Tema 1: los orgenes de la ciencia griega y su dependencia de la babilnica y egipcia.

Los griegos crean que las matemticas se originaron en Egipto y Mesopotamia. Herodoto (siglo v a.e.) informaba de que Pitgoras viaj por Egipto y Babilonia, donde entr en contacto con las matemticas. La cuestin de si ste y relatos similares referentes a otros matemticos son histricamente precisos o legendarios es menos importante que la gran parte de verdad que comunican, es decir, que los griegos fueron (y supieron que eran) los destinatarios del conocimiento matemtico egipcio y babilnico. All por el 3000 a.e. los egipcios desarrollaron un sistema numrico de carcter decimal, empleando un smbolo diferente para cada potencia de 10 (1, 10, 100, etc.). Estos smbolos podan ser alineados, como los numerales romanos, para formar cualquier nmero deseado. Hacia 1800 a.e. se haban inventado smbolos adicionales para otros nmeros.

En la aritmtica egipcia la suma y la resta eran operaciones simples, hechas igual que con los nmeros romanos, pero la multiplicacin y la divisin eran extremadamente engorrosas. El concepto generalizado de una fraccin era desconocido, y la regla general permita slo fracciones de unidad. El conocimiento egipcio en geometra parece haber estado orientado hacia problemas prcticos, quiz los de los agrimensores y constructores. Los egipcios eran capaces de calcular las reas de figuras planas simples, tales como el tringulo y el rectngulo, y volmenes de slidos simples, como el de la pirmide. Para calcular el rea de un crculo, los egipcios elaboraron reglas que daban a Pi un valor de 3,17. Finalmente, en una de las reas ms obvias de las matemticas aplicadas, los egipcios idearon un calendario que constaba de doce meses de treinta das cada uno, ms un aadido de cinco das al final del ao.

El nivel de la matemtica contempornea en Mesopotamia era algo ms elevado que el de la egipcia. Las tablillas de arcilla recuperadas en grandes cantidades revelan un sistema numrico babilnico, totalmente desarrollado hacia el 2000 a.c., que era simultneamente decimal y sexagesimal. Los babilonios tenan smbolos diferentes para 1 (v) y para 10 ( < ); stos podan combinarse como los nmeros romanos para formar los nmeros hasta el 59.

En lugar de formar el nmero 60 uniendo seis smbolos de 10, los babilonios usaban un sistema de lugar similar al nuestro (posicional) utilizando sucesivas columnas que representaban potencias de 60. No exista equivalente para la coma decimal con la que ubicar la columna de unidades, y por tanto esta informacin tena que inferirse del contexto. La absoluta superioridad de la matemtica babilnica respecto a su contrapartida egipcia se hace evidente cuando pasamos a problemas ms difciles, que nosotros resolveramos algebraicamente.

Una de las reas a las que los babilonios aplicaron sus tcnicas matemticas fue la astronoma. Existan varias razones para este inters por los cielos. Una tena que ver con la agricultura, una segunda razn era religiosa, pues los cielos, especialmente el Sol y la Luna, usualmente se asociaban con la divinidad. Una tercera era astrolgica. y una cuarta haca referencia al calendario.

Uno de los esfuerzos ms antiguos se dedic a trazar un mapa de los cielos. Los sacerdotes del templo no slo trazaron un mapa de las estrellas fijas sino que tambin identificaron las estrellas errantes o los planetas, los ahora denominados Mercurio, Venus, Marte, Jpiter y Saturno. (El Sol y la Luna tambin se consideraban planetas). Se observ que estos siete planetas se movan a travs de los cielos dentro de la estrecha banda del zodaco. Hacia el 500 a.e. los sacerdotes babilonios haban definido esta banda e identificado las constelaciones que la distinguen con doce segmentos de treinta grados cada uno, dndonos as los signos del zodaco.

A partir de la religin astral-la asociacin de las estrellas (especficamente las estrellas errantes) con los dioses- y del hecho obvio de que los eventos celestes estn conectados con las estaciones y el tiempo, desarrollaron un sistema de astrologa judiciaria, el intento de hacer predicciones a corto plazo que afectaran al rey. Tambin se desarroll la astrologa horoscpica, que predice el curso de la vida de una persona. Lo importante es que ambos tipos de astrologa exigen un conocimiento detallado de los movimientos solar, lunar y planetario. La astrologa babilnica fue transmitida a los griegos, que la desarrollaron ms an y la pasaron a la Edad Media, el periodo moderno inicial y en ltima instancia al siglo xx. Debera destacarse que, a lo largo de la mayor parte de esta larga historia, las tradiciones astronmica y astrolgica han estado ntimamente conectadas.

Respecto al desarrollo de la astronoma baiblnica, lo importante es que en el periodo 500-300 a.c. el sacerdote-astrnomo babilonio desarroll su arte hasta el punto de que poda manipular grandes cantidades de datos y hacer una variedad de predicciones astronmicas. A partir de tales datos, poda predecir la primera aparicin de la Luna nueva y poda tambin predecir los eclipses lunares y la posibilidad o imposibilidad de los eclipses solares. Debemos destacar que no hizo esto por medio del uso de modelos geomtricos, como lo haran los astrnomos griegos, sino simplemente a travs de la utilizacin de mtodos numricos que extrapolaban observaciones pasadas al futuro. El ltimo mbito de las realizaciones de Egipto y Mesopotamia que hay que considerar es el de la medicina. Se crea que la causa principal de enfermedad era la invasin del cuerpo por fuerzas o espritus del mal. El alivio haba de conseguirse a travs de rituales pensados para apaciguar o asustar a dichos espritus. En el antiguo Egipto las terapias no se limitaban a la plegaria, el encantamiento y el ritual. Los remedios farmacolgicos, preparados a partir de sustancias animales, vegetales o minerales, estaban muy extendidos.

Tema 2: El desarrollo de la cosmologa griega de Hesosdo a Platn.

