hipótesis para dos muestras con frecuencia es necesario la comparación de dos estadísticos...

Hipótesis para dos MuestrasHipótesis para dos Muestras• Con frecuencia es necesario la

comparación de dos estadísticos (media, mediana, varianza, coeficiente de variación o índices de diversidad).

• La comparación se realiza para inferir si existen diferencias entre dos poblaciones muestreadas.

Estadística Biología Marina 2003

Distribución de StudentDistribución de Student

• Es una prueba estadística para evaluar si dos grupos difieren entre sí de manera significativa respecto a sus medias.

• Se simboliza por la letra “t”.


Es análoga a la distribución ZEs análoga a la distribución Z

• ES corresponde al error estándar de la muestra, el que puede ser definido por el error en el muestreo, o la desviación promedio de un estimado de los valores reales de la población.


Xi

ZES

Xit

ES

Xit

nES

2

nES

2

• Si el ajuste entre lo observado y lo esperado es pobre, entonces en base de la precisión de la medición, se espera rechazar Ho.


Largo de caninosF

recu

en

cia

RechazoH0

AceptoH0

ObservadoEsperado

20 30 40 50 600

10

20

30e

0

20

30e

xSX

t

xSX

t

X

X


3

“Dependiendo de lo que nosotros estemos interesados

en probar o inferir sobre la población, la prueba de

hipótesis va a ser una o dos colas.”

• Nos interesa determinar si existe o no diferencia entre dos medias:

Ho: Media A = Media B

Ha: Media A Media B


Hipótesis de dos colas (Hipótesis de dos colas (22).).

Áreas de aceptación y rechazo Áreas de aceptación y rechazo en t-test de dos colas.en t-test de dos colas.


Región de rechazo

0.025 0.025

Región de aceptación

0.95

-0.2 0.2

u

Región de rechazo

Ho: Media A = Media BHa: Media A Media B

• Se aplica cuando existe una presunción de que no solo existen diferencia entre las muestras.

• Inferimos si el tratamiento producirá una diferencia orientada en alguna dirección en particular.

• La región de rechazo corresponde a un lado de la distribución.


Hipótesis de una cola (Hipótesis de una cola (11).).

La media del grupo al que se aplicó La media del grupo al que se aplicó el tratamiento será más grande que el tratamiento será más grande que

la media del grupo control.la media del grupo control.

Ho: Media Control Media del tratamiento

Ha: Media Control < Media del tratamiento


Región de rechazo

0.05

-0.2 0.2

0.5000 0.4500

Valor crítico de t

La media del grupo al que se aplicó La media del grupo al que se aplicó el tratamiento será más pequeña el tratamiento será más pequeña que la media del grupo control.que la media del grupo control.

Ho: Media Control Media del tratamiento

Ha: Media Control > Media del tratamiento


0.05

-0.2 0.2

0.50000.4500

Valor crítico de t

Región de rechazo

EjemploEjemplo• Mediciones de la concentración de

monóxido de carbono en el aire mg/m3

realizadas dentro de un taller mecánico.

• La concentración máxima permitida es de 10.00 mg/m3.


10.25 10.37 10.66 10.47 10.56 10.22 10.44 10.38 10.48

10.63 10.40 10.39 10.26 10.32 10.35 10.54 10.33 10.68

¿Las mediciones se diferencian del valor permitido?

¿Cual sería la hipótesis?:


10.25 10.37 10.66 10.47 10.56 10.22 10.44 10.38 10.48

10.63 10.40 10.39 10.26 10.32 10.35 10.54 10.33 10.68

Ho: Media = 10.00 mg/m3

Ha: Media 10.00 mg/m3

T-test:

Calcular media, varianza, Error estándar.

xSX

t

xSX

t

nS

Sx2

nS

Sx2

ResultadosResultados

Media = 10.43 mg/m3

Varianza = 0.019 mg/m3

ER = 0.033 mg/m3


t = 10.43 – 10.00 = 13.43

0.033

•Grados de libertad = n-1

•El valor crítico se busca en la tabla B.3

t 0.05 (2), 17 = 2.110

ConclusiónConclusión

• Se rechaza la Ho.

