tercera, cuarta y quinta de A obtenemosla primera �la cambiada de signo. Es decir, la primera �la es una combinaciónlineal de las restantes, y eso implica que el rango de A es, como máximo, cuatro.Concluimos que cualquier menor de orden 5 de A debe ser nulo. Pero menores deorden 5 sólo hay uno, que es precisamente det(A). Así que det(A) = 0.

Observa que este argumento es completamente general y nos permite a�rmar losiguiente: si en una matriz cuadrada hay una línea (�la o columna) que es combi-nación lineal de las restantes, el determinante de la matriz es cero.

Ejercicio 7. Se comprueba enseguida que A−1 = A. Además, det(B) = 0, de modoque B no tiene inversa. Por último,

C−1 = −1

2

(4 −2−3 1

).

Ejercicio 8. Calculamos las inversas por adjuntos.• det(A) = 2 y

A−1 =1

2

1 1 −5−1 1 11 −1 1

.

6

• det(B) = −1 y

B−1 =

1 3 −60 −1 20 1 −1

.

• det(C) = 1 y

C−1 =

1 2 32 5 7−2 −4 −5

.

• det(D) = 0 y por lo tanto D no tiene inversa.

Ejercicio 9. Al igual que antes, calculamos las inversas por adjuntos, pero ahorasólo ponemos el resultado �nal:

A−1 =

1 0 −1−1 3 51 −2 −4

, B−1 =

0 1 −12 −2 −1−1 1 1

, C−1 =

1 −2 1 00 1 −2 10 0 1 −20 0 0 1

.