hipÓtesis 4

> Pág. 20. Caos de la exponencial en el plano complejo

Apuntes científicos uniandinos

ISSN 1692-729X >>>>> N o . 0 4 > D I C I E M B R E D E 2 0 0 4 > U N I V E R S I D A D D E L O S A N D E S > F A C U LT A D D E C I E N C I A S

> Pág. 12. Corrosión > Pág. 20. Caos de la exponencial en elplano complejo > Pág. 34. Detección de patógenos enalimentos > Pág. 42. Biorremediación de residuos del petróleo

Facultad de Ciencias

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> Pág. 03. Editorial> Pág. 04. Cartas del lector> Pág. 06. Bio-notas> Pág. 08. Astro-notas> Pág. 10. Problemas y rompecabezas

> Pág. 12. CorrosiónLa corrosión es un fenómeno espontáneoque se presenta prácticamente en todos losmateriales procesados por el hombre.María Teresa Cortés M. y Pablo Ortiz H.

> Pág. 20. Caos de la exponencialen el plano complejoEs asombroso que una función con unaapariencia tan sencilla pueda guardar tantacomplejidad.Enrique Acosta Jaramillo.

> Pág. 34. Detección de patógenosen alimentosConsumimos alimentos que pueden causarenfermedades si no han sido elaborados bajonormas de higiene adecuadas.Consuelo Vanegas y Johanna Rojas.

> Pág. 42. Biorremediación deresiduos del petróleoLa biorremediación es el proceso utilizadopor el hombre para detoxificar variadoscontaminantes en los diferentes ambientes.Paola Andrea Vargas, René Ricardo Cuéllar

y Jenny Dussán.

> Pág. 50. Facultad de Ciencias> Pág. 52. Graduandos de maestría y doctorado

http://www.geocities.com/wallpapercollection/corrosion.jpg

Detección de patótenos, Laboratorio LEMA

2 HIPÓTESIS / APUNTES CIENTÍFICOS UNIANDINOS No. 4 / Dic. 2004

> hipótesisapuntes científicos uniandinos

No. 4, diciembre de 20043.000 ejemplares

ISSN 1692-792X© 2004

Prohibida la reproducción totalo parcial de esta obra

sin la autorización escrita de los editores

Director:Hernando Echeverri Dávila

Profesor asociado,Departamento de Matemáticas

Comité Editorial:José M. Rolando Roldán

Decano, Facultad de CienciasProfesor titular, Departamento de Física

Leonardo VenegasProfesor asistente,

Departamento de MatemáticasLuis Quiroga Puello

Profesor titular,Departamento de Física

Santiago MadriñánProfesor asociado,

Departamento de Ciencias BiológicasJ. Efraín Ruiz S.

Profesor asistente,Departamento de Química

Diseño gráfico y desarrollo editorial:Alfonso Castañeda Feletti y Gabriela Rocca Barrenechea

tels.: (57.1) 481 1847 / 232 [email protected]

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Detalle del espacio de parámetros de la dinámicade la familia de funciones . Los colores indicanla velocidad de escape al infinito del origen, incre-mentando de naranja a violeta.

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> Editorial

Venus. © Calvin J. Hamilton. http://www.solarviews.com

pos orgánicos por microorganismos y algunos de ellospueden continuar la desintegración hasta la obtención desustancias de fácil absorción por el medio ambiente. Alproceso, que integra diversas técnicas, se le ha dado elnombre sugestivo de landfarming, porque es un cultivode bacterias y afines que se asemeja al plantío de unagranja ecológica.

En cambio, “Detección de patógenos en alimentos” estu-dia bacterias dañinas, que pueden causarnos malestares,y hasta la muerte, por las toxinas que producen al des-componer la comida que ingerimos. Se trata de detectar-las, tan rápido como sea posible, antes de que lleguen anuestra mesa, pero esto se dificulta debido a las ínfimascantidades en que aparecen naturalmente. Los microbió-logos, con sus métodos novedosos, en lugar de esperara que las bacterias se reproduzcan, a su ritmo, en un cul-tivo, para poderlas detectar, producen millones de copiasde segmentos de su ADN, utilizando la facultad natural deéste para autocopiarse bajo la acción de la enzima poli-merasa. Para ahorrar más tiempo aún, durante el proce-so marcan el ADN con una sustancia fluorescente y loanalizan como si fuera la huella digital de la bacteria. Todoel proceso es lo suficientemente corto como para quepueda integrarse a la línea de producción de los alimen-tos; de ahí el término en tiempo real.

“Caos de la exponencial en el plano complejo” examina ladinámica de la familia de funciones . El “caos”, segúnla definición matemática que se aplica en este artículo, nosignifica desorden, y su aleatoriedad es sólo aparente. Setrata de procesos deterministas que arrojan resultadosmuy distintos para condiciones iniciales tan cercanascomo se quiera, y que, en este caso, generan imágenesde una belleza indiscutible llamadas “fractales”. La ma-nera como un código, que sólo utiliza una constante, e,un parámetro, , y una variable, Z, pueda encriptar tantodetalle en la inmensidad del continuo, no deja de asom-brar a los científicos que piensan que su estudio puedaayudar a explicar la forma en que la naturaleza encripta elcódigo genético y el de los procesos mentales.

Por último quiero hacer notar que hemos agregado unanueva columna, “Astro-notas”, con el fin de renovar elinterés por los cielos, recordando que fue el estudio delas estrellas el que inició la gran aventura de la Ciencia,hace más de cuatro mil años.

En este número de Hipótesis presentamos, por una par-te, tres proyectos muy prácticos de la Facultad de Cien-cias de la Universidad de los Andes, cuyos resultados seestán utilizando para prevenir o contrarrestar calamida-des. El cuarto artículo, es mucho más abstracto y su apli-cación, hasta ahora, ha sido en simuladores y juegos decomputador, pero se espera que de su estudio se desa-rrollen métodos más eficientes para almacenar y trans-mitir imágenes, entre otras cosas.

El artículo “Corrosión” nos explica la lucha eterna delhombre contra la oxidación, ese fin ineludible que tiene lofabricado o refinado en nuestra civilización. Resulta de-solador el hecho de que no exista lo realmente inoxida-ble, pero es interesante aprender de todos los métodosque hay para retardar el deterioro final de los metales,causante de muchas adversidades. Las estrategias vandesde los simples recubrimientos, cada vez más sofisti-cados, hasta el uso de corrientes eléctricas para frenar lapérdida de electrones, hecho esencial en el proceso deoxidación.

En “Biorremediación de residuos del petróleo” los micro-organismos vienen al rescate de la polución causada porderrames de hidrocarburos. Los distintos componentesdel petróleo son producto de la descomposición de cuer-


Soy docente de Ciencias Naturalesen el Colegio José Max León. Conocíla revista Hipótesis y me llamómucho la atención. Me gustaríasaber cómo, dónde se consigue, sucosto y cada cuanto sale.Martha Cecilia GonzálezDocente de Ciencias Naturales,Colegio José Max León.

R: La revista sale dos veces al año yes gratuita. Además, tenemos unaversión electrónica en http://ciencias.uniandes.edu.co/hipotesis.Informes: 332 4533 ó[email protected].

Me gustó la presentación. El artículoque más me gustó fue el del CarbónActivado. Felicitaciones por laRevista y la concepción.H. OrozcoUniversidad Nacional de Colombia,Facultad de Medicina.

Me dirijo a ustedes para felicitarlospor su valiosa publicación, la cualnos llegó a la Biblioteca porintermedio de los señoresacadémicos y quiero solicitar si esposible, el envío de los dosprimeros números para asícompletar la serie y solicitar demanera especial, nos incluyan parafuturos envíos.Ruth Aleida Vega MontesBibliotecóloga, Academia Nacionalde Medicina de Colombia.

Quería de nuevo agradecer su visitaal Museo. Estaba pendiente decomentarle que me agradó muchola revista. Disfruté los artículos deBio-Notas, el de las proteínasextremas, el de la Khemeia yalquimia y por supuesto el deParásito y evolución. Este último mesembró nuevas inquietudes, que nodejaré pasar por alto. El deMecánica estadística y el de Laconstante universal Pi, me tocaleerlos de nuevo y finalmenteextraer el mensaje. Me parece algode resaltar que los estudiantesparticipen y se expresen en unlenguaje tan cómodo y tan cercanoa la gente. Lo felicito y espero podercontar con los siguientes números.Esperanza Padilla MurciaCoordinadora General de Educacióny Ciencia, Museo de los Niños.

Agradecemos profundamente elenvío de los ejemplares de la terceraedición de la importante revistaHipótesis, que será de gran apoyono sólo para los que trabajamos enMaloka, sino para todas laspersonas involucradas en nuestrosprocesos.Aprovecho la oportunidad parafelicitarlos por tan importantetrabajo, que sin duda es un aportemuy valioso para lograr la calidadde vida en que todos estamoscomprometidos.Nohora Elizabeth Hoyos TrujilloDirectora MALOKA

Este mensaje es para felicitarlos porla revista. La verdad creo que tienenun excelente producto. ¿Esta revistaes gratis o por suscripción? ¿Hanpensado enviársela a susegresados? Saludos.Catalina Rizo C.Directora Dirección de Desarrollo,Universidad de los Andes.

Le estoy altamente reconocido portenerme en cuenta, en realidad atodo el Departamento de Química dela Javeriana, como recipientes de lamuy interesante revista Hipótesis dela Facultad de Ciencias.Jaime Bernal CastilloDirector Departamento de Química,Pontificia Universidad Javeriana,Bogotá.

> Cartas del lector [email protected]

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Nos es grato acusar recibo y agradecer el envío anuestra biblioteca de la revista Hipótesis: ApuntesCientíficos Uniandinos, número 3. Lesmanifestamos nuestro interés de continuarrecibiendo esta publicación, ya que su contenidoes de gran interés para nuestros usuarios. Si esposible les solicitamos el envío de los números 1 y2 para completar la colección.Gloria Marina Rojas de HernándezDirectora de Biblioteca, Pontificia UniversidadJaveriana, Cali.

El pasado sábado hubo una reunión en Monteríade los decanos de Facultades de CienciasNacionales. El doctor Roldán me regaló una revistaHipótesis porque soy egresada de los Andes, enella encuentro uno de los trabajos de investigacióncomo tesis de Maestría dirigido por la doctoraJenny Dussán. Este tema está relacionado con unainvestigación que en este momento estoy llevandoa cabo, si ustedes me pueden enviar el correo de ladoctora Dussán les agradecería muchísimo.Paula Andrea Espinal M., M.Sc.Docente-Investigador,Corporación Universitaria del Sinú.

Recibí las revistas. Muy interesantes y de hechoestoy trabajando las lecturas con mis estudiantes.Mil gracias y espero tener la fortuna de seguirlasrecibiendo.Martha Cecilia GonzálezDocente de Ciencias Naturales,Colegio José Max León.

El área de ciencias agradece el envío de la revista,la cual nos ha parecido de gran interés en temasde nuestro estudio, es un buen instrumento deconsulta ya que sus temas son profundos,actuales y científicos. La estamos utilizando dentrodel área en una forma eficaz para discutir temasque nos ayudan a ampliar nuestros conocimientospara así comentar estos temas con nuestrasalumnas. Esperamos que nos mantenganinformados con esta revista en forma permanente.María Consuelo MendozaColegio Santa Clara.


> Bio-notas

Dionaea muscipula es la planta carnívora más famosa.Como la mayoría de éstas, no necesita ser carnívora paraadquirir energía; con sus presas adquiere nutrientes esen-ciales –especialmente nitrógeno y fósforo– que son muyescasos donde crece. Comúnmente llamada “atrapamos-cas de Venus”, vive en ambientes arenosos en Carolinadel Norte y del Sur, Estados Unidos. Su ecosistema secaracteriza por la alta frecuencia de incendios que volatili-zan el nitrógeno del suelo. La planta resuelve esta limita-ción nutricional atrapando insectos. Cuando la frecuenciade incendios es baja, otras plantas compiten con ella res-tringiendo el acceso a la luz y evitando la entrada de insec-tos a las trampas.

Las atrapamoscas son un ejemplo de plantas predado-ras móviles. Poseen hojas modificadas en forma de pin-zas que funcionan como trampas. La superficie adaxialposee glándulas nectaríferas que producen un líquido de

olor y sabor dulce que funciona como carnada. Las pre-sas se ven atraídas por el líquido alimenticio y, al cami-nar, hacen contacto con pelos en la hoja que funcionancomo gatillos para encerrar las presas entre dientes quese entrecruzan en la margen de la hoja.

