Historia De La Geometría Plana y En El Espacio

Autónoma De México

Facultad De Ingeniería

Sánchez Vázquez Federico Rafael Grupo: 1116 Profeso: Velázquez Márquez Alfredo M.C.Q

Geometría Plana

El punto

El punto, en geometría, es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación a otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es un elemento geométrico adimensional, no es un objeto físico; describe una posición en el espacio, determinada en función de un sistema de coordenadas preestablecido.

La recta

La recta, o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

El plano

El plano, en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

Tres puntos no alineados.

Una recta y un punto exterior a ella.

Dos rectas paralelas.

Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Segmento

Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.

Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

Ángulo

Un ángulo es la "abertura" entre dos líneas que se cruzan en un punto. Esta noción de ángulo es muy familiar para nosotros, pues durante nuestra vida hemos observado y descrito los ángulos de todos los objetos que vemos. En geometría se estudian con todo detenimiento y precisión estos ángulos. Es en esta rama de las matemáticas en donde miden y clasifican estos ángulos, se estudian sus propiedades y sus relaciones con otros ángulos. Los ángulos se miden principalmente en grados sexagesimales, aunque existen otros tipos de unidades para medirlos. Por ejemplo, las revoluciones, que son vueltas enteras; los gradianes o grados centesimales, que dividen la vuelta entera en 400 partes iguales en lugar de 360, como los grados sexagesimales.

Clasificación de los ángulos:

Ángulo recto: está formado por el cruce de dos rectas perpendiculares que forman la cuarta parte de una revolución, es decir, 90º.

Ángulo obtuso: un ángulo obtuso tiene una abertura mayor a la del ángulo recto, concretamente 180º.

Ángulo agudo: un ángulo agudo tiene una abertura menor a la del ángulo recto.

Ángulo llano: es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, además el ángulo es la mitad de una revolución, o sea, 180º.

Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°.

Triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados (Euclides); o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Clasificación por las longitudes de sus lados

Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o radianes).

Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Según la amplitud de sus ángulos

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).

Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Líneas y puntos notables en un triangulo

Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.

Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.

Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.

Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.

Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita.

Cuadrilátero

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.

Clasificación de los cuadriláteros

Paralelogramo

Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.

Los paralelogramos se clasifican en:

Paralelogramos rectángulos, son aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen

Un cuadrado es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso

especial de rectángulo. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados o p / 2 radianes, y la suma de todos ellos es 360º o 2p radianes. Cada ángulo externo del cuadrado mide 270º ó 3p / 2 radianes.

Un rectángulo es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud.

Paralelogramos no rectángulos, son aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluye:

El rombo es un cuadrilátero paralelogramo. Sus cuatro lados son iguales en longitud y son paralelos dos a dos. El cuadrado es un caso particular de rombo.

En geometría, se denomina romboide al paralelogramo cuyos ángulos no son rectos (no es rectángulo) y cuyos cuatro lados no son de igual longitud (no es un rombo).

No paralelogramos

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos.

Un trapezoide es un polígono cuadrilátero tal que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro.

El trapezoide no tiene propiedades especiales, excepto las que son propias de todo cuadrilátero convexo, como que la suma de sus ángulos internos es de 360º. Los trapezoides pueden ser inscriptibles si la suma de sus ángulos opuestos es de 180º. Del mismo modo, puede ser circunscriptible si las sumas de sus pares de lados opuestos son iguales entre sí por eso no son paralelogramos.

Círculo y circunferencia

Un círculo, en geometría, es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.

En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera: una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.

Es una curva bidimensional con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

Elementos de la circunferencia

Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.

Radio, es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;

Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y, lógicamente, pasa por el centro;

Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;

Arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

Fórmulas

GEOMETRIA DEL ESPACIO

 

Geometría del espacio, rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

 

Cono (geometría), o cono circular recto, es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos.

La hipotenusa del triángulo es la generatriz, g, del cono. El cateto sobre el cual se gira es la altura, h. El otro cateto es el radio, r, de la base.

El desarrollo de la superficie de un cono en el plano da lugar a un sector circular de radio g y ángulo (r/g) 360º:

La superficie lateral de un cono recto es rg. Por tanto, su superficie total es: 

Atotal = rg + r2

 TRONCO DE CONO

Un tronco de cono recto de bases paralelas es la porción de cono comprendido entre la base y una sección paralela a ella. Es el cuerpo de revolución generado por un trapecio rectángulo al girar alrededor del lado perpendicular a las bases.

