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BUREAU Üñ RcCHERCKES GÉOLOGIQUES ET ¡MINIÈRES
SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL
B.P. 6009 - 45018 Orléans Cedex - Tél.: (33) 63.80.01
mtCOLEGIO DE POSTGRADUADOS
ESCUELA NACIONAL DE AGRICULTURAChapingo, México
MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA
HIDROGEOLOG)A SUBTERRÁNEA
Jsan Pierre Vançon
Service géologique régional ALSACE
204, route de Schirmeck. 67200 Strasbourg - Tél. : (08) 30.12.62
BUREAU Üñ RcCHERCKES GÉOLOGIQUES ET ¡MINIÈRES
SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL
B.P. 6009 - 45018 Orléans Cedex - Tél.: (33) 63.80.01
mtCOLEGIO DE POSTGRADUADOS
ESCUELA NACIONAL DE AGRICULTURAChapingo, México
MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA
HIDROGEOLOG)A SUBTERRÁNEA
Jsan Pierre Vançon
Service géologique régional ALSACE
204, route de Schirmeck. 67200 Strasbourg - Tél. : (08) 30.12.62
El presente curso se ha désarroi ado del27 de junio al 22 de julio de 1977 en la Rama de
Riego y Drenaje del Colegio de Postgraduados de
Chapingo (Mexico).
Me es grato agradecer el Doctor Oscar
PALACIOS VELEZ, Presidente de la Rama, asi como
todo el personal del Colegio, por su acogidaefficaz y llena de amistad. Mis agradecimentos
van también al Consejo Nacional de Ciencia y
Tecnologia de Mexico (CONACYT) y a la Coopera-cion Técnica del Ministerio de Asuntos Exterioresde Francia, especial amenté la Señorita H. SARRUT,
que han permitido mi viaje a Mexico.
J.P. VANÇON
Encargado del calculo numérico (modelos)
Servicio Geológico Regional Alsacia
Estrasburgo - FRANCIA
El presente curso se ha désarroi ado del27 de junio al 22 de julio de 1977 en la Rama de
Riego y Drenaje del Colegio de Postgraduados de
Chapingo (Mexico).
Me es grato agradecer el Doctor Oscar
PALACIOS VELEZ, Presidente de la Rama, asi como
todo el personal del Colegio, por su acogidaefficaz y llena de amistad. Mis agradecimentos
van también al Consejo Nacional de Ciencia y
Tecnologia de Mexico (CONACYT) y a la Coopera-cion Técnica del Ministerio de Asuntos Exterioresde Francia, especial amenté la Señorita H. SARRUT,
que han permitido mi viaje a Mexico.
J.P. VANÇON
Encargado del calculo numérico (modelos)
Servicio Geológico Regional Alsacia
Estrasburgo - FRANCIA
UETOVOS WUMERÎCOS APLICAVÛS A LA HJVRÛGEOLOGJA SUBTERRAUEA
CQiJTENlVO.
CAPITULO I: Principio de los modelos matemáticos en Midro-geología Subterránea.
1. Las ecuaciones básicas
* Ley de Darcy
* ley de continuidad
* ley de difusividad
2. Determinación de la ecuación de los potencia^
les, a partir cíe la ecuación de las deriva--
das parciales, llegando a una ecuación de las
diferencias finitas (discretización del espa
ció).
3. Determinación de la ecuación de los potencia^
les, a partir del balance de los caudales a
nivel de una malla.
4. Determinación de la ecuación de los potencia^
les, a partir del método de los elementos fj^
ni tos.
5. Los flujos paralelos y el flujo radial alre¬
dedor de un pozo.
6. Realización práctica de un modelo con mallas
cuadradas.
1-
UETOVOS WUMERÎCOS APLICAVÛS A LA HJVRÛGEOLOGJA SUBTERRAUEA
CQiJTENlVO.
CAPITULO I: Principio de los modelos matemáticos en Midro-geología Subterránea.
1. Las ecuaciones básicas
* Ley de Darcy
* ley de continuidad
* ley de difusividad
2. Determinación de la ecuación de los potencia^
les, a partir cíe la ecuación de las deriva--
das parciales, llegando a una ecuación de las
diferencias finitas (discretización del espa
ció).
3. Determinación de la ecuación de los potencia^
les, a partir del balance de los caudales a
nivel de una malla.
4. Determinación de la ecuación de los potencia^
les, a partir del método de los elementos fj^
ni tos.
5. Los flujos paralelos y el flujo radial alre¬
dedor de un pozo.
6. Realización práctica de un modelo con mallas
cuadradas.
1-
CAPITULO II: Métodos de Cálculo Iterativo: Aplicación a la
Ecuación de las Diferencias Finitas para el ré^
gimen Permanente.
1. Fundamento del cálculo iterativo.
2 . Cal cul o por mal la
* Método de JACOBI
* Método de GAUSS-SEIDEL
* Método de FRANKEL-YOUNG (SOBRERELAXACION)
3. Cal cul o por 1 ínea .
* Resolución por substitución.
* Resolución matricial.
4. Método de las Direcciones Alternadas (PEACE^
MAN-RACHFORD).
CAPITULO III: Simulaciones en Régimen Transitorio
* Esquema explícito
* Esquema implícito
* Esquemas mixtos
CAPITULO IV: Simulación de los Acuíferos Libres.
CAPITULO V: Optimización del Cálculo Iterativo.
1. Pruebas de fin del cálculo iterativo.
* utilización de los potenciales como resi¬duo de convergencia.
* Utilización del balance de los caudales
como residuo de convergencia.
\\-
CAPITULO II: Métodos de Cálculo Iterativo: Aplicación a la
Ecuación de las Diferencias Finitas para el ré^
gimen Permanente.
1. Fundamento del cálculo iterativo.
2 . Cal cul o por mal la
* Método de JACOBI
* Método de GAUSS-SEIDEL
* Método de FRANKEL-YOUNG (SOBRERELAXACION)
3. Cal cul o por 1 ínea .
* Resolución por substitución.
* Resolución matricial.
4. Método de las Direcciones Alternadas (PEACE^
MAN-RACHFORD).
CAPITULO III: Simulaciones en Régimen Transitorio
* Esquema explícito
* Esquema implícito
* Esquemas mixtos
CAPITULO IV: Simulación de los Acuíferos Libres.
CAPITULO V: Optimización del Cálculo Iterativo.
1. Pruebas de fin del cálculo iterativo.
* utilización de los potenciales como resi¬duo de convergencia.
* Utilización del balance de los caudales
como residuo de convergencia.
\\-
2. Determinación del valor del parámetro p de
sobrerelaxación, en el caso de un número ir[
finito de iteraciones.
* determinación para un dominio rectangular
* método de RAYLEI6H
* método de MOLER
* método de CARRE
* método RELAC de J . P. SAUTY
3. Elección del método y determinación del va¬
lor de p para un número finito de iteracio¬
nes .
4. Método de previsión de los potenciales en -
régimen transitorio.
A NE X O : Programas didácticos.
1 n-
2. Determinación del valor del parámetro p de
sobrerelaxación, en el caso de un número ir[
finito de iteraciones.
* determinación para un dominio rectangular
* método de RAYLEI6H
* método de MOLER
* método de CARRE
* método RELAC de J . P. SAUTY
3. Elección del método y determinación del va¬
lor de p para un número finito de iteracio¬
nes .
4. Método de previsión de los potenciales en -
régimen transitorio.
A NE X O : Programas didácticos.
1 n-
CAPÍTULO I
PRÏWCÎPIO VE LOS MOí?ELOS MATEMÁTICOS EW
mVROGEOLQGlA SUBTERRÁNEA
Un modelo matemático trata de simular un acuífero, utilizan^
do el cálculo digital procesado por una computadora. Un buen
conocimiento de todos los parámetros hidrodinámicos del acuí^
fero que se tiene que estudiar se requiere para simular el -
comportamiento del acuífero, calculando principalmente la --
distribución de los potenciales.
1] La¿ tcucLcloniLi, ba¿¿ca¿ .
El potencial hidrodinámico es una característica de toda par;^
tícula de fluido, que se expresa do la siguiente manera:
h = z + -P- + ^+ Cpg 2g
donde:
z = la elevación de una partícula sobre el nivel de re¬
ferencia.
p=supresión.
u = su velocidad.
p = la masa del fluido por unidad de volumen.
g = la aceleración de la gravedad.
C = una constante.
CAPÍTULO I
PRÏWCÎPIO VE LOS MOí?ELOS MATEMÁTICOS EW
mVROGEOLQGlA SUBTERRÁNEA
Un modelo matemático trata de simular un acuífero, utilizan^
do el cálculo digital procesado por una computadora. Un buen
conocimiento de todos los parámetros hidrodinámicos del acuí^
fero que se tiene que estudiar se requiere para simular el -
comportamiento del acuífero, calculando principalmente la --
distribución de los potenciales.
1] La¿ tcucLcloniLi, ba¿¿ca¿ .
El potencial hidrodinámico es una característica de toda par;^
tícula de fluido, que se expresa do la siguiente manera:
h = z + -P- + ^+ Cpg 2g
donde:
z = la elevación de una partícula sobre el nivel de re¬
ferencia.
p=supresión.
u = su velocidad.
p = la masa del fluido por unidad de volumen.
g = la aceleración de la gravedad.
C = una constante.
En los medios porosos, donde la velocidad de los escurri--
mientos es siempre muy baja, salvo en los alrededores de un
pozo, el término u^/2g es despreciable.
Tres leyes rigen la hidrodinámica de los medios porosos. Es^
tas son:
- la ley de Darcy.
- la ley de continuidad.
- la ley de difusibilidad.
La ley de Darcy se escribe:
donde:
k
h
V = -k grad h
la velocidad promedio Jel flujo subterráneo, en
mts. por segundo.
la permeabilidad, en mts. por segundo.
el potencial hidrodinámico, en m.
Esta velocidad es aparente y corresponde a un caudal por u-
nidad de sección del medio poroso. La velocidad real es i-
gual a la velocidad aparente dividida entre la porosidad
del medio poroso. Esta es la velocidad real que se debe
considerar para conocer la velocidad de desplazamiento de
una partícula.
Expresada en forma matricial, la ley de Darcy se escribe:
V = - k grad h
En los medios porosos, donde la velocidad de los escurri--
mientos es siempre muy baja, salvo en los alrededores de un
pozo, el término u^/2g es despreciable.
Tres leyes rigen la hidrodinámica de los medios porosos. Es^
tas son:
- la ley de Darcy.
- la ley de continuidad.
- la ley de difusibilidad.
La ley de Darcy se escribe:
donde:
k
h
V = -k grad h
la velocidad promedio Jel flujo subterráneo, en
mts. por segundo.
la permeabilidad, en mts. por segundo.
el potencial hidrodinámico, en m.
Esta velocidad es aparente y corresponde a un caudal por u-
nidad de sección del medio poroso. La velocidad real es i-
gual a la velocidad aparente dividida entre la porosidad
del medio poroso. Esta es la velocidad real que se debe
considerar para conocer la velocidad de desplazamiento de
una partícula.
Expresada en forma matricial, la ley de Darcy se escribe:
V = - k grad h
donde:
grad h
Ülax
Ül9y
i[l9z
k =
Kx O O
O ky O
O O kz
Lo que significa que tenemos
Vx =
Vy =
Vz =
kx
ky
kz
illDx
Ül3y
ill3z
La ecuación de continuidad se escribe
div (pv)=-p(a+n3) :^
donde:
a
$
n
t
la compresibilidad del medio poroso,
la compresibilidad del fluido,
la porosidad real .
el tiempo.
donde:
grad h
Ülax
Ül9y
i[l9z
k =
Kx O O
O ky O
O O kz
Lo que significa que tenemos
Vx =
Vy =
Vz =
kx
ky
kz
illDx
Ül3y
ill3z
La ecuación de continuidad se escribe
div (pv)=-p(a+n3) :^
donde:
a
$
n
t
la compresibilidad del medio poroso,
la compresibilidad del fluido,
la porosidad real .
el tiempo.
Se puede considerar que el agua y el medio poroso son muy -
poco comprensibles, particularmente los acuíferos libres. -
En este caso la ecuación se puede escribir de la siguiente
manera:
div (pv) =0
«
La ecuación de continuidad expresa el hecho que la masa de
fluido permanece constante, o sea que los caudales que en--
tran en un volumen de terreno son iguales a los que salen.
La ecuación de difusibilidad representa la combinación de -
las dos ecuaciones anteriores. Se escribé:
!?(<'% !^^ |)^ f£(^# * ^= Ss Ül
3t
donde:
q = el caudal inyectado o extraído por unidad de volu¬
men.
Ss = "el almacenamiento específico del medio poroso, o -
sea la cantidad de agua que se puede obtener de una
unidad de volumen del medio poroso, cuando la pre¬sión disminuye en una unidad.
El almacenamiento específico es igual a:
Ss = p g(a+n3)
Si se considera que en el acuífero estudiado hay el mismo -
potencial sobre una misma vertical, se puede decir que el
potencial no depende de z, lo que permite escribir la ecua¬
ción de la manera siguiente:
Se puede considerar que el agua y el medio poroso son muy -
poco comprensibles, particularmente los acuíferos libres. -
En este caso la ecuación se puede escribir de la siguiente
manera:
div (pv) =0
«
La ecuación de continuidad expresa el hecho que la masa de
fluido permanece constante, o sea que los caudales que en--
tran en un volumen de terreno son iguales a los que salen.
La ecuación de difusibilidad representa la combinación de -
las dos ecuaciones anteriores. Se escribé:
!?(<'% !^^ |)^ f£(^# * ^= Ss Ül
3t
donde:
q = el caudal inyectado o extraído por unidad de volu¬
men.
Ss = "el almacenamiento específico del medio poroso, o -
sea la cantidad de agua que se puede obtener de una
unidad de volumen del medio poroso, cuando la pre¬sión disminuye en una unidad.
El almacenamiento específico es igual a:
Ss = p g(a+n3)
Si se considera que en el acuífero estudiado hay el mismo -
potencial sobre una misma vertical, se puede decir que el
potencial no depende de z, lo que permite escribir la ecua¬
ción de la manera siguiente:
ill + iltldx- dy
il illK 3t
Esta formula es aplicable para un metro de espesor de acuí¬
fero. Si la multiplicamos por el espesor del acuífero, se
escribe de la manera siguiente:
iill + iill3x' 3y=
i ÜlT 3t
donde:
T
S
Kd
Ssd
la transmisibilidad en m^/s.
el coeficiente de almacenamiento del acuífe¬
ro, lo que representa el volumen de agua que
se puede obtener de un metro cuadrado de a-
cuífero de espesor d, para una disminución
unitaria de presión.
Esta fórmula se puede 'jtilizar cuando la transmisibilidad -
no varía en un punto determinado del acuífero, o sea cuando
el espesor no varía, lo que es el caso para los acuíferos -
confinados. Si se trata de un acuífero libre, pueden pre--
sentarse abatimientos importantes, que hacen variar el espe^
sor del acuífero de manera importante, lo que influye sobre
la transmisibilidad. En este caso o cuando la forma del subs--
trato del acuífero determine la forma del mapa piezométrico
(o sea la distribución de los potenciales), se usa otra fór¬
mula.
ill + iltldx- dy
il illK 3t
Esta formula es aplicable para un metro de espesor de acuí¬
fero. Si la multiplicamos por el espesor del acuífero, se
escribe de la manera siguiente:
iill + iill3x' 3y=
i ÜlT 3t
donde:
T
S
Kd
Ssd
la transmisibilidad en m^/s.
el coeficiente de almacenamiento del acuífe¬
ro, lo que representa el volumen de agua que
se puede obtener de un metro cuadrado de a-
cuífero de espesor d, para una disminución
unitaria de presión.
Esta fórmula se puede 'jtilizar cuando la transmisibilidad -
no varía en un punto determinado del acuífero, o sea cuando
el espesor no varía, lo que es el caso para los acuíferos -
confinados. Si se trata de un acuífero libre, pueden pre--
sentarse abatimientos importantes, que hacen variar el espe^
sor del acuífero de manera importante, lo que influye sobre
la transmisibilidad. En este caso o cuando la forma del subs--
trato del acuífero determine la forma del mapa piezométrico
(o sea la distribución de los potenciales), se usa otra fór¬
mula.
6.
2) VQ.ducc¿6n de ta zcuaclôn do. ¿a¿ dl^(Ln.znc¿ai ¿¿nZ.ta¿[dli>(in.ztlzaclÔYi dzl Z6pac¿o) .
La ecuación a partir de la cual se obtiene la de diferencias
finitas es:
i_íkv ill)+ ü_ íkv ill)+ 1_ fkz ill) + o = Ss ^ax^^'^ ax^ ay ^^^ ay^ az ^^^ dz' * ^ ^^ at
Esta ecuación representa una solución continua del problema de si¬
mulación. Prácticamente el acuífero se tiene que dividir
en nodos, o unidades elementales del espacio. Se usa gene¬
ralmente una malla de forma cuadrada, pero se pueden usar
mallas de forma rectangular. Se trata de una discretización
del espacio, para el que se establece una ecuación en dife¬
rencias fini tas .
Considérese el esquema ilustrado en la fig. 1.
Aplicando la fórmula de Taylor se tiene:
h(l) = h(x+a,y)=h(0)+a^(0)+f^i^(0)+|^i^(0)4|;i^(0)+^^ ^- ax^ ^- ax^ ^' ax"
h(2) = h(x-a,y)=h(0)-a|^(0)+|-r^(0)-|í-i^(0)-¿i^(0)+ax 2. 3j^2 3. 3^3 4. 3^^
h(3) = h{x,y+a)=h(0)+a|;^(0)4^ ^{0)Á ^{0)4r (0)+'y 2: 3^.-' 3! 3^3^"' 4i 3^.'
h(4) = h{x,y-a)=h(0)-ai^(0)+|Í^(0)-¿^(0)4Í-i^{0)+. ^y ^' dy' ^' ay^ ^' ay-
6.
2) VQ.ducc¿6n de ta zcuaclôn do. ¿a¿ dl^(Ln.znc¿ai ¿¿nZ.ta¿[dli>(in.ztlzaclÔYi dzl Z6pac¿o) .
La ecuación a partir de la cual se obtiene la de diferencias
finitas es:
i_íkv ill)+ ü_ íkv ill)+ 1_ fkz ill) + o = Ss ^ax^^'^ ax^ ay ^^^ ay^ az ^^^ dz' * ^ ^^ at
Esta ecuación representa una solución continua del problema de si¬
mulación. Prácticamente el acuífero se tiene que dividir
en nodos, o unidades elementales del espacio. Se usa gene¬
ralmente una malla de forma cuadrada, pero se pueden usar
mallas de forma rectangular. Se trata de una discretización
del espacio, para el que se establece una ecuación en dife¬
rencias fini tas .
Considérese el esquema ilustrado en la fig. 1.
Aplicando la fórmula de Taylor se tiene:
h(l) = h(x+a,y)=h(0)+a^(0)+f^i^(0)+|^i^(0)4|;i^(0)+^^ ^- ax^ ^- ax^ ^' ax"
h(2) = h(x-a,y)=h(0)-a|^(0)+|-r^(0)-|í-i^(0)-¿i^(0)+ax 2. 3j^2 3. 3^3 4. 3^^
h(3) = h{x,y+a)=h(0)+a|;^(0)4^ ^{0)Á ^{0)4r (0)+'y 2: 3^.-' 3! 3^3^"' 4i 3^.'
h(4) = h{x,y-a)=h(0)-ai^(0)+|Í^(0)-¿^(0)4Í-i^{0)+. ^y ^' dy' ^' ay^ ^' ay-
Ay
y +a>-
y "
y -aI
1 -i
-Í- KX x+a
-> X
FIGURA 1
Ay
y +a>-
y "
y -aI
1 -i
-Í- KX x+a
-> X
FIGURA 1
donde:
h(0) = h(x,y)
Sise hace la suma de estas cuatro ecuaciones, se llega a la ^
c u a c i ó n :
h(l)+h{2)+h(3)+h(4)=4h(0)+a^ i^(0)+ i^{0)ax' ay^
X,"!+a^
A partir de ahí se puede escribir:
Ah(0)= i^(0)+ i^(0)= A íax ay^
h{l)+h(2)+h(3)+h(4)-4h(0)-a'* (...)
Si se considera régimen permanente, se puede decir que Ah=0,
lo que permite escribir:
h(l)+h{2):-h(3)+h(4)-4h(0)-a'* (....) = O
Obsérvese que los términos en a"* son muy pequeños, por el efecto
del factorial (4!) en el denominador, lo que permite escri¬
bir simplemente:
h(l)+h(2)+h(3)+h(4)-4h{0) = O
Esta ecuación permite decir que, en un acuífero homogéneo, o
por lo menos homogéneo al nivel de un nodo y de sus cuatro
nodos vecinos, el potencial del nodo corresponde al prome--
dio aritmético de los potenciales de los cuatro nodos veci¬
nos.
donde:
h(0) = h(x,y)
Sise hace la suma de estas cuatro ecuaciones, se llega a la ^
c u a c i ó n :
h(l)+h{2)+h(3)+h(4)=4h(0)+a^ i^(0)+ i^{0)ax' ay^
X,"!+a^
A partir de ahí se puede escribir:
Ah(0)= i^(0)+ i^(0)= A íax ay^
h{l)+h(2)+h(3)+h(4)-4h(0)-a'* (...)
Si se considera régimen permanente, se puede decir que Ah=0,
lo que permite escribir:
h(l)+h{2):-h(3)+h(4)-4h(0)-a'* (....) = O
Obsérvese que los términos en a"* son muy pequeños, por el efecto
del factorial (4!) en el denominador, lo que permite escri¬
bir simplemente:
h(l)+h(2)+h(3)+h(4)-4h{0) = O
Esta ecuación permite decir que, en un acuífero homogéneo, o
por lo menos homogéneo al nivel de un nodo y de sus cuatro
nodos vecinos, el potencial del nodo corresponde al prome--
dio aritmético de los potenciales de los cuatro nodos veci¬
nos.
3) Ve.te.^m¿nac.i6n dz la zcuacZôn dz íoi potznz¿aíz¿ , a pan.-tlK dzl balanzz dz loi> caudaZz-i a nívzt dz nodo.
Vamos a decir que el caudal que entra a un nodo es igual al
caudal que sale, lo que se expresa de la siguiente manera:
Q +Q +Q +Q +Q.=01 2 3 ^ ' .
donde;
Q » ^2' ^3» ^1* ~ ^°^ caudales de flujo subterráneo que er[tran y salen de la malla por sus cuatro lados.