Las secreciones provenientes de insectos, tales como elácido úrico, representan un nuevo estímulo que lleva acerrar la trampa herméticamente. Una vez cerrada, unasglándulas en el interior de la hoja liberan fluidos que di-suelven las partes blandas de los insectos, matan bacte-rias y hongos y digieren el insecto con enzimas paraextraer sus nutrientes esenciales. Los nutrientes son ab-sorbidos por la hoja, y la trampa vuelve a abrirse despuésde doce días de la captura, liberando el exoesqueleto. Lue-go de tres o cinco comidas la planta no captura más pre-sas y se dedica a las actividades fotosintéticas. Conestímulos artificiales la trampa se vuelve a abrir en unlapso de un día, aproximadamente, y luego de diez reac-ciones infructuosas, deja de responder.

http://www.airlieeducation.org/carnivorous_plant_garden/venus_flytrap_1280.jpg

> Plantas predadorasAlfredo Navas C.Estudiante de maestría en Biología

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> Especies amenazadas del páramoOscar Vargas: estudiante de Biología

El género Diplostephium, pertenecien-te a la familia Asteraceae, está com-puesto por aproximadamente noventaespecies que se distribuyen por zo-nas altoandinas –páramos, límite delbosque andino, y puna– desde Vene-zuela hasta Chile, con excepción deuna especie en Costa Rica. Este gé-nero se encuentra altamente diversi-ficado en Colombia donde se halla elmayor número de especies –aproxi-madamente sesenta–. La especieDiplostephium colombianum es en-démica de los páramos de Boyacá.Sólo se encuentra en el Páramo de laRusia, y en la Sierra Nevada delCocuy, formando cojines sobre le-chos rocosos entre los 3.500 y 4.500metros sobre el nivel del mar. Es laúnica especie del género que poseeeste tipo de crecimiento, caracteri-zándose también por tener hojas bas-tante revolutas y rígidas que rematanen un ápice puntiagudo capaz de pu-yar debido a su dureza. ActualmenteDiplostephium colombianum y otrastreinta y seis especies del género seencuentran dentro de la lista de es-pecies amenazadas elaborada por elInstituto Humboldt: más de la mitadde las especies que se cree existenen Colombia.

> Particularidades de la capa de ozonoAdriana Sánchez A.Estudiante de maestría de Biología

Desde hace algunos años se comen-ta acerca de la disminución de la capade ozono, importante para la vida enla Tierra porque absorbe radiación ul-travioleta nociva. El ozono, O3, es unaforma de oxígeno que existe en ba-jas concentraciones en la estratosfe-

ra, formándose y descomponiéndo-se constantemente, en un equilibriodinámico. En el último siglo, la ma-nipulación de algunas sustancias haalterado dicho equilibrio, disminu-yendo la cantidad de este gas en laestratosfera. Sabemos que existe unagujero que cada día crece más y seencuentra relacionado con las activi-dades del hombre, pero pocas vecesnos preguntamos por qué el agujerose encuentra en la Antártica y no enotra parte del mundo.

La pérdida de ozono es más severabajo ciertas condiciones de la estra-tosfera. El frío extremo, la oscuridady el aislamiento, seguidos por unagran exposición a la luz, son condi-ciones que sólo ocurren en las zonaspolares. En el invierno polar –que con-siste en seis meses de oscuridad–, lastemperaturas pueden descender has-ta los -80°C aproximadamente. Estatemperatura es propicia para formarun tipo de nubes llamado “estratos-férica polar”, donde suceden las re-acciones químicas de descomposicióndel ozono. La primavera representa

el fin del período de oscuridad y, sien-do la luminosidad la última condiciónrequerida en la cadena de reaccionesde degradación, se desencadena unapérdida masiva de ozono. A medidaque el calor aumenta, las nubes pola-res desaparecen y la destrucción cesa.En ese momento ocurre una nueva for-mación de ozono, que recupera sólouna parte de aquel que se perdió.

Aunque existe pérdida de ozono enlos dos polos, en el Ártico es menorque en la Antártica, debido a la pre-sencia de vientos muy fuertes en elinvierno antártico, que aíslan su at-mósfera del resto del planeta. Comoresultado, las temperaturas de la es-tratosfera disminuyen en mayor me-dida, y promueven la formación demás nubes polares. En septiembre,la tasa de pérdida de ozono aumentaa medida que el Sol aparece, y en no-viembre, el viento cálido del resto delplaneta entra en la Antártica y difun-de el aire pobre en ozono, reducien-do la concentración promedio de estegas en el hemisferio Sur.

Foto: Adriana Sánchez

Cantidad de ozono, en septiembre del 2001 medido en unidades Dobson. Se observa una franjaazul oscura en gran parte de la Antártica, lo que corresponde a una menor cantidad de ozono.

Tomada de:http://earthobservatory.nasa.gov


Benjamín Oostra, Profesor asistente delDepartamento de Física

Otra vez entramos en el semestre deOrión. Desde enero hasta mayo serávisible, al anochecer, la hermosa cons-telación de Orión, y las Pléyades, yAldebarán, Cástor y Pólux, Sirio –laestrella más brillante–, Canopus –la se-gunda estrella en brillo, un buen tre-cho al sur de Sirio–, y otra infinidad deastros. Si en Semana Santa salimos deBogotá –al campo– tal vez tengamosoportunidad de ver la Vía Láctea.

También, después de un semestre sinplanetas, volvemos a disfrutar del es-pectáculo de estos luceros errantes. Yaen enero se puede ver a Saturno aloriente, en la constelación de los Ge-melos –estoy asumiendo que observa-mos siempre a las siete de la noche–.Mes a mes lo veremos más arriba, noporque se cambie de constelación, sinoporque todas las constelaciones semueven lentamente hacia el occidente.

Es cierto que debido a la rotación de laTierra cualquier estrella se mueve deoriente a occidente en cuestión de ho-ras. Pero si observamos todos los díasa la misma hora, veremos semana trassemana un lento progreso de las cons-telaciones: cada día avanzan un gradohacia el occidente. Esto se debe a latraslación de la Tierra, movimiento quese completa en un año. Por eso cadaconstelación tiene su época, de aproxi-madamente medio año, en que es po-sible verla a las siete de la noche.

Mercurio es un planeta esquivo. Pue-de ser que logremos verlo en el occi-dente durante la primera quincena demarzo –el 11 de marzo estará junto ala Luna–, pero se separará muy pocodel Sol, así que necesitaremos una tar-de bien despejada, y buscarlo apenascomience a oscurecer.

> Cielo vespertino

> Astro-notasPara diciembre 2004hasta junio 2005

Júpiter. Crédito: NASA / JPLwww.universetoday.com

A fines de marzo, cuando Saturno seencuentra ya bien arriba en el cielo,comienza a aparecer Júpiter en eloriente, en la constelación de Virgo.Con un telescopio modesto se puedever el anillo de Saturno y cuatro de laslunas de Júpiter –las “Estrellas Médi-cas”– descubiertas por Galileo, quecada día cambian su posición relativaal planeta. Semana tras semana, am-bos luceros siguen su majestuosamarcha hacia el poniente.

A mediados de junio, cuando Saturnose aproxima a las inmediaciones delSol, salen a su encuentro dos fielescompañeros del Sol: Venus y Mercu-rio, que nunca se separan mucho delAstro Rey. Especialmente el 25 de ju-nio cuando se encuentran muy cerca-nos los tres planetas; cabrán dentro deun “círculo” –más exactamente uncono– de menos de un grado de radio.

Hará casi un año que no hayamos vis-to a Venus como Lucero Vespertino.Muy lentamente se va separando delSol; si miramos a las siete de la no-che, lo veremos cada día un poquitomás arriba. Justo antes de cruzarsecon Saturno, aparece también Mercu-rio, que sube mucho más rápido queVenus, y lo alcanza, como dándole unempujón hacia arriba, para luego fre-nar, detenerse el 7 de julio, y comienzaa bajar hacia el Sol. Mientras tanto yahemos perdido de vista a Saturno, entanto que Venus sigue subiendo, cadadía un poquito más, hasta detenerse –ennoviembre– a unos 45 grados del Sol ycomenzar también un rápido descenso.

¿Por qué en junio se podrá ver a Mer-curio mucho mejor que en marzo?Porque su órbita es bastante excéntri-ca: cuando pasa por su perihelio, sudistancia al Sol es apenas dos terciosde la distancia en afelio. Cuando apa-rece en marzo como Lucero Vesperti-no, estará cerca de su perihelio, y nose separará mucho del Sol; además,en esa parte de su órbita se mueve conmayor rapidez, y tendremos menostiempo para verlo. Pero cuando repitasu aparición vespertina en junio, esta-

rá cerca de su afelio y lo veremos másseparado del Sol –es decir, será másfácil de ver–, y se dejará ver durantemás días.

> Cielo matutinoEl lector se habrá preguntado: ¿y dón-de estará Marte en todo ese tiempo?¡Malas noticias! Quien quiera ver aMarte tendrá que levantarse tempra-no. Durante todo este semestre Martese puede ver a las cuatro o cinco de lamañana, antes que aclare. Para losmadrugadores hay un buen premio:desde mediados de diciembre hastamediados de enero podrán ver, deoriente a occidente, Mercurio, Venus,Marte, Júpiter y Saturno –todos losplanetas que se pueden observar sintelescopio; y además, ¡en orden!–. In-cluso la Luna les pasará revista en or-den inverso –porque ella, en su órbitaalrededor de la Tierra, se mueve rápi-damente hacia el oriente–, comenzan-do por Saturno el 28 de diciembre,hasta terminar por Venus y Mercurioel 8 de enero.

No se pierda el encuentro cercano deVenus y Mercurio el 13 de enero antesdel amanecer, en el oriente; estaránseparados entre sí menos de un terciode grado. Después será difícil verlos,porque ambos se acercan al Sol; Mer-curio pasará junto al Sol el 14 de fe-brero, y Venus el 31 de marzo, cuandoMercurio estará ya de regreso al “ladomatutino” del Sol después de su breveaparición vespertina en marzo.

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Luna © T. Credner & S. Kohle, Allthesky. com

Así los madrugadores perderán devista a Venus. También Saturnoabandona el cielo matutino a finesde enero, pero por el lado opuesto:por el occidente; eso quiere decirsimplemente que Saturno “se pone”a las cinco de la mañana. Lo mis-mo pasará con Júpiter a mediadosde abril. Todos van a alegrar el cie-lo vespertino, dejando a Marte solo.

¿Por qué Marte no participa en eseéxodo? Porque está más cerca delSol, y su movimiento orbital –haciael oriente– es tan rápido que casilogra compensar el aparente movi-miento hacia el occidente produci-do por la traslación de la Tierra.Mientras vemos las constelacionesdesfilar hacia el occidente, Martesalta de una constelación a otra,hacia el oriente, como tratando deno dejarse llevar por la corriente. Sinembargo, a pesar de tal heroísmo,lentamente es arrastrado hacia eloeste, alejándose del Sol saliente,hasta que un día –ya comenzandonoviembre– se ocultará a las seisde la mañana. Pero de ningunamanera será esto una derrota: en-tonces Marte estará diametralmen-te opuesto al Sol –en “oposición”–y alcanzará su máximo esplendor.Por fin dejará de verse por la ma-ñana para comenzar a alumbrar losanocheceres. En ese momento Mar-te se encontrará también más cer-ca de la Tierra; esta vez el acerca-miento no será tan excepcionalcomo en agosto de 2003, pero nodejará de ser una visión emocionan-te para finales de este año.

El Observatorio Astronómico de laUniversidad de los Andes está abier-to al público los jueves desde las6:00 p.m. Se encuentra en el cuar-to piso del Edificio H. Para solicitarmayores informes puede comuni-carse con el teléfono 339 4949 -extensiones 2758 y 2739.


> Problemas y rompecabezas

Carlos MontenegroProfesor asociado del Departamento de Matemáticas

Los problemas de este número de Hipótesis son lossiguientes. Pueden comunicar sus soluciones a<[email protected]> o enviarle otros proble-mas. A continuación se dan las soluciones del númeroanterior. Puede consultar los enunciados de esos pro-blemas en <http://ciencias.uniandes.edu.co/>

Problema 1> El arte de doblar hojas de estampillas.Las estampillas se elaboran en hojas de nxm estampillasque se pueden doblar por las perforaciones de maneraque al terminar, queden del tamaño de una estampilla.Una hoja de 2x2 estampillas se puede doblar de 8 for-mas distintas. ¿De cuántas formas se puede doblar unade 2x3? Ahora, cuando el pegante está húmedo, al do-blar la hoja puede quedar pegada, si el doblez generacontacto entre el pegante y otra parte de la hoja. ¿Decuántas formas se puede doblar la de 2x3 con el pegantehúmedo, sin que se quede pegada? ¿Qué tal una de 2x4?