Queda caracterizado por los radios de las bases, r y r’, la altura, h, y la generatriz, g, entre las cuales se da la siguiente relación: 

g2 = (r – r’)2 + h2

El área lateral de un tronco de cono es: 

Alat = (r + r’)·g

Su volumen es: 

V = (r2 + r’2 + rr’) ·h/3

 CONO OBLICUO

Un cono oblicuo es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje y que corte a todas sus generatrices.

Cilindro (matemáticas), o cilindro circular recto, es el cuerpo de revolución engendrado por un rectángulo al girar alrededor de uno de sus lados. El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del cilindro. Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se llaman generatrices.

 Un cilindro recto queda determinado mediante el radio de la base, r, y la altura, h. Su área total es: 

Atotal = Alateral + 2Abase = 2rh + 2r2

Su volumen es: 

V = Abase · altura = r2h

 

CILINDRO OBLICUO

Un cilindro oblicuo es el que resulta de cortar un cilindro recto por dos planos paralelos que cortan oblicuamente a todas las generatrices.

Las bases de un cilindro oblicuo son elipses. Su altura es la distancia entre los planos que contienen las bases. Su volumen es: 

V = Abase · altura

 

 ESFERA

 

Esfera, el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. El centro y el radio de la esfera son los del semicírculo que la genera.

La superficie de la esfera o superficie esférica puede definirse también como el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al centro es igual al radio.

Un plano y una esfera pueden ser exteriores (sin puntos comunes), tangentes (con un solo punto común) o secantes, si el plano atraviesa la esfera.

La intersección de una esfera con un plano es un círculo cuyo radio, r, se obtiene conociendo el radio de la esfera, R, y la distancia, d, del plano al centro de la esfera: r2 = R2 – d2

Si el plano pasa por el centro de la esfera (la corta diametralmente), el círculo que determina en ella se llama círculo máximo y la circunferencia correspondiente circunferencia máxima.

El área de la superficie esférica es: 

A = 4R2

El volumen de una esfera es: 

V = 4R3/3

 

 

 PIRAMIDE

Pirámide, poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono…

Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

 

 

El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es:

Y el área total: 

Atot = Alat + Abase

El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:

 

 

 

TRONCO DE PIRAMIDE

Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.

Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de estos troncos.

El área lateral de un tronco de pirámide de bases paralelas es: 

Alat = semisuma de los perímetros de las bases · apotema

Personajes de la geometría

Eratóstenes:

Fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego, de origen cirenaico.

Eratóstenes era hijo de Aglaos. Estudió en Alejandría y durante algún tiempo en Atenas. Fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco y también gran amigo de Arquímedes. En el año 236 a. C., Ptolomeo III le llamó para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días. La Suda afirma que, tras perder la vista, se dejó morir de hambre a la edad de ochenta años; sin embargo, Luciano afirma que llegó a la edad de ochenta y dos; también Censorino sostiene que falleció cuando tenía ochenta y dos.

El principal motivo de su celebridad es sin duda la determinación del tamaño de la Tierra. Para ello inventó y empleó un método trigonométrico, además de las nociones de latitud y longitud, al parecer ya introducidas por Dicearco, por lo que bien merece el título de padre de la geodesia. Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, en Egipto) el día del solsticio de verano los objetos verticales no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba situada justamente sobre la línea del trópico y su latitud era igual a la de la eclíptica que ya conocía.

Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud (realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de verano al mediodía, demostrando que el cenit de la ciudad distaba 1/50 parte de la circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría.

Según Cleomedes, para el cálculo de dicha cantidad, Eratóstenes se sirvió del scaphium o gnomon (un proto-cuadrante solar). Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría, fijándola en 5.000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252.000 estadios, de modo que a cada grado correspondieran 700 estadios. También se afirma que Eratóstenes, para calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que diera pasos de tamaño uniforme y los contara.

Admitiendo que Eratóstenes usó el estadio ático-italiano de 184.8 m, que era el que se usaba comúnmente por los griegos de Alejandría en aquella época, el error cometido fue de 6.192 kilómetros (un 15 %). Sin embargo, hay quien defiende que usó el estadio egipcio (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada hubiera sido de 39.614,4 km, frente a los 40.008 km considerados en la actualidad, es decir, un error de menos del 1%.