• Existen diferencias significativas entre la concentración de dióxido de carbono máxima permitida y los valores estimados en el taller mecánico (t test P < 0.001)


¿La concentración de dióxido ¿La concentración de dióxido de carbono es más alta que los de carbono es más alta que los

valores permitidos?valores permitidos?• Hipótesis:


Ho: Media Control (10.00 mg/m3) Media del tratamientoHa: Media Control (10.00 mg/m3) < Media del tratamiento

t = 13.43

t 0.05 (1), 17 = 1.753

¿Conclusión?¿Conclusión?

“Las concentraciones de dióxido de carbono estimadas en el taller mecánico, son significativamente mayores a la concentración de

dióxido de carbono máxima permitida (t test P < 0.001)”


Tener en cuenta:

• Los valores tabulados de los test de una cola son menores que los de dos colas.

• Las hipótesis estadísticas (una o dos colas) deben ser declaradas antes de examinar los datos y deben reflejar la pregunta de interés sobre la población.


Ejemplo 1:

• Una máquina producía tapas de 0.05 pulgadas de espesor. Para determinar si sigue en buen estado, se toma una muestra de 10 tapas, que dan un espesor medio de 0.053 ± 0.003 in. ¿La maquina sigue produciendo tapas de 0.05 in?


• Una prueba de 6 linternas de cultivo de ostión dio una tensión media de ruptura de 7150 ± 145 lb. El fabricante las promocionaba con una resistencia de 8000 lb. En base a estos datos: ¿Las linternas resistirán menos que lo anunciado por el fabricante?


Ejemplo 2:

Comparación de medias de Comparación de medias de dos muestras.dos muestras.


• Apropiado cuando existen dos grupos para comparar (e.g. control y tratamiento).

• En principio, podemos comparar cualquier estadístico de una muestra, e.g. medias, medianas, varianzas, etc.

• Apropiado cuando existen dos grupos para comparar (e.g. control y tratamiento).

• En principio, podemos comparar cualquier estadístico de una muestra, e.g. medias, medianas, varianzas, etc.

ControlF

recu

en

cia

X C X T

s2C

s2T

Tratamiento

Por Ejemplo:Por Ejemplo:


• Dos muestras (1, 2) con valores medios que difieren en cierta cantidad .

• ¿Cual es la probabilidad p de observar esta diferencia bajo la hipótesis H0 que las dos medias son de echo iguales?

• Dos muestras (1, 2) con valores medios que difieren en cierta cantidad .

• ¿Cual es la probabilidad p de observar esta diferencia bajo la hipótesis H0 que las dos medias son de echo iguales?

Fre

cue

nci

a

X1 X2

| |X X1 2

Muestra 2Muestra 1

Dependiendo de las características Dependiendo de las características de nuestras muestras, existen dos de nuestras muestras, existen dos

opciones de comparaciónopciones de comparación

• t-test para muestras independientes.

• t-test para muestras agrupadas (pareadas).


t-test para muestras independientes.t-test para muestras independientes.


• En el test de muestras independientes, no existe una correlación experimental o “asociación” entre las observaciones (muestras) de los dos grupos.

• E.g. Peso a los 6 meses de una muestra aleatoria de diferentes cerdos aliementados con dos dietas distintas.

• En el test de muestras independientes, no existe una correlación experimental o “asociación” entre las observaciones (muestras) de los dos grupos.

• E.g. Peso a los 6 meses de una muestra aleatoria de diferentes cerdos aliementados con dos dietas distintas.

1 2

Dieta

t-test para muestras agrupadas.t-test para muestras agrupadas.


1 2

• En los test de muestras pareadas, las observaciones (muestras) en un grupo se encuentran relacionadas con las observaciones en el otro grupo.

• E.g. Peso a los 6 meses de 2 cerdos, ambos de la misma madre, alimentados con diferentes dietas.

• En los test de muestras pareadas, las observaciones (muestras) en un grupo se encuentran relacionadas con las observaciones en el otro grupo.

• E.g. Peso a los 6 meses de 2 cerdos, ambos de la misma madre, alimentados con diferentes dietas.