Problema 2> El duende que desaparece.Este misterio se remonta a 1880. Comience con la figura 1en que aparecen quince duendes y córtela por las líneassólidas. Al reorganizar la imagen en la figura 2, invirtiendolos pedazos superiores, ¡desaparece un duende! ¿Qué sehizo? Este truco es más impactante si fotocopia una delas figuras y la corta físicamente por la línea sólida.

Figura 1. Son quince duendes.

Figura 2. ¡Y ahora son catorce!

Problema 3> De la cruz griega al cuadrado.La cruz griega se genera con cinco cuadrados iguales.Hay varias maneras de cortar una cruz griega en diferen-tes pedazos que pueden ser reorganizados en un cua-drado. Por ejemplo, la siguiente figura muestra cómo secorta en 5 pedazos que luego forman un cuadrado. ¿Cómopodría cortarse una cruz griega en cuatro pedazos igualesque al reorganizarlos formen un cuadrado?

ReferenciasWheels, life and other mathematical amusements.

Martin Gardner. WH Freeman Co. 1983Amusements in mathematics

H.E. Dudeney. Dover Publications. 1958http://www.math.duke.edu/~blake/leprechauns/vanishing_leprechaun2.htm

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Problema 1Los únicos números con los que se puede tener esta conver-sación son el 4 y el 13. Primero, si el producto que se le da aPatricia tiene un factor primo mayor que 50, ese primo tieneque ser uno de los números (¿por qué?) y Patricia adivinaríaenseguida. La afirmación de Sonia “yo sabía que no lo sa-brías” elimina esta posibilidad y, de paso, cualquier par denúmeros cuya suma supere 55 (2 más 53 que es el primerprimo mayor que 50). Patricia también adivinaría enseguida siel producto es de dos primos, con lo cual también se eliminanlas sumas de dos primos. Los únicos números menores que 55que no son suma de dos primos son 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37,41, 47, 51 y 53 y por la afirmación de Sonia, Patricia sabe que lasuma de los dos números debe ser uno de estos números.

Ahora, si, por ejemplo, el producto que tiene Patricia es 24,las posibilidades al sumar sus factores son: 2+12=14, 3+8=11,4+6=10, y la única que está entre las sumas posibles es3+8=11, y Patricia adivinaría los números, en este caso 3 y 8.Sin embargo, Sonia no podría conocer los números porqueal descomponer 11 en dos sumandos: 2+9; 3+8; 4+7 y 5+6,sus productos dan 18, 24, 28 y 30, respectivamente, y, conun análisis similar, Patricia también habría podido adivinarlos dos números si su producto hubiera sido 18 ó 28. Hay entotal 66 posibles productos para los cuales Patricia habríaadivinado con este análisis, pero entre ellos hay un solo casoen el que Sonia también adivinaría, cuando el producto es 52y la suma 17.

Problema 2Los cuatro movimientos para cambiar la posición de las mo-nedas son: (las monedas, en gris, deben ser de $200 paraque concuerden con el enunciado del número anterior)

Problema 3Utilizando conceptos probabilísticos en un caso de azar comoeste, se debe tomar la decisión que maximice el valor esperadode la ganancia. Si escoge un sobre y encuentra un cheque porun monto X, al no cambiarlo el valor esperado de su decisiónsería X. Alternativamente, si toma la decisión de cambiarlo,como la probabilidad de que el otro sobre tenga un cheque por2X es 1/2 y la probabilidad de que sea por X/2 es también 1/2, elvalor esperado al cambiarlo sería 1/2 (2X) + 1/2 (X/2) = 5/4 X.Luego la decisión correcta debería ser, escoger un sobre y que-darse con el otro, cosa que parece muy extraña.

> Solución a los problemasdel número anterior


CorrosiónMaría Teresa Cortés M. / Pablo Ortiz H.

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> CorrosiónMaría Teresa Cortés M. / Pablo Ortiz H.

La corrosión es un fenómeno espontáneo que se presentaprácticamente en todos los materiales procesados por elhombre. Si bien existen varias definiciones, es común des-cribir la corrosión como una oxidación acelerada y conti-nua que desgasta, deteriora y que incluso puede afectar laintegridad física de los objetos o estructuras. La industriade la corrosión, si por ello entendemos todos los recursosdestinados a estudiarla y prevenirla, mueve anualmentemiles de millones de dólares. Este fenómeno tiene impli-caciones industriales muy importantes; la degradación delos materiales provoca interrupciones en actividadesfabriles, pérdida de productos, contaminación ambiental,reducción en la eficiencia de los procesos, mantenimien-tos y sobrediseños costosos. Se estima que los gastosatribuidos a los daños por corrosión representan entre el3 y el 5 por ciento del producto interno bruto de los paísesindustrializados; solamente hablando del acero, de cadadiez toneladas fabricadas por año se pierden dos y mediapor corrosión [1]. Por esta razón, cada día se desarrollannuevos recubrimientos, se mejoran los diseños de las es-tructuras, se crean nuevos materiales, se sintetizan mejo-res inhibidores, se optimizan los sistemas de monitoreo.Todo esto en un esfuerzo permanente por minimizar elimpacto negativo de la corrosión.

Naturaleza electroquímica de la corrosiónLa corrosión es un fenómeno de naturaleza electroquími-ca que cumple con las características fundamentales deuna pila o batería. Para que se forme una celda electro-química, o celda de corrosión, se requiere la presenciade un material que cede electrones en contacto con otroque los acepta, y de un medio conductor de iones. Elmaterial que pierde electrones se conoce como ánodo yes el que experimenta la reacción de oxidación, mientrasque el material que acepta los electrones se reduce y sele llama cátodo; el medio en el que se encuentran elánodo y el cátodo y que permite el flujo de iones seconoce como electrolito. La oxidación, a pesar de la eti-mología de la palabra, no necesariamente involucra el oxí-geno; la definición química es una pérdida de electrones.

El mecanismo de la corrosión puede ilustrarse a travésde un material metálico inmerso en una solución de HCl–ácido clorhídrico–. En el caso del zinc, los átomos metá-licos Zn ceden electrones convirtiéndose en cationes (Zn++)mientras que los iones H+ aceptan estos electrones for-mando moléculas de H2 (figura 1). Las reacciones involu-cradas son la disolución del zinc para formar ZnCl2 y laproducción de gas H2 [2].

Reacción anódica: Zn → Zn+2 + 2e-

Reacción catódica: 2H+ + 2e- → H2Reacción neta: Zn + 2HCl → ZnCl2 + H2

Todos los metales presentan una tendencia a perder elec-trones –oxidarse– cuantificada a través de su potencial deoxidación. Entre más alto sea este potencial se dice que elmetal es más noble –se oxida con mayor dificultad–. Latabulación de la resistencia de los materiales metálicos ala corrosión se conoce como serie galvánica. Las seriesgalvánicas son particulares al medio corrosivo –por ejem-plo, hay series galvánicas en solución salina, en soluciónácida, etc. –, y son de gran utilidad a la hora de seleccio-nar un material para una aplicación específica.

La corrosión se suele clasificar de acuerdo a la forma enque se manifiesta, es decir, a la apariencia del materialcorroído (figura 2). La corrosión uniforme es la más co-mún y la que genera mayores pérdidas de material. Sinembargo, al ser de tipo superficial es también la másfácil de controlar y por tanto la que menos accidentesprovoca. Por otro lado, la corrosión por picaduras es unfenómeno localizado que se manifiesta por anomalías quecrecen rápidamente hacia el interior del material y quepueden generar daños catastróficos.

Existen otros tipos de corrosión y la figura 2 esquemati-za algunos de ellos. El desarrollo de un mecanismo de-

Figura 1.Esquema de la corrosión de un metal, Zn, que se oxida a Zn+2 mientras que sus

electrones reaccionan con el H+ del medio produciendo H2

15

terminado se relaciona con la naturaleza del ambientecorrosivo y con las características composicionales ymicroestructurales del material [1]. Todos estos facto-res, incluyendo la selección de los materiales, deberánser tenidos en cuenta al diseñar el método de proteccióndel sistema.

Por ejemplo, la corrosión galvánica se presenta por elcontacto entre dos metales con potenciales de oxidacióndiferentes. El material menos noble –con menor poten-cial de oxidación– tenderá a corroerse. Esto lo vemosmuy a menudo en algunos tornillos que remachan es-tructuras bastante más nobles que ellos. Por otro lado,la corrosión intergranular está directamente relacionadacon la microestructura del material. Los metales o alea-ciones están formados por granos; en este tipo de co-rrosión se presenta un ataque localizado en las fronterasde grano y está generalmente asociado a impurezas quetienden a acumularse en dichas fronteras.

Métodos de protección contra la corrosión

La batalla contra la corrosión de los materiales se desa-rrolla en el campo de la termodinámica, y por eso es unabatalla que está perdida. El hombre solamente puede pro-longar la vida útil de sus herramientas y estructuras, pue-de aliarse con la cinética y hacer creer que existen losaceros inoxidables, las pinturas anticorrosivas y los in-hibidores de corrosión. Para entender las dificultadesimplícitas y lo efímero que resulta cualquier método deprotección contra la corrosión es necesario conocer pri-mero el grado de estabilidad del material que se preten-de proteger.

La figura 3 muestra las energías de oxidación de variosmateriales y elementos a 273˚K (0°C) y bajo una atmós-fera de oxígeno. En términos prácticos el orden de es-

tabilidad expuesto en la tabla se mantiene para las con-diciones presentes en la superficie del planeta. De estemodo, si nos fijamos en los metales, el único elementoestable es el oro mientras que todos los demás tenderána oxidarse. El cobre y la plata reaccionan con el aire, perolo hacen de manera moderada y lenta, y por eso su ob-tención en altos niveles de pureza es una tarea relativa-mente sencilla. Es esta característica la que explica queestos hayan sido los primeros metales en ser descubier-tos y trabajados. El hierro en cambio no estaba disponi-ble en la naturaleza –a excepción de aquel milagrosamentecaído del cielo en los meteoritos–, y el hombre tuvo queextraerlo de los minerales, estos sí, abundantes y esta-bles. Hornos especiales que garantizaban altas tempera-turas permitieron la reducción de los óxidos de hierro.Sin embargo, la naturaleza ha demostrado desde hacetres mil años que la energía invertida en los procesos deobtención del hierro o el acero, se degrada rápidamentecon la consecuencia de que los objetos fabricados retor-nan inexorablemente a sus minerales originales. El hie-rro es el elemento de la primera Revolución Industrial y

sigue siendo el que mayor trascendencia tiene enel sector productivo de la sociedad. La corrosiónes pues un fenómeno ligado históricamente a losmateriales ferrosos, y es protegiéndolos o reem-plazándolos, que el hombre ha logrado reducir suimpacto económico.

Desde un punto de vista técnico los problemas dela corrosión se pueden enfrentar utilizando mate-riales de gran resistencia. El oro y el cobre lo sonpero su costo y su baja tenacidad los hacen inade-cuados para muchas aplicaciones industriales. Lacombinación del cobre con el estaño o con el zinc,aleaciones llamadas bronce y latón respectivamen-te, tienen mejor desempeño mecánico y mantie-nen una buena resistencia frente a la oxidación porlo que su diversificación ha sido mucho más im-

portante. Pero es el aluminio el material más utilizadodespués del acero. Es liviano y de elevada resistencia ala corrosión y ha incursionado en el sector de los trans-portes y de la construcción, entre otros. El titanio por suparte es uno de los materiales más completos: es dosveces menos denso que el hierro y su resistencia mecá-nica y química son excelentes. Debido a su alto costosus aplicaciones se limitan a sectores muy especializa-dos como la industria aeroespacial, el sector biomédico–donde se destaca en la fabricación de prótesis–, y enaplicaciones submarinas gracias a su altísima resisten-cia frente a la corrosión del agua de mar.

No obstante, la figura 3 indica que la estabilidad del alu-minio y el titanio ante el oxígeno es varias veces menor

Figura 2.Algunos de los tipos de corrosión más comunes

por influencia del medio, la estructura y composición del metal [1]


que la del hierro. ¿Cómo puede afirmarse entonces queson más resistentes a la corrosión? La respuesta es quela tendencia de estos elementos a formar óxidos es tangrande que ellos se desarrollan instantáneamente en lasuperficie formando capas muy delgadas que sellan lite-ralmente el material. A diferencia de los óxidos de hierro,los de aluminio y titanio están firmemente cohesionadosa la pieza, no son porosos y prácticamente no se fractu-ran: este comportamiento garantiza uno de los sistemasespontáneos de protección más eficientes contra la co-rrosión. Es este mismo mecanismo el que ha permitidoobtener aceros especiales de gran resistencia química. Enefecto, mediante adiciones de cromo superiores a un 12por ciento en peso, se fabrican los llamados aceros inoxi-dables: el cromo migra a la superficie para combinarsecon el oxígeno formando una fina capa protectora ultra-delgada que no se detecta a simple vista. Las aplicacionesde estos aceros son muy variadas y sin duda son los ma-teriales metálicos con los que el hombre ha logrado, has-ta el momento, el mejor balance entre costo, propiedadesmecánicas y resistencia a la corrosión.