Si se rehace el cálculo de Eratóstenes con la distancia y medida angular exacta desde Alejandría hasta el punto en el mapa que se encuentra en la misma longitud de la de Alejandría y situado justo en la línea del trópico de cáncer, se obtiene un valor de 40,074 km. Solo 66 km o un 0,16% de error de la circunferencia real de la tierra medida por satélites avanzados, que es de 40,008 km, lo que demuestra la validez de su razonamiento. Esta ligera diferencia es debido a que la distancia entre Alejandría y la línea del trópico de cáncer es 1/46 parte de una circunferencia, pero la tierra no es una esfera perfecta.

Tales de Mileto:

Nacido en la próspera ciudad de Mileto, en la Grecia jónica del Asia Menor, durante la década del 620 a. C, fue uno de los Siete Sabios de Grecia, reconocidos por su sabiduría práctica y por sus intervenciones políticas. Pero Tales también se destacó, a diferencia de ellos, por sus habilidades y conocimientos teóricos. Se interesó -y realizó importantes aportes- en cuestiones matemáticas, astronómicas, geográficas, físicas, metafísicas y de ingeniería, además de haber aconsejado exitosamente en varias ocasiones respecto de decisiones políticas no poco relevantes.

Se atribuyen a Tales varios descubrimientos matemáticos registrados en los Elementos de Euclides: la definición I. 17 y las proposiciones I. 5, I. 15, I. 26 y III. 31.

Semicírculo que ilustra un teorema de Tales.

Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de sombras que Tales habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias, aplicándolo luego a otros fines prácticos de la navegación. Se supone además que Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular.

Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y parcelación de sus terrenos. Más, según los pocos datos con los que se cuenta, Tales se habría dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las superficies) y mucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así su geometría un mayor grado de complejidad y abstracción.

Pitágoras:

Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας) (ca. 580 a. C. – ca. 495 a. C.) fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo y en la filosofía racional en Occidente.

La ciencia matemática practicada por Pitágoras y los matemáticos difiere del tratamiento de esta ciencia que se lleva a cabo en universidades o instituciones modernas. Los pitagóricos no estaban interesados en formular o resolver problemas matemáticos, ni existían para ellos problemas abiertos en el sentido tradicional del término. El interés de Pitágoras era el de los principios de la matemática, el concepto de número, el concepto de triángulo (u otras figuras geométricas) y la idea abstracta de prueba.

El teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Si bien este resultado y las ternas pitagóricas eran conceptos ya conocidos y utilizados por los matemáticos babilonios y de la India desde mucho tiempo, fueron los pitagóricos los primeros que enunciaron una demostración formal del teorema; esta demostración es la que se encuentra en Los Elementos de Euclides. También demostraron el inverso del teorema: si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es rectángulo. Debe hacerse hincapié además, en que el cuadrado de un número no era interpretado como un número multiplicado por sí mismo, como se concibe actualmente, sino en términos de los lados de un cuadrado geométrico.

Hipócrates de Quíos

Hipócrates de Quíos fue un matemático, geómetra y astrónomo griego, vivió aproximadamente entre el 470 y el 410 a. C..

 Hipócrates de Quíos fue originariamente un comerciante. Después de ciertos contratiempos, por ejemplo, que le robaron tanto piratas como oficiales de aduanas corruptos, marchó a Atenas, posiblemente para litigar. Debió dedicarse a la enseñanza para sobrevivir, y terminó desarrollándose como un matemático destacado. 

La tendencia de abstracción y sistematización de la Geometría encontró un fuerte impulso en la obra de Hipócrates de Quios, el geómetra más importante del siglo V a. C. Para aglutinar todo el saber matemático de su época, escribió una obra de carácter enciclopédico titulada Elementos, en el que expone teoremas a partir de unos axiomas y postulados Aunque esa obra no nos ha llegado directamente, se sabe de ella a través de los relatos de Eudemo (año 335  a. C.) (Resumidos por Simplicio de Cilicia en el 530 d. C.) Y más tarde Euclides incluyó esos teoremas en los libros 1º y 2º de su colección titulada Elementos de Euclides.

Platón

Fue un filósofo griego seguidor de Sócrates y maestro de Aristóteles. En 387 fundó la Academia, institución que continuaría su marcha a lo largo de más de novecientos años y a la que Aristóteles acudiría desde Esta gira a estudiar filosofía alrededor del 367, compartiendo, de este modo, unos veinte años de amistad y trabajo con su maestro. Platón participó activamente en la enseñanza de la Academia y escribió, siempre en forma de diálogo, sobre los más diversos temas, tales como filosofía política, ética, psicología, antropología filosófica, epistemología,gnoseología, metafísica, cosmogonía, cosmología, filosofía del lenguaje y filosofía de la educación; intentó también plasmar en un estado real su original teoría política, razón por la cual viajó dos veces a Siracusa, Sicilia, con intenciones de poner en práctica allí su proyecto, pero fracasó en ambas ocasiones y logró escapar penosamente y corriendo peligro su vida debido a las persecuciones que sufrió por parte de sus opositores.