Dieta

Progenitora

• Tiempo de coagulación sanguínea, de un grupo de 13 personas, probando las drogas (B Y G):


t-test para muestras independientes.t-test para muestras independientes.EJEMPLO:EJEMPLO:

Droga B Droga G

8.8 9.9

8.4 9.0

7.9 11.1

8.7 9.6

9.1 8.7

9.6 10.4

9.5

n1 = 6 n2 = 7

Gl1 =5 Gl2 = 6

Media 1 = 8.75 minMedia 2 = 9.74 min

SS1 = 1.6950 min2

SS2 = 4.0171 min2

• La interrogante en el experimento era si la sangre de las personas tratadas con la droga B presentaba el mismo tiempo medio de coagulación que las personas tratadas con la droga G.

• ¿HIPÓTESIS?

• Ho: Media Droga B = Media Droga G

• Ha: Media Droga B Media Droga G


Cálculo:Cálculo:

• El cálculo es análogo a la formula de Student ya conocida.

• De esta manera el estadístico t-Student para dos muestras es:

• Con Gl = (n1 + n2) – k


xSX

t

xSX

t

21

21

XXs

XXt

21

21

XXs

XXt

El error estándar es:El error estándar es:


21

21

XXs

XXt

• Si n1 y n2 son iguales

2

2

1

2

21 n

S

n

Ss pp

XX 2

2

1

2

21 n

S

n

Ss pp

XX

n

Ss p

XX

2221 n

Ss p

XX

2221

2212

nnSSSS

S p 2212

nnSSSS

S p

De vuelta con el ejemplo: De vuelta con el ejemplo:


Droga B Droga G

8.8 9.9

8.4 9.0

7.9 11.1

8.7 9.6

9.1 8.7

9.6 10.4

9.5

n1 = 6 n2 = 7

Gl1 =5 Gl2 = 6


SS1 = 1.6950 min2

SS2 = 4.0171 min2

• t0.05(2), 11 = 2.201

• ¿CONCLUSIÓN?

22 min5193.011

7121.5

65

0171.46950.1

pS

min40.00742.00866.07

5193.0

6

5193.021

XXS

475.240.0

74.975.8

t

Rechazamos Ho:Rechazamos Ho:

• El tiempo de coagulación de la sangre es diferente entre los grupos de

personas tratadas con diferentes tipos de drogas (t-test 0.02 < P <0.05).


Requisitos para aplicar el t-test:Requisitos para aplicar el t-test:

• Ambas muestras son obtenidas al azar.

• Las muestras son independientes unas de otras.

• La variable debe ser continua.

• Las variables deber tener distribución normal.

• Las varianzas deben ser homocedásticas.


Homocedásticidad de varianzas:Homocedásticidad de varianzas:

• TEST DE FISHER (F)• Trabaja verificando si las varianzas de los

grupos que estamos comparando son significativamente iguales o distintas.

• Las hipótesis son:– Ho: Existe homocedásticidad de varianzas

entre el grupo 1 y el grupo 2.– Ha: No Existe homocedásticidad de varianzas

entre el grupo 1 y el grupo 2.


Cálculo de Fisher (F):Cálculo de Fisher (F):

• Siempre se debe tener presente que la varianza mayor debe ir en el numerador, y la menor en el denominador.

• Los grados de libertad son: Gl= n1, n2• El valor critico se busca en la tabla Fisher como :

F0.05 (2) n1,n2


22

21

S

SF 2

2

21

S

SF

21

22

S

SF 2

1

22

S

SF

Test de Fisher con los datos del Test de Fisher con los datos del ejemplo:ejemplo:

• S21= 0.3390 y S2

2= 0.6695

• F = 0.6695/0.339 = 1.9749

• F 0.05 (2) 7,6 = 5.70

¿CONCLUSIÓN?


Droga B Droga G

8.8 9.9

8.4 9.0

7.9 11.1

8.7 9.6

9.1 8.7

9.6 10.4

9.5

n1 = 6 n2 = 7

Gl1 =5 Gl2 = 6


SS1 = 1.6950 min2

SS2 = 4.0171 min2

Para tener presente:Para tener presente:

• El test de Fisher es un prerrequisito del test de Student entonces:

• Primero debemos determinar si las varianzas son homocedásticas para luego realizar el t-test.


Otros datos…Otros datos…

• La capacidad del t-test se relaciona directamente con el cumplimiento de sus requisitos.

• Si éstos no se cumplen existen otras alternativas (no paramétricas).