No sabemos nada de Homero, famoso autor de dos grandes poemas picos, la Ilada y la Odisea. Est claro que los poemas, son producto de una larga tradicin oral, que tena races que iban mucho ms all de la historia griega, hasta la edad micnica (antes de 1200). Tambin parece que tuvieron influencias de tradiciones picas no griegas del Oriente prximo. Quiz pasaron a la escritura hacia el siglo VIII, pero si lo hizo un hombre (Homero) o varios sigue siendo motivo de disputa. Cualquiera que sea su origen preciso, la llada y la Odisea se convirtieron en el fundamento de la educacin y la cultura griegas. En la representacin de Homero, los dioses estaban ntimamente involucrados en los asuntos humanos, determinando la victoria, la derrota, el infortunio y el destino.

Al Iado de Homero, podemos situar a Hesodo, que vivi hacia finales del siglo VIII. Se atribuyen a Hesodo, el hijo de un granjero, dos grandes obras poticas: Los trabajos y los das (que incluye, entre otras cosas, un manual de agricultura) y la Teogona, que narra el origen de los dioses y del mundo. Hesodo dio a los dioses una genealoga y, junto con Homero, defini su carcter y las funciones que presidan. En la Teogona de Hesodo encontramos una breve historia del mundo, desde el caos primordial hasta el gobierno regulado de Zeus.

El suyo es un mundo de deidades antropomrficas que interfieren en los asuntos humanos y usan a los humanos como peones de sus propias tramas e intrigas. Los fenmenos naturales eran personificados y divinizados.

Qu debemos pensar de esto? Lo que est claro es que cualquier intento de medir tales creencias por medio de criterios modernos relacionados con la verdad cientfica es un modo seguro de inducirnos al error. Aunque los trabajos de Homero y Hesodo parecen tratar de cuestiones de causalidad, debemos entender que no pretendan ser tratados como cientficos o filosficos. Homero y Hesodo eran registros de hazaas heroicas para instruir y entretener; y si los tratamos como filsofos fallidos, inevitablemente entenderemos mal su logro.

Sin embargo, aunque no representen una filosofa griega primitiva, durante siglos fueron centrales para la educacin y cultura griegas, y no es posible que no hayan tenido influencia sobre la mente griega.

Estos desarrollos filosficos parecen haber surgido primero en Jonia, en la costa oeste de Asia Menor (la actual Turqua). All los colonos griegos haban establecido prsperas ciudades cuya riqueza se bas en el comercio y en la explotacin de los recursos naturales locales. Puede que Jonia, como muchas sociedades de frontera, estimulara el trabajo duro y la autosuficiencia; a cambio, ofreca prosperidad y oportunidades. Tambin puso en contacto a los griegos con el arte, la religin y el saber del Oriente prximo, con el que Jonia tuvo contacto cultural, comercial, diplomtico y militar. Aunque estas influencias fueron indudablemente importantes, el factor decisivo fue sin duda la disponibilidad de una escritura totalmente alfabtica y su amplia difusin entre la poblacin griega. El resultado fue una explosin de creatividad en la poesa lrica y la filosofa.

Los primeros filsofos de los que tenemos alguna noticia proceden de la ciudad de Mileto, en la costa sur de Jonia. Los nombres de Tales, Anaximandro y Anaxmenes han llegado hasta nosotros desde el siglo VI, y el de Leucipo desde el v. Los fragmentos disponibles presentan al primer filsofo milesio, Tales, como un gemetra, astrnomo e ingeniero. Se le atribuye el haber predicho con xito un eclipse solar en el 585. Otros fragmentos le atribuyen la teora de que la Tierra (un disco plano) flota sobre el agua. Otros milesios del siglo VI, presumiblemente estudiantes o discpulos de Tales, parecen haber dado distintas respuestas a la misma pregunta. Anaximandro (florecido hacia el 550), segn distintos informes posteriores, crey que el origen de las cosas deba encontrarse en el peiron, lo ilimitado o indefinido. A partir del peiron surgi una semilla que dio origen al cosmos. Finalmente, parece que Anaxmenes (fl. 545) sostuvo que el material subyacente era aire, que poda rarificarse o condensarse para producir las distintas sustancias que encontramos en el mundo tal como nosotros lo conocemos. Cabe sealar que los milesios fueron materialistas y monistas.

La relevancia histrica fundamental de estas primeras teoras griegas reside en tres aspectos fundamentales, a saber: 1) las preguntas se dirigen hacia la constitucin simple subyacente de lo real, ms all de la variedad que presenta; 2) las respuestas ofrecidas por los milesios no contienen ninguna personificacin o deificacin de la naturaleza; 3) los milesios parecen haber sido conscientes de la necesidad no simplemente de afirmar sus teoras, sino tambin de defenderlas.

Cincuenta aos despus, Herclito (El. 500) de feso asociaba el origen de las cosas con el fuego. En la segunda mitad del siglo v, el materialismo del siglo VI fue adoptado y extendido por los atomistas Leucipo de Mileto (El. 440) y Demcrito de Abdera (El. 410), sostuvieron que el mundo consiste en una infinidad de pequeos tomos que se mueven al azar en un infinito vaco. Los tomos, incluyen una infinidad de formas; y explican la gran diversidad de sustancias y los complejos fenmenos que observamos por sus movimientos, colisiones y configuraciones transitorias e intentaron explicar la formacin de mundos a partir de los vrtices o remolinos de tomos. No todos los que investigaron el material subyacente fueron monistas o materialistas. Y adems los dioses tampoco estuvieron ausentes de sus explicaciones. Empdotles de Agrigento (El. 450), un contemporneo de Leucipo en la segunda mitad del siglo v, identific cuatro elementos o races. Pero los ingredientes materiales por s solos no pueden explicar el movimiento y el cambio. Por ello, Empdocles introduce dos principios inmateriales adicionales: el amor y la discordia, que inducen a las cuatro races a congregarse y a separarse.