Q. = el caudal de intercambio vertical con la ma^
lia, o sea el caudal de extracción por bombeo,
ó el caudal de infiltración a partir de un -
río, de la lluvia, etc.
Cada una de las expresiones, Qj, Qj, Q3 y Q.^ se pueden expr£
sar a partir de la ley do Darcy, o sea:
v = "k grad h
En la fig. 2 se muestra un nodo con potencial Mo al centro.
El caudal subterráneo entra y sale por los cuatro costados
de la malla. Son Qi, Q2, Q3 y Q«». El caudal de intercambio
entre el acuífero y el exterior se llama Q^. Consideremos
el caudal Qi que entra en la malla por el costado izquier¬
do.
Utilizando la fórmula deDarcy, se obtiene el caudal Qi mul_
tiplicando la velocidad V por el área de la sección trans--
versal, lo que viene a ser el espesor del acuífero multiply
3) Ve.te.^m¿nac.i6n dz la zcuacZôn dz íoi potznz¿aíz¿ , a pan.-tlK dzl balanzz dz loi> caudaZz-i a nívzt dz nodo.
Vamos a decir que el caudal que entra a un nodo es igual al
caudal que sale, lo que se expresa de la siguiente manera:
Q +Q +Q +Q +Q.=01 2 3 ^ ' .
donde;
Q » ^2' ^3» ^1* ~ ^°^ caudales de flujo subterráneo que er[tran y salen de la malla por sus cuatro lados.
Q. = el caudal de intercambio vertical con la ma^
lia, o sea el caudal de extracción por bombeo,
ó el caudal de infiltración a partir de un -
río, de la lluvia, etc.
Cada una de las expresiones, Qj, Qj, Q3 y Q.^ se pueden expr£
sar a partir de la ley do Darcy, o sea:
v = "k grad h
En la fig. 2 se muestra un nodo con potencial Mo al centro.
El caudal subterráneo entra y sale por los cuatro costados
de la malla. Son Qi, Q2, Q3 y Q«». El caudal de intercambio
entre el acuífero y el exterior se llama Q^. Consideremos
el caudal Qi que entra en la malla por el costado izquier¬
do.
Utilizando la fórmula deDarcy, se obtiene el caudal Qi mul_
tiplicando la velocidad V por el área de la sección trans--
versal, lo que viene a ser el espesor del acuífero multiply
Fig. 2Fig. 2
cado por el ancho de la sección, o sea dy. Se obtiene
Ql = Vedy = -k dx edy
donde:
e
dy
h
h
dx
Espesor del acuífero
Anchodelasección.
Potencial de la malla considerada.
Potencial de la malla vecina.
Distancia entre el centro de la malla vecina y el
centro de la malla considerada.
Sabe.'Tios que K multiplicado por e representa la transmisibi¬
lidad. Por otra parte, si utilizamos mallas cuadradas 5 dx=
dy y la ecuación se puede simplificar de la siguiente man£
ra:
Q, = T(h^-h)
Lo mismo para los caudales Qg, Q3» Q^. O sea que la ecua--
ción del balance de los caudales se puede escribir:
Tl (hl-ho)+T2(h2-ho)+T3(h3-ho)+T^(h^-ho)+Q^=0
Lo que nos interesa es expresar el potencial de la malla --
considerada, o sea hg, en función de los demás potenciales.
Separamos ho, lo que nos da:
(Ti +T2+T3^T^) ho= Tih,+ T^hj + Tjhj + T^h^ + Q.
cado por el ancho de la sección, o sea dy. Se obtiene
Ql = Vedy = -k dx edy
donde:
e
dy
h
h
dx
Espesor del acuífero
Anchodelasección.
Potencial de la malla considerada.
Potencial de la malla vecina.
Distancia entre el centro de la malla vecina y el
centro de la malla considerada.
Sabe.'Tios que K multiplicado por e representa la transmisibi¬
lidad. Por otra parte, si utilizamos mallas cuadradas 5 dx=
dy y la ecuación se puede simplificar de la siguiente man£
ra:
Q, = T(h^-h)
Lo mismo para los caudales Qg, Q3» Q^. O sea que la ecua--
ción del balance de los caudales se puede escribir:
Tl (hl-ho)+T2(h2-ho)+T3(h3-ho)+T^(h^-ho)+Q^=0
Lo que nos interesa es expresar el potencial de la malla --
considerada, o sea hg, en función de los demás potenciales.
Separamos ho, lo que nos da:
(Ti +T2+T3^T^) ho= Tih,+ T^hj + Tjhj + T^h^ + Q.
. 10.
o sea
Tjhi + T^h^ + T3h3 + T,h, + Q.
^0 = T, + T, + T3 + T,
El caudal de intercambio Q- representa la suma de todas las
extracciones en la malla, expresadas con valores negativos,
y todos los aportes, expresados con valores positivos.
La ecuación que acabamos de escribir nos permite calcular
el potencial de una malla en función de los potenciales de
las mallas vecinas. Pero, salvo en las fronteras del espa¬
cio estudiado, los potenciales de las mallas vecinas repre¬
sentan incógnitas. La solución se obtiene por medio de un
cálculo iterativo.
4) Vztzn.m¿nac¿ün dz ¿a tcaazZón dz toi, potznc¿atz¿ , a pafi-t¿K dzt método dz to6 ztzmznto6 {¡¿n¿to6.
La representación a partir de mallas cuadradas o rectángula
res no es la más conveniente para represeiitar los límites -
de un dominio de forma irregular. En este caso el uso de £
lementos triangulares permite adaptarse a las formas complj_
cadas -Se usan elementos chicos en partes del dominio donde
se requiere mucha precisión y usar triángulos
grandes, donde no se requiere mucha precisión o no hay mu¬
chos datos. Un ejemplo se puede apreciar en la figura nú¬
mero 3.
Los potenciales se miden en las. esquinas de los triángulos.
. 10.
o sea
Tjhi + T^h^ + T3h3 + T,h, + Q.
^0 = T, + T, + T3 + T,
El caudal de intercambio Q- representa la suma de todas las
extracciones en la malla, expresadas con valores negativos,
y todos los aportes, expresados con valores positivos.
La ecuación que acabamos de escribir nos permite calcular
el potencial de una malla en función de los potenciales de
las mallas vecinas. Pero, salvo en las fronteras del espa¬
cio estudiado, los potenciales de las mallas vecinas repre¬
sentan incógnitas. La solución se obtiene por medio de un
cálculo iterativo.
4) Vztzn.m¿nac¿ün dz ¿a tcaazZón dz toi, potznc¿atz¿ , a pafi-t¿K dzt método dz to6 ztzmznto6 {¡¿n¿to6.
La representación a partir de mallas cuadradas o rectángula
res no es la más conveniente para represeiitar los límites -
de un dominio de forma irregular. En este caso el uso de £
lementos triangulares permite adaptarse a las formas complj_
cadas -Se usan elementos chicos en partes del dominio donde
se requiere mucha precisión y usar triángulos
grandes, donde no se requiere mucha precisión o no hay mu¬
chos datos. Un ejemplo se puede apreciar en la figura nú¬
mero 3.
Los potenciales se miden en las. esquinas de los triángulos.
Fig. 3
LIMITE IMPERMEABLE
FIGURA 3.
Fig. 3
LIMITE IMPERMEABLE
FIGURA 3.
- 11-
Consideremos uno de estos puntos, conectado con un número -
variable n de puntos vecinos, o sea un número n de triá];i[
gul os.
Para determinar el potencial del punto considerado en fun--
ción de los potenciales de las mallas vecinas, vamos a tra¬
bajar como antes a partir del balance dé los caudales consj^
derando los que entran y salen a través del polígono repre¬
sentado en la figura 4 con una línea punteada. El caudal -
Ql entre los puntos O y 1 se expresa de la siguiente manera:
Q, = Tj ^ (h, -hJ
donde:
e
L
Ancho de la sección
Distancia entre los puntos O y 1
Sumando los n caudal es , 1 1 egamos a la fórmula
n e .
I T. r^ (h. - ho)1 = 1 1 L.. 1
+ Q = O
donde:
Q = caudal de intercambio.
De esta fórmula sacamos el valor de ho en función de los -
potenciales de los puntos vecinos, de la misma manera que
lo habíamos hecho para las mallas cuadradas, en el caso de
la ecuación de las diferencias finitas.
- 11-
Consideremos uno de estos puntos, conectado con un número -
variable n de puntos vecinos, o sea un número n de triá];i[
gul os.
Para determinar el potencial del punto considerado en fun--
ción de los potenciales de las mallas vecinas, vamos a tra¬
bajar como antes a partir del balance dé los caudales consj^
derando los que entran y salen a través del polígono repre¬
sentado en la figura 4 con una línea punteada. El caudal -
Ql entre los puntos O y 1 se expresa de la siguiente manera:
Q, = Tj ^ (h, -hJ
donde:
e
L
Ancho de la sección
Distancia entre los puntos O y 1
Sumando los n caudal es , 1 1 egamos a la fórmula
n e .
I T. r^ (h. - ho)1 = 1 1 L.. 1
+ Q = O
donde:
Q = caudal de intercambio.
De esta fórmula sacamos el valor de ho en función de los -
potenciales de los puntos vecinos, de la misma manera que
lo habíamos hecho para las mallas cuadradas, en el caso de
la ecuación de las diferencias finitas.
h2 ^'^' ^
FIGURA 4.
h2 ^'^' ^
FIGURA 4.
12.
n e.
^° = "û r.i=l ^ ^i .
Las dos ecuaciones son muy parecidas. La única diferencia
es que tenemos un número variable de elementos en esta últj_
ma fórmula, cuando teníamos solamente cuatro elementos en -
la anterior.
5) Vtajo pafiatzto y fiad¿at atfizdzdo-x dz un pozo.
Si simulamos el dominio del acuífero con mallas cuadradas o
rectangulares, vamos a simular los flujos como paralelos a
los ejes de coordenadas x e y. Si consideramos lo que pasa -
alrededor de un pozo de bombeo, vemos que los flujos llegan
hacia e! pozo de una manera radial. O sea que el modelo no
solamente no simula las pérdidas de carga a nivel del pozo,
que dependende la manera como ha sido construida la obra, -
ni tampoco el efecto producido por el volumen de agua conte^
nido en el pozo, pero tampoco toma en cuenta el fenómeno
del flujo radial. Hay que introducir una corrección derivadade la ecuación de J. DUPUIT para pozos completos en acuíferos confinados.
La corrección se escribe :
Ahr = Ahm x 1.466 log ~rp
donde:
Ahr = Abatimiento real, considerando el flujo radial.Ahm - Abatimiento obtenido por el modelo,
a = Tamaño de la malla cuadrada,
rp = Radio del pozo.
12.
n e.
^° = "û r.i=l ^ ^i .
Las dos ecuaciones son muy parecidas. La única diferencia
es que tenemos un número variable de elementos en esta últj_
ma fórmula, cuando teníamos solamente cuatro elementos en -
la anterior.
5) Vtajo pafiatzto y fiad¿at atfizdzdo-x dz un pozo.
Si simulamos el dominio del acuífero con mallas cuadradas o
rectangulares, vamos a simular los flujos como paralelos a
los ejes de coordenadas x e y. Si consideramos lo que pasa -
alrededor de un pozo de bombeo, vemos que los flujos llegan
hacia e! pozo de una manera radial. O sea que el modelo no
solamente no simula las pérdidas de carga a nivel del pozo,
que dependende la manera como ha sido construida la obra, -
ni tampoco el efecto producido por el volumen de agua conte^
nido en el pozo, pero tampoco toma en cuenta el fenómeno
del flujo radial. Hay que introducir una corrección derivadade la ecuación de J. DUPUIT para pozos completos en acuíferos confinados.
La corrección se escribe :
Ahr = Ahm x 1.466 log ~rp
donde:
Ahr = Abatimiento real, considerando el flujo radial.Ahm - Abatimiento obtenido por el modelo,
a = Tamaño de la malla cuadrada,
rp = Radio del pozo.
13
La utilizaciV)n del método de los elementos finitos permitetonar en cuenta este fenómeno.
En los próximos capítulos -
se estudiará la ecuación de las diferencias finitas para ma^
lias cuadradas, lo que representa la forma más simplificada
para la determinación de los potenciales.
6] Rzallzaz¿6n pfiâ.ctlca dz un modzto con matta¿ cuadrada-i.
La figura 5 presenta un nodo con sus cuatro nodos vecinos,
lo que se conoce como un esquema de 5 puntos. El nodo tie¬
ne como coordenadas (I, J), o sea que pertenece a la línea
I y 2 la columna J. El nodo de arriba llamado norte, tiene
como coordenadas (I-l, J). El nodo de la izquierda, llamado
oeste, tiene como coordenadas (I, J-1). El de la derecha, -
.llamado este, tiene como coordenadas (I, J+1). El de abajo,
llamado sur, tiene como coordenadas (I+l, J).
El nodo de coordenadas (I, J) tiene cuatro transmi si bil ida-
des hacia los cuatro nodos vecinos, la transmisibilidad noj2
te, la transmisibilidad oeste, la transmisibilidad este, y
la transmisibilidad sur. Se puede decir que la transmisibj_
lidad norte del nodo (I, J) es la misma que la transmisibi¬
lidad sur del nodo de arriba, (I-l, J). Lo mismo se puede
decir que la transmisibilidad este del nodo (I, J-1). Así
se puede ahorrar, como lo demuestra la figura No. 5, dos ta_
bias de transmisibilidad direccional es , quedando suficiente
la definición de una transmisibilidad sur y de una transmi¬
sibilidad este.
13
La utilizaciV)n del método de los elementos finitos permitetonar en cuenta este fenómeno.
En los próximos capítulos -
se estudiará la ecuación de las diferencias finitas para ma^
lias cuadradas, lo que representa la forma más simplificada
para la determinación de los potenciales.
6] Rzallzaz¿6n pfiâ.ctlca dz un modzto con matta¿ cuadrada-i.
La figura 5 presenta un nodo con sus cuatro nodos vecinos,
lo que se conoce como un esquema de 5 puntos. El nodo tie¬
ne como coordenadas (I, J), o sea que pertenece a la línea
I y 2 la columna J. El nodo de arriba llamado norte, tiene
como coordenadas (I-l, J). El nodo de la izquierda, llamado
oeste, tiene como coordenadas (I, J-1). El de la derecha, -
.llamado este, tiene como coordenadas (I, J+1). El de abajo,
llamado sur, tiene como coordenadas (I+l, J).
El nodo de coordenadas (I, J) tiene cuatro transmi si bil ida-
des hacia los cuatro nodos vecinos, la transmisibilidad noj2
te, la transmisibilidad oeste, la transmisibilidad este, y
la transmisibilidad sur. Se puede decir que la transmisibj_
lidad norte del nodo (I, J) es la misma que la transmisibi¬
lidad sur del nodo de arriba, (I-l, J). Lo mismo se puede
decir que la transmisibilidad este del nodo (I, J-1). Así
se puede ahorrar, como lo demuestra la figura No. 5, dos ta_
bias de transmisibilidad direccional es , quedando suficiente
la definición de una transmisibilidad sur y de una transmi¬
sibilidad este.
MALLAESQUEMA DE 5 PUNTOS
I- i (í . Ti
H (I, J-0
O
Sentido del flujogenerondo errores
de truncoturo
mportantes.
TS(I-1,J)
, TWd.J)
TE(!,J-0!
^ Q (!,J)
QHd.J)S(I,J )
TS (I.J)
TE(I,J )
© H ( I, J-M)
V
Q H ( I +<, J. )
MALLAESQUEMA DE 5 PUNTOS
I- i (í . Ti
H (I, J-0
O
Sentido del flujogenerondo errores
de truncoturo
mportantes.
TS(I-1,J)
, TWd.J)
TE(!,J-0!
^ Q (!,J)
QHd.J)S(I,J )
TS (I.J)
TE(I,J )
© H ( I, J-M)
V
Q H ( I +<, J. )
. 14.
Existe otra manera de definir las transmisibi 1 idades. Se -
define un solo valor de transmisibilidad correspondiendo a
cada nodo de coordenadas (I, J). Las cuatro transmisibi 1 i-
dades que se usan en la ecuación de los potenciales toman
en consideración la transmisibilidad del nodo, así como la
de los vecinos, utilizando dos posibilidades:
a) El promedio aritmético
T =To + Tl
donde:
Transmisibilidad del nodo vecino
Transmisibilidad del nodo dado.
Transmisibilidad obtenida.
b). El promedio harmónico
2ToT,
To+T,
Esta última fórmula tiene la ventaja que si uno de los dos
nodos considerados es impermeable, su transmisibilidad es -
nula y la transmisibilidad direccional calculada es también
nula. Esto impide que haya un caudal de intercambio entre
el nodo impermeable y el nodo del acuífero.
La figura número 6. representa el plano de un pequeño modelo
Se pueden apreciar los dos ejes de coordenadas:
. 14.
Existe otra manera de definir las transmisibi 1 idades. Se -
define un solo valor de transmisibilidad correspondiendo a
cada nodo de coordenadas (I, J). Las cuatro transmisibi 1 i-
dades que se usan en la ecuación de los potenciales toman
en consideración la transmisibilidad del nodo, así como la
de los vecinos, utilizando dos posibilidades:
a) El promedio aritmético
T =To + Tl
donde:
Transmisibilidad del nodo vecino
Transmisibilidad del nodo dado.
Transmisibilidad obtenida.
b). El promedio harmónico
2ToT,
To+T,
Esta última fórmula tiene la ventaja que si uno de los dos
nodos considerados es impermeable, su transmisibilidad es -
nula y la transmisibilidad direccional calculada es también
nula. Esto impide que haya un caudal de intercambio entre
el nodo impermeable y el nodo del acuífero.
La figura número 6. representa el plano de un pequeño modelo
Se pueden apreciar los dos ejes de coordenadas:
COORDENADAS Y TIPOS DE MALLASL
4-
uo
*- .
" CJ0 -
o._ tx.«>
cc o01 u
'_ _ _ . o
o o os s s
o©
COORDENADAS Y TIPOS DE MALLASL
4-
uo
*- .
" CJ0 -
o._ tx.«>
cc o01 u
'_ _ _ . o
o o os s s
o©
- 15.
El eje vertical, que representa la numeración de las lí¬
neas, de arriba hacia abajo.
El eje de coordenadas horizontal, que representa la nume^
ración de las columnas de la izquierda hacia la derecha.
El dominio simulado, incluyendo sus bord,es, tiene una forma
rectangular de 7 líneas y 5 columnas. Los nodos del borde,
o sea los de la primera y última líneas, así como los nodos
de la primera y de la última columna son de dos tipos sola¬
mente:
nodos impermeables.
nodos con potencial fijo.
O sea que no hay ningún nodo donde se calcule el potencial
en los bordes, lo que permite dar a la ecuación de los po--
tenciales una forma general.
Alrededor de todo el dominio acuífero, se imponen las coin
diciones de frontera, que son de dos tipos:
Condición de Dirichlet: potenciales impuestos.
Condición de Neuman: gradiente impuesto, o sea caudal -
de entrada del flujo subterráneo impuesto.
- 15.
El eje vertical, que representa la numeración de las lí¬
neas, de arriba hacia abajo.
El eje de coordenadas horizontal, que representa la nume^
ración de las columnas de la izquierda hacia la derecha.
El dominio simulado, incluyendo sus bord,es, tiene una forma
rectangular de 7 líneas y 5 columnas. Los nodos del borde,
o sea los de la primera y última líneas, así como los nodos
de la primera y de la última columna son de dos tipos sola¬
mente:
nodos impermeables.
nodos con potencial fijo.
O sea que no hay ningún nodo donde se calcule el potencial
en los bordes, lo que permite dar a la ecuación de los po--
tenciales una forma general.
Alrededor de todo el dominio acuífero, se imponen las coin
diciones de frontera, que son de dos tipos:
Condición de Dirichlet: potenciales impuestos.
Condición de Neuman: gradiente impuesto, o sea caudal -
de entrada del flujo subterráneo impuesto.
CAPITULO U
METOVOS Vf. CALCULO ITERATU'O:
APLICACIÓN A LA ECUACIÓN VE LAS VlfERENCIAS FTWÏTASPARA EL REGUIEM PERMANENTE
Hemos visto que la ecuación de los potenciales en un nodo -
tiene como incógnitas los potenciales de los cuatro nodos
vecinos. Para resolver este tipo de problemas se utiliza -
un método de cálculo iterativo o aproximaciones sucesivas.
Este procedimiento consiste en recorrer sucesivamente todo
el dominio donde hay que calcular los potenciales, hasta
llegar poco a poco a una solución muy cercana de la solución
matemática verdadera.
J) fundamento dzl cdtcato ¿tzfiattvo ,
La figura 7 representa el tratamiento de un caso muy simplj_
ficado. El acuífero está constituido por 10 nodos alinea--
dos, numerados de 1 a 10. A ambos lados de la línea de no¬
dos, hay terrenos impermeables. La transmisi vidad es igual
en todos los nodos. No hay ningún caudal de bombeo y nin--
gúna alimentación. El potencial en los nodos ubicados en -
los extremos de la línea está definido:
. h (1) = m
h (10) = 115
Se trata de calcular la repartición de los potenciales, en
régimen permanente, o sea, el valor de h(2), h{3) ....h(9).
CAPITULO U
METOVOS Vf. CALCULO ITERATU'O:
APLICACIÓN A LA ECUACIÓN VE LAS VlfERENCIAS FTWÏTASPARA EL REGUIEM PERMANENTE
Hemos visto que la ecuación de los potenciales en un nodo -
tiene como incógnitas los potenciales de los cuatro nodos
vecinos. Para resolver este tipo de problemas se utiliza -
un método de cálculo iterativo o aproximaciones sucesivas.
Este procedimiento consiste en recorrer sucesivamente todo
el dominio donde hay que calcular los potenciales, hasta
llegar poco a poco a una solución muy cercana de la solución
matemática verdadera.
J) fundamento dzl cdtcato ¿tzfiattvo ,
La figura 7 representa el tratamiento de un caso muy simplj_
ficado. El acuífero está constituido por 10 nodos alinea--
dos, numerados de 1 a 10. A ambos lados de la línea de no¬
dos, hay terrenos impermeables. La transmisi vidad es igual
en todos los nodos. No hay ningún caudal de bombeo y nin--
gúna alimentación. El potencial en los nodos ubicados en -
los extremos de la línea está definido:
. h (1) = m
h (10) = 115
Se trata de calcular la repartición de los potenciales, en
régimen permanente, o sea, el valor de h(2), h{3) ....h(9).
- 17.