• En general, si se aumenta el tamaño de las muestras el test tiende a ser más robusto.


• Si tenemos dos medias con distribución normal, pero con varianzas heterocedásticas.

• Es posible realizar un t-test, con la aproximación de Welsh.


El Calculo es:El Calculo es:

• Si no es un entero se aproxima al entro próximo más pequeño.

• De esta forma se paga por heterocedasticidad con una disminución en .


2

22

1

21

n

S

n

S

XXt

ba

2

22

1

21

n

S

n

S

XXt

ba

11 2

222

1

221

2

2

22

1

21

n

S

n

S

n

S

n

S

11 2

222

1

221

2

2

22

1

21

n

S

n

S

n

S

n

S

Ejemplo:Ejemplo:

• Un jardinero, desea utilizar un nuevo tipo de fertilizante aparecido en el mercado que promociona un mejer crecimiento que el fertilizante que ha utilizado siempre.

• El jardinero era un genio en estadística y diseño un experimento para probar si el nuevo fertilizante produce plantas más grandes que el antiguo.


Los datos son:Los datos son:

• Crecimiento de plantas (cm) después de dos meses de plantadas:


Fertilizante viejo Fertilizante nuevo

48.2 52.3

54.6 57.4

58.3 55.6

47.8 53.2

51.4 61.3

52.0 58.0

55.2 59.8

49.1 54.8

49.9

52.6

Plantear hipótesis.Plantear hipótesis.

Realizar el test.Realizar el test.

Conclusión.Conclusión.




Independencia de las observacionesIndependencia de las observaciones


• La ausencia de independencia usualmente ocurre porque las observaciones están correlacionadas en el tiempo o espacio.

• E.g. Mediciones de concentración de arsénico río arriba y río abajo desde el punto donde se piensa que es la fuente.

• La ausencia de independencia usualmente ocurre porque las observaciones están correlacionadas en el tiempo o espacio.

• E.g. Mediciones de concentración de arsénico río arriba y río abajo desde el punto donde se piensa que es la fuente.

Río arribaRío abajo

Test student para muestras Test student para muestras agrupadas. agrupadas.

• En este tipo de test, las muestras del grupo 1 se encuentran relacionadas con las del grupo 2.

• Es decir se encuentran “Pareados”.

• Aquí,no se analizan los datos originales, sino que se trabaja con las diferencias entre los miembros de cada par.


t-Test para muestras agrupadast-Test para muestras agrupadas


• Es utilizado cuando un mismo objeto es medido bajo diferentes tratamientos (e.g. cambio en el peso de una rata antes y después del tratamiento con una droga)…

• … o cuando existe una correlación entre las observaciones de las dos muestras.

• Use paired t-statistic.

• Es utilizado cuando un mismo objeto es medido bajo diferentes tratamientos (e.g. cambio en el peso de una rata antes y después del tratamiento con una droga)…

• … o cuando existe una correlación entre las observaciones de las dos muestras.

• Use paired t-statistic.

Individo Antes Después Cambio W

1 12 18 +6

2 9 12 +3

3 11 13 +2

4 16 22 +6

Promedio 12 16.25 4.25

0W


3

t-test para muestras agrupadas- t-test para muestras agrupadas- versus muestras independientes.versus muestras independientes.t-test para muestras agrupadas- t-test para muestras agrupadas-

versus muestras independientes.versus muestras independientes.• Cuando existe una correlación,

el t-test agrupado es mucho mas poderoso porque la desviación estándar de las diferencias promedios es usualmente mucho menor que el error estándar de las diferencias entre las dos medias.

• Si no existe una correlación, el test pareado es más débil porque N es el número de parejas, no el número de observaciones.

• Cuando existe una correlación, el t-test agrupado es mucho mas poderoso porque la desviación estándar de las diferencias promedios es usualmente mucho menor que el error estándar de las diferencias entre las dos medias.

• Si no existe una correlación, el test pareado es más débil porque N es el número de parejas, no el número de observaciones.