Estudió matemáticas con Arquitas de Tarento y con Teodoro de Cirene. Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio. A su regreso fundó en Atenas su famosa escuela filosófica: La Academia.Sin lugar a dudas Platón es mejor conocido por su obra filosófica. Sin embargo, su influencia en las matemáticas helénicas es bastante considerable. Creía que era imposible estudiar la Filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas. Tal vez sea éste el motivo por el cual hizo colocar, a la entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: “no entres aquí si no eres geómetra”. Esta y otras proposiciones como “los números gobiernan al mundo”, nos hacen ver que estaba directamente influenciado por las teorías pitagóricas.Primeramente se deben a él algunas reglas metodológicas, dogmatizando en la Geometría el uso exclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiempos posteriores y aún en nuestros días. Pensaba Platón que los geómetras se rebajaban cuando usaban otros instrumentos que no fueran los mencionados.Se debe también a este filósofo las directivas que debían darse en la enseñanza de la Geometría; es decir, la organización de la exposición geométrica desde el punto de vista lógico, como debe enseñarse y que camino debe seguirse.

Se debe a Platón la mayor claridad de las definiciones, axiomas y postulados.

Según Platón, el estudio de la Geometría debía empezarse en el orden siguiente:

1.-Definiciones2.-Axiomas3.-Postulados4.-Teoremas

A esta directiva de Platón se adaptaron los matemáticos posteriores a él, principalmente Euclides.

Aristóteles:

Aristóteles fue un polímata: filósofo, lógico y científico de la Antigua Grecia cuyas ideas han ejercido una enorme influencia sobre la historia intelectual de Occidente por más de dos milenios.12 3

Aristóteles escribió cerca de 200 tratados (de los cuales sólo nos han llegado 31) sobre una enorme variedad de temas, incluyendo lógica, metafísica, filosofía de la ciencia, ética, filosofía política, estética, retórica, física, astronomía y biología. Aristóteles transformó muchas, si no todas, las áreas del conocimiento que tocó.

Aristóteles con el desarrollo de la Lógica Aristotélica y la lógica matemática

"Simplicidad, perfección y armonía en la Naturaleza". Las tres leyes de Kepler aparecieron como hechos irrefutables, producto de la observación. ¿Cómo explicarlas? Las razones aristotélicas de "simplicidad" y "perfección" que conducían al movimiento circular, parecen fallar por su base y entonces Kepler en su "Mysterium Cosmographicum" (1596) acude a la Geometría, en busca de razones del mismo estilo, pero necesariamente un poco menos simples y tal vez menos perfectas. Como en su

época se conocían solamente seis planetas (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) y por tanto había cinco distancias entre ellos, fue tentadora la idea de buscar la aplicación mediante los cinco poliedros regulares ya conocidos por Platón. Suponiendo que la esfera que contiene a Saturno estaba circunscripta a un cubo al cual estaba a su vez inscripta la esfera de Júpiter y así sucesivamente con el tetraedro, dodecaedro, icosaedro y octaedro y las esferas de los sucesivos planetas, logro Kepler obtener bastantes coincidencias entre las distancias reales de las orbitas y ciertas dimensiones de estos poliedros. Sustituye de esta manera la "simplicidad" por la "armonía" que supone debía presidir la arquitectura del Universo ("Harmonici Mundi", 1618) y así, siguiendo a los pitagóricos, vincula las velocidades angulares de los planetas con series armónicas de acordes musicales, justificando las excentricidades de las orbitas como una necesidad para mantener la armonía de los sonidos producido por los movimientos. Es la música de los planetas, imperceptible al oído, pero accesible a la razón. Parece esto una mezcla de misticismo y magia, pero, sustituyendo esferas, poliedros y música por ecuaciones diferenciales, auto valores y grupos de invariancia, ¿cuál es la diferencia con la actual Física Cuántica o Relativista? La necesidad de la "vía geométrica" para comprender la Naturaleza fue expuesta claramente por Galileo en "Il Sa Galileo en "Il Saggiatore" (1623): "El libro de la Naturaleza está escrito en lenguaje matemático, cuyos caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin los cuales no es posible entender una sola palabra y se anduviera siempre como en un oscuro laberinto". Con ello, después de 20 siglos, Galileo actualiza la advertencia de Platón al frente de su academia: "No entre aquí quien no sepa Geometría".