La obra cosmolgica de Platn es el Timeo. Aqu encontramos sus puntos de vista sobre astronoma, cosmologa, la luz y el color, los elementos y la fisiologa humana. Dado que el Timeo dio a la alta Edad Media (antes del siglo XII) su nica filosofa natural coherente, esta obra representa uno de los principales canales filosficos de la influencia platnica, y por tanto exige nuestra atencin.

Platn se refiri a los contenidos del Timeo como a una historia probable, y esto ha inducido errneamente a algunos lectores a considerarlo como un mito al que el propio Platn no dio ningn crdito. De hecho, la certeza slo es alcanzable cuando damos una explicacin de las formas eternas e inmutables, respecto a las cuales el mundo material tan solo participa en mayor o menor grado.

Una de sus caractersticas ms llamativas es la vehemente oposicin de Platn a ciertas caractersticas del pensamiento presocrtico. Los physikoi haban privado al mundo de la divinidad; y con ello lo haban privado tambin de plan y propsito. As pues, el orden es intrnseco, nunca impuesto. Pues bien, Platn hall tal opinin no slo estpida sino peligrosa. estaba convencido de que el orden y la racionalidad del cosmos slo podan ser explicados como la imposicin de una mente externa. Si los physikoi hallaron la fuente del orden en la physis (naturaleza), l la ubicara en la psyche (mente). represent al mundo como la obra de un artesano divino, el Demiurgo. Segn Platn, el Demiurgo es un artesano benevolente, un dios racional que lucha contra las limitaciones inherentes a los materiales con los que tiene que trabajar con el fin de producir un cosmos tan bueno, bello e intelectualmente satisfactorio como sea posible. El Demiurgo toma el caos primitivo impone orden siguiendo un plan racional. No se trata de la creacin a partir de la nada, como en el relato judea-cristiano de la creacin, pues los materiales brutos ya estn presentes y poseen propiedades. El Demiurgo tampoco es omnipotente pues se ve constreido y limitado por los materiales.

El Demiurgo no es nicamente un artesano racional, sino tambin un matemtico, pues construye el cosmos sobre principios geomtricos. Platn asumi las cuatro races de Empdocles: tierra, agua, aire y fuego. Pero, bajo la influencia pitagrica, las redujo a algo ms fundamental: tringulos. De este modo, postul un atomismo geomtrico. Desde luego, los tringulos, en cuanto figuras bidimensionales, son incorpreos. Sin embargo, si se combinan adecuadamente pueden formar corpsculos tridimensionales, correspondiendo cada configuracin diferente a uno de los cuatro elementos. En tiempos de Platn ya se conoca que haba cinco y slo cinco slidos geomtricamente regulares (figuras geomtricas slidas formadas por superficies planas, todas idnticas). Son el tetraedro (cuatro tringulos equilteros), el cubo (seis cuadrados), el octaedro (ocho tringulos equilteros), el dodecaedro (doce pentgonos) y el icosaedro (veinte tringulos equilteros). Platn asociaba cada uno de los elementos con una de estas figuras -el fuego con el tetraedro (el ms pequeo, puntiagudo y mvil de los slidos regulares), el aire con el octaedro, el agua con el icosaedro y la tierra con el ms estable de los slidos regulares, el cubo-o Finalmente, Platn hall una funcin al dodecaedro (el slido regular ms prximo a la esfera) al identificarlo con el cosmos como un todo.

Hay tres caractersticas de este esquema que merecen ser comentadas. Primero, explica el cambio y la diversidad del mismo modo que lo haca la teora de Empdocles: los elementos pueden mezclarse en distintas proporciones para producir la variedad en el mundo material. Segundo, permite la transmutacin de un elemento en otro, con lo que adems explica el cambio. Tercero, los corpsculos geomtricos de Platn representan un paso significativo hacia la matematizacin de la naturaleza. Agua, aire y fuego no son triangulares; son simplemente tringulos. El programa pitagrico de reducirlo todo a los primeros principios matemticos se ha realizado.

Platn procedi a describir muchas caractersticas del cosmos. Demostr un dominio bastante considerable de la cosmologa y la astronoma. Propuso una Tierra esfrica rodeada por la envoltura esfrica de los cielos. Defini varios crculos en la esfera celeste, que indicaban los caminos del Sol, la Luna y otros planetas. Comprendi que el Sol se mueve a lo largo de la esfera celeste una vez al ao sobre un crculo.

A partir de los tringulos y slidos regulares, el Demiurgo form un producto final de la mayor racionalidad y belleza, y, segn Platn, eso significa que el cosmos debe ser una criatura viviente. Pero si el mundo es una criatura viviente, debe poseer un alma. Y, efectivamente, la posee. El alma del mundo es en ltima instancia responsable de todos los movimientos del cosmos, al igual que el alma humana es responsable de los movimientos del cuerpo humano.

Adems Platn asigna la divinidad al alma del mundo y considera que los planetas y las estrellas fijas son huspedes de los dioses celestiales. Sin embargo, a diferencia de los dioses de la religin tradicional griega, las deidades de Platn nunca interrumpen el curso de la naturaleza. Es la inmutabilidad de los dioses lo que garantiza la regularidad de la naturaleza. El Sol, la Luna y los otros planetas deben moverse con determinada combinacin de movimientos circulares uniformes precisamente porque tal movimiento es el ms perfecto y racional y, consecuentemente, sa es la nica clase de movimiento concebible para un ser divino. De este modo, la reintroduccin de la divinidad por parte de Platn no representa una vuelta a la impredictibilidad del mundo homrico. De este modo, Platn restableci a los dioses precisamente para explicar las caractersticas del cosmos que, en la visin de los physikoi; requeran la eliminacin de los dioses.

Tema 3: la filosofa natural aristotlica y el cosmos homocntrico. La teora de la ciencia.

Durante su larga relacin con Platn, naturalmente Aristteles haba llegado a conocer profundamente la teora platnica de las formas. Sin embargo, se neg a aceptar este estatus dependiente que Platn asign a los objetos sensibles. Deben tener existencia autnoma, pues en su visin son lo que constituye el mundo real.