La protección superficial de los materiales también sepuede alcanzar artificialmente mediante la aplicación derecubrimientos. La deposición de capas metálicas o eluso de pinturas anticorrosivas, son métodos que pro-longan la integridad de los aceros corrientes e incluso lade materiales más resistentes. Es importante destacar elenorme desarrollo en el campo de los recubrimientosorgánicos y la amplia gama de productos disponiblescon propiedades y capacidades de protección muy es-pecíficas (figura 4). Los recubrimientos actúan como unabarrera frente a la difusión de los agentes oxidantes, ais-lando el metal y evitando su acumulación sobre la su-perficie. Sin embargo, las pinturas se degradan, tambiénsufren procesos de oxidación y es usual que requieran,quizás con más frecuencia que otros métodos, planesde inspección y mantenimiento.

Cualquier esquema de protección contra la corrosióndebe interferir, o modificar, el funcionamiento de la cel-da electroquímica descrita en la primera parte de estedocumento. Los métodos mencionados anteriormentelo hacen básicamente evitando la formación de un elec-

Figura 3.Energías de oxidación de diferentes metales y materiales compuestos a 273°K y

bajo atmósfera de oxígeno [3]. Energías más pequeñas indican mayor tendencia delmaterial al reaccionar con el oxígeno

17

Figura 4.Probeta metálica sobre la cual se realiza la evaluación de un

recubrimiento anticorrosivo de acuerdo a normas estandarizadashttp://www.corrosion.ksc.nasa.gov

Figura 5.Foto del accidente de un boeing 737 de la aerolínea Aloha

como consecuencia de la corrosión en su fuselaje [4]http://www.corrosion-doctors.org

trolito sobre el material. En sistemas cerrados donde elambiente corrosivo no se renueva, o lo hace muy lenta-mente, se han empleado inhibidores químicos, produc-tos que se disuelven en el medio, lo modifican y reducenlas velocidades de corrosión. Otros métodos interfierendirectamente con la distribución de cargas en el material.

La protección catódica por ejemplo, se refiere al empleode una corriente proveniente de una fuente externa quese opone a la corriente de corrosión en las áreas anódicasde la estructura metálica sumergida en un medio con-ductor. En este caso toda la estructura se comporta comouna zona catódica y los electrones no provienen del me-tal –lo que causaría la corrosión– sino de la fuente exter-na. Sólo los sistemas enterrados o inmersos pueden serprotegidos de esta manera gracias a la existencia de unmedio más o menos conductor, requisito para lograr ladistribución homogénea de los potenciales.

Algunos casos famososEs fundamental documentar todos aquellos casos dedaños por corrosión no previstos que de algún modose consideren especiales. Los científicos e ingenierosconsultan frecuentemente estos archivos buscandoaprender de las experiencias previas de forma tal quelos costos de investigación y los riesgos en futuros pro-yectos puedan ser minimizados. A continuación se des-cribirán algunos ejemplos.

El accidente de AlohaEl 28 de abril de 1988 un boeing 737 de la aerolíneahawaiana Aloha con diecinueve años de uso, sufrió laruptura de gran parte de su fuselaje a 24.000 pies de

altura (figura 5) [1]. En un hecho sin precedentes, el pi-loto logró aterrizar en una isla evitando una catástrofede proporciones mayúsculas. La investigación demos-tró que los productos de corrosión generados en los re-maches que unen las láminas del fuselaje provocaron laruptura de los mismos. El daño se genera en este casopor la filtración y estancamiento de agua entre las juntas–corrosión por hendiduras–. El accidente de Aloha y losresultados de la investigación marcaron un punto de in-flexión en la historia de la industria aeronáutica, tantodesde el punto de vista del diseño como de los planes demantenimiento de las aeronaves.

Mareas negrasAmoco Cádiz, Exxon Valdez, Braer, Erika, Prestige, sonsólo una parte de una extensa y negra lista de petroleroshundidos. Los vertimientos de crudo de varios de ellos hantenido un impacto ambiental devastador, desestabilizandoecosistemas que han tardado decenas de años en recupe-rarse. Si bien algunas de estas catástrofes se deben aerrores humanos, la mayoría están relacionadas con elataque de la corrosión en los cascos y con programasde mantenimiento deficientes. En 1999 la tragedia delErika ocasionó la contaminación de 400 kilómetros deplayas en la costa Bretona. Tres años más tarde el Prestigevierte 15 mil toneladas de crudo en el mar Cantábrico yse hunde con otras 60 mil en sus depósitos (figura 6).Estos dos últimos accidentes han provocado cambiosradicales en la legislación europea de transporte maríti-mo. Algunas de las medidas restringen directamente lacirculación de los viejos buques monocasco y estable-cen una normatividad conducente a reemplazar la totali-dad de la flota por petroleros de doble casco. Se hanexigido métodos de protección contra la corrosión máseficaces y, en el caso de los nuevos buques, materialesmás resistentes. Vale la pena destacar el impulso impor-tante que estos accidentes han dado al desarrollo de nue-vas y más eficientes tecnologías de inspección.


Figura 6.Derrame del Prestige en la costa Gallega.

Foto Lavandeira jr.http://www.sz.eur-frankfurt-o.de/homepages/lectorate/spanisch

> Referencias

[1] H. H. Uhlig. Uhlig’s Corrosion Handbook 2da ed. (ed.R. W. Revie) (John Wiley & Sons, Londres, 2000).

[2] M. G. Fontana & N. D. Greene. CorrosionEngineering (McGraw-Hill, Nueva York, 1967).

[3] M. F. Ashby & D.R.H. Jones. Engineering Materials(Butterworth-Heinemann. Boston, 2000).

[4] Corrosion Doctors. Galvanic Table http://www.corrosion-doctors.org/Aircraft/galvseri-table.htm (Kingston Technical Software Co., 2004).

> Enlaces recomendadoshttp://www.corrosion-doctors.org/http://www.corrosioncost.com/

> Reseña de los autoresMaría Teresa Cortés [email protected]

Química de la Universidad Industrial de Santander ydoctora en Ciencias Químicas, Universidad del PaísVasco. Actualmente ejerce como profesora asistentedel Departamento de Química de la Universidad de losAndes. Sus áreas de interés son la síntesis ycaracterización electroquímica de películas depolímeros conductores conjugados.

Pablo Ortiz [email protected]

Ingeniero Químico, Universidad Nacional, DEA enciencia de materiales de la Escuela Nacional Superiorde Química de Toulouse, y doctor en IngenieríaIndustrial, Universidad de Navarra. Actualmente ejercecomo investigador en la Corporación para laInvestigación de la Corrosión.

ConclusiónEl estudio de la corrosión y de los métodos para su pre-vención requiere de esfuerzos multidisciplinares. El “fac-tor corrosión” es fundamental en el proceso de selecciónde materiales y diseño de las estructuras. Son múltipleslos sistemas de protección existentes y la experiencia hademostrado que muchas veces la solución óptima se al-canza integrando varios de ellos.

Grupos de investigación en corrosión en ColombiaCorporación para la Investigación de la Corrosión, CIC,Guatiguará. Sede de la Universidad Industrial de Santander,Piedecuesta, Santander.http://corrosion.uis.edu.co

Grupo de Investigación en Corrosión, GICFacultad de Ingeniería, Universidad Industrial de Santander,Sede Guatiguará, Piedecuesta, Santander.http://uis.edu.co

Instituto Colombiano del Petróleo, ICPPiedecuesta, Santander.http://www.icp.ecopetrol.com.co/

Grupo de Protección y Corrosiónde la Universidad de AntioquiaMedellín, Antioquia.http://jaibana.udea.edu.co/grupos/corrosion/

Grupo de Superficie Electroquímica y Corrosión, GSEC,Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.Tunja, Boyacá.www.uptc.edu.co/gsec

21

> Caos de la exponencialen el plano complejo

Enrique Acosta Jaramillo

Esta y las demás ilustraciones a color de esteartículo son detalles del espacio de parámetros

de la dinámica de la familia de funciones λez.


> Caos de la exponencialen el plano complejoEnrique Acosta Jaramillo

Figura 1.Imagen de una franja vertical

Es asombroso que una función con una apariencia tan sencilla como pueda guardar tanta complejidad. Se trata de la función que a cada númerocomplejo le asocia otro número complejo:

.

Este artículo presenta una descripción de la dinámica de la familia de funcio-nes exponenciales de la forma donde es una constante real.

Al referirnos a la dinámica de una función hacemos alusión al comporta-miento de la función bajo iteraciones. Estudiamos la sucesión que se obtie-ne al iterar la función sobre un número complejo :

que llamamos la órbita de , denotada , y el límite de esta sucesión,, que es como el “destino” de bajo iteraciones de la función.

Resulta claro que dada una función continua y un punto existen básica-mente cuatro posibles tipos de destino.1. El valor absoluto de tiende a infinito cuando n tiende a infinito.Se dice que se escapa al infinito.2. es eventualmente periódico, es decir después de cierto número deiteraciones los valores se empiezan a repetir y se tiene para un cierto n que se llama el período.3. es una sucesión convergente y . Es fácil ver que,entonces, por lo que p es un punto fijo de .4. También es posible que no suceda ninguna de las posibilidades anteriores.

Para representar la dinámica de la función, usualmente se le da un color acada punto z del plano, según su destino, y esta gráfica muchas veces

resulta de una belleza espectacular.Una manera de hacerlo consiste en uti-lizar el computador que examina unnúmero finito de valores de la órbitade cada punto, y del comportamientoobservado estimar su destino. Sin em-bargo, como veremos, estas estimacio-nes pueden resultar erróneas dado queel computador hace un redondeo de losnúmeros que se va acumulando. Trata-remos de hacer un análisis matemáticode las órbitas de los puntos para corre-gir los errores del computador.

La familia de funciones con real

Sobre la dinámica de la familia de fun-ciones pode-mos hacer las siguientes afirmacionesgenerales:• Como ez tiene periodo 2iπ 1, λez ten-drá el mismo período y por lo tantosu dinámica se repetirá por franjas ho-rizontales cada múltiplo entero de 2iπ.• La imagen por E

λ (z) de una recta

vertical, x=a, es un círculo2 centradoen el origen de radio λea. Además, sib < a entonces eb < ea y la imagende la franja vertical es una “arandela” centrada en cerocon radio interior y radio exterior

1

2 Si x=a se tendrá quecorresponde a un círculo de radio cuando y varía en R.

23

Figura 2.Imagen de H bajo

como se muestra en la figura 7. Así mismo, la ima-gen del semiplano es un dis-co lleno de radio centrado en el origen sin ese punto.

El caso Un caso muy importante en la familia de funciones queestamos estudiando es el de , porque el com-portamiento de la dinámica para valores de esmuy diferente al comportamiento para . A unvalor de cambio brusco como éste se le llama punto debifurcación.

Para , tiene un punto fijo en z=1puesto que . Además, debido a la periodicidadde la función . Por otra parte, elsemiplano es enviado bajo en el disco de radio 1 centrado en el origen sin ese punto(figura 8). Bajo , la imagen de este disco está conteni-da en el mismo círculo ya que el disco es un subconjun-to de H. Así, todos los puntos que llegan al disco bajoiteraciones de se mantienen allí tras otras iteraciones,

luego las órbitas de los puntos de H son acotadas. Enrealidad se puede demostrar que todo punto que lleguebajo iteraciones al semiplano H tendrá una órbita queconverge a z=1.

Al conjunto de puntos cuya órbita converge a z=1 se lellama la cuenca de atracción del 1. Ya sabemos que H esun subconjunto de esta cuenca; analicemos ahora lospuntos que bajo iteraciones de llegan a H: todos es-tos puntos tendrán órbitas que convergen al punto z=1.Primero se encuentran los puntos que bajo una iteraciónllegan a H, es decir el conjunto .La figura 3 muestra dicho conjunto en sombreado gris ya H en azul.

Por otra parte, se puede demostrar que en cada una delas regiones blancas que hemos enumerado ...,S-2, S-1,S0, S1, S2,... y que llamaremos “dedos”, es 1-1, es de-cir, si z

1 ≠ z

2, y las imágenes bajo una

iteración de caen fuera de H, pero algunos caen en laregión gris y otros no. Luego, en cada S

i hay regiones


Figura 3.Conjunto que en una

iteración cae en H

Figura 4.La región gris cae en en la

segunda iteración

Figura 5.Detalle de la figura 4

Figura 7. DetalleFigura 6. Detalle

Figura 8.La región gris cae en H en la

cuarta iteración (o antes)

Figura 9.Detalle (Recuadrorojo de la figura 8)

que bajo dos iteraciones caenen H, formando zonas grisesde la cuenca de atracción dez=1 dentro de los dedos blan-cos de la figura anterior. (Véa-se la figura 4). En cambio, lasregiones blancas que apare-cen en los dedos son envia-das por en algún S

i.