Euclides:

Euclides. Se le conoce como "El Padre de la Geometría".

Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (actualmente Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:

1. Euclides fue un personaje matemático histórico que escribió Los elementos y otras obras atribuidas a él.

2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.

3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.

Su obra Los elementos, es una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de "Los elementos" haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía los elementos ya que presenta un gran número de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

En los libros VII, VIII y IX de los Elementos se estudia la teoría de la divisibilidad.

La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías.

Arquímedes:

Arquímedes de Siracusa  fue un matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad clásica. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.

Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar al moderno cálculo integral. A través de la reducción al absurdo, era capaz de contestar problemas mediante aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método exhaustivo, y fue el sistema que utilizó para aproximar el valor del número π. Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno, Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre 310/71 (aproximadamente 3,1408) y 31/7 (aproximadamente 3,1429), lo cual es consistente con el valor real de π. También demostró que el área del círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo. En su obra Sobre la Esfera y el Cilindro, Arquímedes postula que cualquier magnitud, sumada a sí misma suficiente número de veces, puede exceder cualquier otra magnitud dada, postulado que es conocido como la propiedad arquimediana de los números reales.

En su obra sobre La cuadratura de la Parábola, Arquímedes probó que el área definida por una parábola y una línea recta equivalía exactamente a 4/3 el área del correspondiente triángulo inscrito, tal y como se puede observar en la figura de la derecha. Para obtener ese resultado, desarrolló una serie geométrica infinita con una razón común de 1/4:

El primer término de esta suma equivale al área del triángulo, el segundo sería la suma de las áreas de los dos triángulos inscritos en las dos áreas delimitadas por el triángulo y la parábola, y así sucesivamente. Esta prueba utiliza una variación de la serie infinita 1/4 +1/16 + 1/64 + 1/256 +..., cuya suma se demuestra que equivale a 1/3.

Rene descartes:

René Descartes (La Haye, Turena francesa, 31 de marzo de 1596 - Estocolmo, Suecia, 11 de febrero de 1650), también llamado Renatus Cartesius, fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los nombres más destacados de la revolución científica.

La contribución más notable que hizo Descartes a las matemáticas fue la sistematización de la geometría analítica. Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen, y contribuyó también a la elaboración de la teoría de las ecuaciones. Descartes fue el responsable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. También inventó el método de los exponentes (como en x2) para indicar las potencias de los números. Además, formuló la regla, conocida como la ley cartesiana de los signos, para descifrar el número de raíces negativas y positivas de cualquier ecuación algebraica. Descartes dijo en ubicar todos los elementos que existían. El primer elemento geométrico en el punto (.).

La Geometría, en este trabajo consigue establecer una sólida relación entre la geometría (prácticamente experimental entonces) y el álgebra, que caminaban por separado. Esto ha marcado el desarrollo de las Matemáticas hasta hoy, dando lugar al nacimiento de la geometría analítica. Un ejemplo de la trascendencia de sus trabajos es la introducción de dos diagramas "Cartesianos" con sus coordenadas también llamadas "Cartesianas" que reciben su nombre del propio Descartes.

William Rowan Hamilton

Sir William Rowan Hamilton (4 de agosto de 1805 – 2 de septiembre de 1865) fue un matemático, físico, y astrónomo irlandés, que hizo importantes contribuciones al desarrollo de la óptica, la dinámica, y el álgebra. Su descubrimiento del cuaternión junto con el trabajo de Hamilton en dinámica son sus trabajos más conocidos. Este último trabajo fue después decisivo en el desarrollo de la mecánica cuántica, donde un concepto fundamental llamado Hamiltoniano lleva su nombre.