La epistemologa de Aristteles es compleja y sofisticada. A partir de la experiencia sensible repetida se sigue la memoria. Y a travs de la memoria, por un proceso de intuicin o comprensin, el investigador experimentado es capaz de discernir las caractersticas universales de las cosas. Ntese que Aristteles, no menos que Platn, estaba decidido a captar el universal. Pero, a diferencia de su maestro, Aristteles afirmaba que debe hacerse empezando con el individuo. Una vez que poseemos la definicin universal, podemos usarla como premisa de demostraciones deductivas.

As el conocimiento se alcanza mediante un proceso que empieza con la experiencia. En este sentido el conocimiento es emprico. Pero lo que aprendemos mediante este proceso inductivo no adquiere el estatus de verdadero conocimiento hasta que se presenta en forma deductiva. El producto final es una demostracin deductiva que empieza a partir de las definiciones universales como premisas.

En cuanto a su cosmologa, empecemos por la cuestin de los orgenes. Aristteles niega firmemente la posibilidad de un comienzo, insistiendo en que el universo debe ser eterno. La alternativa le parece impensable, por violar (entre otras cosas) los reparos parmendeos respecto a algo que surge de nada. La posicin de Aristteles acerca de esta cuestin resultara problemtica para sus comentadores medievales.Aristteles consider que este universo eterno era una gran esfera, dividida en una regin superior y otra inferior por el caparazn esfrico en el que est situada la Luna. Por encima de la Luna est la regin celestial; por debajo est la regin terrestre. La Luna, espacialmente intermedia, tambin es de naturaleza intermedia. La regin terrestre o sublunar se caracteriza por el nacimiento, la muerte y cambios transitorios de todas clases. La regin celeste o supralunar, en cambio, es una regin de ciclos eternamente inmutables. La regin celestial est completamente llena de ter (no espacio vaco) y dividida, como veremos, en caparazones esfricos concntricos que llevan los planetas.

La regin sublunar es el mbito de la generacin, la corrupcin y la caducidad. Como sus predecesores, acept los cuatro elementos originariamente propuestos por Empdocles y subsecuentemente adoptados por Platn: tierra, agua, aire y fuego. Acept, con Platn, que estos elementos en realidad son reducibles a algo todava ms fundamental. Pero no comparti la inclinacin matemtica de Platn, y expres su propio compromiso con la realidad del mundo de la experiencia sensible eligiendo las cualidades sensibles como los ltimos bloques de la construccin. Dos pares de cualidades son cruciales: caliente-fro y hmedo-seco. stas se combinan en cuatro pares, cada uno de los cuales da lugar a uno de los elementos.

Ntese el uso que se hace, una vez ms, de contrarios. No hay nada que prohba que cualquiera de las cuatro cualidades sea reemplazada por su contrario; lo que explica fcilmente la trasmutacin de una sustancia a otra. Las distintas sustancias que componen el cosmos lo llenan totalmente y no deja espacio vaco en absoluto. Debemos concebir las cosas materiales no como agregados de pequeas partculas, sino como todos continuos. El universo aristotlico est lleno.

Adems de ser caliente o fro y hmedo o seco, cada uno de los elementos es tambin pesado o ligero. La tierra y el agua son pesados. El aire y el fuego son ligeros. Al atribuir levedad a dos de los elementos, Aristteles no estaba diciendo simplemente que son menos pesados, sino que son ligeros en sentido absoluto. La levedad no es una versin debilitada de la gravedad, sino su contrario. As, en el caso ideal los elementos formaran un conjunto de esferas concntricas: el fuego en la parte exterior, seguido por el aire y el agua, y finalmente la tierra en el centro. Pero en realidad el mundo est compuesto en gran parte por cuerpos mixtos. Sin embargo, la disposicin ideal define el lugar natural de cada uno de los elementos. El lugar natural de la tierra es el centro del universo. Debe destacarse que la disposicin espacial de los elementos es esfrica.

Finalmente, debemos hacer notar una de las implicaciones de esta cosmologa, a saber, que el espacio, en lugar de ser teln de fondo (anlogo a nuestra concepcin moderna del espacio geomtrico) neutral, homogneo, sobre el que ocurren los acontecimientos, tiene propiedades. Los cuerpos pesados se mueven hacia su lugar natural en el centro del universo no a causa de una tendencia a unirse con otros cuerpos pesados ubicados all, sino simplemente debido a que est en su naturaleza buscar este punto central.

El mejor modo de aproximarse a la teora del movimiento de Aristteles es a travs de sus dos principios ms bsicos. El primero es que el movimiento nunca es espontneo: no hay movimiento sin un motor. El segundo es la distincin entre dos tipos de movimiento: el movimiento hacia el lugar natural del cuerpo mvil es el movimiento natural; el movimiento en cualquier otra direccin es el movimiento forzado o violento.

En el caso del movimiento natural, el motor es la naturaleza del cuerpo. Los cuerpos compuestos tienen una tendencia direccional que depende de la proporcin de los distintos elementos de su composicin. El motor en el caso del movimiento forzado es una fuerza externa.

La fuerza no es el nico determinante del movimiento. En todos los casos reales tambin habr una resistencia o fuerza oponente. La pregunta que se plantea es: cul es la relacin entre la fuerza, la resistencia y la velocidad o rapidez? Aunque posiblemente a Aristteles no se le ocurri que deba haber una ley cuantitativa de aplicabilidad universal, la cuestin no dej de interesarle e hizo varias incursiones en el territorio cuantitativo, afirmando que cuando dos cuerpos de diferente peso descienden, los tiempos requeridos para cubrir una distancia dada sern inversamente proporcionales a los pesos. A partir de estas afirmaciones, algunos sucesores de Aristteles hicieron un decidido esfuerzo para extraer una ley general [V ex F/R] o [V ex F/R]. Sin embargo, dndoles forma matemtica, como hemos hecho, se sugiere que valen para todos los valores de V, F y R, una afirmacin que Aristteles ciertamente habra rechazado, ya que que una resistencia igual a la fuerza motiva impedira el movimiento totalmente, mientras que la frmula presentada ms arriba no da este resultado.Aristteles ha sido severamente criticado por su teora del movimiento, sin embargo para entenderla debemos partir de la idea de que su meta principal era entender las naturalezas esenciales, no explorar las relaciones cuantitativas entre factores incidentales como las coordenadas espacio-temporales (o lugar-temporales) aplicables a un cuerpo en movimiento.