El valor del potencial en estas mallas es desconocido. En
consecuencia, se escribe a priori:
h(2) = 0
h(3) = 0
h(9) =0
Para el tratamiento específico de este caso particular, la
fórmula de las potenciales se puede simplificar:
( \ - T*h (i-l) + T*h (i+l)u; - 2.*T
h(i) = hJAzlALMAlll
En esta fórmula como en la fórmula general, el potencial de
un nodo está calculado en función del potencial de los no--
dos vecinos. Salvo el caso de los nodos extremos, donde el
potencial está definido, en los demás nodos el potencial es
desconocido.
Se pasa por todos los nodos de potencial desconocido, calcu^
lando h(i) según la fórmula:
(2) = h(l) + h (3) ^ 100 + O 50
(3) = ^^^) : h(4) __ 50__í_0_ . 25
etc.
- 17.
El valor del potencial en estas mallas es desconocido. En
consecuencia, se escribe a priori:
h(2) = 0
h(3) = 0
h(9) =0
Para el tratamiento específico de este caso particular, la
fórmula de las potenciales se puede simplificar:
( \ - T*h (i-l) + T*h (i+l)u; - 2.*T
h(i) = hJAzlALMAlll
En esta fórmula como en la fórmula general, el potencial de
un nodo está calculado en función del potencial de los no--
dos vecinos. Salvo el caso de los nodos extremos, donde el
potencial está definido, en los demás nodos el potencial es
desconocido.
Se pasa por todos los nodos de potencial desconocido, calcu^
lando h(i) según la fórmula:
(2) = h(l) + h (3) ^ 100 + O 50
(3) = ^^^) : h(4) __ 50__í_0_ . 25
etc.
- 18.
El recorrido por todos los puntos se llama una iteración. -
Los resultados obtenidos por la primera iteración (veáse la
figura 7) son diferentes de los datos inyectados a priori.
La mayor variación VMAX (1) se registra en la malla 9:
VMAX (1) = 57.5
La segunda iteración da otros resultados:
h(2) = iOO±-il-= 62.5
etc
Y así, sucesivamente de iteración a iteración, los resulta¬
dos se acercan de la solución verdadera (valores variando
linealmente entre h(l) = 100. y h(10) = 115.), con una va--
riación máxima VMAX(K) a la iteración K, entre los poten--
c i ales calculados a la iteración K-1 y a la iteración K.
Como no se conoce la solución del cálculo, salvo en casos -
simples didácticos, VMAX (K) sirve de criterio para acabar
las iteraciones, sabiendo que se ha llegado muy cerca de la
solución verdadera: si VMAX(K) es inferior a un valor in¬
dicado muy chico, la solución obtenida es considerada como
aceptable.
En el caso de la figura 7, VMAX(K) va disminuyendo poco a -
poco, o sea que los resultados se acercan de la solución ve£
dadera: se dice que el proceso es convergente.
En otro caso, a veces, VMAX(K) va aumentando: el proceso se
- 18.
El recorrido por todos los puntos se llama una iteración. -
Los resultados obtenidos por la primera iteración (veáse la
figura 7) son diferentes de los datos inyectados a priori.
La mayor variación VMAX (1) se registra en la malla 9:
VMAX (1) = 57.5
La segunda iteración da otros resultados:
h(2) = iOO±-il-= 62.5
etc
Y así, sucesivamente de iteración a iteración, los resulta¬
dos se acercan de la solución verdadera (valores variando
linealmente entre h(l) = 100. y h(10) = 115.), con una va--
riación máxima VMAX(K) a la iteración K, entre los poten--
c i ales calculados a la iteración K-1 y a la iteración K.
Como no se conoce la solución del cálculo, salvo en casos -
simples didácticos, VMAX (K) sirve de criterio para acabar
las iteraciones, sabiendo que se ha llegado muy cerca de la
solución verdadera: si VMAX(K) es inferior a un valor in¬
dicado muy chico, la solución obtenida es considerada como
aceptable.
En el caso de la figura 7, VMAX(K) va disminuyendo poco a -
poco, o sea que los resultados se acercan de la solución ve£
dadera: se dice que el proceso es convergente.
En otro caso, a veces, VMAX(K) va aumentando: el proceso se
EJEMPLO DE CALCULO ITERATIVO
H(Î)A
ÍOO
EJEMPLO DE CALCULO ITERATIVO
H(Î)A
ÍOO
19.
rá divergente y no se llega a una solución.
El cálculo en régimen permanente y en régimen transitorio -
puede ser desarrollado por varios métodos de tratamiento.
La mejor solución es la que permite obtener los tiempos de
proceso más cortos, con una precisión aceptable.
La velocidad del tratamiento depende exclusivamente:
- de la simplicidad de la fórmula de cálculo
- de la velocidad de convergencia
Diferentes método iterativos pueden ser utilizados: los mé¬
todos de JACOBI, GAUSS -SEIDEL o FRANKEL-YOUNG ( SOBRERELAXA
CION) desarrollados con el cálculo por nodo o por línea,
2] Cátcuto poh. nodo
Viítodo dz JACOBI
Consideremos un caso similar al ejemplo desarrollado en la
figura 7. En régimen permanente o para un cierto paso de -
tiempo en régimen transitorio, se acaba el cálculo de la i-
teración K. Según el método de JACOBI, el cálculo de la
iteración siguiente K + 1 se hace utilizando los potencia--
les calculados en la iteración K (figura 8-1).
La fórmula se escribe en régimen permanente:
hn TlhOl + T2h02 + T3h03 + T4h04 + Q
"^ ~ Tl + T2 + T3 + T4
Donde
hOl, h02, h03, h04 = Potenciales de los nodos vecinos, obtenidos en
la iteración anterior.
19.
rá divergente y no se llega a una solución.
El cálculo en régimen permanente y en régimen transitorio -
puede ser desarrollado por varios métodos de tratamiento.
La mejor solución es la que permite obtener los tiempos de
proceso más cortos, con una precisión aceptable.
La velocidad del tratamiento depende exclusivamente:
- de la simplicidad de la fórmula de cálculo
- de la velocidad de convergencia
Diferentes método iterativos pueden ser utilizados: los mé¬
todos de JACOBI, GAUSS -SEIDEL o FRANKEL-YOUNG ( SOBRERELAXA
CION) desarrollados con el cálculo por nodo o por línea,
2] Cátcuto poh. nodo
Viítodo dz JACOBI
Consideremos un caso similar al ejemplo desarrollado en la
figura 7. En régimen permanente o para un cierto paso de -
tiempo en régimen transitorio, se acaba el cálculo de la i-
teración K. Según el método de JACOBI, el cálculo de la
iteración siguiente K + 1 se hace utilizando los potencia--
les calculados en la iteración K (figura 8-1).
La fórmula se escribe en régimen permanente:
hn TlhOl + T2h02 + T3h03 + T4h04 + Q
"^ ~ Tl + T2 + T3 + T4
Donde
hOl, h02, h03, h04 = Potenciales de los nodos vecinos, obtenidos en
la iteración anterior.
- 20.
La velocidad de convergencia del método de JACOBI es muy ba^
ja. Además, se necesita guardar los datos de potencial de
la iteración procedente, por medio de una tabla hO(I, J). -
Por esas razones, el método de JACOBI no es utilizado en la
práctica.
Uítodo dz GAUSS-SEJVEL
A cada iteración, el cálculo se desarrolla nodo por nodo, -
siguiendo siempre el mismo sentido, por orden creciente de
los I y J. O sea que cuando se procesa' el nodo (I, J) du--
rante la iteración K + 1:
h(I-l,J)
h(I.J-l)S
h(I+l,J 'Ih(I,J+l)
Han sido calculados en la iteración K+1, y es¬tos nuevos valores de potenciales pueden serutil i zados .
Tienen todavía su valor de la iteración K.
La ecuación que corresponde al método de GAUSS-SEIDEL, permj_
te una formulación más simple que el método de JACOBI, evi¬
tando el uso de una tabla adicional hO(I,J). Se escribe:
hOTlhl + T2h2 + T3h3 + T4h4 4 Q
Tl + T2 + T3 + T4
donde:
hl,h2,h3,h4 = Potenciales de las mallas vecinas, corre¿
pondiendo a la iteración procesada, o a laiteración anterior.
- 20.
La velocidad de convergencia del método de JACOBI es muy ba^
ja. Además, se necesita guardar los datos de potencial de
la iteración procedente, por medio de una tabla hO(I, J). -
Por esas razones, el método de JACOBI no es utilizado en la
práctica.
Uítodo dz GAUSS-SEJVEL
A cada iteración, el cálculo se desarrolla nodo por nodo, -
siguiendo siempre el mismo sentido, por orden creciente de
los I y J. O sea que cuando se procesa' el nodo (I, J) du--
rante la iteración K + 1:
h(I-l,J)
h(I.J-l)S
h(I+l,J 'Ih(I,J+l)
Han sido calculados en la iteración K+1, y es¬tos nuevos valores de potenciales pueden serutil i zados .
Tienen todavía su valor de la iteración K.
La ecuación que corresponde al método de GAUSS-SEIDEL, permj_
te una formulación más simple que el método de JACOBI, evi¬
tando el uso de una tabla adicional hO(I,J). Se escribe:
hOTlhl + T2h2 + T3h3 + T4h4 4 Q
Tl + T2 + T3 + T4
donde:
hl,h2,h3,h4 = Potenciales de las mallas vecinas, corre¿
pondiendo a la iteración procesada, o a laiteración anterior.
* 21.
El ejemplo de la figura 7 ha sido tratado por el método de
GAUSS-SEIDEL. La figura 8-2 muestra las diferencias con el
método de JACOBI (figura 3-1). La velocidad de convergen--
cia está mejorada.
Hítodo dz FRANKEL-VOUNG [SOBRERELAKACIOI^]
Para aumentar la velocidad de convergencia, la variación de
potencial entre dos iteraciones (determinada por el método
de GAUSS-SEIDEL) está multiplicada por un coeficiente p (RO)
El valor de RO varía entre 1 (método de GAUSS-SEIDEL) y 2.
A veces, en el caso de acuíferos libres donde se utiliza o-
tra ecuación que no es lineal, se requiere disminuir la ve¬
locidad de convergencia. En este caso se usan valores de
RO comprendidos entre O y 1: se trata entonces de SUBRELA-
XACION.
La ecuación de GAUSS-SEIDEL es utilizada para calcular la
variación de potencial Dh entre las iteraciones K y K+1.
Dh = ecuación de GAUSS-SEIDEL h(I.J)
Luego, el potencial h(I,J) en la iteración K+1 está calcula_
do de la siguiente manera:
h(I,J) -= h(I,J) + Dh*RO
h(I,J) del miembro derecho de las dos ecuaciones representa
el valor calculadoen la iteración K precedente.
* 21.
El ejemplo de la figura 7 ha sido tratado por el método de
GAUSS-SEIDEL. La figura 8-2 muestra las diferencias con el
método de JACOBI (figura 3-1). La velocidad de convergen--
cia está mejorada.
Hítodo dz FRANKEL-VOUNG [SOBRERELAKACIOI^]
Para aumentar la velocidad de convergencia, la variación de
potencial entre dos iteraciones (determinada por el método
de GAUSS-SEIDEL) está multiplicada por un coeficiente p (RO)
El valor de RO varía entre 1 (método de GAUSS-SEIDEL) y 2.
A veces, en el caso de acuíferos libres donde se utiliza o-
tra ecuación que no es lineal, se requiere disminuir la ve¬
locidad de convergencia. En este caso se usan valores de
RO comprendidos entre O y 1: se trata entonces de SUBRELA-
XACION.
La ecuación de GAUSS-SEIDEL es utilizada para calcular la
variación de potencial Dh entre las iteraciones K y K+1.
Dh = ecuación de GAUSS-SEIDEL h(I.J)
Luego, el potencial h(I,J) en la iteración K+1 está calcula_
do de la siguiente manera:
h(I,J) -= h(I,J) + Dh*RO
h(I,J) del miembro derecho de las dos ecuaciones representa
el valor calculadoen la iteración K precedente.
Fin. 8
DIFERENTES MÉTODOS ITERATIVOS GENERALES
© XSolución verdadero
9^»
Senlido de!
GAUSS-SEIDEL
® \x
Sentido del.-j^-*
FK'AKiKEL- YOUNG
SODRERELAXACro
(R0:í|.5)
Fin. 8
DIFERENTES MÉTODOS ITERATIVOS GENERALES
© XSolución verdadero
9^»
Senlido de!
GAUSS-SEIDEL
® \x
Sentido del.-j^-*
FK'AKiKEL- YOUNG
SODRERELAXACro
(R0:í|.5)
. 22.
La figura 8-3 presenta el esquema del método de sobrerelaxa^
ción, con un valor de RO igual a 1.5.
3) Cálculo pon. Unza.
Hasta ahora, hemos considerado el cálculo del potencial de
un nodo, a partir del potencial de los tuatro nodos vecinos
Eso constituye el cálculo por punto (o sea por nodo).
Una manera de acelerar la velocidad de convergencia consis¬
te en procesar el cálculo línea por línea. Se calcula el
potencial de una línea de nodos, comprendida entro dos no--
dos extremos con potencial (o derivada del potencial) cono¬
cido, a partir de los potenciales de las dos líneas vecinas
La velocidad de convergencia es mejorada, por el hecho de -
que el número de elementos del dominio queda muy reducido,
reemplazando los elementos consticuidos con nodos por ele--
mentos constituidos con líneas (incluyendo varios nodos).
Hay dos maneras de resolver el problema del cálculo por lí¬
nea:
Rzàoluciôn pon. 6ub¿iÁ.tuc¿6ni
Consideramos una línea, donde los potenciales se tienen que
calcular de la columna JINI (J inicial) a la columna JFIN -
(J final), tal como lo demuestra la figura 9.
Los nodos de los dos extremos, así como los nodos de las Ij^
neas vecinas, pueden sor impermeables, con potencial impues
. 22.
La figura 8-3 presenta el esquema del método de sobrerelaxa^
ción, con un valor de RO igual a 1.5.
3) Cálculo pon. Unza.
Hasta ahora, hemos considerado el cálculo del potencial de
un nodo, a partir del potencial de los tuatro nodos vecinos
Eso constituye el cálculo por punto (o sea por nodo).
Una manera de acelerar la velocidad de convergencia consis¬
te en procesar el cálculo línea por línea. Se calcula el
potencial de una línea de nodos, comprendida entro dos no--
dos extremos con potencial (o derivada del potencial) cono¬
cido, a partir de los potenciales de las dos líneas vecinas
La velocidad de convergencia es mejorada, por el hecho de -
que el número de elementos del dominio queda muy reducido,
reemplazando los elementos consticuidos con nodos por ele--
mentos constituidos con líneas (incluyendo varios nodos).
Hay dos maneras de resolver el problema del cálculo por lí¬
nea:
Rzàoluciôn pon. 6ub¿iÁ.tuc¿6ni
Consideramos una línea, donde los potenciales se tienen que
calcular de la columna JINI (J inicial) a la columna JFIN -
(J final), tal como lo demuestra la figura 9.
Los nodos de los dos extremos, así como los nodos de las Ij^
neas vecinas, pueden sor impermeables, con potencial impues
L
OINI-I JINI JINI+1 J-1 J J+1 JFÏN JFIN+1
1-1
1+1
o.
@
o
d
®
o
Q
e
o
o
o
&
&
o
®
&
o
o
o
0
9
O
O
@
O
FIGURA 9.
L
OINI-I JINI JINI+1 J-1 J J+1 JFÏN JFIN+1
1-1
1+1
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@
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®
o
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o
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&
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®
&
o
o
o
0
9
O
O
@
O
FIGURA 9.
- 23.
to o desconocido. Para cada nodo de coordenadas (I, J), la
ecuación de los potenciales se puede escribir en la forma -
siguiente:
W(J)*H(I,J-1)+C(J)*H(I,J)+E(J)*H(I,J+1) = V(J)
donde:
W(J) = parámetro (transmisibilidad) del nodo oeste(i, J-1).
C(J) = parámetro del nodo analizado (J,J).
E(J) = parámetro del nodo este (I, J+1).
V(J) = variable incluyendo los factores conocidos y de
los nodos vecinos ubicados fuera de la línea de
cálculo, o sea los nodos de coordenadas:
(T-1»J)
(Î+1.J)( I, J IN I-l) para la malla ubicada en el extrvimo oeste.
(I.JFIN + 1) para la malla ubicada en el extremo este.
En las dos extremidades, la ecuación anterior se escribe:
C(JINlj*H(I,JINI)+E(JINI)*H(I,JINI+l) = V(JINI)
W(JFIN)*H(I,JFIN-1)+C(JFIN)*H(I,JFIN) = V(JFIN)
La ecuación de los potenciales para el régimen transitorio
(ver capítulo 3), utilizando transmisi bi 1 idades direcciona-
les (ver fig. 5), se escribe de la siguiente manera, lo que
permite obtener él valor de las cuatro variables V, E, W, y
C:
- 23.
to o desconocido. Para cada nodo de coordenadas (I, J), la
ecuación de los potenciales se puede escribir en la forma -
siguiente:
W(J)*H(I,J-1)+C(J)*H(I,J)+E(J)*H(I,J+1) = V(J)
donde:
W(J) = parámetro (transmisibilidad) del nodo oeste(i, J-1).
C(J) = parámetro del nodo analizado (J,J).
E(J) = parámetro del nodo este (I, J+1).
V(J) = variable incluyendo los factores conocidos y de
los nodos vecinos ubicados fuera de la línea de
cálculo, o sea los nodos de coordenadas:
(T-1»J)
(Î+1.J)( I, J IN I-l) para la malla ubicada en el extrvimo oeste.
(I.JFIN + 1) para la malla ubicada en el extremo este.
En las dos extremidades, la ecuación anterior se escribe:
C(JINlj*H(I,JINI)+E(JINI)*H(I,JINI+l) = V(JINI)
W(JFIN)*H(I,JFIN-1)+C(JFIN)*H(I,JFIN) = V(JFIN)
La ecuación de los potenciales para el régimen transitorio
(ver capítulo 3), utilizando transmisi bi 1 idades direcciona-
les (ver fig. 5), se escribe de la siguiente manera, lo que
permite obtener él valor de las cuatro variables V, E, W, y
C:
24
/- V(J) _[-* E(J) [- W(J)
'''"' TS(UHS(l-U)+Tt(IJ)-TH(IJ-l)+S(IJ)+Jy
L c(j)
0 sea :
W(J) = -TE(I,J-1)
C(J) = TS(I,J)+TS(I-1,J)+TE(I,J)+TE(I,J-1)+S(I,J)* A
E(J) = -TE(I,J)
V(J) = TS(I,J)xH(I + l,J) +TS(I-l,J)xH(I-l,J)+Q(I,J)+S(I,J) ^^1^
En régimen permanente, no se usan los dos términos donde intervie^
ne el coeficiente de almacenamiento S y el tiempo DT.
En los dos extremos, V(J) tiene un valor particular:
V(J;:i:;=lS(IJ!;i!)*n(I+IJUU)+TS{I-lJINI)*H(I-lJirii)^(IJIHl)HS(lJINir^^-J|J^^+.7E(IJlNÍ-l)'H(L
V{Jfi;i)=TS(LJFlIl)ni(l+],JFI!O+TS{|-LJFiN)*IKI-l,JFlN)4Q(l.JFIN)+S(l,JFllO*t*0-^¿|J'^+TE(i,JF¡^^
De la ecuación particular al inicio de la línea, se deduce
el valor de H(I,J) en función del potencial de la malla si¬
guiente H(I,J+1):
HÍI UNI) - V(JINI) E(JINI) * ^,f. ,.^..,v
Lo que se puede escribir:
H(I,JINI) = ALFA(JINI)-BETA(JINI)*H(I,JINI+1)
24
/- V(J) _[-* E(J) [- W(J)
'''"' TS(UHS(l-U)+Tt(IJ)-TH(IJ-l)+S(IJ)+Jy
L c(j)
0 sea :
W(J) = -TE(I,J-1)
C(J) = TS(I,J)+TS(I-1,J)+TE(I,J)+TE(I,J-1)+S(I,J)* A
E(J) = -TE(I,J)
V(J) = TS(I,J)xH(I + l,J) +TS(I-l,J)xH(I-l,J)+Q(I,J)+S(I,J) ^^1^
En régimen permanente, no se usan los dos términos donde intervie^
ne el coeficiente de almacenamiento S y el tiempo DT.
En los dos extremos, V(J) tiene un valor particular:
V(J;:i:;=lS(IJ!;i!)*n(I+IJUU)+TS{I-lJINI)*H(I-lJirii)^(IJIHl)HS(lJINir^^-J|J^^+.7E(IJlNÍ-l)'H(L
V{Jfi;i)=TS(LJFlIl)ni(l+],JFI!O+TS{|-LJFiN)*IKI-l,JFlN)4Q(l.JFIN)+S(l,JFllO*t*0-^¿|J'^+TE(i,JF¡^^
De la ecuación particular al inicio de la línea, se deduce
el valor de H(I,J) en función del potencial de la malla si¬
guiente H(I,J+1):
HÍI UNI) - V(JINI) E(JINI) * ^,f. ,.^..,v
Lo que se puede escribir:
H(I,JINI) = ALFA(JINI)-BETA(JINI)*H(I,JINI+1)
25
Donde
V ( J I N I )ALFA(JINI) = ^l^^
BETA(JINI)=i|j|§|
Luego, se considera el nodo siguiente.' Acabamos de deter-
minar H(I,J-1) en función de H(I,J). Entonces se puede es¬
cribir:
W(J)^ ALFA(J-1)-BETA(J-1)*H(I,J) +C(J)*H(I,J)+E(J)*H(I,J+1)=V(J)
donde:
J = JINI + 1, en el caso pa^'ticular de la segunda malla
de la línea
J-1 = JINI, en este caso.
Desarrollamos el paréntesis
W(J)*ALFA(J-1)-W(J)*BETA(J-1)*H(I,J)+C(J)*H(I,J)+E(J)*H(I,J+1) = V(J)
Lo que nos permite escribir, si se pone H(I,J) en factor común
W(J)*ALFA(J-1)+ C(J)-W(J)*BETA(J-1) *H(I,J)+E(J)*H(I,J+1) = V(J)
O sea;
u n ^^ - V(J)-W(J)*ALFA(J-1) ,E(J) _^ * un i+i)" ^^'^' " c(j)-w(j)^BETATJ"n c(j)-w(j)*BËTÂTTTr '^^^>^+i'
25
Donde
V ( J I N I )ALFA(JINI) = ^l^^
BETA(JINI)=i|j|§|
Luego, se considera el nodo siguiente.' Acabamos de deter-
minar H(I,J-1) en función de H(I,J). Entonces se puede es¬
cribir:
W(J)^ ALFA(J-1)-BETA(J-1)*H(I,J) +C(J)*H(I,J)+E(J)*H(I,J+1)=V(J)
donde:
J = JINI + 1, en el caso pa^'ticular de la segunda malla
de la línea
J-1 = JINI, en este caso.
