HIPERBOLOIDE

El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola

alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el

hiperboloide puede ser de una o dos hojas.

Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia,

cuya ecuación es

,

en el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente).

La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo,

mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da

un hiperboloide de dos hojas.

Hiperboloide de una hoja.

Hiperboloide de dos hojas.

Ecuaciones del hiperboloide

Ecuación Cartesiana

Generación de un hiperboloide.

Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el

sistema de coordenadas , cuyos ejes son los de simetría. Sean X e Y las

coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:

es decir

.

Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:

la ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)·(X+Y) = 1, luego:

Si se gira alrededor del eje Y, de vector director , entonces se otorga a la tercera

coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la misma forma en

la ecuación, concretamente precedido del signo «+»:

Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director , entonces Z

aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»:

Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos

negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x,y,z, se obtiene

una de estas dos ecuaciones:

(una hoja) (dos hojas)

Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya ecuación

es, en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado en el centro de

simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la superficie), de la forma:

Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la dirección

de los x por el factor a, multiplicando las distancias en los y por b, y en los z por c. Es

decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma.

Ecuación paramétrica

En un espacio euclídeo tridimensional, los puntos de la superficie del hiperboloide

pueden ser parametrizados de la siguiente manera:

Parametrización sin usar las funciones hiperbólicas:

Área

La superficie de un hiperboloide de una hoja de altura h, situado entre los planos

y y de sección transversal circular, es decir, . Su

ecuación queda de la forma:

.

Si

Volumen

El volumen comprendido por la función del hiperboloide de una hoja

y los planos z=h/2 y z=-h/2 .

Secciones

Sección de un hiperboloide de una hoja.

Sección de un hiperboloide de dos hojas.

La sección producida por un plano perpendicular al eje es una elipse.La ecuación de

un plano cualquiera cuya intersección con el hiperboloide nos dará una

elipse de ecuación:

.

El caso particular dónde la sección producida por el plano será una

circunferencia. La elipse menor de todas las posibles recibe el nombre de elipse de

garganta.

La sección producida por un plano paralelo a su eje es una hipérbola de distintas

orientaciones. Un plano, por ejemplo, de ecuación corta el

hiperboloide según la curva de ecuación

.

Dependiendo del valor de se obtienen las siguientes curvas:

Hipérbola con hojas en horizontal:

Hipérbola con hojas en vertical:

Un par de rectas que se cortan :

La sección producida por un plano inclinado respecto del eje de revolución es una

elipse, de ecuación:

En las figuras se representa la sección de hiperboloides, de una y dos hojas, cortados por

un plano paralelo a su eje de revolución, y por otro perpendicular.