En realidad, los dedos Si se

extienden al infinito hacia laderecha, al igual que las re-giones grises dentro de ellos,aunque la imagen del compu-tador aparente otra cosa debi-do a los errores de redondeo.Así, aun cuando las figurasmuestran turbulencias en losdedos, realmente lo que suce-de es lo que se observa en losdetalles de las figuras 6 y 7.

Si seguimos investigando enla misma dirección, encontra-mos que en cada una de laspartes blancas que van que-dando hay regiones que en latercera iteración llegan a H,y por lo tanto se colorean degris por pertenecer a la cuen-ca de atracción de z=1, y encada uno de los pequeños de-dos habrá nuevos dedos queen la segunda iteración sonenviados en alguno de los .

¿Cuáles son los puntos cuyasórbitas llegan a H? Los dibu-

jos que se pueden hacer encomputador son muy impre-cisos; en efecto, la figura 5hace creer que hay algún tipode remolinos en los dedos,esto desde luego no es verdadya que cada dedo se extiendeal infinito, los supuestos re-molinos que se ven son erro-res computacionales. Enrealidad, para generar másallá de la quinta iteración enun computador convencio-nal, éste deberá calcular variashoras; aún así las imágenes noson satisfactorias ya que elconjunto verdadero tiene unaestructura extremadamentefina. En las siguientes figurasse muestran en gris los pun-tos que llegan a H en la cuar-ta iteración o antes. Estospuntos pertenecen a la cuen-ca de atracción de z=1.

Después de analizar la cuenca de atracción de z=1 pode-mos analizar el conjunto de los puntos que se escapan ainfinito. Ellos forman la cuenca de atracción del infinito yocupan gran parte de la zona blanca pero no toda. Haypuntos que no están ni en la cuenca de z=1 ni en la cuen-ca del infinito; pertenecen a la frontera de este últimoconjunto. Esta frontera se llama el conjunto de Julia de

–notado – en honor al francés Gaston Juliaque fue el primero en explorar estos conjuntos.

En el caso especial de , los puntos de la cuenca delinfinito son todos fronterizos3 y, por lo tanto, están con-tenidos en el conjunto de Julia. Además, el siguiente teo-rema nos dice que el conjunto de Julia está compuestoprecisamente por los puntos cuya órbita no contiene nin-gún punto de H.

TEOREMA 1: Si A es el conjunto de todos los puntos cuyaórbita no intersecta a H entonces .

3 Un punto es fronterizo o pertenece a lafrontera de un conjunto si cualquier círculocon centro en el punto –no importa qué tan

pequeño sea su radio– contiene a la vezpuntos del conjunto y puntos que no están

en el conjunto


Figura 10.

Figura 11. Detalle

Figura 12. Detalle

Figura 13. Detalle

Figura 14. Detalle

Figura 15. Detalle

¿Entonces, qué otros puntos contiene el conjunto de Ju-lia de fuera de los que se escapan al infinito? El si-guiente teorema, que a veces se utiliza como definiciónalternativa de , nos puede dar una idea.

TEOREMA 2: es la clausura del conjunto de puntosperiódicos repelentes de ; es decir, es el con-junto de puntos periódicos repelente más la frontera deeste conjunto.

Descifremos lo que dice el teorema. Ya sabemos qué sonlos puntos periódicos, definidos al principio. Los que tratael teorema deben ser repelentes, es decir, si un puntocualquiera está cerca de uno de estos puntos periódicos,por iteraciones de debe alejarse de él. A estos puntosperiódicos repelentes hay que sumarles los puntos queson fronterizos a ellos.

Resulta entonces que todo punto z del plano que tengauna órbita que nunca intersecta a H tiene las siguientespropiedades:• O bien z es un punto periódico repelente, o bien la órbi-ta de z escapa a infinito.• Si la órbita de z escapa a infinito, hay puntos periódi-cos repelentes arbitrariamente cercanos a z.

Las anteriores caracterizaciones de , junto con al-gunos teoremas nos permiten generar imágenes porcomputador aproximadas de en las cuales se pue-de apreciar más la estructura global a costo de menosdetalles. Uno de estos teoremas afirma que si la partereal de un complejo z es mayor que 50, entonces cercade z hay puntos de ; específicamente hay puntoscuya órbita escapa a infinito. Este criterio de escape es elutilizado en muchos artículos para generar imágenesaproximadas de . A continuación presentamos al-gunas imágenes generadas con este criterio aproximado.

En las figuras 10 a 15, cada recuadro rojo muestra laregión que se ve en la siguiente imagen. Además, lasregiones que aparecen blancas están realmente “llenas”de líneas grises que van al infinito; el criterio aproxima-do permite conocer qué región ocupan estas líneas perono nos permite verlas.

en el caso con realDejamos por ahora el caso λ=1/e para estudiar el de0<λ<1/e, que en muchos aspectos es similar al estudia-do anteriormente, pero que tiene mucha más estructura;


Figura 16. para

Figura 17. para

Figura 18. Detalle (figura 17)

Figura 19. Detalle

Figura 20. Detalle

Figura 21. Detalle

Figura 22. Detalle

después de todo, el caso λ = 1/e esel intermedio, el punto donde ocu-rre la bifurcación. Por otra parte, laecuación x = λex tiene dos solucio-nes reales, una menor que uno, quellamaremos p, y otra mayor que unoque notaremos q, estos serán pun-tos fijos para E

λ (z) = λez. Además,

en la dinámica de Eλ (z) = λez el

punto p va a tener un comportamien-to muy similar al de z = 1 en el senti-do de que la órbita de muchos puntosdel plano convergerá a p.

El estudio de J(Eλ) es, en este caso,

similar al que se acaba de hacer. Paraencontrar la cuenca de atracción dep se define un análogo a H que eneste caso será el semiplano a la iz-quierda de x = –1n (λ) (recordemosque– 1n (λ) > 0 porque 0 <

λ < 1 ).

Luego se encuentran las regiones queenvían sus puntos a H. Todos lospuntos en estas regiones tendrán ór-bitas que convergen al punto p y asíhabremos encontrado la cuenca deatracción de p. No entraremos en de-talles ya que la construcción es iguala la hecha anteriormente y el conjun-to resultante es geométricamente si-milar. Por otra parte, podemos utilizarlos teoremas 1 y 2, que siguen sien-do válidos.

Presentamos en las figuras 16 a 21algunas imágenes de J(E

λ) para va-

lores de λ, en el rango en cuestión,generadas utilizando el criterio deescape aproximado.

Además, para este caso se tiene elsiguiente teorema acerca de la estruc-tura de J (E

λ).

TEOREMA 3: Para 0 < λ < 1/e, J(Eλ),

consiste de una cantidad no enume-rable de líneas que se extienden ha-cia la derecha, al infinito. Cada líneatiene un extremo y posee la misma

Detalles de J(Eλ) para

λ=0.25, el recuadro rojo enlas imágenes muestra laregión que se ve en lasiguiente imagen. Lasregiones blancas siguenestando “llenas” de líneasgrises que van al infinito

29

Figura 23. para

Figura 24. Detalle

estructura continua –es homeomor-fa– del intervalo .

La aparición de estas líneas vista enla construcción del caso λ = 1/e, eslo que queda de los dedos al final dedicha construcción. Se puede demos-trar, además, que si y

no es un extremo de una línea, en-tonces la órbita de se escapa a in-finito. Así, el conjunto de puntosperiódicos repelentes de (Teo-rema 2) está contenido en el conjun-to de extremos de las líneas, y hayextremos de líneas arbitrariamentecercanos a todo punto de queno sea extremo de una línea. ¡La es-tructura de no es nada sim-ple! Se le ha dado el nombre muysugestivo de “Bouquet de Cantor”, unobjeto matemático con una definiciónmuy precisa.

“La explosión”, en el caso con real

Pasamos ahora a estudiar el caso que nos muestra lo dramá-

tica que es la bifurcación de la fami-lia en el punto . En la literaturaa esta bifurcación se le llama común-mente “la explosión”.

A diferencia de las secciones ante-riores, comenzamos con el teoremaque nos caracteriza .

TEOREMA 4: Si entonces, es decir, ¡el conjunto de

Julia es todo el plano complejo!

La demostración de este teorema re-quiere técnicas avanzadas de mate-máticas, sin embargo se explicará agrandes rasgos qué es lo que ocu-rre. Casi todos los puntos del planocomplejo escapan al infinito y losúnicos que quedan son los puntosperiódicos, todos repelentes, que enel caso 0 < λ < 1/e se encontraban

en los extremos de las líneas delBouquet de Cantor que era .De repente explotan y cubren todo elplano. Al pasar la bifurcación sóloaparecen dos nuevos puntos fijos(complejos), y los puntos periódicosrepelentes, que ahora cubren todo elplano, son básicamente los mismosque antes se encontraban localiza-dos en una región fija del plano.Además, los teoremas 1 y 2 siguensiendo válidos.

La dinámica de la función exponen-cial para estos valores de es com-pletamente “caótica”, sobre todo elplano, pues junto a cualquier puntodel plano hay puntos periódicos re-pelentes y puntos con órbitas queescapan a infinito, arbitrariamentecercanos. La órbita de los puntos queescapan a infinito es completamenteimpredecible y radicalmente distintaa la de sus vecinos, por más cerca-nos que se encuentren, inclusive siambos escapan a infinito. Para losmatemáticos existe una definiciónmuy precisa, la cual no incluiremos,de lo que es un comportamiento caó-tico. Con ella, podemos resumir loanterior en el siguiente teorema.

TEOREMA 5: es el conjunto enel cual la dinámica de es caótica.

A continuación se presentan imáge-nes generadas de para el caso

(figuras 23 y 24). Las imáge-nes son similares para otros valoresde en el rango en cuestión. Hay querecordar que los espacios blancos deestas imágenes representan los pun-tos que tienen órbitas que escapanal infinito, pero que hay puntos pe-riódicos en todo el plano que debe-rían verse como puntos negros. Lainmensa mayoría no es visible debi-do a limitaciones computacionales.

Las figuras 25 a 27 muestran en es-cala de grises el número de iteracionesque los puntos demoran en escaparal infinito, con el criterio de escapeaproximado. Entre más oscuro elpunto más se tarda en escapar.

El espacio de parámetrosEs el deseo de cualquier matemáticoque estudia la dinámica de este tipode funciones el tener un “mapa” quele muestre a grandes rasgos cuál esla dinámica de la función para losdiferentes valores de . A este tipode mapas se les llama espacio de pa-rámetros; uno de los más famososes el conjunto de Mandelbrot quemuestra para qué valores de c es co-nexo, o totalmente disconexo elconjunto de Julia de la función

. En el presente casose puede estudiar el conjunto de los

, ahora sí de todo el plano comple-jo, para los cuales . Para

31

Figura 25.

Figura 26. Detalle

Figura 27. Detalle

cada se considera la función , se estudia su conjuntode Julia asociado y se puede generar una imagen en la cual los para loscuales se pintan de blanco y el resto se pinta de negro. Generardicha imagen sería imposible de no ser por el siguiente teorema, entre otros.

TEOREMA 6: Si la órbita del cero escapa a infinito entonces .

Al generar la imagen en cuestión lo que hacemos es estudiar la órbita delcero con la función para un determinado valor de . Si la órbi-ta del cero escapa a infinito entonces = C y se pinta el punto deblanco, de lo contrario se pinta de negro. De nuevo no hay un criterio quenos garantice que la órbita del cero escapa a infinito, y tan solo se puedengenerar imágenes aproximadas asumiendo que si la órbita del cero en algúnmomento tiene parte real mayor que 50 entonces la órbita escapa. Existetambién otra dificultad pues el teorema 6 no garantiza que si , laórbita del cero escapa a infinito. Sin embargo, se puede demostrar que laimagen generada de esta manera es una muy buena aproximación del espa-cio de parámetros.


> Referencias

[1] R. L. Devaney. CantorBouquets. Explosions andKnaster Continua http://math.bu.edu/people/bob/papers.html#bouquets(Boston University, Boston,1998).

[2] C. Bodelon, R. L. Devaney, M.Hayes & G. Roberts. Hairs ofthe Complex ExponentialFamily http://math.bu.edu/people/bob/papers.html#hairs (BostonUniversity, Boston, 1998).

[3] R. L. Devaney. Cantor andSierpinski, Julia and Fatou.Complex Topology MeetsComplex Dynamics. Noticesof the American MathematicalSociety 51, 9-15 http://math.bu.edu/people/bob/papers.html#cxtop (2004).