El movimiento en la esfera celeste es un tipo de fenmeno totalmente diferente. Los cielos estn compuestos de la quintaesencia, una sustancia incorruptible, que no posee contrarios y por tanto es incapaz de cambio cualitativo. Por ello, Aristteles asigna a los cielos el ms perfecto de los movimientos: el movimiento circular uniforme continuo. Adems de ser el ms perfecto de los movimientos, el movimiento circular uniforme parece tener la capacidad de explicar los ciclos celestes observados.

Dado que las esferas celestes estn compuestas por la quintaesencia, su movimiento, siendo eterno, debe ser natural, no forzado. La causa de este movimiento eterno debe ser ella misma inmvil, pues si no postulamos un motor inmvil, rpidamente nos veremos atrapados en un regreso al infinito. Aristteles identific el motor inmvil para las esferas planetarias con el primer motor, una deidad viviente que representa el mayor bien, totalmente actualizada, totalmente absorbida en la autocontemplacin, no espacial, separada de las esferas que mueve, y en absoluto parecida a los dioses tradicionales griegos antropomrficos. Cmo puede, pues, el primer motor o motor inmvil causar el movimiento en los cielos? No como causa eficiente, pues esto requerira contacto entre el motor y lo movido, sino como causa final.

Tema 4: Las ciencias matemticas griegas entre los siglos IV aC y II dC: Auclides, Arqumedes, Apolonio, Hiparco y Ptolomeo.

Poseemos nicamente datos fragmentarios de desarrollos matemticos especficos en el periodo anterior a Euclides (que floreci hacia el 300 a.c.), pero est unnimemente aceptado que esos desarrollos fueron codificados en el propio libro de texto de Euclides, Elementos. En ste encontramos una matemtica altamente desarrollada como un sistema axiomtico, deductivo.

Lo que es importante destacar es que la conclusin de una demostracin propiamente eucldea se sigue necesariamente de las definiciones, postulados, axiomas y proposiciones previamente probadas. Euclides manej este mtodo de modo tan impresionante que, a travs de su influencia, se convirti en el estndar de la demostracin cientfica hasta finales del siglo XVII.

De entre los muchos logros de los Elementos hay uno que debe ser mencionado debido a su futura importancia en el desarrollo del mtodo de exhauscin, probablemente tomado por Euclides de su predecesor Eudoxo y destinado a influir en varios seguidores, incluido Arqumedes. Euclides muestra cmo determinar, usando el mtodo de la exhauscin, el rea de un crculo por medio de un polgono inscrito. Si doblamos una y otra vez el nmero de lados del polgono, iremos reduciendo la diferencia entre el rea del polgono (conocida) y el rea del crculo (desconocida), hasta el punto en el que sea menor que cualquier magnitud que elijamos.

Euclides fue seguido por una serie de brillantes matemticos helensticos, de entre los cuales el ms grande fue indudablemente Arqumedes (ca. 287 -211 a.c.). Contribuy tanto a la matemtica terica como a la aplicada, pero Arqumedes es especialmente estimado por la elegancia de sus pruebas matemticas. En alguno de sus trabajos ms importantes, Arqumedes desarroll el mtodo de exhauscin y lo aplic al clculo de reas y volmenes. Y calcul y mejor el valor de Pi.

Arqumedes tuvo una profunda influencia en el desarrollo posterior de las matemticas y de la fsica matemtica, especialmente despus de que sus trabajos fueran redescubiertos y reeditados en el Renacimiento.

Un ltimo logro de las matemticas griegas que debe ser mencionado es el trabajo de Apolonio de Perga (fl. 210 a.e.) sobre las secciones cnicas. Apolonio estudi la elipse, la parbola y la hiprbole y propuso un nuevo enfoque para su definicin y mtodos de generacin. Su libro sobre las secciones cnicas, al igual que los trabajos de Arqumedes, estaba destinado a tener una importante influencia en el periodo moderno inicial.

Hiparco (muerto despus de 127 aC) es el inventor de la trigonometra, para cuyo objeto disea un mtodo que consiste en relacionar las medidas angulares con las lineales. Las necesidades de ese tipo de clculos son muy frecuente en Astronoma.Hiparco construy una tabla de cuerdas, que equivala a una moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fcilmente relacionar los lados y los ngulos de todo tringulo plano. Ahora bien, los tringulos dibujados sobre la superficie de la esfera celeste no son planos sino esfricos constituyendo la trigonometra esfrica.

Parece que la astronoma planetaria fue intensamente cultivada en el periodo helenstico, pero conocemos pocos detalles debido a que Claudia Ptolomeo (al final del periodo helenstico) tuvo tal xito al sintetizar los logros de sus predecesores que los trabajos de stos dejaron de circular y desaparecieron. Sabemos, porque Ptolomeo nos lo dice, que, en el siglo III a.c., Apolonio de Perga desarroll un nuevo modelo matemtico para el movimiento planetario. Hiparco fue uno de los ms grandes astrnomos de la antigedad dejando su huella principalmente en la astronoma observacional. Tambin sabemos que Hiparco tuvo acceso a los datos de observacin babilonios. Fue el primero en desarrollar mtodos para asignar valores numricos a los modelos geomtricos; y, a travs de su influencia, se introdujo la exigencia de adecuacin cuantitativa entre la teora y la observacin en la astronoma griega y la transform radicalmente. 18 Para ver el resultado de esta transformacin, debemos pasar al trabajo de Ptolomeo.Claudio Ptolomeo (fl. 150 d.C.) estaba afiliado al Museo de Alejandra y a su biblioteca asociada. Eso significa no slo que era el beneficiario de los avances tericos hechos durante estos siglos intermedios, sino tambin que tuvo acceso a siglos de observaciones astronmicas, tanto griegas como babilonias.