Desarrollamos el paréntesis
W(J)*ALFA(J-1)-W(J)*BETA(J-1)*H(I,J)+C(J)*H(I,J)+E(J)*H(I,J+1) = V(J)
Lo que nos permite escribir, si se pone H(I,J) en factor común
W(J)*ALFA(J-1)+ C(J)-W(J)*BETA(J-1) *H(I,J)+E(J)*H(I,J+1) = V(J)
O sea;
u n ^^ - V(J)-W(J)*ALFA(J-1) ,E(J) _^ * un i+i)" ^^'^' " c(j)-w(j)^BETATJ"n c(j)-w(j)*BËTÂTTTr '^^^>^+i'
26
Lo que se puede escribir:
H(I,J) = ALFA(J)-BETA(J)*H(I,J+1)
Donde:
ALFA(J) Vj J ) - W ( J )*ALFA(J-1)C QT^CTp B ETA(J-l)
^^"^^^^^ " C(J)-W(J)*BETA(J-1)
Esta ecuación, que tiene la misma forma que la que correspor^
de al nodo inicial, se llama ecuación de recurrencia. Ella
permite calcular los potenciales de todas las mallas de la
línea a partir del potencial de la última.
El método consiste en calcular, para cada línea ALFA(J),y -
BETA(J) con las ecuaciones que corresponden para la primera
malla, y luego para las otras hasta la última. Después se
calculan los potenciales, empezando por la última malla, ó
sea en el sentido contrario.
Las distintas técnicas de calculo utilizadas en el esquema
por malla (JACOBI, GAUSS-SEIDEL y Sobrerel a jación) se pueden
aplicar al cálculo por línea. Efi el caso de la sobrerelaja^
ción, se puede sobrerelajar todos los potenciales de una
vez, después del cálculo completo de la línea por GAUSS-SEJ^
DEL, o, lo que es .preferi bl e, sobrerelajar nodo por nodo,
utilizando para el cálculo de H(I,J) el valor ya relajado -
de H(I,J+1).
26
Lo que se puede escribir:
H(I,J) = ALFA(J)-BETA(J)*H(I,J+1)
Donde:
ALFA(J) Vj J ) - W ( J )*ALFA(J-1)C QT^CTp B ETA(J-l)
^^"^^^^^ " C(J)-W(J)*BETA(J-1)
Esta ecuación, que tiene la misma forma que la que correspor^
de al nodo inicial, se llama ecuación de recurrencia. Ella
permite calcular los potenciales de todas las mallas de la
línea a partir del potencial de la última.
El método consiste en calcular, para cada línea ALFA(J),y -
BETA(J) con las ecuaciones que corresponden para la primera
malla, y luego para las otras hasta la última. Después se
calculan los potenciales, empezando por la última malla, ó
sea en el sentido contrario.
Las distintas técnicas de calculo utilizadas en el esquema
por malla (JACOBI, GAUSS-SEIDEL y Sobrerel a jación) se pueden
aplicar al cálculo por línea. Efi el caso de la sobrerelaja^
ción, se puede sobrerelajar todos los potenciales de una
vez, después del cálculo completo de la línea por GAUSS-SEJ^
DEL, o, lo que es .preferi bl e, sobrerelajar nodo por nodo,
utilizando para el cálculo de H(I,J) el valor ya relajado -
de H(I,J+1).
27.
Rz6otuc¿6n matnlclat.
Bajo su forma matricial, el problema se plantea de la mane¬
ra siguiente:
A H = B
9
lo que representa un sistema de n ecuaciones con "n" incóg¬
nitas, osea:
^11 ^1 " «12 ^2 " '«lj ^j " "^ «1,^ ^ = '^i
«21 ^1 ^ «?2 ^? ^ '' '*' ^2 ^i ^ ** ^ «? '^n ~ ^?J ' *
1 h^ + a. 2 h2 + ... + a., h. + ... + a.^ h^ = b.
^^ hj + a^^2h2 + ... + a^. h. + ... a^^ h^ = b^
Esta serie de ecuaciones se llama un sistema de KRAMER. Es^
tá compuesto de tres matrices, ó sea:
- la matriz cuadrada de los parámetros
a ... a
a . ... a
... a.in
a Q _.
3 in
a_ . . . a^ . ... ani n] nn
27.
Rz6otuc¿6n matnlclat.
Bajo su forma matricial, el problema se plantea de la mane¬
ra siguiente:
A H = B
9
lo que representa un sistema de n ecuaciones con "n" incóg¬
nitas, osea:
^11 ^1 " «12 ^2 " '«lj ^j " "^ «1,^ ^ = '^i
«21 ^1 ^ «?2 ^? ^ '' '*' ^2 ^i ^ ** ^ «? '^n ~ ^?J ' *
1 h^ + a. 2 h2 + ... + a., h. + ... + a.^ h^ = b.
^^ hj + a^^2h2 + ... + a^. h. + ... a^^ h^ = b^
Esta serie de ecuaciones se llama un sistema de KRAMER. Es^
tá compuesto de tres matrices, ó sea:
- la matriz cuadrada de los parámetros
a ... a
a . ... a
... a.in
a Q _.
3 in
a_ . . . a^ . ... ani n] nn
la matriz columna de los términos conocidos;
28,
^b.. 1
la matriz columna de los potenciales, solución del siste^
ma de KRAMER:
H = ^-
Se resuelve el sistema por inversión de la matriz A, y luego-1multiplicación de A por B, o sea
H = A"^ B
En la práctica, se siguen los pasos siguientes:
dar su valor a cada uno de los elementos de las matricesA y B.
llamar un subprograma de inversión de matriz para calcu¬lar A'\
- muí tip! icar A" por B.
Este método, así como el método por substitución pueden utj^
lizarse para resolver de manera directa (proceso no iterati
la matriz columna de los términos conocidos;
28,
^b.. 1
la matriz columna de los potenciales, solución del siste^
ma de KRAMER:
H = ^-
Se resuelve el sistema por inversión de la matriz A, y luego-1multiplicación de A por B, o sea
H = A"^ B
En la práctica, se siguen los pasos siguientes:
dar su valor a cada uno de los elementos de las matricesA y B.
llamar un subprograma de inversión de matriz para calcu¬lar A'\
- muí tip! icar A" por B.
Este método, así como el método por substitución pueden utj^
lizarse para resolver de manera directa (proceso no iterati
29.
vo), no solamente el caso de un dominio formado por una
sola linea, sino también el caso de cualquier dominio,
si se usa el método de GAUSS-SEIDEL.
4) tÁétodo dz tai d-ínzcc¿onz¿ attznnadai>
[PEACEMAN-RACHEORV]
El método de Peaceman-Rachf ord empieza por la formulación
matricial del problema o sea: '
A H = B
Si A se divide en A^A1+A2, la fórmula se transforma:
O sea
GA1+A2)H = B
AlH = - A2H+B
Si agregamos a cada lado un término r,H = r-,IH, la fórmula
vieneaser:
AlH+rlIH = rlIH - A2H + B
O sea
(Al+rlI)H = (rlI-A2) H+B
Y, de la misma manera:
(A2+r2I)H = (r2I-Al) H+B
donde:
rl, r2 = coeficientes del método
Al, A2 = matrices cuadradas de los parámetros
Io 1
matriz unidad cuadrada, (o sea que rles una matriz cuadrada).
29.
vo), no solamente el caso de un dominio formado por una
sola linea, sino también el caso de cualquier dominio,
si se usa el método de GAUSS-SEIDEL.
4) tÁétodo dz tai d-ínzcc¿onz¿ attznnadai>
[PEACEMAN-RACHEORV]
El método de Peaceman-Rachf ord empieza por la formulación
matricial del problema o sea: '
A H = B
Si A se divide en A^A1+A2, la fórmula se transforma:
O sea
GA1+A2)H = B
AlH = - A2H+B
Si agregamos a cada lado un término r,H = r-,IH, la fórmula
vieneaser:
AlH+rlIH = rlIH - A2H + B
O sea
(Al+rlI)H = (rlI-A2) H+B
Y, de la misma manera:
(A2+r2I)H = (r2I-Al) H+B
donde:
rl, r2 = coeficientes del método
Al, A2 = matrices cuadradas de los parámetros
Io 1
matriz unidad cuadrada, (o sea que rles una matriz cuadrada).
- 30.
Con las dos ecuaciones que acabamos de escribir, se realiza
[}fí cálculo iterativo, dividido en dos partes:
primera
(Al+rl)h =(rI-A2) H^ + B
segunda mitad
(A2 + rl) H = (rl-Al) h + B
donde
Hq = potenciales calculados al final de la iteración
anterior.
h = potenciales calculados al final de la primera mi
tad de iteración (resultado intermedio).
H = potenciales calculados al final de la iteración.
Las dos ecuaciones se escriben en forma explícita
primera parte de la iteración
TNxh(I-l,J)+
-TWxHo(I,J-l)+
r-TS-TN h(.^.)+TS xh^.^^^^j
r+TE+TW Ho(i,j)-TExHo(i,j+l)
segunda parte de la iteración
T'^^"(i.j-1)^
-TNxh(i-l,j)+
r-TErTW;
r+TS+TN'I
H(i»j)+TExH(i,j+l) =
h(i,j)-TSxh(i+l,j)
- 30.
Con las dos ecuaciones que acabamos de escribir, se realiza
[}fí cálculo iterativo, dividido en dos partes:
primera
(Al+rl)h =(rI-A2) H^ + B
segunda mitad
(A2 + rl) H = (rl-Al) h + B
donde
Hq = potenciales calculados al final de la iteración
anterior.
h = potenciales calculados al final de la primera mi
tad de iteración (resultado intermedio).
H = potenciales calculados al final de la iteración.
Las dos ecuaciones se escriben en forma explícita
primera parte de la iteración
TNxh(I-l,J)+
-TWxHo(I,J-l)+
r-TS-TN h(.^.)+TS xh^.^^^^j
r+TE+TW Ho(i,j)-TExHo(i,j+l)
segunda parte de la iteración
T'^^"(i.j-1)^
-TNxh(i-l,j)+
r-TErTW;
r+TS+TN'I
H(i»j)+TExH(i,j+l) =
h(i,j)-TSxh(i+l,j)
31
donde
TN = transmisibilidad hacia el norte.
TS = Transmisibilidad hacia el sur
TW = transmisibilidad hacia el oeste.
TE = transmisibilidad hacia el este
«
Se puede apreciar que en la primera mitad de la iteración,
se calculan los potenciales de una columna a partir de los
datos de la columna oeste y de la columna este, mientras en
la segunda mitad de la iteración, se calculan los potencia¬
les de una línea. De allí viene el nombre del método.
El método de las direcciones alternadas esta adaptado a un
domin^io acuífero de forma rectangular. Su dificultad viene
de la definición del valor óptimo del coeficiente r, que ne_
cesita un valor r>0. El método puede ser interesante si el
número dc iteraci.ones necesario representa menos de la mitad
del número de iteraciones necesario con los otros métodos.
En efecto, una iteración del método de las direcciones al--
ternadas significa la resolución de dos ecuaciones sucesi¬
vas, lo que demora aproximadamente el doble de tiempo.
31
donde
TN = transmisibilidad hacia el norte.
TS = Transmisibilidad hacia el sur
TW = transmisibilidad hacia el oeste.
TE = transmisibilidad hacia el este
«
Se puede apreciar que en la primera mitad de la iteración,
se calculan los potenciales de una columna a partir de los
datos de la columna oeste y de la columna este, mientras en
la segunda mitad de la iteración, se calculan los potencia¬
les de una línea. De allí viene el nombre del método.
El método de las direcciones alternadas esta adaptado a un
domin^io acuífero de forma rectangular. Su dificultad viene
de la definición del valor óptimo del coeficiente r, que ne_
cesita un valor r>0. El método puede ser interesante si el
número dc iteraci.ones necesario representa menos de la mitad
del número de iteraciones necesario con los otros métodos.
En efecto, una iteración del método de las direcciones al--
ternadas significa la resolución de dos ecuaciones sucesi¬
vas, lo que demora aproximadamente el doble de tiempo.
CAPITULO HI
SIMULACIOWES EW REGIMEW TRANSITORIO
Hasta ahora, hemos considerado un estado estacionario
(permanente) de un acuífero. A veces, hay una variación r£
pida de los potenciales, por lo que se necesita estudiar el
problema en régimen transitorio, es decir cuando los poten¬
ciales varían en el tiempo.
La duración total de la simulación está dividida en
fracciones llamadas pasos de tiempo: es lo que constituye
la discretización del tiempo, análoga a la discretización -
del topacio en elementos o nodos.
Hemos escrito la ecuación de difusibilidad, para un a-
cuífero donde no intervienen flujos verticales, de la mane¬
ra siguiente:
9lll -í- iUl = i 3h .,--..-...
3^2 3y2 ~ T ^ _ ,:_,::
donde:
S = el coeficiente de almacenamiento del acuífero, loque representa el volumen de agua que se puede ob¬
tener de un metro cuadrado de acuífero, para una
disminución unitaria de presión.
Esto significa que el coeficiente de almacenamiento de
un nodo entero se escribe:
S X dx x dy
CAPITULO HI
SIMULACIOWES EW REGIMEW TRANSITORIO
Hasta ahora, hemos considerado un estado estacionario
(permanente) de un acuífero. A veces, hay una variación r£
pida de los potenciales, por lo que se necesita estudiar el
problema en régimen transitorio, es decir cuando los poten¬
ciales varían en el tiempo.
La duración total de la simulación está dividida en
fracciones llamadas pasos de tiempo: es lo que constituye
la discretización del tiempo, análoga a la discretización -
del topacio en elementos o nodos.
Hemos escrito la ecuación de difusibilidad, para un a-
cuífero donde no intervienen flujos verticales, de la mane¬
ra siguiente:
9lll -í- iUl = i 3h .,--..-...
3^2 3y2 ~ T ^ _ ,:_,::
donde:
S = el coeficiente de almacenamiento del acuífero, loque representa el volumen de agua que se puede ob¬
tener de un metro cuadrado de acuífero, para una
disminución unitaria de presión.
Esto significa que el coeficiente de almacenamiento de
un nodo entero se escribe:
S X dx x dy
33
donde:
dx, dy = dimensiones del nodo,
dx X dy = área del nodo.
En otros términos, la variación del volumen de agua en el nodo
sepuedeescribir:9
dv = S dx dy dh
donde
be:
dh = variación de potencial en el nodo
Hablando en términos de caudales, esto se escri
n dv _ c j j dhQv = ^ - S dx dy ^
- S dx dyh^
dt
donde:
Qv = variación de reservas de agua expresada en térmi¬nos de caudales.
h = potencial de la malla al inicio del paso de tiempo
h = potencial de la malla al final del paso de tiempo
dt = duración del intervalo' (paso) de tiempo.
O sea
h '^oQv = S dx dy ^ - S dx dy jr
Si agregamos este término en la ecuación del balance
de los caudales:
33
donde:
dx, dy = dimensiones del nodo,
dx X dy = área del nodo.
En otros términos, la variación del volumen de agua en el nodo
sepuedeescribir:9
dv = S dx dy dh
donde
be:
dh = variación de potencial en el nodo
Hablando en términos de caudales, esto se escri
n dv _ c j j dhQv = ^ - S dx dy ^
- S dx dyh^
dt
donde:
Qv = variación de reservas de agua expresada en térmi¬nos de caudales.
h = potencial de la malla al inicio del paso de tiempo
h = potencial de la malla al final del paso de tiempo
dt = duración del intervalo' (paso) de tiempo.
O sea
h '^oQv = S dx dy ^ - S dx dy jr
Si agregamos este término en la ecuación del balance
de los caudales:
34
^1 + Q2 * ^3 ^ ^4 ^ ^i ^ ^v ' °
Llegamos a la formulación siguiente del potencial de
una malla:
h.
h =
T^h^+T2h2n3h3+T^h^ + Q.+S dxdy ^
Tj+T2+T3+T4+Sdxdy A
Se trata de la ecuación para mallas cuadradas, donde -
dx=dy, lo que ha permitido eliminar los términos dx/dy.
Dos esquemas se pueden usar para resolver la ecuación
de los potenciales, y existe una infinidad de esquemas in--
termedios, utilizando una cierta proporción de los dos es¬
quemas extremos.
E¿Quciíia zxptícZto:
El potencial de una malla al final de un paso de tiem¬
po se puede expresar en función de los potenciales de las
mallas vecinas al paso del tiempo anterior. La ecuación se
escribe, en le caso de transmi sibil idades direccional es :
. , _ T3(ij)%¿';(iiij^]i(ij)^a(i>i)ns(i-]j)'ig(i-ij)^TE(ij-i)r4a(!j-i)^(ij)4S(ij)'DX'Dr'^/J^TS(IJ)+lL(lJ)+TS(i-lJHlE(IJ-i)+S(IJ)"DX*Dr~J=.
donde:
HO(I,J) = potencial al final del paso de tiempo NT(inj_
cío del paso de tiempo NT+1)
H (I,J) = potencial al final del paso de tiempo NT+1
34
^1 + Q2 * ^3 ^ ^4 ^ ^i ^ ^v ' °
Llegamos a la formulación siguiente del potencial de
una malla:
h.
h =
T^h^+T2h2n3h3+T^h^ + Q.+S dxdy ^
Tj+T2+T3+T4+Sdxdy A
Se trata de la ecuación para mallas cuadradas, donde -
dx=dy, lo que ha permitido eliminar los términos dx/dy.
Dos esquemas se pueden usar para resolver la ecuación
de los potenciales, y existe una infinidad de esquemas in--
termedios, utilizando una cierta proporción de los dos es¬
quemas extremos.
E¿Quciíia zxptícZto:
El potencial de una malla al final de un paso de tiem¬
po se puede expresar en función de los potenciales de las
mallas vecinas al paso del tiempo anterior. La ecuación se
escribe, en le caso de transmi sibil idades direccional es :
. , _ T3(ij)%¿';(iiij^]i(ij)^a(i>i)ns(i-]j)'ig(i-ij)^TE(ij-i)r4a(!j-i)^(ij)4S(ij)'DX'Dr'^/J^TS(IJ)+lL(lJ)+TS(i-lJHlE(IJ-i)+S(IJ)"DX*Dr~J=.
donde:
HO(I,J) = potencial al final del paso de tiempo NT(inj_
cío del paso de tiempo NT+1)
H (I,J) = potencial al final del paso de tiempo NT+1
- 35.
Los potenciales del segundo miembro de la ecuación son
conocidos o sea que el potencial de cada malla se puede cal_
cular directamente sin necesidad de un proceso iterativo. -
La figura 10-1 presenta la significación gráfica de la ecua^
ción explícita. La ecuación explícita se puede aplicar so¬
lamente cuando se observa la siguiente inecuación:
dt -, ... S^^<valor mimmo de p?-dxdy ^'
En el caso contrario, los errores.de cálculo se acumu¬
lan de un paso de tiempo al siguiente y el cálculo es ines¬
table, o sea que, después de un cierto número de pasos de
tiempo, los resultados son completamente falsos. Para qui¬
tar esto se tiene que utilizar pasos de tiempo muy cortos,
por lo que se aumentan el volumen de cálculos y el tiempo -
de computación.
E¿quzma ¿mptX.ci.toi
El potencial de una malla al final de un paso de tiem¬
po se puede expresar en función de los potenciales de las
mallas vecinas al mismo paso de tiempo y del potencial de
la malla al paso de tiempo anterior. Ahora, una parte de -
los potenciales del miembro derecho de las ecuaciones son
desconocidas, y se necesita un proceso iterativo, o sea que
se usa uno de los métodos iterativos que hemos visto aplj
cados al régimen permanente.
- 35.
Los potenciales del segundo miembro de la ecuación son
conocidos o sea que el potencial de cada malla se puede cal_
cular directamente sin necesidad de un proceso iterativo. -
La figura 10-1 presenta la significación gráfica de la ecua^
ción explícita. La ecuación explícita se puede aplicar so¬
lamente cuando se observa la siguiente inecuación:
dt -, ... S^^<valor mimmo de p?-dxdy ^'
En el caso contrario, los errores.de cálculo se acumu¬
lan de un paso de tiempo al siguiente y el cálculo es ines¬
table, o sea que, después de un cierto número de pasos de
tiempo, los resultados son completamente falsos. Para qui¬
tar esto se tiene que utilizar pasos de tiempo muy cortos,
por lo que se aumentan el volumen de cálculos y el tiempo -
de computación.
E¿quzma ¿mptX.ci.toi
El potencial de una malla al final de un paso de tiem¬
po se puede expresar en función de los potenciales de las
mallas vecinas al mismo paso de tiempo y del potencial de
la malla al paso de tiempo anterior. Ahora, una parte de -
los potenciales del miembro derecho de las ecuaciones son
desconocidas, y se necesita un proceso iterativo, o sea que
se usa uno de los métodos iterativos que hemos visto aplj
cados al régimen permanente.
FIGURA 10.
DIFERENTES MÉTODOS EN REGIMEN TRANSITORIO
ECUACIÓN EXPLICITA
(cálculo directo)
©
ECUACIÓN IMPLÍCITA(Con método de Gauss - Seidel )
©
Solucio'n o i fino I del
poso de tiempo NT
Solución ol fino! del
poso C¿ tiempo NT4 I
Solución ol finol del
poso de tiempo NT
^'* NT-^I ifcrocicjn K
...o NT+1 itcroclónKfl
Solución ol finol del
poso de tiempo NT+1
FIGURA 10.
DIFERENTES MÉTODOS EN REGIMEN TRANSITORIO
ECUACIÓN EXPLICITA
(cálculo directo)
©
ECUACIÓN IMPLÍCITA(Con método de Gauss - Seidel )
©
Solucio'n o i fino I del
poso de tiempo NT
Solución ol fino! del
poso C¿ tiempo NT4 I
Solución ol finol del
poso de tiempo NT
^'* NT-^I ifcrocicjn K
...o NT+1 itcroclónKfl
Solución ol finol del
poso de tiempo NT+1
- 36.