[4] M. Romera, G. Pastor, G.Álvarez & F. Montoya. Growthin Complex ExponentialDynamics http://www.iec.csic.es/~miguel/Preprints.html (Instituto deFísica Aplicada,Consejo Superior deInvestigaciones Científicas,Madrid, 2004).

> Reseña del autorEnrique Acosta [email protected] de último semestre deMatemáticas, Universidad de los Andes

Figura 30. Detalle

Figura 31. Detalle

Figura 32.

Figura 33. con

Figura 34.

Figura 35. con

En las imágenes siguientes la regiónblanca es una aproximación del conjun-to de los puntos λ

tales que J(E

λ) = C.

De nuevo debemos recalcar que las re-giones blancas realmente se encuen-tran “llenas” de líneas.

Finalizamos con una serie de imáge-nes emparejadas (figuras 32 a 35). Enla primera imagen de cada pareja apa-rece el espacio de parámetros y un va-lor de λ

marcado en rojo, y en la

segunda el conjunto de julia J(Eλ) de

la función asociada a dicho valor de λ.

Nota: Las imagenes del artículo fue-ron generadas por el autor utilizandoel programa UltraFractal 3, de FrederikSlijkerman.

Figura 29. Detalle

Figura 28. Espacio de parámetros


Detección depatógenos en alimentos

Consuelo Vanegas / Johanna Rojas


A diario consumimos diferentes ali-mentos que son la principal fuentede energía para realizar las activida-des de nuestra vida, pero estos ali-mentos pueden causar enfermedadessi no han sido elaborados bajo nor-mas de higiene adecuadas. Este tipode enfermedades se conocen con elnombre ETAs –Enfermedades Trans-mitidas por Alimentos–. A nivel mun-dial las ETAs son una de las causasmás preocupantes en salud pública yaque ocurren de 24 a 81 millones decasos y más de diez mil muertes porconsumo de alimentos contaminados.

Los alimentos y el agua pueden serla vía de transmisión de bacterias, pa-rásitos, virus, priones –causantes delmal de las vacas locas–, toxinas debacterias y hongos. En Colombia seha reportado que los alimentos po-tencialmente dañinos son aquelloscon alto contenido proteico, baja aci-dez y alta humedad tales como la car-ne, mariscos, lácteos, huevos, arrozy pastas. Entre los factores de riesgoasociados con la presentación de es-tas enfermedades tenemos deficienteshábitos higiénicos, el manejo inapro-piado de temperaturas –enfriamiento,calentamiento, descongelamiento– yalmacenamiento inadecuado.

Figura 1.Casos de ETAs en Colombia de 1998 a 2001. Datos tomados de SIVIGILA,

consultados en http://www.col.ops-oms.org/sivigila/2002/BOLE06_02.htm el 8de noviembre de 2004

Los grupos de mayor riesgo son losniños, ancianos, mujeres embaraza-das y pacientes inmunosuprimidos,aunque se presenten casos en pobla-ción sana entre quince y cuarenta ycuatro años. Según reportes de la Se-cretaria Distrital de Salud de Bogotá,los lugares en los cuales se ha pre-sentado la mayoría de casos son encasas, colegios, escuelas, hogares in-fantiles, restaurantes escolares y si-tios turísticos.

Los síntomas típicos de la gastroen-teritis causada por estos microor-ganismos son dolor de cabeza,náuseas, diarrea, vómito, dolor ab-dominal y, en algunos casos, escalo-frío o fiebre. El período de incubación

depende del agente etiológico implicado y puede ser muy corto, o hasta desetenta y dos horas después de ingerido el alimento contaminado. Las ETAs,además de causar la gastroenteritis, ameritan especial atención porque pue-den generar complicaciones y secuelas como meningitis, artritis, desórde-nes auto inmunes, enfermedades cardiovasculares, neoplasias, y abortos.Por otra parte los gastos económicos causados por incapacidades laboralesy por pérdidas industriales debido al rechazo de productos contaminadoscon estos patógenos son bastante altos. Por estas razones, es necesario que

Detección depatógenos en alimentos

Consuelo Vanegas / Johanna Rojas


Figura 3.Placa de electroforesis de productos de 235 pares de

bases que identifican a las cepas de Listeriamonocytogenes. Los números de las columnas

corresponden a: 0 y 13-escala DNA Ladder; 1-L.monocytogenes ATCC 7644. 2-10 Cepas de Listeria sp.,

–las columnas 6 y 7 no fueron identificadas como L.monocytogenes–; 11-Control Negativo: S .aureus ATCC

25923. 12. En blanco

Figura 2.Placa de electroforesis de productos de amplificacióndel gen para la identificación de cepas de Salmonellaspp. Los números de las columnas corresponden a:

0 y 11-escala DNA Ladder; 1- Salmonella typhi ATCC6539. 2-9. Cepas de Salmonella sp. aisladas de

alimentos. 10. Control

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

se preste la atención adecuada a esta problemática y seoptimicen los métodos de detección de estos microor-ganismos en los laboratorios de microbiología.

En Colombia, como en otros países del mundo, han au-mentado las ETAs bacterianas debido a que no se ha lo-grado controlar efectivamente la contaminación de losalimentos (figura 1). Estos reportes no muestran la di-mensión real del problema, las estadísticas pueden sermayores debido a que falta mejorar el registro de la in-formación ante las entidades pertinentes, ya que el con-sumidor se automedica y desconoce la magnitud de laenfermedad. Además, los médicos no siempre ordenanlos exámenes adecuados para determinar el agente cau-sante de la sintomatología. Por lo tanto, es necesariodesarrollar la investigación en esta área e implementarmétodos de microbiología más sensibles y específicospara detectar los patógenos en los alimentos.

Detección de los microorganismosPara aislar e identificar bacterias de alimentos en el la-boratorio se han utilizado, tradicionalmente, métodos demicrobiología clásica en los cuales los protocolos tar-dan mucho tiempo en generar resultados y son poco sen-sibles, permitiendo el crecimiento de otras bacterias, loque dificulta la detección del patógeno. Por esta razón yteniendo en cuenta la necesidad de detectar con rapidezlos microorganismos en los alimentos, para evitar queestos salgan a la venta contaminados, se está implemen-tando el uso de la reacción en cadena de la polimerasa,PCR, que permite identificar de manera más rápida y es-pecífica los microorganismos productores de ETAs enalimentos destinados al consumo humano.

Esta técnica permite multiplicar el fragmento de un genespecífico de la bacteria patógena, para que se evidenciesu presencia al observarlo por el método de electrofore-sis. Este método permite identificar el gen al compararlocon un patrón de escala (DNA-Ladder) que indica el nú-mero de pares de bases del gen1. (Figuras 1 y 2).

1 Para una explicación de las técnicas de PCR y de electroforesis, serecomienda el artículo “Detectives del Mal de Chagas” en Hipótesis No. 1

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Figura 4.Curvas generadas por la PCR en tiempo real de la detección de Salmonella enteritidis

El Laboratorio de Ecología Microbiana y de Alimentos,LEMA, de la Universidad de los Andes, ha realizado estu-dios para identificar dos de las bacterias más importan-tes dentro del grupo de productoras de ETAs: Salmonellaspp., causante de gastroenteritis y fiebre tifoidea y Listeriamonocytogenes causante de abortos y meningitis.

Para Salmonella se estandarizó la técnica de PCR me-diante identificación de un fragmento del gen invA, quepermite la invasividad de la bacteria en las células epite-liales del intestino. Mediante esta técnica se han confir-mado cincuenta cepas de Salmonella spp. aisladas de

diferentes tipos de alimentos como pollo, tocineta y ja-món de cerdo, entre otros. (Figura 2).

Para Listeria monocytogenes se amplificó el gen quecodifica para la Listeriolisina O, que es el factor de viru-lencia que inicia la infección. Se trabajaron sesenta ce-pas de L. monocytogenes, provenientes de derivadoslácteos, las cuales fueron identificadas por la banda deamplificación de 235 pares de bases (figura 3). Los ali-mentos estaban disponibles para su venta en plazas demercado de Bogotá.


> Referencias

[1] D. De Medici, L. Croci, E. Delibato, D. Pasquale, E.Filetici & L. Toti. Evaluation of DNA extractionmethods for use in combination with SYBR GreenI real-time PCT to detect Salmonella entericaserotype Enteritidis in poultry. AppliedEnvironmental Microbiology 69(6), 3456–3461(2003).

[2] C. Jaramillo, A. Diaz. Detectives del mal deChagas. Revista Hipótesis No. 1, 42–49 (2003).

[3] A. D. Sails, A. J. Fox, D. R. Wareing & D.L.Greenway. A real-time PCR assay for the detectionof Campylobacter jejuni in foods after enrichmentculture. Applied Environmental Microbiology69(3): 1383–1390 (2003).

[4] J. S. Way, K. L. Josephson, S. D. Pillai, M.Abbaszadegan, C. P. Gerba & L. I. Pepper. SpecificDetection of Salmonella spp. by multiplexpolymerase chain reaction. Applied EnvironmentalMicrobiology 59(5), 1473–1479 (1993).

[5] Sistema Nacional de Vigilancia en Salud Pública.Enfermedades transmitidas por alimentos enSanta Marta durante la temporada de vacaciones.Boletín epidemiológico Semanal. SemanaEpidemiológica No. 6. febrero 03 a 09 de 2002.Consultado en http://www.col.ops-oms.org/sivigila/2002/BOLE06_02.htm el 8 de noviembrede 2004.

> Reseña de los autoresMaría Consuelo Vanegas Ló[email protected]

Profesora asistente, Microbiología. Directora delLaboratorio de Ecología Microbiana y de Alimentos,LEMA, Universidad de los Andes.

Johanna Rojas. Microbió[email protected]

Asistente graduada, Laboratorio de EcologíaMicrobiana y de Alimentos, LEMA. Estudiante deMaestría en Ciencias Biológicas con énfasis enMicrobiología de Alimentos en la Universidad de losAndes.

> AgradecimientosA la Facultad de Ciencias y aRoche-Diagnóstica por el apoyo financiero prestadopara la realización de estas investigaciones.

A pesar de que la PCR es una técnica rá-pida, se ha desarrollado una modificacióna ésta, en la cual no se realiza electrofo-resis, de tal forma que los resultados seobtienen simultáneamente con la ampli-ficación del gen. Esta técnica se conocecon el nombre de “PCR en tiempo real” yse realiza utilizando un marcador, comoSYBR GREEN-I, que produce fluorescen-cia al unirse al ADN de cadena doble, conun equipo que la detecta y genera una cur-va de la intensidad de fluorescencia con-tra temperatura. El pico de la curva indicala temperatura de fusión –melting peak–,en la cual el 50 por ciento del ADN se en-cuentra en doble cadena. De esta mane-ra, cada cepa bacteriana genera unatemperatura de fusión específica que in-dica su presencia.

En la figura 4 se observan los picos de am-plificación obtenidos para la detección deSalmonella enteritidis. Esta bacteria gene-ra una temperatura de fusión de 86.47°Cmientras las otras cepas evaluadas, utili-zadas como controles negativos (véase latabla de la figura 4), expresan temperatu-ras de fusión diferentes, indicando que noson Salmonella enteritidis. Esto demues-tra la alta especificidad de la prueba.

En el Laboratorio de Ecología Microbiana yde Alimentos, LEMA, de la Universidad delos Andes, se está utilizando la técnica dePCR en tiempo real para la detección deSalmonella enteritidis en muestras de polloa la venta en supermercados de Bogotá,Listeria monocytogenes en leches crudasdistribuidas en Boyacá, y Campylobacter,utilizando menudencias de pollo distribui-das en Bogotá.

El uso de estos métodos permite obtenerresultados más rápidos y seguros, por locual deberían utilizarse en la industria paratener un control de calidad más estricto yreducir el riesgo de distribución y ventade alimentos contaminados. De esta for-ma se podría disminuir la circulación debacterias patógenas en los alimentos yreducir la generación de infecciones e in-toxicaciones.


Biorremediaciónde residuos del petróleo

Paola Andrea Vargas Gallego / René Ricardo Cuéllar / Jenny Dussán


Figura 2.Explotación del crudo

http://www.dep.fem.unicamp.br/boletim/BE13/artigo4.htm

Figura 1.Atentado contra el oleoducto Caño-Limón Coveñas

http://www.yachana.org/reports/colombia/photos/P3170114.JPG

> Biorremediación de residuos del petróleoPaola Andrea Vargas Gallego / René Ricardo Cuéllar / Jenny Dussán

Según la Compañía Colombiana de Petróleos, ECOPETROL,durante los últimos quince años el oleoducto Caño Limón-Coveñas ha sufrido más de novecientos atentados terro-ristas, hechos que han conducido al derramamiento de másde 450 millones de litros de petróleo en el medio ambiente.