Individuo Antes Después Cámbio W

1 12 18 +6

2 9 12 +3

3 11 13 +2

4 16 22 +6

Promedio 12 16.25 4.25

s2a = 8.67, s2

d= 21.58, s2W = 2.81

Queremos verificar la hipótesis nula de que el largo de Queremos verificar la hipótesis nula de que el largo de la pata delantera y la pata trasera de los Pudú del la pata delantera y la pata trasera de los Pudú del zoológico, es el mismo. De esta manera los datos son zoológico, es el mismo. De esta manera los datos son tabulados en parestabulados en pares


CiervoPata

Delantera(X1)

Pata Trasera

(X2)

Diferencia(d = X1 –

X2)

1 142 138 4

2 140 136 4

3 144 147 -3

4 144 139 5

5 142 143 -1

6 146 141 5

7 149 143 6

8 150 145 5

9 142 136 6

10 148 146 2

Cálculo del test:Cálculo del test:• Las hipótesis estadísticas son:

• Ho: μ1 – μ2 = 0 o Ho: μd = 0• Ha: μ1 – μ2 0 o Ha: μd 0

• Las formulas del test son:

donde Sd (error estándar) es:

• Los grados de libertad son: Gl= n-1


ds

dt

ds

dt

n

n

ddi

S d1

)( 2

n

n

ddi

S d1

)( 2

A que se A que se parece esto?parece esto?

A que se A que se parece esto?parece esto?

Para el ejemplo:Para el ejemplo:


CiervoPata

Delantera(X1)

Pata Trasera

(X2)

Diferencia(d = X1 –

X2)

1 142 138 4

2 140 136 4

3 144 147 -3

4 144 139 5

5 142 143 -1

6 146 141 5

7 149 143 6

8 150 145 5

9 142 136 6

10 148 146 2

n = 10

Gl = 10-1 = 9

d media= 3.3 cm

S2d = 9.34 cm2

cmS d 97.010

3444.9 cmS d 97.0

10

3444.9 402.3

97.0

3.3

cmt 402.3

97.0

3.3

cmt tt0.05(2),90.05(2),9= 2.262= 2.262 tt0.05(2),90.05(2),9= 2.262= 2.262

¿CONCLUSIÓN?¿CONCLUSIÓN?

Se rechaza Ho.Se rechaza Ho.

Se determinó que el largo de las Se determinó que el largo de las patas delanteras difiere patas delanteras difiere

significativamente con el largo significativamente con el largo de las patas traseras de los Pudú de las patas traseras de los Pudú

del zoológico metropolitano (t-del zoológico metropolitano (t-test 0.005 < P < 0.01).test 0.005 < P < 0.01).


Para tener en cuenta:Para tener en cuenta:

• El t-test de pares agrupados no asume normalidad de los datos.

• Tampoco asume homocedásticidad de las varianzas.

• Pero si asume que las diferencias de los pares si se distribuyen de forma normal.


Un poco mas del t-test.Un poco mas del t-test.

• Solo se han analizado casos desde comparamos dos grupos.

• ¿Porque no comparar mas de dos grupos?


Riesgo de cometer un error de Riesgo de cometer un error de tipo Itipo I

Corrección de Bonferroni:– Se aplica para realizar este tipo

de comparaciones múltiples.– Produce un cambio en el valor

de (0.05).– Para corregir se divide el valor

de por el número (P) de comparaciones.

– De esta manera ´= / P.


Número de Comparacione

s

% Riesgo de cometer error

Tipo I

2 5

3 12

4 20

6 37

8 51

10 63

Para 5 comparaciones:Para 5 comparaciones:

´=0.05/5 = 0.01´=0.05/5 = 0.01

Ejemplo:Ejemplo:Se esta probando la efectividad de una droga que permite bajar de Se esta probando la efectividad de una droga que permite bajar de peso. El medicamento se le administró a 9 voluntarios a los que se les peso. El medicamento se le administró a 9 voluntarios a los que se les midió la cantidad de grasa corporal (kg) antes y después de dos midió la cantidad de grasa corporal (kg) antes y después de dos semanas de iniciado el tratamiento.semanas de iniciado el tratamiento.








Antes Después

1 22.50 19.20

2 24.10 20.20

3 22.60 20.60

4 22.00 19.60

5 23.60 19.60

6 23.20 21.40

7 22.40 19.80

8 23.00 19.40

9 20.90 17.90

hipótesis para dos muestras con frecuencia es necesario la comparación de dos estadísticos...

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