La ecuación anterior se escribe, en el caso del esque¬
ma implícito, utilizando por ejemplo el método de GAUSS-SEj_
DEL:
_.. ^ _ L(iJ)^iM4J)^TE(lJ)'H(l>lHTS(l-IJ)^i^(l-lJ)^^E(^J-l)H(l,J-lK::^>S(IJ)*Ii:<'D\"'^7if'^TS(IJ)-TI(l,J)+T3(l-l,J)+Tt:(lJ-í)+S(IJ)*DA*D'r I-
DÎ
La figura 10-2 presenta la significación gráfica de la
ecuación implícita, tratada por el método de GAUSS-SEIDEL.
Por su estabilidad en todos los casos, la ecuación im¬
plícita es más utilizada que la ecuación explícita.
E6qazma6 mtxtoí:
La combinación de los dos esquemas constituye lo que -
podemos llamar los esquemas mixtos o intermedios. La ecua¬
ción se escribe:
H(I,J) = e * ecuación implícita + (1-9)^ ecuación explícita!J
donde:
0<e<l
- si 0=1 es el caso de la ecuación implícita.
- si 6=0 es el caso de la ecuación explícita.
- si 0=-2- se trata del esquema de CRANK-NICHOLSON
Las ecuaciones mixtas implícitas, para p" ^9^1. inclur-
yendo el esquema de CRANK-NICHOLSON, son estables en todos
- 36.
La ecuación anterior se escribe, en el caso del esque¬
ma implícito, utilizando por ejemplo el método de GAUSS-SEj_
DEL:
_.. ^ _ L(iJ)^iM4J)^TE(lJ)'H(l>lHTS(l-IJ)^i^(l-lJ)^^E(^J-l)H(l,J-lK::^>S(IJ)*Ii:<'D\"'^7if'^TS(IJ)-TI(l,J)+T3(l-l,J)+Tt:(lJ-í)+S(IJ)*DA*D'r I-
DÎ
La figura 10-2 presenta la significación gráfica de la
ecuación implícita, tratada por el método de GAUSS-SEIDEL.
Por su estabilidad en todos los casos, la ecuación im¬
plícita es más utilizada que la ecuación explícita.
E6qazma6 mtxtoí:
La combinación de los dos esquemas constituye lo que -
podemos llamar los esquemas mixtos o intermedios. La ecua¬
ción se escribe:
H(I,J) = e * ecuación implícita + (1-9)^ ecuación explícita!J
donde:
0<e<l
- si 0=1 es el caso de la ecuación implícita.
- si 6=0 es el caso de la ecuación explícita.
- si 0=-2- se trata del esquema de CRANK-NICHOLSON
Las ecuaciones mixtas implícitas, para p" ^9^1. inclur-
yendo el esquema de CRANK-NICHOLSON, son estables en todos
.37.
los casos, o sea que la duración del paso de tiempo puede -
tener cualquier valor. Para 0< -p» la condición de estabilj^
dad del método se escribe:
DTDX*DY
valor mínimo de1
1-20 ^T
El inconveniente de los esquemas mixtos es que se llega a una
formulación muy complicada, lo que aumenta los tiempos de -
calcul 0.
Aún cuando se trate de una ecuación implícita, no se -
puede aumentar demasiado la duración de un paso de tiempo,
de acuerdo a la precisión que se desea. Si se aumenta la
duración de un intervalo de tiempo, esto aumenta los e. ro--
res de truncatura (curvas en forma de escalera), de la Mis¬
ma manera que había errores de truncatura en el espacio con
mallas de un tamaño exagerado (ver fig. 5),
.37.
los casos, o sea que la duración del paso de tiempo puede -
tener cualquier valor. Para 0< -p» la condición de estabilj^
dad del método se escribe:
DTDX*DY
valor mínimo de1
1-20 ^T
El inconveniente de los esquemas mixtos es que se llega a una
formulación muy complicada, lo que aumenta los tiempos de -
calcul 0.
Aún cuando se trate de una ecuación implícita, no se -
puede aumentar demasiado la duración de un paso de tiempo,
de acuerdo a la precisión que se desea. Si se aumenta la
duración de un intervalo de tiempo, esto aumenta los e. ro--
res de truncatura (curvas en forma de escalera), de la Mis¬
ma manera que había errores de truncatura en el espacio con
mallas de un tamaño exagerado (ver fig. 5),
CAPITULO IV
SIIÁULACION VE LOS ACUÍFEROS LIBRES
Hasta ahora, hemos considerado acuíferos confinados S}_
mulados en plano, o sea considerando que no hay flujos sub¬
terráneos en el sentido vertical. Si no es éste el caso,
se pueden desarrollar ecuaciones similares a las que acaba¬
mos de ver, para dominios tridimensionales (movimientos en
las tres direcciones del espacio) o dominios representados
en corte, si se puede asumir que no hay flujos en el senti¬
do de uno de los dos ejes horizontales (caso de la simula--
ción de un dren, por ejemplo).
Un caso muy frecuente es la simulación de un acuífero
libre en plano. Al contrario de un acuífero confinado, el
acuífero libre tiene como particularidad la variación de su
espesor en cada punto de acuerdo a la variación de los po--
tenciales: la superficie libre del acuífero representa al
mismo tiempo el nivel del potencial y el techo del acuífero.
En este caso, una variación de potencial genera una v¿
riación de espesor del acuífero, lo que provoca una varia--
ción de transmisibilidad.
Además, la forma del substrato impermeable influye so¬
bre la repartición de los potenciales, de la misma manera -
que la pendiente del lecho de un río determina el gradiente
CAPITULO IV
SIIÁULACION VE LOS ACUÍFEROS LIBRES
Hasta ahora, hemos considerado acuíferos confinados S}_
mulados en plano, o sea considerando que no hay flujos sub¬
terráneos en el sentido vertical. Si no es éste el caso,
se pueden desarrollar ecuaciones similares a las que acaba¬
mos de ver, para dominios tridimensionales (movimientos en
las tres direcciones del espacio) o dominios representados
en corte, si se puede asumir que no hay flujos en el senti¬
do de uno de los dos ejes horizontales (caso de la simula--
ción de un dren, por ejemplo).
Un caso muy frecuente es la simulación de un acuífero
libre en plano. Al contrario de un acuífero confinado, el
acuífero libre tiene como particularidad la variación de su
espesor en cada punto de acuerdo a la variación de los po--
tenciales: la superficie libre del acuífero representa al
mismo tiempo el nivel del potencial y el techo del acuífero.
En este caso, una variación de potencial genera una v¿
riación de espesor del acuífero, lo que provoca una varia--
ción de transmisibilidad.
Además, la forma del substrato impermeable influye so¬
bre la repartición de los potenciales, de la misma manera -
que la pendiente del lecho de un río determina el gradiente
- 39.
del flujo de agua (la cota sobre el nivel del mar intervie¬
ne).
Estos dos fenómenos se pueden apreciar en la fji_
gura 11.
En esa figura se han usado los siguientes literales:
E = espesor del acuífero.
e = espesor reducido por el abatimiento debido al cau¬
dal de bombeo Q.
K = permeabilidad del acuífero (constante)
T = transmi sibi 1 idad .
t = Ke = transmisibilidad reducida por la disminución
de espesor.
La ecuación de los potenciales para acuíferos confina--
dos es:
h = f (T,... )
En este caso, para acuíferos libres, se escribe:
h = ff rKx(h-z)
donde:
T
h
K
z
transmi sibi 1 idad .
potencial .
perméabi 1 idad
cota del substrato
- 39.
del flujo de agua (la cota sobre el nivel del mar intervie¬
ne).
Estos dos fenómenos se pueden apreciar en la fji_
gura 11.
En esa figura se han usado los siguientes literales:
E = espesor del acuífero.
e = espesor reducido por el abatimiento debido al cau¬
dal de bombeo Q.
K = permeabilidad del acuífero (constante)
T = transmi sibi 1 idad .
t = Ke = transmisibilidad reducida por la disminución
de espesor.
La ecuación de los potenciales para acuíferos confina--
dos es:
h = f (T,... )
En este caso, para acuíferos libres, se escribe:
h = ff rKx(h-z)
donde:
T
h
K
z
transmi sibi 1 idad .
potencial .
perméabi 1 idad
cota del substrato
FIGURA 11.FIGURA 11.
40.
Las dos flechas esquematizan el doble sentido del
calcul o:
la transmisibilidad, o sea Kx(h-z), determina el valor -
de h.
el potencial h influye sobre la transmisibilidad.
Es lo que se llama una ecuación no-lineal.
Se resuelve de la manera siguiente. Al inicio de cada
iteración, o sea dentro del cálculo iterativo, se determi--
nan los valores de T, que permiten aplicar la ecuación de
lospotenciales.
Hay a veces problemas con la convergencia del. cálculo
iterativo. Si los valores de transmisibilidad varían de
una manera demasiado rápida de una iteración a otra, esto
produce una divergencia en el cálculo de los potenciales. -
En este caso, hay la necesidad de disminuir la velocidad de
convergencia, por ejemplo utilizando la subrerel ajación (va^
lores de p inferiores a 1, o sea 0<p<l), lo que produce
una velocidad más baja que con el método de GAUSS-SEIDEL.
De todas maneras, es prudente definir un espesor míni¬
mo de acuífero, para que las mallas acuíferas no vayan a re
sultar impermeables. Un cambio de la geometría del acuífe¬
ro dentro del cálculo iterativo (creación de mallas imper--
meables por disminución del espesor acuífero) tiene que ser
controlado.
40.
Las dos flechas esquematizan el doble sentido del
calcul o:
la transmisibilidad, o sea Kx(h-z), determina el valor -
de h.
el potencial h influye sobre la transmisibilidad.
Es lo que se llama una ecuación no-lineal.
Se resuelve de la manera siguiente. Al inicio de cada
iteración, o sea dentro del cálculo iterativo, se determi--
nan los valores de T, que permiten aplicar la ecuación de
lospotenciales.
Hay a veces problemas con la convergencia del. cálculo
iterativo. Si los valores de transmisibilidad varían de
una manera demasiado rápida de una iteración a otra, esto
produce una divergencia en el cálculo de los potenciales. -
En este caso, hay la necesidad de disminuir la velocidad de
convergencia, por ejemplo utilizando la subrerel ajación (va^
lores de p inferiores a 1, o sea 0<p<l), lo que produce
una velocidad más baja que con el método de GAUSS-SEIDEL.
De todas maneras, es prudente definir un espesor míni¬
mo de acuífero, para que las mallas acuíferas no vayan a re
sultar impermeables. Un cambio de la geometría del acuífe¬
ro dentro del cálculo iterativo (creación de mallas imper--
meables por disminución del espesor acuífero) tiene que ser
controlado.
CAPITULO V
OPTÍMTZACIOW VEL CALCULO ITERATIVO
Para reducir los tiempos de cálculo por computadora, -«
se trata de llegar lo más rápidamente que se puede cerca de
la solución matemática verdadera. La velocidad del trata--
miento va a depender de dos factores:
la simplicidad de la fórmula de. cálculo: un esquema mix¬
to (CRANK-NICHOLSON por ejemplo) en régimen transitorio
o el método délas direcciones alternadas van a necesi--
tar aproximadamente un tiempo doble para cada iteración.
la velocidad de convergencia: se va a obtener la máxi¬
ma velocidad, utilizando el método más apropiado para cai^
"da caso particular, e introduciendo el valor óptimo del
parámetro de cálculo, o sea p si se trata de la sobrere-
.^ -lajación.
Además, no se hace el cálculo hasta un número determi¬
nado de iteraciones, sino que se verifica la convergencia y
se termina el cálculo cuando se ha llegado a una aproxima--
ción satisfactoria.
n PRUEBA VE FIM VEL CALCULO ITERATIVO
Hemos visto (capítulo II, primera parte, y figura 7) -
que se verifica la velocidad de convergencia con la varia--
CAPITULO V
OPTÍMTZACIOW VEL CALCULO ITERATIVO
Para reducir los tiempos de cálculo por computadora, -«
se trata de llegar lo más rápidamente que se puede cerca de
la solución matemática verdadera. La velocidad del trata--
miento va a depender de dos factores:
la simplicidad de la fórmula de. cálculo: un esquema mix¬
to (CRANK-NICHOLSON por ejemplo) en régimen transitorio
o el método délas direcciones alternadas van a necesi--
tar aproximadamente un tiempo doble para cada iteración.
la velocidad de convergencia: se va a obtener la máxi¬
ma velocidad, utilizando el método más apropiado para cai^
"da caso particular, e introduciendo el valor óptimo del
parámetro de cálculo, o sea p si se trata de la sobrere-
.^ -lajación.
Además, no se hace el cálculo hasta un número determi¬
nado de iteraciones, sino que se verifica la convergencia y
se termina el cálculo cuando se ha llegado a una aproxima--
ción satisfactoria.
n PRUEBA VE FIM VEL CALCULO ITERATIVO
Hemos visto (capítulo II, primera parte, y figura 7) -
que se verifica la velocidad de convergencia con la varia--
. 42,
ción de los potenciales de una iteración a la siguiente.
Cuando esta variación viene aser muy chica, se considera
que el cálculo ha logrado una buena aproximación de la so--
lución verdadera. En realidad, existen dos posibilidades
para verificar la convergencia:
1. La utilización de los potenciales.
2. La utilización del balance de los caudales a nivel
de una mal 1 a .
Uttttzactón dz to6 potznctatzs como fizilduo dz convzngzncta.
Es lo que hemos hecho y lo que se hace en la práctica.
Se puede calcular:
la suma de las diferencias de potencial de una iteración
a otra en todo el dominio: pero el valor obtenido depen¬
de del número de nodos , así que no se usa este parame--
tro.
el promedio por nodo de estas diferencias.
el valor máximo de estas diferencias, registrado en cuaj_
quiera de los nodos del dominio: este parámetro es el
más "exigente" porque depende de la malla donde hay la -
menor velocidad de convergencia,
Al final de cada iteración, se verifica si el paráme--
tro, llamado "residuo de convergencia" tiene o no un valor
inferior a un valor e escogido, que puede ser 0.001 ó 0.0001
metros. Si es el caso, allí se termina el cálculo.
. 42,
ción de los potenciales de una iteración a la siguiente.
Cuando esta variación viene aser muy chica, se considera
que el cálculo ha logrado una buena aproximación de la so--
lución verdadera. En realidad, existen dos posibilidades
para verificar la convergencia:
1. La utilización de los potenciales.
2. La utilización del balance de los caudales a nivel
de una mal 1 a .
Uttttzactón dz to6 potznctatzs como fizilduo dz convzngzncta.
Es lo que hemos hecho y lo que se hace en la práctica.
Se puede calcular:
la suma de las diferencias de potencial de una iteración
a otra en todo el dominio: pero el valor obtenido depen¬
de del número de nodos , así que no se usa este parame--
tro.
el promedio por nodo de estas diferencias.
el valor máximo de estas diferencias, registrado en cuaj_
quiera de los nodos del dominio: este parámetro es el
más "exigente" porque depende de la malla donde hay la -
menor velocidad de convergencia,
Al final de cada iteración, se verifica si el paráme--
tro, llamado "residuo de convergencia" tiene o no un valor
inferior a un valor e escogido, que puede ser 0.001 ó 0.0001
metros. Si es el caso, allí se termina el cálculo.
43.
Haber llegado a un residuo de convergencia inferior a
e no significa que se ha llegado a una diferencia e con la
solución verdadera. En realidad, la diferencia entre la so^
lución verdadera y el resultado obtenido es mayor que e .
Se puede apreciar la velocidad de convergencia, hacie£
do un gráfico parecido al de la figura 12. El eje horizon¬
tal representa el número de iteraciones. El eje vertical -
representa (generalmente con escala logarítmica) el valor
del parámetro utilizado.
En la figura 12, se ve que la sobrerel ajación da mejo¬
res resultados que el método de GAUSS-SEIDEL.
Utilización dzl balancz dz loé caudalzi como Kzàlduo dz con_
vzKQzncla.
La ecuación de los potenciales en un nodo se deduce
a partir de la ecuación del balance de los caudales. O sea
que, si hemos llegado a un resultado satisfactorio, el ba--
lance de los caudales debe estar en equilibrio, lo que se
escribe:
Q1+Q2+Q3+Q4+QÍ < E
donde:
e = valor permitido del residuo de convergencia
O sea que se puede calcular el balance de los caudales
al fin de cada iteración, después de terminar el cálculo de
43.
Haber llegado a un residuo de convergencia inferior a
e no significa que se ha llegado a una diferencia e con la
solución verdadera. En realidad, la diferencia entre la so^
lución verdadera y el resultado obtenido es mayor que e .
Se puede apreciar la velocidad de convergencia, hacie£
do un gráfico parecido al de la figura 12. El eje horizon¬
tal representa el número de iteraciones. El eje vertical -
representa (generalmente con escala logarítmica) el valor
del parámetro utilizado.
En la figura 12, se ve que la sobrerel ajación da mejo¬
res resultados que el método de GAUSS-SEIDEL.
Utilización dzl balancz dz loé caudalzi como Kzàlduo dz con_
vzKQzncla.
La ecuación de los potenciales en un nodo se deduce
a partir de la ecuación del balance de los caudales. O sea
que, si hemos llegado a un resultado satisfactorio, el ba--
lance de los caudales debe estar en equilibrio, lo que se
escribe:
Q1+Q2+Q3+Q4+QÍ < E
donde:
e = valor permitido del residuo de convergencia
O sea que se puede calcular el balance de los caudales
al fin de cada iteración, después de terminar el cálculo de
I'ARIACIOH MAXIMA OE UNAITEfiAClOH A OTRA V MAX
>!>! ,
I I f I
FIGURA 12.
T-rTnr
'::::z VELOCIDADES de convergencia . ty
MÉTODO DE GAUSS - SEIDEL Y SURRELAXACION
'"'- ¿\ REGIMEN PERMANENTE
] VALLE DEL CHILLÓN
1 1833 MALLAS J
-ni'.. -z-.-f.-.-T.---^ -.-ur.-.-.x. ;:;:;:::. J
c ' - --
-.- - t
20 25- SO
i . 1 - . ,.
' 40 45HUMERO OE ITERACIONES
*«.
n-*
W
I'ARIACIOH MAXIMA OE UNAITEfiAClOH A OTRA V MAX
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I I f I
FIGURA 12.
T-rTnr
'::::z VELOCIDADES de convergencia . ty
MÉTODO DE GAUSS - SEIDEL Y SURRELAXACION
'"'- ¿\ REGIMEN PERMANENTE
] VALLE DEL CHILLÓN
1 1833 MALLAS J
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c ' - --
-.- - t
20 25- SO
i . 1 - . ,.
' 40 45HUMERO OE ITERACIONES
*«.
n-*
W
44.
los potenciales en todo el dominio (y no al mismo tiempo).
Como en el caso de los potenciales, se verifica el promedio
o el valor máximo" de los balances a nivel de los nodos del
dominio.
Esta técnica no se usa en la práctica, por que necesi¬
ta el desarrollo de una fórmula del mismo tamaño que la e-
cuación de los potenciales, lo que duplica los tiempos de
proceso. La fórmula se escribe:
h i - h o^es-^iW^^' dyi = l
donde:
Q = balance residual que tiene que ser inferior a e.
Q. = caudad de intercambio.
Ti = transmisibilidad entre la malla central y la -
mal 1 a veci na i .
hi = potencial de la malla vecina i.
ho = potencial de la malla central.
dXjdy = dimensiones de una malla.
2) PETERMÏWACIOW VEL VALOR VEL PARÁMETRO p VE SOBRERELAXA¬
CION, EN EL CASO VE UN NUMERO INFINITO VE ITERACIONES.
La sobrerelaxación, que es el método que da la mayor -
velocidad de convergencia, necesita la determinación del v¿
lor óptimo de p. La figura 13 corresponde al tratamiento de
un caso determinado con tres valores distintos de p. El va
44.
los potenciales en todo el dominio (y no al mismo tiempo).
Como en el caso de los potenciales, se verifica el promedio
o el valor máximo" de los balances a nivel de los nodos del
dominio.
Esta técnica no se usa en la práctica, por que necesi¬
ta el desarrollo de una fórmula del mismo tamaño que la e-
cuación de los potenciales, lo que duplica los tiempos de
proceso. La fórmula se escribe:
h i - h o^es-^iW^^' dyi = l
donde:
Q = balance residual que tiene que ser inferior a e.
Q. = caudad de intercambio.
Ti = transmisibilidad entre la malla central y la -
mal 1 a veci na i .
hi = potencial de la malla vecina i.
ho = potencial de la malla central.
dXjdy = dimensiones de una malla.
2) PETERMÏWACIOW VEL VALOR VEL PARÁMETRO p VE SOBRERELAXA¬
CION, EN EL CASO VE UN NUMERO INFINITO VE ITERACIONES.
La sobrerelaxación, que es el método que da la mayor -
velocidad de convergencia, necesita la determinación del v¿
lor óptimo de p. La figura 13 corresponde al tratamiento de
un caso determinado con tres valores distintos de p. El va
lACIOH MAXIMA OC UNARACIÓN A OTRA _ FIGURA 13.
1 . ! TT
~:.";:VELOClDADES DE CONVERGENCIA
MÉTODO DE SURRELAXACION CON DIFERENTES
_.__- VALORES DE RO . . - ... _ :
I RÉGIMEN PERMANENTE
\ VALLE OE LUniN
10 15 20 25 30 &C
A.»C.c.m.
40 _ _ . 45 toNUWERO DE ITtRAClONt:
lACIOH MAXIMA OC UNARACIÓN A OTRA _ FIGURA 13.
1 . ! TT
~:.";:VELOClDADES DE CONVERGENCIA
MÉTODO DE SURRELAXACION CON DIFERENTES
_.__- VALORES DE RO . . - ... _ :
I RÉGIMEN PERMANENTE
\ VALLE OE LUniN
10 15 20 25 30 &C
A.»C.c.m.
40 _ _ . 45 toNUWERO DE ITtRAClONt:
. 45.
lor más alto (p=1.9) da el mejor resultado, aunque aparecen
pequeños picos de divergenciaque indican que se trata de -
un valor un poco alto, el valor óptimo estando muy probable^
mente ubicado entre 1.7 y 1.9.
Existen varios métodos que pretenden determinar el va¬
lor óptimo de p.
Vztzn.mlnacl6n pan.a un dominio n.zctangutan..
La ecuación teórica para la determinación del valor Ó£
timo de p se escribe:
2p opt ~
l+/l-y2 l + ZTT
donde:
popt = valor óptimo de
H = radio espectral de la matriz de sobrerel ajación.
X=iJ^ = radio espectral de la matriz de GAUSS-SEIDEL.