El impacto ambiental por los derrames de crudo, ha deja-do más de 2.600 kilómetros entre ríos y quebradas, yalrededor de 1.600 hectáreas de ciénagas afectadas. Sóloen 1998, subversivos del ELN ocasionaron el más grandederrame de crudo en aguas continentales del mundo, conun volumen superior a los 14’787.000 litros de petróleo,tragedia comparable con el accidente del buque petroleroExxon Valdez, que vertió en las aguas de Alaska 42 millo-nes de litros del crudo el 24 de marzo de 1989.

Dadas estas circunstancias los daños a las fuentes hídri-cas, suelos, aire, fauna y vegetación son prácticamenteirremediables, pues los procesos de descontaminaciónno alcanzan a cubrir todas las áreas afectadas y se reali-zan mucho tiempo después de que el crudo ha penetradoel ecosistema.

Sin embargo, no todos los lodos aceitosos son causadospor atentados contra la infraestructura petrolera, tambiénson resultado de la actividad de la broca durante la perfora-ción en busca de yacimientos, la cual genera un lodo acom-pañado de hidrocarburo que se extrae hasta la superficie.

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Figura 3.Microorganismo

degradador de petróleo,fotografía del Centro de

InvestigacionesMicrobiológicas, CIMIC

La biorremediaciónLa biorremediación es el proceso utilizado por el hombrepara detoxificar variados contaminantes en los diferentesambientes –mares, estuarios, lagos, ríos y suelos– usan-do de forma estratégica microorganismos, plantas o en-zimas de estos. Esta técnica es utilizada para disminuir lacontaminación por los hidrocarburos de petróleo y susderivados, metales pesados e insecticidas; además se usapara el tratamiento de aguas domésticas e industriales,aguas procesadas y de consumo humano, aire y gasesde desecho.

Afortunadamente la biotecnología ha permitido el desa-rrollo de diversas estrategias que pueden ser utilizadascon el fin de restaurar el suelo y la calidad ambiental, deacuerdo con las necesidades y dimensiones del proble-ma a solucionar. A continuación se enumeran algunas,pero en general no hay una “fórmula secreta” que garan-tice el éxito de la biorremediación.

BIOESTIMULACIÓN: como su nombre lo indica, consiste en es-timular los microorganismos nativos del suelo adicionan-do nutrientes como nitrógeno o fósforo.

BIOAIREACIÓN: es una forma de estimulación realizada con ga-ses, como por ejemplo oxígeno y metano, estos son adicio-nados de forma pasiva en el suelo para estimular la actividadmicrobiana.

BIOAUMENTACIÓN: es la inoculación de una alta concentra-ción de microorganismos en el suelo contaminado parafacilitar la biodegradación. Como se van a inocular, estosmicroorganismos deben ser seleccionados del suelo quese desea tratar.

COMPOSTAJE: esta estrategia de biorremediación utiliza mi-croorganismos aeróbicos y termófílos, formando pilas dematerial que deben ser mezcladas y humedecidas perió-dicamente para promover la actividad microbiana.

FITORREMEDIACIÓN: es el uso de plantas para remover, con-tener o transformar un contaminante. Esta puede ser di-recta, donde las plantas actúan sobre el compuesto, oindirecta, donde estas se utilizan para estimular microor-ganismos en la rizosfera.

LandfarmingLa técnica más usada para la biorremediación de los lo-dos contaminados con hidrocarburos y de otros desechosde la industria petrolera es la denominada landfarming.Se realiza trasladando los contaminantes a un suelo nocontaminado, el cual ha sido preparado con anterioridad

Es allí donde tiene su génesis nuestro trabajo, que con-siste en apoyar desde la microbiología una labor interdis-ciplinaria para remediar los pasivos ambientales quegenera la empresa petrolera.

Origen y composición del petróleoEl petróleo es el resultado de la degradación anaeróbicade materia orgánica, durante largos períodos de tiempo ybajo condiciones de alta temperatura y presión, que laconvierte en gas natural, crudo y derivados del petróleo.

El petróleo crudo es una mezcla extremadamente com-pleja y variable de compuestos orgánicos, donde la ma-yoría de los ellos son hidrocarburos, que varían en pesomolecular desde el gas metano hasta los altos pesosmoleculares de alquitranes y bitúmenes. Estos hidrocar-buros pueden presentarse en un amplio rango de estruc-turas moleculares: cadenas lineales y ramificadas, anillossencillos, condensados o aromáticos. Los dos gruposprincipales de hidrocarburos aromáticos son los mono-cíclicos, el benceno, tolueno y xileno (BTEX) y los hidro-carburos policíclicos (PAHs) tales como el naftaleno,antraceno y fenantreno.

Diversidad microbiana en ambientes contaminadosLos suelos contaminados contienen gran cantidad de mi-croorganismos que pueden incluir un número de bacte-rias y hongos capaces de utilizar hidrocarburos [1], querepresentan un uno por ciento (1%) de la población totalde aproximadamente 104 a 106 células por gramo de sue-lo. También, se han encontrado cianobacterias y algascapaces de degradar hidrocarburos. Los suelos conta-minados con hidrocarburos contienen más microorga-nismos que los suelos no contaminados, pero sudiversidad microbiana es más reducida [2, 3].


Figura 4.Diversidad microbiana

presente en una muestra desuelo contaminada con crudo,

fotografía del Centro deInvestigaciones

Microbiológicas, CIMIC

Figura 5.Diversidad microbiana

presente en unamuestra contaminada

con crudo, fotografía delCentro de Investigacio-

nes Microbiológicas,CIMIC

para evitar su contaminación y la de las aguas subterráneascon sustancias que puedan producirse durante el tratamien-to. Para ello se efectúa el diseño del lugar donde se deposi-tan los contaminantes, aislando el material de tratamientodel área no contaminada con una tela impermeable.

Para empezar el procedimiento, se hace una búsqueda yselección de bacterias nativas aisladas de las muestrasde suelos que se encuentran contaminados, ya que estastienen la capacidad catabólica para crecer bajo las condi-ciones físico-químicas y de estrés a las que están some-tidas, y tendrán un mejor desempeño a la hora de labiorremediación.

La búsqueda comienza en el procesamiento de una mues-tra de suelo mediante una serie de diluciones, tratandode obtener aquellos morfotipos cultivables; ya que una

gran parte de los microorganismos del suelo no puedenser recuperados en medios para el cultivo de microorga-nismos. Además de una búsqueda general, se realiza unaespecífica a través de medios selectivos y diferenciales,en la cual se pretende aislar ciertos morfotipos como lasPseudomona sp. y bacterias lactosa positivas –bacteriascapaces de utilizar la lactosa–, debido a su bien conocidaactividad degradadora de hidrocarburos.

Luego, estas diluciones son sembradas en diferentesmedios de cultivo donde grandes familias de morfotiposse hacen presentes; éstas varían en densidad y diversi-dad. La diversidad está determinada por los morfotiposrecuperados que se diferencian según su morfologíamacroscópica –su aspecto físico–, mientras que la den-sidad está determinada por el número total de individuosque pertenecen a un grupo con una morfología macros-cópica común.

Estos datos de densidad y diversidad son de gran valor.Primero, porque nos indican acerca de la calidad micro-biana del suelo, ya que un suelo que tiene gran númerode morfotipos, es un suelo que tiene vida y por ende pre-senta una buena prospección para la biorremediacióndebido a su posible alta actividad microbiana. Segundo,porque aquellos morfotipos que se encuentren en mayornúmero serán seleccionados por su habilidad para so-

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Figura 6.Cultivos puros de morfotipos aislados de una muestra contaminada con crudo,

fotografía del Centro de Investigaciones Microbiológicas, CIMIC

Figura 7.Formulación de un

pool degradador dehidrocarburos a granescala, fotografía del

Centro de Investigacio-nes Microbiológicas,

CIMIC

Figura 8.Trabajo de Landfarming; fotografía: cortesía del ing. Hugo Vladimir Ramírez

brevivir a la presión selectiva del contaminante y parausarlo como fuente de energía y carbono, pues por esoestán creciendo.

Ya seleccionados los morfotipos se conforma un consor-cio o pool de microorganismos degradadores de hidro-carburos y, utilizando la estrategia de bioaumentación, sehace una producción a mayor escala y en proporcionesestratégicas de estos. En esta producción debe tenerseen cuenta el volumen de suelo contaminado para biorre-mediar, la concentración del contaminante y las clases demorfotipos que se aislaron.

Importancia del pool microbianoLa formulación de un pool microbiano permite combinary complementar sus funciones metabólicas para que co-lectivamente biodegraden un compuesto. En muchos ca-sos algunos morfotipos sólo pueden realizar una parte

de toda una cadena de reacciones químicas para llegar acompuestos que puedan ser fácilmente utilizados por losorganismos del mismo consorcio u otros que estén pre-sentes en el ambiente. Además, al estar en grupo losmorfotipos pueden tolerar los cambios físico-químicosque se den en el ambiente durante el proceso de biorre-mediación.

Cabe aclarar que se necesita un análisis más profundopara la identificación de los morfotipos que serán usados

en la biorremediación, ya que alguno de estos puede serpatógeno para plantas, animales o el hombre por el proce-so de bioaumentación. Sin embargo, partimos del principiode que son morfotipos ambientales, los que inmediatamentese acabe su fuente de alimento bajan a un número que nocause disturbio en el ambiente. Además se realiza una cui-dadosa revisión de reportes de enfermedades de origenbacteriano en la zona.

El pool que se formuló es aplicado en el suelo contamina-do por técnicos e ingenieros ambientales para dar inicioa la biorremediación. Durante el tratamiento se hace elmonitoreo de las poblaciones microbianas, con el fin dedeterminar si la cantidad inicial de microorganismos au-menta o disminuye después de ser adicionado al suelocontaminado. Así mismo se realiza la determinación deTPHs –hidrocarburos totales de petróleo–, con el fin deobservar si hubo o no degradación (figura 9).

Otros factores en la degradación de hidrocarburosLa transformación de los compuestos orgánicos en elambiente está influenciada por un número de factores quese pueden agrupar en aquellos que afectan el crecimientoy metabolismo de los microorganismos y aquellos queafectan al compuesto en sí mismo. La biodegradación delos hidrocarburos está asociada con el metabolismo y cre-cimiento microbiano, y por lo tanto cualquiera de los fac-tores que afectan al crecimiento microbiano puedeinfluenciar la degradación.

La degradación aeróbica de los hidrocarburos es consi-derablemente más rápida que el proceso anaeróbico [4],de modo que la oxigenación será necesaria para mante-ner las condiciones aeróbicas para una rápida degrada-ción. Un suelo con una estructura abierta favorecerá latransferencia de oxígeno y un suelo anegado de agua ten-drá un efecto contrario. La temperatura afecta el creci-miento microbiano, así que a bajas temperaturas la


Figura 9.Curva de degradación aproximada de TPHs en una estación en tratamiento; cortesía: ingeniero Hugo Vladimir Ramírez

degradación será lenta. Así mismo el pH del suelo y lasolubilidad del compuesto que debe ser degradado afec-tan el crecimiento bacteriano. La contaminación por hi-drocarburos también puede estar asociada con altosniveles de metales pesados, que pueden inhibir el creci-miento microbiano, dependiendo de la concentración ytipo de metales.

Otro factor crucial es la accesibilidad del compuesto parasu degradación en el interior del suelo, la cual está afec-tada por la estructura del mismo, su porosidad, compo-sición y por la solubilidad del compuesto. Algunoscompuestos pueden ser adsorbidos por arcillas y por lotanto pueden ser invulnerables a la degradación. Parasuperar este problema se han añadido surfactantes a sue-los contaminados con el objeto de mejorar la accesibili-dad de los hidrocarburos [5]. Los surfactantes sonsustancias que contienen un segmento liposoluble –solu-ble en aceite–, y otro hidrosoluble –soluble en agua–, locual permite solubilizar el hidrocarburo desde la arcilla.

Por otra parte, la presencia de un gran número de micro-organismos autóctonos en el suelo, capaces de degradarhidrocarburos será claramente una ventaja, porque evitala adición específica de microorganismos no autóctonos,

que aunque degradadores, podrían no funcionar por no es-tar adaptados a las condiciones físico-químicas del lugar.

En conclusiónEn general, en el proceso de landfarming se ha comproba-do la eficiencia de un consorcio microbiano sobre la utiliza-ción de un solo morfotipo, debido a que los morfotipos alestar en grupo pueden tolerar mejor los cambios físico-químicos en el campo y sus actividades metabólicas pue-den interactuar entre sí para la parcial o final biorremediación.

Es necesario conocer las condiciones ambientales en lascuales se desea que los morfotipos trabajen, para así poderoptimizar la biorremediación, cambiando los posiblesparámetros físicos o químicos que puedan ir en contrade la actividad microbiana en el material a biorremediar oen el ambiente.

Por último hay que resaltar la importancia que tiene laselección de microorganismos autóctonos –aislados dellugar para la biorremediación–, debido a que estos mor-fotipos se encuentran mejor adaptados al contaminante;a diferencia de morfotipos foráneos, que aunque con unagran actividad biorremediadora, pueden no funcionar bajolas condiciones ambientales del lugar.

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> Referencias[1] Sutherland, J. B. (1992) Detoxification of

polycyclic aromatic hydrocarbons by fungi. J. IndMicrobiol., 9, 53-62.

[2] Bossert, I. D. and Compeau, G. C. (1995)Cleanup of petroleum hydrocarbon contaminationin soil, in L. Young and C. E. Cerniglia (eds),Microbial Transformation and degradation of ToxicOrganic Chemicals. Wiley – Liss, New York, andJohn Wiley & Sons, Chichester, UK, pp. 77-125.

[3] Messarch, M. B. and Nies, L. (1997) Modificationof heterothropic plate counts for assessing thebioremediation potencial of petroleum –contaminated soils. Environ. Technol., 18, 639 -646.

[4] Holliger, C. and Zehnder, A. J. B. (1996)Anaerobic biodegradation of hydrocarbons.Current Opinion in Biotechnol, 7, 326-330.

[5] Mihelcic, J. R., Lueking, D. R., Mitzell, R. J. andStapleton, J. M. (1993) Bioavailability of sorbed– ans separate – phase chemicals.Biodegradation, 4, 141-153.

[6] http://www.mindefensa.gov.co/derechos_humanos/medio_ambiente/20020308informeagua.html

> Reseña de los autoresPaola Andrea Vargas [email protected]

Estudiante de Maestría en Microbiología.

René Ricardo Cué[email protected]

Estudiante del programa coterminalde Maestría en Microbiología.

Jenny Dussá[email protected]

Profesora asociada,Directora del Centro de InvestigacionesMicrobiológicas, CIMIC, y directora de tesisde los estudiantes mencionados.


> Áreas de InvestigaciónDepartamento de Ciencias BiológicasBiología Molecular de Parásitos y VectoresBiología Molecular de PlantasBiología SistemáticaEcofisiología del Comportamiento y HerpetologíaGenética de Poblaciones y FilogeografíaGenética HumanaMicologíaMicrobiología AmbientalMicrobiología de AlimentosMicrobiología MolecularParasitología TropicalZoología y Ecología Acuáticas

Departamento de FísicaFísica de la Materia CondensadaFísica de Altas EnergíasAstrofísicaMecánica Cuántica y Física de la Información

Departamento de MatemáticasÁlgebra, Lógica, Combinatoria y Computación TeóricaEcuaciones Diferenciales, Análisis Funcionaly Análisis NuméricoGeometría Diferencial y su aplicación a la Física TeóricaTopologíaMetodología de la Enseñanza de MatemáticasProbabilidad, Procesos Estocásticos, Estadística,Optimización y Control

Departamento de QuímicaQuímica AmbientalElectroquímicaFitoquímica y AromasFotoquímicaMaterialesReología de PolímerosSólidos Porosos y CalorimetríaTermodinámica de Soluciones

> ActividadesDecanaturaEl 11 de agosto de 2004, la Decanatura de la Facultad deCiencias organizó el Simposio «El Origen de la Masa enlas Teorías Físicas», con la participación de los profeso-res Gabriel Téllez y Juan Pablo Negret de la Universidadde los Andes; Juan Manuel Tejeiro, Carlos Quimbay,Roberto Martínez y Héctor Múnera de la UniversidadNacional, y Alfonso Rueda de la Universidad Estatal deCalifornia en Long Beach, como homenaje al profesorBernardo Gómez, Director del Departamento de Física,en sus veinticinco años de labores en la Universidad.

En la última semana del mes de octubre, la Facultad or-ganizó el «Tercer foro para la presentación de resultadosde proyectos semilla» de estudiantes de postgrado, fi-nanciado por la Facultad de Ciencias. El evento contócon la participación de diecisiete estudiantes que pre-sentaron los resultados de sus proyectos. El premio almejor póster fue otorgado a María Paula Rozo Gómez,por su proyecto “Estudio de la diversidad de ninfas yadultos del orden efemeróptero (clase insecta) en la zonaalta de la quebrada La Playa, Parque Natural Chicaque,San Antonio del Tequendama, Cundinamarca”.

Desde hace un tiempo, la Facultad de Ciencias viene de-sarrollando, además, una serie de conferenciasdivulgativas. En el último año se han presentado las si-guientes charlas:

• DNA sequence data and Flowering Plant Classification.Conferencista: Mark W. Chase, Director de SistemáticaMolecular, FRS. Ciencias Biológicas, febrero 13, 2004.

• Genomes, Genetic Fingerprinting and Conservation.Conferencista: Michael F. Fay, Director de Genética, JodrellLaboratory, Royal Botanic Gardens, Kew, Reino Unido”.Ciencias Biológicas, febrero 13, 2004.


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• La Exploración de Marte. Conferencista: BenjamínOostra, Física, marzo 18, 2004.

• Polímeros Conductores. Conferencista: María TeresaCortés, Química, septiembre 7, 2004.

• Modelos Matemáticos en las Ciencias Sociales. Confe-rencista: Taras Radul, Matemáticas, noviembre 4, 2004.

Departamento de Ciencias BiológicasEl Centro de Investigaciones en Microbiología y ParasitologíaTropical, CIMPAT, apoyando las estrategias de Maloka,para ser el puente entre la comunidad científica del paísy el público en general, participó en el evento “Vampirosy Chupasangres” que hace parte de la “Temporada delCuerpo: Sentir, Conocer, Expresar”, durante el último finde semana de octubre. En esta jornada el equipo de inves-tigadores de este centro de investigación realizó charlasexplicativas en las cuales se dieron a conocer temas rela-cionados con la enfermedad de Chagas, enfocadas princi-palmente a sus insectos vectores, la transmisión del pará-sito, su distribución geográfica y las estrategias de pre-vención y control de esta enfermedad en Colombia.

En el segundo semestre de 2004 se vincularon al Departa-mento de Ciencias Biológicas, Pablo Roberto Stevenson,Bárbara H. Zimmermann y Juan Armando Sánchez Muñoz,como profesores de planta.

Departamento de FísicaEn agosto de 2004 el Departamento de Física tuvo la visitadel egresado José Antonio Ramírez quien trabaja en elDepartamento de Biología del CSI, en la Universidad deColumbia. José Antonio dictó en el Coloquio Divulgativode Física la conferencia titulada: “Desarrollo del SistemaDopaminérgico y su relación con la enfermedad deParkinson y la Esquizofrenia”.

Se vincularon como profesores de planta, durante el año2004, Ludwing C. De Braeckeleer, Frank Rodolfo FonsecaFonseca y Juan Alejandro Valdivia Hepp.

Departamento de MatemáticasEl Departamento de Matemáticas celebró los cuarentaaños de la carrera de Matemáticas con un ciclo de confe-rencias sobre temas de actualidad en matemáticas, diri-gidas a un público matemático no especializado. Al finalde la semana se ofreció un almuerzo con la asistencia dealumnos, exalumnos, profesores y personal del Depar-tamento.

En el segundo semestre de 2004 se vincularon al Depar-tamento Taras Radul, como profesor de planta, y AndrésRodríguez, como profesor visitante hasta agosto de 2005.

Departamento de QuímicaPor medio de la Resolución 3303 del 6 de octubre de2004, el Ministerio de Educación Nacional otorgó por eltérmino de siete años, Registro Calificado al Programade Pregrado en Química en la Universidad de los Andes.Este Programa se encuentra registrado, en el SistemaNacional de Información de la Educación Superior, conlas siguientes características: el título a expedir es deQuímico(a), la duración es de 8 semestres, con 138 cré-ditos académicos, en jornada diurna y con metodologíapresencial.

La visita del profesor Wolfram Baumann de la Universi-dad de Maguncia resultó muy provechosa para el Depar-tamento de Química ya que se estrecharon aún más loslazos con esa universidad y se plantearon planes paradesarrollar actividades de intercambio académico parael programa de pregrado que se iniciará en 2005.

Se vincularon al Departamento de Química como profe-sores de planta María Teresa Cortés Montañéz y VíctorManuel Sarria.

Carrera de

Matemáticas/40 años


Graduandos de Maestría y DoctoradoFacultad de CienciasSeptiembre de 2004

GRADUANDO TESIS DIRECTOR TÍTULO

Onil Esthela Ballestas Navarro Patrones de coloración dorsal habilidades termorregulatorias en Hyla labialis

Adolfo Amézquita, Ph.D. Universidad de los Andes Magíster en Ciencias Biológicas - Área Biología

Gabriela De Luna Uribe Reconociendo al enemigo: importancia de la

imagen en el reconocimiento de la especie por la rana venenosa Epipedobates femoralis

Adolfo Amézquita, Ph.D. Universidad de los Andes Magíster en Ciencias Biológicas - Área Biología

Claudia Marcela Espitia Olaya Estudio de la estructura genética del Triatoma

venosa en una zona endémica del Departamento de Boyacá

Carlos Jaramillo, M.Sc. Universidad de los Andes

Magíster en Ciencias Biológicas - Área Microbiología

Miryam Andrea Hortúa TrianaDetección y localización de la enzima

dihidrootasa (DHOasa) de la síntesis de las pirimidinas en taquizoitos Toxoplasma gondii

Bárbara Zimmermann, Ph.D. Universidad de los Andes

Astrid Geovana Muñóz Ortiz Evidencia de la especiación incipiente entre Heliconius erato venus y H. e. chestertonii

Mauricio Linares, Ph.D. Universidad de los Andes Magíster en Ciencias Biológicas - Área Biología

Geidy Xiomara Ortega TrujilloEvaluación de la producción piloto de la cepa

nativa Bacillus sphaericus OT.4b.25 utilizando sustratos comerciales

Jenny Dussán, M.Sc. Universidad de los Andes Magíster en Ciencias Biológicas - Área Microbiología

Carlos Aurel Patiño Echeverri Amplificación mediante RCP del ITS2 de Triatoma venosa Felipe Guhl, M.Sc. Universidad de los Andes Magíster en Ciencias Biológicas - Área

Microbiología

Mónica Pinzón HenaoRelación entre comportamientos territoriales y densidad poblacional en la rana Epipedobates

boulengeri en tres zonas del PNN GorgonaAdolfo Amézquita, Ph.D. Universidad de los

Andes Magíster en Ciencias Biológicas - Área Biología

Diana Patricia Serrano HoyosExpresión del gen reportero luc del plásmido

biosensor pGETUR en presencia de hidrocarburos aromáticos

Jenny Dussán, M.Sc. Universidad de los Andes Magíster en Ciencias Biológicas - Área Microbiología

Ingrid Zulay Silva Cote

Polimorfismos genéticos de las enzimas metabólicas (Cyp2e1, Gstm1 y Gstt1) y del gen

de reparación de ADN, Xrcc1 y su relación con la susceptibilidad a cáncer gástrico

Maria Mercedes Torres, M.Sc. Universidad de los Andes Magíster en Ciencias Biológicas - Área Biología

Liz Patricia Suárez MedellínDegradación de tolueno y xileno por bacterias nativas colombianas y detección de los genes

todA y xylMartha Vives, M.Sc. Universidad de los Andes Magíster en Ciencias Biológicas - Área

Microbiología

Carolina Ulloa Garzón Curvas de desempeño locomotor dependientes de temperatura a lo largo de una clina altitudinal

en poblaciones de la rana Hyla labialisAdolfo Amézquita, Ph.D. Universidad de los

Andes Magíster en Ciencias Biológicas - Área Biología

Mauricio David Bedoya Saavedra Nonlinear intersubband THz absorption in asymmetric quantum well structures

Ángela Camacho, Ph.D. Magíster en Ciencias - Física

Leonardo Arturo Cano García An analytical proof of the Atiyah-Singer index theorem for dirac operators

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BIOLÓGICAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

> Pág. 20. Caos de la exponencial en el plano complejo

Apuntes científicos uniandinos

ISSN 1692-729X >>>>> N o . 0 4 > D I C I E M B R E D E 2 0 0 4 > U N I V E R S I D A D D E L O S A N D E S > F A C U LT A D D E C I E N C I A S

> Pág. 12. Corrosión > Pág. 20. Caos de la exponencial en elplano complejo > Pág. 34. Detección de patógenos enalimentos > Pág. 42. Biorremediación de residuos del petróleo


hipÓtesis 4

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