Resultara sorprendente que la sofisticacin de la matemtica helenstica no se hubiera reflejado en la astronoma matemtica de la poca. Los modelos de Ptolomeo tienen los mismos objetivos que los de Eudoxo: descubrir alguna combinacin de movimientos circulares uniformes que explicaran las posiciones observadas de los planetas. Adems, los modelos de Ptolomeo eran capaces de hacer precisos pronsticos cuantitativos de las futuras posiciones planetarias. Sin embargo, las tcnicas matemticas que emple fueron enormemente diferentes.En primer lugar, en vez de utilizar esferas, Ptolomeo us crculos. Veamos cmo el movimiento uniforme en un crculo puede emplearse para dar la apariencia de no uniformidad. Sea el cculo ABD, el centro de rotacin uniforme y el punto de observacin no coinciden -si la Tierra, por ejemplo, est situada en E- entonces el movimiento del planeta parecer no uniforme y ms lento a medida que se acerca a A, y ms rpido a medida que se acerca a D. ste es el modelo excntrico.

Ambos modelos estn firmemente basados en la exigencia de que los movimientos planetarios reales sean uniformes y circulares. Los astrnomos griegos han sido frecuentemente criticados por su compromiso dogmtico con el movimiento circular uniforme. La verdad es que el cientfico, antiguo o moderno, empieza toda investigacin con fuertes compromisos; la exigencia de movimiento circular uniforme estaba justificada sobre todo por el movimiento ms simple, que representa el mayor orden. Estaba la fuerza del sentido comn y la sancin de la tradicin, pues la naturaleza cclica, repetitiva, de los fenmenos celestes siempre haba sugerido que los movimientos celestes deben ser fundamentalmente uniformes y circulares. Adems, sin el movimiento circular uniforme, la prediccin cuantitativa habra sido imposible, pues los mtodos trigonomtricos de que dispona Ptolomeo no eran aplicables a ninguna otra clase de movimiento.

En todo caso, los modelos de la excntrica y del epiciclo sobre deferente, basados en el movimiento circular uniforme, fueron extremadamente potentes. Pero tenan sus lmites, y su incapacidad todava exigi la creacin de otro modelo, el ecuante. El ecuante (que ser rechazado por Coprnico) es un punto determinado (A) que se encuentra a una cierta distancia del centro de rotacin del deferente (la Tierra) de modo que el deferente gira a velocidad no uniforme respecto a su centro (la Tierra) pero a velocidad uniforme respecto del ecuante.

Estos tres modelos -crculo excntrico, epiciclo sobre deferente y ecuante- resultaron modos efectivos de emplear el movimiento circular uniforme para explicar la irregularidad aparente apreciada en los cielos. Pero esos modelos alcanzaron su mxima potencia al combinarse.

Ptolomeo Titul el tratado en el que presentaba estos modelos matemticos Sintaxis matemtica (o Sistema matemtico). Adems, en el prefacio a este tratado anunci que la especulacin acerca de la causalidad divina del movimiento celeste o acerca de la naturaleza material de las cosas lleva nicamente a conjeturas y que, si el objetivo es alcanzar la certeza, el nico modo de conseguirlo es el matemtico. Y en distintos puntos de su trabajo afirm que los modelos astronmicos deberan elegirse sobre la base de la simplicidad matemtica, aparentemente sin preocuparse por la plausibilidad fsica.

No obstante, si miramos atentamente vemos que, de hecho, las consideraciones no matemticas tienen un papel en el anlisis. Ptolomeo present argumentos fsicos para la centralidad y posicin fija de la Tierra. Su influencia en la Edad Media y en el Renacimiento fue en cuanto matemtico de los cielos, dedicado a salvar las apariencias. En realidad, Aristteles y Ptolomeo llegaron a simbolizar los dos polos del trabajo astronmico (fsico y matemtico).

Tema 5: La medicina en Grecia y Roma.

Se puede dar por sentado que tradiciones curativas sustancialmente similares a las que hubo en Egipto y Mesopotamia tenan que encontrarse en la civilizacin griega contempornea, esto es, en la cultura de la Edad de Bronce del periodo 3000-1000 a.e. Es indudable que esos primeros griegos tenan contacto con sus vecinos del Oriente Prximo. As pues, debi existir una amplia variedad de prcticas curativas, que iban desde la ciruga bsica y el uso de medicinas internas a los encantamientos religiosos y el sueo curativo. Y profesionales de la curacin de distinta cualificacin deben haber trabajado en muchos niveles, para distintas clientelas, utilizando todo el registro de remedios y tcnicas mdicas disponibles.!A partir de los antiguos poetas griegos, Homero y Hesodo, podemos recoger informacin incidental sobre la naturaleza de la prctica mdica hacia finales de este periodo y comprobar cmo los dioses podan ser invocados de cara a la curacin.

El aspecto religioso de la curacin se manifiesta ms claramente en el culto a Asclepio, el dios de la curacin. Asclepio, ya mencionado por Homero como un gran mdico, fue posteriormente deificado y, en los siglos IV y IlI, se convirti en el foco de un culto curativo popular.

En los siglos v y IV, se desarroll junto con las prcticas curativas tradicionales, una tradicin mdica influida por los desarrollos contemporneos en filosofa y asociada al nombre de Hipcrates de Cos (ca. 460-ca. 370 a.c.). Los escritos hipocrticos representaban la medicina culta. El hecho de que se tratara de escritos ya lo pone de manifiesto. Los autores eran cultos. Se dedicaban a lo que nosotros generalmente llamaramos filosofa natural, o al menos eran algo as como mdicos profesionales que se inspiraban en la tradicin filosfica.Estaban en la interseccin entre el arte curativo y la empresa filosfica.