En 1823 Hamilton ingresa en el Trinity College, donde obtuvo los máximos honores, tanto en lenguas clásicas, como en matemáticas. Mientras tanto, él continuó con sus investigaciones en óptica y en abril de 1927 presentó su Theory of Sistems of Rays a la Academia. Éste tratado transformaba la óptica geométrica en una ciencia dotada de métodos matemáticos estableciendo un método uniforme aplicable a la resolución de cualquier problema en este campo. Hamilton comenzó desde el principio que Pierre de Fermat había establecido en el siglo XVII, conocido como Principio de Fermat, que establece que la luz recorre el camino que requiera menor tiempo al propagarse de un punto a otro, tanto si el camino es recto o alterado por la refracción. La idea básica de Hamilton fue considerar que el tiempo (o una cantidad parecida denominada acción) como una función de los puntos finales entre los cuales la luz pasa y demostrando que esa cantidad varía cuando las coordenadas de los puntos finales varían, de acuerdo con una ley que él denominó ley de acción covariacional. Además, demostró que toda la teoría es reductible al estudio de esa función característica.Poco después de la presentación de su trabajo, y siendo todavía un estudiante sin graduar, el Trinity College le eligió para los puestos de Andrews professor of astronomy y para el de Astrónomo Real de Irlanda, sucediendo a Brinkley, a quien le habían hecho obispo. Siendo aún un estudiante sin graduar (no tenía ni 22 años) se convirtió en

examinador ex officio de los graduados que se presentaban al Bishop Law Prize de matemáticas.

En 1832 Hamilton publicó un artículo complementario a su teoría de rayos en el que predecía que, como resultado de su teoría, un fenómeno completamente inesperado debería ser encontrado en la refracción de la luz en los cristales biaxiales. Éste consistiría en un espectro de interferencia que daría como resultado dos grupos de anillos concéntricos. Se conocía tiempo atrás que ciertos cristales de este tipo, como el topacio, daban origen a dos rayos refractados por cada rayo incidente. La teoría de la doble refracción había sido estudiada antes por el físico Agustin Fresnel. Hamilton descubrió aplicando su método que, bajo ciertas condiciones, un rayo incidente podía dar origen a infinitos rayos refractados en un cristal biaxial, y que formarían un cono. La predicción hamiltoniana de la refracción cónica se guarda en los anales de la historia como uno de los mayores descubrimientos en óptica, y fue confirmada experimentalmente en apenas dos meses por un colega, Humphrey Lloyd.

Ese mismo año, Hamilton descubrió los cuaterniones; estos son conjuntos de cuatro números que, satisfaciendo ciertas reglas de igualdad, adición y multiplicación, son de gran utilidad en el estudio de cantidades en el espacio tridimensional que requieren conocer magnitud y dirección. Este descubrimiento marcó un hito en la historia, ya que liberaba al álgebra del postulado de conmutabilidad de la multiplicación (el orden de los factores no altera el resultado). Sus investigaciones en este campo habían comenzado 10 años antes con un innovador documento sobre parejas algebraicas de números, en el cual la entidad básica ya no era números simples, sino parejas ordenadas de números. Hamilton empleó esta idea para desarrollar una rigurosa teoría sobre los números complejos. Este trabajo fue considerado un intento pionero de dotar al álgebra de una base axiomática parecida a la de la geometría. La geometría de números complejos se basa en vectores bidimensionales sobre un plano. En su intento por llevar a cabo una generalización de su trabajo en el espacio tridimensional, los fracasos se sucedieron durante años al no poder resolver problemas fundamentales cuando intentaba aplicar "tripletes" análogos a las parejas en un espacio bidimensional. Repentinamente, el 16 de octubre de 1943, mientras caminaba hacia Dublín por el Royal Canal, la solución se le apareció repentinamente: las operaciones geométricas en el espacio tridimensional no requiere "tripletes", sino "cuadripletes". La razón es aparentemente sencilla, mientras que en un plano parejas algebraicas bastan, ya que son equivalentes a un multiplicador y un ángulo, en el espacio tridimensional la orientación del plano sobre sí mismo es variable, lo cual necesita dos números más para ser descrito. Hamilton estaba tan excitado por su descubrimiento que al pasar por el Brougham Bridge de camino, grabó las fórmulas fundamentales de los cuaterniones en la piedra: i2 = j2 = k2 = ijk = -1.

El descubrimiento de Hamilton fue una ruptura con la tradición, porque abandonaba la ley conmutativa propia de la multiplicación (ab = ba). Los siguientes 22 años los dedicaría al desarrollo del álgebra de cuaterniones y sus aplicaciones. Su trabajo fue publicado a título

póstumo en 1866 bajo el nombre de The Elements of Quaternions. Desafortunadamente, Hamilton creyó que los cuaterniones serían adaptados para la resolución de física aplicada, no obstante, fue la versión más simplificada de J. Willard Gibbs, conocida como análisis vectorial, la que fue eventualmente adoptada por los matemáticos y físicos. Sin embargo, el valor del descubrimiento de Hamilton descansa en las matemáticas puras, donde permitió el desarrollo del álgebra abstracta moderna.