Para un dominio rectangular o cuadrado, se puede escrj^
bi r:
»^ = k ^^^^ jmIx ^ '°' TMx^
donde:
TI =3. 14153. . .
IMAX = número de líneas del dominio
JMAX = número de columnas.
. 45.
lor más alto (p=1.9) da el mejor resultado, aunque aparecen
pequeños picos de divergenciaque indican que se trata de -
un valor un poco alto, el valor óptimo estando muy probable^
mente ubicado entre 1.7 y 1.9.
Existen varios métodos que pretenden determinar el va¬
lor óptimo de p.
Vztzn.mlnacl6n pan.a un dominio n.zctangutan..
La ecuación teórica para la determinación del valor Ó£
timo de p se escribe:
2p opt ~
l+/l-y2 l + ZTT
donde:
popt = valor óptimo de
H = radio espectral de la matriz de sobrerel ajación.
X=iJ^ = radio espectral de la matriz de GAUSS-SEIDEL.
Para un dominio rectangular o cuadrado, se puede escrj^
bi r:
»^ = k ^^^^ jmIx ^ '°' TMx^
donde:
TI =3. 14153. . .
IMAX = número de líneas del dominio
JMAX = número de columnas.
- 46.
Método dz Raylzlgh.
El trabajo se desarrolla.de la manera siguiente:
se considera que no hay ningún caudal de intercambio en
el dominio.
se fijan valores nulos de potencial ei] los límites.
se empieza con valores unitarios de potencial (h=l) en -
todo el dominio.
se utiliza la repartación real de las transmisibi 1 idades
se calculan los potenciales con GAUSS-SEIDEL.
se calcula, al final de cada iteración, la expresión:
X=^hxho
Eho'
donde:
h = los potenciales al final de la iteración,
ho = los potenciales al final de la iteración anterior.
Con un número suficiente de iteraciones, el valor obtie
nido se acerca del valor de X, lo que permite calcular el -
valor óptimo de p.
Método dz MOLER.
El método de Moler consiste en una ecuación empírica,
que a pesar de ser muy sencilla, permite obtener muy buenos
- 46.
Método dz Raylzlgh.
El trabajo se desarrolla.de la manera siguiente:
se considera que no hay ningún caudal de intercambio en
el dominio.
se fijan valores nulos de potencial ei] los límites.
se empieza con valores unitarios de potencial (h=l) en -
todo el dominio.
se utiliza la repartación real de las transmisibi 1 idades
se calculan los potenciales con GAUSS-SEIDEL.
se calcula, al final de cada iteración, la expresión:
X=^hxho
Eho'
donde:
h = los potenciales al final de la iteración,
ho = los potenciales al final de la iteración anterior.
Con un número suficiente de iteraciones, el valor obtie
nido se acerca del valor de X, lo que permite calcular el -
valor óptimo de p.
Método dz MOLER.
El método de Moler consiste en una ecuación empírica,
que a pesar de ser muy sencilla, permite obtener muy buenos
47
resultados. Se escribe:
2popt
31 + /n
donde:
n = número de mallas donde se calcula el potencial.
Hemos comprobado los buenos resultados del método, que
se aplica ÚNICAMENTE en el caso del cálculo por nodo (y -
no en el caso del cálculo por línea).
Método dz CARRE
En este proceso, se siguí en los siguientes pasos:
1. Se hace una primera iteración con GAUSS-SEIDEL.
2. Se hacen algunas iteraciones con p<popt (CARRE propone
12 iteraciones con p= 1.375)
3. Se saca el valor de X con la ecuación: ,
. DHMAX^ ~ DHMAXjj
donde
DHMAX = valor máximo de la diferencia de potencial en¬
tre la última iteración ITER y la anterior ITER~1
DHHAX = valor máximo de la diferencia de potencial en-o '^
tre las iteraciones ITER~1 e iteR-2.
47
resultados. Se escribe:
2popt
31 + /n
donde:
n = número de mallas donde se calcula el potencial.
Hemos comprobado los buenos resultados del método, que
se aplica ÚNICAMENTE en el caso del cálculo por nodo (y -
no en el caso del cálculo por línea).
Método dz CARRE
En este proceso, se siguí en los siguientes pasos:
1. Se hace una primera iteración con GAUSS-SEIDEL.
2. Se hacen algunas iteraciones con p<popt (CARRE propone
12 iteraciones con p= 1.375)
3. Se saca el valor de X con la ecuación: ,
. DHMAX^ ~ DHMAXjj
donde
DHMAX = valor máximo de la diferencia de potencial en¬
tre la última iteración ITER y la anterior ITER~1
DHHAX = valor máximo de la diferencia de potencial en-o '^
tre las iteraciones ITER~1 e iteR-2.
48,
4. Se calcul a:
opt = - -'
Xp^
_ ^. (2-popt)p = popt - -^ ^ '^ -
5. Se modifica popt de la manera siguiente:
Pi"4
6. se reempieza a partir del paso 2.
CARRE recomienda su método para 1.5<popt<2
Método RELAC dz J. P. SAUTV.
Cuando se han tratado un número suficiente de iteracio^
nés, se puede ver que el potencial varia de. acuerdo al número de
iteraciones, o sea: (Véase figura 14).
h(i,n) = a+ce"''"
donde:
i = número de la malla.
n = número de la iteración
a = solución verdadera.
Se trata entonces de calcular el valor de potencial muy
cerca de la solución "a".
Para tener más precisión, el cálculo se hace en base a
los valores de h cada i iteraciones. Pero vamos a suponer
48,
4. Se calcul a:
opt = - -'
Xp^
_ ^. (2-popt)p = popt - -^ ^ '^ -
5. Se modifica popt de la manera siguiente:
Pi"4
6. se reempieza a partir del paso 2.
CARRE recomienda su método para 1.5<popt<2
Método RELAC dz J. P. SAUTV.
Cuando se han tratado un número suficiente de iteracio^
nés, se puede ver que el potencial varia de. acuerdo al número de
iteraciones, o sea: (Véase figura 14).
h(i,n) = a+ce"''"
donde:
i = número de la malla.
n = número de la iteración
a = solución verdadera.
Se trata entonces de calcular el valor de potencial muy
cerca de la solución "a".
Para tener más precisión, el cálculo se hace en base a
los valores de h cada i iteraciones. Pero vamos a suponer
FIGURA 14.FIGURA 14.
49
que i=l. Se escribe
Ah.
Ah^-1
Ah,
Ahn + 1
h(n)-h(n-l)
h(n-l)-h(n-2)
(a+ce-^")-(a+ce-^("-l))=ce"^"(l-eh(a + ce--b('^^lh-(a + ce"b") = ce-^(""l^l-e^)
Ah Ll -b(n + l ) / 1 ^bx .
n + 1 = p _ ce Ml-e ) _ p-bAh ~ -bn/1 b,
n ce (1-e )
r es una constante, independiente del número de iteracio--
nés n. Se obtiene el valor de a para un número n infinito
de iteraciones de la manera siguiente:
a
a
a
a
a
h(n) + (h(l)-h(0)) + (h(2)-h(l)) + ... + (h(n)-h(n-l))+ (h(n+l)-h(n))+.
h(0)+Ahi+Aho+. . .+Ah ,+Ah +Ah^,+..., 1 c n-1 n n+1
h(n-l)+Ah,^+Ah^^j+Ah,^^2+'--h(n-l)+Ah,^(l + r+r^ + r^+,. .)
h(n-l)+Ah,^ j^
donde:
Ah^ = h(n)-h(n-l)
Ah
Ah n-1
La figura 15 presenta un ejemplo de aplicación del método.
Hay tres curvas:
sin uso del método (curva 1).
- con el método, utilizando 3 valores sucesivos de h, con
49
que i=l. Se escribe
Ah.
Ah^-1
Ah,
Ahn + 1
h(n)-h(n-l)
h(n-l)-h(n-2)
(a+ce-^")-(a+ce-^("-l))=ce"^"(l-eh(a + ce--b('^^lh-(a + ce"b") = ce-^(""l^l-e^)
Ah Ll -b(n + l ) / 1 ^bx .
n + 1 = p _ ce Ml-e ) _ p-bAh ~ -bn/1 b,
n ce (1-e )
r es una constante, independiente del número de iteracio--
nés n. Se obtiene el valor de a para un número n infinito
de iteraciones de la manera siguiente:
a
a
a
a
a
h(n) + (h(l)-h(0)) + (h(2)-h(l)) + ... + (h(n)-h(n-l))+ (h(n+l)-h(n))+.
h(0)+Ahi+Aho+. . .+Ah ,+Ah +Ah^,+..., 1 c n-1 n n+1
h(n-l)+Ah,^+Ah^^j+Ah,^^2+'--h(n-l)+Ah,^(l + r+r^ + r^+,. .)
h(n-l)+Ah,^ j^
donde:
Ah^ = h(n)-h(n-l)
Ah
Ah n-1
La figura 15 presenta un ejemplo de aplicación del método.
Hay tres curvas:
sin uso del método (curva 1).
- con el método, utilizando 3 valores sucesivos de h, con
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50.
un intervalo entre 2 valores sucesivos de i=l iteración
(curva 2) .
Con el método, utilizando 7 valores -sucesivos de h, con
i=3 iteraciones (curva 3).
En la figura:
DHSUM = suma de las variaciones de'potencial de una
iteración a otra,
n = número de iteraciones
e = punto donde se ha aplicado el método (extrapo- .
1 a c i ó n ) .
3] ELECCIÓN VEL METOVO V VETERMINACION VEL VALOR VE p PARA
Ü,'.' WUMERO FINITO VE ITERACIONES.
Los métodos que acabamos de ver tratan el problema en
el caso de un número elevado o infinito de iteraciones.
Vamos a estudiar dos figuras. La figura 16 muestra el
tratamiento de un caso específico con la sobrerelajación
(p=1.5). Una de las curvas corresponde al cálculo por nodo ,
y la otra al cálculo por línea. Se ve que para un número -
elevado de iteraciones, el cálculo por línea es más potente.
Pero si se trata de un número reducido de iteraciones, el -
cálculo por malla es preferible.
La figura 17 presenta dos casos calculados de la misma
manera. En el primer caso, los potenciales que se han in--
troducido en todo el dominio son muy alejados de la solución
50.
un intervalo entre 2 valores sucesivos de i=l iteración
(curva 2) .
Con el método, utilizando 7 valores -sucesivos de h, con
i=3 iteraciones (curva 3).
En la figura:
DHSUM = suma de las variaciones de'potencial de una
iteración a otra,
n = número de iteraciones
e = punto donde se ha aplicado el método (extrapo- .
1 a c i ó n ) .
3] ELECCIÓN VEL METOVO V VETERMINACION VEL VALOR VE p PARA
Ü,'.' WUMERO FINITO VE ITERACIONES.
Los métodos que acabamos de ver tratan el problema en
el caso de un número elevado o infinito de iteraciones.
Vamos a estudiar dos figuras. La figura 16 muestra el
tratamiento de un caso específico con la sobrerelajación
(p=1.5). Una de las curvas corresponde al cálculo por nodo ,
y la otra al cálculo por línea. Se ve que para un número -
elevado de iteraciones, el cálculo por línea es más potente.
Pero si se trata de un número reducido de iteraciones, el -
cálculo por malla es preferible.
La figura 17 presenta dos casos calculados de la misma
manera. En el primer caso, los potenciales que se han in--
troducido en todo el dominio son muy alejados de la solución
I I
"fFTT
'...VELOCIDADES DE CONVERGENCIA
CALCULO POR PUNTO O POR LINEA
j RÉGIMEN PERMANENTE
'^. VALLE DEL RlMAC (PARTE ALTA)
; 992 MALLAS
J..6 10 19 ' 20 25 30 35 40
IT.MJ
45 ÍOf.'UWERO OE ITERACIONES
FIGURA 16.
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CALCULO POR PUNTO O POR LINEA
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FIGURA 16.
VARIACIÓN MAXIMA DE UNAITCHACION A OTfîA^
"vmax ' i
FIGURA 17,'~l
, ao '^r *.*
^ ^s _^-.. ^-,
:r::r VELOCIDADES de convergencia:l
- irt ..*--.. vt .
- I
PIEZOWETRIA IMICIAL MÜY
DIFERENTE ÙZ LA PIEZOME-
TRIA CALCULADA
-/
X.
CN PIEZOMEfRIA INICIAL MUY PA¬
RECIDA A LA PIEZOMETRIA
CALCULADA » -
ttAittt^tt,
II
O.tm
Ir»
f '-
0.01 m
I
^« i-s -
.' i .REGIMEN PERMANENTE
; I VALLE . DE LURIN
--- î 709 MALLAS
.. i SURRELAXACION (RO = 1.8): '...SOBRE
....; ..' . I
-i.lO iS .25 ....
*.6. I.t.m.
ll.lr.Ti/S.7.7J
ITCRACIOKESSO
VARIACIÓN MAXIMA DE UNAITCHACION A OTfîA^
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FIGURA 17,'~l
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PIEZOWETRIA IMICIAL MÜY
DIFERENTE ÙZ LA PIEZOME-
TRIA CALCULADA
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-i.lO iS .25 ....
*.6. I.t.m.
ll.lr.Ti/S.7.7J
ITCRACIOKESSO
- 51.
verdadera que trata de calcular el modelo: es la curva de
arriba, con velocidad de convergencia reducida. En el se¬
cundo caso, los potenciales introducidos son parecidos a la
solución verdadera: la velocidad de convergencia es muy rá¬
pida. Es el caso de un régimen permanente, en la fase últi
ma de la calibración, donde la piezometría de campo y la piezo-
metría calculada son parecidas; podría tratarse también
de un paso de tiempo en régimen transitorio, en un período
donde no hay mucha variación, o de Una manera general un pa^
so de tiempo muy corto con respecto a la variación de poten^
c i a 1 .
Regresando a la figura 13, se puede ver que el valor
óptimo de p no va a ser lo mismo si el número de iteracio¬
nes necesario para llegar a la precisión deseada es elevado
o reducido.
Todas estas observaciones se pueden esquematizar de la
manera siguiente:
- 51.
verdadera que trata de calcular el modelo: es la curva de
arriba, con velocidad de convergencia reducida. En el se¬
cundo caso, los potenciales introducidos son parecidos a la
solución verdadera: la velocidad de convergencia es muy rá¬
pida. Es el caso de un régimen permanente, en la fase últi
ma de la calibración, donde la piezometría de campo y la piezo-
metría calculada son parecidas; podría tratarse también
de un paso de tiempo en régimen transitorio, en un período
donde no hay mucha variación, o de Una manera general un pa^
so de tiempo muy corto con respecto a la variación de poten^
c i a 1 .
Regresando a la figura 13, se puede ver que el valor
óptimo de p no va a ser lo mismo si el número de iteracio¬
nes necesario para llegar a la precisión deseada es elevado
o reducido.
Todas estas observaciones se pueden esquematizar de la
manera siguiente:
52.
Condicionas dz i-ùnula-clón
E^zcto óobfiz zÛValonwnzio dz ItZKaclona.
O'X dz p ade¬cuado .
Método dz cí.ki¿lo adecuado.
I.l) Los datos de potéjiciai son parecidos a lasolución verdadera.
1.2) La precisión quese requiere no es muygrande.
1.3) Hay poca variacióndurante el paso de tiernpo-
numeroreducidodeiteraciones
n < 20
valor sacadopor la fórmulde MOLER (porejemplo), yluego 'un pocoreducido
1.4) El modelo es peque^ño y tiene dentro deldominio numerosos pun--tos con potencial im--puesto.
sobrerelaja¬ción ó
GAUSS-SEIDELpor nodo
II.I) Los datos son al£jados de la soluciónverdadera.
II. 2) La precisión de¬seada es muy grande.
1 1. 3) Hay mucha varia¬ción durante el paso detiempo.
numeroalto deiteraciones
n >50
valorfuertede p
1 1. 4) El modelo es grainde y tiene pocos nive¬les impuestos.
sobrerelaja¬ción por 1 í-nea
4) Método dz pAzvl&l6n dz to¿ potznclalz¿ zn fiéglmzn tfian-
¿ItoKlo .
Se ha observado que la velocidad do convergencia es -
muy alta, cuando la piezometría calculada difiere poco de
la piezometría inicial. En régimen transitorio, si no hay
cambio de caudales durante algunos pasos de tiempo, hay la
52.
Condicionas dz i-ùnula-clón
E^zcto óobfiz zÛValonwnzio dz ItZKaclona.
O'X dz p ade¬cuado .
Método dz cí.ki¿lo adecuado.
I.l) Los datos de potéjiciai son parecidos a lasolución verdadera.
1.2) La precisión quese requiere no es muygrande.
1.3) Hay poca variacióndurante el paso de tiernpo-
numeroreducidodeiteraciones
n < 20
valor sacadopor la fórmulde MOLER (porejemplo), yluego 'un pocoreducido
1.4) El modelo es peque^ño y tiene dentro deldominio numerosos pun--tos con potencial im--puesto.
sobrerelaja¬ción ó
GAUSS-SEIDELpor nodo
II.I) Los datos son al£jados de la soluciónverdadera.
II. 2) La precisión de¬seada es muy grande.
1 1. 3) Hay mucha varia¬ción durante el paso detiempo.
numeroalto deiteraciones
n >50
valorfuertede p
1 1. 4) El modelo es grainde y tiene pocos nive¬les impuestos.
sobrerelaja¬ción por 1 í-nea
4) Método dz pAzvl&l6n dz to¿ potznclalz¿ zn fiéglmzn tfian-
¿ItoKlo .
Se ha observado que la velocidad do convergencia es -
muy alta, cuando la piezometría calculada difiere poco de
la piezometría inicial. En régimen transitorio, si no hay
cambio de caudales durante algunos pasos de tiempo, hay la
- 53.
posibilidad de prever aproximadamente los potenciales al fj_
nal de un paso de tiempo en función de las variaciones de
potencial en los pasos de tiempo anteriores. El cálculo i-
terativo podrá ser muy rápido, si los potenciales previstos
son parecidos a la verdadera solución.
La figura 18 presenta la significación gráfica del mé¬
todo, tal como se puede desarrollar. Si no hay cambio de -
caudales . entre el paso de tiempo NT-1 y el paso de tiem¬
po NT+1, se puede prever que la variación de potencial en--
tre los pasos NT y NT + 1 va a ser proporcional a' la variación
de potenciales entre los pasos NT-1 y NT, o sea:
H3(I,J)-H2(I,J) = (H2(I,J)-H1(I,J))*ALFA
donde :
H1(I,J) = potencial al paso de tiempo NT-Î
H2(I,J) = potencial al paso de tiempo NT
H3(I,J) = potencial al paso de tiempo NT+1
ALFA = factor de previsión.
H3(I,J)=H2(I,J)+(H2(I,J)-H1(I,J))*ALFA
El factor de previsión ALFA en el caso simple de un
bombeo de prueba, tiene el valor siguiente (recta de JACOB):
ALFA = 0.59
La figura 19 presenta un ejemplo de aplicación, con los
tiempos de proceso necesarios.
- 53.
posibilidad de prever aproximadamente los potenciales al fj_
nal de un paso de tiempo en función de las variaciones de
potencial en los pasos de tiempo anteriores. El cálculo i-
terativo podrá ser muy rápido, si los potenciales previstos
son parecidos a la verdadera solución.
La figura 18 presenta la significación gráfica del mé¬
todo, tal como se puede desarrollar. Si no hay cambio de -
caudales . entre el paso de tiempo NT-1 y el paso de tiem¬
po NT+1, se puede prever que la variación de potencial en--
tre los pasos NT y NT + 1 va a ser proporcional a' la variación
de potenciales entre los pasos NT-1 y NT, o sea:
H3(I,J)-H2(I,J) = (H2(I,J)-H1(I,J))*ALFA
donde :
H1(I,J) = potencial al paso de tiempo NT-Î
H2(I,J) = potencial al paso de tiempo NT
H3(I,J) = potencial al paso de tiempo NT+1
ALFA = factor de previsión.
H3(I,J)=H2(I,J)+(H2(I,J)-H1(I,J))*ALFA
El factor de previsión ALFA en el caso simple de un
bombeo de prueba, tiene el valor siguiente (recta de JACOB):
ALFA = 0.59
La figura 19 presenta un ejemplo de aplicación, con los
tiempos de proceso necesarios.
MÉTODO DE PREVISION DE LOS POTENCIALES
EN REGIMEN TRANSITORIO
FIGURA 18.
Poso de tiempo NT-1
Jt
Poso de tiempo NT
Poso de tiempo NT + 1
(o colculor )
n coicuiojj iferolivo ,/V
MÉTODO DE PREVISION DE LOS POTENCIALES
EN REGIMEN TRANSITORIO
FIGURA 18.
Poso de tiempo NT-1
Jt
Poso de tiempo NT
Poso de tiempo NT + 1
(o colculor )
n coicuiojj iferolivo ,/V
VELOCIDAD DE CONVERGENCIA EN
REGIMEN TRANSITORIOClczTC
mero de îîerocîonesnecesario
1
\^.Ai. B- íwl.
r\-..
-X- X X X
REGIWEN TRANSITORIO
VALLE DEL CHILLÓN
1833 MALLAS
GAUSS - SEIDEL
-X X.
SOBRE / \x-^^:SURRELAXACION Y
PREVISION DE LOS
POTENCIALES
v£
X, . >;--« < (4* 01")
¡SURRELAXACION P« *^ í 3' 54")SOBRE
X -< (2*46"}1
Tiempos do ejccut
4 , . 1^4=;Cambio de caudalesI- I I I -1' I I I . I I I "T I I "1- "r I I I I I I ] -r ^ \ -f- "T" 1 1 r 1 1 1 I -,I 2 3.45 « 7 8 9 10 !l 12 13 M 15 16 rr 18 19. 20 21 22 25 24 23 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 S« PQSOS üfi tierT.pí
VELOCIDAD DE CONVERGENCIA EN
REGIMEN TRANSITORIOClczTC
mero de îîerocîonesnecesario
1
\^.Ai. B- íwl.
r\-..
-X- X X X
REGIWEN TRANSITORIO
VALLE DEL CHILLÓN
1833 MALLAS
GAUSS - SEIDEL
-X X.
SOBRE / \x-^^:SURRELAXACION Y
PREVISION DE LOS
POTENCIALES
v£
X, . >;--« < (4* 01")
¡SURRELAXACION P« *^ í 3' 54")SOBRE
X -< (2*46"}1
Tiempos do ejccut
4 , . 1^4=;Cambio de caudalesI- I I I -1' I I I . I I I "T I I "1- "r I I I I I I ] -r ^ \ -f- "T" 1 1 r 1 1 1 I -,I 2 3.45 « 7 8 9 10 !l 12 13 M 15 16 rr 18 19. 20 21 22 25 24 23 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 S« PQSOS üfi tierT.pí
ÂWEXO
PROGRAMAS VIVACTICOS
Una serie de programas están dados a continuación, co¬
mo aplicación práctica de los métodos desarrollados en el
curso .
PROGRAMA No. 1.
Se trata de una línea de mallas cuadradas (se supone -
que dx=dy, o sea que dx/dy=l, lo que permite simplificar la
ecuación). Hay 10 nodos , y 9 intervalos entre nodos . Una
transmisibilidad "direccional" está definida para cada in--
tervalo. Los potenciales están impuestos al centro de las
dos mallas extremas, o sea que los potenciales se calculan
del nodo 2 al nodo 9.
Los caudales de bombeo son leídos como negativos, mien^
tras las infiltraciones y alimentaciones son positivas.
El régimen permanente está resuelto por GAUSS-SEIDEL.
ÂWEXO
PROGRAMAS VIVACTICOS
Una serie de programas están dados a continuación, co¬
mo aplicación práctica de los métodos desarrollados en el
curso .
PROGRAMA No. 1.
Se trata de una línea de mallas cuadradas (se supone -
que dx=dy, o sea que dx/dy=l, lo que permite simplificar la
ecuación). Hay 10 nodos , y 9 intervalos entre nodos . Una
transmisibilidad "direccional" está definida para cada in--
tervalo. Los potenciales están impuestos al centro de las
dos mallas extremas, o sea que los potenciales se calculan
del nodo 2 al nodo 9.
Los caudales de bombeo son leídos como negativos, mien^
tras las infiltraciones y alimentaciones son positivas.
El régimen permanente está resuelto por GAUSS-SEIDEL.
DD
1
7.
3
5
67R
O
LO
].7i3
5
L6'7
8
L9
C RFPf^íiSHNTACIC;, .vGVlüD I V.lNS I üi\ALC REGIiVEN PERMANENTEC '-'ETODO DE GAUSS-SEIDELC 10 PUNTOS O SEA 9 INTERVALOSC POTENCIALES IMPUESTOS EN LOS LIMITES
DIMENSION H(10)»T(9)»Q(10)IN = 2
10 = 3
PEAD( IN«100) (H( I) il-=l ilO)READ( IN»100) (T ( I ) «1 = 1 .9)READ( INtlOO) (Q( I 1 I = l»10)DO 1 ITER=1.50DO 2 I=?»9ti(I) = (H(I-l)*T(í-i)-^H(I-<-l)«T(I)-*-G(I))/(T(I-l)+T(I))WRITE(IO»101)ITER»{H(I)»I=1»10)STOPFORMAT ( 10F5.2)
2
1
100101 FCRy.ATí '
ENDITERACIÓN '»I2»' POTENCIALES S10F9.4)
DD
1
7.
3
5
67R
O
LO
].7i3
5
L6'7
8
L9
C RFPf^íiSHNTACIC;, .vGVlüD I V.lNS I üi\ALC REGIiVEN PERMANENTEC '-'ETODO DE GAUSS-SEIDELC 10 PUNTOS O SEA 9 INTERVALOSC POTENCIALES IMPUESTOS EN LOS LIMITES
DIMENSION H(10)»T(9)»Q(10)IN = 2
10 = 3
PEAD( IN«100) (H( I) il-=l ilO)READ( IN»100) (T ( I ) «1 = 1 .9)READ( INtlOO) (Q( I 1 I = l»10)DO 1 ITER=1.50DO 2 I=?»9ti(I) = (H(I-l)*T(í-i)-^H(I-<-l)«T(I)-*-G(I))/(T(I-l)+T(I))WRITE(IO»101)ITER»{H(I)»I=1»10)STOPFORMAT ( 10F5.2)
2
1
100101 FCRy.ATí '
ENDITERACIÓN '»I2»' POTENCIALES S10F9.4)
56.
PROGRAMA No. 2.
Al mismo problema que el anterior se han agregado to--
das las posibilidades de interrupción del cálculo iterativo,
calculando para cada iteración los siguientes parámetros:
- HVAR = variación de potencial de una i.teración a otra.
- HSOM = suma de la variación de potencial de una iteración
a otra.«
- HMOY = promedio por nodo
- HMAX = valor máximo en un nodo de la variación de poten^
cial de una iteración a otra.
- BILAN= balance de los caudales a nivel de un nodo
- BSOM ~ suma de los balances.
- BMOY = promedio de los balances.
- BMAX = valor máximo de los balances en una malla.
ITEST es una variable que tiene un valor de 1 a 5. Se¬
gún el valor empleado, se chequea si HMOY, HMAX, BMOY o
BMAX tiene o no un valor inferior a EPS (epsilon). Si ITEST=
5, se hacen las 200 iteraciones previstas sin verificar na¬
da.
Dx y Dy representan las dimensiones de las mallas.
56.
PROGRAMA No. 2.
Al mismo problema que el anterior se han agregado to--
das las posibilidades de interrupción del cálculo iterativo,
calculando para cada iteración los siguientes parámetros:
- HVAR = variación de potencial de una i.teración a otra.
- HSOM = suma de la variación de potencial de una iteración
a otra.«
- HMOY = promedio por nodo
- HMAX = valor máximo en un nodo de la variación de poten^
cial de una iteración a otra.
- BILAN= balance de los caudales a nivel de un nodo
- BSOM ~ suma de los balances.
- BMOY = promedio de los balances.
- BMAX = valor máximo de los balances en una malla.
ITEST es una variable que tiene un valor de 1 a 5. Se¬
gún el valor empleado, se chequea si HMOY, HMAX, BMOY o
BMAX tiene o no un valor inferior a EPS (epsilon). Si ITEST=
5, se hacen las 200 iteraciones previstas sin verificar na¬
da.
Dx y Dy representan las dimensiones de las mallas.
c REPRLSL-NTACIOri MONODIMENSIONALC REGIMEN PERMANENTEC MÉTODO OE GAUSS-SEIDELC 10 PUNTOS 0 SEA 9 INTERVALOSC POTENCIALES IVPUESTOS EN LOS LIMITESC . PARÁMETROS DE CONVERGENCIA E INTERRUPCIÓN DEU CALCULO
DIN'ENSION HdOJ tTig) iQdO)IN = 910=3REAOt INflCO) (H( I) fl=lf lOîREADÍ INilOOl (Tt Iï »I = 1»9)READi IXilOO) ÎQ( I) iIî^lilO)READt IN. 102 )OYiDXf ITEST f EPSDO 1 ITER=1»?C0HSOM=0.HMAX^O.BSOM=0.BMAX=0.DO 2 I=2t9Hl=HtIÏHÍ I )-(H( I-1)»T(I-1)+H(I + 1)*T(I 1+QÍ I J )/ÍTÍ I-D+TÎI 1 ïHVAR=AB5ÎH1-H( I ) )
HSOM=HSÜM+HVARIF(HVAR.GT*H-MAX)HMAX = HVAR
2 CONTINUEDO 3 I=2»9RILAN=ABS[T( I-1)*DY»(H( ï-l)-H(I) 1 /DX+T Í I ) *DY* Í H Í I +1) -H t I ) )/DX+Q( Il
1«DY/DX)BSOM=BSOM+DILANlFÎBILANeGT»RMAXlBMAX=BILAN
3 CONTINUEHM0Y==HS0M/8.By0Y=PSÜM/8# .
WRITEI 10» 101) I TER fHSOM» HMOY. HMAX t BSOM BMOY» BMAXGO T0(11»12»13.14.1) iITEST
11 IF(HMOY-EPS)10sl.l12 IFtHMAX-EPSïlO.1.113 IF(BMOY-EPS)lÛ.lfll¿f IFiBMAX-EPSÏlOilil
1 CONTINUE10 WRITE(IO»103) (H( IÏ»I=lilO)
STOP100 FORMAT(10F5,2)101 FORMATC ITERACIÓN 'iI3t6F12i5)
. 102 FORMAT(2F5.0tI5»F5.5ï103 FORMAT(lX»10F9t4)
END
120.0 lOOéO0*01 0*01 OtOl 0*01 0*1 0*1 Otl 0*1 0*1 0,1
0*110000 100 500001
c REPRLSL-NTACIOri MONODIMENSIONALC REGIMEN PERMANENTEC MÉTODO OE GAUSS-SEIDELC 10 PUNTOS 0 SEA 9 INTERVALOSC POTENCIALES IVPUESTOS EN LOS LIMITESC . PARÁMETROS DE CONVERGENCIA E INTERRUPCIÓN DEU CALCULO
DIN'ENSION HdOJ tTig) iQdO)IN = 910=3REAOt INflCO) (H( I) fl=lf lOîREADÍ INilOOl (Tt Iï »I = 1»9)READi IXilOO) ÎQ( I) iIî^lilO)READt IN. 102 )OYiDXf ITEST f EPSDO 1 ITER=1»?C0HSOM=0.HMAX^O.BSOM=0.BMAX=0.DO 2 I=2t9Hl=HtIÏHÍ I )-(H( I-1)»T(I-1)+H(I + 1)*T(I 1+QÍ I J )/ÍTÍ I-D+TÎI 1 ïHVAR=AB5ÎH1-H( I ) )
HSOM=HSÜM+HVARIF(HVAR.GT*H-MAX)HMAX = HVAR
2 CONTINUEDO 3 I=2»9RILAN=ABS[T( I-1)*DY»(H( ï-l)-H(I) 1 /DX+T Í I ) *DY* Í H Í I +1) -H t I ) )/DX+Q( Il
1«DY/DX)BSOM=BSOM+DILANlFÎBILANeGT»RMAXlBMAX=BILAN
3 CONTINUEHM0Y==HS0M/8.By0Y=PSÜM/8# .
WRITEI 10» 101) I TER fHSOM» HMOY. HMAX t BSOM BMOY» BMAXGO T0(11»12»13.14.1) iITEST
11 IF(HMOY-EPS)10sl.l12 IFtHMAX-EPSïlO.1.113 IF(BMOY-EPS)lÛ.lfll¿f IFiBMAX-EPSÏlOilil
1 CONTINUE10 WRITE(IO»103) (H( IÏ»I=lilO)
STOP100 FORMAT(10F5,2)101 FORMATC ITERACIÓN 'iI3t6F12i5)
. 102 FORMAT(2F5.0tI5»F5.5ï103 FORMAT(lX»10F9t4)
END
120.0 lOOéO0*01 0*01 OtOl 0*01 0*1 0*1 Otl 0*1 0*1 0,1
0*110000 100 500001
58
PROGRAMA No. 5.
Se trata ahora de un dominio rectangular hecho con ma¬
llas cuadradas dispuestas en 10 líneas y 8 columnas. Los
nodos del borde del dominio tienen un potencial impuesto,
o sea que se calcula de la línea 2 a la penúltima línea
(IMAX-1) y de la columna 2 a la penúltima columna (JMAX-1).
El método empleado es el método de JACOBI,, o sea que -
se necesita una tabla adicional H1(I,J), donde se almacenan
los valores de potencial de i a iteración anterior.
Se usa el promedio harmónico para la definición de las
transmisibilidades.
58
PROGRAMA No. 5.
Se trata ahora de un dominio rectangular hecho con ma¬
llas cuadradas dispuestas en 10 líneas y 8 columnas. Los
nodos del borde del dominio tienen un potencial impuesto,
o sea que se calcula de la línea 2 a la penúltima línea
(IMAX-1) y de la columna 2 a la penúltima columna (JMAX-1).
El método empleado es el método de JACOBI,, o sea que -
se necesita una tabla adicional H1(I,J), donde se almacenan
los valores de potencial de i a iteración anterior.
Se usa el promedio harmónico para la definición de las
transmisibilidades.
c R!;p:^:í::;; MACicN r i dîv; nsionalc REGIMEN PERMANENTEC MÉTODO DE JACOBIc DOMINIC RECTANGULARC POTENCIALES IMPUESTOS EN LOS LI'-'ITESC PROMEDIO HARMÓNICO DE LAS TRANS^-' I S I V I DACES
D I MEN S I ON H { 1 0 . a ) » H 1 11 0 8 ) T ( 1 0 » 8 ¡ Q { 1 C » 8 )
IN = 2
10 = 3P-'AX=10JMAX =8DO 1 I=1,IMAX
1 READ! IN»103) (H( I «J) »J=1 » JMAX)DO 2 1 = 1 . IMAX
2 READ( IN»100) (T( I »J) J = 1»JMAX)DO 3 1=1 tIMAX
3 READ{ INflOO) (Q( I »J) J=1»JMAX)READ( INtlOOlEPSIMAX1=IMAX-1JMAX 1= JMAX-1N={ IMAX-2)*( JMAX-2)DO h ITER=lf50HSOM=0.DO 7 1=1 »IMAXDC 7 J=l »JMAX
7 Hl ( I J)=H( I iJ)DO 5 1=2 t IMAXlDO b J=2»JMAX1TN = 2.*T(r»J)<fT(I-l»J)/(T{I»J)+T(I-l»J))TS=2.*T(I»J)*T(I+1»J)/(T(I»J)+T(I+1»J))T0 = 2.*T( I .Jl^Tt I tJ-D/íTí I ,J)-fT( I »J-1 ) )
TE = 2.*T{ I íJlí^TÍ I iJ+l )/{ T( I tJl-t-Ti I tJ-rl ) )
H( I J)=(H1( I-1»J)*TN+Hl( I + l»J)^iTS + Hl( I »J-l)*TC+h!l{ I »J+l)*TE + 0( I »J)1 )/{TN-<-TS + TO+TE)
5 HS0M=HSCM+ABS(H1 ( I . J ) -H { I J ) )
HMOY=HSOM/NIF(HMOY-EPS) 10»4,4
t\ WR1TE( 10,101.) ITERtHMOY10 DO 6 1=1 ,IMAX
6 WRITE( I0»102) (H{ I »J) fJ=l.JMAX)STOP
100 FORMAT(16F5.0)101 FORMATi' ITERACIÓN '»I3tF12.5)102 FORMAT{1X»10F9.4)
END
c R!;p:^:í::;; MACicN r i dîv; nsionalc REGIMEN PERMANENTEC MÉTODO DE JACOBIc DOMINIC RECTANGULARC POTENCIALES IMPUESTOS EN LOS LI'-'ITESC PROMEDIO HARMÓNICO DE LAS TRANS^-' I S I V I DACES
D I MEN S I ON H { 1 0 . a ) » H 1 11 0 8 ) T ( 1 0 » 8 ¡ Q { 1 C » 8 )
IN = 2
10 = 3P-'AX=10JMAX =8DO 1 I=1,IMAX
1 READ! IN»103) (H( I «J) »J=1 » JMAX)DO 2 1 = 1 . IMAX
2 READ( IN»100) (T( I »J) J = 1»JMAX)DO 3 1=1 tIMAX
3 READ{ INflOO) (Q( I »J) J=1»JMAX)READ( INtlOOlEPSIMAX1=IMAX-1JMAX 1= JMAX-1N={ IMAX-2)*( JMAX-2)DO h ITER=lf50HSOM=0.DO 7 1=1 »IMAXDC 7 J=l »JMAX
7 Hl ( I J)=H( I iJ)DO 5 1=2 t IMAXlDO b J=2»JMAX1TN = 2.*T(r»J)<fT(I-l»J)/(T{I»J)+T(I-l»J))TS=2.*T(I»J)*T(I+1»J)/(T(I»J)+T(I+1»J))T0 = 2.*T( I .Jl^Tt I tJ-D/íTí I ,J)-fT( I »J-1 ) )
TE = 2.*T{ I íJlí^TÍ I iJ+l )/{ T( I tJl-t-Ti I tJ-rl ) )
H( I J)=(H1( I-1»J)*TN+Hl( I + l»J)^iTS + Hl( I »J-l)*TC+h!l{ I »J+l)*TE + 0( I »J)1 )/{TN-<-TS + TO+TE)
5 HS0M=HSCM+ABS(H1 ( I . J ) -H { I J ) )
HMOY=HSOM/NIF(HMOY-EPS) 10»4,4
t\ WR1TE( 10,101.) ITERtHMOY10 DO 6 1=1 ,IMAX
6 WRITE( I0»102) (H{ I »J) fJ=l.JMAX)STOP
100 FORMAT(16F5.0)101 FORMATi' ITERACIÓN '»I3tF12.5)102 FORMAT{1X»10F9.4)
END
60,
PROGRAMA Mo. 4.
Ahora, se usa el método de GAUSS-SEIDEL para resolver
el mismo problema.
60,
PROGRAMA Mo. 4.
Ahora, se usa el método de GAUSS-SEIDEL para resolver
el mismo problema.
61.C REPRESENTACIÓN B i DIMENSl ÜNALC REGIMEN PERMANENTEC MÉTODO DE GAUSS-SEIDELC DOMINIO RECTANGULARC POTENCIALES IMPUESTOS EN LOS LIMITESC PROMEDIO ARITMÉTICO DE LAS TRANSMI S IVI DADES
DIMENSION HÎIOfS) iT( 10.61. G(10i8ïIN = 210=3iMAXrlOJMAX=eDO 1 I=1»IMAX
1 READÍ IN.IOO) ÎH( I tJ) .J = 1»JMAX)DO 2 I = lf IViAX
2 READi INtlOO) (Td »J) J=lf JMAX)DO 3 1=1 .IMAX
3 READi IN.IOO) (Qll .J) iJ=l.JMAX)READt IN.IOOEPSIMAX1=IMAX-1JMAX1=JMAX-1N=t IMAX-2Ï*( JMAX"2)DO 4 ITER=1.50HSOM=0.DO 5 I=2»IVAX1DO 5 J=2tJMAXlTN=(Ti 1 .J)+Tt I-l.J) )/2.TS=(T( I.J)+T( 1+1. J) )/2.TO=íTÍ I íJ)+T(I »J-1Ï 1/2.TE=(TÍI tJl+TÍ I »J+11 )/2.Hl=H(IiJ)Hi I»J) = (H(I-l»JHi-TN+H( I + 1,J1*TS+H( I»J-ll*TO+Hi I . J+1 ) #TE+Q ( 1 1 J 1 î /( T
IN+TS+TO+TEl5 HSOM = HSOM + ABStHl--Ht I .Jl )
HMOY=HSOM/NIFtHMOY-EPS)10.A,¿t
4 WRITEllO.lOll ITER.HMOY10 DO 6 I=1.1MAX
6 WRITEt 10.102) ÍHÍ I.Jl iJ^ltJMAX)STOP
100 FORMAT(16F5.0)101 FORMATC ITERACIÓN 'iI3»F12*5)102 F0RMAT(1X»10F9.4)
END
61.C REPRESENTACIÓN B i DIMENSl ÜNALC REGIMEN PERMANENTEC MÉTODO DE GAUSS-SEIDELC DOMINIO RECTANGULARC POTENCIALES IMPUESTOS EN LOS LIMITESC PROMEDIO ARITMÉTICO DE LAS TRANSMI S IVI DADES
DIMENSION HÎIOfS) iT( 10.61. G(10i8ïIN = 210=3iMAXrlOJMAX=eDO 1 I=1»IMAX
1 READÍ IN.IOO) ÎH( I tJ) .J = 1»JMAX)DO 2 I = lf IViAX
2 READi INtlOO) (Td »J) J=lf JMAX)DO 3 1=1 .IMAX
3 READi IN.IOO) (Qll .J) iJ=l.JMAX)READt IN.IOOEPSIMAX1=IMAX-1JMAX1=JMAX-1N=t IMAX-2Ï*( JMAX"2)DO 4 ITER=1.50HSOM=0.DO 5 I=2»IVAX1DO 5 J=2tJMAXlTN=(Ti 1 .J)+Tt I-l.J) )/2.TS=(T( I.J)+T( 1+1. J) )/2.TO=íTÍ I íJ)+T(I »J-1Ï 1/2.TE=(TÍI tJl+TÍ I »J+11 )/2.Hl=H(IiJ)Hi I»J) = (H(I-l»JHi-TN+H( I + 1,J1*TS+H( I»J-ll*TO+Hi I . J+1 ) #TE+Q ( 1 1 J 1 î /( T
IN+TS+TO+TEl5 HSOM = HSOM + ABStHl--Ht I .Jl )
HMOY=HSOM/NIFtHMOY-EPS)10.A,¿t
4 WRITEllO.lOll ITER.HMOY10 DO 6 I=1.1MAX
6 WRITEt 10.102) ÍHÍ I.Jl iJ^ltJMAX)STOP
100 FORMAT(16F5.0)101 FORMATC ITERACIÓN 'iI3»F12*5)102 F0RMAT(1X»10F9.4)
END
62
PROGRAMA Wo. 5.
Es un ejemplo de sobrerelajación por punto.
Se introducen dos tablas de transmisibilidades, IS y
TE, o sea que son T di reccional es definidas al inicio (lo
que toma mas espacio en la memoria, pero que permite ahorrar
un poco de tiempo de proceso). Los caudales son introduci¬
dos malla por malla, las mallas donde no se lee un valor es^
tan inici al izadas con un valor cero.
El área de cálculo está definida en base a 3 tablas,
que tienen NUM elementos cada una. Estas tres tablas permj[
ten definir los tramos de línea donde se va a calcular el -
potencial, tramos que no deben interrumpirse ni mallas ini--
permeables ni mallas con potencial impuesto. Se trata de:
LINE(N) = número de la línea de cada tramo de línea.
JINI(N) = número de la columna inicial del tramo N.
JFIN(N) = número de la columna al final del tramo N.
Así se puede tratar un dominio de forma cualquiera.
62
PROGRAMA Wo. 5.
Es un ejemplo de sobrerelajación por punto.
Se introducen dos tablas de transmisibilidades, IS y
TE, o sea que son T di reccional es definidas al inicio (lo
que toma mas espacio en la memoria, pero que permite ahorrar
un poco de tiempo de proceso). Los caudales son introduci¬
dos malla por malla, las mallas donde no se lee un valor es^
tan inici al izadas con un valor cero.
El área de cálculo está definida en base a 3 tablas,
que tienen NUM elementos cada una. Estas tres tablas permj[
ten definir los tramos de línea donde se va a calcular el -
potencial, tramos que no deben interrumpirse ni mallas ini--
permeables ni mallas con potencial impuesto. Se trata de:
LINE(N) = número de la línea de cada tramo de línea.
JINI(N) = número de la columna inicial del tramo N.
JFIN(N) = número de la columna al final del tramo N.
Así se puede tratar un dominio de forma cualquiera.
il63.
C REPI<LS[.NlA(;iO.\ fjlülMLNSIüNALC REGIMEN PERMANENTEC MÉTODO DE LA SU^ERRFL AXAC IONC DOMINIO DE FORMA CUALQUIERAC AREA DE CALCUL" DEFINIDA POR PEDAZOS DE LINEASC TRANSMISIVIDADES D I RE CC I CNALES
DIMENSION Ht 1C,S} »TS l 10»8 ) , TE ( 10 » 8 ) 0 ( 1 0 » 8 )
DIMENSION L I N E ( 2 0 ) J I N I ( 2 0 ) » JF I N ( 2 C )
DATA Q/80«0./IN = 210 = 3
IMAX=10JMAX=8DO 1 I = 1»!''AX
1 READ( INflOO ) ( H( I tJ) J=l tJMAX)DO 2 1 = 1 tIMAX
2 READ( IN»100) (TS( I,J) »J=1»JMAX)DO 3 1=1» ¡VAX
3 READ( IN.IOO) ( TE( I ,J) « J=l » JMAX)10 READ( IN»1C3 ) I J»G1
IF( 1-999)11 ,12»1211 0(I»J)=Ü1
GO TC 1012 READ( IN»1C0 )EPS»RO
READ( 1N»10A)NUMREAD( IN.1C4 ) ( LINE(N) N=1,NUM)READ( IN» 10^) f JÎNI (N ) »N=1 ,NU-')READ( INi 104 ) l JFIN (N) »N=1 ,NUM)NMAIL=0DO 4 N = 1»NUM
4 NMAIL=NMAIL+JFIN(N)-JINI {N)+lDO 5 ITER=1 ,50HSOM=0.DO 6 N=1,NUMJI=JINI{N)JF=JF1N(N)I=LINE(N)DO 6 J=JI »JFH1=H( I ,J)H2=(H( I-l»J)ttTS{ I-l , J)+H( I + l ,J)*TSI I , J)+H(I ,J-1 )«TE{ I t J-l)+H( I »J+1
l)*TE(I,J)+Q(IJ))/(TS{I-l»J)+TS(I,J)+TEII»J-l)^TEII,J))DIF=H2-H1HSOM=HSOM+ABS(DIF)
6 H( I ,J)=H1+DIF*R0HM0Y=HS0M/NMAILIF(HMOY-EPS) 13,5,5
5 WRITE( 10,101 ) ITER, HMOY13 DO 7 I = l,r-'AX
7 WRITE ( 10,102) (H( I »J) »J=1,JMAX)STOP
100 FORMAT(16F5.0)101 FORMAT(' ITERACIÓN »I3»F12.5)102 FORMAT( 1X,10F9.4)'103 F0RMAT(2I3,F10.5)lOA FORMAT{40I2)
END
il63.
C REPI<LS[.NlA(;iO.\ fjlülMLNSIüNALC REGIMEN PERMANENTEC MÉTODO DE LA SU^ERRFL AXAC IONC DOMINIO DE FORMA CUALQUIERAC AREA DE CALCUL" DEFINIDA POR PEDAZOS DE LINEASC TRANSMISIVIDADES D I RE CC I CNALES
DIMENSION Ht 1C,S} »TS l 10»8 ) , TE ( 10 » 8 ) 0 ( 1 0 » 8 )
DIMENSION L I N E ( 2 0 ) J I N I ( 2 0 ) » JF I N ( 2 C )
DATA Q/80«0./IN = 210 = 3
IMAX=10JMAX=8DO 1 I = 1»!''AX
1 READ( INflOO ) ( H( I tJ) J=l tJMAX)DO 2 1 = 1 tIMAX
2 READ( IN»100) (TS( I,J) »J=1»JMAX)DO 3 1=1» ¡VAX
3 READ( IN.IOO) ( TE( I ,J) « J=l » JMAX)10 READ( IN»1C3 ) I J»G1
IF( 1-999)11 ,12»1211 0(I»J)=Ü1
GO TC 1012 READ( IN»1C0 )EPS»RO
READ( 1N»10A)NUMREAD( IN.1C4 ) ( LINE(N) N=1,NUM)READ( IN» 10^) f JÎNI (N ) »N=1 ,NU-')READ( INi 104 ) l JFIN (N) »N=1 ,NUM)NMAIL=0DO 4 N = 1»NUM
4 NMAIL=NMAIL+JFIN(N)-JINI {N)+lDO 5 ITER=1 ,50HSOM=0.DO 6 N=1,NUMJI=JINI{N)JF=JF1N(N)I=LINE(N)DO 6 J=JI »JFH1=H( I ,J)H2=(H( I-l»J)ttTS{ I-l , J)+H( I + l ,J)*TSI I , J)+H(I ,J-1 )«TE{ I t J-l)+H( I »J+1
l)*TE(I,J)+Q(IJ))/(TS{I-l»J)+TS(I,J)+TEII»J-l)^TEII,J))DIF=H2-H1HSOM=HSOM+ABS(DIF)
6 H( I ,J)=H1+DIF*R0HM0Y=HS0M/NMAILIF(HMOY-EPS) 13,5,5
5 WRITE( 10,101 ) ITER, HMOY13 DO 7 I = l,r-'AX
7 WRITE ( 10,102) (H( I »J) »J=1,JMAX)STOP
100 FORMAT(16F5.0)101 FORMAT(' ITERACIÓN »I3»F12.5)102 FORMAT( 1X,10F9.4)'103 F0RMAT(2I3,F10.5)lOA FORMAT{40I2)
END
64.
PROGRAMA No. 6 [V SUBPROGRAMA PERIT).
El mismo dominio que el anterior está tratado con el -
cálculo por línea, a cargo del subprograma PERLI. Este sub^
programma, que se llama durante cada iteración, hace el reco--9
rrido de todo el dominio, línea por línea, calculando los
potenciales en base al método de substitución.
64.
PROGRAMA No. 6 [V SUBPROGRAMA PERIT).
El mismo dominio que el anterior está tratado con el -
cálculo por línea, a cargo del subprograma PERLI. Este sub^
programma, que se llama durante cada iteración, hace el reco--9
rrido de todo el dominio, línea por línea, calculando los
potenciales en base al método de substitución.
c ;'.rp"[:sLNrAc:c\ ¡Dr^'ENsioNALc REGP-^EN PER'-'ANENTEC MÉTODO DE LA SUPERREL AXAC I ON
c CALCULO POR LINEAC DOMINIO DE FORMA CUALQUIERAC AREA DE CALCULO DEFINIDA POR'pEDAZOS DE LINEASC TRANSMISIVIDADES D I RECC I ONALES
DIMENSION H(10,8),TS(10»8),TE(10»8),G(10,8)DIMENSION LINE(20),JINII20)|JFIN(2C)COMMON IN, 10DATA 0/80*0./IN=^210=3IMAX=10JMAX=8DO 1 I = 1,1 MAX
1 READ( IN,100) (H{ I »J) , J=1,JMAX)DO 2 I = l,r''AX
2 READ( IN,100) (TS{ I,J) fJ^ljJMAX)DO 3 I = l,r'AX
3 READ( IN,100) (TE( I ,J) ,J=1»JMAX)10 READ( IN, 103 ) I J,01
IF( 1-999) 11 ,12,1211 Q(I,J)=01
GO TO 1012 READt IN, 100)EPS,R0
READ( IN,104)NUM
READ( IN,lü4) (LI\E(N) ,N=1 ,NUM)READ( IN,1C4 ) ( JINI (N) ,N = 1 ,NUM)READ( IN,104) ( JFIN(N) ,N=1,NUM)NMAIL=0DO 4 N=l ,NUM
4 NMAIL = NMAIL + JFIN{N)-JINI IN)-*-lDO 5 ITER=1,50HSOM=0.HMAX=0»CALL PERLI (H»TS»TE»Q»LINErJINI JFIN»NUM»RO» HSOMíHMAX» IMAX f JMAX)HM0Y=HS0M/NMAILIFIHMOY-EPS)13»5,5
5 WRITEi 10,101 ) ITER, HMOY, HMAX13 DO 7 1 = 1 ,IMAX
7 "WRITE! 10,102) (HI I » J) ,J=1,JMAX)STOP
100 FORMAT(16F5.0)101 FORMATi' ITERACIÓN »I3,2F12.5)102 FORMAT! 1X,1CF9.4)103 FORMAT(2I3,F10.5)104 FORMAT(40I2)
END
r
c ;'.rp"[:sLNrAc:c\ ¡Dr^'ENsioNALc REGP-^EN PER'-'ANENTEC MÉTODO DE LA SUPERREL AXAC I ON
c CALCULO POR LINEAC DOMINIO DE FORMA CUALQUIERAC AREA DE CALCULO DEFINIDA POR'pEDAZOS DE LINEASC TRANSMISIVIDADES D I RECC I ONALES
DIMENSION H(10,8),TS(10»8),TE(10»8),G(10,8)DIMENSION LINE(20),JINII20)|JFIN(2C)COMMON IN, 10DATA 0/80*0./IN=^210=3IMAX=10JMAX=8DO 1 I = 1,1 MAX
1 READ( IN,100) (H{ I »J) , J=1,JMAX)DO 2 I = l,r''AX
2 READ( IN,100) (TS{ I,J) fJ^ljJMAX)DO 3 I = l,r'AX
3 READ( IN,100) (TE( I ,J) ,J=1»JMAX)10 READ( IN, 103 ) I J,01
IF( 1-999) 11 ,12,1211 Q(I,J)=01
GO TO 1012 READt IN, 100)EPS,R0
READ( IN,104)NUM
READ( IN,lü4) (LI\E(N) ,N=1 ,NUM)READ( IN,1C4 ) ( JINI (N) ,N = 1 ,NUM)READ( IN,104) ( JFIN(N) ,N=1,NUM)NMAIL=0DO 4 N=l ,NUM
4 NMAIL = NMAIL + JFIN{N)-JINI IN)-*-lDO 5 ITER=1,50HSOM=0.HMAX=0»CALL PERLI (H»TS»TE»Q»LINErJINI JFIN»NUM»RO» HSOMíHMAX» IMAX f JMAX)HM0Y=HS0M/NMAILIFIHMOY-EPS)13»5,5
5 WRITEi 10,101 ) ITER, HMOY, HMAX13 DO 7 1 = 1 ,IMAX
7 "WRITE! 10,102) (HI I » J) ,J=1,JMAX)STOP
100 FORMAT(16F5.0)101 FORMATi' ITERACIÓN »I3,2F12.5)102 FORMAT! 1X,1CF9.4)103 FORMAT(2I3,F10.5)104 FORMAT(40I2)
END
r
OD .
1 SURKUUTINE PLRL I ( H » TS » I L » (J , L I NLA , J I NI » JF I N tNUM » RO , VSOM » VMAX , IMAX» J2 IMAX)3 DIMENSION H( 1 ) ,TS(1 ) ,TE( 1 ) ,0(1 )
4 DIMENSION L I NEA ( 1 ) , J 1 N I ( 1 ) , JF I N ( 1 )
5 DIMENSION A ( 30 ) » B Í 30 ) , C ( 30 ) , D ( 30 ) , ALFA ( 30 ) , BETA ( 30 )
6 COMMON IN, 107 IF(JMAX-3C)1 2,12,10P 10 '/.RUE ( 10,101 )
9 RETURN3 0 12 DO 2 MH=1 ,NUM11 JI=JINI(MH)1? JF=JFIN(MH)13 K=l14 DO 3 J=JI tJF15 I J=( J-1 )^^IMAX + LINEA(MH)16 IG=IJ~IMAX17 A{K)=TS( I J-1)+TS( IJ)+TE( IG)+TE( IJ)18 B(K)=0( I J)-fTS{ IJ)*H( I J+1 )-+-TS( I J-1 )*H( ! J-1 )
19 C(K)=-TE(IJ)?0 D(K)=-TE(IG)?1 3 K=K+1?2 IG=( JI-2 )*IMAX+LINEA(MH)?3 ALFA( 1 ) = (3( 1 )+TE( IG)*H( IG) )/A( 1 )
?4 BETA( 1 )=C(1 )/A(l )
?5 JJ=JF-JI+1?6 IF( JJ-2)9,11 ,1111 11 DO 4 J=2,JJ?8 DENOM = A( J)-D( J)^^BETA{ J-1 )
?9 ALFAI J)=(B( J)-Di J)*ALFA( J-1) )/DENOM30 4 BETA( J)=C( J)/DENOMn 9 K=JJJ2 DO 2 J^1,JJÎ3 I J=( JJ-J+JI-1 )«IMAX+LINEA(MH)34 ID=IJ+IMAXÍ5 VCALC = ALFA(K)-EETA(K:)*H( ID)-H( I J)36 VS0M=VS0M+ABS(VCALC)37 IF(ABS(VCALC)-VMAX)7»7,838 8 VMAX=ABS(VCALC)39 7 H( IJ)=H{ I J)+VCALC*ROfO 2 K=K-1^1 RETURNf? 101 FORMAT( IX, 'AUMENTAR LAS DIMENSIONES DE LAS TABLAS DEL CALCULO POR3 ILINEA')+ 4 ENDr READER
OD .
1 SURKUUTINE PLRL I ( H » TS » I L » (J , L I NLA , J I NI » JF I N tNUM » RO , VSOM » VMAX , IMAX» J2 IMAX)3 DIMENSION H( 1 ) ,TS(1 ) ,TE( 1 ) ,0(1 )
4 DIMENSION L I NEA ( 1 ) , J 1 N I ( 1 ) , JF I N ( 1 )
5 DIMENSION A ( 30 ) » B Í 30 ) , C ( 30 ) , D ( 30 ) , ALFA ( 30 ) , BETA ( 30 )
6 COMMON IN, 107 IF(JMAX-3C)1 2,12,10P 10 '/.RUE ( 10,101 )
9 RETURN3 0 12 DO 2 MH=1 ,NUM11 JI=JINI(MH)1? JF=JFIN(MH)13 K=l14 DO 3 J=JI tJF15 I J=( J-1 )^^IMAX + LINEA(MH)16 IG=IJ~IMAX17 A{K)=TS( I J-1)+TS( IJ)+TE( IG)+TE( IJ)18 B(K)=0( I J)-fTS{ IJ)*H( I J+1 )-+-TS( I J-1 )*H( ! J-1 )
19 C(K)=-TE(IJ)?0 D(K)=-TE(IG)?1 3 K=K+1?2 IG=( JI-2 )*IMAX+LINEA(MH)?3 ALFA( 1 ) = (3( 1 )+TE( IG)*H( IG) )/A( 1 )
?4 BETA( 1 )=C(1 )/A(l )
?5 JJ=JF-JI+1?6 IF( JJ-2)9,11 ,1111 11 DO 4 J=2,JJ?8 DENOM = A( J)-D( J)^^BETA{ J-1 )
?9 ALFAI J)=(B( J)-Di J)*ALFA( J-1) )/DENOM30 4 BETA( J)=C( J)/DENOMn 9 K=JJJ2 DO 2 J^1,JJÎ3 I J=( JJ-J+JI-1 )«IMAX+LINEA(MH)34 ID=IJ+IMAXÍ5 VCALC = ALFA(K)-EETA(K:)*H( ID)-H( I J)36 VS0M=VS0M+ABS(VCALC)37 IF(ABS(VCALC)-VMAX)7»7,838 8 VMAX=ABS(VCALC)39 7 H( IJ)=H{ I J)+VCALC*ROfO 2 K=K-1^1 RETURNf? 101 FORMAT( IX, 'AUMENTAR LAS DIMENSIONES DE LAS TABLAS DEL CALCULO POR3 ILINEA')+ 4 ENDr READER
67
PROGRAMA Wo. 7.
Se trata de nuevo de una línea de mallas comprendida -
entre dos fronteras impermeables. En el presente caso, te¬
nemos un acuífero libre, donde se debe ajDlicar la ecuación
para este tipo de acuífero.
Se puede ver que las transmisibilidades están calcula¬
das de nuevo al inicio de cada iteración. La transmi si bi lj_
dad puntual A de cada malla está calculada de la manera si¬
guiente:
Pi X Hi-Zi o HMIN valor máximo
donde :
Pi
Hi
Zi
HMIN
permeabilidad
potencial
cota del substrato
espesor mínimo impuesto (para no tener espesor nj¿
lo o negativo)
Luego la transmisibilidad direccional está calculada
en base al promedio harmónico de los dos valores vecinos.
El potencial está calculado de manera a no correspon¬
der a un espesor de acuífero inferior al espesor mínimo.
67
PROGRAMA Wo. 7.
Se trata de nuevo de una línea de mallas comprendida -
entre dos fronteras impermeables. En el presente caso, te¬
nemos un acuífero libre, donde se debe ajDlicar la ecuación
para este tipo de acuífero.
Se puede ver que las transmisibilidades están calcula¬
das de nuevo al inicio de cada iteración. La transmi si bi lj_
dad puntual A de cada malla está calculada de la manera si¬
guiente:
Pi X Hi-Zi o HMIN valor máximo
donde :
Pi
Hi
Zi
HMIN
permeabilidad
potencial
cota del substrato
espesor mínimo impuesto (para no tener espesor nj¿
lo o negativo)
Luego la transmisibilidad direccional está calculada
en base al promedio harmónico de los dos valores vecinos.
El potencial está calculado de manera a no correspon¬
der a un espesor de acuífero inferior al espesor mínimo.
68.C REPRESENTACIÓN MONODI MENSI ONALC REGIMEN PE'^VANENTEC ESOUtvA DE LAS NAPAS LIBRESC VETODC DE LA SUPERREL AXAC I ONC PROMEDIO HAR'-'CNICO DE LAS T aANS^ IS I V I DADESC DEFINIDO A PARTIR DE LOS. VALORES PUNTUALES DE PERMEABILIDAD
DIMENSION H(20) ,TE(20) ,Z(20) ,P(20)DATA IMAX/2C/ ,HMIN/10./,RO/1.5/,NI TER/50/ ,ERROR /Oe 1 /IN = 2
10=3IMAXl=r-'AX-lREAD( IN, 100) (H( I ) ,1 = 1 .IMAX)READ( INilOl ) (P( I ) , 1 = 1 , r-'AX)READ( IN,100) (Z( I ) ,1 = 1, IMAX)DO 1 ITEk = 1, NITERVMAX=0»DC 2 1 = 1 , IMAXlA = P( I )*AMAXO(H{ I )-Z( I ) ,HMIN)B = P( I+l )*AVAXC{H( I + l )-Z( I + l) iHMIN)
2 TE{ I )=2.*Ai^B/(A + B)DO 3 1 = 2, IMAXlA=(TE(I-1)*H(I-1)+TE(I)*H(I+1))/(TE(I-1)+TE(I))-H(I)IF(ABS(A)-VMAX)3,3, 10
10 VMAX=ABS(A)3 H( I )=AMAXO(Z( I )+HMIN,H( I )+A*RO)
WRITEi 10,102) ITER, VMAXWRITE ( 10,103)WRITE( IO,104)HWRITE( IO,104)ZWRITE! IO,105)TFWRITE! 10,103)IF(VMAX~ERR0R)11,11 ,1
1 CONTINUE11 STOP
100 FORMAT(20F4.G)101 FORMAT(20E4.C)102 F0RMAT(1X,I3,2X,E9.2) .
103 FORMAT!//)104 FORMAT(1X,20F5.0)105 FORMAT(1X,20F5.3)
END
FUNCTION AMAX0!X,Y)IF!X-Y)1,1»2
1 AMAX0=YRETURN
2 AMAXO=XRETURNEND
402»385. 360. 333. 306. 279. 258. 239. 214. 167. 132. 95. 77. 49. 35. 22* 14. lO.4-3 A-3 3-3 3-3 2-3 1-3 8"^ 6-4 5-4 5~^ ^-^ ^-^ 3"^* 2-^ 1~4 1-4 1-4 1-4320 3CG 27Û 215 175 16J 164 16C 12C 4ü -20 -70-1 15-1 70-1 64-2 12-2 36-26 J-.
READER
68.C REPRESENTACIÓN MONODI MENSI ONALC REGIMEN PE'^VANENTEC ESOUtvA DE LAS NAPAS LIBRESC VETODC DE LA SUPERREL AXAC I ONC PROMEDIO HAR'-'CNICO DE LAS T aANS^ IS I V I DADESC DEFINIDO A PARTIR DE LOS. VALORES PUNTUALES DE PERMEABILIDAD
DIMENSION H(20) ,TE(20) ,Z(20) ,P(20)DATA IMAX/2C/ ,HMIN/10./,RO/1.5/,NI TER/50/ ,ERROR /Oe 1 /IN = 2
10=3IMAXl=r-'AX-lREAD( IN, 100) (H( I ) ,1 = 1 .IMAX)READ( INilOl ) (P( I ) , 1 = 1 , r-'AX)READ( IN,100) (Z( I ) ,1 = 1, IMAX)DO 1 ITEk = 1, NITERVMAX=0»DC 2 1 = 1 , IMAXlA = P( I )*AMAXO(H{ I )-Z( I ) ,HMIN)B = P( I+l )*AVAXC{H( I + l )-Z( I + l) iHMIN)
2 TE{ I )=2.*Ai^B/(A + B)DO 3 1 = 2, IMAXlA=(TE(I-1)*H(I-1)+TE(I)*H(I+1))/(TE(I-1)+TE(I))-H(I)IF(ABS(A)-VMAX)3,3, 10
10 VMAX=ABS(A)3 H( I )=AMAXO(Z( I )+HMIN,H( I )+A*RO)
WRITEi 10,102) ITER, VMAXWRITE ( 10,103)WRITE( IO,104)HWRITE( IO,104)ZWRITE! IO,105)TFWRITE! 10,103)IF(VMAX~ERR0R)11,11 ,1
1 CONTINUE11 STOP
100 FORMAT(20F4.G)101 FORMAT(20E4.C)102 F0RMAT(1X,I3,2X,E9.2) .
103 FORMAT!//)104 FORMAT(1X,20F5.0)105 FORMAT(1X,20F5.3)
END
FUNCTION AMAX0!X,Y)IF!X-Y)1,1»2
1 AMAX0=YRETURN
2 AMAXO=XRETURNEND
402»385. 360. 333. 306. 279. 258. 239. 214. 167. 132. 95. 77. 49. 35. 22* 14. lO.4-3 A-3 3-3 3-3 2-3 1-3 8"^ 6-4 5-4 5~^ ^-^ ^-^ 3"^* 2-^ 1~4 1-4 1-4 1-4320 3CG 27Û 215 175 16J 164 16C 12C 4ü -20 -70-1 15-1 70-1 64-2 12-2 36-26 J-.
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