Debemos recordar que, en la antigedad, la prctica mdica no tena regulacin ninguna. La medicina no se estudiaba en escuelas mdicas formales, sino que generalmente se aprenda haciendo de aprendiz de un mdico en activo. Uno de los puntos de inters de los escritos hipocrticos era que estableca estndares. De hecho, el juramento hipocrtico fue un intento de autorregulacin entre los profesionales de la medicina.

Lo ms llamativo, a nivel general, es la marcada reduccin de la presencia de elementos tericos de tipo mgico y sobrenatural. Los dioses existen, desde luego, y la propia naturaleza puede ser considerada como divina, pero la intervencin de los dioses como causa directa de la enfermedad o la salud queda excluida. El autor pasa a ofrecer su propia explicacin naturalista.

Los tratados hipocrticos a menudo asocian la enfermedad a algn desequilibrio en el cuerpo o a una interferencia en su estado natural. En varios de dichos tratados, la enfermedad se asocia con los humores o fluidos corporales. Cada uno de estos humores estaba asociado a un par de cualidades bsicas: calor, fro, hmedo y seco. Este esquema llevaba a la conclusin de que los distintos humores tienden a predominar durante las diferentes estaciones. Obviamente, los factores estacionales no son las nicas causas de enfermedad: la comida, el agua, el aire y el ejercicio tambin contribuyen al estado de salud de uno. Si la enfermedad se asocia al desequilibrio, la terapia debe dirigirse a la restauracin del equilibrio.El conocimiento de la anatoma y la fisiologa humanas entre los mdicos hipocrticos parece haber sido bastante limitado. Durante el periodo en el que los tratados hipocrticos fueron redactados o en el anterior, los datos sobre una diseccin sistemtica de cuerpos humanos son muy escasos, debido, sin duda, a los tabes tradicionales respecto a la inhumacin de los muertos y quiz tambin a la ausencia de una buena razn para suponer que la diseccin humana poda proporcionar un conocimiento til. El conocimiento anatmico que exista se haba adquirido indudablemente durante las intervenciones quirrgicas o el tratamiento de heridas, o por analoga con la anatoma animal. Por tanto, fue un acontecimiento de gran importancia el hecho de que la diseccin humana empezara en Alejandra en el siglo III a.C.

Herfilo y Erasstrato (s. II aC) fueron dos importantes mdicos que dieron lugar varias sectas mdicas helnicas hasta que apareci la figura de Galeno (129 dC). Nacido en Prgamo, estudi filosofa y matemticas antes de dedicarse a la medicina. Entre sus objetivos mdicos era central la necesidad de clasificar las enfermedades -para descubrir los universales que subyacen a los particulares- e investigar sus causas ocultas. Y estaba convencido de que el conocimiento anatmico y fisiolgico era esencial para el xito de esta empresa.

La influencia hipocrtica fue de importancia decisiva en el desarrollo de la filosofa mdica de Galeno. Tom del tratado hipocrtico Sobre la naturaleza del hombre la doctrina de los cuatro humores. Estos, afirm, se juntan para formar los tejidos; los tejidos se combinan para formar los rganos; los rganos se unen para formar el cuerpo.

La enfermedad puede estar asociada o bien a un desequilibrio entre los humores y sus cualidades constituyentes o bien al estado especfico de los rganos particulares. crea que el conocimiento de la estructura y la funcin de los rganos individuales era esencial para la prctica exitosa de la medicina. Acept que en su mayor parte la anatoma humana tena que inferirse a partir de la analoga, a partir de la diseccin de animales cuya anatoma se pareciera a la de los humanos. Desde luego, se apoy en el trabajo de Herfilo y Erasistrato, pero no dud en corregir a sus predecesores cuando pens que se haban equivocado. Sin embargo, los trabajos anatmicos que sobrevivieron fueron los de Galeno, y no los de Herfilo y Erasistrato, de modo que fue Galeno el que proporcion a Europa su nica explicacin sistemtica de la anatoma humana hasta el Renacimiento.

El sistema fisiolgico de Galeno tuvo races an ms complejas. Platn haba defendido un alma tripartita, que consista en una parte (>. Lo nico que podramos conocer, por tanto, seran aquellas propiedades que son accesibles a los sentidos. Segn Galileo, el conocimiento de estas propiedades manifiestas (y mensurables) no slo sera un fin en s mismo; tambin constituira una ayuda para el filsofo en sus pesquisas. En conclusin, el trabajo del matemtico podra orientar, de alguna forma, el trabajo del fsico.

Newton:

Galileo muri el 8 de enero de 1642. Ese mismo ao, el da de Navidad naca en Woolsthorpe -cerca del pueblo de Colsterworth, en el Linvolnshire Isaac Newton. Newton fue el cientfico que llev a su culminacin la revolucin cientfica, y con su sistema del mundo se configur la fsica clsica. No fueron nicamente sus descubrimientos astronmicos, o matemticos (de forma independiente de Leibniz, invent el clculo diferencial e integral) los que le otorgan un lugar en la historia de las ideas filosficas. Newton, adems, estuvo preocupado por importantes cuestiones teolgicas y elabor una cuidadosa teora metodolgica.

Newton haba inventado una versin del clculo infinitesimal, que posteriormente desarrollara entre 1665 y 1666, el mismo ao en que public sus originales investigaciones sobre la luz y los colores (vase captulo 7). De hecho, este perodo entre 1665 y 1666 es conocido como el annus mirabilis de Newton, puesto que por aquel entonces tambin comenz los trabajos sobre gravitacin que le haran famoso.Debido a la propagacin de la plaga, ese ao Newton abandon Cambridge (donde se acababa de graduar) y se traslad a la residencia que su familia tena en Grantham, Lincolnshire. Su cuaderno de anotaciones de esta poca, que se ha conservado hasta hoy contiene ideas, reflexiones, observaciones sobre lecturas y experimentos que demuestran que Newton conoca muy bien la filosofa natural de entonces, incluida la de Descartes. Sus primeras ideas sobre la gravedad, por ejemplo, las desarroll a partir de un problema planteado por Galileo en su Dialogo de 1632 (la obra acababa de ser traducida del italiano al ingls). Galileo se haba preguntado por qu si la tierra gira sobre su propio eje los objetos que se hallan en su superficie no salen despedidos. Esta pregunta hizo que Newton se planteara cul poda ser la fuerza centrfuga en la superficie de la tierra. Tambin le llev a comparar esta fuerza hacia fuera, centrfuga, con la fuerza de la gravedad, causante de que los cuerpos, a pesar del movimiento giratorio de la tierra, fueran atrados hacia su centro.El resultado de estas investigaciones fue un anlisis del movimiento circular idntico al de Huygens (por ser los dos versiones de la clebre frmula F = (mv')/r). Puesto que conoca su velocidad en rbita as como la distancia que la separaba de la tierra, Newton se bas en el movimiento de la luna para poner a prueba sus resultados. Su hiptesis era la siguiente: si el movimiento de la luna era similar al de un cuerpo cerca de la superficie de la tierra, y su tendencia centrfuga quedaba compensada por la tendencia gravitatoria, entonces, de acuerdo con la frmula de Newton, la fuerza gravitatoria sobre la luna deba disminuir en proporcin a (1/r- 1/R'), donde res el radio de la tierra y R el radio de la rbita lunar. Mucho ms tarde Newton asegurara que en este punto abandon su anlisis porque la' cifra que estaba empleando como radio de la tierra era errnea, y que por ello los resultados de su ecuacin no coincidan con lo observado. En cualquier caso, Newton no volvera a interesarse por estos temas hasta diez aos ms tarde.Parece ser que fue la famosa visita de Edmund Halley, en 1684, al entonces eminente Lucasian professor de matemticas en Cambridge lo que le llev a Newton a comenzar su clebre trabajo Philosophiae naturalis principia mathematica (Principios matemticos de filosofa natural), publicado en 1687. Halley, que actuaba como una especie de emisario de la Royal Society, quera averiguar cul sera la trayectoria de un cuerpo en rbita alrededor de otro cuerpo estacionario, si el cuerpo mvil fuera atrado hacia el cuerpo inmvil con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ambos. La pregunta asuma lo que hoy denominamos , propia de un cuerpo sobre el que no acta ninguna fuerza externa; es decir, que un cuerpo en movimiento, en ausencia d~ fuerzas, contlnu.a en su estado de movimiento rectilneo uniforme. Este era un principio bien asentado para entonces: Gassendi haba publicado sobre l en 1642, y tambin Descartes, en su obra Principios de la filosofia, de 1644; Newton, obviamente, lo conoca. En respuesta a la pregunta de Halley, Newton declar que el cuerpo describira una elipse, similar a la trayectoria de los planetas alrededor del sol. Halley le anim a que publicara el resultado. Hacerlo le llev a Newton dos aos ms de duro trabajo.

Newton incorpor a su planteamiento teoras como las leyes dinmicas y de colisin cartesianas (muy criticadas en su momento), o los resultados de las investigaciones de Huygens sobre la fuerza centrfuga, publicadas sin pruebas en 1673. Para l era sumamente importante que su teora adoptara el estilo de la geometria clstica, pues slo as poda fundamentar con rigor matemtico sus hiptesis acerca del movimiento, y obtener finalmente un gran .

Una de las caractersticas ms notables de los Principia mathematica de Newton, a diferencia de la propuesta de Descartes en los Principia philosophiae, era que en su planteamiento no es necesario el contacto directo entre los cuerpos como medio para transferir la accin. En su texto Newton habla de , entendido el concepto de fuerza en trminos de impulsos que actan sobre un cuerpo y alteran su velocidad la transmisin de esta fuerza; ni siquiera identifica, en muchos casos, su origen.

En los Principia Newton describe la trayectoria como una combinacin de movimientos inerciales rectilneos y de impulsos puntuales en direccin al cuerpo central. El resultado es una trayectoria poligonal, que en el lmite reproduce la trayectoria buscada. En un anlisis como ste, Newton pasa por alto la cuestin del origen o la causa de estos impulsos. De hecho, en el Libro I, Seccin 2, Proposicin I, Teorema I, de los Principia, que viene a ser una reformulacin de la Segunda Ley de Kepler, Newton describe cada uno de estos impulsos simplemente como .

Otros textos posteriores, en los que explicita aspectos ms cualitativos de su filosofa natural, como por ejemplo su ptica, dejan entrever que efectivamente Newton conceba la gravedad como una fuerza de atraccin entre dos cuerpos, de manera que el cuerpo atrado>> lo era en direccin al cuerpo atrayente>>. Una interpretacin de h gravedad muy diferente a la de Descartes y Huygens, para quienes la atraccin de un cuerpo en direccin a otro cuerpo central era el resultado de la accin de la materia situada ms all del cuerpo en cuestin.El Libro III de los Principia mathematica, donde Newton expone su Sistema del Mundo>>, muestra de manera muy clara el tipo de dificultades a las que tuvo que enfrentarse por querer desarrollar sus ideas hasta el final. En este libro, las teoras matemticas expuestas en los libros anteriores son aplicadas al estudio de ciertos fenmenos observados en el sistema solar (la trayectoria de los planetas, su velocidad en rbita, etc.). Entre otras cosas, se demuestra que las leyes de Kepler podan haberse deducido a partir de los principios fsico-matemticos de Newton, una vez aceptada la hiptesis de que dos cuerpos se atraen con una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos (ms especficamente, la distancia entre sus centros de gravedad).

Tema 14: La nueva filosofa: Bacon y Descartes.

Bacon:

En contraste con la perspectiva aristotlica, Bacon conceba la filosofa natural como un esfuerzo por producir resultados, por ejemplo, aplicaciones prcticas. Esta capacidad de producir no era simplemente la consecuencia de un saber natural filosfico adecuado; tambin constitua su criterio de verdad. Bacon, sin embargo, no conceba los trabajos prcticos nicamente como medios para hallar la verdad filosfica. En el Novum organum, en su crtica al proceder de otros filsofos, comenta: